1 Grundregeln des Rechnens

1.1 Der Bereich der reellen Zahlen

N - naturliche Zahlen: 1, 2, 3, . . .Z - ganze Zahlen: 2,1, 0, 1, 2, . . .Q - rationale Zahlen: 1

3, 237, 15 = 15

1, 0, 3333...,7, 25

R - reelle Zahlen: pi,

2, 711,23, 546

Die reellen Zahlen konnen wir uns geometrisch auf der Zahlengeraden vorstel-len: Jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau eine reelle Zahl, undumgekehrt entspricht jeder reellen Zahl genau ein Punkt auf der Zahlengera-den.

1.2 Rechenregeln

Kommutativgesetz der Addition: a+ b = b+ a

Kommutativgesetz der Multiplikation: ab = ba

Assoziativgesetz der Addition: (a+ b) + c = a+ (b+ c)

Assoziativgesetz der Multiplikation: (ab)c = a(bc)

Distributivgesetz: a(b+ c) = ab+ ac

Vorzeichenregeln: (a) = aa = (1) a = a (1)

(a)b = a(b) = (ab) = ab(a)(b) = ab

a b = a+ (b)

Rechnen mit der Null: a+ 0 = 0 + a = a

a 0 = 0 + a = a0 a = a 0 = 0

0

a= 0 mit a 6= 0

Binomische Formeln: (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a b)2 = a2 2ab+ b2(a+ b)(a b) = a2 b2

Bruchrechnung:a

b cd

=ac

bd

a

bc

d

=a

b dc

=ad

bc

a cd

=ac

d

a

b: c =

a

bc

=a

bc

a :b

c=

a

b

c

= ac

b=ac

b

ac

bc=

a

b

ab

= (1) ab

=(1)ab

=ab

ab

=(1)(a)

(1)b =a

ba

b=

(1)a(1)b =

ab

a

c+b

c=

a+ b

c

a

c bc

=a bc

1.3 Umformen von Gleichungen

Mit Termen, die nicht fur alle Werte der vorkommenden Variablen sinnvollsind, darf man nur operieren, wenn man die Werte oder Wertekombinationen,fur die der Ausdruck sinnlos wird, ausschliet.

Beispiel:x yx2 4 , x 6= 2

Auf beiden Seiten einer Gleichung darf derselbe Term addiert oder subtrahiertwerden.

T1 = T2 T1 + T3 = T2 + T3T1 = T2 T1 T3 = T2 T3

Beide Seiten einer Gleichung durfen mit demselben Term multipliziert werden,aber nur wenn der Multiplikator nicht Null ist.

T1 = T2 T1 T3 = T2 T3 fur T3 6= 0

Beide Seiten einer Gleichung durfen durch denselben Term dividiert werden,aber nur wenn der Divisor nicht Null ist.

T1 = T2 T1T3

=T2T3

fur T3 6= 0

1.4 Ubungsaufgaben

1. Man vereinfache folgende Ausdrucke soweit wie moglich:

a) 5a 3b+ xy + 6b 8xy + 11ab) (2a)(3x2y)(4b)c) 7x1 + 5x2 x3 + 6x2 12x1d) (x 6y) (4x 9y)e) (3q 5r) (2q + 4r) (q 11r)f) (2u v) [3v (u v)] [(5u+ 3v) (2u v)]g) 8a a+ [(3a 2b) (5a+ 3b)] [(a+ b)]

2. Man multipliziere die Klammern aus und vereinfache soweit wie moglich:

a) (2a 3b)(a+ 2b)b) (13x 10y)(9x 15y)c) (2ax+ 3by)(1

2a 1

3b)

d) (a+ b)(2a 4b) (3a+ b)(2a b)e) (x+ 9)(x 2) (x+ 3)2 + (x 2)2

f)

(1

2p 1

3q +

1

4r

)(2

3p+

1

6q 1

4r

)3. In den folgenden Ausdrucken sind gemeinsame Faktoren auszuklammern:

a) a2 + ab+ ab2

b) x2 2xy + x

4. Man berechne folgende Ausdrucke mittels der binomischen Formeln:

a) (r s)2b) (k + 1)2

c) (4 2x)(4 + 2x)d) (2 x)2 (1 x)2e) (a+ b+ c d)2f) (3x+ 4y)2 (2x 5y)2 + (4x 3y)(3y + 4x) 6x2

5. Man zerlege folgende Ausdrucke mittels binomischer Formeln in zwei Faktoren:

a) x2 1b) 4a2 9c) 1 36x2d) u2 + v2 + w2 + 2uv + 2uw + 2vw

e) 25x2y2 + 20xy + 4

6. Man kurze die nachfolgenden Bruche soweit wie moglich:

a)bc bbc+ b

b)4x 4yay ax

c)a2b ab2a2c ac2

d)(u v)2u2 v2

e)a2 + a

a2 1

f)r ss r

g)mp+mq np nqmpmq np+ nq

7. Man multipliziere und kurze, falls moglich:

a) (x y) a+ bx2 y2

b)4a2 4ab+ 1

ac a

2b2

a2 b2

c)1

xy axy

2 + bxy

a2 b2

d)7a+ 5b

3a+ 4b 5a b

6a 9b

8. Folgende Terme sind in einen einzigen Bruch umzuwandeln:

a)5 2x10ax

36 4x12bx

+1

20a2b

b)(3b 2c)a

6bc b(4a 5c)

10ac+

1

6ab b

10c

c)1

x 1y

+2

x2y+

6

y2

d) 1 1x y

e)2a

3b a 5

6

f)1

x y 1

x+ y

g)1

t 1 5

1 + t+

7t 9t2 1

5

1 t

h)1

a+ 1+

4

3a+ 2 3a+ 1

i)1

1 5k k

25k2 1 + 4 +3k

25k2 10k + 1

9. Folgende Ausdrucke sollen als ein einziger Bruch geschrieben und soweit wiemoglich gekurzt werden:

a)24abx

39cdy:

8b

13y

b)p q

8p:q p16q

c)

(x2 10x+ 25

3a 1 x 5

9a2 1)

:x2 251 3a

d)

(a+ b

b+a+ b

a

):

(1

a+

1

b

)e)

(a

2b 2b

a

):a+ 2b

a

f)1 1

u1u 1

u2

g)

xxy +

yx+y

xx+y y

xy

h)b1b b

b+1b

1b +b+1b

10. Man lose folgende Gleichungen nach x auf:

a) 12 (5x+ 5) + (2x 7) = 8x 20

b) 51a 23x+ 5[2a 3(2x 7a) + 4x] 3(5x 2a) = 17a x

c) (x 2)(x 9) = (x+ 4)(x 7) 12

d)x+ 4

7x+ 2=

x+ 6

7x 4

e)2x 1x 2

5x 33x 6 +

8x+ 1

5x 10 = 0

f)2x+ 1

x 1 +2x+ 4

1 x +x 9x2 1 =

3 8x1 x2

11. Man stelle folgende Formeln um:

a) a(1 + y) = b nach y

b) K = xy(u1 u2) nach u2

c) sn = a0 + (n 1)d nach n

d)1 + k

1 k =a b2c

nach k

e)s+ r

r1 + x+ s=r1r2

nach s

f)y y1y2 y1 =

x x1x2 x1 nach y

g) x2 = y2 + (x a)2 nach x

h)a b(a c)

a+ f= 5 nach a

2 Proportionen und Anwendungen

2.1 Proportionen

Proportion: a : b = c : d bzw.a

b=c

d(a zu b verhalt sich wie c zu d)

Das ist aquivalent zu ad = bc, d.h.

In einer Proportion ist das Produkt der Innenglieder gleich dem Produkt derAuenglieder.

2.2 Prozentrechnung

Grundwert g: Groe, die 100% entspricht

Prozentsatz w: Groe, die dem Prozentsatz p% entspricht

Daraus ergibt sich die Proportion: p : 100 = w : g bzw. p g = 100 w.Mogliche Aufgabenstellungen:

Prozentwert gesucht: w =p g100

= Grundwert p100

Grundwert gesucht: g =100 wp

Prozentsatz gesucht: p =100 wg

2.3 Zinsrechnung

Anfangskapital: K0 (Grundwert)

Zinssatz: p (Prozentsatz)

Zinsen: K0 p100

(Prozentwert)

Tageszinsformel: Seien z die Zinsen eines Kapitals K0, das t Tage lang zu p%

angelegt wird. Dann verhalt sich z zu den Zinsen in einem Jahr, d.h. zu K0 p100

,

wie t zu 360 (da ein Zinsjahr 360 Tage hat). Es gilt also

z : K0 p100

= t : 360 = z = K0 p t100 360

Endkapital:Endkapital = Anfangskapital + Zinsen

Endkapital K nach t Tagen:

K = K0 +K0 p t100 360 = K0

(1 +

p t100 360

)

Endkapital K1 nach einem Jahr:

K1 = K0 +K0 p100

= K0

(1 +

p

100

)= K0 q mit q = 1 + p

100

q heit Aufzinsungsfaktor.

2.4 Gebrauch des Summenzeichens

Das Zeichenn

i=m ai (gelesen: Summe uber alle ai von i = m bis n) ist eineabgekurzte Schreibweise fur die Summe am + am+1 + . . .+ an. Es ist also

ni=m

ai = am + am+1 + . . .+ an.

i - Summationsindexm - Summationsuntergrenzen - Summationsobergrenze

Die Bezeichnung des Index ist beliebig, muss jedoch verschieden von der Sum-mationsuntergrenze bzw. der Summationsobergrenze sein, d.h.

ni=m

ai =n

j=m

aj =n

k=m

ak.

Beispiele:

kl=1

al = a1 + a2 + . . .+ ak

23j=5

bj = b5 + b6 + . . .+ b23

mk=0

xkyk = x0y0 + x1y1 + . . .+ xmym

ni=1

i = 1 + 2 + . . . n

nk=1

aikxk = ai1x1 + ai2x2 + . . .+ ainxn

Fur das Summenzeichen gelten folgende Rechenregeln:

ni=m

(ai + bi) =n

i=m

ai +n

i=m

bi

ni=m

cai = cn

i=m

ai

2.5 Mittelwerte

Arithmetisches Mittel (Durchschnitt):

x =1

n(x1 + x2 + . . .+ xn) =

1

n

ni=1

xi

Gewichtetes arithmetisches Mittel:

Gegeben seien die Mazahlen x1, x2, . . . , xn mit den zugehorigen Gewichteng1, g2, . . . , gn. Dann berechnet sich das gewichtete arithmetische Mittel gema

x =

ni=1

gixi

ni=1

gi

Geometrisches Mittel:

xgeom = nx1 x2 . . . xn fur xi > 0, i = 1, . . . , n

Interpretation: Das geometrische Mittel zweier positiver reeller Zahlen a undb liefert die Seitenlange eines Quadrats, das denselben Flacheninhalt hat wie dasRechteck mit den Seitenlangen a und b.

2.6 Ubungsaufgaben

1. 16 Arbeiter erhalten bei einer taglichen Arbeitszeit von 8 Stunden am Endeder Woche zusammen 9254, Euro Lohn. Wie viel wurden 12 Arbeiter erhalten,wenn sie taglich 9 Stunden arbeiten?

2. Fur 1000 Lire erhielt man fruher 0, 92 DM. Ein Kaufhaus bezog 960 PaarSchuhe fur 38, 4 Mio. Lire. Wie viel DM kostete 1 Paar Schuhe?

3. Jemand kauft einen Elektroherd und erhalt wegen einer Lackbeschadigung 7%Preisnachlass. Da er bar zahlt, erhalt er auf den geminderten Kaufpreis noch 2%Skonto und bezahlt 1093, 68 Euro. Wie teuer ist dieser Typ Elektroherd?

4. Jemand eroffnet am 6. Juni ein Sparbuch, das zu 2% verzinst wird, mit einerEinzahlung von 2000 Euro. Am 24. Oktober zahlt er noch mal 1000 Euro ein.Wie viel Euro Zinsen werden am Jahresende gutgeschrieben, wenn ein Zinsmonat30 Tage hat und der Tag der Einzahlung bei der Berechnung der Zinsen nichtgezahlt wird?

5. Jemand beansprucht vom 3. Februar bis 29. November einen Kredit von 5000Euro zu p = 12, 4%. Wie hoch ist die Ruckzahlsumme?Hinweis: Der Februar hat ebenfalls 30 Zinstage.

6. Wie viel Euro muss man anlegen, um bei einem Zinssatz von p = 5% in 11Monaten 550 Euro Zinsen zu erzielen?

7. Ein Motorenol wird aus vier Komponenten gemischt. Wie viel kostet ein Li-ter der Mischung? Die Anteile an der Mischung und die Preise der einzelnenKomponenten entnehmen Sie der folgenden Tabelle:

Komponente Anteil Preis/LiterI 10% 8, 80 EuroII 40% 5, 30 EuroIII 30% 6, 90 EuroIV 20% 7, 00 Euro

8. Eine Oberburgermeisterwahl brachte folgendes Ergebnis:

Kandidat A: 31751 StimmenKandidat B: 12964 StimmenKandidat C: 8030 StimmenUngultige Stimmen: 796Wahlbeteiligung: 68, 5%

a) Wie hoch war die Zahl der Wahlberechtigten?b) Wie viel Prozent der abgegebenen Stimmen erhielt Kandidat A?c) Wie viel Prozent der Wahlberechtigten wahlten Kandidat A?

9. Folgende Summen sind mittels Summenzeichens zu schreiben:

a) xn + xn+1 + . . .+ x2n

b) a0x0 + a1x1 + . . . akxk

c)u1g1 + u2g2 + . . .+ ungn

g1 + g2 + . . .+ gn

d) ai1b1k + ai2b2k + . . .+ ainbnk

e) 13 + 23 + . . .+ n3

f) 1 + 0 + 1 + 4 + . . .+ (n 1)2

10. Folgende Summen sind auszuschreiben:

a)

ni=1

aibi

ni=1

bi

b)2n+1j=3

(j + 1)2

c)ni=1

aijbjk

d)l

k=0

2k + 1

3k + 1

e)ni=1

xiy2i (zi ui)

11. Die Quartalsumsatze eines Restaurants sind wie folgt:

Quartal 1 2 3 4Umsatz (in Euro) 135 750 122000 207 400 157 850

Wie hoch ist der durchschnittliche Umsatz pro Quartal?

12. Von einer Ware sind drei Sorten A, B, C auf dem Markt. Die unten ste-hende Tabelle enthalt die Preise und die umgesetzten Mengen. Gesucht ist derDurchschnittspreis fur die umgesetzte Ware.

Warensorte Preis/kg umgesetzte MengeA 3, Euro 430 kgB 2, Euro 950 kgC 5, Euro 70 kg

13. Ein Guthaben G wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mitsieben und im dritten Jahr mit funf Prozent verzinst. Welcher uber die drei Jahrekonstante Zinssatz p hatte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?

3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

3.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

3.1.1 Potenzen mit naturlichen Exponenten

Ein Produkt a a . . . a aus n > 1 gleichen Faktoren a nennt man eine Potenz.a a . . . a n Faktoren

= an (gelesen: a hoch n)

a heit Basis der Potenz, n ist der Exponent der Potenz. Es gilt:

a1 = a

Beispiele:

1n = 10n = 025 = 2 2 2 2 2 = 32

(1)3 = (1)(1)(1) = 1(2)4 = (2)(2)(2)(2) = 16

(x+ y)3 = (x+ y)(x+ y)(x+ y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Achtung: (a+ b)n 6= an + bn

Addieren und subtrahieren kann man Potenzen nur, wenn sie sowohl in derBasis als auch im Exponenten ubereinstimmen, z.B.

a3 + a3 = 2a3

5b2 + 2b2 b2 = 6b2a4 + b3 2a4 + 3b3 = a4 + 4b3

Weitere Rechenregeln:

Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man die Basis un-verandert lasst und die Exponenten addiert, d.h.

aman = am+n

Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basenmultipliziert und den Exponenten unverandert lasst, d.h.

anbn = (ab)n

Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basendividiert und den Exponenten unverandert lasst, d.h.

an

bn=

(ab

)nEine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert, d.h.

(an)m = an an . . . an m Faktoren

= anm

3.1.2 Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten

Bisher sind Potenzen nur fur naturliche Exponenten n = 1, 2, . . . erklart. Nunwird die Potenz auch fur negative Exponenten definiert:

an =1

anfur a 6= 0

Desweiteren gilt:

a0 = 1 fur a 6= 0Alle Rechenregeln fur Potenzen mit naturlichen Exponenten gelten unverandert.Zusatzlich gilt nun folgende Regel:

Potenzen mit gleichen Basen werden dividiert, indem man die Basis un-verandert lasst und die Exponenten subtrahiert, d.h.

am

an= aman = am+(n) = amn fur a 6= 0

3.1.3 Binomialkoeffizienten und binomischer Lehrsatz

Das Produkt 1 2 3 . . . n wird mit n! abgekurzt (gelesen: n Fakultat). Mansetzt 0! = 1.

Der Binomialkoeffizient

(nk

)(gelesen: n uber k) gibt an, auf wie viele verschie-

dene Arten man aus n Dingen eine Teilmenge von k Dingen auswahlen kann.

Beispiel:

Gegeben sind eine rote, eine gelbe, eine blaue und eine grune Kugel. Wie vieleverschiedene Paare von zwei Kugel kann man daraus auswahlen (ohne Beruck-sichtigung der Reihenfolge, d.h. das Paar rot/grun ist dasselbe wie das Paargrun/rot). Die Antwort lautet 6 Paare: rot/gelb, rot/blau, rot/grun, gelb/blau,gelb/grun, blau/grun. Es ist also: (

42

)= 6

Fur die Berechnung des Binomialkoeffizienten gilt allgemein die Formel:(nk

)=

n!

k!(n k)! =n(n 1) . . . (n k + 1)

1 2 . . . k

Es gelten folgende Regeln:

(n0

)= 1(

nn

)= 1(

nk

)=

(n

n k)

Eine wichtige Anwendung des Binomialkoeffizienten ist die Berechnung der Po-tenz (a+ b)n mittels des Binomischen Lehrsatzes. Es gilt namlich:

(a+ b)n =

(n0

)anb0 +

(n1

)an1b1 + . . .+

(n

n 1)a1bn1 +

(nn

)a0bn

Diese Formel lasst sich unter Verwendung des Summenzeichens zusammenfassen:

(a+ b)n =nk=0

(nk

)ankbk

3.1.4 Zinseszinsrechnung

Eine wichtige Anwendung findet das Rechnen mit Potenzen in der Zinseszinsrech-nung. Ein Kapital ist auf Zinseszins angelegt, wenn am Ende der Zinsperiode dieZinsen nicht ausbezahlt, sondern dem Kapital zugeschlagen werden. Das neue,erhohte Kapital bildet die Grundlage fur die Berechnung der Zinsen in der fol-genden Zinsperiode, die dann abermals dem Kapital zugeschlagen werden usw.

Die Zinsen einer vorhergehenden Periode werden also in der laufenden Periodemitverzinst - deshalb die Bezeichnung Zinseszins.

Sei K0 das Grundkapital und p der Zinssatz. Dann gilt:

Endkapital K1 nach einem Jahr:

K1 = K0 +K0 p = K0(1 + p) = K0 q mit dem Aufzinsungsfakto q = 1 + pEndkapital K2 nach 2 Jahren:

K2 = K1 +K1 p = K1 q = K0q q = K0q2

Allgemein gilt fur das Endkapital Kn nach n Jahren:

Kn = Kn1 q = Kn2q q = . . . = K0qn

Unterjahrige Verzinsung: Davon spricht man, wenn die Zinsperiode kurzer istals ein Jahr. Das Jahr wird in m Zinsperioden eingeteilt: m = 2 - halbjahrlicheVerzinsung, m = 4 - quartalsweise Verzinsung, m = 12 - monatliche Verzinsung.

Der Jahreszinssatz p mu auf die Zinsperiode umgerechnet werden: Der Zinssatz

pro Zinsperiode, der sogenannte unterjahrige Zinssatz, ist dann geradep

m%. Das

Kapital wachst also in einer Zinsperiode auf K1 = K0

(1 +

p

m 100)

.

Allgemein berechnet sich das Endkapital KN nach N Zinsperioden gema

KN = K0

(1 +

p

m 100)N

Problem: Jemand mochte ein Grundstuck verkaufen und erhalt zwei Angebote:

(A) 200 000 Euro sofort(B) 220 000 Euro nach 3 Jahren.

Welches soll er wahlen? Angenommen, der Verkaufer hat eine Anlagemoglichkeitvon p% p.a. Welches Kapital musste (B) ihm bieten, damit nach 3 Jahren 220 000Euro herauskommen? Dieses Anfangskapital nennt man Barwert des Angebots(B). Wenn dieser Barwert hoher ist als 200 000 Euro, dann wird sich der Verkauferfur Angebot (B) entscheiden, liegt der Barwert darunter, dann wahlt er Angebot(A).

Grundprinzip der Finanzmathematik: Geldbetrage, die zu verschiede-nen Zeitpunkten fallig werden, kann man nur dann vergleichen, wenn man sieauf ein und denselben Zeitpunkt umrechnet. Meist rechnet man sie auf dieGegenwart um, d.h. man zieht die Barwerte zum Vergleich heran.

Fur den Barwert K0 eines nach n Jahren fallig werdenden Kapitals Kn gilt:

K0 =Kn

(1 + p)n=Knqn

3.2 Potenzen mit gebrochenen Exponenten

3.2.1 Begriff der Wurzel

Die n-te Wurzel aus b 0 (geschrieben nb) ist diejenige nichtnegative Zahla, deren n-te Potenz b ergibt, d.h.

an = b a = nb fur b 0

b heit Radikand, n der Wurzelexponent und a der Wurzelwert.

Es gelten folgende Rechenregeln:

(nb)n = b fur b 0n

1 = 1n

0 = 0

3.2.2 Gebrochene Exponenten

Definition:amn = n

am fur a 0

Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind also eine andere Schreibweise furWurzeln.

Es gelten folgenden Regeln:

a1n = n

a fur a 0

na nb = n

ab fur a, b 0

na

nb

= na

bfur a, b 0

m

na = mn

a = n

ma fur a 0

3.3 Logarithmen

Der Logarithmus n = loga b von b 0 zur Basis a > 0, a 6= 1 ist derjenigeExponent n, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um b zu erhalten,d.h.

an = b n = loga b fur a > 0, b 0

Es gelten folgende Logarithmengesetze:

aloga b = b

loga an = n

lg b = log10 b

ln b = loge b

loga b =lg b

lg a=

ln b

ln a

loga(uv) = loga u+ loga v

logau

v= loga u loga v

loga ux = x loga u

3.4 Ubungsaufgaben

1. Man fasse zusammen bzw. klammere aus:

a) 17x2 6y2 + 12x2 9y2 x2

b)1

3ab2 3

5a2b 5

6ab2 +

1

2a2b

c) 12x8 4x7 + 24x6 6x5

d) 8a3 2b3 + c3 11d3

2. Man berechne:

a) xn+1 xb) ux u1x u2

c) cn c7 cn+4

d) x3n2 2xm2n+1 5x2n+m

e) (a b)3(b a)4(a b)n1

f) (a)5(a)4n(a)22m

g) (2a4 12a3 + a2)(3a2 2a+ 1)

3. Berechnen Sie:

a)7rs2t3

161r2s3t4

b)a3(b2 c2)c2b2(b+ c)a4

c)

(3b2y

2ax2

)2(

5x2y2

3a2b2

)3:

(5b2y2

4a4

)2d)

(u2vn+1

3w12n

)3:

(u3v2n

15w32n

)2e) [(y)2n1]2n+1

f) (xy3z)2z+y

4. Folgende Bruche sind zu einem Bruch zusammenzufassen:

a)1 tt6

+1 + t

t5 3t

2

t3

b)a

yn+2+

b

yn1 cyn4

+d

y5

c)x4

(x 1)4 +x5 x4(x 1)5

x6 x5 + 2x4(1 x)6

5. In den folgenden Ausdrucken sind durch Umformen in Potenzen mit negativenExponenten die Bruche zu beseitigen:

a)c

a2b

b)u vu+ v

c)1

x2 2x

+ 1

d)1n

a2

e)1

(uv)x

6. Man schreibe als Bruch:

a) bn3c4n

b) ax(bc)3xdx4

c) x2 + y3 (xy)1

d) 4a3n + 5a1m 6a2mn

7. Man berechne:

a) (3x4y2 2x3y3 + x2y4) 3x1y2

b) (4a3 + 2a4 a5) : a6

c) (y2n1 2yn+2 + y4n3) : yn+1

8. Man forme so um, dass keine negativen Exponenten auftreten:

a)

(v4x2

u6y4

)2:

(x1y2

u4v3

)3

b)

[(1

53

)2]3

c)

[(x3y2

z3

)4]2

9. Beim Lotto werden 5 Kugeln aus 90 Kugeln gezogen. Wie viele verschiedeneTipps gibt es?

10. Man berechne mittels binomischem Lehrsatz:

a) (a 2b)4

b) (1 x)6

c) (q 1)5

d) (u v)7

11. Ein Kapital von 120 000 Euro wird neun Jahre zu p = 6% angelegt. Auf wieviel Euro wachst es in dieser Zeit an?

12. Jemand legt 22 000 Euro zu p = 5, 25% an. Man vergleiche die Endkapitaliennach vier Jahren bei jahrlichem und monatlichem Zinszuschlag.

13. Jemand mochte ein Grundstuck verkaufen und erhalt drei Angebote:

(A) 100 000 Euro sofort, 250 000 Euro nach vier Jahren(B) 80 000 Euro sofort, 260 000 nach zwei Jahren(C) 400 000 Euro nach sechs Jahren

Welches Angebot ist bei einem Zinssatz von p = 5, 5% p.a. das gunstigste?

14. Ein Anfangskapital von 20 000 Euro ist nach vier Jahren auf 24 079,43 Euroangewachsen. Wie hoch war der Zinssatz?

15. Fur welche x sind folgende Wurzeln erklart:

a)

1 xb) 4a2 x2

c) 6

(x 2y)2

16. Welche der folgenden Gleichungen sind falsch

a)

(a+ b)4 = (a+ b)2

b)4a4 = a

c)a2 b2 = a b

d) 3x3 + y3 = x+ y

17. Man schreibe folgende Wurzeln als Potenzen mit gebrochenem Exponenten:

a)9x2

b)1

4y3

c) 3x3 y3

18. Folgende Potenzen sollen als Wurzeln geschrieben werden:

a) b716

b) a23

c) xy2,5

d) u0,4

19. Man vereinfache folgende Ausdrucke:

a)3x2 + a

3x2 2b 3x2

b)bc ab 2a

c)5am+2 5a4m+3

d)x+ y

z3

z4 z3x

x2 + 2xy + y2(indem man den Faktor unter die Wurzel bringt)

e)

a+ ba4 b4

a2 + b2

f)na2n3 na7n

na4

g)3a4b 3a2b7 3a2b

3a2b5

20. Man beseitige die Doppelwurzeln:

a)3

a2a

4a3

b) 4

3x

6x2 12x7

c)

ab

b

a

a

b

21. Man berechne:

a) log3 1, 6

b) log64 0, 5

c) logkmk

d) logx xn

e) ln e3

f) lg1

10

22. Man berechne x:

a) logx1

u= 1

b) log4 x =1

2

23. Man fasse mittels der Logarithmengesetze zusammen:

a) loga u+ loga v logawb) x lnu+ y ln v

c)1

3lg a 1

5lg b+

2

3lg c

24. Wie lange muss man 12 000 Euro zu p = 5, 25% anlegen, damit sie auf17168,64 Euro anwachsen?

25. Wie lange dauert es, bis sich ein zu p = 4, 8% angelegtes Kapital verdreifacht?

4 Elementare Geometrie

4.1 Winkel

Nebenwinkel: Die Summe zweier Nebenwinkel betragt immer 180.

Scheitelwinkel: Scheitelwinkel sind immer gleich gro.

Stufenwinkel: Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich gro.

Wechselwinkel: Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleichgro.

Strahlensatz:

Wenn zwei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Halbgeraden (Strahlen)von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, die nicht durch den Scheitelgehen, dann gelten die folgenden Aussagen:

1. Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinan-der, wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden,d.h.

ZA

ZB=ZC

ZDund

ZA

AB=ZC

CD

2. Es verhalten sich die ausgeschnittenen Strecken auf den Parallelen, wiedie ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken aufden Strahlen, d.h.

ZA

ZB=AC

BD=ZC

ZD

4.2 Dreieck

Definition: Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Ge-raden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstreckenzwischen je zwei Ecken heien Seiten des Dreiecks. Die Eckpunkte des Dreieckswerden in der Regel mit A,B und C bezeichnet. Die Seiten, die den Ecken ge-genuberliegen, werden analog a, b bzw. c genannt, wobei die Seite a dem EckpunktA gegenuberliegt. Haufig wird mit a, b bzw. c auch die Lange der jeweiligen SeiteBC, CA oder AB bezeichnet. Die Winkel werden , und ; ist der Winkelam Eckpunkt A, liegt am Eckpunkt B und liegt am Eckpunkt C.

Eigenschaften:

Die Summe der Innenwinkel in einem ebenen Dreieck betragt immer 180. Die Gesamtlange zweier Seiten eines Dreiecks ist immer groer als die Lange

der dritten Seite (Dreiecksungleichung).

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt - imMittelpunkt des Umkreises.

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, demSchwerpunkt S des Dreiecks. Die Seitenhalbierenden teilen einander imVerhaltnis 2:1. Eine Seitenhalbierende teilt die Dreiecksflache in zwei gleichgroe Teilflachen.

Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt - imMittelpunkt des Inkreises.

Die Hohenlinien eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, demHohen-schnittpunkt des Dreiecks.

Mittelsenkrechten Seitenhalbierende Winkelhalbierende Hohen

Kongruenzsatze fur Dreiecke:

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie in

(SSS): drei Seiten

(SWS): zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel

(SSW): zwei Seiten und dem Gegenwinkel der langeren Seite

(WSW): einer Seite und den anliegenden Winkeln

ubereinstimmen.

Dreiecksflache:

Die Dreiecksflache berechnet sich nach folgender Formel:

A4 =1

2a ha = 1

2b hb = 1

2c hc

wobei ha, hb bzw. hc die Hohenlinien auf die Seiten a, b bzw. c sind.

Rechtwinkliges Dreieck:

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel, d.h. = 90.Die Seiten a und b, die den rechten Winkel bilden, heien Katheten. Die Seite c,die dem rechten Winkel gegenuber liegt, heit Hypothenuse.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

a2 + b2 = c2

Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck:

Im rechtwinkligen Dreieck mit dem rechten Winkel = 90 definiert man:

sin =a

c=

Gegenkathete

Hypothenuse

cos =b

c=

Ankathete

Hypothenuse

tan =sin

cos=a

b=

Gegenkathete

Ankathete

cot =cos

sin=

1

tan=b

a=

Ankathete

Gegenkathete

4.3 Kreis

Definition: Ein Kreis ist definiert als die Menge aller Punkte in der Ebene, dievon einem gegebenen Punkt M einen festen Abstand r haben. Der Punkt Mheit Mittelpunkt des Kreises, r ist der Radius des Kreises. Der doppelte Radiusheit Durchmesser des Kreises; er wird haufig mit d bezeichnet, d.h. es gilt d = 2r.

Kreisflache:

A = pi r2 = pi d2

4

Kreisumfang:u = 2 pi r = pi d

Kreiswinkel:

Gegeben sei ein Kreisbogen mit den Endpunkten A und B. Peripheriewinkelnennt man den Winkel APB, dessen Scheitel P auf demjenigen Kreisbogenliegt, der den gegebenen Kreisbogen zum vollstandigen Kreis erganzt. Sei M derMittelpunkt dieses Kreises. Dann bezeichnet man den Winkel AMB als denzugehorigen Zentriwinkel.

Kreiswinkelsatz:

Der Zentriwinkel eines Kreisbogens ist doppelt so gro wie der zugehorigePeripheriewinkel, d.h. = 2.

Satz des Thales:

Alle Winkel im Halbkreisbogen sind rechte Winkel. Oder: Liegt der Punkt Ceines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis uber der Strecke AB, dann hat dasDreieck bei C immer einen rechten Winkel.

Anmerkung: Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Kreiswinkelsatzes mit = 180 und = 90.

4.4 Trigonometrie

Bogenma: Ein Winkel kann entweder im Gradma oder im Bogenma ge-messen werden. Das Bogenma x des Winkels ist definiert als das Verhaltnisder Bogenlange b zum Radius r

x =b

r

Das Bogenma ist eine dimensionslose Zahl. Eine volle Umdrehung = 360entspricht dem Bogenma x = 2pi.

Es gilt folgende Umrechnungsformel:

=180

pi x x = pi

180

Trigonometrische Funktionen:

Betrachtet man den Einheitskreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius r = 1,dann gelten im rechtwinkligen Dreieck OCD bzw. OAB folgende Winkelbezie-hungen:

sinx =CD

OD= CD (= Ordinate von D)

cosx =OC

OD= OC (= Abszisse von D)

tanx =AB

OA= AB (= Ordinate von B)

Durchlauft der Punkt D alle Punkte des Einheitskreises, so erhalt man die Erwei-terung der trigonometrischen Funktionen, die ursprunglich nur im rechtwinkligenDreieck mit 0 90 definiert wurden, fur beliebige Winkel bzw. x R.

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen:

Funktion y = sinx y = cosx y = tanxDefinitionsbereich R R R\{pi

2+ k pi}

Wertebereich [1; 1] [1; 1] RPeriode 2pi 2pi piSymmetrie sin(x) = sinx cos(x) = cos x tan(x) = tanxNullstellen k pi pi

2+ k pi k pi

Maxima sinx = 1 bei cosx = 1 bei -x = pi

2+ k 2pi x = k 2pi

Minima sinx = 1 bei cosx = 1 bei -x = 3pi

2+ k 2pi x = pi + k 2pi

Dabei ist k Z eine beliebige ganze Zahl.

Additionstheoreme und andere wichtige Formeln:

sin2 x+ cos2 x = 1

tanx =sinx

cosx

tanx cotx = 1

sin(x y) = sinx cos y cosx sin y

cos(x y) = cosx cos y sinx sin y

sin 2x = 2 sinx cosx

cos 2x = cos2 x sin2 x = 1 2 sin2 x = 2 cos2 x 1

sin(x+

pi

2

)= cos x

sin(x+ pi) = sinx

cos(x+

pi

2

)= sinx

cos(x+ pi) = cosx

4.5 Ubungsaufgaben

1. Ein Viertelkreis soll durch einen geraden Schnitt in zwei Stucke gleichen Um-fangs zerlegt werden; dabei ist das abgeschnittene Dreieck gleichschenklig (sieheAbbildung). Berechnen Sie das Verhaltnis der entstandenen Flachen!

2. Ein gerades Straenstuck der Lange L = 320m steigt unter einem Winkel = 7, 5 an. Wie lang ist es auf einer Karte mit dem Mastab 1:25000?

3. Ein gerades Straenstuck der Lange L = 600m hat ein Gefalle von 12%. Wielang ist es auf einer Karte mit dem Mastab 1:50000?

4. Wie lang ist der Schatten eines senkrecht stehenden Stabes der Lange h = 2m,wenn die Sonnenhohe (= Winkel der Sonnenstrahlen gegen die Horizontale) = 37, 5 betragt?

5. Wie gro ist der Boschungswinkel eines kreiskegelformigen Sandhaufens miteiner Seitenlinie von 1, 8 m und einem Grundkreisdurchmesser von 2, 9m?

6. Wie gro ist sind Flacheninhalt und Basis eines gleichschenkligen Dreiecks(d.h. a = b, = ), von dem die Hohe hc und der Winkel bekannt sind?

7. Eine horizontal verlaufende Strae fuhrt in gerader Linie zu einem Turm. Vonder Plattform des Turmes sieht man die Kilometersteine 3,2 und 3,3 unter einemWinkel von = 22, 51 und = 39, 14 zur Horizontalen. Wie hoch ist der Turmund wie weit ist er von dem ihm naherliegenden Kilometerstein entfernt?

8. Gegeben ist ein Dreieck 4ABC mit den Seiten b = 7, c = 6 und dem Flachen-inhalt A = 10. Wie gro ist der Winkel ?

9. Ein Eisenbahngleis soll um den Winkel = 30 von der ursprunglichen Rich-tung abbiegen.

a) Wie lang ist die Mittellinie des dazu erforderlichen Kreisbogens, wennsein Radius r = 450m betragt?

b) Wie gro ist der Langenunterschied zwischen den beiden Schienenbogenbei einer Spurweite von S = 1, 435m?

c) Wie gro ist die zwischen den Schienen liegende Flache?

10. Zwei Laufer A und B starten gleichzeitig vom selben Punkt eines Kreises mitdem Radius r = 900m. A lauft zum Kreismittelpunkt, B auf dem Kreisumfang.Wie weit sind A und B nach einer Minute voneinander entfernt, wenn beide miteiner konstanten Geschwindigkeit von 400 m/min laufen?

11. Drei Kreise mit den Radien r1 = 5cm, r2 = 4cm und r3 = 3cm beruhren sichgegenseitig von auen. Wie gro ist das Flachenstuck zwischen den drei Kreisen?

12. Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen:

a) y = sin 1x

b) y = sinx2

An welchen Stellen nehmen die Funktionen ihre Extremwerte 1 an?

13. Gegeben ist die Funktion f(x) = 2 3 cos(

2x pi3

).

a) Bestimmen Sie Minimum und Maximum von f(x).

b) Fur welche x-Werte nimmt f(x) den Wert 2 an?

c) Wo liegen die Nullstellen der Funktion?

14. Man bestimme alle Winkel im Intervall [0, 2pi] fur die gilt:

sinx+ cosx = 1

15. Beweisen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die Formel:

tan 2x =2 tanx

1 tan2 x

16. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke (0 x < pi2

):

a)sin 2x

cosx

b) cos4 x sin4 xc) cosx 1 + tan2 x

d)sin4 x cos4 xsin2 x cos2 x

e) sinx sinx cos2 x

f)1

1 + sin x+

1

1 sinx

17. Losen Sie die trigonometrischen Gleichungen im Bogenma:

a) 2 sin2 x 2 cosx = 2b) sin 2x+ 3 sinx 2 tanx = 0c) cos 2x+ sin2 x cosx+ 1 = 0d) 2 sinx cosx 2 cosx+ sinx = 1e) sin 4x cot 2x 4 cos 2x = 2

18. Bestimmen Sie die Periode der folgenden Funktionen:

a) y = 3, 5 sin3

2x

b) y = 2 sin

(x 5pi

6

)c) y = cosx+ sin

3

4x

d) y =sinx

x

5 Verschiedene Gleichungstypen, Rechnen mit

Ungleichungen und Betragen

5.1 Verschiedene Gleichungstypen

5.1.1 Verschiedene aquvalente Umformungen

Beide Seiten einer Gleichung durfen zur selben positiven Basis a, a 6= 1 potenziertwerden, d.h.

T1 = T2 aT1 = aT2 fur a > 0, a 6= 1

Beide Seiten einer Gleichung durfen, wenn sie positiv sind, zur selben positivenBasis a, a 6= 1 logarithmiert werden, d.h.

T1 = T2 loga T1 = loga T2 fur T1, T2 > 0, a > 0, a 6= 1

Will man von einer Gleichung auf beiden Seiten die n-te Potenz bilden, so mussman zwei Falle unterscheiden:

T n1 = Tn2 T1 = T2, falls n ungerade

T n1 = Tn2 T1 = T2 oder T1 = T2, falls n gerade

Fur das Ziehen der n-ten Wurzel gilt:

T1 = T2 nT1 =

nT2 fur T1, T2 0, n beliebig

Hat eine Gleichung die Gestalt Produkt verschiedener Terme gleich Null, soerhalt man die Losungen, indem man die Terme einzeln gleich Null setzt unddiese Gleichungen lost, d.h.

T1 T2 . . . Tn = 0 T1 = 0 oder T2 = 0 oder . . . oder Tn = 0

5.1.2 Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Unbekannte in derzweiten Potenz, aber in keiner hoheren Potenz vorkommt. Jede quadratische Glei-chung lasst sich durch aquivalente Umformungen auf die Form

ax2 + bx+ c = 0 mit a 6= 0

bringen. Dividiert man diese Gleichung durch a, so erhalt man mit p =b

aund

q =c

adie Normalform der quadratischen Gleichung

x2 + px+ q = 0

Die Losungsformel fur diese Gleichung lautet:

x1,2 = p2(p

2

)2 q

Ist die Diskriminante(p

2

)2 q > 0, so gibt es zwei verschiedene reelle Losungen.

Ist(p

2

)2 q < 0, so hat die quadratische Gleichung keine reelle Losung. Ist(p

2

)2q = 0, so fallen die beiden reellen Losungen zusammen, d.h. x1 = x2 = p

2.

Beispiel:

16x2 + 120x+ 221 = 0

x2 +120

16x+

221

16= 0

x2 +15

2x+

221

16= 0

x1,2 = 154

225

16 221

16

x1,2 = 154 2

4

x1 = 134

und x2 = 174

5.1.3 Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Groe im Radikan-den von Wurzeln vorkommt. Um solche Gleichungen zu losen, versucht man, dievorkommenden Wurzeln zu isolieren und sie anschlieend durch Potenzieren zubeseitigen.

Achtung: Da das Potenzieren mit geradem Exponenten keine aquivalente Um-formung ist, muss man bei solchen Umformungen stets die Probe machen, d.h.man muss nachrechnen, ob die erhaltenen Losungen tatsachlich die Ausgangsglei-chung erfullen.

Beispiel:x 1 +x 4 = 3 | quadrieren

(x 1)2 + 2

(x 1)(x 4) + (x 4)2 = 9 | Potenzgesetze anwenden

x 1 + 2

(x 1)(x 4) + x 4 = 9 | Wurzel isolieren

2x2 5x+ 4 = 14 2x | : 2x2 5x+ 4 = 7 x | quadrieren

x2 5x+ 14 = 49 14x+ x2 | x2 + 14x 14

9x = 45 | : 9x = 5

Die Wurzelx 1 ist fur x 1 definiert, die Wurzel x 4 fur x 4, die

ganze linke Seite der Ausgangsgleichung also fur x 4. Die gefundene Losungx = 5 liegt also im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung. Die Probe ergibt

5 1 +5 4 = 2 + 1 = 3, d.h. die gefundene Losung x = 5 erfullt tatsachlichdie Ausgangsgleichung.

5.1.4 Exponential- und Logarithmengleichungen

Bei einer Exponentialgleichung befindet sich die Unbekannte im Exponenten einerPotenz. Exponentialgleichungen werden durch Logarithmieren und Anwendungder Logarithmengesetze gelost.

Beispiel:

2 32x1 = 7 3x+1 | logarithmieren

ln(2 32x1) = ln(7 3x+1) | Logarithmengesetze anwenden

ln 2 + ln(32x1) = ln 7 + ln(3x+1) | Logarithmengesetze anwenden

ln 2 + (2x 1) ln 3 = ln 7 + (x+ 1) ln 3 | ausmultiplizieren

ln 2 + 2x ln 3 ln 3 = ln 7 + x ln 3 + ln 3 | x ln 3 ln 2 + ln 3

x ln 3 = ln 7 + 2 ln 3 ln 2 | : ln 3

x =ln 7 + 2 ln 3 ln 2

ln 3 3, 1403

Bei einer Logarithmengleichung kommt die Unbekannte unter dem Logarithmusvor. Man versucht, solche Gleichungen durch Potenzieren mit der Basis des vor-kommenden Logarithmus zu losen. Auch hier muss man am Ende die Probemachen!

Beispiel:

1 + lg x = 2 lg(x 1) | potenzieren zur Basis 10

101+lg x = 10( lg(x 1) | Potenzgesetze anwenden

10 10lgx = (10lg(x1))2 | Logarithmengesetze anwenden

10x = (x 1)2 | binomische Formel anwenden

10x = x2 2x+ 1 | 10x

x2 12x+ 1 = 0 | quadratische Gleichung losen

x1,2 = 6

35

x1 11, 92 und x2 0, 08Die zweite Losung ist nicht zulassig, da lg(x 1) nur fur x > 1 definiert ist,d.h. die rechte Seite der Ausgangsgleichung hat fur x = x2 gar keinen Sinn. DieAusgangsgleichung hat also die einzige Losung x 11, 92.

5.2 Ungleichungen

Eine reelle Zahl a ist kleiner als eine reelle Zahl b (geschrieben a < b), falls aauf der Zahlengeraden links von b liegt. Entsprechend ist a groer b (geschriebena > b), wenn a auf der Zahlengeraden rechts von b liegt.

Beispiele: 2 < 3; 1 < 0; 5 > 0; 18 < 3, 2; 9 < 0, 5; 34<

2

Eine Zahl a heit positiv, wenn a > 0 ist. Entsprechend heit a negativ, wenna < 0 ist. Es ist a b (gelesen a kleiner gleich b), wenn gilt a < b oder a = b.Entsprechend ist a b (gelesen a groer gleich b), wenn gilt a > b oder a = b.Wenn gleichzeitig a b und a b gilt, dann folgt daraus a = b.a x b bedeutet, dass x zwischen a und b liegt, einschlielich der Grenzen.a < x < b bedeutet, dass x zwischen a und b liegt, ausschlielich der Grenzen.

Die Kleiner-als-Beziehung ist transitiv, d.h. aus a < b und b < c folgt a < c.

Rechenregeln:

Eine Ungleichung bleibt bestehen, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahladdiert oder subtrahiert, d.h.

a < b a+ c < b+ ca < b a c < b c

Eine Ungleichung darf mit einer positiven Zahl multipliziert werden, d.h.

a < b ac < bc, falls c > 0

Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, so muss das Un-gleichheitszeichen umgekehrt werden, d.h.

a < b ac > bc, falls c < 0

Eine Ungleichung darf durch eine positive Zahl dividiert werden, d.h.

a < b a : c < b : c, falls c > 0

Wird eine Ungleichung durch eine negative Zahl dividiert, so muss das Ungleich-heitszeichen umgekehrt werden, d.h.

a < b a : c > b : c, falls c < 0

Sind a, b beide positiv oder beide negativ, so gilt

a < b 1a>

1

b

Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel:

nx1 x2 . . . xn x1 + x2 + . . .+ xn

n

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:

ni=1

|aibi| n

i=1

a2i n

i=1

b2i

Minkowskische Ungleichung:

ni=1

(ai + bi)2

ni=1

a2i +

ni=1

b2i

5.3 Betrage

Unter dem Betrag einer reellen Zahl a (geschrieben |a|) versteht man den Abstanddes Punktes a auf der Zahlengeraden zum Punkt 0. Der Abstand kann nie negativsein, d.h. es gilt |a| 0. Allgemein gilt:

|a| ={

a fur a 0a fur a < 0

Beispiele: |3| = 3; |1| = (1) = 1; |9, 5| = 9, 5; |0| = 0; | 34| = (3

4) = 3

4

Es gelten folgende Regeln:

|a| = | a||a b| = |b a|

|a b| ist der Abstand von a und b auf der Zahlengeraden.

Fur den Betrag gilt die Dreiecksungleichung :

|a+ b| |a|+ |b||a b| |a|+ |b|

Weiter gilt:

|a b| = |a| |b|ab

= |a||b|Wichtig fur das Losen von Ungleichungen ist folgende Regel:

|x a| < b wird von allen x erfullt, die von a einen geringeren Abstand als bhaben, d.h.

|a x| b a b x a+ b

Des weiteren gilta2 = |a|, denn auch bei negativem a ist a2 positiv; die Wurzel

existiert also stets. Die Wurzel aus a2 ist aber diejenige nichtnegative Zahl, derenQuadrat a2 ergibt. Unter den beiden Zahlen a und a, deren Quadrat a2 ist, istalso die nichtnegative zu nehmen, also a fur a > 0 und a fur a < 0. Das ist abergerade der Betrag |a|.

5.4 Ubungsaufgaben

1. Man lose folgende Gleichungen:

a) x2 + 4x 5 = 0

b) 7x2 + 21x+ 14 = 0

c) x4 5x2 + 4 = 0

d) x7 + 5x6 + 4x5 = 0

e) (x2 6x+ 5)(2x2 19x+ 9) = 0f) (x+ 4)2 (x 5)2 (x 1)2 = 14x 1

g)1

x 2 +1

x 4 =1

x+ 2+

1

x 7

h)

5x 4 = 1 +3x+ 1

i)x+ 2x 2 = x+ 1

x+ 2

j)x+ 5 +

x4x+ 9 = 0

k) 4 3

6x 1 + 5 = 0l) 1, 052x = 1, 765

m) 112x = 10x+1

2. Man lose folgende Formeln auf:

a) u2x2 + 2u (x2 + y2) = uv u2 nach ub)a+ ba b = c nach a

c) e2b = x y2 nach b

d) Kqn qn 1q 1 = 0 nach n

e) Kqn + (x 2)qn c2 = 0 nach q

3. Fur welche x gelten folgende Ungleichungen?

a) 5(3x 2) > 12x 9

b) 2 +3(x+ 1)

8< 3 x 1

4

c)1

x 1 0, 5d) |x+ 1| = 3x 1e) |2x 3| = 3 |x+ 5|f) 5 2 |x 3| 6

5. Losen Sie die Ungleichungen:

a) 2x+ 11 > 10 5xb) x2 x > 0c) x2 6x+ 10 < 0

d)x+ 3

x xx+ 3

e)2x 1x 1 < 1

f)4

x 2

6 Elementare Funktionen

In unzahligen Situationen hangen die Daten einer Groe y in eindeutiger Weisevon den Daten einer anderen Groe x ab. Z.B. ist die Einkommenssteuer abhangigvom Einkommen, der Energieverbrauch einer Anlage hangt von der Laufzeit ab,die Produktionskosten sind abhangig von der produzierten Menge usw.

Definition: Wenn jeder reellen Zahl x aus einem Bereich D reeller Zahlen ein-deutig eine reelle Zahl y zugeordnet ist, so sagt man, y ist eine Funktion von x,und man schreibt y = f(x) oder y = y(x).

Der Bereich D heit der Definitionsbereich der Funktion. Die Groe x heit dasArgument oder die unabhangige Variable, die Groe y der Funktionswert oderdie abhangige Variable. Man kann die x-Werte aus dem Definitionsbereich freiwahlen; mittels der Zuordnungsvorschrift sind dann die zugehorigen y-Werte be-stimmt. Der Bereich aller so entstehenden y-Werte heit der Wertebereich.

6.1 Lineare Funktionen

Definition: Eine Funktion der Form

y = f(x) = mx+ n

heit lineare Funktion. Die reellen Zahlen m und n heien Koeffizienten.

Der Definitionsbereich einer linearen Funktion besteht aus allen reellen Zahlen x,denn der Ausdruck mx + n ist fur alle x erklart, ganz gleich, welche Werte dieKoeffizienten m und n haben.

Beispiele:

1. f(x) = 2x 7 (m = 2, n = 7)2. y = 3 (m = 0, n = 3)

3. y = 0, 5x+2 (m = 0, 5, n = 2)4. y = pi2cx+ a2 (m = pi2c, n = a2)

Der Graph einer linearen Funktion y = f(x) = mx+ n ist eine Gerade.

Fur x = 0 erhalt man y = m 0 + n = n, d.h. der Punkt (0, n) liegt auf derGeraden; er ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse, und n ist dersogenannte Ordinatenabschnitt.

Fur zwei beliebige Punkte P1(x1, y1) und P2(x2, y2), die auf der Geraden liegen,

ist der Anstieg der Geraden definiert alsy2 y1x2 x1 .

Es gilt:y2 y1x2 x1 =

mx2 + n (mx1 + n)x2 x1 =

m(x2 x1)x2 x1 = m

d.h. der Koeffizient m in der Geradengleichung ist der Anstieg der Geraden.

6.2 Ganze rationale Funktionen (Polynome)

Definition: Eine Funktion der Form

y = f(x) = anxn + an1xn1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0

heit ganze rationale Funktion oder Polynom. Die reellen Zahlen a0, a1, . . . anheien Koeffizienten des Polynoms. Der Exponent der hochsten vorkommendenPotenz von x heit Grad des Polynoms.

Der Definitionsbereich eines Polynoms besteht aus allen reellen Zahlen x, dennder Ausdruck anx

n + an1xn1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 ist fur alle x erklart, ganzgleich, welche Werte die Koeffizienten a0, a1, . . . an haben.

Beispiele:

1. f(x) = 2x2 x+ 1a0 = 1, a1 = 1, a2 = 2, Grad = 2

2. f(x) = 3x7 + pix6 bx2 + ax+ ca0 = c, a1 = a, a2 = b, a3 = a4 = a5 = 0, a6 = pi, a7 =

3, Grad = 7

3. f(x) = 6a0 = 6, Grad = 0

4. f(x) = kx2n+1 + x 1a0 = 1, a1 = 1, a2 = a3 = . . . = a2n = 0, Grad = 2n+ 1

Ein Polynom vom Grad 0 hat die Form f(x) = a0 - das ist eine konstante Funk-tion. Ihr Graph ist eine Parallele zur x-Achse.

Ein Polynom vom Grad 1 hat die Form f(x) = a1x + a0 (mit a1 6= 0) - das isteine lineare Funktion. Ihr Graph ist eine Gerade.

Ein Polynom vom Grad 2 hat die Form f(x) = a2x2 +a1x+a0 (mit a2 6= 0) - das

ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel, und zwar eine nachoben geoffnete fur a2 > 0 und eine nach unten geoffnete fur a2 < 0.

6.3 Gebrochen-rationale Funktionen

Definition: Eine Funktion, die sich als Quotient zweier Polynome darstellenlasst, d.h. die Form

y = f(x) =anx

n + an1xn1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0bmxm + bm1xm1 + . . .+ b2x2 + b1x+ b0

hat, heit gebrochen-rationale Funktion. Dabei sind die ai(i = 0, . . . , n) undbk(k = 0, . . . ,m) reelle Zahlen.

Der Definitionsbereich einer gebrochen-rationalen Funktion besteht aus allen re-ellen Zahlen x, mit Ausnahme derjenigen, fur die der Nenner Null wird.

Beispiele:

1. f(x) =1

x. Fur x = 0 wird der Nenner Null, d.h. der Definitionsbereich

besteht aus allen reellen Zahlen auer Null.

2. f(x) =x+ 3

x 4 . Fur x = 4 wird der Nenner Null; der Definitionsbereichbesteht aus allen reellen Zahlen x 6= 4.

3. f(x) =x

x2 + 1. Der Nenner x2 + 1 wird nie Null, also ist der Definitions-

bereich die Menge aller reellen Zahlen.

4. f(x) =x 6

x2 3x+ 2 . Um festzustellen, wann der Nenner Null wird, mus-sen wir die quadratische Gleichung x2 3x+ 2 = 0 losen. Wir erhalten:x1 = 2 und x2 = 1; der Definitionsbereich ist also die Menge aller reellenZahlen, auer x = 1 und x = 2.

Die Bilder gebrochen-rationaler Funktionen konnen sehr verschiedenartige Er-scheinungen zeigen: z.B. kann der Graph aus mehreren Zweigen bestehen, dienicht zusammenhangen; es kann Unendlichkeitsstellen geben und Asymptoten.

6.4 Wurzelfunktion

Definition: Eine Funktion der Form

y = f(x) = nx

heit Wurzelfunktion.

Die Wurzel ist nur fur x 0 definiert, d.h. der Definitionsbereich einer Wurzel-funktion ist die Menge aller reellen Zahlen, die groer oder gleich Null sind.

Alle Wurzelfunktionen gehen durch den Punkt (0, 0), da n

0 = 0 gilt, und siegehen durch den Punkt (1, 1), weil n

1 = 1 ist.

6.5 Exponentialfunktion

Definition: Eine Funktion der Form

y = f(x) = ax mit a > 0, a 6= 1

heit Exponentialfunktion.

Eine Exponentialfunktion ist fur alle x definiert, d.h. der Definitionsbereich einerExponentialfunktion ist die Menge der reellen Zahlen.

Alle Exponentialfunktionen gehen durch den Punkt (0, 1), da a0 = 1 fur jedes agilt. Die Werte einer Exponentialfunktion sind stets positiv, d.h. der Graph einerExponentialfunktion verlauft immer oberhalb der x-Achse.

6.6 Logarithmusfunktion

Definition: Eine Funktion der Form

y = f(x) = loga x mit a > 0, a 6= 1heit Logarithmusfunktion.

Der Logarithmus ist nur fur positive x definiert, d.h. der Definitionsbereich einerLogarithmusfunktion ist die Menge alle positiven reellen Zahlen.

Alle Logarithmusfunktionen gehen durch den Punkt (1, 0), da loga 1 = 0 furjedes a gilt. Der Graph einer Exponentialfunktion verlauft immer rechts von dery-Achse. Die y-Achse ist eine sogenannte Asymptote der Logarithmusfunktion.

6.7 Verkettete Funktionen

Definition: Die Funktion f(x) = u(v(x)), die durch Einsetzen einer Funktionv(x) in eine Funktion u(v) entsteht, heit verkettete Funktion. v heit die innereFunktion, u die auere Funktion.

Die Reihenfolge ist bei der Verkettung wesentlich, im allgemeinen ist

u(v(x)) 6= v(u(x))Betrachten wir z.B. die Funktion f(x) =

2x3 x+ 1. Diese Funktion setzt sich

aus v(x) = 2x3 x+ 1 und u(v) = v zusammen, d.h.f(x) =

v(x) = u(v(x))

Bilden wir dagegen die Funktion g(x) = v(u(x)), so erhalten wir

g(x) = 2(x)3 x+ 1 = (2x 1)x+ 1,

also eine ganz andere Funktion.

Weitere Beispiele:

1. u(v) = v2 2v + 1 v(x) = ln xu(v(x)) = (ln x)2 2 lnx+ 1 v(u(x)) = ln(x2 2x+ 1)

2. g(h) = 3h h(x) = ex

g(h(x)) = 3ex h(g(x)) = e

3x

3. r(s) =1

s 1 , s(t) = ln t, t(x) = x2 1

r(s(t(x))) =1

ln(x2 1) 1

r(t(s(x))) =1

(lnx)2 1 1 =1

(lnx)2 2

s(t(r(x))) = ln

[(1

x 1)2 1]

s(r(t(x))) = ln1

x2 1 1 = ln1

x2 2

t(r(s(x))) =

(1

lnx 1)2 1

t(s(r(x))) = ln

(1

x 1)2 1

6.8 Umkehrfunktionen

Definition: Gegeben sei eine Funktion y = f(x). Man nennt sie umkehrbar, fallsaus x1 6= x2 stets folgt f(x1) 6= f(x2), d.h. falls zu jedem y aus dem Wertebe-reich der Funktionf(x) eindeutig ein Argument x gehort mit f(x) = y. Hat eineFunktion diese Eigenschaft, so kann man also auch zu gegebenem y eindeutig daszugehorige x finden. Die Zuordnung y x definiert also auch eine Funktion; mannennt sie die Umkehrfunktion zur Funktion y = f(x). Sie wird meist mit demFunktionssymbol f1 bezeichnet, d.h. die Umkehrfunktion von y = f(x) (fallsf(x) umkehrbar ist) ist x = f1(y).

Umkehrbarkeit liegt dann vor, wenn jede zur x-Achse parallele Gerade den Gra-phen der Funktion in hochstens einem Punkt schneidet.

Eine Funktion y = f(x) ist umkehrbar, wenn sich diese Gleichung eindeutig nachx auflosen lasst.

Beispiele:

1. y = f(x) = xn. Diese Gleichung ist nicht eindeutig nach x auflosbar, z.B.liefert y = x2 die beiden Losungen x1 = y und x2 = y. Betrachtenwir die Funktion y = xn nur fur nichtnegative x, d.h. schranken wir denDefinitionsbereich auf x 0 ein, so ist y = nx die Umkehrfunktion vony = xn.

2. y = f(x) = 2x+ 3. Diese Gleichung ist eindeutig nach x auflosbar:

x = f1(y) =1

2(y 3) ist die Umkehrfunktion von f(x) = 2x+ 3.

3. y =1

2xlasst sich eindeutig nach x auflosen. Die Umkehrfunktion ist

x =1

2y.

4. y = ax lasst sich eindeutig nach x auflosen. Die Umkehrfunktion istx = loga y.

Tauscht man in der Umkehrfunktion die Variablen (schreibt man also auch wiedery = f1(x)), dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion durch Spiegelung desGraphen der ursprunglichen Funktion f(x) an der Geraden y = x.

6.9 Nullstellen von Funktionen

Definition: Ein Argumentwert x0 heit Nullstelle einer Funktion f(x), wennf(x0) = 0 ist.

Die Nullstellen einer Funktion sind die Schnittpunkte des Graphen der Funktionmit der x-Achse.

Um die Nullstellen einer Funktion f(x) zu bestimmen, muss man die Glei-chung f(x) = 0 nach x auflosen.

Nullstellen linearer Funktionen:

y = mx0 + n = 0 = x0 = nm

Jede lineare Funktion f(x) = mx + n mit m 6= 0 hat eine einzige Nullstellex0 = n

m.

Nullstellen quadratischer Funktionen:

y = a2x20 + a1x0 + a0 = 0 = x0 =

a1 a21 4a0a22a2

Fallunterscheidung:

a)a21 4a0a2 > 0 zwei reelle Nullstellen:

x1 =a1 +

a21 4a0a22a2

und x2 =a1

a21 4a0a22a2

b)a21 4a0a2 = 0 eine reelle Nullstelle: x1 =

a12a2

c)a21 4a0a2 < 0 keine reelle Nullstelle

Nullstellen von Polynomen hoheren Grades:

Fur Polynome hoheren als zweiten Grades gelingt eine elementare Nullstellen-bestimmung nur in Ausnahmefallen. Man muss hier auf numerische Naherungs-verfahren, z.B. das Newtonverfahren zuruckgreifen; dazu sei auf weiterfuhrendeLiteratur verwiesen. Programme, die Nullstellen von Polynomen berechnen, sindin jeder mathematischen Standardsoftware enthalten. Es gilt jedoch folgendes:

Ist x0 Nullstelle des Polynoms f(x), so ist f(x) ohne Rest durch xx0 teilbar.

Das kann man sich zunutze machen, wenn eine Nullstelle schon bekannt ist (etwadurch Probieren gefunden wurde). Es gilt dann f(x) = (x x0) g(x) mit einemPolynom g(x), dessen Grad um Eins niedriger ist als der Grad des ursprunglichenPolynoms f(x). g(x) kann durch Polynomdivision bestimmt werden (Division vonPolynomen geschieht nach demselben Verfahren wie das schriftliche Dividierenvon Zahlen). Wenn man z.B. bei einem Polynom dritten Grades eine Nullstellex0erraten kann, fuhrt man die Polynomdivision f(x) : (x x0) = g(x) durch undbestimmt die restlichen Nullstellen aus der quadratischen Gleichung g(x) = 0mittels der obigen Losungsformel fur quadratische Gleichungen.

Man kann die Nullstellen eines Polynoms sofort ablesen, wenn es als Produkt vonLinearfaktoren gegeben ist.

Beispiel: Gegeben sei das Polynom f(x) = 2(x1)(x+3) = 2x2+4x6. DiesesPolynom kann nur gleich Null sein, wenn die Faktoren einzeln Null werden, d.h.x 1 = 0 oder x + 3 = 0. Die Nullstellen des Polynoms f(x) sind also x1 = 1und x2 = 3.

Ein Polynom n-ten Grades kann hochstens n Linearfaktoren haben, und dar-aus folgt, dass es hochstens n reelle Nullstellen haben kann.

Nullstellen von gebrochen-rationalen Funktionen:

Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Gestalt f(x) =g(x)

h(x)mit Polynomen

g(x) und h(x).

Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion sind gerade diejenigenNullstellen des Zahlerpolynoms, fur die das Nennerpolynom nicht gleichzeitigNull wird (denn letztere gehoren nicht zum Definitionsbereich von f(x)).

Nullstellen beliebiger Funktionen:

Bei allgemeineren Funktionen lassen sich die Nullstellen nur in speziellen Fallenelementar berechnen; im allgemeinen wird man auf die schon erwahnten numeri-schen Naherungsverfahren zuruckgreifen mussen, z.B. auf das Newtonverfahren.

6.10 Beschranktheit von Funktionen

Definition: Eine Funktion f(x) heit nach unten beschrankt, falls es eine Zahlm gibt, so dass f(x) m ist fur alle x des Definitionsbereiches von f(x). DieZahl m heit untere Schranke. f(x) heit nach oben beschrankt, falls es eine ZahlM gibt mit f(x) M fur alle x des Definitionsbereiches von f(x). Die Zahl Mheit obere Schranke. Eine Funktion, die sowohl nach unten als auch nach obenbeschrankt ist, heit beschrankt.

Der Graph einer nach unten beschrankten Funktion mit der unteren Schranke mliegt vollstandig oberhalb der Geraden y = m. Analog liegt der Graph einer nachoben beschrankten Funktion mit der oberen Schranke M vollstandig unterhalbder Geraden y = M .

Beispiele:

1. f(x) = x2 3 m = 32. f(x) = 1 ex M = 13. f(x) = ex

2 m = 0, M = 1

6.11 Monotonie von Funktionen

Definition: Eine Funktion f(x) heit in einem Intervall I ihres Definitionsbe-reichs monoton wachsend, wenn fur beliebige x1, x2 I aus x1 < x2 stets folgt,dass f(x1) f(x2) ist. Sie heit streng monoton wachsend, wenn aus x1 < x2stets folgt f(x1) < f(x2). Eine Funktion f(x) heit in einem Intervall I ihresDefinitionsbereichs monoton fallend, wenn fur beliebige x1, x2 I aus x1 < x2stets folgt, dass f(x1) f(x2) ist. Sie heit streng monoton fallend, wenn ausx1 < x2 stets folgt f(x1) > f(x2).

Beispiele:

1. Die Funktion f(x) = x3 + 1 ist im gesamten Definitionsbereich strengmonoton wachsend.

2. Die Funktionenx, ex und lnx sind in ihrem jeweiligen Definitionsbe-

reich streng monoton wachsend.

3. Die Funktion f(x) = x2 ist fur x 0 streng monoton fallend, fur x 0streng monoton wachsend.

6.12 Ubungsaufgaben

1. Man bestimme den Definitionsbereich folgender Funktionen und berechne furdiese Funktionen f(2), f(0), f(x0 + 5):a) f(x) = 2x+ 6

b) f(x) = x2 + x+ 1

c) f(x) =1

x 1d) f(x) = x+ 8 + 1

x2 7x+ 12

e) f(x) =

{ x2 4 fur |x| > 2x 2 fur |x| 2

2. Welche der Punkte (0, 14), (1, 1), (5, 3), (2, 1

4), (2,35), (6, 1

10), (1, 1

3) liegen

auf dem Graphen der Funktion

a) y = 2x3 6x2 + 5

b) y =1

x2 + 2x+ 4

3. Welche Gleichung hat die Gerade durch den Punkt P1 mit der Steigung m:

a) P1(1,2), m = 4

b) P1(0,1), m = 23

c) P1(a, b), m = u

4. Welche Gleichung hat die Gerade durch die beiden Punkte P1 und P2?

a) P1(2, 0), P2(1, 2)b) P1(3, 4), P2(2,2)c) P1(a, b), P2(c, d)

d) P1(u,v), P2(u, v)

5. In welchem Punkt schneiden sich die Geraden:

a) y = 3 und y = 2x 6

b) y = 0, 5x+ 4 und y = 3x 1c) y = 3x 1 und y = x+ 6d) y = x+ 2 und y = 2x+ 4

6. Man bestimme den Definitionsbereich folgender Funktionen:

a) f(x) =x+ 1

2x 4

b) f(x) =x2 14x2 + 4

c) f(x) =x

x2 3x 4

d) f(x) =1

x2 16e) f(x) = ln(6 x)

f) f(x) = e3x2+1

7. Es sei f(x) = x2+2x+5 und g(x) = ex. Man bestimme f(g(x)) und g(f(x)).

8. Man bestimme r(s(t)) fur:

a) r(t) = 2t+ 5 und s(t) =t 7

b) r(t) = 2et und s(t) = t2 1c) r(t) = ln(t2 + 1) und s(t) = 4t 1

9. Man berechne die Nullstellen von:

a) f(x) = 7x 2b) f(x) = x2 + 9x+ 20

c) f(x) = 2x2 7x 3d) f(x) = x3 2x2 x+ 2e) f(x) = (x+ 1)(x 3, 8)(2x+ 5, 6)f) f(x) = (x 4)(x2 1)

g) f(x) = (x2 x 2)(x2 3x 6)

h) f(x) =x 1x2 + 5

i) f(x) =x2 + 5x+ 6

x2 1

j) f(x) = ln(x 6)k) f(x) = 3

3 x2

l) f(x) = 2e2x e2x

m) f(x) = ln(x 2) + ln(x+ 1)

10. In welchen Punkten schneiden sich

a) die Gerade y = 2x+ 1 und die Parabel y = 0, 5x2 5b) die Parabeln y = x2 + x+ 2 und y = 2x2 + 5

11. Fur welches positive x erreicht f(x) = 0, 2x2 7x+ 5 die Schwelle y = 17?

12. Wie lautet zu den gegebenen Funktionen die Umkehrfunktion:

a) y = f(x) = 3x+ 5b) y = f(x) = 3

x2 1

c) y = f(x) = ex

d) y = f(x) = log4(x 3)

7 Vektorrechnung

7.1 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem

Zur Beschreibung physikalisch-technischer Vorgange mit Hilfe mathematischerModelle benotigt man mathematische Begriffe, die alle wesentlichen Eigenschaf-ten der betrachteten physikalischen Groe eindeutig erfassen. Groen, die (nachFestlegen einer Maeinheit) durch eine reelle Zahl eindeutig bestimmt sind, nenntman Skalare. Groen, deren Beschreibung neben einer skalaren Groenangabezusatzlich eine Richtungsangabe erfordert, heien Vektoren.

Definition: Vektoren werden geometrisch definiert als gerichtete Strecken imRaum; sie besitzen eine Lange (Betrag) und eine Richtung. Das geometrischeBild eines Vektors ist ein Pfeil.

Bezeichnungen:

a) kleine Buchstaben mit Pfeil ~a,~b,~c

b)#

AB mit Anfangspunkt A und Endpunkt Bc) Betrag des Vektors |~a| - Lange des Pfeilsd) Nullvektor ~0 - Vektor mit dem Betrag 0e) Einheitsvektor ~e - Vektor mit dem Betrag 1

In der Geometrie lassen sich Parallelverschiebung mit Hilfe von Vektoren einfachbeschreiben. In der Abbildung wird die Parallelverschiebung des Dreiecks4ABCdurch den Vektor ~v beschrieben:

Vektorkoordinaten im R2:

Ein beliebiger Punkt P der Ebene ist im zugrundegelegten Koordinatensystemmit dem Ursprung O eindeutig festgelegt durch den Vektor ~p =

#

OP . Umgekehrtist der Vektor ~p eindeutig bestimmt durch die Koordinaten (xP , yP ) von P . Manschreibt:

#

OP = (xP , yP ) bzw.#

OP =

(xPyP

)

Spezielle Punkte:

Px = P (xP , 0) - Punkte auf der x-AchsePy = P (0, yP ) - Punkte auf der y-AchseEx = E(1, 0) - 1 auf der x-AchseEy = E(0, 1) - 1 auf der y-AchseO = O(0, 0) - Koordinatenursprung

Nach dem Satz des Pythagoras betragt der Abstand des Punktes P vom Koor-dinatenursprung:

OP = | # OP | =x2P + y

2P

Fur den Vektor mit dem Anfangspunkt P (xP , yP ) und dem Endpunkt Q(xQ, yQ)erhalt man entsprechend die Vektorkoordinaten als Differenzen der Punktkoordi-naten:

#

PQ = (xQ xP , yQ yP ) bzw. # PQ =(xQ xPyQ yP

)

Fur den Betrag des Vektors#

PQ gilt nach dem Satz des Pythagoras:

| # PQ| =

(xQ xP )2 + (yQ yP )2

Vektorkoordinaten im R3:

Ein beliebiger Punkt P des Raumes ist im zugrundegelegten Koordinatensystemmit dem Ursprung O eindeutig festgelegt durch den Vektor ~p =

#

OP . Umgekehrtist der Vektor ~p eindeutig bestimmt durch die Koordinaten (xP , yP , zP ) von P .Man schreibt:

#

OP = (xP , yP , zP ) bzw.#

OP =

xPyPzP

Spezielle Punkte:

Pxy = P (xP , yP , 0) - Punkte in der xy-EbenePz = P (0, 0, zP ) - Punkte auf der z-AchseEx = E(1, 0, 0) - 1 auf der x-AchseEy = E(0, 1, 0) - 1 auf der y-AchseEz = E(0, 0, 1) - 1 auf der z-AchseO = O(0, 0, 0) - Koordinatenursprung

Nach dem Satz des Pythagoras betragt der Abstand des Punktes P vom Koor-dinatenursprung:

OP = | # OP | =x2P + y

2P + z

2P

Fur den Vektor mit dem Anfangspunkt P (xP , yP , zP ) und dem EndpunktQ(xQ, yQ, zQ) erhalt man entsprechend die Vektorkoordinaten als Differenzen derPunktkoordinaten:

#

PQ = (xQ xP , yQ yP , zQ zP ) bzw. # PQ = xQ xPyQ yP

zQ zP

=: axay

az

Fur den Betrag des Vektors#

PQ gilt nach dem Satz des Pythagoras:

| # PQ| =

(xQ xP )2 + (yQ yP )2 + (zQ zP )2 =a2x + a

2y + a

2z

Ein Vektor im dreidimensionalen Raum R3 wird definiert als reelles Zahlen-tripel. Die Schreibweise

~a = (ax, ay, az) bzw.

axayaz

heit Basis- oder Koordinatendarstellung des Vektors ~a bezuglich des zugrun-degelegten kartesischen Koordinatensystems. Es gilt:

|~a| =a2x + a

2y + a

2z

7.2 Vektoralgebra

7.2.1 Lineare Vektoroperationen

Gleichheit von Vektoren: Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in Betrag undRichtung ubereinstimmen:

~a = ~b |~a| = |~b| und ~a ~b bzw. axayaz

= bxby

bz

ax = bxay = byaz = bz

Addition von Vektoren: Tragt man im Endpunkt des Vektors ~a den Vektor ~b

an, so heit der vom Anfangspunkt von ~a zum Endpunkt von ~b fuhrende Vektor

~s Summenvektor oder Summe der Vektoren ~a und ~b.

~s = ~a+~b sxsysz

= axay

az

+ bxby

bz

= ax + bxay + by

az + bz

Der Summenvektor ergibt sich als orientierte Diagonale

#

AB in dem von ~a und ~baufgespannten Parallelogramm.

Es gilt:

~a+~b = ~b+ ~a

(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c)

Subtraktion von Vektoren: Der Differenzvektor ~d = ~a~b ist derjenige Vektor,

der zu ~b addiert ~a ergibt. ~d geht vom Endpunkt von ~b zum Endpunkt von ~a.

~d = ~a~b dxdydz

= axay

az

bxby

bz

= ax bxay by

az bz

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar: Unter dem Produkt des

Vektors ~a mit dem Skalar R versteht man den Vektor ~b = ~a mit|~b| = |~a| = || |~a| bxby

bz

= axay

az

= axay

az

Es ist:

~b ~a fur > 0~b ~a fur < 0~b = 0 fur = 0

Weiter gelten folgende Rechenregeln:

(~a) = (~a) ~0 = ~0 fur jedes R0 ~a = ~0 fur jeden Vektor ~a

(+ ) ~a = ~a+ ~a (~a+~b) = ~a+ ~b

Normierung eines Vektors: Der Einheitsvektor ~ea in Richtung von ~a ist defi-niert als

~ea =~a

|~a| =1

|~a| ~a mit |~ea| = 1, ~ea ~a

Den Ubergang von ~a zu ~ea bezeichnet man als Normierung des Vektors ~a.

Basisvektoren und Komponentendarstellung: Von besonderer Bedeutungsind die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen eines kartesischenKoordinatensystems im R3. Man bezeichnet sie auch als Basisvektoren:

~i = ~ex =#

OEx =

100

~j = ~ey =#

OEy =

010

~k = ~ez =#

OEz =

001

Mit Hilfe der Basisvektoren lasst sich jeder Vektor im R3 darstellen als

~a = ax~i+ ay~j + az~k

Man nennt die Vektoren

~ax = ax~i, ~ay = ay~j, ~az = az~k

die Komponenten von ~a, die reellen Koeffizienten ax, ay, az sind die Koordinatendes Vektors ~a.

7.2.2 Skalarprodukt

Definition: Das Skalarprodukt der Vektoren ~a und ~b ist das Produkt aus denBetragen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenenWinkels :

~a ~b = |~a| |~b| cos mit = (~a,~b), 0 pi

Rechenregeln:

(~a) ~b = ~a (~b) = (~a ~b) fur alle R~a ~b = ~b ~a

~a (~b+ ~c) = ~a ~b+ ~a ~c~a ~a = |~a| |~a| cos 0 = |~a|2

~a ~b = 0 ~a = ~0 oder ~b = ~0 oder cos = 0, d.h. = 90 bzw. ~a ~b

~a ~b = axay

az

bxby

bz

= axbx + ayby + azbzWinkel zwischen zwei Vektoren: Aus der Formel fur das Skalarprodukt ergibtsich fur den Winkel zwischen zwei Vektoren:

cos =~a ~b|~a| |~b| =

axbx + ayby + azbza2x + a

2y + a

2z b2x + b

2y + b

2z

, ~a,~b 6= ~0

Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor: Der aus ~b durch senk-rechte Projektion auf ~a entstehende Vektor lasst sich schreiben in der Form

~ba = |~b| cos ~ea =(~a ~b|~a|

)~ea =

(~a ~b|~a|2

)~a

7.2.3 Vektorprodukt

Definition: Unter dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt, aueres Produkt) zweier

Vektoren ~a und ~b versteht man den Vektor ~c = ~a~b (gesprochen: a kreuz b) mitden Eigenschaften:

a) |~c| = |~a| |~b| sin mit = (~a,~b), 0 pi,b) ~c steht senkrecht auf ~a und ~b, d.h. ~c ~a und ~c ~b,c) ~a, ~b und ~c bilden ein Rechtssystem.

Achtung: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl, das Vektor-produkt ist ein Vektor!

Rechenregeln:

~a~b = ~b ~a(~a)~b = ~a (~b) = (~a~b) fur alle R

~a (~b+ ~c) = (~a~b) + (~a ~c)(~a+~b) ~c = (~a ~c) + (~b ~c)

~a ~a = ~0~a~b = 0 ~a = ~0 oder ~b = ~0 oder sin = 0, d.h. = 0 bzw. ~a~b

Vektorprodukt in Koordinatendarstellung:

~a~b = axay

az

bxby

bz

= (aybz azby)~i+ (azbx axbz)~j + (axby aybx)~kNormalenvektor einer Ebene: Drei Punkte P1, P2 und P3, die nicht auf einerGeraden liegen, spannen eine Ebene auf. Der Normalenvektor dieser Ebene ~enist ein Vektor vom Betrag 1, der senkrecht auf der Ebene steht. Fuhrt man die

Vektoren ~a =#

P1P2 und ~b =#

P1P3 ein, so erhalt man ~en als Einheitsvektor in

Richtung von ~a~b:~en =

~a~b|~a~b|

Flacheninhalt eines Dreiecks: Gegeben sein ein Dreieck 4P1P2P3. Mit denVektoren ~a =

#

P1P2 und ~b =#

P1P3 erhalt man aus der Definition des Vektorpro-dukts:

A4P1P2P3 =1

2 |~a| |~b| sin = 1

2 |~a~b|

Entwicklungssatz: Der Vektor ~a (~b~c) liegt parallel zu der von den Vektoren~b und ~c aufgespannten Ebene, da er senkrecht auf dem Vektor ~b ~c steht, alsosenkrecht zum Normalenvektor dieser Ebene. Damit lasst sich ~a(~b~c) darstellenals:

~a (~b ~c) = ~b+ ~cFuhrt man die etwas komplizierte Ermittlung von und durch, so ergibt sichder Entwicklungssatz :

~a (~b ~c) = (~a ~c) ~b+ (~a ~b) ~c

7.2.4 Lineare Unabhangigkeit von Vektoren

Definition: Die n Vektoren ~a1,~a2, . . . ,~an heien linear unabhangig, wenn aus derGultigkeit der Gleichung

1~a1 + 2~a2 + . . . n~an = ~0

folgt, dass alle Koeffizienten i gleich Null sind:

1 = 2 = . . . = n.

n Vektoren sind also linear unabhangig, wenn sich der Nullvektor aus ihnen nurals triviale Linearkombination darstellen lasst: i = 0 fur alle i.

Gibt es dagegen Koeffizienten 1, 2, . . . , n, fur die 1~a1 + 2~a2 + . . . n~an = ~0gilt, aber mindestens ein i ungleich Null ist, so heien die Vektoren ~a1,~a2, . . . ,~anlinear abhangig. In diesem Fall lasst sich der Nullvektor also als nichttrivialeLinearkombination darstellen.

Geometrische Deutung der linearen Abhangigkeit:

Zwei Vektoren sind genau dann linear abhangig, wenn sie parallel sind.

Zwei linear unabhangige Vektoren spannen eine Ebene auf.

Drei Vektoren sind genau dann linear abhangig, wenn sie in einer Ebeneliegen.

Drei linear unabhangige Vektoren spannen den dreidimensionalen Raum R3auf.

Vier Vektoren im R3 sind stets linear abhangig.

7.3 Anwendungen in der analytischen Geometrie

7.3.1 Parameterdarstellung von Geraden

Ist eine Gerade g gegeben durch zwei Punkte A und B mit den zugehorigen

Ortsvektoren ~a und ~b, so kann jeder Punkt X auf g durch seinen Ortsvektor ~x inder Form

~x = ~a+ (~b ~a)festgelegt werden. Die Gleichung heit Zweipunkteform der Geraden. Durchlauft alle reellen Zahlen, dann durchlauft X alle Punkte auf der Geraden g. Speziellgilt:

= 0 X = A = 1 X = B =

1

2 X ist Mittelpunkt der Strecke AB

Ist eine Gerade gegeben durch einen Punkt A mit dem Ortsvektor ~a und einemRichtungsvektor ~r so erhalt man alle Punkte X auf g durch den Ortsvektor ~x inder Form

~x = ~a+ ~r mit R.Diese Gleichung heit Punktrichtungsform der Geraden.

7.3.2 Schnittpunkt zweier Geraden

Gegeben seien zwei Geraden g und h in Punktrichtungsform:

g : ~x = ~a+ ~r

h : ~x = ~b+ ~t

mit ~r ~t. Ein gemeinsamer Punkt S der Geraden g und h kann nur existieren,wenn die Vektoren ~r, ~t und ~b ~a in einer Ebene liegen. Wenn das der Fall ist,erhalt man aus der Schnittbedingung

~a+ ~r = ~b+ ~t

drei skalare Gleichungen fur und

ax + rx = bx + txay + ry = by + tyaz + rz = bxz + tz

mit einer eindeutigen Losung.

7.3.3 Berechnung von Abstanden und Winkeln im R3

Abstand zweier Punkte im R3: Fur den Abstand der Punkte A = (ax, ay, az)und B = (bx, by, bz) gilt:

|AB| =

(bx ax)2 + (by ay)2 + (bz az)2

Winkel zwischen zwei Geraden: Sind ~r und ~t Richtungsvektoren der Geradeng und h, so gilt fur den eingeschlossenen Winkel = (g, h) = (~r,~t):

cos =~r ~t|~r| |~t|

Abstand eines Punktes von einer Geraden: Gegeben sei eine Gerade g mitder Gleichung ~x = ~a + ~r und ein nicht auf der Geraden g liegender Punkt B

mit dem Ortsvektor ~b. Dann berechnet sich der Abstand des Punktes B von derGeraden b wie folgt:

d =

~a~b+(

(~b ~a) ~r~r ~r

) ~r

7.4 Ubungsaufgaben

1. Ein Vektor ~r mit |~r| = 7 und dem Anfangspunkt A(2, 1,1) hat die Koordina-ten rx = 2 und ry = 3. Bestimmen Sie die fehlende Koordinate rz des Vektorsund die Koordinaten seines Endpunkts.

2. Gegeben sind die Vektoren ~a = (2, 3, 0), ~b = (3, 4, 0) und ~c = (3,1, 0).Bestimmen Sie:

a) ~a ~cb) ~c ~ac) ~b ~a ~c

3. Von den Kraften#

Fi sind die Betrage Fi und die Winkel i gegen die x-Achsegegeben:

a) F1 = 100N 1 = 65

b) F2 = 150N 2 = 125

c) F3 = 250N 3 = 50Bestimmen Sie die Koordinaten Fix, Fiy fur i = 1, 2, 3.

4. Gegeben sind die Koordinaten Fix, Fiy der Krafte#

Fi:

a)#

F1 =

(3020

)N

b)#

F2 =

( 2535

)N

c)#

F3 =

( 1520

)N

d)#

F4 =

(4560

)N

Bestimmen Sie die Betrage Fi und die Winkel i gegen die x-Achse (i = 1, 2, 3, 4).

5. Gegeben sind die Vektoren ~a = (2, 3, 1) und ~b = (2,3,1).a) Berechnen Sie den Vektor ~c aus 2~a 3~c = 4~bb) Bestimmen Sie die Einheitsvektoren in Richtung von ~a und ~b.

6. Zum Vektor ~a soll ein Vielfaches des Vektors ~b addiert werden, so dass die

Summe von ~a und ~b senkrecht auf ~c steht. Wie muss man wahlen:

a) fur den allgemeinen Fall,

b) fur die speziellen Vektoren

~a =

611

, ~b = 031

, ~c = 23

5

?7. Gegeben sind die Vektoren ~a = (2, 1) und ~b = (1, 2).

a) Bestimmen Sie die Vektoren ~a+~b und ~a~b sowie die zugehorigenEinheitsvektoren.

b) Wie gro sind die Winkel 1 = (~a,~i), 2 = (~b,~j) und 3 = (~a,~b)?c) Bestimmen Sie den Vektor ~c mit |~c| = 3, cy > 0 und ~c ~a.

8. Im Punkt A greifen drei Krafte an:

#

F1 =

435

N, # F2 = 221

N, # F3 = 122

N.a) Berechnen Sie die Koordinaten der resultierenden Kraft

#

F R und derenBetrag.

b) Wie gro sind die Winkel i = (#

FR,#

Fi) fur i = 1, 2, 3?

9. Gegeben sind drei aufeinanderfolgende Eckpunkte des Parallelogramms ABCDmit A(3, 2, 0), B(3,3, 1) und C(5, 0, 2). Gesucht ist:a) der vierte Punkt D,

b) Lange und Richtung der beiden Diagonalen AC und BD,

c) der Winkel zwischen AC und BD.

10. Gesucht sind alle Vektoren ~x in der xy-Ebene, die folgende Gleichung erfullen:

~a ~x = b mit ~a = (1, 3, 0) und b = 5

11. Berechnen Sie folgende Ausdrucke:

a) ~i (~j + ~k)~j (~i+ ~k) + (~i+~j ~k) ~kb) ~i

[~j (~k ~i) + (~j ~k)~i+ (~j ~i) (~j ~k)

]c) (3~a+ 5~b 2~c) (~a 2~b 4~c)d) (3~a+ 5~b 2~c) (~a 2~b 4~c)

12. Welchen Flacheninhalt hat das Parallelogramm, dessen Diagonalen durch die

Vektoren#

d1 = (3, 1,2) und #d2 = (1,3, 4) gegeben sind?13. Untersuchen Sie die folgenden Vektoren auf lineare Abhangigkeit. ErmittelnSie gegebenenfalls eine lineare Beziehung zwischen den Vektoren:

a) #a1 = (2,1, 3) und #a2 = (1, 2, 3)b)

#

b1 = (2,4,6 und #b2 = (3, 6, 9)c) #c1 = (1,2,3), #c2 = (1, 1, 2) und #c3 = (1,1, 0)d)

#

d1 = (2,1,3), #d2 = (1, 2, 3) und #d3 = (1, 0,1)

14. ~a, ~b und ~c seien beliebige Vektoren. Zeigen Sie, dass folgende Vektoren linearabhangig sind:

~x = ~b+ ~c 2~a, ~y = ~c+ ~a 2~b, ~z = ~a+~b 2~c

15. Gegeben sind die Vektoren

~a =

342

, ~b = 51

0

, ~c = 223

, ~d = 1111

.a) Untersuchen Sie ~a, ~b und ~c auf lineare Abhangigkeit.

b) Stellen Sie ~d als Linearkombination von ~a, ~b und ~c dar.

16. Gegeben sind die Punkte A(1, 2, 4), B(2,1, 3), C(6, 3,5) und D(7, 4, 1).a) Liegen die Punkte A,B,C auf einer Geraden?

b) Liegen die Punkte A,B,C,D in einer Ebene?

17. Gegeben sind die Vektoren ~a = (3, 4) und ~b = (1,2). Bestimmen Sie denSchnittpunkt P der Geraden g1: ~x = ~a + ~b mit der x-Achse und geben Sie dieGleichung der Geraden g2 an, die durch den Punkt P geht und senkrecht auf derGeraden g1 steht.

18. Gegeben sind die Punkte A(1, 3, 7), B(5, 4, 3) und C(6,5,4). GebenSie fur die Geraden AB, BC und CA jeweils eine Gleichung in Parameterdar-stellung an. Welche Winkel hat das Dreieck 4ABC?19. Gegeben sind die Geraden g und h:

a) g: Ursprungsgerade durch P (2,2, 2)h: {x = 2z 1, y = 2z + 1}

b) g:x

2=y

3= z

h: {x = z + 1, y = 4 z}

Zeigen Sie, dass sich die Geraden g und h schneiden. Welche Koordinaten hatder Schnittpunkt? Wie gro ist der Winkel zwischen g und h?

20. Gegeben sind die Punkte A(1, 5, 4) und B(4, 3, 2).a) Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden AB.

b) Liegt der Punkt C(4, 1, 2) auf der Geraden AB?