Messungen – Skalen – Indizes Empirische Sozialforschung

Renate Prantner Christoph Schantl

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Übersicht

• Messung nicht-direkt beobachtbarer Eigenschaften• Big-Mac-Index• Einstellungsmessung Likert - Technik• Gütekriterien (Objektivität, Reliabilität, Validität)

• Guttman-Skala• Polaritätsprofil• Messung und Skalenniveaus

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Begriffsbeschreibung

• Operationalisierung einer Variablen

Anweisungen, nach denen Untersuchungseinheiten den Kategorien einer Variable zugewiesen werden

• Messung

Zuordnung von Zahlen zu Objekten nach bestimmten Regeln • Skalierung

Spezialfall der Messung - auf der Basis eines Skalierungsmodells Unterstellt empirisch prüfbare Annahmen über Struktur der Beobachtung

• Indizes

Variablen, deren Werte sich aus einer Rechenoperation mehrerer anderer Variablen ergeben

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Indirekte Messung Beispiel

Wasserverbrauch der Stadt Leverkusen an einem Wochentag

Heute

KommissarHawaii Fünf-Null

Sendeschluss

Messung der Fernsehbeteiligung

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Messung nicht-direkt beobachtbarerEigenschaften

• Theoretisches Konstrukt • Umweltbewusstsein, Lebensstandard

• Auswahl eines oder mehrer Indikatoren

• Qualitätskriterien einer Messung• Reliabilität (Reproduzierbarkeit)

• Validität (Gültigkeit)

• Prüfung des Indikators - Validierungstest• Korrelationskoeffizient (+1, -1, 0)

• Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen

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Messung nicht-direkt beobachtbarerEigenschaften

• Berechnung des Korrelationskoeffizienten

yx

xyxy ss

sr

))((1 _

1

_

ii

N

ixy yyxx

Ns

2

1

_

)(1i

N

ix xx

Ns

Korrelationskoeffizient

Kovarianz von X und Y

Standardabweichung

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Big-Mac-Index

• Messung der realen Kaufkraft einer Währung• Theorie der Kaufkraftparität

Der Wechselkurs zweier Währungen wird durch unterschiedliche Preisniveaus in zwei Ländern bestimmt

• Big-Mac-Index• Homogenes Gut

• Weltweit erhältlich

• Lokale Big-Mac Preise, Produkte und Dienstleistungen

• „Arbeitszeitaufwand für Big-Mac“ als Indikator des Lebensstandards

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Big-Mac-Index

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Big-Mac-Index

ABM BSP HDI

Länder

Arbeitszeit in Minutern für einen Hamburger

Bruttosozialprodukt pro Einwohner in USD

Human Development Index

Chicago 14 22240 0,961Zürich 21,5 33610 0,986Frankfurt 23 23650 0,967Wien 27 20140 0,961Amsterdam 28 18780 0,984Madrid 31 12450 0,965Buenos Aires 66 2790 0,91Mexiko 90 3030 0,876Bobay 92 330 0,439Nairobi 177 340 0,481

Prüfung des Indikators – Validierungstest• Korrelation zwischen Big-Mac-Index und akzeptierten Maß

• BSP/Kopf• „Human Development Index“ (HDI) der UN

Lebenserwartung bei Geburt, Alphabetisierungsrate, BSP/Kopf

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Big-Mac-Index

Korrelation Big Mac / BSP

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

0 50 100 150 200

Korrelation Big Mac / HDI

Mexiko

Bombay Nairobi

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 50 100 150 200

Korrelation BSP / HDI

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000

Korrelationen

Big Mac / BSP -0,790Big Mac / HDI -0,839BSP / HDI 0,705

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Einstellungsmessung Likert – Technik

• „Technik der summierten Einschätzungen“• Einstellungsmessung mit multiplen Indikatoren

• Qualitätskriterien der Testtheorie – Reliabilität und Validität

• Ziel• Trennung geeigneter von wenig geeigneten Items

• Zuweisung eines Skalenwertes

• Technik• Schriftlichen Befragung oder „Face-to-face“ Interview

• Punkte-Antwortskala

• Grad der Zustimmung zu jedem Item

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Einstellungsmessung Likert – Technik

Item C: „Wenn wir so weitermachen wie bisher, steuern wir auf eine Umweltkatastrophe zu“

(1) Stimme überhaupt nicht zu

(2) Stimme nicht zu

(3) Teils /Teils

(4) Stimme zu

(5) Stimme voll zu

Pers A B C D Summenscore1 3 4 5 2 142 3 5 5 5 183 5 3 1 5 144 3 5 5 4 175 3 4 5 - -6 3 - 5 3 -7 2 5 5 4 168 4 5 5 5 199 5 5 5 4 19

10 1 1 5 5 12

Beispiel

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Einstellungsmessung Likert – Technik

• „Item-Non-Response“ • Personen mit „missing values“ bleiben unberücksichtigt

• Gründe für „missing values“:

• Antwortverweigerung

• Keine Meinung zum spezifischen Item

• Vergessen eine Antwort zu geben

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Einstellungsmessung Likert – Technik

• Konsistenz• Items weisen eine gemeinsame Dimension auf

• Gründe für Inkonsistenz • zufällige Messfehler

• systematische Verzerrungen durch einzelne Items

• mehrdimensionale Items (unterschiedliche Interpretationen)

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Einstellungsmessung Likert – Technik

• Konsistenztest • „Trennschärfekoeffizient“/„Item-Summenscore-Korrelation“ • Aussondierung geeigneter Items

• Berechnung der einzelnen Items mit dem Summenscore

• Voraussetzung: Mehrzahl der Items die Zieldimension im hohen Maße anspricht.

• Annahmen dieses Konsistenztests• In der Summe irrt man sich weniger als bei der Formulierung

von Einzelitems

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Pers A B C D Summenscore1 3 4 5 2 142 3 5 5 5 183 5 3 1 5 144 3 5 5 4 175 3 4 5 - -6 3 - 5 3 -7 2 5 5 4 168 4 5 5 5 199 5 5 5 4 19

10 1 1 5 5 12

Einstellungsmessung Likert – Technik Beispiel

Trennschärfe-korrelation

ADie Wirtschaft und die Technik werden in der Lage sein, die Umweltprobleme zu lösen. 0,39

B

Weiteres Wirtschaftswachstum ist die wichtigste Voraussetzung dafür, dass auch die Umweltprobleme gelöst werden. 0,46

CWenn wir so weitermachen wie bisher, steuern wir auf eine Umweltkatastrophe zu. 0,53

D ... ...E ... ...F ... ...

Item

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Gütekriterien der Messung

• Objektivität • Ausmaß der Unabhängigkeit der Ergebnisse vom Anwender des

Messinstrumentes

• Reliabilität• Maß für die Reproduzierbarkeit von Messergebnissen

• Validität • Grad der Genauigkeit des Messinstrumentes hinsichtlich der

zumessenden Variablen bzw. des Verhaltens

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Objektivität

• Ausmaß der Unabhängigkeit der Ergebnisse • Korrelationskoeffizient

• Durchführungsobjektivität

Niedrige Durchführungsobjektivität: unterschiedliche Interviewer lösen beim gleichen Befragten X jeweils ein anderes Antwortverhalten aus.

• Auswertungsobjektivität

Geringe Auswertungsobjektivität: unterschiedliche Messergebnisse, von zwei Auswerter A und B bei gleichem Antwortverhalten von X

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Objektivität Beispiel

• Durchführungsobjektivität

Durchführungsobjektivität von unterschiedliche Sympathieträger, unterschiedliches Naheverhältnissen, vom Thema abhängig.

• Auswertungsobjektivität

Schularbeiten von 2 Lehrern korrigieren lassen• Deutsch (geringe Auswertungsobjektivität)• Mathematik (hohe Auswertungsobjektivität)

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Reliabilität

• Maß für die Reproduzierbarkeit von Messergebnissen• Korrelationskoeffizienten

• Paralleltest-Methode (Paralleltest-Reliabilität)• Messung mit zwei vergleichbaren Messinstrumenten• Reliabilität nicht mit Validität verwechseln! (Zeitungsleser)

• Test-Retest-Methode (Test-Retest-Reliablilität)• Wiederholte Anwendung nach einem bestimmten Zeitintervall• Erfordert ein Paneldesign

• Methode der Testhalbierung („Split-half-Reliabilität“) • Aufsplitterung einer Itemsbatterie in zwei Paralleltests • Verkürzung führt zur Unterschätzung der Reliabilität

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Reliabilität

• Formel von Spearman und Brown • Unterschätzung des Reliabilitätskoeffizienten wird mit Hilfe

der Formel von Spearman und Brown korrigiert

21

21

12

ss

sss r

rr

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Reliabilität

• Formel von Spearman und Brown• Alternierende Items

S1 = B + D + F + H + J

S2 = C + E + G + I + K

• Korrelationskoeffizient = 0,66• Unterschätzung des Reliabilitätskoeffizienten wird mit Hilfe der

Formel von Spearman und Brown korrigiert

• Korrigierter Wert = 0,79

Beispiel

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Validität

• Definition • Grad der Genauigkeit, mit dem der Test diejenige

Verhaltensweise, die er messen soll, tatsächlich misst

• Arten der Validität• Inhaltsvalidität: Repräsentative Stichprobe der zu messenden Eigenschaft

• Kriteriumsvalidität: Korrelation der Resultate eines Messinstrument mit anderen empirisch relevanten Merkmalen (Außenkriterium)

• Unterscheidungsvalidität: parallel erhobenes Außenkriterium

• Vorhersagegevalidität: prognostiziertes Kriterium

• Konstruktvalidität: Prüfung zur Eignung von Messinstrumenten für die Entwicklung von Theorien

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Validität

• Inhaltsvalide Messung • Sammlung umweltrelevanter Aussagen in öffentlichen Diskussion mittels

einer Inhaltsanalyse und Ziehung einer Stichprobe aus diesem „Universum“

• „Expertenrating“: Expertenurteile bezüglich der Repräsentativität der Items als Hinweis auf die Inhaltsvalidität eines Messinstrumentes

• Kriteriumsvalidität• Übereinstimmungsvalidität

Zusammenhang zwischen Messwerten und Mitgliedschaft in Umweltorganisationen

• VorhersagevaliditätZusammenhang zwischen Messwerten und einer späteren Wahl von Umweltparteien (politischen Wahlverhaltens)

Beispiel

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Validität

• Konstruktvalidität• Brauchbarkeit von Messinstrumenten für die Entwicklung

von Theorien wird hiermit geprüft

• Das von einem Messinstrument erfasste Konstrukt soll einer empirischen Prüfung standhalten

• Multitrait-Multimethod-Matrix (M-M-Matrix)• stärker formalisiertes Verfahren der Konstruktvalidität

• Korrelationsanalysen

• Voraussetzung: Messung mindestens zwei hypothetische Konstrukte mit mindestens je zwei verschiedenen Methoden

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Validität

• Konstruktvalidität• „Konvergente Validität“

Korrelation zwischen den Messergebnissen verschiedener Methoden zur Erfassung des gleichen Konstrukts

• „Diskriminierende Validität“

Korrelation zwischen den Messergebnissen verschiedener Konstrukte mit der gleichen Methode

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Validität

MethodeKonstrukt U K U K

U 0,80K 0,40 0,78U 0,56 0,25 0,72K 0,28 0,50 0,34 0,70

Interview

Beobachtung

Interview Beobachtung

Beispiel

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Objektivität, Reliabilität, Validität

• Hierarchisches Verhältnis der drei Güterkriterien • Minimalvoraussetzungen

• Objektivität ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung der Reliabilität.

• Reliabilität ist wiederum eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung der Validität.

• Validität

Ziel ist die Konstruktion valider Messinstrumente

Erfüllung mindestens eines der Validitätskriterien

Ausmaß der Validität begrenzt durch Ausmaß der Reliabilität

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Testtheorie

• Klassische Testtheorie• Objektivität, Reliabilität und Validität

• Zusammenhang zwischen Messinstrumenten und theoretischen Konstrukten mittels mathematisch-statistischen Modells

• X = T + E Messwert X setzt sich aus T und E zusammen

• Probabilistische Testtheorie• Wahrscheinlichkeit, dass Items sich lösen lassen hängt ab vom

Schwierigkeitsgrad und von Fähigkeit der Person

• Intelligenztest

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Guttmann-Skalierung

• Erfasst Einstellungen zu einer Sache bzw. auch zu Personen (z.B. Umweltbewusstsein)

• Deterministisches, eindimensionales, ordinales Skalierungsmodell

• Anteil der Ja-Antworten nimmt von A – D ab

• Items haben eine unterschiedliche Intensität bzgl. der latenten Dimension „Umweltengagement“

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Beispiel: Umweltengagement

A: Haben Sie sich schon einmal in eine Unterschriftenliste eingetragen, bei der es um Umweltschutzprobleme ging?

B: Haben Sie schon einmal oder häufiger Geld für eine Umweltschutzaktion oder eine Umweltorganisation gespendet?

C: Sind Sie aktives oder passives Mitglied einer Umweltschutzorganisation oder einer Vereinigung, die Umweltschutzinteressen verfolgt?

D: Haben Sie schon einmal ein Treffen oder eine Veranstaltung einer Umweltschutzorganisation besucht?

58%

42%

17%

16%

JA

•„Je höher die Kosten des Verhaltens, desto geringer ist das Engagement.“

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Itemcharakteristik der Guttman-Skala

• Annahme: Person besitzt eine bestimmte Anschauung – Befragte stimmt allen Items zu, die eine weniger extreme Anschauung ausdrücken, als er selbst besitzt, extremere Items werden hingegen abgelehnt.

Wahrscheinlichkeit JA

Latente Eigenschaft T0

1

1 2 3 4

Aus der Itemcharakterisik folgt ein eindeutig bestimmbares ideales Antwortmuster !

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Antwortmatrix der Guttman-Skala

A B D D Skalenwert Position auf dem

latenten Kontinuum

0 0 0 0 0 T < τ11 0 0 0 1 τ1 ≤ T < τ21 1 0 0 2 τ2 ≤ T < τ31 1 1 0 3 τ3 ≤ T < τ41 1 1 1 4 τ4 ≤ T

•Zustimmung zu einem intensiveren Item, schließt Zustimmung zu schwächerem Item ein

•Skalenwert als Summe der gegebenen „Ja“ einer Person

•Person c mit Skalenwert von 3 hat höheres Umweltengagement als z.B. Person a (Skalenwert 0)

•Skalenwerte zeigen Rangordnung - ordinales Skalenniveau!

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Bedingungen für Guttman-Skala

• Beobachteten Antworten müssten theoretisch exakt mit erwartetem Antwortmuster übereinstimmen

• Abweichungen aufgrund Messfehler sind möglich (geringfügige Fehlerquote ist tolerabel) -„verbotene Antwortmuster“ sollten relativ selten sein

• Bei n Items dürfen n + 1 Antwortkombinationen auftreten

• Tatsächlich gibt es jedoch 2n = 16 Antworten

• Bei Bsp. Umweltengagement sind alle 16 Antwortmöglichkeiten vorhanden!

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Beispiel: Beobachtete Antwortmatrix

Nr. A B C D Skalenwert

Fehler Anzahl P.

Fehler

1 1 1 1 1 4 0 72 0

2 1 1 1 0 3 0 94 0

3 1 1 0 1 3 2 72 144

4 1 0 1 1 3 2 6 12

5 0 1 1 1 3 2 5 10

6 1 1 0 0 2 0 203 0

7 1 0 1 0 2 2 13 26

8 – 15 … … … … … … … …

Summe 1343 582

•„Je höher der Reproduzierbarkeitskoeffizient, desto besser die Skala.“

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Polaritätsprofil

• Beschreibung eines Objekt durch Darstellung charakteristischer Merkmalsmuster (Profil)

• Voraussetzungen: Auswahl geeigneter Eigenschaften

Vergleich mehrerer Objekte mittels Polaritätsprofil möglich (z.B. Profile zweier Politiker)

• Verwendung in Markt- und Wahlforschung, sowie Persönlichkeitspsychologie

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Beispiel: Umweltverhalten

• Untersuchung zum Image von Freilandeiern vs. Bodenhaltungseiern

• 7 Eigenschaften zur Beschreibung des Produktimages ausgewählt

• Für jede Eigenschaft wird ein Gegensatzpaar gebildet

• Ca. 50 Kunden werden um Einschätzung gebeten

• Mittelwerte der Einstufungen werden in die Polaritätsprofile eingetragen

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Bodenhaltungseier

tierfeindlich-3 -2 -1 0 1 2 3

tierfreundlich

Umwelts.-3 -2 -1 0 1 2 3

Umweltf.

ungesund-3 -2 -1 0 1 2 3

gesund

billig-3 -2 -1 0 1 2 3

teuer

Schlecht -3 -2 -1 0 1 2 3

Gut

Kurz haltbar-3 -2 -1 0 1 2 3

Lang haltbar

Schl. Qualität-3 -2 -1 0 1 2 3

Gute Qualität

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Freilandeier

tierfeindlich-3 -2 -1 0 1 2 3

tierfreundlich

Umwelts.-3 -2 -1 0 1 2 3

Umweltf.

ungesund-3 -2 -1 0 1 2 3

gesund

billig-3 -2 -1 0 1 2 3

teuer

Schlecht -3 -2 -1 0 1 2 3

Gut

Kurz haltbar-3 -2 -1 0 1 2 3

Lang haltbar

Schl. Qualität-3 -2 -1 0 1 2 3

Gute Qualität

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Meßtheorie

Mit welchen Regeln können Zahlen zu Objekten zugeordnet werden?

Beispiel:Peter liest Stephen King (k), lieber hätte er ein Scheckbuch (s), King zieht er Diekmann (d) vor, schlimmste Horror ist Einführung in die Statistik (e)Menge A: s, k, d, eMenge B: 1,2,3,4 φ(s)=4; φ(k)=3; …

(1) s, k, d, etc. ist die Menge der empirischen Objekte mit Relation (empirisches Relativ)

(2) Menge von Zahlen mit Relation (Numerisches Relativ)

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Messung

• Isomorphismus• Jedem Objekt (z.B. King) in der Menge A wird eindeutig eine Zahl

(z.B. 3) zugeordnet und jeder Zahl in B (z.B. 2) wird eindeutig ein Objekt (z.B. Diekmann) zugeordnet.

• Homomorphismus• Jedem Objekt in der Menge A kann eindeutig eine Zahl zugeordnet

werden (Stephen King wird die Zahl 3 zugeordnet).

• Definition:• Messung liegt vor, wenn ein Isomorphismus oder Homomorphismus

zwischen einem empirischen und einem numerischen Relativ existiert.

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Repräsentation, Eindeutigkeit und …

• Repräsentation• z.B. beim Homomorphismus wird ein Objekt durch eine Zahl

„repräsentiert“ (King wird repräsentiert durch die Zahl 3)

• Bedingungen (Axiome) für diesen H. müssen gefunden werden → Repräsentationsproblem

• Eindeutigkeitsproblem• Bezeichnet welche Transformationen möglich sind, sodass die

Rangordnung der Messwerte bewahrt wird. (z.B. kann ich statt 4,3,2,1 auch 10,7,5,1 beim Bücherbeispiel verwenden)

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Bedeutsamkeit

• Bedeutsamkeit• Aussage gilt als bedeutsam, wenn der Wahrheitswert nach den

Transformationen unverändert bleibt.

• Welche Aussagen und Schlussfolgerungen, Rechenoperationen sind bei einer bestimmten Art der Messung zulässig oder unzulässig?

• Beispiel:• Dienstag 18°C, Mittwoch 27°C

Aussage 1: Mittwoch ist es wärmer als DienstagAussage 2: Mittwoch ist es um 50% wärmer als Dienstag (bedeutsam???)

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Skalenniveaus

• Skalen

• Zu jeder Messstruktur gibt es ein Repräsentationstheorem (Bedingungen) und ein Eindeutigkeitstheorem (Klasse der möglichen Transformationen = Skalenniveau)

• Für jedes Skalenniveau lässt sich angeben, welche Aussagen und Rechenoperationen zulässig sind

• Verschiedene Skalen

• Nominalskala (unterstes Messniveau)

• Ordinalskala

• Intervallskala

• Ratioskala

• Absolutskala (höchstes Messniveau)

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Nominalskala

• Klassifikation von Objekten nach der Relation Gleichheit oder Verschiedenheit

• Zuordnung nach Geschlecht (m/w), Arten von Freizeitaktivitäten, Religionszugehörigkeit, Haarfarbe, etc.

• Aussagen: gleich oder verschieden

• Jede Äquivalenzklasse kann mit einer Zahl kodiert werden (Männer = 0, Frauen = 1 oder Männer = 5, Frauen =10)

• Transformation: Ein-eindeutige Transformationen der zugewiesenen Zahlen sind möglich, auch Männer = 5 und Frauen = 10 bedeutet Verschiedenheit, Wichtig bleibt nur Unterscheidbarkeit!

• Einziger sinnvoller „Mittelwert“ ist der Modalwert!

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Ordinalskala

• Eine Rangordnung der Objekte bzgl. einer Eigenschaft wird vorausgesetzt (Rangskala)

• Schulnoten (1 besser als 2 besser als 3 etc.), Einkommen (hoch > mittel > niedrig), Dienstgrad (General > Oberst > Gefreiter)

• Aussagen: größer, kleiner oder gleich

• Transformation: Positive monotone Transformationen sind möglich (Rangordnung der Skalenwerte muss bewahrt werden)

• Mittelwert ist der Median

• Abstände zwischen den Skalenwerten sind nicht sinnvoll interpretierbar!

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Intervallskala

• Aussage über die Rangordnung der Messwerte ist möglich, zusätzlich informieren die Skalenwerte auch über die Abstände (Intervalle) zw. den Messwerten

• Temperatur in C° oder °F, Zeitpunkte, Metrische Maße, Intelligenztests, etc.

• Aussagen: Vergleichbarkeit von Differenzen

• Nullpunkt und Skaleneinheit kann willkürlich festgelegt werden

• Transformation: positive lineare

• Prozentuale Zuwächse oder Verhältnisse von Skalenwerten sind nicht zulässig (Bsp. Temperatur, IQ)

• Berechnung arithmetischer Mittelwerte hingegen zulässig

• Bsp: Peter IQ 110, Max IQ 100, Peter ist um 10% klüger als Max – nicht zulässig

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Ratioskala

• Verfügen über natürlichen Nullpunkt• Temperatur in Kelvin (absoluter Nullpunkt), Einkommen und

Vermögen (Nullpunkt = Besitzlosigkeit) etc.

• Aussagen: Aussagen über Verhältnisse, prozentuale Vergleiche

• Transformation: positiv proportionale (Freiheit in der Wahl der Skaleneinheit)

• Aussagen über Verhältnisse sind zulässig

• Geometrische Mittelwerte können berechnet werden

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Absolutskala

• Eindeutig festgelegt, nicht einmal Wahl der Skaleneinheit ist frei wählbar

• Wahrscheinlichkeitswerte und Häufigkeiten, z.B. Anzahl von Demonstrationsteilnehmern, Mitgliederzahl in einer Gewerkschaft, Anzahl kriegerischer Konflikte in einem Jahr, etc.

• Transformation: nicht möglich

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Zusammenfassend zu Skalenniveaus

• Zahl der zulässigen Transformationen wird eingeschränkt mit steigendem Messniveau (von Nominal- bis zur Absolutskala)

• Umfang der Menge zulässiger Rechenoperationen und erlaubter Aussagen wächst mit dem Skalenniveau

• Statistische Kennziffern, die auf niedrigem Niveau sinnvoll berechenbar sind, können immer auch auf höherem Niveau berechnet werden

• Informationsgehalt der Messhypothesen (Aussagen) steigt mit dem Skalenniveau

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Hinweise und praktische Tipps

• Auswahl des Meßverfahrens• Mehrdimensionale vor eindimensionalen Verfahren

• Probabilistische vor deterministischen Verfahren

• Messungen auf Basis eines Repräsentationstheorems vor Messungen ohne Prüfung der Skalenvoraussetzungen

• Möglichst hohes Skalenniveau

• Abhängig von• Art der Daten, Arbeitsaufwand

• Untersuchungsziele

• Zu untersuchende Eigenschaft

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Hinweise und praktische Tipps 2

• Skalenniveau• Vom Skalenniveau der Variablen und Indizes hängt ab, welche

statistischen Analyseverfahren später verwendet werden können!

• Einstellungsskalen• Einstellungsskalen müssen nicht jeweils neu konstruiert werden,

eine Vielzahl existiert bereits, es spricht nichts dagegen diese zu verwenden, anstatt das Rad neu zu erfinden!