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Vorlesung Mathematik 1 Prof. Dr. M. Herty MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 10
Vorlesung
Mathematik 1Prof. Dr. M. Herty
Diese Vorlesung:
Uneigentliche IntegraleAufgaben
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 10
Vorlesung
Mathematik 1Prof. Dr. M. Herty
Diese Vorlesung:
Uneigentliche IntegraleAufgaben
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 10
Uneigentliche Integrale
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 2 / 10
UNEIGENTLICHE INTEGRALE
∫ ∞a
f (x) dx =
limb→∞
∫ b
af (x) dx
∫ b
−∞f (x) dx =
lima→−∞
∫ b
af (x) dx
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx
Satz uber majorisierte Kovergenz (wie bei Reihen):
|f (x)| ≤ |g(x)|,∫ b
a|g(x)| dx existiert
⇒∫ b
af (x) dx existiert
Achtung! Links Betrage, rechts nicht
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 3 / 10
UNEIGENTLICHE INTEGRALE∫ ∞a
f (x) dx =
limb→∞
∫ b
af (x) dx
∫ b
−∞f (x) dx =
lima→−∞
∫ b
af (x) dx
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx
Satz uber majorisierte Kovergenz (wie bei Reihen):
|f (x)| ≤ |g(x)|,∫ b
a|g(x)| dx existiert
⇒∫ b
af (x) dx existiert
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UNEIGENTLICHE INTEGRALE∫ ∞a
f (x) dx = limb→∞
∫ b
af (x) dx
∫ b
−∞f (x) dx =
lima→−∞
∫ b
af (x) dx
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx
Satz uber majorisierte Kovergenz (wie bei Reihen):
|f (x)| ≤ |g(x)|,∫ b
a|g(x)| dx existiert
⇒∫ b
af (x) dx existiert
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UNEIGENTLICHE INTEGRALE∫ ∞a
f (x) dx = limb→∞
∫ b
af (x) dx
∫ b
−∞f (x) dx =
lima→−∞
∫ b
af (x) dx
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx
Satz uber majorisierte Kovergenz (wie bei Reihen):
|f (x)| ≤ |g(x)|,∫ b
a|g(x)| dx existiert
⇒∫ b
af (x) dx existiert
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UNEIGENTLICHE INTEGRALE∫ ∞a
f (x) dx = limb→∞
∫ b
af (x) dx
∫ b
−∞f (x) dx = lim
a→−∞
∫ b
af (x) dx
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx
Satz uber majorisierte Kovergenz (wie bei Reihen):
|f (x)| ≤ |g(x)|,∫ b
a|g(x)| dx existiert
⇒∫ b
af (x) dx existiert
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UNEIGENTLICHE INTEGRALE∫ ∞a
f (x) dx = limb→∞
∫ b
af (x) dx
∫ b
−∞f (x) dx = lim
a→−∞
∫ b
af (x) dx
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx
Satz uber majorisierte Kovergenz (wie bei Reihen):
|f (x)| ≤ |g(x)|,∫ b
a|g(x)| dx existiert
⇒∫ b
af (x) dx existiert
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UNEIGENTLICHE INTEGRALE∫ ∞a
f (x) dx = limb→∞
∫ b
af (x) dx
∫ b
−∞f (x) dx = lim
a→−∞
∫ b
af (x) dx
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx
Satz uber majorisierte Kovergenz (wie bei Reihen):
|f (x)| ≤ |g(x)|,∫ b
a|g(x)| dx existiert
⇒∫ b
af (x) dx existiert
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UNEIGENTLICHE INTEGRALE∫ ∞a
f (x) dx = limb→∞
∫ b
af (x) dx
∫ b
−∞f (x) dx = lim
a→−∞
∫ b
af (x) dx
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx
Satz uber majorisierte Kovergenz (wie bei Reihen):
|f (x)| ≤ |g(x)|,∫ b
a|g(x)| dx existiert
⇒∫ b
af (x) dx existiert
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UNEIGENTLICHE INTEGRALE∫ ∞a
f (x) dx = limb→∞
∫ b
af (x) dx
∫ b
−∞f (x) dx = lim
a→−∞
∫ b
af (x) dx
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx
Satz uber majorisierte Kovergenz (wie bei Reihen):
|f (x)| ≤ |g(x)|,∫ b
a|g(x)| dx existiert ⇒
∫ b
af (x) dx existiert
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UNEIGENTLICHE INTEGRALE∫ ∞a
f (x) dx = limb→∞
∫ b
af (x) dx
∫ b
−∞f (x) dx = lim
a→−∞
∫ b
af (x) dx
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx
Satz uber majorisierte Kovergenz (wie bei Reihen):
|f (x)| ≤ |g(x)|,∫ b
a|g(x)| dx existiert ⇒
∫ b
af (x) dx existiert
Achtung! Links Betrage, rechts nichtMICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 3 / 10
UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤
√x ,
∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤
√x ,
∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤
√x ,
∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,
∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤
√x
x2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx =
[−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :=
{ √x x ≤ 1
x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx =
limb→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
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UNEIGENTLICHE INTEGRALEBeispiel: Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integralkonvergiert: ∫ ∞
0f (x) dx, f (x) =
√x
1 + x2
Losung: Aufteilen in zwei Integrale:∫ ∞0
√x
1 + x2 dx =
∫ 1
0
√x
1 + x2 dx +
∫ ∞1
√x
1 + x2 dx
x ≤ 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √x ,∫ 1
0x1/2 dx =
[23
x3/2]1
0=
23.
x > 1⇒∣∣∣∣ √x1 + x2
∣∣∣∣ ≤ √xx2 = x−3/2,
∫ b
1x−3/2 dx = [−2x−1/2]b1.
g(x) :={ √
x x ≤ 1x−3/2 x > 1
},
∫ ∞0|g(x)| dx = lim
b→∞
∫ b
0g(x) dx =
23+2
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 10
UNEIGENTLICHE INTEGRALEAufgabe: Berechnen Sie das Integral∫ ∞
0f (x)dx, f (x) =
x1 + x3
Losung:
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 10
UNEIGENTLICHE INTEGRALEAufgabe: Berechnen Sie das Integral∫ ∞
0f (x)dx, f (x) =
x1 + x3
Losung:
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 10
Aufgabe zur partiellen Integration
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 6 / 10
PARTIELLE INTEGRATIONAufgabe: Berechnen Sie das Integral
∫ π/2
0cos(x)3dx
Losung:
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 7 / 10
PARTIELLE INTEGRATIONAufgabe: Berechnen Sie das Integral∫ π/2
0cos(x)3dx
Losung:
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 7 / 10
PARTIELLE INTEGRATIONAufgabe: Berechnen Sie das Integral∫ π/2
0cos(x)3dx
Losung:
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 7 / 10
Aufgabe zur Substitution
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 10
g(x) = 2 arctan(x), g−1(y) = tan(y/2), g′(x) =2
1 + x2, sin(g(x)) =
2x1 + x2
, cos(g(x)) =1− x2
1 + x2
Aufgabe: Berechnen Sie das Integral∫ π/2
0
12 + sin(x)
dx
Losung:
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 10
g(x) = 2 arctan(x), g−1(y) = tan(y/2), g′(x) =2
1 + x2, sin(g(x)) =
2x1 + x2
, cos(g(x)) =1− x2
1 + x2
Aufgabe: Berechnen Sie das Integral∫ π/2
0
12 + sin(x)
dx
Losung:
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 10
g(x) = 2 arctan(x), g−1(y) = tan(y/2), g′(x) =2
1 + x2, sin(g(x)) =
2x1 + x2
, cos(g(x)) =1− x2
1 + x2
Aufgabe: Berechnen Sie das Integral∫ π/2
0
12 + sin(x)
dx
Losung:
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 10
Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 10
