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Modul 407: Der Goldene Schnitt!
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Der Goldene Schnitt
• Geometrie / Bild
• Zählen / Rechnen
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Eine Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt,
wenn sich das größere Teilstück a
zum kleineren Teilstück b so verhält
wie die ganze Strecke zum größeren Teilstück a.
a
b
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Eine Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt,
wenn sich das größere Teilstück a
zum kleineren Teilstück b so verhält
wie die ganze Strecke zum größeren Teilstück a.
a
b
Demo Cabri
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Euklid, um 325 v. Chr. – 265 v. Chr.
Stetige Teilung
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ab =
a+ba
ab = 1+
ba
x = ab x = 1+1x
x2 = x +1 ⇒ x2 − x −1 = 0
Positive Lösung
τ = 1+ 52 ≈ 1.618
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x2 = 0 L = 0{ }
x2 −1 = 0 L = ±1{ } x2 +1 = 0 L = { }
x2 − x = 0 L = 0,1{ } x2 + x = 0 L = 0,−1{ }
x2 − x −1 = 0 L = 1+ 52 ,1− 52{ } x2 + x +1 = 0 L = { }
x2 + x −1 = 0 L = −1+ 52 ,−1− 52{ } x2 − x +1 = 0 L = { }
Simple quadratische Gleichungen
Der Goldene Schnitt erscheint.
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Welche Zahlen haben dieselben
„Nachkommastellen“ wie ihr Kehrwert?
x − 1x = n
x2 − nx −1 = 0
x1 =n+ n2+4
2
9
n Zahl Kehrwert
0 1 1
1 τ = 1+ 52 ≈ 1.618 ρ =−1+ 52 ≈ 0.618
2 1+ 2 ≈ 2.414 −1+ 2 ≈ 0.414
3 3+ 132 ≈ 3.303−3+ 132 ≈ 0.303
4 2 + 5 ≈ 4.236 −2 + 5 ≈ 0.236
x1 =n+ n2+4
2
Welche Zahlen haben dieselben
„Nachkommastellen“ wie ihr Kehrwert?
10
Welche Zahlen haben dieselben
„Nachkommastellen“ wie ihre Quadratzahl?
x2 = x + n
x2 − x − n = 0
x1 =1+ 1+4n
2
11
n Zahl Quadratzahl
0 1 1
1 τ = 1+ 52 ≈ 1.6183+ 52 ≈ 2.618
2 2 4
3 1+ 132 ≈ 2.303 5.303
4 1+ 172 ≈ 2.562 6.562
Welche Zahlen haben dieselben
„Nachkommastellen“ wie ihre Quadratzahl?
x1 =1+ 1+4n
2
12
A
B
C
1
1
2
Konstruktion des Goldenen Schnittes!
Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1
13
A
B
C
1
D
E
1
2
Konstruktion des Goldenen Schnittes!
Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1
Kreis
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A
B
C
1
D
E
r
1
2
t
Konstruktion des Goldenen Schnittes!
Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1
Kreis
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Das alte Rathaus zu Leipzig, 1556
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Werbung!!Walser, Hans: !Der Goldene Schnitt.!!5., bearbeitete und !erweiterte Auflage.! !Edition am Gutenbergplatz, !Leipzig 2009.! !ISBN 978-3-937219-98-1!
Das Programm geht gleich weiter.!
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Pentagon
Pentagramm
19
Pentagon
Pentagramm
Knoten aus einem Streifen
20
Pentagon
Pentagramm
1
x
1
1
x – 1
21
1
x
1
1
x – 1
x−11 =
1x
x2 − x −1 = 0
x1 =1+ 52 = τ ≈ 1.618
x2 =1− 52 ≈ −0.618
36°
36°
72°
22
36°
108°
1
1
1
1
Im Zehneck
ρ
τ
23
24
25
26
27
28
1
x
x
Q
R
Goldenes Rechteck
Quadrat abschneiden
Rest soll ähnlich zum
ursprünglichen Rechteck sein
1x =
x1−x
x2 = 1− x
x2 + x −1 = 0
x1 =−1+ 52 = ρ ≈ 0.618
x2 =−1− 52 ≈ −1.618
1 – x
29
Iteration des Abschneidens?
30
Iteration des Abschneidens?
31
Iteration des Abschneidens?
32
Iteration des Abschneidens?
33
Iteration des Abschneidens?
34
Iteration des Abschneidens?
35
Iteration des Abschneidens?
36
Iteration des Abschneidens?
37
Viertelskreise
38
Viertelskreise
39
Viertelskreise
40
Viertelskreise
41
Viertelskreise
42
Viertelskreise
43
Viertelskreise
44
Viertelskreise
45
Start mit einem Quadrat
46
Ein Quadrat wird angesetzt
47
Noch ein Quadrat, diesmal ein größeres
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Dümdüdelüt
49
50
51
1
1
2
3
5
8
Fibonacci
52
1
1
2
3
5
8
Fibonacci
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
an+2 = an+1 + an
53
1
1
2
3
5
8
Fibonacci
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
an+2 = an+1 + an
limn→∞
an+1an( ) = τ?
54
1
1
2
3
5
8
Fibonacci
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
an+2 = an+1 + an
limn→∞
an+1an( ) = τ?
Demo Excel
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1
1
2
3
5
8
Fibonacci
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
an+2 = an+1 + an
limn→∞
an+1an( ) = τ
Beweis?
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DAS KANINCHEN-PROBLEM
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
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Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
Liber abaci, Kapitel 12
Überschrift:
Quot paria coniculorum
in uno anno ex uno
pario germinentur.
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Jemand sperrt ein Kaninchenpaar ���in ein allseitig ummauertes Gehege, ���um zu erfahren, wie viele ���Nachkommen dieses Paar im Laufe ���eines Jahres haben werde. ������Es wird dabei vorausgesetzt, ���jedes Kaninchenpaar bringe ���monatlich ein neues Paar zur Welt, ���und die Kaninchen würden vom ���zweiten Monat nach ihrer Geburt���an gebären.
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
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Drohne:
Mutti, wie bin ich auf die Welt gekommen?
60
Eine männliche Biene (Drohne)
hat nur eine Mutter (Königin)
Unbefruchtetes Ei
61
Eine weibliche Biene hat Mutter und Vater.
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Stammbaum einer Drohne
3
1
2
1
1
2
1
63
Stammbaum einer Drohne
5
2
3
3
1
2
1
1
2
1
64
Stammbaum einer Drohne
8
3
5
5
2
3
3
1
2
1
1
2
1
65
Stammbaum einer Drohne
8
5
13
8
3
5
5
2
3
3
1
2
1
1
2
1
66
Stammbaum einer Drohne
8
13
21
8
5
13
8
3
5
5
2
3
3
1
2
1
1
2
1
67
Stammbaum einer Drohne
8
13
21
8
5
13
8
3
5
5
2
3
3
1
2
1
1
2
1
68
Fraktale
69
1
f
f
2
f
3
f
4
f
5
f = f 3 + f 4 + f 5 +! = f3
1− f
f 3 + f 2 − f = 0
70
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71
copy and paste
72
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73
74
75
76
77
78
79
80
81
0
3
1
1
2
2
3
f
f
f
2
f
2
f
3
1
1 = 2 f 2 + f 3
82
83
Fünfecksfraktal
mit
Überlappung