Makroskopische Hydrodynamik - Finite Volumen Methoden für...

Partielle DierentialgleichungenErhaltungssätze

Hyperbolische PDGL 1. OrdnungFinite-Volumen-Methode

Makroskopische HydrodynamikFinite Volumen Methoden für hyperbolische Probleme

Peter-Simon Dieterich

Hauptseminar Moderne Simulationsmethoden in der Physik

28. Januar 2010

Peter-Simon Dieterich Makroskopische Hydrodynamik



Übersicht

1 Partielle Dierentialgleichungen

2 ErhaltungssätzeMassenerhaltungImpulserhaltungAllgemeine FormBeispiele

3 Hyperbolische PDGL 1. OrdnungCauchy-ProblemLösung des linearen Cauchy-ProblemsRiemann-ProblemLösung des linearen Riemann-Problems

4 Finite-Volumen-Methode




partielle Dierentialgleichungen

eine partielle Dierentialgleichung ist eine Gleichung für eineunbekannte Funktion mit mindestens zwei partiellenAbleitungen

Keine einheitliche bzw. abgeschlossene Theorie existent

Theorie und Lösungsverfahren meist nur auf kleine Gruppevon Gleichungen anwendbarKeine eindeutige Klassikation der Gleichungstypen

elliptisch

parabolisch

hyperbolisch




Partielle Dierentialgleichungen

Laplace-Gleichung

∆u = 0

Modellierung von Potentialen einer inkompressiblen Flüssigkeit

Modellierung eines stationären Temperaturfeldes

Beispiel für eine elliptische PDGL.

Diusionsgleichung

∂tu = ∆u

Modellierung der Temperaturverteilung eines Körpers durchWärmeleitung

Modellierung der Diusion eines Stoes

Beispiel für eine parabolische PDGL.




Wellengleichung

∂2tu = ∆u

Modellierung von Saiten, Membranen, Lichtausbreitung imVakuum oder Oberächenwellen

Beispiel für eine hyperbolische PDGL.




MassenerhaltungImpulserhaltungAllgemeine FormBeispiele

Massenerhaltung

Die Massenerhaltung in einem Kontinuum ist gegeben durch

d

dt

∫Ωt

ρdx = 0,

wobei ρ(x, t) die Dichte angibt.Dies ist mit dem Reynolds'schem Transportsatz äquivalent zu∫

Ωt

∂ρ

∂tdx+

∫∂Ωt

ρv · ndx = 0.

Da die Gleichungen für alle Kontrollvolumen Ωt geltenerhalten wir, falls ρ und v glatt genug sind, die dierentielle

Form des Erhaltungssatzes

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0.





Impulserhaltung

Der Impulserhaltungssatz lautet∫Ωt

ρ(∂tv+ (v · ∇)v) − divσ− ρ fdx = 0,

wobei σ der Cauchy'sche Spannungstensor und f einemassenbezogene Kraftdichte ist.

Für hinreichend glatte ρ, v,σ lautet die dierentielle Form

ρ

(∂v

∂t+ (v · ∇)v

)= divσ+ ρ f.





Allgemeine Form

Wir beschränken uns im Folgenden auf eine Raumdimension.

Denition

Sei Ω eine oene Teilmenge des Rm und sei f : Ω→ Rm glatt.Dann nennen wir das System der m Gleichungen

∂tq(x, t) + ∂xf(q(x, t)) = 0,

wobei q : R×R+ → Ω, System von Erhaltungssätzen.Man nennt f Flussfunktion und q Erhaltungsgröÿe.





Mit der Jacobi Matrix A(x) = Df(x), x ∈ Ω folgt mit derKettenregel

∂tq+A(q)∂xq = 0.

Gleichungen dieses Typs nennt man quasilinear.Die Erhaltung der Gröÿe q wird oensichtlich, wenn wir dieIntegralform für I = [x1, x2] ⊂ R

d

dt

∫Iq(x, t)dx = −f(q(x, t))|I

des Systems betrachten.Wenn wir auÿerdem annehmen, dass lim|x|→∞ q(x, t) = 0 undf(0) = 0, dann liefert eine Integration über das Zeitintervall[0, t] und I = R ∫

R

q(x, t)dx =

∫R

q(x, 0)dx.





Beispiele

Beispiel (Advektionsgleichung)

∂tq+ c∂xq = 0, c ∈ R

Beispiel (Burgersgleichung, nicht viskos)

∂tq+ q∂xq = 0

Beispiel (Linearisierte Eulergleichungen)

∂t

(p

u

)+

(0 K

ρ−1 0

)∂x

(p

u

)= 0.




Cauchy-ProblemLösung des linearen Cauchy-ProblemsRiemann-ProblemLösung des linearen Riemann-Problems

Hyperbolische partielle Dierentialgleichungen 1. Ordnung

Denition

Das System∂tq+ ∂xf(q) = 0

heiÿt hyperbolisch in x ∈ Ω, wenn die Jacobi-Matrix A(x) = D f(x)diagonalisierbar ist und nur reelle Eigenwerte besitzt.Das System heiÿt hyperbolisch, wenn es für alle x ∈ Ωhyperbolisch ist.





Cauchy-Problem

Cauchy-Problem

Finde q : R×R+ → Ω, so dass q das System

∂tq+ ∂xf(q) = 0

löst und die Anfangswertbedingung

q(x, 0) = q0(x), ∀x ∈ R

erfüllt, wobei q0 : R→ Ω eine gegebene Funktion ist.





Lösung des linearen Cauchy-Problems

Wir betrachten für eine diagonalisierbare m×m Matrix A dasProblem

qt +Aqx = 0, q(x, 0) = q0(x)

für gegebenes q0(x) : R→ Ω.∃ Matrix R = (r1, r2, . . . , rm) aus Rechtseigenvektoren rp, sodass R−1AR = Λ mit Λ = diag(λ1, . . . , λm).In den Variablen w = R−1q reduziert sich das System auf mGleichungen

wpt + λpwx = 0, p = 1, . . . ,m

mit den aus der Advektionsgleichung bekannten Lösungen

wp(x, t) = wp(x− λpt, 0) = wp0 (x− λpt),

wobei w0(x) = R−1q0(x).





Somit erhalten wir als Lösung

q(x, t) =

m∑p=1

wp(x, t)rp

q(x, t) ist Superposition von m Wellen mitAusbreitungsgeschwindigkeit λp.

Man nennt die Funktionen wp(x, t) charakteristische

Variablen

und die Kurven X(t) = x0 + λpt, entlang denenwp(x, t) = wp(x0, 0) gilt, p-Charakteristiken.





Riemann-Problem

Bisher haben wir angenommen, dass q0 bzw. q hinreichendglatt sind.

Wählen wir q0 als nicht dierenzierbar, dann ist unsere ebenerhaltene Lösung

q(x, t) =

m∑p=1

wp(x, t)rp

keine Lösung mehr im klassischen Sinne. (Stichwort schwacheLösung)

Besitzt q0 Singularitäten, dann sicher auch eine dercharakteristischen Variablen.

Ausbreitung nur möglich entlang der Charakteristiken





Riemann-Problem für ein lineares System

Das Riemann-Problem besteht aus einem linearen hyperbolischenSystem zusammen mit der Anfangsbedingung

q0(x) =

ql wenn x < 0,

qr wenn x > 0,

für ql,qr ∈ R, ql 6= qr.





Lösung des linearen Riemann-Problems

Zerlege ql und qr

ql =

m∑p=1

wpl rp und qr =

m∑p=1

wpr rp

Es ist

wp(x, t) = wp0 (x− λpt) =

wpl wenn x− λpt < 0,

wpr wenn x− λpt > 0,

Wir können nun unsere Lösung q schreiben als

q(x, t) =

m∑p=1

wp(x, t)rp =∑

p:λp<x/t

wpr rp +

∑p:λp>x/t

wpl rp.





Der Sprung an der p-ten Charakteristik beträgt gerade

Wp := αprp := (wpr −w

pl )r

p

und ist somit ein Eigenvektor von A.Löse also das lineare Gleichungssystem

Rα = qr − ql.

Die Lösung ergibt sich dann zu

q(x, t) = ql +∑

p:λp<x/t

Wp = ql +

m∑p=1

H(x− λpt)Wp

oder äquivalent

q(x, t) = qr −

m∑p=1

H(λpt− x)Wp

.Peter-Simon Dieterich Makroskopische Hydrodynamik



Finite-Volumen-Methode

Finite-Volumen-Methode

numerisches Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen

Diskretisierung des Raumes in Zellen

Statt q werden die Zellmittelwerte von q

Qni ≈1∆x

∫Zelle i

q(x, tn)dx

approximiert

In jedem Zeitschritt wird mithilfe des Flusses die Änderungder Gröÿe Qni bestimmt

konservativ, da aus Integralform hergeleitet




CFL-Bedingung

CFL-Bedingung

benannt nach Courant, Friedrichs und Lewy

notwendige Bedingung für Stabilität

maxp

|λp| 6∆x

∆t

d.h. Informationen dürfen sich in einem Zeitschritt nicht mehrals eine Zelle weit ausbreiten




Godunov-Methode

Godunov-Methode1 Konstruiere auf den Zellen stückweise konstantes Polynom aus

den Zellmittelwerten Qni2 Entwickle die hyperbolische Gleichung bis zum nächsten

Zeitschritt, durch Lösung/Approximation desRiemann-Problems

3 Qn+1i durch Mittelung der erhaltenen Lösung über jede Zelle




Vor- und Nachteile

Vorteile

konservativ

begrenzter Rechenaufwand und wenig Speicherbedarf, dameistens explizit

auch für groÿe Probleme (3D) geeignet

Nachteile

nur einfache Geometrien

Beschränkung an den Zeitschritt




Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit


Date post:	14-Jun-2020
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