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Unterlagen Mathematik 2 Ausgabe 2020

Daniel Kälin © Höhere Berufsbildung Uster

Mathematik 2 / Vorwort

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Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 1.1 Herzlich willkommen 3 1.2 Ziel des Mathematikunterrichtes 3 1.3 Warum braucht man als Techniker Mathematik? 3 1.4 Wie erlerne ich am einfachsten Mathematik? 3 1.5 Rechner oder Notebook/Tablet 3 1.6 Bücher 4 1.7 Übungen 5 1.8 Prüfungen 5 1.9 Homepage 5 1.10 Skript auf dem Netz 5 1.11 Was mache ich bei Problemen im Fach Mathematik? 5 2 Funktionen 6 2.1 Ziele 6 2.2 Für was brauche ich Funktionen? 6 2.3 Einführung 7 2.4 Lineare Funktionen 18 2.5 Quadratische Funktionen 33 2.6 Scheitelpunktform 37 2.7 Scheitelpunkt-Berechnung 38 2.8 Nullstellen-Berechnung 39 2.9 Schnittpunktberechnung 41 2.10 Funktionsbestimmung 43 2.11 Logarithmische Koordinatensysteme 44 2.12 Funktionsapproximation 57 3 Summen 62 3.1 Einführung 62 3.2 Beispiele 62 3.3 Summenberechnung mit dem Rechner 63 4 Differentialrechnung 64 4.1 Ziele 64 4.2 Wo braucht man die Differentialrechnung? 64 4.3 Grafisches Bestimmen der Ableitung einer Funktion 65 4.4 Rechnerisches Ableiten einer Funktion 67 4.5 Ableitungen verschiedener Funktionsklassen 68 4.6 Höhere Ableitungen 73 4.7 Ableiten mit dem Taschenrechner 73 4.8 Ableitungsregeln 74 4.9 Kurvendiskussion 81 4.10 Extremwertprobleme 87 5 Integralrechnung 94 5.1 Ziele 94 5.2 Warum muss ich integrieren können? 94 5.3 Flächenberechnung als Grenzwert 95 5.4 Orientierte Flächeninhalte – Definition des Integrals 96 5.5 Analytische Definition des Integrals 97 5.6 Berechnen von Integralen mit dem TR 97 5.7 Berechnen von Integralen mit dem TR im Grafikmodus 98 5.8 Flächeninhaltsfunktion 101 5.9 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 101 5.10 Die Stammfunktion 102 5.11 Unbestimmte Integrale 103 5.12 Bestimmte Integrale 103 5.13 Eigenschaften bestimmter Integrale 104 5.14 Flächenberechnung 105 5.15 Technische Anwendungen des Integrierens 110


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1 Vorwort

1.1 Herzlich willkommen

Herzlich willkommen in der Welt der Mathematik! Ich werde Sie im kommenden Semester durch verschie-dene grundlegende Gebiete der Mathematik führen. Dabei werden wir viele erstaunliche Eigenschaften und Besonderheiten von Zahlen und Gleichungen entdecken. Auch wenn es manchmal recht harte „Knochenarbeit“ ist, so hoffe ich, dass trotzdem einige von Ihnen etwas Freude und Interesse an dieser abstrakten Materie gewinnen werden und motiviert sind, die schöne Welt der Mathematik zu erkundschaften. 1.2 Ziel des Mathematikunterrichtes

Die Ziele des Semesters sind einerseits im Stoffplan klar abgesteckt, anderseits ist es auch mein Ziel, das In-teresse und die Freude an der Mathematik zu wecken. Ich bin bestrebt, mit manchmal sehr pragmatischen Ansätzen das Grundverständnis zu fördern und so den allgemeinen Überblick über die Materie zu erhöhen. Ich bin fest davon überzeugt, dass ein allgemeines Grundverständnis der Mathematik mehr bringt als einsei-tig tiefe Kenntnisse ohne den Überblick zu bewahren. In diesem Sinne werde ich Sie durch das kommende Semester führen. Sie werden dabei auch merken, dass Sie für ein grundlegendes Verständnis einen regelmässigen Aufwand betreiben müssen, um den Stoff am Schluss zu beherrschen, welcher in der Modullernzielprüfung am Ende des Semesters verlangt wird. Die Ziele der einzelnen Themengebiete sind am Anfang des jeweiligen Kapitels beschrieben. 1.3 Warum braucht man als Techniker Mathematik?

Diese Frage hat viele Facetten und kann hier nicht abschliessend beantwortet werden. Ich werde Ihnen − so weit möglich − in vielen Themengebieten Anwendungen und Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik näher bringen. Dass dies nicht immer möglich sein wird, liegt in der Natur der Mathematik, Zusammenhänge formal und abstrakt zu beschreiben. Insofern ist die Mathematik auch eine „Zubringerwissenschaft“: Sie stellt eine Sprache bereit, mit deren Hilfe der Physiker die Naturgesetze zu beschreiben versucht. Der Ingeni-eur und Techniker geht noch einen Schritt weiter: Er wendet die vom Physiker gefundenen Naturgesetzte an, indem er mit diesen Erkenntnissen Maschinen baut. In diesem Sinne muss der Techniker und Ingenieur na-türlich die Sprache der Mathematik und die Grundlagen der Physik beherrschen. 1.4 Wie erlerne ich am einfachsten Mathematik?

Diese Frage ist einfach zu beantworten! ‚Learning by doing’ ist das Motto. Mathematik erlernt man nicht in meinem Unterricht. Was ich zu vermitteln versuche sind Lösungsstrategien, –Rezepte und –Ideen anhand ausgewählter Beispiele. Lernen geht in der Mathematik über regelmässiges und vieles Üben. Routine und Verständnis wachsen nur mit sehr viel Übung! Der Schlüssel zum Erfolg in einer technischen Schule liegt zu einem grossen Teil in der Beherrschung der Grundlagen. Das heisst, wenn Sie Mathematik, Physik und Elektrotechnik gut verstehen, so werden Sie auch in den höheren Semestern wenig Probleme haben. 1.5 Rechner oder Notebook/Tablet

In Mathematik 2 Unterricht werden wir viele Zusammenhänge auch grafisch darstellen und analysieren. Der Einstieg geschieht häufig noch „von Hand“ (für das bessere Verständnis), allerdings ist dies vielfach recht zeitaufwendig. Wir benutzen deshalb in Mathematik 2 Unterricht recht intensiv grafikfähige Taschenrechner. Das Skript enthält viele Anleitungen, wie man mit Rechnern von Texas Instruments (z.B. TI-89, Voya-


4

ge 200 oder TI-NSpire CX CAS) oder von HP (HP Prime) einfach ans Ziel kommt. Auch grafikfähige Rech-ner von Casio (Casio ClassPad II) eignen sich; die Eingabesyntax ähnelt der von TI. Ein Notebook/Tablet kann als Ergänzung für das grafische Darstellen von mathematischen Zusammenhän-gen ebenfalls (mit geeigneter Software, z.B. die Freeware Geogebra) dienen, allerdings wird es (im Gegen-satz zu den grafikfähigen Taschenrechnern) an den Prüfung nicht zugelassen sein. 1.6 Bücher

1.6.1 Bücher als Ergänzung zum Unterricht

Es gibt viele Bücher zu den Themen die ich unterrichte. Das Problem ist oft das wichtige eines Themen-gebietes zu erkennen und den Ballast zu ignorieren. Aus diesem Grund habe ich ein Skript geschrieben. Meine Ausführungen sind möglichst ohne Ballast und so knapp als möglich gehalten. Wer zusätzlich zum Skript ein Buch anschaffen möchte, dem kann ich folgende empfehlen:

• Mathematik für höhere Fachschulen Compendio Autorenteam für Technik Compendio.ch, Aufgabenband 49 Fr., Lösungsband 49 Fr.

Nicht jeder Student hat dieselbe Affinität zur Art wie ich unterrichte, so kann es manchmal hilfreich sein, ein Thema oder Problem aus einer anderen Optik anzusehen. Grundsätzlich reicht jedoch mein Skript. 1.6.2 Formelsammlung

Eine Formelsammlung in Buchform ist sehr empfehlenswert. Ich arbeite häufig mit den „Formeln, Tabellen, Begriffe“. Diese Formelsammlung ist kompakt und beinhaltet auch einen Physikteil. Aber es gibt natürlich noch viele andere gute Formelsammlungen. Daneben ist es von Vorteil, wenn man sich eine eigene kleine Formelsammlung oder Stoffzusammenfassung schreibt. So lernt es sich einfacher!!!!

Ich kann folgende Formelbücher empfehlen:

• Formeln, Tabellen, Begriffe Orell Füssli Verlag ISBN 978-3-280-04116-1, 20.80 Fr. (ex libris)

• Formelsammlung in Mathematik Adrian Wetzel ISBN 978-3-9523907-5-7, 7.20 Fr. (ex libris)

1.6.3 Bücher zu den Taschenrechnern TI-89, TI-92 (Plus) und Voyage 200, NSpire CX

Mittlerweile wird selten noch ein gedrucktes Handbuch zu einem Rechner mitgeliefert. Zu umfangreich und zu dick würde es ausfallen um alle Möglichkeiten des Rechners zu beschreiben. Aufgrund der vielfältigen Funktionen möchte man häufig gerne jedoch ein kompakteres Büchlein, das die wichtigsten Vorgehenswei-sen bei der Rechnereingabe rezeptartig beschreibt. Dazu gibt es ein empfehlenswertes Büchlein, das nicht im allgemeinen Buchhandel erhältlich ist:

• Mathematikrezepte für den TI-89, TI-92 Plus,Voyage 200, NSpire CX/CX CAS, von Beat Eicke. Bestellung unter: www.pythagoras.ch, Preis: ca. 18 Fr.

http://www.pythagoras.ch


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1.7 Übungen

Jede Woche wird eine Übungsserie abgegeben, die auf die folgende Lektion zu bearbeiten ist. Tauchen Fra-gen auf, werden diese besprochen. Danach betrachte ich den Stoff als verstanden. Es ist sehr gefährlich mit den Übungen in Rückstand zu geraten, da der Stoff (bis auf wenige Ausnahmen) so gestaltet ist, dass die Themen aufeinander aufbauen! Mathematik erlernt man nur durch viel Übung! So erachte ich die Übungen als mindestens so wichtig wie die Lektionen! Die Übungen sind relativ zeitintensiv. Es ist jedoch nicht die Meinung, dass man nun immer alle Aufgaben lösen soll. Probieren Sie möglichst von allen Aufgabentypen soviel zu lösen, bis Sie sicher sind, das Thema begriffen zu haben. Es ist wichtig, dass Sie selbstkritisch aber auch mit einem gesunden Mass an Selbstvertrauen arbeiten. Haben Sie ein Thema im Griff, so können Sie ähnliche Übungen überspringen und zum nächsten Thema gehen. Verwenden Sie nicht zu viel Zeit an einer Aufgabe, die Sie nicht verstehen. Nach einer gewissen Zeit legen Sie die Aufgabe am besten zur Seite und fahren mit einer anderen Aufgabe fort. Erkundigen Sie sich dann bei mir in der nächsten Lektion über das Lösungsvorgehen der nicht verstandenen Aufgaben. 1.8 Prüfungen

Pro Semester wird 1 große Prüfung von ca. 90 Minuten Dauer durchgeführt. Dazu kommen drei Kurztests à ca. 30 Minuten. Die Kurztests ergeben zusammen eine Note mit der Gewichtung einer großen Prüfung, wo-bei der schlechteste der drei Kurztest nur zur Hälfte gewichtet wird. Der Durchschnitt dieser 2 Noten ergibt die Erfahrungsnote (auf Zehntel gerundet). Bei Absenzen von Prüfungen hat sich der Student vorgängig und persönlich per Email ( ) zu entschuldigen. Die verpasste Prüfung muss während des nächsten Unterrichtster-mins nachgeholt werden. Bei unentschuldigten oder verspäteten Absenzen oder bei unklarem Verbleib wird die Prüfung mit der Note 1 gewertet. Absenzen von der MLZ sind mit der Schulleitung zu klären und ein Nachschreiben ist in der Regel kostenpflichtig. Am Ende des Semesters findet die Modullernzielprüfung (MLZ; auf Zehntel gerundet) statt. Der auf eine halbe Note gerundete Durchschnitt aus MLZ-Note und Erfahrungsnote ergibt die Modulnote im Fach Ma-thematik. Absenzen von der MLZ sind mit der Schulleitung zu klären und ein Nachschreiben ist in der Regel kostenpflichtig. 1.9 Homepage

Alle Übungsserien, alte Prüfungen und Kurztests, Semesterpläne und andere Files und Links können Sie von meiner (zugegebenermassen sehr nüchtern gehaltenen) Seite herunterladen: http://math.tsuster.ch/ Diese Seite ist als Dienstleistung für Sie gedachten. Nutzen sie Sie! 1.10 Skript auf dem Netz

Das Skript ist unter Downloads in digitaler Form als pdf-File vorhanden. Beachten Sie, dass bei laufenden Updates die Seitenzahlen und die Kapitelnummerierung nicht mehr unbe-dingt mit dem abgegebenen Skript korrespondieren. 1.11 Was mache ich bei Problemen im Fach Mathematik?

aben Sie Probleme mit der Schule oder im Speziellen mit dem Fach Mathematik, so ist es wichtig, dass Sie diese Probleme frühzeitig erkennen und sie sich auch eingestehen! Melden Sie sich dann bei Bedarf bei mir und wir versuchen, zusammen eine Lösung zu finden. Wichtig ist nur, nicht zu lange abzuwarten. Sie können mich entweder persönlich in der Schule kontaktieren oder per email unter:

http://math.tsuster.ch/

Mathematik 2 / Funktionen

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2 Funktionen

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben. Genauer: Die Natur spricht die Sprache der Mathematik:

die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathema-tische Figuren.

Galileo Galilei

Italienischer Naturwissenschafter. 1564-1642

2.1 Ziele

Das Gebiet der Funktionen ist sehr umfangreich. Das ganze 2. Semester werden wir uns mit Funktionen be-fassen.

• Die unabhängige und die abhängige Grösse kann in einer Funktion identifiziert werden. • Funktionale Zusammenhänge können grafisch dargestellt und ausgelesen werden. • Der Definitions- und Wertebereich kann bei Funktionen bestimmt werden. • In linearen, quadratischen und weiteren Funktionsklassen können die Steigungswerte und Nullstellen

berechnet werden. • Punkte können von kartesischer nach polarer Notation umgerechnet werden und umgekehrt. • Punkte und Funktionen können in logarithmischen Koordinatensystemen korrekt eingezeichnet und

ausgelesen werden. • Messwerte können mit dem Rechner durch eine Funktion angenähert werden.

2.2 Für was brauche ich Funktionen?

Funktionen sind zentral in der Mathematik und Physik. Dynamische Vorgänge werden in Funktion der Zeit und des Ortes dargestellt. Funktionen und deren Darstellung sind ein sehr wichtiges Werkzeug um physikalische Vorgänge, also die Natur zu beschreiben. Es ist für das weitere Studium in den höheren Semestern unumgänglich, den Begriff der Funktion sehr breit und fundamentiert zu verstehen.


7

2.3 Einführung

2.3.1 Der Funktionsbegriff

Viele physikalische, biologische oder chemische Vorgänge lassen sich häufig in einfacher Weise durch eine mathematische Vorschrift, resp. Berechnungsweise beschreiben. Einer solchen (eindeutig) festgelegten Re-chenvorschrift, wie ein Resultat aus einer anderen Grösse berechnet werden kann, sagt man in der Mathema-tik Funktion. Funktionen sind Formeln mit denen aus verschiedenen Eingabe-Werten verschiedene Resultate berechnet. Eine Funktion liefert erst Resultate, wenn man Werte eingibt. Es sind also nicht mehr Gleichun-gen, bei denen man das (eine) Resultat „einfach so“ berechnen kann, sondern man muss Werte vorgeben um Resultate zu erhalten. Beispiele von Funktionen, die du bereits gesehen hast, bei denen jedoch der Begriff der Funktion nicht expli-zit erwähnt wurde, sind zum Beispiel:

• gleichförmig geradlinige Bewegung:

zurückgelegte Strecke s nach der Fahrzeit t : s v t= ⋅ • gleichmässig beschleunigte Bewegung:

zurückgelegte Strecke s nach der Beschleunigungszeit t : 212

s a t= ⋅

Die obige etwas saloppe Formulierung des Funktionsbegriffes ist in der Mathematik (wie könnte es anders sein) exakt definiert:

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Wert einer unabhängigen Grösse genau einen Wert einer abhängigen Grösse zuordnet. Mit dem Zuordnungssymbol a geschrieben:

unabhängige Grösse a abhängige Grösse

In den obigen beiden Beispielen ist t die unabhängige Grösse und s ist die abhängige Grösse (s wird in Ab-hängigkeit von t berechnet). (Hinweis: v und a sind konstante Parameterwerte) Eine Funktion wird häufig durch einen Graphen (Schaubild) in einem Koordinatensystem dargestellt. Da-bei wird die unabhängige Grösse immer auf der horizontalen Achse (Abszisse, x-Achse; obiges Beispiel die t-Achse) eingezeichnet, während dem die abhängige Grösse immer auf der senkrechten (Ordinate, y-Achse; obiges Beispiel die s-Achse) dargestellt wird. Graphen der obigen Beispiele: gleichförmig geradlinige Bewegung: gleichmässig beschleunigte Bewegung: 1 2 3 4

1

2

3

4

t (in s)

s(t) (in m)

1 2 3 4

1

2

4

t (in s)

s(t) (in m)

3


8

Beispiel Ein Fussballer mit Ball steht senkrecht vor dem Mittelpunkt des Tores. Je nach Abstand vom Tor variiert der Schusswin-kel, d.h. der Winkel vom Ball aus gemessen zu den beiden Torpfosten. Wir betrachten die Funktion, die dem Abstand des Balls vom Tor den Schusswinkel zuordnet:

unabhängige Grösse: Abstand d vom Tor (in m) abhängige Grösse: Schusswinkel α (in °)

Der Graph der Funktion d a α sieht folgendermassen aus: Aus dem Graphen kann man nun zu einigen Werten von d die zugehörigen Werte von α ungefähr ablesen und damit eine Wertetabelle erstellen:

Umgekehrt kann man auch ablesen, wie gross der Abstand d zum Tor sein muss, wenn der Schusswinkel 60° betragen soll: d = ca. 6.5 m

Abstand d 5 m 10 m 20 m 30 m 40 m

Schusswinkel α 72° 40° 21° 14° 11°

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

20

40

60

80

100

120

140

160

180

α (in °)

d (in m)


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Aufgabe 1 Ein Junge spickt mit seiner Steinschleuder ein Geschoss senkrecht nach oben. Die Höhe über der Abwurfstel-le ist mit h bezeichnet (in m), die Flugzeit des Geschosses mit t (in s). Der Graph der Funktion t a h sieht dann folgendermassen aus: a) Welches ist die unabhängige Grösse, welches die abhängige? b) Fülle die Wertetabelle aus:

c) Zu welchen Zeitpunkten befindet sich das Geschoss 9 m über der Abwurfstelle? d) Wie weit hoch kommt das Geschoss maximal? e) Nach welcher Zeit ist das Geschoss wieder auf der Abwurfhöhe? f) Was bedeutet es, wenn sich ein Teil des Graphen unterhalb der horizontalen Achse befindet?

Flugzeit t (in s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Höhe h (in m)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

4

8

12

t (in s)

h (in m)


10

Aufgabe 2

Die Funktion ( )2 25sin 1

5 3xy f x x = = − −

soll grafisch dargestellt werden im Bereich zwischen 7x = −

und 5x = . Man müsste also für verschiedene x-Werte zwischen −7 und 5 die Funktionswerte ausrechen. Von Hand ist das schon recht aufwendig und eigentlich nicht besonders spannend. Leichter geht’s mit dem Ta-schenrechner. Wichtig: TR auf Bogenmass (Radiant) stellen! Anleitung für den Voyage200/TI89: 1. Zum Funktionseditor (y-Editor) mit Raute-W wechseln. 2. Bei y1=, y2= etc. können verschiedene Funktionen eingetragen

werden. Die unabhängige Grösse muss immer x heissen! 3. Wurden mehrere Funktionen eingetragen, so kann mit F4 aus-

gewählt werden, welche der Funktionen gezeichnet werden. 4. Mit Raute-E (Window) wird die Grösse des Zeichnungsfensters

eingestellt. xscl=1 resp. yscl=1 bedeutet, dass im Graph die Strich-Einteilungen auf der x- resp. y-Achse den Abstand 1 ha-ben.

5. Mit Raute-R (Graph) wird der Graph (Schaubild) gezeichnet.

Ein Druck auf „On“ bricht den Zeichnungsvorgang ab. 6. Wie man feststellt, ist das Koordinatensystem verzerrt darge-

stellt. Möchte man eine quadratische Darstellung, so wählt man mit F2 Zoomsqr. Im F2-Menü stehen auch ZoomIn, ZoomOut und andere Skalierungsoptionen bereit. Ganz nützlich ist manchmal noch die Option ZoomBox, wenn ein bestimmer Be-reich genauer dargestellt werden soll: Man wählt eine Box um den zu vergrössernden Bereich, indem zwei diagonal liegende Eckpunkte ausgewählt werden.

7. Mit Raute-Y (Table) gelangt man in die Wertetabelle der Funk-

tion. Die Schrittweite in der Tabelle und der Anfangswert wird mit Raute-T (Tblset) festgelegt.


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Anleitung für den TI-Nspire CX CAS (wichtig: TR auf Bogenmass (Radiant) stellen!) 1. Neuen Graph hinzufügen. In der Eingabezeile bei f1(x) die Funktion eintragen. 2. Mit „Menu“ à „4: Fenster“ à „1: Fenstereinstellungen“ kann der Zeichnungsbereich definiert werden. 3. Mit „Menu“ à „4: Fenster“ à „B: Zoom - Quadrat“ kann der Zeichnungsbereich quadratisch skaliert

dargestellt werden. Mit „Menu“ à „4: Fenster“ à „2: Zoom-Rahmen“ kann ein Ausschnitt des Graphen vergrösserter dargestellt werden.

4. Mit „Ctrl + T“ kann die Wertetabelle angezeigt werden. Mit „Menu“ à „5: Wertetabelle“ à „5: Funkti-

onseinstellungen bearbeiten“ kann u.a. der Tabellenanfang und die Schrittweite eingegeben werden.

( )2 25sin 1

5 3xy f x x = = − −


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Aufgabe 3 Ein rechteckiges Bassin, das 20 m lang, 8 m breit und 1.5 m tief ist, ist leer und soll durch einen Wasserzu-fluss gefüllt werden. Die Zuflussgeschwindigkeit (Einheit: Liter pro Minute) bestimmt, wie lange es dauert, bis das Bassin voll ist. Funktion: Zuflussgeschwindigkeit v [l/min] a Fülldauer t [min] a) Fülle die Wertetabelle aus:

b) Zeichne den Graphen der Funktion:

Zuflussgeschwindigkeit v (in l/min) 100 200 300 600 800 1000

Fülldauer t (in min)


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Aufgabe 4 Die Skizze zeigt eine Brücke mit einem halbkreisförmigen Durchlass. Unter der Brücke führt ein Fluss hindurch, auf dem Boote verkehren. Darum ist es von Interesse zu wissen, wie hoch der Durchlass in einem gewissen Abstand von der Mitte ist. Bestimme die Funktion, mit welcher aus dem Abstand d die Höhe h des Durchlasses berechnet werden kann. Stelle dazu zuerst eine Gleichung (Bedingung) auf für den Zusammen-hang zwischen d, h und 48 m. Löse dann diese Gleichung nach h auf. Zeichne ebenfalls den Graphen zur Funktion. Aufgabe 5 Von einem quadratischen Stück Karton mit der Seitenlänge 30 cm werden an allen vier Ecken kleine Quadrate mit der Seitenlänge x abgeschnitten. Der Rest wird zu einer oben of-fenen Schachtel gefaltet. Bestimme die Funktion, mit welcher aus der Seitenlänge x das Schachtelvolumen V berechnet werden kann. Zeichne auch den Graphen dazu. Wie gross muss x für maximales Schachtelvolumen gewählt werden?

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

d (in m)

h(d) (in m)

2 10

400

2000

x (in cm)

V(x) (in cm3)


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Lösung Aufgabe 1 Ein Junge spickt mit seiner Steinschleuder ein Geschoss senkrecht nach oben. Die Höhe über der Abwurfstel-le ist mit h bezeichnet (in m), die Flugzeit des Geschosses mit t (in s). Der Graph der Funktion t a h sieht dann folgendermassen aus: a) Welches ist die unabhängige Grösse, welches die abhängige? t h b) Fülle die Wertetabelle aus:

c) Zu welchen Zeitpunkten befindet sich das Geschoss 9 m über der Abwurfstelle? 0.7 s, 2.55 s d) Wie weit hoch kommt das Geschoss maximal? 13 m e) Nach welcher Zeit ist das Geschoss wieder auf der Abwurfhöhe? 3.25 s f) Was bedeutet es, wenn sich ein Teil des Graphen unterhalb der horizontalen Achse befindet? unterhalb Abschusshöhe

Flugzeit t (in s) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Höhe h (in m) 0 6.8 11 12.9 12.4 9.3 3.8

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

4

8

12

t (in s)

h (in m)


15

Lösung Aufgabe 2

Zeichne die Funktion 2 25sin 1

5 3xy x = − −

von 7x = − bis 5x = ins untenstehende Koordinatensystem.

Bemerkung: Bei Funktionen, welche trigonometrische Ausdrücke wie Sinus, Cosinus oder Tangens enthal-ten, muss man den TR auf Radiant/Bogenmass umstellen! Wertetabelle:

Lese aus dem Graphen: ( )1.5y = − 4.7 ( )2y − = 4.7 ( ) 4 ?y x x= → = x = − 7.1; − 4.3; − 1.7; 4.8

x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 3.8 2.4 3.0 4.5 5.3 4.7 2.3 -1 -3.9 -5.1 -3.7 -0.1 5.0

-5 1 5

-5

1

5

x

y


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Lösung Aufgabe 3 Ein rechteckiges Bassin, das 20 m lang, 8 m breit und 1.5 m tief ist, ist leer und soll durch einen Wasserzu-fluss gefüllt werden. Die Zuflussgeschwindigkeit (Einheit: Liter pro Minute) bestimmt, wie lange es dauert, bis das Bassin voll ist. Funktion: Zuflussgeschwindigkeit v [l/min] a Fülldauer t [min] a) Fülle die Wertetabelle aus:

b) Zeichne den Graphen der Funktion:

Zuflussgeschwindigkeit v (in l/min) 100 200 300 600 800 1000

Fülldauer t (in min) 2400 1200 800 400 300 240

v (in l/min)

t (in min)

100 500 1000

200

1000

2000

240'000 Litermin

240'000TR-Eingabe:

tv

yx

= =

=


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Lösung Aufgabe 4 Die Skizze zeigt eine Brücke mit einem halbkreisförmigen Durchlass. Unter der Brücke führt ein Fluss hindurch, auf dem Boote verkehren. Darum ist es von Interesse zu wissen, wie hoch der Durchlass in einem gewissen Abstand von der Mitte ist. Bestimme die Funktion, mit welcher aus dem Abstand d die Höhe h des Durchlasses berechnet werden kann. Stelle dazu zuerst eine Gleichung (Bedingung) auf für den Zusammen-hang zwischen d, h und 48 m. Löse dann diese Gleichung nach h auf. Zeichne ebenfalls den Graphen zur Funktion. Lösung Aufgabe 5 Von einem quadratischen Stück Karton mit der Seitenlänge 30 cm werden an allen vier Ecken kleine Quadrate mit der Seitenlänge x abgeschnitten. Der Rest wird zu einer oben of-fenen Schachtel gefaltet. Bestimme die Funktion, mit welcher aus der Seitenlänge x das Schachtelvolumen V berechnet werden kann. Zeichne auch den Graphen dazu. Wie gross muss x für maximales Schachtelvolumen gewählt werden?

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

d (in m)

h(d) (in m)

( )

22 2 2

2

48Pythagoras: 5762

576

d h r

h d d

+ = = =

⇒ = −

2 10

400

2000

x (in cm)

V(x) (in cm3)

( ) ( )

( )

22

max

Nebenbedingung:30 2

30 2

max. Volumen wenn 55 2000

s x

V x s x x x

xV V

= −

= ⋅ = − ⋅

=

= =

ss


18

2.4 Lineare Funktionen

2.4.1 Einleitung

Eine Funktion deren Gleichung die Form x y m x c= ⋅ +a heisst lineare Funktion. m x⋅ ist der lineare Term, c ist der konstante Term. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Beispiel: ( ) ( )2 1 2 1y x m c= − = = −Steigung y - Achsenabschnitt Wertetabelle:

x -2 -1 0 1 2 3 4

y -5 -3 -1 1 3 5 7

-5 1 5

-5

1

5

x

y

2 1y x= −

1

m

1

c

m


19

weiteres Beispiel: ( )1 13 3 ( )2 2

y x m c= − + = − =Steigung - Achsenabschnitty

Unterscheidungen:

m > 0: steigende Gerade 1:m = der Steigungswinkel der Geraden ist 45° m = 0: horizontale Gerade m < 0: fallende Gerade 1:m = − der Steigungswinkel der Geraden ist −45°

-1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2

-1

1

2

3

4

x

y

1m

x∆

y∆

mes gilt:1

HöhendifferenzHorizontaldifferenz

Die Steigung gibt immer gerade an, um wie viele Einheiten "man" nach oben(positives ) resp. nach unten (negatives ) gehen muss, wenn "man" u

yx

ymx

mm m

∆

∆

∆

∆=

⇒ = =

m1 Einheit nach rechts geht!


20

2.4.2 Diskussion der linearen Funktion

2.4.2.1 Der y-Achsenabschnitt Variiert man den konstanten Term c, so verschiebt sich die Gerade parallel in Richtung der Ordinate (y-Achse). c ist der Wert, bei dem die Gerade die Ordinate schneidet. c heisst daher auch y-Achsenabschnitt.

Beispiele: 11 22

y x= + (c = 2) 21 42

y x= + (c = 4) 31 12

y x= − (c = −1)

2.4.2.2 Steigung und Steigungswinkel Aus dem Steigungswert m kann man den Steigungswinkel α berechnen und umgekehrt: ( ) ( )tan arctanm mα α= ⇔ =

2y

3y

1y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

yA

yB

xB xA

∆y

∆x

y mx c= +

α

-5 1 5

1

x

y

1.5Bsp.: arctan 26.63

α = = °


21

Aufgaben Gib für die folgenden Geraden jeweils die Steigung m, den y-Achsenabschnitt c und die Funktionsgleichung an. a) b)

m = c = m = c = Funktionsgleichung: Funktionsgleichung:

c) d)

m = c = m = c = Funktionsgleichung: Funktionsgleichung:

2

2

x

y

2

2

x

y

2

2

x

y

2

2

x

y


22

e) Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen:

1 2y x= + 4 1y x= − −

2 0.25 2y x= + 5 2 1y x= − +

3 2 0.5y x= − 6 3y =

71 23

y x= − −

-5 1 5

-5

1

5

x

y


23

Lösungen Aufgaben Gib für die folgenden Geraden jeweils die Steigung m, den y-Achsenabschnitt c und die Funktionsgleichung an. a) b)

m = 0.5 c = 1 m = 2 c = −2 Funktionsgleichung: y = 0.5x + 1 Funktionsgleichung: y = 2x − 2

c) d)

m = −0.25 c = 2.5 m = −1.5 c = 0 Funktionsgleichung: y = −0.25x + 2.5 Funktionsgleichung: y = −1.5x

2

2

x

y

2

2

x

y

2

2

x

y

2

2

x

y


24

e) Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen:

1 2y x= + 1 2x= ⋅ + 4 1y x= − − 1 1x= − ⋅ −

2 0.25 2y x= + 5 2 1y x= − +

3 2 0.5 0.5 2y x x= − = − + 6 3y = 0 3x= ⋅ +

71 23

y x= − −

-5 1 5

-5

1

5

x

y

1y

2y

4y5y

6y

3y

7y


25

2.4.3 Die Nullstelle der linearen Funktion

Definition: ( ) ( )0 0 heisst Nullstelle der Funktion , falls 0.x f x f x = In Worten: Die Nullstellen sind jene x-Werte, bei denen der Funktionswert 0 ist. D.h. demnach, dass die

Nullstellen gerade jene Positionen auf der x-Achse sind, bei denen der Graph die x-Achse schneidet.

Aus dem obigen Graphen ist ersichtlich, dass die lineare Funktion eine Nullstelle besitzt. Sie wurde mit x0 bezeichnet. Gerade so gut hätten wir auch x37 sagen können. Die „0“ bei x0 ist lediglich ein Index und hat nichts mit dem Namen „Nullstelle“ zu tun. Allgemein gilt: 00 0y m x c= → ⋅ + =

somit folgt: Nullstelle: ( )0 für 0c cx m

m m−

= = − ≠

Nullstelle

x0

c

y mx c= +

-5 1 5

-5

1

5

x

y

o

im Bsp.: 0.5 22Nullstelle: 0 0.5 2 4

0.5

y x

x x

= +−

= + ⇒ = = −


26

2.4.4 Typische Aufgaben & Beispiele

Beispiel 1: Bestimmung der Funktionsgleichung aus zwei Punkten Gegeben sind die beiden Punkte ( )1P 1.5 | 2− − und ( )2P 3 | 7 . Berechne die Funktionsgleichung der Geraden, welche durch die beiden Punkte geht.

-5 1 5

1

5

x

y 2 1y x= +

( )3 1.5 4.5x∆ = − − =

( )7 2 9y∆ = − − =

( )( )

( )

2 1

2 1

2

1 2

rechnerisch: Ansatz für die Funktionsgleichung:

7 2 9Steigung : 23 1.5 4.5

somit: 2

? P 3| 7 7 2 3 1 2 1

Bem.: anstelle von P hätte man auch P verwenden können um zu

y m x c

y yym mx x x

y x c

c c c y x

c

∆

∆

= ⋅ +

− −−= = = = =

− − −

= +

= ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⇒ = +

( )

( ) ( )

1 2

1 2 1 2

1 2

2 2 2 2

bestimmen.

Zusatz: Mittelpunkt zwischen P und P ?

1.5 3 2 7M M M 0.75 2.52 2 2 2

Abstand von P und P ?

Pythagoras! 4.5 9 10.06

x x y y

d x y∆ ∆

+ + − + − += =

= + = + ≈


27

Beispiel 2: Überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte ( )P 2.5 | 2 und ( )Q 4.5 | 1− auf dem Graphen der Funktion

1.2 5y x= − + liegen!

Vorgehen:Wert des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen, Wert ausrechnen und überprüfen,

ob dieser mit dem Wert des Punktes übereinstimmt.

Liegt auf ? 1.2 2.5 5 2 stimmt mit dem Wert d

x yy

P g y y

− −−

= − ⋅ + = → −

Q

es Punktes übereinP liegt auf dem Graphen von

Liegt auf ? 1.2 4.5 5 0.4 stimmt nicht mit dem Wert des Punktes überein da 0.4 Q liegt unterhalb des Graphen von

y

Q g y yy y

→

= − ⋅ + = − → −→ < − →

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

( )P 2.5 | 2

( )Q 4.5 | 1−

1.2 5y x= − +

g


28

Beispiel 3: Schnittpunktbestimmung & Schnittwinkelberechnung, Berechnung der Nullstelle Gegeben sind die beiden Geraden g und h durch ihre Funktionsgleichungen: a) Berechne den Schnittpunkt S der beiden Geraden.

b) Berechne den Schnittpunkt von jeder Geraden mit der x-Achse (Bestimmung der Nullstelle)

(Die Nullstelle ist derjenige x-Wert, bei dem der Funktionswert y = 0 ist, d.h. gerade die Schnittstelle der Geraden mit der x-Achse!) c) Unter welchem Winkel ϕ schneiden sich die beiden Geraden? Schnittpunktberechnung:

Die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen, x ausrechnen, den y-Wert mit einer der beiden Funktions-gleichungen berechen: Nullstellenberechnung:

Schnittwinkelberechnung:

( )

30.5 1 4 | 44

2 4 3 165 12

2.4 0.5 2.4 1 2.2 S 2.4 | 2.2

x x

x xxx y

+ = − + ⋅

+ = − +== = ⋅ + = ⇒

g h3: 4 : 0.5 14

g y x h y x= − = +

o o

3Nullstelle von : 0 4 | 4 Nullstelle von : 0 0.5 1 | 24

160 3 16 0 2 23

g x h x

x x x x

= − + ⋅ = + ⋅

= − + ⇒ = = + ⇒ = −

g

h

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Sgrösser klein

g

h

er

Schnittwinkel:

3: 44

: 0.5 1

g y x

h y x

ϕ α α−

= −

=

+

= +

ϕ

( )( )

( )

g

h

h g

Steigungswinkel von : arctan 0.75 36.87

Steigungswinkel von : arctan 0.5 26.57

Schnittwinkel von und : 26.57 36.87 63.43

g

h

g h

α

α

ϕ α α

= − = − °

= = °

⇒ = − = ° − − ° = °

hα

gα

hα

gα

Beachte: Der Schnittpunkt ist bei der Schnittwinkel-berechnung nicht relevant!


29

Beispiel 4: Berechnung einer parallelen Geraden Gegeben ist die Funktionsgleichung der Geraden g: 1.5 1gy x= − + .

Berechne die Funktionsgleichung der Geraden h, welche zu g parallel ist und durch den Punkt ( )P 3 | 2− geht.

( ) ( ) h

parallele Gerade haben die gleiche Steigung!

Ansatz: 1.5

P : 2 1.5 3 2.5 1.5 2.5

hy x c

h c c y x

= − ⋅ +

∈ = − ⋅ − + → = − ⇒ = − −

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

gh

( )P 3 | 2−


30

Beispiel 5: Berechnung einer Geraden, welche senkrecht zu einer anderen steht Gegeben ist die Funktionsgleichung der Geraden g: g 2 4y x= −

Berechne die Funktionsgleichung der Geraden h, welche senkrecht auf g steht und durch den Punkt ( )P 5 | 3− geht.

( ) ( )

g h

g

h

Für senkrecht zu einander stehende Geraden gilt, dass das Produkt der Steigungswerte = 1 ist,1

1 1Also: 0.52

Ansatz: 0.5

: 3 0.5 5 0.5 0.5 0.5

h

h

m m

mm

y x c

P h c c y x

−⋅ = −

= − = − = −

= − ⋅ +

∈ = − ⋅ − + → = ⇒ = − +

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

h

g

( )P 5 | 3−1+

2+

2+1−

2+

1+


31

Beispiel 6: Berechnung der Geradengleichung aus Steigungswinkel und einem Punkt Eine Gerade hat einen Steigungswinkel von 35α = ° und geht durch den Punkt ( )P 2 | 4 Berechne die Funktionsgleichung der Geraden g.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y g

( )P 2 | 4

α

( ) ( )tan tan 35 0.7

Ansatz: 0.7

: 4 0.7 2 2.6 0.7 2.6

m

y x c

P g c c y x

α= = ° =

= ⋅ +

∈ = ⋅ + → = ⇒ = +


32

Beispiel 7: Drehen von Geraden Gegeben ist die Gerade : 0.5 1g y x= + Bestimme alle anderen Geraden, welche gegenüber g um (betragsmässig) 40° gedreht sind und durch den Punkt ( )P 1| 1− gehen. Vorgehen: Zunächst den Steigungswinkel der Geraden g bestimmen, dann ± 40° rechnen, um auf die neuen

Steigungswinkel zu kommen. Aus den neuen Steigungswinkeln den Steigungswert bestimmen und dann wie in Beispiel 6 verfahren

( ) ( )( )

g h1 h1 h1

h2 h2 h2

1 1 1 h1

2 2 2 h2

arctan 0.5 26.57 26.57 40 13.43 tan 0.24

26.57 40 66.57 tan 2.31

P : 1 0.24 1 0.76 0.24 0.76

P : 1 2.31 1 3.31 2.31 3.31

m

m

h c c y x

h c c y x

α α α

α α

= = ° → = ° − ° = − ° → = = −

→ = ° + ° = ° → = =

∈ − = − ⋅ + → = − ⇒ = − −

∈ − = ⋅ + → = − ⇒ = −

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

g

( )P 1| 1−

gα

40− °

40+ °

2h

1h


33

2.4.5 Angewandte Aufgaben

1. Elektrischer Strom kann von zwei verschiedenen Anbietern bezogen werden. Anbieter A: 120 Fr. Grundgebühr pro Jahr plus 0.175 Fr. pro kWh. Anbieter B: 60 Fr. Grundgebühr pro Jahr plus 0.20 Fr. pro kWh.

Für welchen Energiebereich (kWh) ist Anbieter A günstiger? 2. In den USA wird die Temperatur nicht in Grad Celsius (°C), sondern in Grad Fahrenheit (°F) angegeben.

Die Fahrenheit-Skala (benannt nach dem deutschen Physiker Daniel Gabriel Fahrenheit) ist so festgelegt, dass 0°C = 32°F und 100°C = 212°F ist. Welche Temperatur ergibt in der Celsiusskala genau den gleichen Wert wie in der Fahrenheitskala? Stelle zunächst eine Umrechnungsformel von °C nach °F auf.


34

Lösungen 1. 2.

Temperaturumrechnung nach Fahrenheit:...Temperatur in °C; ... Temperatur in °F

F 180Temperatursteigung: 1.8C 100

Ansatz: 1.8ein Fixpunkt einsetzen: 32 F 1.8 0 C

32somit °C °F: 1.8 32

x y

m

y m x c x cc

cy x

∆

∆

°= = =

°= ⋅ + = +° = ⋅ ° +

⇒ =→ = +

Wert gleich, d.h. : 1.8 320.8 32

4040 C ist die gleiche Temperatur wie 40 F.

y x x xxx

= = +− =

= −− ° − °

-50 -25 25 50 75 100

-50

-25

25

50

75

100

125

150

175

200

°C

°F

1.8 32y x= +

y x=

Anbieter A: 0.175 120Anbieter B: 0.2 60

schneiden: 0.175 120 0.2 602400

Anbieter A ist beim Bezug von mehr als

2400 kWh Energie günstiger.

y xy x

x xx

= += +

+ = +⇒ =

500 1000 1500 2000 2500 3000

100

200

300

400

500

600

700

800

Energie (in kWh)

Kosten (in Fr.)

AB


35

2.5 Quadratische Funktionen

2.5.1 Einleitung & Definition

Wir haben lineare Funktionen y m x c= ⋅ + bereits ausführlich untersucht. Die Grundform besteht aus einem linearen Term m x⋅ und aus einem konstanten Term c. Viele mathematische oder physikalische Probleme lassen sich jedoch nicht mit linearen Funktionen lösen, sondern es braucht zusätzlich einen weiteren, quadra-tischen Term.

Die Grundform einer quadratischen Funktion ist folgendermassen festgelegt: ( )2 2resp.y a x b x c f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + (Grundform) Der quadratische Term 2a x⋅ muss dabei immer vorkommen (d.h. 0a ≠ ), der lineare Term b x⋅ und der konstante Term c dürfen vorkommen (d.h. b oder c dürfen gleich null sein). Das Schaubild einer quadratischen Funktion ist eine gekrümmte Kurve, man nennt sie Parabel.

Parabelförmig gekrümmte Flächen kommen zum Beispiel bei „Satelliten-Schüsseln“ vor. Parabeln besitzen einen mathematisch exakten Brennpunkt. Alle Strahlen (oder Signalwellen), welche parallel zur Parabelach-se einfallen, werden im Brennpunkt fokussiert. Da dort die Signalstärke am grössten ist, wird dort daher der Empfänger (LNC) montiert. (Zum Vergleich: Linsen besitzen in der Regel eine kreisförmig geschliffene O-berfläche und deswegen besitzen sind keine mathematisch exakten Brennpunkte, sondern nur approximati-ve). Erinnere dich auch an den Physikunterricht zurück: Dort hast du sicher Wurfbewegungen untersucht. Wurf-bewegungen sind beschleunigte Bewegungen, da während dem ganzen Flug die Erdbeschleunigung nach un-ten „zieht“. Wird ein Projektil mit einer Anfangsgeschwindigkeit 0v nach oben geschossen und der Luftwi-derstand oder die Abnahme der Erdbeschleunigung mit der Höhe vernachlässigt, so lässt sich dessen Höhe h über Boden zu einem bestimmten Zeitpunkt t berechnen: ( ) 2 00.5h t g t v t= − ⋅ ⋅ + ⋅ . Auch dies ist eine quadra-tische Funktion (in der Zeit t). Bei Parabelflügen fliegt ein Flugzeug entlang einer Flugparabel Richtung Erde. Es bewegt sich wie ein Kör-per im freien Fall (d.h. ohne Luftwiderstand). Im Flugzeug erfährt ein Mensch scheinbare Schwerelosigkeit für 1-2 Minuten.

-2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

S...Scheitelpunkt

Symmetrieachse


36

Beispiele

2y x= 22y x=20.5y x=

2

2

x

y

2

2

x

y

2

2

x

y

vergrösserna verkleinerna

0 Parabel nach oben geöffnet 0 Parabel nach unten geöffneta a> → < →

2y x= −2Normalparabel:

y x=

Scheitelpunkt

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

x

y

-2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

x

y

Scheitelpunkt

2

2

x

y

2

2

x

y

2 2y x= + 2y x= 2 2y x= −2c = + 2c = −

-2 2

-2

2

x

y


37

2.6 Scheitelpunktform

Die Koordinaten vom Scheitelpunkt können nicht direkt aus der Grundform 2y ax bx c= + + abgelesen wer-den. Das Berechnen aus der Grundform ist indes problemlos möglich, wie wir später sehen werden. Es gibt jedoch noch eine weitere Darstellungsart der quadratischen Funktion, aus der man die Scheitelpunktskoordi-naten direkt ablesen kann.

Die Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist folgendermassen festgelegt: ( )2y a x d e= − + (Scheitelpunktform) Der Scheitelpunkt trägt die Koordinaten S ( d | e ). Die Öffnung a der Parabel wird durch den Faktor vor dem quadratischen Term beschrieben.

Beispiele

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

21

22

23

24

1.5 3 4 S 3 | 4

0.5 2 3 S 2 | 3

2 6 2 S 6 | 2

0.75 1 3 S 1| 3

y x

y x

y x

y x

= + − − −

= − − −

= − + + −

= − − +

1y 2y

3y

4y

( )S 3 | 4− −

( )S 2 | 3−

( )S 6 | 2−

( )S 1| 3


38

2.7 Scheitelpunkt-Berechnung

Durch Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform der quadratischen Funktion ( ) ( )2f x a x d e= − + kann die Funktion in die Grundform ( ) 2f x ax bx c= + + umgeschrieben werden. Als „Abfallprodukt“ dieser Rech-nung erhält man Formeln, wie man die Scheitelpunktkoordinaten der Parabel aus der Grundform der quadra-tischen Funktion berechnen kann. Es folgt somit die x-Koordinate des Scheitelpunktes: Die y-Koordinate des Scheitelpunktes ergibt sich durch Einsetzen des x-Wertes in die Funktionsgleichung! Beispiele

Scheitelpunkt 2bx da

= = −

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2 2

2 2

S

2S

2 2

S

S

3 4 2 3 24 4624direkt ablesen: S 4 | 2 4

2 63 4 24 4 46 2 S 4 | 2

0.5 2 3 0.5 2 52direkt ablesen: S 2 | 3 2

2 2 0.5

0.

y a x d e y ax bx c

y x y x xbxa

y

y x y x xbxa

y

= − + = + +

= − − + = − + −

= − = − =−

= − ⋅ + ⋅ − =

= − + − = − − −

−− − = − = − = −

⋅ −

= −

Scheitelpunktform : Grundform :

( ) ( ) ( )25 2 2 2 5 S 2 | 3⋅ − − ⋅ − − − −

ausmultiplizierenzusammenfassen

ausmultiplizierenzusammenfassen

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

2

2S S

2

2

S S

1.2 8.4 16.2

8.4 3.5 1.2 3.5 8.4 3.5 16.2 1.52 2.4

S 3.5 |1.5 Scheitelpunktform: 1.2 3.5 1.5

2 2 3 1.5 6 9 69 0.75 2 0.75 3 0.75 1.5 9.375

2 12S 0.75 | 9.375 Scheitelpunktf

y x x

bx ya

y x

y x x x xbx y xa

= − +

−= − = − = = ⋅ − ⋅ + =

= − +

= − + = − −

−= − = − = = − ⋅ + = −

−

( )2orm: 6 0.75 9.375y x= − −

324

46

abc

= −== −

0.525

abc

= −= −= −

( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2f x a x d e a x dx d e a x ad x ad e= − + = − + + = ⋅ − ⋅ + +b= c=


39

2.8 Nullstellen-Berechnung

Eine Parabel kann je nach Lage und Orientierung die x-Achse schneiden oder nicht. Man kann drei Fälle un-terscheiden: Die Parabel schneidet die x-Achse an 2 Stellen (d.h. es gibt 2 Nullstellen), die Parabel berührt die x-Achse (d.h. es gibt nur 1 Nullstelle) oder die Parabel schneidet die x-Achse gar nicht (keine Nullstel-len). Um die Nullstellen zu berechnen, muss man den Funktionsterm = 0 setzen und nach x auflösen. Bsp.: Da die Parabel symmetrisch ist zur senkrechten Gerade durch den Scheitelpunkt, bedeutet dies auch, dass die x-Koordinate des Scheitelpunktes immer der Mittelwert der beiden Nullstellen (oder zweier anderer, auf der gleichen Höhe liegenden Punkte) ist. Daher: Bsp.:

( )

2

2

2

1,2

0.5 0.75 0.50 0.5 0.75 0.5

0.50.75 0.75 4 0.5 0.522 0.5

y x xx x

x

= + −

→ = + −

− ± − ⋅ ⋅ − = = −⋅

( ) ( ) ( )

( )

1 2S

2S

0.5 2 0.752 2

0.75 0.5 0.75 0.75 0.75 0.50.78

S 0.75 | 0.78

x xx

y f

+ −= = = −

= − = − + − −

= −

→ − −

1

1

5

x

y

S

Symmetrieachse

( ) ( )( )

( )

( )

2

2

2

1,2

2

S

2S

2 3 4

0 2 3 4

3 3 4 2 42 2

3 3 32 keine Lösungen4

keine Nullstellen

Scheitelpunkt:3 0.75

2 2 2

2 0.75 3 0.75 4 2.875

S 0.75 | 2.875

y x x

x x

x

bx da

y e

= − + −

→ = − + −

− ± − ⋅ − ⋅ −=

⋅ −

− ± −= =

−→

= = − = − =−

= = − ⋅ + ⋅ − = −

→ −

-2 -1 1 2 3

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

x

y


40

weitere Beispiele

( )

( )

( )( )( )

2

2

2

2

1

2

1.5 3 6

Scheitelpunkt S 3 | 6

Nullstellen: 1.5 3 6 0

1.5 3 6

3 43 2 1

5

y x

x

x

xx x

x

= + −

− −

+ − =

+ =

+ =

+ = ± = −= −

-6 -4 -2

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

-2 2 4

-6

-4

-2

2

x

y

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

x

y

( )

2

2S S

2

2

1,2

2 0.5 0.25

Scheitelpunkt:0.5 1 2 0.5 1 0.25 1 2.25

2 0.5

S 1| 2.25

Nullstellen: 2 0.5 0.25 02 8 0

42 4 32 2 622 2

y x x

bx ya

x xx x

x

= + −

= − = − = = + ⋅ − ⋅ =−

+ − =

− − =

± + ±= = = −

( )( )

( )

( )( )

( )

1 2

1 2S

S

0.6 2 5 2

Nullstellen: 2; 0.4

2 0.4Scheitelpunkt: 0.8

2 20.6 0.8 2 5 0.8 2 4.32

S 0.8 | 4.32

y x x

x x

x xx

y

= − +

= = −

+ −+= = =

= − ⋅ + = −

−


41

2.9 Schnittpunktberechnung

Wir haben bereits früher den Schnittpunkt von zwei Geraden berechnet. Dazu mussten wir die beiden Funk-tionsgleichungen gleichsetzen, nach x auflösen und noch den zugehörigen y-Wert berechnen. Möchte man nun den Schnittpunkt von einer Geraden mit einer Parabel oder von zwei Parabeln berechnet, so geht man nach dem gleichen Prinzip vor. Es sind 3 verschiedene Fälle möglich: Es gibt keinen Schnittpunkt, genau ei-nen Schnittpunkt (Berührungspunkt) oder zwei Schnittpunkte. Beispiel Berechne die Schnittpunkte:

( )

( ) ( )

( )

( )

21

22

2 2

2

2

A,B

2A

2B

0.5 30.5 3 5

0.5 3 0.5 3 52 8 0

2 2 4 1 82 1

22 36 2 642 2

0.5 2 2 3 3

0.5 4 4 3 9

A 2 | 3

B 4 | 9

y x xy x x

x x x xx x

x

y

y

= − −

= − − +

⇒ − − = − − +

+ − =

− ± − ⋅ ⋅ −=

⋅− ± − ±

= = = −

= ⋅ − − = −

= ⋅ − − − − =

→ −

→ −

-5 1

-5

1

5

10

x

y

A

B

1y

2y


42

weitere Beispiele Aufgaben Berechne die Schnittpunkte.

( )2 21 22 2

1 2

a) 0.5 4 14 und = 0.5 4 2 Lösung: A 4| 6

b) 3 1.5 3.75 und = 0.5 4 2 Lösung: keine Schnittpunkte

y x x y x x

y x x y x x

= + + − − − −

= + + − − −

( ) ( )

( )

( )

21

2

1 22

2

1,2

A

B

2 4 5 21.25 3 2

40.5 3.2

Schnittpunkte von mit :0.5 3.2 1.25 3 2

1.25 2.5 1.2 0

2.5 6.25 4 1.25 1.22 1.25

0.5 2.4 3.2 22.42.5 3.50.5 0.4 3.2 3.40.42.5

A 2

x x xy x x

y x

y yx x x

x x

x

yy

− − −= = − + −

= −

− = − + −

− − =

± − ⋅ ⋅ −⇒ =

⋅= ⋅ − = −±

= = ⇒ = ⋅ − − = −−

⇒

( ) ( ).4 | 2 B 0.4 | 3.4− ⇒ − −

( )( )

( )

21

2

1 22

2

2

2

0.5 0.5 1.50.5 2

Schnittpunkte von mit :

0.5 2 0.5 0.5 1.50 0.5 0.5

0 0.5 2 1

0 0.5 11 1.5

A 1| 1.5

y x xy x

y yx x x

x x

x x

xx y

= − −= −

− = − −

= − +

= − +

= −

= ⇒ = −

⇒ −

-1 1 2 3

-2

-1

1

2

x

y

A

1y

2y

-1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

x

y

A

B

1y

2y


43

2.10 Funktionsbestimmung

Eine Parabel p geht durch die Punkte P( 4 | 3 ), Q( −3 | −7.5 ) und R( 6 | −3 ). Bestimme die Funktionsgleichung von p. Eine Parabel p hat den Scheitelpunkt S( 1 | −5 ) und geht durch den Punkt P( 4 | 2.5 ). Bestimme die Funktionsgleichung von p.

2

2

Ansatz:

P einsetzen: 3 16 4Q einsetzen: 7.5 9 3R einsetzen: 3 36 6

16 4 319 3 7.5 ; 2; 32

36 6 31 2 32

y ax bx c

a b ca b c

a b c

a b ca b c a b ca b c

y x x

= + +

= + +− = − +

− = + +

+ + =− + = − ⇒ = − = =+ + = −

⇒ = − + +

( )

2

1. Möglichkeit:

Ansatz:

S einsetzen: 5P einsetzen: 2.5 16 4

Symmetrie ausnützen: P 2 | 2.5 liegt auch auf der Parabel!P einsetzen: 2.5 4 2

55 516 4 2.5 ; ;6 3

4 2 2.5

y ax bx c

a b ca b c

a b c

a b ca b c a b ca b c

= + +

− = + += + +

′ −

′ = − +

+ + = −+ + = ⇒ = = −− + =

( )

( )

2

2

25 5 5 256 6 3 6

2. Möglichkeit:

Symmetrie wird durch Verwendung der Scheitelpunktform automatisch ausgenützt, nur derScheitelpunkt und noch ein weiterer Punkt sind nötig!

Ansatz:

S | einsetze

y x x

y a x d e

d e

= − = − −

= − +

( )( )

( )

2

2

2 2

n: 1 5

P einsetzen: 2.5 4 1 5 9 57.5 5 5 5 5 259 7.5 1 59 6 6 6 3 6

y a x

a a

a a y x x x

= − −

= − − = −

= ⇒ = = = − − = − −

-2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

x

y

P

Q

R

-2 2 4

-6

-4

-2

2

x

y

S

P′ P


44

2.11 Logarithmische Koordinatensysteme

2.11.1 Die lineare Skala

Die lineare Skala zeichnet sich durch einen konstanten (gleichen) Abstand zwischen zwei Zahlenwerten aus. Bsp.: a = 1 Zahlenwerte: 2.11.2 Die logarithmische Skala

In einer logarithmischen Skala werden den Einteilungen Potenzwerte zu einer bestimmten Basis zugeschrie-ben. Zwischen je zwei willkürlich gewählten Einteilungen hat man daher nicht mehr die gleiche Differenz sondern den gleichen Faktor. Bsp: Basis b = 10 Zahlenwerte: (log. Skala) Die „Abstände“ in den Exponenten sind gleich, die Differenzen der Potenzwerte (untere Zahlenreihe) jedoch nicht. Eine (additive) Vergrösserung des Exponenten um 1 entspricht einer Multiplikation des Zahlenwertes mit der Basis b, hier mal 10. Trägt man in einer logarithmischen Skala auch Zwischenwerte ein, so sieht das folgendermassen aus: Frage: Wo auf der obigen Skala liegt der Wert x = 13? Lösung: Schreibe die Zahl 13 als Potenz zur Basis der logarithmischen Skala, d.h. hier als Zehnerpotenz: ( ) 1.11410 13 log 13 1.114 d.h. 10 13x x x= ↔ = → ≈ ≈ x = 13 ist also etwa 1.11410 , d.h. etwa 0.114 Teilstriche rechts des Wertes 10 Logarithmische Skalen sind zum Beispiel dann sinnvoll, wenn man Zahlenwerte darstellen will, welche sich über einen grossen Zahlenbereich verteilen und man bei kleinen Zahlenwerten trotzdem eine hohe Darstel-lungsauflösung haben will, damit man kleine Zahlenwerte grafisch auseinander halten kann.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 810 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 ....

− − −x

0 1 2

1.114

1 2 3 4 5 6 10 20 30 40 50 10010 10 10

1310≈

x

5 cm entspricht der Länge „1“ im Exponenten

0.57 cm entspricht „0.114“ im Exponenten


45

Aufgabe Gegeben ist eine logarithmische Skala gemäss nachfolgender Skizze. a) Vervollständige die Achsenbeschriftung. Wie gross ist die Basis? b) Trage die folgenden Werte in der logarithmischen Skala ein: 1 32x = 2 200x = 3 0.1x = c) Bestimme den Zahlenwert von 4x = d) Wo liegen die Werte in der logarithmischen Skala? 5 0x = 6 3x = − ?

1 1 44

x

4x


46

Lösung Gegeben ist eine logarithmische Skala gemäss nachfolgender Skizze. a) Vervollständige die Achsenbeschriftung. Wie gross ist die Basis? 4 b) Trage die folgenden Werte in der logarithmischen Skala ein: 1 32x = 2 200x = 3 0.1x = c) Bestimme den Zahlenwert von 4x = d) Wo liegen die Werte in der logarithmischen Skala? 5 0x = 6 3x = − ?

2 1 0 1 2 3 4

1 16 64 256164 4 4 4 4 4 4− −

1 1 44

x

4x

( ) ( )( )4log 0.1

0.1 4 log 0.1 1.66log 4

z z= → = = = −

1.6cm11.82cm4 4 12.1

+ = ≈

Werte 0 existieren nicht in einer log. Skala≤

3.822 4x =

1.663 4x

−= 2.51 4x =

( ) ( )( )4log 32

32 4 log 32 2.5log 4

z z= → = = =

( ) ( )( )4log 200

200 4 log 200 3.82log 4

z z= → = = =

x = 32 = 42.5 liegt grafisch in der obigen log-Skala in der geomet-rischen Mitte zwischen 16 und 64, weil der Exponent 2.5 der Mittelwert von 2 und 3 ist. Es wäre falsch, in der grafischen Mitte den Mittelwert von 16 und 64, d.h. 40 anzunehmen!


47

2.11.3 Einfach logarithmische Koordinatensysteme

In einfach logarithmischen Koordinatensystemen ist eine Achse (x- oder y-Achse) logarithmisch skaliert, während dem die andere Achse linear skaliert ist. Aufg.: a) Vervollständige die Achsenbeschriftung. b) Welche Achse ist linear resp. logarithmisch skaliert? c) Zeichne folgende Punkte ein: d) Bestimme die Koordinaten der Punkte:

-3 -2 -1

2

4

32

x

y

4P

5P

( )

( )

( )

1

2

3

P 0 |1

2 | 0.3

P 1.5 |19

P

=

= −

=

4

5

P

P

=

=


48

Lösung a) Vervollständige die Achsenbeschriftung. b) Welche Achse ist linear resp. logarithmisch skaliert? linear à x-Achse, log à y-Achse c) Zeichne folgende Punkte ein: d) Bestimme die Koordinaten der Punkte:

-3 -2 -1 1 2 3

1/32

1/16

1/8

1/4

1/2

2

4

8

16

32

x

y

4P

5P

( )

( )

( )

1

2

3

P 0 |1

2 | 0.3

P 1.5 |19

P

=

= −

=

( )

( )

( )

0

1.75

4.25

0 | 2

2 | 2

1.5 | 2

−

≈

≈ −

≈

( ) ( )

( ) ( )

2.5

4.75

2.25 | 2 2.25 | 0.18

1.5 | 2 1.5 | 26.9

−

− −

≈

≈

2-5

2-4

2-3

2-2

2−1

21

22

23

24

25

1P

3P

2P

4

5

P

P

=

=


49

2.11.4 Funktionen dargestellt in logarithmischen Koordinatensystemen

In einem kartesischen Koordinatensystem (Achsen senkrecht zueinander, x- und y-Achse linear skaliert) lässt sich nur die lineare Funktion schnell und einfach darstellen, da der Graph eine Gerade ist. Die Graphen von anderen Funktionen sind aufwendiger darzustellen, da es gekrümmte Linien sind. In logarithmischen Koor-dinatensystemen hingegen sind die Graphen von Exponentialfunktionen ( xy k a= ⋅ ) und Potenzfunktionen ( ny k x= ⋅ ) Geraden, wie die folgenden Seiten zeigen. Exponentialfunktionen ⋅ xy = k a In einfach logarithmischen Koordinatensystemen mit linear skalierter x-Achse und logarithmisch skalierter y-Achse ist der Graph einer Exponentialfunktion ( , 0, 0xy k a k a= ⋅ > > ) stets eine Gerade. Die Basis der y-Achse darf prinzipiell beliebig sein. In der Praxis wählt man in der Regel die Basis 10, weshalb wir uns auf diesen Basiswert beschränken. linear skaliert y log. skaliert, y-Basis = 10 Ohne „mathematische Verrenkungen“ lassen sich leider mit den TI- und HP-Rechnern die Koordinatenach-sen nicht logarithmisch darstellen!

-5 -4 -3 -2 -1 1 2

1

2

3

4

x

y 2 3 2xf = ⋅ 1 2

xf =P

( ) ( )

( )( )

2

2.3

Wie die Funktionsgleichung bestimmen?

Aus dem linear oder logarithmisch skaliertenKoordinatensystem 2 beliebige Punkte auslesen:

P 2 | 4 und Q 2.3 | 0.2 in

Ansatz einsetzen + GLS lösen:

1420.2

xy k a

k ak a−

−

= ⋅

= ⋅

= ⋅

( )( )

2.3

2

4.3 4.3

2

2 0.21 4

0.05 0.05 24aus (I) 1 1 2x

k ak a

a a

k ya

−

− −

⋅ ⇒ = =⋅

⇒ = ⇒ = ≈

= = ⇒ = ⋅

y

10-2

10-1

101

100 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

3k =2 3 2

xf = ⋅ 1 2xf =

2.3−

0.2

4P

Q


50

Beispiel Bestimme die Funktionsgleichung der gezeichneten Funktion.

( ) ( )

( )( )

( )( )

5 49

54

9

5

P 5 | 30 und Q 4 | 0.5 in einsetzen:

130 2 0.5 0.016672 1 300.5

0.01667 0.63430aus (I) 3.09 3.09 0.63

0.634

Kontrolle: bei 0 ist der Funktionswert ca. 3.

x

xx

y k a

k a k a ak ak a

ayk y

a

x y

−

−

−

− = ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ = = ⇔ = ⋅= ⋅

= =

= = = ⇒ = ⋅

= =

10-2

10-1

101

100

103

102

-6 -5 -3 -2 -4 -1 1 2 4 5 3 6 0

P

Qy


51

Aufgabe 1 Zwei elektronische Vorgänge werden gemessen. In einem linear skalierten Koordinatensystem liegen die Da-tenpunkte auf einer Kurve, weshalb die Datenpunkte in einem einfach logarithmisch skalierten Koordinaten-system aufgetragen werden. Nun liegen die Datenpunkte ungefähr auf Geraden, dargestellt durch y1 und y2 (je 1 Gerade pro elektronischen Vorgang, Datenpunkte nicht eingezeichnet). Bestimme die Funktionsgleichungen ( xy k a= ⋅ ) der beiden Geraden.

10-2

10-1

101

100

103

102

-6 -5 -3 -2 -4 -1 1 2 4 5 3 6 0

2y

1y


52

Lösung Aufgabe 1 Zwei elektronische Vorgänge werden gemessen. In einem linear skalierten Koordinatensystem liegen die Da-tenpunkte auf einer Kurve, weshalb die Datenpunkte in einem logarithmisch skalierten Koordinatensystem aufgetragen werden. Nun liegen die Datenpunkte ungefähr auf Geraden, dargestellt durch y1 und y2 (je 1 Ge-rade pro elektronischen Vorgang, Datenpunkte nicht eingezeichnet). Bestimme die Funktionsgleichungen ( xy k a= ⋅ ) der beiden Geraden.

10-2

10-1

101

100

103

102

-6 -5 -3 -2 -4 -1 1 2 4 5 3 6 0

2y

1y

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

2 11 2

2 3 1 03 3

2 3 31 0

1

10

0 11 2

0 0

1

P 3| 4 10 und P 0 | 4 10 in einsetzen:

14 10 2 4 10 1102 1 4 104 10

104 10 40 40 1010

Q 0 | 2 10 und Q 3.5 | 2 10 in einsetzen:

2 102 10

x

xx

x

y k a

k a k a ak a ak a

ayk y

a

y k a

k ak

−

− −

− − −

−

−

− ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = = ⇔ = =⋅ ⋅⋅ = ⋅

=

⋅= = = ⇒ = ⋅

⋅ ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅

⋅ =

( )( )

( )( )

( ) ( )

1 3.51 3.5

0 03.5

11 13.5 1 0.2863.53.5 3.5

0

20

1 2 2 10 102 1 2 10

10 10 10 0.518

2 10 2 2 0.5180.518

xx

k a ak aa

a a

yk ya

−−

−− −

⋅ ⋅ ⇒ = = ⇔ = ⋅ ⋅⋅

= = = = ≈

⋅= = = ⇒ = ⋅


53

Potenzfunktionen ⋅ ny = k x In doppelt logarithmischen Koordinatensystemen (beide Achsen log. skaliert) ist der Graph einer Potenz-funktion ( , 0, 0ny k x k x= ⋅ > > ) stets eine Gerade. Die Basen dürfen prinzipiell beliebig (auch verschieden) sein. In der Praxis wählt man in der Regel die Basis 10, weshalb wir uns auf diesen Basiswert beschränken. linear skaliert log. skaliert, Basis = 10

21y x=

22 0.1y x=

13 10y x

−=

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

x

y

( ) ( )

( )

1 2 1 0

2 1

0

Wie die Funktionsgleichung bestimmen?

Aus dem linear oder logarithmischskalierten Koordinatensystem 2 beliebige Punkte auslesen:

P 10 | 10 und Q 10 |10 in

Ansatz einsetzen + GLS lösen:

10 10

10

n

n

y k x

k

k

−

−

= ⋅

= ⋅

= ⋅ ( )( )( )

( )( )

1

2

0

2

21

3

1210

1 10 102 10 10

100 10 110aus (I): 10 1010

n

n

n

n

n

kk

n

k y x

−

−

−−

⋅⇒ = =

⋅

⇒ = ⇒ = −

= = ⇒ = ⋅

10-2 10-1 101 102 10-2

10-1

101

100

100 103

103

102

21y x=

22 0.1y x=

13 10y x

−=

P

Q


54

Aufgabe 2 Zwei andere elektronische Vorgänge werden gemessen. In einem linear skalierten Koordinatensystem liegen die Datenpunkte auf einer Kurve, weshalb die Datenpunkte in einem doppelt-logarithmisch skalierten Koor-dinatensystem aufgetragen werden. Nun liegen die Datenpunkte ungefähr auf Geraden, dargestellt durch y1 und y2 (je 1 Gerade pro elektronischen Vorgang, Datenpunkte nicht eingezeichnet). Bestimme die Funktionsgleichungen ( ny k x= ⋅ ) der beiden Geraden.

10-2 10-1 101 102 10-2

10-1

101

100

100 103

103

102 1y

2y


55

Lösung Aufgabe 2 Zwei andere elektronische Vorgänge werden gemessen. In einem linear skalierten Koordinatensystem liegen die Datenpunkte auf einer Kurve, weshalb die Datenpunkte in einem doppelt-logarithmisch skalierten Koor-dinatensystem aufgetragen werden. Nun liegen die Datenpunkte ungefähr auf Geraden, dargestellt durch y1 und y2 (je 1 Gerade pro elektronischen Vorgang, Datenpunkte nicht eingezeichnet). Bestimme die Funktionsgleichungen ( ny k x= ⋅ ) der beiden Geraden.

10-2 10-1 101 102 10-2

10-1

101

100

100 103

103

102 1y

2y

0.70210 2.2k

+= =

0.651210 21.1k

+= =

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )( )( )

2 2 11 2

2 2 2 21 3

11 1

124/3 3

11/32

1 2

P 10 |10 und P 10 |10 in einsetzen:

10 10 1 1 10 10 10 102 2 10 1010 10

1 10 10 21.5 21.53 10

Q 0.1| 5 und Q 10 |1 in einsetzen:

15 0.121 10

n

nn

nnn

n

n

n

n

y k x

k kkk

yn k y xx

y k x

kk

−

−−

= ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ = = ⇔ = ⋅= ⋅

⇒ = ⇒ = = = = ⇒ = ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅

( )( )

( )( )

0.349520.3495

2 1 10 100.21 5 0.1 0.1

log 0.2 10.2 100 0.3495 2.236 2.236log 100 10

nn

n

nn

kk

yn k y xx

−−

⋅ ⇒ = = ⇔ = ⋅

⇒ = ⇒ = = − ⇒ = = = ⇒ = ⋅


56

Beispiel: Tiefpassfilter 1. Ordnung Der abgebildete RC-Tiefpassfilter zeigt folgende Übertragungscharakteristik: Die Cutoff-Frequenz beträgt ( ) 1C 2π 159.1 Hzf τ

−= ⋅ = . Mit zunehmender Frequenz nimmt die Verstärkung ab. In einem doppelt-logarithmischen Koordinatensystem aufgetragen, nimmt die Verstärkung ab einer Fre-quenz von ca. 1000 Hz entlang einer Geraden ab, pro Dekade um den Faktor 10 (20 dB). Warum?

Die Übertragungsfunktion ist ( )( )

a2

e

1

1 2π

UA fU f τ

= =+ ⋅ ⋅

. Für Frequenzen ab ca. 1000 Hz spielt die „1“

im Nenner keine grosse Rolle mehr. Man kann daher die Übertragungsfunktion vereinfachen: „−1“ beschreibt das (grafische) Gefälle der Geraden um −45°, d.h. also pro Dekade um den Faktor 10!

1 10 1000 10000 0.0001

0.001

0.1

0.01

100 100000

1

( )in Hzf

A

( )( ) ( )

( ) ( )

1

2 2

1

Achse Achse

1 1 1 12π 2π1 2π 2π

1 1log log log 1 log2π 2π

y x

A f fff f

A f f

τ ττ τ

τ τ

−

−

− −

= ≈ = = ⋅⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ 123 123

eU aU10 kR = Ω

1μFC =


57

2.12 Funktionsapproximation

2.12.1 Einführung

Ausserhalb der Mathematik hat man es häufig mit real gemessenen Daten zu tun, welche nicht kontinuierlich sind, sondern diskret und zusätzlich noch mit einem Fehler behaftet sind. Der Physiker misst z.B. zu ver-schiedenen Tageszeiten die Stärke der Sonneneinstrahlung. Wie lässt sich daraus die Sonneneinstrahlung für einen nichtgemessenen Zeitpunkt errechnen? Oder der Bauingenieur misst für unterschiedliche Belastungen einer horizontalen Stange deren Durchkrümmung. Wie könnte man aus den gemessenen Werten Durch-krümmungen für nichtgemessene Belastungen berechnen? In der Mathematik unterscheidet man i.d.R. zwischen Regression und Fit. Bei der Regression werden die gemessenen Daten als exakt angenommen. Beim Fit hingegen werden zusätzlich noch die Fehlerschranken der Messwerte in die Rechnung miteinbezogen. In diesem Teilkapitel lernen wir die Grundzüge der Regression kennen. Wir versuchen, Messreihen durch eine Funktion möglichst gut anzunähern (approximieren). In einem weiteren Schritt (siehe Übung) können dann mit der gefundenen Funktion Zwischenwerte berechnet werden (diesem Vorgang sagt man interpolie-ren). 2.12.2 Einstiegs-Beispiel

Ein Elektroniker schliesst beide Enden eines Chromnickel-Drahtes an eine Spannungsquelle. Für verschie-dene Spannungen U misst er nun die Stromstärke I im Chromnickel-Draht. Er erhält dabei folgende Mess-werte:

Spannung U (in V) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Stromstärke I (in A) 0.11 0.18 0.28 0.36 0.44 0.54

Der Graph zeigt, dass die Messwerte offenbar fast auf einer Geraden liegen. Die einfachste Art, diese Mess-werte durch eine Funktion zu approximieren ist mit einem linearen Ansatz (lineare Regression): Ansatz: y m x c= ⋅ +

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

U (in V)

I (in A)


58

Die Aufgabe besteht nun darin, die beiden Parameter m und c (Steigung und y-Achsenabschnitt) der Geraden so zu finden, dass die Fehler („Abstände“) zu den Messwerten möglichst klein werden. Wenn man einfach alle Fehler zusammenzählen würde, so könnten sich bestimmte Fehler gegenseitig auslöschen, da Fehlerwer-te entweder positiv oder negativ sind. Damit das nicht passiert, schaut man sich bei jedem Messwert die Qua-drate der Fehler an (diese sind nie negativ!) und addiert diese. Wir müssen nun also m und c so finden, dass gilt: ( )22 i i

alle Messwerte alle Messwerteminimali ˆf y y= − =∑ ∑

i ii i

bezeichnet den Messwert an der Stelle ist der berechnete Werte an der Stelle

ŷ xy x

Das obige Optimierungsverfahren nennt man auch Methode der kleinsten Quadrate. Im Falle von linearer Regression lässt sich das Problem mit Hilfe linearer Algebra (siehe 3. Semester) lösen. Bei nicht-linearer Regression ist i.d.R ein Computerprogramm notwendig. Mit dem Voyage200 löst man das Problem folgendermassen: 1. Daten eingeben: - APPS wählen - 6: Data/Matrix Editor - 3: New Type: Data Folder: main Variable: Name, unter welchem das Problem gespeichert wird Spalte c1: x-Werte eingeben Spalte c2: y-Werte eingeben

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

y

ix

iŷ

iy

1f

2f3f

4f5f


59

2. Lineare Regression der Daten: F5 – Calc Calculation Type: 5: LinReg x: c1 y: c2 Store ReqEQ to: y1(x) (leere Funktion wählen) Enter Parameter: m = a = 0.172 c = b = 0.017333 R2 zeigt die Güte der Approximation. Je näher R2 bei 1, desto genauer. (1 = exakt) 0 172 0 017333y . x .⇒ = +

3. Daten und Regression plotten (optional): F2 – Plot Setup leeren Plot wählen à F1 Plot Type: Scatter Mark: Box x: c1 y: c2 Enter Raute-R zeichnet die Funktionswerte und die Regressionskurve Beachte: Die Gerade geht nicht exakt durch die Punkte! Sie wird so zwischen die Punkte gelegt, dass die quadratischen Fehlerabstände möglichst klein werden.


60

Mit dem TI-NSpire CX CAS löst man das Problem folgendermassen: 1. Daten eingeben: - „On (Home)“, neue „Lists & Spreadsheets“ wählen - Spalte A mit „u“ beschriften (Spalte A = x-Werte) - Spalte B mit „i“ beschriften (Spalte B = y-Werte) - Daten in Spalten A und B eingeben 2. Lineare Regression der Daten: - „Menu“, 4,1,3 „Lineare Regression“ wählen - x-Liste = ´u (Auswahlmenu ->) - y-Liste = ´i (Auswahlmenu ->) - RegEqn speichern unter f1 (oder andere freie Funktion wählen) - 1. Ergebnisspalte = c[] - ok à Regression wird durchgeführt Parameter: m = 0.172 c = b = 0.017333 R2 zeigt die Güte der Approximation. Je näher R2 bei 1, desto genauer. (1 = exakt) ( )1 0 172 0 017333f x . x .⇒ = + 3. Daten plotten (optional): - „On (Home)“, neuer „Graph“ wählen - Grafiktyp mit „Menu“ 3 auf „Streudiagramm“ stellen. - x ß u, y ß i, Enter à Graph wird dargestellt 4. Regressionskurve plotten (optional): - mit „Menu“, 3, 1 Funktion ins bestehende Diagramm reinzeichnen - mit „Aufwärtspfeil“ auf dem Pad diejenige Funktion auswählen in

welche die Regression gespeichert wurde (hier f1)


61

2.12.3 Wahl der Funktion

Im vorangegangenen Beispiel war intuitiv schnell ersichtlich, dass sich die Messwerte gut mit einer linearen Funktion annähern lassen. Wie wählt man aber nun die Funktion, wenn dies aus den Messwerten nicht er-sichtlich ist? Dies ist der schwierigere Teil bei der Funktionsapproximation. Jeder Approximationsrechnung geht eine Modellbildung voraus. In Abhängigkeit der physikalischen Gegebenheiten versucht man, einen vernünftigen Funktionsansatz zu finden. Bei radioaktiven Zerfallsprozessen wird man keinen linearen Ansatz wählen, sondern eine exponentiell fallende Funktion. Oder bei rotationssymmetrischen Problemen (z.B. bei Drehungen mit Zahnrädern, etc.) kann es sinnvoll sein, Sinus- und Cosinus-Terme in den Approximationsan-satz mit einzubeziehen. Je nachdem, welchen Funktionsansatz man wählt, desto genauer können die Messwerte angenähert werden. Beispiel: Gegeben sind folgende Werte

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 4 7 9 7 3 2 2 4

Linearer Ansatz: y m x c= ⋅ + Polynom 4. Grades: 4 3 2y a x b x c x d x e= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

Mathematik I / Summen

62

3 Summen

3.1 Einführung

Für Summen von vielen Gleichartigen Summanden verwendet man eine kompakte Schreibweise: Beispiele:

1. {

}Endwertdes Zählers

Startwertdes Zählers

100

11 2 3 4 5 .......... 100

kk

=

+ + + + + + = ∑

2. {

}Endwertdes Zählers

Startwertdes Zählers

10002 2 2 2 2

11 4 9 16 .......... 1'000 '000 1 2 3 4 .......... 1000

kk

=

+ + + + + = + + + + + = ∑

Oft verwendet man die Variable k als Zähler. Die Schrittweite ist immer gleich 1. Es handelt sich pro-grammtechnisch gesprochen also um eine for-Schleife:

Beispiel im Pseudocode: 9

44 1

kS k

=

= +∑ Anfangswert der Summe: S = 0 Anfangswert des Zählers: k = 4 for k = 4 to 9

S := S + 4k + 1 end

Endwert des Zählers: k = 9 Endwert von S (Summe): 17 21 25 29 33 37 162S = + + + + + = 3.2 Beispiele

1. 5

12

kk

=

=∑

2. ( )5

11 k

kk

=

− =∑

3. 50

452

kk

=

=∑

4. 5

12k

k==∑

Mathematik 2 / Summen

63

5. 3

5A

A

α

α

+

=

=∑

6. 11

2

712

yx y

=

=∑

7. 10

1 1

k==∑

8. Schreibe die kompakt dargestellte Summe explizit aus:

4

02 k

ky kx

=

= =∑ 9. Schreibe die ausgeschriebene Summe in kompakter Form mit dem Summenzeichen:

7 6 5 21 15 ...5 625

y x x x x= + + + + =

3.3 Summenberechnung mit dem Rechner

Beispiele

1. mit TI89/Voyage200: ( )13

2 2

2, , 2,13 818

nn n n

=

= =∑ ∑ ( )2 , , 2,13n n =∑ mit TI-NSpire: Ctrl+„Fähnchen“, Σ wählen

2. 2

2 21

1 1 π, ,1,6n

nn n

∞

=

= ∞ =

∑ ∑

Mathematik 2 / Differentialrechnung

64

4 Differentialrechnung

I do not know what I may appear to the world, but to myself

I seem to have been only a boy playing on the sea shore, and diverting myself now and then finding a smoother pebble

or a prettier sea shell than ordinary whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me.

Sir Isaac Newton

Englischer Physiker, 1643-1727

4.1 Ziele

Nach diesem Kapitel verstehst du die Grundzüge der Differentialrechnung. Es ist wichtig, dass du zu jedem Zeitpunkt verstehst, was du rechnest. Ziel ist es nicht nur, stur die Differen-tialrechnung anzuwenden, sondern vielmehr sich ein Grundverständnis dieser Materie anzueignen.

• Funktionen können grafisch abgeleitet werden. • Prinzip zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt als Grenzwertprozess verstanden. • Polynomfunktionen können von Hand abgeleitet werden. • Funktionen können unter Benutzung der Ableitungsregeln von Hand und mit dem TR abgeleitet wer-

den. • Extrem- und Wendepunkte von Funktionen können rechnerisch bestimmt werden. • Extremwertprobleme können mathematisch formuliert und gelöst werden

4.2 Wo braucht man die Differentialrechnung?

Wenn wir uns mit dem Wetter befassen, so interessiert uns oft nicht den zur Zeit herrschenden Zustand, son-dern die zukünftige Entwicklung. Die grosse Frage ist, wie das Wetter in den nächsten Tagen und Wochen sein wird. Wir probieren anhand von Wolken, Luftdruck, Satellitenbildern und noch vielen anderen Informa-tionen, das Wetter vorhersagen zu können. Eine Warmfront zum Beispiel kündigt sich mit sehr hohen Schlei-erwolken an. Das Wetter ist zur Zeit noch schön, die Schleierwolken verdecken die Sonne kaum, sie sagen aber etwas über die Veränderung des Wetters aus. Die Warmfront wird Wolken und Regen mitbringen. Die Schleierwolken sagen uns also etwas über das Veränderungsverhalten des Wetters. Das Änderungsverhalten ist das interessante am Wetter und nicht der effektive Zustand. Kenntnis vom Ände-rungsverhalten lässt eine Aussage über das zukünftige Wetter zu. In der Elektronik trifft man häufig auf Regelsysteme. Das Charakteristische an Regelsystemen ist die Rück-führung (Rückkopplung) des Ist-Wertes (Ausgangswert) zum Soll-Wert (Eingangswert). Neben der einfa-chen negativen Rückführung, bei der der Ist-Wert den Soll-Wert entgegengesetzt beeinflusst (z.B. d.h. ein zu hoher Ist-Wert bewirkt eine Korrektur nach kleineren Werten), trifft man häufig auch auf differentielle Rückkopplung: Wenn der Ist-Wert schnell schwankt, so soll die Korrektur auch schnell von statten gehen. Ändert der Ist-Wert nur langsam, so soll die Korrektur ebenfalls nur langsam erfolgen. Die Information, wie schnell sich Grössen eines Systems verändern, ergibt sich aus der Differentialrechnung. Auch bei vielen anderen physikalischen, technischen und finanzmathematischen Systemen trifft man auf derartige differentielle Regelungsmechanismen. Das Änderungsverhalten ist oft viel wichtiger und interes-santer als der effektive Zustand, denn das Änderungsverhalten eines Systems lässt eine Aussage zu, wie es in der nahen Zukunft aussieht.


65

4.3 Grafisches Bestimmen der Ableitung einer Funktion

Um das Änderungsverhalten einer Funktion bestimmen zu können, braucht man ein Maß, das angibt, wie stark sich die Funktion an jeder Stelle ändert. Die Änderung an einer Stelle der Funktion ist gleich der Stei-gung der Tangenten an die Funktion an der entsprechenden Stelle. Bsp.: In der unten dargestellten Funktion soll das Änderungsverhalten an jeder Stelle grafisch bestimmt

werden. Dazu muss man an jeder Stelle die Steigung der Tangenten bestimmen. Wir beschränken uns allerdings auf einige Stellen und extrapolieren die Ergebnisse. Die Steigungswerte aus der oberen Gra-fik trägt man nun als neue Funktionswerte (y-Werte) ins untere Koordinatensystem ein. Durch Verbin-den der neuen Funktionswerte findet man eine neue Funktion, welche das Änderungsverhalten der ur-sprünglichen (oberen Funktion) beschreibt. Dieser neuen (unteren) Funktion sagt man Ableitung. Die Funktionswerte (y-Werte) der Ableitung sind also gerade die Steigungswerte der abzuleitenden Funk-tion!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3

-2

-1

1

2

3

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3

-2

-1

1

2

3

x

( )f x

( )f x′


66

Aufgabe Bestimme bei folgender Funktion die Ableitung qualitativ, in dem an einigen Stellen die Steigung grafisch ermittelt wird. Trage diese Steigungswerte als y-Werte in das untere leere Koordinatensystem ein.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

( )y f x=

( )y f x′=


67

4.4 Rechnerisches Ableiten einer Funktion

Die Ableitung ( )f x′ einer Funktion ( )f x beschreibt die Steigung der Funktion ( )f x an allen definierten x-Stellen. Um die Ableitung von ( )f x zu finden, müsste man in jedem Punkt P die Steigung der entspre-chenden Tangenten an ( )f x finden, denn die Steigung der Tangente in P ist gerade der Ableitungswert an der Stelle x. Wir führen diesen Vorgang jedoch nur einmal durch und verallgemeinern den Befund auf belie-bige x-Koordinaten. Steigung der Sekante: (Differenzenquotient) Nun lassen wir Q auf P zuwandern: ∆x wird damit immer kleiner bis ∆x schlussendlich unendlich klein ist. (∆x wird nicht null, sonst hätte man eine Division durch null!). Auch ∆y wird unendlich klein und das Stei-gungsdreieck der Sekanten verschwindet (fast). Rechnerisch können wir daher im Punkt P die Steigung nicht direkt mit einem Steigungsdreieck der Tangenten berechnen, sondern wir müssen den Grenzübergang für u à x des Steigungsdreiecks der Sekanten betrachten. So erhalten wir die Steigung der Tangenten im Punkt P. Man spricht auch vom Differentialquotienten. Für jede definierte Stelle x erhält man dann formal die erste Ableitung ( )f x′ von ( )f x : (Differentialquotient)

Anstelle von ( )f x′ schreibt man häufig auch y′ oder dydx

. Die Schreibweise dydx

(gelesen: „dy nach dx“)

geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück. Sie leitet sich aus /x y∆ ∆ ab, beschreibt jedoch keinen Quotien-ten mehr, sondern muss als Ganzes gesehen werden.

( ) ( )S

fym

xf x h x

h∆

∆

−=

+=

( ) ( )T 0

limh

f x h f xm

h→ + −

=

( ) ( ) ( )0

limh

f x h f xf x

h→ + −

′ =

x u x h= +

für u x→

Sekante

Tangente

( )f x

h x∆=

( ) ( )y v y f x h f x∆ = − = + −

( )Q |u v

( )P |x y

x

y

y

v


68

4.5 Ableitungen verschiedener Funktionsklassen

4.5.1 Einleitung

Die Steigung jeder Funktion an jedem Punkt des Definitionsbereiches zu rechnen wäre offensichtlich sehr aufwendig. Es stellt sich nun die Frage, ob es Ableitungsregeln für einzelne Funktionsklassen gibt. Tatsäch-lich ist dies de

Date post:	18-Feb-2021
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