Mathematik-Repetitorium Komplexe Zahlen 1
Mathematik-Repetitorium
Komplexe Zahlen8.1 Definition
8.2 Die Gaußsche Zahlenebene
8.3 Potenzen und Wurzeln
8.4 Die Eulersche Formel
8.5 Gebiete der komplexen Ebene
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• außerordentlich wichtige Rolle in Elektrotechnik und allgemein in
Ingenieurs- und Naturwissenschaften
• z.B. Beschreibung einer elektrischen Welle oder Schwingung viel einfacher
in komplexer Darstellung
• „Natürliches“ Auftreten:
Problem 1:
Problem 2:
• (G. Cardano 1545, R. Bombelli 1578, L. Euler 1777,
C.F. Gauß, A.L. Cauchy 1840)
8. Komplexe Zahlen
Einführung
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8. Komplexe Zahlen
8.1 DefinitionVorbemerkung: reelle Zahlen
1. Natürliche Zahlen
2. Negative Zahlen
3. Rationale Zahlen
4. Irrationale Zahlen
reelle Zahlen Punkte auf der reellen Achse
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8. Komplexe Zahlen
komplexe Zahlen
imaginäre Einheit:
Regeln für komplexe Zahlen
a) Gleichheit
reelle Zahl:
imaginäre Zahl:
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8. Komplexe Zahlen – Regeln für komplexe Zahlen
b) Rechenregeln
1) Addition
2) Subtraktion
3) Multiplikation
4) Division
Regeln der reellen Arithmetik mit
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8. Komplexe Zahlen – Regeln für komplexe Zahlen
c) Konjugation und Betrag
konjugiert komplexe Zahl:
Betrag:
Beispiel 8.1:
zu berechnen: Summe, Differenz, Produkt, Quotient,Betrag, Konjugierte
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8. Komplexe Zahlen
Eigenschaften komplexer Zahlen
Kommutativität:
Assoziativität:
Distributivität:
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8. Komplexe Zahlen – Eigenschaften komplexer Zahlen
Verwendung der Konjugierten:
Rechenregeln:
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8. Komplexe Zahlen – Eigenschaften komplexer Zahlen
Beispiele:
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8. Komplexe Zahlen
8.2 Die Gaußsche Zahlenebene
Grafische Darstellung von z : Punkt in Ebene
Gerichtete Strecke : „Zeiger“
a, b: kartesische Koordinaten
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8. Komplexe Zahlen – die Gaußsche Zahlenebene
Addition:
Subtraktion: Betrag:
Gewichtung:
Multiplikation / Division ? Polarkoordinaten
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8. Komplexe Zahlen – die Gaußsche Zahlenebene
Polarkoordinaten
nicht eindeutig
Betrag Einheitszeiger inRichtung von z
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8. Komplexe Zahlen – Polarkoordinaten
Multiplikation
Beträge multiplizieren, Winkel addieren!
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8. Komplexe Zahlen – Polarkoordinaten
Kehrwert / Division
Beträge dividieren, Winkel subtrahieren!
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8. Komplexe Zahlen – die Gaußsche Zahlenebene
Beispiel
a) zu berechnen: ,
b) zu berechnen:
c) zu berechnen:
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8. Komplexe Zahlen
8.3 Potenzen und Wurzeln
Potenzen:
Quadratwurzel:
⇒
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8. Komplexe Zahlen – Potenzen und Wurzeln
n-te Wurzel:
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8. Komplexe Zahlen – Potenzen und Wurzeln
Beispiele:
: Tafel
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8. Komplexe Zahlen
8.4 Die Eulersche Formel
1) gute Abkürzung: Rechenregeln der Exponentialfunktion anwendbar2) sinnvolle Erweiterung der e-Funktion
damit kompakt schreibbar: Beispiel 8.4:
Tafel
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8. Komplexe Zahlen
8.5 Gebiete der komplexen EbeneBeispiele:
• Einheitskreisscheibe: • Streifen:
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8. Komplexe Zahlen
Übersicht
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8. Komplexe Zahlen
Einige Beispiele zum Nachdenken1)
2)
3) Es seien , auf dem Einheitskreis.Wie ist die Lage von , , ?
4) Interpretation von bei beliebigem ?
5) Üben z.B.:
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Aufgaben im Tutorium
Buch:
A 9.1: 1), 2), 4), 6)
A 9.2: 2)
A 9.3: 1)
A 9.5
A 9.6
A 9.7 2)
A 9.9
A 9.10
A 9.11 2), 3)
A 9.12 3), 4)
A 9.13
