Mathematik und Kunst

in Zahlenfolgen und Zahlenmustern

Dr. Doris Bocka

Universität Bayreuth

• Vertiefende Bildbetrachtung in der Ausstellung „Alles ist Zahl“

o Hardy’s Taxi

o ANNA und OTTO

o Magisches Quadrat, Centennium

o Codes

o Drei Ecken

o Pisa, Cambridge, Bern

• Mathematische, historische und künstlerische Hintergründe

• Workshop Materialien für den Unterricht

o Magische Quadrate

o Punktmuster und Figurierte Zahlen

o Codes

o Palindrome (ANNA- und AHA-Zahlen)

• Literatur

o Alles ist Zahl von Peter Baptist (Hrsg.), Köln 2008

o 1 (eins) von Eugen Jost, Zürich 2004

o Auf zum MATHEhorn von Thomas Schweingruber, Berlin 2003

o Der Zahlenteufel von Hans Magnus Enzensberger, München 1999

o Diverse Schulbücher

o Gute Aufgaben Mathematik: Heterogenität nutzen - 30 gute Aufgaben - Für die Klassen 1

bis 4 von Volker Ulm (Hrsg.), Berlin 2008

o Wollen wir Mathe spielen? Von Kristin Dahl und Mati Lepp, Hamburg 2000

o Zahlen, Spiralen und magische Quadrate von Kristin Dahl und Sven Nordqvist, Hamburg

1996

• Gemeinsame Reflexion und Feedback

1

Magische Quadrate Kopiervorlagen:

Vorbereitung

1. Stelle ein Zahlenquadrat her:

Trage die Zahlen 1 bis 9 der Reihe nach in das Quadrat ein. Beginne oben links mit der 1.

Lege mit Ziffernkärtchen nach (siehe Kopiervorlage Goethes Hexeneinmaleins).

Addiere die Zahlen von 1 bis 9. ________________________________________________________

Addiere die Zahlen in jeder Zeile, in jeder Spalte und in den beiden Diagonalen.

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Was fällt dir auf? ____________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Addiere nun alle Ergebnisse der Zeilensummen und Spaltensummen.

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Was bemerkst Du? __________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Welche Zahlen hast Du jeweils addiert? __________________________________________________

__________________________________________________________________________________

2

2. Betrachte nun die Zahlen in dem Quadrat genauer.

Welche Zahlen stehen in den Ecken? ____________________________________________________

Wie nennt man solche Zahlen? _________________________________________________________

Welche Zahlen stehen in den Seitenmitten? _______________________________________________

Wie heißen sie? _____________________________________________________________________

Welche Zahl steht in der Mitte? ________________________________________________________

3. Verändere das Zahlenquadrat:

Lösche alle ungeraden Zahlen in den Ecken. Lass die 5 in der Mitte stehen.

Schiebe nun alle geraden Zahlen im Uhrzeigersinn um eine Stelle weiter in die Ecken. (2 nach rechts,

6 nach unten, 8 nach links, 4 nach oben).

Welches Muster entsteht? _____________________________________________________________

Addiere nun die Zahlen der beiden Diagonalen.

Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________

Verteile nun die ungeraden Zahlen (1, 3, 5, 7) so im Quadrat, damit auch in jeder Zeile und in jeder

Spalte dieselbe Summe wie in den Diagonalen heraus kommt.

3

Lass die geraden Zahlen aus dem ursprünglichen Quadrat um 3, 5 oder 7 Stellen im Uhrzeigersinn

wandern. Wie musst du die ungeraden Zahlen nun einfügen?

Was fällt Dir auf? ______________________________________________________________

Diese Art von Zahlenquadraten heißt „magisches Quadrat“. Dort sind die Zahlen so verteilt, dass der

Wert der Summe in jeder

Zeile

Spalte

und Diagonale

gleich ist.

Diese Summe heißt auch „magische Zahl“.

4

Goethes Hexeneinmaleins

1. In dem Drama „Faust“ von Johann Wolfgang von Goethe steht die Anleitung für ein magisches

Quadrat. Diese Textstelle ist auch als „Hexeneinmaleins“ bekannt, weil eine Hexe eine Art

„Gebrauchsanweisung“ aus einem Buch vorträgt.

Lies Dir erst den Text links ganz durch. Lies dann die Anleitungen und Erklärungen und fülle dazu das

magische Quadrat aus.

Das Hexeneinmaleins

Anleitung Kommentar

Du musst verstehn! Es folgt die Anleitung für ein

magisches 3x3 Quadrat.

Aus Eins mach’ Zehn

Setze an die erste Stelle eines statt der 1 eine 10.

Und Zwei lass geh’n,

Setze an die zweite Stelle die 2.

Und Drei mach gleich.

Setze an die dritte Stelle die 3.

So bist Du reich. Addiere die Zahlen in der ersten Zeile: Jetzt weißt Du

die magische Zahl.

Die magische Zahl ist 15.

Verlier die Vier!

Setze an die vierte Stelle eine 0.

Aus Fünf und Sechs,

Setzte an die fünfte Stelle die 7 und an die sechste

Stelle die 8.

Lies erst noch die nächsten beiden

Zeilen des Gedichts.

So sagt die Hex’,

Mach Sieben und Acht,

Setze an die siebte Stelle die 5 und an die achte Stelle

die 6.

Die 5 und 6 werden mit der 7 und

8 getauscht.

So ist’s vollbracht:

Setze die noch fehlende Zahl an die neunte Stelle. Die

magische Zahl hilft Dir dabei.

Das magische Quadrat ist fast

vollständig.

Und Neun ist eins,

Das magische 3x3 Quadrat stellt eine Einheit dar, da

alle Zeilen- und Spaltensummen dieselbe Zahl ergeben.

Hier erfährst Du außerdem welche

Zahlen im 3x3 Quadrat fehlen.

Und Zehn ist keins.

Ein magisches Quadrat aus zehn

Zellen gibt es nicht.

Das ist das Hexeneinmaleins. So heißt das magische Quadrat.

5

Tipp: Du kannst auch ein magisches Quadrat zum Start nehmen, in dem die Zahlen 1 bis 9 der Reihe

nach ausgefüllt sind.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

2. Untersuche das magische Quadrat vom Hexeneinmaleins genauer.

Betrachte Dir den Zahlenvorrat im Hexeneinmaleins. Welche Zahlen fehlen in der Zahlenreihe?

__________________________________________________________________________________

Kannst Du Dir denken warum das so ist? _________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Vergleiche das magische Quadrat vom Zauberlehrling mit dem folgenden:

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Betrachte Dir jeweils auch die Diagonalensummen genauer.

6

Dürers Melancolia

1. Namen von magischen Quadraten

Magische Quadrate können auch aus mehr Zeilen und Spalten bestehen. Das kleinste magische

Quadrat, in das man unterschiedliche Zahlen einfügen kann, hat 3 Zeilen und 3 Spalten. Man sagt auch

3x3 magisches Quadrat dazu (sprich drei mal drei magisches Quadrat) oder auch magisches Quadrat

der dritten Ordnung. Es besteht aus 3 mal 3 = 9 Kästchen. Ein magisches Quadrat mit 4 Zeilen und 4

Spalten heißt 4x4 magisches Quadrat oder magisches Quadrat der vierten Ordnung. Es besteht aus 4

mal 4 = 16 Kästchen.

2. Das magische Quadrat von Albrecht Dürer

Betrachten wir ein besonderes magisches Quadrat der vierten Ordnung:

Dürers Bild Melancolia

Damit Du die Zahlen besser lesen kannst, ist neben dem Bildausschnitt ein Quadrat mit heutiger

Schrift abgedruckt:

7

Ausschnitt (oben rechts)

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Albrecht Dürer hat von 1471 bis 1528 gelebt. Im magischen Quadrat hat er die Jahreszahl versteckt in

der das Bild entstanden ist. Sie steht in zwei nebeneinander liegenden Stellen.

Wann ist das Entstehungsjahr? _________________________________________________________

Wie alt war Albrecht Dürer damals? ____________________________________________________

3.3 Untersuchungen zur magischen Zahl

Kannst Du die magische Zahl herausfinden? ______________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Dieses magische Quadrat ist ganz besonders. Betrachte nun die kleinen 2x2 Quadrate und addiere die

Zahlen darin.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Findest Du noch ein 2x2 Quadrat mit der magischen Zahl? Markiere es farbig.

8

Josts Centennium

Betrachte nun ein besonders schönes magisches Quadrat des Schweizer Künstlers und Lehrers Eugen

Jost. Um welche Art von magischem Quadrat handelt es sich?

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Jost hat die Zahlen von 1 bis 100 für sein Bild verwendet – viele aber verschlüsselt. Dieses magische

Quadrat hat also 10x10 = 100 Kästchen.

Hast Du eine Vermutung, wie die magische Zahl heißen muss? _______________________________

__________________________________________________________________________________

Die magische Zahl entsteht immer nach einer bestimmten Regel:

Die Summe aller verwendeten Zahlen wird durch die Anzahl der Zeilen geteilt.

Berechne die magische Zahl.

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Das Bild heißt Centennium. Die Zahlen von 1 bis 100 zum Teil als Rätsel dargestellt. Wenn Du die

magische Zahl kennst, kannst Du auch schwierige Zahlen oder Lücken ausfüllen bzw. berechnen.

9

Josts Bild Centennium

10

In dieser Abbildung sind die unverschlüsselten Zahlen schon eingetragen.

79 23 17 86 98 92

93 87 80 99

94 82 76 88

77 96 95 89 83

84 78 97 91 90 22

35 48 42 61 54 73 67

43 37 31 68 62 56 55 74

50 38 26 75 69 63 57 51

46 39 33 52 71 70 58

59 53 72 66 65 34 47 40

Hier einige Beispiele zur Lösung:

Römische Zahlen C (3. Zeile, 1. Spalte) entspricht 100

Chemische Elemente Rh (9. Zeile, 3. Spalte) steht als Abkürzung für das chemische

Element Rhodium. Es steht an der 45. Stelle im Periodensystem.

Somit ist die Zahl 45 verschlüsselt.

Figurierte Zahlen 1. Zeile, 1. Spalte. Addiere die Punkte im Muster. Die Summe ist 11.

Zahlenrätsel 1. Zeile, 8. Spalte. N, E, S, W stehen als englische Abkürzung für die

vier Himmelsrichtungen North (Norden), East (Osten), South (Süden),

West (Westen), also ist die 4 verschlüsselt.

Tipp: Teilt euch in Gruppen ein und entschlüsselt jeweils eine Art von Zahlen oder arbeitet zeilen-

bzw. spaltenweise.

11

Magische Quadrate für jüngere Schülerinnen und Schüler

1. Magische Quadrate haben in vielen Hochkulturen eine große Rolle gespielt. Im alten China spielte

ein bestimmtes magisches Quadrat, das Lo Shu (= Zahlendokument aus dem Fluss Lo) ein große

Rolle. Eine Legende sagt, dass das Lo Shu dem Kaiser Yü durch eine Schildkröte überbracht wurde.

Auf ihrem Rückenpanzer waren die Zahlen 1 bis 9 in Dreierreihen so angeordnet, dass die Summe in

jeder Zeile, Spalte und Diagonalen 15 ergibt. Solche Zahlenquadrate heißen „magische Quadrate“.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

2. Fülle die folgenden magischen Quadrate so aus, dass die Summe 15 in jeder

Zeile

Spalte

und Diagonalen

entsteht. Verwende die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 immer nur einmal.

2

5 1

3

4 3 8

2 6

2 4

5

6

4

3 7

1

6 8

5

7 2

4

3

4 9

4

1 9

Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

12

3. Untersuche die magischen Quadrate genauer.

Welche Zahl steht immer an derselben Stelle? _____________________________________________

Wo steht sie? _______________________________________________________________________

Betrachte nun die oberen Zahlenquadrate. Schreibe die Zahlen in den Ecken auf.

Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Wie heißen diese Zahlen? _____________________________________________________________

Schau Dir die restlichen Zahlen an (jeweils in den Seitenmitten). Notiere sie.

Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________

Wie heißen diese Zahlen? _____________________________________________________________

Schreibe nun die Reihenfolge der Zahlen außen auf. Beginne immer oben links und wandere im

Uhrzeigersinn weiter.

Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Wie viele Möglichkeiten gibt es für 3x3 magische Quadrate mit den Zahlen 1 bis 9?

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Tipp. Trage eine Lösung als Punktmuster auf eine Folie und vergleiche mit anderen Lösungen.

13

Kopiervorlagen für Folien:

14

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● ●

● ● ●

●

● ●

● ●

● ●

●

●

●

● ●

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● ●

● ●

● ● ●

● ●

● ●

● ●

● ● ●

● ● ●

● ● ●

●

●

15

Punktmuster und Figurierte Zahlen Kopiervorlagen:

Punktmuster am Spielwürfel

1. Nimm einen Spielwürfel und betrachte Dir die Punktmuster darauf.

Zeichne die Punktmuster in die folgenden Gitter ab und schreibe die Anzahl der Punkte dazu.

Anzahl der Punkte: _____

Anzahl der Punkte: _____

Anzahl der Punkte: _____

Anzahl der Punkte: _____

Anzahl der Punkte: _____

Anzahl der Punkte: _____

Bei ausgeschriebenen Zahlen kannst Du die 6 und die 9 leicht verwechseln, wenn sie auf dem Kopf

stehen.

Die Punktmuster stehen für eine Zahl. Sie sind von allen Seiten gut lesbar – auch dann noch, wenn Sie

auf dem Kopf stehen. Probiere das mit dem Spielwürfel einmal aus.

2. Welche Zahlen sind als Punktmuster auf Deinem Spielwürfel?

Schreibe sie auf und addiere sie:

__________________________________________________________________________________

Welche Zahlen liegen sich gegenüber?

Schreibe immer die beiden gegenüberliegen Zahlen ab und addiere sie:

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Was fällt Dir auf?

__________________________________________________________________________________

16

3. Erfinde neue Punktmuster für die Zahlen 7, 8 und 9. Trage sie in die 3x3Quadrate (sprich drei mal

drei Quadrate) ein. Sie heißen so, weil sie aus 3 Zeilen (von links nach rechts) und 3 Spalten (von

oben nach unten) mit quadratischen Kästchen bestehen.

7

8

9

4. Punktmuster kann man verscheiden anordnen. Probiere neue Lösungen aus im

3x3 Quadrat 4x4 Quadrat 5x5 Quadrat

1

2

3

17

3x3 Quadrat 4x4 Quadrat 5x5 Quadrat

4

5

6

7

8

9

18

5. Würfelnetze vom Spielwürfel untersuchen:

Wenn man die Flächen eines Würfels aufklappt, erhält man ein Würfelnetz. In Eugen Josts Bild

„Magische Quadrate“ ist ein Würfelnetz eines Spielwürfels abgebildet. Findest Du es?

Trage die Zahlen zu den Punktmustern in das Würfelnetz ein:

Wenn Du die Zahlen addierst, erfährst Du, welche Zahl Eugen Jost damit in seinem Bild versteckt hat:

__________________________________________________________________________________

Bei einem Spielwürfel ergeben die Punktmuster zweier gegenüberliegender Zahlen immer dieselbe

Summe. Wie heißt sie? _______________________________________________________________

Wenn Du das weißt, kannst Du die fehlenden Zahlen in den folgenden Würfelnetzen ergänzen.

6

3 2

1 4

5

6

2 3

5

4

3

1 2

4

1

2 3

6 5

4

1

2

6

Es gibt auch noch andere Würfelnetze.

Notiere die möglichen Zahlen für einen Spielwürfel.

19

Dreieckszahlen untersuchen Lege die Muster mit Wendeplättchen nach.

Zähle die schwarzen Punkte.

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Anzahl der schwarzen Punkte: ____

Anzahl der schwarzen Punkte: ____

Anzahl der schwarzen Punkte: ____

Anzahl der schwarzen Punkte: ____

Schreibe die Zahlen nacheinander in eine Zahlenfolge: ______________________________________

Wieviele Punkte müssen in die nächste Zeile? _____________________________________________

Wie könnte die nächste Zahl heißen? ____________________________________________________

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

________________________________

Wie geht es weiter? __________________________________________________________________

Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________

Welche Regel erkennst Du? ___________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Die Punkte ergeben die Form eines Dreiecks. Deswegen heißen die Zahlen in dieser Folge

Dreieckszahlen.

20

Bei dieser Zahlenfolge fehlen Zahlen. Schreibe sie auf: _____________________________________

Markiere im Punktmuster die fehlenden Zahlen:

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Anzahl der markierten Punkte:

____

Anzahl der markierten Punkte:

____

Anzahl der markierten Punkte:

____

Anzahl der markierten Punkte:

____

Anzahl der markierten Punkte:

____ Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________

Du kannst die Punktmuster der Dreieckszahlen auch anders anordnen:

So kannst Du besser sehen, wie viele Punkt in jeder Zeile dazu kommen.

Wie geht es weiter?

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

_________________________ _________________________ _________________________ Verbinde die äußeren Punkte zu Dreiecken.

21

Mit Dreieckszahlen rechnen Wenn man Dreieckszahlen addiert, kann man interessante Beobachtungen machen.

1. Zwei unterschiedliche Dreieckszahlen addieren.

Trage in die Kästchen zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen ein.

Zähle alle Punkte. Schreibe eine Rechnung dazu auf.

●

● ● ●

● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 1. Dreieckszahl 2. Dreieckszahl 3. Dreieckszahl 4. Dreieckszahl Anzahl der Punkte:___ Anzahl der Punkte:___ Anzahl der Punkte:___ Anzahl der Punkte:___

●

● ● Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________

●

● ●

● ● ● Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________

●

● ●

● ● ●

● ● ● ● Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________

22

Wie kann das nächste Muster aussehen?

Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________

Betrachte die Form Deiner Punktmuster noch einmal. Welchen Namen könntest Du den neuen Zahlen

geben? ____________________________________________________________________________

Schaue Dir die Ergebnisse der Rechnungen an. Vielleicht kennst Du schon den Namen für diese

Zahlen: ___________________________________________________________________________

Kannst Du die Ergebnisse Deiner Rechnungen auch als Multiplikation darstellen?

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Wie heißen die nächsten Zahlen in dieser Folge? ___________________________________________

Schreibe Sie als Addition zwei aufeinander folgender Dreieckszahlen und als Produkt aus zwei

gleichen Zahlen auf:

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Kannst Du eine allgemeine Beschreibung finden, was passiert, wenn man zwei aufeinander folgende

Dreieckszahlen addiert?

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

23

2. Zwei gleiche Dreieckszahlen addieren.

Trage in die Kästchen zwei gleiche Dreieckszahlen ein.

Zähle alle Punkte. Schreibe eine Rechnung dazu auf.

●

● ● Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________

●

● ●

● ● ● Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________

●

● ●

● ● ●

● ● ● ● Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________ Wie kann das nächste Muster aussehen?

Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________

Findest Du einen Namen für diese Muster? _______________________________________________

Findest Du eine Regel für diese Zahlen? _________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

24

Codes

Kommentar:

1. Thema und Intention

Sie begegnen uns überall beim Einkauf: Geheimnisvolle Ziffern auf Büchern, Lebensmitteln und

Spielsachen. Auch auf dieser Buchrückseite sind sie zu finden – und dann gleich noch zwei

unterschiedliche Ziffernfolgen.

ISBN-13: 978 – 3 – 589 – 05129 – 8

ISBN-10: 3 – 589 – 05129 – 9

Doch wer hat sich schon jemals genauer mit den so genannten ISBN-Codes oder EAN-Codes befasst?

Warum sind sie auf Waren abgedruckt und was verbirgt sich eigentlich dahinter?

Auf fast allen verpackten Waren ist eine 13-stellige Artikelnummer abgedruckt, die so genannte EAN

(Europäische Artikel Nummer). Diese steht in der Regel unter dem Strichcode, der von der

Scannerkasse zur Preisbestimmung eingelesen wird. Zudem dient der Code auch zur Lagerverwaltung

und Warenbestellung. Die EAN besteht aus vier Zifferngruppen, wie beispielsweise 40 – 06298 –

00660 – 7. Die ersten beiden Ziffern informieren über das Herstellungsland (40 bis 44 für

Deutschland), dann folgen fünf Ziffern zur Bezeichnung des Herstellers, die weiteren fünf stellen eine

firmeninterne Produktnummer dar und die letzte Ziffer ist die Prüfziffer.

Zur Überprüfung, ob die EAN richtig erfasst ist, wird die Prüfsumme wie folgt berechnet: Die Ziffern

an ungeraden Stellen der EAN werden mit 1 und an geraden Stellen mit 3 multipliziert, alle so

entstandenen Zahlen werden dann addiert, also: Erste Ziffer · 1 + zweite Ziffer · 3 + dritte Ziffer · 1 +

vierte Ziffer · 3 + ... + zwölfte Ziffer · 3 + dreizehnte Ziffer · 1. Die letzte Ziffer, die Prüfziffer, wird in

der EAN stets so gewählt, dass die Prüfsumme ein Vielfaches von 10 ist.

Bei Büchern wird ein so genannter ISBN-Code vergeben (Internationale Standard Buch Nummer).

Neuerdings umfasst er 13 Ziffern, die zu fünf Gruppen zusammengefasst sind, wie beispielsweise 978

– 3 – 589 – 05129 – 8. Die ersten drei Ziffern (978 oder 979) bezeichnen den Gegenstand Buch, dann

folgt eine Ziffer zum Sprachgebiet (3 für deutsch), die folgenden drei Ziffern dienen zur Bezeichnung

des Verlages, die weiteren fünf stellen die firmeninterne Produktnummer dar und die letzte Ziffer ist

die Prüfziffer. Sie wird so gewählt, dass die wie bei der EAN berechnete Prüfsumme ein Vielfaches

von 10 ist.

Bei den älteren 10-stelligen ISBN-Codes ist die Prüfsumme allerdings anders festgelegt: Erste Ziffer ·

10 + zweite Ziffer · 9 + dritte Ziffer · 8 + vierte Ziffer · 7 + ... + neunte Ziffer · 2 + zehnte Ziffer · 1.

Die letzte Ziffer ist wiederum Prüfziffer und wird so hinzugefügt, dass die Prüfsumme ein Vielfaches

von 11 ist. (Sollte hierfür eine 10 notwendig sein, wählt man das Zahlzeichen X, die römische 10.)

25

Der besondere Reiz in der Behandlung dieser Codes liegt in der Allgegenwärtigkeit des Themas. Die

Kinder können sich in vielfältiger und anspruchsvoller Art und Weise als „Zifferndetektive“ betätigen.

Durch die Berechnung der Prüfsumme bzw. der Prüfziffer üben sich die Kinder in der Multiplikation

und Addition mehrerer Zahlen. Komplexe Aufgabenbildungen und -berechnungen sind möglich, die

sich von üblichen „Päckchen“ zur Multiplikation durch ihren Alltagsbezug abheben.

Bezug zu den Bildungsstandards

Zahlen und Operationen Darstellen

Kommunizieren

2. Durchführung

Die Lehrkraft nimmt verschiedene Gegenstände aus einem Einkaufskorb und weist auf die Ziffern des

EAN-Codes bzw. den Strichcode hin. Gemeinsam wird vom Einkaufen und speziell von Erfahrungen

an der Kasse (Signalton, wenn der richtige Strichcode über die Scannerkasse gezogen wird) berichtet.

Wenn kein akustisches Signal ertönt, zieht die Kassiererin die Ware wiederholt über die Scannerkasse

bzw. gibt den EAN-Code per Hand ein. Wie also funktioniert dieser Code bzw. wie weiß die Kasse,

ob die Ziffern richtig sind? Die Lehrkraft erläutert das Prüfverfahren – auf dem Arbeitsblatt ist dies

schriftlich festgehalten. Die Kinder berechnen die Prüfsumme von verschiedenen – möglichst realen –

Gegenständen. Dabei sollen sie erkennen, dass die Prüfsumme immer ein Vielfaches von 10 ist. Dann

können die Kinder das Arbeitsblatt weiter bearbeiten und sich partnerweise Aufgaben zu fehlenden

Prüfziffern stellen. Beispielsweise können die Kinder von Gegenständen aus ihrem Schulranzen alle

Ziffern bis auf die Prüfziffer dem Partner diktieren, der dann die Prüfziffer berechnet. Anhand des

Gegenstandes kann eine Überprüfung der Berechnung erfolgen.

Will man die Thematik vertiefen, bietet es sich an, auf Fehlerquellen beim Lesen des Codes

einzugehen. Auf dem Arbeitsblatt wird beispielhaft eine Vertauschung zweier benachbarter Ziffern

behandelt. Eine solche Verwechslung wird mit Hilfe der Prüfsumme erkannt, wenn diese dann keine

Zehnerzahl mehr ist. Allerdings wird im Beispiel 978 – 3 – 589 – 05129 – 8 eine Verwechslung der 8.

und der 9. Stelle mit der Prüfsumme nicht entdeckt. (Sie bleibt eine Zehnerzahl.) Dies wirft dies die

Frage auf, welche Vertauschungen benachbarter Ziffern mit der Prüfsumme unerkannt bleiben. Dazu

können systematisch für je zwei benachbarte Ziffern a und b die Ausdrücke a·1 + b·3 = ... und b·1 +

a·3 = ... in Gruppenarbeit berechnet werden. Ist die Differenz der beiden Ziffern 5, so verändert ein

Vertauschen der Ziffern die Prüfsumme um 10, sie bleibt also eine Zehnerzahl. Im Code können

solche Vertauschungen nicht erkannt werden.

26

Innerhalb des Stunden- bzw. Sequenzablaufes kann variiert werden. Als alternativen Einstieg in die

Thematik lesen die Kinder von verschiedenen mitgebrachten Gegenständen die Ziffern bis auf die

letzte (Prüf-)Ziffer vor. Die Lehrkraft errechnet die „Zauberzahl“. Die Kinder stellen Vermutungen an,

wie diese gefunden werden kann.

Schnelle Rechner können weitere Gegenstände mit einem EAN-Code in ihrem Schulranzen suchen

und die Prüfsumme berechnen. Für alle ist eine Weiterführung des Themas mit Gegenständen aus dem

Klassenzimmer oder als Hausaufgabe mit dem Lieblingsbuch, dem Lieblingsspiel, der (verpackten)

Lieblingsspeise etc. denkbar.

3. Material und mögliche Anschlussaufgaben

Das Arbeitsblatt fasst das Thema für die Schüler kompakt zusammen. Ergänzend dazu sollte immer

mit EAN-Codes verschiedener realer Gegenstände gearbeitet werden – sie lassen sich im

Klassenzimmer, im Schulranzen oder zuhause leicht finden. So kann das Interesse der Kinder schnell

und nachhaltig geweckt werden.

Das Thema Codes ist ein weites Feld, zu dem nur ein paar ausgewählte weiterführende Anregungen

gegeben werden sollen.

Recherche, welche Informationen sich hinter den Länder-, Sprachgebiet- und Herstellercodes

verbergen. Tipp: Anhand der EAN-Codes kann man den Herstellern von Handelsmarken für

Discounter auf die Spur kommen.

Untersuchung von verkürzten 8-stelligen EAN-Codes. Die Kinder haben eventuell schon

Gegenstände mit solchen bei ihrer Suche nach EAN-Codes gefunden. Diese sollten aber gesondert

behandelt werden.

Tipp: 8-stellige EAN-Codes werden in der Regel an Hersteller mit geringem Warensortiment

vergeben, so dass die Hersteller- und Artikelnummer entsprechend verkürzt dargestellt werden

können. Die Verschlüsselung findet auch nach einem alternieirenden Prinzip statt: Bei den

geraden Stellen wird mit drei, bei den ungeraden mit eins multipliziert und daraus eine Summe

gebildet. Diese ist ein Vielfaches von 10.

Aufgabe: Wandle die 13-stelligen EAN-Codes von Büchern in 10-stellige ISBN-Codes um.

Beispiel dieses Buches: EAN (ISBN-13) 978 – 3 – 589 – 05129 – 8

ISBN (ISBN-10) 3 – 589 – 05129 – 9

Tipp: Die ersten drei Ziffern fallen weg und die Prüfziffer muss geändert werden.

Aufgabe: Was passiert bei Verwechslung von zwei Ziffern?

27

Die Weiterführung des Themenkomplexes „geheime Ziffern“ bietet Anlass, selbst einen

„Geheimcode“ zu erfinden. Man könnte Geburtsdaten als 8-stelligen Code darstellen, Tag und

Monat jeweils 2-stellig, Jahr 4-stellig, beispielsweise 25022001. Tipp: Fächerübergreifend bietet

sich auch die Behandlung von Hieroglyphen oder Morse-Codes an.

Ausblick: Bei Zifferncodes ist nur eine bedingte Fehlererkennung möglich

(Einzelfehler bei EAN-Codes oder Vertauschung bei ISBN-Codes). Optische

Codes wie der QR-Code (Quick Response) können Fehler erkennen und diese

bei bis zu 30 Prozent Fehlerquote selbst korrigieren. Zudem können sie Informationen in sich

tragen. Beispiele für QR-Codes finden sich in der Printwerbung, auf Tickets und im Briefverkehr,

sowie beim Bild „Geheimnisvolle Codes“ von Eugen Jost auf dem Kalender „Alles ist Zahl 2008“

bzw. in der Ausstellung „Alles ist Zahl“ im Deutschen Technikmuseum Berlin 2009-2010.

4. Quellen:

• Baptist, Peter (Hrsg. 2008): Alles ist Zahl, Köln

• Beutelspacher, Albrecht (2001): Pasta all`infinito, München

• Ulm, Volker (Hrsg. 2008): Gute Aufgaben Mathematik: Heterogenität nutzen - 30 gute Aufgaben

- Für die Klassen 1 bis 4, Berlin

28

Kopiervorlage: Geheime Ziffern? Wenn du Einkaufen gehst, findest du auf vielen Gegenständen eine 13-stellige Warennummer. Diese

Ziffern bilden den EAN-Code. Das ist die Abkürzung für Europäische Artikel Nummer. Dieser Code

steht in der Regel unter dem Strichcode, mit dem die Scannerkassen im Supermarkt den Preis erfassen.

Der EAN-Code des Buches „Gute Aufgaben Mathematik“ lautet:

978 – 3 – 589 – 05129 – 8

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ Buch Sprach- Verlag Artikel Prüfziffer

gebiet

Mit der Prüfsumme kann man errechnen, ob der Computer der Kasse die EAN richtig gelesen hat.

Die Prüfsumme berechnet man, indem man die Ziffern an ungeraden Stellen der EAN mit 1 und an

geraden Stellen mit 3 multipliziert. Dann addiert man alle so entstandenen Zahlen.

1. Berechne die Prüfsumme folgender Artikel:

a) Buch „Gute Aufgaben Mathematik“ 978 – 3 – 589 – 05129 – 8

9·1 +7·3 +8·1 +3·3 +5·1 +8·3 +9·1 +0·3 +5·1 +1·3 +2·1 +9·3 +8·1=

Tipp: Rechne die Aufgaben zum 1er- und 3er-Einmaleins extra und addiere dann die Ergebnisse.

b) „Powerslide Inliner Protektoren-Set“ 40 – 40333 – 21903 – 4

c) „Selters Apfelschorle“ 40 – 53400 – 25729 – 7

Untersuche auch viele eigene Beispiele. Was fällt dir auf? ___________________________________

__________________________________________________________________________________

2. Die letzte Ziffer ist die so genannte Prüfziffer. Sie wird so gewählt, dass die besondere Eigenschaft

der Prüfsumme entsteht. Berechne die fehlenden Prüfziffern folgender Bücher:

a) „Gute Aufgaben Deutsch“ 978 – 3 – 589 – 05131 – ?

b) „Bildungsstandards für die Grundschule“ 978 – 3 – 589 – 05130 – ?

3. Nun bauen wir einen Fehler ein. Vertausche immer zwei benachbarte Ziffern im EAN-Code 978 –

3 – 589 – 05129 – 8 und berechne die Prüfsumme.

Wird dieses Vertauschen mit der Prüfziffer bemerkt? _______________________________________

Welche Erklärung hast du dafür? _______________________________________________________

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Palindrome Kopiervorlagen:

ANNA-Zahlen

1. Berechne:

Was ist das Besondere an diesen Zahlen und den Rechenaufgaben? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

Was beobachtest du bei den Ergebnissen? Kannst du dies erklären?

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

Veranschauliche die Rechnungen auch in der Stellenwerttafel. Lege beispielsweise 2112. Verschiebe Plättchen so, dass 1221 entsteht.

Tausender Hunderter Zehner Einer

2112 3223 4334 3113 6464 7557 9779- 1221 - 2332 - 3443 - 1331 - 4646 - 5775 - 7997

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2. Berechne:

3113 5225 8558 7337 9339 9559 8228 - 1331 - 5225 - 5885 - 3773 - 3993 - 5995 - 2882

Was ist hier das Besondere an den Zahlen und den Rechenaufgaben? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

Was beobachtest du bei den Ergebnissen? Kannst du dies erklären? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

Veranschauliche die Rechnungen wieder an der Stellenwerttafel.

3. Multipliziere 891 mit 1, 2, 3, ..., 9. Was fällt dir auf? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 4. Zahlen der Form „ANNA“, bei denen die Tausenderziffer gleich der Einerziffer und die

Hunderterziffer gleich der Zehnerziffer ist, heißen ANNA-Zahlen. Erfinde Aufgaben mit ANNA-Zahlen. Suche Aufgaben mit den Ergebnissen 891, 1782, 2673, 3564, 4455, ...

5. Wie viele ANNA-Zahlen gibt es? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

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AHA-Zahlen

1. Berechne und vergleiche. 212 323 434 545 665 535 646 - 121 - 232 - 343 - 454 - 566 - 353 - 464 Was fällt dir auf? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ Veranschauliche die Rechnungen auch in der Stellenwerttafel.

Hunderter Zehner Einer

2. Berechne und setze die Reihe fort. 767 757 747 - 676 - 575 - 474 3. Erfinde selbst solche Aufgaben. 4. Schau dir alle Rechnungen und Ergebnisse noch einmal an. Was haben die Ziffern und die

Ergebnisse miteinander zu tun? ________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ Tipp: Du kannst die Stellenwerttafel zu Hilfe nehmen. 5. Was haben diese Zahlen mit „AHA“ zu tun? __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ Wie viele AHA-Zahlen gibt es? __________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________