Date post: | 06-Feb-2018 |
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Projektleiter: Prof. Dr. Jurg Kramer
Institut fur Mathematik
Humboldt Universitat zu Berlin
Projektleiter: Prof. Dr. Gunter Torner
Fachbereich Mathematik
Universitat Duisburg-Essen
Mathematik Anders MachenEine Initiative zur Lehrerfortbildung
Materialien zum Kurs
Problemorientierung im Mathematikunterricht
Referenten
Prof. Dr. Torsten Fritzlar
und
Stephanie Schiemann
Problemorientierung im Mathematikunterricht
Theoretische Impulse und praktische Erfahrungen
Torsten Fritzlar & Stephanie Schiemann
Gymnasium i. E. SottrumMathematik Anders Machen
„Der Mensch soll lernen. Nur die Ochsen büffeln.“Erich Kästner
„Büffeln kann jeder; verstehen brauch Zeit.“Friedrich Dürrenmatt
Mathematik Anders Machen
Was ist ein Problem?
MathematikAnders Machen
Ein Projekt derDeutsche Telekom Stiftung
Gymnasium i. E. SottrumMathematik Anders Machen
Was ist ein Problem?
Wie lässt sich der Begriff „Problem“ in einer Weise definieren, die auch für mathematische Probleme bzw. Probleme für den Mathematikunterricht zutrifft?
Lassen Sie uns Gedanken(splitter) in einer Mindmap zusammentragen.
Definitionsvorschläge Mathematik Anders Machen
Klassische Problemtypen (Psychologie)
Schachspiel
9-Punkte-Problem
Ich möchte einenschönen Urlaub haben.
Mir soll esbesser gehen.
Mathematik Anders Machen
Eine Aufgabentypisierung
„didaktische Inversionen“; untypisch für authentisches
Mathematiktreiben Büchter & Leuders 2005
Mathematik Anders Machen
Problemwerkstatt Vorstellung der vier Problem-Stationen auf Folien Einteilung in vier Arbeitsgruppen
(möglichst 4 Teilnehmer pro Station)
Aufgabenstellung:A) Bestimmen Sie einen Protokollanten in der Gruppe. Im
Protokoll soll stichwortartig der Problemlöseprozess festgehalten werden.
B) Beschäftigen Sie sich in der Gruppe mit den mathematischen Problemen eurer Problemstation.
C) Sind die Probleme nach Ihrer Meinung so im MU einsetzbar oder welche Änderungen würden Sie vorschlagen?
Mathematik Anders Machen
Wie löst man ein mathematisches Problem?
Sie haben gerade einige Probleme bearbeitet. Wie sind Sie dabei vorgegangen?
Problemlösemodelle
Mathematik Anders Machen
Problemorientierter Mathematikunterricht
… ist ein Unterricht, in dessen Zentrum das eigenständige Bearbeiten mathematischer Probleme durch die Schülerinnen und Schüler steht.
„Mathematik im Entstehen“, „Erfinden von Mathematik“, die Erkenntnisprozesse beim Betreiben von Mathematik stehen also im Vordergrund.
langfristig: Erarbeiten von heuristischen Strategien für Erkenntnis- und Problemlöseprozesse
Mathematik Anders Machen
Leitideen eines problemorientierten Mathematikunterrichts
entdeckend lernen heuristisch arbeiten vernetzen kommunizieren und kooperieren
differenzierend fördern positive Einstellung zur und angemessenes Bild von
Mathematik
Gehirnforschung
Mathematik
Mathematikgeschichte
Gesellschaft
PädagogikPhilosophiePsychologie Mathematik Anders Machen
Forderungen
„Problem solving should be the central focus of the mathematics curriculum. As such, it is a primary goal of all mathematics instruction and an integral part of all mathematical activity. Problem solving is not a distinct topic but a process that should permeate the entire program and provide the context in which concepts and skills can be learned.”
(NCTM, 1989)
Mathematik Anders Machen
Zitat aus den Empfehlungen für den Mathematikunterricht an Gymnasien 12/97, S.12
„Es ist auf Dauer nicht wirkungsvoll, Schülerinnen und Schülern alles vorab kleinschrittig erklären zu wollen. Der Lernprozess ist effektiver, wenn die Lernenden Problemlösungen als Überwindung erlebter Schwierigkeiten erfahren.
Immer wieder wird betont, dass in der Schule das Lernen gelernt werden müsse. Dieses Unterrichtsziel wird durch rein demonstrierenden Mathematikunterricht nicht erreicht.
Obwohl sich selbstverständlich nicht der gesamte Stoff in entdeckendem Unterricht behandeln lässt, so müssen gleichwohl die Phasen entdeckenden Lernens ausgebaut werden.“
Link: 2.5.5 Problemorientierung, S.15/16 und 5 (Fazit): Unterrichtskultur S.28Mathematik Anders Machen
Forderungen
„Die Schülerinnen und Schüler lernen, sich auf Ungewohntes einzulassen und in nicht bereits bekannten und ausreichend gewohnten Situationen mathematische Lösungen zu suchen. Sie werden angeleitet, sich zu Aufgaben und Problemen mit mathematischem Inhalt zu äußern und Aufgaben und Sachsituationen als mathematisches Problem zu formulieren, verschiedene Lösungswege zu finden und zu präsentieren. … In diesem Unterricht haben die Schülerinnen und Schüler Gelegenheit offene mathematische Problemstellungen kooperativ zu bearbeiten, miteinander zu kommunizieren und gemeinsam nach Lösungen zu suchen.“
(Bildungsplan BaWü 2004, Hauptschule)
Mathematik Anders Machen
Am 01.08.2008 tritt in Brandenburg der neue Rahmenlehrplan Mathematik für die Sek. I
in KraftIn der Sek. I sollen Schülerinnen und Schüler in der Auseinandersetzung mit
mathematischen Inhalten folgende Kompetenzen entwickeln, S. 12
Mathematik Anders Machen
Da die herkömmliche Unterrichtspraxis vielfach an der Vermittlung von Fertigkeiten orientiert ist,
muss sich auch an der UnterrichtskulturGrundlegendes ändern.
Mathematik Anders Machen
Zitat aus dem neuen Brandenburger Kernlehrplan für die Sek. I, gültig ab 01.08.2008, S.13
Mathematik Anders Machen
Zitat aus dem neuen Brandenburger Kernlehrplan für die Sek. I, gültig ab 01.08.2008, S.17
Mathematik Anders Machen
Die Schülerinnen und Schüler werden zunehmend befähigt, mathematische Probleme selbstständig zu bearbeiten und können so Vertrauen in ihre Denkfähigkeit erlangen.
Mathematik Anders Machen
Unterrichtsrealität
Mathematics lessons are generally of the exposition –examples – exercises – mode.
(Schoenfeld, 1992)
„Mathematikunterricht in Deutschland [...] ist eher ein Wissenserwerbsunterricht, der auf die Beherrschung von Verfahren zielt“ und in dessen Schülerarbeitsphasen „nahezu ausschließlich Routineprozeduren“ geübt werden.
(Baumert et al. 1997:215)Mathematik Anders Machen
Das fragend-entwickelnde Unterrichtsgespräch, das oft auf eine einzige Lösung hinzielt, ist zentrales Element des Mathematikunterrichts in Deutschland.
(TIMSS; Krainer 2002; Blömeke, Eichler & Müller, 2003)
Mathematik Anders Machen
Contra Problemorientierung (?)
Stofffülle und der daraus resultierende Zeitdruck Schülervorstellungen vom und –erfahrungen aus dem
Mathematikunterricht Elternerwartungen Prüf- und Bewertungszwänge sprachliche Schwierigkeiten von Schülerinnen und
Schülern Eignung nur für leistungsstarke Schüler „Das mach ich doch sowieso schon!“
Mathematik Anders Machen
Weitere (?) Argumente
zentrale Vergleichs- und Abschlussarbeiten Klagen der Arbeitgeber über einen zunehmenden Mangel
an Kenntnissen und Fertigkeiten der Schulabgänger
Mathematik Anders Machen
Studentin mit Hauptfach Mathematik im letzten Semester der universitären Ausbildung, 23 Jahre, Vorerfahrungen durch ein Praxisseminar zur Arbeit mit mathematisch interessierten und begabten Schüler(inne)n
Auftrag: In einer 5. Klasse soll eine Mathematikstunde zu den Fibonaccizahlen problemorientiert gestaltet werden. Verschiedene Problemstellungen werden bereitgestellt, sie müssen aber nicht gewählt und können variiert werden.
Belinda entscheidet sich für „Über den Fluss“
Ein Beispiel: Belinda
Mathematik Anders Machen
Belindas Schüler(innen) sollen als Hauptziel der Stunde die Fibonacci-Zahlen kennen lernen, sich aktiv mit einer problemhaltigen Aufgabe auseinandersetzen, sensibilisiert werden für den Umgang mit relativ offenen
Aufgabenstellungen und lernen, wie man mit ihnen umgeht, vielfältige Ideen entwickeln, ausprobieren und die Lösungen
überprüfen. Durch die Arbeit in Gruppen sollen auch die sozialen Kompetenzen
der Schüler gesteigert werden. Sie sollen lernen, gemeinsam zu arbeiten, sich gegenseitig zu berücksichtigen und zu helfen und schließlich gemeinsam in der Gruppe zu einer Lösung kommen.
Belinda
Mathematik Anders Machen
„… das hat sie ganz gut gemacht, sehr klar, sehr überschauend und auch so altersgemäß ganz gut …
Ich fand die Stunde gut, weil ich eigentlich `n Freund davon bin, dass man spielerische Anteile in den Stunden drin hat …“
Mathematik Anders Machen
On the one hand, they are “in charge and responsible for the students’ activities. They decided what topics would be worked on and they had their own ideas of what knowledge students should acquire during the lessons.“
On the other hand, they want „the students to find out for themselves: to invent solutions to problems and to prove their validity”.
(Elbers zitiert nach Stehlikova, 2006)
Aber
Mathematik Anders Machen
Wichtige unterrichtsbezogene Aspekte von Problemen
Aktivierung kognitiv motivational emotional
Authentizität außermathematisch innermathematisch (prozessbezogen)
Mathematik Anders Machen
Bei Authentizität geht es nicht nur um oberflächlichen Realismus, sondern vor allem um die folgenden Aspekte: Welches Bild von Mathematik wird vermittelt bzw.
entsteht bei der Bearbeitung der Aufgaben? In welchem Verhältnis stehen die Aufgaben zu den
Bildungszielen des Mathematikunterrichts? Welche Qualität haben die mathematischen Tätigkeiten,
zu denen die Aufgaben anregen?
Authentizität
Mathematik Anders Machen
Schülerinnen und Schüler sollen Modellierungskompetenzenerwerben, die Wirkungsweise des Erkenntnis- und Gestaltungswerkzeuges Mathematik erleben und die Mathematikhaltigkeit unserer Welt erkennen. Authentische Modellierungsaufgaben müssen daher echte, sowohl einfache als auch komplexe Anwendungsbezüge von Mathematik aufzeigen.
Authentisches Modellieren
Mathematik Anders Machen
Modellierungsaufgaben sollen nicht nur gefällige, aber künstliche Einkleidungen
mathematischer Verfahren sein, nur oberflächlich-assoziative Mathematisierungen ohne
echten Blick auf Realsituationen sein, mit Ergebnissen aus dem Modell ohne Rückbezug auf
die Realsituation enden.
Authentisches Modellieren
Wie lang ist eine Schallplattenrille?
Mathematik Anders Machen
Schülerinnen und Schüler sollen Problemlösekompetenzen –insbesondere flexible Problemlösestrategien und eine angemessene Problemlösehaltung – aufbauen.
Authentisches Problemlösen
Mathematik Anders Machen
Problemstellungen sollten nicht Pseudoeinkleidungen in reale Kontexte als echte Anwendungen ausgeben
(sie dürfen aber durchaus für eine bessere Zugänglichkeit und Kommunizierbarkeit in einfache Situationen eingebettet werden),
scheinoffen sein, also nur einen Weg zu einem vorbestimmten Ziel ermöglichen,
Knobeleien sehr begrenzter Reichweite (hochspezifische Vorgehensweise, 0-1-Aufgaben) sein.
Authentisches Problemlösen
Mathematik Anders Machen
Schülerinnen und Schüler sollen bei der Beschäftigung mit Mathematik Argumentationskompetenzen entwickeln. Dazu gehört der Aufbau einer rationalen Begründungskultur ebenso wie ein angemessener Umgang mit Fehlern.
Authentisches Argumentieren
Mathematik Anders Machen
Argumentationsaufgaben sollten nicht den Wert einer Begründung an ihrer formalen Ausdrucksweise
messen, routinemäßigen Begründungsphrasen Vorschub leisten, die Anwendung der bewiesenen Behauptung auf die
Ausgangssituation übergehen.
Authentisches Argumentieren
Mathematik Anders Machen
Schülerinnen und Schüler sollen aktiv am Prozess der mathematischen Begriffsbildung beteiligt sein. Sie sollen mit mathematischen Begriffen Zusammenhänge erfassen und ein vernetztes mathematisches Wissen aufbauen. Dabei sollen sie auch das Entstehen mathematischer Begriffe aus der Anschauung und aus dem Problemlösen erleben.
Authentisches Begriffsbilden
Mathematik Anders Machen
Begriffsbildungsaufgaben sollten nicht fertige mathematische Begriffe lediglich einkleiden, Begriffe durch Mitteilen von Definitionen „vermitteln“, Unterschiede zwischen mathematischen und Alltagsbegriffen
vernachlässigen, eine Exploration und Anwendung neuer Begriffe vernachlässigen.
Authentisches Begriffsbilden
Mathematik Anders Machen
Mathematikaufgaben sind authentisch, wenn sie Schülerinnen und Schüler zu mathematischen Tätigkeiten anregen, die typisch für die Entstehung und Anwendung von Mathematik sind.
„Authentisch von der Sache her ist eine Problemstellung, wenn sie inner- oder außermathematisch relevant ist; dies setzt auch voraus, dass es sich tatsächlich um originäres mathematisches Denken – auf welchem Niveau auch immer – handelt und nicht um dessen curriculare Simulation oder formale Imitation, nicht um dessen Verschleifung in Plantagenaufgaben, die ihren Sinn längst ausgehaucht haben. Authentisch von den Lernenden her, also für den Lernenden, ist eine Problemstellung, wenn diese sich ihrer tatsächlich annehmen, sich auf sie einlassen, wobei dieser zweite Punkt unterrichtlich der entscheidende ist.“ (T. Jahnke)
Authentizität
Mathematik Anders Machen
SuS können nicht die gesamte Mathematik nacherfinden, auch aus Normierungsgründen muss ein gewisser Teil vorstrukturiert und fertig in den Unterricht mitgebracht werden.
Lernen im „Schonraum Schule“ kann niemals volle Authentizität erlangen. Beispielsweise bleiben Fehler ohne schwerwiegende Konsequenzen, für Lernprozesse sind sie sogar erwünscht.
Das Lernpensum übersteigt quantitativ und qualitativ die Dinge, die in „echten“ Situationen gelernt werden können.
(Büchter & Leuders, 2005)
Grenzen der Authentizität
Mathematik Anders Machen
Wichtige unterrichtsbezogene Aspekte von Problemen
Aktivierung kognitiv motivational emotional
Authentizität außermathematisch innermathematisch (prozessbezogen)
Offenheit
Mathematik Anders Machen
Eine Schulbuchaufgabe
Ein Taxifahrer berechnet 0,90 Euro je Kilometer und eine Grundgebühr von 2,50 Euro. Zeichne den Graphen der Funktion Weg Preis.
Wie viel kostet eine Fahrt von 7km Länge? Wie weit kann man für 11,50€ fahren?
Mathematik Anders Machen
„Öffnungen“
Ein Taxifahrer berechnet 0,90 Euro je Kilometer und eine Grundgebühr von 2,50 Euro. Stelle dies geeignet dar.
Erfinde ein Tarifmodell für einen Taxifahrer und stelle dies graphisch dar. Wie viel kostet eine Fahrt von 7km Länge?
Wie kann ein Tarifmodell aussehen, bei dem man für 11,50€eine Strecke von 10km fahren kann?
Mathematik Anders Machen
Variation der Ausgangssituation, Weglassen von Vorgaben oder Informationen
Öffnen des Bearbeitungsweges oder der Darstellungsart Öffnen des Zielzustandes Umkehr von Aufgaben Aufforderung zur Begründung / Strategiefindung Anwendungssuche für Modelle / Verfahren (vorwegnehmende Platzierung im Unterricht)
Techniken zum Öffnen von Aufgaben
Mathematik Anders Machen
Wichtige unterrichtsbezogene Aspekte von Problemen
Aktivierung kognitiv motivational emotional
Authentizität außermathematisch innermathematisch (prozessbezogen)
Offenheit Differenzierungsvermögen
Mathematik Anders Machen
Aufgaben mit gestuften Anforderungsniveaus
nicht geeignet: Ausweitung des technischen Aufwands Zerlegung eines längeren Bearbeitungsweges
sondern: Variation der Anforderungsart
Mathematik Anders Machen
Parallele Aufgaben
Variationen bezüglich Fülle: Reichhaltigkeit oder Vielgestaltigkeit der zu bearbeitenden
Beispiele Abstraktion: konkrete Objekte vs. ikonische vs. symbolische
Repräsentationen Komplexität: Transfer auf komplexere Fälle
Mathematik Anders Machen
„Selbstdifferenzierenden Aufgaben“
Schüler können mit unterschiedlichen Fähigkeiten, Zugängen und Arbeitsweisen Ergebnisse erzielen und sinnvoll in den Unterrichtsprozess einbringen.
Mathematik Anders Machen
Summenzahlen
Eine Zahl heißt Summenzahl, wenn sie als Summe aufeinander folgender Zahlen aufgeschrieben werden kann.
5 ist eine Summenzahl, denn 5 = 2+3.6 ist eine Summenzahl, denn 6 = 1+2+3.13 ist eine Summenzahl, denn ...
weiter
Mathematik Anders Machen
Doch für welche Zahlen gibt es mehrere Zerlegungen?
R. skizziert nebenstehende Tabelle, in der Summenzahlen entsprechend der jeweils möglichen Anzahl der Zerlegungen eingetragen werden sollen. G. trägt in die rechte Spalte sofort 15 = 1+2+3+4+5 ein …
Mathematik Anders Machen
*Alle Zahlen, die durch 3 teilbar sind, sind Summenzahlen.* … *Das kann ich beweisen, beispielsweise mit 333, denn 333 = 110+111+112.*
S. kann auch schwierige Beispiele sehr schnell bearbeiten:110 = 20+21+22+23+24 = 5+6+7+8+9+10+
11+12+13+14+15, denn *aus dem zweiten Teiler ergibt sich die Mittelzahl.*
*Jede ungerade Zahl kann als Summe zweier Zahlen dargestellt werden. Außerdem liefert jeder [weitere] ungerade Teiler der Zahl [größer 1] eine weitere Zerlegung.*
Mathematik Anders Machen