Ma it Spiralen

(Schule) (Wohnort)

Facharbeit in Mathematik

Spiralen

vorgelegt von Maximilian Löber

20xx

(Schule) (Wohnort) Facharbeit im Leistungskurs Mathematik Jahrgangsstufe 12. Schuljahr 20xx/20xx Fachlehrer: StR Schuldt Fach: Mathematik (Leistungskurs) Themenstellung: 14.02.20xx Abgabe: 28.03.20xx Thema der Facharbeit: Spiralen Von Galaxien über Frischhaltefolie bis zu Schneckenhäusern. Spiralen existieren in Natur und Technik. Beschreiben und vergleichen Sie insbesondere archimedische und logarithmische Spirale.

Inhaltsverzeichnis 1 EINLEITENDES ......................................................................................................................................... 1

1.1 ÜBERBLICK........................................................................................................................................... 1 1.2 HISTORISCHES ...................................................................................................................................... 1 1.3 EINFÜHRUNG IN POLARKOORDINATEN ................................................................................................. 2 1.4 VERSCHIEDENE SPIRALTYPEN .............................................................................................................. 3

2 DIE ARCHIMEDISCHE SPIRALE.......................................................................................................... 5 2.1 DEFINITION........................................................................................................................................... 5 2.2 TANGENTENWINKEL ............................................................................................................................. 6 2.3 FLÄCHE................................................................................................................................................. 6 2.4 BOGENLÄNGE ...................................................................................................................................... 8 2.5 WEITERE EIGENSCHAFTEN ................................................................................................................... 9

3 DIE LOGARITHMISCHE SPIRALE..................................................................................................... 10 3.1 DEFINITION......................................................................................................................................... 10 3.2 KONSTANZ DES TANGENTENWINKELS ................................................................................................ 11 3.3 BOGENLÄNGE ..................................................................................................................................... 12 3.4 FLÄCHE .............................................................................................................................................. 13

4 VERGLEICH BEIDER SPIRALEN ....................................................................................................... 14 5 NACHWORT............................................................................................................................................. 15 6 ANHANG ...................................................................................................................................................... I 7 QUELLENNACHWEIS ............................................................................................................................ II

7.1 LITERATURVERZEICHNIS ...................................................................................................................... II 7.2 BILDNACHWEIS.................................................................................................................................... II

Facharbeit Mathematik Maximilian Löber Kapitel 1 – Einleitendes

1

1 Einleitendes

1.1 Überblick Das Phänomen der Spirale scheint in den Naturwissenschaften ein Schattendasein zu führen und wird bestenfalls im Praxisbezug untersucht. Tatsächlich jedoch finden sich Spiralen ver-schiedener Art in vielen Bereichen der Natur, in der Technik und in der Kunst. Beispiele sind

• auf biologischem Gebiet: Schneckenhäuser, die Anordnung von Pflanzenblättern oder auch nur der Wirbel im Haar des Menschen,

• in der Technik: Spiralfedern, die Datenspur einer CD oder so genannte Spiralturbinen, • in der Kunst: die Spirale als Symbol von mystischer Dimension in nahezu allen Kultu-

ren oder als beliebter Ausdruck von Verwirrung in Comics, um nur einige zu nennen. Selbst in den Sprachgebrauch hat es der Begriff der Spirale ge-schafft: Wir sprechen von der Spirale der Gewalt, Wirtschaftstheoretiker benutzen den Aus-druck Lohn-Preisspirale. Die mathematische Auseinandersetzung mit dem Phänomen ist also lohnenswert, um einer-seits praktische Anwendungen bewältigen zu können, aber auch, weil es sich um ein recht unkonventionelles Thema der Mathematik handelt, das den ein oder anderen verblüffenden Zusammenhang offenbart. In der Tat lassen sich mit dem Wissen um die Eigenschaften ver-schiedener Spiralarten Probleme angehen, die auf den ersten Blick mit jenen überhaupt nichts zu tun haben. Im Mittelpunkt dieser Arbeit stehen zwei besonders bedeutungsvolle Spiraltypen: die archi-medische und die logarithmische Spirale, die nach eingehender Untersuchung miteinander verglichen werden. Vorerst werden jedoch der geschichtliche Hintergrund geklärt und die Voraussetzung für eine mathematische Diskussion von Spiralen geschaffen. Dabei liegt die Beschränkung auf grundlegenden Elementen des polaren Koordinatensystems. Die Erschlie-ßung der Eigenschaften beider Spiralarten soll weniger mit den bewiesenen Formeln aus der Analysis erfolgen, sondern eher auf elementarer Ebene mit allgemeineren Methoden ablaufen.

1.2 Historisches Im Folgenden soll der Blick auf die Beschäftigung mit Spiralen in der Mathematikgeschichte gerichtet werden. Diese lässt sich zurückverfolgen bis zu Archimedes, der im 3. Jh. v. Chr. die Abhandlung „Über Spiralen“ veröffentlichte. Darin definierte er die Spirale, die heute nach ihm benannt ist. Des Weiteren fasste er sie als eine arithmetische Reihe auf und machte Angaben zur Kon-struierbarkeit. Obwohl es bis zu den ersten Begriffen zur Differentialrechnung noch lange hin war, bestimmte Archimedes schon zu seiner Zeit die Tangentenlage seiner Spirale. Selbst die eingeschlossene Fläche der ersten Spiralwindung bestimmte er mithilfe einzelner Sektoren. Damit griff er auch wesentliche Elemente aus der Integralrechnung voraus. Allein zur Rekti-fikation, d.h. zur Bestimmung der Bogenlänge des Spiralastes, schrieb er nichts. Natürlich waren Spiralen nur ein Gebiet unter vielen, mit denen sich Archimedes befasste, man nenne nur die von ihm erfundenen Hebelgesetze und die Überlegungen zur Kreiszahl π – dennoch prägte er entscheidend die Untersuchungen späteren Mathematiker zu diesem Thema. Vom 16. bis zum 18. Jahrhundert kamen schließlich neue Erkenntnisse und Methoden in Zusam-menhang mit Kurven, Koordinaten und Variablen auf. So gelang Isaac Barrow 1670 die Rek-


2

tifikation der archimedischen Spirale dank eines schon zuvor vorgenommenen Vergleichs mit einer Parabel.1 Die logarithmische Spirale wurde zuerst in einer Zeichnung Albrecht Dürers (1471-1528) gesichtet. Obgleich er ihre Eigenschaft kannte, sich dem Ursprung asymptotisch zu nähern, wusste er diese nicht zu definieren. Dies geschah erst durch René Descartes (1596-1650) und zwar über Proportionalität von Radius und Bogenlänge. Er war es auch, der die Konstanz des Tangentenwinkels feststellte. Fast zeitgleich gelang es Torricelli, die logarithmische Spirale über eine Gleichung in Polarkoordinaten zu definieren. Zudem bestimmte er sowohl ihre Bo-genlänge als auch die von ihr umschlossene Fläche.2

1.3 Einführung in Polarkoordinaten Anhand der allgemeinen Definition von Spiralen, die Proportionalität von Winkel und Radius, wird deutlich, dass sich für ihre mathematische Beschreibung die kartesischen Koordinaten, wie sie aus dem Schulunterricht bekannt sind, wenig eignen. Zudem kann man nicht von einer Funktion sprechen, da keine eindeutige Zuordnung gegeben ist. Es würden in einem kartesi-schen System bei einer Spirale sogar jedem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet, da sich die Spirale bis ins unendliche fortsetzt. Folglich scheiden nahezu alle in der Oberstufe bekannten Mittel zur Kurvendiskussion aus. Durch die Einführung eines neuen Koordinatensystems jedoch lässt sich die Spiralkurve mit einer Gleichung beschreiben und es ergeben sich neue Mittel, um die Kurve auf verschiedene Kriterien wie Bogenlänge oder Flächeninhalt zu untersuchen. In diesem System mit so genannten Polar-koordinaten kann jeder Punkt mit dem Winkel zur Polarachse und mit einem Ra-dius, also der Entfernung zum Ursprung, beschrieben werden. In Abb. 1.3.1 besitzt der Punkt P den Ab-stand r zum Ursprung O, wobei die Strecke OP den Winkel φ mit der senkrechten Po-larachse einschließt. Der Winkel wird für gewöhnlich im Bo-genmaß angegeben und nimmt in mathe-matischer Richtung, also gegen den Urzei-gersinn, zu.

Abb. 1.3.1: Polarkoordinaten

Da sowohl φ als auch r gerichtete Größen sind, können sie negative Werte annehmen. Doch weil Streckenlängen immer positiv sein müssen, legt man für fest:

);();(; 21 πϕϕ +=−∈ rPrPIRr 3 oder anders formuliert: );( ϕrP −′ ist die Punktspiegelung von );( ϕrP an O.

1 vgl. HEITZER, Spiralen. 1998, S. 36-50 2 ebd. S.52-59 3 STEINBERG, Polarkoordinaten. 1993, S. 20


3

Abb. 1.3.2: Beziehung zwischen polaren und kartesischen Koordinaten

Nun lassen sich polare und kartesische Koordinaten in-einander umwandeln. Wie aus Abb. 1.3.2 ersichtlich, lässt sich dies mit Hilfe der trigonometrischen Funktio-nen realisieren:

22

1

arctantan

sincos

yxr

xy

xy

ryrx

+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

==

−

ϕ

ϕϕ

Durch die Periodizität des Polarwinkels4 lassen sich gleiche Punkte mit demselben Radius mit unendlich vielen verschiedenen Winkeln beschreiben, deren Differenz jedoch ein Vielfaches von 2π sein muss. Dennoch oder gerade aus diesem Grund können im polaren Koordinaten-system selbst Kurven durch Funktionen beschrieben werden, die die Polarachse (und auch Gerade, die durch den Pol geht) mehrmals schneiden. 5

1.4 Verschiedene Spiraltypen „Eine Spirale ist eine ebene Kurve, die aus unendlich vielen Windungen um einen festen Punkt besteht und aus höchstens zwei Ästen zusammengesetzt ist, bei denen der Abstand vom Mittelpunkt streng monoton vom Drehwinkel abhängt“.6 Dies ist eine von mehreren in der Mathematikgeschichte aufgekommenen Definitionen. Es sei auf Spiralgleichungen hingewiesen, die trigonometrische Funktionen enthalten, also keine strenge Monotonie aufweisen und somit nicht unter diese Definition fallen würden. Von der oben genannten Definition ausgehend lassen sich diverse Abhängigkeiten des Radius vom Drehwinkel erzeugen, die Spiralgraphen unterschiedlichster Formen zur Folge haben. Folgende Spiralen wurden allesamt mit der Ortslinienfunktion der Euklid Dynageo-Software erzeugt. Auf die Vorgehensweise wird im Kapitel Archimedische Spirale und im Anhang noch konkret eingegangen. Der blass gezeichnete Spiralast umfasst den Bereich -. Mit dessen Einbeziehung geht auch die Monotonie auf dem gesamten Definitionsbereich verloren und folglich fallen derartige Spiralen streng genommen nicht mehr in die obige Definition. Dennoch soll der zweite Ast Erwähnung finden, da er Charakteristika einiger Spiralen gut herausstellt. Aus demselben Grund besitzt der konstante Vorfaktor a der abgebildeten Kurven unterschiedliche Werte. Er ermöglicht eine „Skalierung“ der Spiralen, sodass man einen aussagekräftigen Bildausschnitt erhält. Des Weiteren wird der Intervall [-6π; 6π] für φ verwendet, falls dies der entsprechende Definitionsbereich zulässt.

4 infolge der Periodizität der trigonometrischen Funktionen, in denen φ enthalten ist 5 vgl. HEITZER, Spiralen. 1998, S.161 6 HEITZER, Spiralen. 1998, S.12


4

Exponent von a und r ungerade – Symmetrie zur Orthogonalen der Polarachse; D =

Exponent von a und r gerade – Punktsym-metrie zum Ursprung; D = +

Archimedische Spi-rale

ϕar =

a = 0,5

Fermatsche Spirale

ϕ22 ar =

a = 1,7

ϕ33 ar = a = 2,3

ϕ44 ar = a = 2,6

Exponent von φ gerade – Symmetrie zur Po-larachse; D =

Exponent von φ ungerade – Symmetrie zur Orthogonalen der Polarachse; D =

Galileische Spirale

2ϕar = a = 0,038

3ϕar = a = 0,003

Ungerader negativer Exponent in φ – Symmet-rie zur Orthogonalen der Polarachse D = *

Gerader negativer Exponent in φ – Symmet-rie zur Polarachse D = +

Hyperbolische Spi-rale

ϕar =

a = 5

Lituus

ϕ

22 ar =

a = 8,44

Logarithmische Spirale

ϕaerr 0=

a = 0,5

Facharbeit Mathematik Maximilian Löber Kapitel 2 – Die archimedische Spirale

5

2 Die Archimedische Spirale

2.1 Definition Das Programm Euklid Dynageo stellt eine gute Möglichkeit dar, sich auf anschauliche Art und Weise dem Thema zu nähern. Dazu ist die Spirale als die Bahn jenes Punktes zu verste-hen, der sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einem Halbstrahl von dessen Endpunkt aus-gehend bewegt, der zugleich mit konstanter Geschwindigkeit um ein festes Zentrum rotiert.

Abb. 2.1.1: kinematische Erzeugung einer archimedi-schen Spirale

Abb. 2.1.2: Archimedische Spirale in +

Es gilt: ( ) ( ) tttvtr ⋅=⋅= ωϕ und 7

Nun lässt sich t aus beiden Gleichungen per Gleichsetzung eliminieren, so dass gilt:

ϕωω

ϕ vrvr

=⇒=

Damit ergibt sich eine direkte Abhängigkeit des Radius vom Drehwinkel und zwar eine Proportionalität, dessen Proportionalitätsfak-

torωv ist und in der Literatur auch als a be-

zeichnet wird. Die archimedische Spirale besteht also aus einer Kurve, die im Ursprung beginnt und sich unendlich fortsetzend mit wachsendem Abstand r um jenen windet. Dies ist der Fall für φ∈ +. Wie sieht der Graph aber für nega-tive Winkel aus? Es entsteht ein zweiter Spi-ralast, der mit dem ersten eine Symmetrie an der Orthogonalen der Polarachse aufweist. Diesen zweiten Ast sah Archimedes zwar nicht vor, er findet aber in neueren Spiralde-finitionen Erwähnung.

Für die archimedische Spirale gilt also:

( ) 0 und IRmit ≠∈= aar ϕϕϕ Charakteristisch für diese Spiralform ist der konstante Windungsabstand, der sich mit

ard ππ 2)2( == bestimmen lässt. Für wachsende a wird die Spirale also gestreckt, für klei-ner werdende a gestaucht. Für a = 0 sind alle Radien 0, somit besteht die Spirale nur aus ei-nem Punkt. Für negative a wird die Spirale am Ursprung punktgespiegelt, da der Radius für positive φ negativ wird und sich somit auf der „anderen Seite“ des Ursprungs befindet.

7 Formeln zitiert nach HEITZER, Spiralen. 1998, S. 74


6

2.2 Tangentenwinkel Aus dem vorangegangenen Kapitel geht hervor, dass die archimedische Spirale die Bahn ei-nes Punktes ist, der eine Radial- und eine lineare Geschwindigkeit besitzt. Folglich ist seine Geschwindigkeit die Resultierende beider Vektoren. So lässt sich die schon erwähnte Abbil-dung (hier Abb. 2.2.1) unter einem neuen Aspekt sehen: Die parallel zum Radius ge-richtete Komponente ist v0, senkrecht dazu die vom Radius abhängige Drehgeschwin-digkeit ω0r(t). Es gilt:

( )

ϕγϕωω

γ arctantan 00

0 =⇒=== tv

tr 8

Abb. 2.2.1: Das Geschwindigkeitsparallelogramm eines Punktes auf der archimedischen Spirale

2.3 Fläche Ähnlich wie bei der Herleitung des Integrationsbegriffes zur Flächenberechnung unter Funk-tionsgraphen kann auch die von der ersten Spiralumdrehung eingeschlossene Fläche mit Hilfe von Ober- und Untersummen berechnet werden. Im polaren Koordinatensystem dienen allerdings Kreisstücke und nicht Rechtecke zur Nähe-rung des gesuchten Flächeninhalts.

2

21 rKreisstückA ⋅= α

Das Intervall [0; φb] sei in n gleich große Kreissegmente unterteilt. Dann ist n

bϕα = und

( ) ϕϕ afr == .

( )

( )

( )( )( )( )

6121

2

1...102

121...1

210

21

121...1

210

21

3

32

23

32

222

222

−−⋅=

−+++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−⋅⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅=

nnnn

a

nn

a

nan

nna

nna

n

nnf

nnf

nnf

nU

b

b

bbbbbb

bbbbbbn

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

Analog dazu die kann die Obersumme bestimmt werden, welche sich von der Untersumme nur durch den Zusatz des größten Kreissegments unterscheidet.

8 in Anlehnung an HEITZER, Spiralen. 1998, S.75


7

( )( )( )

6121

2

...412

3

32

23

32

++⋅=

+++=

nnnn

a

nn

aO

b

bn

ϕ

ϕ

Für wachsende n, das heißt für eine zunehmende Zahl von Kreissegmenten, nähert sich die Untersumme von unten, die Obersumme von oben der gesuchten Spiralfläche an.

( )( )

nn

b

n

b

n

bnn

Oa

na

nnna

U

∞→

∞→

∞→∞→

==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

lim6

32lim12

121lim12

lim

32

32

2

32

ϕ

ϕ

ϕ

Nun lässt sich der Flächeninhalt einer archimedischen Spirale berechnen. Für φa = 0 und φb = 2π (die erste Windung) beträgt dieser also:

33

34

68 ππ

==ngersteWinduA

Dieses Ergebnis bestätigt Archimedes allgemeine Flächenformel, die da lautet: „Die Fläche, die gebildet wird von der Spirale erster Umdrehung und der ersten Strecke auf der Leitlinie, ist gleich dem dritten Teile des Inhalts des ersten Kreises.“9 Der Radius des von ihm angesprochenen Kreises wäre π2=r . Seine Fläche

( ) ngersteWinduKreis AA ⋅==⋅= 342 32 πππ Allgemein gilt für die Flächenberechnung im Intervall [φa; φb] mit πϕϕ 20 ≤≤≤ ba :

( )332

3232

];[

6

66

ab

ab

abba

a

aa

AAA

ϕϕ

ϕϕ

ωωωω

−=

−=

−=

Da ab der zweiten Windung der Flächeninhalt unter der ersten Windung nochmals, und damit doppelt, einbezogen wird, muss für Flächen mit Intervallsgrenzen größer 2π eine entspre-chende Subtraktion von Teilflächen durchgeführt werden.

9 zitiert nach Archimedes: Werke. 1983, S.45 erwähnt in HEITZER, Spiralen. 1998, S.40


8

2.4 Bogenlänge 10 Nun kann man zu der Annahme gelangen, dass die Bogenlänge wieder mit Unter- und Ober-summe einzuschachteln ist. Dieses Verfahren führt jedoch zu einem falschen Ergebnis aus dem einfachen Grund, dass „durch die gewählte ‚Nä-herung’ nicht mit Sicherheit eine Ober- und eine Untersumme gebildet wurden.“11 Aus der Grafik 2.4.1 ist dies tatsächlich nicht eindeutig erkenn-bar. Ein einfacher empirischer Versuch mit einer auf die Spirallinie gelegten Schnur widerlegt das Ergebnis einer Ober-/Untersummennäherung, dass nämlich die Bogenlänge der ersten Win-dung halb so groß ist wie der Umfang des Krei-ses mit dem größten Radius des untersuchten Spiralstückes. Sie ist tatsächlich etwas größer.

Abb. 2.4.1: vermeintliche Einschachtelung der Bogenlänge12

Stattdessen muss ein anderes Verfahren zum Einsatz kommen. Die Spirallinie kann durch die Summe ihrer Sekantenstücke angenähert werden. Für wachsende Sekantenzahl ist es möglich, die Bogenlänge beliebig genau anzunähern. Analog zur Flächenberechnung teilt man den Winkel φ in n gleich große Teilwinkel, deren Spiralpunkte die Sekantenschnittpunkte darstellen.

In dem abgebildeten Dreieck gilt nach dem Kosinus-Satz:

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

nnii

ni

niR

nR

niR

niR

niR

nis in

ϕ

ϕ

cos 1 21

cos 1 21

2

22

22

,2

Für wachsende n nähert sich die Summe der Sekanten von unten der Bogenlänge. Da sich in diesem Fall die „hochzählende“ Variable i nicht mehr ausklammern lässt, ist die Einführung des Summenzeichens sinnvoll. Damit ergibt sich

( ) 21

12

22

cos 1 21 lim ∑=

∞→ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=n

in nnii

ni

niRs ϕ . (1)

Im Gegensatz zur Flächenberechnung lässt sich die Bogenlänge anhand von (1) nicht elemen-tar bestimmen. Stattdessen kann mit Hilfe eines Computers die Summe für möglichst große n berechnet werden. Für n = 6144 zum Beispiel ergibt sich für φ = 2π also für die erste Win-

10 Dieses Kapitel ist eng angelehnt an den gleichnamigen Abschnitt in HEITZER, Spiralen. 1998 (S.88) 11 zitiert nach HEITZER, Spiralen. 1998, S. 88 12 Abb. entnommen der Url: http://www.muehe.muc.kobis.de/awgruch/Werke.htm (04.3.2006

Rn

i 1−

nπ2 R

ni is

Abb. 2.4.2 Dreiecke durch Sekanten


9

dung eine Länge von 3,38314 R. Um diese Länge ins Verhältnis zum Kreisumfang mit dem-selben Radius zu setzen rechnet man

5384,02

383041,3≈

⋅R

Rπ

.

Das heißt, „die erste Windung einer archimedischen Spirale hat etwa die 0,53843-fache Boge-länge des Kreises mit dem größten Radius.“13 Dies ist allerdings eine Näherungslösung für einen Spezialfall (Intervall [0; 2π]). Mit einer algebraischen Lösung ließen sich auch ohne Hilfe von leistungsfähigen Rechnern Spiralbögen ausrechnen, zudem über beliebigen Intervallen. An dieser Stelle soll ausnahmsweise direkt auf die Formel aus der Analysis zur Bestimmung der Bogenlänge für Kurven in polaren Ko-ordinaten zurückgegriffen werden. Deren Herleitung gestaltet sich eher allgemein und steht nicht in direktem Zusammenhang mit der archimedischen Spirale, weswegen hier darauf nicht explizit eingegangen werden kann.

Es gilt: ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

0

22

]2;1[

ϕ

ϕϕϕ ϕ

ϕd

ddrrs (2) 14

Mit ( ) aarddr

=′=′= ϕϕ

erhält man aus (2): ∫∫ +=+=1

0

21

0

222]2;1[ 1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕ ϕϕϕϕ dadaas

Die Lösung dieses komplizierten Integrals lässt sich z.B. mit Derive bestimmen:

( ) 1

0

22]2;1[ 1ln

211

2

ϕ

ϕϕϕ ϕϕϕϕ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++= as

2.5 Weitere Eigenschaften Die archimedische Spirale besitzt weitere besonders für den Bereich der Geometrie interes-sante Aspekte. Mit ihr können zwei der drei klassischen Probleme der Antike gelöst werden: Die Dreiteilung eines beliebigen gegebenen Winkels und die Quadratur des Kreises (d.h. die Konstruktion eines flächengleichen Quadrats zu einem gegebenen Kreis). In der modernen Mathematik spielen solche Konstruktionsprobleme eine kleinere Rolle, weswegen hier auch nicht weiter darauf eingegangen wird. Ein weiterer Punkt ist die Transzendenz15 der archimedischen Spirale. Diese Eigenschaft be-sitzt sie aufgrund der transzendenten Kreiszahl π in der Funktionsgleichung und damit in der Länge des Radius. Die Zugehörigkeit zu den transzendenten Kurven hat die archimedische Spirale mit der logarithmischen Spirale gemein, die im folgenden Kapitel behandelt wird.

13 HEITZER, Spiralen. 1998, S. 90 14 STEINBERG, Polarkoordinaten. 1993, S.35 15 „Eine reelle Zahl (oder allgemeiner: eine komplexe Zahl) x heißt transzendent, wenn sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen (endlichen) Grades für n ≥ 1 mit ganzzahligen oder allgemein algebraischen Koeffizienten ak auftreten kann, wobei an ≠ 0 gelten soll. Andernfalls handelt es sich um eine algebraische Zahl. Jede transzendente Zahl ist überdies irrational.“ (nach Wikipedia „Transzendente Zahl“ 20.3.2006)

Facharbeit Mathematik Maximilian Löber Kapitel 3 – Die logarithmische Spirale

10

3 Die logarithmische Spirale

3.1 Definition In Dürers Aufzeichnungen16 findet man eine Kurve, dessen Windungsabstand sich mit jeder halben Drehung in mathematisch negativer Richtung verdoppelt, in mathematisch positiver Richtung halbiert. Zu dieser Erkenntnis gelangt man durch ausmessen einzelner Punkte – Als Bezug dient der Startpunkt r0 (in Dürers Abbildung als a bezeichnet):

( ) ( ) ( )04201001

21 ;2,;,;0 rPrPrP ππ , … für positive Winkel

und ( ) ( )0201 4;2,2; rPrP ππ −− −− , … für negative Winkel. Daraus ergibt sich die Funktionsgleichung

( ) Zzrzrz

∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ,

21

0π (3)17

Dürer kannte aber nur jene Punkte, die ein Vielfaches von π als Winkel haben. Über die da-zwischen liegenden Punkte machte er – auch aufgrund fehlender mathematischer Werkzeuge – keine Aussage. Da jedoch das Verhältnis der Radien zweier mit fester Winkeldifferenz auf-einander folgender Punkte laut Dürer immer gleich ist, lassen sich die entsprechenden Punkte mithilfe des geometrischen Mittels berechnen, da es sich schließlich um eine geometrische Folge handelt.

( ) ( ) ( ) ( ) 02100

221

20 rrrrrr −==−=− ππ 18

Mit dem Verfahren lassen sich immer mehr Punkte finden, die zwischen bekannten Punkten liegen. Daraus lässt sich ableiten, dass die Gleichung (3) auch in definiert ist. Außerdem kann man die Basis durch einen beliebigen Faktor ersetzten, durch den die Spirale gestaucht beziehungsweise gestreckt wird, sodass man

( ) 0rkr πϕ

ϕ = (4) 19 erhält. Es muss 10 ≠∧≠ kk und 00 ≠r sein, damit r nicht konstant ist; andernfalls entstünde nicht charakteristische Spiralform, sondern ein Kreis bzw. ein Punkt. Mit einem Basiswechsel von k zu e erhält man aus (4)

( ) ( )0

0ln

ln

re

rerk

k

ϕπ

πϕ

ϕ

=

=

πkln ist konstant und sei a als konstanter Faktor. Er darf nicht aus den genannten Gründen nicht

0 sein. Die Funktionsgleichung für die logarithmische Spirale lautet also:

( ) 00 ≠= aerr aϕϕ Da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, wird der Ursprung nie erreicht, er ist asym-ptotischer Punkt für −∞→ϕ .

16 Dürer A. Albrecht Dürer’s Unterweisung der Messung. 1909 17 HEITZER, Spiralen. 1998, S.111 18 ebd. S.113 19 vgl. HEITZER, Spiralen. 1998, S.113. – Es ist unerheblich, ob π im Argument der Funktion oder als Nenner unter φ steht. In beiden Fällen sorgt es dafür, dass das eingesetzte π des Winkels nicht mit in die Gleichung ein-bezogen wird.


11

In Analogie zur ersten Konstruktion der archimedischen Spirale kann man sich der logarith-mischen Spirale auch kinematisch nähern. Wieder rotiert ein Punkt auf einem Halbstrahl um ein Zentrum. Diesmal bewegt er sich jedoch gleichzeitig mit exponentiell zunehmender Ge-schwindigkeit auf dem Strahl nach außen.

3.2 Konstanz des Tangentenwinkels Zeichnet man eine Reihe von Geraden mit gleicher Winkeldifferenz durch den Ursprung und verbindet deren Schnittpunkte mit einer logarithmischen Spirale um den gleichen Ursprung, so erhält man eine Reihe von Dreiecken. Diese Dreiecke besitzen alle den gleichen Winkel im Ursprung und per Defi-nition die gleichen Seitenverhältnisse.20 Da-mit sind sie sich ähnlich. Erhöht man nun die Anzahl der Geraden und damit die Anzahl der Sekanten, nähert sich der Sekantenwinkel dem Tangentenwinkel.21 In jedem Punkt der logarithmischen Spirale ist folglich der Win-kel zwischen Tangente und Radius gleich. Damit ist die Konstanz des Tangentenwin-kels bei der logarithmischen Spirale gezeigt. Mithilfe der trigonometrischen Sätze könnte man nun die Winkel an der Kurve (53° in

Abb. 3.2.1: Messung des Sekantenwinkels

Abb. 3.2.1) in Abhängigkeit von Drehwinkel oder Radius bestimmen. Allerdings erhält man auf diese Weise recht lange Terme, die letztendlich wie in der Herleitung des Umfangs einer archimedischen Spirale nicht auflösbar sind und in der Betrachtung unendlich kleiner Winkel nur Näherungslösungen liefern. Eine alternative konstruktive Lösung bietet die Betrachtung der sich überlagernden Ge-schwindigkeiten, deren Resultante mit ihrer Richtung die Richtung und damit den Winkel der Tangente angibt.22

1. Geschwindigkeit senkrecht zum Radius: ( ) ( )trtv 0ω=⊥ (physikalische Definition der Bahngeschwindigkeit)

2. Geschwindigkeit parallel zum Radius: ( ) ( )trtv &=|| (Geschwindigkeit ist Änderung einer Länge)

Es gilt ( ) ( )( )( )tr

trtvtvt

&0

||

)( ωγ == ⊥ . (5) 23

Per Definition ist ( ) taertr 00

ω= und ( ) taeartr 000

ωω=& (Ableitung nach der Kettenregel).

Aus (5) ergibt sich ( ) ( ) konstant1)(tan

0

0

00

00

||

==== ⊥

ataera

taertvtv

tωω

ωωγ .

20 Die Punkte auf der log. Spirale mit gleicher Winkeldifferenz haben die gleichen Radiusverhältnisse. 21 Siehe Herleitung des Differentialbegriffes 22 vgl. HEITZER, Spiralen. 1998, S.121 23 Siehe auch Abb. 2.2.1 auf S. 6 bei der Tangentenbestimmung der archimedischen Spirale


12

3.3 Bogenlänge24 Während bei der Winkelbestimmung, eine aufwändige Infinitesimalrechnung umgangen wer-den konnte, bleibt für die Berechnung der Bogenlänge nur eine Näherung durch Summen. Dazu muss auf die obige Abbildung zurückgegriffen werden. Die Spiralkurve lässt sich durch Polygonzüge nähern. Dabei kann man sich den Umstand der Ähnlichkeit der dabei entstehen-den Dreiecke zu Nutze machen.

Es sei ||2 aeK π−= der Verkleinerungsfaktor pro Windung und 21

Kk = der Verkleinerungs-faktor pro Teilwinkel. Dann existiert für jeweils für Radius, Höhe und Gegenkathete eine geometrische Folge:

ii

ii

i

khh

kpp

kR

0

0

0iR

=

=

=

Die Bogenlänge lässt sich somit ausdrücken als Summe aller Gegenkatheten, die im Üb-rigen immer kleiner werden, von denen es jedoch unendlich viele gibt. Es handelt sich um die Konvergenz einer arithmetischen Folge gegen 0. Gleichzeitig läuft der Winkel am Pol gegen 0. Dieser Aspekt wird weiter unten berücksichtigt.

Abb. 3.3.1: ähnliche Dreiecke unter dem Spiralbogen

( ) ∑∑=

∞→=

∞→==

j

i

i

j

j

iij

kppR0

00

0n limlims

per Definition (Summe der Elemente einer geometrischen Folge):

11lim

1

0 −−

=+

∞→ kkp

j

j

Grenzwertberechnung: k

p−

=1

10

Anwendung des Kosinussatzes: kkk

R n

−

−+=

1cos21 22

0

π

Grenzwertbildung für n und Ersetzten von k durch K: ( )

n

nn

K

KKRR n

n 1

12

1

cos21lims

2

00−

−+=

∞→

π

Gesetzt xn =1 , Einbeziehung des Nenners in

die Wurzel (Erhalt einer undeterminierten Form „ 0

0 “): xx

nxx

n KKKK

R 2

22

0 21cos21

lim+−

−+=

∞→

π

Anwendung der Regel von de l’Hospital25 und zwar zweifach, d.h. Grenzwertbestim-

mung des Bruches aus den zweiten Ableitun-gen der Zähler- und Nennerfunktion:

2

0 ln21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

KR π

24 Dieses Kapitel ist eng an den Abschnitt 5.5.1 Polygonzüge aus HEITZER, Spiralen. 1998 angelehnt; die For-meln sind im Original übernommen

25 Satz 4: Aus 0)(lim)(lim ==∞→∞→

xgxfxx

folgt: )(lim)(lim xgfx

gf

xx ′′

=∞→∞→

(dtv-Atlas zur Mathematik, S.326)

n2π


13

Substitution von ||2 aeK π−= : 2011a

R +=

(Bogenlänge einer logarithmischen Spirale) Aus dem Ergebnis wird eine neue Eigenschaft der logarithmischen Spirale klar: die Proporti-onalität von Bogenlänge und Radius.

3.4 Fläche 26 Die Näherung durch einen Polygonzug ist ebenfalls zur Berechnung der Fläche unter dem Spiralbogen geeignet. Dazu wird der Winkel für eine Umdrehung 2π in n Dreiecke gleicher Größe aufgeteilt, deren außen liegende Katheten der Polygonzug ist. Grundseite sei R, die Höhe h von R. Dank der Ähnlichkeit dieser Größen kann man abermals die Summe der im-mer kleiner werdenden Dreiecke bilden.

∑∑=

∞→=

∞→==

j

i

i

j

j

iiijn k

hRhRRA

0

200

00 lim

221lim)(

per Definition (Summe der Elemente einer geometrischen Folge):

11lim

2

2200

−−

=+

∞→ kkhR j

j

Grenzwertberechnung und Substitution von nRh π2

10 sin= : 2

2

10 1sin

21

kRR n

−=

π

Substitution von kRR ⋅= 01 : 2

22

0 1sin

21

kk

R n

−=

π

Grenzwertbildung für n und Ersetzten von k durch K:

nK

KRRA n

n 2

21

1

sinlim

21)(

22

00−

=∞→

π

Gesetzt xn =1 , Einbeziehung des Nenners in

die Wurzel (Erhalt einer undeterminierten Form „ 0

0 “): ( )

x

x

x KxKR 20

20 1

2sinlim21

−=

→

π

Einfache Anwendung der Regel von L’Hopital und anschließende Grenzwertbe-

stimmung: ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

KR

ln22

0π

Substitution von ||2 aeK π−= :

aR

412

0=

(Fläche unter einer logarithmischen Spirale) So gilt für die Fläche unter dem Bogen einer logarithmischen Spirale zwischen den begren-zenden Radien Ri und Ra:

( ) ( ) ( )a

RRRARA iaia 4122 −=−

26 Dieses Kapitel ist eng an den Abschnitt 5.5.1 Polygonzüge aus HEITZER, Spiralen. 1998 angelehnt; die For-meln sind im Original übernommen

Facharbeit Mathematik Maximilian Löber Kapitel 4 – Vergleich beider Spiralen

14

4 Vergleich beider Spiralen Nach der genauen Betrachtung beider Kurven sollen ihre Eigenschaften hier noch einmal ge-genübergestellt werden. Da im Allgemeinen das kartesische Koordinatensystem vertrauter ist, kann es hilfreich sein, dies bei der Betrachtung der Partikularitäten der archimedischen und logarithmischen Spirale mit einzubeziehen. Trägt man beispielsweise Winkel und Radius an der x- und y-Achse ab, erhält man folgende Graphen für die Spiralfunktionsgleichungen:

Abb. 4.1: „Spiralen“ in kartesischen Koordinaten

In dieser Darstellungsform finden sich die Abhängigkeiten wieder. Während bei der archimedischen Spirale Winkel und Radi-us direkt Proportional sind (entspricht I) wächst letzterer bei der logarithmischen Spirale exponentiell zum Winkel (ent-spricht II). Der konstante Faktor beträgt der Einfach-heit halber 1, er würde jedoch bei I die Steigung verändern, bei II auch den Schnittpunkt mit der y-Achse. Merkmale der Graphen: I: konstante Steigung, keine Asymptote, Radius ist 0 für φ = 0, Punktsymmetrie II: phi-Achse als Asymptote, Radius wird nie 0, geht im positiven Bereich gegen Unendlich mit stark anwachsenden Ra-dien; keine Symmetrieeigenschaften

Auffällig ist, dass es im kartesischen System die gleichen Merkmale sind, die logarithmische von archimedischer Spirale unterscheiden, allerdings werden sie im weniger vertrauten pola-ren Koordinatensystem nicht gut sichtbar. Dass die Ursprungsgerade im Gegensatz zur archimedischen Spirale Punktsymmetrie auf-weist liegt an der Konversion des Winkels zu einer Achse und der Problematik des negativen Radius. Einige Spiraldefinitionen beschränken sich sowieso nur auf den positiven Bereich. In diesem Fall würde die archimedische Spirale als Kurve, die in einem Punkt beginnt und sich bis ins Unendliche fortsetzt auch besser zur Geltung kommen als Gegenstück zur logarithmi-schen Spirale, die nach außen wie nach innen nie endet. Weitere Charakteristika, die man gegenüber stellen kann, sind die Konstanz des Windungsab-stands auf der einen und die Konstanz des Tangentenwinkels auf der anderen Seite. Auch wenn die Eigenschaften nichts als die Konstanz gemeinsam haben, lassen sie es doch zu, bei-de Spiralarten klar voneinander zu trennen. Zum Abschluss lassen sich beide Spiralen als eine Folge von Punkten auffassen. Bei der ar-chimedischen Spirale ist dies eine arithmetische Folge, da die Differenz zweier aufeinander folgender Punkte konstant ist; dagegen handelt es sich bei der logarithmischen Spirale um eine geometrische Folge, die sich durch die Konstanz des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Punkte auszeichnet. Allerdings ist auch eine Gemeinsamkeit zu nennen, nämlich dass beide Kurven transzendenter Natur sind. Dies liegt an der Kreiszahl π, aber auch an der eulerschen Zahl e.

(I)

(II)

Facharbeit Mathematik Maximilian Löber Kapitel 4 – Vergleich beider Spiralen

15

Der Übersichtlichkeit halber sind die Ergebnisse des Vergleichs nochmals in einer Tabelle untergebracht: Archimedische Spirale Logarithmische Spirale Radius wächst proportional zum Winkel Radius wächst exponentiell zum Winkel Besteht aus zwei beginnenden, aber nie en-denden Ästen

Ein nach außen wie innen nie endender Ast

Keine Konvergenz Ursprung ist asymptotischer Punkt Symmetrie zur Orthogonalen der Polachse Keine Symmetrieeigenschaften Konstanz des Windungsabstands Konstanz des Tangentenwinkels Punkte bilden eine arithmetische Folge Punkte bilden eine geometrische Folge transzendente Kurve transzendente Kurve

5 Nachwort „Merkwürdig ist es immer, daß alle diejenigen, die diese Wissenschaft ernstlich studieren, eine Art Leidenschaft dafür fassen.“ Gauß27 an Bólyai28 Ist es wirklich verwunderlich, dass einem Dinge Freude umso mehr Freude bereiten, je einge-hender man sich mit ihnen beschäftigt? Nein, und nicht anders verhält es sich mit der Mathe-matik, zu deren umfassender Auseinandersetzung wir im Rahmen der Facharbeit „gezwun-gen“ wurden. Denn während ich vor knapp sechs Wochen auf mich allein gestellt vor einem unverständlichen Buch saß und meine Themenwahl fast bereut hätte, kann ich heute von einer gewissen Freude an der Arbeit mit Spiralen sprechen zu einem Zeitpunkt, an dem ich das Ge-fühl habe, dass die schwierige Materie klar und übersichtlich vor mir ausgebreitet liegt. Diese Tatsache lässt mich ein letzten Endes doch positives Fazit aus der Aufgabe Facharbeit ziehen. Abschließen möchte ich nun mit der Feststellung, dass eine solche Arbeit den Blick für be-stimmte Phänomene, in meinem Fall Spiralen, im Alltag schärft. Seit der Themenvergabe fühle ich mich von solchen nahezu umringt.

27 Gauß, Carl Friedrich (1777-1855), deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker 28 Bólyai, Farkas (1775-1856)

Facharbeit Mathematik Maximilian Löber Kapitel 6 – Anhang

i

6 Anhang Konstruktionsschritte für Dynageo Die Idee ist es, mit der Spur des Schnittpunktes eines Kreises und einer Kreisachse eine Spira-le zu erhalten, indem man den Radius des Kreises und den Winkel der Achse zur horizontalen Achse variieren lässt, und zwar die eine Größe in Abhängigkeit zur anderen. In Klammern sind die von mir benutzten Zahlen aufgeführt, die lediglich einen Vorschlag darstellen. Archimedische Spirale

1. Man erstellt zuerst einen Regler, der den Winkel φ angeben soll und zwar im Grad-maß, da die Software kein Bogenmaß kennt. (-720 bis 720, Schrittweite 10, Name: „phi“)

2. Ein zweiter Regler soll die Konstante a angeben. (-3 bis 3, Schrittweite 0,1 Name „a“) 3. Nun erstellt man einen Kreis mit festgelegtem Radius, der da wäre: a*(phi*3,14/180).

In der Klammer steht die Umrechnung in das Bogenmaß mithilfe von π °⋅= 180

πϕϕ GradBogen 4. Der Kreis soll nun eine Polarachse bekommen, dazu erstellt man eine Halbgerade, de-

ren Anfang im Kreismittelpunkt liegt und deren Punkt an die Kreislinie gebunden ist (Funktion: mit Linie verbinden). Dann muss sie noch waagerecht ausgerichtet werden.

5. Nun wird der eigentliche Halbstrahl mit dem Punkt konstruiert, dessen Spur die Spira-le darstellen wird. Dieser soll mit der Polarachse den Winkel φ einschließen. Da die Software nur die Konstruktion einer Geraden mit festem Winkel anbietet, muss man sich eines Tricks bedienen: Man konstruiert eine Gerade, die mit der Polarachse den Wert des Reglers (phi) einschließt. Nun bildet man die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kreislinie. Die Gerade selber wird nun unsichtbar gemacht und ein Halbstrahl konstruiert mit den Punkten Ursprung und Schnittpunkt der unsichtbaren Geraden mit der Kreislinie, der also auf der Geraden liegt; der zweite entstehende Schnittpunkt wird nicht mehr benötigt und kann gelöscht werden.

6. Zum Schluss bleibt noch die Ortslinienaufzeichnung des mit dem Regler (phi) zu be-wegenden Schnittpunkts. Dazu muss man lediglich das Ortslinien-Tool auf den Punkt anwenden und den Regler (phi) ein wenig bewegen.

7. Für phi<0 zeigt Dynageo nur einen Punkt an, was daran liegt, dass es nur positive Ra-dien kennt. Lösbar ist das Problem mit einem zweiten Kreis, der auf die gleiche Art und Weise konstruiert wird, aber als Radius -a*(phi*3,14/180) erhält. Dieser Kreis komplettiert die Spiralkurve für den negativen Bereich.

Logarithmische Spirale

- Die Vorgehensweise ist identisch. Allerdings besteht eine andere Abhängigkeit von

Winkel und Radius. Der Radius des konstruierten Kreises muss nun 2,718^(a*phi*2*3,14/180) lauten, d.i.

- Das Problem des negativen Radius besteht diesmal nicht, sodass ein Kreis zur Kon-

struktion ausreicht.

°⋅⋅180πϕGrada

e

Facharbeit Mathematik Maximilian Löber Kapitel 7 – Quellennachweis

ii

7 Quellennachweis

7.1 Literaturverzeichnis 1. HEITZER, J.: Spiralen – ein Kapitel phänomenaler Mathematik. Klett, Leipzig 1998 2. STEINBERG, G.: Polarkoordinaten. Metzler, Hannover 1993 3. REINHARDT, F.: dtv-Atlas zur Mathematik – Tafeln und Texte, Band 2. dtv, München 1990

7.2 Bildnachweis 1. Abbildung 2.4.1: „bild_8.jpg“

URL: http://www.muehe.muc.kobis.de/awgruch/Werke.htm (04.3.2006) 2. Abbildungen 2.1.1, 2.1.2, 2.2.1., 2.4.2, 3.2.1, 3.2.2. erzeugt mit Euklid DynaGeo Vers. 2.7c 3. Abbildung 4.1 erzeugt mit Derive 5 (5.02) 4. Abbildungen 1.3.1 und 1.3.2 erzeugt mit Word 2003

„Ich versichere, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst, bei ihrer Anfertigung keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Arbeit, die ich im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt anderen Werken entnommen habe, mit genauer Angabe der Quelle kenntlich gemacht habe.“

(Wohnort), den 26.03.2006

Date post:	03-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	gefei
View:	160 times
Download:	5 times

Ma it Spiralen

Documents