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Mathematik macht Freu(n)de Komplexe...

Date post: 18-Sep-2018
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Mathematik macht Freu(n)de Komplexe Zahlen KOMPETENZHEFT ZU KOMPLEXEN ZAHLEN 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Kreuze alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl bestimmt enthalten ist. N Z Q R C 42 -5 -8,2 2, ˙ 5 -4 · i 5+2 · i 21/4 -9/3 2 - 16 5, 014 = 5,014 014 014... 1,234 567 891 011 121 3... Aufgabe 1.2. Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen z 1 =2 - 4 · i und z 2 = -3 - 5 · i. Berechne z 1 + z 2 , z 1 - z 2 , z 1 · z 2 und z 1 z 2 . Datum: 31. März 2017. 1
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Mathematik macht Freu(n)de Komplexe Zahlen

KOMPETENZHEFT ZU KOMPLEXEN ZAHLEN

1. Aufgabenstellungen

Aufgabe 1.1. Kreuze alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl bestimmt enthalten ist.

N Z Q R C

42

−5

−8,2

2,5̇

−4 · i

5 + 2 · i

21/4

−9/3√

2

−√

16

5,014 = 5,014 014 014...

1,234 567 891 011 121 3...

Aufgabe 1.2. Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen z1 = 2− 4 · i und z2 = −3− 5 · i.Berechne z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2 und z1

z2.

Datum: 31. März 2017.

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Aufgabe 1.3. Stelle die angegebenen komplexen Zahlen als Zeiger in der Zahlenebene dar undwandle sie in Polarform um.

z1 = 3 + 4 · iz2 = −4 + 2 · iz3 = −1− 5 · iz4 = 2− 2 · i

Aufgabe 1.4. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = −3 + 2 · i und z2 = 1− 3 · i.Berechne z1 + z2 bzw. z1 − z2 und veranschauliche die Rechnungen in der Zahlenebene.

Aufgabe 1.5. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 4 + 3 · i und z2 = −8 + 15 · i.

1) Berechne das Produkt z1 · z2 in Komponentenform.2) Berechne die Polarform von z1 = (r1;ϕ1), z2 = (r2;ϕ2) und z1 · z2 = (r3;ϕ3).3) Überprüfe, dass r3 = r1 · r2 gilt und vergleiche ϕ3 mit ϕ1 + ϕ2.

Aufgabe 1.6. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 12− 5 · i und z2 = −3− 4 · i.

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1) Berechne den Quotienten z1

z2in Komponentenform.

2) Berechne die Polarform von z1 = (r1;ϕ1), z2 = (r2;ϕ2) und z1

z2= (r3;ϕ3).

3) Überprüfe, dass r3 = r1

r2gilt und vergleiche ϕ3 mit ϕ1 − ϕ2.

Aufgabe 1.7. Berechne (3 − 4 · i)10 und gib das Ergebnis in Polarform und in Komponentenforman.

Aufgabe 1.8. Gib alle Lösungen von z5 = −2 + 4 · i in Polarform an.

1.1

NZQRC

42�����

−5����

−8,2���

2,5̇���

−4·i�

5+2·i�

21/4���

−9/3����√

2��

−√

16����

5,014=5,014014014...���

1,2345678910111213...��

1.2z1+z2=−1−9·iz1−z2=5+iz1·z2=−26+2·iz1/z2=0,411...+0,647·i1.3z1=(5;53,13...◦),z2=(4,472...;153,43...◦),z3=(5,099...;258,69...◦),z4=(2,828...;315◦)1.4z1+z2=−2−i,z1−z2=−4+5·i1.51)z1·z2=−77+36·i2)z1=(5;36,86...◦),z2=(17;118,07...◦),z1·z2=(85;154,94...◦)

3)5·17=85ϕ3undϕ1+ϕ2sindgleichgroß.1.61)z1/z2=−16/25+63/25·i2)z1=(13;337,38...◦),z2=(5;233,13...◦),z1/z2=(2,6;104,25...◦)

3)13/5=2,6�ϕ3undϕ1−ϕ2sindgleichgroß.1.7z10=(9765625;188,69...◦)=−9653287−1476984·i1.8z1=(1,349...;23,31...◦),z2=(1,349...;95,31...◦),z3=(1,349...;167,31...◦),

z4=(1,349...;239,31...◦),z5=(1,349...;311,31...◦)

3

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2. Erweiterung der Zahlenbereiche

Erinnere dich an den Aufbau der Zahlenbereiche:

Natürliche Zahlen: N = {0, 1, 2, 3, . . .}

Ganze Zahlen: Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Rationale Zahlen: Q ={a

b| a, b ∈ Z, b 6= 0

}(„Bruchzahlen“)

(Das sind Zahlen mit endlich vielen Dezimalstellen oder periodische Zahlen wie 4,362 813 813 813....)

Irrationale Zahlen: Zahlen mit unendlich vielen Dezimalstellen, die nicht periodisch sind.(Zum Beispiel π = 3,141 592 6...,

√2 = 1,414 213 5...)

Reelle Zahlen R: rationale und irrationale Zahlen(Also jede Zahl auf der Zahlengerade.)

Erkläre, warum . . .

1) . . . jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist, also N ⊆ Z.

2) . . . jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist, also Z ⊆ Q.

3) . . . jede rationale Zahl auch eine reelle Zahl ist, also Q ⊆ R.

N Z Q R

Erkläre, warum . . .1) . . . die Gleichung 5 + x = 4 keine Lösung in N hat, aber eine Lösung in Z.

2) . . . die Gleichung 2 · x+ 3 = 4 keine Lösung in Z hat, aber eine Lösung in Q.

3) . . . die Gleichung x2 = 2 keine Lösung in Q hat, aber zwei Lösungen in R.

4) . . . die Gleichung x2 = −1 keine Lösung in R hat.

Bei Gleichungen wie 5 + x = 4 suchen wir nach einer Zahl, zu der wie 5 dazuzählen können, um 4 zuerhalten. Dazu haben wir eine „neue Zahl“ −1 definiert.

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Um Gleichungen wie 2 · x+ 3 = 4 lösen zu können, haben wir eine „neue Zahl“ 12 definiert.

Um Gleichungen wie x2 = 2 lösen zu können, haben wir „neue Zahlen“ so wie√

2 definiert.

Die imaginäre Einheit i ist eine Zahl, die die Gleichung x2 = −1 erfüllt. Es gilt also i · i = −1.

In manchen Bereichen wird für die imaginäre Einheit auch der Buchstabe j verwendet.(In der Elektrotechnik zum Beispiel zur besseren Unterscheidung von der Bezeichnung für die elektrische Stromstärke.)

Die Gleichung x2 = −1 hat dann die zwei Lösungen x1 = i und x2 = −i, weil i2 = −1 und(−i) · (−i) = +i2 = −1 gilt.

Diese Definition mag auf den ersten Blick an den Haaren herbeigezogen erscheinen, aber auch bei dennegativen und irrationalen Zahlen war die Reaktion kaum anders1. Tatsächlich führt uns diese „neueZahl“ i zum Zahlenbereich der komplexen Zahlen C, in dem wir schließlich jede Polynomgleichunglösen können.

Jede Zahl der Bauart z = a+ b · i mit reellen Zahlen a und b heißt komplexe Zahl. Wir nennena den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, kurz: a = Re(z) und b = Im(z).Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C abgekürzt. („Complex Numbers“)

Die natürlichen Zahlen haben wir auf dem Zahlenstrahl dargestellt. Um auch negative Zahlen dar-stellen zu können, haben wir den Zahlenstrahl zu einer Zahlengerade erweitert. Jeder Punkt auf derZahlengerade entspricht genau einer reellen Zahl. Zur Darstellung von komplexen Zahlen erweiternwir die Zahlengerade zu einer Zahlenebene. Jeder komplexen Zahl entspricht genau ein Punkt in

1 Der griechische Mathematiker Hippasos von Metapont (5. Jhdt. v. Chr.) hat der Legende nach für die Entdeckung,dass nicht jede Zahl als Bruch dargestellt werden kann, für so viel Aufsehen und Ablehnung gesorgt, dass er „alsgöttliche Strafe“ im Meer ertrunken ist.

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der Zahlenebene. Konkret zeichnen wir die komplexe Zahl z = a+ b · i an dem Punkt mit Koordina-ten (a | b) ein:

Erkläre, warum jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahlist, also R ⊆ C.

Das Mengendiagramm zu den Zahlenbereichen können wiralso wie rechts dargestellt vervollständigen.

N Z Q R C

Für das Rechnen mit komplexen Zahlen gelten die gleichen Rechenregeln wie für das Rechnen mitreellen Zahlen, zum Beispiel

x+ y = y + x x · y = y · x (Kommutativgesetz)

x+ (y + z) = (x+ y) + z x · (y · z) = (x · y) · z (Assoziativgesetz)

x · (y + z) = x · y + x · z (Distributivgesetz)

Wir rechnen also mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen. Bei der Multiplikationbeachten wir, dass i2 = −1 gilt.

Beispiel 2.1. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = −2 + 5 · i und z2 = 4− i.Berechne z1 + z2, z1 − z2, z1 · z2 und z1/z2.

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Lösung.

z1 + z2 = (−2 + 5 · i) + (4− i) = −2 + 5 · i+ 4− i = 2 + 4 · i

z1 − z2 = (−2 + 5 · i)− (4− i) = −2 + 5 · i− 4 + i = −6 + 6 · i

z1 · z2 = (−2 + 5 · i) · (4− i) = −8 + 2 · i+ 20 · i− 5 · i2︸ ︷︷ ︸=−5

= −3 + 22 · i

Um z1/z2 wieder in der Form a+ b · i darzustellen, erweitern wir den Bruch geschickt:

z1

z2= (−2 + 5 · i) · (4 + i)

(4− i) · (4 + i) = −8− 2 · i+ 20 · i+ 5 · i216− i2 = −13 + 18 · i

17 = −1317 + 18

17 · i

Erkläre, warum (a+ b · i) · (a− b · i) stets eine reelle Zahl ist. (a, b ∈ R)

Die Zahl z̄ = a− b · i nennen wir auch die komplex konjugierte Zahl von z = a+ b · i.

Die Menge der komplexen Zahlen ist

C = {a+ b · i | a, b ∈ R}.

Die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient von zwei komplexen Zahlen ist wiedereine komplexe Zahl. (Das Ergebnis kann wieder in der Form a+ b · i dargestellt werden.)

Um einen Punkt in der Zahlenebene (in diesem Zusammenhang also eine komplexe Zahl)eindeutig festzulegen, gibt es mehrere Möglichkeiten:1) Die beiden Koordinaten des Punkts angeben. In

diesem Zusammenhang sind das also der Realteil aund der Imaginärteil b der komplexen Zahl z = a+b · i.

2) Den Abstand r vom Koordinatenursprung angeben undjenen Winkel ϕ, den der Zeiger zum Punkt mit derpositiven, horizontalen Achse einschließt.

Re(z)

Im(z)

a

b

r

ϕ

z = a+ b · i

Erkläre, warum es nicht ausreicht nur den Abstand r oder nur den Winkel ϕ zu kennen.

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Die Darstellung z = a+ b · i heißt Komponentenform.Die Darstellung z = (r;ϕ) nennen wir Polarform.

Erkläre die folgenden Umrechnungen zwischen Komponenten- und Polarform und zeichne diekomplexen Zahlen in der Zahlenebene ein.

1) 3 · i = (3; 90◦)

2) 4 = (4; 0◦)

3) −4 · i = (4; 270◦)

4) −2 = (2; 180◦)

5) 3− 3 · i = (3 ·√

2; 315◦)

Als Nächstes besprechen wir wie man allgemein zwischen der Komponentenform und der Polarformumrechnen kann.

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Umrechnung von Polarform z = (r; ϕ) in Komponentenform z = a + b · i

Erkläre, wie du in der folgenden Skizze aus r und ϕ den Realteil a und den Imaginärteil bberechnen kannst.

Tatsächlich gelten diese Zusammenhänge

a = r · cos(ϕ) bzw. b = r · sin(ϕ)

auch für komplexe Zahlen, bei denen ϕ größer als 90◦ ist. Erinnere dich dazu daran, wie wir amEinheitskreis (r = 1) die Winkelfunktionen für beliebige Winkel eingeführt haben.

Beispiel 2.2. Die komplexe Zahl z = (4; 120◦) hat den Realteil a = 4 · cos(120◦) = −2 und denImaginärteil b = 4 · sin(120◦) = 3,464..., also

z = (4; 120◦) = 4 + 3,464... · i

Allgemein können wir statt z = a+ b · i also auch

z = r · cos(ϕ) + r · sin(ϕ)) · i = r · (cos(ϕ) + i · sin(ϕ))

schreiben. Diese Darstellungsform heißt trigonometrische Form und wird uns später wieder be-gegnen.

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Mathematik macht Freu(n)de Komplexe Zahlen

Umrechnung von Komponentenform z = a + b · i in Polarform z = (r; ϕ)

Erkläre, wie du in der folgenden Skizze aus a und b den Radius r berechnen kannst:

Beispiel 2.3. Berechne den Abstand der komplexen Zahl z = −3− 4i vom Koordinatenursprung.

Lösung. Zeichnet man wie zuvor ein rechtwinkliges Dreieck haben die Katheten die Länge 3 und 4.Der Abstand vom Ursprung ist die Länge der Hypotenuse r:

r =√

32 + 42 = 5.

Wegen√

(−3)2 + (−4)2 =√

9 + 16 =√

32 + 42 ist es für den Radius in Wirklichkeit nicht notwendigdarauf zu achten, in welchem Quadranten die komplexe Zahl liegt. Es gilt stets der Zusammenhang

r =√

a2 + b2.

Im Gegensatz zum Radius r hängt die Berechnung des Winkels ϕ davon ab, in welchem Quadrantendie komplexe Zahl liegt. Beachte, dass a und b die Koordinaten angeben und daher nur im erstenQuadranten mit der Länge der Katheten übereinstimmen. Damit die Koordinaten mit der Längeübereinstimmen, nehmen wir den Betrag der Koordinaten.Erinnere dich, dass der Betrag einer Zahl deren Abstand vom Koordinatenursprung angibt, also |5| = 5 und | − 4| = 4.

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Mathematik macht Freu(n)de Komplexe Zahlen

i) Zeichne den Winkel ψ = arctan(|b||a|

)in den folgenden Skizzen ein:

ii) Erkläre, warum du den Winkel ϕ abhängig vom Quadranten folgendermaßen berechnenkannst:

ϕ =

arctan(

ba

)1.Quadrant

180◦ − arctan(

b|a|

)2.Quadrant

180◦ + arctan(|b||a|

)3.Quadrant

360◦ − arctan(|b|a

)4.Quadrant

Wir wollen diese Formeln natürlich nicht auswendig lernen, sondern anhand der vier Skizzenim Gedächtnis behalten.

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Beispiel 2.4. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 3 + i und z2 = 4− 2 · i.Berechne z1 + z2 bzw. z1 − z2 und veranschauliche die Rechnungen in der Zahlenebene.

Lösung.

z1 + z2 = (2 + 3i) + (2− i) = 4 + 2i

z1 − z2 = (2 + 3i)− (2− i) = 0 + 4i

Sind die beiden komplexen Zahlen in Polarform gegeben, gibt es keine einfache Rechenregel wieimmer Summe und Differenz berechnet werden können. Bei speziellen Beispielen hilft die geometrischeVeranschaulichung:

Erkläre, warum

(3; 90◦) + (5; 270◦) = (2; 270◦) und (3; 0◦)− (5; 180◦) = (8; 0◦)

gelten.

Ansonsten wandeln wir die beiden komplexen Zahlen in Komponentenform um.

Beispiel 2.5. Berechne die Summe der beiden komplexen Zahlen z1 = (4; 72◦) und z2 = (3; 305◦).

Lösung.

z1 = 1,236...+ 3,804... · i

z2 = 1,720...− 2,457... · i

=⇒ z1 + z2 = 2,956...+ 1,346... · i = (3,249...; 24,48...◦)

Wir haben schon gesehen, wie man komplexe Zahlen in Komponentenform multiplizieren und divi-dieren kann. In der Polarform sind diese Rechnungen sogar einfacher:

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Zum Multiplizieren zweier komplexer Zahlen z1 = (r1;ϕ1) und z2 = (r2;ϕ2) werden die Radienmultipliziert und die Winkel addiert:

z1 · z2 = (r1 · r2;ϕ1 + ϕ2)

Zum Dividieren zweier komplexer Zahlen z1 = (r1;ϕ1) und z2 = (r2;ϕ2) werden die Radiendividiert und die Winkel subtrahiert:

z1

z2=(r1

r2;ϕ1 − ϕ2

)

Grundlage dieser beiden Rechenregeln sind die trigonometrischen Summensätze. Wenn du die Hin-tergründe besser verstehen möchtest, schau dir Aufgabe 3.1 auf Seite 18 an.

Beispiel 2.6.

z1 = (2; 30◦), z2 = (3; 80◦)=⇒ z1 · z2 = (2 · 3; 30◦ + 80◦) = (6; 110◦)

z1 · z2

z2= (6; 110◦)

(3; 80◦) =(6

3; 110◦ − 80◦)

= (2; 30◦) = z1

Spätestens beim Potenzieren von komplexen Zahlen lernen wir die Multiplikationsregel für komplexeZahlen in Polarform richtig zu schätzen.

Gegeben ist eine komplexe Zahl z = (r;ϕ) in Polarform.1) Erkläre, warum z2 = (r2; 2 · ϕ) gilt.2) Erkläre, warum zn = (rn; n · ϕ) gilt.

Potenzieren komplexer Zahlen

Beispiel 2.7. Berechne (−3 + 4 · i)4.

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Lösung. Anstatt (−3 + 4 · i) · (−3 + 4 · i) · (−3 + 4 · i) · (−3 + 4 · i) auszumultiplizieren, wandeln wirdie komplexe Zahl z = −3 + 4 · i besser in Polarform um:

r =√

(−3)2 + 42 = 5, ϕ = 180◦ − arctan(4

3

)= 126,86...◦ =⇒ z = (5; 126,86...◦)

Also ist

(−3 + 4 · i)4 = (54; 4 · 126,86...◦) = (625; 507,47...◦) = (625; 147,47...◦) = −527 + 336 · i

(Warum sollte es uns nicht überraschen, dass der Real- und Imaginärteil vom Ergebnis ganze Zahlen sind?) �

Beispiel 2.8. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = (2; 30◦), z2 = (2; 150◦) und z3 = (2; 270◦).Berechne z3

1 , z32 und z3

3 .

Lösung.z3

1 = (23; 3 · 30◦) = (8; 90◦) = 8 · iz3

2 = (23; 3 · 150◦) = (8; 450◦) = (8; 90◦) = 8 · i (Das gleiche Ergebnis!?)

z33 = (23; 3 · 270◦) = (8; 810◦) = (8; 90◦) = 8 · i (Und schon wieder. . . ) �

Im vorigen Beispiel haben wir drei verschiedene Lösungen der Gleichung z3 = 8 · i gefunden. Siehaben alle drei den gleichen Radius r = 2 und unterscheiden sich nur um den Winkel 360◦

3 = 120◦.Das ist kein Zufall. . .

Die Gleichung zn = (r;ϕ) hat genau n Lösungen. (n = 1, 2, 3, . . .)

1) Erkläre, warum z1 =(

n√r; ϕn

)eine Lösung der Gleichung ist.

2) Erkläre, warum z2 =(

n√r; ϕn

+ 360◦n

)eine Lösung der Gleichung ist.

3) Erkläre, warum z3 =(

n√r; ϕn

+ 2 · 360◦n

)eine Lösung der Gleichung ist.

4) Erkläre, warum man immer wieder eine Lösung erhält, wenn man den Winkel um 360◦n

vergrößert.

5) Erkläre, warum wir dadurch n verschiedene Lösungen erhalten.

Wurzelziehen

Beispiel 2.9. Berechne alle Lösungen der Gleichung z5 = (32; 150◦).

Lösung. Der Radius jeder Lösung beträgt r = 5√

32 = 2. Der Winkel zwischen zwei benachbartenLösungen beträgt 360◦

5 = 72◦. Die fünf Lösungen der Gleichung sind daher

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Mathematik macht Freu(n)de Komplexe Zahlen

z1 = (2; 150◦/5) = (2; 30◦)

z2 = (2; 30◦ + 72◦) = (2; 102◦)

z3 = (2; 174◦)

z4 = (2; 246◦)

z5 = (2; 318◦)

Das Wurzelsymbol √ sollten wir bei komplexen Zahlen besser vermeiden.Wir können zwar sagen, dass es fünf verschiedene fünfte Wurzeln von (32; 150◦) gibt, aber dieSchreibweise 5

√(32; 150◦) ist irreführend. Es gibt ja 5 verschiedene Lösungen. . .

Noch dazu wären unsere bekannten Rechenregeln für Wurzeln dann nicht mehr gültig, z.B.:

−1 =√−1 ·√−1 =

√(−1) · (−1) =

√1 = 1

Wir sollten die fünftenWurzeln also besser als Lösungen der Gleichung z5 = (32; 150◦) betrachten.

Das Problem mit der Quadratwurzel tritt auch im folgenden Beispiel auf.

Beispiel 2.10. Wir suchen nach den Lösungen der quadratischen Gleichung

x2 − 4 · x+ 13 = 0.

Zumindest auf den ersten Blick ist das ein alter Hut. Wir setzen p = −4 und q = 13 in die kleineLösungsformel ein und erhalten

x1,2 = 2±√

4− 13 = 2±√−9.

Fordern wir nun von einem geerdeten Taschenrechner uns bitte√−9 auszurechnen, dann mault er

„DOMAIN Error“ – und zwar ganz zurecht.

Seien wir unbequem. Wie sind wir in diese Situation gekommen? Erinnere dich, dass die Lösungsfor-meln uns das quadratische Ergänzen abnimmt. Tatsächlich gilt für jede Zahl x (nicht nur die reellen),dass

x2 − 4 · x+ 13 = (x− 2)2 − 22 + 13 = (x− 2)2 + 9.

Damit istx2 − 4 · x+ 13 = 0 ⇐⇒ (x− 2)2 + 9 = 0 ⇐⇒ (x− 2)2 = −9.

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Wir sind also eigentlich auf der Suche nach Zahlen, die mit sich selbst multipliziert −9 ergeben. Wirwissen, dass es davon zwei gibt: 3 · i oder −3 · i. Also

(x− 2)2 = −9 ⇐⇒ x− 2 = 3 · i oder x− 2 = −3 · i ⇐⇒ x = 2 + 3 · i oder x = 2− 3 · i.

Etwas knapper schreiben wir das alsx1,2 = 2± 3 · i.

Nochmal der Vergleich mit dem „Ergebnis“ nach Einsetzen in die kleine Lösungsformel:

„ x1,2 = 2±√−9 “.

Denken wir uns ±√−9 als Platzhalter für die Lösungen der Gleichung

z2 = −9

passt dann eigentlich alles.

Um Verwirrungen zu vermeiden, empfehlen wir, dass du dir Folgendes gut einprägst:

Die Quadratwurzel√a ist nur für reelle Zahlen a ≥ 0 erklärt.

Sie ist dann die eindeutige Lösung x der Gleichung

x2 = a,

sodass x ≥ 0.

Wovon hängt es also ab, ob die quadratische Gleichung

a · x2 + b · x+ c = 0

reelle oder komplexe Lösungen hat? Anhand der großen Lösungsformel

x1,2 = −b±√b2 − 4 · a · c2 · a

siehst du, dass es auf das Vorzeichen von

D = b2 − 4 · a · c

ankommt. Die Abkürzung D steht für Diskriminante (lat. discriminare↔ unterscheiden). Anhandder Diskriminante kannst du nämlich unterscheiden, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösungen gibt:

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1) Wenn D > 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen:

x1 = −b+√D

2 · a , x2 = −b−√D

2 · a2) Wenn D = 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung genau eine reelle Lösung:

x1 = −b2 · a

3) Wenn D < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung keine reelle, aber zwei komplexeLösungen:

x1 = −b+ i ·√−D

2 · a , x2 = −b− i ·√−D

2 · a

Beispiel 2.11. Für welche Zahlen c hat die quadratische Gleichung

2 · x2 + 4 · x+ c = 0

zwei / genau eine / keine reelle Lösungen?

Lösung. Wir setzen a = 2 und b = 4 in die große Lösungsformel ein:

x1,2 = −4±√

16− 8 · c4 .

Es gibt genau eine Lösung, wenn

16− 8 · c = 0 ⇐⇒ c = 2.

Die Lösung von 2 · x2 + 4 · x+ 2 = 0 ist dann x = −1.Es gibt zwei reelle Lösungen, wenn

16− 8 · c > 0 ⇐⇒ c < 2.

Bei c = 0 hat die quadratische Gleichung zum Beispiel die reellen Lösungen

x1,2 = −4±√

164 ⇐⇒ x1 = 0, x2 = −2.

Es gibt keine reelle Lösung, aber zwei komplexe Lösungen, wenn

16− 8 · c < 0 ⇐⇒ c > 2.

Bei c = 4 hat die quadratische Gleichung zum Beispiel die komplexen Lösungen

x1,2 = −4±√−16

4 = −4± 4 · i4 ⇐⇒ x1 = −1 + i, x2 = −1− i.

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3. Weitere Aufgabenstellungen

Aufgabe 3.1. Die beiden komplexen Zahlen z1 = (r1;ϕ1) und z2 = (r2;ϕ2) sollen multipliziertwerden.

a) Erkläre, warum z1 = r1 · (cos(ϕ1) + i · sin(ϕ1)) und z2 = r2 · (cos(ϕ1) + i · sin(ϕ2)) gilt.b) Rechne nach, dass

z1 · z2 = r1 · r2 · [cos(ϕ1) · cos(ϕ2)− sin(ϕ1) · sin(ϕ2) + i · (cos(ϕ1) · sin(ϕ2) + sin(ϕ1) · cos(ϕ2))] .

c) Zwei der trigonometrischen Summensätze sind

sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β) und

cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sin(α) · sin(β).

Verwende die Summensätze um zu erklären, warum z1 · z2 = (r1 · r2;ϕ1 + ϕ2) gilt.

Die Rechenregel für die Division kannst du dir mit den gleichen Schritten überlegen unter Verwendungder trigonometrischen Zusammenhänge:

sin2(α) + cos2(α) = 1,

sin(α− β) = sin(α) · cos(β)− cos(α) · sin(β) und

cos(α− β) = cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β).

Aufgabe 3.2. Die Mandelbrotmenge enthält alle komplexen Zahlen c, für die die Folge z1 = c,zn+1 = z2

n + c beschränkt bleibt.Die Zahl c = −1 ist zum Beispiel in der Man-delbrotmenge enthalten:

z1 = −1

z2 = (−1)2 + (−1) = 0

z3 = 02 + (−1) = −1

z4 = (−1)2 + (−1) = 0

Die Zahlenfolge springt also immer zwischen−1und 0 hin und her, und bleibt somit beschränkt.

Die Zahl c = 1 ist zum Beispiel nicht in derMandelbrotmenge enthalten:

z1 = 1

z2 = 12 + 1 = 2

z3 = 22 + 1 = 5

z4 = 52 + 1 = 26

Die Zahlenfolge wächst unbeschränkt. (Mögliche

genaue Begründung: Multipliziert man eine Zahl ≥ 2 mit sich

selbst und addiert 1 ist die neue Zahl mehr als doppelt so groß.)

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Alle komplexen Zahlen in der Mandelbrotmenge sind im folgenden Bild schwarz dargestellt:

Wir wollen uns überlegen, dass alle reellen Zahlen im Intervall [−2; 0,25] in der Mandelbrotmengeenthalten sind:

a) Erkläre, warum für 0 ≤ c ≤ 0,25 alle Folgenglieder im Intervall [0; 0,5] liegen.b) Erkläre, warum für −1 ≤ c ≤ 0 alle Folgenglieder im Intervall [c; 0] liegen.c) Erkläre, warum für −2 ≤ c ≤ −1 alle Folgenglieder im Intervall [c;−c] liegen.

3.1a)UmwandlungvonPolarformintrigonometrischeFormb)Ausmultiplizierenundi2=−1verwenden.c)z1·z2=r1·r2·(cos(ϕ1+ϕ2)+i·sin(ϕ1+ϕ2))=(r1·r2;ϕ1+ϕ2)

3.2a)z1=c∈[0;0,5],zn+1=z2n+c≥0+0=0,zn+1=z2

n+c≤0,25+0,25=0,5=⇒zn+1∈[0;0,5]b)z1=c∈[c;0],zn+1=z2

n+c≥0+c=c,zn+1=z2n+c≤c2+c=c

︸︷︷︸ ≤0

·(c+1) ︸︷︷︸ ≥0

≤0=⇒zn+1∈[c;0]

c)z1=c∈[c;−c],zn+1=z2n+c≥0+c=c,zn+1=z2

n+c≤c2+c≤−c,weilc2+2·c=c︸︷︷︸ ≤0

·(c+2) ︸︷︷︸ ≥0

≤0.

=⇒zn+1∈[c;−c]

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