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Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

Date post: 04-Mar-2016
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Die Zuverlässigkeit softwaregestützter Tragwerksberechnungen ist von der Güte des Modells und der Genauigkeit der angewendeten Stabtheorie abhängig. Ein Buch für Aufsteller, Prüfer und Software-Entwickler, mit Referenzbeispielen zur anschaulichen Analyse der Fehlerursachen.
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Günter Lumpe, Volker Gensichen BiP Bauingenieur-Praxis Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie
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Page 1: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

Günter Lumpe, Volker Gensichen

BiP

Bau

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r-Praxis

Evaluierung der linearen undnichtlinearen Stabstatik inTheorie und SoftwarePrüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort Zum Gebrauch dieses Buches 1

Teil 1

Zehn einfache Prüfbeispiele zur Verifikation von Software-Ergebnissen

Beispiel 1 Einachsige Biegung mit Druck 11 Kragstütze mit aufgesetztem Koppelträger

Beispiel 2 Durchschlagprobleme – Analyse nach Th.II.O. unzulässig 16 Unsymmetrisches v. MISES-Fachwerk mit geringem Stichmaß

Beispiel 3 Doppelbiegung – ein simpler Fall? 20 Gabelgelagerter Einfeldträger mit Einzellasten Fy und Fz in Feldmitte

Beispiel 4 Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – Biegeknicken nach zwei Richtungen, Drillknicken 26 Über vier Geschosse durchlaufende, planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze mit unterschiedlichen Randbedingungen in y- und z-Richtung Beispiel 4a: Gabellagerung in jedem Geschoss 26 Beispiel 4b: Gabellagerung nur an den Enden der Stütze 29

Beispiel 5 Gekoppelte Beanspruchung in der System-Ebene und senkrecht zur Ebene 33 Ebenes Rautenfachwerk mit biege- und torsionssteifen Knoten

Beispiel 6 Biegedrillknicken ohne Normalkraft – ein Standard-Beispiel aus der Literatur 37 Gabelgelagerter Einfeldträger mit Streckenlast und sinusförmiger Vorkrümmung

Beispiel 7 Biegedrillknicken mit Normalkraft 40 Abgespannter Träger mit Kragarm

Beispiel 7a: Anschluss der Abspannung im Schwerpunkt

Beispiel 7b: Anschluss der Abspannung am Obergurt

Beispiel 8 Zustandslinien der Torsionsmomente – Verlauf an Lasteinleitungspunkten 47 Tordierter Balken mit Längs- und Querlasten

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VIII Inhaltsverzeichnis

Beispiel 9 Torsion wölbfreier Querschnitte – für Software unerwartet problematisch 50 Tordierter Kragträger

Beispiel 10 Wie genau wird die nichtlineare Verformungsgeometrie erfasst? 53 Zwei Prüfbeispiele mit ebener Beanspruchung Beispiel 10a: Biegeträger mit beidseitig unverschieblichen Lagern 53 Beispiel 10b: Kragträger mit Lastmoment am freien Ende 55

Teil 2

Nichtlineare Stabtheorie großer Verformungen bei räumlicher Beanspruchung

Theoretische Grundlagen und weitere Prüfbeispiele

1 Einleitung 61

2 Theorie II. und III. Ordnung – die großen Missverständnisse

2.1 Vorbemerkungen 62 2.2 Verformungsgeometrie 63 2.3 Gleichgewicht am verformten System 64 2.4 Einfluss der Normalkraft auf die Verdrillung 66 2.5 Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion und der sekundären

Schubverformungen 68 2.6 Asymptotisches Verhalten und Genauigkeit 72 2.7 Durchschlagprobleme 75 2.7.1 Allgemeines 75 2.7.2 Beispiel: Stahlträger einer pagodenförmigen Kuppel 80 2.8 Klassifizierung 83 2.9 Superposition 86 2.10 Theorie III. Ordnung 86 2.11 DIN 18800 / EC3: Nachweis am Gesamtsystem 88 2.12 Zusammenfassung 90

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Inhaltsverzeichnis IX

3 Torsionstheorie II. Ordnung: Wölbkrafttorsion mit Normalkraft

3.1 Vorbemerkungen 92 3.2 Erläuterung der Problematik an einem Beispiel 93 3.3 Herleitung des Torsionsmomenten-Anteils MxN 95 3.4 Klärung für den Sonderfall ϑ ′ = const 98 3.4.1 Belastung durch MT und N (inhomogener Fall) 98 3.4.2 Drillknicken (homogener Fall) 101 3.4.3 Spannungen 102 3.4.4 Baustatische Relevanz 103 3.5 Allgemeiner Fall ϑ ′ ≠ const 104 3.5.1 Problemstellung 104 3.5.2 Übergangsbedingungen an Lasteinleitungsstellen innerhalb

eines Trägers 105 3.5.3 Bedingungen am Rand eines Trägers 108 3.5.4 Einleitung von MT bzw. Fx : Zusammenfassung 108 3.5.5 Drillknicken 109 3.5.5.1 DK-Last des beidseitig gabelgelagerten Trägers 109 3.5.5.2 Abgrenzung Drillknicken / Biegeknicken (DK / BK) 110 3.5.5.3 Einfluss des Wölbwiderstands auf die Drillknicklast 115 3.5.5.4 Last-Verdrillungskurven und asymptotisches Verhalten 117

4 Torsionstheorie großer Verformungen 4.1 Vorbemerkungen 118 4.2 Helix-Torsion: der Schraubenlinien-Effekt 118 4.2.1 Geometrie der Schraubenlinie (Helix) 118 4.2.2 Helix-Normalspannungen σxH

und Helix-Torsionsmoment MxH 120 4.2.3 Ermittlung der Helix-Flächenmomente 124 4.2.4 Helix-Schubspannungen τxH 127 4.3 Torsion mit Normalkraft: Sonderfall ϑ ′ = const 129 4.3.1 Gleichgewicht, Differenzialbeziehung, Drillknicken 129 4.3.2 Verformungen und Zustandslinien 132 4.3.3 Last-Verdrillungskurven 132 4.3.4 Analytische Lösung 136 4.3.5 Ausnutzungsgrad des Querschnitts

und baustatische Relevanz 142 4.4 Torsion mit Normalkraft: allgemeiner Fall ϑ ′ ≠ const 147 4.4.1 Gleichgewicht, Differenzialbeziehung, Drillknicken 147

Page 5: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

X Inhaltsverzeichnis

4.4.2 Zustandslinien 1474.4.3 Last-Verdrillungskurve 150 4.4.4 Spannungen und Querschnittsausnutzung 154 4.5 Analogiebetrachtungen zu MxN und MxH

an zwei „Makro-Systemen“ 158 4.5.1 Analogiebetrachtung zu MxN 158 4.5.2 Analogiebetrachtung zu MxH 162

5 Allgemeine Stabtheorie großer räumlicher Verschiebungen und Drehungen

5.1 Vorbemerkungen 166 5.2 Grundlagen und Annahmen 167 5.3 Kinematik des Stabraums 169 5.3.1 Annahmen und Voraussetzungen zur Beschreibung

der Deformation 169 5.3.2 Klassische Kinematik: Drehung mit „Winkelgrößen“ 170 5.3.2.1 Rotation um eine schiefe Raumachse 171 5.3.2.2 Rotation um raumfeste Koordinatenachsen 177 5.3.2.3 Rotation um Folgeachsen (Kardanwinkel) 178 5.3.2.4 Semitangentiale Drehungen 179 5.3.2.5 Bewertung der Verwendung von „Winkelgrößen“ 179 5.3.3 Drehungen, ausgedrückt durch Verschiebungen 180 5.3.3.1 Basisvektoren und Ableitungen 182 5.3.3.2 Drehtensor 183 5.4 Potenzial des elastischen Stabes 184 5.4.1 Einführung von Relativ- und Gesamtkinematen 184 5.4.2 Verschiebungsansatz 186 5.4.3 Dehnungs- und Verzerrungsmaß 188 5.4.3.1 Allgemeine Herleitung für den Stabraum 188 5.4.3.2 Vergleich mit den „Ingenieurdehnungen“ 192 5.4.4 Elastizitätsgesetz 193 5.4.5 Potenzial der inneren Kräfte 194 5.4.5.1 Potenzialanteil aus Längsdehnungen: 1

iΠ 194 5.4.5.2 Darstellung der Potenzialterme aus Längsdehnungen 196 5.4.5.3 Potenzialanteil aus Schubverzerrungen: 2

iΠ 202 5.5 Elementkräfte und Element-Steifigkeitsmatrizen

(Relativkinematik) 204 5.5.1 Variation (Ableitung) nach Relativkinematen 204 5.5.2 Transformation der Relativkinematen auf Gesamtkinematen 205

Page 6: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

Inhaltsverzeichnis XI

5.6 Gesamtstruktur und globales Gleichgewicht 205 5.6.1 Gelenke und lokale Randbedingungen für Verwölbungen 205 5.6.2 Transformation von Komponenten auf globale Basen 206 5.6.2.1 Transformation von Knotenverschiebungen u, v, w 207 5.6.2.2 Transformation von Knotendrehgrößen w2 , u3 , u2 207 5.6.3 Globales Gleichgewicht und Lösung des nichtlinearen

Gleichungssystems 2085.7 Beispiel: St. VENANT-Torsion mit Normalkraft 208 5.7.1 Allgemeines 208 5.7.2 Verschiebungen und Verzerrungen des Stabes 209 5.7.3 Verschiebungen und Verzerrungen

bei St. VENANT-Torsion 210 5.7.4 Gleichgewicht nach der energetischen Methode 213 5.7.4.1 Potenzialanteil und Variation aus Längsdehnungen 213 5.7.4.2 Potenzialanteil und Variation aus Schubverzerrungen 217 5.8 Beispiel: Große Drehung einer Federplatte 218 5.8.1 Potenzial und Gleichgewicht 219 5.8.2 Berechnung der Momente: direkte Methode 220 5.8.3 Berechnung der Momente über „Winkelgrößen“ 222 5.8.3.1 Berechnung der „Drehwinkel“ 222 5.8.3.2 Kontrolle der Drehmatrix T 222 5.8.3.3 Ermittlung der Momente 223 5.9 Zur Einleitung von Momenten mit richtungstreuer

bzw. zirkulatorischer Charakteristik 225 5.9.1 Änderung des Potenzials der äußeren Kräfte 226 5.9.2 Beispiel zur Variation des Potenzials gem. 5.9.1 227 5.9.3 Beispiel: Kragträger mit zirkulatorischer bzw.

nicht-zirkulatorischer Last 230 5.10 Praktische Anwendungsbeispiele 232 5.10.1 Durchlaufträger mit Doppelbiegung 232 5.10.1.1 Systeme und Belastung 232 5.10.1.2 Ergebnisse für System 1 (3 Gabellager) 234 5.10.1.3 Ergebnisse für System 2 (2 Gabellager) 241 5.10.2 Balken mit Kragarm und exzentrischer Einzellast 243 5.10.3 Schlussfolgerungen aus den Beispielen 249

6 Einfluss der Güte der Stabtheorie auf das Konvergenzverhalten

6.1 Einführung 251 6.2 Potenzial für einachsige Biegung mit Druck 252 6.3 Lineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix 252

Page 7: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

XII Inhaltsverzeichnis

6.4 Nichtlineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix 253 6.4.1 Variante 1: Berücksichtigung aller Terme, v linear 254 6.4.2 Variante 2: ohne Terme 4. Ordnung, v linear 255 6.4.3 Variante 3a: ohne Terme 4. Ordnung, v linear,

N konstant 256 6.4.4 Variante 3b: ohne Terme 4. Ordnung, v kubisch,

N konstant 257 6.5 Konvergenzverhalten und Bewertung 258

7 Zusammenfassung und Ausblick 260

Literatur und EDV-Programme 263

Sachverzeichnis 268

Page 8: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

Beispiel 4 Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung –

Biegeknicken nach zwei Richtungen, Drillknicken Über vier Geschosse durchlaufende,

planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze mit unterschiedlichen Randbedingungen in y- und z-Richtung

Beispiel 4a: Gabellagerung in jedem Geschoss

Aufgabenstellung Für die in Bild 4.1 dargestellte Stütze mit einer planmäßigen zentrischen Druckkraft von 1550 kN sollen die extremalen Verformungen und Schnitt-größen ermittelt werden. Die zusätzlich zu berücksichtigenden äquivalenten geometrischen Ersatzimperfektionen in Form von Ersatzlasten sind in Bild 4.1 bereits angegeben.

Anmerkungen zu den Imperfektionsannahmen und den Eigenformen Art und Richtung der Ersatzimperfektionen ergeben sich aus dem Verlauf der Eigenformen infolge der planmäßig zentrischen Belastung (homogener Fall). Hier werden – zur Vereinfachung von Vergleichsberechnungen – keine Vorkrümmungen, sondern äquivalente Ersatzkräfte angesetzt.

Da die ersten beiden Eigenwerte (Biegeknicken: BK (z-z), BK (y-y)) sehr dicht beieinander liegen, sind beide zugehörigen Eigenformen bei den Imperfektionsannahmen zu berücksichtigen.

Die Vorkrümmungen werden hier in Anlehnung an die Stahlbaunormen pauschal mit einem Stich e0 = L/200 angesetzt und in äquivalente Ersatzkräf-te F (Fy bzw. Fz) umgerechnet:

0 y z1550 31 kN

200 4 50 50NL F LN e N F F F= =± ⇒ = = =± =± =±

Die ungünstige Richtung der Ersatzkräfte ergibt sich aus dem Verlauf der Eigenformen v und w .

© 2014 Ernst & Sohn GmbH & Co. KG. Published 2014 by Ernst & Sohn GmbH & Co. KG.Günter Lumpe, Volker GensichenEvaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software. Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. 1. Auflage.

Page 9: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – BK nach zwei Richtungen, DK 27

Imperfektionen zur Berücksichtigung der 3. Eigenform (Drillknicken: DK, s. Bild 4.1) dürfen hier wegen des großen Abstands des DK-Eigenwertes zur Knicklast BK (z-z) vernachlässigt werden. Im Zweifelsfall muss diese Annahme durch Vergleichsberechnungen überprüft werden (s. Beispiel 4b).

Ergebnisse Die extremalen Schnittgrößen nach Th.I.O., Th.II.O.-3W (s. Tab. II/2.4) und nach der genauen Stabtheorie sowie die Fehler der Ergebnisse nach Th.II.O. sind in der Tab. 4.1 zusammengestellt.

Bild 4.1 Planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze über n Geschosse

(mit Ersatzlasten), in jedem Geschoss gabelgelagert

Fx = 1550 kN

z, w

L = ℓy = 12,00 m

ℓz = 3,00 m

3,00 m

3,00 m

3,00 m x

Fz =

31 kN

y, v

Fy = 31 kN

31

31

31

Eigenformen: 1. 2. 3.

v w

1. Ncr (BK z-z) = 3141 kN

2. Ncr (BK y-y) = 3321 kN

3. Ncr (DK) = 5490 kN

ϑ

Fx

H 400/180/10/14 , S 355 (Querschnittswerte s. Tab. 1.1) fyd = 35,5/1,1 = 32,3 kN/cm2

Steifigkeiten NICHT abgemindert Eigengewicht vernachlässigt

Page 10: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

28 Beispiel 4a

Baustatische Relevanz Die Sicherheit gegen BDK ist mit αcr = 2,03 vorhanden. Mit den Schnittgrö-ßen nach Th.II.O.-3W beträgt die plastische Querschnittsausnutzung nach dem TSV 100 %, mit den exakten Größen liegt sie etwas darüber.

Im Gebrauchszustand (1/1,35-faches Lastniveau) ergeben sich maximale Verschiebungen von ℓy /420 bzw. ℓz /460 sowie eine maximale Torsionsver-drehung ϑ = 0,13°. Somit ist die baustatische Relevanz gegeben.

Tab. 4.1 Extremale Verformungen und Schnittgrößen (zu Bild 4.1)

1 2 3 4 5 6

max bzw. min

an der Stelle 1)

x ≈ . . . m

Th.I.O. 2) Th.II.O.-3W exakt Fehler 3) Anmerkung

1 v (cm) 7,5 0,609 1,21 1,26 -4 %

für die Nachweise

maßgebende Größen

2 w (cm) 6,0 2,30 4,29 4,52 -5 %

3 My (kNm) 6,0

93 159 163 -2 %

4 ⇒ σx (kN/cm2) 8,1 13,8 14,1

5 Mz (kNm) 4,5

23,3 42,7 44,0 -3 %

6 ⇒ σx (kN/cm2) 15,4 28,2 29,0

7 Mω (kNm2) 7,5 0

0,715 1,44

≈ -50 %

8 ⇒ σx (kN/cm2) 2,5 4,9

9 ϑ (mrad) 7,5 0 5,88 11,75

für die Nachweise

vernachlässigbare Größen

10 ϑ ′ (mrad/cm) 6,0 0 0,0646 0,129

11 Mxp (kNcm) 6,0 0

24 47 12 ⇒ τp (kN/cm2) 0,7 1,5 13 Mxs (kNcm)

3,0 0 -88 -172

14 ⇒ τs (kN/cm2) 0,14 0,27

15 MxN (kNcm) 6,0 – -28 -56

16 MxH (kNcm) 6,0 – – ≈ 0 –

1) Die maßgebenden Stellen nach Th.I.O., Th.II.O.-3W und exakter Berechnung stimmen nicht immer genau überein.

2) Zu den Sp. 3 und 4 zugehörige Werte der Th.I.O. 3) Wahrer relativer Fehler der Th.II.O.-3W

Page 11: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – BK nach zwei Richtungen, DK 29

Verweis auf den theoretischen Hintergrund und ähnliche Beispiele Siehe Abschn. II/3.5.5.

Kurzkommentar Bei diesem Beispiel spielt die Torsionsbeanspruchung eine untergeordnete Rolle. Deshalb sind die Abweichungen der Ergebnisse nach Th.II.O.-3W bei den für die Bemessung maßgebenden Größen gering (≤ 5 % auf der unsiche-ren Seite); eine Analyse nach dieser Theorie ist hier also unter bauprakti-schen Aspekten unbedenklich.

Als störende Begleiterscheinung ist jedoch zu werten, dass die (für die Bemessung unerheblichen) Torsionsgrößen nach Th.II.O. ungefähr um den Faktor 1/2 zu gering ausfallen. Dies kann beim Anwender zu Verunsiche-rungen hinsichtlich der Bewertung der Software-Ergebnisse führen.

Beispiel 4b: Gabellagerung nur an den Enden der Stütze

Aufgabenstellung Die Stütze mit den gegenüber dem Beispiel 4a veränderten Randbedingun-gen ist in Bild 4.2 dargestellt. Sie wird durch eine planmäßig zentrische Druckkraft von 1140 kN beansprucht. Die zusätzlich zu berücksichtigenden äquivalenten geometrischen Ersatzimperfektionen in Form von Ersatzlasten sind in Bild 4.2 bereits angegeben.

Gesucht sind die extremalen Verformungen und Schnittgrößen.

Anmerkungen zu den Imperfektionsannahmen und den Eigenformen Es gelten die zu Beispiel 4a angestellten Überlegungen sinngemäß. Aus der Stabilitätsanalyse ergibt sich, dass das DK maßgebend wird (Bild 4.2, 1. Eigenform) und entsprechende Imperfektionen (hier: Ersatz-Torsionsmoment MT) zu berücksichtigen sind.

Für die Berechnung dieser Imperfektionen sind keine verbindlichen Anga-ben bekannt. Hier wird (mit e0 = L/200, s. Beispiel 4a; mehr oder weniger willkürlich) ein Ersatz-Torsionsmoment

T1140 1200 22,8 kN 6 cm 137 kNcm

50 200 50 200N

M ϑ= ± ⋅ = ± ⋅ = ± ⋅ = ±

Page 12: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

30 Beispiel 4b

angesetzt (mit ℓϑ = ℓy = 12,00 m); es ist gemäß dem Verlauf der 1. Eigen-form in Feldmitte anzusetzen.

Mit dieser Ersatzbelastung wird zwar die maßgebende Asymptote der Last-Verschiebungskurve erzwungen; zusätzlich ist es jedoch erforderlich, den Einfluss des Biegeknickens (2. und 3. Eigenform) zu berücksichtigen, auch wenn die zugehörigen BK-Lasten ungefähr doppelt so groß wie der DK-Eigenwert sind. Dies wird – ohne weitere Vergleichsberechnungen – an den Vergrößerungsfaktoren V für Biegeknicken deutlich:

Bild 4.2 Planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze über n Geschosse

(mit Ersatzlasten), nur an den Enden gabelgelagert

Eigenformen: 1. 2. 3.

v w

1. Ncr (DK) = 1569 kN

2. Ncr (BK z-z) = 3141 kN

3. Ncr (BK y-y) = 3321 kN

ϑ

Fx = 1140 kN

z, w

L = ℓy = 12,00 m

ℓz = 3,00 m

3,00 m

3,00 m

3,00 m x

Fz =

23 kN

Fy = 23 kN

MT = 137 kNcm

23

23

23

y, v

Fx

H 400/180/10/14 , S 355 (Querschnittswerte s. Tab. 1.1) fyd = 35,5/1,1 = 32,3 kN/cm2

Steifigkeiten NICHT abgemindert Eigengewicht vernachlässigt

Page 13: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – BK nach zwei Richtungen, DK 31

1( ) 1,521 1140 / 3321

1( ) 1,571 1140 / 3141

V BK y y

V BK z z

− = =−

− = =−

Die horizontalen Ersatzkräfte Fy und Fz werden wie in Beispiel 4a angesetzt; sie ergeben sich mit N = 1140 kN zu:

y z1140 23 kN

50 50N

F F= =± =± =±

Ergebnisse Die extremalen Schnittgrößen nach Th.I.O., Th.II.O.-3W und nach der genauen Stabtheorie sowie die Fehler der Ergebnisse nach Th.II.O. sind in der Tab. 4.2 zusammengestellt.

Baustatische Relevanz Die Sicherheit gegen BDK ist mit αcr = 1,38 vorhanden. Die plastische Querschnittsausnutzung nach dem TSV beträgt mit den Schnittgrößen nach Th.II.O.-3W 79 %, mit den exakten Größen liegt sie etwas darunter. (Eine geringfügige Laststeigerung führt zu einem Torsionsdrehwinkel ϑ > 0,3 und damit zu einem Abbruch der Berechnungen nach Th.II.O.-3W mit dem Programm P2.)

Die Verschiebungen im Gebrauchszustand (1/1,35-faches Lastniveau) sind mit einer Größenordnung von ℓ/700 sehr gering. Allerdings ist die Torsions-verdrehung mit ϑ = 128 mrad (7,3°) beträchtlich und dürfte nicht in allen Fällen akzeptabel sein.

Verweis auf den theoretischen Hintergrund und ähnliche Beispiele Siehe Abschn. II/3.5.5.

Kurzkommentar Wegen der in den Zwischengeschossen weggefallenen Torsionslager sinkt die Instabilitätslast (DK ist maßgebend) gegenüber Beispiel 4a ungefähr auf die Hälfte ab; entsprechend gering ist die aufnehmbare Belastung.

Bei diesem Beispiel ist die Torsionsbeanspruchung – anders als im Bei-spiel 4a – nicht mehr von untergeordneter Bedeutung. Die Biege- und die Torsionsgrößen liefern jeweils Spannungen in der gleichen Größenordnung.

Page 14: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

32 Beispiel 4b

Mit Fehlern der (vergleichsweise hochwertigen) Th.II.O.-3W zwischen -17 % und +18 % bei den bemessungsbestimmenden Größen ergibt sich ein deutlicher Hinweis auf die begrenzten Anwendungsmöglichkeiten dieser Theorie. Die Abweichungen liegen teils auf der sicheren, teils auf der unsicheren Seite. Infolge der „glättenden“ Wirkung des Interaktionsnach-weises schlagen die Fehler der Einzelgrößen nicht voll auf den Tragsicher-heitsnachweis durch. Dennoch überschreiten die Fehler der Einzelgrößen auch unter baupraktischen Aspekten zumindest im Stahlbau die Grenze des Tolerierbaren.

Tab. 4.2 Extremale Verformungen und Schnittgrößen (zu Bild 4.2)

1 2 3 4 5 6

max bzw. min

an der Stelle 1)

x ≈ . . . m

Th.I.O. 2) Th.II.O.-3W exakt Fehler 3) Anmerkung

1 v (cm) 10,5 -0,452 -0,760 -0,788 -4 %

für die Nachweise

maßgebende Größen

2 w (cm) 6,0 / 6,9 1,71 2,59 3,11 -17 %

3 My (kNm) 6,0

69,0 105 108 -3 %

4 ⇒ σx (kN/cm2) 6,0 9,1 9,4

5 Mz (kNm) 7,5

-17,25 -33,4 -28,3 18 %

6 ⇒ σx (kN/cm2) 11,4 22,0 18,7

7 Mω (kNm2)

6,0

1,16 2,79 2,96

-5 % bis

-6 %

8 ⇒ σx (kN/cm2) 4,0 9,6 10,1

9 ϑ (mrad) 80,8 290 305

10 ϑ ′ (mrad/cm) 12,0

-0,177 -0,740 -0,782

11 Mxp (kNcm) -64,5 -270 -285 12 ⇒ τp (kN/cm2) 2,0 8,4 8,9 13 Mxs (kNcm)

6,0 68,5 113 119

für die Nachweise

vernachlässigbare Größen

14 ⇒ τs (kN/cm2) 0,1 0,2 0,2

15 MxN (kNcm) 12,0

– 235 249

16 MxH (kNcm) – – -11 –

1) Die maßgebenden Stellen nach Th.I.O., Th.II.O.-3W und exakter Berechnung stimmen nicht immer genau überein.

2) Zu den Sp. 3 und 4 zugehörige Werte der Th.I.O. 3) Wahrer relativer Fehler der Th.II.O.-3W

Page 15: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

Beispiel 5 Gekoppelte Beanspruchung in der System-Ebene

und senkrecht zur Ebene Ebenes Rautenfachwerk

mit biege- und torsionssteifen Knoten

Aufgabenstellung Das in Bild 5.1 dargestellte Rautenfachwerk mit biege- und torsionssteifen Knoten wird planmäßig durch die Last Fz im senkrecht zur System-Ebene nicht gehaltenen Knotenpunkt 2 beansprucht. Als Ersatzimperfektion wird an diesem Knoten zusätzlich eine Last Fy = 0,2 kN berücksichtigt.

Gesucht sind die Normalkräfte, die Verschiebung v2 am Knoten 2 senkrecht zur System-Ebene sowie die Kraft-Verschiebungskurve für v2 (Fz = variabel, Fy = 0,2 kN = const).

Bild 5.1 System und Belastung

z x

Stäbe 1–4: IPE 300

1

QRo 120 x 5

z y

3,00

3,00

Fz = 24 kN Fy

= 0,2 kN

4

1

4

2

43

53

2 2

6,00 m 6,00 m

S 355 , fyd = 36/1,1 = 32,7 kN/cm2 Steifigkeiten mit γM = 1,1 abgemindert

Eigengewicht vernachlässigt

© 2014 Ernst & Sohn GmbH & Co. KG. Published 2014 by Ernst & Sohn GmbH & Co. KG.Günter Lumpe, Volker GensichenEvaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software. Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. 1. Auflage.

Page 16: Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

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978-3-433-03053-0 Günter Lumpe, Volker Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

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