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Mathematik macht Freu(n)de Komplexe Zahlenma .Mathematik macht Freu(n)de Komplexe Zahlen Aufgabe

Date post:18-Sep-2018
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  • Mathematik macht Freu(n)de Komplexe Zahlen

    KOMPETENZHEFT ZU KOMPLEXEN ZAHLEN

    1. Aufgabenstellungen

    Aufgabe 1.1. Kreuze alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl bestimmt enthalten ist.

    N Z Q R C

    42

    5

    8,2

    2,5

    4 i

    5 + 2 i

    21/4

    9/3

    2

    16

    5,014 = 5,014 014 014...

    1,234 567 891 011 121 3...

    Aufgabe 1.2. Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen z1 = 2 4 i und z2 = 3 5 i.Berechne z1 + z2, z1 z2, z1 z2 und

    z1z2.

    Datum: 31. Mrz 2017.

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    Aufgabe 1.3. Stelle die angegebenen komplexen Zahlen als Zeiger in der Zahlenebene dar undwandle sie in Polarform um.

    z1 = 3 + 4 iz2 = 4 + 2 iz3 = 1 5 iz4 = 2 2 i

    Aufgabe 1.4. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 3 + 2 i und z2 = 1 3 i.Berechne z1 + z2 bzw. z1 z2 und veranschauliche die Rechnungen in der Zahlenebene.

    Aufgabe 1.5. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 4 + 3 i und z2 = 8 + 15 i.

    1) Berechne das Produkt z1 z2 in Komponentenform.2) Berechne die Polarform von z1 = (r1;1), z2 = (r2;2) und z1 z2 = (r3;3).3) berprfe, dass r3 = r1 r2 gilt und vergleiche 3 mit 1 + 2.

    Aufgabe 1.6. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 12 5 i und z2 = 3 4 i.

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    1) Berechne den Quotienten z1z2

    in Komponentenform.

    2) Berechne die Polarform von z1 = (r1;1), z2 = (r2;2) undz1z2

    = (r3;3).

    3) berprfe, dass r3 =r1r2

    gilt und vergleiche 3 mit 1 2.

    Aufgabe 1.7. Berechne (3 4 i)10 und gib das Ergebnis in Polarform und in Komponentenforman.

    Aufgabe 1.8. Gib alle Lsungen von z5 = 2 + 4 i in Polarform an.

    1.1

    NZQRC

    42

    5

    8,2

    2,5

    4i

    5+2i

    21/4

    9/3

    2

    16

    5,014=5,014014014...

    1,2345678910111213...

    1.2z1+z2=19iz1z2=5+iz1z2=26+2iz1/z2=0,411...+0,647i1.3z1=(5;53,13...),z2=(4,472...;153,43...),z3=(5,099...;258,69...),z4=(2,828...;315)1.4z1+z2=2i,z1z2=4+5i1.51)z1z2=77+36i2)z1=(5;36,86...),z2=(17;118,07...),z1z2=(85;154,94...)

    3)517=853und1+2sindgleichgro.1.61)z1/z2=16/25+63/25i2)z1=(13;337,38...),z2=(5;233,13...),z1/z2=(2,6;104,25...)

    3)13/5=2,63und12sindgleichgro.1.7z10=(9765625;188,69...)=96532871476984i1.8z1=(1,349...;23,31...),z2=(1,349...;95,31...),z3=(1,349...;167,31...),

    z4=(1,349...;239,31...),z5=(1,349...;311,31...)

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    2. Erweiterung der Zahlenbereiche

    Erinnere dich an den Aufbau der Zahlenbereiche:

    Natrliche Zahlen: N = {0, 1, 2, 3, . . .}

    Ganze Zahlen: Z = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}

    Rationale Zahlen: Q ={a

    b| a, b Z, b 6= 0

    }(Bruchzahlen)

    (Das sind Zahlen mit endlich vielen Dezimalstellen oder periodische Zahlen wie 4,362 813 813 813....)

    Irrationale Zahlen: Zahlen mit unendlich vielen Dezimalstellen, die nicht periodisch sind.(Zum Beispiel = 3,141 592 6...,

    2 = 1,414 213 5...)

    Reelle Zahlen R: rationale und irrationale Zahlen(Also jede Zahl auf der Zahlengerade.)

    Erklre, warum . . .

    1) . . . jede natrliche Zahl auch eine ganze Zahl ist, also N Z.

    2) . . . jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist, also Z Q.

    3) . . . jede rationale Zahl auch eine reelle Zahl ist, also Q R.

    N Z Q R

    Erklre, warum . . .1) . . . die Gleichung 5 + x = 4 keine Lsung in N hat, aber eine Lsung in Z.

    2) . . . die Gleichung 2 x+ 3 = 4 keine Lsung in Z hat, aber eine Lsung in Q.

    3) . . . die Gleichung x2 = 2 keine Lsung in Q hat, aber zwei Lsungen in R.

    4) . . . die Gleichung x2 = 1 keine Lsung in R hat.

    Bei Gleichungen wie 5 + x = 4 suchen wir nach einer Zahl, zu der wie 5 dazuzhlen knnen, um 4 zuerhalten. Dazu haben wir eine neue Zahl 1 definiert.

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    Um Gleichungen wie 2 x+ 3 = 4 lsen zu knnen, haben wir eine neue Zahl 12 definiert.Um Gleichungen wie x2 = 2 lsen zu knnen, haben wir neue Zahlen so wie

    2 definiert.

    Die imaginre Einheit i ist eine Zahl, die die Gleichung x2 = 1 erfllt. Es gilt also i i = 1.

    In manchen Bereichen wird fr die imaginre Einheit auch der Buchstabe j verwendet.(In der Elektrotechnik zum Beispiel zur besseren Unterscheidung von der Bezeichnung fr die elektrische Stromstrke.)

    Die Gleichung x2 = 1 hat dann die zwei Lsungen x1 = i und x2 = i, weil i2 = 1 und(i) (i) = +i2 = 1 gilt.

    Diese Definition mag auf den ersten Blick an den Haaren herbeigezogen erscheinen, aber auch bei dennegativen und irrationalen Zahlen war die Reaktion kaum anders1. Tatschlich fhrt uns diese neueZahl i zum Zahlenbereich der komplexen Zahlen C, in dem wir schlielich jede Polynomgleichunglsen knnen.

    Jede Zahl der Bauart z = a+ b i mit reellen Zahlen a und b heit komplexe Zahl. Wir nennena den Realteil von z und b den Imaginrteil von z, kurz: a = Re(z) und b = Im(z).Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C abgekrzt. (Complex Numbers)

    Die natrlichen Zahlen haben wir auf dem Zahlenstrahl dargestellt. Um auch negative Zahlen dar-stellen zu knnen, haben wir den Zahlenstrahl zu einer Zahlengerade erweitert. Jeder Punkt auf derZahlengerade entspricht genau einer reellen Zahl. Zur Darstellung von komplexen Zahlen erweiternwir die Zahlengerade zu einer Zahlenebene. Jeder komplexen Zahl entspricht genau ein Punkt in

    1 Der griechische Mathematiker Hippasos von Metapont (5. Jhdt. v. Chr.) hat der Legende nach fr die Entdeckung,dass nicht jede Zahl als Bruch dargestellt werden kann, fr so viel Aufsehen und Ablehnung gesorgt, dass er alsgttliche Strafe im Meer ertrunken ist.

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    der Zahlenebene. Konkret zeichnen wir die komplexe Zahl z = a+ b i an dem Punkt mit Koordina-ten (a | b) ein:

    Erklre, warum jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahlist, also R C.

    Das Mengendiagramm zu den Zahlenbereichen knnen wiralso wie rechts dargestellt vervollstndigen.

    N Z Q R C

    Fr das Rechnen mit komplexen Zahlen gelten die gleichen Rechenregeln wie fr das Rechnen mitreellen Zahlen, zum Beispiel

    x+ y = y + x x y = y x (Kommutativgesetz)

    x+ (y + z) = (x+ y) + z x (y z) = (x y) z (Assoziativgesetz)

    x (y + z) = x y + x z (Distributivgesetz)

    Wir rechnen also mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen. Bei der Multiplikationbeachten wir, dass i2 = 1 gilt.

    Beispiel 2.1. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 2 + 5 i und z2 = 4 i.Berechne z1 + z2, z1 z2, z1 z2 und z1/z2.

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    Lsung.

    z1 + z2 = (2 + 5 i) + (4 i) = 2 + 5 i+ 4 i = 2 + 4 i

    z1 z2 = (2 + 5 i) (4 i) = 2 + 5 i 4 + i = 6 + 6 i

    z1 z2 = (2 + 5 i) (4 i) = 8 + 2 i+ 20 i 5 i2 =5

    = 3 + 22 i

    Um z1/z2 wieder in der Form a+ b i darzustellen, erweitern wir den Bruch geschickt:

    z1z2

    = (2 + 5 i) (4 + i)(4 i) (4 + i) =8 2 i+ 20 i+ 5 i2

    16 i2 =13 + 18 i

    17 = 1317 +

    1817 i

    Erklre, warum (a+ b i) (a b i) stets eine reelle Zahl ist. (a, b R)

    Die Zahl z = a b i nennen wir auch die komplex konjugierte Zahl von z = a+ b i.

    Die Menge der komplexen Zahlen ist

    C = {a+ b i | a, b R}.

    Die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient von zwei komplexen Zahlen ist wiedereine komplexe Zahl. (Das Ergebnis kann wieder in der Form a+ b i dargestellt werden.)

    Um einen Punkt in der Zahlenebene (in diesem Zusammenhang also eine komplexe Zahl)eindeutig festzulegen, gibt es mehrere Mglichkeiten:1) Die beiden Koordinaten des Punkts angeben. In

    diesem Zusammenhang sind das also der Realteil aund der Imaginrteil b der komplexen Zahl z = a+b i.

    2) Den Abstand r vom Koordinatenursprung angeben undjenen Winkel , den der Zeiger zum Punkt mit derpositiven, horizontalen Achse einschliet.

    Re(z)

    Im(z)

    a

    b

    r

    z = a+ b i

    Erklre, warum es nicht ausreicht nur den Abstand r oder nur den Winkel zu kennen.

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    Die Darstellung z = a+ b i heit Komponentenform.Die Darstellung z = (r;) nennen wir Polarform.

    Erklre die folgenden Umrechnungen zwischen Komponenten- und Polarform und zeichne diekomplexen Zahlen in der Zahlenebene ein.

    1) 3 i = (3; 90)

    2) 4 = (4; 0)

    3) 4 i = (4; 270)

    4) 2 = (2; 180)

    5) 3 3 i = (3

    2; 315)

    Als Nchstes besprechen wir wie man allgemein zwischen der Komponentenform und der Polarformumrechnen kann.

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  • Mathematik macht Freu(n)de Komplexe Zahlen

    Umrechnung von Polarform z = (r; ) in Komponentenform z = a + b i

    Erklre, wie du in der folgenden Skizze aus r und den Realteil a und den Imaginrteil bberechnen kannst.

    Tatschlich gelten diese Zusammenhnge

    a = r cos() bzw. b = r sin()

    auch fr komplexe Zahlen, bei denen grer als 90 ist. Erinnere dich dazu daran, wie wir amEinheitskreis (r = 1) die Winkelfunktionen fr beliebige Winkel eingefhrt haben.

    Beispiel 2.2. Die komplexe Zahl z = (4; 120) hat den Realteil a = 4 cos(120) = 2 und denImaginrteil b = 4 sin(120) = 3,464..., also

    z = (4; 120) = 4 + 3,464... i

    Allgemein knnen wir statt z = a+ b i also auch

    z = r cos() + r sin()) i = r (cos() + i sin())

    schreiben. Diese Darstellungsform heit trigonometrische Form und wird uns spter wieder be-gegnen.

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    Umrechnung von Komponentenform z = a + b i in Polarform z = (r; )

    Erklre, wie du in der folgenden Skizze aus a und b den Radius r berechnen kannst:

    Beispiel 2.3. Berechne den Abstand der komplexen Z

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