Mathematik - Schulentwicklung NRW · Anlage 1 Folgende Kernlehrpläne treten mit Wirkung vom 1. 8....

Kernlehrplanfür die Gesamtschule – Sekundarstufe Iin Nordrhein-Westfalen

Mathematik

ISBN 3–89314–741–1

Heft 3106

Herausgegeben vomMinisterium für Schule, Jugend und Kinder

des Landes Nordrhein-WestfalenVölklinger Straße 49, 40221 Düsseldorf

Copyright by Ritterbach Verlag GmbH, Frechen

Druck und Verlag: Ritterbach VerlagRudolf-Diesel-Straße 5–7, 50226 Frechen

Telefon (0 22 34) 18 66-0, Fax (0 22 34) 18 66 90www.ritterbach.de

1. Auflage 2004

VorwortIn Nordrhein-Westfalen erhalten die Schulen zunehmend mehr Selbstständigkeit.Sie übernehmen mehr Selbstverantwortung für die Qualität ihrer Arbeit und die er-reichten Ergebnisse. Sie brauchen dabei klare Orientierungen darüber, was vonihnen erwartet wird. Dieser Orientierung sollen Bildungsstandards dienen. Sie be-schreiben, welche Lernergebnisse am Ende eines Bildungsabschnittes an der ein-zelnen Schule und im Land erreicht sein müssen.

Die Kultusministerkonferenz hat solche Bildungsstandards für das Ende der Se-kundarstufe I (mittlerer Schulabschluss) beschlossen. Sie sind für alle Länder ver-bindlich. Die neuen Kernlehrpläne für Deutsch, Mathematik und Englisch für dieSchulformen Gesamtschule, Gymnasium, Hauptschule und Realschule sowie fürFranzösisch ab Klasse 5 und Latein ab Klasse 5 für das Gymnasium nehmen dieseBildungsstandards auf und setzen sie für Nordrhein-Westfalen um. Sie bestimmendie erwarteten Lernergebnisse für den Hauptschulabschluss nach Klasse 10, denmittleren Schulabschluss (Fachoberschulreife) und am Gymnasium den Übergangin die Klasse 11 und beschreiben die Zwischenstufen, die am Ende der Klassen 6und 8 erreicht sein sollen. Sie bestimmen die für alle Schülerinnen und Schüler gel-tenden Ansprüche und berücksichtigen gleichzeitig die Besonderheiten der einzel-nen Schulformen und Bildungsgänge.

Die Lernstandserhebungen, die wir zum Herbst 2004 zum ersten Mal in der Klasse4 der Grundschule und in der Klasse 9 in den Schulformen der Sekundarstufe Idurchführen, orientieren sich an den in den Kernlehrplänen enthaltenen Kompetenz-erwartungen. Die Lernstandserhebungen dienen dazu, den Erfolg der eigenen Ar-beit an allgemein gültigen Kriterien zu messen und Informationen für eine ziel-orientierte Weiterentwicklung bereitzustellen. Sie dienen aber vor allem dazu, denLern- und Förderbedarf in den Klassen zu ermitteln und auf dieser Basis alle Schü-lerinnen und Schüler gezielt zu fördern. Die Ausweitung der Stundentafeln für dieSekundarstufe I aller Schulformen, die die Landesregierung im Zusammenhang mitder Schulzeitverkürzung ab 2005 vornehmen wird, schafft hierzu gute Vorausset-zungen. Die in den Kernlehrplänen enthaltenen Bildungsstandards sind dabei Be-zugspunkte der Überprüfung der Lernergebnisse und der gezielten Förderung. DieAbschlussprüfungen mit landeseinheitlichen Prüfungsaufgaben für die schriftlichePrüfung am Ende der Klasse 10 orientieren sich an den Anforderungen der Kern-lehrpläne am Ende der Sekundarstufe I.

Bei allen notwendigen Bemühungen um eine Standardsicherung im Bereich der inden Kernlehrplänen beschriebenen fachlichen Kompetenzen muss im Blick bleiben,dass der Auftrag der Schule über die Sicherung solcher Kernkompetenzen hinaus-geht: Schule soll Hilfen zur Entwicklung einer mündigen und sozial verantwortlichenPersönlichkeit geben, auf eine erfolgreiche Tätigkeit in der Berufs- und Arbeitsweltvorbereiten und eine kulturelle Teilhabe und die Mitgestaltung einer demokratischenGesellschaft anbahnen.

Ute SchäferMinisterin für Schule, Jugend und Kinderdes Landes Nordrhein-Westfalen

Auszug aus dem Amtsblatt des Ministeriums für Schule, Jugend und Kinder

des Landes Nordrhein-WestfalenNr. 10/04

Sekundarstufe I – Richtlinien und Lehrpläne

RdErl. d. Ministeriums für Schule, Jugend und Kinder

v. 27. 9. 2004 – 521 – 6.08.01.13 – 18890

Für die Hauptschulen, Realschulen und die Sekundarstufe I der Gesamtschulen inNordrhein-Westfalen werden hiermit Kernlehrpläne für die Fächer Deutsch, Englischund Mathematik gemäß § 1 SchVG (BASS 1 – 2) festgesetzt.

Für die Sekundarstufe I der Gymnasien werden hiermit Kernlehrpläne für die FächerDeutsch, Englisch, Mathematik, Französisch ab Klasse 5 und Latein ab Klasse 5gemäß § 1 SchVG (BASS 1 – 2) festgesetzt.

Sie treten zum 1. August 2005 für die Klassen 5, 7 und 9 in Kraft. Vom 1. August2006 an gelten die Kernlehrpläne für alle Klassen der Sekundarstufe I.

Soweit die Klassen 5 bis 10 Teil eines achtjährigen Bildungsgangs bis zum Abitursind, gelten die Kernlehrpläne für die Klassen 5 und 6 in der vorliegenden Form. Fürdie Klassen 7 bis 10 der achtjährigen Bildungsgänge werden die Kernlehrplänerechtzeitig angepasst.

Die Richtlinien für alle Schulformen der Sekundarstufe I gelten unverändert fort.

Die Veröffentlichung der Kernlehrpläne erfolgt in der Schriftenreihe „Schule in NRW“(Anlage 1).

Die vom Verlag übersandten Hefte sind in die Schulbibliothek einzustellen und dortauch für die Mitwirkungsberechtigten zur Einsichtnahme bzw. zur Ausleihe verfüg-bar zu halten.

Zu den genannten Zeitpunkten treten die bisher gültigen Lehrpläne (Anlage 2)außer Kraft.

Anlage 1

Folgende Kernlehrpläne treten mit Wirkung vom 1. 8. 2005 in Kraft:

Heft Kernlehrplan

Hauptschule

3201 Deutsch

3205 Englisch

3203 Mathematik

Realschule

3315 Deutsch

3303 Englisch

3302 Mathematik

Gesamtschule

3107 Deutsch

3102 Englisch

3106 Mathematik

Gymnasium

3409 Deutsch

3417 Englisch

3401 Mathematik

3427 Französisch ab Klasse 5

3428 Latein ab Klasse 5

Anlage 2

Folgende Lehrpläne treten zu den im RdErl. genannten Zeitpunkten außer Kraft:

1. Hauptschule Fach DeutschRdErl. v. 30. 3. 1989 (BASS 15 – 22 Nr. 1)

2. Hauptschule Fach EnglischRdErl. v. 30. 3. 1989 (BASS 15 – 22 Nr. 5)

3. Hauptschule Fach MathematikRdErl. v. 30. 3. 1989 (BASS 15 – 22 Nr. 3)

4. Realschule Fach DeutschRdErl. v. 20. 8. 1993 (BASS 15 – 23 Nr. 15)

5. Realschule Fach EnglischRdErl. v. 20. 8. 1993 (BASS 15 – 23 Nr. 3)

6. Realschule Fach MathematikRdErl. v. 20. 8. 1993 (BASS 15 – 23 Nr. 2)

7. Gesamtschule Fach DeutschRdErl. v. 27. 11. 1998 (BASS 15 – 24 Nr. 7)

8. Gesamtschule Fach EnglischRdErl. v. 27. 11. 1998 (BASS 15 – 24 Nr. 2)

9. Gesamtschule Fach MathematikRdErl. v. 27. 11. 1998 (BASS 15 – 24 Nr. 6)

10. Gymnasium Fach DeutschRdErl. v. 8. 2. 1993 (BASS 15 – 25 Nr. 9)

11. Gymnasium Fach EnglischRdErl. v. 8. 2. 1993 (BASS 15 – 25 Nr. 17)

12. Gymnasium Fach MathematikRdErl. v. 8. 2. 1993 (BASS 15 – 25 Nr. 1)

InhaltSeite

Vorbemerkung: Kernlehrpläne als neue Form derUnterrichtsvorgaben 9

1 Aufgaben und Ziele des Mathematikunterrichts 11

2 Anforderungen am Ende der Sekundarstufe l 13

3 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufen 6, 8 und 10 17

3.1 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 6 18



3.4 Überblick über die Jahrgangsstufen 32

4 Muster- und Modellaufgaben 34

4.1 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 6 34



5 Leistungsfeststellung 50

Vorbemerkung: Kernlehrpläne als neue Form der Unterrichts-vorgabenKernlehrpläne sind ein wichtiges Element eines zeitgemäßen und umfassendenGesamtkonzepts für die Entwicklung und Sicherung der Qualität schulischer Arbeit.Sie sind im Zusammenhang zu sehen mit den Lernstandserhebungen, die in Nord-rhein-Westfalen 2004 zum ersten Mal in den Klassen 9 der Sekundarstufe I durch-geführt werden, und mit den landeseinheitlichen Abschlussprüfungen am Ende derKlasse 10 ab 2007.

Kernlehrpläne

� sind standardorientierte Lehrpläne, in denen die erwarteten Lernergebnisse alsverbindliche Bildungsstandards im Mittelpunkt stehen.

� beschreiben die erwarteten Lernergebnisse in der Form von fachbezogenen Kom-petenzen, die fachdidaktisch begründeten Kompetenzbereichen zugeordnet sind.

� zeigen, in welchen Stufungen diese Kompetenzen im Unterricht der Klassen 5 bis10 erreicht werden können, indem sie die erwarteten Kompetenzen am Ende derKlassen 6, 8 und 10 bezeichnen.

� beschränken sich dabei auf wesentliche Kenntnisse und Fähigkeiten und die mitihnen verbundenen Inhalte und Themen, die für den weiteren Bildungsweg un-verzichtbar sind und die den Lehrerinnen und Lehrern aus ihrer bisherigen Un-terrichtspraxis im Wesentlichen bekannt sind.

� bestimmen durch die Ausweisung von verbindlichen Erwartungen die Bezugs-punkte für die Überprüfung der Lernergebnisse und der erreichten Leistungs-stände in der schulischen Leistungsbewertung, den Lernstandserhebungen undden Abschlussprüfungen mit zentral gestellten Aufgaben für die schriftlichen Prü-fungen.

� schaffen so die Voraussetzungen, um definierte Anspruchsniveaus an der Ein-zelschule und im Land zu sichern.

Indem Kernlehrpläne sich auf die zentralen Kompetenzen beschränken, geben sieden Schulen die Möglichkeit, sich auf diese zu konzentrieren und ihre Beherr-schung zu sichern. Die Schulen können dabei entstehenden Freiräume zur Vertie-fung und Erweiterung der behandelten Unterrichtsinhalte und damit zu einer inhalt-lichen und thematischen Profilbildung nutzen.

Die Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz sind auf den mittleren Schulab-schluss bezogen und insofern schulformübergreifend angelegt, um für den gleichenAbschluss ein einheitliches Mindestniveau zu sichern. Die Kernlehrpläne greifen diein den KMK-Standards enthaltenen schulformübergreifenden Ansprüche auf undberücksichtigen gleichzeitig die Besonderheiten der einzelnen Schulformen und Bil-dungsgänge. Diesen wird in der Beschreibung der Standards und in der Art des me-thodischen Zugriffs Rechnung getragen. Beispielhafte Aufgabenstellungen im Bil-dungsserver learn-line verdeutlichen die konkreten, zum Teil unterschiedlichenKompetenzerwartungen (www.learn-line.nrw.de/angebote/kernlehrplaene).

Die bisherigen Richtlinien der Schulformen bleiben bis auf weiteres in Kraft. Sie be-schreiben die Aufgaben und Ziele der Schulformen in der Sekundarstufe I und ent-

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halten auch die spezifischen Hinweise zum Lehren und Lernen in diesen Schul-formen.

Die vorgelegten Kernlehrpläne und die in ihnen enthaltenen Standards stellen einenEinstieg in eine längerfristige Entwicklung dar. Die in den Kernlehrplänen enthalte-nen Kompetenzbeschreibungen beziehen sich wie die in den Bildungsstandards derKMK vorerst auf ein mittleres Anspruchsniveau (Regelstandards). Perspektivischsollen sowohl für die KMK-Bildungsstandards wie für die Bildungsstandards in denKernlehrplänen Kompetenzstufen auf der Basis empirisch und fachdidaktisch ge-klärter Kompetenzstufenmodelle ausgewiesen werden. Auf dieser Basis könnendann das angestrebte Mindestniveau (Mindeststandards), der Regelfall und ein Ex-zellenzniveau ausgewiesen werden. Die Kultusministerkonferenz hat dazu ein wis-senschaftliches Institut gegründet, das solche Kompetenzstufen im Laufe dernächsten Jahre entwickeln wird. Die landeseigenen Lernstandserhebungen werdenhierzu ebenfalls Hinweise geben.

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1 Aufgaben und Ziele des MathematikunterrichtsSchülerinnen und Schüler sollen im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I

� Erscheinungen aus Natur, Gesellschaft und Kultur mit Hilfe der Mathematik wahr-nehmen und verstehen (Mathematik als Anwendung)

� mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache,Symbolen und Bildern, als geistige Schöpfungen verstehen und weiterentwickeln(Mathematik als Struktur)

� in der Auseinandersetzung mit mathematischen Fragestellungen auch überfachli-che Kompetenzen erwerben und einsetzen (Mathematik als kreatives und intel-lektuelles Handlungsfeld).

Hierbei erkennen sie, dass Mathematik eine historisch gewachsene Kulturleistungdarstellt. Zugleich erleben sie Mathematik als intellektuelle Herausforderung und alsMöglichkeit zur individuellen Selbstentfaltung und gesellschaftlichen Teilhabe. Sieentwickeln personale und soziale Kompetenzen, indem sie lernen,

� gemeinsam mit anderen mathematisches Wissen zu entwickeln und Probleme zulösen (Kooperationsfähigkeit als Voraussetzung für gesellschaftliche Mitgestal-tung).

� Verantwortung für das eigene Lernen zu übernehmen und bewusst Lernstrate-gien einzusetzen (selbstgesteuertes Lernen als Voraussetzung für lebenslangesLernen).

Mathematische Grundbildung umfasst die Fähigkeit, die Rolle zu erkennen, dieMathematik in der Welt spielt, mathematisches Wissen funktional, flexibel und mitEinsicht zur Bearbeitung vielfältiger kontextbezogener Probleme einzusetzen undbegründete mathematische Urteile abzugeben. Sie beinhaltet insbesondere dieKompetenz des problemlösenden Arbeitens in inner- und außermathematischenKontexten. Grundlegend dafür ist die Fähigkeit, komplexe Probleme zu strukturierensowie reale Probleme in geeigneter Weise mathematisch zu beschreiben, also Mo-delle zu bilden und zu nutzen. Ebenso gehört zur mathematischen Grundbildung dieFähigkeit, mit anderen über mathematische Fragestellungen zu kommunizieren,d.h. eigene Ideen zu präsentieren und zu begründen sowie die Argumente andereraufzunehmen.

Diese Kompetenzen bilden sich bei der aktiven Auseinandersetzung mit konkretenFragestellungen aus den Kernbereichen des Faches Mathematik heraus: Die Ma-thematik erfasst ebene und räumliche Gebilde mit Mitteln der Geometrie. Für die Operationen mit Zahlen in der Arithmetik hat die Mathematik die Formelsprache derAlgebra entwickelt, mit der sich Gesetzmäßigkeiten des Zahlenrechnens darstellenund flexibel nutzen lassen. Zu den Leistungen der Mathematik gehört ferner, dasssie sowohl systematische Abhängigkeiten von Zahlen und Größen mit dem Begriffder Funktion, aber auch zufällige Ereignisse mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeitbeschreiben kann.

Mathematische Grundbildung zeigt sich also im Zusammenspiel von Kompetenzen,die sich auf mathematische Prozesse beziehen und solchen, die auf mathematischeInhalte ausgerichtet sind. Prozessbezogene Kompetenzen, wie z.B. das Problemlö-

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sen oder das Modellieren werden immer nur bei der Beschäftigung mit konkretenLerninhalten, also unter Nutzung inhaltsbezogener Kompetenzen erworben undweiterentwickelt.

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Die hier genannten Bereiche mathematischer Kompetenzen werden im Folgendenkonkretisiert durch eine Beschreibung von Anforderungen am Ende der Sekundar-stufe I (Kapitel 2) sowie durch eine Darstellung von Kompetenzerwartungen amEnde der jeweiligen Jahrgangsstufen (Kapitel 3). Diese Kernkompetenzen sollenSchülerinnen und Schüler nachhaltig und nachweislich erworben haben.

Die inhaltliche und methodische Gestaltung eines Unterrichts, in dem Schülerin-nen und Schüler eine solche mathematische Grundbildung erwerben können, ist alsGesamtaufgabe aufzufassen. Inhalte und Methoden des Unterrichts sind engaufeinander bezogen. Eine einseitig kleinschrittige Methodik, die entlang einervorgegebenen Stoffsystematik eine Engführung der Lernenden betreibt, ist nicht ge-eignet, junge Menschen verständnisorientiert in mathematisches Denken einzu-führen. Der Unterricht soll Schülerinnen und Schüler bei der Auseinandersetzungmit Mathematik unterstützen. Er soll hierzu eine breite Palette unterschiedlichsterUnterrichtsformen aufweisen, die von einer lehrerbezogenen Wissensvermittlungbis hin zu einer selbstständigen Erarbeitung neuer Inhalte reicht. Zudem darf er sichnicht auf die nachvollziehende Anwendung von Verfahren und Kalkülen beschrän-ken, sondern muss in komplexen Problemkontexten entdeckendes und nacherfin-dendes Lernen ermöglichen. Er sollte inner- und außermathematische Fra-gestellungen vernetzen und sich dabei an zentralen mathematischen Ideen (Zahl,Messen, räumliches Strukturieren, Algorithmus, Zufall) orientieren. Dieses Vorge-hen erlaubt es auch, sich im Unterricht auf Wesentliches zu konzentrieren, ausge-wählte Inhalte zu vertiefen und nach dem Prinzip der integrierenden Wiederholungbereits erworbene Kenntnisse und Fähigkeiten zu festigen und zu vertiefen.

fachbezogene Kompetenzen

prozessbezogene Kompetenzen inhaltsbezogene Kompetenzen

Argumentieren/Kommunizieren

kommunizieren, präsen-tieren und argumentieren

Arithmetik/ Algebra

mit Zahlen und Symbolenumgehen

Problemlösen Probleme erfassen, er-kunden und lösen Funktionen

Beziehungen und Verände-rung beschreiben und erkun-den

Modellieren Modelle erstellen und nut-zen Geometrie

ebene und räumliche Struktu-ren nach Maß und Form er-fassen

Werkzeuge Medien und Werkzeugeverwenden Stochastik mit Daten und Zufall arbeiten

2 Anforderungen am Ende der Sekundarstufe IFür das Ende der Sekundarstufe I werden im Folgenden die Kompetenzen ausge-wiesen, die alle Schülerinnen und Schüler erworben haben, die mit Erfolg am Ma-thematikunterricht teilgenommen haben. Die Schülerinnen und Schüler sollen in derLage sein, diese Kompetenzen für ihre persönliche Lebensgestaltung, für ihren wei-teren Bildungsweg und für ihr berufliches Leben zu nutzen.

Diese für den Mathematikunterricht in Nordrhein-Westfalen verbindlichen Kompe-tenzen werden in enger Anlehnung an die Bildungsstandards der KMK auf der An-forderungsebene des mittleren Schulabschlusses (Fachoberschulreife) be-schrieben. Hierdurch soll die Vergleichbarkeit der fachlichen Anforderungen für die-sen Abschluss in allen Schulformen der Sekundarstufe I gesichert werden.

Zum Erwerb des Qualifikationsvermerks für den Eintritt in die gymnasiale Oberstufeist Folgendes festzustellen: Der Mathematikunterricht an Gesamtschulen ermöglichtSchülerinnen und Schülern im oberen Leistungsbereich die Fortsetzung des Bil-dungsganges in der Sekundarstufe II auch bis zum Abitur. Die für den mittlerenSchulabschluss (Fachoberschulreife) geforderten Kompetenzen sind in unter-schiedlichem Umfang und auf unterschiedlichem Niveau erreichbar. Von Schülerin-nen und Schülern, die den Qualifikationsvermerk für den Eintritt in die gymnasialeOberstufe erwerben, wird erwartet, dass sie die Kompetenzen auf einem höherenNiveau erreichen. Es gibt allerdings für den Qualifikationsvermerk keine curriculare,inhaltliche Definition. Der Vermerk wird vielmehr auf Grund des Notenbildes in derVersetzungskonferenz vergeben. Entsprechende fachliche Kompetenzen werdendaher auch nicht gesondert ausgewiesen.

An der Gesamtschule erwerben Schülerinnen und Schüler auch den Hauptschul-abschluss nach Klasse 10. Im Vergleich zu dem unten aufgeführten Kompetenz-profil für den mittleren Schulabschluss (Fachoberschulreife) sind die Anforderungenan diese Schülerinnen und Schüler in Umfang und Anforderungshöhe insgesamt ge-ringer.

Diejenigen Schülerinnen und Schüler, die den Hauptschulabschluss mit Vollen-dung der Vollzeitschulpflicht erwerben, können dabei schon aufgrund der kürzerenUnterrichtszeit nur Teile der in Kap. 3 detaillierter beschriebenen Kompetenzen er-reichen.

Die Schülerinnen und Schüler, die an der Gesamtschule im Jahrgang 10 den Grund-kurs besucht haben, verfügen über die im Folgenden nicht kursiv gesetzten Kom-petenzen. Die kursiv-fett gesetzten Textpassagen beschreiben die Kompetenzen,die im Erweiterungskurs zusätzlich erreicht werden müssen.

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Argumentieren/Kommunizierenkommunizieren, präsentieren und argumentieren

Schülerinnen und Schüler teilen mathematische Sachverhalte zutreffend und ver-ständlich mit und nutzen sie als Begründung für Behauptungen und Schlussfolge-rungen.

� Sie entnehmen mathematische Informationen aus Texten, Bildern und Tabellen(Lesekompetenz), analysieren und beurteilen die Aussagen.

� Sie erläutern mathematische Einsichten und Lösungswege mit eigenen Wortenund geeigneten Fachbegriffen und präsentieren Überlegungen in kurzen, vorbe-reiteten Beiträgen sowie Problembearbeitungen in vorbereiteten Vorträgen.

� Sie vernetzen Begriffe, indem sie Beziehungen zwischen Begriffen auch aus ver-schiedenen Bereichen herstellen, Beispiele angeben und Ober- und Unterbegriffezuordnen.

� Sie nutzen verschiedene Arten des Begründens und Überprüfens (Plausibilität,Beispiele, Argumentationsketten).

� Sie vergleichen Lösungswege und Darstellungen, überprüfen und bewertenProblembearbeitungen.

ProblemlösenProbleme erfassen, erkunden und lösen

Schülerinnen und Schüler strukturieren und lösen inner- oder außermathematischeProblemsituationen, in denen ein Lösungsweg nicht unmittelbar erkennbar ist bzw.bei denen nicht unmittelbar auf erlernte Verfahren zurückgegriffen werden kann.

� Sie geben inner- und außermathematische Problemstellungen mit eigenen Wor-ten wieder, erkunden sie, stellen Vermutungen auf und zerlegen Probleme inTeilprobleme.

� Sie nutzen verschiedene Darstellungsformen, mathematische Verfahren und nut-zen Problemlösestrategien wie Überschlagen, Beispiele finden, systematischesProbieren, Schlussfolgern, Zurückführen auf Bekanntes und Verallgemeinern.

� Sie überprüfen und bewerten Lösungswege und Ergebnisse, auch die Möglich-keit mehrerer Lösungen.

ModellierenModelle erstellen und nutzen

Schülerinnen und Schüler nutzen Mathematik als Werkzeug zum Erfassen von Phä-nomenen der realen Welt.

� Sie übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle (Terme, Gleichungen,Funktionen, Figuren, Diagramme, Tabellen, Zufallsversuche) und ordnen mathe-matischen Modellen passende Realsituationen zu.

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� Sie überprüfen und interpretieren die im mathematischen Modell gewonnene Lö-sung in der jeweiligen realen Situation, bewerten und verändern gegebenenfallsihren Lösungsweg oder das Modell.

WerkzeugeMedien und Werkzeuge verwenden

Schülerinnen und Schüler setzen klassische mathematische Werkzeuge und elek-tronische Werkzeuge und Medien situationsangemessen ein (Medienkompetenz).

� Sie verwenden Lineal, Geodreieck und Zirkel zum Messen, genauen Zeichnenund Konstruieren.

� Sie nutzen Bücher und das Internet zur Informationsbeschaffung, dokumentiereneigene Arbeitsschritte in schriftlicher Form und verwenden unter anderem Tafel,Folien und Plakate zur Ergebnispräsentation.

� Sie setzen situationsangemessen den Taschenrechner ein und nutzenGeometriesoftware, Tabellenkalkulation und Funktionenplotter zum Erkunden in-ner- und außermathematischer Zusammenhänge.

Arithmetik/Algebramit Zahlen und Symbolen umgehen

Schülerinnen und Schüler besitzen einen Begriff von Zahlen, Größen und ihren Dar-stellungen, operieren sicher mit ihnen und verwenden die Symbolsprache derMathematik sachgerecht.

� Sie verwenden Zahlen je nach Situation in unterschiedlichen Darstellungsformen(als Bruch, Dezimalzahl, Prozentzahl und in Zehnerpotenzschreibweise), ordnenund vergleichen sie.

� Sie rechnen mit rationalen und irrationalen Zahlen, nutzen Rechengesetze undsystematisches Zählen.

� Sie arbeiten in Anwendungszusammenhängen sachgerecht mit Zahlen, Größenund Variablen und führen Schätzungen und Näherungsrechnungen durch.

� Sie lösen lineare Gleichungen und Gleichungssysteme, quadratische undeinfache exponentielle Gleichungen rechnerisch, grafisch oder durch Probie-ren.

FunktionenBeziehungen und Veränderung beschreiben und erkunden

Schülerinnen und Schüler besitzen ein grundlegendes Verständnis von funktionalerAbhängigkeit und nutzen ihre Kenntnisse zum Erfassen und Beschreiben von Bezie-hungen und Veränderungen in Mathematik und Umwelt.

� Sie stellen funktionale Zusammenhänge, insbesondere lineare, quadratische,exponentielle Funktionen, Sinusfunktion, in sprachlicher Form, in Tabellen, alsGrafen und in Termen dar und interpretieren sie situationsgerecht.

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� Sie identifizieren proportionale und antiproportionale Funktionen, wenden Drei-satz, Prozentrechnung und Zinsrechnung an und rechnen mit Maßstäben.

� Sie grenzen lineares, quadratisches und exponentielles Wachstum an Beispielenvoneinander ab.

Geometrieebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen

Schülerinnen und Schüler erfassen Formen der Ebene und des Raumes und ihreBeziehungen in mathematischen Zusammenhängen sowie in der beobachtetenWirklichkeit und charakterisieren sie anhand ihrer grundlegenden Eigenschaften.

� Sie beschreiben ebene Figuren (Vielecke, Kreise) und Körper (Prismen, Zylinder,Kugeln, Kegel, Pyramiden), Lagebeziehungen und grundlegende Symmetrien mitangemessenen Fachbegriffen und identifizieren sie in ihrer Umwelt.

� Sie zeichnen und konstruieren ebene geometrische Figuren (auch imKoordinatensystem), skizzieren Schrägbilder, entwerfen Netze von Körpern undstellen Körpermodelle her.

� Sie schätzen und bestimmen Winkel, Längen, Flächeninhalte, Oberflächen undVolumina.

� Sie berechnen Größen und begründen Eigenschaften von Figuren mit Hilfe vonSymmetrie, einfachen Winkelsätzen, Kongruenz, Ähnlichkeit, trigonometri-schen Beziehungen, dem Satz des Thales und dem Satz des Pythagoras.

Stochastikmit Daten und Zufall arbeiten

Schülerinnen und Schüler erheben statistische Daten und werten sie aus. Sie be-schreiben und beurteilen zufällige Ereignisse mit mathematischen Mitteln.

� Sie planen statistische Erhebungen, nutzen Methoden der Erfassung undDarstellung von Daten (Säulen- und Kreisdiagramme, Boxplots) und bewertenDarstellungen kritisch.

� Sie bestimmen relative Häufigkeiten, Mittelwerte (arithmetisches Mittel, Median)und Streumaße (Spannweite, Quartil) und interpretieren diese.

� Sie bestimmen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Laplace-Regel, Baumdia-grammen und Pfadregeln, nutzen Häufigkeiten zum Schätzen von Wahrschein-lichkeiten und Wahrscheinlichkeiten zur Vorhersage von Häufigkeiten.

Die schuleigenen Lehrpläne und die Evaluation von Unterricht und Unterrichts-ergebnissen sind an den oben stehenden Kompetenzprofilen auszurichten.

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3 Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufen 6, 8 und 10

Im Folgenden werden Kompetenzen benannt, die Schülerinnen und Schüler amEnde der Jahrgangsstufen 6, 8 und 10 nachhaltig und nachweislich erworben habensollen. Sie legen die Art der fachlichen Anforderungen fest. Die Anforderungshöheund der Komplexitätsgrad der fachlichen Anforderungen sind sowohl im Unterrichtals auch in der Leistungsbewertung altersgemäß und mit Bezug auf die Anforderun-gen der Schulform zu konkretisieren. Kapitel 4 erläutert die Anforderungen an aus-gewählten Muster- und Modellaufgaben.

Die hier benannten Kompetenzen gliedern sich nach den Bereichen des Faches undbeschreiben dessen Kern. Sie bauen auf den in der Grundschule erworbenen Kom-petenzen auf und machen eine Progression über die Jahrgangsstufen hinweg deut-lich. Der Unterricht ist nicht allein auf den Erwerb dieser Kernkompetenzen be-schränkt, sondern soll es Schülerinnen und Schülern ermöglichen, auf vielfältigeWeise darüber hinausgehende Kompetenzen zu erwerben, weiterzuentwickeln undzu nutzen.

Kompetenzen werden im Unterricht nicht einzeln und isoliert erworben, sondern inwechselnden und miteinander verknüpften Kontexten. Der Unterricht muss dazuvielfältige, die Jahrgangsstufen durchziehende Lerngelegenheiten anbieten. Einethematisch-inhaltliche Reihenfolge innerhalb der Jahrgangsstufen ist durch denKernlehrplan nicht festgeschrieben.

Der Kernlehrplan bildet damit einerseits die verpflichtende Grundlage für die Überar-beitung der schuleigenen Lehrpläne. Andererseits eröffnet er Lehrerinnen und Leh-rern weitgehende Freiheiten für die inhaltliche, thematische und methodische Ge-staltung von Unterrichtsabläufen. Sie können Schwerpunkte setzen, thematischeVertiefungen und Erweiterungen vornehmen und dabei die Bedingungen der eige-nen Schule und der jeweiligen Lerngruppe berücksichtigen.

Im Folgenden werden die fachbezogenen Kompetenzen getrennt nach prozess-bezogenen und inhaltsbezogenen Kompetenzen ausgewiesen. Die prozessbezoge-nen Kompetenzen werden von Schülerinnen und Schülern jedoch immer nur in derAuseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben. Umgekehrt könnensich inhaltsbezogene Kompetenzen nur entfalten, wenn Schülerinnen und Schülerprozessbezogene Kompetenzen aktivieren können. Mathematische Grundbildungzeigt sich in der flexiblen und vernetzten Nutzung dieser prozessbezogenen undinhaltsbezogenen Kompetenzen. Beide Bereiche müssen somit Gegenstand desUnterrichts und der Leistungsbewertung sein.

Zusätzliche Kompetenzen für den Erweiterungskurs werden im Folgendenkursiv-fett gedruckt.

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tare

mat

hem

atis

che

Reg

eln

und

Ver

fahr

en (

Mes

sen,

Rec

hnen

, Sch

ließ

en)

zum

Lös

en v

onan

scha

ulic

hen

Allt

agsp

robl

emen

�w

ende

n di

e P

robl

emlö

sest

rate

gien

„B

eisp

iele

find

en“,

„Ü

berp

rüfe

n du

rch

Pro

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en“

an

�de

uten

Erg

ebni

sse

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ezug

auf

die

urs

prün

glic

he P

robl

emst

ellu

ng

Mo

del

liere

n–

Mod

elle

ers

telle

n un

d nu

tzen

Mat

hem

atis

iere

n

Val

idie

ren

Rea

lisie

ren

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�üb

erse

tzen

Situ

atio

nen

aus

Sac

hauf

gabe

n in

mat

hem

atis

che

Mod

elle

(Te

rme,

Fig

uren

, Dia

gram

me)

�üb

erpr

üfen

die

im m

athe

mat

isch

en M

odel

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onne

nen

Lösu

ngen

an

der

Rea

lsitu

atio

n

�or

dnen

ein

em m

athe

mat

isch

en M

odel

l (Te

rm, F

igur

, Dia

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eine

pas

send

e R

eals

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ion

zu

Wer

kzeu

ge

– M

edie

n un

d W

erkz

euge

ver

wen

den

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iere

n

Dar

stel

len

Rec

herc

hier

en

Sch

üle

rin

nen

un

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chü

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eal,

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drei

eck

und

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, Pla

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Tafe

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ren

ihre

Arb

eit,

ihre

eig

enen

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nter

richt

erw

achs

ene

Mer

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tzen

sel

bst e

rste

llte

Dok

umen

te u

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as S

chul

buch

zum

Nac

hsch

lage

n

20

Ari

thm

etik

/Alg

ebra

– m

it Z

ahle

n un

d S

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len

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hen

Dar

stel

len

Ord

nen

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Anw

ende

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iere

n

Sch

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rin

nen

un

d S

chü

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n ga

nze

Zah

len

auf

vers

chie

dene

Wei

se d

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leng

erad

e, Z

iffer

ndar

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lung

, S

telle

nwer

ttafe

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ortfo

rm)

�st

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n ei

nfac

he B

ruch

teile

auf

ver

schi

eden

e W

eise

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: han

deln

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eich

neris

ch a

n ve

rsch

iede

nen

Obj

ek-

ten,

dur

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ahle

nsym

bole

und

als

Pun

kte

auf d

er Z

ahle

nger

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sie

deu

ten

sie

als

Grö

ßen

, Ope

rato

ren

und

Ver

hältn

isse

und

nut

zen

das

Gru

ndpr

inzi

p de

s K

ürze

ns u

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tern

s vo

n B

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ergr

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inte

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Dez

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zahl

en u

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roze

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hlen

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erad

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hren

Um

wan

dlun

gen

zwis

chen

Bru

ch, D

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nd P

roze

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urch

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en in

Sac

hsitu

atio

nen

mit

geei

gnet

en E

inhe

iten

dar

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dnen

und

ver

glei

chen

Zah

len

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rund

en n

atür

liche

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len

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Dez

imal

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en

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hren

Gru

ndre

chen

arte

n au

s (K

opfr

echn

en u

nd s

chrif

tlich

e R

eche

nver

fahr

en)

mit

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türli

chen

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len

– en

dlic

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Dez

imal

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en (

Div

isio

n nu

r du

rch

höch

sten

s zw

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e D

ivis

oren

)

– ei

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Brü

chen

(nu

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ition

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trak

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stim

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Tei

ler

und

Vie

lfach

e na

türli

cher

Zah

len

und

wen

den

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arke

itsre

geln

für

2, 3

, 5, 1

0 an

�w

ende

n ih

re a

rithm

etis

chen

Ken

ntni

sse

von

Zah

len

und

Grö

ßen

an,

nut

zen

Str

ateg

ien

für R

eche

nvor

teile

,Te

chni

ken

des

Übe

rsch

lage

ns u

nd d

ie P

robe

als

Rec

henk

ontr

olle

�be

stim

men

Anz

ahle

n au

f sys

tem

atis

che

Wei

se

21

Fu

nkt

ion

en–

Bez

iehu

ngen

und

Ver

ände

rung

en b

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reib

en u

nd e

rkun

den

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len

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rpre

tiere

n

Anw

ende

n

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�st

elle

n B

ezie

hung

en z

wis

chen

Zah

len

und

zwis

chen

Grö

ßen

in T

abel

len

und

Dia

gram

men

dar

�le

sen

Info

rmat

ione

n au

s Ta

belle

n un

d D

iagr

amm

en in

ein

fach

en S

achz

usam

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häng

en a

b

�er

kund

en M

uste

r in

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iehu

ngen

zw

isch

en Z

ahle

n un

d st

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n V

erm

utun

gen

auf

�nu

tzen

gän

gige

Maß

stab

sver

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Geo

met

rie

– eb

ene

und

räum

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Str

uktu

ren

nach

Maß

und

For

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rfas

sen

Erf

asse

n

Kon

stru

iere

n

Mes

sen

Sch

üle

rin

nen

un

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chü

ler

�ve

rwen

den

die

Gru

ndbe

griff

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unkt

, G

erad

e, S

trec

ke,

Win

kel,

Abs

tand

, R

adiu

s, p

aral

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senk

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t,ac

hsen

sym

met

risch

, pun

ktsy

mm

etris

ch z

ur B

esch

reib

ung

eben

er u

nd r

äum

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igur

en

�be

nenn

en u

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hara

kter

isie

ren

Gru

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uren

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ndkö

rper

(R

echt

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Qua

drat

, P

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lelo

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Dre

ieck

, Kre

is, Q

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entif

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ren

sie

in ih

rer

Um

wel

t

�ze

ichn

en g

rund

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nde

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e F

igur

en (p

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lele

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sen

krec

hte

Ger

aden

, Win

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Rec

htec

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uadr

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ise)

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Mus

ter

auch

im e

bene

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oord

inat

ensy

stem

(1.

Qua

dran

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�sk

izzi

eren

Sch

rägb

ilder

, ent

wer

fen

Net

ze v

on W

ürfe

ln u

nd Q

uade

rn u

nd s

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n di

e K

örpe

r he

r

�sc

hätz

en u

nd b

estim

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Län

gen,

Win

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Um

fäng

e vo

n V

iele

cken

, F

läch

enin

halte

von

Rec

htec

ken

sow

ie O

berf

läch

en u

nd V

olum

ina

von

Qua

dern

22

Arg

um

enti

eren

/Ko

mm

un

izie

ren

– ko

mm

uniz

iere

n, p

räse

ntie

ren

und

argu

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tiere

n

Lese

n

Ver

balis

iere

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Kom

mun

izie

ren

Prä

sent

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n

Ver

netz

en

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ründ

en

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�zi

ehen

Inf

orm

atio

nen

aus

einf

ache

n m

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mat

ikha

ltige

n D

arst

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ngen

(Te

xt,

Bild

, Tab

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, G

raf)

, st

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turi

eren

un

d b

ewer

ten

sie

�er

läut

ern

die

Arb

eits

schr

itte

bei m

athe

mat

isch

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erfa

hren

(K

onst

rukt

ione

n, R

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nver

fahr

en, A

lgo

rith

-m

en)

mit

eige

nen

Wor

ten

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geei

gnet

en F

achb

egrif

fen

�ve

rgle

iche

n u

nd

bew

erte

nLö

sung

sweg

e, A

rgum

enta

tione

nun

d D

arst

ellu

ngen

�pr

äsen

tiere

n Lö

sung

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e in

kur

zen,

vor

bere

itete

n B

eitr

ägen

�ge

ben

Obe

r- u

nd U

nter

begr

iffe

an u

nd f

ühre

n B

eisp

iele

und

Geg

enbe

ispi

ele

als

Bel

eg a

n (z

. B

. P

ropo

r-tio

nalit

ät, V

iere

ck)

�nu

tzen

mat

hem

atis

ches

Wis

sen

für

Beg

ründ

unge

n, a

uch

in m

ehrs

chri

ttig

en A

rgu

men

tati

on

en

3.2

Ko

mp

eten

zerw

artu

ng

en a

m E

nd

e d

er J

ahrg

ang

sstu

fe 8

Sto

chas

tik

– m

it D

aten

und

Zuf

all a

rbei

ten

Erh

eben

Dar

stel

len

Aus

wer

ten

Beu

rtei

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Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�er

hebe

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aten

und

fass

en s

ie in

Ur-

und

Str

ichl

iste

n zu

sam

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�st

elle

n H

äufig

keits

tabe

llen

zusa

mm

en u

nd v

eran

scha

ulic

hen

dies

e m

it H

ilfe

von

Säu

len-

und

Kre

isdi

a-gr

amm

en

�be

stim

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rel

ativ

e H

äufig

keite

n, a

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etis

ches

Mitt

el u

nd M

edia

n

�le

sen

und

inte

rpre

tiere

n st

atis

tisch

e D

arst

ellu

ngen

23

Pro

ble

mlö

sen

– P

robl

eme

erfa

ssen

, erk

unde

n un

d lö

sen

Erk

unde

n

Löse

n

Ref

lekt

iere

n

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�un

ters

uche

n M

uste

r un

d B

ezie

hung

en b

ei Z

ahle

n un

d F

igur

en u

nd s

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n V

erm

utun

gen

auf

�pl

anen

und

bes

chre

iben

ihre

Vor

gehe

nsw

eise

zur

Lös

ung

eine

s P

robl

ems

�nu

tzen

Alg

orith

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zum

Lös

en m

athe

mat

isch

er S

tand

arda

ufga

ben

un

d b

ewer

ten

ihre

Pra

ktik

abili

tät

�ü

ber

prü

fen

bei

ein

em P

rob

lem

die

Mö

glic

hke

it m

ehre

rer

Lö

sun

gen

od

er L

ösu

ng

sweg

e

�w

ende

n di

e P

robl

emlö

sest

rate

gien

„Zur

ückf

ühre

n au

f Bek

annt

es“ (

Kon

stru

ktio

n vo

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ilfsl

inie

n, Z

wis

chen

-re

chnu

ngen

), „

Sp

ezia

lfäl

le f

ind

en“

un

d „

Ver

allg

emei

ner

n“

an

�nu

tzen

ver

schi

eden

e D

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ngsf

orm

en (

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llen,

Ski

zzen

, Gle

ichu

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) zu

r P

robl

emlö

sung

�üb

erpr

üfen

und

bew

erte

n E

rgeb

niss

e du

rch

Pla

usib

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tsüb

erle

gung

en,

Übe

rsch

lags

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nung

en o

der

Ski

zzen

�üb

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üfen

Lös

ungs

weg

e au

f Ric

htig

keit

und

Sch

lüss

igke

it

Mo

del

liere

n–

Mod

elle

ers

telle

n un

d nu

tzen

Mat

hem

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iere

n

Val

idie

ren

Rea

lisie

ren

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�üb

erse

tzen

ein

fach

e R

eals

ituat

ione

n in

mat

hem

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che

Mod

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(Z

uord

nung

en,

linea

re F

un

ktio

nen

,G

leic

hung

en, Z

ufal

lsve

rsuc

he)

�üb

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üfen

die

im

mat

hem

atis

chen

Mod

ell

gew

onne

nen

Lösu

ngen

an

der

Rea

lsitu

atio

n un

d ve

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ern

ggf.

das

Mod

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�or

dnen

ein

em m

athe

mat

isch

en M

odel

l (Ta

belle

, Gra

f, G

leic

hung

) ei

ne p

asse

nde

Rea

lsitu

atio

n zu

24

Wer

kzeu

ge

– M

edie

n un

d W

erkz

euge

ver

wen

den

Erk

unde

n

Ber

echn

en

Dar

stel

len

Rec

herc

hier

en

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�nu

tzen

Tab

elle

nkal

kula

tion

und

Geo

met

rieso

ftwar

e zu

m E

rkun

den

inne

r- u

nd a

ußer

mat

hem

atis

cher

Zu-

sam

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häng

e

�nu

tzen

den

Tas

chen

rech

ner

�tr

agen

Dat

en in

ele

ktro

nisc

her

For

m z

usam

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und

ste

llen

sie

mit

Hilf

e ei

ner

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llenk

alku

latio

n da

r

�nu

tzen

Lex

ika,

Sch

ulbü

cher

und

Inte

rnet

zur

Info

rmat

ions

besc

haffu

ng

Ari

thm

etik

/Alg

ebra

– m

it Z

ahle

n un

d S

ymbo

len

umge

hen

Ord

nen

Ope

riere

n

Anw

ende

n

Sys

tem

atis

iere

n

Sch

üle

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nen

un

d S

chü

ler

�or

dnen

und

ver

glei

chen

rat

iona

le Z

ahle

n

�fü

hren

Gru

ndre

chen

arte

n fü

r ra

tiona

le Z

ahle

n au

s (K

opfr

echn

en u

nd s

chrif

tlich

e R

eche

nver

fahr

en)

�fa

ssen

Ter

me

zusa

mm

en,

mul

tipliz

iere

n si

e au

s (G

-Kur

s: k

ein

Pro

dukt

von

Sum

men

) un

d fa

ktor

isie

ren

Term

e m

it ei

nem

ein

fach

en F

akto

r; s

ie n

utz

en b

ino

mis

che

Fo

rmel

n a

ls R

ech

enst

rate

gie

�lö

sen

linea

re G

leic

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en s

owoh

l du

rch

Pro

bier

en a

ls a

uch

alge

brai

sch

und

nutz

en d

ie P

robe

als

Rec

henk

ontr

olle

�ve

rwen

den

ihre

Ken

ntni

sse

über

rat

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le Z

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n un

d lin

eare

Gle

ichu

ngen

zur

Lös

ung

inne

r- u

nd a

ußer

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athe

mat

isch

er P

robl

eme

�ne

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auß

erm

athe

mat

isch

e G

ründ

e un

d B

eisp

iele

für

die

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lber

eich

serw

eite

rung

en v

on d

en n

atür

li-ch

en z

u de

n ra

tiona

len

Zah

len

25

Fu

nkt

ion

en–

Bez

iehu

ngen

und

Ver

ände

rung

en b

esch

reib

en u

nd e

rkun

den

Dar

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len

Inte

rpre

tiere

n

Anw

ende

n

Sch

üle

rin

nen

un

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chü

ler

�st

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n Z

uord

nung

en m

it ei

gene

n W

orte

n, in

Wer

teta

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n, a

ls G

rafe

n u

nd

in T

erm

enda

r un

d w

echs

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zwis

chen

die

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Dar

stel

lung

en

�in

terp

retie

ren

Gra

fen

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rdnu

ngen

un

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erm

e lin

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r fu

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aler

Zu

sam

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hän

ge

�id

entif

izie

ren

prop

ortio

nale

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nea

reZ

uord

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en in

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elle

n, T

erm

enun

d R

eals

ituat

ione

n so

wie

an-

tipro

port

iona

le Z

uord

nung

en in

Tab

elle

n un

d R

eals

ituat

ione

n

�w

ende

n di

e E

igen

scha

ften

von

prop

ortio

nale

n,an

tipro

port

iona

len

un

d li

nea

ren

Zuo

rdnu

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sow

ie e

in-

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e D

reis

atzv

erfa

hren

zur

Lös

ung

auß

er-

und

inne

rmat

hem

atis

cher

Pro

blem

stel

lung

en a

n

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rech

nen

Pro

zent

wer

t, P

roze

ntsa

tz u

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rund

wer

tin

Rea

lsitu

atio

nen

(auc

h Z

insr

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Geo

met

rie

– eb

ene

und

räum

liche

Str

uktu

ren

nach

Maß

und

For

m e

rfas

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asse

n

Kon

stru

iere

n

Mes

sen

Anw

ende

n

Sch

üle

rin

nen

un

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chü

ler

�be

nenn

en u

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hara

kter

isie

ren

rech

twin

klig

e, g

leic

hsch

enkl

ige

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glei

chse

itige

Dre

ieck

e, P

aral

lelo

-gr

amm

e, R

aute

n, T

rape

ze u

nd P

rism

en u

nd id

entif

izie

ren

sie

in ih

rer

Um

wel

t

�ze

ichn

en D

reie

cke

aus

gege

bene

n W

inke

l- un

d S

eite

nmaß

en

�sc

hätz

en u

nd b

estim

men

Um

fang

und

Flä

chen

inha

lt vo

n D

reie

cken

, P

aral

lelo

gram

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und

dar

aus

zusa

mm

enge

setz

ten

Fig

uren

�be

stim

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Obe

rflä

chen

und

Vol

umin

a vo

n ei

nfac

hen

Pris

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�er

fass

en u

nd

beg

rün

den

Eig

ensc

haf

ten

vo

n F

igu

ren

mit

Hilf

e vo

n S

ymm

etri

e, e

infa

chen

Win

kel-

sätz

en o

der

der

Ko

ng

ruen

z

26

Sto

chas

tik

– m

it D

aten

und

Zuf

all a

rbei

ten

Erh

eben

Dar

stel

len

Aus

wer

ten

Beu

rtei

len

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�pl

anen

Dat

ener

hebu

ngen

, füh

ren

sie

durc

h un

d nu

tzen

zur

Erf

assu

ng a

uch

eine

Tab

elle

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kula

tion

�n

utz

en M

edia

n, S

pan

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eite

un

d Q

uar

tile

zu

r D

arst

ellu

ng

vo

n H

äufi

gke

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erte

ilun

gen

als

Bo

xplo

ts

�be

nutz

en r

elat

ive

Häu

figke

iten

von

lang

en V

ersu

chsr

eihe

n zu

r S

chät

zung

von

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rsch

einl

ichk

eite

n

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rwen

den

eins

tufig

e Z

ufal

lsve

rsuc

he z

ur D

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ng z

ufäl

liger

Ers

chei

nung

en in

allt

äglic

hen

Situ

atio

nen

�be

stim

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rsch

einl

ichk

eite

n be

i ein

stuf

igen

Zuf

alls

expe

rimen

ten

mit

Hilf

e de

r La

plac

e-R

egel

�nu

tzen

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rsch

einl

ichk

eite

n zu

r Beu

rtei

lung

von

Cha

ncen

und

Ris

iken

und

zur

Sch

ätzu

ng v

on H

äufig

kei-

ten

�in

terp

reti

eren

Sp

ann

wei

te u

nd

Qu

arti

le in

sta

tist

isch

en D

arst

ellu

ng

en

27

Arg

um

enti

eren

/Ko

mm

un

izie

ren

– ko

mm

uniz

iere

n, p

räse

ntie

ren

und

argu

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tiere

n

Lese

n

Ver

balis

iere

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Kom

mun

izie

ren

Prä

sent

iere

n

Ver

netz

en

Beg

ründ

en

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�zi

ehen

Inf

orm

atio

nen

aus

einf

ache

n au

then

tisch

en T

exte

n (z

. B

. Z

eitu

ngsb

eric

hten

) u

nd

mat

hem

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sch

en D

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ng

en, a

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ysie

ren

un

d b

eurt

eile

n d

ie A

uss

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�er

läu

tern

mat

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atis

che

Zu

sam

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hän

ge

un

d E

insi

chte

n m

it e

igen

en W

ort

en u

nd

prä

zisi

eren

sie

mit

gee

ign

eten

Fac

hb

egri

ffen

�ü

ber

prü

fen

un

d b

ewer

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Pro

ble

mb

earb

eitu

ng

en

�p

räse

nti

eren

Pro

ble

mb

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ng

en in

vo

rber

eite

ten

Vo

rträ

gen

�se

tzen

Beg

riff

e u

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Ver

fah

ren

mit

ein

and

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n B

ezie

hu

ng

(z.

B.

Gle

ich

un

gen

un

d G

rafe

n,

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i-ch

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gss

yste

me

un

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rafe

n)

�n

utz

en m

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emat

isch

es W

isse

n u

nd

mat

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che

Sym

bo

le f

ür

Beg

rün

du

ng

en u

nd

Arg

um

enta

-ti

on

sket

ten

3.3

Ko

mp

eten

zerw

artu

ng

en a

m E

nd

e d

er J

ahrg

ang

sstu

fe 1

0

Pro

ble

mlö

sen

– P

robl

eme

erfa

ssen

, erk

unde

n un

d lö

sen

Erk

unde

n

Löse

n

Ref

lekt

iere

n

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�ze

rlege

n P

robl

eme

in T

eilp

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eme

�w

end

en d

ie P

rob

lem

löse

stra

teg

ien

„V

orw

ärts

- u

nd

Rü

ckw

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arb

eite

n“

an

�ve

rgle

iche

n Lö

sung

sweg

eu

nd

Pro

ble

mlö

sest

rate

gie

n u

nd b

ewer

ten

sie

28

Mo

del

liere

n–

Mod

elle

ers

telle

n un

d nu

tzen

Mat

hem

atis

iere

n

Val

idie

ren

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lisie

ren

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�üb

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tzen

Rea

lsitu

atio

nen,

insb

eso

nd

ere

exp

on

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Wac

hst

um

spro

zess

e, in

mat

hem

atis

che

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delle

(Ta

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erm

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�ve

rgle

ich

en u

nd

bew

erte

n v

ersc

hie

den

e m

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emat

isch

e M

od

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fü

r ei

ne

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lsit

uat

ion

�fin

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zu e

inem

mat

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chen

Mod

ell (

insb

eson

dere

line

are

un

d e

xpo

nen

tiel

leF

unkt

ione

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asse

nde

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lsitu

atio

nen

Wer

kzeu

ge

– M

edie

n un

d W

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euge

ver

wen

den

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unde

n

Ber

echn

en

Dar

stel

len

Rec

herc

hier

en

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�nu

tzen

mat

hem

atis

che

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kzeu

ge (

Tabe

llenk

alku

latio

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eom

etrie

softw

are,

Fun

ktio

nenp

lotte

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um E

r-ku

nden

und

Lös

en m

athe

mat

isch

er P

robl

eme

�w

ähle

n ei

n ge

eign

etes

Wer

kzeu

g („

Ble

istif

t un

d P

apie

r“,

Tasc

henr

echn

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Geo

met

rieso

ftwar

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abel

len-

kalk

ulat

ion,

Fun

ktio

nenp

lotte

r) a

us u

nd n

utze

n es

�w

ähle

n ge

eign

ete

Med

ien

für

die

Dok

umen

tatio

n un

d P

räse

ntat

ion

aus

�nu

tzen

sel

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tänd

ig P

rint-

und

ele

ktro

nisc

he M

edie

n zu

r In

form

atio

nsbe

scha

ffung

29

Ari

thm

etik

/Alg

ebra

– m

it Z

ahle

n un

d S

ymbo

len

umge

hen

Dar

stel

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Ope

riere

n

Anw

ende

n

Sys

tem

atis

iere

n

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�le

sen

und

schr

eibe

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ahle

n in

Zeh

nerp

oten

z-S

chre

ibw

eise

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erlä

uter

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e P

oten

zsch

reib

wei

se m

itga

nzza

hlig

en E

xpon

ente

n

�w

ende

n da

s R

adiz

iere

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s U

mke

hren

des

Pot

enzi

eren

s an

; si

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rech

nen

und

über

schl

agen

Qua

drat

-w

urze

ln e

infa

cher

Zah

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im K

opf

�lö

sen

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Gle

ich

un

gss

yste

me

mit

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ei V

aria

ble

n s

ow

oh

l du

rch

Pro

bie

ren

als

au

ch a

lgeb

rais

chu

nd

gra

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h u

nd

nu

tzen

die

Pro

be

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Rec

hen

kon

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lle

�lö

sen

einf

ache

qua

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e G

leic

hung

en (

G-K

urs:

rei

n-qu

adra

tisch

)

�lö

sen

exp

on

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ich

un

gen

der

Fo

rm b

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näh

eru

ng

swei

se d

urc

h P

rob

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n

�ve

rwen

den

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Ken

ntni

sse

über

qua

drat

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leic

hung

en u

nd

exp

on

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ich

un

gen

zum

Lös

enin

ner-

und

auß

erm

athe

mat

isch

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robl

eme

�ve

rwen

den

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ntn

isse

üb

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nea

re G

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hu

ng

ssys

tem

e m

it z

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Var

iab

len

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r L

ösu

ng

inn

er-

un

d a

uß

erm

ath

emat

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lem

e

�u

nte

rsch

eid

en r

atio

nal

e u

nd

irr

atio

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e Z

ahle

n u

nd

erl

äute

rn d

ie B

esti

mm

un

g v

on

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atio

nal

enZ

ahle

n d

urc

h In

terv

alls

chac

hte

lun

g

30

Fu

nkt

ion

en–

Bez

iehu

ngen

und

Ver

ände

rung

en b

esch

reib

en u

nd e

rkun

den

Dar

stel

len

Inte

rpre

tiere

n

Anw

ende

n

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�st

elle

n F

unkt

ione

n (li

near

e, q

uadr

atis

che

(G-K

urs;

nur

f(x)

=ax

2 ), e

xpo

nen

tiel

le, S

inu

sfu

nkt

ion

) m

it ei

ge-

nen

Wor

ten,

in W

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tabe

llen,

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Gra

fen

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erm

en d

ar, w

ech

seln

zw

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en d

iese

n D

arst

ellu

ng

enu

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ben

enn

en ih

re V

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d N

ach

teile

�de

uten

die

Par

amet

er d

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dars

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von

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aren

, qu

adra

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hen

un

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xpo

nen

tiel

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Fun

ktio

-ne

n in

der

gra

fisch

en D

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ng u

nd n

utze

n di

es in

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endu

ngss

ituat

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n

�w

ende

n lin

eare

, qua

drat

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e (G

-Kur

s; n

ur f(

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ax2 )

un

d e

xpo

nen

tiel

leF

unkt

ione

n (G

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s; E

igen

scha

f-te

n ex

pone

ntie

llen

Wac

hstu

ms)

zur

Lös

ung

auß

er- u

nd in

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athe

mat

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robl

emst

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an

(auc

hZ

ins

und

Zin

sesz

ins)

�gr

enze

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s, q

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atis

ches

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exp

onen

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s W

achs

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Bei

spie

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gege

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ande

r ab

Geo

met

rie

– eb

ene

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räum

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Str

uktu

ren

nach

Maß

und

For

m e

rfas

sen

Erf

asse

n

Kon

stru

iere

n

Mes

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ende

n

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�be

nenn

en u

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hara

kter

isie

ren

Kör

per

(Zyl

inde

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yram

iden

, Keg

el, K

ugel

n) u

nd id

entif

izie

ren

sie

in ih

rer

Um

wel

t

�sk

izzi

eren

Sch

rägb

ilder

, ent

wer

fen

Net

ze v

on Z

ylin

dern

, Pyr

amid

en u

nd K

egel

nun

d st

elle

n di

e K

örpe

r he

r

�ve

rgrö

ßer

n un

d ve

rkle

iner

n ei

nfac

he F

igur

en m

aßst

absg

etre

u

�sc

hätz

en u

nd b

estim

men

Um

fäng

e un

d F

läch

enin

halte

von

Kre

isen

und

zus

amm

enge

setz

ten

Flä

chen

so-

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Obe

rflä

chen

und

Vol

umin

a vo

n Z

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dern

, Pyr

amid

en, K

egel

n un

d K

ugel

n

�be

rech

nen

geom

etris

che

Grö

ßen

und

ver

wen

den

dazu

den

Sat

z de

s P

ytha

gora

s, Ä

hn

lich

keit

sbez

ie-

hu

ng

en u

nd

die

Def

init

ion

en v

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Sin

us,

Ko

sin

us

un

d T

ang

ens

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egrü

nd

en E

igen

sch

afte

n v

on

Fig

ure

n m

it H

ilfe

des

Sat

zes

des

Th

ales

31

Sto

chas

tik

– m

it D

aten

und

Zuf

all a

rbei

ten

Dar

stel

len

Aus

wer

ten

Beu

rtei

len

Sch

üle

rin

nen

un

d S

chü

ler

�ve

ran

sch

aulic

hen

zw

eist

ufi

ge

Zu

falls

exp

erim

ente

mit

Hilf

e vo

n B

aum

dia

gra

mm

en

�ve

rwen

den

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eist

ufi

ge

Zu

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vers

uch

e zu

r D

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ellu

ng

zu

fälli

ger

Ers

chei

nu

ng

en i

n a

lltäg

lich

enS

itu

atio

nen

�b

esti

mm

en W

ahrs

chei

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hke

iten

bei

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ufi

gen

Zu

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exp

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ente

n m

it H

ilfe

der

Pfa

dre

gel

n

�an

alys

iere

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afis

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stat

istis

che

Dar

stel

lung

en k

ritis

ch u

nd e

rken

nen

Man

ipul

atio

nen

32

3.4

Üb

erb

lick

üb

er d

ie J

ahrg

ang

sstu

fen

Arg

um

enti

eren

/K

om

mu

niz

iere

nP

rob

lem

löse

nM

od

ellie

ren

W

erkz

eug

e,

Med

ien

5/6

�In

form

atio

nen

aus

Text

en, B

ilder

nun

d Ta

belle

n

�E

rläut

ern

von

Rec

henw

egen

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tuiti

ves

Beg

ründ

en

�S

chät

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Übe

rsch

lage

n

�B

eisp

iele

find

en, P

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�Ü

berp

rüfe

n vo

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rgeb

nis-

sen

�E

rste

llen

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Ter-

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, Fig

uren

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Dia

gram

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Sac

hauf

gabe

n

�A

ngeb

en v

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situ

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nen

zu F

igu-

ren,

Ter

men

und

Dia

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�Li

neal

, Geo

drei

eck,

Zirk

el

�P

laka

t, Ta

fel

�Le

rnta

gebu

ch, M

erk-

heft

7/8

�In

form

atio

nen

aus

Gra

fen

�P

räse

ntat

ion

un

d B

ewer

tun

gvo

n Lö

sung

sweg

en

�m

ehrs

chri

ttig

e A

rgu

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tati

o-

nen

�V

erg

leic

hen

un

d B

ewer

ten

vo

nL

ösu

ng

sweg

en

�U

nter

such

en v

on Z

ahle

nun

d F

orm

en

�Ü

ber

prü

fen

au

f m

ehre

reL

ösu

ng

en

�Ü

berp

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sung

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en

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ufst

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leic

hung

en u

ndZ

uord

nung

en z

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n

�A

ngeb

en v

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Rea

lsitu

atio

nen

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n, G

rafe

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en

�Ta

sche

nrec

hner

�Ta

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nkal

kula

tion

�G

eom

etrie

softw

are

�Le

xika

, Int

erne

t

9/10

�In

form

atio

nen

aus

auth

entis

chen

Text

en (

Zei

tung

)

�P

räse

nta

tio

n, Ü

ber

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g u

nd

Bew

ertu

ng

vo

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bea

r-b

eitu

ng

en

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rgu

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sket

ten

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erle

gen

von

Pro

blem

en

�V

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ärts

-/R

ück

wär

ts-

arb

eite

n

�lin

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/exp

on

en-

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le M

od

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fü

rW

ach

stu

ms-

pro

zess

e

�A

ngeb

en v

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lsitu

atio

nen

zulin

eare

n/ex

po

nen

-ti

elle

nF

unkt

ione

n

�F

unkt

ione

nplo

tter

33

Ari

thm

etik

/Alg

ebra

Fu

nkt

ion

enG

eom

etri

e S

toch

asti

k

5/6

�R

echn

en m

it na

türli

chen

Zah

-le

n, e

ndlic

hen

Dez

imal

zahl

enun

d ei

nfac

hen

Brü

chen

�

Grö

ßen

�O

rdne

n, V

ergl

eich

en, R

unde

n�

Zah

leng

erad

e�

Rec

henv

orte

ile, s

yste

mat

isch

eZ

ähle

r, Te

iler

und

Vie

lfach

e

�Ta

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n un

d D

iagr

amm

e�

Maß

stab

�eb

ene

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uren

�U

mfa

ng u

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läch

e vo

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echt

ecke

n�

Qua

der

und

Wür

fel

�O

berf

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e un

d V

olum

en�

Sch

rägb

ilder

, Net

ze, K

ör-

perm

odel

le

�U

r- u

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tric

hlis

ten

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äufig

keits

tabe

llen,

Säu

lend

iagr

amm

e,K

reis

diag

ram

me

�ar

ithm

etis

ches

M

ittel

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4 Muster- und Modellaufgaben Die folgenden Muster- und Modellaufgaben veranschaulichen und konkretisierendie in Kapitel 3 ausgeführten Kompetenzerwartungen durch Aufgabenbeispiele fürdie Jahrgangsstufen, an denen sich Art, Höhe und Umfang der Kompetenzerwar-tungen ablesen lassen.

Für den Mathematikunterricht stellen die Muster- und Modellaufgaben insbesondereBeispielprobleme dar, die Schülerinnen und Schüler auf der Grundlage der am Endeder jeweiligen Jahrgangsstufe erworbenen Kompetenzen lösen können. Die Aufga-ben zeigen an komplexen und offenen Ausgangssituationen auf, wie Schülerinnenund Schüler über unterschiedliche prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompe-tenzen verfügen und diese kombinieren müssen, um in inner- und außermathema-tischen Situationen mathematikbezogene Fragen zu lösen, zu reflektieren und zubewerten.

Diese Aufgaben können im Unterricht eingesetzt werden, um im Laufe der jeweili-gen Jahrgangsstufen Lerngelegenheiten zu bieten, anregende Fragen aufzuwerfenoder um neue Begriffe und Verfahren zu erarbeiten. Am Ende der jeweiligen Jahr-gangsstufe (oder später) können sie dazu dienen, festzustellen, ob und auf welchemNiveau Schülerinnen und Schüler die der jeweiligen Aufgabe zugeordnetenKompetenzerwartungen erfüllen. Zu diesem Zweck decken die Aufgaben jeweils einbreites Spektrum über alle Kompetenzbereiche hinweg ab.

4.1 Aufgabenbeispiele für das Ende der Jahrgangsstufe 6

Aufgabe 1 – Würfelspiel

Ein Spiel mit einem Würfel hat folgende Regel:

Man darf so lange mit einem Würfel würfeln, bis eine Zahl zum zweiten Mal er-scheint, also z.B. 1 – 3 – 4 – 3 – Stopp! Man darf sich dann so viele Punkte auf-schreiben, wie man Würfe geschafft hat, in diesem Beispiel also vier Punkte. Führtdas Spiel viele Male durch.

a) Es liegt folgender Spielverlauf vor: 2 – 1 – 5. Bei welcher Zahl wäre das Spielmit dem nächsten Wurf beendet?

b) Wie viele Punkte kannst du mindestens oder höchstens in einem Spiel errei-chen?

c) Wie viele verschiedene Spielverläufe gibt es, bei denen du drei Punkte be-kommst?

d) Du willst wissen, wie viele Punkte du im Durchschnitt in einem Spiel erhältst.Wie würdest du vorgehen?

Hinweise zum Einsatz der Aufgabe

Bei dieser Aufgabe geht es nicht um den Wahrscheinlichkeitsbegriff (obwohlgrundlegende Einsichten vorbereitet werden), sondern um das Erheben von Daten,das systematische Zählen und das Argumentieren. Schülerinnen und Schüler müs-

34

sen bei diesem Problem die Gelegenheit haben, das Spiel konkret durchzuführenund eine Reihe von Spielverläufen aufzuzeichnen. Der Übergang von einer Teilauf-gabe zur nächsten wird – je nach Lerngruppe – nach unterschiedlicher Spieldauererfolgen.

a) Die Schülerinnen und Schüler sichern ihre Kenntnisse der Spielregeln.

b) Die Schülerinnen und Schüler entwickeln auf der Grundlage von BeispielenEinsichten in das Problem und argumentieren, um ihre Aussagen zu stützen.

c) Die Schülerinnen und Schüler beginnen mit einer Sammlung von Spielverläu-fen und entwickeln dabei systematische Verfahren des Abzählens.

d) Die Schülerinnen und Schüler nutzen bei diesem Problem die erstengrundlegenden Begriffe und Verfahren der beschreibenden Stochastik.

Variation der Aufgabenstellung

Vereinfachung der Aufgabe: Durch eine Änderung der Spielregeln kann die Aufga-benstellung vereinfacht werden: Das Spiel ist beendet, wenn die erste Zahlnochmals gewürfelt wird.

Fortführung der Aufgabe: Die Schülerinnen und Schüler werden aufgefordert, ei-gene weitere Spielregeln aufzustellen, teilen diese Spielregeln der Klasse mit, spie-len nach den neuen Regeln und formulieren weitere Aufgaben.

Wesentliche Kompetenzen (aus Kapitel 3)

35


Problemlösen

Arithmetik/Algebra

Stochastik

Schülerinnen und Schüler

� nutzen intuitiv verschiedene Arten des Begründens (Be-schreiben von Beobachtungen, Plausibilitätsüberlegun-gen, Angeben von Beispielen oder Gegenbeispielen)

� präsentieren Ideen und Ergebnisse in kurzen Beiträgen

� wenden die Problemlösestrategien „Beispiele finden“,„Überprüfen durch Probieren“ an

� bestimmen Anzahlen auf systematische Weise

� erheben Daten und fassen sie in Ur- und Strichlisten zu-sammen

� bestimmen relative Häufigkeiten, arithmetisches Mittelund Median

Aufgabe 2 – Entfernungen

Eine Schulklasse macht einen Ausflugmit dem Zug nach Bielefeld. Sie will denTierpark Olderdissen besuchen.

a) Bestimme anhand des Stadtplansvon Bielefeld die Entfernung (Luftli-nie) zwischen dem Hauptbahnhof(S35) und dem Parkplatz am Tier-park Olderdissen (S33).

b) Franz kennt sich in Bielefeld nichtaus. Beschreibe einen einfach zuerklärenden Fußweg und bestimmedessen Länge.

c) Sarah behauptet: „Ich kenne einenWeg, der nur 2,9 km lang ist.“

Hinweis: Die nebenstehende Grafik ist hier zuDokumentationszwecken verkleinert darge-stellt, der angegebene Maßstab ist in dieserAbbildung nicht korrekt. Die Schülerinnen undSchüler arbeiten mit einem Plan ihres Schulorts. Die Angaben der Aufgabenstellungen sind entsprechend zu formulieren.

Hinweise zum Einsatz der Aufgabe

a) Die Schülerinnen und Schüler finden die Orte in der Karte und berechnen de-ren Abstand mit Hilfe der Maßstabsangabe.

b) Die Schülerinnen und Schüler ermitteln in der Karte einen einfachen Weg undnutzen Verfahren zur Bestimmung der Weglänge, z.B. Messen und Addierenvon Streckenlängen, Anlegen eines Fadens, Auslegen mit festen Maßlängen(Hölzchen etc.), Benutzen eines Zirkels.

c) Die Schülerinnen und Schüler überprüfen die Aussage, indem sie möglichstkurze Wege suchen, deren Länge ermitteln und vergleichen und die Wahl ih-res Weges begründen.

Die Teilaufgaben a) – c) haben steigendes Anspruchsniveau und können auch unab-hängig voneinander bearbeitet werden.

36

Quelle: ADAC Städteatlas NRW, 95/96


37


Problemlösen

Modellbildung

Werkzeug

Arithmetik/Algebra

Funktionen

Geometrie


� erläutern mathematische Sachverhalte, Begriffe, Regelnund Verfahren mit eigenen Worten und geeigneten Fach-begriffen

� sprechen über eigene und vorgegebene Lösungswege,Ergebnisse und Darstellungen, finden, erklären und korri-gieren Fehler

� präsentieren Ideen und Ergebnisse in kurzen Beiträgen

� nutzen intuitiv verschiedene Arten des Begründens (Be-schreiben von Beobachtungen, Plausibilitätsüberlegun-gen, Angeben von Beispielen oder Gegenbeispielen)

� nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren(Messen, Rechnen, Schließen) zum Lösen von anschau-lichen Alltagsproblemen

� wenden die Problemlösestrategien „Beispiele finden“,„Überprüfen durch Probieren“ an

� deuten Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Pro-blemstellung

� übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathemati-sche Modelle (Terme, Figuren, Diagramme)

� nutzen Lineal, Geodreieck und Zirkel zum Messen und ge-nauen Zeichnen

� stellen Größen in Sachsituationen mit geeigneten Einhei-ten dar

� ordnen und vergleichen Zahlen und runden natürlicheZahlen und Dezimalzahlen

� nutzen gängige Maßstabsverhältnisse

� schätzen und bestimmen Längen, Winkel, Umfänge vonVielecken, Flächeninhalte von Rechtecken sowie Ober-fläche und Volumina von Quadern


Aufgabe 1 – Aufteilung von Urlaubskosten

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Die Familien Meier und Müller haben im August 2003 ihren 14-tägigen Urlaub ge-meinsam in einer Ferienwohnung an der Ostsee verbracht. Familie Meier bestehtaus zwei Erwachsenen und einem Sohn, Familie Müller besteht aus dem alleinerziehenden Herrn Müller und seiner Tochter. Beide Kinder sind 10 Jahre alt. FürVerpflegung und gemeinsame Ausflugsfahrten im PKW der Familie Meier sind 960Euro angefallen. Herr Meier schlägt vor, dass jede Familie die Hälfte der Gesamt-kosten bezahlen soll. Herr Müller findet diesen Vorschlag nicht gerecht.

a) Welche Argumente könnten Herr Meier und Herr Müller für ihre unterschiedli-chen Standpunkte vorbringen?

b) (Fassung für den E-Kurs)Welche Aufteilung könnte Herr Müller vorschlagen? Überlegt euch mindestenseinen weiteren Vorschlag. Berechnet für jeden der Vorschläge die Kosten fürjede Familie.

b) (Fassung für den G-Kurs)Welche Aufteilung könnte Herr Müller vorschlagen? Berechnet die Kosten fürjede Familie.

Hinweise zum Einsatz der Aufgabe:

Die Aufgabe eignet sich insbesondere für Gruppenarbeit. Durch Ergänzungen in derAufgabenformulierung kann die Form der Präsentation der Ergebnisse (u. a. ist ein

Rollenspiel denkbar) variiert werden, so dass auch weitere Kompetenzen erfassbarsind. Diese auf einem realen Kontext basierende Aufgabe lässt vielfältige Lösungs-wege (Dreisatz, Brüche, ...) zu. Je nach gewähltem Lösungsweg werden daher diefolgenden Kompetenzen angesprochen.


39


Problemlösen

Modellieren

Arithmetik/Algebra

Funktionen


� ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellun-gen (Text, Bild, Tabelle, Graf), strukturieren und bewer-ten sie

� arbeiten bei der Lösung von Problemen im Team

� präsentieren Lösungswege in kurzen, vorbereitetenBeiträgen

� geben inner- und außermathematische Problemstellun-gen in eigenen Worten wieder und entnehmen ihnen dierelevanten Größen

� überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehre-rer Lösungen oder Lösungswege

� übersetzen einfache Realsituationen in mathematischeModelle (Zuordnungen, lineare Funktionen, Gleichun-gen, Zufallsversuche)

� wenden ihre arithmetischen Kenntnisse von Zahlen undGrößen an, nutzen Strategien für Rechenvorteile, Techni-ken des Überschlagens und die Probe als Rechenkon-trolle

� wenden die Eigenschaften von proportionalen, antipropor-tionalen und linearen Zuordnungen sowie einfache Drei-satzverfahren zur Lösung außer- und innermathemati-scher Problemstellungen an

Aufgabe 2 – Diagonalen im regelmäßigen Neuneck

Die Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Eckpunkte eines Vielecks wirdDiagonale genannt.

Die folgende Figur zeigt ein regelmäßiges Neuneck mit sämtlichen Diagonalen:

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Lehrer Lämpel hat in seiner Klasse die Aufgabe gestellt, die Diagonalenanzahl zubestimmen. Er hat pfiffige Schülerinnen und Schüler. Er findet in ihren Heften fol-gende Eintragungen:

Anna: 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 – 9 = 27Birgit: 6 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 27Hans: 6 • 9 : 2 = 27

Alle drei haben die Aufgabe richtig gelöst, aber leider keine Erläuterungen zu ihrenRechnungen angegeben.

Gib zu mindestens einer der von Anna, Birgit und Hans aufgeschriebenen Lösungeneine ausführliche Begründung an.


Das Verfahren des Anzählens führt zur Frage, wie dieses Verfahren systematisiertwerden kann und damit zu den von Anna, Birgit und Hans angegebenen Lösungen.

Die verschiedenen Lösungsstrategien sollen von den Schülerinnen und Schülernnachvollzogen und begründet werden.

Die Schülerinnen und Schüler können aufgefordert werden, Aufgaben selbst zu fin-den, die mit ähnlicher Strategie gelöst werden können, z.B. wie viele Spiele werdenin der Hinrunde der Fußball-Bundesliga ausgetragen?


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Problemlösen

Arithmetik/Algebra


� erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfah-ren (Konstruktionen, Rechenverfahren, Algorithmen) miteigenen Worten und geeigneten Fachbegriffen

� vergleichen und bewerten Lösungswege, Argumentatio-nen und Darstellungen

� überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibili-tätsüberlegungen, Überschlagsrechnungen oder Skizzen

� bestimmen Anzahlen auf systematische Weise

Aufgabe 3 – Auch Kopieren will gelernt sein

Jonas hat ein Rechteck der Länge 10 cm und der Breite 4cm auf ein DIN-A4-Blatt gezeichnet. Anschließend fertigter von diesem Blatt eine vergrößerte Kopie (Einstellungdes Kopierers 125 %) an. Er misst die Länge und Breitenach – alles wie erwartet!

a) Wie lang sind die Seitenlängen auf der vergrößertenKopie? Berechne und überprüfe dein Ergebnis am Kopierer.

Kathrin macht Jonas ein Angebot: „Wenn du dein vergrößertes Rechteck mit demKopierer wieder auf die ursprüngliche Größe bringen kannst, lade ich dich zum Eisein.“ Nach einigen vergeudeten Kopien hat es Jonas noch nicht geschafft. Kann ihmdie Mathematik weiterhelfen?

b) Wie muss Jonas den Kopierer einstellen, um die Vergrößerung wieder in dieOriginalgröße (Länge 10 cm, Breite 4 cm) zu bekommen? Formuliere und be-gründe zunächst deine Vermutung.

c) Überprüfe deine Vermutung durch eine Rechnung. Probiere am Kopierer aus,ob deine berechnete Prozentzahl für die Verkleinerung zum Erfolg führt.

d) Beschreibe mit eigenen Worten, warum sich die Ergebnisse möglicherweiseunterscheiden.


Bei dieser Aufgabe geht es um eine Veränderung des Grundwertes. Den Schülerin-nen und Schülern muss deutlich werden, dass eine Erhöhung um x Prozent nicht

durch eine Verminderung um x Prozent ausgeglichen werden kann. Sie haben beidiesem Beispiel Gelegenheit, ihre Vermutungen und Berechnungen handelnd amKopierer überprüfen zu können:

a) Die Seitenlängen der Vergrößerung werden berechnet. Durch Anfertigen einervergrößerten Kopie können die berechneten Werte empirisch überprüft wer-den. Die Vergrößerung des Rechtecks kann auf Folie der Klasse zur Verfügunggestellt oder von den Schülerinnen und Schülern selbst erstellt werden.

b) Vermutungen und Begründungen sollten im Unterricht gesammelt werden. DieSchülerinnen und Schüler entwickeln in dieser Unterrichtsphase Einsicht indas Problem und argumentieren intuitiv, um ihre Aussagen zu belegen.

c) Als mögliche Hilfestellung und als Lösungsansatz für die Schülerinnen undSchüler bietet sich der Vergleich der Seitenlängen aus Original und Vergröße-rung an. Durch Erstellen einer verkleinerten Kopie auf einem Kopierer solltedas berechnete Ergebnis empirisch überprüft werden.

d) Die Schülerinnen und Schüler können darüber reflektieren, warum Jonas zu-nächst eine nicht maßstäbliche Verkleinerung erstellt hat, d. h. wie eine spon-tan gefundene Lösung aussehen könnte. Der Vergleich mit der richtigen Lö-sung bei der Aufgabe gibt Anlass, über die Bedeutung des Grundwertes undseiner Veränderung bei dieser und auch bei anderen Aufgaben zu diskutieren.


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Problemlösen

Arithmetik/Algebra

Funktionen


� erläutern die Arbeitsschritte bei mathematischen Verfahren(Konstruktionen, Rechenverfahren, Algorithmen) mit ei-genen Worten und geeigneten Fachbegriffen


� nutzen mathematisches Wissen für Begründungen, auchin mehrschrittigen Argumentationen

� untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und Fi-guren und stellen Vermutungen auf

� nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skiz-zen, Gleichungen) zur Problemlösung

� überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibili-tätsüberlegungen, Überschlagsrechnungen oder Skizzen

� deuten Dezimalzahlen und Prozentzahlen als andereDarstellungsform für Brüche und stellen sie an der Zah-lengerade dar, führen Umwandlungen zwischen Bruch,Dezimalzahl und Prozentzahl durch

� berechnen Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert inRealsituationen (auch Zinsrechnung)


Aufgabe 1 – Immer weniger Menschen in Deutschland!

Jedes Jahr nimmt die Gesamtzahl der in Deutschland lebenden Menschen ab. Leb-ten 1990 noch etwa 83 Millionen Menschen in Deutschland, so waren es im Jahre2000 nur noch 80,5 Millionen Menschen.

1. Zur Prognose der Einwohnerzahl Deutschlands im Jahre 2100 überlegen sichHarri und Betti folgende Lösungsansätze:

Harri:

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a) Zu welcher Lösung werden Harri und Betti gelangen?

b) Erläutere den Unterschied zwischen Harris und Bettis Lösungsansätzen. Wel-che der beiden Lösungen erscheint dir realistischer? Auf welche Bevölke-rungszahlen kommen Harri und Betti für das Jahr 2400?

Ergänzende Aufgaben für den E-Kurs

2. Stelle die Ansätze von Harri und Betti durch Funktionsterme dar und zeichne diezugehörigen Grafen.

3. Zu welchen Antworten gelangen Harri bzw. Betti bei den folgenden Fragen?

a) Wann werden nur noch 50 Millionen Menschen in Deutschland leben?

b) Wann werden nur noch halb so viele Menschen wie 1990 in Deutschland le-ben?


Bei dieser Aufgabe geht es um die Frage der realistischen Anwendung linearer oderexponentieller Modelle. Die Bearbeitung von Aufgabenteil 1 erfordert, dass dieSchüler und Schülerinnen die Grundeigenschaften linearen Wachstums (gleicherSummand bei gleicher Zeitspanne) bzw. exponentiellen Wachstums (gleicher Fak-tor bei gleicher Zeitspanne) gegeneinander abgrenzen.

1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090 2100

83,0 80,5 78,1 75,7 73,4 71,2

1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090 2100

83,0 80,5 78,0 75,5 73,0

Betti:


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Problemlösen

Modellieren

Werkzeuge

Funktionen


� erläutern mathematische Zusammenhänge und Ein-sichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mitgeeigneten Fachbegriffen


� überprüfen und bewerten Problembearbeitungen

� nutzen mathematisches Wissen und mathematischeSymbole für Begründungen und Argumentationsket-ten

� überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit und Schlüssig-keit

� übersetzen Realsituationen, insbesondere exponenti-elle Wachstumsprozesse, in mathematische Modelle(Tabellen, Grafen, Terme)

� vergleichen und bewerten verschiedene mathemati-sche Modelle für eine Realsituation

� nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation,Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkundenund Lösen mathematischer Probleme

� stellen Funktionen (lineare, quadratische (G-Kurs: nurf(x)=ax2) exponentielle, Sinusfunktion) mit eigenenWorten, in Wertetabellen, als Grafen und in Termen dar,wechseln zwischen diesen Darstellungen und benen-nen ihre Vor- und Nachteile

� grenzen lineares, quadratisches und exponentiellesWachstum an Beispielen gegeneinander ab

� wenden lineare, quadratische (G-Kurs: nur f(x)=ax2) undexponentielle Funktionen zur Lösung außer- undinnermathematischer Problemstellungen an

Aufgabe 2 – Body-Mass-Index

Im Heft 12/2002 der Stiftung Warentest finden sich folgende Informationen zum BMI:

45

a) i) Bestimme den BMI einer 1,90 m großen Person mit einem Körpergewicht von80 kg.

ii) In welchem Bereich sollte das Körpergewicht einer 1,83 m großen Person lie-gen.

b) Till Eugenspiegel hat in dem obigen Artikel einen Fehler entdeckt. Wie immer sitztihm der Schalk im Nacken, und er schreibt folgenden Brief an die Stiftung Waren-test:

„Liebe Stiftung Warentest

ich bin 1,85 m groß und wiege 70 kg. Nach Ihrer Formel habe ich einen BMI von38 kg/m2. Ich habe aber nicht das Gefühl,dass ich an Fettsucht leide. Mit der Bitte umErklärung verbleibe ich mit freundlichenGrüßen.“

Schreibe im Auftrag der Stiftung Warentest ei-nen kurzen Antwortbrief an Till.

Folgende Aufgabenteile c) – e) gelten für denE-Kurs

c) In welchem Bereich sollte das Körpergewichteines 60 cm großen Säuglings liegen? Ver-gleiche dein Ergebnis mit den Informationendes nebenstehenden Somatogramms, das injedem Kinder-Untersuchungsheft – auch indeinem! – zu finden ist. Beurteile aufgrunddeines Vergleichs die Gültigkeit der im obigenZeitungsartikel aufgestellten Regeln. (Hinweis: Die Grafik ist zu Dokumentations-zwecken nur verkleinert dargestellt)

46

d) Vor der Einführung des BMI gab es folgende Regeln:

Das Normalgewicht (in kg) einer Person entspricht der um 100 vermindertenKörpergröße (in cm). Das Idealgewicht beträgt 90 % des Normalgewichts.

Welches Idealgewicht ergibt sich daraus für eine 1,83 m große Person?

e) In einem Artikel des Mindener Tageblatts vom 8.2.2003 findet sich folgender Satz:

„Als fettsüchtig gelten Kinder, deren Gewicht etwa 20 Prozent über dem Alters-gruppendurchschnitt liegt.“

Philipp Pfiffig meint dazu: „Wenn sich alle Kinder einig wären, könnten sie nachHerzenslust schlemmen, und trotzdem gäbe es keine fettsüchtigen Kinder.“

Was meinst du dazu?

Folgender Aufgabenteil gilt für den G-Kurs

c) i) Vor der Einführung des BMI gab es folgende Regeln:

Das Normalgewicht (in kg) einer Person entspricht der um 100 vermindertenKörpergröße (in cm). Das Idealgewicht beträgt 90 % des Normalgewichts.Welches Idealgewicht ergibt sich daraus für eine 1,83 m große Person?

ii) Zu welchem Normalgewicht würde die in i) aufgestellte Regel bei einem 60 cmgroßen Säugling führen? Beurteile aufgrund deines Ergebnisses die Gültigkeitder Regel zur Ermittlung des Normalgewichts.

Hinweis zum Einsatz der Aufgabe

Die Aufgabe erfordert gegebenenfalls ein zusätzliches Eingehen auf die Problema-tik ungeeigneter Ernährung oder falscher Einschätzung des eigenen Gewichtes.

Die im Aufgabenteil c) erforderlichen Überlegungen zum Geltungsbereich derModellierung sind bei der Grundkurs-Variante aufgrund des absurden Ergebnisses(negatives Normalgewicht) nicht schwierig. Bei der E-Kurs-Variante müssen zusätz-liche Informationen aus einer recht komplexen grafischen Darstellung gewonnenwerden.


47


Problemlösen

Modellieren

Arithmetik/Algebra

Funktionen


� ziehen Informationen aus einfachen authentischen Texten(z.B. Zeitungsberichten) und mathematischen Darstel-lungen, analysieren und beurteilen die Aussagen

� überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibilitäts-überlegungen, Überschlagsrechnungen oder Skizzen

� überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenenLösungen an der Realsituation und verändern ggf. dasModell


� deuten Dezimalzahlen und Prozentzahlen als andereDarstellungsform für Brüche und stellen sie an der Zah-lengerade dar, führen Umwandlungen zwischen Bruch,Dezimalzahl und Prozentzahl durch

� berechnen Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert inRealsituationen (auch Zinsrechnung)

Aufgabe 3 – Heißluftballon

Wie viel LiterLuft sind (un-gefähr) in die-sem Heißluft-ballon?

Quelle: Wilfried Herget „Ein Bild sagt mehr als tausend Worte“, http://blk.mat.uni-bayreuth.de/

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Diese Aufgabe ist gänzlich offen, ohne Vorgaben an die Vorgehensweise der Schü-lerinnen und Schüler, gestellt. Ziel ist die Bestimmung eines groben Nähe-rungswertes für das Volumen des Ballons und die Entwicklung geeigneter Methodenhierfür. Dies kann z. B. erfolgen über:

� die Zerlegung des Ballonkörpers in eine Halbkugel und einen Kegel; „maßstäbli-che Abschätzungen und Berechnung“ von Radius und Höhe, Bewertung der„Genauigkeit“ des Ergebnisses

� die Annäherung des Ballonkörpers durch eine Kugel

� die Annäherung des Ballonkörpers durch einen Würfel.

Um einen Maßstab zu gewinnen kann die geschätzte Körpergröße einer abgebilde-ten Person herangezogen werden.


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Problemlösen

Modellieren

Geometrie


� ziehen Informationen aus einfachen authentischen Texten(z.B. Zeitungsberichten) und mathematischen Darstel-lungen, analysieren und beurteilen die Aussagen

� zerlegen Probleme in Teilprobleme

� vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategienund bewerten sie


� schätzen und bestimmen Umfänge und Flächeninhaltevon Kreisen und zusammengesetzten Flächen sowieOberflächen und Volumina von Zylindern, Pyramiden, Ke-geln und Kugeln

5 LeistungsfeststellungDie rechtlich verbindlichen Hinweise zur Leistungsfeststellung sowie zu Verfahrens-vorschriften sind in der Allgemeinen Schulordnung dargestellt (ASchO §§ 21-25).Diese Regelungen werden ab 1. 8. 2005 durch die entsprechenden Vorschriften desin den parlamentarischen Beratungen befindlichen Schulgesetzes (§ 47) abgelöst.

Die Leistungsfeststellung bezieht sich auf die im Zusammenhang mit dem Unterrichterworbenen Kompetenzen und setzt voraus, dass die Schülerinnen und Schüler hin-reichend Gelegenheit hatten, die in Kapitel 3 ausgewiesenen Kompetenzen zu er-werben.

Erfolgreiches Lernen ist kumulativ. Entsprechend sind die Kompetenzerwartungenin den Bereichen des Faches jeweils in ansteigender Progression und Komplexitätformuliert. Dies bedingt, dass Unterricht und Lernerfolgsüberprüfungen daraufausgerichtet sein müssen, Schülerinnen und Schülern Gelegenheit zu geben,grundlegende Kompetenzen, die sie in den vorangegangenen Jahren erworben ha-ben, wiederholt und in wechselnden Kontexten anzuwenden. Für Lehrerinnen undLehrer sind die Ergebnisse der Lernerfolgsüberprüfungen Anlass, die Zielsetzungenund die Methoden ihres Unterrichts zu überprüfen und ggf. zu modifizieren. Für dieSchülerinnen und Schüler sollen sie eine Hilfe für weiteres Lernen darstellen.

Die Leistungsfeststellung ist daher so anzulegen, dass sie den Lernenden auch Er-kenntnisse über die individuelle Lernentwicklung ermöglicht. Die Beurteilung vonLeistungen soll demnach mit der Diagnose des erreichten Lernstandes und individu-ellen Hinweisen für das Weiterlernen verbunden werden. Wichtig für den weiterenLernfortschritt ist es, bereits erreichte Kompetenzen herauszustellen und die Ler-nenden zum Weiterlernen zu ermutigen. Dazu gehören auch Hinweise zu Erfolg ver-sprechenden individuellen Lernstrategien. Den Eltern sollten im Rahmen der Lern-und Förderempfehlungen Wege aufgezeigt werden, wie sie das Lernen ihrer Kinderunterstützen können.

Im Sinne der Orientierung an Standards sind grundsätzlich alle in Kapitel 3 des Lehr-plans ausgewiesenen Bereiche („Argumentieren/Kommunizieren“, „Problemlösen“,„Modellieren“, „Werkzeuge“, „Arithmetik/Algebra“, „Funktionen“, „Geometrie“ und„Stochastik“) bei der Leistungsbewertung angemessen zu berücksichtigen. Dabeikommt den prozessbezogenen Kompetenzen der gleiche Stellenwert zu wie deninhaltsbezogenen Kompetenzen.

Schriftliche Arbeiten (Klassenarbeiten) dienen der schriftlichen Überprüfung derLernergebnisse einer vorausgegangenen Unterrichtssequenz. Sie sind so anzule-gen, dass die Schülerinnen und Schüler Sachkenntnisse und Fähigkeiten nachwei-sen können. Sie bedürfen angemessener Vorbereitung und verlangen klar ver-ständliche Aufgabenstellungen.

Die Aufgabenstellungen sollen die Vielfalt der im Unterricht erworbenen Kompeten-zen und Arbeitsweisen widerspiegeln. So ist es empfehlenswert, einen Teil der Auf-gaben dem reproduktiven oder operativen Bereich zu entnehmen. Darüber hinaussollten Schülerinnen und Schüler zunehmend Aufgaben bearbeiten, bei denen esum Begründungen, Darstellung von Zusammenhängen, Interpretationen und kriti-sche Reflexionen geht. Hierbei sind besonders die in Kapitel 3 konkret formulierten

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prozessbezogenen Kompetenzen zu berücksichtigen. Es sind ebenfalls Aufgabeneinzubeziehen, bei denen nicht von vornherein eine eindeutige Lösung feststeht,sondern bei denen Schülerinnen und Schüler individuelle Lösungs- oderGestaltungsideen einbringen können. Beispiele hierzu finden sich in Kapitel 4.

Es ist auch erwünscht, Schülerinnen und Schüler bei der Auswahl der Aufgabenty-pen für eine Klassenarbeit angemessen zu beteiligen und so deren Fähigkeit zurEinschätzung der von ihnen erworbenen Kompetenzen zu stärken.

Der Bewertungsbereich „Sonstige Leistungen“ erfasst die Qualität und Kontinuitätder Beiträge, die die Schülerinnen und Schüler im Unterricht einbringen. DieseBeiträge sollen unterschiedliche mündliche und schriftliche Formen in enger Bin-dung an die Aufgabenstellung und das Anspruchsniveau der jeweiligen Unterrichts-einheit umfassen. Gemeinsam ist diesen Formen, dass sie in der Regel einen län-geren, abgegrenzten, zusammenhängenden Unterrichtsbeitrag einer einzelnenSchülerin, eines einzelnen Schülers bzw. einer Gruppe von Schülerinnen undSchülern darstellen.

Zu „Sonstigen Leistungen“ zählen beispielsweise

� Beiträge zum Unterrichtsgespräch in Form von Lösungsvorschlägen, das Aufzei-gen von Zusammenhängen und Widersprüchen, Plausibilitätsbetrachtungen oderdas Bewerten von Ergebnissen

� kooperative Leistungen im Rahmen von Gruppenarbeit (Anstrengungsbereit-schaft, Teamfähigkeit, Zuverlässigkeit)

� im Unterricht eingeforderte Leistungsnachweise, z. B. vorgetragene Hausaufga-ben oder Protokolle einer Einzel- oder Gruppenarbeitsphase, angemessene Füh-rung eines Heftes oder eines Lerntagebuchs

� kurze, schriftliche Überprüfungen.

Die Fachlehrerin bzw. der Fachlehrer kann neben diesen Bewertungsformen auchalternative Formen, wie Portfolios oder langfristig vorzubereitende größere schriftli-che Hausarbeiten über eine mathematikbezogene Fragestellung einsetzen. DieDurchführung und die Bewertungskriterien müssen den Schülerinnen und Schülernim Voraus transparent gemacht werden. Es ist zu empfehlen, ihnen die Anforderun-gen und Kriterien an Beispielen zu verdeutlichen.

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