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Matrizen Katja Markert Institut f ¤ ur Computerlinguistik Uni Heidelberg [email protected] May 21, 2019
Matrizen
Katja Markert
Institut fur ComputerlinguistikUni Heidelberg
markertcluni-heidelbergde
May 21 2019
Bisher und heute
1 Bisher Sparse Embeddings2 Probleme Zuviel Rauschen versteckte Ahnlichkeiten3 Eine Moglichkeit zum Erreichen von dichten Vektoren ist mittels
Matrizenzerlegungen (Singular Value Decomposition)4 Jetzt Hintergrund zu den mathematischen Begriffen und
Methoden die fur Matrizenzerlegung notwendig ist5 Insbesondere Matrizen
2
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
3
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
4
Matrixdefinition (reelle Matrizen)
Eine reelle mtimesn Matrix A ist ein rechteckiges Schema aus m Zeilenund n Spalten mit reellen Zahlen als EintragenElementen
a11 a12 middot middot middot a1n
a21 a22 middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 am2 middot middot middot amn
mit aij isin R fuer i isin 1 m j isin 1 nWir nennen die i-te Zeile auch den i-ten Zeilenvektor
A(i) = (ai1 ain)
Ebenso die j-te Spalte den j-ten Spaltenvektor
A(j) = (a1j amj)
Man schreibt auch A = (aij)
Begriffe Zeilenindex Spaltenindex Hauptdiagonale5
Einige Sonderfalle
Jeder n-dimensionale Vektor kann als ntimes1 bzw 1timesn Matrixaufgefasst werden
Die Nullmatrix hat nur Nullen als Eintrage
Eine Matrix heisst quadratisch wenn m = n (gleiche Zeilen undSpaltenanzahl)
6
Diagonalmatrizen Einheitsmatrix
Eine ntimesn Matrix D = (dij) heisst Diagonalmatrix wenn gilt
foralli j isin 1 n i 6= j =rArr dij = 0
d11 0 middot middot middot middot middot middot 0
0 d22 0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 dnn
Die ntimesn Einheitsmatrix ist die Diagonalmatrix E = (eij) miteii = 1foralli isin 1 n
1 0 middot middot middot middot middot middot 0
0
0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 1
7
Zwei kurze Fragen
Ist die Nullmatrix nach Definition eine Diagonalmatrix
Wie kann man die Definition einer Diagonalmatrix aufnicht-quadratische Matrizen ausdehnen
8
Matrizen als Vektorraum
Gegeben seien zwei reelle mtimesn Matrizen A und B Dann definiertman die Addition der beiden Matrizen komponentenweise mit
(A+B)ij = aij +bij
sowie die Skalarmultiplikation ebenfalls komponentenweise fur jedesα isin R
(α middotA)ij = α middotaij
9
Kurzubung
Zeigen Sie Gegeben zwei naturliche Zahlen m und n Dann istdie Menge der reellen mtimesn-Matrizen
Rmtimesn = (aij)|aij isin R
ein reeller Vektorraum (Matrizenraum) unter derkomponentenweise Addition und komponentenweiserSkalarmultiplikation
Warum gelten Kommutativ Assoziativ und DistributivgesetzeWas ist das neutrale Element (bzgl Matrixaddition)Was ist das additiv inverse Element zu einer gegebenen Matrix
Was konnte eine Basis des Matrizenraums sein
Es gilt Die Menge der Diagonalmatrizen ist ein Unterraum desMatrizenraums Rntimesn
10
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
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Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
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Bisher und heute
1 Bisher Sparse Embeddings2 Probleme Zuviel Rauschen versteckte Ahnlichkeiten3 Eine Moglichkeit zum Erreichen von dichten Vektoren ist mittels
Matrizenzerlegungen (Singular Value Decomposition)4 Jetzt Hintergrund zu den mathematischen Begriffen und
Methoden die fur Matrizenzerlegung notwendig ist5 Insbesondere Matrizen
2
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
3
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
4
Matrixdefinition (reelle Matrizen)
Eine reelle mtimesn Matrix A ist ein rechteckiges Schema aus m Zeilenund n Spalten mit reellen Zahlen als EintragenElementen
a11 a12 middot middot middot a1n
a21 a22 middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 am2 middot middot middot amn
mit aij isin R fuer i isin 1 m j isin 1 nWir nennen die i-te Zeile auch den i-ten Zeilenvektor
A(i) = (ai1 ain)
Ebenso die j-te Spalte den j-ten Spaltenvektor
A(j) = (a1j amj)
Man schreibt auch A = (aij)
Begriffe Zeilenindex Spaltenindex Hauptdiagonale5
Einige Sonderfalle
Jeder n-dimensionale Vektor kann als ntimes1 bzw 1timesn Matrixaufgefasst werden
Die Nullmatrix hat nur Nullen als Eintrage
Eine Matrix heisst quadratisch wenn m = n (gleiche Zeilen undSpaltenanzahl)
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Diagonalmatrizen Einheitsmatrix
Eine ntimesn Matrix D = (dij) heisst Diagonalmatrix wenn gilt
foralli j isin 1 n i 6= j =rArr dij = 0
d11 0 middot middot middot middot middot middot 0
0 d22 0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 dnn
Die ntimesn Einheitsmatrix ist die Diagonalmatrix E = (eij) miteii = 1foralli isin 1 n
1 0 middot middot middot middot middot middot 0
0
0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 1
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Zwei kurze Fragen
Ist die Nullmatrix nach Definition eine Diagonalmatrix
Wie kann man die Definition einer Diagonalmatrix aufnicht-quadratische Matrizen ausdehnen
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Matrizen als Vektorraum
Gegeben seien zwei reelle mtimesn Matrizen A und B Dann definiertman die Addition der beiden Matrizen komponentenweise mit
(A+B)ij = aij +bij
sowie die Skalarmultiplikation ebenfalls komponentenweise fur jedesα isin R
(α middotA)ij = α middotaij
9
Kurzubung
Zeigen Sie Gegeben zwei naturliche Zahlen m und n Dann istdie Menge der reellen mtimesn-Matrizen
Rmtimesn = (aij)|aij isin R
ein reeller Vektorraum (Matrizenraum) unter derkomponentenweise Addition und komponentenweiserSkalarmultiplikation
Warum gelten Kommutativ Assoziativ und DistributivgesetzeWas ist das neutrale Element (bzgl Matrixaddition)Was ist das additiv inverse Element zu einer gegebenen Matrix
Was konnte eine Basis des Matrizenraums sein
Es gilt Die Menge der Diagonalmatrizen ist ein Unterraum desMatrizenraums Rntimesn
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Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
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Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
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Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
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Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
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Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
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Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
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Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
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Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
3
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
4
Matrixdefinition (reelle Matrizen)
Eine reelle mtimesn Matrix A ist ein rechteckiges Schema aus m Zeilenund n Spalten mit reellen Zahlen als EintragenElementen
a11 a12 middot middot middot a1n
a21 a22 middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 am2 middot middot middot amn
mit aij isin R fuer i isin 1 m j isin 1 nWir nennen die i-te Zeile auch den i-ten Zeilenvektor
A(i) = (ai1 ain)
Ebenso die j-te Spalte den j-ten Spaltenvektor
A(j) = (a1j amj)
Man schreibt auch A = (aij)
Begriffe Zeilenindex Spaltenindex Hauptdiagonale5
Einige Sonderfalle
Jeder n-dimensionale Vektor kann als ntimes1 bzw 1timesn Matrixaufgefasst werden
Die Nullmatrix hat nur Nullen als Eintrage
Eine Matrix heisst quadratisch wenn m = n (gleiche Zeilen undSpaltenanzahl)
6
Diagonalmatrizen Einheitsmatrix
Eine ntimesn Matrix D = (dij) heisst Diagonalmatrix wenn gilt
foralli j isin 1 n i 6= j =rArr dij = 0
d11 0 middot middot middot middot middot middot 0
0 d22 0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 dnn
Die ntimesn Einheitsmatrix ist die Diagonalmatrix E = (eij) miteii = 1foralli isin 1 n
1 0 middot middot middot middot middot middot 0
0
0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 1
7
Zwei kurze Fragen
Ist die Nullmatrix nach Definition eine Diagonalmatrix
Wie kann man die Definition einer Diagonalmatrix aufnicht-quadratische Matrizen ausdehnen
8
Matrizen als Vektorraum
Gegeben seien zwei reelle mtimesn Matrizen A und B Dann definiertman die Addition der beiden Matrizen komponentenweise mit
(A+B)ij = aij +bij
sowie die Skalarmultiplikation ebenfalls komponentenweise fur jedesα isin R
(α middotA)ij = α middotaij
9
Kurzubung
Zeigen Sie Gegeben zwei naturliche Zahlen m und n Dann istdie Menge der reellen mtimesn-Matrizen
Rmtimesn = (aij)|aij isin R
ein reeller Vektorraum (Matrizenraum) unter derkomponentenweise Addition und komponentenweiserSkalarmultiplikation
Warum gelten Kommutativ Assoziativ und DistributivgesetzeWas ist das neutrale Element (bzgl Matrixaddition)Was ist das additiv inverse Element zu einer gegebenen Matrix
Was konnte eine Basis des Matrizenraums sein
Es gilt Die Menge der Diagonalmatrizen ist ein Unterraum desMatrizenraums Rntimesn
10
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
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Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
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Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
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Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
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Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
4
Matrixdefinition (reelle Matrizen)
Eine reelle mtimesn Matrix A ist ein rechteckiges Schema aus m Zeilenund n Spalten mit reellen Zahlen als EintragenElementen
a11 a12 middot middot middot a1n
a21 a22 middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 am2 middot middot middot amn
mit aij isin R fuer i isin 1 m j isin 1 nWir nennen die i-te Zeile auch den i-ten Zeilenvektor
A(i) = (ai1 ain)
Ebenso die j-te Spalte den j-ten Spaltenvektor
A(j) = (a1j amj)
Man schreibt auch A = (aij)
Begriffe Zeilenindex Spaltenindex Hauptdiagonale5
Einige Sonderfalle
Jeder n-dimensionale Vektor kann als ntimes1 bzw 1timesn Matrixaufgefasst werden
Die Nullmatrix hat nur Nullen als Eintrage
Eine Matrix heisst quadratisch wenn m = n (gleiche Zeilen undSpaltenanzahl)
6
Diagonalmatrizen Einheitsmatrix
Eine ntimesn Matrix D = (dij) heisst Diagonalmatrix wenn gilt
foralli j isin 1 n i 6= j =rArr dij = 0
d11 0 middot middot middot middot middot middot 0
0 d22 0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 dnn
Die ntimesn Einheitsmatrix ist die Diagonalmatrix E = (eij) miteii = 1foralli isin 1 n
1 0 middot middot middot middot middot middot 0
0
0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 1
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Zwei kurze Fragen
Ist die Nullmatrix nach Definition eine Diagonalmatrix
Wie kann man die Definition einer Diagonalmatrix aufnicht-quadratische Matrizen ausdehnen
8
Matrizen als Vektorraum
Gegeben seien zwei reelle mtimesn Matrizen A und B Dann definiertman die Addition der beiden Matrizen komponentenweise mit
(A+B)ij = aij +bij
sowie die Skalarmultiplikation ebenfalls komponentenweise fur jedesα isin R
(α middotA)ij = α middotaij
9
Kurzubung
Zeigen Sie Gegeben zwei naturliche Zahlen m und n Dann istdie Menge der reellen mtimesn-Matrizen
Rmtimesn = (aij)|aij isin R
ein reeller Vektorraum (Matrizenraum) unter derkomponentenweise Addition und komponentenweiserSkalarmultiplikation
Warum gelten Kommutativ Assoziativ und DistributivgesetzeWas ist das neutrale Element (bzgl Matrixaddition)Was ist das additiv inverse Element zu einer gegebenen Matrix
Was konnte eine Basis des Matrizenraums sein
Es gilt Die Menge der Diagonalmatrizen ist ein Unterraum desMatrizenraums Rntimesn
10
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
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Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
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Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
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Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
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Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
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Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
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Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
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Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
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Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
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Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
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Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
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Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
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Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
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Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Matrixdefinition (reelle Matrizen)
Eine reelle mtimesn Matrix A ist ein rechteckiges Schema aus m Zeilenund n Spalten mit reellen Zahlen als EintragenElementen
a11 a12 middot middot middot a1n
a21 a22 middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 am2 middot middot middot amn
mit aij isin R fuer i isin 1 m j isin 1 nWir nennen die i-te Zeile auch den i-ten Zeilenvektor
A(i) = (ai1 ain)
Ebenso die j-te Spalte den j-ten Spaltenvektor
A(j) = (a1j amj)
Man schreibt auch A = (aij)
Begriffe Zeilenindex Spaltenindex Hauptdiagonale5
Einige Sonderfalle
Jeder n-dimensionale Vektor kann als ntimes1 bzw 1timesn Matrixaufgefasst werden
Die Nullmatrix hat nur Nullen als Eintrage
Eine Matrix heisst quadratisch wenn m = n (gleiche Zeilen undSpaltenanzahl)
6
Diagonalmatrizen Einheitsmatrix
Eine ntimesn Matrix D = (dij) heisst Diagonalmatrix wenn gilt
foralli j isin 1 n i 6= j =rArr dij = 0
d11 0 middot middot middot middot middot middot 0
0 d22 0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 dnn
Die ntimesn Einheitsmatrix ist die Diagonalmatrix E = (eij) miteii = 1foralli isin 1 n
1 0 middot middot middot middot middot middot 0
0
0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 1
7
Zwei kurze Fragen
Ist die Nullmatrix nach Definition eine Diagonalmatrix
Wie kann man die Definition einer Diagonalmatrix aufnicht-quadratische Matrizen ausdehnen
8
Matrizen als Vektorraum
Gegeben seien zwei reelle mtimesn Matrizen A und B Dann definiertman die Addition der beiden Matrizen komponentenweise mit
(A+B)ij = aij +bij
sowie die Skalarmultiplikation ebenfalls komponentenweise fur jedesα isin R
(α middotA)ij = α middotaij
9
Kurzubung
Zeigen Sie Gegeben zwei naturliche Zahlen m und n Dann istdie Menge der reellen mtimesn-Matrizen
Rmtimesn = (aij)|aij isin R
ein reeller Vektorraum (Matrizenraum) unter derkomponentenweise Addition und komponentenweiserSkalarmultiplikation
Warum gelten Kommutativ Assoziativ und DistributivgesetzeWas ist das neutrale Element (bzgl Matrixaddition)Was ist das additiv inverse Element zu einer gegebenen Matrix
Was konnte eine Basis des Matrizenraums sein
Es gilt Die Menge der Diagonalmatrizen ist ein Unterraum desMatrizenraums Rntimesn
10
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Einige Sonderfalle
Jeder n-dimensionale Vektor kann als ntimes1 bzw 1timesn Matrixaufgefasst werden
Die Nullmatrix hat nur Nullen als Eintrage
Eine Matrix heisst quadratisch wenn m = n (gleiche Zeilen undSpaltenanzahl)
6
Diagonalmatrizen Einheitsmatrix
Eine ntimesn Matrix D = (dij) heisst Diagonalmatrix wenn gilt
foralli j isin 1 n i 6= j =rArr dij = 0
d11 0 middot middot middot middot middot middot 0
0 d22 0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 dnn
Die ntimesn Einheitsmatrix ist die Diagonalmatrix E = (eij) miteii = 1foralli isin 1 n
1 0 middot middot middot middot middot middot 0
0
0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 1
7
Zwei kurze Fragen
Ist die Nullmatrix nach Definition eine Diagonalmatrix
Wie kann man die Definition einer Diagonalmatrix aufnicht-quadratische Matrizen ausdehnen
8
Matrizen als Vektorraum
Gegeben seien zwei reelle mtimesn Matrizen A und B Dann definiertman die Addition der beiden Matrizen komponentenweise mit
(A+B)ij = aij +bij
sowie die Skalarmultiplikation ebenfalls komponentenweise fur jedesα isin R
(α middotA)ij = α middotaij
9
Kurzubung
Zeigen Sie Gegeben zwei naturliche Zahlen m und n Dann istdie Menge der reellen mtimesn-Matrizen
Rmtimesn = (aij)|aij isin R
ein reeller Vektorraum (Matrizenraum) unter derkomponentenweise Addition und komponentenweiserSkalarmultiplikation
Warum gelten Kommutativ Assoziativ und DistributivgesetzeWas ist das neutrale Element (bzgl Matrixaddition)Was ist das additiv inverse Element zu einer gegebenen Matrix
Was konnte eine Basis des Matrizenraums sein
Es gilt Die Menge der Diagonalmatrizen ist ein Unterraum desMatrizenraums Rntimesn
10
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
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Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Diagonalmatrizen Einheitsmatrix
Eine ntimesn Matrix D = (dij) heisst Diagonalmatrix wenn gilt
foralli j isin 1 n i 6= j =rArr dij = 0
d11 0 middot middot middot middot middot middot 0
0 d22 0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 dnn
Die ntimesn Einheitsmatrix ist die Diagonalmatrix E = (eij) miteii = 1foralli isin 1 n
1 0 middot middot middot middot middot middot 0
0
0
0
0
0 middot middot middot middot middot middot 0 1
7
Zwei kurze Fragen
Ist die Nullmatrix nach Definition eine Diagonalmatrix
Wie kann man die Definition einer Diagonalmatrix aufnicht-quadratische Matrizen ausdehnen
8
Matrizen als Vektorraum
Gegeben seien zwei reelle mtimesn Matrizen A und B Dann definiertman die Addition der beiden Matrizen komponentenweise mit
(A+B)ij = aij +bij
sowie die Skalarmultiplikation ebenfalls komponentenweise fur jedesα isin R
(α middotA)ij = α middotaij
9
Kurzubung
Zeigen Sie Gegeben zwei naturliche Zahlen m und n Dann istdie Menge der reellen mtimesn-Matrizen
Rmtimesn = (aij)|aij isin R
ein reeller Vektorraum (Matrizenraum) unter derkomponentenweise Addition und komponentenweiserSkalarmultiplikation
Warum gelten Kommutativ Assoziativ und DistributivgesetzeWas ist das neutrale Element (bzgl Matrixaddition)Was ist das additiv inverse Element zu einer gegebenen Matrix
Was konnte eine Basis des Matrizenraums sein
Es gilt Die Menge der Diagonalmatrizen ist ein Unterraum desMatrizenraums Rntimesn
10
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Zwei kurze Fragen
Ist die Nullmatrix nach Definition eine Diagonalmatrix
Wie kann man die Definition einer Diagonalmatrix aufnicht-quadratische Matrizen ausdehnen
8
Matrizen als Vektorraum
Gegeben seien zwei reelle mtimesn Matrizen A und B Dann definiertman die Addition der beiden Matrizen komponentenweise mit
(A+B)ij = aij +bij
sowie die Skalarmultiplikation ebenfalls komponentenweise fur jedesα isin R
(α middotA)ij = α middotaij
9
Kurzubung
Zeigen Sie Gegeben zwei naturliche Zahlen m und n Dann istdie Menge der reellen mtimesn-Matrizen
Rmtimesn = (aij)|aij isin R
ein reeller Vektorraum (Matrizenraum) unter derkomponentenweise Addition und komponentenweiserSkalarmultiplikation
Warum gelten Kommutativ Assoziativ und DistributivgesetzeWas ist das neutrale Element (bzgl Matrixaddition)Was ist das additiv inverse Element zu einer gegebenen Matrix
Was konnte eine Basis des Matrizenraums sein
Es gilt Die Menge der Diagonalmatrizen ist ein Unterraum desMatrizenraums Rntimesn
10
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
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Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Matrizen als Vektorraum
Gegeben seien zwei reelle mtimesn Matrizen A und B Dann definiertman die Addition der beiden Matrizen komponentenweise mit
(A+B)ij = aij +bij
sowie die Skalarmultiplikation ebenfalls komponentenweise fur jedesα isin R
(α middotA)ij = α middotaij
9
Kurzubung
Zeigen Sie Gegeben zwei naturliche Zahlen m und n Dann istdie Menge der reellen mtimesn-Matrizen
Rmtimesn = (aij)|aij isin R
ein reeller Vektorraum (Matrizenraum) unter derkomponentenweise Addition und komponentenweiserSkalarmultiplikation
Warum gelten Kommutativ Assoziativ und DistributivgesetzeWas ist das neutrale Element (bzgl Matrixaddition)Was ist das additiv inverse Element zu einer gegebenen Matrix
Was konnte eine Basis des Matrizenraums sein
Es gilt Die Menge der Diagonalmatrizen ist ein Unterraum desMatrizenraums Rntimesn
10
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Kurzubung
Zeigen Sie Gegeben zwei naturliche Zahlen m und n Dann istdie Menge der reellen mtimesn-Matrizen
Rmtimesn = (aij)|aij isin R
ein reeller Vektorraum (Matrizenraum) unter derkomponentenweise Addition und komponentenweiserSkalarmultiplikation
Warum gelten Kommutativ Assoziativ und DistributivgesetzeWas ist das neutrale Element (bzgl Matrixaddition)Was ist das additiv inverse Element zu einer gegebenen Matrix
Was konnte eine Basis des Matrizenraums sein
Es gilt Die Menge der Diagonalmatrizen ist ein Unterraum desMatrizenraums Rntimesn
10
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Normen im Matrizenraum Frobeniusnorm
Auf diesem Vektorraum konnen wir nun auch Normen definieren ZumBeispiel das ldquoAquivalentrdquo zur euklidischen Norm die sogenannteFrobeniusnorm
Frobeniusnorm
Gegeben sei eine Matrix A = (aij) isin Rmtimesn Dann ist dieFrobeniusnorm definiert als
AF =
radicm
sumi=1
n
sumj=1|aij |2
11
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Ubungsuberlegungen fur zu Hause
Warum kann man einfach sehen dass die Frobeniusnorm eineNorm ist
Berechnen Sie die Frobeniusnorm der Matrix 1 2 1minus1 2 minus30 1 2
Wie ist dann die Metrik die von der Frobeniusnorm induziertwird
12
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
13
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Multiplikation Matrix mit Vektor
Wir definieren nun die Multiplikation einer mtimesn Matrix A = (aij) miteinem (Spalten)Vektor~v der Dimension n Heraus kommt ein Vektor ~v prime
der Dimension m
A~v =
a11 middot middot middot middot middot middot a1n
a21 middot middot middot middot middot middot a2n
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middotam1 middot middot middot middot middot middot amn
middot
v1
v2
vn
=
a11v1 +a12v2 + middot middot middot+a1nvn
a21v |1+a22v2 + middot middot middot+a2nvn
middot middot middotam1v1 +am2v2 + middot middot middot+amnvn
bzw
A~v =
〈A(1)v〉〈A(2)v〉
〈Am)v〉
= ~v prime isin Rm
Merke als Reihenvektor mal SpaltenvektorDimensionsubereinstimmungen
14
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1minus54
=
(3 middot1+0 middot (minus5)+4 middot41 middot1+3 middot (minus5)+1 middot4
)=
(19minus10
)
15
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Matrizen als lineare Abbildung
Mit der Multiplikation durch eine mtimesn-Matrix A kann ein Vektor v ausdem Rn in einen im Raum Rm uberfuhrt werden mittels einer linearenKombination aus Reihenvektoren in A und v Die Matrix definiert einelineare Abbildung
Bei quadratischen Matrizen bleiben wir im gleichen Raum
BeispielWas macht die Matrix (
0 minus11 0
)Drehung um 90 Grad
16
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Eigenwerte und Eigenvektoren
Idee Bei manchen Vektoren wird durch manche quadratische ()Matrizen die Richtung nicht geandert sie werden ldquoschlimmstenfallsrdquoskaliert
Eigenvektor
Gegeben sei eine quadratische Matrix A isin Rntimesn Dann heisst einSpaltenvektor~v isin Rn mit~v 6=~0 ein (rechter) Eigenvektor von Awenn es ein λ isin R gibt mit
A middot~v = λ middot~v
λ heisst dann ein Eigenwert
17
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Beispiel zur Eigenwertbestimmung
Gegeben sei die Matrix A (6 minus14 0
)Fur einen Eigenvektor
(xy
)muss gelten(
6 minus24 0
)(xy
)=
(λxλy
)fur ein λ isin RAlso(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
18
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
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Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Beispiel continued
(i) 6xminus2y = λx sowie (ii) 4x = λy
Aus (ii) in (i) folgt damit 64 λyminus2y = λ2y
4 und damit 6λminus8 = λ2 bzwλ2minus6λ+8 = 0
Nullstellenbestimmung ergibt es gibt zwei Eigenwerte 2 und 4
Eigenvektoren zu λ = 24x = 2y sowie 6xminus2y = 2x rarr alle Vektoren mit 2x = y
Eigenvektoren zu λ = 44x = 4y sowie 6xminus2y = 4x rarr alle Vektoren mit x = y
19
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Fragen und Beispiele
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren zur Nullmatrix
Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren der Einheitsmatrix
Was sind die Eigenvektoren einer beliebigen Diagonalmatrix
Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren unserDrehungsmatrix (
0 minus11 0
)
20
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Eigenschaften
Eine Matrix muss keine Eigenwerte haben (siehe auchNullstellenbestimmung von Polynomen)
Eine ntimesn Matrix kann hochstens n Eigenwerte haben
Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Eigenvektoren haben
Sind λ1λ2 λr verschiedene Eigenwerte der ntimesn Matrix Amit zugehorigen Eigenvektoren x1x2 xr so sind die Vektorenx1x2 xr linear unabhangig
Verfahren zur Eigenwertbestimmung Gausssche EliminationDeterminanten
21
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation ist eine binare Verknupfung zweierMatrizen
middot RltimesmtimesRmtimesnrarr R ltimesn (AB) 7rarr C = A middotB
die zwei Matrizen A = (aij) und B = (bjk) eine weitere MatrixC = (cik) zuordnet Hierbei ist definiert
cik =m
sumj=1
aij middotbjk
i-te Zeile mal j-te Spalte
22
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Beispiel
(3 0 41 3 1
) 1 1 0 minus4minus5 2 3 minus14 0 0 1
=
(19 3 0 minus8minus10 7 9 minus6
)
23
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Bemerkungen
Bild von Quartl - Eigenes Werk CC BY-SA 30
httpscommonswikimediaorgwindexphpcurid=27634996
Intuition Wir fuhren zwei Abbildungen hintereinander ausBeispiel Drehung plus Spiegelung = DrehspiegelungBesteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite nuraus einer Spalte so haben wir im Endeffekt das Skalarproduktzweier VektorenMatrix mal Vektor ist ein Spezialfall der Matrixmultiplikation
24
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Matrixmultiplikation Eigenschaften
Nicht kommutativ Im Allgemeinen A middotB 6= B middotAAber assoziativ (A middotB) middotC = A middot (B middotC)
Die Multiplikation der quadratischen Matrix A mit derEinheitsmatrix ergibt wieder A
Diagonalmatrix mal Diagonalmatrix ergibt wieder Diagonalmatrix
25
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Zwischenfazit
Matrizenraum Vektorraum mit komponentenweiser Addition undkomponentenweiser Skalarmultiplikation
Frobeniusnorm
Eine mtimesn Matrix stellt eine lineare Abbildung von Rnrarr Rm dar
Matrix-Vektor-Multiplikation fuhrt diese Abbildung aus
Eigenvektoren werden von einer quadratischen Abbildung nurskaliert
Matrizenmultiplikation ist die Verknupfung zweier Abbildungen
26
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
Am Donnerstag SVD praktisch im Pool
36
Ubersicht
1 Matrizen
2 Matrizen als lineare Abbildung
3 Transposition Rang Orthonormalitat
27
Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung furStudienanfanger
Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
SVD Tutorial (ohne vollstandigen Hintergrund) Kirk Baker(2005) Singular Value Decomposition Tutorialhttpsdatajobscomdata-science-repoSVD-Tutorial-[Kirk-Baker]pdf
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Rang einer mtimesn Matrix
Die Anzahl der linear unabhangigen Spaltenvektoren einer Matrix Anennt man den Spaltenrang von A
Die Anzahl der linear unabhangigen Zeilenvektoren einer Matrix Anennt man den Zeilenrang von A
Die Matrix
A =
(1 1 0 2minus1 minus1 0 minus2
)hat Spaltenrang 1 Sie hat auch Zeilenrang 1
Es gilt immer (ohne Beweis) Zeilenrang = Spaltenrang = Rang unddamit Rang(A)leminmn
28
Rang einer ntimesn Matrix
Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
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Eine quadratische Matrix ntimesn A hat genau dann den vollen Rang nwenn keine ihrer Eigenwerte Null ist (da dann alle Vektoren linearunabhangig)
Folgt direkt aus der Definition von linearer Unabhangigkeit
29
Transposition
Die Transponierte einer mtimesn Matrix A ist die ntimesm Matrix AT beider die Zeilen und Spalten von A vertauscht wurden 1 4
8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
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Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
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1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
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8 minus2minus3 5
T
=
(1 8 minus34 minus2 5
)es gilt (AT )T = A
30
Eigenschaften
Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
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Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
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Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
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Gegeben sei die mtimesn Matrix A sowie B eine ntimes l Matrix
Es gilt (A middotB)T = BT middotAT
Der Rang von AT ist der Rang von A
Die Frobeniusnorm von AT ist die Frobeniusnorm von A
Ohne Beweis Ist A quadratisch dann hat AT die gleichenEigenwerte wie A Die Eigenvektoren mussen aber nicht gleichsein
Ohne Beweis Die Matrix A middotAT ist eine quadratische mtimesmMatrix mit nicht-negativen Eigenwerten Die Matrix AT middotA einequadratische ntimesn Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten Diepositiven (nicht-Null) Eigenwerte der beiden Matrizen sind gleich
31
Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
35
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Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
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Orthonormalmatrizen
Eine Orthonormalmatrix ist eine quadratische Matrix deren Zeilen(Spalten) paarweise orthogonale Einheitsvektoren sind
Beispiel (0 minus11 0
)oder [
cosθ minussinθ
sinθ cosθ
]
32
Orthonormalmatrizen Alternativdefinition
Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
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1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
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Gegeben quadratische Orthonormalmatrix A
1 Da damit zwei Spaltenvektoren aufeinander senkrecht stehen giltdass das Skalarpodukt zweier Spaltenvektoren 〈a(i)a(j)〉= 0wenn i 6= j gleich Null ist Das Gleiche fur Zeilenvektoren
2 Da die Spaltenvektoren Einheitsvektoren sind gilt 〈a(i)a(i)〉= 1fur alle i
Damit gilt
AT middotA = AT middotA = E
33
Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
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1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
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Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
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Eigenschaften
Orthonormale Matrizen bewahren das Skalarpodukt
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y
Bewahren damit auch die Normen und die Winkel derAusgangsvektoren
cos(Ax Ay) =(Ax)T (Ay)AxAy
=xT yxy
= cos(x y)
Im zwei und dreidimensionalem Raum sind dieOrthogonalmatrizen imemr Spiegelungen Rotationen oderDrehspiegelungen
34
Fazit
1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
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Zu Eigenwerten ist auch guthttpswwwempiwifouni-freiburgdelehre-teaching-1winter-term-11-12materialien-wirtschaftsmathematikeigenwert
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1 Wenn wir eine nicht-quadratische Matrix A haben konnen wirdurch Ubergang zu AT middotA doch wieder Eigenwerte undEigenektoren berechnen
2 Orthonormale Matrizen sind besonders schone Matrizen dieSkalarprodukte Normen und Winkel zwischen zweiAusgangsvektoren nach der Abbildung bewahren
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