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Lösungen zu den Aufgaben

in

FINANZWIRTSCHAFT II

Skript zu der gleichnamigen Vorlesungim WS 2005/2006

prof. dr. s. trautmann lösungen zu finanzwirtschaft II

Aufgaben zu Kapitel 9

Lösung 9.1 (Marktportefeuille, CAPM)

(a) Die Tobin-Separation besagt, daß alle Investoren das gleiche risikobehaftete Por-tefeuille halten. Kennt man daher das optimale Portefeuille eines beliebigen In-vestors - hier eines Investors mit exponentieller Nutzenfunktion -, so kann mandaraus das Tangentialportefeuille bestimmen. Erwartete Rendite und Varianz ei-nes Portefeuilles sind gegeben durch

µP = xAµA + xBµB + (1 − xA − xB)r= 0, 10xA + 0, 15xB + 0, 05 (1 − xA − xB)= 0, 05xA + 0, 10xB + 0, 05,

σ2P = x2

Aσ2A + x2

Bσ2B + 2xAxBσA,B

= 0, 04x2A + 0, 14x2

B + 0, 08xAxB.

Damit ergibt sich für das Sicherheitsäquivalent

Φ = 0, 05xA + 0, 1xB + 0, 05 − (0, 02x2

A + 0, 07x2B + 0, 04xAxB

).

Dies ist zu maximieren. Dafür setzt man die beiden partiellen Ableitungen Null.

∂Φ∂xA

= −0, 04xA − 0, 04xB + 0, 05 != 0

∂Φ∂xB

= −0, 04xA − 0, 14xB + 0, 1 != 0

⇒ xA = 0, 75xB = 0, 5

xTA =

xA

xA + xB= 0, 6

xTB =

xB

xA + xB= 0, 4

Das Tangentialportefeuille besteht zu 60% aus Portefeuille A und zu 40% ausPortefeuille B. Setzt man xT

A und xTB in die Gleichungen für erwartete Rendite und

Varianz ein, so erhält man µT = 0, 12 und σ2T = 0, 056. Im Marktgleichgewicht

entspricht das Tangentialportefeuille dem Marktportefeuille.

(b) Die Kapitalmarkthalbgerade hat folgende Gestalt:

µi = r + σiµM − r

σM

= 0, 05 +0, 12 − 0, 05√

0, 056σi

= 0, 05 + 0, 2958σi

3


(c) Der Market Price of Risk ist definiert als Quotient aus Überrendite des Marktesund Volatilität der Marktrendite.

market price of risk =µM − r

σM

=0, 12 − 0, 05√

0, 056= 0, 2958

(d) Unsystematisches Risiko wird nicht entlohnt.

(e) Liegen zwei Wertpapiere und ein risikoloser Zins vor, so erhält man die Anteileam Tangentialportefeuille durch

xTA =

yA

yA + yBund xT

B =yB

yA + yB,

wobei yA und yB folgendes Gleichungsystem lösen (vgl. Skript 8.5):

yAσ2A + yBρσAσB = µA − r

yBσ2B + yAρσAσB = µB − r

Einsetzten und mit 100 multiplizieren ergibt:

4yA + 4yB = −24yA + 14yB = 3

⇔ yA = −1 und yB = 0, 5⇔ xT

A = 2 und xB = −1µT = 0, 05 und (σT )2 = 0, 14

Liegt der risikolose Zinssatz über der Rendite des Minimumvarianzportefeuilles,so liegt der Tangentialpunkt auf dem unteren Ast der Hyperbel (vgl. Abb. 1).Portefeuilles auf der Effizienzlinie erreicht man, wenn man das Tangentialporte-feuille leerverkauft. Da das Tangentialportefeuille positive Anteile in mindestenseinem Wertpapier enthält, muß das optimale Portefeuilles eines jeden Investorsnegative Anteile in mindestends einem Portefeuille (hier A) enthalten. Es kannsich nicht um eine Gleichgewichtssituation handeln.

(f) Die Kovarianz von Wertpapier C mit dem Markt ist gegeben durch

Cov(RC , RM ) = Cov(RC ; 0, 6RA + 0, 4RB)= 0, 6 · Cov(RC , RA) + 0, 4 · Cov(RC , RB)= 0, 6σCσAρA,C + 0, 4σCσBρB,C

= 0, 046

Daraus ergibt sich der Beta-Koeffizient

β =Cov(RC , RM )

σ2M

= 0, 8214

4


Abbildung 1: Ineffizientes Tangentialportefeuille

�

�

T

r

µ

σ

Gemäß dem CAPM müßte die erwartete Rendite

µC = r + β(µM − r) = 0, 1075

betragen. Es gilt aber µC = 0, 12. Die Rendite ist also zu hoch und das WertpapierC unterbewertet. Es lohnt sich daher dieses Wertpapier zu kaufen.

5


Lösung 9.2 (CAPM)

(a) Die Wertpapierkenngerade:

�

�

µ

β0 1

µM

r

(b) Die Grundgleichung des CAPM lautet:

µj − r = β(µM − r)

= ρjMσj︸︷︷︸systematisches Risiko SRj

· µM − r

σM︸︷︷︸Marktpreis des Risikos

Die Wertpapierkenngerade beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen dererwarteten Rendite und der Volatilität einzelner Wertpapiere im Marktgleichge-wicht. Dieser Zusammenhang besagt, daß die erwartete Rendite den Zinssatz fürrisikolose Anlagen um eine Risikoprämie übersteigen muß. Die Risikoprämie istdabei proportional zum systematischen Risiko des betreffenden Titels.

(c) Wertpapiere mit β < 0 existieren, obwohl im Marktgleichgewicht ihre Renditekleiner als der risikolose Zinssatz ist. Sie dienen der Diversifikation.

(d) Gilt das CAPM, so ist:µi − r = βi(µM − r) ,

und damit für βi = 1, 5:

µi = 0, 05 + 1, 5 · (0, 1 − 0, 05) = 0, 125 ,

und für βi = 0, 8:

µi = 0, 05 + 0, 8 · (0, 1 − 0, 05) = 0, 09 .

6


Lösung 9.3 (CAPM)

(a) β > 1 ⇒ aggressives Wertpapierβ = 1 ⇒ neutrales Wertpapierβ < 1 ⇒ defensives Wertpapier

(b) Im CAPM gilt µi = r + βi(µM − r). Für die vier Aktien folgt daher:

µA = 0, 05 + (−1)(0, 13 − 0, 05) = −0, 03µB = 0, 05 + 0 · (0, 13 − 0, 05) = 0, 05µC = 0, 05 + 1 · (0, 13 − 0, 05) = 0, 13µD = 0, 05 + 2 · (0, 13 − 0, 05) = 0, 21

(c) Das systematische Risiko ist durch βiσM oder durch β2i σ2

M gegeben.

βAσM = −1 · 0, 15 = −0, 15β2

Aσ2M = 0, 0225

βBσM = 0 · 0, 15 = 0β2

Bσ2M = 0

βCσM = 1 · 0, 15 = 0, 15β2

Cσ2M = 0, 0225

βDσM = 2 · 0, 15 = 0, 30β2

Dσ2M = 0, 09

Lösung 9.4 (CAPM)

(a) Die Grundgleichung des CAPM lautet: µi−r = β(µM −r). Daher ergibt sich eineerwartete Rendite µi des Wertpapiers von 23%. Ein von dieser Zahl verschiedenerWert ist unter den Modellvoraussetzungen nicht denkbar.

(b) Das vorliegende Wertpapier wäre daher über der Wertpapierkenngerade positio-niert. Anders ausgedrückt: die erwartete Rendite wäre zu hoch bzw. der Kurs zuniedrig, das Papier also unterbewertet. Die Marktteilnehmer würden das Wert-papier aufgrund seiner hohen erwarteten Rendite verstärkt kaufen. Daher würdeder Kurs steigen bzw. die Rendite fallen, bis die Position des Wertpapiers imGleichgewicht die Wertpapierkenngerade erreicht hätte.

(c) Wertpapiere, die oberhalb (unterhalb) der Wertpapierkenngerade positioniertsind, weisen eine im Verhältnis zum systematischen Risiko zu hohe (niedrige)erwartete Rendite auf. Deshalb sind die Marktteilnehmer geneigt, diese Titel zu

7


kaufen (verkaufen). Transaktionkosten, die beim Handel anfallen, können aberdiesen Vorteil (Nachteil) überkompensieren. Wertpapiere, die eine zu geringe er-wartete Rendite aufweisen, werden von den Marktteilnehmern verkauft; dies istaber bei Leerverkaufsverbot nur aus vorhandenen Beständen möglich.

Lösung 9.5 (CAPM)

Das Beta eines Portefeuilles kann aus der Wertpapierkenngerade abgeleitet werden:

βP =E(RP ) − rf

E(RM ) − rf= 1, 5 .

Das Risiko eines effizienten Portefeuilles besteht nur aus systematischem Risiko. DieStandardabweichung ergibt sich somit aus:

σ(RP ) = βP σ(RM ) = 0, 3 bzw. 30% .

Der Korrelationskoeffizient ergibt sich aus:

ρM,P =Cov(RP , RM )σ(RP )σ(RM )

.

Die Kovarianz kann über die Definition des Beta berechnet werden:

βP =Cov(RP , RM )

σ2M

⇒ Cov(Rp, RM ) = 0, 06 .

Somit ergibt sich ein Korrelationskoeffizient von 1. Effiziente Wertpapiere sind also mitdem Markt perfekt korreliert.

Lösung 9.6 (Schätzung von Beta)

Der Betakoeffizient ist gegeben durch

β =Cov(RA, RM )

V ar(RM ).

Um einen Schätzwert für β zu erhalten, müssen daher die Kovarianz zwischen der Rendi-te von A und dem Markt sowie die Varianz der Rendite des Marktportefeuilles geschätztwerden. Übliche Schätzer sind

σ2M =

1n − 1

n∑i=1

(RMi − µM )2

σM,A =1

n − 1

n∑i=1

(RMi − µM )(RAi − µA)

wobei

µM =1n

n∑i=1

RMi

µA =1n

n∑i=1

RAi

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die entsprechenden Schätzer für die erwarteten Renditen sind. Es ist

µM = 0, 048125µA = 0, 03σ2

M = 0, 000557σ2

AM = 0, 00095und damit

β = 1, 7065

Es handelt sich daher um ein aggressives Wertpapier.

Lösung 9.7 (CAPM)

Zunächst müssen aus den gegebenen Daten die erwartete Marktrendite E(RM ) sowieder risikolose Zinssatz rf errechnet werden. Da im Gleichgewicht jedes Wertpapier aufder Wertpapierkenngerade liegen muß, gilt nach dem CAPM:

E(Ri) = rf + [E(RM ) − rf ]βi

1. Wertpapier: 0, 076 = rf + [E(RM ) − rf ] · 0, 2 (1)2. Wertpapier: 0, 124 = rf + [E(RM ) − rf ] · 0, 8 (2)

Dieses ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Aus (1) folgt

rf = (0, 076 − 0, 2 · E(RM ))/0, 8 .

In (2) eingesetzt

0, 124 = 0, 095 − 0, 25E(RM ) + 0, 8E(RM ) − 0, 8(0, 095 − 0, 25E(RM )) ,

ergeben sich die Werte

E(RM ) = 14% und rf = 6% .

Überprüfung der Ergebnisse durch Einsetzen in die Gleichung der Wertpapierkennge-raden der anderen Wertpapiere:

E(R3) = 0, 06 + [0, 14 − 0, 06] · 1, 2 = 0, 156E(R4) = 0, 06 + [0, 14 − 0, 06] · 0, 6 = 0, 188 .

Somit ergeben sich folgende Werte für den Erwartungswert und das Beta des aktuellenPortefeuilles:

E(RP ) =5∑

i=1

pi · E(Ri)

= 0, 1(0, 076) + 0, 1(0, 124) + 0, 1(0, 156) + 0, 2(0, 188) + 0, 5(0, 06)= 0, 1032

βP =5∑

i=1

pi · βi

= 0, 1(0, 2) + 0, 1(0, 8) + 0, 1(1, 2) + 0, 2(1, 6) + 0, 5(0) = 0, 54

9


Die erwartete Rendite ist also geringer als 12%. Um die geforderte Rendite von 12%zu erzielen, wird nun ein Anteil von x von der risikolosen Anlage verkauft und in dasMarktportefeuille investiert. Für das Portefeuille P ′ gilt somit:

0, 12 = E(RP ′) = 0, 1(0, 076) + 0, 1(0, 124) + 0, 1(0, 156)+0, 2(0, 188) + (0, 5 − x)(0, 06) + x(0, 14)

⇒ 0, 12 − 10, 32 = 0, 08xx = 0, 21

Im neuen Portefeuille werden also nur noch 29% des Gesamtvermögens in ein risikolosesWertpapier und 21% in das Marktportefeuille angelegt. Die Aufteilung der restlichen50% des Gesamtvermögens erfolgt wie bisher in die im Portefeuille enthaltenen riskantenWertpapieren. Das Beta dieses Portefeuilles beträgt 0.75.Im folgenden wird die Zusammensetzung eines Portefeuilles, P ′′, ermittelt, das eineerwartete Rendite von 12% erbringt und lediglich aus dem risikolosen Wertpapier unddem Marktportefeuille besteht.

E(RP ′′) = 0, 06 · x + 0, 14 · (1 − x) = 0, 120, 08x = 0, 02 ⇒ x = 0, 25

Es werden also 25% des Gesamtvermögens in das risikolose Wertpapier und 75% in dasMarktportefeuille investiert.

Lösung 9.8 (CAPM)

Aus dem CAPM ergibt sich für das Beta folgender Wert, βvori = 0,13−0,07

0,08 = 0, 75.Verdoppelt sich nun die Kovarianz zwischen der Wertpapierrendite und der Rendite desMarktportefeuilles verdoppelt sich das Beta ebenfalls, da gilt:

βnachi =

2 · σiM

σ2M

= 2 · βvori = 1, 5 .

Damit ergibt sich der neue Preis des Wertpapiers aus:

E(Ri) = 0, 07 + 0, 08 · 1, 5 = 0, 19 .

Unter Verwendung der Ausgangsdaten ergibt sich der zukünftige Preis P1 des Wertpa-piers aus

P0 (1 + E(Ri)) = P1

mit P0 = 120 gilt P1 = 120(1, 13) = 135, 6 ,

mit gleich dem aktuellen Preis des Wertpapiers P0. Wenn nun dieser zukünftige Preisunverändert bleibt, sich die Kovarianz aber verdoppelt, so ergibt sich aufgrund dergeänderten Renditeerwartung der neue heutige Marktpreis

P0 = P1 · (1 + 0.19)−1 = 113, 9 C–– .

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Lösung 9.9 (Systematisches und unsystematisches Risiko)

(a) Die Rendite eines Wertpapiers kann - unabhängig von irgendwelchen Annahmen- auf folgende Art zerlegt werden:

Ri = (E(Ri) − βi(E(RM ) − rf )) + βi(RM − rf ) + εi

mit

βi =cov(Ri, RM )

σ2M

,

E(εi) = 0, Cov(RM , εi) = 0.

Im CAPM gilt E(Ri) = rf + βi(E(RM ) − rf ). Deswegen erhält man:

Ri = rf + βi(RM − rf ) + εi

Die Varianz von Ri kann daher auf folgende Art aufgespalten werden:

σ2i = β2

i σ2M + σ2(εi).

β2i σ2

M ist der Anteil an der Gesamtvarianz, der durch denMarkt erklärt wird. Man spricht daher vom systematischen Risiko.

σ2(εi) ist der Anteil der Varianz, der nicht durchden Markt erklärt wird, daher unsystematiches Risiko genannt.

Manchmal überträgt man diese Aufspaltung auf die Standardabweichung. DannistβiσM das systematische Risiko.σi − βiσM(�= σ(εi)) das unsystematische Risiko.

(b) Im CAPM gilt (vgl. Abbildung 2): b : a = E(Ri − rf ) : E(RM − rf ) = βi.

Abbildung 2: Systematisches Risiko

�

�

rf

0

M

a

i

b

c

dµ

σ

11


Wegen des Strahlensatzes gilt: c : d = a : b. Die Strecke c entspricht der Stan-dardabweichung des Marktportefeuilles σM . Durch Umformung ergibt sich, daßdie Strecke d = b

a · c = βi · σM dem systematischen Risiko entspricht.

Ein Portefeuille mit einem β > 1 hat eine höhere erwartete Rendite als dasMarktportefeuille; ist dagegen β < 0, so ist die erwartete Rendite kleiner als rf .Liegt β zwischen 0 und 1, so liegt die erwartet Rendite zwischen rf und E(RM ).In den Abbildungen 3, 4 und 5 sind systematisches und unsystematisches Risikofür Wertpapiere mit unterschiedlichem β dargestellt.

Abbildung 3: Aggressives Wertpapier

Systematisches Risiko Unsystematisches Risiko

�

�

rf

0

M

i

µ

σ

(c) Im allgemeinen stimmt diese Aussage nicht. Nicht das Gesamtrisiko sondern dassystematische Risiko bestimmt die erwartet Rendite. Für effiziente Portefeuillesist die Aussage hingegen korrekt, da hier Gesamtrisiko und systematisches Risikoübereinstimmen.

12


Abbildung 4: Defensives Wertpapier (1 > β > 0)

�

�

rf

0

M

µ

σ

Abbildung 5: Defensives Wertpapier (β < 0)

�

�

µ

rf

σ0

M

i

13


Lösung 9.10 (CAPM)

(a) Gemäß dem CAPM muß gelten

E(Ri) = rf +(E(RM ) − rf )

σ2(RM )σiM

= 0, 04 +0, 10 − 0, 04

0, 04· 0, 064 = 0.136 ,

wegenσiM = ρiM · σ(Ri) · σ(RM )

= 0, 8 · 0, 4 · 0, 2 = 0, 064 .

Das Projekt i ist also vorteilhaft, weil die erwartete Rendite, E(Ri) = 25%, überder vom CAPM geforderten Rendite (= 13, 6%) liegt !

(b) Wesentliche Anwendungsvoraussetzungen des CAPM sind:

(1) vollkommene Märkte, d.h. – keine institutionellen Beschränkungen– keine Transaktionskosten

(2) Investoren sind risikoavers und entscheiden auf der Basis des EV-Kriteriums.

(3) Alle Investoren besitzen homogene Erwartungen.

Lösung 9.11 (Systematisches Risiko)

Die Aussage ist wahr!Systematisches Risiko oder auch Marktrisiko ist derjenige Anteil der Portefeuillevarianz,welcher in Abhängigkeit der Marktvarianz dargestellt werden kann. Besteht die Mög-lichkeit zur risikolosen Kreditaufnahme und -anlage, so sind alle effizienten Portefeuilleseine Linearkombination aus dem risikolosen Wertpapier und dem Marktportefeuille. Dadas risikolose Wertpapier eine Varianz von Null hat, wird die Gesamtvarianz effizienterPortefeuilles ausschließlich durch das Marktportefeuille bestimmt. Das gesamte Risikoist somit systematisch. Formal kann dies wie folgt abgeleitet werden:

V ar(RP ) = V ar(x · RM + (1 − x) rf ) = x2σ2M + (1 − x)2σ2

f + 2x(1 − x)σM,f

= x2σ2M + 0 + 0

Andererseits ist

βP =Cov(RM , RP )

V ar(RM )=

Cov(RM , xRM ) + Cov(RM , (1 − x)rf )V ar(RM )

= x

Das systematische Risiko ergibt sich somit zu: σ2(RP ) = β2P · σ2(RM ) .

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Lösung 9.12 (CAPM)

Bestimmung der zur Berechnung der gesuchten Größen erforderlichen Werte:

pi Ri piRi Ri − Ri pi(Ri − Ri)2

0,1 -0,30 -0,03 -0,45 0,020250,3 0,00 0,00 -0,15 0,006750,4 0,20 0,08 0,05 0,001000,2 0,50 0,01 0,35 0,02450

Ri = 0,15 σ2i = 0,0525

pi RM piRM RM − RM pi(RM − RM )2

0,1 -0,15 -0,015 -0,25 0,006250,3 0,05 0,015 -0,05 0,000750,4 0,15 0,060 0,05 0,001000,2 0,20 0,040 0,10 0,00200

RM = 0,10 σ2M = 0,0100

pi(Ri − Ri)(RM − RM )

0,011250,002250,001000,00700

Cov(Ri, RM ) = 0,02150

Das Beta der Trautmann & Partner GmbH beträgt: βi =Cov(Ri, RM )

σ2M

= 2, 15.

a) E(RM ) = 10%

b) σ2M = 1%, σ(RM ) = 10%

c) Ri = 15%

d) Cov(Ri, RM ) = 2, 15%

e) E(Ri) = rf + (E(RM ) − rf ) · βi = 0, 06 + (0, 10 − 0, 06) · βi = 0, 146

f) Die geforderte Gleichgewichtsrendite der Trautmann & Partner GmbH beträgtE(Ri) = 14, 6% . Die erwartete Rendite der Trautmann & Partner GmbH istsomit größer als die geforderte Gleichgewichtsrendite; d. h. das Unternehmen istunterbewertet.

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Lösung 9.13 (CAPM)

Der Rückfluß wird entgegen der Aufgabenstellung im folgenden mit Zi bezeichnet!

(a) Bestimmung von erwarteter Rendite und Varianz der Rendite des Marktporte-feuilles:

E(RM ) = 0, 05 · (0, 2 + 0, 1 + 0, 05) + 0, 1 · (0, 1 + 0, 2 + 0, 1)+0, 15 · (0, 1 + 0, 1 + 0, 05)

= 9, 5%V ar(RM ) = (0, 05 − 0, 095)2 · 0, 35 + (0, 10 − 0, 095)2 · 0, 40

+(0, 15 − 0, 095)2 · 0, 25= 0, 001475

(b) Der Marktpreis des Risikos ist definiert als: (E(RM ) − rf )/σM .Im hier vorliegenden Fall beträgt der Marktpreis des Risikos 0,9113.

(c) Zunächst erfolgt die Bestimmung des erwarteten Rückflusses des Investitionspro-jekts mit Hilfe der CAPM-Gleichung:

E(Ri) = rf + [E(RM ) − rf ]/V ar(RM ) · Cov(Zi, RM ).

Hierzu muß zunächst noch die Kovarianz des Rückflusses aus dem Investitions-projekts und der Marktrendite bestimmt werden. Es gilt:

Cov (Zi, RM ) = E [(Zi − E(Zi)) (RM − E(RM ))] ,

wobei E(Zi) = 2.000.

Cov (Zi , RM ) = (0, 05 − 0, 095)(1.000 − 2.000) · 0, 2+(0, 10 − 0, 095)(1.000 − 2.000) · 0, 1+(0, 15 − 0, 095)(1.000 − 2.000) · 0, 1+(0, 05 − 0, 095)(4.000 − 2.000) · 0, 05+(0, 10 − 0, 095)(4.000 − 2.000) · 0, 10+(0, 15 − 0, 095)(4.000 − 2.000) · 0, 05 = 5

Die Investition ist vorteilhaft, wenn die Rendite mindestens die vom CAPM ge-forderte Rendite erreicht, also für

E

(Zi − I0,i

I0,i

)≥ rf +

Cov(RM ,

Zi−I0,i

I0,i

)V ar(RM )

· (E(RM ) − rf )

⇒ Ikrit0,i =

E(Ri) − (E(RM ) − rf ) · Cov (Ri , RM )/V ar(RM )1 + rf

=2.000 − 0, 035 · 5/0, 001475

1, 06= 1.774, 86

Ist die Investitionsauszahlung am Anfang der Periode kleiner oder gleich 1774,86[GE], wird das Projekt durchgeführt, andernfalls nicht.

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(d) Beurteilung einer Finanzinvestition mittels des CAPM:

E(RA) = rf +E(RM ) − rf

V ar (RM )· Cov (RA , RM )

= 0, 06 +0, 035

0, 001475· (−0, 005) = −0, 0586

E(RB) = 0, 06 +0, 035

0, 001475· 0, 0015 = 0, 0956

Lösung 9.14 (Optionen und Wertpapierkenngerade)

Optionen liegen wegen des Hebels auf der Wertpapierkenngerade weiter außen als dieAktie. Dabei sind Optionen, die im Geld notiert näher an der Aktie positioniert. Intuitivkann man das damit begründen kann, daß weit im Geld notierende Optionen fast demBasiswert selbst entsprechen - Calls der Long-Position, Puts der Shortposition. Exaktgilt, daß das β der Option dem β des Basiswertes multipliziert mit der Elastitzität derOption entspricht:

βC = βStock∂C

∂S

S

CβP = βStock

∂P

∂S

S

P

Abbildung 6: Optionen auf der Wertpapierkenngerade

�

�

BASF

M Ci

CaCo

β

µ

PoPa

Pi

1-1

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Lösung 9.15 (Portfolio-Selektion bei eingeschränkter Kreditaufnahme)

(a) Den ersten Abschnitt der Effizienzlinie erhält man, indem man bis zum Kredit-limit risikolose Anlage und Tangentialportefeuille kombiniert. Beleiht man Por-tefeuilles oberhalb des Tangentialportefeuilles, die bzgl. der risikobehafteten An-lagen effizient sind (z.B. Port. A), bis zur Beleihungsgrenze, so erhält man denzweiten Teil der Effizienzlinie.

Abbildung 7: Effizienzlinie bei eingeschränkter Kreditaufnahme

�

�σ

µ

rf

T

A

(b) Portefeuilles mit β > 1 liegen rechts vom Tangentialportefeuille.

(c) Risikoscheue Anleger investieren in das Tangentialportefeuille, risikofreudigerein Portefeuilles, die auf der Effizienzlinie der risikobehafteten Anlagen oberhalbdes Tangentialportefeuilles liegen. Eine Mischung aller am Markt kapitalisiertenAnlagen kann demnach nicht dem Tangentialportefeuille entsprechen.

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Lösung 9.16 (Zero-Beta-Portefeuille)

(a) Bei der Wertpapierkenngerade von Fischer Black wird der risikolose Zinssatzdurch die erwartete Rendite des Zero-Beta-Portefeuilles ersetzt.

µi = µZ + βi,M (µM − µZ).

(b) In der CAPM-Erweiterung nach Black besitzt das Zero-Beta-Portefeuille fol-gende Eigenschaften:

– Das Zero-Beta-Portefeuille hat konstruktionsgemäß einen Betafaktor vonNull, wobei unter Portefeuilles mit dieser Eigenschaft dasjenige mit demkleinsten Risiko gewählt wird.

– Das Zero-Beta-Portefeuille ist gemäß des Erwartungswert-Varianz-Kri-teriums ineffizient.

– Das Zero-Beta-Portefeuille besitzt eine zur Tobin-Separation analoge Ei-genschaft. Alle effizienten Portefeuilles können aus dem Marktportefeuil-le und dem Zero-Beta-Portefeuille kombiniert werden. Lediglich das Mi-schungsverhältnis wird durch die individuelle Risikoaversion determiniert.

(c) Die Konstruktion des Zero-Beta-Portefeuilles erfolgt folgendermaßen: Man legteine Tangente an die Effizienzlinie durch das Marktportefeuille. Der Schnittpunkt,den man mit der µ-Achse erhält, gibt die erwartete Rendite aller der Portefeuillesan, die zum Marktportefeuille ein β von Null besitzen. Als Zero-Beta-Portefeuillebezeichnet man dann dasjenige mit geringster Standardabweichung (vgl. Abb. 8).

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Abbildung 8: Zero-Beta-Portefeuille

�

�

σ

µ

MVP

M

µZ

µM

σM

Z ′Z


Das Portefeuille A ist kein Zero-Beta Portefeuille, da die Kovarianz zwischen den Ren-diten des Marktportefeuilles und den Renditen des Portefeuilles A ungleich Null ist.Für ein Zero-Beta Portefeuille müßte hingegen βA = 0 und damit Cov(RA, RM ) = 0gelten. Mit rA = 2% und rM = 4, 3% erhält man

Cov(RA, RM ) = E[(rA − rA) · (rM − rM )]= 1/3 · [0, 06 · 0, 056 + (−0, 02) · 0, 036 + (−0, 04) · (−0, 093)]= 0, 00213 �= 0.

20



Bestimmung der Rendite x durch Nullsetzen der Kovarianz zwischen den Renditen desMarktportefeuilles und den Renditen des Portefeuilles Z:

rM = 0, 0875

rZ =0, 13 + x

4

σZ,M =1

n − 1

n∑j=1

(rM j − rM ) · (rZj − rZ)

=13·[(0, 10 − 0, 0875) ·

(0, 05 − 0, 13 + x

4

)+(0, 20 − 0, 0875) ·

(−0, 13 + x

4

)+(0, 15 − 0, 0875) ·

(0, 08 − 0, 13 + x

4

)+(−0, 10 − 0, 0875) ·

(x − 0, 13 + x

4

) ]=

13·[0, 005625 − 0, 1875x

]⇒ x = 3%

Wenn die Rendite x im Jahr 1989 gleich 3% beträgt, dann stellt das Portefeuille Z einZero-Beta Portefeuille dar.

Lösung 9.19 (Einfaktorenmodell)

(a) Das Einfaktorenmodell ist ein Regressionsmodell, infolgedessen können die Re-gressionsparameter mittels der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt werden.

min f(αi, βi)

mit f(αi, βi) =T∑

t=1

(Rit − αi − βi · RFt)2︸︷︷︸ε2it

Finden des Minimums durch Nullsetzen der ersten partiellen Ableitungen:

∂f

∂αi

!= 0∂f

∂βi

!= 0 .

21


Das Beta und Alpha errechnet sich somit aus:

βi =

T∑t=1

(Rit − Ri)(RFt − RF )

T∑t=1

(RFt − RF )2=

Cov(Ri, RF )V ar(RF )

αi = Ri − βi · RF

(b) Soll-Werte der Kovarianzen:

Cov(εjt, εit) = 0Cov(εjt, RFt) = 0

Cov(εjt, εj,t−1) = 0 .

(c) Allgemein gilt:

V ar(Ri) = β2i V ar(RF ) + V ar(εi)

⇒ βi =

√V ar(Ri) − V ar(εi)

V ar(RF )= 0, 954

αi = Ri − βi RF = −2, 56%

Die Gleichung des Marktmodelles lautet somit:

Rit = −0, 0256 + 0, 954RFt + εit

(d) Die Sensitivität des Wertpapiers wird über das Beta erklärt:

β > 1 aggressives Wertpapierβ < 1 defensives Wertpapier

β = 0, 954 ≈ 1 neutrales (marktähnliches) Wertpapier

Lösung 9.20 (CAPM und APT)

(a) Unter einem vollkommenen Kapitalmarkt versteht man i. d. R. einen Markt mitfolgenden Eigenschaften:

– Der Markt ist friktionslos, d.h. es treten keine Reibungsverluste durch Trans-aktionskosten, Steuern etc. auf, Soll und Habenzins sind gleich. Alle Assetssind beliebig teilbar, es gibt keine Handelsbeschränkungen wie z.B. Leerver-kaufsbeschränkungen.

– Alle Marktteilnehmer sind Preisnehmer.

22


– Der Markt ist informationseffizient, d.h. Information ist kostenlos, und alleMarktteilnehmer erhalten die Information gleichzeitig.

(b) Die Voraussetzungen des Capital Asset Pricing Modell sind:

– alle Marktteilnehmer besitzen homogene Erwartungen,

– Erwartungswert-Varianz-Kriterium,

– Finanzmärkte sind vollkommen, d. h.

∗ Sollzinssatz gleich Habenzinssatz,∗ keine institutionellen Beschränkungen (keine Leerverkaufsbeschrän-

kungen),∗ keine Transaktionskosten und Steuern,

– Einperiodenmodell.

(c) Bei der Herleitung der ATP unterstellt man :

– das Fehlen von Arbitragemöglichkeiten,

– Finanzmärkte sind vollkommen,

– eine Faktorstruktur der Renditen

Ri = µi +∑

k

βi,kFk + εi,

– alle Marktteilnehmer besitzen homogene Erwartungen bzgl. der Faktor-struktur,

– das Verschwinden des Fehlerterms im diversifizierten Portefeuille∑

εi ≈ 0 .


(a) Die erwartete Rendite des Portefeuilles ergibt sich aus dem CAPM zu:

E(Ri) = rf + [E(RM ) − rf ]βi

= 0, 08 + [0, 062] · 1, 0= 0, 142 .

Setzt man dieses Ergebnis in die Gleichung der APT ein, so ergibt sich:

0, 142 = E(Ri) = 0, 08 + [0, 05]bi1 + [0, 11]bi2

= 0, 08 + [0, 05](−0, 5) + [0, 11]bi2

⇒ bi2 =0, 142 − 0, 08 − 0, 05 (−0, 5)

0, 11= 0, 7909

Die Sensitivität der Portefeuillerenditen auf den Faktor Inflation beträgt somit0,791, d.h. die Portefeuillerenditen reagieren defensiv auf Änderungen der Infla-tionsrate.

23


(b) Die APT-Gleichung lautet nun:

E(Ri) = 0, 142 = 0, 08 + [0, 05]bi1 + [0, 11]bi2

Mit bi2 = 0 ergibt sich: 0, 142 = 0, 08 + 0, 05 bi1

bi1 =0, 142 − 0, 08

0, 05= 1, 24

In diesem Fall beträgt die Sensitivität der Portefeuillerenditen auf den erstenFaktor 1,24, d.h. die Portefeuillerendite reagiert aggressiv auf Änderungen desIndexes der industriellen Produktion.

Lösung 9.22 (APT)

(a) Die APT stellt einen linearen Zusammenhang zwischen der erwarteten Renditeeines Portefeuilles und den Faktorrenditen her:

µi = rf + β1(µI1 − rf ) + β2(µI2 − rf )

(b) Faktor-1-Portefeuille und Faktor-2-Portefeuille haben eine erwartete Rendite von:

rf + 1 · (µI1 − rf ) = µI1 = 0, 08rf + 1 · (µI2 − rf ) = µI2 = 0, 09 .

Daher gilt für das verwaltete Portefeuille:

µ = rf + β1 · (µI1 − rf ) + β2(µI2 − rf )= 0, 05 + 0, 8 · (0, 08 − 0, 05) + 1, 4 · (0, 09 − 0, 05) = 0, 13.

(c) Soll die erwartete Rendite weiterhin 13% betragen, so muß

0, 13 = 0, 05 + β1 · 0, 03 + β2 · 0, 04gelten, d.h.

β2 =0, 08 − 0, 03β1

0, 04= 2 − 0, 75β1

Insbesondere ist β1 = 2, 6, wenn das Portefeuille mit der Inflationsrate nichtmehr korreliert ist, also β2 = 0 gilt (vgl. Abb. 9).

Lösung 9.23 (APT)

(a) Für ein Arbitrageportefeuille mit den Anteilen xA, xB und xC an den Wertpa-pieren A, B und C muß gelten:

24


Abbildung 9: Beziehung zwischen β1 und β2

�

�β2

β11

1

2

2, 6

– kein Eigenmitteleinsatz: xA + xB + xC = 0;

– kein systematisches Risiko: βAxA + βBxB + βCxC = xA + 2xB + 3xC = 0.

(b) Profitable Arbitrageportefeuilles existieren nicht, wenn die Bedingung „kein Ge-winn“:

E(RA)xA + E(RB)xB + E(RC)xC = xA · 10% + xB · 15% + xC · 20% != 0

aus den oben genannten Bedingungen „kein Eigenmitteleinsatz“ und „kein syste-matisches Risiko“ folgt.

Im vorliegenden Fall folgt offensichtlich die Bedingung „kein Gewinn“ durch eineeinfache Umformung aus den obigen Bedingungen. Profitable Arbitrageportefeuil-les existieren also nicht.

(c) Die Gleichung der Wertpapierkenngerade lautet: µi − rf = βi(µM − rf ). Dieerwartete Marktrendite entspricht der Rendite des Portefeuilles A, da diese ein β

25


von eins hat. Der risikolose Zinssatz ergibt sich deshalb aus:

Wertpapier B: 0, 15 = rf + 2 · (0, 1 − rf )Wertpapier C: 0, 20 = rf + 3 · (0, 1 − rf )⇒ rf = 0, 05 .

Durch Einsetzen erhält man die Wertpapierkenngerade:

µi = rf + βi(µM − rf ) = 0, 05 + βi · 0, 05.


Die erwartete Rendite des Portefeuilles ergibt sich gemäß CAPM zu:

E(Ri) = βi

(E(RM ) − rf

)+ rf = 9%.

Die Gleichung der APT lautet:

E(Ri) = rf + (E(F1) − rf ) · bi1 + (E(F2) − rf ) · bi2 = 5% · bi1 + 7, 5% · bi2 + 5%.

(a) Gleichsetzen der CAPM-Gleichung mit der APT-Gleichung liefert:

9% = 5% · bi1 + 7, 5% · bi2 + 5%= 5% · 0, 3 + 7, 5% · bi2 + 5%.

Daraus folgt:

bi2 =9% − 5% − 1, 5%

7, 5%=

13.

Die Sensitivität der Portefeuillerendite bezüglich des Faktors Preisniveau beträgtalso etwa 0,33, d.h. die Portefeuillerendite reagiert defensiv auf Änderungen derInflationsrate.

(b) Die Gleichung der APT lautet nun:

E(Ri) = 5% + 5% · bi1 + 7, 5% · bi2

= 5% + 5% · 0, 2 + 7, 5% · 0, 333 = 8, 5%.

Und die Wertpapierkenngerade:

E(Ri) = rf + βi

(E(RM ) − rf

)= 5% + βi(10% − 5%)

Gleichsetzen der Wertpapierkenngeraden und der APT-Gleichung liefert für dengesuchten Betafaktor:

βi =8, 5% − 5%

5%= 0, 7.

Die Sensitivität der Portefeuillerendite bezüglich des Marktportefeuilles beträgtnun 0,7, d.h. die Portefeuillerendite reagiert wieder defensiv auf unerwartete Än-derungen der Marktrendite.

26



Lösung 10.1 (Positive Zinsspanne)

(a) Bei hoher Risikoaversion kombiniert der Investor die risikolose Anlage mit demTangentialportefeuille H. Die Anteile von M und Z am Portefeuilles H erhältman durch:

xHM =

yM

yM + yZund xH

Z =yZ

yM + yZ,

wobei yM und yZ das folgende Gelichungssystem lösen:

yMσ2M + yZσMZ = µM − rH ,

yZσ2Z + yMσMZ = µZ − rH .

Da die Kovarianz zwischen M und Z null ist, folgt:

0, 22yM = 0, 12 ⇒ yM = 3,0, 12yZ = 0, 02 ⇒ yZ = 2.

Damit ergeben sich die Anteile:

xHM =

33 + 2

= 60% und xHZ =

23 + 2

= 40%.

Die erwartete Rendite bzw. der Betafaktor des Tangentialportefeuilles H ist dann

µH = 0, 6 · 0, 15 + 0, 4 · 0, 05 = 0, 11 = 11%,

βH|M = 0, 6 · 1 + 0, 4 · 0 = 0, 6.

(b) Bei geringerer Risikoaversion wird der Investor Kredit aufnehmen und in dasTangentialportefeuilles S investieren. Die Zusammensetzung des Portefeuilles Sbestimmt sich anlog:

yMσ2M + yZσMZ = µM − rS ,

yZσ2Z + yMσMZ = µZ − rS .

Damit ergeben sich die Anteile xSM = 1, 8 und xS

Z = −0, 8 und somit

µS = 1, 8 · 0, 15 − 0, 8 · 0, 05 = 0, 23 = 23%,

βS|M = 1, 8 · 1 − 0, 8 · 0 = 1, 8.

(c) Alle riskanten Wertpapiere bzw. Portefeuilles aus risikobehafteten Titeln besit-zen eine erwartete Rendite nach der Zero Beta-Version des CAPM. Diese Wert-papierkenngerade vermag jedoch nicht, Portefeuilles zu bewerten, die risikoloseBestandteile enthalten. Für solche Portefeuilles gilt eine doppelt geknickte Wert-papierkenngerade.

27


Abbildung 10: Wertpapierkenngerade bei positiver Zinsspanne

�β·|M

E(R)

rS

E(RZ)

rH

βH|M 1 βS|M

H

MS

�

ji

Für Portefeuilles P , die die risikolose Anlage enthalten, gilt die folgende Glei-chung:

µP = rH + βP |MµH − rH

βH|Mbzw. µP = rH + βP |H(µH − rH), βP |M ≤ βH|M .

Portefeuilles P , die (teilweise) kreditfinanziert sind, haben im Gleichgewicht eineerwartete Rendite von

µP = rS + βP |MµS − rS

βS|Mbzw. µP = rS + βP |S(µS − rS), βP |M ≥ βS|M .

Für Portefeuilles, die ausschließlich risikobehaftete Wertpapiere enthalten gilt dieZero-Beta-Version des CAPM:

µP = µZ + βP |M (µM − µZ), βH|M ≤ βP |M ≤ βS|M .

(d) Um eine Rendite von 8 % erwarten zu können, kann entweder ein ausschließlich ri-sikobehaftetes Portefeuille (j) gekauft werden, oder die risikolose Anlage mit demTangentialportefeuille H kombiniert werden (i). Dabei muß jeweils das folgendesystematische Risiko (Beta-Faktor) in Kauf genommen werden:

0, 08 = 0.05 + βj|M(0, 15 − 0, 05) ⇒ βj|M = 0, 3,bzw. 0, 08 = 0.03 + βi|M (0, 11 − 0, 03) ⇒ βi|M = 0, 625.

Zunächst erscheint es also günstiger, das ausschließlich aus risikobehafteten Wert-papieren bestehende Portefeuille vorzuziehen. Jedoch ist zu beachten, daß dasGesamtrisiko von Portefeuille j höher ist, als bei Portefeuille i.

Bei einer positiven Zinsspanne vergütet der Markt also systematische Risiken indiversifizierten Portefeuilles mit einer geringeren Prämie als in riskanten Porte-feuilles. Dieser Nachteil nimmt mit steigendem Beta jedoch ab.

28


Lösung 10.2 (Wertpapierkenngerade ohne Kreditaufnahme)

Falls eine Kreditaufnahme nicht möglich ist, investieren sehr risikoaverse Investoren indie risikolose Anlage und das Tangentialportefeuille H, während weniger risikoscheueInvestoren effiziente Portefeuilles, die ausschließlich aus risikobehafteten Wertpapierenbestehen kaufen werden. Damit liegt das Marktportefeuille M im Gleichgewicht i.d.R.rechts vom Tangentialportefeuille H auf der Effizienzlinie für risikobehaftete Wert-papiere und ist insbesondere von H verschieden. Für die Wertpapierkenngerade imµ − β.|M−Diagramm ergibt sich damit wieder eine - diesmal einfach - geknickte Linie.

Abbildung 11: Wertpapierkenngerade ohne Kreditaufnahme

�β·|M

µ

µZ

rH

βH|M 1

HM

�

Im µ − β.|H−Diagramm folgt aufgrund der Effizienz des Tangentialportfeuille H dieZero-Beta-Version des CAPM, wobei zu beachten ist, daß das zu H gehörige Zero-Beta-Portefeuille eine erwartete Rendite in Höhe des risikolosen Anlage-Zinssatzes rH

hat.

Abbildung 12: Wertpapierkenngerade ohne Kreditaufnahme

�β·|H

µ �

rH

H

1

M

βH|M · σ2M/σ2

H

29


Zusätzliche Aufgaben:

Aufgabe 10.3 (CAPM und Leerverkaufsbeschränkungen)

In einem Kapitalmarkt seien folgende drei Wertpapiere gegeben:

A B Cµ 0,10 0,15 0,20σ 0,10 0,20 0,40

Die Wertpapiere seien perfekt korreliert. Es existiere keine risikolose Anlage, Leerver-käufe seien nicht zugelassen.

(a) Zeichnen Sie in ein µ − σ−Diagramm die Menge der möglichen sowie die Mengeder effizienten Portefeuillekombinationen ein!

(b) In der betrachteten Ökonomie gibt es zwei Investoren. Der erste Investor besitztein effizientes Portefeuille P1 mit einer erwarteten Rendite von 13%, der zweiteInvestor fordert für sein optimales Portefeuille eine erwartete Rendite von 17%.Bestimmen Sie die Zusammensetzung sowie die Standardabweichung der beidenPortefeuilles!

(c) Bestimmen Sie Zusammensetzung, erwartete Rendite und Standardabweichungdes Marktportefeuilles, wenn beide Investoren mit dem gleichen Vermögen imMarkt engagiert sind.

(d) Berechnen Sie die Betakoeffizienten der drei Wertpapiere mit dem Marktporte-feuille, und interpretieren Sie die Ergebnisse anhand eines µ − β−Diagramms.

(e) Es werde das (effiziente) Portefeuille P1 als Index gewählt. Welchen Betakoeffi-zienten haben die drei Wertpapiere bezüglich dieses Indexes? Zeichnen Sie dieresultierende Wertpapierkennlinie!

Lösung 10.3 (CAPM und Leerverkaufsbeschränkungen)

(a) Da die Wertpapiere perfekt miteinander korreliert sind, liegen die Kombinationenvon jeweils zwei Wertpapieren auf der direkten Verbindung zwischen den beidenWertpapieren. Kombinationen aller drei Wertpapiere liegen in dem durch die direk-ten Verbindungen eingeschlossenen „Innenraum“.

Die Effizienzlinie wird durch die µ−σ−dominanten Kombinationen bestimmt. Diesewerden durch die Strecken AB beziehungsweise BC charakterisiert (vergleiche diefolgende Abbildung).

30


Abbildung 13: Portefeuillekombinationen

�σ

0,1 0,2 0,3 0,4

µ �

0,1

0,15

0,2

A

C

B

(b) Bestimmung der Portefeuilles P1 und P2:

Der erste Investor besitzt ein effizientes Portefeuille P1 mit einer erwarteten Renditevon 13 %. Daher muß das Portefeuille aus einer Kombination der Wertpapiere Aund B bestehen. Es gelten also die folgenden Gleichungen:

0, 13 = µP1 = x1AµA + x1

BµB = 0, 1x1A + 0, 15x1

B

1 = x1A + x1

B

Daraus folgt für die Wertpapieranteile:

x1a =

25

x1B =

35

Die Standardabweichung errechnet sich folgendermaßen

σ2P1

= (x1a)

2σ2A + (x1

B)2σ2B + 2x1

Ax1BσAσB

= (x1aσa + x1

BσB)2 = (0, 4 · 0, 1 + 0, 6 · 0, 2)2= 0, 0256

σP1 = 0, 16.

Das ebenfalls effiziente Portefeuille des zweiten Investors hat eine erwartete Renditevon 17% und ist somit eine Kombination der Wertpapiere B und C.

0, 17 = µP2 = x2BµB + x2

CµC = 0, 15x2B + 0, 2x2

C

1 = x2B + x2

C

Damit ergeben sich die Wertpapieranteile x2B = 3/5 und x2

C = 2/5. Die Standard-abweichung berechnet sich analog:

σP2 = x2BσB + x2

CσC = 0, 6 · 0, 15 + 0, 4 · 0, 2= 0, 28.

31


(c) Da die gesamte Ökonomie ausschließlich aus den beiden Investoren besteht undbeide mit den gleichen Vermögen am Markt engagiert sind besteht das Marktpor-tefeuille je zur Hälfte aus P1 und P2. Das heißt M = 1/2P1 + 1/2P2.

⇒ xMA = 1/2x1

A + 1/2x2A = 1/2 · 2/5 = 1/5

xMB = 1/2x1

B + 1/2x2B = 1/2 · 3/5 + 1/2 · 3/5 = 3/5

xMC = 1/2x1

C + 1/2x2C = 1/2 · 2/5 = 1/5.

Die erwartete Rendite und Standardabweichung des Marktportefeuilles ergibt sichdamit zu:

µM = 0, 2 · 0, 1 + 0, 6 · 0, 15 + 0, 2 · 0, 2 = 0, 15σ2

M = (xAσA + xBσB + xCσC)2 = 0, 0484σM = 0, 22.

Das Marktportefeuille hat also die gleiche erwartete Rendite wie das Wertpapier B,besitzt aber eine höhere Standardabweichung, ist also ineffizient.

(d) Betakoeffizienten bezüglich des Marktportefeuilles M :

βA/M = σAσBρAB

σ2M

=σA

σM=

0, 10, 22

= 0, 4545

βB/M =σB

σM=

0, 20, 22

= 0, 9091

βC/M =σC

σM=

0, 40, 22

= 1, 8182

Abbildung 14: Portefeuillekombinationen

�β./M

0,45 0,92 1,82

µ �

0,1

0,15

0,2

A

C

B M

Aufgrund der Ineffizienz des Marktportefeuilles ist die Beziehung zwischen erwar-teter Rendite und dem Beta-Koeffizienten bezüglich des Marktportefeuilles nichtmehr linear.

32


(e) Betakoeffizienten bezüglich des effizienten Portefeuilles P1:

βA/P1=

σA

σP1

=0, 10, 16

= 0, 625

βB/P1=

σB

σP1

=0, 20, 16

= 1, 25

βC/P1=

σC

σP1

=0, 40, 16

= 2, 5

Aufgabe 10.4 (Wertpapierkennlinie bei Kreditbeschränkungen)

In einer Ökonomie sei die Effizienzlinie der risikobehafteten Portefeuilles durch Kombi-nationen von Portefeuille A mit seinem Zero-Beta-Portefeuille Z gegeben.

A Zµ 0,15 0,05σ 0,20 0,10

Zu einem Zinssatz von r = 3% kann Geld risikolos angelegt werden, sowie ein Kreditbis zu einer Beleihungsgrenze von b = 50% aufgenommen werden, d.h. die Hälfte desrisikobehafteten Portefeuilles darf kreditfinanziert werden.

(a) Wie wirkt sich die Beschränkung der Kreditaufnahme auf die Menge der mögli-chen bzw. der effizienten Portefeuillekombinationen aus?

(b) Wo liegt das Marktportefeuille? Ist es effizient?

(c) Welche erwartete Rendite besitzt das Tangentialportefeuille? (Vgl. Aufgabe 11.2!)

(d) Angenommen Portefeuille A entspricht dem Marktportefeuille. Welche β.|M er-geben sich für das Tangentialportefeuille und für diejenigen Portefeuilles, die dasTangentialportefeuille bzw. das Marktportefeuille maximal beleihen? Interpretie-ren Sie die Ergebnisse im µ − β−Diagramm!

Lösung 10.4 (Wertpapierkennlinie bei Kreditbeschränkungen)

(a) Die Kreditbeschränkung in Form einer Beleihungsgrenze von b = 50% bedeutet,daß die Anteile in Anleihe/Kredit und Portfeuille folgendermaßen beschränkt sind:

Der maximal mögliche Kredit entspricht xr = −1 und damit xP = 2 (davon 1Anteil eigenfinanziert, 1 Anteil fremdfinanziert).

33


Abbildung 15: Effizienzlinie bei Kreditbeschränkung

�

�

E(R)

σ

T

3%

M

jT ′

Allgemein (d.h. für b �= 0, 5) läßt sich der maximal möglich Kredit (d.h. das kleinstexr) folgendermaßen bestimmen:

xr = (bzw. ≥) − b

1 − b

Das Verhältnis von Kreditanteil zu risikobehaftetem Portefeuilleanteil xr/(1 − xr)entspricht also höchstens der Beleihungsgrenze −b.

(b) Das Marktportefeuille liegt auf der Effizienzlinie für risikobehaftete Wertpapiere,ist aber nicht effizient.

(c) Die angegebenen Daten stimmen mit denjenigen aus Aufgabe 11.2, Tangentialpor-tefeuille H, überein. Also:

xA = 0, 6, xZ = 0, 4, µT = 11%

(d) Analog zu Aufgabe 11.2 ergibt sich mit A = M :

βT/M (= βH/M ) = 0, 6

Das Portefeuille T , das durch maximaler Beleihung von T gekauft werden kann,besteht aus 2 Anteilen am Portefeuille T , wobei jeweils ein Anteil fremd- bzw.eigenfinanziert ist. Die Rendite des Portefeuilles T ist damit RT = 2RT − rf . DerBetafaktor ist dann

βT /M =Cov(2RT − rf , RM )

V ar(RM )=

Cov(2RT , RM )V ar(RM )

= 2βT/M .

34


Analog kann bei maximaler Beleihung des Marktportefeuilles mit RM = 2RM − rf

der Betafaktor bestimmt werden:

βM/M = 2βM/M = 2

Abbildung 16: Wertpapierkenngerade bei Kreditbeschränkung

�

β·|M

µ �

T

TM

rf

µZ

0, 6 1 1, 2

j

Die Kreditbeschränkung hat (siehe Abbildung) auch Auswirkungen auf die Gestaltder Wertpapierkennlinie. Für effiziente Portefeuilles mit einem Betafaktor βP/M ≤βT/M gilt die Beziehung:

µP = rf + βP/M

(µT − rf

βT/M

)Um eine höhere erwartete Rendite erreichen zu können, müssen Portefeuilles, dieauf der Effizienzlinie für risikobehaftete Wertpapiere rechts von T liegen maximalbeliehen werden. Ein solches Portefeuille j (also Portefeuille j maximal beliehen)bestitzt dann analog zu den vorhergehenden Rechnungen einen Betafaktor vonβj/M = 2βj/M . Für das Portefeuille j gilt bekanntlich die Zero-Beta-Version desCapital Asset Pricing Model:

µj = µZ + βj/M (µM − µZ).

Einsetzen dieser Gleichung in die Beziehung µj = 2µj − rf liefert dann

µj = 2(µZ + βj/M (µM − µZ)) − rf

= 2µZ − rf + βj/M (µM − µZ).

35


Aufgaben zu Kapitel 1111.1 (Jensens Alpha)

In der folgenden Tabelle sind die Jahresrenditen des DAX sowie zweier Invest-mentfonds gegeben.

Jahr DAX Fonds P Fonds Q1994 0,1254 0,2082 0,18761995 −0,0249 0,0154 −0,16451996 0,3747 0,1395 0,50891997 −0,0665 0,0518 −0,13321998 0,0808 0,03 0,1043

(a) Schätzen Sie aus den gegebenen Daten Jensens Alpha sowie den Betafaktorfür die gegebenen Fonds und berechnen Sie das unsystematische Risiko derFonds. Gehen Sie dabei von einem konstanten risikolosen Zinssatz von 5%aus.

(b) Veranschaulichen Sie die vorliegende Situation graphisch!

(c) Wie beurteilen Sie aufgrund von Jensens Alpha die Selektivitätsfähigkeitender Fondsmanager?

11.2 (Treynor-Index)

(a) Bestimmen Sie die Treynor-Indizes für die Fonds P und Q, und beurteilenSie daraufhin erneut die Fähigkeiten der Portefeuillemanager!

(b) Wie kann man den Treynor-Index und Jensens Alpha im Beta-Rendite-Koordinatensystem ablesen?

(c) Betrachten Sie nun einen weiteren, vollständig diversifizierten Fonds R mitβR = 0, 5 und σ2

R = 0, 007485, der eine Überrendite von 0,04957 aufweist.Wie ist dieser Fonds gegenüber den anderen Fonds zu bewerten?

(d) Nennen Sie die wesentlichen Kritikpunkte an den beiden Performance-MaßenJensens Alpha und Treynor-Index!

11.3 (Sharpe-Ratio)

(a) Geben Sie das Performance-Maß nach Sharpe in allgemeiner Form an, undberechnen Sie es für die Fonds P ,Q und R aus Aufgabe ??. Erstellen Sie einRanking der Fonds auf Grundlage der Sharpe-Ratio.

(b) Wie kann man die Sharpe-Ratio graphisch veranschaulichen?

36


(c) Ein Investor möchte sein gesamtes Vermögen in einen Fonds investieren,derart daß E(Z) − 1

4σZ maximal wird. Für welchen Fonds wird sich der

Investor entscheiden? Wie könnte der Investor seinen Nutzen erhöhen?

(d) Wann führen die Bewertungen nach dem Sharpe-Maß und dem Treynor-Index zum gleichen Ergebnis? Erklären Sie dies ökonomisch und formal!

Lösung 11.1 (Jensens Alpha)

(a) Die Schätzung des Betafaktors sowie von Jensens Alpha erfolgt unter Verwendungder folgenden Regressionsgleichung:

rit = αi + βirMt + εit

mit

rit ≡ Überrendite des Fonds i in Periode trMt ≡ Überrendite des Marktindex in Periode tεit ≡ fondsspezifisches Residuum in Periode t

Zur Bestimmung der Regressionskoeffizienten αi und βi wird dann die Methodeder kleinsten Quadrate herangezogen. Das heißt, die Koeffizienten werden der-art bestimmt, daß die Summe der quadratischen Abweichungen der beobach-teten Werte von der Regressionsgeraden, bei T beobachteten Periodenrenditen:∑T

t=1 ε2it, minimal wird. Die optimalen Schätzwerte für die Koeffizienten lauten

dann

βi =∑T

t=1(rit − ri)(rMt − rM )∑Tt=1(rMt − rM )2

und αi = ri − βirM ,

wobei ri bzw. rM die mittleren historischen Wertpapier- bzw. Marktrenditenkennzeichnet. Als abkürzende Schreibweise verwendet man auch häufig

βi =σiM

σ2M

.

Mit den gegebenen Daten erhält man dann folgende (gerundete) Werte

rM = 0, 0479 rP = 0, 039 rQ = 0, 05062

und daraus

σ2M = 0, 0299 σM,P = 0, 0084 σM,Q = 0, 0466.

Als Schätzwerte für die Koeffizienten erhält man dann

37


βP = 0, 2809 αP = 0, 02554βQ = 1, 5585 αQ = −0, 024

�

�

passive Strategie zu Q

passive Strategie zu P

rM

rF

αQ

αP

(c) Aufgrund der gewonnenen Werte kann man sagen, daß nur Fondsmangager vonFonds P erfolgreich einzelne Titel selektiert hat.

Lösung 11.2 (Treynor-Index)

(a) Der Treynor-Index eines Fonds Fi ist definert durch

IT (Fi) =E(RFi) − rf

βFi

=ri

βFi

,

wobei R die Portefeuillerendite bezeichnet. Für die Fonds P und Q erhält man

IT (P ) = 0, 1388IT (Q) = 0, 0325IT (M) = 0, 0479

(b) Der Treynor-Index entspricht im Beta-Rendite-Koordinatensystem der Steigungder Geraden, die den risikolosen Zinssatz mit der Portefeuillerendite verbindet.Wegen der Beziehung

αi = rFi − βFi rM = E(rFi − rf + βFi(E(rM ) − rf ))

entspricht Jensens Alpha dem Abstand zwischen Fonds Fi und der Wertpapier-kenngerade im Beta-Rendite-Koordinatensystem.

38


(c)

IT (R) =0, 04957

0, 5= 0, 9914

αR = r − βRrM = 0, 0256

Somit hat der Fondsmanager nach Jensens Alpha ebenfalls Überperformance er-reicht. Außerdem besitzt er (bis auf Rundungsfehler) das gleiche Alpha wie FondsP. Würde man ein Ranking auf Basis des Treynor-Index bilden, so läge Fonds Ran zweiter Stelle, vor Fonds Q und hinter Fonds P. Alle Fonds schlagen außerdemden Markt, der einen Treynor-Index von 0,0479 aufweist.

(d) Jensens Alpha berücksichtigt nicht das zur Erreichung der Überperformance ein-gegangene Risiko. So weisen etwa zwei Fonds mit E(rF1) = 4% und βF1 = 0, 5bzw. E(rF2) = 8% und βF2 = 1, 5 bei einer Überrendite des Marktes von 4% einidentisches Alpha auf. Zur Erreichung dieses Alphas wurden jedoch unterschied-lich hohe Risiken in Kauf genommen. Dies berücksichtigt der Treynor-Index nunzum Teil, indem er das systematische Risiko (in Gestalt des Betafaktors) in dieBetrachtungen mit einbezieht. Jedoch kann es immer noch vorkommen, daß Ein-zelanlagen besser beurteilt werden als vollständig diversifizierte Fonds, da dasGesamtrisiko unberücksichtigt bleibt.

Lösung 11.3 (Sharpe-Ratio)

(a)

IS(Fi) =E(RFi) − rf

σFi

=rFi

σP

Für die Fonds P und Q müssen zunächst die Standardabweichungen geschätztwerden. Mit dem üblichen Schätzer erhält man σ2

P = 0, 006758 und σ2Q = 0, 07481.

Daraus ergeben sich die Werte IS(P ) = 0, 4741 , IS(Q) = 0, 1851 und IS(R) =0, 573. Danach ist R der beste Fonds, gefolgt von P und dann Q.

(b) Die Sharpe-Ratio entspricht im µ-σ-Diagramm der Steigung der Geraden, die denFonds mit der risikolosen Anlage verbindet.

(c)Fonds P Q RNutzen 0,0684 0,0831 0,0779

Der Investor würde sich also für Fonds Q entscheiden. Er könnte seinen Nutzenjedoch noch erhöhen, wenn er Fonds R mit der risikolosen Anlage kombinierenwürde.

(d) Der Treynor-Index bescheinigt Überperformance, falls gilt:

E(RFi) − rf

βFi

> E(RM ) − rf

39


Der Sharpe-Index weist eine Überperformance zu, falls gilt:

E(RFi) − rf

σFi

>E(RM ) − rf

σM

Ist der betrachtete Fonds vollständig diversifiziert, enthält er nur systematischeRisiken (σFi = βFi ·σM ). Setzt man diese Größe in das Sharpe-Maß ein, erhält mansofort die Ungleichung für den Treynor-Index. Für den KorrelationskoeffizientenρFi,M zwischen Fonds- und Marktrendite gilt dann:

σFi = βFi · σM = ρFi,M · σP ⇒ ρFi,M = 1

Dies impliziert gerade die vollständige Diversifikation. Für wohldiversifizierteFonds führen Treynor- und Sharpe-Index zu identischen Ergebnissen.

Zusätzliche Aufgaben:

Aufgabe 11.4 (Nettoselektivität)

Die Performance eines Fonds F soll untersucht werden. Dazu wurden die folgendenDaten zusammengetragen:

E(R) σ β

F 0.12 0.30 0.7M 0.11 0.25 1.0

Der risikolose Zinssatz der Periode betrug 7%.

Überprüfen Sie, ob der Fonds eine günstige Selektivität aufweist und unterscheiden Siezwischen Nettoselektivität und Diversifikationskomponenten!

Lösung 11.4 (Nettoselektivität)

Die Selektivität eines Fonds wird mit Hilfe von Jensens Alpha beurteilt.

αF = µF − (rf + βF (µM − rf ))︸︷︷︸erw. Rendite nach CAPM

= 12% − (7% + 0, 7(11% − 7%))= 2, 2%.

Der Fonds weist also eine positive Selektivität auf. Um nun zwischen Nettoselektivitätund Diversifikationskomponenten unterscheiden zu können, bestimmt man Betafaktorund erwartete Rendite eines vollständig diversifizierten Portefeuilles, das das gleicheGesamtrisiko (hier: σP = 30%) aufweist.

βP =σP σMρPM

σ2M

=σP

σM=

0, 30, 25

= 1, 2

40


Die erwartete Rendite einer solchen passiven Strategie ist dann gemäß dem CAPM

µP = rf + βP (µM − rf ) = 11, 8%.

Die resultierende Nettoselektivität ergibt sich folgendermaßen:

µF − µP = 12% − 11, 8% = 0, 2%.

Die positive Selektivität von 2,2% läßt sich also aufspalten in 0,2% Nettoselektivitätund 2% Diversifikationskomponente.

Aufgabe 11.5 (Timing)

Ein Portefeuillemanager mit Timingfähigkeiten investiert ausschließlich in den Markt-index und die risikolose Anlage, wählt jedoch abhängig von der Marktlage verschiedeneBetas. Die folgenden Daten seien gegeben:

Periode Überrendite Beta Überrendite desdes Index Portefeuilles

1 5% 0.8 4%2 15% 1.2 18%

(a) Bestimmen Sie die charakteristische Gerade! Wie beurteilen Sie das Portefeuille?

(b) Stellen Sie den Schätzer für das Beta in Abhängigkeit seines Erwartungswertes darund erklären Sie hiermit die Performanceverzerrung!

Lösung 11.5 (Timing)

(a) Die charakteristische Gerade ergibt sich aus der Geradengleichung

rP = aP + bP rM

Im vorliegenden Fall können durch die beiden Beobachtungen (5%, 4%) und (15%,18%) von (rM , rP ) die Koeffizienten aP udn bP bestimmt werden. Damit

rP = −0, 03 + 1, 4rM .

Der y-Achsenabschnitt ist dabei gerade Jensens Alpha. Dem Portefeuillemanagerwird also aufgrund des negativen Alpha von -3% eine schlechte Performance be-scheinigt.

Die Ursache hierfür findet sich in der Variation des Betafaktors in den einzelnenPerioden. Die Schätzung der charakteristischen Geraden basiert auf der Annahme

41


Abbildung 17: Timing

�

�

5 % 10 % 15 %

rP

rM

4 %

18 %

−3 %

konstanter Koeffizienten im Zeitablauf, also auf der Annahme eines konstantenBetafaktors. Dadurch wird der Betafaktor durch bP = 1, 4 viel zu hoch geschätzt.

Eine Möglichkeit die Performance des Portefeuilles dennoch beurteilen zu können,ist der Vergleich mit einer passiven Strategie mit einem Beta in Höhe des durch-schnittlichen Betafaktors (hier β = 1). Die durchschnittlich Rendite einer solchenpassiven Strategie ist wäre dann 10%, wobei die durchschnittliche Rendite der Por-tefeuillestrategie 11% beträgt. Damit wird dem Portefeuillemanager eine positivePerformance bescheinigt.

Die Differenz in der durchschnittlichen Rendite von 1% ist auf das geschickte Timingdes Portefeuillemanagers zurückzuführen.

(b) Formal entspricht die Steigung der charakteristischen Geraden

bP =COV (rP , rM )

σ2M

= · · · = E(βP ) − E(RM )σ2

M

Cov(βP , rM ).

und damit

aP =(

1 − E(RM )2

σ2M

)Cov(βP , rM )

Eingesetzt erhält man mit Cov(βP , rM ) = 0, 01, E(βP ) = 1, E(RM ) = 0, 1 undV ar(RM) = 0, 0025:

42


bP = 1, 0 +0, 1

0, 0025· 0, 01

= 1, 4

aP = (1 − 4) · 0, 01= −0, 03

Diese Werte entsprechen den bereits aus der Abbildung abgelesenen Werten. DieKovarianz spiegelt die Timing-Fähigkeiten wieder. Der Timingerfolg

E(rP ) − E(βP )E(rM ) = Cov(βP , rM ) = 0, 01

verzerrt somit den Anlageerfolg.

43



Lösung 12.1 (Leverage-Effekt)

Die Eigenkapitalrendite einer teilweise kreditfinanzierten Kapitalanlage ist wie folgtdefiniert:

RE = RV + (RV − rF )F

E.

Mit RE = 20% , rF = 10% und F/E = 3 ergibt sich folgender Wert für die Rendite derAktienanlage RV :

0, 20 = RV + (RV − 0, 10) · 3RV = 0, 50/4 = 12, 5%

Lösung 12.2 (Kapitalstruktur)

(a) Das Theorem von Modigliani und Miller besagt, daß die Kapitalstruktur bei Ver-nachläßigung von Steuern irrelevant ist.

(b) Die Zunahme des Verschuldungsgrades hat eine Hebelwirkung auf die Eigenkapi-talrendite.

RE = RV + (RV − kf )F

E.

Dabei bezeichnet RE die Eigenkapitalrendite, RV die Gesamtkapitalrendite, Fdas Fremdkapital und E das Eigenkapital. Für die entsprechenden erwartetenRenditen gilt dann:

kE = kφ + (kφ − kf )F

E.

Maximal wird die gesamte Neuinvestition fremd finanziert, d.h. der maximaleVerschuldungsgrad beträgt F/E = 2/10 = 0, 2. Da die Risikostruktur sich nichtverändert, gilt auch weiterhin kφ = 0, 1, und damit

kE = 0, 1 + (0, 1 − 0, 05) · 0, 2 = 0, 11 .

(c) Bei Steuern ist ein hoher Verschuldungsgrad vorteilhaft. Für den Unternehmens-wert gilt

V = V U + s · F = 12Mio + 0, 5 · 2Mio = 13Mio ,

wobei V den Unternehmenswert der verschuldeten Unternehmung, V U den Wertder unverschuldeten Unternehmung und s den Steuersatz bezeichnet. Der Wertdes Eigenkapitals steigt dann auf E = 11 Mio.. Für die erwartete Eigenkapital-rendite des unverschuldeten Unternehmens erhält man:

kUφ =

E(Z(1 − s))V

=1.2Mio · 0, 5

12Mio= 0, 05 .

44


Für die erwartete Eigenkapitalrendite nach Unternehmenssteuern folgt:

kE = kUφ + (1 − s)(kU

φ − kF )F

E

= 0, 05 + 0, 5 · 0, 0 · 211

= 0, 05 .


Damit das Risiko der Portfeuilles der drei Aktionäre unverändert bleibt, werden alleihre individuelle „Kapitalstruktur“ anpassen. Es werden die folgenden Abkürzungenverwendet:

Z : Gewinn vor Steuern und Zinsen des UnternehmensEi : Reinvermögen des i-ten Aktionärs.FU

i : Kreditaufnahme des i-ten Aktionärs, wenn das Unternehmen unverschuldet ist(negativer Wert bedeutet Kapitalanlage)

Fi : Kreditaufnahme des i-ten Aktionärs, wenn das Unternehmen verschuldet ist

Einkommen des i-ten Aktionärs bei unverschuldetem Unternehmen:

Ei + FUi

EU· Z − rf · FU

i .

Einkommen des i-ten Aktionärs bei verschuldetem Unternehmen:Ei + Fi

E· (Z − rfF ) − rf · Fi

=Ei + Fi

E· Z − rf

(Ei

F

E+ Fi

(1 +

F

E

)).

Das Risiko des Portfolios ändert sich nicht, wenn die beiden „payoff“ identisch sind. EinKoeffizientenvergleich ergibt:

Ei + FUi

EU=

Ei + Fi

E

und

FUi = Ei

F

E+ Fi

(1 +

F

E

).

Mit F/E = 0, 25 ergibt sich

Fi =45FU

i − 15Ei

Der i-te Aktionär investiert demnach in Aktien:

Ei + Fi =45(Ei + FU

i )

45


Bestandswertea) b) c)

Ei FUi Aktien Kredite Kapitalanlage

A 8.000 2000 8.000 0 0B 56.000 -6000 40.000 0 16.000C 20.000 0 16.000 0 4.000

Lösung 12.4 (Leverage-Effekt)

Der Wert des Unternehmens wird über die Modigliani-Miller-These errechnet:

V =E(Z)(1 − s)

kφ

wobei kφ =F

VkF (1 − s) +

E

VkE

und kE = kUφ + (1 − s)(kU

φ − kF )F

E.

Im hier vorliegenden Fall ist: V = 1, 7 Mio. C–– , F = 0, 5 Mio. C–– , E = 1, 2 Mio. C–– ,kU

φ = 0, 2, kF = 0, 1 und s = 0, 5.

kE = 0, 2 + 0, 5 · (0, 2 − 0, 1) · 0, 51, 2

= 0, 220833

kφ =0, 51, 7

· 0, 1 · 0, 5 +1, 21, 7

0, 220833 = 0, 1706

1, 7 Mio =E(Z) · 0, 5

0, 1706⇒ E(Z) ≈ 580.000C––

oder E = 1, 2 Mio.C–– =(E(Z) − kF · F ) · (1 − s)

kE

=(E(Z) − 0, 1 · 500.000)0, 5

0, 220833⇒ E(Z) ≈ 580.000C––

Angenommen das Unternehmen ist zu 100% eigenfinanziert, dann beträgt der Markt-wert des Unternehmens:

V U =E(Z)(1 − s)

kUφ

=580.000 · 0, 5

0, 2= 1.450.000C––

46


Lösung 12.5 (Kapitalstruktur und CAPM)

Folgende Daten sind gegeben: E = 20 Mio. C–– , F = 10 Mio. C–– , V = 30 Mio. C–– , kF =0, 1, E(RM ) − kF = 0, 1 und β = 1.

(a) Der Verschuldungsgrad beträgt: F/E = 50%

(b) Erwartete Rendite ergibt sich aus: kE = kF + β (E(RM ) − kF ) = 0, 1 + β · 0, 1 =0, 2

(c) Die erwartete Rendite des Projekts ist gleich den durchschnittlichen Kapitalko-sten kφ:

kφ =F

VkF +

E

VkE =

13

(10%) +23

(20%) = 16, 7%


(a) E = 100C–– · 1 Mio = 100 Mio. C–– , F = 25 Mio. C–– und V = E + F = 125 Mio. C–– .

1 2 3

aa) Marktwert der Schulden unverändert unverändert + 5 Mioab) Anzahl der ausgegeben Aktien 2 Mio unverändert unverändertac) Preis pro Aktie 50 C–– − 1 C–– unverändertad) Marktwert des Eigenkapitals unverändert − 1 Mio unverändertae) Marktwert des Unternehmens unverändert − 1 Mio + 5 Mio

(b) 1) Die Altaktionäre sind demgegenüber indifferent. Vor der Kapitalerhöhunghat eine Akktie einen Wert von C–– 100. Nach der Kapitalerhöhung besitz derAktionär dpoppelt soviel Aktien, die jedoch nur noch die Hälfte wert sind.

2) Die Altaktionäre sind demgegenüber indifferent, da der Kursverlust von 1C–– durch die Dividendenzahlung von 1 C–– kompensiert wird.

3) Die Altaktionäre sind demgegenüber indifferent, da Steuern und Kostenaufgrund finanzieller Schwierigkeiten unberücksichtigt bleiben.

47



(a) Der Erwartungswert des Gewinn ergibt sich aus:

E(Z) = 100 Mio · E(RA) = 30 Mio C––

Die Eigenkapitalkosten betragen:

kUE = rf + (E(RM ) − rf ) · βA

= rf +E(RM ) − rf

σ2M

· Cov(RA, RM )

= 0, 08 +0, 12 − 0, 08

0, 52· 0, 9 · 0, 5 · 0, 75 = 0, 134

Bestimmung des Wertes des Eigenkapitals (ewige Rente):

E = V U = V =E(Z)kU

E

= 223, 88 Mio C––

(b) Die Eigenkapitalkosten der verschuldeten Unternehmung betragen:

kE = kφ + (kφ − rf ) · F

E.

Die durchschnittlichen Kapitalkosten entsprechen den Kapitalkosten der unver-schuldeten Unternehmung:

kφ = kUE = 0, 134 .

Daraus ergibt sich:

kE = 0, 134 + (0, 134 − 0, 08) · 0, 4 = 0, 1556 .

Der Wert des Fremdkapitals beträgt, da E = V/(1 + F/E):

F = V − E = V − V

1 + F/E= 223, 88 Mio C–– (1 − 1

1, 4) = 63, 97 Mio C––

(c) Die Fremdkapitalkosten betragen:

kF = 0, 08 + (E(RM ) − 0, 08) · βF = 0, 092

Der Wert des Fremdkapitals beträgt:

E(Z)kF

=10

0, 092= 108, 69 Mio C–– > 80 Mio C––

Der Preis des Fremdkapitals ist nicht marktgerecht. Entsprechend dem CAPMist das Fremdkapital mehr wert.

48



(a) Kapitalkosten, Eigenkapitalkosten und durchschnittliche Kapitalkosten entspre-chen sich:

kU = kUE = kφ = rf +

E(RM ) − rf

σ2M

· Cov(RG, RM )

= rf +E(RM ) − rf

σ2M

· ρG,M · σG · σM

= 0, 08 +0, 16 − 0, 08

0, 25· 0, 8 · 1, 25 · 0, 5 = 0, 24

Der Wert des Eigenkapitals der SoftStand GmbH ergibt sich aus:

V =E(Z)kU

=60

0, 24Mio = 250 Mio

(b) Für die verschuldete Unternehmung gilt:

V = V U und E =V

1 + F/E

Der Wert des Eigenkapitals steigt, wenn der Verschuldungsgrad sinkt.

(c) Ja!

Cov(RG, RM ) = ρG,M · σG · σM = 0, 8 · 1, 25 · 0, 5 = 0, 5= Cov(RA, RM )

σ2G = 1, 5625 = σ2

A

E(RG) = 1, 2 > E(RA) = 0, 4

Gemäß dem CAPM sollten beide Projekte (da die Kovarianzen übereinstimmen)eine erwartete Rendite von 0, 24 aufweisen.

(d) Bestimmung der Eigenkapitalkosten:

kE = kUE + (kU

E − rf ) · F

E= 0, 24 + (0, 24 − 0, 08) · 0, 5 = 0, 32

Die durchschnittlichen Kapitalkosten entsprechen den Kapitalkosten der unver-schuldeten Unternehmung: kφ = kU

E = 0, 24. Der Unternehmenswert ergibt sichaus:

V U = V = 250 Mio

Für das Fremdkapital gilt:

F = V − E = V − V

1 + (F/E)= 250(1 − 1

1 + 0, 5) Mio = 83, 3 Mio

49



(a) Die erwartete Rendite muß mindestens gleich der erwarteten Rendite der FirmaMACK sein.

βV =E

F + EβE +

F

F + EβF

=1

F/E + 1βE +

F/E

1 + F/EβF

=1

1, 31, 4 +

0, 31, 3

0, 2 = 1, 123

E(RMACK) = 0, 08 + 1, 123 · (0, 19 − 0, 08) = 0, 2035

(b)

βaltV =

1F/E + 1

βE =0, 81, 5

= 0, 53

βneuV = 0, 1 · 1, 123 + 0, 9 · 0, 53 = 0, 592

βneuE =

(1 +

F

E

)· βneu

V = 1, 5 · 0, 592 = 0, 888

50

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