Lothar Schreiber : Technische Mechanik 123

Institut fur Mechanik — Universitat Kassel

Skript zur Vorlesung

Technische Mechanik

Lothar Schreiber

Kassel, den 16. April 2007

Inhaltsverzeichnis

Symbole 13

I. Statik bis Punktdynamik 15

1. Einleitung 171.1. Das Maßsystem, die Basiseinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Krafte 212.1. Der Kraftbegriff in der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Idealisierung und Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Aquivalente Kraftsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Beispiel Moment einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Beispiel Resultierende Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Beispiel Aquivalentes Kraftsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Besondere Kraftsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5. Schwerpunkt, Massenmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Beispiel Schwerpunkt Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Beispiel Flachenschwerpunkt Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Beispiel Linienschwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.1. Allgemeine Aussagen zum Schwerpunkt . . . . . . . . . . 33

Beispiel Fehlflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Beispiel Zusammengesetzte Flache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Statik 373.1. Das Schnittprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Beispiel Balken auf zwei Stutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3. Statische Bestimmtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Beispiel Ebenes System aus zwei Teilkorpern . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3

Inhaltsverzeichnis

Beispiel Ebenes Fachwerk (vektoriell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Beispiel Ebenes Fachwerk (skalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1. Der Ritterschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Beispiel Ritterschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.2. Raumliche Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Beispiel Raumliches Fachwerk (vektoriell) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5. Schnittlasten in Linientragwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.1. Vereinbarungen zu Balken, Staben und Bogen . . . . . . . 49

Beispiel Exzenterwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5.2. Schnittkrafte und Schnittmomente . . . . . . . . . . . . . 50Beispiel Balken auf zwei Stutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Beispiel Abgewinkelter Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6. Umgang mit Streckenlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Beispiel Balken unter Dreiecks-Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Beispiel Schrag stehender Balken unter Eigengewicht . . . . . . . . . . . 57

3.7. Zusammenhang zwischen den Schnittgroßen . . . . . . . . . . . 59

Beispiel Gerbertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.7.1. Tipps und Tricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Beispiel Durchlauftrager (Foppl-Systematik) . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Beispiel Verzweigtes Balkensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4. Das besondere Auflager – die Haftreibung 69Beispiel Stehende Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Beispiel Spannzwinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Beispiel Zwei Keile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1. Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Beispiel Angebundenes Pferd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. Dynamik der Punktmasse 795.1. Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1. Kinematische Zusammenhange bei Translation . . . . . . 80

5.2. Das Bewegungsgesetz (Impulssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Beispiel Freier Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3. Gefuhrte gerade Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3.1. Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Beispiel Geradlinige Bewegung mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3.2. Andere Bewegungswiderstande . . . . . . . . . . . . . . . 85

Beispiel Freier Fall mit Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4. Arbeit, Energie und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4.1. Konservative Krafte, Potenzielle Energie . . . . . . . . . . 90

Beispiel Punktmasse auf reibungsfreier Kurve . . . . . . . . . . . . . . . 92

4

Inhaltsverzeichnis

Beispiel Ungedampfter Ein-Massen-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4.2. Nicht konservative Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Beispiel Punktmasse auf rauer Bahn bergauf . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.5. Der Ein-Massen-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.5.1. Ungedampfte Eigenschwingung . . . . . . . . . . . . . . . 96

Beispiel Eigenschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5.2. Gedampfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5.3. Die fremderregte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5.4. Gedampfte, periodisch fremderregte Schwingung . . . . . 110

5.6. Kinematik der gefuhrten Punktbewegung . . . . . . . . . . . . . . 112

Beispiel Punkt auf Kreisbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

II. Starrkorperdynamik bis Festigkeitslehre 117

6. Dynamik des starren Korpers 1196.1. Kinematik der Starrkorperbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.1.1. Die Starrkorperbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.1.2. Der Momentanpol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Beispiel Momentanpol bei ebener Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Beispiel Kinematik eines Flaschenzugs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.1.3. Gangpolbahn und Rastpolbahn . . . . . . . . . . . . . . . 123

Beispiel Polbahnen des Kreuzschiebers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Beispiel Regenschirm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2. Impuls- und Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2.1. Starrkorperbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.2.2. Ebene Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Beispiel Massentragheitsmoment einer Scheibe konstanter Dicke . . . . . 131

Beispiel Rollbewegung einer Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Beispiel Massentragheitsmoment eines Quaders . . . . . . . . . . . . . . 133

6.2.3. Bewegungen um eine raumfeste Achse . . . . . . . . . . . 134

Beispiel Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2.4. Der Steineranteil bei zusammengesetzten Korpern . . . . 136

Beispiel Massentragheitsmoment eines Hohlzylinders . . . . . . . . . . . 137

Beispiel Massentragheitsmoment dunnwandiger Doppelzylinder . . . . . 138

6.2.5. D’Alembertsche Tragheitskrafte und -momente . . . . . . 138

Beispiel Vollzylinder auf einem Abhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Beispiel Pendel (zwei Losungswege) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.2.6. Mehrkorpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Beispiel Kinematisch gekoppelte Teilkorper . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5

Inhaltsverzeichnis

Beispiel Durchdrehendes Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.3. Der Energiesatz fur Starrkorperbewegung . . . . . . . . . . . . . 143

6.3.1. Kinetische Energie eines Starrkorpers . . . . . . . . . . . . 144

6.3.2. Anderung der kinetischen Energie . . . . . . . . . . . . . 146

Beispiel Vollzylinder am Abhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Beispiel Massen-Rollen-System mit Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.4. Drehung des Koordinatensystems, Mohrscher Kreis . . . . . . . . 148

Beispiel Hauptachsen bei fehlender Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . 152

7. Spannung, Dehnung, Stoffgesetz 1557.1. Der Begriff der Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.1.1. Symmetrie - Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . 158

7.1.2. Spannungstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Beispiel Dunnwandiges Rohr unter Innendruck, die ’Kesselformeln’ . . . . 163

7.2. Der Spannungsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.3. Einfache Geometrien (Balken, Stabe) . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.3.1. Beobachtungen am Zugstab . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.3.2. Einfluss der Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.4. Der Verzerrungszustand – das Hook’sche Gesetz . . . . . . . . . . 171

7.4.1. Normaldehnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Beispiel Aufgeheizte Spannschraube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Beispiel Warum ist es anfangs schwer, einen Ballon aufzublasen? . . . . . 173

7.4.2. Scherdehnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.4.3. Andere Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.5. Verzerrungstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Beispiel 90-45-0 DMS-Rosette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8. Der Zugstab 1818.1. Verformung von Fachwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Beispiel Raumliches Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9. Schiefe Biegung eines geraden Balkens 1879.1. Bernoullikinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9.2. Spannungs-Dehnungsbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9.3. Flachentragheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Beispiel Dreiecksquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Beispiel Kastenprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.3.1. Fehlende Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Beispiel L-Profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.3.2. Aufwandsverringerung durch scharfes Hinsehen . . . . . . 194

9.4. Biegedifferenzialgleichungen – Spannungen . . . . . . . . . . . . 195

6

Inhaltsverzeichnis

Beispiel Spannungsverteilung in einem Doppel-T-Trager . . . . . . . . . . 197

Beispiel Kragbalken mit unsymmetrischem Querschnitt . . . . . . . . . . 198

9.5. Sonderfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.5.1. Balken aus inhomogenen Werkstoffen . . . . . . . . . . . 199

Beispiel Balken aus zwei Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9.5.2. Breite Balken - Streifenbiegung . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.Ebene Systeme 20510.1.Rand- und Ubergangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Beispiel Kragbalken unter Einzellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Beispiel Ersatzfedersteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

10.2.Durchlauftrager - Foppl-Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Beispiel Mittig belasteter Trager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Beispiel Mittig belasteter Trager (Foppl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.3.Statisch unbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Beispiel Rechtsseitig gestutzter Kragarm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.4.Verwendung von bekannten Losungen . . . . . . . . . . . . . . . 215

Beispiel Horizontal belasteter Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

11.Der Torsionsstab 21911.1.Torsionstragheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

11.2.Technische Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Beispiel Vergleich von zwei Torsionsfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

11.3.Torsion dunnwandiger geschlossener Querschnitte . . . . . . . . 222

11.3.1. Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.3.2. Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

11.3.3. Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Beispiel Torsion eines Vierkantprofils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

11.3.4. Wolbfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Beispiel Wolbfreies Kreisrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Beispiel Wolbfunktion des Vierkantprofils . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

11.4.Torsion dunnwandiger offener Querschnitte . . . . . . . . . . . . 228

11.4.1. Verwolbung offener Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . 230

Beispiel Spiralfeder (Torsionsfeder) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

III. Wiederholung und Vertiefung 2337

Inhaltsverzeichnis

12.Technische Mechanik - Zusammenfassung 23512.1.Begriffe der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

12.2.Bilanzgleichungen der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

12.2.1. Sonderfall Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

13.Mechanik der Punktbewegung 24513.1.Geschwindigkeit, Beschleunigung und krumme Bahnen . . . . . . 245

13.2.Bewegte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Beispiel Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Beispiel Drehbarer Teleskop-Arm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Beispiel Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

13.2.1. Zusammengesetzte Bewegungen von Koordinatensystemen253

Beispiel Kreis-Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

13.2.2. Erddrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

13.3.Stabilitat von Gleichgewichtslagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

13.3.1. Stabilitatsuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Beispiel Winkelpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

13.3.2. Generalisierte Koordinate, generalisierte Kraft . . . . . . . 259

Beispiel Winkelpendel ff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

13.3.3. Linearisierung um die Gleichgewichtslage . . . . . . . . . 260

Beispiel Winkelpendel fff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Beispiel Stabilitat des Kreispendels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

13.4.Stabilitat bei konservativen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Beispiel Noch einmal Knickpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Beispiel Platte auf Halbzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

14.Mechanik des starren Korpers 26714.1.Masse und Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

14.2.Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

14.3.Massentragheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Beispiel Massentragheitsmomente einer Rechteckplatte . . . . . . . . . . 271

14.4.Der Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

14.4.1. Kreiselgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Beispiel Kippender Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

14.4.2. Der momentenfreie Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

14.4.3. Starrkorperdrehung um raumfeste Achse, Unwucht . . . . 276

Beispiel Eulergleichungen - Wetterfahne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

14.5.Leistung und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

14.5.1. Konservative Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Beispiel Rollschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

8

Inhaltsverzeichnis

15.Stoß 28915.1.Der teilelastische Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Beispiel Kugel trifft Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Beispiel Turstopper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Beispiel Versetzer Frontalzusammenstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Beispiel Billard mit Drall und Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

16.Elastostatik des geraden Stabes 30316.1.Geometrie und Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

16.2.Schiefe Biegung mit Normalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Beispiel L-Profil-Kragarm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

16.2.1. Biegelinie aus Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . 309

Beispiel Kragbalken unter Endlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

16.2.2. Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

16.2.3. Foppl-Systematik fur Durchlauftrager . . . . . . . . . . . . 312

16.3.Biegung mit Querkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

16.3.1. Schubspannungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Beispiel Rechteckquerschnitt b×h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

16.3.2. Schubspannungen in dunnwandigen Querschnitten . . . . 317

16.3.3. Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

Beispiel Dunnwandiger Halbkreisquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . 318

16.3.4. Vereinfachte Schergeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Beispiel Timoshenko-Kragbalken unter Streckenlast . . . . . . . . . . . . 322

16.3.5. Einfluss der Querkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

17.Arbeit und Energie in der Elastostatik 32517.1.Das Prinzip der virtuellen Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . 325

Beispiel Auflagerberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Beispiel Stabkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

Beipiel Schnittgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

17.2.Virtuelle Verschiebung eines geraden Stabes . . . . . . . . . . . . 329

17.2.1. Formanderungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

17.2.2. Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

Beispiel Balkensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

18.Formanderungsenergie 33718.1.Formanderungsenergie und Erganzungsenergie . . . . . . . . . . 338

Beispiel zum Einsatz von Integraltafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

18.2.Das Prinzip der virtuellen Krafte

Die Satze von Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

Beispiel zum Einsatz von Integraltafeln ff . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

9

Inhaltsverzeichnis

Beispiel Verschiebung/Verdrehung unbelasteter Punkte . . . . . . . . . . 343

18.3.Lineare Elastizitat: Nachgiebigkeits- und Steifigkeitsmatrix, Ein-

flusszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

18.3.1. Symmetrieeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

18.3.2. Gleichheit von Formanderungs- und Erganzungsenergie . 346

18.3.3. Methode der Einflusszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Beispiel zu Einflusszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Beispiel Einflusszahlen bei Balkensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

18.4.Einflusszahlen bei Streckenlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

Beispiel Einflusszahlen bei Streckenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

19.Knickung 35319.1.Verzweigung des Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

Beispiel Starre Struktur auf Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

19.2.Biegung unter Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

19.3.Knicklasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Beispiel Gestutzter Knickstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

A. Mathematische Grundlagen 363A.1. Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

A.1.1. Die Kreisfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

A.1.2. Additionstheoreme der Kreisfunktionen . . . . . . . . . . 366

A.1.3. e-Funktion und Logarithmus naturalis . . . . . . . . . . . 366

A.1.4. Die Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

A.2. Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

A.3. Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

A.4. Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

A.5. Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

A.6. Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

A.6.1. Gewohnliche lineare Dgl 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . 387

A.6.2. Gewohnliche nicht lineare Dgl 1. Ordnung . . . . . . . . . 390

A.6.3. Gewohnliche lineare Dgl 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . 390

A.7. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

B. Formelsammlung TM1 395

C. Formelsammlung TM2 405

D. Formelsammlung TM3 423

Literaturverzeichnis 44210

Symbole

a Vektorai i-te Komponente des Vektors a

c Federsteifigkeit

d DampfungsbeiwertD Lehrsches Dampfungsmaß bzw. Drillung (Torsion)

Dc Drall bezuglich Punkt C (Vektor)E Elastizitatsmodul bzw. kinetische Energie

e Einheitsvektor

G GleitmodulI Impuls (Vektor)

g Erdbeschleunigung

Iyy Flachenmoment bezuglich der Schwerpunktachse yIyz Deviationsmoment bezuglich der

Schwerpunktachsen y und zIT Torsionstragheitsmoment

K Kompressionsmodul

m MasseMx, MT Torsionsmoment (Balken)

My, Mz Biegemomente (Balken)

N Normalkraft (Balken)n(x), qy(x), qz(x) Streckenlasten in

Richtung x,y und z (Balken)Qy, Qz Querkraft (Balken)

t Zeit

r Ortsvektor des Punktes Pu Verschiebungsvektor des Punktes P

u, v, w Verschiebungen des Punktes P

13

Symbole

in Richtung x, y, z (Balken)

U potenzielle EnergieV Vergroßerungsfunktion

v Geschwindigkeitsvektor des Punktes P

x, y, z kartesische Koordinateny′(x) Ableitung der Funktion y nach ihrem Argument xy′′(x) 2. Ableitung der Funktion y nach ihrem Argument xy(k)(x) k-te Ableitung der Funktion y nach ihrem Argument xy(t) Ableitung der Funktion y nach der Zeit ty(t) 2. Ableitung der Funktion y nach der Zeit tε Dehnung oder Stoßziffer

ε Dehnungszustand in einem Punkt P

εxx Dehnung einer Strecke entlang x in Richtung xεyz Scherdehnung (Winkelanderung zwischen

zwei Strecken entlang y und z)φ Phasenverschiebung

µ Reibkoeffizient

ν Querkontraktionszahlω0 Eigenkreisfrequenz

Ω Erregerkreisfrequenz

ρ spezifisches Gewichtσ Spannungszustand in einem Punkt P

σ Normalspannungσxx Normalspannung in einer Flache ⊥ x in Richtung xσxy Schubspannung in einer Flache ⊥ x in Richtung yτ SchubspannungΘ Massentragheitsmatrix

Θxx Massentragheitsmoment bezuglich der Achse xΘyz Deviationstragheitsmoment bezuglich der Achsen y und zζ Frequenzverhaltnis Ω/ω0

14

Teil I.

Statik bis Punktdynamik

15

1. Einleitung

Mechanik bedeutet zwar, wortwortlich genommen,”(die Kunst), Maschinen zu

bauen (griechisch)“, bezeichnet aber im heutigen Sprachgebrauch ein Teilgebietder Physik, das sich mit den Kraften und den durch sie verursachten Bewegun-

gen, d.h. auch Verformungen der Korper beschaftigt. (Korper sind mit Materie

gefullte Gebiete.)

Die Mechanik deckt ein so großes Gebiet ab, dass sich verschiedene Unterteilun-gen eingeburgert haben. Die Gebiete, die die

”Technische Mechanik“ beruhren,

sind unterstrichen.

• nach dem Aggregatzustand der Korper:

– Gasdynamik

– Stromungsmechanik (Flussigkeiten)

– Festkorpermechanik

• Die Festkorpermechanik teilt sich nach Art der Probleme in

– Kinematik (Geometrie der Bewegung)

– Dynamik (Lehre von den Kraften)

∗ Statik (ruhende Korper)

· Stereostatik (starre Korper)

· Elastostatik (reversibel nachgiebige Korper)

· Plastostatik (irreversibel nachgiebige Korper)

∗ Kinetik (bewegte Korper)

• nach der Berucksichtigung von Materialeigenschaften:

– Starrkorpermechanik (Stereostatik, Mehr-Korper-Probleme, Fahrzeugdy-

namik)

– Kontinuumsmechanik (idealisierte, homogene Materialeigenschaften)

∗ Elastizitatstheorie

17

1. Einleitung

∗ Viskoelastizitat

∗ (Visko)-Plastizitat

Die Arbeitsweise der Mechanik reicht von der Naturbeobachtung uber das ge-

zielte Experiment, die Abschatzung der beobachteten Phanomene hinsichtlichihrer Wichtigkeit bzw. ihrer Vernachlassigbarkeit, uber die Entwicklung einer

Theorie mit Hilfe von idealisierenden Modellen und anderen Abstraktionen bishin zur mathematischen Formulierungen von Gesetzen. Sie spannt damit den

Bogen von der Physik bis zur Mathematik.

1.1. Das Maßsystem, die Basiseinheiten

Um die Bewegungen eines Korpers im Raum beschreiben zu konnen, muss man

zumindest den Ort angeben konnen. Dazu dienen Langenangaben in verschie-

denen Richtungen, deren Grundeinheit

die Strecke ist, die das Licht im Vakuum in der Zeit von 1299 792 458

Sekunde durchlauft (vgl. Meyers Großes Taschenlexikon). Kurz: Der

Meter (Zeichen: m)

Zu den Bewegungen gehoren auch die Geschwindigkeiten, die eine Ortsverande-

rung pro Zeiteinheit angeben. Um die Zeit messen zu konnen, bedient man sich

der Grundeinheit, die

das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem Ubergang zwi-schen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von

Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung ist, genauergesagt: die Sekunde (Zeichen s)

Es gibt allerdings nicht nur geradlinige Bewegungen, so dass Strecke pro Zeit

nicht die einzige Moglichkeit ist, Geschwindigkeit zu definieren. Der andereSpezialfall ist die Drehung, die eine Winkelanderung gegenuber gewahlten Be-

zugsrichtungen ist. Die praktische Maßeinheit fur Winkel, neben Definitionen

wie Altgrad und Neugrad (Gon) ist das Bogenmaß des Winkels,

das ist die Bogenlange eines Kreissegments mit dem Radius 1, das

den Winkel einschließt.

18

1.1. Das Maßsystem, die Basiseinheiten

Korper haben Masse, die in der Grundeinheit Kilogramm (Zeichen: kg) gemes-sen wird. Diese Definition ist noch die einfachste:

1 kg ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps (eines in

Sevres bei Paris aufbewahrten Platin-Iridium-Korpers).

Eine aus den Grundeinheiten abgeleitete Große ist das, was Newton quantitas

motus, also Bewegungsgroße nannte. Sie ist das Produkt aus Masse und Ge-

schwindigkeit eines Korpers und hat heute den Namen Impuls. Die Einheit, inder der Impuls gemessen wird, ist folglich kgms−1 .

Ob und wie sich der Impuls eines Korpers im Lauf der Zeit andert, hangt nachNewton von den auf den Korper wirkenden Kraften ab. Wirken keine Krafte,

bleibt der Impuls erhalten.

19

1. Einleitung

20

2. Krafte

Der Mensch hat außer seinem Tastsinn und seinen schmerzempfindlichen Ner-

ven kein Sinnesorgan, mit dem er Krafte wahrnehmen kann, trotzdem”weiß“

er, dass es Krafte gibt. Sie setzen Massen in Bewegung (Kugelstoß) oder defor-mieren Korper (Expander). Krafte lassen sich nicht direkt messen, sondern nur

uber die Beobachtung ihrer Wirkung.

2.1. Der Kraftbegriff in der Mechanik

Die Mechanik unterteilt die Kraftwirkungen in solche, die einen Korper in eine

geradlinige Bewegung versetzen (die Krafte), und solche, die ihn in Drehungversetzen (die Momente). Die Krafte misst man in Newton (Zeichen: N), was

eine aus den oben angebenen Grundeinheiten abgeleitete Einheit ist:

1 N ist die Kraft, die einer Masse von 1 kg die Beschleunigung 1

m/s2 verleiht.N = kg m s−2

Die Momente misst man in Newton Meter (Zeichen: Nm), was darauf hindeutet,

dass jedes Moment durch die Wirkung einer Kraft an einem Hebelarm erzeugt

werden kann. Auch das gehort zum Erfahrungsschatz des Menschen.

Man unterscheidet je nach Ursache verschiedene Krafte.

• Volumenkrafte, Feldkrafte

– Gewichtskrafte

– Elektrische Krafte (aneinander haftende Folien)

– Magnetische Krafte

• Oberflachenkrafte

– Kontaktkrafte (Krafte zwischen zwei Korpern)

21

2. Krafte

– Druckkrafte (hydraulisch, pneumatisch = Kontakt zwischen Korperund Fluid)

2.2. Idealisierung und Modellbildung

Man kann sich vorstellen, dass volumenhaft verteilt wirkende Krafte, aber be-

sonders Oberflachenkrafte unter Umstanden sehr komplizierte Verteilungen ha-ben konnen, z.B. die Druckverteilung, die eine Hand auf die Wand ausubt, an

der sie sich abstutzt. Hier pflegt die Mechanik stark zu idealisieren: Sie fuhrt die

Einzelkraft ein, indem sie in Gedanken einige Schritte zurucktritt. Damit wirddie Flache, uber die die Hand mit der Wand Kontakt halt, zu einem kleinen

Punkt und die Einzelkraft reprasentiert die Gesamtwirkung der Druckverteilung

an diesem Punkt.

Eine andere Idealisierung ist die Linienlast.

Eine Kraft ist gekennzeichnet durch

• ihren Betrag,

• ihre Richtung und

• ihren Angriffspunkt.

Entsprechendes gilt fur ein Moment. Die Richtung eines Momentes geht entlang

der Achse, um die das Moment dreht. Vorwarts ist, wohin das Moment eineRechtsschraube bewegen wurde.

Das oben Beschriebene ist nicht die einzige Vereinfachung, die die Mechanikmit der realen Welt anstellt. Da sie nach guter Ingenieurtradition versucht, die

Probleme schnell in den Griff zu bekommen, unterscheidet sie die an einem Pro-

blem beteiligten Phanomene in wichtige und weniger wichtige, wobei die we-niger wichtigen als ’Effekte 2. Ordnung’ sofort unter den Tisch fallen. Die ubrig

bleibenden Phanomene 1. Ordnung sind schon schwierig genug zu bewaltigen.

Diese Vorgehensweise nennt man Modellbildung. Sie hat den Vorteil, Proble-

me losbar zu machen, aber auch den Nachteil, dass die gefundenen Losungenimmer nur so gut sind, wie die Modelle die Realitat wiedergeben.

Eine in der Technischen Mechanik immer wieder verwendete ’Modellierung’ ist

die Annahme, dass sich Korper nicht verformen, wenn Krafte auf sie wirken.

22

2.3. Aquivalente Kraftsysteme

Genauer gesagt heißt das, sie verformen sich (unter ’normalen’ Belastungen) sogeringfugig, dass man die Verformungen nicht sieht: Also vernachlassigt man

sie. Das ist fur ein Metallregal akzeptabel (bis zu gewissen Grenzen), fur ein

Bungee-Seil bestimmt nicht.

2.3. Aquivalente Kraftsysteme

r

P

F

Eine Einzelkraft ist durch zwei Vektoren vollstandig

beschrieben: (F , r) Kraftvektor und Ortsvektor des

Kraftangriffspunktes P. Die Gerade durch P entlangF heißt Wirkungslinie von F .

Mehrere Krafte F i mit den Kraftangriffspunkten ri bilden eine Kraftegruppe

bzw. ein Kraftsystem. Darstellung:

(F 1, F 2, . . . , F n; r1, r2, . . . , rn)

C

Fr

c

αr − c

Eine Kraft (F , r) hat bezuglich eines weiteren Raum-punktes C (Ortsvektor c) das Moment (Drehmoment)

M c

M c = (r − c)× F (2.1)

Aus der Definition des Kreuzproduktes (A.12) folgt

|M c| = | sin α||r − c||F |

was bedeutet, dass man den Kraftvektor entlang seiner Wirkungslinie verschie-ben kann, ohne das Moment zu andern, weil sin α|r − c| das Lot vom Punkt c

auf die Wirkungslinie von F ist.

Beispiel Moment einer Kraft

In der (x, z)-Ebene greift eine Kraft F = (fx, 0, fz) am Punkt mit demOrtsvektor r = (rx, 0, rz) an. Das Moment von F bezuglich des Koordina-

tenursprungs ist mit (A.13)

M0 = r × F

23

2. Krafte

=

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

rx 0 rz

fx 0 fz

∣∣∣∣∣∣= −(rxfz − rzfx) ey

= (0, rzfx − rxfz, 0)

Das Ergebnis ist ein Vektor, der senkrecht zur (x, z)-Ebene steht, und des-sen einzige Komponente sich aus den Produkten der Komponenten von

Ortsvektor und Kraftvektor zusammensetzt, die jeweils senkrecht aufein-

ander stehen.

Bei einer Gruppe von Kraften (F 1, F 2, . . . , F n; r1, r2, . . . , rn) heißen

F =n∑

k=1

F k (2.2)

und

M c =

n∑

k=1

(rk − c)× F k (2.3)

resultierende Kraft (2.2) und resultierendes Moment bezuglich c (2.3). c ist ein

weiterer Punkt im Raum. Von seiner Wahl hangt M c ab.

Beispiel Resultierende Momente

Gegeben sind ein Kraftsystem

(F 1, F 2, . . . , F n; r1, r2, . . . , rn)

und zwei Bezugspunkte a und b. Die jeweils resultierenden Momente

sind:

Ma =n∑

k=1

(rk − a)× F k und M b =n∑

k=1

(rk − b)× F k

Die Differenz der beiden Momente ist

M b −Ma =n∑

k=1

(rk × F k − b× F k − rk × F k + a× F k)

= (a− b)×n∑

k=1

F k = (a− b)× F (2.4)

24

Beispiel Aquivalentes Kraftsystem

Man bezeichnet zwei Kraftsysteme

(F 1, F 2, . . . , F n; r1, r2, . . . , rn)

und(K1, K2, . . . , Km; p1, p2, . . . , pm)

als gleichwertig oder aquivalent, wenn sie dieselbe resultierende Kraft

F =

n∑

k=1

F k =

m∑

j=1

Kj = K (2.5)

und dasselbe resultierende Moment haben:

MFc =

n∑

k=1

(rk − c)× F k =

m∑

j=1

(pj − c)×Kk = MKc (2.6)

Sind zwei Kraftsysteme F und K gegenuber einem Raumpunkt a aquivalent, d.h.

F = K und MFa = MKa, dann sind sie es auch gegenuber jedem beliebigen

zweiten Raumpunkt b.

(2.4)→MFb = MFa + (a− b)× F

MKb = MKa + (a− b)×K

→MFb = MKb

D.h. man ist in der Wahl eines geeigneten Bezugspunktes vollig frei.

Die physikalische Wirkung von aquivalenten Kraftsystemen auf einen Korperist: Sie haben dieselbe Anderung des Geschwindigkeitszustands zur Folge. In

anderen Worten, die spater genauer erklart werden:

Aquivalente Kraftsysteme bewirken jeweils dieselben Anderungen

von Impuls und des Drehimpuls.

Beispiel Aquivalentes Kraftsystem

Gegeben sind die drei Krafte F 1 = (1, 2, 3), F 2 = (3,−1, 0) und F 3 =(0, 8, 15) in einem Orthonormal-System jeweils in kN gemessen. Die Kraft-

angriffspunkte sind r1 = (3,−1, 5), r2 = (0, 4, 0) und r3 = (10, 0,−1), alle

25

2. Krafte

Angaben in m. Wie groß sind die resultierende Kraft und das resultierendeMoment bezuglich des Koordinatenursprungs?

R =3∑

i=1

F i =

123

+

3−10

+

0815

kN =

4918

kN

M0 =

3∑

i=1

ri × F i =

3−15

×

123

kNm +

040

×

3−10

kNm

+

100−1

×

0815

kNm =

det

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

3 −1 51 2 3

∣∣∣∣∣∣+

+ det

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

0 4 03 −1 0

∣∣∣∣∣∣+ det

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

10 0 −10 8 15

∣∣∣∣∣∣

kNm

=

−13−47

+

00−12

+

8−15080

kNm =

−5−15475

kNm

2.4. Besondere Kraftsysteme

Gleichgewichtssysteme Ein Kraftsystem, dessen resultierende Kraft und re-

sultierendes Moment bezuglich eines Punktes verschwinden, heißt Gleichge-wichtssystem. Ein solches System andert am Geschwindigkeitszustand des Korpers,

an dem es angreift, nichts. Daher der Name.

n∑

k=1

F k = 0 ⇔ F = 0 (2.7)

undn∑

k=1

(rk − c)× F k = 0 ⇔ M c = 0 (2.8)

Die beiden letzten Gleichungen (2.7,2.8) nennt man Gleichgewichtsbedingun-

gen. Sie sind notwendige und hinreichende Bedingungen, wenn ein starrer

26

2.4. Besondere Kraftsysteme

Korper unter Einwirkung eines Kraftsystems fur alle Zeit in Ruhe bleiben soll.

In vielen Fallen ist es angebracht, die Gleichgewichtsbedingungen komponen-

tenweise zu betrachten. Die i-te Kraft F i und der i-te Kraftangriffspunkt ri einesGleichgewichtssystems seien:

F i = (Fix, Fiy, Fiz)

ri = (rix, riy, riz)

und der Ortsvektor des Bezugspunktes c sei:

c = (cx, cy, cz)

dann ist Gleichung (2.7) erfullt, wenn gilt

n∑

i=1

Fix = 0 ,n∑

i=1

Fiy = 0 und

n∑

i=1

Fiz = 0 (2.9)

Die Komponenten des resultierenden Momentes, die ebenfalls verschwinden mussen,berechnen sich mit (A.13)

(Mcx, Mcy, Mcz) =

n∑

i=1

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

rix − cx riy − cy riz − cz

Fix Fiy Fiz

∣∣∣∣∣∣= (0, 0, 0)

im Einzelnen

Mcx =

n∑

i=1

(riy − cy)Fiz − (riz − cz)Fiy = 0 (2.10)

Mcy =

n∑

i=1

(riz − cz)Fix − (rix − cx)Fiz = 0 (2.11)

Mcz =

n∑

i=1

(rix − cx)Fiy − (riy − cy)Fix = 0 (2.12)

Da an die Auswahl des Bezugspunktes c keine Bedingung geknupft ist, kann er

so gewahlt werden, dass er moglichst viele Terme in den obigen Gleichungenverschwinden lasst.

Oftmals konnen Probleme auf eine Ebene beschrankt werden. Hier vereinfachensich die Gleichgewichtsbedingungen. Z.B. fur

F i = (Fix, 0, Fiz)

ri = (rix, 0, riz)

c = (cx, 0, cz)

27

2. Krafte

bleibt ubrig als Kraftegleichgewicht:

n∑

i=1

Fix = 0 und

n∑

i=1

Fiz = 0

und als Momentengleichgewicht:

Mcy =

n∑

i=1

(riz − cz)Fix − (rix − cx)Fiz = 0

Zentrales Kraftsystem Ein Kraftsystem, dessen Krafte einen gemeinsamen

Angriffspunkt haben, nennt man ein zentrales Kraftsystem. Fur ein solches Sy-stem

(F 1, F 2, . . . , F n; ri = r)

gilt

F =

n∑

i=1

F i

und

M c =

n∑

i=1

(ri − c)× F i = (r − c)×n∑

i=1

F i = (r − c)× F

Kraftepaar Zwei entgegengesetzt gleich große Krafte an unterschiedlichenAngriffspunkten

(K,−K; r1, r2)

nennt man ein Kraftepaar. Seine resultierende Kraft verschwindet, das resultie-rende Moment aber nicht. Z.B. fur c = r1 ergibt sich:

M c = (r1 − c)×K + (r2 − c)× (−K) = (r1 − r2)×K

Ein Kraftepaar ist kein Gleichgewichtssystem.

2.5. Schwerpunkt, Massenmittelpunkt

Die Anziehungskraft zwischen zwei materiellen Korpern der Massen m1 und m2

im Abstand r gibt das Newtonsche Gravitationsgesetz an.

F = |F | = Γm1m2

r2(2.13)

28

2.5. Schwerpunkt, Massenmittelpunkt

Γ : universelle Gravitationskonstante = 6.672 10−11 m3

kg s2

Als Abstand gilt hier die Entfernung der beiden Massenmittelpunkte (s. nachste

Seite). Die Wirkungslinie der Krafte ist die Gerade durch beide Massenmittel-punkte.

Bei sehr unterschiedlich großen Korpern, z.B. Erdkugel (Masse Me, Radius Re)und beliebiger Gegenstand (Masse m Me) im Abstand h Re von der

Erdoberflache, ist die Anziehungskraft die Gewichtskraft der Masse m.

G = |G| = ΓMem

(Re + h)2≈ ΓMe

R2e︸︷︷︸

g

m

Da h gegenuber Re vernachlassigbar ist, konnen die Konstanten Γ, Me und R2e

zusammengefasst werden zur Erdbeschleunigung g.(Laut DIN g = 9.80665 m

s2 ≈ 9.81 ms2 ).

In einem orthonormalen Koordinatensystem (ez Richtung Erdmittelpunkt) istdie Gewichtskraft eines materiellen Korpers (Masse m)

G = (0, 0, G) ; G = mg

Sie ist die Resultierende eines volumenhaft verteilten Kraftsystems.Nimmt man an, dass im Innern des Korpers ein Teilvolumen4V klein genug ist,

um in ihm die Masse als homogen verteilt anzusehen, dann ist die Gewichtskraft

dieses Teilkorpers

4G = (0, 0,4G) ; 4G = g4m

Die homogen verteilte Masse 4m ist proportional zum Volumen 4V ; der Pro-

portionalitatsfaktor ist die Massendichte ρ, ublicherweise aber auch falschlicher-weise spezifisches Gewicht genannt, da es eigentlich die spezifische Masse ist.

4G = gρ4V ; ρ = lim4V →0

4m

4V

Die Resultierende aller Teilgewichtskrafte ist die Summe uber alle Teilvolu-mina, die jeweils unterschiedliche Massendichten ρi haben konnen, oder im

Grenzubergang, wenn die Massendichte eine Funktion des Ortes r ist (ρ =ρ(r)), das Volumenintegral.

G =

n∑

i=1

4G =

n∑

i=1

gρi4Vi bzw. G =

∫∫∫

V

dG =

∫∫∫

V

gρ(r) dV

29

2. Krafte

Der Schwerpunkt Ein Kraftsystem (G; s) ist dem Kraftsystem aller volumen-haft verteilten Gewichtskraftanteile des Korpers aquivalent, wenn die Bedin-

gungen (2.5,2.6) erfullt sind.

G =

∫∫∫

V

dG

(s− c)×G =

∫∫∫

V

(r − c)× dG =

∫∫∫

V

r × dG− c×∫∫∫

V

dG

→ s×G =

∫∫∫

V

r × dG

Die erste Gleichung ist a priori erfullt. Die dritte Gleichung lasst sich in eine

Bestimmungsgleichung fur s verwandeln. Dazu nutzt man aus, dass die resul-tierende Gewichtskraft in Richtung der Erdbeschleunigung zeigt.

G = Geg , dG = dGeg ; eg : Einheitsvektor Richtung g

(sG−∫∫∫

V

r dG)× eg = 0

→ s =1

G

∫∫∫

V

r dG (2.14)

Den Punkt, den der Ortsvektor s beschreibt, nennt man den Schwerpunkt des

Korpers.

Im Allgemeinen sind die betrachteten Korper nicht so groß, dass innerhalb ihres

Volumens die Erdbeschleunigung verschiedene Werte annimmt, d.h. g 6= g(r).

s =1

m

∫∫∫

V

r dm ; m =

∫∫∫

V

dm (2.15)

Das ist die Definition fur den Massenmittelpunkt eines Korpers, die hier nach-gereicht wird. Er ist unter der angegebenen Voraussetzung mit dem Schwer-

punkt identisch ist. Oft genug ist auch die Massenbelegung des Korpers homogen,d.h. gleichmaßig verteilt oder mathematisch ausgedruckt ρ 6= ρ(r). Dann kann

auch die spezifische Masse ρ als Konstante aus dem Integral herausgezogen und

gekurzt werden.

s =1

V

∫∫∫

V

r dV (2.16)

Die letzte Gleichung definiert den Volumenschwerpunkt.

30

Beispiel Schwerpunkt Quader

Die Gleichungen (2.14), (2.15), (2.16) werden komponentenweise ausgewertet,z.B.

s = (sx, sy, sz)

(2.17)

sx =1

V

∫∫∫

V

rx dV sy =1

V

∫∫∫

V

ry dV sz =1

V

∫∫∫

V

rz dV

Beispiel Schwerpunkt Quader

Ein Quader (Kantenlangen a, b, c in Richtung x, y, z) hat den Volumen-

schwerpunkt s:

mit dV = dx dy dz und r = (x, y, z)

(2.17a) → sx =1

abc

a∫

0

b∫

0

c∫

0

x dx dy dz

=1

abc

a2

2bc =

a

2

entsprechend sy =b

2, sz =

c

2

Wie erwartet liegt der Volumenschwerpunkt in der Mitte.

Weitere Vereinfachungen sind moglich, wenn die Geometrie des Korpers einfach

ist. Z.B., wenn der Korper in einer Koordinatenrichtung (z) gleichmaßig dick ist.

mit dV = h dA und V = hA

(2.16) → s =1

hA

∫∫

a

rh dA =1

A

∫∫

a

r dA (2.18)

Bei der letzten Definition (2.18) spricht man vom Flachenschwerpunkt. Entspre-

chend gibt es einen Linienschwerpunkt, wenn ein Korper in zwei Richtungen

sehr viel kleiner als in der dritten ist, also einen kleinen Querschnitt A ge-genuber seiner Lange S hat. Dann gilt mit

dV = A ds und V = AS (2.16) → s =1

AS

∫

S

rA ds =1

S

∫

S

r ds (2.19)

31

2. Krafte

Beispiel Flachenschwerpunkt Dreieck

Ein Dreieck hat die Basis B und die Hohe H .

Als infinitesimales Flachenelement wird

dA = b(y) dy; b(y) = b0+b1y gewahlt,

mit b(0) = B → b0 = B

und b(H) = 0 → b1 = −B/H .

→ b(y) = B − b

Hy B

Hdy

b(y) x

y

sy =1

A

∫∫

A

y dA =2

BH

H∫

0

yb(y) dy =2

BH

H∫

0

(By − b

Hy2) dy

=2

BH

[B

y2

2− b

H

y3

3

]H

0

=H

3

Beispiel Linienschwerpunkt

Ein Draht mit dem Querschnitt A ist zu einem Halbkreis (Radius R) gebo-

gen, der im Koordinatensystem (x, y) bei (R, 0) beginnt und bei (−R, 0)endet. Als infintesimales Linienelement wird ds = R dφ gewahlt. Da-

bei ist φ eine Hilfskoordinate, die fur einen Punkt des Halbkreises r =(R cosφ, R sin φ) den Winkel zwischen Ortsvektor und positiver x-Achseangibt. Die Lange S des Halbkreises ist πR.

φ

R

y

dφx

R dφsy =

1

S

∫

S

ry ds

=1

πR

π∫

0

R sin φ R dφ =R

π[− cosφ]π0 =

2

πR

32

Beispiel Linienschwerpunkt

2.5.1. Allgemeine Aussagen zum Schwerpunkt

Ausnutzen der Symmetrie Hat ein Korper eine Symmetrie-Ebene, dann liegt

der Schwerpunkt eben darauf. Z.B. sei die yz-Ebene die Symmetrie-Ebene eines

Korpers, der in der z-Richtung die großte Ausdehnung H hat.

B(z)

t(y, z)

Schnitt Z-Z

Z

Z

x

z

x

y

H

An einer Stelle z ∈ [0, H ] wiederum kann die großte Ausdehnung in y-Richtungals die Funktion B(z) angegeben werden, und entlang dieser Strecke die Um-

randung einer Schnittflache senkrecht zu z durch eine Funktion ±t(y, z) (Sym-metrie). Daraus ergibt sich die Lage des Schwerpunktes in x-Richtung:

mit r = (x, y, z)

sx =1

V

∫∫∫

V

x dV

=1

V

∫

H

∫

B(z)

t(z,y)∫

−t(z,y)

x dx

dy

dz

Es gilt fur n ∈ IN

a∫

−a

x2n−1 dx =

[1

2nx2n

]a

−a

= 0

→ sx = 0

D.h. Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrie-Ebene.

Bei zweidimensionalen Problemen (z.B. Flachenschwerpunkt) gibt es keine Sym-

metrieebenen, sondern allenfalls Symmetrielinien: Wenn, dann liegt der Schwer-

punkt auf diesen.

Komplizierte Geometrien Die Formen im Ingenieurwesen sind oft kompli-

ziert, haben aber generell (Ausnahme Freiformflachen) die Eigenschaft, dass sie

33

2. Krafte

sich aus einfachen Teilvolumen zusammensetzen. Das kann man sich zu Nutzemachen, weil es sich gut mit einer Eigenschaft der bestimmten Integrale trifft. Es

gilt:∫∫∫

V

f(r) dV =

n∑

i=1

∫∫∫

Vi

f(r) dV

wobei Vi Teilvolumina des Gesamtvolumens V sind, mit∑

Vi = V . Die Funk-

tion f(r) steht fur jede beliebige Funktion des Ortes. Fur den Volumenschwer-punkt folgt damit:

s =

∫∫∫V r dV

V=

∑i

∫∫∫Vi

r dV∑

i Vi

mit

rsi =

∫∫∫Vi

r dV

Vi→

∫∫∫

Vi

r dV = rsiVi

(rsi : Teilschwerpunkte)

→ s =

∑i rsiVi∑

i Vi(2.20)

Fur Flachen- und Linienschwerpunkte gilt Entsprechendes.

Fehlgebiete Nun setzen sich Gebiete manchmal nicht nur additiv aus Teilge-bieten zusammen: Manchmal gibt’s auch Locher.

Z.B. ist aus einer Gesamtflache C das Loch B aus-

gestanzt: Es existiere nur die Restflache A. Dann er-gibt sich der Schwerpunkt der ’ungelochten’ Flache

C nach der obigen Regel als

sC =1

C(sAA + sBB)

BA

Das kann man einfach umstellen nach dem gesuchten Schwerpunkt sA der ge-lochten Flache.

sAA = sCC − sBB → sA =sCC − sBB

C −B, (Anm. : C −B = A)

Das gilt fur eine wie fur viele Fehlflachen und fur Volumen entsprechend.

34

Beispiel Fehlflachen

Beispiel Fehlflachen

Aus einem Viereck (3a×4a) fehlt an der rechten oberen Ecke ein Quadrat

(a×a). Bezogen auf ein Koordinatensystem (x, y) in der Mitte des großen

Vierecks liegen die Teilschwerpunkte bei (0,0) und (a, 32a). Die Teilflachen

sind A1 = 12a2 und A2 = −a2. Die Schwerpunktskoordinaten sind:

x

y

2a

2a

1.5a 1.5a

xs =0 · 12a2 − a · a2

12a2 − a2= − 1

11a

ys =0 · 12a2 − 3

2a · a2

12a2 − a2= − 3

22a

Beispiel Zusammengesetzte Flache

Wo liegt der Flachenschwerpunkt einer Flache, die sich aus einem Qua-

drat und einer Halbkreisflache zusammensetzt?

φ

y

dφx

a

r

dA

a

2a S

Die Flache ist symmetrisch, also liegtder Schwerpunkt auf der Symmetrieli-

nie. Teilflache (4a2) und Teilschwerpunkt(Mitte) des Quadrats sind bekannt. Die

Halbkreisflache ist 12πa2. Es fehlt nur der

Teilschwerpunkt der Halbkreisflache.

Der Bezugspunkt sei der Schnittpunkt der

Symmetrielinie mit der gemeinsamen Kante.

Als Hilfsmittel zur Beschreibung eines Ortes soll ein Polarkoordiantensy-

stem (r, φ) dienen, das seinen Ursprung im Bezugspunkt hat. D.h., einPunkt in der Halbkreisflache, dessen Lage durch r und φ bezeichnet ist,

hat die y-Koordinate r sin φ.

35

2. Krafte

Teilschwerpunkt Halbkreisflache:

ys =

∫∫

A

y dA∫∫

A

dAmit y = r sin φ, dA = r dφ dr

=

π∫

0

a∫

0

r2 sin φ dφ dr

1

2πa2

=2

πa2

π∫

0

r3

3

∣∣∣∣a

0

sin φ dφ =2a3

3πa2 (− cosφ)∣∣π0

=4

3

a

π

Fur die Berechnung des Gesamtschwerpunktes wird das kartesische Be-

zugssystem beibehalten. Fur die Berechnung selbst eignet sich die Tabel-lenform.

i Ai ysi ysiAi

1 4a2 −a −4a3

2 12πa2 4

3aπ

23a3

∑(4 + π

2 )a2 −103 a3

→ ys = −10

3a3

(4 +π

2)a2

= − 10

12 +3

2π

a

36

3. Statik

Die Statik untersucht die Bedingungen, unter denen ein Korper im Gleichge-wicht ist; d.h. alle Krafte, die an dem Korper angreifen, bilden ein Gleichge-

wichtssystem (2.7,2.8). Dabei unterliegt der Korper nicht nur den eingepragten

Kraften (Gewicht, Belastung) sondern auch geometrischen Zwangsbedingungen,die fur bestimmte Punkte des Korpers vorgeschrieben sind. Das sind die Stellen,

an denen der Korper in einem Kontakt mit seiner Umwelt steht, den man nicht

vernachlassigen darf. Z.B. die ein Gebaude umgebende Luft kann man in denmeisten Fallen vernachlassigen, das Fundament, auf dem es steht, nicht. An den

Kontaktstellen entstehen durch Anwendung des Schnittprinzips die Zwangs-krafte oder Reaktionskrafte, die das am Korper angreifende Kraftsystem ver-

vollstandigen.

3.1. Das Schnittprinzip

Die Krafte sind der mechanische Einfluss der Umgebung auf einen materiellen

Korper (materielles System). Sobald der Gegenstand der Untersuchung genaudefiniert ist, also seine Systemgrenzen festgelegt sind, kann er in Gedanken

aus seiner Umgebung herausgelost werden. Das nennt man Freischneiden und

der Grundsatz, den Einfluss der weggeschnittenen Umgebung an der Schnitt-stelle durch ein Kraftsystem zu ersetzen, heißt Schnittprinzip. Je nach Pro-

blem konnen das sehr komplizierte Kraftsysteme sein (z.B. oberflachenverteilteKrafte, die der Wasserdruck auf eine Staumauer ausubt), in vielen Fallen kommt

man aber mit der Idealvorstellung von Einzelkraften aus.

Die oben erwahnten Kraftsysteme, die den Einfluss der Umgebung wiederge-

ben, sind die sogenannten außeren Krafte. Wenn man das Schnittprinzip wei-

tertreibt, das betrachtete System also in Teilsysteme zerlegt, entstehen die inne-ren Krafte. Ab hier muss man berucksichtigen, dass ein Schnitt zwei Schnittufer

hat: Oberflachenhaft verteilte Schnittkrafte, die durch den Schnitt erst”sicht-

bar“ werden, sind am gegenuberliegenden Schnittufer umgekehrt gleich groß

vorhanden. Dieses Reaktionsprinzip (”actio gleich reactio“, Newton) leitet sich

37

3. Statik

aus der Impulsbilanz ab (s. spatere Kapitel).

3.2. Lager

Die Kontaktstellen zur Umgebung, bzw. bei einem mehrgliedrigen Korper die

Kontaktstellen zwischen den einzelnen Teilkorpern heißen Lager bzw. Verbin-

dungselemente. Fur sie gibt es idealisierende Modellvorstellungen, deren Sym-bole ungefahr an die technisch realisierbaren Konstruktionen angepasst sind.

Die unten angegebenen Symbole werden bei ebenen Problemen verwendet. Beiebenen Problemen hat die resultierende Kraft hochstens zwei Komponenten (in

der Ebene) und das resultierende Moment nur eine Komponente (senkrecht zur

Ebene).

Lager Verbindungselement

Die einzelnen Symbole sind folgendermaßen zu lesen: Ein Kreis oder eine Drei-

eckspitze ist ein Gelenk, das kein Moment aufnehmen kann. Zwei parallele Li-nien lassen eine Bewegung in Richtung der Parallelen zu. Folglich kann in die-

ser Richtung keine Kraft ubertragen werden. Dementsprechend konnen die La-ger bzw. Verbindungselemente in der obersten Zeile der Tabelle nur eine Kraft

und in der dritten Zeile nur ein Moment, aber keine Kraft ubertragen. Man

38

Beispiel Balken auf zwei Stutzen

spricht von einwertigen Lagern. Gebrauchlich ist auch die Bezeichnung horizon-tales oder vertikales Gleitlager.

Die Elemente der zweiten und vierten Zeile sind zweiwertige Lager oder Ver-bindungselemente. Sie ubertragen zwei Krafte oder eine Kraft und ein Moment.

Die Elemente der letzten Zeile ubertragen alle Kraft- und Momentenkompo-

nenten, die im ebenen Fall moglich sind, namlich drei, also: dreiwertiges Lager.Gebrauchliche Bezeichnung: feste Einspannung.

Fur raumliche Probleme gibt es entsprechende Symbole, die wesentlich kompli-

zierter sind, weil diese ja bis zu 6wertig sein konnen. (vgl. P. Haupt: Einfuhrung

in die Mechanik, Technische Mechanik I/II, IfM GhK, 1990, S. 90)


Ein Balken der Lange l ist an beiden Enden gelagert und durch sein Ei-gengewicht G und eine zusatzliche Kraft F belastet (s. Skizze). Wie groß

sind die Auflagerkrafte?

System unter Belastung freigeschnitten

l2

l4

l4

45A B

G F G F

AB C

Die Summe der Krafte und die Summe aller Momente um einen beliebigen

Bezugspunkt muss jeweils Null ergeben. In diesem Fall wurde das linkeAuflager (A) gewahlt.

∑

i

Fix = 0 = A− F1

2

√2 → A =

√2

2F

∑

i

Fiz = 0 = B + C −G− F1

2

√2 (3.1)

∑

i

MiA = 0 = Cl −Gl

2− F

1

2

√23

4l

39

3. Statik

→ C =G

2+

3√

2

8F (3.2)

(3.2)→ (3.1) → B =G

2+

√2

8F (3.3)

3.3. Statische Bestimmtheit

In dem oben angefuhrten Beispiel entsprach die Anzahl der Unbekannten (A,B, C) der Anzahl der Gleichungen, die aus den Gleichgewichtsbedingungen

folgen. Damit war die Losung eindeutig bestimmbar. Ein System, das diese Ei-genschaft hat, nennt man statisch bestimmt. Wenn mehr oder weniger Unbe-

kannte zu bestimmen sind, als Gleichungen formuliert werden konnen, spricht

man von statischer Unbestimmtheit. Die ware im obigen Beispiel gegeben, wennauch das rechte Auflager zweiwertig ware (statisch uberbestimmt), oder das lin-

ke einwertig (statisch unterbestimmt). Den letzten Fall nennt man auch kinema-

tisch unbestimmt, weil der Balken nicht eindeutig im Raum fixiert ist und beimleisesten Anstoß seitwarts wegrutschen wurde.

Besteht der Korper aus mehreren Teilkorpern, dann wird an geeigneten Verbin-

dungselementen das Schnittprinzip angewandt, und die entsprechenden Reak-

tionskrafte werden eingefuhrt. Dadurch erhoht sich die Zahl der Unbekanntenauf a + z (a: Anzahl der Auflagerreaktionen, z: Anzahl der Reaktionen in den

Verbindungselementen). Dem stehen im ebenen Fall pro Teilkorper 3 Gleich-

gewichtsbedingungen gegenuber. Notwendige, nicht(!) hinreichende Bedingungzur statischen Bestimmtheit ist folglich:

a + z = 3n (n : Anzahl der Teilkorper) (3.4)

Im raumlichen Fall gilt die Uberlegung entsprechend, nur gibt es hier 6 Gleich-gewichtsbedingungen, wenn man die resultierende Kraft und das resultierende

Moment komponentenweise ausrechnet (2.9), (2.10), (2.11), (2.12).

a + z = 6n (3.5)

40

Beispiel Ebenes System aus zwei Teilkorpern

Beispiel Ebenes System aus zwei Teilkorpern

System unter Belastung freigeschnitten

K

G G

K

G

GF

E

C

D

C

A

B

xx

zh

l l

z

Eine symmetrische Gelenkbrucke (s. Skizze) wird durch das Gewicht G ih-

rer Teilkorper und eine Einzelkraft K an der Stelle x belastet. Der Schwer-punkt der Teilkorper liege bei 1

3 l vom Auflager her. Stellen Sie die Auflagerreaktionen

als Funktion von x dar.

Notwendige Bedingung fur die statische Bestimmtheit:

Auflagerreaktionen: A, B, E, F → a = 4

Verbindungsreaktionen: C, D → z = 2

Teilkorper: → n = 2 4 + 2 = 2 · 3

Die Auflager und das Gelenk konnen jeweils nur zwei Kraftkomponentenubertragen. Die entsprechenden Reaktionen (A . . . F ) werden eingefuhrt.

Fur jeden Teilkorper konnen drei Gleichgewichtsbedingungen eingefuhrt

werden. Als Bezugspunkt fur die Momentengleichgewichte wird das Ge-lenk gewahlt.

Linker Teilkorper

∑

i

Fix = 0 = A−D (3.6)

∑

i

Fiz = 0 = B −G−K − C (3.7)

∑

i

MyG = 0 = K(l − x) + G2

3l− Bl + Ah (3.8)

Rechter Teilkorper

∑

i

Fix = 0 = D − F (3.9)

41

3. Statik∑

i

Fiz = 0 = C −G + E (3.10)

∑

i

MyG = 0 = G2

3l −El + Fh → E − h

lF =

2

3G (3.11)

Auswertung

(3.9)→ (3.6) → A = F (3.12)

(3.10)→ (3.7) → B = 2G + K −E (3.13)

(3.12, 3.13)→ 1

l(3.8) → 2G−E − F

h

l=

2

3G− x

lK (3.14)

(3.14) + (3.11) → F = Gl

h+ K

x

2h= A = D

(3.14)− (3.11) → E = G + Kx

l(3.15)

(3.15)→ (3.13) → B = G + K(1− x

l)

(3.15)→ (3.10) → C = −Kx

l

3.4. Fachwerke

Fachwerke sind besondere Vielkorpersysteme, deren Teilkorper alle gerade Stabe

sind, an denen keine Krafte angreifen. Die einzelnen Stabe sind uber Gelenke

miteinander verbunden, die im Fachwerk Knoten genannt werden. Alle vorhan-denen Lasten greifen an Knoten an. Das fuhrt dazu, dass ein Stab in einem

Fachwerk nur Krafte in Richtung des Stabes ubertragen kann. Einen solchen

Stab nennt man Pendelstutze.

Ein statisch bestimmt gelagerter Stab, der mit zwei anderen Staben ein Dreieckbildet, ist das einfachste ebene, statisch bestimmte Fachwerk. Jede Erweiterung

mit zwei Staben, die mit einem vorhandenen wieder ein Dreieck bilden, ist sta-

tisch bestimmt. D.h., ein Fachwerk, das sich nur aus Dreiecken zusammensetzt,ist indexstatisch!bestimmtstatisch bestimmt. Bei raumlichen Fachwerken gilt die

entsprechend Regel, wenn sich das Fachwerk aus Tetraedern aufbauen lasst.

Die einfachste Moglichkeit, die Stabkrafte eines Fachwerks zu berechnen, liefert

42

3.4. Fachwerke

die Vektorrechnung, da man sehr einfach die Einheitsvektoren bilden kann, dievom Knoten weg in Richtung eines Stabes zeigen.

Die beiden Endpunkte PA, PB eines Stabes i seien durch die Ortsvektoren rA

und rB beschrieben. Dann ist der Vektor der von PA nach PB zeigt

ri = rB − rA

und der Einheitsvektor derselben Richtung ist:

ei =1

|ri|ri

Damit ist der Kraftvektor Si, der durch den Stab am Knoten PA eingeleitet wird,

durch seinen Betrag Si und Richtungsvektor ei darstellbar.

Si = Siei

Am anderen Endpunkt PB wirkt dieselbe Kraft mit umgekehrten Vorzeichenoder, in anderen Worten, in derselben Große mit umgekehrtem Einheitsvektor.

Die Konvention, alle Stabkrafte so einzufuhren, dass sie vom Knoten weg zei-gen, kommt aus dem Stahlbau. Sie erzeugt einen einfachen Indikator fur die

Notwendigkeit weiterer Untersuchungen: Sind die Ergebnisse positiv, dann sinddie Stabkrafte Zugkrafte und somit unproblematisch. Sind die Ergebnisse nega-

tiv, dann handelt es sich um Druckkrafte. In diesem Fall muss die Knickstabilitat

nachgewiesen werden.

Die Auswertung erfolgt Knoten fur Knoten, indem die Summe aller am Knoten

angreifenden Stabkrafte (z.B. Si, Sj , Sk) und außeren Krafte (z.B. A) gebildetwird. Diese Resultierende muss verschwinden.

Siei + Sjej + Skek = −A (3.16)

komponentenweise: Sieix + Sjejx + Skekx = −Ax

Sieiy + Sjejy + Skeky = −Ay

Sieiz + Sjejz + Skekz = −Az

Dieses Verfahren wird fur jeden Knoten durchgefuhrt. Dadurch entsteht ein u.U.sehr großes Gleichungssystem, das entweder einem Gleichungsloser uberlassen

wird, oder mit mehr oder weniger Geschick nacheinander gelost wird.

43

3. Statik

Beispiel Ebenes Fachwerk (vektoriell)

F F

4 5

7

A C

DE

B

3 6

1 2A

CB frei geschnitten

alle Stabe

Lange l

Auflager:

∑Fih = 0 = A

∑MiA = 0 = 2lC − l

2F → C =

F

4∑Fiv = 0 = B + C − F → B = F − C =

3

4F

Stabkrafte:

A: −(

AB

)= S3eAE + S1eAB = S3

(12

12

√3

)+ S1

(10

)

bzw. A = 0 =1

2S3 + S1

−B = −3

4F =

1

2

√3S3 → S3 = −

√3

2 F → S1 =√

34 F

C: −(

0C

)= S2eCB + S6eCD = S2

(−10

)+ S6

(− 1

212

√3

)

bzw. 0 = −S2 −1

2S6

−C = −F

4=

1

2

√3S6 → S6 = −

√3

6 F → S2 =√

312 F

E: −(

0−F

)=

bekannt︷︸︸︷S3eEA +S4eEB + S7eED

(0F

)= −

√3

2F

(− 1

2

− 12

√3

)+ S4

(12

− 12

√3

)+ S7

(10

)

44

Beispiel Ebenes Fachwerk (skalar)

bzw. −√

3

4F =

1

2S4 + S7

1

4F = −1

2

√3S4 → S4 = −

√3

6 F → S7 = −√

36 F

D:

(00

)= S5eDB +

bekannt︷︸︸︷S6eDC +

bekannt︷︸︸︷S7eDE

= S5

(− 1

2

− 12

√3

)−√

3

6F

(12

− 12

√3

)−√

3

6F

(−10

)

bzw.1

2

√3S5 =

1

4F S5 =

√3

6 F

Die nicht verwendete Gleichung von Knoten D und die beiden, die sich an

Knoten B ergeben wurden, konnen zur Kontrolle verwendet werden. Sieliefern keine neue Aussage.

Bei raumlichen Fachwerken ist es auf jeden Fall ratsam, die Losung mit Hilfe

der Vektorrechnung zu suchen, wie es im vorangegangenen Beispiel vorgefuhrt

wurde. Bei ebenen Aufgabenstellungen (das Beispiel ist eines) kann man dasProblem auch anschaulicher losen, indem man jeden Knoten frei schneidet, alle

unbekannten Stabkrafte als Zugkrafte und alle Lasten und Reaktionskrafte so

einzeichnet, wie sie wirken. Auf diese Art kann man die skalaren Gleichungenin horizontaler und vertikaler Richtung sofort ablesen.

Beispiel Ebenes Fachwerk (skalar)

Dasselbe Fachwerk, dieselbe Belastung d.h. dieselben Auflagerkrafte. Nach

wie vor: sin 30 = cos 60 = 12 , sin 60 = cos 30 =

√3

2 ,

34F

S1

S3

Knoten A:∑Fiv = 0 =

√3

2S3 +

3

4F → S3 = −

√3

2F

∑Fih = 0 = S1 +

1

2S3 → S1 =

√3

4F

45

3. Statik

S7

S4√3

2 F

F Knoten E:∑Fiv = 0 =

√3

2S4 + F −

√3

2F

√3

2→ S4 = −

√3

6F

∑Fih = 0 = S7 +

1

2S4 +

√3

2F

1

2→ S7 = −

√3

6F

S6

S2

14F

Knoten C:∑Fiv = 0 =

1

2

√3S6 +

1

4F → S6 = −

√3

6F

∑Fih = 0 = S2 +

1

2S6 → S2 =

√3

12F

√3

6 F

√3

6 F

S5

Knoten D:∑Fiv = 0 =

√3

2S5 +

√3

6F

√3

2→ S5 =

√3

6F

3.4.1. Der Ritterschnitt

Manchmal geht es darum, nur in bestimmten Staben eines Fachwerks die Stab-

krafte zu ermitteln; z.B. wenn die Vermutung besteht, dass sie uberflussig, weilNullstabe sind. Dann hilft ein Schnitt durch das Fachwerk, der drei Stabe teilt.

Die freigelegten Schnittkrafte mussen mehr als einen Schnittpunkt haben. So

ein Schnitt heißt Ritterschnitt und die Schnittpunkte Ritterpunkte. Nimmt mannacheinander die Ritterpunkte als Bezugspunkte fur Momentengleichgewichte,

entstehen Bestimmungsgleichungen fur die unbekannten Stabkrafte.

46

Beispiel Ritterschnitt

Beispiel Ritterschnitt

l2

√3

S7

F

34F

14F

B

l14F

Wie groß ist die Stabkraft im Obergurt des dargestellten Fachwerks?

∑MiB =

l

2

√3S7 +

F

4= 0 → S7 = −

√3

6F

3.4.2. Raumliche Fachwerke

Bei raumlichen Fachwerken sind die notigen Einheitsvektoren in Richtung der

Stabe nicht so einfach zu bestimmen wie bei ebenen Fachwerken, z.B. als Ko-sinus und Sinus von gegebenen Winkeln. Hier bieten sich die Fachwerk-Knoten

an, deren Ortsvektoren bezuglich eines gewahlten Koordinatensystem eindeutigaus der Aufgabenstellung bekannt sind. Die Differenzvektoren von einem Kno-

ten zum nachsten gehen entlang der Stabe, haben also die richtige Richtung:

Sie mussen nur noch in Einheitsvektoren verwandelt werden, indem man siedurch ihre Lange teilt.

eAB =dAB

|dAB|, dAB = rB − rA

An jedem einzelnen Knoten muss das Gleichgewicht der Krafte (3.16) erfullt

sein. Diese Vektorgleichungen werden anschließend komponentenweise ausge-wertet.

47

3. Statik

Beispiel Raumliches Fachwerk (vektoriell)

x

xz

y

22

21

1 2

6

Ein Dreibein steht auf den Punkten r1 = (−1,−1,−4),r2 = (2, 0,−6) und r3 = (−1, 2,−2) (s. Seitenansichtund Draufsicht in der Skizze). Alle Langen messen sich

in [m] und beziehen sich auf ein kartesisches Koordina-

tensystem an der Spitze des Dreibeins.

Das Dreibein tragt das Gewicht G = (0, 0,−G). Wie

groß sind die Stabkrafte in den drei Beinen?

S1 + S2 + S3 + G = 0 → S1e1 + S2e2 + S3e3 =

00G

e1 =r1

|r1|=

1√1 + 1 + 16

−1−1−4

=

√2

6

−1−1−4

e2 =r2

|r2|=

1√4 + 0 + 36

20−6

=

√10

20

20−6

e3 =r3

|r3|=

1√1 + 4 + 4

−12−2

=

1

3

−12−2

→ S1

√2

6

−1−1−4

+ S2

√10

20

20−6

+ S3

1

3

−12−2

=

00G

bzw. −√

2

6S1 +

√10

10S2 −

1

3S3 = 0 (G1)

−√

2

6S1 + 0 +

2

3S3 = 0 (G2)

− 2

√2

3S1 − 3

√10

10S2 −

2

3S3 = G (G3)

2(G1) + (G2) : −√

2

2S1 +

√10

5S2 = 0 (G4)

(G2) + (G3) : −5

√2

6S1 − 3

√10

10S2 = G (G5)

48

3.5. Schnittlasten in Linientragwerken

3(G4) + 2(G5) : S1 = − 6

19

√2G (G6)

(G6)→ (G4) : S2 = − 3

19

√10G , (G6)→ (G2) : S3 = − 3

19G

3.5. Schnittlasten in Linientragwerken

Das am haufigsten verwendete Modell, mit dem man in der Mechanik realeKorper idealisiert, ist der Balken, der in den meisten Fallen gerade ist und sich

vor allem in einer Richtung wesentlich weiter ausdehnt als in den Richtungen

quer dazu. Andere linienhafte Modellkorper sind Stab, Seil und Bogen. Einenaus solchen linienhaften Teilen zusammengesetzten Korper nennt man ein Lini-

entragwerk.

Andere Modelle, die in diesem Rahmen nicht behandelt werden, sind Flachen-

tragwerke, deren Teilkorper sich, wie der Name schon andeutet, in zwei Rich-tungen, also flachig sehr viel weiter ausbreiten, als in der dritten. Je nach Form

und Belastung unterscheidet man hier Membran, Scheibe, Platte und Schale.

3.5.1. Vereinbarungen zu Balken, Staben und Bogen

Ein Balken wird beschrieben durch die Geometrie seiner Mittellinie s und den

Verlauf seines Querschnitts A(s) entlang der Mittellinie, die bei geraden Balken

auch Balkenachse heißt.

Die Mittellinie ist definiert als die Verbindung aller Flachenschwerpunkte; s ist

eine Koordinate, die die Mittellinie entlanglauft. Im Fall eines geraden Balkensstimmt sie mit der x-Koordinate eines orthonormalen Koordinatensystems uber-

ein, das fur jeden Balkenabschnitt eingefuhrt wird.

49

3. Statik

Beispiel Exzenterwelle

x3

z3

x2

z2

x1

z1

d1

d2

Der Balken hat zwei Bereiche, in denen der Querschnitt A1 = πd21/4 ist

und einen mit A2 = πd22/4.

Die Balkenachse macht zwei Sprunge. Damit wird es notwendig, drei

Abschnitte zu definieren und dafur geeignete Koordinatensysteme ein-

zufuhren. Das kann in jeden Abschnitt eine neues sein, oder man nimmteine fortlaufende x-Koordinate und fur jeden Abschnitt eine unterschied-

liche z-Koordinate. Eine durchlaufende x-Koordinate kann manchmal re-chentechnische Vorteile bringen.

3.5.2. Schnittkrafte und Schnittmomente

Wendet man das Schnittprinzip auf eine beliebige Stelle s des Balkens an, dann

zerteilt man damit den Korper in zwei Teilkorper und hat an den beiden Schnitt-ufern jeweils eine Kraft R(s) und ein Moment M(s) einzufuhren, die als Resul-

tierende die Stelle aller am anderen Teilkorper angreifenden Lasten vertreten.

Das Schnittufer, aus dem die Koordinate hinaustritt, ist das positive Schnittufer.Dementsprechend ist das gegenuberliegende das negative Schnittufer.

Es gibt eine ahnliche Konvention wie bei Fachwerken: Am positiven Schnittu-

fer werden die unbekannten Komponenten von R und M so eingefuhrt, dass

sie in positive Koordinatenrichtung zeigen. Am gegenuberligenden negativenSchnittufer gilt es anders herum.

Die Schnittkraft R(s) hat ebenso wie das Schnittmoment M(s) drei Komponen-ten, gemessen in einem an der Schnittstelle eingefuhrten orthonormalen Koor-

dinatensystem. Die drei Achsen dieses Koordinatensystems zeigen bei krumm-linigen Balken in Richtung der Balkenachse (darunter versteht man hier die

Tangente an die Mittellinie) es, in Richtung des Radius des Krummungskreises

50


en und senkrecht dazu eb (s. Kap 5.6).

R(s) = Nes + Qnen + Qbeb

M (s) = Mtes + Mnen + Mbeb

Das Symbol N statt eines Rs und der Begriff Normalkraft haben sich eingeburgert,weil diese Kraftkomponente entlang der Balkenachse, also senkrecht (normal)

zur Schnittflache wirkt. Der Buchstabe Q kommt von quer. Die beiden so be-

zeichneten Kraftkomponenten heißen Querkrafte. Eine ahnliche Erklarung gibtes fur die Momentenkomponente Mt, die entsprechend ihrer Wirkung auf den

Balken Torsionsmoment genannt wird. Die beiden anderen Großen heißen Bie-gemoment.

Bei geraden Balken ist der Einheitsvektor es mit ex identisch. Es gibt keinenKrummungsradius. Der wird aber auch nicht gebraucht, weil mit ey und ez

schon zwei Einheitsvektoren gegeben sind, die senkrecht zur Balkenachse ste-

hen.

R(x) = Nex + Qyey + Qzez (3.17)

M (x) = Mtex + Myey + Mzez (3.18)

Im ebenen Fall (Ebene x, z) wird es noch etwas einfacher, da sich hier die sechs

Schnittgroßen auf drei reduzieren.

R(x) = Nex + Qzez (3.19)

M(x) = Myey (3.20)

Da es hier nicht mehr notwendig ist, zwischen verschiedenen Q und M zu un-

terscheiden, fallen meistens auch die Indizes y und z weg.


a 2a

F

x

C = 13F

B = 23F

z

A = 0

F

51

3. Statik

Nachdem die Auflager berechnet sind: (A = 0, B = 23F und C = 1

3F ),wird der Balken an einer beliebigen Stelle x geschnitten. Dadurch ent-

stehen zwei Teilsysteme, an deren Schnittufer die unbekannten Schnitt-großen angetragen werden. Offensichtlich ergibt sich bei den entstehen-

den Teilsystemen ein Unterschied, je nachdem, ob der Schnitt links oder

rechts der Einzelkraft angreift.

Jedes Teilsystem bleibt in Ruhe, d.h. es muss fur sich genommen dieGleichgewichtsbedingungen erfullen. Die reichen bei statisch bestimm-

ten Systemen immer aus, die 6 (bei ebenen Problemen 3) unbekannten

Schnittgroßen zu bestimmen. Dabei ist es unerheblich, ob man die Gleich-gewichtsbedingungen an dem Teilsystem mit dem positiven oder an dem

mit dem negativen Schnittufer anschreibt. Anzuraten ist immer das einfa-

chere.

F

x

F

x23F 2

3F

13F

13F

Bereich a < x < 3a

pos.

neg.

M

M

N

Q

Bereich 0 < x < a

neg.

pos.

M

M

N

Q

N

Q

N

Q

Bereich 0 < x < a, positives

Schnittufer

∑Fix = 0 = N

∑Fiz = 0 = Q− 2

3F

∑MiS = 0 = M − 2

3Fx

Bereich a < x < 3a, negatives

Schnittufer

∑Fix = 0 = N

∑Fiz = 0 = Q +

1

3F

∑MiS = 0 = M − (3a− x)

1

3F

52

Beispiel Abgewinkelter Balken

N

Q

M

0

+-

+

F

23Fa

Die grafische Darstellung der Ergebnissebeider Bereiche nebeneinander zeigt einen

Sprung von Q um den Betrag der Einzelkraft

an der Einleitungsstelle. An derselben Stel-le hat der Momentenverlauf einen Knick und

den betragsmaßig großten Wert. An den Ein-

spannstellen muss der Momentenverlauf ver-schwinden, da keines der Auflager in der Lage

ist, ein Moment aufzubringen.

Wenn das vorangegangene Beispiel zeigt, dass jede Einzellast (Kraft oder Kraf-

tepaar = Moment), die auf ein Linientragwerk aufgebracht wird, eine weitereBereichsgrenze bedeutet, so ist das Gleiche fur Knicke in der Balkenachse of-

fensichtlich, weil keine Koordinate gleichzeitig in zwei Richtungen zeigen kann.

Ein Knick bedeutet ein neues Koordinatensystem, ein neues Koordinatensystemfangt einen neuen Bereich an.

Beispiel Abgewinkelter Balken

Ein abgewinkelter Balken auf zwei Stutzen mit Einzelkraft.

F

Cl

l2

F

B

A

x1z1

x2

z2

Auflagerberechnung:

∑

i

Fih = 0 = A− F → A = F

∑

i

MiA = 0 = Fl

2+ Cl → C = −F

2

∑

i

Fiv = 0 = B + C → B =F

2

53

3. Statik

Schnittlasten Bereich I (0 < x1 < l):

F

12Fx1

F

12F

x2N1

Q1

M1N1

Q1M1

l − x1

Linkes Teilsystem

∑Fix = 0 = N1 + F

→ N1 = −F∑

Fiz = 0 = Q1 −F

2

→ Q1 =F

2∑

MiS = 0 = M1 −F

2x1

→ M1 =F

2x1

Schnittlasten Bereich II (0 < x2 < l2):

l2 − x2

N2

M2

M2

N2

Q2

Q2

x2F

12F 1

2F

FOberes Teilsystem

∑Fix = 0 = N2

∑Fiz = 0 = Q2 + F

→ Q2 = −F∑

MiS = 0 = M2 − F (l

2− x2)

→ M =l

2Fx(1− 2

x

l

)

Darstellung der Ergebnisse:

N

Q

M

−F 0

12F

−F

+ +

FL2

x1 x2

I II

54

3.6. Umgang mit Streckenlasten

3.6. Umgang mit Streckenlasten

Bisher wurde das Schnittprinzip zur Berechnung von Auflagerkraften und Schnitt-großen nur auf Korper angewendet, an denen Einzellasten angreifen. Das reicht

fur alle Falle aus, bei denen die tatsachlich flachenhaft oder volumenhaft angrei-

fenden Krafte in Form von Einzelkraften und Einzelmomenten idealisiert undzusammengefasst werden konnen.

In anderen Worten: Hier wird das komplizierte Kraftsystem flachenhaft odervolumenhaft angreifender Krafte durch die resultierende Kraft ersetzt. Ihr An-

griffspunkt wird so gewahlt, dass ein aquivalentes Kraftsystem entsteht (Kap.2.3). Eine spezielle Anwendung dieses Gedankens wurde bei der Schwerpunkts-

berechnung vorgestellt (Kap. 2.5). Hier war die volumenhaft angreifende Kraft

k = gρ(r) eg ;r = (x, y, z) Ortsvektor

eg Richtungvektor

Erdbeschleunigung

Andere Ursachen fur volumenhaft angreifende Krafte sind elektromagnetische

Felder oder Fliehkraftwirkungen an rotierenden Bauteilen.

Volumenhaft angreifende Krafte werden bezogen auf eine Volumeneinheit an-

gegeben. Im allgemeinen Fall haben sie drei Komponenten, die jede fur sichvom Ort abhangen konnen.

r kk =

(kx(x, y, z), ky(x, y, z), kz(x, y, z)

)

Ahnliches gilt fur flachenhaft angreifende Krafte, die bezogen auf eine Flachen-

einheit angegeben werden (z.B. Wasser- und Winddruck).

Bei linienhaften Korpern ist die Ausdehnung in zwei Richtungen sehr klein im

Vergleich zur eigentlichen Ausdehnungsrichtung s. Deshalb ist es gerechtfertigt,anzunehmen, dass die volumenhaft und flachenhaft angreifenden Krafte nicht

von den beiden Quer-Richtungen abhangen.

55

3. Statik

r

k

s

k =(kx(s), ky(s), kz(s)

)

Das eroffnet die Moglichkeit, die volumenhaft bzw. flachenhaft angreifenden

Krafte entlang der Quer-Richtungen zu integrieren. Das Ergebnis sind Kraft-

großen, die nur noch auf eine Langeneinheit bezogen sind. Solche Lasten, dieman bei Linientragwerken kennt (z.B. Eigengewicht), heißen Streckenlasten. Ent-

sprechend der Modellvorstellung, dass der Balken zwar eine Querschnittsflache,aber keine Ausdehnung quer zur Balkenachse hat, ist die Angriffslinie von Strecken-

lasten q die Balkenachse.

q =(n(s), qn(s), qb(s)

)

︸︷︷︸gekrummter Balken

bzw. q =(n(x), qy(x), qz(x)

)

︸︷︷︸gerader Balken

Z. B. ist die Streckenlast, die das Eigengewicht eines horizontalen, geraden Bal-kens reprasentiert:

q = (0, 0, gρA(x)) ; A(x) : Querschnittsflache

Beispiel Balken unter Dreiecks-Last

A

Cxz

B ldx

q(x) = q1xq1l

An einem infinitesimal kurzen Balkenstuck dx an der Stelle x im Intervall

[0, l] greift die Kraft q(x) dx an. Die Gesamtwirkung aller dieser Krafteberechnet sich aus dem Integral uber das gesamte Intervall.

∑MiB = 0 = Cl −

∫ l

0

xq(x) dx

56

Beispiel Schrag stehender Balken unter Eigengewicht

→ C =q1

l

∫ l

0

x2 dx =q1

l

[x3

3

]l

0

= q1l2

3

∑Fiz = 0 = B + C −

∫ l

0

q(x) dx

→ B + C = q1

∫ l

0

x dx = q1

[x2

2

]l

0

= q1l2

2− C = q1

l2

6

Das Ergebnis fur B + C ist die Resultierende der Streckenlast. Wenn manuntersuchen wollte, an welcher Stelle die Resultierende hatte angreifen

mussen, um als aquivalente Belastung die Streckenlast bei der Auflagerberechnungzu ersetzen, ware als Ergebnis der Schwerpunkt der Dreiecksflache her-

ausgekommen.

Das im vorangegangenen Kapitel vorgestellte Verfahren zur Schnittgroßenbe-

stimmung kann analog auf Systeme mit Streckenlasten ubertragen werden.

Beispiel Schrag stehender Balken unterEigengewicht

A

B C

q

n

entspricht:

q0

45

C

Schnittprinzip:

nl

q l2

zQ

N

M

qn

A

B

l

dξ

x

ξ

Auflager: Aus der Symmetrie der Belastung folgt:

B = C = ql2 und A = nl mit n = q = 1

2

√2q0.

57

3. Statik

Schnittgroßen allgemein:

Im Bereich [0, x] wirken an der Stelle ξ die Krafte n dξ und q dξ, derenGesamtwirkung durch Integration uber das ganze Intervall zu berechnen

ist.∑

Fix = 0 = N + nl −∫ x

0

n dξ → N = − q0√2(l − x)

∑Fiz = 0 = Q− ql

2+

∫ x

0

q dξ → Q =q0

2√

2(l − 2x)

∑MiS = 0 = M − ql

2x +

∫ x

0

(x− ξ)q dξ

→ M =ql

2x− qx

∫ x

0

dξ + q

∫ x

0

ξ dξ

M =q0

2√

2x(l − x)

Schnittgroßen mit Hilfe der Resultierenden:

Bei einfachen Funktionsverlaufen n und q (z.B. konstant) ist die Resultie-rende als Flacheninhalt einfach zu berechnen (z.B. nx bzw. qx). Der An-

griffspunkt der Resultierenden ist der Schwerpunkt der Flache (z.B x/2).∑

Fix = 0 = N + nl − nx → N =q0√2(l − x)

∑Fiz = 0 = Q− ql

2+ qx → Q =

q0

2√

2(l − 2x)

∑MiS = 0 = M − ql

2x + qx

x

2→ M =

q0

2√

2x(l − x)

Darstellung der Ergebnisse:

N

Q

M

12ql

−nl

− 12ql

18ql2

-

+

-

+

58

3.7. Zusammenhang zwischen den Schnittgroßen

3.7. Zusammenhang zwischen den Schnittgroßen

Auf einen geraden Balken wirken die Streckenlasten

q =(n(x), 0, q(x)

)

An einem Stuck Balken, das mit zwei Schnitten an den Stellen x und x +4xherausgeschnitten wird, wirken an der Schnittstelle x, einem negativen Schnit-

tufer, die Schnittgroßen M , Q und N . Am gegenuberliegenden Schnittufer, dasein positives Schnittufer ist, wirken die entsprechenden Großen, nur jeweils um

einen Betrag 4M,4Q,4N verandert. Das Stuck 4x soll so kurz sein, dass in-nerhalb von4x die Verlaufe der Streckenlasten q und n als konstant angesehen

werden konnen.

N +4N

zx

n(x)

q(x) q(x)

n(x)

x4x

Q +4Q

M +4MQ

N

M

R

Die Gleichgewichtsbedingungen ergeben fur das Balkenelement

∑Fix = 0 = −N + n(x)4x + N +4N

∑Fiz = 0 = −Q + q(x)4x + Q +4Q

∑MiR = 0 = −M −Q4x + q(x)4x

4x

2+ M +4M

R ist der Schnittpunkt der Balkenachse mit der rechten Schnittflache.

59

3. Statik

4x2

4x1

x

FDie Division durch 4x ergibt den Differenzenquotienten,der die Steigung einer Sekante durch Punkte (x|F (x)) und

(x + 4x|F (x + 4x)) angibt (F : Stellvertreter fur N , Qoder M). Die Sekanten-Steigung ist nicht sehr informativ,

weil sie von der Große von4x abhangt. Die anschließende

Grenzwertbildung (4x → 0) fuhrt aber zum Differenzial-quotienten, der die Steigung der Tangente an die Kurve im

Punkt (x|F (x)) ist. Das ist ein eindeutiger Wert.

Man erhalt drei Differenzialgleichungen:

N ′ =dN(x)

dx= lim

4x→0

4N

4x= −n(x) (3.21)

Q′ =dQ(x)

dx= lim

4x→0

4Q

4x= −q(x) (3.22)

M ′ =dM(x)

dx= lim

4x→0

4M

4x= Q(x) (3.23)

Die formale Ableitung der letzten Gleichung (3.23) fuhrt unter Benutzung der

vorletzten Gleichung (3.22) zu einer weiteren Beziehung, die spater noch Be-

deutung finden wird.M ′′(x) = −q(x) (3.24)

Die Losung einer Differenzialgleichung vom obigen Typ (vgl. 3.21, 3.22, 3.23)kann man der Differenzialgleichung ablesen:

F ′ = f(x) (3.25)

heißt, man sucht die Funktion F , deren Ableitung f(x) ist. Das ist die sogenann-te Stammfunktion

∫f(x) dx, die man in ausfuhrlichen Integraltabellen findet.

Die Stammfunktion (s. Anhang A.5) ist aber nicht die einzige Funktion, die die

Bedingung der Differenzialgleichung erfullt. Jede Funktion, die sich von derStammfunktion nur durch eine Konstante unterscheidet, hat als Ableitung das

Ergebnis f(x). Die formale Losung von (3.25) ist also

F =

Stammfunktion︷︸︸︷∫f(x) dx +

Integrationskonstante︷︸︸︷C

was eine ganze Losungsschar darstellt. Die endgultige Losung gewinnt man,indem man versucht, Randbedingungen zu erfullen, z.B. an Auflagern und Ge-

lenken, wo verschiedene Schnittgroßen den Wert 0 annehmen mussen.

60

Beispiel Gerbertrager


Fest eingespannter Gerbertrager unter trapezformiger Streckenlast.

llx

z

2q0 q0

q(x) = q0(2− x2l ) Q′ = −1

2q0

(4− x

l

)

Q = −1

4q0l

(8x

l− x2

l2

)+ C1

M = − 1

12q0l

2

(12

x2

l2− x3

l3

)

+ C1x + C2

Randbedingungen:

M(0) = 0 = C2 → C2 = 0M(l) = 0 = − 11

12q0l2 + C1l → C1 = 11

12q0l

Losung:

Q =1

12q0l

(11− 24

x

l+ 3

x2

l2

)

M =1

12q0l

2 x

l

(11− 12

x

l+

x2

l2

)

Q = 0 wenn

(11− 24

xmax

l+ 3

x2max

l2

), → xmax

l= 4±

√37

3x1 max

l= 0.488 ∈ [0, 2] (Extremum von M)

x2 max

l= 7.51 6∈ [0, 2]

→M lokalmax = M(0.488l) = 0.2188q0l

2, M relativmax = M(2l) = −1.5q0l

2

Besondere Werte (Auflagerreaktionen)

Q(0) =11

12q0l ; linkes Auflager

Q(l) = −10

12q0l ; Gelenkkraft

Q(2l) = = −25

12q0l ; rechtes Auflager

Grafische Darstellung

61

3. Statik

Q

0.48l

− 1012q0l

0.2q0l2

1112q0l

M

− 2512 q0l

− 32q0l

2

3.7.1. Tipps und Tricks

Die zuvor hergeleiteten Differenzialgleichungen (3.21 - 3.23) liefern einige Kon-

trollmoglichkeiten, wenn nicht gar Losungswege bei der Berechnung von Lini-entragwerken.

Kontrolle der Ergebnisse

a) In aller Regel ist die Streckenlast q, wenn uberhaupt vorhanden, einfach,z.B. konstant oder linear. Aus q = konst folgt:

q = 0 → Q = konstant ;→M = linear

bzw.

q = konst → Q = linear →M = quadratisch

Entsprechend gilt

q = linear → Q = quadratisch → M = kubisch

und

n = konst → N = linear

b) Ein Sprung in q bedeutet einen Knick in Q.

62


c) Ein Sprung in Q bedeutet einen Knick in M .

d) Ein Nulldurchgang von q (auch als Sprung) bedeutet einen Extremwert

bei Q, ebenso bedeutet

e) ein Nulldurchgang von Q (auch als Sprung) einen Extremwert bei M .

Einfluss von Einzelkraften und -momenten

Am Balkenelement der Lange 24x greift an

der Stelle x die Einzelkraft Fz an, die sehr viel

großer ist als die Resultierende einer even-tuell vorhandenen Streckenlast 2q4x. (Die

Kraft wird in positiver z-Richtung gezahlt.) Da

der Angriffspunkt der Kraft keine Ausdehnunghat, kann 4x beliebig klein werden.

Fz

Q(x +4x)

24x

Q(x−4x)

z

x

lim4x→0

Q(x +4x)

︸︷︷︸Q+

= lim4x→0

Q(x−4x)

︸︷︷︸Q−

− lim4x→0

2q4x

︸︷︷︸=0

−Fz

→ Q+ = Q− − Fz

(Die Bezeichnungen Q+ und Q− bedeuten die Querkraft am positiven (+) und

negativen (−) Schnittufer des Balkenelements, an dem Fz angreift.)

Fur eine Einzelkraft in Richtung der Balkenachse gilt entsprechend:

N+ = N− − Fx

und dasgleiche gilt fur ein in positiver Richtung drehendes außeres Einzelmo-

ment Ma

M+ = M− −Ma

Das kann einerseits der Kontrolle von Ergebnissen dienen, die mit dem Schnitt-

prinzip gewonnen wurden, oder es entstehen auf diese Art und Weise an den

Stellen, an denen Einzelkrafte und -Momente eingeleitet werden, die Uber-gangsbedingungen, die man braucht, um die entstandenen Integrationskon-

stanten zu bestimmen, wenn die Losung von den Differenzialgleichungen ab-

geleitet wurde.

Dabei fallt auf, dass bei einem Durchlauftrager (das ist ein Balken ohne Knicke)in allen Bereichen dieselbe Differenzialgleichung integriert wird, weil die vorge-

schriebene Streckenlast q(x) fur die gesamte Lange gilt. D.h. in allen Bereichen

63

3. Statik

entstehen ahnliche Losungen, die sich nur durch die unterschiedlichen Integra-tionskonstanten unterscheiden. Dafur gibt es die Ubergangsbedingungen, s.o.

Es geht aber auch einfacher:

Foppl-Systematik Nach einer Idee von August Foppl, 1854-1924, definiert

man Hilfe einer speziellen (Foppl)-Klammer Funktionen in einem Bereich x >a, die in dem Bereich x < a nicht existieren, weil die Definition heißt:

〈x− a〉n =

0 wenn x < a(x− a)n wenn x ≥ a

, n ≥ 0 (3.26)

Die Integration einer Foppl-Klammer folgt der Fallunterscheidung, die die obige

Definition vorschreibt.

∫〈x − a〉n dx =

∫0 dx = 0 ; x < a

∫(x − a)n =

(x− a)n+1

n + 1 ; x ≥ a

=〈x− a〉n+1

n + 1

Damit kann man in die Losung einer Differenzialgleichung Sprunge einbauen,

wie sie z.B. an der Stelle x = xF bei der Querkraft durch die Einleitung ei-

ner Einzelkraft F erzeugt wird: Die an der Krafteinleitungsstelle xF geltendeSprungbedingung Q+ = Q− − F (s.o.) heißt mit Foppl-Klammer ausgedruckt:

Q(x) =

∫q(x) dx

︸︷︷︸Stammfunktion

+ C︸︷︷︸Integrationskonstante

−〈x− xF 〉0F

Weil 00 = 0, aber (w 6= 0)0 = 1 ist, funktioniert die Foppl-Klammer hier wie ein

Schalter.

Beispiel Durchlauftrager (Foppl-Systematik)

F F F

a a a a

Ein Durchlauftrager tragt in gleichen Abstanden drei gleich große Einzel-

krafte F . Wie ist der Momentenverlauf?

Q′(x) = −q(x)hier= 0

64

Beispiel Verzweigtes Balkensystem

→ Q(x) = C1 − 〈x− a〉0F − 〈x− 2a〉0F − 〈x− 3a〉0FM ′(x) = Q(x)

→M(x) = C1x− 〈x− a〉1F − 〈x− 2a〉1F − 〈x− 3a〉1F + C2

Randbedingungen:

M(0) = 0 = C10− 〈0− a〉1︸︷︷︸0

F − 〈0− 2a〉1︸︷︷︸0

F − 〈0− 3a〉1F︸︷︷︸0

+C2

→ C2 = 0M(4a) = 0 = C14a− 〈4a− a〉1︸︷︷︸

3a

F − 〈4a− 2a〉1︸︷︷︸2a

F − 〈4a− 3a〉1︸︷︷︸a

F

→ C1 = 32F

2Fa

M

32Fa 3

2Fa

Vereinfachung durch zusatzliche Schnitte Bei komplizierten Linientragwer-

ken mit vielen außeren Kraften und Momenten erreicht man eine Vereinfa-chung, wenn man zusatzlich zu dem Schnitt an der Stelle, an der die Schnitt-

großen berechnet werden sollen, noch weitere Schnitte fuhrt an Stellen, wodie Losung schon bekannt ist. An den entstandenen positiven oder negativen

Schnittufern des betrachteten Teilkorpers werden die bekannten Schnittgroßen

vorzeichengetreu angetragen.


z3

F

F

F

I II

III IV

V

x1z1 x2

z2

F

x3

Ein doppel-T-formiges Balkensystem ist

durch außere Lasten und daraus folgen-

den Auflagerreaktionen belastet (s. Skiz-ze). Die einzelnen Bereiche sind jeweils alang.

65

3. Statik

Bereich I:

F

x1

Q

N

z1 M

N1(x1) = 0

Q1(x1) = F, Q(a) = F

M(1x1) = Fx1, M(a) = Fa

Bereich II:

x1

z1

2aM

N

Q

FN2(x1) = 0

Q2(x1) = F, Q(a) = F

M2(x1) = −F (2a− x1), M2(a) = −Fa

Bereich III:

x3

z3

F

Q

N

M

a + x3

N2(x3) = 0

Q2(x3) = −F, Q(a) = −F

M2(x3) = −F (a + x3), M3(0) = −Fa

Bereich IV:

x3

z3

MN

Q

F

a

N4(x3) = 0

Q4(x3) = −F, Q(a) = −F

M4(x3) = F (a− x3), M4(0) = Fa

Bereich V:

Fa

Fa

F

Fx2

QN

M

N5(x2) = 0

Q5(x2) = 0

M5(x2) = 2Fa

Dieses Vorgehen lohnt sich besonders bei einem Knick in der Balkenachse, alsowenn zwischen der Balkenkoordinate x1 und der Balkenkoordinate x2 zweier

aufeinander folgender Abschnitte ein Winkel α ist.

66


Bereich IBereich II

α N2

Q2

M2

+Q1 cosα

N1 cosα−Q1 sin α

N1 sin α

x2

M1

Q2

N2

M2

Q1

z2

N1

M1

x2

Fur einen Winkel von α = 90 heißt das, dass die Normalkraft des vorange-

gangenen Abschnittes die Querkraft des folgenden Abschnittes wird, und die

negative Querkraft des vorangegangenen Abschnittes wird die Normalkraft desfolgenden.

67

3. Statik

68

4. Das besondere Auflager – dieHaftreibung

Die beiden bisher eingefuhrten Lager (Festlager und Gleitlager) sind Idealisie-

rungen. Das eine halt beliebig große Krafte aus, das andere ist reibungsfrei.Tatsachlich aber sind alle technisch realisierbaren Lager begrenzt in der Aufnah-

me von Kraften und Reibung ist uberall. Es deutet sich hier die Notwendigkeit

an, die beiden bisherigen Lageridealisierungen um eine dritte zu erweitern, dieallerdings auch wieder eine Idealisierung ist:

Bis zu einer gewissen Grenze verhalt sich die Lagerung wie ein Fest-

lager. Ist die Grenze uberschritten, dann gibt das Lager in einer geo-

metrisch vorgegebenen Gleitebene, der Kontaktflache nach.

Man beobachtet diesen Fall bei einem Klotz auf einer geneigten rauen Ebene.

Bei Neigungswinkeln α, deren Betrage unter einem bestimmten, von der Be-schaffenheit der in Kontakt stehenden Oberflachen abhangigen Wert αmax blei-

ben, bleibt der Klotz ruhig liegen. Bei betragsmaßig großeren Neigungswinkelgleitet er ab.

An der Kontaktflache beider Korper (Klotz und Ebene) wirkt naturlich ein kom-pliziertes, ortsabhangiges Kraftsystem aus flachenhaft verteilt wirkenden Kraften.

Zur Vereinfachung der Uberlegungen wird im weiteren nur noch die Resultie-

rende davon betrachtet, die in eine Komponente N senkrecht zur Kontaktflacheund eine zweite, in der Kontaktflache liegende Komponente H hat. Diese Zu-

sammenfassung und Zerlegung ist an jeder Stelle moglich, an der ein Korper inReibkontakt mit einem anderen steht. Die Symbole N und H kommen von den

Begriffen Normalkraft und Haftkraft. Bei diesem Beispiel ist:

69

4. Das besondere Auf lager – die Haftreibung

g

α

S

G

N

H

NH

∑i

Fin = 0 = N −G cosα normal zur

∑i

Fit = 0 = H −G sin α tangential zur Kontaktflache

Die Erfahrung zeigt, dass die maximale Haftkraft in guter Naherung als pro-

portional zur Normalkraft angenommen werden kann. Dem entspricht das Cou-lombsche Reibgesetz.

|Hmax| ∼ N

bzw. |Hmax| = µ0N ; fur N ≥ 0

oder als Ungleichung |H | ≤ µ0N (4.1)

Die Einschrankung N ≥ 0 setzt als Konvention die Einfuhrung von N als stutzen-de Druckkraft auf jeden Teilkorper voraus. N < 0 wurde dann Kontaktverlust

bedeuten.

Der Proportionalitatsfaktor µ0 heißt Haftreibungskoeffizient. Er

70

Beispiel Stehende Leiter

ist abhangig von der Materialpaarung und der Oberflachenbeschaffenheit.

Materialpaarung Haftreibungs- Gleitreibungs-

koeffizient koeffizient

µ0 µ

Stahl — Stahl 0.15− 0.5 0.1− 0.4Stahl — Grauguss 0.2 0.1

Grauguss — Bronze 0.28 0.16Stahl — Eis 0.03 0.015

Leder — Metall 0.4 0.3Holz — Stahl 0.5 0.15Holz — Holz 0.5 0.3

Gummi — Asphalt 0.7− 0.9 0.5− 0.8Ski — Schnee 0.1− 0.3 0.04− 0.2

Die Haftkraft H ist wie die Normalkraft N eine Reaktionskraft, sie wird wiejede andere Auflagerreaktion behandelt. Ihr Ergebnis muss die Haftbedingung

(4.1) erfullen. Tut es das nicht, dann ist das System nicht im Gleichgewichtund die beiden Korper gleiten an der Kontaktstelle mit der Relativgeschwindig-

keit v gegeneinander ab (Kap. 5.3.1). Vorweg genommen sei hier die Tatsache,

dass in diesem Fall an der Kontaktstelle eine Gleitreibungskraft R entgegen derGeschwindigkeit v wirkt.

R = −µN sgn(v) sgn(x) =

1 ; x > 00 ; x = 0−1 ; x < 0

vgl.(5.5)

Beispiel Stehende Leiter

G

N

H

A

µ0

h

x

b

GEine gewichtslose Leiter steht an

einer glatten Wand(µ0W = 0 : Gleitlager)

und auf rauem Boden (µ0B = µ0).

Sie ist durch eine vertikale Einzel-

kraft G in der Entfernung x von

der Wand belastet. Fur welches xist die Haftbedingung verletzt?

∑

i

Fiv = 0 → N = G

71


∑

i

MiA = 0 = Gx−Nb + Hh → H =G

h(b− x) ; mit 0 < x < b

Haftbedingung: |H | = G

h(b− x) ≤ µ0N = µ0G

→ b

h− x

h≤ µ0 → x

h≥ b

h− µ0

Der Kunstgriff, die Wand als glatt zu bezeichnen, um nicht zu einem statischuberbestimmten System zu kommen, wird beim nachsten Beispiel ebenfalls an-

gewandt.

Beispiel Spannzwinge

Wie ist die Geometrie des beweglichen Teils einer Spannzwinge auszule-

gen, dass die Zwinge halt?

a c a ac c

b

Kontaktstelle 2

2: Haften

1

2N

NH

F F FN

N

HKontaktstelle 1

1: Gleiten2: Gleiten1: Haften

Aus der Summe der horizontalen Krafte folgt, dass die Normalkrafte in

beiden Kontaktstellen gleich groß sein mussen, wie schon in der Skizzevermerkt. Aus der Summe der vertikalen Krafte folgt: H = F .

Fall 1:∑

i

Mi2 = 0 = Fc−Nb → N = Fc

b

Fall 2:∑

i

Mi1 = 0 = F (c + a)−Nb → N = Fc + a

b

Haftbedingung:|H | = F ≤

µ0Fcb Fall 1

µ0Fc+a

b Fall 2

Fall 1 ist der ungunstigere Fall, damit wird er zur Messlatte:

H = F ≤ µ0Fc

b→ b ≤ µ0c

72

Beispiel Zwei Keile

Ein mehr akademisches Beispiel scheint das folgende zu sein. Der Keil gehort

aber, wie das Rad, zu den klassischen Erfindungen der Menschheit. Der Keil derNeuzeit ist die Schraube.

Beispiel Zwei Keile

K

F

K

α

F

K

F

NH

F

K

N

H

Das Gesamtsystem ist im Gleichgewicht. Fur die Teilsysteme muss das

Gleiche gelten. Daraus folgt:

∑Fit = 0 = H − F cosα−K sin α

∑Fin = 0 = N − F sin α + K cosα

Der Winkel α hat nur sinnvolle Werte zwischen 0 und 90. In diesem Be-reich sind sin α und cosα und damit auch tan α positiv.

Haftreib-Bedingung : |H | ≤ µ0N

|F cosα−K sin α| ≤ µ0(F sin α + K cosα)

bzw. |F −K tan α| ≤ µ0(F tan α + K) (4.2)

Will man die Ungleichung (4.2) in eine Aussage fur F verwandeln, muss

man zwei Falle unterscheiden

1. : F > K tan α → |F −K tan α| = F −K tan α

(4.2) : F ≤ Ktan α + µ0

1− µ0 tanα

2. : F < K tan α → |F −K tan α| = K tan α− F

(4.2) : F ≥ Ktan α− µ0

1 + µ0 tanα73


die man wieder zusammen fuhren kann. Gleichgewicht ist gesichert, wenndas Verhaltnis F/K eine untere und eine obere Schranke einhalt:

tan α− µ0

1 + µ0 tan α≤ F

K≤ tan α + µ0

1− µ0 tan α(4.3)

Wenn man die Reibzahl µ0 als Tangens eines Winkels ρ0 (s. A.1.1) in einemrechtwinkligen Dreieck interpretiert, in dem die Krafte N und H aus der Haft-

reibbedingung die Katheten sind, hat man den sogenannten Reibungswinkel

bzw. den Reibungskegel eingefuhrt. (Krafte, die innerhalb des Reibungskegels(±ρ0) in ein Haftreibungslager eingeleitet werden, erfullen die Haftbedingung.)

Bei der letzten Ungleichung (4.3) erlaubt der Reibungswinkel, bzw. sein Tan-

gens (tan ρ0 = sin ρ0/ cos ρ0) noch eine weitere Umformung.

tanα− tan ρ0

1 + tan ρ0 tanα≤ F

K ≤ tan α + tan ρ0

1− tan ρ0 tan α

→ tan(α− ρ0) ≤ FK ≤ tan(α + ρ0)

(Die letzte Umformung benutzt die Additionstheoreme fur trigonometrische

Funktionen, s. Kap. A.1.2.)

Wenn α < ρ0 ist, ist die oben stehende Bedingung sogar fur F = 0 erfullt, und

sei K auch noch so groß. Diesen Effekt nennt man Selbsthemmung. Er wird beiBefestigungsschrauben und Transport-Spindeln (Z.B. Wagenheber) benutzt.

4.1. Seilreibung

Die Erfahrung zeigt, dass ein um einen Zylinder geschlungenes Seil einer sehrgroßen Zugkraft S1 Widerstand leistet, bevor es nachrutscht, auch wenn am

anderen Ende nur eine kleine Zugkraft gegenhalt.

74

4.1. Seilreibung

S2

S1

dH

Sφ

dNS + dS

12 dφ

12 dφ

dφ

Ein kleiner Ausschnitt der Umschlingung schließt den Winkel dφ ein. Nimmt

man die Winkelhalbierende dieses Winkel als Symmetrielinie fur das freige-schnittene Seilstuck, bilden die Seilkrafte an beiden Schnittufern mit der Hori-

zontalen jeweils den Winkel dφ/2, wobei sich die Seilkraft am positiven Schnit-

tufer um eine kleine Anderung dS von der am negativen Schnittufer unterschei-det. Die Normalkraft dN , mit der die Zylinderwandung das Stuck Seil stutzt,

ist

dN = (S + dS) sindφ

2+ S sin

dφ

2= (2S + dS) sin

dφ

2(4.4)

Die Haftreibkraft folgt aus der Summe der horizontalen Krafte als

dH = (S + dS) cosdφ

2− S cos

dφ

2= dS cos

dφ

2(4.5)

Die beiden Kreisfunktionen lassen sich naherungsweise durch eine abgebroche-

ne Taylorreihe ausdrucken. Eine Taylorreihe approximiert eine gegebene Funk-tion in der Umgebung der Stelle x0, um die sie entwickelt wird. Je mehr Terme

benutzt werden, umso genauer ist die Approximation. (Die Bezeichnung n!, die

im Folgenden benutzt wird, bedeutet n-Fakultat und wird als Produkt 1·2·3 · · ·nberechnet. 0! ist per definitionem 1.)

f(x) = f(x0) +1

1!f ′(x0)(x− x0) +

1

2!f ′′(x0)(x − x0)

2 +

+1

3!f ′′′(x0)(x − x0)

3 +1

4!f ′′′′(x0)(x − x0)

4 + . . .

z.B. sin(x) entwickelt um x0 = 0

sin(x) = sin(0) +1

1!cos(0)x− 1

2!sin(0)x2 − 1

3!cos(0)x3 +

+1

4!sin(0)x4 +

1

5!cos(0)x5 ± . . .

75


≈ x− 1

3!x3 +

1

5!x5 ± . . .

z.B. cos(x) = cos(0)− 1

1!sin(0)x− 1

2!cos(0)x2 +

1

3!sin(0)x3 +

+1

4!cos(0)x4 − 1

5!sin(0)x5 ± . . .

≈ 1− 1

2!x2 +

1

4!x4 ± . . .

Das vereinfacht die obigen Gleichungen (4.4,4.5), zumal das Argument dφ2 in-

finitesimal klein ist, so dass hohere Potenzen davon oder Produkte mit andereninfinitesimal kleine Großen vernachlassigbar sind.

dN = (2S + dS)dφ

2= S dφ +

vernachlassigbar︷︸︸︷1

2dS dφ

dH = dS

Die Haftbedingung, die jedes fur Stuck Seil erfullt werden muss, ist:

| dH | = | dS| < µ0 dN = µS dφ

Annahme: dS > 0 (4.6)

→ dS < µS dφ

dS

S< µ dφ

Die Ungleichung ist Stellvertreterin entsprechender Ungleichungen fur alle Teil-

stucke des Seils vom Anfang bis zum Ende der Umschlingung. Man kann dielinken und rechten Seiten aller Ungleichungen addieren, ohne das Wesen der

Aussage zu andern. In anderen Worten: Die linke und rechte Seite werden inte-griert, wobei obere und untere Grenzen beider Integrale einander entsprechen

mussen.

S2∫

S1

dS

S<

φ2∫

φ1

µ dφ

ln S|S2

S1= ln S2 − ln S1 = ln

S2

S1< µ(φ2 − φ1)

Die Ungleichung andert auch dann ihre Aussage nicht, wenn ihre linke und

rechte Seite zum Argument einer monoton steigenden Funktion gemacht wird.

76

Beispiel Angebundenes Pferd

Eine solche Funktion ist die e-Funktion (vgl. Kap. A.1.3), die Umkehrfunktiondes naturlichen Logarithmus.

eln

S2S1 =

S2

S1< eµ(φ2−φ1) (4.7)

→ S2 < S1eµ(φ2−φ1), fur S2 > S1 (4.8)

Wenn die Annahme dS > 0 (vgl. 4.6) nicht stimmt, andert sich in den nachfol-genden Gleichungen ein Vorzeichen und deshalb das Ungleichheitszeichen.

− dS < µS dφ

→ dS

S> −µ dφ

Ab hier ist der Fortgang derselbe wie oben, mit dem Ergebnis:

S2 > S1e−µ(φ2−φ1), fur S2 < S1

was dieselbe Aussage ist, nur dass hier S2 die haltende und S1 die treibendeKraft ist, also umgekehrt wie in (4.8). Beide Versionen lassen sich in einer For-

mel zusammenfassen:

Saktiv ≤ Spassiveµ0φu , φu :Umschlingungswinkel,

immer positiv(4.9)

Beispiel Angebundenes Pferd

Ein Pferd ist an einem Rundholz festgebunden. D.h. die Trense ist 2 14mal

um das Holz geschlungen und wird nur vom Gewicht der herunterhangen-

den Restlange l (1 g/cm) gehalten.

l

214×

Der Reibkoeffizient zwischen Trense und Holz µ0 = 0.55, die maximale

Zugkraft, bevor die Trense reißt, ist 1100 N.

Wie lang muss der Rest l sein, damit das Pferd nicht loskommt?

77


1100 N = l1g

cm︸︷︷︸m

ge0.55 92π → 1100

kg m

s2= l

kg

10m9.81

m

s2e7.775

l =10

9.811100e−7.775 m = 0.47 m

78

5. Dynamik der Punktmasse

In den vorangegangenen Kapiteln, z.B. bei den Uberlegungen zur statischen

Bestimmtheit von Systemen und insbesondere im letzten Kapitel bei der Verlet-zung der Haftbedingung, wurde erwahnt, dass sich Korper in Bewegung setzen,

wenn sich nicht im Gleichgewicht befinden.

Das einfachste Modell fur einen Korper, der sich unter dem Einfluss von Kraften

in Bewegung setzt, ist die Punktmasse. Eine Punktmasse hat keine Ausdehnung,daher es ist unerheblich, ob der Korper, den sie darstellt, deformierbar ist oder

nicht: Er ist ein massebehafteter Punkt, der sich im Raum bewegt. Um diese

Bewegung beschreiben zu konnen, die ja die Anderung seines Aufenthaltsortesim Verlauf der Zeit ist, werden noch einige weitere Begriffe eingefuhrt, so z.B.

die Geschwindigkeit.

5.1. Geschwindigkeit und Beschleunigung

Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, der zum Zeitpunkt t die Anderung des Orts-vektors x = (x, y, z) im Lauf der Zeit angibt. Er folgt aus einer Grenzbetrach-

tung. (Das haufig verwendetet Symbol v kommt vom lateinischen Wort veloci-tas).

v = lim4t→0

4x

4t= lim

4t→0

4x4t4y4t4z4t

=

xyz

4x = x(t +4t)− x(t) =

x(t +4t)− x(t)y(t +4t)− y(t)z(t +4t)− z(t)

Das Ergebnis sind die Ableitungen der Vektorkomponenten nach der Zeit, ubli-cherweise symbolisiert durch einen ubergesetzten Punkt.

˙( ) =d( )

dt79


Da man sich nicht auf die Sonderfalle der konstanten Geschwindigkeit beschran-ken will, sondern auch die Falle behandeln will, in denen sich die Geschwindig-

keit v im Lauf der Zeit andert, hat sich ein weiterer Begriff eingeburgert, die

Beschleunigung. Sie ist ebenfalls ein Vektor und gibt fur einen Zeitpunkt t an,in welchem Maß sich die Geschwindigkeit im Lauf der Zeit andert. (Das haufig

verwendetet Symbol a kommt vom lateinischen accelleratio).

a = lim4t→0

4v

4t= lim

4t→0

4x4t4y4t4z4t

=

xyz

4v = v(t +4t)− v(t) =

x(t +4t)− x(t)y(t +4t)− y(t)z(t +4t)− z(t)

Der ubergesetzte doppelte Punkt deutet die zweimalige Ableitung nach der Zeitan.

( ) =d

dt˙( ) =

d2( )

dt2

Die abkurzende Symbolik der Zeitableitung ˙( ) und ( ) wird oft benutzt, um dieZusammenhange zwischen den Vektoren a, v und x, also zwischen Beschleuni-

gung, Geschwindigkeit und Ort darzustellen.

v = x

a = v = x

Das kann beliebig fortgesetzt werden, da auch Beschleuigungen nicht unbedingt

konstant sein mussen. Die nachste Ableitung, a, ist der Ruck, der aber nur inspeziellen Anwendungen diskutiert wird, z.B. soll bei Schienenfahrzeugen der

Ubergang von der Geraden in die Kurve ruckfrei sein, was zu ganz bestimmtenmathematischen Kurven, den Klotoiden fuhrt. Ein ruckhafter Beschleunigungs-

vorgang von Fahrzeugen wird als unkomfortabel empfunden, besonders wenn

man noch keinen Sitzplatz gefunden hat.

5.1.1. Kinematische Zusammenhange bei Translation

Der Bewegungszustand eines Punktes auf einer geraden Bahn zum Zeitpunktt und seine kunftige Entwicklung ist vollstandig beschrieben, wenn ein funk-

tionaler Zusammenhang zwischen zweien von den vier Großen t, s, v und a

80

5.2. Das Bewegungsgesetz (Impulssatz)

angegeben ist, z.B a(t) oder v(s). Die restlichen Großen lassen sich ausrech-nen. Dazu muss man unter Umstanden unterschiedliche Wege einschlagen, die

in der Formelsammlung (Anhang B, Kinematik) in einer Tabelle zusammenge-

stellt sind.

5.2. Das Bewegungsgesetz (Impulssatz)

ISAAC NEWTON (1643-1727) definierte das Produkt aus der Masse m und derGeschwindigkeit des Massenmittelpunktes vm eines Korpers als die Bewegungs-

große (quantitas motus), die im heutigen Sprachgebrauch Impuls genannt wird,

I = mvm

und fand durch Beobachtung der Natur heraus, dass die zeitliche Anderung des

Impulses gleich der Summe aller angreifenden Krafte ist.

I =d

dt(mvm) =

∑

k

F k

Diese Gesetzmaßigkeit heißt Impulssatz .

Abgesehen von einigen Sonderfallen, in denen Korper im Lauf der Zeit ihre

Masse andern (z.B. Raketen), kann die Masse m als Konstante aus der Differen-

tiation herausgezogen werden.

I = mxm =∑k

F k (5.1)

Selbstverstandlich kann diese Vektorgleichung komponentenweise interpretiertwerden.

mxm =∑

k

Fxk (5.2)

mym =∑

k

Fyk (5.3)

mzm =∑

k

Fzk (5.4)

81


Beispiel Freier Fall

Eine Punktmasse, die ohne andere storende

Reibungseinflusse allein dem Schwerfeld der

Erde unterliegt, gehorcht, ein geeignetes Koor-dinatensystem zu Grunde gelegt, den folgen-

den Differenzialgleichungen, die aus dem Im-pulssatz (5.2, 5.3) stammen.

mx = 0, my = −mg

Offensichtlich ist die Bewegung der Punktmas-se von ihrer Masse m selbst unabhangig, denn

y

x

m

mg

H

L

αv0

die kurzt sich aus den Gleichungen heraus. Ubrig bleiben zwei lineare Dif-

ferenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (vgl.Kap. A.6.3). Die erste ist homogen, die zweite hat eine konstante rechte

Seite. Tatsachlich ist es noch einfacher, denn es handelt sich eigentlich um

lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung fur die Geschwindigkeiten xund y.

Man lost sie, indem man sich fragt: Welche Funktion x(t) muss ich nach

der Zeit ableiten, um eine Null zu erhalten? Die Losung kann nur eineKonstante sein.

Die zweite Frage ist dann, welche Funktion x(t) muss ich ableiten, um

eine Konstante zu erhalten? In Gleichungen sehen die Antworten fur beideDifferenzialgleichungen so aus:

x = 0

x = C1

x = C1t + C2

y = −g

y = −gt + D1

y = −1

2gt2 + D1t + D2

Das ist die allgemeine Losung fur alle Aufgabenstellungen rund um den

’Schiefen Wurf’. Die darin noch enthaltenen unbekannten Integrations-konstanten bestimmt man anhand der speziellen Problemstellung, die im-

mer schon Teile der Losung beinhaltet.

Z.B. ist hier, wenn man die Zeitzahlung dann beginnt, wenn die Punkt-masse abgeworfen wird, bekannt, dass x(t = 0) = 0 und y(t = 0) = Hsein muss. Außerdem kennt man die Abwurfgeschwindigkeit v0 und den

82

5.3. Gefuhrte gerade Bewegung

Anstellwinkel α, d.h. man kennt, ebenfalls fur t = 0, die Geschwindig-keitskomponenten x = v0 cosα und y = v0 sin α.

Diese Aussagen mussen auch von der allgemeinen Losung erfullt werden.

x(0) = v0 cosα = C1

x(0) = 0 = C1 · 0 + C2

y(0) = v0 sinα = −g · 0 + D1

y(0) = H = −1

2g · 02 + D1 · 0 + D2

→ C1 = v0 cosα, C2 = 0, D1 = v0 sinα, D2 = H

Die Losung beschreibt die Bahnkurve in parametrischer Darstellung als

x(t) und y(t). Man ist aber immer in der Lage, den gemeinsamen Para-

meter t durch x auszudrucken und in y einzusetzen. In diesem Fall heißtdann die Bahnkurve:

t =x

v0 cosα, t2 =

x2

v20 cos2 α

y(x) = − g

2v20 cos2 α

x2 + tan αx + H

Zur Beantwortung der Frage nach der Wurfweite L braucht man sich nurbewusst zu machen, dass, wenn die Punktmasse auf den Boden auftrifft,

ihre x-Koordinate gleich L und ihre y-Koordinate gleich 0 ist. Fur α = 45

folgt:

0 = − g

v20

L2 + L + H → L1/2 =v20

2g

(1±

√4Hg

v20

+ 1

)

5.3. Gefuhrte gerade Bewegung

Nicht jede Bewegung ist vollkommen frei. In den Fallen, in denen die Punkt-masse einer (hier zunachst einmal geraden) Bahn folgen muss, fuhrt man prak-

tischerweise das Koordinatensystem so ein, dass eine Koordinatenrichtung (z.B.x) entlang der Bahn zeigt und die andere (z.B. y) senkrecht dazu. Wenn die

Punktmasse gezwungen ist, auf der Bahn zu bleiben, muss die y-Koordinate fur

83


alle Zeiten t den Wert 0 beibehalten. In anderen Worten: Es gibt keine Anderungvon y, d.h. y ist und bleibt 0, sie andert sich auch nicht (y = 0).

In Richtung der Bahn wirken Krafte, unter anderem Reibungskrafte.

5.3.1. Gleitreibung

Die Erfahrung zeigt, dass die Reibkraft entlang einer Bahn in guter Naherungals proportional zur Normalkraft (N > 0) angenommen werden kann, mit der

der bewegte Korper gegen die Bahn gedruckt wird. Die Richtung der Reibkraft

ist immer entgegen der Relativgeschwindigkeit des Korpers zur Bahn. Dem ent-spricht das Coulombsche Reibgesetz.

R = −µN sgn(v) sgn(x) =

1 ; x > 00 ; x = 0−1 ; x < 0

(5.5)

Der Proportionalitatsfaktor µ heißt Gleitreibungskoeffizient. Er ist abhangig von

der Materialpaarung und der Oberflachenbeschaffenheit und immer kleiner als

der zughorige Haftreibungskoeffizient.

Beispiel Geradlinige Bewegung mit Reibung

Ein Klotz gleitet unter Einfluss seines Gewichts auf einer rauen schiefen

Ebene ab (µ < µ0 < tanα). Bei t = 0 befindet sich der Schwerpunkt imKoordinatenursprung. Die Anfangsgeschwindigkeit sei 0.

T

αmg

N

αG = mg

x

µ

ymy =

∑i Fiy = 0 → N = mg cosα

Reibgesetz (5.5): T = µN sgn(x)

Impulssatz (5.1):

mx =∑

i Fix = mg sinα− T

Alles ineinander eingesetzt, ergibt eine Differenzialgleichung 2. Ordnungfur x,

mx = mg sin α− µmg cosα sgn(x)

84

Beispiel Geradlinige Bewegung mit Reibung

aus der die Masse m herausgekurzt und die Erdbeschleunigung g ausge-klammert werden kann.

x = g cosα(tan α− µ sgn(x)︸︷︷︸>0

) = K = konst

Wie im vorangegangenen Beispiel sucht man die Funktion x(t), die, abge-

leitet nach der Zeit, die konstante rechte Seite der Differentialgleichung

ergibt. Das leistet x(t) = Kt + C1. Und x(t) = 12Kt2 + C1t + C2 ist die

anloge Folgerung daraus.

Diese allgemeine Losung muss die Anfangsbedingungen erfullen.

x(0) = 0 = K · 0 + C1 → C1 = 0

x(0) = 0 =1

2K · 02 + C1 · 0 + C2 → C2 = 0

Der Wert von sgn(x) lasst sich an der fertigen Losung uberprufen.

Annnahme x > 0→ sgn(x) = 1

x = g cosα(tan α− µ)t > 0 kein Widerspruch

Annahme x < 0→ sgn(x) = −1

x = g cosα(tan α + µ)t > 0 Widerspruch

5.3.2. Andere Bewegungswiderstande

Im vorangegangenen Beispiel wurde eine Widerstandskraft behandelt, derenGroße nur vom Betrag der senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkenden Nor-

malkraft und einer weiteren Proportionalitatskonstanten abhangt. Diese Ideali-

sierung beschreibt die sogenannte trockene Reibung einigermaßen genau. Mannennt ein solches Reibgesetz geschwindigkeitsunabhangig, auch wenn das Vor-

zeichen zumindest von der Richtung der Geschwindigkeit abhangt. Die Bezeich-nungsweise liegt daran, dass sich die verschiedenen Widerstandsmodelle immer

auf die Form

W = W (|v|) sgn(v) ; v : Bahngeschwindigkeit

bringen lassen. Im Fall der trockenen Reibung ist W = µN , also unabhangig

von |v|.Weitere Modelle zur Beschreibung von Reibungseffekten sind

85


1. Geschwindigkeitsproportionaler Widerstand

W = rv = r |v| sgn(v) → W = r |v| (5.6)

Dieser Ansatz ist geeignet, Schmiermittelreibung oder das Verhalten vonKorpern bei kleinen Geschwindigkeiten in zahen Flussigkeiten zu beschrei-

ben. Er ist der einfachste Ansatz, mit dem viskose Dampfung in schwingen-

den Systemem (Radaufhangung) beschrieben werden kann.

2. Quadratische Widerstandskraft

W = kw|v2| sgn(v) → W = kw |v2| (5.7)

Dieser Ansatz beschreibt z.B. Luftwiderstand, also das Verhalten von Korpern

in Flussigkeiten oder Gasen mit geringer Zahigkeit bis zu moderaten Ge-schwindigkeiten. Beim Umschlag in turbulente Stromung ist der nachste

Ansatz geeigneter.

3. Kubische Widerstandskraft

W = ζv3 = ζ |v|3 sgn(v) → W = ζ |v|3 (5.8)

Beispiel Freier Fall mit Luftwiderstand

Ein Korper beginnt, unter Einfluss seines Gewichtes aus der Ruhelage zufallen.

m

z

W = kw z2 G = mg

Impulssatz:

mz = mg − kw z2

→ z = g − kwm z2

Substitution:

z = v , z = v

→ v = g − kwm v2

An der Differenz auf der rechten Seite kann man erkennen, dass die Be-

schleunigung v irgendwann 0 wird. Namlich dann, wenn die Endgeschwin-digkeit v∞ erreicht wird.

0 = g − kw

mv2∞ → v∞ =

√mg

kw→ v =

kw

m(v2

∞ − v2)

86

Beispiel Freier Fall mit Luftwiderstand

Zur Losung der obigen Differenzialgleichung empfiehlt sich die Trennungder Variablen (hier: v und t).

v =dv

dt=

kw

m(v2

∞ − v2) → dv

v2∞ − v2

=kw

mdt

Das Bilden der Stammfunktion auf beiden Seiten und die Hinzufugung ei-

ner Konstanten fuhrt auf die allgemeinste Form einer Gleichung, die durch

Differenzieren (vg. Kap. A.4) auf die ursprungliche Differenzialgleichungzuruckgefuhrt werden kann.

∫dv

v2∞ − v2

=kw

m

∫dt + C1

lt. Bronstein

∫dx

a2 − x2=

1

2aln

a + x

a− x

→ 1

2v∞ln

v∞ + v

v∞ − v=

kw

mt + C1

Diese Losung muss auch die Anfangsbedingung v(0) = 0 erfullen, woraus

die Bedingung1

2v∞ln

v∞ + 0

v∞ − 0︸︷︷︸ln 1=0

=kw

m0 + C1

also C1 = 0 folgt.

In der bisherigen Form t = t(v) ist die Losung noch unbrauchbar.

lnv∞ + v

v∞ − v= 2

v∞kw

mt = 2

√gkw

mt

Sie muss nach v aufgelost werden. Dazu benutzt man die Umkehrfunktion

des Logarithmus naturalis, die e-Funktion:

e

(ln

v∞ + vv∞ − v

)=

v∞ + v

v∞ − v= e

2

√gkwm t

Hilfsgroße x =

√gkw

mt

→ v∞ + v = (v∞ − v)e2x

bzw. v(1 + e2x) = v∞(e2x − 1)

87


→ v = v∞e2x − 1

e2x + 1

Dass sich darin eine Hyperbelfunktion versteckt, sieht man erst, wenn

man den Bruch mit 1 = e−x

e−x erweitert.

→ v = v∞ex − x−x

ex + e−x = v∞ tanh x = v∞ tanh

√gkw

mt

(Zu den Hyperbelfunktionen s. Kap. A.1.4)

Der zuruckgelegte Weg z folgt aus einer weiteren Integration uber dieZeit.

z(t) = v∞

∫tanh

√gkw

mt dt + C2

Bronstein:

∫tanh ax dx =

1

aln coshax

→ z(t) =v∞√gkwm

ln

(cosh

(√gkw

mt))

+ C2

Der cosh(0) ist 1. Der ln(1) ist 0. Damit ist die Anfangsbedingung z(0) = 0erfullt, wenn C2 = 0 ist.

z(t) =m

kwln

(cosh

(√gkw

mt))

5.4. Arbeit, Energie und Leistung

Eine Punktmasse m, die sich unter dem Einfluss außerer Krafte (ResultierendeF ) bewegt, gehorcht dem Impulssatz. Die antreibende Resultierende mag sich

dabei im Lauf der Zeit t andern oder auch von Ort x und Geschwindigkeit x

abhangig sein. Aus dem Impulssatz (5.1) folgt:

mx =∑

i

F i = F (x, x, t) ; x = (x, y, z)

88


Wenn die obige Gleichung skalar mit x, der Geschwindigkeit der Punktmassemultipliziert wird,

mx · x = F · x =: L (5.9)

entsteht auf der rechten Seite ein Ausdruck, der als die Definition der Leistung

L gelten soll, die die Kraft F an der Punktmasse m erbringt, wenn sie mit

der Geschwindigkeit v = x unterwegs ist. Die Leistung ist, wie spater nahererlautert wird, die zeitliche Anderung der Arbeit, anders gesagt: die Arbeit, die

pro Zeiteinheit geleistet wird.

Die Definition beinhaltet auch, dass die Leistung Null ist, wenn sich die Punkt-

masse gar nicht bewegt (v ≡ 0 ) oder nur senkrecht zur angreifenden Resultie-renden. Wenn das der Fall ist, wird auch keine Arbeit verrichtet, was z.B. immer

bei Auflagerkraften der Fall ist oder bei einem Koffertrager auf waagerechtem

Bahnsteig.

Als weitere Definition wird die kinetische Energie E der geradlinigen Bewegung

eingefuhrt, manchmal auch Translationsenergie genannt,

E =1

2m v2 =

1

2m x · x, v = |x| =

√x · x (5.10)

deren Ableitung nach der Zeit genau den Term in (5.9) ergibt, der auf der linken

Seite steht.

E =d

dt

(1

2m x · x

)=

1

2m

d

dt

(x2 + y2 + z2

)

=1

2m (2xx + 2yy + 2zz) = m (x, y, z) · (x, y, z)

= m x · x = m x · x s. (5.9)

D.h. mit den beiden Definitionen wird (5.9) zur Bilanz der mechanischen Lei-

stung

E = L (5.11)

in Worten: Die Anderungsgeschwindigkeit der kinetischen Energie ist gleich der

Leistung der einwirkenden Kraft.

Eine weitere Definition ist die Arbeit. Die Arbeit, die von einer Kraft zwischen

den Zeitpunkten t1 und t2 geleistet wird, ist:

A12 =

t2∫

t1

L dt(5.9)=

t2∫

t1

F · x dt (5.12)

89


Mit ihr folgt aus der Leistungsbilanz (5.11) durch Integration uber die Zeit dieBilanz der mechanischen Arbeit, auch genannt Arbeitssatz.

E = L → dE = L dt

E2∫

E1

dE =

t2∫

t1

L dt ; E1 = E(t1), E2 = E(t2)

E2 −E1 = A12 (5.13)

D.h. Arbeit wird positiv gezahlt, wenn sie von außen in das System hinein ge-steckt wird.

5.4.1. Konservative Krafte, Potenzielle Energie

Ein Sonderfall liegt vor, wenn die Kraft F im Impulssatz (5.1, 5.9, 5.12) nichtexplizit von der Zeit t abhangt und schon gar nicht von der Geschwindigkeit

x, sondern allenfalls vom Ort x, der sich selbstverstandlich mit der Zeit andern

kann. In diesem Fall ist die Arbeit, die zwischen zwei Zeitpunkten t1 und t2 ander Punktmasse geleistet wird, auch nur vom Ort abhangig.

A12 =

t2∫

t1

F (x) · x dt︸︷︷︸dx

=

x2∫

x1

F (x) · dx = A12(x1, x2);x1 = x(t1)x2 = x(t2)

Die letzte Gleichung gibt Anlass zu einer weiteren Definition: Die potenzielleEnergie U ist die negative Stammfunktion der Kraft, erweitert um eine Integra-

tionskonstante.

U = −(∫

F (x) · dx + C

)⇔ − dU = F (x) · dx (5.14)

Rein ortsabhangige Krafte sind Federkrafte, und Gewichtskrafte sind nur in dem

Maß vom Ort abhangig, wie die Erdbeschleunigung vom Ort abhangt, meistens

90


gar nicht.

F (x) = konst. = m g Gewichtskraft U = −m g · x− C

= −c x− F 0 lin. Federkraft U = 12c x · x + F 0 · x− C

F 0 : Vorspannkraft bei x = 0

= F (x) nicht lineare Federkraft

(5.15)

Beispiele fur nicht konservative Krafte sind alle Reibkrafte (5.5, 5.6, 5.7, 5.8).

Die rechts stehende Version von (5.14) gibt Gelegenheit, die Leistung L bei

konservativen Systemen auszurechnen, das sind Systeme, die nur konservative

Krafte kennen.

(5.9) : L = F · x = F · dx

dt=

F · dx

dt= − dU

dt= −U(x(t)) = −U

Andererseits entspricht die Leistung L der Anderungsgeschwindigkeit der kine-

tischen Energie E (s. 5.11), d.h.

E + U = (E + U)· = 0 (5.16)

bzw.

E2∫

E1

dE +

U2∫

U1

dU = E2 −E1 + U2 − U1 = 0

→ E1 + U1 = E2 + U2 (5.17)

Die Aussage von (5.16) bzw. (5.17) nennt man die Bilanz der mechanischen

Energie oder den Energieerhaltungssatz oder kurz den Energiesatz, womit letzt-endlich auch der Begriff konservativ geklart ist, denn der letzte Satz sagt aus,

dass in einem System, in dem nur konservative Krafte wirken, die mechanische

Energie (das ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie) erhalten(lat: conservare) bleibt.

Der Energiesatz bietet sich immer an, wenn nicht die zeitliche Gesamtlosungeines Problems gefragt ist, sondern nur der Zustand des Systems zu bestimmten

Zeitpunkten.

91


Beispiel Punktmasse auf reibungsfreier Kurve

µ = 0

m

v0

1

2h

gy

x

Eine Punktmasse m rutscht unter dem Einfluss

der Erdschwere eine reibungsfreie Bahn ent-lang, die am oberen Ende um h hoher liegt als

der Startpunkt und dort eine horizontale Tan-

gente hat.

Die Punktmasse hat die Anfangsgeschwindigkeit v1. Mit welcher Geschwin-

digkeit v2 verlasst sie die Bahn am oberen Ende in horizontaler Richtung?

Der Energiesatz (5.17) sagt:

E1 + U1 = E2 + U2

E1 =1

2mv2

1 , E2 =1

2mv2

2

Die potenzielle Energie folgt aus (5.15):

U = −m

0−g0

·

xy0

− C = mgy − C

→ U1 = mg0− C, U2 = mgh− C1

2mv2

1 − C =1

2mv2

2 + mgh− C → v2 =√

v21 − 2gh

(Anm: Da die Konstante C offensichtlich aus der Rechnung herausfallt,weil es nur auf die Differenz der potenziellen Energie ankommt, kann

man sie ohne weiteres auch 0 setzen.)

Die gefundene Losung ist nur dann sinnvoll, wenn v21 > 2gh. Ist das nicht

der Fall, kommt die Punktmasse gar nicht erst zum Ende der Bahn, son-dern kehrt in einem Punkt 3 zwischen 1 und 2 um. In diesem Fall konnte

man nur die Frage stellen, wie hoch kommt sie uberhaupt? Die Antwortkann man ebenfalls aus dem Energiesatz ziehen, weil im Umkehrpunkt 3

die Geschwindigkeit v3 = 0 ist.

E1︷︸︸︷1

2mv2

1 + U1︸︷︷︸0

= E3︸︷︷︸0

+

U3︷︸︸︷mgh3 → h3 =

v21

2g

92

Beispiel Ungedampfter Ein-Massen-Schwinger

In der Form (5.16) kann der Energiesatz dazu dienen, die Bewegungsgleichung

eines Systems herzuleiten.

Beispiel Ungedampfter Ein-Massen-Schwinger

cg

mx

Eine Punktmasse m hangt unter Einfluss der Erdbe-

schleunigung g an einer linearen Feder, Federsteifig-

keit c.

Die kinetische und potenzielle Energie folgen aus (5.10) und (5.14):

E =1

2m x2, U = Ug + Uc

Anteil aus Gewichts- und Federkraft,

Ug = −mgx− Cg Uc =1

2cx2 + F0x− Cc

Aus dem Energiesatz (5.16) folgt:

E + U = 0 =d

dt

(1

2m x2 +

1

2cx2 + F0x−mgx− C

)

C = Cg + Cc

= m x x + cx x + (F0 −mg)x

=[mx + cx− (F0 −mg)

]x

F0 ist der Wert der Federkraft, wenn x = 0 ist. Wenn das Koordinatensy-stem so eingefuhrt ist, dass bei x = 0 Gleichgewicht herrscht, das System

also seine Ruhelage hat, dann ist gerade die Federkraft mit der Gewichts-

kraft im Gleichgewicht (F0 = mg)

Die Differenzialgleichung, die die Bewegung des ungedampften Ein-Mas-sen-Schwingers beschreibt, ist damit

x +c

mx = 0 (5.18)

93


weil die letzte Gleichung fur jedes beliebige x 6= 0 nur erfullt werdenkann, wenn der Inhalt der eckigen Klammer verschwindet.

Selbstverstandlich ist x ≡ 0 → x ≡ 0 auch eine berechtigte Losung. Sie

beschreibt die Ruhe in der Gleichgewichtslage.

5.4.2. Nicht konservative Krafte

Im Allgemeinen liegen bei einem technischen Problem konservative und nichtkonservative Krafte vor, so dass zumindest zum Teil die Uberlegungen aus dem

vorangegangenen Abschnitt genutzt werden konnen. Der Arbeitssatz (5.13) be-sagte:

E2 −E1 = A12 =

t2∫

t1

L dt =

t2∫

t1

F (t) · x dt

Wenn nun F (t) zum Teil aus konservativen Kraften, zusammengefasst zu F k(x),und zum Teil aus nicht konservativen Kraften, z.B. Reibkraften, zusammenge-fasst zu F R(t), besteht, dann lasst sich das Integral uber die Leistung L mit

Hilfe der Definition der potenziellen Energie (5.14) zum Teil losen.

E2 −E1 =

x2∫

x1

F k(x) · dx +

t2∫

t1

F R(t) · x dt

mit x1 = x(t1), x2 = x(t2)

= −U2∫

U1

dU + AR12 = −U2 + U1 + AR12

mit AR12 =

t2∫

t1

F R(t) · x dt

Das neu eingefuhrte Symbol AR12 fasst die Arbeit zusammen, die von den nicht

konservativen Kraften vom Zeitpunkt t1 bis zum Zeitpunkt t2 geleistet wird. Eine

94

Beispiel Punktmasse auf rauer Bahn bergauf

weitere Form des Arbeitssatzes ist somit:

E2 + U2 = E1 + U1 + AR12

Das hilft auf den ersten Blick nicht viel, ist aber von durchschlagendem Erfolg,

wenn es sich bei der Ursache der nicht konservativen Krafte um COULOMBsche

Reibung handelt. In diesem Fall ist die Reibkraft eventuell konstant.

FR(t) = −µN sgn(x) = konst.

mit x > 0 → AR12 = −t2∫

t1

µN x dt︸︷︷︸dx

= −µN

x2∫

x1

dx = −µN(x2 − x1)

Die dissipierte Arbeit berechnet sich in diesem Fall also aus dem Produkt von

Reibkraft und Reibweg, wobei hier nichts uber die Geradlinigkeit der Koordinatex vorausgesetzt wurde. Der Reibweg kann also auch entlang einer gekrummten

Bahn verlaufen, Hauptsache ist, die Reibkraft bleibt konstant. Wie das aber ohneeine geradlinige Bahn der Fall sein konnte, ist schwer vorstellbar.

Beispiel Punktmasse auf rauer Bahn bergauf

s =?

α

µ

mv0

Eine Punktmasse rutscht mit der An-

fangsgeschwindigkeit v0 einen Hang

(Neigungswinkel α) hinauf.

Wie weit kommt sie unter Reibungsein-

fluss (Gleitreibungskoeffizient µ) ?

Zeitpunkt 1: E1 = 12mv2

0 U2 = 0

Zeitpunkt 2: E2 = 0 U2 = mgh h = s sin α

Reibarbeit: AR12 = −µNs N = mg cosα s : Reibweg

E2 + U2 = E1 + U1 + AR12

mgs sin α =1

2mv2

0 − µmgs cosα

→ s =v20

2g cosα(tan α + µ)

95


5.5. Der Ein-Massen-Schwinger

In diesem Abschnitt wird stellvertretend fur viele schwingfahige Gebilde der

lineare Ein-Massen-Schwinger vorgestellt. Er besteht aus einer Punktmasse m,

einer masselosen, linearen Feder (Federsteifigkeit c) und einem geschwindig-keitsproportionalen Dampferelement (Dampfungsbeiwert d) und ist durch eine

zeitlich veranderliche Kraft F (t) beansprucht.

cxdx

x

F (t)

c

dm

F (t)

Der Impulssatz fuhrt zu der Differenzialgleichung

m x = −d x− c x + F (t)

m x + d x + c x = F (t)

bzw. x +d

mx +

c

mx =

F (t)

m(5.19)

5.5.1. Ungedampfte Eigenschwingung

Unter Vernachlassigung der Dampfung und der außeren Belastung entsteht die-selbe Differenzialgleichung wie im vorangegangenen Beispiel (s. 5.18). Sie stellt

den Idealfall dar (kein Energieverlust, kein Energiegewinn) und er soll hier zu-

erst behandelt werden, weil alle anderen Falle auf ihn Bezug nehmen.

x +c

mx = x + ω2

0x = 0 mit ω0 =

√c

m

Die Losung dieser homogenen linearen Differenzialgleichung 2. Ordnung mit

konstanten Koeffizienten setzt sich aus zwei linear unabhangigen Funktionenx1/2(t) zusammen, die, zweimal nach der Zeit abgeleitet, bis auf einen Faktor

in sich selbst ubergehen. Das leistet z.B. die Funktion

x = eλt → x = λeλt → x = λ2eλt

96

5.5. Der Ein-Massen-Schwinger

und alle, die sich nur um einen Faktor (x = A eλt) von ihr unterscheiden.

0 = x + ω20x = λ2eλt + ω2

0eλt = (λ2 + ω2

0)eλt

Die letzte Gleichung kann fur beliebige Zeiten t nur erfullt werden, wenn derInhalt der Klammer verschwindet. Diese Bedingung ergibt die charakteristische

Gleichung (vgl. Kap. A.6.3).

λ2 + ω20 = 0 → λ1/2 = ±j ω0 ; j =

√−1

D.h. die Losungen der charakteristischen Gleichung sind komplexe Zahlen. Mit

ihnen sieht ist die allgemeine Losung der Differenzialgleichung folgendermaßen

aus:x(t) = A eλ1t + B eλ2t = A ej ω0t + B e−j ω0t (5.20)

Mit Hilfe der EULER-Formel (vgl. Kap. A.7) wird daraus:

x(t) = A(cos ω0t + j sin ω0t) + B(cos ω0t− j sin ω0t)

So sieht die Losung noch etwas unhandlich aus. Besonders irritierend ist die

imaginare Zahl j, da der Weg, den ein Ein-Massen-Schwinger nimmt, nur einereelle Zahl sein kann.

Da offensichtlich die Klammerinhalte komplexe Zahlen sind, mussen auch dieVorfaktoren A und B komplex sein, denn nur das Produkt von zwei komplexen

Zahlen kann unter Umstanden reell werden.

A = <A + j=A B = <b + j=B <A,<B,=A,=B ∈ IR

x(t) = (<A + j =A)(cos ω0t + j sin ω0t) + (<B + j =B)(cos ω0t− j sin ω0t)

= (<A + <B) cosω0t + (=B −=A) sin ω0t (5.21)

+j[(=A + =B)︸︷︷︸=0

cosω0t + (<A−<B)︸︷︷︸=0

sin ω0t]

Um eine reelle Losung zu garantieren, muss der Inhalt der eckigen Klammerverschwinden, was nur der Fall ist, wenn beide runden Klammern gleichzeitig

verschwinden. Das ist der Fall, wenn

<B = <A und =A = −=B (5.22)

ist. Ist das der Fall, bleibt fur den Rest der Gleichung (5.21):

x(t) = 2<A cosω0t + 2=B sin ω0t

97


→ x(t) = A1 cosω0t + A2 sin ω0t x(t) = −A1ω0 sinω0t + A2ω0 cosω0t

(5.23)

Das bedeutet keinerlei Einschrankung: Mit A1 und A2 wird die allgemeine

Losung an die Anfangswerte angepasst. Die Bedingung (5.22) kann danach im-mer erfullt werden.

Fur die allgemeine Losung (5.23) gibt es noch eine andere Darstellung, die

etwas ubersichtlicher ist, weil sie nur noch eine Kreisfunktion enthalt. Man ge-

langt zu ihr durch eine raffinierte Substitution:

A1 = C cos γ, A2 = C sin γ

Die beruht auf dem Wissen, dass man in einer Ebene in der richtigen Richtung(γ) nur weit genug (C) gehen muss, um jeden beliebigen Punkt (A1, A2) zu

erreichen, aber nicht gleichzeitig einen anderen. Außerdem kommen die Addi-

tionstheoreme fur Kreisfunktionen zum Einsatz (vg. Kap A.1.2).

x(t) = C cos γ cosω0t + C sin γ sinω0t = C cos(ω0t− γ)

→ x(t) = C cos(ω0t− γ) x(t) = −Cω0 sin(ω0t− γ) (5.24)

Die beiden Konstanten C und γ dieser Darstellung der allgemeinen Losung

hangen eng mit den Konstanten A1 und A2 aus der anderen Darstellung (5.23)

zusammen.

A21 + A2

2 = C2 cos2 γ + C2 sin2 γ = C2 → C =√

A21 + A2

2

A2

A1=

C sin γ

C cos γ= tan γ → γ = arctan

A2

A1

φ

CA1

A2

98

Beispiel Eigenschwingung

Interpretation Beide Darstellungen haben ihre Vorteile. Mit der ersten lasstsich leichter rechnen, die zweite lasst sich besser interpretieren: Sinus- und Ko-

sinusfunktionen in der Losung sind periodische Funktionen mit der Amplitude

1, die sich in gleichen Zeitabstanden T immer wiederholen, wenn sich ihr Ar-gument um 2π geandert hat (vgl. Kap. A.1.1). D.h.

[ω0(t + T0)− γ]− [ω0t− γ] = 2π → T0 =2π

ω0(5.25)

T0 ist die Periodendauer, ihr Kehrwert

f0 =1

T0=

ω0

2π

ist die Frequenz. Bei diesem besonderen System (ungedampft und ohne Kraftein-

wirkung) spricht man von der Eigenfrequenz. Die anfangs eingefuhrte Große ω0,die sich um den Faktor 2π von der Eigenfrequenz unterscheidet

ω0 =

√c

m= 2π f0

ist die Eigenkreisfrequenz. Die Konstante C in der allgemeinen Losung x(t) =C cos(ω0t−γ) bestimmt den Maximalwert von x, also die Amplitude der Schwin-

gung, wogegen die andere Konstante nur eine Koordinatenverschiebung in der

Zeitachse t bewirkt. Diese Große nennt man die Phasenverschiebung.


Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz des dargestellten Systems?

Freikorperbild:

M + m

Fc3

Fc12A

m

M

x

starr

glatt

c1 c2

c3

Impulssatz: (M + m)x = −Fc12 − Fc3

99


Federwege: s3 = x, s1 = y, s2 = x− y

y : Hilfskoordinate, Verschiebung von Punkt A nach rechts.

Federgesetz: Fc3 = c3s3, Fc12 = Fc1 = c1s1 = Fc2 = c2s2

→ c1y = c2(x− y) → y =c2

c1 + c2x → Fc12 =

c1c2

c1 + c2x

Differenzialgleichung aus Impulssatz:

(M + m)x +

(c3 +

c1c2

c1 + c2

)= 0 bzw. x +

c3 + c1c2

c1+c2

M + m︸︷︷︸ω2

0

x = 0

Eigenkreisfrequenz: ω0 =

√c1c2 + c1c3 + c2c3

(c1 + c2)(M + m)

5.5.2. Gedampfte Schwingung

Der Ansatz, der sich bei der Losung der ungedampften Eigenschwingung bewahrthat, ist auch bei einem gedampften System dienlich.

x +d

mx +

c

mx = 0 (5.26)

Zuerst werden einige Großen zusammengefasst, um die Differenzialgleichungauf eine uberschaubarere Form zu bringen.

c

m= ω2

0 (schon bekannt),d

m= 2Dω0

→ D =d

2m√

cm

bzw.=

d

2√

mc

Damit wird (5.26) zu: x + 2Dω0x + ω20x = 0 und mit x = eλt, x =

λeλt, x = λ2eλt zu(λ2 + 2Dω0λ + ω2

0)eλt = 0

Die letzte Gleichung kann nur fur alle Zeiten erfullt werden, wenn der Klamme-

rinhalt verschwindet. Aus dieser Bedingung entsteht die charakteristische Glei-chung.

λ2 + 2Dω0λ + ω20 = 0

100


Uber die Losungen der charakteristischen Gleichung, genauer gesagt, ob reelleoder komplexe Nullstellen entstehen, entscheidet die zuvor eingefuhrte Große D(sie heißt: das Lehrsche Dampfungsmaß und ist dimensionslos), denn die Losung

beinhaltet einen Wurzelterm.

λ1/2 = −Dω0 ± ω0

√D2 − 1

Die zu unterscheidenden Falle sind D≥<1, doch zuvor wird eine weitere Abkurzung

eingefuhrt,

ω = ω0

√|1−D2|

mit der sich die Nullstellen etwas einfacher schreiben lassen.

D =

> 1 : starke Dampfung

= 1 : kritische Dampfung

< 1 : schwache Dampfung

λ1/2 =

−Dω0 ± ω−ω0

−Dω0 ± jω(5.27)

Starke Dampfung Mit den beiden reellen Nullstellen λ1/2 folgt aus dem An-

satz eλt die Losung:

x(t) = C1e(−Dω0+ω)t + C2e

(−Dω0−ω)t

= e−Dω0t(C1e

ωt + C2e−ωt)

(5.28)

x = −e−Dω0t[C1(Dω0 − ω)eωt + C2(Dω0 + ω)e−ωt

]

deren beide Konstanten aus Anfangswerten zu bestimmen sind. Z. B.

x(0) = 0 x(0) = v

0 = C1 + C2

v = −[C1(Dω0 − ω) + C2(Dω0 + ω)]

→ C1 = −C2 =v

2ω

Kritische Dampfung Hier handelt es sich um eine doppelte Nullstelle, d.h.mit dem bisherigen Ansatz entstehen keine zwei linear unabhangigen Funktio-

nen x(t). Also muss ein weiterer Ansatz herangezogen werden, da in die Losungeiner linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung n linear unabhangige Funk-

tionen gehoren.

101


x(t) = t eλt → x = (1 + λt)eλt → x = (2λ + λ2t)eλt

fuhrt bei der Differenzialgleichung (D = 1)

x + 2ω0x + ω20x = 0

zu der charakteristischen Gleichung

0 = 2λ + λ2t + 2ω0(1 + λt) + ω20t

= (2λ + 2ω2) + (λ2 + 2ω0λ + ω20)t

die fur beliebige t nur erfullt werden kann, wenn beide Klammern gleichzeitig

verschwinden.

1. Klammer: 2λ + 2ω0 = 02. Klammer: λ2 + 2ω0λ + ω2

0 = (λ + ω0)2 = 0

Es folgt jedesmal: λ = −ω0, eine widerspruchsfreie Losung.

Die Gesamtlosung lautet damit

x(t) = C1e−ω0t + C2te

−ω0t

= (C1 + C2t)e−ω0t (5.29)

x(t) = [−ω0C1 + (1− ω0t)C2]e−ω0t

Im Vorgriff auf den nachsten Abschnitt, der zu einer periodischen Losung fuhrt,

bleibt zu erwahnen, dass aus diesem Grunde die kritische Dampfung den aperi-odischen Grenzfall darstellt.

Schwache Dampfung Mit den komplexen Nullstellen λ1/2 = −Dω0±jω (vgl.

5.27) folgt die allgemeine Losung:

x(t) = C1e(−Dω0+jω)t + C2e

(−Dω0−jω)t = e−Dω0t(C1e

j ωt + C2e−j ωt

)

Beim Inhalt der Klammer kommen dieselben Uberlegungen zum Tragen wie beider allgemeinen Losung des ungedampften Schwingers (5.20). Auch hier kann

der Inhalt der Klammer durch

C cos(ωt− φ) bzw. A cosωt + B sin ωt vgl. (5.24)

102


ersetzt werden, womit die endgultige Losung z.B. lautet:

x(t) = e−Dω0t [A cos ωt + B sinωt] mit ω = ω0

√|1−D2| (5.30)

x(t) = e−Dω0t(−Dω0)[A cos ωt + B sin ωt]

+e−Dω0t[−Aω sin ωt + Bω cosωt]

= e−Dω0t[(−Dω0A + Bω) cosωt− (Dω0B + A)ω sin ωt]

Bei gegebenem Dampfungsmaß D errechnen sich die Konstanten A und B aus

den Anfangswerten x(0) = s und x(0) = v. Es handelt sich tatsachlich um eineperiodische Losung mit der Kreisfrequenz ω. Es war also passend, gerade dieses

Symbol fur die zuvor eingefuhrte Abkurzung zu wahlen.

Im Gegensatz zur ungedampften Eigenschwingung ist die Kreisfrequenz ω der

schwach gedampften Schwingung um den Faktor√

1−D2 von der Eigenkreis-frequenz ω0 verschieden, also kleiner. Dasselbe gilt fur die Frequenz f = ω/(2π) =f0

√|1−D2| und hat umgekehrt Auswirkungen auf die Periodendauer der geampf-

ten Schwingung:

T =1

f=

1

f0

√|1−D2|

=T0√|1−D2|

(5.31)

Außerdem ist die Schwingung von einer abfallenden e-Funktion begrenzt, de-

ren Wert bei Null ebenfalls vom Damfungsmaß abhangt (s. folgendes Bild). Die

miteinander verglichenen Schwingungen basieren auf den angegebenen An-fangswerten, die bei der ungedampften Schwingung gerade die Amplitude 1

m verursachen. Die Losung der schwach gedampften Schwingung ist damit

x(t) = e−Dω0t 1 m√1−D2

︸︷︷︸Hullkurve

sin(√

1−D2t

s

)

103


5

k = 100

x

1

-1

t

10

Anmerkung zu schwach gedampften Schwingungen:

Wenn man experimentell in der Lage ist, die Große vom Maximal-Ausschlagen

A1 und A2 zu messen, die den zeitlichen Abstand von k Halbperioden aufeinan-der haben, dann lasst sich aus diesen Messgroßen naherungsweise die Damp-

fungskonstante D bestimmen. Die ist in diesem Fall kleiner als 1. Sogar sehrviel kleiner, denn sonst liefert das Experiment keine guten Messwerte. Damit ist

die Kreisfrequenz ungefahr gleich der Eigenkreisfrequenz und fur die Perioden-

dauern gilt dasselbe: T ≈ T0

x(t) = Ce−Dω0t cos(ωt− φ) ≈ Ce−Dω0t cos(ω0t− φ)

1. Ausschlag: x(t1) = Ce−Dω0t1 cos(

2nπ︷︸︸︷ω0t1 − φ)︸︷︷︸

=1

= A1

2. Ausschlag: x(t1 + kT

2) = Ce−Dω0(t1+k T

2) cos(

(2n+k)π︷︸︸︷ω0(t1 + k

T

2)− φ)

︸︷︷︸(−1)k

= Ce−Dω0(t1+k T2

) = Ce−Dω0t1e−Dω0k T2 (−1)k = A2

→ |A2|A1

= e−Dω0k T2 mit ω0 =

2π

T0≈ 2π

T→ D ≈ 1

kπln

A1

|A2|Mit dem Verhaltnis der Messwerte A1/|A2| = 4 und k = 1 (s. Bild oben) folgt

fur das Dampfungsmaß: D = 0.44 (tatsachlich 0.4 s.o.).

104


Man kann sich auch mehr Muhe machen und ohne die Naherung ω ≈ ω0 aus-kommen, diesmal vorgestellt an zwei aufeinander folgenden Ausschlagen nach

einer vollen Periode T (k = 2).

A1 = Ce−Dω0t1 cos(

2nπ︷︸︸︷ωt1 − φ)︸︷︷︸

1

A2 = Ce−Dω0(t1+T ) cos(

2nπ︷︸︸︷ω(t1 + T )− φ)︸︷︷︸

1

→ A2

A1= e−Dω0T (5.31)

= e−Dω0

T0√1−D2

(5.25)= e

−2πD√1−D2

Wiederum durch Logarithmieren

Λ = lnA2

A1=−2πD√1−D2

Λ : logarithmisches Dekrement (negativ)

Quadrieren und Umstellen kommt ein etwas anderes Ergebnis heraus:

D =−Λ

2π

1√1 +

(Λ2π

)2

(ohne Beweis)=

−Λ

kπ

1√1 +

(Λkπ

)2≈ −Λ

kπ(s.o.) (5.32)

5.5.3. Die fremderregte Schwingung

Die anfangs aufgestellte Differenzialgleichung (5.19)

x +d

mx +

c

m=

1

mF (t)

beinhaltet einen Term, in dem die gesuchte Losungsfunktion x(t) nicht vor-kommt. Er wurde deswegen als inhomogen auf die rechte Seite geschafft und

bislang ignoriert.

Bei linearen inhomogenen Differenzialgleichungen, wie hier, setzt sich die ge-

suchte Losung aus der Losung der homogenen Differenzialgleichung und ei-ner weiteren Funktion zusammen, die die inhomogene Differenzialgleichung

erfullt. Das ist die sogenannte ’partikulare Losung’ (vgl. Kap. A.6)

105


Ungedampfte, fremderregte Schwingung Das System gehorcht der Diffe-

renzialgleichung (5.19) mit d = 0:

x +c

mx =

1

mF (t) (5.33)

1. Konstante Erregerkraft (Gewichtskraft) F (t) = mg

Ansatz: xp = b, → xp = xp = 0

(5.33) → c

mb = g → b =

mg

c= x0

x(t) = A cos(ω0t− φ)︸︷︷︸xh

+x0

x0 ist die statische Auslenkung, die die Feder durch das Gewicht der Masse merfahrt. Man nennt x0 auch die statische Ruhelage.

2. Lineare Erregerkraft F (t) = F0 + F1t

Ansatz: xp = b0 + b1t, → xp = b1, → xp = 0

(5.33) → c

m(b0 + b1t) =

F0

m+

F1

mt

Koeffizientenvergleich:

c

mb0 =

F0

m→ b0 =

F0

cc

mb1 =

F1

m→ b1 =

F1

c

x(t) = A cos(ω0t− φ)︸︷︷︸xh

+F0

c(1 +

F1

F0t)

3. Periodische Erregerkraft Das ist die technisch relevante Erregung, die

z.B. von allen periodisch arbeitenden Antriebsmaschinen ausgeht. Es reicht hieraus, nur den einfachen Fall F (t) = F0 cos(Ωt) zu betrachten, da sich jede peri-

odische Funktion F (t) durch eine Fourier-Zerlegung in eine Reihe von Kosinus-

106


und Sinusfunktionen zerlegen lasst (Bronstein/Semendjajew/Musiol/Muhlig:Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, 2001, S. 436 ff). Im Ubrigen

beinhaltet der hier untersuchte Fall fur Ω = 0 auch den statischen Lastfall.

F (t) = F0 cos(Ωt)

Ansatz xp = a sin(Ωt) + b cos(Ωt)

xp = aΩ cos(Ωt)− bΩ sin(Ωt)

xp = −aΩ2 sin(Ωt)− bΩ2 cos(Ωt)

(5.33)→ −aΩ2 sin(Ωt)−bΩ2 cos(Ωt)+

ω20︷︸︸︷c

m

(a sin(Ωt)+b cos(Ωt)

)=

F0

mcos(Ωt)

bzw.

a(ω20 − Ω2)︸︷︷︸

0

sin(Ωt) +(

b(ω20 − Ω2)− F0

m︸︷︷︸0

)cos(Ωt) = 0

Koeffizientenvergleich: a = 0, b =F0

m

1

ω20 − Ω2

=F0

c

1

1− Ω2

ω20

fur Ω 6= ω0

Gesamtlosung:

x(t) = xh + xp = A cos(ω0t− φ) +F0

c

1

1− Ω2

ω20

cos(Ωt) (5.34)

Die Losung ist eine Uberlagerung von zwei harmonischen Schwingungen

unterschiedlicher Frequenz (ω0 und Ω). D.h., das System antwortet in seinerEigenfrequenz (ω0) und in der Erregerfrequenz (Ω).

Um den Einfluss der Fremderregung zu untersuchen, reicht es aus, eine be-stimmte Losung naher zu betrachten, z.B. die, die sich ergibt, wenn das System

bei t = 0 am Ort der statischen Auslenkung x0 = F0

c in Ruhe ist.

x(t) = A cos(ω0t− φ) + x01

1− Ω2

ω20

cos(Ωt)

x(0) = 0 = −Aω0 sin(0− φ)− x0Ω

1− Ω2

ω20

sin 0

107


→ φ = 0 fur A 6= 0

x(0) = x0 = A cos(ω00− φ) + x01

1− Ω2

ω20

cos(Ω0)

→ A = −x0

Ω2

ω20

1− Ω2

ω20

Da die Hauptaufgabe des ’idealen’ ungedampften Ein-Massen-Schwingers ist,

einen Vergleich fur den ’realen’ gedampften Ein-Massen-Schwingers abzuge-ben, wird die Antwort in der Eigenfrequenz nicht weiter beachtet: Sie klingt bei

schwachster Dampfung nach einiger Zeit ab, und es bleibt allein die Antwortin der Erregerfrequenz Ω. Die Zeit, die das dauert, nennt man den Einschwing-

vorgang. Der wird selten naher untersucht, sondern man wartet ab, bis sich der

stationare Zustand einstellt.

Das ist der andere Teil der Antwort, der in der Erregerfrequenz Ω schwingt. Er

hat (vgl. 5.34) die Amplitude

b = x01

1− Ω2

ω20

b ist fur Ω < ω0 positiv, d.h. die Antwort ist mit der Erregung im Gleichtakt, in

Phase. Fur Ω>ω0 ist die Amplitude b negativ, d.h. die Antwort ist im Gegentakt

zur Erregung, bzw. sie ist um π = 1800 phasenverschoben.

Das Verhaltnis

V = |b|/x0 =1

|1− ζ2| , ζ =Ω

ω0

also das Verhaltnis der Amplitude b zur statischen Auslenkung heißt Vergroße-

rungsfunktion oder Verzerrungsfunktion (weil auch Verkleinerungen moglich sind).

In der Schwingungstechnik sagt man auch Amplitudengang. Die Eigenschaftder Schwingungsantwort, auf die periodische Erregung unterhalb der Eigen-

frequenz in Takt und oberhalb in Gegentakt zur Erregung zu sein, nennt man

entsprechend den Phasengang.

Die Vergroßerungsfunktion V geht fur kleine Ω gegen 1 und fur sehr große Ωgegen 0. Fur Werte von Ω → ω0 wachst sie uber alle Grenzen. Dieses schon

erwahnte Phanomen nennt man Resonanz.

108


1

V

0 1 ζ

0

1

0

180

0

ζ = Ωω0

Vergroßerungsfunktion Phasengang

φ

4. Erregung in der Eigenfrequenz (Resonanz) In diesem speziellen Fall heißtdie Differenzialgleichung:

x + ω20x =

F0

mcos(ω0t)

Wie schon gezeigt (vgl. Koeffizientenvergleich vor Losung 5.34), versagt derspezielle Ansatz xp = b cos(ω0t) in der Form der rechten Seite.

Ein zweiter Versuch mit einem leicht abgewandelten Ansatz, der an den Losungs-

weg bei doppelten Nullstellen der charakteristischen Gleichung im vorangegan-

genen Kapitel erinnert, ist:

xp = bt sin(ω0t)

xp = b sin(ω0t) + btω0 cos(ω0t)

xp = 2bω0 cos(ω0t)− btω20 sin(ω0t)

(5.33)→ b(2ω0 cos(ω0t)− ω2

0t sin(ω0t))

+ bω20t sin(ω0t) =

F0

mcos(ω0t)

→ b =F0

2mω0→ xp =

1

2

F0

mω20︸︷︷︸

x0

ω0t sin(ω0t) =1

2x0ω0t sin ω0t

Die partikulare Losung ist eine periodische Schwingung, deren Amplitude pro-portional zur Zeit t anwachst, auch dann, wenn man die Anfangsbedingungen

so wahlt, dass der homogene Losungsanteil verschwindet.

109


5.5.4. Gedampfte, periodisch fremderregte Schwingung

Das System gehorcht der Differenzialgleichung

x + 2Dω0x + ω20x =

F0

mcos(Ωt) mit ω2

0 =c

m; D =

d

2mω0

Die homogene Losung der gedampften Schwingung ist, vgl. (5.28), (5.29), (5.30):

xh = e−Dω0t

(C1eωt + C2e

−ωt) D > 1(C1 + C2t) D = 1(C1e

jωt + C2e−jωt) D < 1

mit ω = ω0

√|1−D2|

Wie klein oder groß auch immer die Dampfung ist, sie ist nicht Null. Also werdenwegen des Terms e−Dω0t uber kurz oder lang die Losungsanteile aus der homo-

genen Differenzialgleichung soweit abklingen, dass sie vernachlassigt werden

konnen. Die Phase, bis das soweit ist, nennt man den Einschwingvorgang.

Bei gedampften Schwingungen betrachtet man deshalb in aller Regel nur denstationaren Zustand, d.h. die partikulare Losung.

Als partikulare Losung soll hier ein Ansatz dienen, der etwas uber die”Form der

rechten Seite“ hinausgeht

xp = a cosΩt + b sinΩt

xp = −aΩ sinΩt + bΩ cosΩt

xp = −aΩ2 cosΩt− bΩ2 sin Ωt

xp + 2Dω0xp + ω20xp

= −aΩ2 cosΩt− bΩ2 sin Ωt + 2Dω0(−aΩ sinΩt + bΩ cosΩt)

+ ω20(a cosΩt + b sinΩt)

= (−aΩ2 + 2Dω0bΩ + ω20a) cosΩt + (−bΩ2 − 2Dω0aΩ + ω2

0b) sinΩt

→ a (ω20 − Ω2)︸︷︷︸

A

+b 2Dω0Ω︸︷︷︸B

=F0

mund − a 2Dω0Ω︸︷︷︸

B

+b (ω20 − Ω2)︸︷︷︸

A

= 0

Die beiden letzten Gleichungen liefern als Losung fur die Amplituden a und b

a =F0

m

A

A2 + B2, b =

F0

m

B

A2 + B2

→ xp =F0

m(A2 + B2)(A cosΩt + B sin Ωt)

110


Substitution: A = C cosΦ, B = C sin Φ

heißt umgekehrt: tanΦ =B

Aund C2 = A2 + B2

→ xp =F0

m

√A2 + B2

A2 + B2(cos Ωt cosΦ + sin Ωt sinΦ︸︷︷︸

cos(Ωt+Φ)

)

=F0

m

1√(ω2

0 − Ω2)2 + (2Dω0Ω)2cos(Ωt− Φ)

→ limt→∞

x(t) = xp =F0

c︸︷︷︸x0

1√(1− Ω2

ω20

)2 + (2D Ωω0

)2

︸︷︷︸Def.: V (Ω;D)

cos(Ωt− Φ) = x cos(Ωt− Φ)

Die obige Definition der Vergroßerungsfunktion V gibt das frequenzabhangigeVerhaltnis der Amplitude x zur statischen Auslenkung x0 an (linkes Bild). Aus

tanΦ =B

A= 2D

Ωω0

1− Ω2

ω20

kann man die frequenzabhangige Phasenverschiebung berechnen (rechtes Bild).

1

1

V

90

180Φ

1 Ω/ω0

Ω/ω0

der Antwort in ErregerfrequenzVergroßerungsfunktion und Phasengang

Der Maximalwert der Vergroßerungsfunktion liegt nicht da, wo die Erregerfre-

quenz gleich der Eigenfrequenz ist (vgl. die gestrichelte Linie im linken Graph),sondern da, wo der Nenner, oder, noch einfacher, der Inhalt der Wurzel, den

man als Funktion von z = Ω2

ω20

auffassen kann, sein Minimum hat.

d

dz

([1− z]2 + 4D2z

)= 0 = 2(1− z)(−1) + 4D2

111


→ zR = 1− 2D2 bzw.ΩR

ω0=√

1− 2D2

Der Wert der Vergroßerungsfunktion V an dieser Stelle heißt Resonanzuber-

hohung.

Vmax = V (zR) =1√

(1− zR)2 + 4D2zR

=1

2D√

1−D2

5.6. Kinematik der gefuhrten Punktbewegung

Ein Punkt bewegt sich auf einer Bahnkurve im Raum. Zum Zeitpunkt t ist er

bezuglich eines kartesischen Koordinatensystems (x, y, z) an der Stelle

x = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez =(x(t), y(t), z(t)

)

hat die Geschwindigkeit

v = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez =(x(t), y(t), z(t)

)

und erfahrt die Beschleunigung

a = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez =(x(t), y(t), z(t)

)

Vgl. Kap. 5.1.

Die Tatsache, dass die Geschwindigkeit notgedrungen tangential zur Bahnkurve

verlauft, ermoglicht es, aus ihr den Tangenteneinheitsvektor der Bahn zu berech-

nen.et =

v

|v|Der darin vorkommende Betrag der Geschwindigkeit ist

v(t) = |v(t)| =√

x2(t) + y2(t) + z2(t)

Bezeichnet man den entlang der Bahnkurve zuruckgelegten Weg, die sogenann-

te Bogenlange, mit s, dann ist s nichts anderes als die Geschwindigkeit entlangder Bahn, also

s = v(t) → s(t) =

t∫

0

v(τ) dτ =

t∫

0

√x2(τ) + y2(τ) + z2(τ) dτ

112

5.6. Kinematik der gefuhrten Punktbewegung

Der Vektor der Geschwindigkeit ist umgekehrt

v = s et (5.35)

Wahrend die Geschwindigkeit immer tangential zur Bahn verlauft, ist das vonder Beschleunigung nicht gesagt. Man kann sie immerhin in einen Teil tangen-

tial zur Bahn und den Rest, senkrecht (normal) zur Bahn, zerlegen.

a = at + an

at = (a · et) et (5.36)

an = a− at (5.37)

Aus (5.35) kann ebenfalls die Beschleunigung ausgerechnet werden.

a = v = (s et)· = set + s et (5.38)

Eine Eigenschaft eines Einheitsvektors wie et ist, dass seine Lange 1 ist. Also istauch das Skalarprodukt von et mit sich selbst immer 1. Diese banale Aussage

ergibt ein brauchbares Ergebnis, wenn sie formal nach der Zeit abgeleitet wird.

(et · et)· = 0 = et · et + et · et = 2et · et → et ⊥ et

Ein Vergleich von (5.36) bzw. (5.37) mit (5.38) ergibt

at = (a · et) et = s et

und

an = s et (5.39)

Eine weitere Uberlegung ist, dass der Tangentenvektor in erster Linie vom Ort

auf der Bahnkurve abhangt, an dem er sich zur Zeit t befindet, also Funktion vons ist. s wiederum ist Funktion der Zeit. Die Zeitableitung des Tangentenvektors

ist folglich nach der Kettenregel zu bilden.

et =d

dtet(s(t)) =

d

dset

︸︷︷︸(et)′

ds

dt︸︷︷︸s

, et = s(et)′, et ⊥ et → (et)

′ ⊥ et (5.40)

Der durch die Ableitung nach der Bogenlange neu definierte Vektor (et)′ ist ein

Vektor, der von einem Ort der Bahnkurve in Richtung Mittelpunkt des Kreises

113


zeigt, den man gerade an diesem Ort in die Bahnkurve einschmiegen kann.Diesen Kreis nennt man den Krummungskreis.

Der Betrag von (et)′ kann jeden Wert annehmen, bei geraden Bahnen z.B. ist

er Null. (Damit er wegen des verwendeten Symbols e nicht mit einem Einheits-

vektor verwechselt wird, behalt er im Folgenden seine Klammern.)

Als geometrische Interpretation gibt der Betrag von (et)′ die Krummung κ des

an diesem Punkt in die Bahnkurve einschmiegbaren Krummungskreise an, dieder Kehrwert des Krummungsradius ρ ist.

κ = |(et)′| ρ =

1

κ

Der Einheitsvektor, den man aus (et)′ berechnen kann, ist

en =(et)

′

|(et)′|=

(et)′

|(et)′|s

s

mit (5.40)=

et

sκ=

ρ

set

Also gilt:

(5.40) → et = sρen

(5.39) → an = s2

ρ en

→ a = s et +s2

ρen

Beispiel Punkt auf Kreisbahn

Auf einer Kreisbahn um den Koordinatenursprung in der (x, y)-Ebene be-wegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit φ > 0) ein Punkt.

x = r (cos φ(t), sin φ(t), 0)

v = x = rφ (− sinφ, cos φ, 0)

v = |v| = rφ

√sin2 φ + cos2 φ

︸︷︷︸1

= rφ

et =v

v= (− sinφ, cos φ, 0)

a = v = r (−φ sin φ− φ2 cosφ, φ cosφ− φ2 sinφ, 0)

at = (a · et) et = r(φ sin2 φ + φ2 sin φ cos φ +

+φ cos2 φ− φ2 sin φ cosφ)

(− sin φ, cosφ, 0)

114

Beispiel Punkt auf Kreisbahn

= rφ(− sinφ, cos φ, 0)

an = a− at = rφ2(− cosφ,− sinφ, 0)

en =an

|an|= (− cosφ,− sin φ, 0)

Die Beschleunigung, die die Punktmasse senkrecht zu seiner Kreisbahn

erfahrt, ist auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet. Sie heißt Zentripe-talbeschleunigung und hat den Betrag rφ2. Entsprechend ist die Kraft, die

dazu notig ist, den Punkt von der geraden Bahn, die er einhalten will aufdie vorgeschriebene Kreisbahn zu zwingen, laut Impulssatz

F = man

Die Punktmasse selbst, wenn sie denken und fuhlen konnte, wurde die Re-aktion darauf mit umgekehrten Vorzeichen empfinden, also nach außen,

und sich als Opfer einer Zentrifugalkraft, die sie an die Wand druckt.

115


116

Teil II.

Starrkorperdynamik bisFestigkeitslehre

117

6. Dynamik des starren Korpers

6.1. Kinematik der Starrkorperbewegung

Ein Korper kann nur solange als Punktmasse betrachtet werden, wie seine Aus-

dehnung klein ist gegenuber den Großenordnungen seiner Bewegungen, z.B.

ein Planet auf seiner Bahn oder ein Apfel, der vom Baum fallt. Wenn die Bewe-gungen kleiner werden, muss man zur Kenntnis nehmen, dass der Korper eine

Ausdehnung hat. Was nach wie vor ignoriert wird, ist eine eventuelle Verform-

barkeit des Korpers.

Das hierzu passende Modell ist der sogenannte Starrkorper. Die Eigenschafteines Starrkorpers ist, dass zwischen zwei beliebigen seiner materiellen Punkte

(A und B) der Abstand d ist und fur alle Zeiten bleibt, d.h. d = 0.

d = |d| =√

d · d = konst, d =−→AB Differenzvektor

→ d = (|d|)· =1

2

2d · d√d · d

=1

dd · d !

= 0

(Darin ist d die Geschwindigkeit des Punktes B relativ zu A.)

Die letzte Gleichung kann nur erfullt werden,

wenn das Skalarprodukt d · d verschwindet. Das

ist zum Einen der Fall, wenn die Geschwindigkeitd = 0 ist. Die andere Moglichkeit ist, wenn d

senkrecht auf dem Abstandsvektor d steht.

Letzteres ist gegeben, wenn sich der Korper umeine Achse durch A dreht (s. Skizze).

Die andere, zuerst erwahnte Moglichkeit (d = 0)

heißt, der eine Punkt bewegt sich nicht relativzum anderen. Also bewegen sich beide parallel.

d

ω

α

dB

A

r

Damit sind die beiden speziellen Geschwindigkeitsfelder genannt, die ein Starr-korper ausfuhren kann: Einerseits die Rotation um eine Achse, andererseits die

Translationsbewegung (alle Punkte haben dieselbe Geschwindigkeit).

119


Der Normalfall ist eine Uberlagerung von beiden Spezialfallen.

Wenn im Fall der reinen Rotation die Winkelgeschwindigkeit um die Drehachse

in Form des Drehgeschwindigkeitsvektors ω bekannt ist, kann die Geschwindig-keit d als Tangentialgeschwindigkeit des Punktes B auf der Kreisbahn ausgerech-

net werden.

d = rω, r = |d| sin α, ω = |ω|, α = 6 (ω, d)

Das entspricht genau der Definition des Kreuzproduktes:

d = ω × dmit |d| = |ω|d|| sin 6 (ω, d)|und d ⊥ d, ω, (ω, d, d) : Rechtssystem

6.1.1. Die Starrkorperbewegung

Die zuvor erwahnte Uberlagerung einer Translations- und Rotationsbewegung

eines Starrkorpers lasst sich beschreiben, wenn ein Bezugspunkt P0 (Ortsvektor

r0) festgelegt wird, um den sich der Korper mit dem Drehvektor ω dreht, undder sich selbst mit der Geschwindigkeit r0 = v0 bewegt. Dann ist die Geschwin-

digkeit eines beliebigen anderen Punktes P (Ortsvektor r)

v(r) = r = r0︸︷︷︸Translation

+ ω × (r − r0)︸︷︷︸Rotation

(6.1)

(Der Differenzvektor (r − r0) entspricht dem Vektor d aus den vorangestelltenUberlegungen.)

Große und Richtung des Drehvektors sind fur jeden Bezugspunkt des Starrkor-pers gleich: Ein Starrkorper – ein Drehvektor. Angenommen, es ware nicht so,

dann ließe sich die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P (Ortsvektor r)

von zwei Bezugspunkten her ausdrucken.

v = v0 + ω0 × (r − r0) = v1 + ω1 × (r − r1)

Mit der linken Gleichung kann man die Geschwindigkeit v1 von Punkt P1 aus-drucken v1 = v0 + ω0 × (r1 − r0) und anschließend rechts einsetzen:

v0 + ω0 × (r − r0) = v0 + ω0 × (r1 − r0) + ω1 × (r − r1)

120

Beispiel Momentanpol bei ebener Bewegung

→ (ω0 − ω1)× (r − r1) = 0

Die letzte Gleichung lasst sich fur beliebige r und r1 nur erfullen, wenn entge-

gen der Annahme ω0 = ω1 ist: Ein Starrkorper – ein Drehvektor.

6.1.2. Der Momentanpol

Bei einem Geschwindigkeitsfeld eines Starrkorpers, das keine reine Translations-

bewegung ist, gibt es immer eine Gerade im Raum (einen Punkt in der Ebenebei ebenen Bewegungen), um den der Korper eine reine Drehung ausfuhrt. Die-

se Gerade (dieser Punkt) ist nicht ortsfest und muss nicht unbedingt innerhalb

des Korpers liegen. Gehort sie zum Korper, dann zeichnen sich die Punkte rM

auf ihr dadurch aus, dass sie in diesem Moment keine Geschwindigkeit haben.

Daher der Name Momentanpol, heißt: im Moment ist das der Drehpol.

rM = r0 + ω × (rM − r0)!= 0 (6.2)

Beispiel Momentanpol bei ebener Bewegung

r = (x, y, 0), ω = (0, 0, ω)

ω × (r − r0) = det

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

0 0 ωx− x0 y − y0 0

∣∣∣∣∣∣= ω(−y + y0, x− x0, 0)

(6.2)→ 0!= (x0, y0, 0) + ω(−yM + y0, xM − x0, 0)

→ xM = x0 −y0

ω, yM = y0 +

x0

ω

Besonders wichtig wird der Momentanpol, wenn er durch geometrische Bedin-

gungen erzwungen wird, so ist z.B. eine raumfeste Achse immer Momentan-

pol, oder der Punkt, auf dem ein Rad abrollt. Das Geschwindigkeitsprofil einessolchen Korpers entlang einer Geraden durch den Momentanpol ist einfach zu

konstruieren, weil sich jeder Punkt des Korpers auf einer Kreisbahn um den Mo-mentanpol befindet und die Tangentialgeschwindigkeit sich aus Winkelgeschwin-

digkeit und Abstand vom Momentalpol ergibt.

121


φMp

Wenn die Lage des Momentanpols nicht bekannt ist, dafur aber die Geschwin-

digkeit zweier Punkte des Korpers, dann liegt der Momentanpol im Schnitt-punkt der Lote auf beide Geschwindigkeitsvektoren. Gibt es keinen Schnitt-

punkt, dann handelt es sich um reine Translation. Sind die beide Lote identisch

mit der

yz

Mp

x

2R

φ

φGeraden durch die beiden Punkte, dann

kann man uber dieser Geraden das li-

neare Geschwindigkeitsprofil konstruie-ren (Gerade durch die Spitzen der Ge-

schwindigkeitsvektoren) und bis zumNulldurchgang verlangern. Dort ist der

Momentanpol. Der Zusammenhang zwi-

schen den Geschwindigkeiten und derWinkelgeschwindigkeit ist im dargestell-

ten Fall

y =x + z

2und φ =

x− y

r=

y − z

r=

x− z

2R

Beispiel Kinematik eines Flaschenzugs

2y 4y 6y

2y4y

6y

y y y

x

xy

122

Beispiel Kinematik eines Flaschenzugs

Das rechte Bild ist dem linken aquivalent, nur etwas ubersichtlicher.

Es wird vorausgesetzt, dass zwischen Seil und Rollen kein Schlupf ist.

Dann muss am Beruhrungspunkt zwischen Seil und Rolle die Tagential-

geschwindigkeit der Rolle der Geschwindigkeit des Seil an dieser Stelleentsprechen. D.h. die Tangentialgeschwindigkeit der linken Rolle auf der

linken Seite ist 0.

Alle Mittelpunkte der unteren Rollen bewegen sich mit y nach oben, so

auch die linke Rolle. Damit sind von der linken Rolle zwei Geschwindig-

keiten bekannt, also ist das vollstandige Geschwindigkeitsfeld berechen-bar. Die rechte Seite der Rolle z.B. bewegt sich mit 2y nach oben.

Die Losung ist aus der obigen Skizze ablesbar: Der Zusammenhang zwi-schen der Geschwindigkeit x des Zugseils und der des Hakens y ist also:

x = 6y

6.1.3. Gangpolbahn und Rastpolbahn

Abgesehen von wenigen Fallen, in denen der Momentanpol ortsfest ist (Dreh-

achse einer Windmuhle) bewegen sich die Momentanpole von Starrkorperndurch den Raum. Sie legen im Lauf der Zeit eine Bahn zuruck. Diese Bahn kann

man von zwei Positionen her betrachten. Steht der Beobachter auf einem festen

Punkt im Raum, dann sieht er die sogenannte Rastpolbahn. Bewegt er sich abermit dem Starrkorper mit und zwar so, als ware er festgebunden, dann macht

er auch die Drehungen mit und von seiner Warte aus sieht er die Gangpolbahn.

Beide Bahnen beruhren sich im aktuellen Momentanpol: Sie rollen zuszusagenaufeinander ab.

Bei ebenen Problemen ist es meist einfach. Die Lage des Momentanpols kann

auf die oben beschriebene Weise konstruiert werden. Danach muss dieser Ort

jeweils in einem geeigneten raumfesten und in einem mitbewegten Koordina-tensystem beschrieben werden, um Rastpolbahn und Gangpolbahn zu erhalten.

Manchmal sind die Losungen einfache geometrische Kurven, die man eher se-hen als berechnen kann: Bei einem rollenden Rad ist die Rastpolbahn die Kon-

tur, auf der das Rad rollt. Die Gangpolbahn ist der Kreisumfang des Rades.

123


Beispiel Polbahnen des Kreuzschiebers

Ein Kreuzschieber, das sind zwei Gleit-

steine auf zueinander senkrechten Bah-

nen, die mit einer starre Stange verbun-den sind. Es gibt zwei zumindest von der

Richtung her bekannte Geschwindigkei-ten der Stange. Die Lote darauf schnei-

den sich im Momentanpol MP, der um die

Lange l der Stange vom Schnittpunkt derGeschwindigkeiten entfernt ist, d.h. Rast-

polbahn: Kreis mit Radius l.

A

y

x

MP

B

Gang-

Rast-

polbahnva

vb

η ξ

Von der Stange her gesehen, ist der Momentanpol die Spitze eines recht-winkligen Dreiecks uber der Stange. Alle moglichen Punkte, die ein recht-

winkliges Dreieck uber der Stange bilden, liegen auf dem Thaleskreis. Das

ist die Gangpolbahn, Radius l/2.

Beispiel Regenschirm

aa− x

2

a2

√4x

a − x2

a2

a2a y

x

x

MP2

G

R

21

a

a z

MP1

Stange 1 dreht sich im Kreis um MP1, d.h. y und z stehen senkrecht auf

Stange 1. Die Lote auf beide Geschwindigkeiten x und z schneiden sicham Ende der Stange 1.

Da MP2 immer am Ende der Stange 1 ist, ist die Gangpolbahn G der Kreismit dem Radius 2a um MP1. Die Rastpolbahn R ist der Kreis, den das Ende

der Stange 1 relativ zur Stange 2 um das gemeinsame Gelenk beschreibt.

124

6.2. Impuls- und Drallsatz

x = ω2a

√4x

a− x2

a2, z = ω2a, y = 2z → y =

2√4x

a − x2

a2

x

Gultiger Bereich fur x: [0, 2a], Eckwerte: x = 0 : y = ∞, x = 2a :y = x


Im Gegensatz zur Punktmasse, die keine Ausdehnung uber ihren Schwerpunkts hinaus hat, hat der beliebige Korper eine Ausdehnung (r auch 6= s) und die

Massendichte ρ kann an jedem Punkt des Korpers eine andere sein.

m =

∫∫∫

m

dm =

∫∫∫

V

ρ(r) dV

dm

r

v

v = r Deshalb, und weil auch jeder Punkt eine andere

Geschwindigkeit haben kann, muss die Definiti-

on des Impulses, wie sie in Kapitel 5.2 eingefuhrtwurde, etwas prazisiert werden. Jeder Massen-

punkt dm tragt seinen Teil dI zum Gesamtim-

puls I bei.

I =

∫∫∫dI =

∫∫∫

m

v(r) dm =

∫∫∫

V

v(r) ρ(r) dV (6.3)

Der Tatbestand, dass bei einem ausgedehnten Korper jeder Punkt wegen Rotati-

on eine andere Geschwindigkeit v(r) haben kann, gibt Anlass zu einer weiterenDefinition. Man bezeichnet den Vektor dDc als den Drehimpuls oder Drall, den

ein Massenpunkt dm des Korpers bezuglich eines festen Raumpunktes C (Orts-vektor rc) hat.

Dc =

∫∫∫dDc =

∫∫∫(r − rc)× dI =

∫∫∫

m

(r − rc)× v(r) dm

=

∫∫∫

V

(r − rc)× v(r) ρ(r) dV (6.4)

Folglich ist Dc der Drall oder Drehimpuls des gesamten Korpers gegenuber C.

125


Die Mechanik geht von drei Axiomen aus, von denen das zweite schon in Ka-pitel 5.2 als Bewegungsgesetz fur die Punktmasse eingefuhrt wurde. Es sind im

einzelnen:

d

dtm = 0 Massenbilanz

d

dtI = F Impulsbilanz (6.5)

d

dtDc = M c Drehimpulsbilanz (6.6)

Darin sind:F : resultierende Kraft

M c : resultierendes Moment bezuglich eines festen Raumpunktes C

(Ortsvektor rc)

Auf einem kleinen Umweg uber die Definition des Massenschwerpunktes (vgl.2.15) bzw. ihrer formalen Ableitung nach der Zeit, kommt man zu praktikable-

ren Gleichungen. Aus (2.15) folgt:

ms =

∫∫∫

m

r dm

(ms)· = ms︸︷︷︸=0

+ms =

∫∫∫

m

r dm =

∫∫∫

m

v dm

︸︷︷︸=I (s.o.)

(6.7)

D.h. der Impuls eines Korper ist gleich dem Produkt seiner Masse mit der Ge-

schwindigkeit seines Massenmittelpunktes vs = s. Zusammen mit der Impulsbi-lanz fuhrt das zu der Aussage

I = ms = F (6.8)

die man den Schwerpunktsatz nennt, vgl. (5.1). Er besagt, dass sich der Schwer-

punkt eines Korpers so bewegt, als ob alle außeren Krafte an ihm angriffen.

Mit der Drehimpulsbilanz gelingt ein Gleiches, wenn man als Kunstgriff zumDrall Dc eine vektorielle Null in Gestalt (s− s) hinzufugt

Dc =

∫∫∫

V

(r

=0︷︸︸︷−s + s−rc)× dI

=

∫∫∫

V

(r − s)× dI + (s− rc)×∫∫∫

V

dI

126


Der linke Term der rechten Seite entspricht der Definition des Dralls bezuglichdes Punktes S statt C, vgl. (6.4), und der rechte Term ist offensichtlich der

Impuls I . Es bleibt die Aussage

Dc = Ds + (s− rc)× I

deren Zeitableitung wie folgt aussieht:

Dc = Ds + (s− rc)× I + (s− rc)× I

Die linke Seite kann mit der Drehimpulsbilanz (6.6) durch das resultierendeMoment Mc ersetzt werden, der Impuls I ist gemaß seiner Definition und (6.7)

gleich ms und die Impulsanderung I ist mit (6.5) durch die resultierende Kraft

F zu ersetzen.

M c = Ds + ms× s + mrc × s + (s− rc)× F

Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ist 0 , vgl. (A.12).

Wenn der Punkt C fest im Raum steht, ist rc = 0. Wenn C sich parallel zum

Schwerpunkt bewegt, z.B. als Momentanpol einer abrollenden Kreisscheibe,

dann verschwindet das Kreuzprodukt rc × s, wenn nicht, z.B. bei einer ab-rollenden Ellipse, muss der Term ausgerechnet werden. Doch warum sollte sich

der frei wahlbare Punkt C uberhaupt bewegen?

Fur das resultierende Moment von Kraftsystemen gilt: M c = Ms+(s−rc)×F ,

vgl. (2.4). Alles zusammen ergibt die Aussage:

→M s + (s− rc)× F = Ds + m rc × s︸︷︷︸0 ! (s.o.)

+(s− rc)× F

Die Kreuzproduktterme fallen gegeneinander weg und es bleibt fur raumfeste

Bezugspunkte C die einfache Gleichung

Ds = Ms (6.9)

ubrig, die besagt, dass die Anderung des Drehimpulses um den mitbewegten

Schwerpunkt sich aus der Summe aller Momente um gerade diesen Punkt er-gibt. Das stellt in vielen Fallen eine erhebliche Vereinfachung dar, da die Last-

angriffspunkte im Allgemeinen bezuglich des Schwerpunktes konstant bleiben.

127


6.2.1. Starrkorperbewegung

In vielen technisch relevanten Fallen konnen die Deformationen eines Korpers

gegenuber den Drehungen, die er erfahrt, vernachlassigt werden. D.h. er kannwie ein Starrkorper behandelt werden, fur den das Geschwindigkeitsfeld rela-

tiv einfach angegeben werden kann (6.1). Der Drehimpuls Ds bezuglich desSchwerpunktes

Ds =

∫∫∫

V

(r − s)× rρ dV (6.10)

nimmt in diesem Fall eine weiter auswertbare Gestalt an. Mit (6.1) ist die Ge-

schwindigkeit r = s + ω × (r − s). Daraus folgt:

Ds =

∫∫∫

V

(r − s)×(s + ω × (r − s)

)ρ dV

=(∫∫∫

V

(r − s)ρ dV

︸︷︷︸=0 (s.u.)

)× s +

∫∫∫

V

(r − s)×(ω × (r − s)

)ρ dV

Das vordere Integral, das im ubrigen”statisches Moment bezuglich s“ heißt,

verschwindet, was leicht einzusehen ist, wenn man die Integration so weit wie

moglich ausfuhrt.

∫∫∫

V

(r − s)ρ dV =

∫∫∫

V

rρ dV − s

∫∫∫

V

ρ dV

︸︷︷︸m

= m

(1

m

∫∫∫

V

rρ dV − s

)

Der vordere Term in der Klammer entspricht der Definition des Schwerpunktes

(2.15), womit die Klammer verschwindet.

Mit einer weiteren Umbenennung x = r − s lasst sich der Drall (Drehimpuls)

bezuglich des Schwerpunktes fur starre Korper mit

Ds =

∫∫∫

V

x× (ω × x)ρ dV (6.11)

angeben. Man kann auch sagen, man verlagert den Ursprung des zugrunde

liegenden Koordinatensystem in den Schwerpunkt.

128


In einem kartesischen Koordinatensystem haben die Vektoren x und ω die Kom-ponenten

x = (x, y, z) und ω = (ωx, ωy, ωz)

Damit ergeben sich die einzelnen Kreuzprodukte in (6.11) in der Ausfuhrung

als:

ω × x = det

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

ωx ωy ωz

x y z

∣∣∣∣∣∣=

ωyz − ωzyωzx− ωxzωxy − ωyx

x× (ω × x) = det

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

x y zωyz − ωzy ωzx− ωxz ωxy − ωyx

∣∣∣∣∣∣

=

y(ωxy − ωyx)− z(ωzx− ωxz)z(ωyz − ωzy)− x(ωxy − ωyx)x(ωzx− ωxz)− y(ωyz − ωzy)

Der letzte Vektor ist der Integrand in der Definition des Dralls Ds (6.11). Erkann etwas umsortiert werden, namlich in ein Produkt aus einer 3 × 3-Matrix

und einem Vektor, wobei die Matrix nur die Komponenten von x enthalt undder Vektor mit ω identisch ist.

x× (ω × x) =

y2 + z2 −xy −xz−xy x2 + z2 −yz−xz −yz x2 + y2

ωx

ωy

ωz

Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass der Drehgeschwindigkeitsvektor ω nicht

vom Ort abhangig ist und aus der Integration bei der Berechnung des Drehim-pulses (6.11) herausgezogen werden kann.

Ds =

∫∫∫

V


ρ dV ω = Θω (6.12)

Θ =

Θxx Θxy Θxz

Θyx Θyy Θyz

Θzx Θzy Θzz

129


mit

Θxx =∫∫∫

V(y2 + z2)ρ dV

Θyy =∫∫∫

V(x2 + z2)ρ dV

Θzz =∫∫∫

V (x2 + y2)ρ dV

Θxy = Θyx = −∫∫∫

V xyρ dV

Θxz = Θzx = −∫∫∫

Vxzρ dV

Θyz = Θzy = −∫∫∫

Vyzρ dV

(6.13)

Die mit Θ bezeichnete Matrix ist bezuglich korperfester kartesischer Koordi-

naten zeitunabhangig. Sie stellt damit eine unveranderliche Eigenschaft des

Korpers dar, die nur auf der Verteilung der Masse bezuglich des Massenmit-telpunktes beruht. Man nennt sie die Drehtragheit oder das Massentragheitsmo-

ment. Mit ihrer Hilfe und unter Voraussetzung eines korperfesten kartesichen

Koordinatensystems nimmt der Drallsatz (6.9) eine besonders einfache Form an.

Ds = Θ ω = Ms (6.14)

6.2.2. Ebene Bewegung

Eine ebene Bewegung zeichnet sich dadurch aus, dass sich alle Punkte des

Korpers standig parallel zur (x, y)-Ebene bewegen. Das kann nur gewahrleistetsein, wenn der Drehgeschwindigkeitsvektor ω nur eine z-Komponente hat und

behalt, d.h. ωx = ωy = 0.

(6.14) → Ds =

Θxx Θxy Θxz

Θyx Θyy Θyz

Θzx Θzy Θzz

00ωz

=

Msx

Msy

Msz

Daraus ist noch nicht gleich zu folgern, dass das resultierende Moment M s

auch nur eine z-Komponente hat, sondern es bleiben in diesem Fall von der

Drehimpulsbilanz vorerst drei skalare Gleichungen ubrig:

θxzωz = Msx, θyzωz = Msy, θzzωz = Msz (6.15)

Die letzte ist die Bewegungsgleichung (Drallsatz); die beiden anderen dienenallenfalls zur Berechnung der Momente, die von der Lagerung des Korpers auf-

gebracht werden mussen.

130

Beispiel Massentragheitsmoment einer Scheibe konstanter Dicke

Erst bei Symmetrie des Korpers bezuglich der (x, y)-Ebene verschwinden diesogenannten Deviationsmomente Θxz und Θyz, was beispielhaft fur Θxy gezeigt

wird. Symmetrie bezuglich (x, y) heißt, dass die Oberflache des Korper auf der

positiven Seite von (x, y) durch h(x, y) und auf der negativen durch −h(x, y)beschrieben wird.

Θxz = −∫∫∫

V

xzρ dV = −ρ

∫

x

∫

y

h(x,y)∫

−h(x,y)

xz dz dy dx

= −ρ

∫

x

∫

y

x

[z2

2

]h(x,y)

−h(x,y)︸︷︷︸=0

dy dx = 0

Erst in diesem Fall wird die oben erwahnte Schlussfolgerung uber die resultie-renden Momente um x und y moglich.

Im Fall ebener Bewegungen ist es im ubrigen unerheblich, ob das zugrundeliegende Koordinatensystem korperfest oder raumfest ist: Die fur den Drallsatz

wichtige z-Richtung eines mitbewegten Systems bleibt bei ebenen Bewegungenkonstant und stimmt mit der entsprechenden raumfesten Richtung uberein.

Zwei weitere skalare Gleichungen folgen aus dem Impulssatz (6.8) mit s =(xs, ys, 0). Sie vervollstandigen zusammen mit (6.15) das System der Bewe-

gungsgleichungen fur ebene Bewegungen.

mxs = Fx, mys = Fy , Θzzφz = M

Zusammenfassend ist zu sagen, dass gegenuber den Gleichungen, die die Bewe-

gungen einer Punktmasse beschreiben, bei der ebenen Bewegung eines Starr-korpers eine weitere Gleichung (6.15) hinzukommt, und es eine weitere Eigen-

schaft des Korpers zu ermitteln gilt: die Drehtragheit (das Massentragheitsmo-

ment ) Θzz um die Drehachse z.

Beispiel Massentragheitsmoment einerScheibe konstanter Dicke

Eine Scheibe hat bei konstanter Massendichte ρ die Masse m. Ihr Radius

ist R und ihre Dicke h.

131


dr

R

φ

x

dφ

yr

Θzz =

∫∫∫

V

(x2 + y2

︸︷︷︸r2

)ρ dV

mit dV = hr dφ dr

=

r∫

0

2π∫

0

r2ρhr dφ ds

= hρ2πR4

4mit m = ρhπR2

Θzz =1

2mR2

Beispiel Rollbewegung einer Scheibe

Ein Zylinder der Masse m (Radius r) rollt unter dem Einfluss der Erd-

beschleunigung auf einer kreisformigen Bahn (Radius R). Wie lautet die

Bewegungsgleichung in Abhangigkeit von α? (Reines Rollen ist gewahr-leistet.)

R

α

µ =∞

r

Kinematikg

m α

s

φ

NT

mg

Krafte

MP

Kinematik: s = rφ = −(R− r)α

→ φ = −R− r

rα, s = −(R− r)α (H1)

Impulssatz: ms = mg sin α− T (H2)

Drallsatz: Θφ = Tr (H3)

132

Beispiel Massentragheitsmoment eines Quaders

(H1),(H2)→ (H3) : −ΘR− r

rα = [mg sin α + m(R− r)α]r

→(

Θ

r+ mr

)(R − r)α = −mgr sinα

Massentragheitsmoment: Θ =1

2mr2 → Θ

r+ mr =

3

2mr

Bewegungsgleichung: α +2g

3(R− r)sin α = 0

Beispiel Massentragheitsmoment einesQuaders

Ein Quader mit homogener Massenverteilung hat die Maße a,b und c inx-, y- und z-Richtung

Θzz =

∫∫∫

V

(x2 + y2) dm = ρ

a2∫

− a2

b2∫

− b2

(x2 + y2)

c2∫

− c2

dz dy dx

= ρc

a2∫

− a2

b2∫

− b2

(x2 + y2) dy dx = ρc

a2∫

− a2

[(x2y +

1

3y3)

] b2

− b2

dx

= ρc

a2∫

− a2

(x2b +

1

12b3

)dx = ρc

[1

3x3b +

1

12b3x

] a2

− a2

= ρc

(1

12a3b +

1

12b3a

)= ρabc︸︷︷︸

m

(1

12a2 +

1

12b2

)=

m

12(a2 + b2)

Fur die anderen Achsen gilt entsprechend:

Θyy =m

12(a2 + c2), Θxx =

m

12(b2 + c2)

Sonderfall Stab (a = l, b, c l) : ΘStab =1

12ml2

133


6.2.3. Bewegungen um eine raumfeste Achse

Nicht in allen Fallen ist die ursprungliche Form des Drallsatzes (6.6) der umstand-lichere Weg zur Losung. Vor allen Dingen dann nicht, wenn sich der Starrkorper

um eine raumfesten Achse bewegt.

Sei rc ein Punkt auf der Drehachse, dann ist der Drehimpulsvektor Dc bezuglich

dieses Punktes mit (6.6) und mit der Geschwindigkeitsverteilung r = ω × (r −rc):

Dc =

∫∫∫

m

(r − rc)× r dm =

∫∫∫

V

(r − rc)×(ω × (r − rc)

)ρ dV

=

∫∫∫

V

(r − s + s︸︷︷︸0

−rc)×(ω × (r − s + s︸︷︷︸

0

−rc))ρ dV

mit x(r) := r − s und a := s− rc

=

∫∫∫

V

(x + a)×(ω × (x + a)

)

Nach Ausmultiplizieren der Kreuzprodukte entstehen vier Integrale.

Dc =

∫∫∫

V

x× (ω × x)ρ dV

︸︷︷︸=Ds

+(∫∫∫

V

sρ dV)

︸︷︷︸=0

×(ω × a)

+a× (ω ×(∫∫∫

V

sρ dV)

︸︷︷︸=0

) + a× (ω × a)

∫∫∫

V

ρ dV

︸︷︷︸=m

Von den vier Termen ist der erste schon bekannt (Ds, vgl. (6.11)), zwei ver-

schwinden (vgl. Herleitung von (6.10)) und einer sieht, bis auf den Faktor m,so aus wie der Integrand in der Definition von Ds (6.10), wenn man nur s

gegen a vertauscht. Es ist also erlaubt, dieselben Uberlegungen noch einmal

134

Beispiel Massentragheitsmoment eines Quaders

anzustellen.

m a×(ω×a) = m

a2y + a2

z −axay −axaz

−axay a2x + a2

z −ayaz

−axaz −ayaz a2x + a2

y

ωx

ωy

ωz

= Θ

Stω (6.16)

Das ist die Definition des Steineranteils am Massentragheitsmoment. Er tritt in

der Drehimpulsbilanz fur Starrkorperbewegungen um eine feste Achse auf, diefolglich lautet:

Dc = (Θ + ΘSt)ω

Da die Matrizen Θ und ΘSt zeitunabhangige Großen sind, fuhrt eine Zeitablei-

tung zu einer ebenfalls einfachen Form der Drehimpulsbilanz.

Dc = (Θ + ΘSt)ω = M c (6.17)

Der hier betrachtete Fall ist zwar vektoriell behandelt worden, er stellt aber

einen Fall der ebenen Bewegung dar, fur den es unbenommen ist, ein korper-festes Koordinatensystem so zu legen, dass die z-Koordinate mit der Drehach-

se ubereinstimmt und der Koordinatenurprung in der Ebene liegt, in der der

Schwerpunkt kreist. Ebenso kann der frei wahlbare Bezugspunkt rc in die glei-che Ebene gelegt werden. D.h. der Differenzvektor a hat keine z-Komponente,

wahrend der Drehgeschwindigkeitsvektor ω nur eine z-Komponente hat.

a = (ax, ay, 0); ω = (0, 0, ωz)

Damit wird die Drehimpulsbilanz (6.17) zu

Dc =

Θxx Θxy Θxz

Θyy Θyz

sym. Θzz

+

ΘStxx ΘSt

xy ΘStxz

ΘStyy ΘSt

yz

sym. ΘStzz

00ω

=

Mcx

Mcy

Mcz

d.h. zu drei skalaren Gleichungen, von denen die letzte die eigentliche Bewe-gungsgleichung ist, und die beiden anderen zur Bestimmung von Auflagerreak-

tionen dienen (vgl. 6.15).

(Θxz + ΘStxz) ωz = Mcx ΘSt

xz = −maxaz = 0

(Θyz + ΘStyz) ωz = Mcy mit ΘSt

yz = −mayaz = 0

(Θzz + ΘStzz) ωz = Mcz ΘSt

zz = m(a2x + a2

y) (6.18)

135


Beispiel Mathematisches Pendel

C

lφ

m

Ein mathematisches Pendel unterliegt dem Einfluss derErdschwere. Es besteht aus einer masselosen Stange der

Lange l, die an einem Ende drehbar gelagert ist und am an-

deren Ende eine Punktmasse m tragt. D.h. der Schwerpunktdes Korpers ist die Punktmasse. (Anm.: Eine Punktmasse

hat kein Massentragheitsmoment Θzz)

(6.18)→ (Θzz + ΘStzz) ωz = Mcy

(0 + ml2) φ = −mg sin φ l

φ +g

lsin φ = 0

linearisiert um φ0 = 0 mit |φ| 1: sinφ ≈ φ

φ +g

lφ = 0

Die Losung dieser homogenen Differenzialgleichung zweiter Ordnung mitkonstanten Koeffizienten wurde schon im Kapitel 5.5.1 behandelt.

6.2.4. Der Steineranteil bei zusammengesetzten Korpern

Das Massentragheitsmoment ist das Ergebnis einer Volumenintegration, die so-

lange einfach auszufuhren ist, wie es sich um geometrisch einfache Korper han-

delt. Bei zusammengesetzten Korpern kann man sich noch behelfen, indem mandie Integration als Summe von Teilintegralen uber n Teilvolumina durchfuhrt.

Z.B. fur Θzz heißt das:

Θzz =

∫∫∫

V

(x2 + y2) dm =

n∑

i=1

∫∫∫

Vi

(x2 + y2) dm

Nur ist hier zu beachten, dass in aller Regel die Teilschwerpunkte Si nicht mitdem Gesamtschwerpunkt S ubereinstimmt. (Massentragheitsmomente sind in

Tabellenwerken immer bezuglich des Schwerpunktes angegeben.)

136

Beispiel Massentragheitsmoment eines Hohlzylinders

Das ist aber kein Problem: Stellt man sich durch den Gesamtschwerpunkt hin-durch die Drehachse vor, um die herum das Massentragheitsmoment gebildet

werden soll, dann entsteht fur die Teilkorper gerade der Fall der Drehung um

eine Achse, die nicht durch den Teilschwerpunkt geht. Das Massentragheitsmo-ment um eine solche

”Nicht-Schwerpunkt-Achse“ setzt sich aber gerade aus dem

Eigen-Massentragheitsmoment um die Teil-Schwerpunktachse und dem Steine-

ranteil zusammen, gebildet aus dem Produkt von Teil-Masse mi und Quadratdes Teil-Schwerpunktsabstands ai.

Θzz =

n∑

i=1

(∫∫∫

Vi

(x2 + y2) dm

︸︷︷︸Θeigen

i zz

+ mi(

a2i︷︸︸︷

a2ix + a2

iy)︸︷︷︸

ΘSteineri zz

)

(x, y) ist ein achsenparalles Hilfkoordinatensystem im Schwerpunkt des be-trachteten Teilvolumens.

Beispiel Massentragheitsmoment einesHohlzylinders

Ri

Ra

Ein Hohlzylinder ist auch ein zusammengesetzterQuerschnitt. Er setzt sich aus einem Vollzylinder (Ra-

dius Ra) mit der Dichte ρ und einem Vollzylinder(Radius Ri) mit der Dichte −ρ zusammen.

Die Teilschwerpunkte liegen auf dem Gesamtschwer-

punkt.

Θzz = ρh2πR4

a

4− ρh2π

R4i

4= ρhπ(R2

a − R2i )

R2a + R2

i

2

m = ρhπ(R2a −R2

i ) → Θzz =1

2m(R2

a + R2i )

Sonderfall dunnwandig: (Ra ≈ Ri ≈ R) : Θzz = mR2

137


Beispiel Massentragheitsmomentdunnwandiger Doppelzylinder

R

Zwei dunnwandige Zylinder der Masse m mit

dem Radius R sind so aneinander geschweißt,dass ihr Querschnitt eine Acht bildet.

Θzz = 2(Θs + ΘSt)

= 2(mR2 + mR2) = 4mR2

Gesamtmasse: M = 2m → Θzz = 2MR2

6.2.5. D’Alembertsche Tragheitskrafte und -momente

Eine einfache Idee mit praktischen Folgen ist, im Impulssatz und Drallsatz fur

ebene Bewegungen alle Terme auf eine Seite zu schreiben. (Zur Vermeidung

von Konfusion ist der Bezugspunkt im Weiteren immer der Schwerpunkt.)

mx =∑

i Fix

∑i Fix + (−mx) = 0

my =∑

i Fiy → ∑i Fiy + (−my) = 0

Θωz = Θφz =∑

i MiS

∑i MiS + (−Θφz) = 0

Dabei entstehen Gleichungen, die wie die Gleichgewichtsbedingungen der Sta-tik aussehen. Man muss nur die Terme wie (−mx) oder (−Θφ) als Krafte bzw.

Moment auffassen. Von ihrer Dimension her ist das berechtigt. Es sind nur keine

eingepragten Krafte, sondern sogenannte d’Alembertsche Tragheitskrafte und -momente.

Erweitert man also die am Korper angreifenden Krafte und Momente um die

d’Alembertsche Tragheitskrafte und -momente, entsteht ein neues Kraftsystem,

das drei Gleichgewichtsbedingungen gehorcht, also im Gleichgewicht ist. Beieinem solchen System ist aber der Bezugspunkt, auf den sich das Momenten-

gleichgewicht bezieht, willkurlich zu wahlen, was eine weitere Einschrankung

von Fehlerquellen darstellt, bzw. eine Moglichkeit, durch geschickte Wahl vonBezugspunkten, Großen, nach denen nicht gefragt ist, erst gar nicht in den Glei-

chungen auftauchen zu lassen.

138

Beispiel Vollzylinder auf einem Abhang

Beispiel Vollzylinder auf einem Abhang

Ein Vollzylinder (Masse m, Radius r) rollt einen Abhang mit der Neigung

α hinab. Gesucht ist die Bewegungsgleichung.

1. Losungsweg: Drallsatz und Impulssatz bezuglich Schwerpunkt.

α

T

x

mgφ

N

Kinematik: x = rφ → x = rφ

Massentragheit: Θs =1

2mr2

Drallsatz: Θsφ = Tr → T =1

2mrφ

Impulssatz: mx = −T + mg sin αφ

→ mx = −1

2mx + mg sin αφ → x =

2

3g sin α

2. Losungsweg: Drallsatz bezuglich Momentanpol, vgl. Abschnitt (6.2.3).

N

T φ

mgMP

ΘMP = Θs + mr2 =3

2mr2

Drallsatz:

ΘMPφ =3

2mr2φ = mgr sin α

→ φ =2

3

g

rsin α bzw. x =

2

3g sin α

3. Losungsweg: d’Alembertsche Krafte und Momente

N

T

mx

Θsφmg

∑

i

MMPi = 0 = Θsφ + mx r −mgr sin α

→ (1

2mr + mr)x = mgr sinα → x =

2

3g sin α

139


Beispiel Pendel (zwei Losungswege)

1. Losungsweg: Impuls- und Drallsatz bezuglich Schwerpunkt

lφ

m

A

B

mg

s = lφ

Impulssatz: ms = B −mg sin φ

Drallsatz: Θs︸︷︷︸hier: 0

φ = Bl → B = 0

→ mlφ = −mg sin φ

→ φ +g

lsin φ

2. Losungsweg: d’Alembertsche Krafte und Momente

A

B

mg

A

Θsφ = 0

ms

∑MiA = 0 = lms + mgl sin φ → s + g sin φ =

0 → φ +g

lsin φ = 0

6.2.6. Mehrkorpersysteme

Der Ubergang von einem Korper zu Mehrkorpersystemen ist eigentlich ganz

einfach. Man wendet das Schnittprinzip an und betrachtet jeden Teilkorper fur

sich, d.h. jeder Teilkorper gehorcht seinem individuellen Impuls und Drallsatz.Der Zusammenhang stellt sich uber sich Schnittkrafte und -Momente ein, die

jeweils immer an zwei Teilkorpern wirken. Dazu gehort an jeder Schnittstelleein kinematischer Zusammenhang, denn der Punkt, an dem geschnitten wird,

kann nicht zwei verschiedene Geschwindigkeiten haben.

140

Beispiel Kinematisch gekoppelte Teilkorper

Die Komponenten, die man zur Modellierung von Mehrkorpersystemen benutzt,sind massebehaftete Starrkorper und masselose Verbindungsstangen, Umlen-

krollen und Seile, dazu konnen (ebenfalls masselose) Feder- und Dampferele-

mente kommen. Die Stangen sind starr, die Seile sind ’dehnstarr’, ’biegeschlaff’und schlupffrei, d.h. sie rutschen nicht ab, wenn sie einen Umfang umschlingen.

Beispiel Kinematisch gekoppelte Teilkorper

Jeder Teilkorper hat seine eigenen Schwerpunkt- und Winkelkoordinaten.Der kinematische Zusammenhang folgt aus der gegebenen Geometrie.

Θ

m M

r

R

g

c

x

y

y x

z

φKinematik:

Die Teilkorper werden jeder fur sich betrachtet. Fur jeden Teilkorper gel-

ten die Aussagen des Impuls- und Drallsatzes.

Mg

S2

B

A

S1 FcS2

S1

mg

Freigeschnitten:

Fc = cxx

Kinematik: z = y =R

rx, rφ = x → φ =

1

rx

Impulssatz Masse m: my = mR

rx = −mg + S1 → S1 = m

R

rx + mg

141


Impulssatz Masse M : Mz = MR

rx = Mg − S2 → S2 = Mg −M

R

rx

Drallsatz Scheibe: Θφ = (S2 − S1)R − Fcr

→ Θ1

rx = (M −m)Rg − (M + m)

R2

rx− crx

Bewegungsgleichung: x +c

Θr2 + (M + m)R2

r2

x =(M −m)R

rΘr2 + (M + m)R2

r2

g

Eine andere Art von Kopplung stellt der reibende Kontakt zwischen zwei Teilkorpern

dar. Hier liegt entweder eine kinematische Bindung vor, namlich dann, wenn dieHaftreibung so groß ist, dass die beteiligten Teilkorper aufeinander abrollen. In

diesem Fall ist die Geschwindigkeit beider Korper im Kontaktpunkt gleich.

Ist das nicht der Fall, dann existiert im Kontaktpunkt eine Relativgeschwindig-

keit zwischen beiden Teilkorpern, die aus dem Geschwindigkeitsfeld der beiden

Einzelkorper berechnet werden kann. Der Wert dieser Relativgeschwindigkeitentscheidet uber die Wirkrichtung der tangentialen Reibkraft T im Kontakt-

punkt. Die Große der Reibkraft ist von der Kontaktkraft N > 0 bestimmt.

T = µN sgn(z), z : Relativgeschwindigkeit

Beispiel Durchdrehendes Rad

Ein von Anfang an mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω0 durchdre-hendes Rad (Massentragheit Θ, Radius R) beschleunigt uber die Achse

eine Masse M . Um die Winkelgeschwindigkeit aufrecht zu erhalten, wirktdas Antriebsmoment Ma.

Wann geht das Rutschen in Abrollen uber?

φ

µ

ω0

x

z

N

T

mg

142

6.3. Der Energiesatz fur Starrkorperbewegung

Die Relativgeschwindigkeit z folgt aus dem Geschwindigkeitsfeld des Ra-des, das als Starrkorper angenommen wird:

z = x−Rφ → z = x− Rφ︸︷︷︸0

Bei den gegebenen Anfangsbedingungen (x(0) = 0, φ = ω0 = konst) ist

z(0) = −Rω0 → sgn(z) = −1

Der Impulssatz liefert: mx = −T . Darin ist T die Reibkraft, fur die gilt

T = µmg sgn(z)hier= −µmg → x = µg = z

D.h. zusammen mit der Kinematik liefert die Kombination von Impulssatz

und Reibgesetz eine Differenzialgleichung fur die Entwicklung von z.

z = µg → z(t) = µgt + z(0) = µgt−Rω0, z(t1) = 0 fur t1 =Rω0

µg

Der Drallsatz liefert nur noch eine Bestimmungsgleichung fur das notwen-

dige Antriebsmoment Θφ︸︷︷︸0

= Ma + RT →Ma = −RT = Rµmg


Die kinetische Energie war fur die Punktmasse mit (5.10)

E =1

2mv2 =

1

2mv · v

definiert worden, wobei v der Betrag des Geschwindigkeitsvektors dieser Punkt-

masse war, vgl. (A.7).

143


dm

v

r

sx

S s

Unter der Vorstellung, dass ein ausgedehnter Korperaus einer Unzahl von Massenpunkten der Masse dmmit der kinetischen Energie

dE =1

2v(r) · v(r) dm

besteht, folgt die kinetische Energie aus der unendli-

chen Summe all dieser infinitesimalen Anteile, sprich:aus der Integration der Anteile uber das Volumen des

Korpers.

E =1

2

∫∫∫

m

v(r) · v(r) dm

6.3.1. Kinetische Energie eines Starrkorpers

Bei einem Starrkorper (Schwerpunktsgeschwindigkeit s) ist das Geschwindig-keitsfeld so einfach, dass die Integration ausgefuhrt werden kann.

v(r) = s + ω × (r − s︸︷︷︸x

)

→ E =1

2

∫∫∫

m

(s + ω × x) · (s + ω × x) dm

E =1

2s · s

∫∫∫

m

dm

︸︷︷︸m

+1

2s · (ω ×

∫∫∫

m

x dm

︸︷︷︸0

)

+1

2(ω ×

∫∫∫

m

x dm

︸︷︷︸0

) · s +1

2

∫∫∫

m

(ω × x) · (ω × x) dm

=1

2m s · s +

1

2

∫∫∫

m

(ω × x) · (ω × x) dm (6.19)

Das ubrig gebliebene Integral kann fur

x =

xyz

und ω =

ωx

ωy

ωz

144


ebenfalls berechnet werden. Im Integranden steht

ω × x = det

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

ωx ωy ωz

x y z

∣∣∣∣∣∣=


Damit wird der Integrand insgesamt zu:

(ω × x) · (ω × x) = (ωyz − ωzy)2 + (ωzx− ωxz)2 + (ωxy − ωyx)2

= ω2x(y2 + z2) + ω2

y(x2 + z2) + ω2z(x2 + y2)

−2ωxωyxy − 2ωxωzxz − 2ωyωzyz

Den gleichen skalaren Ausdruck kann man erzeugen, wenn man den Vektor ω

nach den Regeln der Matrizenrechnung mit einer 3 × 3-Matrix verkupft, deren

Komponenten Produkte von x, y, z sind. Und zwar so:

(ωx, ωy, ωz)︸︷︷︸ωT

y2 + z2 −xy −xzx2 + z2 −yz

sym. x2 + y2

︸︷︷︸M

ωx

ωy

ωz

︸︷︷︸ω

= ωTMω

(Nach den Regeln der Matrizenrechnung muss hier deutlich gemacht werden,ob ein Vektor als Spalten- oder Zeilenvektor benutzt wird (deshalb ωT). Dafur

ist der · fur das Skalarprodukt uberflussig.)

Das fehlende Integral (6.19) ist damit:

1

2

∫∫∫

m

(ω × x) · (ω × x) dm =1

2ωT(

∫∫∫

m

M dm)ω =1

2ωT

Θsω

Die Integration von M fuhrt direkt zur Massentragheitsmatrix Θs bezuglich

des Schwerpunktes, vgl. (6.12, 6.13). Damit wird die kinetische Energie einesStarrkorpers zu:

E =1

2m s · s︸︷︷︸

Etr

+1

2ωT

Θω︸︷︷︸

Erot

(6.20)

Man sieht, dass sich die kinetische Energie aus zwei Anteilen zusammensetzt,von denen der eine aus der translatorischen Bewegung und der andere aus der

Rotation herruhrt.

Bei der Beschrankung auf ebene Probleme (s = (sx, sy, 0) → s = (vx, vy, 0), ω =(0, 0, ω) vereinfachen sich die Ausdrucke wieder:

E =1

2mv2

x +1

2mv2

y +1

2Θzzω

2

145


6.3.2. Anderung der kinetischen Energie

Die kinetische Energie andert sich, wenn sich der Impuls ms oder der Drehim-puls Θω andern, also unter dem Einfluss von Kraften und Momenten, die an

dem Korper angreifen.

Formal ist die zeitliche Anderung der kinetischen Energie:

E =1

2m (s · s + s · s) +

1

2(ωT ·Θω + ωT

Θω)

(Das Skalarprodukt ist kommutativ und wegen der Symmetrie von Θ kann manω und ω austauschen.) D.h.

E = m s · s + ωTΘω

Laut Impulssatz (6.8) ist ms = F und laut Drallsatz (6.14) ist Θω = M s. D.h.

E = F · s + ωTMs = F · s + ω ·Ms

(In der letzten Gleichung wurde die Schreibweise der Matrizenrechnung wiederdurch die symbolische Darstellung mit dem Skalarpunkt · ersetzt.)

Die rechte Seite der letzten Gleichung kann man mit der Leistung aller amKorper angreifenden Krafte F k identifizieren. Das geht so: Gegeben ist das

Kraftsystem

(F 1, F 2, . . . , F n; r1, r2, . . . , rn) rk = s + xk, rk : Kraftangriffspunkte

Die Leistung, die dieses Kraftsystem am Starrkorper verrichtet, ist mit (5.9)

L =∑

k

F k · rk =∑

k

F k · (s + ω × xk)

= (∑

k

F k) · s +∑

k

F k · (ω × xk)︸︷︷︸=ω·(xk×F k)

,∑

F k = F

(Die zyklische Vertauschung in dem Spatprodukt im zweiten Term entspricht

den Rechenregeln, vgl. (A.14).) Die Summe∑

k xk × F k ist das resultierendeMoment bezuglich des Schwerpunktes. D.h.

L = F · s + ω ·Ms q.e.d.

146

Beispiel Vollzylinder am Abhang

Die Erkenntnis aus dieser Herleitung ist, dass die Anderung der kinetischenEnergie gleich der Leistung des angreifenden Kraftsystems ist.

E = L

Von dieser Leistung weiß man bei konservativen Kraftsystemen (vgl. 5.14ff),

dass sie gleich der negativen Anderungsgeschwindigkeit der potenziellen Energie

ist.E = −U bzw. E + U = 0 → E + U = konst

Daraus leitet sich ein praktisches Verfahren zur Bestimmung von Bewegungs-

gleichungen ab, das darin besteht, die kinetische Energie und die potenzielle

Energie des Gesamtsystems aufzuschreiben, nach der Zeit abzuleiten und gleichNull zu setzen.

Beispiel Vollzylinder am Abhang

α

φ

x

g m

Θ

E =1

2m x2 +

1

2Θφ2

U = −mgx sinα

E + U = m xx + Θφφ−mgx sin α

Kinematik

x = rφ → x = rφ

E + U = (mr2 φ + Θφ−mgr sinα)φ!= 0

Die letzte Gleichung kann fur beliebige φ nur erfullt werden, wenn der

Klammerausdruck verschwindet.

(mr2 + Θ)φ = mgr sin α → φ =1

1 + Θmr2

g

rsin α

Beispiel Massen-Rollen-System mit Feder

Eine Punktmasse m hangt im Schwerefeld an einem dehnstarren, biege-

schlaffen Seil, dass uber eine zylindrische Rolle Θ = 12mR2 fuhrt und an

147


einer Feder (Steifigkeit c) festgemacht ist. Gesucht ist die Bewegungsglei-chung.

m

c

x

R

m

φKinematik

φ =x

r→ φ =

x

rkin. Energie

E =1

2(m x2 + Θφ2)

pot. Energie

U = −mgx +1

2c x2

E + U = mxx + Θφφ−mgx + cxx!= 0

=

((m +

1

2m)x−mg + cx

)x = 0

→ 3

2mx + cx = mg

6.4. Drehung des Koordinatensystems,Mohrscher Kreis

Manchmal ist die Drehachse nicht identisch mit einer Symmetrieachse des Korpers,

die man benutzt, um Massentragheitsmomente einfach zu bestimmen. Was dann

notwendig ist, ist eine Umrechnung in ein anders orientiertes Koordinatensy-stem. Diese Operation nennt man eine Koordinatentransformation.

αy

yx

x x y

y x

x

y

x

α

x

α

αα

148

6.4. Drehung des Koordinatensystems, Mohrscher Kreis

Den notwendigen Zusammenhang zwischen den zwei Koordinatensystemen kannman an den Komponenten ein und desselben Vektors x = (x, y) = (x, y) able-

sen.

x = x cos α + y sin α y = −x sinα + y cosα

Mit diesen Substitutionen wird aus dem Integral, das man zur z.B. Berechnungdes Massentragheitsmomentes Θxx ausrechnen musste:∫∫∫

m

(y2 + z2) dm =

∫∫∫

m

(x2 sin2 α− 2xy sin α cosα + y2 cos2 α + z2) dm

Mit sin2 α = 12 (1− cos 2α), cos2 α = 1

2 (1 + cos 2α) und 2 sinα cosα = sin 2α:

Θxx =

∫∫∫

m

(1

2x2(1− cos 2α)− xy sin 2α +

1

2y2(1 + cos 2α) + z2

)dm

Die rechte Seite wird etwas umsortiert und mit einer Null in Form 12z2 cos 2α−

12z2 cos 2α erweitert. Das ergibt

Θxx =

∫∫∫

m

(1

2(x2 + z2) +

1

2(y2 + z2)

+1

2(y2 + z2) cos 2α− 1

2(x2 + z2) cos 2α

− xy sin 2α)

dm

=1

2(Θxx + Θyy) +

1

2(Θxx −Θyy) cos 2α + Θxy sin 2α

entsprechend den Definitionen der Massentragheitsmomente bezuglich (x, y, z).

Eine entsprechende Rechnung wird fur Θyy durchgefuhrt.

Θyy =

∫∫∫

m

(x2 + z2) dm

=

∫∫∫

m

(x2 cos2 α + 2xy sin α cosα + y2 sin2 α + z2

)dm

=

∫∫∫

m

(1

2(x2 + z2) +

1

2(y2 + z2)

− 1

2(y2 + z2) cos 2α +

1

2(x2 + z2) cos 2α

+ xy sin 2α)

dm

=1

2(Θxx + Θyy)−

1

2(Θxx −Θyy) cos 2α−Θxy sin 2α

149


Als letztes bleibt das Deviationsmoment.

Θxy = −∫∫∫

m

xy dm

= −∫∫∫

m

((y2 − x2) sin α cosα + xy(cos2 α− sin2 α)

)dm

Auch hier hilft eine Null in Form von z2−z2 und die trigonometrische Beziehung

cos2 α− sin2 α = cos 2α. (Vergleiche Kap. A.1.2.)

Θxy = −1

2(Θxx −Θyy) sin 2α + Θxy cos 2α

Damit sind die Transformationsformeln fur Massentragheitsmomente bei Dre-

hung des Koordinatensystems um die z-Achse vollstandig (Drehwinkel α).

Θxx = 12(Θxx + Θyy) + 1

2(Θxx −Θyy) cos 2α + Θxy sin 2α

Θyy = 12(Θxx + Θyy)− 1

2(Θxx −Θyy) cos 2α−Θxy sin 2α

Θxy = −12(Θxx −Θyy) sin 2α + Θxy cos 2α

(6.21)

Geometrische Analogie von Mohr Die Transformationsgleichungen entspre-chen einer parametrischen Kreisdarstellung der Form

x = x(α) = xM + R cos(Φ− 2α) y = y(α) = R sin(Φ− 2α)

Und zwar in einem Koordinatensystem, entlang dessen Abszisse x die Massen-

tragheitsmomente und als Ordinate y das Deviationsmomente aufgetragen wer-

den. Parameter ist der doppelte Transformationswinkel α. Das ist nicht gleichersichtlich, aber einfach beweisbar, wenn man sich der Substitutionen

ΘM =1

2(Θxx + Θyy) , R cosΦ =

1

2(Θxx −Θyy) und R sin Φ = Θxy

bedient. Damit wechseln die Transformationsgleichungen ihr Aussehen.

Θxx = ΘM + R cosΦ cos 2α + R sin Φ sin 2α = ΘM + R cos(Φ− 2α)

Θyy = ΘM −R cosΦ cos 2α−R sin Φ sin 2α = ΘM −R cos(Φ− 2α)

Θxy = −R cosΦ sin 2α + R sin Φ cos 2α = R sin(Φ− 2α)

150

6.4. Drehung des Koordinatensystems, Mohrscher Kreis

Die Großen R ind Φ folgen direkt den Substitutionen, z.B. wenn man den Quo-tienten bildet.

tan Φ =2Θxy

Θxx −Θyy,

Und aus der Summe der Quadrate folgt:

R2(cos2 2α + sin2 2α) = R2 =1

4(Θxx −Θyy)2 + Θ2

xy

→ R =1

2

√(Θxx −Θyy)2 + 4Θ2

xy

Θ1Θxx

Θyy

Θxx

Θyy

Θ2

ΘM

R

Φ

Θxy

Θxy

2α

Dieser sogenannte MOHRsche Kreis ist ei-

ne graphische Analogie der Transforma-

tionsgleichungen und hatte in fruherenZeiten eine Bedeutung als graphisches

Losungsverfahren, die heute verloren ge-

gangen ist.

Hier soll er nur zu drei Schlussfolgerun-

gen dienen.

• Es gibt eine Orientierung des Koordinatensystems, in der das Deviations-

moment verschwindet, und zwar bei 2α = Φ.

• Wenn das Deviationsmoment verschwindet, nehmen die beiden Massen-

tragheitsmomente Extremwerte an, und zwar Θ1/2 = ΘM ±R. Diese Wer-

te nennt man Hauptmassentragheitsmomente und die Koordinatenrich-tungen, die dazu gehoren, heißen Hauptachsen. Symmetrieachsen (Schnitt-

linien von Symmetrieebenen) sind immer Hauptachsen.

• Das Deviationsmoment nimmt Maximalwerte an fur Richtungen, die um

45 gegen die Hauptachsen verdreht sind.

Der Transformationswinkel αmax, unter dem das Deviationsmoment verschwin-

det, folgt rechnerisch aus (6.21c).

0 = −1

2(Θxx −Θyy) sin 2αmax + Θxy cos 2αmax → tan 2αmax =

2Θxy

Θxx −Θyy

bzw.

αmax =1

2arctan

2Θxy

Θxx −Θyy(6.22)

151


Die Extremalwerte fur die Massentragheitsmomente findet man uber die Ablei-tung der Transformationsgleichungen, z.B. (6.21a), nach ihrer Variablen α. Die

Ableitung muss Null sein.

dΘxx

dα= −(Θxx −Θyy) sin 2α + 2Θxy cos 2α

!= 0

Das ist aber nichts anderes als die vorletzte Gleichung und bestatigt die Aus-

sage: Die Hauptmassentragheitsmomente liegen da, wo das Deviationsmoment

verschwindet.

Ihre Werte ergeben sich (s.o.) als:

Θ1,2 = ΘM ±R =1

2(Θxx + Θyy)±

√1


xy (6.23)

Wie schon angedeutet, gibt es auch eine Richtung αxy, in der das Deviations-moment maximal wird. Die ergibt sich rechnerisch durch

dΘxy

dαxy= −(Θxx −Θyy) cos 2αxy − 2Θxy sin 2αxy

!= 0

→ − 2Θxy

Θxx −Θyy︸︷︷︸tan 2αmax s.o.

= cot 2αxy = tan(2αxy +π

2)

Diese Richtung liegt offenbar um π/4 = 45 zur zu den Hauptachsen verdreht,

wie man schon aus dem Mohrschen Kreis sehen konnte. Das maximale Deviati-

onsmoment ist

Θmaxxy = R =

√1

4(Θxx −Θyy)2 + Θxy

Beispiel Hauptachsen bei fehlender Symmetrie

Die Massentragheitsmatrix eines Korpers, gemessen in einem Koordina-

tensystem (x, y, z), weist ein Deviationsmoment Θxy auf.

Θ =

300 120 0120 120 00 0 300

kgm2

Um welchen Winkel αmax muss ein zweites Koordinatensystem (x, y, z)gegen das (x, y, z)-System gedreht sein, damit es Hauptachsensystem ist?

152

Beispiel Hauptachsen bei fehlender Symmetrie

Wie groß sind die Hauptmassentragheitsmomente? Wie groß ware dasgroßte Deviationsmoment und unter welchem Winkel wurde man es fin-

den?

αmax =1

2arctan

2Θxy

Θxx −Θyy=

1

2arctan

240

180= 26.57

Θ1 = ΘM + R

ΘM =Θxx + Θyy

2= 210 kgm2

R =

√1


xy =√

22500 = 150 kgm2

= 360 kgm2

Θ2 = ΘM −R = 60 kgm2

Θmaxxy = R = 150, αxy = αmax + 45 = 71.57

→ ΘHauptachsen =

360 0 00 60 00 0 300

kgm2

153


154

7. Spannung, Dehnung,Stoffgesetz

Die gedankliche Anwendung des Schnittprinzips auf einen beliebigen Korper

muss die Tatsache berucksichtigen, dass jeder Punkt (s.u.) der einen Schnitt-flache eine Kraftwirkung auf den entsprechenden Punkt der gegenuberliegen-

den Schnittflache hat.

t(r)

x

ztx

ty

tz

r

y

t(r)

Entlang der ganzen Schnittflache wirkt demnach eine flachenhaft verteilte Kraft

t(r), deren Betrag und Richtung von Ort zu Ort eine andere sein kann, und

deren Einheit KraftFlache

ist. Als eine solche Einheit ist das Pascal (Pa) definiert.

1 Pa = 1N

m2

Fur den Maschinenbau ist diese Einheit etwas klein, man benutzt das 106-facheoder sogar das 109-fache:

1 MPa = 106 N

m2= 1

N

mm2, 1 GPa = 109 N

mm2= 1000 MPa

Es gibt auch noch andere, teils altere Moglichkeiten, z.B. Kp/cm2 , teils auslandi-

sche: psi (pound per square inch). Hydraulischer oder pneumatische Druck, der

155

7. Spannung, Dehnung, Stoffgesetz

in seiner Wirkung auf eine Oberflache wie eine flachenhaft verteilte Last ist, nurdass die Richtung immer senkrecht zur Oberflache steht, wird in bar angegeben

1 bar = 105 Pa = 0.1 MPa

Die vorangestellten Uberlegungen sind ganz plausibel, solange man nicht uber

den Begriff Punkt stolpert, der gleich in der zweiten Zeile (s.o.) benutzt wird.

Der ’Punkt’ im oben verwendeten Sinne ist ein Teil der Schnittflache. Mit funfweiteren Schnitten (vier drum herum und einen unten her) konnte man sich

ein quaderformiges Volumen herausstechen, das zu dem ’Punkt’ gehort.

z

x y

dydx

dz

Bei naherer Betrachtung sieht dieses Volumen sehr heterogen aus. Es mag Korn-

grenzen, Einschlusse und gar Locher enthalten, sodass man annehmen muss,dass die Verteilung der Kraftwirkungen auf der Oberflache mehr oder weni-

ger chaotisch ist. Wie auch immer: Die Verteilung hat per Definition auf jederder sechs Flachen eine resultierende Kraft und ein resultierendes Moment. Die

oben erwahnte flachenhaft verteilt wirkende Kraft t ist eine gemittelte Große,

namlich die resultierende Kraft, bezogen auf die Große der jeweiligen Flache.

Das resultierende Moment um den Mittelpunkt der Flache konnte man im Sinne

einer genaueren Modellierung der Verhaltnisse gleichfalls auf die Flache bezie-hen, lasst es aber bleiben und vernachlassigt die Momente – das einfachere

Modell birgt genug Schwierigkeiten, ist aber auch fur die meisten Probleme

vollkommen ausreichend. (Diese Vernachlassigung ist gleichbedeutend mit derAussage, dass die resultierenden Krafte im Flachenmittelpunkt angreifen.)

Die Beschrankung auf gemittelte Kraftwirkungen kann man auch interpretieren

als den Austausch des realen Materials durch ein gedachtes Material mit homo-

genen und kontinuierlichen Eigenschaften, das dann nur noch glatt verlaufendeKraftwirkungen kennt, eben die am realen Material gemittelten.

Einen Korper aus dem gedachten homogenen Material nennt man deshalb auch

ein Kontinuum. Die Beschrankung auf die Kontinuumsmechanik erlaubt keine

156

7.1. Der Begriff der Spannung

Aussagen uber Kraftwirkungen auf der Mikroskala, z.B. an Korngrenzen undEinschlussen: Die sind im Homogenisierungsprozess verloren gegangen.


Bezuglich eines gegebenen kartesischen Koordinatensystems (x, y, z) ist es unbe-nommen, die flachenhaft verteilte gemittelte Schnittkraft t(r) in Komponenten

zu zerlegen.

t(r) =

txtytz

In dem Fall, dass der Schnitt nicht ganz beliebig gefuhrt wird, sondern senkrecht

zu einer Koordinatenrichtung verlauft (d.h. der Normalenvektor der Schnitt-flache zeigt in Richtung einer Koordinate), zeigt eine Komponente von t in Rich-

tung der Flachennormalen und die beiden anderen liegen senkrecht zueinander

in der Flache. In diesem Fall nennt man die Komponenten von t”Spannungen“,

genauer gesagt Normal- und Schubspannungen. Ein gelaufiges Symbol zu ihrer

Bezeichnung ist der griechische Buchstabe σ.

Da die Nennung von Spannungen nur Sinn ergibt, wenn man ihre Wirkrich-

tung und die Orientierung der zugehorigen Schnittflache kennt, werden dieseGroßen mit zwei Indizes versehen. Ein Index gibt die Richtung der Flachennor-

malen an, der andere die Wirkrichtung der Kraftkomponente.

t|Schnitt ⊥x =

σxx

σxy

σxz

t|Schnitt ⊥y =

σyx

σyy

σyz

t|Schnitt ⊥z =

σzx

σzy

σzz

Da keine Koordinatenrichtung einen Vorzug vor einer anderen hat, gibt man

den vollstandigen”Spannungszustand“ als eine geordnete Matrix fur alle drei

Schnittmoglichkeiten auf einmal an.

σ =

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

157


Spannungszustande sind im Allgemeinen ortsabhangig.

σ = σ(r)

Wenn sie ortlich konstant sind, d.h. wenn sich die Komponenten nicht mit demOrt andern, nennt man sie homogen.

7.1.1. Symmetrie - Gleichgewichtsbedingungen

Einen materiellen Punkt eines Korpers kann man sich, wie oben beschrieben,

als einen infinitesimal kleinen Quader mit den Kantenlangen dx, dy und dzvorstellen. Dieser Quader hat jeweils zwei Schnittflachen senkrecht zu einer

Koordinatenrichtung; davon ist eine nach der ublichen Konvention das positive,das andere das negative Schnittufer, an dem die resultierenden Schnittkrafte

jeweils in positiver und negativer Richtung anzutragen sind.

ydx

Ryy

Ryx

Ryz

x

z

dy

Rzy + dRzy

Rzz + dRzz

dz Rxy + dRxz

Rxz + dRxz

Rxx + dRxx

Rzx + dRzx

Am nicht sichtbaren Schnittufer jeweils umgekehrt

Da man nur im Sonderfall davon ausgehen kann, dass die Schnittkrafte an zwei

gegenuberliegenden Schnittufern gleich groß sind, wird im Folgenden ange-

nommen, dass sich die Großen am positiven Ufer jeweils um einen ZuwachsdRij von denen am negativen Ufer unterscheiden.

Die Schnittkrafte Rij sind die Resultierenden aus den flachenhaft verteilt an-

greifenden Kraftwirkungen auf den jeweiligen Schnittflachen, die man aus den

158


homogenisierten Spannungen zuruckrechnen kann. Im Einzelnen:

Rxx = σxx dy dz Rxy = σxy dy dz Rxz = σxz dy dzRyx = σyx dx dz Ryy = σyy dx dz Ryz = σyz dx dzRzx = σzx dx dy Rzy = σzy dx dy Rzz = σzz dx dy

(7.1)

Der gedanklich herausgetrennte Quader ist im deformierten Korper in Ruhe.Er bewegt sich nicht relativ zum Korper. Also muss er nach dem Heraustren-

nen mit allen Schnittreaktionen im Gleichgewicht sein. D.h. unter anderem:

Das resultierende Moment um eine beliebige Kante (z.B. A, s. Skizze) muss ver-schwinden.

Kx = kx dx dy dz

Ky = ky dx dy dz

Rxx

Rxy

Ryx

dx

dy

A

Ryy

Rxy + dRxy

Ryx + dRyx

Ryy + dRyy

dRzy

dRzxyx

Rxx + dRxx

Oberflachenkrafte Volumenkrafte

Ky

Kx

(Fur die Flachen ⊥ z sind nur die Differenzen dRzi eingezeichnet)

∑MzA = 0 = −(Ryx + dRyx) dy + (Rxy + dRxy) dx

+(Ryy + dRyy −Ryy + dRzy + ky dx dy dz)dx

2

−(Rxx + dRxx −Rxx + dRzx + kx dx dy dz)dy

2

Die Produkte infinitesimaler Großen (z.B. dRyx dy) sind vernachlassigbar.

0 = −Ryx dy + Rxy dx + ky dx dy dzdx

2− kx dx dy dz

dy

2159


Die Resultierenden lassen sich aus den Spannungen zuruckrechnen (7.1):

0 = −σyx dx dy dz + σxy dx dy dz + ky dx dy dzdx

2− kx dx dy dz

dy

2

=(− σyx + σxy + ky

dx

2︸︷︷︸≈0

− kxdy

2︸︷︷︸≈0

)dx dy dz → σxy = σyx

Fur die anderen Achsen gilt ein Gleiches, also σxy = σyx und σzy = σyz . Der

Spannungszustand ist demnach symmetrisch. Das reduziert die Großen eines zubestimmenden Spannungszustandes von 9 auf 6, was den Aufwand erheblich

verringert.

Beim Gleichgewicht der Krafte bleibt eine Differenzialbeziehung ubrig, da die die

endlichen Großen herausfallen. Z.B. in x-Richtung:

∑Fix = 0 = (Rxx + dRxx)− Rxx + (Ryx + dRyx)−Ryx

+ (Rzx + dRzx)−Rzx + kx dx dy dz

= dRxx + dRyx + dRzx + kx dx dy dz

= dσxx dy dz + dσxy dx dz + dσxz dx dy + kx dx dy dz

0 =( dσxx

dx+

dσxy

dy+

dσxz

dz+ kx

)dx dy dz

Den Klammerinhalt in der letzte Gleichung nennt man eine Gleichgewichtsbe-

dingung. Aus dem Kraftegleichgewicht in den anderen Koordinatenrichtungenfolgen entsprechende Bedingungen. Alle zusammen lauten demnach mit den

mathematisch richtigen Symbolen, denn die einzelnen Terme sind nichts ande-res als partielle Ableitungen:

∂σxx∂x

+∂σxy

∂y+ ∂σxz

∂z+ kx = 0

∂σyx

∂x+

∂σyy

∂y+

∂σyz

∂z+ ky = 0

∂σzx∂x

+∂σzy

∂y+ ∂σzz

∂z+ kz = 0

(7.2)

Die Gleichgewichtsbedingung muss von jedem Spannungszustand in Korpern

unter Belastung erfullt werden. Bei den einfachen Geometrien der ’TechnischenMechanik’ ist das meistens so offensichtlich, dass es nur in seltenen Fallen uber-

pruft werden muss.

160


7.1.2. Spannungstransformation

Bei einem beliebigen Korper gibt es keine Konvention uber die Orientierung

des Koordinatensystems, wie es bei Staben und Balken ublich ist. Es kann be-

liebig eingefuhrt werden. Andererseits hangen die Spannungen in Betrag undWirkung vom gewahlten Koordinatensystem ab: Dreht man das Koordinatensy-

stem, drehen sich die Schnittebenen mit, und die Spannungen nehmen andere

Werte an.

Um heraus zu finden, welche, wird ein Prisma betrachtet, dessen Hohe dz ist,und von dem zwei Seiten senkrecht zu der x- und y-Achse eines Koordinaten-

systems (x, y) stehen. Die dritte Seite steht senkrecht zur x-Achse eines um den

Winkel α verdrehten Koordinatensystems (x, y).

x

x

Ryy

Ryx

RxyRxy

Rxx

y

dy

dx

Rxx

y

α

dy

Rxx = σxx dy dz, Rxx = σxx dy dz

Rxy = σxy dy dz, Rxy = σxy dy dz

Ryy = σyy dx dz, cosα =dydy

Ryx = σyx dx dz, sin α = dxdy

∑Fix : Rxx = Ryx cosα + Ryy sin α + Rxy sin α + Rxx cosα

→ σxx dy dz = σxx dy dz cosα+σyy dx dz sin α+σxy( dy dz sinα+ dx dz cosα)

σxx = σxxdy

dycosα + σyy

dx

dysin α + σxy(

dy

dysinα +

dx

dycosα)

σxx = σxx cos2 α + σyy sin2 α + σxy2 sinα cosα (7.3)

∑Fiy : Rxy = −Ryx sin α + Ryy cosα + Rxy cosα−Rxx sin α

→ σxy dy dz = −σxx dy dz sin α+σyy dx dz cosα+σxy( dy dz cosα− dx dz sin α)

σxy = −σxxdy

dysin α + σyy

dx

dycosα + σxy(

dy

dycosα− dx

dysinα)

161


σxy = (σyy − σxx) sin α cosα + σxy(cos2 α− sin2 α) (7.4)

Das ebenfalls gesuchte Ergebnis fur σyy erhalt man aus dem Ergebnis fur σxx

(7.3), wenn statt um α um α + π/2 dreht. Dann stimmt die x-Richtung mit yvon vorhin uberein, d.h. man tauscht im Ergebnis (7.3) die Symbole x gegen oyund beachtet die Zusammenhange zwischen Sinus und Kosinus.

σyy = σxx cos2(α +π

2) + σyy sin2(α +

π

2) + σxy2 sin(α +

π

2) cos(α +

π

2)

mit sin(α +π

2) = cosα und cos(α +

π

2) = − sinα

σyy = σxx sin2 α + σyy cos2 α− σxy2 sinα cosα (7.5)

Obwohl physikalisch etwas vollkommen anderes beschrieben wurde, kommen

dieselben Transformationsgleichungen heraus wie bei den Massentragheitsmo-menten, vgl. (6.21). Um auf die endgultige Form zu kommen, werden einige

Aussagen der Additionstheoreme benutzt, z.B.:

2 sin α cosα = sin 2α, cos2 α =1

2(1 + cos 2α) und sin2 α =

1

2(1− cos 2α)

Mit diesen Aussagen formen sich die Transformationsgleichungen (7.3, 7.4)

und (7.5) um.

σxx = 12(σxx + σyy) + 1

2(σxx − σyy) cos 2α + σxy sin 2α

σyy = 12(σxx + σyy)− 1

2(σxx − σyy) cos 2α− σxy sin 2α

σxy = −12(σxx − σyy) sin 2α + σxy cos 2α

(7.6)

Die Uberlegungen zum Mohrschen Kreis wiederholen sich, nur spricht man hiervon Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen. An die Stelle des De-

viationsmomentes tritt die Schubspannung. Die Schlussfolgerungen bleiben diegleichen:

• Es gibt eine Orientierung des Koordinatensystems, in der die Schubspan-

nung verschwindet.

162

Beispiel Dunnwandiges Rohr unter Innendruck, die ’Kesselformeln’

• Wenn die Schubspannung verschwindet, nehmen die NormalspannungenExtremwerte an, und zwar σM ±R.

σM =1

2(σxx + σyy), R =

1

2

√(σxx − σyy)2 + 4σ2

xy

• Die Schubspannung nimmt Maximalwerte an fur Richtungen, die um 45

gegen die Hauptspannungsrichtung verschoben sind.

Einzige Neuheit: Spannungen konnen auch negative Werte annehmen, aber das

macht keinen Unterschied.

Beispiel Dunnwandiges Rohr unterInnendruck, die ’Kesselformeln’

Ein an den Enden geschlossenes Rohr (Radius R, Wandstarke t und Langel ist durch den Innendruck p belastet. (Fur Rohre eignet sich ein Zylinder-

koordinatensystem (r, φ, z).)

Durch intelligent gefuhrte Schnitte sieht man von den Spannungen in derRohrwand jeweils nur eine Normalspannung.

zp

σzz

σzz

p

σφφ σφφ

rφ

Die dritte Normalspannung σrr wird wegen der Dunnwandigkeit igno-

riert, obwohl sie auf der Innenseite gleich −p sein musste. Aber außen istsie Null und klingt von innen nach außen schnell ab.

Schubspannungen existieren auch keine, weil das Material keine scheren-den Krafte tragen muss. Das Rohr dehnt sich, aber es behalt im Prinzip

seine Form.

Aus dem Gleichgewicht der Schnittkrafte folgt:

σzz 2πRt = pπR2 und 2σφφlt = p2Rl

163


D.h. der Spannungszustand in der Rohrwand ist:

σ =

0Rt p

R2tp

Das ist ein Hauptspannungszustand, in dem die Spannung in Umfangs-richtung ist immer doppelt so groß wie in tangentialer Richtung. D.h. die

Koordinatenrichtungen sind die Hauptrichtungen.

7.2. Der Spannungsnachweis

Eine alte Erkenntnis im Ingenieurwesen ist, dass Strukturen nicht deshalb ver-

sagen, weil die Belastung insgesamt zu hoch ist, sondern weil an irgendeinerStelle das Material versagt, weil dort die lokale Anstrengung, namlich der Span-

nungszustand, zu große Werte annimmt. Dabei kann die Zeit eine Rolle spielen

(Ermudung, Abnutzung, Rost), muss aber nicht. Ein Ding kann auch nagelneukaputt gehen.

Lokale Schaden mussen nicht unbedingt katastrophale Folgen haben. Es kann

sein, dass die Nachbarschaft der zerstorten Stelle, die vorher weniger belastet

war, eine Mehrbelastung ohne Weiteres verkraftet. Z.B. reißt Beton schon beimFestwerden, weil sein Volumen ein paar Prozent schrumpft. Dann ubernehmen

die Bewehrungseisen.

Bei nicht verstarkten homogenen Werkstoffen kann man sich nicht darauf ver-

lassen. Da wachst ein Riss solange, wie Krafte da sind, die ihn antreiben. Des-halb muss fur alle Konstruktionen ein Spannungsnachweis gefuhrt werden. D.h.

man sucht die Stellen, die unter den geplanten oder anzunehmenden Belastun-

gen am hochsten beansprucht sind, und bestimmt dort die Spannungen, wiez.B. im vorangegangenen Beispiel.

Danach ist es eine Frage der Werkstoffeigenschaften: Je nachdem, aus welchemMaterial das Rohr besteht, versagt es mit einem Riss senkrecht zur großten Zug-

spannung, im Beispiel σφφ (Sprodbruch), oder es gleitet entlang einer Linie mitmaximaler Schubspannung ab (duktiler Bruch). Das ware im Beispiel entlang

einer Schraubenlinie unter dem Winkel von 45.

164

7.2. Der Spannungsnachweis

Die Vorraussage einer Rissentstehung und -entwicklung ist ein riskantes Geschaft,weil der kleinste Kratzer an der Oberflache lokal einen hoheren und vielleicht

ganz anders orientierten Spannungszustand verursachen kann, als aus globa-

len Belastung zu erwarten war. Diesen Effekt nennt man Kerbwirkung. Mit derBestimmung von sogenannten Kerbfaktoren setzt sich die Konstruktionstechnik

aus einander.

Um das Problem in den Griff zu bekommen, gehen Konstrukteure im Allgemei-

nen so vor, dass sie aus einem komplizierten Spannungszustand eine sogenann-te Vergleichsspannung σv ausrechnen und diese mit Tabellenwerten vergleichen,

die es zu allen Konstruktionswerkstoffen gibt. Je nach Gefahrdungs- und Vor-

schriftenlage gehen noch Sicherheitsfaktoren in den Vergleich ein.

Die Vergleichsspannung kann z.B. fur sprode Werkstoffe die großte Zugspan-

nung sein (s.o.) oder der sogenannte Schubspannungshypothese (nach TRESCA,1864) folgen

σv = 2|τmax|

oder auch einer Berechnungsvorschrift, die aus der Plastizitatstheorie stammt:

σv =

√1

2

[(σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2

](7.7)

(Mathematisch gesehen ist die Berechnungsvorschrift die 2. Invariante des Span-nungsdeviators. Das ist der Spannungszustand befreit vom allseitigen Druck.

Herleitung s. Plastizitatstheorie.)

Die darin auftretenden Großen sind die Hauptspannungen des zu untersuchen-

den Spannungszustandes. Diese Vorschrift heißt nach ihrem kontinuumsmecha-nischen Hintergrund Gestaltsanderungsarbeitshypothese oder nach ihren Urhe-

bern HUBER-HENCKY- oder V.MISES-Hypothese.

Fur einen einfacheren Spannungszustand, der nur aus einer Normalspannung

und zwei Schubspannungen besteht (s. nachster Abschnitt)

σ =

σxx σxy σxz

0sym. 0

besteht der großere Teil der Arbeit darin, die Hauptspannungen zu bestimmen,

bevor man die großte Zugspannung oder die großte Schubspannung (Halfteder großten Normalspannungsdifferenz, s. Mohrscher Kreis) kennt, falls man

die entsprechenden Hypothesen benutzen will.

165


Im Fall der V.MISES-Hypothese vereinfacht sich diese zu:

σv =√

σ2xx + 3(σ2

xy + σ2xz) (7.8)

7.3. Einfache Geometrien (Balken, Stabe)

Im Allgemeinen ist der Spannungszustand bei zerklufteten Bauteilen eine schwie-rig, meist nur naherungsweise zu bestimmende Große. Bei einfachen Bauteilen

dagegen, z.B. bei schlanken Staben und Balken, kann man durch Schlussfolge-

rungen aus Krafterandbedingungen auf den Oberflachen die meisten Spannun-gen mit Null identifizieren oder zumindest vernachlassigen, weil sie vergleich-

bar klein sind, bzw. in kurzester Entfernung von der Krafteinleitung abklingen.

z

x

Ein Balken unter Streckenlast und Einzellasten kennt unter diesen Gesichts-

punkten nur eine Normalspannung σxx, auch wenn am oberen Rand (Schnitt-flache ⊥ z) entsprechend der Krafteinleitung durch die Streckenlast eine Nor-

malspannung σzz existieren musste. Am unteren Rand dagegen nicht. Mit dem

Argument des schnellen Abklingens wird diese Spannung wegdiskutiert. Furσyy gilt entsprechendes.

Uberhaupt gilt, dass keine Spannung existiert, der nicht eine Schnittlast als

resultierende Kraft oder resultierendes Moment gegenubersteht. Fur die sechs

Schnittgroßen eines raumlich belasteten Balkens gilt:

N =∫

Aσxx dA Mx =

∫A(y σxz − z σxy) dA

Qy =∫

Aσxy dA My =

∫A

z σxx dA

Qz =∫

Aσxz dA Mz = −

∫A

y σxx dA

(7.9)

166


S

z

y

σxy dA

σxz dA

S

σxx dA

x

z

dA

Damit bleiben im schlanken Stab oder Balken nur drei Spannungen ubrig.

σ =

σxx σxy σxz

0 0sym 0

Anmerkung: An dieser Stelle wird noch einmal darauf hingewiesen, dass das

kartesische Koordinatensystem, das der Beschreibung zugrunde liegt, seinen Ur-sprung in der Stab- oder Balkenachse hat (das ist die Linie aller Flachenschwer-

punkte) und dass die x-Koordinate in Richtung der Achse zeigt. Diese Konventi-

on wurde schon bei der Einfuhrung der Schnittgroßen getroffen. Sie gilt immernoch und soll weiterhin gelten.

Eine neue Große, die im Weiteren die Verformung des

Korpers beschreibt, ist das sogenannte Verschiebungs-feld. Das ist eine vektorwertige Funktion des Ortes

u(x) =(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)

),

die die Verschiebungen eines jeden Punktes x in Rich-

tung x, y und z beschreibt.

x u

7.3.1. Beobachtungen am Zugstab

Der einfachste Fall ist der gerade Zugstab, dessen einzige vorhandene Schnitt-große die Normalkraft ist.

Nur Normalkraft, aber keine Biegemomente, das leistet nur ein Spannungszu-

stand, der uber dem Querschnitt homogen ist, heißt gleichverteilt. Das reicht

167


aber nicht aus. Wenn man mochte, dass auch entlang des Stabes gleiche Verhalt-nisse herrschen, z.B. weil man die Beobachtungen gerne eindeutig den Ursa-

chen zuordnen will und nicht einem unbekannten Zusammenspiel von Ursa-

chen (z.B. Querschnittsverteilung und Kraft), dann muss der Stab uberall dengleichen Querschnitt in der gleichen Orientierung haben, also gerade sein.

An solchen Staben mit homogenem Spannungszustand lasst sich der Zusam-menhang zwischen Kraften und Verformungen ablesen. Dabei stellt man fest,

dass man die Lange eines Stabes nicht nur durch mechanische Belastung (Zug-kraft F ), sondern auch durch thermische Belastung (Temperaturanderung4θ)

andern kann. Dazu spater.

Man beobachtet zuerst einmal in isothermen Versuchen (4θ = 0), dass die

Langenanderung 4l von der Kraft F , der Lange l, dem Querschnitt A und vom

Material abhangt. Wenn eine der beteiligten Großen anders ist, dann ist beob-achtete Langenanderung 4l eine andere. Sie ist:

F

4ll

• proportional zur Kraft F

• proportional zur Lange l

• umgekehrt proportional zum Querschnitt A

(Dabei sind die Proportionalitatsfaktoren materialabhangig.)

Alle diese Beobachtungen konnen mit dem Ausdruck

4l ∼ F l

Abzw.

4l

l∼ F

A= σxx (7.10)

zusammengefasst werden. Die rechte Seite ist wegen der homogenen Span-nungsverteilung und des Zusammenhangs zwischen der Schnittgroße N (hier

= F ) und σxx, s. (7.9), als die Normalspannung σxx zu identifizieren. Die di-mensionslose Geometriegroße4l/l auf der linken Seite muss erst noch gedeu-

tet werden.

F

4lu(x)x

l Unter der Annahme, dass sich die Verformung

gleichmaßig uber der Stablange verteilt, d.h. dass

die Verschiebung u, die jeder Punkt eines Quer-schnitts an der Stelle x in Richtung x erfahrt, linear

in x ist, gilt formal: u(x) = a + bx.

Mit den Randbedingungen u(0) = 0 = a und u(l) = 4l = a + bl folgt der

168


Zusammenhang

u(x) =4l

lx ,

in dem der gesuchte Bruch aus der linken Seite der Proportionalitat (7.10) auf-

taucht. Er bleibt ubrig, wenn die Ableitung der Verschiebung u nach der Koor-

dinate x gebildet wird,

u′(x) =4l

l= konst ,

die in diesem Fall konstant ist. Fur diese Ableitung wird die Bezeichnung Verzer-

rung und das Symbol εxx eingefuhrt. (Der doppelte Index xx ist hier eigentlich

noch uberflussig, weil es nur die eine Richtung x gibt. Er bedeutet: die Verschie-bung in Richtung x wird nach der Koordinate x abgeleitet.)

εxx =du

dxbzw. εxx =

∂u

∂x, wenn u = u(x, y, z) (7.11)

Um aus der Proportionalitat (7.10) eine Gleichung zu machen, genugt die Bei-

fugung eines Proportionalitatsfaktors. Er konnte den Namen ’Nachgiebigkeit’

haben, bleibt aber unbenannt. Seinen Kehrwert allerdings nennt man den Ela-stizitatsmodul E.

εxx =1

Eσ ⇔ σ = Eε (7.12)

Im Elastizitatsmodul (kurz: der E-Modul) schlagt sich der Einfluss des Materials

nieder. Jedes elastische Material hat seinen eigenen E-Modul; z.B.

Material E [ GPa ] Material E [ GPa ]Diamant 1150 Silber 82Osmium 570 Gold 79Wolfram 415 Aluminium 60− 70

Beryllium 293 Zinn 55CFK 150− 300 Stahlbeton 40− 45Stahl 190− 210 Holz 9− 12

Kupfer 125 Blei 16Gusseisen 80− 130 Gummi 0.05

Bei den Versuchen, die, wie oben beschrieben, am Zugstab durchgefuhrt wer-

den, fallt noch ein zweites Phanomen auf: der Querschnitt nimmt ab, wenn

169


man den Stab reckt, und nimmt zu, wenn man ihn staucht. Genauer gesagt, je-de Abmessung d des Querschnitts nimmt proportional zur außeren Last ab oder

zu. Dabei ist die Anderung 4d bei sonst gleichen Verhaltnissen proportional zu

d.

Die Punkte eines Querschnitts verschieben sich also nicht nur in Langsrichtung

des Stabes, sondern auch quer dazu, so dass der Verschiebungsvektor u nichteine, sondern drei Komponenten hat.

u =

ux

uy

uz

=

u(x, y, z)v(x, y, z)w(x, y, z)

Die Tatsache, dass sich die Abmessungen des Querschnittes so gleichmaßig

andern, lasst den Schluss zu, dass beim Zugstab mit konstantem Querschnittdie Verschiebungen v und w linear in den Koordinaten y und z sind. D.h. die

Verzerrungen εyy und εzz, die man in analoger Weise zu εxx (7.11) bilden kann,sind konstant. Daruber hinaus stehen sie in einem festen Verhaltnis zur Langs-

verzerrung εxx.

εyy :=∂v

∂y= −νεxx (7.13)

und εzz :=∂w

∂z= −νεxx (7.14)

Der Proportionalitatsfaktor ν heißt Querkontraktionszahl oder Poissonzahl. Sie

ist materialabhangig und hat die Dimension 1.

Material ν Material νGummi 0.5 Kupfer 0.33

Blei 0.45 Nickel 0.32Gold 0.42 Stahl 0.28− 0.3Silber 0.38 Gusseisen 0.25− 0.28

Magnesium 0.35 Glas 0.23− 0.25Aluminium 0.33 Beton 0.17− 0.2

7.3.2. Einfluss der Temperatur

Wenn man einen Korper, z.B. den oben beschriebenen Zugstab, gleichmaßigerwarmt, dann bemerkt man eine allseitige Ausdehnung, die vollstandig ver-

schwindet, wenn der Korper seine Ausgangstemperatur wieder erreicht hat.

170

7.4. Der Verzerrungszustand – das Hook’sche Gesetz

Dabei sind alle Langenanderungen proportional zur Temperaturdifferenz 4θ,unerheblich, wie hoch oder tief die Ausgangstemperatur war. (Das ist allerdings

nur richtig, solange die Temperaturdifferenzen moderat bleiben gegenuber der

Schmelztemperatur. Großere Temperaturanderungen beeinflussen unter ande-rem den E-Modul, der hier als konstant vorausgesetzt wird.)

Abgesehen von der allseitigen Ausdehnung verandert der Korper seine Gestaltnicht: Ein z.B. an beliebiger Stelle auf der Oberflache markiertes Quadrat bleibt

ein Quadrat. D.h. das zugehorige Verschiebungsfeld ist ein sehr einfaches: Es istlinear im Ort und in der Temperaturdifferenz4θ:

u =

ux

uy

uz

=

u(x) = αx4θv(y) = αy4θw(z) = αz4θ

→ εxx = εyy = εzz = α4θ

Der Proportionalitatsfaktor α heißt Warmeausdehnungskoeffizient. Er ist mate-

rialabhangig und hat die Dimension 1/C .

Material α [ 10−6

C ] Material α [ 10−6

C ]Gummi 200.0 Gold 14.2

Blei 29.2 Nickel 13.0Magnesium 26.0 Stahl 11.5

Stahl, hochlegiert 20.0− 29.0 Beton 11.5Aluminium 23.8 Gusseisen 10.5

Kupfer 17.0 Glas 9.0Silber 19.7 Ni-Stahl (Invar) 1.0

Eine zweite Feststellung ist, dass man auf jedem Temperaturniveau dieselben

Beobachtung machen kann, die im vorangegangenen Abschnitt (isotherme Ver-suche) beschrieben wurden. D.h. die mechanischen, durch Krafte hervorgerufe-

nen Verformungen und die thermischen, durch Temperaturdifferenzen entste-

henden Verformungen sind additiv

ε = εmech + εtherm

7.4. Der Verzerrungszustand – das Hook’scheGesetz

Fur die experimentell gefundenen Ergebnisse ist es bei den meisten Werkstoffen

unerheblich, welche Orientierung das zugrunde gelegte Koordinatensystem hat.

171


Man kann aus einem Block Proben in beliebiger Richtung herausschneiden undfindet immer dieselben Phanomene. Eine solche Eigenschaft bezeichnet man als

isotrop. Ein Stoffgesetz, dass dieser Eigenschaft Rechnung tragen will, muss so

geartet sein, dass die Koordinatenrichtungen beliebig vertauschbar sind.

7.4.1. Normaldehnungen

Eine Formulierung, die alle bisher gefundenen Erkenntnisse beinhaltet und Ver-tauschbarkeit der Koordinaten zulasst ist:

εxx =1

E[σxx − νσyy − νσzz ] + α4θ (7.15)

εyy =1

E[σyy − νσzz − νσxx] + α4θ (7.16)

εzz =1

E[σzz − νσxx − νσyy] + α4θ (7.17)

Das ist ein Teil des sogenannten”Hook’schen Gesetzes“. Er verknupft die Normal-

spannungen mit den Normaldehnungen. Das sind die Verzerrungen, die aus den

Ableitungen der Verschiebungen in eine Koordinatenrichtung nach eben dieserKoordinatenrichtung hervorgehen.

Beispiel Aufgeheizte Spannschraube

4θ(x)

A l

x

Eine Schraube wird vom Kopf her aufgeheizt, dass eine lineares Tempera-

turfeld entsteht. Im heißen Zustand wird die Schraube angezogen bis derKopf Kontakt hat, aber noch nicht axial belastet ist. Welche Kraft herrscht

im Schaft, nachdem die Schraube wieder abgekuhlt ist?

172

Beispiel Warum ist es anfangs schwer, einen Ballon aufzublasen?

Einaxialer Spannungszustand: σyy = σzz = 0

Heiß: 4l = u(l), u(x) = u(0)︸︷︷︸0

+

x∫

0

u′(ξ) dξ =

x∫

0

ε(ξ) dξ

ε = εmech︸︷︷︸0

+εtherm = α4θ(x) = α4θ(l)

lx

→4l =

l∫

0

α4θ(l)

lx dx =

1

2α4θ(l)l

Kalt: F = σA, σ = Eε, ε =4l

l −4l≈ 4l

l=

1

2α4θ(l)

→ F =1

2EAα4θ(l)

In Zahlen (fur E = 210000 Nmm2 , α = 25 10−6

C , A = 10 mm2 ,

4θ(l) = 200 C ):

F =1

2210000

N

mm210 mm2 25

10−6

C200 C = 105 N

Beispiel Warum ist es anfangs schwer, einenBallon aufzublasen?

Eine dunnwandige Kugel (Anfangsradius r0) verandert unter Innendruck

p ihre Große.

(Da eine Folge von Verformungen betrachtet wird, ist es hier Unsinn, dasGleichgewicht am unverformten Korper zu betrachten. )

In der Ballonwand herrscht wegen der Kugelgestalt in allen tangentia-

len Richtungen dieselbe Spannung. Eine radiale Spannung ist wegen derDunnwandigkeit ausgeschlossen.

σ =

σσ

0

p

r

σ σ

173


Einen solchen Spannungszustand nennt man Membranspannungszustand.Die Große der Spannung σ kann man an einem Aquatorialschnitt ablesen

(vgl. Kesselformeln): 2πrtσ = πr2p → σ =r

2tp

Um nahe der Realitat von Luftballons zu bleiben, wird die Materialeigen-

schaft von Gummi ubernommen, sein Volumen nicht zu andern (ν = 0.5).

V = Ot = 4πr2t = 4πr20t0 → t =

r20

r2t0 → σ =

r3

2r20t0

p

In allen tangentialen Richtungen herrscht auch dieselbe Verzerrung, dieman z.B. aus der Umfangsanderung berechnen kann:

ε =4U

U0=

2π4r

2πr0=4r

r0

Zwischen den Verzerrungen und Spannungen gilt

ein Zusammenhang, der bei Gummi normalerweisenichtlinear ist, hier aber naherungsweise durch eine

Proportionalitat ersetzt wird:

σ = Eε im Zugversuch

Naherung

ε

σ

Membranspannungszustand:

ε =1

E(σ − νσ) =

1

2Eσ =

1

4E

r3

r20t0

p

Mit r = r0 +4r = r0(1 + ε)

→ p = 4Et0r0

ε

(1 + ε)3∼ ε

(1 + ε)3→

p

ε0 1

Bei gummitypischem unterlinearen Verlauf verschiebt sich das Maximumweiter nach links.

7.4.2. Scherdehnungen

Neben den bisher verwendeten Ableitungen (7.11,7.13,7.14), gibt es auch noch

andere. Genauer gesagt, sind es insgesamt neun, die ahnlich wie die Spannun-

174


gen in einer 3×3-Matrix angeordnet werden konnen, die man den Verzerrungs-zustand nennt. Um der Erkenntnis der Symmetrie des Spannungszustandes ent-

gegenzukommen, werden die Scherverzerrungen aus dem arithmetischen Mittel

der gemischten Ableitungen gebildet. Damit entsteht automatisch eine symme-trische Matrix.

ε =

εxx εxy εxz

εyy εyz

sym. εzz

=

∂u∂x

12 (∂u

∂y+ ∂v

∂x) 1

2 (∂u∂z

+ ∂w∂x

)

∂v∂y

12 (∂v

∂z+ ∂w

∂y)

sym. ∂w∂z

(7.18)

Aus weiteren Versuchen an Probenkorpern, die garantieren, dass nur Scherver-zerrungen auftreten, z.B. tordierte, dunnwandige Zylinder, gewinnt man die Er-

kenntnis, dass der Zusammenhang zwischen Schubspannungen und Scherdeh-

nungen, die im bisher bekannten Teil des Hook’schen Gesetzes nicht vorkommen,ebenfalls proportional und daruber hinaus sehr einfach ist.

εxy =1

2Gσxy ⇔ σxy = 2Gεxy (7.19)

εxz =1

2Gσxz ⇔ σxz = 2Gεxz (7.20)

εyz =1

2Gσyz ⇔ σyz = 2Gεyz (7.21)

Der Proportionalitatsfaktor G heißt Gleitmodul oder Schubmodul. Die Tatsache,dass er zusammen mit einer

”2“ auftritt, hangt mit dem arithmetischen Mittel

zusammen, das in der Definition der Scherdehnung auftritt. Der Schubmodul

hangt mit den bisher eingefuhrten Materialkonstanten E und ν zusammen.

2G =E

1 + ν

7.4.3. Andere Darstellungen

Manchmal ist es sinnvoll, das Stoffgesetz anders herum zu formulieren, alsoin der Lage zu sein, die Spannungen durch die Verzerrungen ausdrucken zu

konnen. Bei den Scherungen und Schubspannungen ist das einfach (s. (7.19) -(7.21)). Bei den Normalspannungen und -dehnungen gestaltet sich die Umfor-

mung etwas schwieriger.

175


Eν (7.15)+E(7.16)1+ν →

2G︷︸︸︷E

1 + ν(νεxx + εyy) = (1− ν)σyy − νσzz + Eα4θ (G1)

Eν (7.15)+E(7.17)1+ν → E

1 + ν(νεxx + εzz) = −νσyy + (1− ν)σzz + Eα4θ (G2)

ν (G1)+(1−ν)(G2)1−2ν

→ σzz =2G

1− 2ν

[νεxx + νεyy + (1− ν)εzz

]− E

1− 2να4θ

Im rechtsstehenden Term ist ein Bruch entstanden, der mit dem Kompressions-

modul verwandt ist.

3K =E

1− 2ν

Mit seiner Hilfe und einem leichten Umsortieren entsteht die Spannungs-Deh-

nungsbeziehung

σzz =2G

1− 2ν

[ν(εxx + εyy + εzz) + (1− 2ν)εzz

]− 3Kα4θ

= 2Gεzz +2Gν

1− 2ν︸︷︷︸λ

(εxx + εyy + εzz)− 3Kα4θ

Mit der Abkurzung λ ist eine weitere Elastizitatskonstante gefunden.

λ =2Gν

1− 2ν=

Eν

(1− 2ν)(1 + ν)

Wegen der Vertauschbarkeit der Koordinatenrichtungen gilt das Hergeleitete

auch fur die beiden anderen Richtungen. Das Ergebnis erhalt man durch Ver-tauschen der Indizes. Damit sieht das Elastizitatsgesetz wieder einfach aus:

σxx = 2Gεxx + λ(εxx + εyy + εzz)− 3Kα4θ

σyy = 2Gεyy + λ(εxx + εyy + εzz)− 3Kα4θ

σzz = 2Gεzz + λ(εxx + εyy + εzz)− 3Kα4θ

σxy = 2Gεxy

σxz = 2Gεxz

σzy = 2Gεzy

(7.22)

Es gibt noch eine andere Darstellungsform fur den Zusammenhang zwischen

Normalspannungen und Normaldehnungen. Sie wird hier nicht hergeleitet, son-

176


dern (fur isotherme Prozesse) nur angegeben. Sie kommt mit den zwei Elasti-zitatskonstanten Kompressionsmodul K und Gleitmodul G aus.

σxx = 3K

=:εm︷︸︸︷εxx + εyy + εzz

3+2G(

2

3εxx −

1

3εyy −

1

3εzz)

σyy = 3Kεm + 2G(2

3εyy −

1

3εzz −

1

3εxx)

σzz = 3Kεm + 2G(2

3εzz −

1

3εxx −

1

3εyy)

umgekehrt (7.23)

εxx =1

3K

=:σm︷︸︸︷σxx + σyy + σzz

3+

1

2G(2

3σxx −

1

3σyy −

1

3σzz)

εyy =1

3Kσm +

1

2G(2

3σyy −

1

3σzz −

1

3σxx)

εzz =1

3Kσm +

1

2G(2

3σzz −

1

3σxx −

1

3σyy)

Das Bestechende an dieser Form ist nicht nur die Sparsamkeit bei den Konstan-

ten, sondern auch die formale Gleichheit in beiden Darstellungen.

Die Tatsache, dass die Konstante K die mittlere Normaldehnung εm mit der mitt-

leren Normalspannung σm verknupft,

σm = 3Kεm

erklart im Nachhinein die Bezeichnung Kompressionsmodul: Ein Spannungszu-

stand namlich, der auf der Hauptdiagonalen mit gleichen Werten −p besetzt

ist und auf den Nebendiagonalen nur Nullen zeigt, entspricht einem allseitigenDruck (z.B. hydrostatischer Druck). Die oben definierte mittlere Normalspan-

nung ware in diesem Fall −p.

Andererseits ist die Volumenanderung 4V eines Quaders der Große V = blh,

dessen Seiten sich auf Grund eines homogenen Verzerrungszustands um dieWege 4b = bεxx, 4l = lεyy und 4h = hεzz verschieben,

4V

V=

(b +4b)(l +4l)(h +4h)− blh

blh= (1 +

4b

b)(1 +

4l

l)(1 +

4l

l)− 1

≈ 1 +4b

b+4l

l+4h

h+ . . .− 1 = εxx + εyy + εzz = 3εm

177


(Die fehlenden Terme sind bei kleinen Verzerrungen vernachlassigbar.) Aus

σm = 3Kεm wird − p = K4V

V

Der Kompressionsmodul K steht fur die Volumenanderungseigenschaften desMaterials gegenuber allseitigem Druck, wogegen der Gleitmodul G die volu-

mentreue Gestaltanderung regiert (Quader→ Parallelepiped, Kugel → Ellipso-

id).

7.5. Verzerrungstransformation

Die Transformationsgleichungen (7.6) fur die Spannungen transformieren auch

den Verzerrungszustand. Angenommen, ein Verschiebungsfeld

u =

u(x, y)v(x, y)

w

hat den ebenen Verzerrungszustand

ε =

εxx = ∂u∂x

εxy = 12 (∂u

∂y+ ∂v

∂x) 0

εyy = ∂v∂x

0

sym. 0

zur Folge. Wie sehen die Komponenten der Verzerrungszustandes in einem Ko-

ordinatensystem (x, y, z) aus, das um den Winkel α um die z-Achse verdrehtist?

Um das zu berechnen, muss der Zusammenhang zwischen den Koordinatenfestgelegt werden, und der Verschiebungsvektor u im uberstrichenen Koordina-

tensystem ausgedruckt werden.

y

y

u

x

x

α

x

x = x cosα− y sin α

y = x sinα + y cosα

u =

uvw

=

u cosα + v sin α−u sinα + v cosα

w

178

7.5. Verzerrungstransformation

Die Verzerrungen, bezogen auf das uberstrichene System, folgen aus der Defi-nition und der konsequenten Anwendung der Kettenregel.

εxx =∂u(x, y)

∂x=

∂u(x, y)

∂x

∂x

∂x+

∂u(x, y)

∂y

∂y

∂x

=

(∂u

∂xcosα +

∂v

∂xsin α

)cosα +

(∂u

∂ycosα +

∂v

∂ysin α

)sin α

= εxx cos2 α + εyy sin2 α + 2εxy sinα cosα

Die anderen Verzerrungen ergeben sich entsprechend: Verzerrungen transfor-

mieren sich wie Spannungen und Massentragheitsmomente.

Also verwandelt sich der Schubspannungszustand, der zur reinen Scherung

gehort, bei Drehung um 45 in einen Hauptspannungszustand. Dasgleiche ge-schieht mit den Verzerrungen.

τ

σ

0 σxy

σxy 00

45

−→

σ1 = σxy

σ2 = −σxy

0

0 εxy

εxy 00

45

−→

ε1 = εxy

ε2 = −εxy

0

Der Zusammenhang zwischen den Großen kommt aus dem Hook’schen Gesetz:

εxy =1

2Gσxy, ε1 =

1

E(σ1 − νσ2)

hier→ εxy =1 + ν

Eσxy

Damit ist der zuvor unbewiesene Zusammenhang zwischen E, G und ν nach-

gereicht.

179


Beispiel 90-45-0 DMS-Rosette

y

x

Mit einer DMS-Rosette werden in einem

Punkt einer Oberflache drei Normaldehnun-gen gemessen. Auf der Folie haben die einzel-

nen Messgitter die Orientierungen 0, 45 und

90.

Ein Messgitter misst jeweils nur die Normal-

dehnung in seiner Orientierungsrichtung, und

zwar:ε0 = 0.005, ε90 = −0.007, ε45 = 0.003

Wie sieht der vollstandige Dehnungszustand am Messpunkt aus? Wie groß

sind die Hauptdehnungen und ihre Orientierung.

Bekannt: εxx, εyy und εxx in einem um 45 gedrehten Koordinatensystem.Unbekannt ist εxy.

Es gelten die Transformationsformeln (fur α = 45):

εxx =1

2(εxx + εyy) +

1

2(εxx − εyy) cos 90 + εxy sin 90

→ εxy = εxx −1

2(εxx + εyy) = 0.003− 1

2(0.005− 0.007) = 0.002

ε1/2 =1

2(εxx + εyy)±

1

2

√(εxx − εyy)2 + 4ε2xy

= 10−3

(1

2(5− 7)± 1

2

√(5 + 7)2 + 4(2)2

)

→ ε1 = 0.0073, ε2 = −0.0053

φmax =1

2arctan

2εxy

εxx − εyy=

1

2arctan

2 · 25 + 7

= 9.2

180

8. Der Zugstab

Ein allgemeiner Zugstab ist zwar immer noch ein schlanker Korper mit gerader

Achse, bei ihm ist aber zugelassen, dass sich die Querschnittsflache andert. Dieeinzige vorhandene Schnittgroße ist die Normalkraft

N =

∫

A

σxx(x) dA

Wenn trotzdem die Hypothesen gelten sollen, die fur den prismatischen Zugstab

eingefuhrt wurden,

• keine anderen Spannungen

• alle Punkte ein ebener Querschnitt senkrecht zur Stabachse erfahren diegleiche Verschiebung u(x)

dann macht man bewusst einen Fehler, denn das stimmt nicht. Es kann sich hier

nur um eine Naherung, und nicht um eine exakte Losung handeln.

Die Annahme lautet

u =

u(x)v(y)w(z)

→ ε =

εxx = ∂u∂x

0 0

0 εyy = ∂v∂y

0

0 0 εzz = ∂w∂z

wobei εxx auch nur Funktion von x ist. Daraus folgt uber das Stoffgesetz (7.15)

ein homogener Spannungszustand

σxx(x) = Eεxx(x) → N =

∫

A

σxx dA = Eεxx A = EA∂u

∂x

Daraus ergibt sich eine Differenzialgleichung fur die Langsverschiebung u(x)

u′(x) =N(x)

EA(x)(8.1)

181

8. Der Zugstab

Zusammen mit einer fruher hergeleiteten Differenzialgleichung fur die Normal-kraft (3.21) entsteht eine weitere, die den Einfluss von Streckenlasten in Stab-

richtung berucksichtigt.

N ′(x) = −n(x)

(u′(x)EA(x))′ = −n(x)

u′′ +A′(x)

A(x)u′ = − n(x)

EA(x)(8.2)

8.1. Verformung von Fachwerken

Gerade Stabe, die nur durch Normalkrafte beansprucht werden, sind die soge-

nannten Pendelstutzen, aus denen idealisierte Fachwerke bestehen. Die Knotensolcher Fachwerke sind Gelenke, d.h. sie konnen keine Momente ubertragen.

Alle Lasten greifen laut Voraussetzung an den Knoten an.

Solche Fachwerke benutzte man fruher als Abbild furrealen Strukturen, die eventuell gar keine Fachwerke

waren. Der dargestellte Wurfel z.B. sollte Vollmaterial

darstellen: Er ist ein Volumenelement aus der Fruhzeitder Finiten-Element-Berechnungen und brauchte we-

niger Rechenzeit und Speicherplatz als ein ’richtiges’Element.

Heute haben solche Fachwerke keine große Bedeutung mehr. Tatsachliche Fach-

werkstrukturen im Leichtbau rechnet man mit biegesteifen Knoten und Staben,

die auch Momente ubertragen.

Hier dient das Fachwerk als Modell fur viele lineare Berechnungsverfahren der

Mechanik, die sich gut systematisieren lassen. Voraussetzung dafur ist, dass dieVerschiebungen klein sind, gemessen an den Abmessungen der beteiligten Kom-

ponenten.

l

4l

u

ul ≈ 4l

4l

ul 6=4l

l u

|u| l

1

2

x

182

8.1. Verformung von Fachwerken

Im rechts dargestellten Fall ist die Langenanderung 4l annahernd gleich derProjektion der Verschiebung u auf die Richtung von l, eine Operation, die ein-

fach zu berechnen ist, wenn beide Großen als Vektor gegeben sind.

ul = u · ex

Berechnungsverfahren Ein Stab l, dessen beide Enden 1 und 2 (Stabkordi-

nate x lauft von 1 nach 2) die Verschiebungen u1 und u2 erfahren, macht dieLangenanderung 4l ≈ (u2 − u1) · ex mit, was eine Verzerrung des Stabes von

ε = 4l/l bedeutet. Die Verzerrung fuhren uber das Stoffgesetz zu den Spannun-

gen, deren Integration uber den konstanten(!) Querschnitt A ergibt die Großeder Stabkraft.

S = Aσ = AEε =EA

l4l =

EA

l(u2 − u1) · ex

Am Knoten 1 wirkt die Stabkraft am positiven Schnittufer, also in Richtung von

ex; am Knoten 2 wirkt sie am negativen Schnittufer (−ex):

S1 = EAl

((u2 − u1) · ex

)ex

S2 = −EAl

((u2 − u1) · ex

)ex

(8.3)

Eigentlich hat der Einheitsvektor im verformten Zustand eine leicht andere

Richtung. Das wird aber ignoriert, bzw. die Gleichgewichtsbedingungen wer-den an der unverformten Struktur ausgewertet. (Das nennt man eine Theorie

1. Ordnung.)

Gemessen an einem ’globalen’ Koordinatensystem hat der ’lokale’ Einheitsvektor

ex die Komponenten (ex, ey, ez). Die Verschiebungen u2 und u1 kann man ent-

sprechend zerlegen: u2 = (u2x, u2y, u2z), u1 = (u1x, u1y, u1z). Fur die Stab-krafte gilt ein Gleiches. D.h., wenn man die Skalarprodukte in (8.3) ausfuhrt,

erhalt man 6 Gleichungen.

S1x =EA

l

[(u2x − u1x)e2

x + (u2y − u1y)eyex + (u2z − u1z)ezex

]

S1y =EA

l

[(u2x − u1x)exey + (u2y − u1y)e

2y + (u2z − u1z)ezey

]

S1z =EA

l

[(u2x − u1x)exez + (u2y − u1y)eyez + (u2z − u1z)e

2z

]

S2x = −EA

l

[(u2x − u1x)e2

x + (u2y − u1y)eyex + (u2z − u1z)ezex

]

183

8. Der Zugstab

S2y = −EA

l

[(u2x − u1x)exey + (u2y − u1y)e2

y + (u2z − u1z)ezey

]

S2z = −EA

l

[(u2x − u1x)exez + (u2y − u1y)eyez + (u2z − u1z)e

2z

]

Das Gleichungssystem wird etwas ubersichtlicher, wenn man es in Matrizen-

schreibweise umsortiert.

S1 =

S1x

S1y

S1z

=

EA

l︸︷︷︸k

e2x eyex ezex

exey e2y ezey

exez eyez e2z

︸︷︷︸T

u2x

u2y

u2z

︸︷︷︸u2

−kTu1

bzw.S2 = −kTu2 + kTu1 (8.4)

Der Vorfaktor k ist die Steifigkeit des Stabes, die Matrix T verwaltet die Orien-

tierung des lokalen zum globalen Koordinatensystem, und alles zusammen gibt

die Moglichkeit, die Kraftegleichgewichte an jedem Knoten des Fachwerks mitHilfe der gesuchten Knotenpunktsverschiebungen auszudrucken. Das Ergebnis

ist ein lineares Gleichungssystem fur die unbekannten Verschiebungen.

Beispiel Raumliches Dreibein

Ein Dreibein aus drei Staben ist an der Spitze durch eine Kraft F belastet.

Die Geometrie ist durch vier Punkte Pi (Ortsvektor ri) gegeben; P4 istdie Spitze. Die lokalen Koordinaten xi sollen auf P4 zu laufen, d.h. die

lokalen Verschiebungen u2i sind alle gleich der Verschiebung der Spitze

(u), die lokalen Verschiebungen u1i sind alle 0 (Auflager). Die relevanteStabkraft aus jedem Stab ist immer die vom lokalen Knoten 2, also S2i.

Die Summe der Krafte in P4 muss verschwinden.

S21 + S22 + S23 + F = 0 →( 3∑

i=1

kiT i

)

︸︷︷︸K

u = Ku = F

Die sogenannte ’Gesamtsteifigkeitsmatrix’ K ergibt sich hier zu:

K =

∑

kie2ix

∑kieixeiy

∑kieixeiz∑

kie2iy

∑kieiyeiz

sym.∑

kie2iz

184

Beispiel Raumliches Dreibein

Fur ein spezielles Dreibein mit Ei = E, Ai = A undr1 = (0, 0, 0), r2 = (a, 0, 0), r3 = (0, a, 0) und r4 = (0, 0, a)

ergibt sich:

i l l ex ey ez

1 (0, 0, a) a 0 0 1

2 (−a, 0, a)√

2a −1√2

0 1√2

3 (0,−a, a)√

2a 0 −1√2

1√2

i k e2x exey exez e2

y eyez e2z

1 EAa 0 0 0 0 0 1

2 EA√2a

12 0 −1

2 0 0 12

3 EA√2a

0 0 0 12

−12

12∑

k· EA2√

2a0 −EA

2√

2aEA

2√

2a−EA2√

2a(1 +

√2) EA√

2a

Damit ist K bekannt. Es bleibt noch, dass Gleichungssystem zu losen.

K︷︸︸︷EA

2√

2a

1 0 −10 1 −1

−1 −1 2 + 2√

2

u = F

Dazu bringt man die Matrix auf auf Dreiecksgestalt

1 0 −10 1 −1

0 0 2√

2

ux

uy

uz

=

2√

2a

EA

Fx

Fy

Fz + Fx + Fy

und lost die Unbekannten sukzessive auf:

uz =a

EA(Fx + Fy + Fz)

uy =2√

2a

EAFy + uz =

a

EA

(Fx + (2

√2 + 1)Fy − Fz

)

ux =2√

2a

EAFx + uz =

a

EA

((2√

2 + 1)Fx + Fy + Fz)

Diesen Losungsvorgang nennt man den Gaußschen Algorithmus.

185

8. Der Zugstab

Das vorgestellte Beispiel ist ein statisch bestimmtes Problem. Es hatte aber auch

keine Rolle gespielt, wenn ein weiterer Stab das System (als Vierbein) statischuberbestimmt gemacht hatte. Die Zahl der primaren Unbekannten (ux, uy, uz)andert sich nicht, nur die Summen in der Gesamtsteifigkeitsmatrix K habenjeweils einen Summanden mehr. Die Stabkrafte sind nur Nebenergebnisse, die

in eindeutiger Art und Weise aus dem Stoffgesetz, z.B. (8.4) folgen.

Das Verfahren hat nur zwei Grenzen. Zum einen darf die Struktur keine kinema-

tische beweglichen Teile enthalten (statische Unterbestimmtheit). Zum anderen

mussen die Verschiebungen tatsachlich klein bleiben, was z.B. bei dem folgen-den Beispiel (links) nicht gegeben ist.

F F

u

Das rechte Beispiel ist ein Sonderfall. Erstens ist es nicht zugelassen, weil es’im Kleinen’ instabil ist. Zweiten ist die Projektion der Verschiebung u des Kraft-

angriffspunktes auf die Stabrichtung immer 0, damit auch die Stabkrafte. Die

linearisierte Berechnung mit dem Gleichgewicht der Krafte am unverformtenSystem versagt hier.

186

9. Schiefe Biegung eines geradenBalkens

9.1. Bernoullikinematik

Ein schlanker Stab mit gerader Stabachse, der nicht nur, wie im vorangegange-nen Abschnitt, die Normalkraft N als einzige Schnittgroße kennt, sondern so

belastet ist, dass auch Biegemomente My und Mz auftreten, wird sich nicht nurentlang der Stabachse verformen, sondern auch Verschiebungen senkrecht zur

Stabachse erfahren. Um diesen Unterschied schon im Sprachgebrauch deutlich

zu machen, hat sich fur einen derart belasteten schlanken Korper der BegriffBiegebalken eingeburgert.

Uber das vermutlich kompliziertere Verschiebungsfeld eines Biegebalkens wer-den folgende vereinfachende Annahmen getroffen, die als BERNOULLI-Hypothesen

bekannt sind.

• Eine ebene Querschnittsflache, die senkrecht zur Stabachse steht, bleibt

eben und senkrecht zur Stabachse.

• Die Verschiebungen einer solchen Querschnittsflache senkrecht zu Stab-

achse sind fur alle Punkte gleich.

xz

α

β

w0

v0

v0

w0

dx

dw0

dv0y

z

yα

β

187

9. Schiefe Biegung eines geraden Balkens

Wenn ein besonderer Punkt der betrachteten Querschnittsflache, namlich derFlachenschwerpunkt P0, die Verschiebung

u0 =

u0(x)v0(x)w0(x)

erfahrt, dann sind die Verschiebungen v und w eines beliebigen anderen Punk-tes P desselben Querschnitts in Richtung y und z entsprechend der Annahme

genauso groß, also gleich v0 und w0.

Nur die Verschiebung u in Richtung der Stabachse x wird von den Abstanden ybzw. z des Punktes P vom Schwerpunkt P0 beeinflusst.

u(x, y, z) = u0(x) − sin α y − sin β z;

mit tan α =dv0

dx= v′0 , tan β =

dw0

dx= w′

0

Im Weiteren soll die Einschrankung gelten, dass die Neigungswinkel α und βklein sind, damit die obige Gleichung weiter vereinfacht werden kann. Damit

scheiden Probleme mit großen Verdrehungen der Stabachse aus (Autoanten-nen mit Fuchsschwanz, Angelruten). Die sind im Maschinenbau allerdings eher

selten.

α, β 1 : sinα = α = tan α, sinβ = β = tan β

u(x, y, z) =

u0(x) − α y − β zv0(x)w0(x)

=

u0 − v′0y − w′0z

v0

w0

(9.1)

9.2. Spannungs-Dehnungsbeziehungen

Aus diesem Verschiebungsfeld folgen mit (7.18) die Verzerrungen

ε =

u′0 − v′′0 y − w′′

0 z 12 (v′0 − v′0)

12 (w′

0 − w′0)

0 0sym. 0

d.h. die einzige vorhandene Verzerrung ist

εxx = u′0 − v′′0 y − w′′

0 z (9.2)

188

9.2. Spannungs-Dehnungsbeziehungen

aus der mit dem Stoffgesetz die einzige vorhandene Spannung ausgerechnetwerden kann,

σxx = Eεxx = E(u′0 − v′′0 y − w′′

0 z) (9.3)

deren resultierende Kraft und Moment, uber den Querschnitt ermittelt, die Zu-

standsgroßen N , My und Mz ergeben mussen.

(7.9a) : N =

∫

A

σxx dA

= E

(u′

0

∫

A

dA

︸︷︷︸=A

−v′′0

∫

A

y dA

︸︷︷︸=0

−w′′0

∫

A

z dA

︸︷︷︸=0

)

N = EAu′0 s. (8.1)

(7.9e) : My =

∫

A

z σxx dA

= E

(u′

0

∫

A

z dA

︸︷︷︸=0

−v′′0

∫

A

zy dA

︸︷︷︸=:−Izy

−w′′0

∫

A

z2 dA

︸︷︷︸=:Iyy

)

My = E(Izyv′′0 − Iyyw′′0 ) (9.4)

(7.9f) : Mz = −∫

A

y σxx dA

= −E

(u′

0

∫

A

y dA

︸︷︷︸=0

−v′′0

∫

A

y2 dA

︸︷︷︸=:Izz

−w′′0

∫

A

zy dA

︸︷︷︸=:−Iyz

)

Mz = E(Izzv′′0 − Izyw′′

0 ) (9.5)

An dieser Stelle wird deutlich, welchen Zweck die Konvention hat, das Koor-

dinatensystem in die Balkenachse zu legen: Die Integrale∫

Ay dA und

∫A

z dAwurden sonst nicht verschwinden und die Gleichungen wurden sich nicht soangenehm entkoppeln.

Die drei Gleichungen verbinden jeweils eine Kraftgroße (N, My, Mz) mit Ver-schiebungsgroßen, bzw. deren Ableitungen (u′

0, v′′0 , w′′

0 ). Die Faktoren dazwi-

schen nennt man deshalb Festigkeiten, und zwar ist EA die Zugfestigkeit (dar-in ist A die Querschnittsflache). EIyy und EIzz sind Biegefestigkeiten. Der E-

Modul E ist allemal beteiligt.

189


9.3. Flachentragheitsmomente

Die in den Gleichungen (9.4) und (9.5) auftretenden Integrale Iyy, Izz uberdie Querschnittsflache A heißen Flachentragheitsmomente bzw. (Flachen-)Devia-

tionsmoment (Iyz).

Iyy =

∫

A

z2 dA, Izz =

∫

A

y2 dA, Iyz = Izy = −∫

A

yz dA (9.6)

Wegen der quadratischen Form des Integranden haben die beiden ersten Inte-grale immer einen positiven Wert. Der Wert des dritten Integrals kann durchaus

verschwinden. Das ist z.B. der Fall, wenn der Querschnitt bezuglich einer Ko-

ordinatenachse symmetrisch ist (vgl. Massentragheitsmomente). In diesem Fallsind die Flachentragheitsmomente die Hauptflachentragheitsmomente, und man

nennt die y- und z-Achse die Hauptachsen der Querschnittsflache.

Da die Integrale der Flachentragheitsmomente den Integralen der Massentrag-

heitsmomente sehr ahnlich sind, z.B.

Iyy =

∫

A

z2 dA ←→ Θyy =

∫

m

(x2 + z2) dm

(der unterstrichene Term fehlt sogar), gelten alle fur die Massntragheitsmo-

mente hergeleiteten Zusammenhange, z.B. uber das Transformationsverhaltenbei Koordinatendrehung, vgl. (7.6), und uber Steineranteile auch hier entspre-

chend.

ISteineryy = Aa2

z, ISteinerzz = Aa2

y, ISteineryz = −Aayaz (9.7)

Darin sind A die Querschnittsflache und ay und az die Abstande des Bezugs-punktes zum Schwerpunkt von A.

Die Beweise folgen denselben Linien wie bei den Massentragheitsmomentenund sind sogar wegen des fehlenden Terms etwas einfacher. Deshalb werden

sie hier nicht wiederholt.

Die oben definierten Flachentragheitsmomente stellen, besonders bei komplizier-

ten Profilen, eine umfangreiche Aufgabe dar. Dabei kann es durchaus hilfreichsein, dass sich der betrachtete Querschnitt aus geometrisch einfachen Teilflachen

zusammensetzt. Hier kann, wieder genau wie bei den Massentragheitsmomen-

ten, die Integration durch eine Summe von Teilintegralen ersetzt werden. DerZusammenhang zwischen der Integration bezuglich verschiedener Koordina-

tenursprunge (Steineranteil) gilt ebenso, wie bei den Massentragheitsmomen-ten.

190

Beispiel Dreiecksquerschnitt

Beispiel Dreiecksquerschnitt

H

B

A

SH3

y

B3

z

IyyA = Ieigenyy + ISteiner

yy

IyyA =

H∫

0

z2b(z) dz, b(z) = B − B

Hz

→ IyyA = B

H∫

0

(z2 − 1

Hz3) dz =

1

12BH3

ISteineryy = (

H

3)2

1

2BH =

1

18BH3 → Ieigen

yy = IyyA − ISteineryy =

1

36BH3

Vertauschen der Koordinaten: → Izz =1

36HB3

Deviationsmoment: IyzA = Ieigenyz + ISteiner

yz

IyzA = −H∫

0

b(z)∫

0

yz dy dz = −H∫

0

1

2B(z)2z dz = −B2

2

H∫

0

(z− 2

Hz2+

1

H2z3) dz

= −B2

2(1

2H2 − 2

3H2 +

1

4H2) = − 1

24B2H2

ISteineryz = −B

3

H

3

1

2BH = − 1

18B2H2 → Ieigen

yz = IyzA−ISteineryz =

1

72B2H2

Anm.: Das Ergebnis gilt auch fur um 180 gedrehte Dreiecke. Fur spiegel-bildliche Dreiecke gilt das negative Ergebnis: Iyz = − 1

72B2H2

191


Beispiel Kastenprofil

2δ

δ

yz

h

b

Das Kastenprofil setzt sich aus der Differenz zweier

Rechteckflachen zusammen, deren innere die Abma-ße (b − δ) × (h − 2δ) hat, und deren außere die Ab-

maße (b + δ) × (h + 2δ) sind. (Die Großen b und hbemaßen die Mittellinie des Profils.)

Iyy = Iaußenyy − I innen

yy

=1

12

((b + δ)(h + 2δ)3 − (b− δ)(h− 2δ)3

)

=1

12

((b + δ)(h3 + 6h2δ + 12hδ2 + 8δ3)

−(b− δ)(h3 − 6h2δ + 12hδ2 − 8δ3))

= bδh2 +4

3bδ3 +

1

6δh3 + 2hδ3

Mit der Annahme, dass δ sehr viel kleiner ist als b oder h, konnen die Terme, in

denen δ in hoherer Potenz auftritt, vernachlassigt werden.

Iyy = 21

12δh3 + 2b(2δ)

h2

4

Das ist aber genau das Ergebnis, das man erhalt, wenn man das Kastenprofil

als zwei Rechteckflachen (Breite δ, Hohe h, Schwerpunktabstand 0) und zweiRechteckflachen (Breite b, Hohe 2δ, Schwerpunktabstand h

2 ) interpretiert.

Iyy = 2(1

12δh3 +

1

12bδ3

︸︷︷︸≈0

+ bδh2

4︸︷︷︸Steiner

)

Die Anwendung dieses Verfahrens empfiehlt sich bei zusammengesetzten dunn-wandigen Querschnitten. Um dem entgegenzukommen, werden bei dunnwan-

digen Profilen die Profilmittellinien bemaßt. Ein I-Profil-Balken (fruher nannte

192

Beispiel L-Profil

man das Doppel-T-Trager), z.B. IPB 300 (h = b = 300 mm, Profildicke δ) hatdemnach die Flachentragheitsmomente

Iyy =1

12δh3 + 2bδ

h2

4= δ

7

12h3

Izz = 21

12δb3 = δ

1

6h3 =

2

7Iyy

9.3.1. Fehlende Symmetrie

Die bisher behandelten Profile zeichneten sich durch doppelte Symmetrie aus,

d.h. der Koordinatenursprung war einfach zu bestimmen. Die gewahlten Koor-

dinatenrichtungen, parallel zu den Symmetrielinien, verhinderten das Entste-hen von Deviationsmomenten. Das muss nicht immer so einfach sein.

Beispiel L-Profil

z

sy

δ

2a

y

a

sz

sy =0 2a + a

2a

3a=

a

6, sz =

a 2a + 0 a

3a=

2

3a

i A ay az Ieigyy ISt

yy Ieigzz ISt

zz Ieigyz ISt

yz

·aδ ·a ·δa3

1 2 16

−13

812

29 0 2

36 0 19

2 1 −13

23 0 4

9112

19 0 2

9

∑ 43

14

13

D.h. Iyy =4

3δa3, Izz =

1

4δa3 und Iyz =

1

3δa3.

Das Deviationsmoment kommt allein durch seine Steineranteile zustande.

Da es ungleich 0 ist, sind die gewahlten Koordinatenrichtungen nicht dieHauptachsen. Die findet man mit (7.6ff) unter dem Winkel

φ =1

2arctan

2Iyz

Iyy − Izz=

1

2arctan

23

43 − 1

4

=1

2arctan

8

13= 15.8

193


9.3.2. Aufwandsverringerung durch scharfes Hinsehen

Ein Integral der Form

I =

∫

A

f(z) dA =

∫

z

f(z)

∫ yo(z)

yu(z)

dy dz =

∫

z

f(z)(yo(z)− yu(z)

)

︸︷︷︸b(z)

dz

andert seinen Wert nicht, wenn das Integrationsgebiet A seine Form durch eineParallelverschiebung Richtung y verandert. In diesem Falle bleibt die Breiten-

funktion b(z) namlich unberuhrt. Damit ergibt sich die Moglichkeit, Ergebnisse

auf andere, durch Parallelverschiebung erzeugbare Querschnitte zu ubertragen.Z.B. kann aus dem rechtwinkligen Dreieck (s. Beispiel S. 191) ein gleichschenk-

liges werden.

H

B B/2

zy

B/6

Das hat demnach das das Flachentragheitsmoment Iyy = 136BH3. Das Deviati-

onsmoment ist 0 (wegen Symmetrie) und das Flachentragheitsmoment Izz setzt

man aus zwei rechtwinkligen Dreiecken zusammen.

Izz = 21

36H(B

2

)3

︸︷︷︸Eigenanteil

+2(B

6

)2 1

2

B

2H

︸︷︷︸Steiner

=1

48HB3

Aus einem Rechteck (b × h) wird ein Parallelogramm mit gleichem Flachen-

tragheitsmoment Iyy . Das Deviationsmoment ist allerdings nicht mehr 0. Es

muss, genauso wie das Flachentragheitsmoment Izz ausgerechnet werden.

h

z

y

z

y

c a ab = 2a + c

194

9.4. Biegedifferenzialgleichungen – Spannungen

Iyy =1

12bh3 =

1

12(2a + c)h3

Izz =1

12h(2a)3 + 2

1

36hc3 + 2(a +

c

3)2

1

2hc =

h

6

(4a3 + 6a2c + 4ac2 + c3

)

=hb

6

(a2 + (a + c)2

)

Iyz = 2−1

72c2h2 − (a +

c

3)h

6

1

2ch− (−a− c

3)(−h

6)1

2ch = −1

6(a +

c

2)ch2

= − 1

12bch2

Zum Vergleich das Deviationsmoment, berechnet durch Integration:

Iyz = −∫

A

yz dA =

h2∫

−h2

z

yo∫

yu

y dy dz mityu = c

hz − b2

yo = chz + b

2

= −

h2∫

−h2

z

[y2

2

] ch

z+ b2

ch

z− b2

dz = −1

2

h2∫

−h2

z

[( c

hz +

b

2

)2

−( c

hz − b

2

)2]

dz

= −1

2

h2∫

−h2

z

[( c2

h2z2 + b

c

hz +

b2

4− c2

h2z2 + b

c

hz − b2

4

)]dz

= −

h2∫

−h2

bc

hz2 dz = −bch2

12

9.4. Biegedifferenzialgleichungen – Spannungen

Durch Umformung der Gleichungen (9.4) und (9.5) kommt man zu Ausdrucken

fur die zweiten Ableitungen der Funktionen v0 und w0. Diese Funktionen nennt

man die Biegelinien des Balkens. (Da die vorangegangenen Uberlegungen denBiegebalken auf seine Balkenachse reduziert haben, ist es von hier ab nicht

mehr notig, auf den Unterschied zwischen Punkten auf der Balkenachse undbeliebigen Punkten im Querschnitt hinzuweisen: Der Index 0 wird im Folgenden

weggelassen.)

195


Izz(9.4)− Izy(9.5) :

IzzMy − IzyMz = −E(IyyIzz − Izy)w′′

w′′ = − IzzMy − IzyMz

E(IyyIzz − I2zy)

(9.8)

Iyy(9.5)− Izy(9.4) :

IyyMz − IzyMy = E(IyyIzz − Izy)v′′

v′′ =IyyMz − IzyMy

E(IyyIzz − I2zy)

(9.9)

Bei bekannter Balkengeometrie (A(x), Iyy(x), Izy(x), Izz(x)) und bekanntenSchnittgroßen (N(x), My(x), Mz(x)) stellen die Gleichungen (8.1), (9.9) und

(9.8) das vollstandige Differenzialgleichungssystem dar, das die Verformung ei-nes Balkens im Rahmen der gesetzten Randbedingungen beschreibt.

Die oben gewonnenen Ausdrucke konnen aber auch benutzt werden, um eineranfangs benutzten Gleichung (9.3) Inhalt zu geben.

σxx = E(u′ − v′′y − w′′z)

= E

(N

EA− IyyMz − IzyMy

E(IyyIzz − I2zy)

y +IzzMy − IzyMz

E(IyyIzz − I2zy)

z

)

σxx =N

A− IyyMz − IzyMy

IyyIzz − I2zy

y +IzzMy − IzyMz

IyyIzz − I2zy

z (9.10)

Die Normalspannung setzt sich folglich aus einem konstanten Teil, einem Teil,der linear in y, und einem Teil, der linear in z ist, zusammen, was den getroffe-

nen Annahmen uber das Verschiebungsfeld entspricht.

196

Beispiel Spannungsverteilung in einem Doppel-T-Trager

Beispiel Spannungsverteilung in einemDoppel-T-Trager

b

hy

zδ

Ein I-Profil-Balken (IPB) (b = h = 300 mm , δ =10 mm ) hat im meistbelasteten Querschnitt die Nor-

malkraft N = 180 kN und die Biegemomente My =315 kNm und Mz = 180 kNm zu ertragen.

An welcher Stelle des Querschnittes tritt die be-

tragsmaßig großte Normalspannung auf?

Symmetrie: Iyz = 0, Iyy =7

12δh3 = 15.75 107 mm4 vgl. S. 193

Izz =2

7Iyy = 4.5 107 mm4 , A = (2b + h)δ = 3hδ = 9000 mm2

→ σxx =N

A−Mz

Izzy+

My

Iyyz =

180 kN

9000 mm2− 18 kNm

4.5 107 mm4y+

31.5 kNm

15.75 107 mm4z

= 20 MPa − 0.4 MPay

mm+ 0.2 MPa

z

mm

Bei bilinearem Verlauf liegen die Extremwerte auf der Berandung:

i y/ mm z/ mm σ [ MPa ]1 150 −155 20− 0.4 · 150 + 0.2 · (−155) = −712 −150 −155 20− 0.4 · (−150) + 0.2 · (−155) = 49

3 −150 155 20− 0.4 · (−150) + 0.2 · 155 = 111

4 150 155 20− 0.4 · 150 + 0.2 · 155 = −9

Wenn die Normalkraft nicht zu groß ist, gibt es eine Linie im Querschnitt,

auf der die Normalspannung Null ist. Diese Linie nennt man die neutraleFaser. Sie gehorcht der Gleichung:

0 = 20− 0.4y

mm+ 0.2

z

mm→ zneutr(y) = 2y − 100 mm

Die Punkte mit der großten Spannung haben die großte senkrechte Ent-

fernung von der neutralen Faser.

197


1

2

3

4

y

σxx

Beispiel Kragbalken mit unsymmetrischemQuerschnitt

F

E

l

xz

3b

zy

Querschnitt:

9b

Momentenverlaufe:

My(x) = −F (l − x), Mz(x) = 0

Flachentragheitsmomente

Iyy =1

363b(9b)3 =

243

4b4, Izz =

1

369b(3b)3 =

27

4b4

b

y

3bz

Deviationsmoment: Iyz =1

72(3b)2(9b)2 =

81

8b4

Biegelinie w:

w′′ = − IzzMy − IzyMz

E(IyyIzz − I2zy)

= −274

2434

274 − 81

8818

My

Eb4=

0.0219F

Eb4︸︷︷︸Kw

(l − x)

198

9.5. Sonderfalle

Bieglinie v:

v′′ =IyyMz − IzyMy

E(IyyIzz − I2zy)

= −818

2434

274 − 81

8818

My

Eb4=

0.0329F

Eb4︸︷︷︸Kv

(l − x)

Losung der Dgl.: w′′ = Kw(l − x)

→ w′ = Kw

(lx− 1

2x2)

+ C1 → w = Kw

(l1

2x2 − 1

6x3)

+ C1x + C2

Randbedingungen: w′(0) = 0 = C1, w(0) = 0 = C2

Entsprechend: v = Kv

(l1

2x2 − 1

6x3)

9.5. Sonderfalle

9.5.1. Balken aus inhomogenen Werkstoffen

Bei modernen Materialien oder dank moderner Klebetechniken kann es sein,

dass Balkenquerschnitte bereichsweise unterschiedliche E-Moduln aufweisen.

E(y, z) = E0n(y, z)

Darin bezeichnet E0 den kleinsten vorhandenen Wert und n(y, z) ≥ 1 beschreibtdie Verteilung uber dem Querschnitt A.

Wenn weiterhin die Bernoulli-Hypothese gelten soll, dass ein im unbelastetenZustand ebener und senkrecht zur Balkenachse stehender Querschnitt auch im

verformten Zustand eben und senkrecht zur Stabachse bleiben soll, dann geltenimmer noch dieselben Beziehungen zwischen der Langsverformung u(x), den

Biegelinien v(x) und w(x) und der Verzerrung εxx, vgl. (9.2):

εxx = u′ − v′′y − w′′z

Diese Annahme steht auf etwas wackeligen Fußen. Die Tatsache, dass bei gutverklebten Materialien keine Verschiebungsprunge existieren, ist zwar ein gutes

Indiz fur ein stetiges Verschiebungsfeld, aber das Eben- und Senkrechtbleibenschließt auch alle Scherungen einzelner Lagen gegeneinander aus. Das ist aber

gerade bei Laminaten nicht unbedingt gegeben.

199


Wenn diese Bedenken ignorierbar sind, ergibt sich der einzige Unterschied zuhomogenen Werkstoffen bei den Spannungen, vgl. (9.3):

σxx = E0n(y, z)(u′ − v′′y − w′′z) (9.11)

Die Integrale des Spannungsverlaufs uber der Querschnittsflache A mussen dieresultierende Normalkraft N und die beiden resultierenden Biegemomente My

und Mz ergeben, vgl. (9.4,9.5)

N = E0

(u′∫

A

n(y, z) dA

︸︷︷︸=:A

−v′′∫

A

n(y, z, )y dA

︸︷︷︸!=0

−w′′∫

A

n(y, z)z dA

︸︷︷︸!=0

)

My = E0

(u′∫

A

n(y, z)z dA

︸︷︷︸!=0

−v′′∫

A

n(y, z)yz dA

︸︷︷︸=:−Iyz

−w′′∫

A

n(y, z)z2 dA

︸︷︷︸=:Iyy

)

Mz = −E0

(u′∫

A

n(y, z)y dA

︸︷︷︸!=0

−v′′∫

A

n(y, z)y2 dA

︸︷︷︸=:Izz

−w′′∫

A

n(y, z)zy dA

︸︷︷︸=:−Iyz

)

Die Strategie, mit der man dieses Problem lost, ist schon angedeutet. Man sorgt

dafur, dass sich die Gleichungen entkoppeln, indem man bestimmt, dass einige

Integrale verschwinden. Die ubrig bleibenden gelten dann als neue Definitionbekannter Großen. Die nennt man, weil sie mit den entsprechenden ehemaligen

Großen nur noch die Idee gemeinsam haben, ’ideell’: Ideelle Flache A, ideelleFlachentragheitsmomente Iyy, Izz , ideelles Deviationsmoment Iyz:

A =

∫

A

n(y, z) dA

Iyy =

∫

A

n(y, z)z2 dA

Iyz = −∫

A

n(y, z)yz dA

(9.12)

Izz =

∫

A

n(y, z)y2 dA

Abgesehen von der Frage, ob die Integrale einfach zu berechnen sind, muss

erst noch geklart werden, wo denn der Ursprung des Koordinatensystems lie-gen muss, bezuglich dessen die Integration ausgefuhrt wird. Hier kommen die

Integrale ins Spiel, die Null werden sollen. Der Koordinatenursprung, fur dendas gelingt, nennt man den ideellen Schwerpunkt; alle idellen Schwerpunkte

bilden die idelle Balkenachse.

200

Beispiel Balken aus zwei Schichten

Bezuglich eines beliebigen Koordinatensystem (y′, z′) ist namlich das linke In-tegral in der folgenden Gleichung das Moment der Verteilung n(y′, z′) um die

Achse y′. Und das muss genauso groß sein wie das Moment der Resultierenden

der Verteilung an ihrem Angriffspunkt z′s.

∫

A

n(y′, z′)z′ dA = z′s

∫

A

n(y′, z′) dA = z′sA → z′s =1

A

∫

A

n(y′, z′)z′ dA

(9.13)

Fur die andere Richtung gilt das Gleiche:

y′s =

1

A

∫

A

n(y′, z′)y′ dA (9.14)

Der Weg zur Losung beginnt hier mit der Bestimmung der ’ideellen’ Flache

(9.12a) und des ’ideellen’ Schwerpunkts. Liegt der fest, konnen die restlichen

Integrale (9.12b,c) und (9.12b) ausgewertet werden. Danach werden die be-kannten Balkendifferenzialgleichungen mit den ideellen Großen unter den tatsachli-

chen Belastungen gelost.

N = E0Au′, My = E0(Iyzv′′ − Iyyw

′′), Mz = E0(Izzv′′ − Iyzw

′′) (9.15)

Die abschließende Spannungsberechnung erfolgt dann nach (9.11).


b

h

hE

10E

y z

Der Querschnitt eines Balkens besteht aus zweigleich großen Bereichen mit unterschiedlichen E-

Moduln.

n(y, z) =

1 ; z > 010 ; z < 0

A =

∫

A

n(y, z) dA =

∫

A1

dA +

∫

A2

10 dA = A1 + 10A2 = 11bh

zs =1

A

∫

A

z da =1

A

(∫

A1

z da

︸︷︷︸z1A1

+10

∫

A2

z da

︸︷︷︸z2A2

)

=1

11bh(h

2bh− 10

h

2bh) =

−9

22h

201


ys =1

A

∫

A

y da =1

A

(∫

A1

y da

︸︷︷︸y1A1

+10

∫

A2

y da

︸︷︷︸y2A2

)= 0

S

Iyy =

∫

A1

z2 dA

︸︷︷︸Iyy1

+10

∫

A2

z2 dA

︸︷︷︸Iyy2

Iyy1 =1

12bh3 + (

9

22+

1

2)2h2bh

︸︷︷︸Steiner

=1321

1452bh3

Iyy2 =1

12bh3 + (−1

2+

9

22)2h2bh

︸︷︷︸Steiner

=133

1452bh3

→ Iyy = (1321

1452+ 10

133

1452)bh3 =

2651

1452bh3

Izz =

∫

A1

y2 dA

︸︷︷︸Izz1

+10

∫

A2

y2 dA

︸︷︷︸Izz2

, Izz1 =1

12hb3, Izz2 =

1

12hb3

→ Izz =11

12bh3 Iyz = −

∫

A1

yz dA

︸︷︷︸Iyz1=0

+10

∫

A2

yz dA

︸︷︷︸−Iyz2=0

= 0

→ u′ =N

EA, w′′ = − My

EIyy

, v′′ =Mz

EIzz

→ σ(y, z) =

(N

A+

My

Iyy

z − Mz

Izz

y

)1 ; z > 9

22

10 ; z < 922︸︷︷︸

n(y,z)

Z.B. fur reine Biegung um y(N = Mz = 0): x

z

n(z) zh

3122

922

9022

− 13022

202


9.5.2. Breite Balken - Streifenbiegung

Wenn ein Bauteil nicht mehr ganz der Be-

schrankung entspricht, in zwei Richtungen sehrviel kleiner zu sein als in der dritten, wenn z.B.

die Breite nicht sehr viel kleiner als die Lange ist,

fuhrt die Annahme, dass in Breitenrichtung keineSpannung sei, zu einem Widerspruch.

t

bl

Die Annahme hat namlich mit dem Stoffgesetz zur Folge, dass in Querrichtung

eine ortsabhangige Dehnung herrscht:

εyy =1

E

(σyy︸︷︷︸

0

−ν(σxx︸︷︷︸My

Iyyz

+ σzz︸︷︷︸0

))

= − νMy

EIyyz

Die wiederum lasst aus einem schmalen rechteckigen Teil der Querschnitts-

flache bh ein Trapez werden. Aus seinem Nachbarn auch, usw.

Eine solche Muldenbildung ist aber nicht zu beobachten: Ein biegesteifer Strei-fen kann nicht gleichzeitig in zwei Richtungen seine Krummung andern. D.h.,

eine wie oben beschriebene Dehnung εyy existiert nicht. Sie wird verhindert.

εyy!= 0 =

1

E(σyy︸︷︷︸

6=0

−νσxx) → σyy = νσxx

→ εxx =1

E(σxx − νσyy) =

1− ν2

Eσxx

Bei der Biegung von Streifen (machmal auch Blech- oder Brettbiegung genannt)ist alles wie bei der Balkenbiegung, wenn man nur den E-Modul durch

E → E

1− ν2

ersetzt, was bei Stahl eine Erhohung um ca. 10 % ausmacht.

203


204

10. Ebene Systeme

Ein gerader Biegebalken, der nur durch Krafte in der (x, z)-Ebene belastet ist,kennt nur die Schnittgroßen N(x), Qz(x) und My(x). Damit vereinfachen sich

die zuvor hergeleiteten Gleichungen (9.8), (9.9).

w′′(x) = − Izz My(x)

E(IyyIzz − I2zy)

, v′′(x) = − Izy My(x)

E(IyyIzz − I2zy)

Die Materialkonstante E und die Geometriegroßen Iyy, Iyz und Izz konnendurchaus auch Funktionen von x sein. Das gestaltet den Weg zur Losung zwar

schwieriger, verhindert sie aber nicht grundsatzlich, denn die gesuchte Losung

ist jeweils die Funktion, die zweimal abgeleitet die rechte Seite der oben ste-henden Differenzialgleichungen 2. Ordnung ergeben (vgl. Anhang Differenzial-

gleichungen). Im Folgenden werden diese Sonderfalle ausgeklammert.

Wenn jetzt noch gewahrleistet werden soll, dass der Balken sich nur innerhalb

der (x, y)-Ebene verformt, muss v′′ verschwinden (→ v′ = 0 → v = 0). Daskann, folgt man der rechten Gleichung, nur dann sein, wenn das Deviationsmo-

ment Izy = 0 ist. Ist das nicht der Fall, verformt sich der Balken aus der Ebene

heraus, oder man muss, um das zu verhindern, Krafte aufwenden. Dann ist aberdie Belastung keine ebene mehr.

Ist das Deviationsmoment aber Null, dann vereinfacht sich die verbleibendelinke Gleichung um ein Weiteres:

w′′ = − My

EIyy→ EIyyw′′ = −My (10.1)

(Die rechts stehende Form ist die gebrauchliche Schreibweise.)

Die Berechnungen der Spannungen (9.10) vereinfacht sich in diesem Fall zu:

σxx =N

A+

My

Iyyz (10.2)

Die in beiden Fallen auf der rechten Seite stehenden Schnittgroßen N und

M ergeben sich aus der außeren Belastung und den Lagerbedingungen und

205

10. Ebene Systeme

mussen vorher, z.B. mit dem Schnittprinzip, ermittelt werden. Zwischen denSchnittgroßen und den außeren Kraften gibt es allerdings auch differenzielle

Beziehungen, vgl. Kap. 3.7, Gleichungen (3.22), (3.23), die hier noch einmal

angegeben sind:M ′ = Q(x), Q′ = −q(x)

Vor diesem Hintergrund bietet sich an, die Differenzialgleichung (10.1) noch

zweimal zu differenzieren (unter der Voraussetzung, dass EI = konst) :(EIw′′ = −M(x)

)′

→ EIw′′′ = −M ′(x) = −Q(x) s.o.(EIw′′′ = −Q(x)

)′

→ EIw′′′′ = −Q′(x) = q(x) s.o.

Darin versteckt sich nichts anderes als die Berechnung der Schnittgroßen durch

Differenzialgleichungen, wie sie in dem oben erwahnten Kapitel vorgestelltwurde. Mit der Differenzialgleichung

EIw′′′′ = q(x) (10.3)

geht alles in einem Aufwaschen. Das Problem ist nur, aus der allgemeinen

Losung, die 4 unbekannte Integrationskonstanten enthalt, die spezielle Losungzu finden, indem man die unbekannten Konstanten aus den Bedingungen be-

stimmt, die durch die Auflager gesetzt werden (s. nachstes Kapitel).

Welcher Weg, (10.1) oder (10.3), mehr Arbeit spart, hangt vom einzelnen Pro-

blem ab. Der erste Weg geht sozusagen von außen nach innen:

Auflagerberechnung→ Schnittgroßen→ Biegelinie.

Der zweite Weg fuhrt von innen nach außen:

Losung der Differenzialgleichung→ Konstanten→ Biegelinie.

(Schnittgroßen und Auflagerreaktionen fallen hier als Nebenergebnisse ab.)

10.1. Rand- und Ubergangsbedingungen

Die Differenzialgleichungen, die im ebenen Fall die Balkenbiegung und Balken-verlangerung beschreiben

EI w′′(x) = −M(x) bzw. EIw′′′′(x) = q(x), EA u′(x) = N(x)

206

10.1. Rand- und Ubergangsbedingungen

konnen unter Umstanden, bei kompliziert zusammengesetzten Balkensystemen,bereichsweise definiert sein, so dass fur jeden Bereich eigene Differenzialglei-

chungen gelost werden mussen.

Daruber hinaus sind an den Randern, also an den Stellen, an denen das Balken-

system aus der Umgebung herausgeschnitten wurde, geometrische Bedingun-

gen zu erfullen, die sogenannten Randbedingungen. Das ist uberall der Fall, woein Auflager eine Bewegungsmoglichkeit verhindert.

Bei den Auflagern gilt, dass grundsatzlich die Bewegungsmoglichkeit ausge-

schlossen wird, die im Auflager eine Reaktionskraft oder ein Reaktionsmoment

hervorruft.

u = 0

u = 0

u = 0

w = 0

w = 0 w = 0

w = 0w′ = 0

w′ = 0w′ = 0w′ = 0

u = 0

u

αw

w = u tan α

xF

Fc = cw(xF )

Wo eine Auflagerkraft wirkt, ist entweder u = 0 oder w = 0, oder die beiden

Großen stehen in einem festen Verhaltnis (vgl. Bild, Mitte unten).

Wo ein Auflagermoment existiert, kann sich die Balkenachse nicht gegenuber

ihrer Ausgangslage verdrehen: der Verdrehwinkel ist Null, damit auch der Tan-

gens dieses Winkels, der sich aus dem Steigungsdreieck als w′(x) ablesen lasst.Aus einem Momentenauflager folgt also eine Randbedingung fur die Ableitung

der Biegelinie.

207

10. Ebene Systeme

Beispiel Kragbalken unter Einzellast

M(l)

Q(l)x

w = 0

w′ = 0

x = 0

Q = F

M = 0

x = l FEIF

lF

Losung mit Dgl. EIw′′′′ = q(x) = 0

EIw′′′ = C1 = −Q(x) Q(l) = F → C1 = −F

EIw′′ = −Fx + C2 = −M(x) M(l) = 0 → C2 = F l

EIw′ = −F 12x2 + F lx + C3 w′(0) = 0 → C3 = 0

EIw = −F 16x3 + F l 1

2x2 + C4 w(0) = 0 → C4 = 0

→ w(x) =F l3

6EI(x

l)2(3− x

l

)

Beispiel Ersatzfedersteifigkeit

Gesucht ist die Federsteifigkeit k des skizzierten Systems (k = F/w(l))

M = 0 w′ = 0

Q(l)

x = 0 x = l

w = 0 Q = FA

x EI

l

F

Mex

F

F

208

Beispiel Ersatzfedersteifigkeit

Losung mit SchnittprinzipAuflager: A = F, Me = Al

Biegemoment: M(x) = Ax = Fx

Differenzialgleichung: EIw′′ = −M(x) = −Fx

EIw′ = −Fx2

2+ C1, EIw′(l) = 0 = −F

l2

2+ C1 → C1 =

1

2F l2

EIw = −Fx3

6+

1

2F l2x + C2 EIw(0) = 0 = C2

→ w =F l3

6EI

(3− (

x

l)2)x

l→ w(l) =

F l3

3EI→ k =

3EI

l3

Losung mit Differenzialgleichung EIw′′′′ = q(x)hier= 0

EIw′′′ = C1 = −Q(x) Q(l) = F → C1 = −F

EIw′′ = C1x + C2 = −Fx + C2 = −M(x) M(0) = 0 → C2 = 0

EIw′ = −1

2Fx2 + C3 EIw′(0) = 0 = −1

2F l2 + C3 → C3 =

1

2F l2

EIw =1

2F (l2x− 1

3x3) + C4 EIw(0) = 0 = C4

→ w =F l3

6EI

(3− (

x

l)2)x

ls.o.

Wenn, wie zuvor schon erwahnt, die Differenzialgleichungen bereichsweise de-

finiert sind, weil z.B. die Schnittgroßenverlaufe Sprunge und Knicke haben,

oder weil die Balkenachse verspringt oder knickt, dann mussen die Differenzi-algleichungen bereichsweise gelost werden. Die zusatzlichen Integrationskon-

stanten sind mehr, als aus den gegebenen Randbedingungen berechnet werden

konnen, doch kommen an den Bereichsgrenzen ausreichend viele geometrischeUbergangsbedingungen hinzu, so dass die Losung vollstandig wird.

Knick der Balkenachse Die Ubergangsbedingungen bei einem Knick beru-

hen auf der einfachen Tatsache, dass der Punkt, der auf der Bereichsgrenze

209

10. Ebene Systeme

liegt, in seinen Bewegungen von beiden Seiten her beschrieben werden kann.Damit entstehen Gleichungen, die unbekannte Konstanten von zwei Bereichen

miteinander verknupfen. Wenn z.B. in zwei aneinander grenzenden Bereichen I

und II die Losungen wI(x1), wII(x2) fur die Bieglinie gelten und uI(x1), uII(x2)die Langsverformungen beschreiben,

I

II

z1

x1 αx2

z2 w1 u1

w2

u2

dann ist bei einem Knick in der Balkenachse, wie oben skizziert um den Winkelα, der Zusammenhang zwischen den Verschiebungen w1 := wI(x1 = l), u1 :=uI(x1 = l) und w2 := wII(x2 = 0), u2 := uII(x2 = 0)

w2 = w1 cosα + u1 sin α

u2 = −w1 sin α + u1 cosα

Daruber hinaus ist der Knick starr, d.h. die Verdrehung der Balkenachse ge-

genuber ihrer Ausgangslage muss an diesem Punkt in beiden Bereichen gleichsein. Also sind auch die Ableitungen

w′1 := w′

I(x1 = l) = w′2 := w′

II(x2 = 0)

Das gilt allerdings nur, wenn die Koordinatensysteme beider Bereiche durch

Drehung ineinander uberfuhrt werden konnen. Anderenfalls sind die Steigungs-dreiecke, aus denen man den Tangens der Drehwinkel ablesen kann, nicht

gleich- sondern klappsymmetrisch, was einen Vorzeichenwechsel zu Folge hat.

Die oben hergeleiteten Ubergangsbedingungen gelten auch fur die Sonderfalle

α = 0 (kein Knick) und α = 90

α = 0 α = π/2w2 = w1 w2 = u1

u2 = u1 u2 = −w1

w′1 = w′

2

210

10.2. Durchlauftrager - Foppl-Systematik

Gelenke Eine andere Moglichkeit ist, dass der Ubergang von einem zum an-deren Bereich nicht starr ist, sondern mit unterschiedlichen Verbindungsele-

menten realisiert ist.

Ein solcher Fall ist ein Gelenk, fur das die Uberlegungen uber die Ver-

schiebungen nach wie vor gelten, schließlich klafft das Gelenk nicht auseinan-

der. Uber die Steigungen lasst sich aber keine Aussage machen.

w1 = w2 w′1 6= w′

2

Dafur ist das Biegemoment an dieser Stelle Null.

Etwas ungewohnlicher, weil seltener, ist ist ein Querkraftgelenk . Es halt

die Stabachsen der angrenzenden Bereiche parallel, wie weit sie sich gegenein-

ander verschieben, bleibt offen. Also:

w′1 = w′

2 w1 6= w2

Dafur kann es keine Querkraft ubertragen.

10.2. Durchlauftrager - Foppl-Systematik

Aus Sicht der Differenzialgleichung fangt ein neuer Bereich schon allein da-

durch an, dass sich die rechte Seite andert, weil im Schnittgroßenverlauf einKnick oder Sprung passiert, z.B. da, wo eine Einzelkraft oder ein Einzelmoment

eingeleitet wird.

Beispiel Mittig belasteter Trager

EI

F

l

I II

x

zM1 =

F

2x , M2 =

F

2l − F

2x

EIw′′1 = −F

2 x EIw′′2 = F

2 x− F l2

EIw′1 = −Fx2

4 + C1 EIw′2 = Fx2

4 − F l2 x + D1

EIw1 = −Fx3

12 + C1x + C2 EIw2 = Fx3

12 −F lx2

4 + D1x + D2

211

10. Ebene Systeme

Randbedingungen

w1(0) = 0 → C2 = 0 w2(l) = 0 → 0 = −F l3

6+ D1l + D2

Ubergangsbedingungen

w1(l2) = w2(

l2) → −F l3

96 + C1l2 = −5F l3

96 + D1l2 + D2

w′1(

l2) = w′

2(l2) → −F l2

16 + C1 = −3F l2

16 + D1

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt D2 = − 1

48F l3.

Das wiederum ergibt mit der ersten Gleichung D1 = − 7

48F l2,

was mit der letzten Gleichung letztendlich zu C1 = − 1

24F l2 fuhrt.

Das vorgestellte Beispiel bleibt nur deshalb ubersichtlich, weil die Momenten-

verlaufe einfach zu bestimmen sind. D.h., man kann mit der Differenzialglei-chung EIw′′ = −M beginnen, hat aber dank der zwei Bereiche nicht 2, son-

dern 4 Konstanten zu berechnen. Und das nur, weil der Momentenverlauf nichtmit einer einzigen Funktion zu beschreiben ist.

Das Problem trat schon einmal auf und wurde mit der Foppl-Systematik verein-facht (vgl. Kap. 3.7.1). Das beinhaltet die Berechnung der Schnittgroßen durch

Differenzialgleichungen. D.h., man beginnt mit EIw′′′′ = q und muss bei jeder

Zwischenlosung (−Q, −M , EIw′ und EIw) den Einfluss von Einzelkraften,Einzelmomenten, Gelenken und Querkraftgelenken berucksichtigen.

4w4φ

F

dx

Q−

xF

Q+

Ma

xM

M− M+

xQxG

Zur Erinnerung:

212

Beispiel Mittig belasteter Trager (Foppl)

• Am Kraftangriffspunkt xF einer Einzelkraft F (Richtung z) wird die Losungfur die Querkraft −Q um den Term F 〈x − xF 〉0 erweitert. Die Kraft kann

auch eine Auflagerreaktion sein. Mit der verfahrt man genauso, auch wenn

sie vorerst unbekannt bleibt.

• Am Angriffspunkt xM eines Einzelmomentes Ma (positiver Drehsinn) wirddie Losung fur das Biegmoment um den Term Ma〈x−xM 〉0 erweitert. Das

Einzelmoment kann auch eine Auflagerreaktion sein, s.o.

Soweit zu den Sprungen in den Schnittgroßen. Fur die Geometriegroßen Nei-gung w′ und Absenkung (i.e. Bieglinie) w muss man die Lager- und Ubergangs-

bedingungen richtig interpretieren:

• Vor und hinter einem Gelenk am Ort xG stellen sich Neigungen ein, die

sich um einen vorerst unbekannten Winkel4φ unterscheiden. Es wird ein

Term EI4φ〈x−xG〉0 zur Losung fur die Neigung EIw′ hinzugenommen.Am Rand kann die Verdrehung auch als Randbedingung vorgeschrieben

sein.

• Vor und hinter einem Querkraftgelenk am Ort xQ unterscheiden sich die

Verschiebungen quer zur Balkenachse um 4w. Damit erweitert sich dieLosung fur die Biegelinie EIw um den Term EI4w〈x − xQ〉0. Am Rand

kann eine solche Verschiebung auch vorgeschrieben sein.

Beispiel Mittig belasteter Trager (Foppl)

EI

Fx

z

l2

l2

EIw′′′′ = 0

EIw′′′ = C1 + F 〈x− l

2〉0 = −Q

EIw′′ = C1x + F 〈x− l

2〉1 + C2 = −M

−M(0) = C2 = 0

−M(l) = C1l + Fl

2= 0→ C1 = −F

2

EIw′ = −F

4x2 + F

1

2〈x− l

2〉2 + C3

EIw = − F

12x3 + F

1

6〈x− l

2〉3 + C3x + C4

213

10. Ebene Systeme

EIw(0) = C4 = 0

EIw(l) = − F

12l3 + F

1

48l3 + C3l → C3 =

F l2

16

→ EIw =F l3

48

(− 4(

x

l)3 + 8〈x

l− 1

2〉3 + 3

x

l

)

10.3. Statisch unbestimmte Systeme

Die statisch unbestimmten Systeme, genauer gesagt, die uberbestimmten Syste-me, die sich in Kapitel 3 noch der Berechnung entzogen, konnen unter einer

bestimmten Annahme jetzt auch berechnet werden. Die Annahme ist: Das Sy-

stem ist ohne außere Last im Inneren vollig kraftfrei.

In diesem Fall kann man in einem Gedankenspiel so viele Auflagerbedingungen

wegnehmen, bis die statische Bestimmtheit gegeben ist. An ihrer Stelle fuhrtman Krafte und Momente ein, deren noch auszurechnender Betrag dafur sorgen

muss, dass die freigegebenen geometrischen Bindungen im Nachhinein docherfullt werden.

Beispiel Rechtsseitig gestutzter Kragarm

x

z

q0

EI

X

l

Das System ist einfach uberbestimmt. Durch

Wegnahme des rechten Auflagers und

Einfuhrung einer noch unbekannten verti-kalen Kraft X wird ein statisch bestimmtes

System erzeugt.

EIw′′ = −M = q0x2

2−Xx

EIw′ = q0x3

6−X

x2

2+ C1

214

10.4. Verwendung von bekannten Losungen

EIw = q0x4

24−X

x3

6+ C1x + C2

Die am linken Rand zu erfullenden geometrischen Bedingungen sind w =0 und w′ = 0. Dazu kommt am rechten Rand zusatzlich w = 0.

EIw(0) = 0 = q004

24−X

03

6+ C10 + C2 → C2 = 0

EIw′(l) = 0 = q0l3

6−X

l2

2+ C1 (G1)

EIw(l) = 0 = q0l4

24−X

l3

6+ C1l (G2)

l(G1)− (G2) : q0l4(

1

6− 1

24)−Xl3(

1

2− 1

6) = 0

→ X =9

48q0l und C1 = − 7

96q0l

3

Nachdem die rechte Auflagerkraft X bekannt ist, kann auch der Momen-

tenverlauf vollstandig angegeben werden.

M =q0x

2

(9

24l − x

)

Anmerkung: Bei der Anwendung der Foppl-Systematik macht man die-sen Vorgang ganz automatisch: Auflagerkrafte werden erst im Nachhinein

berechnet, nachdem die geometrischen Zwangsbedingungen alle erfulltsind. Da ist es unerheblich, ob eine Auflagerkraft eine Auflagerkraft ist,

oder eine vorerst unbekannte Kraft, die dafur sorgt, dass eine Geometrie-

bedingung erfullt ist.

10.4. Verwendung von bekannten Losungen

Die Tatsache,

• dass in der Mathematik, die von der Technischen Mechanik benutzt wird,nur lineare Operationen, lineare Differenzialgleichungen und lineare oder

linearisierte Funktionen verwendet werden,

215

10. Ebene Systeme

• dass die Stoffgesetze der Technischen Mechanik linear sind,

• dass das Gleichgewicht der Krafte am unverformten Korper gebildet wird,

• dass laut Vorraussetzung alle Verdrehungen an deformierten Korpern so

klein sind, dass die Winkelfunktionen linearisiert werden konnen,

fuhren zu der erfreulichen Moglichkeit der Superposition. Damit ist gemeint,

dass sich Belastungen in ihren Wirkungen addieren, also dass die Losungen,

die man fur einfache Lastfalle an einem System findet, in der Summe auchgelten, wenn sich ein komplizierterer Lastfall additiv aus einfachen Lastfallen

zusammensetzt.

Das wiederum hat dazu gefuhrt, dass solche ’Einfach-Losungen’ in Tabellen zum

Zwecke der Wiederverwendung zusammengetragen wurden. Z.B.Dubbel: Taschenbuch des Maschinenbaus, Springer-Verlag, Berlin;

bzw. im Netz als:

http://www.springeronline.com/sgw/cda/pageitems/document/

cda downloaddocument/0,11996,0-0-45-71785-0,00.pdf

Der Umgang mit diesem Vorrat erfordert nur die richtige Aufteilung des eigent-lichen Problems in Teilprobleme, fur die es Losungen gibt, und die anschlie-

ßende richtige ’Ruckubersetzung’ der Teillosungen und deren Einbau in die Ge-samtlosung.

Beispiel Horizontal belasteter Winkel

EIa

Fb

starr

α

starrEIa

EIa

EIb

EIb

Fb

a1 a2

a2

a2

b

b

β

Fb

a1

F

Wenn z.B. die Bewegung f = (fh, fv) des Lastangriffspuktes gesucht ist,

dann setzt sich die Losung additiv zusammen aus

216

Beispiel Horizontal belasteter Winkel

• der Verdrehung am rechten Auflager, die den anschließenden Winkelverdreht, auch wenn dieser starr ist,

• der Bewegung der Ecke (Absenkung und Verdrehung), selbst wenn

die uberstehende Lange a2 links fest eingespannt ist,

• der Bewegung, die der vertikale Stab am oberen Ende macht, selbstwenn er starr ist, nur weil er am unteren Ende gedreht wird,

• und aus der Bewegung des oberen Endes, wenn er deformierbar ist,

aber am unteren Ende fest eingespannt ist.

fh = bβ + wb(b) mit β = α + w′a2(a2) und α = w′

a1(a1)

fv = αa2 + wa2(a2)

wa1 entspricht Belastungsfall 3b mit M = Fb und l = a1:

→ α =Fba1

3EIa

wa2 entspricht Belastungsfall 7 mit M = Fb und l = a2;

→ wa2(a2) =Fba2

2

2EIa, w′

a2(a2) =Fba2

EIa

wb entspricht Belastungsfall 6 mit F und l = b:

→ wb(b) =Fb3

3EIb

D.h. fh =Fb2a1

3EIa

(1 + 3

a2

a1+ 3

b

a1

Ia

Ib

), fv =

Fba1a2

6EIa

(2 + 3

a2

a1

)

217

10. Ebene Systeme

218

11. Der Torsionsstab

Ein gerader Stab mit konstanter, kreisrunder Querschnittsflache wird unter der

Belastung durch ein Torsionsmoment weder langer noch kurzer. Seine Quer-

schnittsflachen verdrehen sich, ohne ihre Große zu andern, nur um die Stabach-se. Der Drehwinkel θ ist fur jeden Querschnitt ein anderer.

θ = θ(x)

Da aber kein Abschnitt des Drehstabs sich besonders von anderen unterscheidet,liegt es nahe, den einfachsten Ansatz zu wahlen:

θ(x) = D x

Die Große D gibt die Verdrehung pro Langeneinheit an und heißt Drillung.

y

α

θ

z

r

Ein Punkt eines Querschnitts an der Stelle x in

der Entfernung r von der Stabachse bildet mit dem

Flachenschwerpunkt und der y-Achse den Winkel α.Der Ortsvektor des Punktes ist

r =

xyz

=

xr cosαr sin α

Nach Verdrehung um den Winkel θ findet sich der Punkt an dem Ort

r =

xr cos(α + θ)r sin(α + θ)

=

xr(cos α cos θ − sin α sin θ)r(sin α cos θ + cosα sin θ)

und hat damit die Verschiebung

u = r − r =

0r cosα(cos θ − 1)− r sin α sin θr sin α(cos θ − 1) + r cosα sin θ

219


=

0y(cos θ − 1)− z sin θz(cos θ − 1) + y sin θ

(Bei den obigen Umformungen kamen die Additionstheoreme und die Rucksub-

stitution y = r cosα und z = r sin α zur Anwendung.)

Wenn im Weiteren nur noch kleine Verdrehungen θ 1, (cos θ ≈ 1, sin θ ≈ θ)betrachtet werden sollen, vereinfacht sich der Verschiebungsvektor u weiter

u =

0−zθyθ

=

0−zDxyDx

=

uvw

und die daraus berechneten Verzerrungen (7.18) sind:

ε =

0 − 12Dz 1

2Dy0 0

sym. 0

Uber das Stoffgesetz (7.19), (7.20) ergibt sich der Spannungszustand, beste-

hend aus zwei Schubspannungen:

σ =

0 −G Dz G Dy0 0

sym. 0

τ

−σxy

σxz

y

zr

Die beiden einzigen in einem Punkt (x, y, z) vorhande-nen Spannungskomponenten bilden eine Resultierende,

die senkrecht auf der Verbindungslinie zum Flachen-

mittelpunkt stehen, bei Kreisquerschnitten also tan-gential zum Außenrand liegt. Das ist widerspruchsfrei

zur Randbedingung: Spannungsfreiheit auf der Mantel-flache.

Der Betrag der resultierenden Schubspannung ist

τ =√

σ2xy + σ2

xz = GD√

z2 + y2 = GDr (11.1)

Mit Hilfe von τ lasst sich das resultierende Moment besonders einfach berech-

nen. Gleichbedeutend mit

MT =

∫

A

(σxzy − σxyz) dA = GD

∫

A

(y2 + z2) dA

220

11.1. Torsionstragheitsmoment

ist

MT =

∫

A

τr dA =

∫ R

0

GDr2 2πr dr = GD1

2πR4

︸︷︷︸IT

(11.2)

11.1. Torsionstragheitsmoment

Die zum Ausdruck IT zusammengefassten Geometriegroßen nennt man Tor-sionstragheitsmoment des Kreiszylinders. Die Uberlegungen fur den Vollquer-

schnitt konnen fur den Kreisringzylinder in gleicher Weise angestellt werden,der Unterschied tritt erst bei der Ausfuhrung der Integration zur Berechnung

des Torsionsmomentes auf: die Integrationsgrenzen sind Ri und Ra.

Kreisringzylinder: IT =

∫ Ra

Ri

2πr3 dr =π

2(R4

a −R4i )

Wenn die Wand sehr dunn wird, so dass Ra naherungsweise gleich Ri + δ ist,wird IT

IT =π

2

(Ri + δ)4 −R4

i

)=

π

2(R4

i + 4R3i δ + · · · −R4

i ) = 2πR3i δ

11.2. Technische Torsion

Angelehnt an die Vorgehensweise der technischen Biegetheorie, leitet man aus

dem widerspruchsfreien Beispiel der reinen Torsion die technische Torsions-

lehre ab. Dabei werden Abweichungen in der Geometrie zugelassen, und diedaraus resultierenden Verstoße gegen Spannungsrandbedingungen und Gleich-

gewichtsbedingungen werden in Kauf genommen.

Eine zwar immer noch kreisformige aber ansonsten variable Querschnittsflache

(R = R(x)) macht die Annahme θ′ = D = konst hinfallig. D.h.

θ′ = D(x)

Diese Ortsabhangigkeit der Drillung zur Kenntnis nehmend, formuliert man

analog zu (11.2) die Differenzialgleichung

GIT (x) θ′(x) = MT (x) (11.3)

221


fur die Torsion von Kreisstaben mit variablem Radius, in der fur konstante IT

und MT die reine Torsion immer noch enthalten ist.

Mit (11.1) folgt:

τ = G θ′(x)r =MT (x)

IT (x)r insbesondere τmax =

MT (x)

IT (x)R(x) (11.4)

Beispiel Vergleich von zwei Torsionsfedern

R r

MTWas ist die haltbarere Variante der beiden dar-

gestellten Drehstabfedern gleicher Steifigkeit?

c∗1 = c∗2 : → IT1 =1

2πR4 = Iges

T2 = 7(1

2πr4)

→ R =4√

7r = 1.63r

Randschubspannung:

τmax 1 =MT

IT1R, τmax 2 =

1

7MT

IeinzelT2

r =MT

7IeinzelT2

r =MT

IgesT2

r

→ τmax 2

τmax 1=

r

R= 0.61

Gewicht:

A1 = πR2, A2 = 7πr2 → A2

A1= 7(

r

R)2 = 2.65

11.3. Torsion dunnwandiger geschlossenerQuerschnitte

Einen Stab mit einem uber die Lange konstanten dunnwandigen geschlosse-nen Querschnitt kann man am besten beschreiben, indem man entlang der

Querschnittskontur eine umlaufende Koordinate s einfuhrt und die mittlereKontur mit Hilfe des Vektors r(s) von der Stabachse aus gesehen angibt. Die

Wandstarke wird mit h(s) angegeben.

222

11.3. Torsion dunnwandiger geschlossener Querschnitte

r(s)MT MT

A-A

z

s

y

z A

A

xh

Wenn sich der Stab auf Grund eines Torsionsmomentes MT verdrillt, kann man

nicht mehr wie bei den Kreisquerschnitten davon ausgehen, dass die Quer-

schnitte eben bleiben, sondern man muss zulassen, dass jeder Bewegung in derQuerschnittsebene eine Verschiebung in axialer Richtung uberlagert ist. Fur die

Bewegung in der Querschnittsebenen wird nach wie vor eine Rotationskinema-

tik angenommen. D.h.

u = θ(x) ex × r(s) + ux(s)ex (11.5)

11.3.1. Spannungszustand

Uber die Spannungen kann man einige gerechtfertigte Annahmen machen, z.B.

gibt es keine Normalspannungen, weder in axialer (x), noch in tangentialerRichtung (s), noch senkrecht dazu, weil in diesen Richtungen keine außere

Belastung vorhanden ist. Die einzige Spannung, die in der Lage ist, dem Tor-sionsmoment das Gleichgewicht zu halten, ist eine Schubspannung τxs in tan-

gentialer Richtung. Wenn sie nicht tangential orientiert ware, wurde sie die

Bedingung der spannungsfreien Rander verletzen.

σ =

0 τxs

τxs 00

Uber ihre Große weiß man vorerst nichts, nur dass sie sich wegen der geringen

Wandstarke nicht groß von Innenrand zu Außenrand unterscheidet. Man nimmtsie deshalb vereinfachend als konstant uber der Wanddicke an, und fuhrt als

praktische Abkurzung den Schubfluss t ein:

t(x, s) = τxs(x, s) h(x, s) (11.6)

223


Mit Hilfe dieser Definition kann man das Gleichgewicht der Krafte an eineminfinitesimal kleinen Rechteck aufstellen, das man sich aus der Wand herausge-

schnitten denkt.

xs

n

dsdx

h

t dxt ds

(t + dtx) ds(t + dts) dx

Es folgt:

(t + dts) dx− t dx = 0 → dts =∂t

∂xdx = 0 → ∂t

∂x= 0

(t + dtx) ds− t ds = 0 → dtx =∂t

∂sds = 0 → ∂t

∂s= 0

Eine Funktion t(x, s), deren beide partiellen Ableitungen Null sind, kann nur

konstant sein, d.h. t = konst.

r

z

y s

dA

α

sinα ds ds

t ds ist eine infinitesimal kleine Kraft, die tangen-

tial zur Wand wirkt und mit dem Fahrstrahl r denWinkel α einschließt. Sie verursacht bezuglich

der Stabachse ein infinitesimal kleines Torsions-

momentdMT = rt ds sin α

Geometrisch gesehen ist aber das Produkt r ds sin α das Doppelte der Flache

dA, die der Fahrstrahl r uberstreicht, wenn seine Spitze sich um ds weiterbewegt. D.h., man kann das Moment auch anders angeben.

dMT = 2t dA → MT =

∫dMT =

∫

Am

2t dA = 2tAm (11.7)

Der Index m dient zur Erinnerung daran, dass die umlaufende Koordinate s aufder Profilmittellinie definiert ist, wie es bei dunnwandigen Querschnitten ublich

ist. Am ist also die Flache, die von der Profilmittellinie eingeschlossen wird.

224

11.3. Torsion dunnwandiger geschlossener Querschnitte

Fuhrt man den Schubfluss t mit (11.6) wieder auf die Schubspannung τxs

zuruck, erhalt man die sogenannte 1. BREDTsche Formel:

τxs =MT

2Amh(s), τmax

xs =MT

2Amhmin(11.8)

11.3.2. Verzerrungen

Um die so ermittelte Schubspannung τxs uber das Stoffgesetz mit Verzerrungenverknupfen zu konnen, fuhrt man gedanklich an der Stelle s parallel zu x und

tangential zu s ein kartesisches Koordinatensystem ein. Die Verschiebung der

betrachteten Stelle in Richtung x dieses Koordinatensystems ist ux, s. (11.5).Was fehlt, ist die Verschiebung us in tangentialer Richtung.

r

s

usrθ

α

Die kann man aus der Skizze als us = rθ sinα ablesen.

Mit den oben angefuhrten Uberlegungen zur Geometriegilt:

r sin α =r ds sin α

ds=

2 dA

ds

Damit nimmt us eine angenehmere Form an und die

Verzerrung lasst sich ausrechnen.

us = 2θ(x)dA

ds→ εsx =

1

2

(∂ux(s)

∂s+

∂us

∂x

)=

1

2

( dux(s)

ds+ 2

θ′

︷︸︸︷dθ(x)

dx

dA

ds

)

11.3.3. Stoffgesetz

Nach dem Stoffgesetz ergibt sich, ausgedruckt durch den Schubfluss (11.6):

τxs = 2Gεxs → t

Gh(s)=

dux(s)

ds+ 2θ′

dA

ds

Diese Gleichung kann man mit ds erweitern

t

G

ds

h(s)= dux(s) + 2θ′ dA (11.9)

225


und entlang des gesamten Umfangs integrieren.

t

G

∮ds

h(s)=

∮dux(s)

︸︷︷︸0

+2θ′∮

dA

︸︷︷︸Am

Aufgelost nach θ′ ergibt sich zusammen mit (11.7) eine Gleichung fur die Dril-

lung D = θ′.

θ′ =t

2GAm

∮ds

h(s)=

MT

4GA2m

∮ds

h(s)=

MT

GIT(11.10)

Die dazu notwendige Definition

IT =4A2

m∮ds

h(s)

(11.11)

nennt man die 2. BREDTsche Formel. Sie bringt die Gleichung fur die Drillung

auf die Form von (11.2).

Beispiel Torsion eines Vierkantprofils

Ein Vierkantprofil der Lange l (Gleitmodul G) wird durch das Torsionsmo-

ment MT belastet. Um welchen Winkel verdrehen sich die Enden gegen

einander?

δ

a

b

Mittlere Flache: Am = ab

Umlaufintegral:

∮ds

h(s)= 2

a + b

δ

Torsionstragheitsmoment:

(2. Bredtsche Formel)IT =

2a2b2δ

a + b

Schubspannung:

(1. Bredtsche Formel)τxs(s) =

MT

8abδ= konst

Drillung: θ′ =MT (a + b)

2Ga2b2δ→ θ(l) =

MT (a + b)

2Ga2b2δl

226

Beispiel Wolbfreies Kreisrohr

11.3.4. Wolbfunktion

Bei der Integration der Gleichung (11.9) uber den gesamten Umfang fiel das

Umlaufintegral∮

dux heraus, weil man nach einem vollstandigen Umlauf wie-der am gleichen Punkt landet und die Differenz zwischen oberer und unterer

Grenze somit eine 0 ergibt. Fuhrt man die Integration aber nur bis zum Punkts aus, erhalt man eine Berechnungsvorschrift fur die bisher unbestimmte Funk-

tion ux(s), die die Verwolbung der betrachteten Querschnittsebene A(x) be-

schreibt.s∫

0

dux = ux(s)− ux0 =t

G

s∫

0

ds

h(s)− 2θ′

s∫

0

dA

Mit (11.6) und (11.10) und der Definition, dass A(s) die bei der Integration bis

s vom Fahrstrahl r uberstrichene Flache sei, wird daraus:

ux(s) = ux0 +MT

G

( 1

2Am

s∫

0

ds

h(s)− 2

ITA(s)

)(11.12)

Beispiel Wolbfreies Kreisrohr

Bei einem Kreisrohr (Radius R, Wandstarke δ ist die mittelere FlacheAm = πR2 und das Torsionstragheitsmoment ist (vgl. auch Kap. 11.1):

IT =4π2R4

1

δ

2π∫

0

R dφ

= 2πR3δ

→ ux(s = Rφ) = ux0 +MT

G

(1

2πR2

φ∫

0

R dφ

δ− 2

2πR3δπR2 φ

2π

)= ux0

Uber den Wert ux0, der zufallig davon abhangt, wo die Bogenlangenkoor-

dinate s ihren Anfang hat, kann man keine Aussage machen, außer man

fordert, dass ux(s) im Mittel 0 ist. Das hatte hier ux0 = 0 zur Folge, d.h.das Kreisrohr ist wolbfrei.

227


Beispiel Wolbfunktion des Vierkantprofils

Mit den schon berechneten Werten Am = ab und IT = 2a2b2δa+b (s. vorletztes

Beispiel) ergibt sich die Wolbfunktion als (ux0 = 0 gesetzt):

ux(s) =MT

G

( 1

2ab

s∫

0

ds

δ− a + b

a2b2δA(s)

)=

MT

2Gabδ

(s− 2

a + b

abA(s)

)

Die uberstrichene Flache A(s) wird bereichs-

weise bestimmt.

1

42

3

s1

A1(s)

B

b2

C D

A

a2

i s A(s) s− 2a+bab A(s) K Eckwert

1 s114s1b

12 (1− b

a )s1 A 0

2 a + s214ab + 1

4s2a12 [a− b + (1− a

b )s2] B 12 (a− b)

3 a + b + s312ab + 1

4s3b12 (1− b

a )s3 C 0

4 2a + b + s434ab + 1

4s4a12 [a− b + (1− a

b )s4] D 12 (a− b)

Der Verlauf der Wolbfunktion ist linear entlang der Kanten und verschwin-

det, wenn b = a ist. Wenn das nicht der Fall ist, dann ist ux0 offensichtlichnicht richtig gewahlt, sondern muss auf − 1

4 (a− b) korrigiert werden.

Der Maximalwert der Wolbfunktion wird damit: uxmax =MT

8Gabδ(a− b).

Fur ein Stahlprofil (G = 160 GPa , a = 60 mm , b = 30 mm , δ = 2 mm ,τmax = 210 MPa ) bedeutet das ux max = 5 µm .

11.4. Torsion dunnwandiger offener Querschnitte

Offene Querschnitte lassen sich oft als zusammengesetzt aus schmalen Recht-

ecken beschreiben. Die Rechtecke erfahren alle dieselbe Drillung, wenn der Ge-

228

11.4. Torsion dunnwandiger offener Querschnitte

samtquerschnitt tordiert wird. Das gesuchte Torsionstragheitsmoment ist danndie Summe der Torsionstragheitsmomente aller beteiligten Rechtecke.

Was man braucht, ist das Torsionstragheitsmoment eines einzelnen Rechtecks.Dazu entwickelt man die Vorstellung, dass die Schubspannungsverteilung des

Kreisquerschnitts, bei dem die Schubspannungsrichtung der außeren Kontur

folgt und der Betrag zur Mitte linear auf 0 abfallt, im Prinzip erhalten bleibt,wenn sich die Außenkontur verandert.

y

z

dy

L

h

Demnach ist in einem geschlossenen rechteckigen Streifen (grau unterlegt), der

als Kastenprofil (Wandstarke dy, Breite 2y und Hohe L − h + 2y) interpretiertwerden kann, die umlaufende Schubspannung:

τxs(y) = τ0y

h/2

D.h. der Streifen tragt nach der 1. BREDTschen Formel (11.8) das Teilmoment

dMT = 2τxs(y)Am(y) dy = 4τ0y

h2y(L− h + 2y) dy

und die ganze Flache das Torsionsmoment

MT =8τ0

h

h/2∫

0

((L− h)y2 + 2y3

)dy =

1

3Lh2τ0

(1− 1

4

h

L︸︷︷︸1

)

D.h. die Schubspannung τ0 auf dem Außenrand berechnet sich also mit:

τ0 = 3MT

Lh2(11.13)

229


Die 2. BREDTsche Formel (11.11) fuhrt zum Torsionstragheitsmoment fur dasbetrachtete Rechteck, bzw. zuerst einmal zum dem Anteil des gedanklich her-

ausgenommenen, in der Skizze grau unterlegten Kastens:

dIT =4(2y(L− h + 2y)

)2

4y + 2(L− h + 2y)dy

Da sich dieser Ausdruck zwar nicht gerade der Integration entzieht, aber im-merhin zu außerst komplizierten Ergebnissen fuhrt, wird sowohl der Zahler als

auch der Nenner durch eine obere Grenze abgeschatzt, (L > L − h + 2y) und(h/2 > y).

dIT ≈4(2yL)2

2h + 2Ldy → IT ≈

8L2

h + L

h/2∫

0

y2 dy =1

3

Lh3

1 + hL

≈ Lh3

3

Damit lasst sich die Randschubspannung (11.13) mit dem Torsionstragheitsmo-ment ausdrucken.

τ0 =MT

ITh

Das Torsiontragheitsmoment eines zusammengesetzten offenen dunnwandigen

Querschnitts (n rechteckige Teilflachen) ist also:

IT =1

3

n∑

i=1

Lih3i (11.14)

Das Moment verteilt sich auf Teilrechtecke gemaß ihres Anteils am Torsions-

tragheitsmoment.

MTi =MT

ITITi → τ0i =

MIi

ITihi =

MT

IThi → τmax

0 =MT

IThmax

Womit die Berechnung der maximalen Randschubspannung fur den Spannungs-

nachweis gegeben ist.

11.4.1. Verwolbung offener Querschnitte

Offene dunnwandige Querschnitte sind wesentlich torsionsweicher als entspre-

chende geschlossene, wie z.B. das Vierkantprofil, das als Beispiel vorgestellt

230

Beispiel Spiralfeder (Torsionsfeder)

wurde (a = 60 mm , b = 60 mm , δ = 2 mm ). Ein gleich großes, aber an einerEcke geschlitztes Profil hatte nur noch ein Torsionstragheitsmoment von

IoffenT = 2(a + b)δ3 = 1440 mm4 , Igeschlossen

T =2a2b2δ

a + b= 144000 mm4

also von nur noch 1% des vergleichbaren geschlossenen Profils. Entsprechendgroßer wird die Verwolbung sein.

Die ist bei offenen dunnwandigen Querschnitten einfach zu berechnen, weil dielineare Verteilung der Schubpannungen uber der Wand immer den Schubfluss

t = 0 zur Folge haben. D.h. von (11.12) bleibt nur das zweite Integral ubrig.

ux(s) = ux0 − 2MT

GITA(s) = ux0 − 2θ′A(s) (11.15)

Angewandt auf das Beispiel geschlitztes Vierkantprofil kommt heraus, dass sich

die Ufer des Schlitzes um

2MT

GITAm = 2

τmaxab

Gδ= 2.36 mm

gegeneinander verschieben. Das ist nicht mehr vernachlassigbar.

Beispiel Spiralfeder (Torsionsfeder)

Berechnung der Federsteifigkeit c.

f

2α

R

Mt

R dθ

ds

Mt = FR

α

R dθ

F

Rd

dθ

x ds

231


Der Draht soll gegenuber dem Federdurchmesser dunn genug sein, dassein Stuck Feder der Lange ds als gerade angesehen werden kann. Dieses

Stuck Draht erfahrt wegen des konstanten Torsionsmomentes MT = RFund des konstanten Torsionstragheitsmomentes IT = π

32d4 die konstantenDrillung D = MT /(GIT ), also tordiert es sich um

dθ =MT

GITds

Aufgrund dieser Verdrehung senkt sich der Mittelpunkt der Feder um den

Betrag

df = R dθ cosα = RMT

GITcosα ds

ab. (Das betrachtete Stuck steht um den Winkel α schief zur Federach-se.) Uber die gesamte Drahtlange l der Feder gerechnet, fuhrt das zum

Federweg f .

f = cosαMT

GITR

∫

l

ds = RMT

GITl cosα

2πR

Uα

Die Drahtlange l ist Anzahl der Windungen (n) malder Abwicklung einer Windung (U = 2πR/ cosα),

d.h.:

f = 2nπR2 MT

GIT=

64nR3

Gd4F → c =

Gd4

64nR3

232

Teil III.

Wiederholung undVertiefung

233

12. Technische Mechanik -Zusammenfassung

Die Mechanik beschaftigt sich mit der Bewegung von materiellen Korpern unter

dem Einfluss von Kraften. Sie bemuht sich, die beobachtbaren physikalischenPhanomene mathematisch zu modellieren und damit berechenbar zu machen.

Das Ziel sind verlassliche Prognosen zum mechanischen Verhalten von Korpern,

sprich Bauteilen und Strukturen.

Auf dem Weg dahin sind einige Definitionen notig. So ist z.B. ein materiellerKorper ein mit Materie gefulltes Volumen im Raum, dessen Lage und Form sich

andern kann, sein Inhalt, die Materie, aber nicht: Sie nimmt weder zu noch ab.

Wenn doch, dann ist ein weiteres materiegefulltes Volumen hinzugekommen(oder weggenommen worden) und man behandelt jetzt einen anderen (zusam-

mengesetzten) Korper, also ein anderes Problem.

12.1. Begriffe der Mechanik

Masse Materie hat Masse. Masse ist immer positiv. Masse ist immer konstant.

Letzteres ist nur richtig, solange sich der betrachtete Korper langsam bewegt

im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit. (Wenn nicht, dann muss man zur rela-tivistischen Mechanik greifen.) Und Antimaterie wird als nicht von dieser Welt

ausgeschlossen.

Korper mit Masse haben zwei beobachtbare physikalische Eigenschaften: Sie

sind schwer und sie sind trage. Schwer heißt, sie werden von anderen Korpernangezogen, so wie sie andere Korper an sich heranziehen. Das Phanomen nennt

man Gravitation.

Der Effekt ist schwach, aber sein Einflussbereich ist unendlich. Er halt Planeten

und ganze Galaxien auf ihrer Bahn, hat aber nichts damit zu tun, wenn sichFußganger auf dem Burgersteig anrempeln. Um auf die verhaltnismaßig kleine

Masse eines Fußgangers Einfluss zu haben, braucht es schon die Masse der

235

12. Technische Mechanik - Zusammenfassung

ganzen Erde. Diesen Einfluss spurt der Fußganger als sein Gewicht.

Die Tragheit der Masse bezieht sich auf die Schwierigkeit, die man hat, den

Geschwindigkeitszustand einer Masse zu andern. Dabei geht es nicht nur umden Betrag der Geschwindigkeit (z.B. Anfahren und Bremsen eines Fahrzeugs)

sondern auch um die Richtung. Ein Hundert-Meter-Laufer, der kurz vor dem

Ziel scharf zur Seite abbiegen soll, hat Schwierigkeiten.

Die Masse muss in einem Korper nicht gleichverteilt sein, sondern kann an je-dem Ort x einen anderen Wert haben. Man nimmt sich deshalb die Freiheit,

den Korper gedanklich in Teilvolumina 4V aufzuteilen, die klein genug sind,

dass man in ihrem Inneren von einer Gleichverteilung der Masse reden kann.Da aber die Große von4V nicht von vorne herein festgelegt werden kann, das

Ergebnis aber von ihr abhangt, tut man gut daran, ihren Einfluss hinauszuwer-

fen. Man definiert die spezifische Masse ρ (besser bekannt als das spezifischeGewicht). Sie ist nichts anderes als die Masse pro Volumeneinheit.

ρ(x) = lim4V →0

4m

4V=

dm

dV→ m =

∫∫∫

V

ρ(x) dV

Hier klafft mechanische Modellierung und physikalische Realitat zum ersten

Mal auseinander. Wer bei realen Materialien immer kleiner werdende Bereiche

bei ausreichender Vergroßerung betrachtet, wird immer chaotischere Dinge be-merken. In diesem Falle engstes Nebeneinander verschieden dichter Materialien

bis hin zu Poren. (Das sind ’leere’, zumindest nur gasgefullte Volumina. )

Die Mechanik behilft sich hier mit statistischen Mittelwerten der realen Vertei-

lungen und erfindet damit das sogenannte homogenisierte Material. Das hatden Vorteil, auch bei feinster Unterteilung im materiellen Korper kontinuierlich

verteilt auszusehen. So eroffnet sich die Benutzung der Differenzialmathematik,

was eine erhebliche Vereinfachung bedeutet.

Krafte Das, was die erwahnten Schwierigkeiten bei der Anderung des Ge-

schwindigkeitszustands von Korpern beheben kann, sind Krafte. D.h. man kann

die Wirkung von Kraften daran messen, was sie mit dem Geschwindigkeitszu-stand eines Korpers anstellen. Aus dieser Beobachtung liest man z.B. ab, dass

Krafte einen Betrag und eine Richtung haben, was wiederum nahelegt, zum

mathematischen Umgang mit Kraften das mathematische Werkzeug Vektorrech-nung zu benutzen.

Krafte entstehen entweder volumenhaft verteilt durch physikalische Felder im

Zusammenhang mit physikalischen Eigenschaften der Materie (Gravitation, Mag-

236


netismus, Temperatur) oder im flachenhaften Kontakt zwischen Korpern (Wind-druck auf Segel, Hertzsche Pressung). Letzteres ist eigentlich auch eine vo-

lumenhaft verteilte Kraftwirkung, nur lokal außert begrenzt: Es sind namlich

letztendlich die atomaren Kraftfelder, die verhindern, dass sich Materie gegen-seitig durchdringt.

Da Kontaktflachen sehr klein sein konnen, hat die Mechanik das Modell der Ein-zelkraft eingefuhrt. Hier schrumpft die Kontaktflache zum ’Kraftangriffspunkt’

an der Stelle r. Eine Einzelkraft F ist immer die ’Resultierende Kraft’ einerflachenhaft oder volumenhaft verteilten Kraftwirkung. Genauso gut kann aber

auch die Resultierende Kraft eines ganzen Systems von Einzelkraften gebildet

werden, das an einem materiellen Korper angreift.

R =∑

F i

Momente Neben den translatorischen Geschwindigkeitszustanden, die Korperhaben konnen (alle Punkte des Korpers bewegen sich auf parallelen Geraden),

gibt es noch die Moglichkeit der Rotation. Die wird hervorgerufen durch die

Tatsache, dass Krafte an definierten Punkten angreifen, also zu (wie auch im-mer gegebenen oder gedachten) Drehachsen bestimmte senkrechte Abstande

haben, in anderen Worten: Hebel. Wenn jetzt noch eine Komponente der Kraft

senkrecht zur Drehachse am Ende des Hebels wirkt, dann erzeugt die Kraftbezuglich der Drehachse ein (Dreh)-Moment. Mit Hilfe der Vektorrechnung lasst

sich das elegant ausdrucken:

M c = (r − rc)× Fr : Kraftangriffspunkt von F

rc : Aufpunkt der Drehachse

Das gilt selbstverstandlich auch fur flachenhaft verteilt angreifende Kraftwir-kungen f (x) in einer Kontakt- oder Schnittflache A.

M c =

∫∫

A

(r(x)− rc

)× f(x) dA

Daraus modelliert die Technische Mechanik analog zur Einzelkraft das Einzel-

moment M . Den Bezugspunkt nennt man den ’Momentenangriffspunkt’.

Das Resultierende Moment eines Kraftsystems, das auf einen Korper wirkt, ist:

M c =

m∑

i=1

M i +

n∑

j=1

(rj − rc)× F j

M i : i-tes Einzelmoment

rj : Kraftangriffspunkt vonEinzelkraft F j

rc : Ort von Bezugspunkt C237


Schnittprinzip Um sich auf das Wesentliche zu konzentrieren, schneidet die

Mechanik den betrachteten Korper (oder Teilkorper) gedanklich aus seiner Um-gebung heraus und teilt seine freigelegte Oberflache in Abschnitte ein, in denen

die Wechselwirkung mit der fruheren Umgebung relevant ist, und solche, indenen sie ignoriert werden kann.

An den relevanten Stellen werden geeignet modellierte Kraftwirkungen ein-gefuhrt (außere Lasten, Auflagerreaktionen, Federkrafte, Spannungen). Damit

entsteht ein Modell des ursprunglichen Problems, bestehend aus dem (ideali-

sierten) Korper und dem Kraftesystem, das ihn belastent, in den meisten Fallenbegleitet von einigen geometrischen Nebenbedingungen, z.B. an den Stellen,

wo die Umgebung so unnachgiebig ist, das keine Bewegung stattfinden kann.

Materialeigenschaften Die Technische Mechanik befasst sich nur mit Fest-korpern. Das sind solche, in denen die materiellen Punkte einer Nachbarschaft

immer zueinander in gleicher Nachbarschaft bleiben, also z.B. nicht umeinan-

der herum wandern, wie es Sandkorner und andere Schuttgut-Teilchen machen.Flussigkeiten sind erst recht ausgeschlossen.

Die materiellen Punkte eine Korpers durfen aber durchaus naher aneinanderheran oder weiter auseinander rucken oder sich bei Scherung etwas zueinander

versetzen. Das hat zur Folge, dass das Volumen und die Gestalt des Korpers sichandern konnen. Diese Verformungen mussen aber reversibel sein (Elastizitat)

und, wenn’s geht, proportional zu Belastung (lineare Elastizitat).

Eine andere Idealisierung von Materialverhalten ist der undeformierbare Starr-

korper, den es in Wahrheit nicht gibt, der aber immer dann als Ersatzmodell

genommen wird, wenn es auf die Verformungen nicht ankommt. (Beim Fahr-verhalten eines Fahrzeugs ist es zweitrangig, ob sich das Fahrzeug etwas ver-

windet. Bei Motorradern lasst sich daruber allerdings streiten.)

Uberhaupt werden die meisten Losungsschritte in der Technischen Mechanik

unter der Voraussetzung angegangen, dass der Korper starr ist. Das hat haupt-sachlich damit zu tun, dass die technisch eingesetzten Materialien im Ingenieur-

wesen sehr fest sind, also unter Belastung nur kleine Verformungen zulassen.

Das fuhrt dazu, dass sich die Geometrie einer Struktur unter Belastung kaumvon der unbelasteten Lage unterscheidet. Alle Uberlegungen zur Großenord-

nung von Kraften werden deshalb am unverformten Korper durchgefuhrt, oder,in anderen Worten, die Struktur wird fur den Moment als starr angesehen. Das

nennt man eine Theorie 1. Ordnung.

238


Korper Je nach Betrachtungspunkt halt die Technische Mechanik mehrere

idealisierte Modellkorper vor. Der einfachste ist die Punktmasse, die keinerleiAusdehnung und sonstige Eigenschaften außer ihrer Masse hat.

Bei den Starrkorpern sticht die zylindrische Scheibe heraus und alle Korper, dieum ihre Symmetrieachse rotieren.

Korper, deren einzige Bewegung ihre Verformung ist, sind der Zugstab, der Bie-

gebalken und der Torsionsstab, deren Massebelegung meistens ignoriert oder

allenfalls als linienhaft verteilt wirkende Streckenlast berucksichtigt wird. Wenndie Massenbelegung nicht ignoriert werden kann, werden diese Geometrien

dank ihrer elastischen Eigenschaften zu schwingfahigen Gebilden und sind da-

mit Thema der Schwingungstechnik.

Andere Geometrien, wie die Membran und die Schale, sind ohnehin Themaanderer Teilgebiete der Mechanik.

Masselose Komponenten Mehrteilige Strukturen enthalten Konstruktions-

komponenten, die auf ihre Haupteigenschaft reduziert werden und dabei alleanderen Eigenschaften verlieren. Dazu zahlen Federn und Dampfer.

Fc = Fc0 + cx︸︷︷︸Translationsfeder

, Mc = Mc0 + c∗φ︸︷︷︸Rotationsfeder

, Fd = dx︸︷︷︸Dampfer

Diese Komponenten werden als masselos angesehen, auch wenn sie so nie kon-

struiert werden konnen. (Die Symbole Fc0 und Mc0 bezeichnen Vorspannkrafte

bzw. -momente.)

Ebenso masselos sind alle Auflager und Gelenke, wie auch Seile und Umlenkrol-

len. Seile sind daruber hinaus auch undehnbar und konnen ohne Widerstandbeliebig gekrummt werden. Das nennt man biegeschlaff.

Verzerrungen Im ganz allgemeinen Fall erfahrt jeder Punkt eines Korpers,der im unbelasteten Zustand an der Stelle x war, seine eigene Verschiebung

u(x), wenn sich der Korper durch den Einfluss von Kraften verformt und be-

wegt.

u =

uvw

, x =

xyz

Aus den partiellen Ableitungen der Komponenten von u nach den Koordina-

ten x, y und z eines raumfesten kartesischen Koordinatensystems folgen die

239


sogenannten Verzerrungen, die im einaxialen Fall als spezifische, also auf dieLange bezogene Langenanderung oder spezifischen Querverschiebung interpre-

tiert werden konnen.

ε =

∂u∂x

12

(∂u∂y

+ ∂v∂x

)12

(∂u∂z

+ ∂w∂x

)

12

(∂v∂x

+ ∂u∂y

)∂v∂y

12

(∂v∂z

+ ∂w∂y

)

12

(∂w∂x

+ ∂u∂z

)12

(∂w∂y

+ ∂v∂z

)∂w∂z

Spannungen Das Schnittprinzip, angewandt auf einen allgemeinen Korper,

legt in der Schnittflache flachenhaft verteilt wirkende Krafte frei. Wenn man die-se Krafte, die ja von Ort zu Ort unterschiedliche sein konnen, auf genugend klei-

ne Flacheneinheiten bezieht (so klein, dass die ortliche Anderung nicht auffallt),

dann konnte man das Ergebnis spezifische Krafte nennen.

Weil das zu allgemein ist, geht man noch einen Schritt weiter, setzt die gedankli-chen Schnitte senkrecht zu den Koordinatenachsen und nennt die Komponenten

der dabei heraus kommenden spezifischen Krafte Spannungen; die Komponen-

ten senkrecht zur Schnittflachen: Normalspannungen; die Komponenten, die inder Schnittflache liegen: Schubspannungen. Alle Spannungen, die man in den

drei moglichen Schnitten finden kann, zusammengefasst zu einer Matrix, nennt

man den Spannungszustand. Er ist symmetrisch.

σ =

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

, σxy = σyx, σxz = σzx, σyz = σzy

Der allgemeine Fall, der bei beliebigen Korpern Krafte auf dem Umweg uber

Spannungen, Stoffgesetz und Verzerrungen mit den Verschiebungen verknupft,ist das Problem der Kontinuumsmechanik.

In der Technischen Mechanik werden die großten Vereinfachungen dadurch er-reicht, dass bei einfachen Geometrien die meisten Spannungen vernachlassig-

bar sind, so dass nur eine relevante Spannung ubrig bleibt.

Stoffgesetz Versuche zum Verhalten von Materialproben unter mechanischerBelastung zeigen, dass der materialabhangige Zusammenhang zwischen Kraft-

und Weggroßen auf den Zusammenhang zwischen den beiden spezifischen GroßenVerzerrungszustand und Spannungszustand reduziert werden kann. Der Zu-

sammenhang ist vollig unabhangig von irgendwelchen Langen der Proben. Das

240


Stoffgesetz der Technischen Mechanik ist das Hook’sche Gesetz:

εxx = 1E

(σxx + ν(σyy + σzz)

)+ α4θ

εyy = 1E

(σyy + ν(σxx + σzz)

)+ α4θ

εzz = 1E

(σzz + ν(σxx + σyy)

)+ α4θ

εxy = 12Gσxy, εxz = 1

2Gσxz, εyz = 12Gσyz

Schnittgroßen Bei schlanken Geometrien wie Staben und Balken ist die Quer-

schnittsflache, die bei einem (gedachten) Schnitt quer zuer Langsachse durchden Korper freigelegt wird, so klein, dass diese Geometrien als linienhafte Kor-

per gedanklich auf ihre Achse reduziert werden. In der Schnittflache kann als

Schnittgroße eine Kraft Q und ein Moment M ubertragen werden. Q und M

sind jeweils die Resultierende Kraft und das Resultierende Moment der freige-

legten Spannungsverteilung im Schnitt.

Gemessen an einem korpereigenen Koordinatensytem (x in Achsenrichtung, yund z quer dazu) heißen die Komponenten von Q Normalkraft N und QuerkraftQy und Qz. Das Moment M zerlegt sich in die Komponenten Torsionsmoment

Mx oder Mt und die Biegemomente My und Mz.

Kinematische Hypothesen Eine weitere Vereinfachung, die die TechnischeMechanik vornimmt, sind Annahmen uber die eigentlich gesuchte Losung, z.B.

uber das Verschiebungsfeld bei Staben und Balken (z.B. Bernoulli-Hypothese).

Damit reduziert sich die Anzahl der Unbekannten drastisch und die bleibendenUnbekannten hangen von weniger Variablen ab.

Biegebalken: statt u(x) nur noch w(x).

Nebenprodukt solcher vereinfachenden Ansatze sind Flachen- und Torsions-

tragheitsmomente.

241


12.2. Bilanzgleichungen der Mechanik

Die Mechanik kommt mit drei Bilanzgleichungen aus. Die erste wurde schonerwahnt: Die Masse eines Korpers bleibt konstant.

m = 0

Die zweite Bilanz bezieht sich auf eine Bewegungsgroße, die nicht gleich offen-

sichtlich ist. Es brauchte schon eine Person wie ISAAC NEWTON, um darauf zukommen. Die Bewegungsgroße ist der sogenannte Impuls I , das Produkt aus

Masse und Geschwindigkeit, I = mv. Der Impuls eines Korpers verandert sich

im Lauf der Zeit gemaß der Resultierenden R aller Krafte, die an ihm angreifen.

I = mv = mx = R (Punktmasse) (12.1)

Im Falle einer inhomogenen Massenverteilung ρ(x), und wenn die Punkte des

Korpers keine homogene Beschleunigungsverteilung haben, wird daraus

I =

∫∫∫

V

ρ(x)x dV = R

Das schlagt sich aber erst in weiterfuhrenden Themen der Mechanik nieder

(Schwingungstechnik, Kontinuumsmechanik). Im Rahmen der Technischen Me-

chanik fuhrt es bei den Starrkorpern zu der Aussage:

I = mvs = mxs = R vs = xs : Schwerpunktsgeschwindigkeit

Die dritte Bilanz betrifft eine weitere Bewegunsgroße, die mit dem Impuls I

verwandt ist, den Drall oder Drehimpulsvektor Dc bezuglich des raumfestenPunktes C.

Dc =

∫∫∫

V

(r − rc)× v(r) ρ(r) dV

Die Bilanz heißt:

Dc = M c M c : Resultierendes Moment bzgl. Punkt C

Gleichwertig ist die Aussage fur den Drall Ds bezuglich des im Raum bewegten

Schwerpunktes S.

Ds = Ms M c : Resultierendes Moment bzgl. Schwerpunkt

Auf diesen drei Bilanzen (Massenbilanz, Impulsbilanz (besser bekannt als (Im-

pulssatz), Drehimpulsbilanz (ebenfalls besser bekannt als Drallsatz) basiert dieganze Mechanik. Bei deformierbaren Materialien kommen noch Stoffgesetze

hinzu (s.o.).

242

12.2. Bilanzgleichungen der Mechanik

12.2.1. Sonderfall Statik

Wenn sich der Bewegungszustand nicht andern kann, entarten Impulssatz und

Drallsatz zu zwei Vektorgleichungen fur alle beteiligten Krafte, Momente, Auf-

lager und und alle eventuellen Zwischenreaktionen bei mehrteiligen Systemen.

pro Teilsystem:∑

F i = 0 und∑

M iR = 0

Die Auswertung erfolgt komponentenweise. Die Momentengleichungen brau-

chen dazu einen beliebigen Bezugspunkt R, der auch fur jede Gleichung einanderer sein kann. Die sechs skalaren Gleichungen sind die sogenannten Gleich-

gewichtsbedingungen. Sie reichen zur Bestimmung von sechs Unbekannten.

Starre Systeme mit mehr unbekannten Auflagerreaktionen, als Gleichungen

vorhanden sind, aus denen man sie bestimmen konnte, heißen statisch uber-bestimmt und sind nicht losbar, wenn man nicht die elastische Verformbarkeit

ins Spiel bringt, z.B. indem man die starren Auflager durch Federn ersetzt.

Bei linienformigen Systemen folgt die Berechnung der sechs Schnittgroßen N ,

Qy, Qz, Mt, My und Mz fur einen Schnitt an einer beliebigen Stelle x aus ent-sprechenden Gleichgewichtsbedingungen. Die beste Wahl fur den Bezugspunkt

der Momentengleichungen ist die Schnittstelle x selbst.

243


244

13. Mechanik der Punktbewegung

13.1. Geschwindigkeit, Beschleunigung undkrumme Bahnen

Mit einem Ortsvektor x, der einen Punkt P verfolgt, dessen Ort sich im Lauf der

Zeit t entlang einer Bahn andert, lasst sich die Geschwindigkeit des Punktes P

durch einen Grenzubergang definieren.

v =

vx

vy

vz

= lim

4t→0

4x

4t=

xyz

Entsprechend ergibt sich die Beschleunigung, also die zeitliche Veranderung derGeschwindigkeit, aus einem weiteren Grenzubergang.

a =

ax

ay

az

= lim

4t→0

4v

4t=

vx

vy

vz

=

xyz

D.h. a = v = x

Die Geschwindigkeit v ist immer tangential zur Bahnkurve. D.h., der Tangen-teneinheitsvektor folgt direkt aus der Geschwindigkeit v.

et =v

|v| =v

s→ v = s et → a = v = s et + s et (13.1)

Darin ist s die Bogenlange, mit der der Weg gemessen wird, der auf der Bahnzuruckgelegt wird.

Der Einheitsvektor et und seine Zeitableitung stehen senkrecht aufeinander, wie

man leicht mit der Zeitableitung seines Skalarproduktes mit sich selbst bewei-

sen kann:(et · et = 1

)·→ et · et + et · et︸︷︷︸

2et · et

= 0 → et ⊥ et

245


D.h., die Beschleunigung a ist im Gegensatz zur Geschwindigkeit nicht immernur tangential zur Bahn: a = at + an mit

at = s et, an = s et (13.2)

Dabei hangt der Betrag der Normalbeschleunigung an nicht nur von der Ge-

schwindigkeit s ab, mit der man auf der Bahn vorwarts kommt, sondern auch

von der Geschwindigkeit, mit der sich die Tangente dreht (et). Die hangt wiedervon der Geschwindigkeit s ab, aber auch davon, wie krumm die Bahn gerade

ist.

Die Tangentendrehung bekommt man heraus, wenn man den Tangentenein-

heitsvektor et nicht nach der Zeit, sondern nach der Bogenlange s ableitet. Esentsteht ein Vektor mit unterschiedlichem Betrag, je nachdem wie stark sich an

der Stelle s die Tangente verdreht.

e′t =

det

ds

Der Vektor e′t zeigt von der Kurve auf den Mittelpunkt des Krummungskreises.

Das ist der Kreis, der sich an der Stelle s an die Kurve schmiegt. Seinen Radiusρ nennt man den Krummungsradius, der Kehrwert davon ist die sogenannte

Krummung κ, sie ist der Betrag von e′t. Bei geraden Bahnen ist die Krummung

Null.

Wenn die Krummung ungleich Null ist, kann man aus e′t einen Einheitsvektor

bestimmen, den sogenannten Normaleneinheitsvektor en:

en =e′

t

|e′t|

=e′

t

κ= ρe′

t

Der Normaleneinheitsvektor hangt mit der zeitlichen Anderung des Tangenten-einheitsvektors zusammen, wie man aus der Kettenregel sehen kann.

et

(s(t)

)=

det

ds

ds

dt= s e′

t =s

ρen → an =

s2

ρen (13.3)

Die letzte Aussage greift auf (13.2) zuruck. Damit wird die Beschleunigung

eines Punktes auf einer Bahn zu:

a = s et +s2

ρen (13.4)

Angewandt auf eine Kreisbahn mit dem Radius R, d.h. ρ = R, und der Ge-schwindigkeit s = Rω kommt als Zentripetalbeschleunigung an = Rω2 en

heraus.

246

13.2. Bewegte Bezugssysteme


Der Impulssatz (12.1) gilt in Inertialsystemen, d.h. in Systemen, die absolut in

Ruhe (inert) sind oder eine gleichformige gradlinige Bewegung ausfuhren. In

einem solchen Bezugssystem (z.B. Maschinenfuß) stellen sich die Bewegungen(z.B. von mehrgliedrigen Roboterarmen) in aller Regel als sehr komplizierte

Raumkurven dar, obwohl alle beteiligten Bauteile relativ zu ihren Nachbarnnur einfache Drehungen oder Translationen ausfuhren. Der Ausweg aus diesem

Kinematikproblem, wenn man seine Auswirkungen auf den Impulssatz unter-

suchen will, sind mitbewegte (Hilfs)-Koordinatensysteme.

Allerding erhebt sich dabei die Frage, welches Bezugssystem wirklich in Ru-

he ist. Das System, in dem Newton seine Schlussfolgerungen zog, war es nicht.Schließlich dreht sich die Erde – nicht nur um sich, sondern auch um die Sonne,

und die wieder bewegt sich in der Galaxis usw. Abgesehen davon verschieben

sich die Kontinentalplatten. Man merkt es normalerweise nicht. Manchmal ver-ursacht die Kontinentaldrift aber Erdbeben. Die merkt man.

Offensichtlich hangen die Auswirkungen der Relativbewegung eines mitbeweg-

ten Bezugssystems gegenuber dem eigentlichen Inertialsystem von der Große

der Beschleunigung ab, mit der sie vonstatten geht. Kontinentaldrift, Erddre-hung und Planetenbahnen lassen sich vernachlassigen, solange man nur Phano-

mene betrachtet, die ins Auge stechen. Anderes lasst sich dann aber nicht er-

klaren, z.B. warum sich Windhosen und Strudel drehen und warum sich Schie-nen in Nord-Sud-Richtung ungleich abnutzen.

Um die Interaktion zwischen zwei Koordinatensystemenbeschreiben zu konnen, von denen sich das eine rela-

tiv zum anderen bewegt, werden einige Bezeichnungen

eingefuhrt: Der Urprung des bewegten Systems (ξ, η,ζ) ist zu einem Zeitpunkt an der Stelle r0 (gesehen

vom raumfesten System) und steht eventuell schief da-

zu. Das bewegte dreht sich mit der Winkelgeschwindig-keit ω gegenuber dem festen und sein Ursprung bewegt

sich mit der Geschwindigkeit v0. v0 und ω konnen sichim Lauf der Zeit andern.

ex

r

eζP Ω

eηr∗

ez

ey

eξr0

Ein Punkt P im Raum befindet sich am Ort r, gesehen vom raumfesten Basis-sytem. Vom Ursprung des mitbewegten Systems fuhrt der Vektor r∗ zum Punkt

P.

r = r0 + r∗ (13.5)

247


Die Geschwindigkeit des Punktes P ist

v = r = r0 + r∗ = v0 + r∗ (13.6)

Die Geschwindigkeit v0 ist die Geschwindigkeit des mitbewegten Koordina-tenurprungs.

Der Vorteil dieser Aufspaltung wird klar, wenn man davon ausgeht, dass

r∗ = ξeξ + ηeη + ζeζ

im mitbewegten Bezugssystem angegeben werden kann. Die Zeitableitung wird

dann (mit Produktregel):

r∗ = ξeξ + ηeη + ζeζ︸︷︷︸Def.: v∗ =

dr

dtr∗

+ ξeξ + ηeη + ζeζ (13.7)

Die vorderen drei Terme nennt man die Relativableitung nach der Zeit, d.h. der

Beobachter steht im mitbewegten Basissystem und bestimmt ohne Wahrneh-

mung der Außenwelt die Relativgeschwindigkeit v∗ des beobachteten Punkteszu sich. Die Tatsache, dass sich das mitbewegte Bezugssystem zur Außenwelt

mit ω verdreht, steckt in den zweiten drei Termen.

Ein Einheitsvektor e, der sich mit ω im Raum dreht,

bewegt seine Spitze auf einer Kreisbahn um seinen Ur-sprung, wobei nur der Teil von e zum Tragen kommt,

der senkrecht auf der Drehachse steht. Diesen Zusam-

menhang beschreibt das Kreuzprodukt. D.h.

ω

ee

eξ = ω × eξ eη = ω × eη eζ = ω × eζ

Damit folgt fur die Zeitableitung von r∗:

r∗ =drr

∗

dt+ ξω × eξ + ηω × eη + ζω × eζ

=drr

∗

dt+ ω × (ξeξ + ηeη + ζeζ︸︷︷︸

r∗(s.o.)

) (13.8)

→ v(13.6)= v0 + ω × r∗

︸︷︷︸vf

+drr

∗

dt= vf + v∗ (13.9)

248


Die Terme darin, die von v0 und ω beeinflusst sind, definieren die Fuhrungsge-schwindigkeit vf . v∗ ist die Relativgeschwindigkeit.

Der nachste Schritt zur Auswertung des Impulssatzes ist die Bestimmung derBeschleunigung.

a = v = vf + v∗ = v0 + ω × r∗ + ω × r∗ + v∗

Darin ist die Ableitung der Relativgeschwindigkeit:

v∗ =

(drr

∗

dt

)·= ξeξ + ηeη + ζeζ︸︷︷︸

d2

r

dt2r∗

+ ξeξ + ηeη + ζeζ

=d2

rr∗

dt2+ ξω × eξ + ηω × eη + ζω × eζ

(13.7)=

d2rr

∗

dt2+ ω × drr

∗

dt= a∗ + ω × v∗ (13.10)

Mit (13.8) und (13.10) lasst sich die Gesamtbeschleunigung angeben:

a = r0 + ω × r∗ + ω ×(

drr∗

dt+ ω × r∗

)+

d2rr

∗

dt2+ ω × drr

∗

dt

= a0 + ω × r∗ + ω × (ω × r∗)︸︷︷︸af

+ 2ω × drr∗

dt︸︷︷︸ac

+d2

rr∗

dt2︸︷︷︸a∗

(13.11)

Auch hier werden die Terme, die nur von r0 und ω und ihren Zeitableitungen

und dem momentanen Wert r∗ beeinflusst werden, zur Fuhrungsbeschleunigung

af zusammengefasst. Der Term, der eine Sonderstellung einnimmt, weil er eineFuhrungsgroße (ω) mit einer Relativanderung (v∗) verbindet, heißt Coriolis-

Beschleunigung. Der ubrig bleibende Term ist die Relativbeschleunigung.

249


Beispiel Pendel

R

M η

ξ g

y

x

m

φ

Ein Pendel hangt im Schwerfeld der Erde und wird

durch das Moment M(t) angetrieben. Das im Gelenkam Pendel festgemachte mitbewegte Koordinatensy-

stem (ξ, η, ζ = z) bewegt sich mit der Winkelgeschwin-

digkeit ω = φez. Die Winkelbeschleunigung ist ω =φez .

Da beide Koordinatensysteme denselben Ursprung ha-

ben, ist r0 = 0 . Der Ortsvektor im mitbewegten Koor-dinatensystem ist r∗ = Reξ, konstant. Daraus folgt mit

(13.11):

a = a0︸︷︷︸0

+ Rφ ez × eξ︸︷︷︸ω×r∗

+ Rφ2 ez × (ez × eξ)︸︷︷︸ω×(ω×r∗

)

+ 2ω × drr∗

dt︸︷︷︸0

+d2

rr∗

dt2︸︷︷︸0

und mit (13.9) die Gesamtgeschwindigkeit, die hier nicht weiter interes-

sant ist, aber zur spateren Verwendung mit angegeben wird.

v =< v0︸︷︷︸0

+ Rφ ez × eξ︸︷︷︸ω×r∗

+drr

∗

dt︸︷︷︸0

Auswertung (mit ez = eζ)

a = Rφ

eη︷︸︸︷eζ × eξ + Rφ2

−eξ︷︸︸︷eζ × (eζ × eξ︸︷︷︸

eη

)

= Rφ eη −Rφ2eξ (13.12)

v = Rφ

eη︷︸︸︷eζ × eξ = Rφeη (13.13)

Das sind die bekannten Ergebnisse fur die Tangential- und Radialbeschleu-

nigung des mathematischen Pendels, die im Impulssatz mit den wirken-den Kraften (Normalkraft N , Querkraft Qη = −Mζ/R, Gewichtskraft mg)

korrespondieren.

250

Beispiel Drehbarer Teleskop-Arm

MζR

Qη

N

mg

N

Qη

φ

maη = mRφ = −mg sinφ−Qη = −mg sin φ +Mζ

R

→ φ = − g

Rsinφ +

Mζ(t)

mR2Bewegungsgleichung

maξ = −mRφ2 = −N + mg cosφ

→ N = mRφ2 + mg cosφ Auflagerreaktion

Das einfache Beispiel lasst sich erweitern, z.B. dadurch, dass die Pendellange

nicht mehr konstant bleibt, ξ = R(t). Damit werden die bislang nicht vorhan-

denen Terme Coriolis-Beschleunigung ac und Relativbeschleunigung a∗ aktiv:

r∗ = ξeξ → v∗ =drr

∗

dt= ξeξ → a∗ =

d2rr

∗

dt2= ξeξ

→ ac = 2φξ ez × eξ = 2φξ eη

Beispiel Drehbarer Teleskop-Arm

η

R(t)

M

y

ξ

x

gφ

Beschleunigung, s. (13.12):

a = Rφ eη −Rφ2eξ + 2φR(t) eη + R(t)eξ︸︷︷︸neu

(13.14)

Gegeben:

ξ = R(t), ξ = R(t), ξ = R(t)

φ = φ(t), φ = φ(t), φ = φ(t)

M = (Mξ, Mη, Mζ) : Antriebs- bzw. Auflagermoment.

251


Qζ

Qζ

Qη

N

mgR(t)

N

Qη

Mξ

Mη

Mζ

→ maξ = −mRφ2 + mR = −N + mg cosφ

→ N = m(R(t)φ2(t)− R(t) + g cosφ

)

maη = m(Rφ + 2φR) = −Qη −mg sin φ

→Mζ = m(R2(t)φ(t) + 2R(t)φ(t)R(t) + g sin φ

)

maζ = 0 = −Qζ →Mη = 0

Die Ergebnisse sind die Bestimmungsgleichungen fur die notwendigen

Antriebsmomente und Krafte, die fur die gewunschte Bewegung φ(t), R(t)aufzubringen sind.

Etwas anders liegt der Fall, wenn sich die Lange R = ξ nicht angetriebenverandert, sondern durch elastische Verformung entsteht.

Beispiel Federpendel

Beschleunigung s. (13.14): a = ξφ eη − ξφ2eξ + 2φξ eη + ξeξ

gφx

R0

y

η

ξ

c

entspannt

Auswertung mit F c = −c(ξ −R0)eξ :

maξ = m(ξ − ξφ2) = −c(ξ −R0) + mg cosφ

→ ξ = ξφ2 − c

m(ξ −R0) (1)

maη = m(ξφ + 2φξ) = −Qη −mg sinφ

→ −Qηξ = mξ(ξφ + 2φξ + g sin φ) = Mζ!= 0

→ φ = −2φξ + g sin φ

ξ(2)

252

Beispiel Federpendel

Mit diesen zwei gekoppelten, nicht linearen Differenzialgleichungen zwei-ter Ordnung lassen sich fur beliebige Anfangswerte numerische Simulati-

onsrechnungen durchfuhren.

Fur den Fall, dass die Feder nicht pendelt (φ = 0), geht die erste der bei-

den in die bekannte Differenzialgleichung des ungedampften Ein-Massen-Schwingers uber; fur den Fall, dass die Feder starr ist, kommt die Bewe-

gungsgleichung des mathematischen Pendels heraus.

13.2.1. Zusammengesetzte Bewegungen vonKoordinatensystemen

Wenn das oben beschriebene Pendel aus dem ersten Beispiel nicht in einem

Inertialsystem hangt, sondern sich die Ebene, in der es schwingt, selbst be-

wegt, sich z.B. um die x-Achse dreht, dann wird das bisher unbewegte (xyz)-Koordinatensytem zum mitbewegten.

y

φ

x

ξ

η

X, x

Z

Φ

Y

y

z

ξ

Ω η

Y

yφ

X, x

z, ζΦ

z, ζ

Die bisherigen Absolutvektoren r, v und a werden in dem umliegenden wirk-

lich raumfesten Koordinatensystem (XY Z)zu den Relativgroßen R∗, V ∗ und

A∗. Das denselben Koordinatenursprung haben soll, wie das bisherige (xyz),d.h. R0 = 0 .

(Zur besseren Unterscheidung werden fur die Großen des raumfesten Koordi-

natensystems Großbuchstaben verwendet.) Es gilt,vgl. (13.13), (13.12):

R∗ = Reξ

V ∗ = Rφeη = Rωeη, ω = φ

A∗ = Rφ eη −Rφ2eξ = Rω eη −Rω2eξ , ω = φ

253


Die Bewegung, die (xyz) gegenuber (XY Z) ausfuhrt, soll eine Drehung um dieX-Achse mit Ω = Φ sein, d.h. eX = ex. Der Drehgeschwindigkeitsvektor dieser

Bewegung ist

Ω = Ωex → Ω = Ωex

Die Absolutbeschleunigung ist laut (13.11)

A = A0︸︷︷︸0

+ RΩex × eξ︸︷︷︸˙Ω×R∗

+ RΩ2ex × (ex × eξ)︸︷︷︸Ω×(Ω×R∗

)

+

+ 2 RΩωex × eη︸︷︷︸Ω×V ∗

+ Rω eη −Rω2eξ︸︷︷︸A∗

(13.15)

Dazu gehort die Gesamtgeschwindigkeit (13.9) und der Gesamtvektor (13.5):

V = V 0︸︷︷︸0

+ RΩex × eξ︸︷︷︸Ω×R∗

+ Rωeη︸︷︷︸V ∗

, R = R0︸︷︷︸0

+ Reξ︸︷︷︸R∗

(13.16)

Da inzwischen drei Koordiantensysteme im Spiel sind (s.u.), mit ihren jewei-ligen Einheitsvektoren, muss man sich entscheiden, in welchem man die Er-

gebnisse begutachten will. Das kann mal das am meisten bewegte System sein(Werkzeug am Ende des Roboterarms), mal das raumfeste (Maschinenfuß). Al-

les ist moglich, denn die Zusammenhange der Einheitsvektoren sind bekannt.

Hier z.B. gilt:

eX = ex, eY = cosΦey − sinΦez, eZ = sinΦey + cosΦez

ez = eζ , ex = cosφeξ − sin φeη, ey = sin φeξ + cosφeη

(Angegeben in der Notation, die man zur Beschreibung im Koordinatensystem

(ξηζ) braucht.)

Beispiel Kreis-Pendel

Fur eine konstante Drehgeschwindigkeit Ω entspricht das bisher Beschrie-bene einem sogenannten Kreispendel. Ein Kreispendel ist eine senkrecht

stehende Kreisbahn, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Φ =Ω um die Hochachse dreht. Auf der Kreisbahn bewegt sich reibungsfrei

eine Punktmasse. Einzige wirkende Kraft ist die Gewichtskraft mgeX .

254


In diesem Fall ergibt sich fur die Gesamtbeschleunigung (13.15):

A = RΩ2 ex ×sin φ eζ︷︸︸︷

(ex × eξ)︸︷︷︸− sinφey

+ 2RΩω

sin(φ + π2 )eζ︷︸︸︷

ex × eη + Rω eη −Rω2eξ

mit sin(φ +π

2) = sinφ cos

π

2+ cosφ sin

π

2= cosφ

und ey = sinφeξ + cosφeη

= −R(Ω2 sin2 φ + ω2)eξ + R(ω − Ω2 sin φ cosφ)eη + 2RΩω cosφeζ

(13.17)

Der Impulssatz ergibt die stutzenden Normalkrafte Nξ und Nζ und dieBewegungsgleichung in tangentialer Richtung (η).

ma = Nξeξ + Nζeζ + mg ex︸︷︷︸(cos φeξ−sin φeη)

→ Nξ = mR(Ω2 sin2 φ + ω2)−mg cosφ

ω = φ = Ω2 sin φ cosφ− g

Rsinφ (13.18)

Nζ = −2mRΩω cosφ = −2mRΩφ cosφ

13.2.2. Erddrehung

Die gleichen geometrischen Beziehungen zwischen den beteiligten Einheits-vektoren wie im vorangegangenen Beispiel kann man benutzen, wenn man

den Einfluss der Erddrehung untersuchen will. Die Kreisbahn (mit dem Radi-

us R = 6400 km) ist dann ein beliebiger Langengrad. Der Breitengrad wird mitβ = φ− 90 vom Aquator nach Norden gezahlt, negative β geben eine sudliche

Breite an.

Ein bestimmter Ort auf dem Langengrad ist durch einen bestimmten Winkel φ(bzw. β) gegeben, mit ω = φ = 0.

Wenn man in diesem Punkt mechanische Versuche macht und ein Laborkoor-dinatensystem braucht, kann man auf die schon verwendete Koordinatenrich-

tungen (ξ, η, ζ) zuruckgreifen. Die zeigen nach oben, nach Norden und nach

255


Westen. Man braucht nur einen neuen Koordinatenursprung. Der liegt vom Ur-sprung (XY Z) gesehen an der Stelle r0 = Reξ. Er hat die Geschwindigkeit

v0 = RΩ sinφ eζ , vgl. (13.16). Das Koordinatensystem dreht sich, wie gehabt,

mit ω = Ωex um das raumfeste (XY Z).

Die Beschleunigung a0 seines Ursprungs ist die des Kreispendels (13.17) fur

einen festgehaltenen Winkel φ, also ω = ω = 0.

a0 = −RΩ2 sinφ(

sin φ eξ + cosφeη

)

D.h. auf ein Lot (Punktmasse m, die in Ruhe an einem Seil hangt) wirkt dieGewichtskraft −mgeξ und die Seilkraft S = Sξeξ + Sηeη + Sζeζ .

ma0ξ = −mRΩ2 sin2 φ = −mgphys +

mgDIN︷︸︸︷Sξ

ma0η = −mRΩ2 sin φ cosφ = Sη

ma0ζ = 0 = Sζ

An einem Ort wie Bordeaux (β = 45) kommt mit Ω = −2π/ Tag und R =6368 km heraus, dass

gphys = gDIN + 0.0168m

s2

ist. Außerdem zeigt das Lot um 5.9 Bogenminuten am ideellen Erdmittelpunkt

vorbei. In anderen Worten, der Gravitationsmittelpunkt wird um ca. 11 km ver-passt.

Mit diesen Differenzen kann man gut leben, weil man sie gar nicht merkt, außerdie Erde bliebe stehen. D.h., die Einheitsvektoren eξ, eη, eζ zeigen mit ausrei-

chender Genauigkeit in die Vertikale, und ausreichend horizontal nach Nordenund nach Westen. Sie werden also fur das neu eingefuhrte Labor-Koordinaten-

system beibehalten.

256


mg

mac

Q

h

hF F +4F

Verkehrswesen Wenn sich in diesem Labor einePunktmasse, z.B. ein Waggon, (momentaner Ort r∗ =0 ) mit konstanter Geschwindigkeit v nach Norden

bewegt, dann wird gemaß (13.11) eine Coriolisbe-schleunigung erzeugt.

ac = 2vΩ ex × eη = 2vΩ sin(φ +π

2) eζ

= 2vω cosφ eζ

4Fh

2= Qh = mach, F =

mg

2

D.h. die Masse erfahrt eine Beschleunigung nach Westen von der Große

acζ = 0.0023m

sv

Das fuhrt bei dem Guterwagen (Schwerpunkthohe = Schienenbreite, 80 km/h)

zu einem Unterschied von 1 Promille bei den Aufstandskraften. Das scheintnicht sehr viel, gemessen an den Unterschieden auf Grund von verschieden ge-

stapelter Ladung. Diese Unterschiede sind aber zufallig und gleichen sich sta-

tistisch aus, wogegen der Einfluss der Coriolisbeschleunigung systematisch ist:Die Schienen nutzen sich nach Jahren tatsachlich unterschiedlich ab.

Was man gleich sehen konnte, wenn man nur nachsehen wurde, ist dass ein

Fluss wie der Mississippi (6.5 km breit, 1m/s schnell) am ostlichen Ufer 3 cm

hoher steht als am anderen, weil er fließt.

Wetter Ein Effekt, den jeder sehen kann, entsteht bei Stromungen parallelzur Erdoberflache. Dabei zeigt die Coriolis-Beschleunigung, verursacht durch

die Stromungsgeschwindigkeit und die Erddrehung, immer quer zur Stromungund das mindestens zum Teil parallel zur Erdoberflache, zwingt die Stromung

also in eine auf- oder absteigende Kurve.

Nur am Aquator erfolgt die Coriolisbeschleunigung allein in vertikaler Rich-

tung. Damit wird der Aquator zur Grenzlinie: Auf der Nordhalbkugel entste-

hen Linkskurven, auf der Sudhalbkugel Rechtskurven. Das kann man bei jedemWasserablauf beobachten, aber auch auf Wetterkarten, wo sich Tiefdruckgebie-

te (wo die Luft hinfließt) als Strudel darstellen, auf der Nordhalbkugel gegenden Uhrzeigersinn. Bei Hochdruckgebieten, aus denen die Luft abfließt, ist es

anders herum.

257


13.3. Stabilitat von Gleichgewichtslagen

Bewegliche Systeme mussen sich nicht bewegen, sondern konnen auch in be-

stimmten Positionen in Ruhe sein. Notwendige und hinreichende Bedingung fur

eine solche Gleichgewichtslage ist, dass die Resultierende Kraft und das Resul-tierende Moment verschwinden – in anderen Worten: Das Kraftsystem, dem das

mechanische System unterliegt, ist ein Gleichgewichtssystem.

Der Begriff Gleichgewicht wird auch verwendet, wenn sich die Ruhelage ge-

genuber einem mitbewegten Koordinatensystem einstellt (Fahrgast im Zug).

Die entscheidende Eigenschaft einer Gleichgewichtslage ist ihre Empfindlichkeit

gegenuber Storungen von außen.

stabil indifferent instabil

Je nachdem, ob eine kleine Storung die Position des Systems nur um einen be-schrankten Betrag veandert oder eine Ortsveranderung jenseits jeglicher Schran-

ke hervor ruft, nennt man die ursprugliche Gleichgewichtslage stabil oder insta-

bil. Da die Unterscheidung mathematisch darauf hinaus lauft, zu untersuchen,ob ein charakteristischer skalarer Wert großer oder kleiner als Null ist, gibt es

noch den Begriff indifferent (Wert = Null), wie in der Skizze oben angedeutet.Er ist eine Unterscheidung ohne Bedeutung.

13.3.1. Stabilitatsuntersuchung

In Folgenden sollen nur Ein-Freiheitsgrad-Systeme untersucht werden. SolcheSystem konnen durchaus mehrere Massen beinhalten, die sich translatorisch

bewegen oder rotieren, wie im folgenden Beispiel.

258

Beispiel Winkelpendel

Beispiel Winkelpendel

2m

2a

a

√3a

60

k

m

2mg

x1

q

x2

mg

ky2

q y2

13.3.2. Generalisierte Koordinate, generalisierte Kraft

Bei Ein-Freiheitsgradsystemen existieren eben nur ausreichend viele kinema-

tische Bindungen, so dass alle Einzelbewegungen von einer einzigen geometri-schen Große q abhangen. Eine solche Große nennt man generalisierte!Koordinate.

Deshalb fallen alle Aussagen aus Impuls- und Drallsatz fur die beteiligten Mas-

sen zu einer einzigen Gleichung der Form

Mq = Q(q) (13.19)

zusammen. Dabei ist M von der Dimension einer Masse, wenn die generalisierteKoordinate q ein Weg ist. In diesem Fall ist Q von der Dimension einer Kraft.

Ist die generalisierte Koordinate ein Winkel, dann ist M von der Dimension

eines Massentragheitsmomentes und und Q hat die Dimension eines Momentes,

wird aber trotzdem Kraft genannt, allerdings ’generalisierte’ Kraft.

Beispiel Winkelpendel ff

Bei dem oben angefuhrten Beispiel ist das gemeinsame Massentragheits-moment (2 fest verbundene mathematische Pendel, Pendellange 2a) be-

zuglich des Drehpunktes

Θ = 2m(2a)2 + m(2a)2 = 12ma2

259


Die Orte der Punktmassen nach Verdrehung um q sind in horizontaler undvertikaler Richtung:

x1 = 2a cos(60 + q) = a cos q −√

3a sin q

x2 = 2a cos q

y2 = 2a sin q

so dass der Drallsatz bezogen auf den Drehpunkt letztendlich lautet:

12ma2︸︷︷︸

M

q = −2mgx1 + mgx2 − ky2x2

= 4ka2 sin q(√

3mg

2ka− cos q)

︸︷︷︸Q(q)

(13.20)

13.3.3. Linearisierung um die Gleichgewichtslage

Die moglichen Gleichgewichtslagen q folgen aus der Bedingung

Q(q) = 0 (13.21)

was nichts anderes heißt, als dass die Resultierende Kraft bzw. das ResultierendeMoment verschwindet.

Bei dem oben vorgestellten Winkel ist das z.B. der Fall, wenn q = nπ, n ∈ IN0.Fur diese Winkel verschwindet namlich sin q. Ob es außerdem noch weitere

Gleichgewichtslagen gibt, hangt von den beteiligten Parametern ab. Fur denFall, dass

√3 mg

2ka < 1 ist, kann der Inhalt der Klammer verschwinden, und zwar

fur

q = arccos√

3mg

2ka

Wenn die Gleichgewichtslagen auf Stabilitat untersucht werden sollen, reichtdie Betrachtung einer kleinen Umgebung aus. Dazu zerlegt man die Losung

q(t) der urspruglichen Bewegungsgleichung (13.19) praktischerweise in den

Wert der Gleichgewichtslage q und und die Abweichung 4q davon.

q(t) = q +4q(t), → q(t) = 4q(t), → q(t) = 4q(t)

260

Beispiel Winkelpendel fff

womit aus (13.19) eine homogene Differenzialgleichung fur 4q(t) wird.

4q(t)−Q(q +4q(t)) = 0 (13.22)

Die weitergehende Beschrankung auf kleine Abweichungen von der Gleichge-

wichtslage (|4q| 1) erlaubt, die generalisierte Kraft Q(q) durch eine Taylor-

reihe zu ersetzen (entwickelt an der Stelle q = q und abgebrochen nach demersten Glied).

Q(q) = Q(q +4q) = Q(q) +dQ

dq

∣∣∣∣q=q

4q = Q′(q)4q

Das nutzt den Vorteil aus, dass Q(q) = 0 ist, und uberfuhrt die ursprunglichnichtlineare Bewegungsgleichung (13.20) in eine lineare homogene Differen-

tialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Deren Losung ist be-

kannt.M4q −Q′(q)4q = 0

Im Falle, dass Q′(q) negativ ist, ist die Losung eine harmonische Schwingung

4q(t) = C cos(ωt + Φ)

deren Amplitude nur von den Anfangswerten 4q(0) und 4q(0) abhangt. Sind

diese klein (im Sinne einer Storung der Gleichggewichtslage), dann bleibt auchdie Antwort des Systems auf die Storung beschrankt, namlich allenfalls gleich

der Amplitude C. Das war aber die Definition einer stabilen Gleichgewichtslage.

Im anderen Fall (Q′(q) > 0) klingt die Losung 4q(t) exponentiell auf und ver-

letzt auch bei kleinen Storungen die Bedingung fur eine stabile Gleichgewichts-lage.

Q′(q) < 0 : stabil

Q′(q) > 0 : instabil(13.23)

Beispiel Winkelpendel fff

Fur das vorgestellte Beispiel heißt das (mit der Maßgabe√

3mg

2ka=

1

2,

damit die Gleichungen einfacher werden):

Q(q) = 4ka2 sin q(1

2− cos q)

261


Q′(q) = 4ka2

[1

2cos q − cos2 q + sin2 q

]

q = nπ :

Q′(nπ) = 4ka2(1

2(−1)n − 1) < 0 → stabil

q = arccos(√

3 mg2ka = 1

2 ) :(

arccos 12 = ±nπ

3 ,±n 5π3 n ∈ IN

+)

Q′(±π

3) = Q′(±5π

3) = 4ka2(

1

2

1

2− 1

4+

3

4) > 0 → instabil

Beispiel Stabilitat des Kreispendels

Die Tangentialbeschleunigung des Kreispendels, vgl. S. 254, gehorcht ei-

ner nichtlinearen Differentialgleichung (13.18).

1︸︷︷︸M

q = Ω2 sin q cos q − g

Rsin q = Ω2 sin q

(cos q − g

RΩ2

)

︸︷︷︸Q(q)

Die Gleichgewichtslagen q stellen sich ein, wenn Q(q) verschwindet. Das

ist der Fall, wenn entweder

sin q = 0 → q = nπ, n ∈ IN

oder wenng

RΩ2< 1 d.h. Ω2 >

g

R

cos q =g

RΩ2→ q = arccos

g

RΩ2

Fall 1:g

RΩ2< 1 z.B. =

1

2→ q = ±π

3= ±60

Stabilitatsbedingung:

Q′(q) = Ω2[cos q

(cos q − 1

2

)+ sin q(− sin q)

]

262

13.4. Stabilitat bei konservativen Systemen

= Ω2(2 cos2 q − 1

2cos q − 1)

Q′(nπ) = Ω2(1− 1

2(−1)n) > 0 → instabil

Q′(±60) = mR(1

2− 1

2

1

2− 1) < 0 → stabil

Fall 2:g

RΩ2> 1

Hier gibt es nur die Gleichgewichtslagen q = 0 und q = π, bei denen sichdie ursprungliche Bewegungsgleichung einfach linearisieren lasst.

q = 0 4q = Ω2(cos4q − g

RΩ2

)sin4q →4q + Ω2

( g

RΩ2− 1)

︸︷︷︸>1

4q = 0

Die linearisierte Differenzialgleichung fur die Storung 4q fuhrt auf eine

harmonische Schwingung, d.h. auf eine gegrenzte Reaktion. Diese Gleich-

gewichtslage ist also stabil.

q = π 4q = Ω2(cos(π +4q)− g

RΩ2

)sin(π +4q)

Mit den Additionstheoremen wird daraus:

4q = Ω2(cosπ cos4q − sin π sin4q − g

RΩ2

)(sin π cos4q + cosπ sin4q)

= Ω2(− 1− g

RΩ2

)(−4q)

4q + Ω2(− 1− g

RΩ2

)

︸︷︷︸<1

4q = 0

Hier fuhrt die linearisierte Bewegungsgleichung auf eine aufklingende

Losung, d.h. eine anfangliche Storung wachst uber alle Grenzen: Diese

Gleichgewichtslage ist instabil.

13.4. Stabilitat bei konservativen Systemen

Sogenannte konservative Systeme bestehen nur aus Komponenten, die keine

Energie verbrauchen oder liefern, d.h. nur aus Massen und Federn.

263


4l4φ

c∗k

U = 12c∗4φ2

cm

U = mg4h

4h

U = 12c4l2

g

(Die Hohendifferenz 4h bezieht sich auf ein beliebig gewahltes Anfangsni-

veau und zahlt entgegen der Erdbeschleunigung positiv. Die Langen- bzw. Win-

kelanderung der Federn 4l,4φ beziehen sich auf die entspannte Federgeome-trie.)

Bei solchen konservativen Systemen (z.B. das vorgestellte Winkelpendel) kann

die generalisierte Kraft Q(q) aus einem Potenzial hergeleitet werden.

Q(q) = − dU(q)

dq

D.h. bei konservativen Systemen geht die Bedingung fur eine Gleichgewichtsla-

ge (13.21) in eine Aussage uber die potenzielle Energie uber.

Q(q) = − dU(q)

dq

∣∣∣∣q=q

= −U ′(q) = 0

In anderen Worten: In einer Gleichgewichtslage hat die potenzielle Energie ei-

nes konservativen Systems einen Extremwert.

Die Stabilitatsbedingung (13.23) ubersetzt sich mit der potenziellen Energie in:

Q′(q) = −U ′′(q) →U ′′(q) > 0 : stabil

U ′′(q) < 0 : instabil(13.24)

Der Vorteil dieser Betrachtung ist, dass sich potenzielle Energie auch bei kom-

plizierter Geometrie meist einfach bestimmen lasst.

Beispiel Noch einmal Knickpendel

Gegeben:√

3mg2ka

= 12 .

264

Beispiel Platte auf Halbzylinder

2m

k

m60

2a

2aq

60 + q

Potenzielle Energie: U = 4mga sin(60 + q)− 2mga sin q +1

2k (2a sin q)2

= 2mga(2 sin 60 cos q + 2 cos60 sin q − sin q

)+ 2ka2 sin2 q

= 2mga√

3(cos q + sin2 q)

Gleichgewichtslage: U ′(q) = 0 = 2mga√

3 sin q(2 cos q − 1)→ q1 = 0, q2 = ±60

Stabilitatsbedingung: U ′′ = 2mga√

3(

cos q(2 cos q − 1)− 2 sin2 q)

U ′′(q1) = 2mga√

3 > 0 → stabil

U ′′(q2) = −3mga√

3 < 0 → instabil

Beispiel Platte auf Halbzylinder

Auf einem Halbzylinder kann eine Platte abrollen, ohne zu rutschen.

R

2d

qh

s = Rq

Potenzielle Energie:

U = mgh = mg((R + d) cos q + s sin q

)

= mgR((1 +

d

R) cos q + q sin q

)Def.: η =

d

R265


Gleichgewichtslage:

U ′ = mgR(− (1 + η) sin q + sin q + q cos q

)

= mgR(− η sin q + q cos q

)= 0

→ q1 = 0 und tan q2 =q2

η→ η =

q2

tan q2

Die letzte Gleichung hat nur dann eine von 0 verschiedene Losung,wenn η < 1, also R > d.

Stabilitat:

U ′′ = mgR(− η cos q + cos q − q sin q

)= mgR

((1− η) cos q − q sin q

)

→ U ′′(q1) = mgR(1− η) > 0 , also stabil, wenn η < 1 (s.o.)

U ′′(q2) = mgR cos q2

(1− η − q2 tan q2

)

= mgR cos q2

(1− q2

tan q2

− q2 tan q2

︸︷︷︸f(q2)

)

Der einfachste Weg sich uber den Verlauf von f(q2) klar zu werden, ist

den Graphen zu zeichnen. Dazu den Graphen von η(q2) zur Kontrolle.

1

0

-1f(q2)

η(q2)

0 60q2(η)

Abgesehen von der bekannten Gleichgewichtslage q2 = q1 = 0 sind alle

anderen, die zu einem gegebenen η gehoren, instabil, weil f(q2(η)) klei-

ner als 0 ist.

266

14. Mechanik des starren Korpers

Das idealisierende Modell des Starrkorpers hat die Eigenschaft, dass zwei belie-

bige seiner Punkte r1 und r2 immer denselben Abstand haben.

d = r2 − r1 = konst → d · d = konst → (d · d)· = 2d · d = 0

Die letzte Bedingung kann nur erfullt werden, wenn entweder d = 0 ist (dann

bewegen sich die Punkte parallel zu einander, d.h sie haben dieselbe Geschwin-

digkeit, r1 = r2), oder d steht senkrecht auf d. Das ist der Fall, wenn sich derPunkt r2 auf einer Kreisbahn um eine Drehachse befindet, die durch den Punkt

r1 geht.

Die beiden moglichen Bewegungsformen nennt man Translation und Rotation.

Sie konnen jede fur sich, aber auch gemeinsam auftreten. D.h., die Geschwin-digkeit eines beliebigen Punktes r kann immer angegeben werden als die Ge-

schwindigkeit eines Referenzpunktes r0, erganzt um den Anteil, der durch die

Drehung um den Referenzpunkt mit dem Drehgeschwindigkeitsvektor ω desKorpers entsteht.

r = r0 + ω × (r − r0)

14.1. Masse und Impuls

Ein Punkt r des Korpers reprasentiert ein kleines Volumenelement dV , das die

Masse dm = ρ(r) dV hat. Die Gesamtmasse setzt sich aus der Masse aller Punk-

te zusammen.

m =

∫∫∫

V

ρ(r) dV =

∫∫∫

m

dm

Jeder Korper hat seinen Schwerpunkt, der als

s =1

m

∫∫∫

m

r dm

definiert ist. Die Schwerpunktsgeschwindigkeit entsteht durch Zeitableitung:

s =1

m

∫∫∫

m

r dm =1

m

∫∫∫

m

v(r) dm (14.1)

267


Jeder massebehaftete Punkt r hat seinen Impuls dI = v(r) dm, dessen zeitlicheAnderung gleich der Summe aller Krafte auf der Oberflache des zugehorigen

Volumens ist.

( dI)· = dI = dF

( dF ist die Resultierende aller Krafte, die volumenhaft oder flachenhaft an oder

in dem Teilvolumen dV angreifen.)

Die Summe aller Teilimpulsanderungen ergeben die Gesamtimpulsanderung,

und von der Summe aller Oberflachenkrafte auf allen Oberflachen aller Teilvo-lumnia bleiben nur die Krafte ubrig, die auf der Oberflache des Gesamtkorpers

wirken, da sich die Schnittkrafte auf inneren Oberflachen aufheben (actio gleich

reaktio). Die volumenhaft angreifenden Krafte im Inneren sind davon nicht be-troffen.

I =

∫∫∫˙I

dI =

∫∫∫

m

v(r) dm = ms

︸︷︷︸s.(14.1)

= F (14.2)

Darin ist F die Resultierende aller flachenhaften außeren Krafte und volumen-haften inneren Krafte.

Bis zu diesem Punkt gibt es keinen Unterschied zwischen der Punktmasse unddem ausgedehnten Korper.

14.2. Drallsatz

Der Unterschied zwischen Punktmassen und Korpern mit Ausdehnung fallt erst

an Hand einer neuen Definition auf: Bezuglich eines beliebigen raumfesten

Punktes rc wird das Kreuzprodukt

dDc = (r − rc)× dI

als Drall oder Drehimpuls des Massenpunktes r definiert. Die Summe aller

Drehimpulse ergibt den Gesamtdrall.

Dc =

∫∫∫

Dc

dDc =

∫∫∫

V

(r − rc)× dI =

∫∫∫

V

r × dI − rc ×∫∫∫

V

dI

Die Drallanderung berechnet sich durch Zeitableitung.

Dc =

0︷︸︸︷∫∫∫

V

v × dI︸︷︷︸v dm

+

∫∫∫

V

r × dI − rc ×∫∫∫

V

dI =

∫∫∫

V

(r − rc)× dF

268

14.3. Massentragheitsmatrix

Der rechts stehende Term entspricht der Definition des resultierenden Momentsaller flachenhaft oder volumenhaft am Korper angreifenden Krafte bezuglich

des Punktes rc, wobei die Schnittkrafte (actio gleich reactio) wieder herausfal-

len.

Damit ist der Drallsatz gefunden.

Dc = M c Ds = Ms (14.3)

Die rechtsstehende Formulierung ist eine dem eigentlichen Drallsatz aquiva-lente Formulierung, die sich auf den Schwerpunkt S bezieht. Dazu gehort die

Definition

Ds =

∫∫∫

V

(r − s)× dI =

∫∫∫

m

(r − s)× r dm (14.4)

14.3. Massentragheitsmatrix

Wendet man die Definition fur den Drall (14.4) auf einen Starrkorper an, dannergibt sich eine losbare Integrationsaufgabe.

Ds =

∫∫∫

m

(r − s)×(s + ω × (r − s)

)dm

=(∫∫∫

m

(r − s) dm)× s +

∫∫∫

m

(r − s)×(ω × (r − s)

)dm

Das vordere Integral ist 0, weil∫∫∫

mr dm per Definition gleich ms ist (s. Schwer-

punktsberechnung). Das hintere Integral kann man mit der Definition x = r−s

etwas abkurzen.

Ds =

∫∫∫

m

x× (ω × x) dm

Ausgefuhrt in einem kartesischen korperfesten Koordinatensystem mit dem Ur-

sprung im Schwerpunkt des Korpers, mit x = (x, y, z) und ω = (ωx, ωy, ωz)ergibt sich

ω × x = det

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

ωx ωy ωz

x y z

∣∣∣∣∣∣=


x× (ω × x) = det

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

x y zωyz − ωzy ωzx− ωxz ωxy − ωyx

∣∣∣∣∣∣269


=

y(ωxy − ωyx)− z(ωzx− ωxz)z(ωyz − ωzy)− x(ωxy − ωyx)x(ωzx− ωxz)− y(ωyz − ωzy)

Etwas umsortiert kommt heraus:

Ds =

∫∫∫

V


dm

ωx

ωy

ωz

= Θω (14.5)

Bei gegebener Geometrie und Massenverteilung ρ(x) sind die Integrale zur

Berechnung der einzelnen Komponenten der sogenannten Tragheitsmatrix Θ

ausfuhrbar. Da das zu Grunde liegende Koordinatensystem korperfest, also mit-bewegt ist, und der Korper selbst undeformierbar ist, sind die Ergebnisse zeitun-

abhangig. Die einzelnen Komponenten heißen Massentragheitsmomente

(Hauptdiagonale) bzw. Massendeviationsmomente und beschreiben gemeinsammit der Masse und dem Schwerpunkt die Tragheitseigenschaften des Starrkor-

pers.

An der Berechnungsvorschrift kann man ablesen, dass die Tragheitsmatrix sym-

metrisch ist, und dass die Massentragheitsmomente immer positive Zahlen sind.Das Vorzeichen der Deviationsmomente dagegen ist nicht festgelegt. Sie konnen

auch Null werden. Das ist insbesondere der Fall, wenn es Symmetrie-Ebenen

gibt. Das liegt an der Eigenschaft ungerader Funktionen, deren Integrale ubersymmetrische Intervalle um den Nullpunkt verschwinden. Z.B.

∫ a

−a

x dx = 0

Mathematisch gesehen ist die Tragheitsmatrix dasselbe wie ein Spannungs-

oder Verzerrungszustand: Es gelten dieselben Transformationsvorschriften. D.h.auch, dass es Hauptachsen und Hauptwerte gibt, die sich dann einstellen, wenn

alle Deviationstragheitsmomente verschwinden.

270

Beispiel Massentragheitsmomente einer Rechteckplatte

Beispiel Massentragheitsmomente einerRechteckplatte

H

z x

y

t

dm

B

( dm = ρt dx dy), m = ρtBH

Θ1 =

∫

m

y2 dm = ρt

H/2∫

−H/2

B/2∫

−B/2

y2 dx dy

= ρtB1

12H3 =

1

12mH2

Θ2 =

∫

m

x2 dm = ρt

H/2∫

−H/2

B/2∫

−B/2

x2 dx dy = ρtH1

12B3 =

1

12mB2

Θ3 =

∫

m

(x2 + y2) dm = Θ1 + Θ2 =1

12m(B2 + H2)

14.4. Der Kreisel

yAz

gz

x

Ω

αmg

Ax

e1s

Ay

Ein Kreisel ist ein rotationssymmetrisches Objekt,d.h. es hat ein Hauptmassentragheitsmoment Θ1

um die Symmetrieachse e1 und zwei gleich große

Haupttragheitsmomente Θ2 = Θ3 um zwei belie-bige Schwerpunktachsen e2 und e3 senkrecht zu

e1. Die Symmetrieachse heißt auch Figurenachse.

Ein Kreisel dreht sich, solange Reibung keine Rol-le spielt, mit ω = Ωe1 um die Figurenachse. Wenn

ein sich drehender Kreisel um den Winkel α schiefzur Senkrechten steht, sollte er umfallen. Oder

nicht?

Die Auflagerkraft Az folgt aus der Gewichtskraft mg. Sie bewirkt um den Schwer-

271


punkt das Moment−se1 ×Azez = −mgse1 × ez

das laut Drallsatz eine Drallanderung hervorruft.

Der Drall des Kreisels ist Θ1Ωe1. Eine Drallanderung, auch ohne dass sich dieDrehzahl andert, ist

Ds = Θ1Ωe1 = −mgs e1 × ez = mgs ez × e1 → e1 ⊥ e1, ez (14.6)

Wenn man annimmt, dass die Kreiselspitze so gelagert ist, dass sie im Koordi-natenursprung bleibt, dann ist die Geschwindigkeit e1 nur moglich, wenn die

Figurenachse um den Aufstandspunkt kippt und zwar nicht, wie erwartet mit αin der Ebene (e1, ez), sondern senkrecht dazu. D.h. die Figurenachse beschreibtmit einer Winkelgeschwindigkeit ωpez einen Kegel um die Hochachse und die

Spitze von e1 bewegt sich auf einer Kreisbahn um z. Daraus ergibt sich formal

die Tangentialgeschwindigkeit:

e1 = ωpez × e1

Ein Vergleich mit (14.6) fuhrt zu der Aussage

Θ1Ωωp = mgs → ωp =mgs

Θ1Ω(14.7)

Zuerst einmal heißt das, die anfangliche Annahme, dass sich der Kreisel nur um

sich selbst dreht, war falsch.

ω = Ωe1 +

Korrektur︷︸︸︷ωpez

Wenn ωp aber klein im Vergleich zu Ω ist, kann man daruber hinweg sehen. Unddas ist der Fall, wenn Ω und Θ1 groß, m und s klein sind.

Die Kreisbewegung der Figurenachse (ωp) heißt Prazession. Sie ist bei jedemSpielzeugkreisel zu beoachten. Wegen der immer vorhandenen Reibung, die

jeden realen Kreisel verlangsamt, wird die Prazession immer großer, bis derKreisel schlingert und umfallt.

Je kleiner die Prazession, desto stabiler lauft der Kreisel. D.h. ein lange sta-bil laufender Kreisel sollte eine kleine Masse, einen niedrigen Schwerpunkt

und ein großes Massentragheitsmoment um die Figurenachse haben. Das ist

bei dem dargestellten Peitschenkreisel (Spielzeug des 19. Jahrhunderts) nichtder Fall. Deswegen muss man den durch standige Peitschenschlage am Laufen

halten. Bei einem Brummkreisel dagegen (ebenfalls Spielzeugklassiker) sinddie Tragheitseigenschaften so gunstig, dass man sich leisten kann, die Reibung

durch gezielte Luftstromungen uber Stimmzungen zu erhohen.

272

14.4. Der Kreisel

14.4.1. Kreiselgleichungen

Der oben dargestellte Losungsweg ist ein typisches und in vielen Falle angera-tenes Herangehen an Ingenieurprobleme. Man macht eine Annahme uber die

Losung, uberpruft die Konsequenzen und korrigiert die Annahme oder schranktden Gultigkeitsbereich der Losung ein (hier mit ωp Ω). Ein anderes Beispiel

ist die Bernoulli-Kinematik bei Balken, die die Einschrankung nach sich zieht,

dass die Balkenlange mindestens zehnmal großer als die Dicke oder Hohe seinmuss.

Wenn man mehr formal an den Drallsatz fur Starrkorper herangehen will,braucht man die Drallanderung, also die zeitliche Anderung von Ds = Θω. Da-

zu bezieht man sich am Besten auf den Schwerpunkt und auf die Tragheitshaupt-achsen e1, e2 und e3, die ein mitbewegtes Koordinatensystem sind, das sich mit

der Winkelgeschwindigkeit ω um das raumfeste System ex, ey, ez dreht.

Wenn man einen zeitlich veranderlichen Vektor wie Ds nach der Zeit ableiten

will, dann setzt sich, vgl. (13.8), das Ergebnis aus der Relativableitung im mit-

bewegten Koordinatensystem und dem Anteil zusammen, der aus der Drehungdes mitbewegten um das raumfeste Koordinatensystem folgt. Aus dem Drallsatz

(14.3) wird damit:

Ds =drDs

dt+ ω ×Ds = Θ

drω

dt+ ω × (Θω) = M (14.8)

Die Relativableitung des Drehvektors ω kann wieder durch seine totale Zeita-

bleitung ersetzt werden.

ω =drω

dt+ ω × ω︸︷︷︸

0

Der Ruckzug auf die Hauptachsen erlaubt die Umwandlung der Vektordifferen-

zialgleichung in drei einzelne Differentialgleichungen. Dazu braucht man neben

M = (M1, M2, M3) und ω = (ω1, ω2, ω3) noch:

Ds = Θω =

Θ1

Θ2

Θ3

ω1

ω2

ω3

=

Θ1ω1

Θ2ω2

Θ3ω3

und

→ ω × (Θω) = det

∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

ω1 ω2 ω3

Θ1ω1 Θ2ω2 Θ3ω3

∣∣∣∣∣∣=

(Θ3 −Θ2)ω2ω3

(Θ1 −Θ3)ω1ω3

(Θ2 −Θ1)ω1ω2

273


Das Ergebnis sind die EULERschen Kreiselgleichungen.

Θ1ω1 = (Θ2 −Θ3)ω2ω3 + M1

Θ2ω2 = (Θ3 −Θ1)ω1ω3 + M2 (14.9)

Θ3ω3 = (Θ1 −Θ2)ω1ω2 + M3

Beispiel Kippender Kreisel

e1

e2

e3ez

α

Ein rotationssymmetrischer Kreisel hat die Massen-

tragheitsmomente Θ1 = Θ und Θ2 = Θ3 = Θq < Θ.

Er dreht sich mit Ω um seine Figurenachse e1 und mit ωp

um ez. Außerdem kippt er mit αe2 (α : Winkel zwischenez und e1).

ω =

Ω + ωp cosαα

ωp sin α

, ω =

Ω + ωp cosα− ωp sin α αα

ωp sin α + ωp cosα α

A =

mg cosα0

−mg sinα

, M = −se1 ×A =

0mgs sinα

0

Θ(Ω + ωp cosα− ωp sin α α) = 0

Θqα = (Θq −Θ)(Ω + ωp cosα)ωp sinα + mgs sinα

Θq(ωp sinα + ωp cosα α) = (Θ−Θq)(Ω + ωp cosα)α

Das gabe nach einigen Umstellungen ein nichtlineares gekoppeltes Diffe-

renzialgleichungssystem 1. Ordnung fur die drei Unbekannten Ω, ωp und

α, das hier nicht interessiert.

Hier soll nur fur konstante Verhaltnisse, d.h. fur α = 0, die Aussage uber

die Prazession (14.7) uberpruft werden. Die folgt aus der 2. Gleichung.

(Θ−Θq)Ωωp

(1 + ωp cosα︸︷︷︸

1

)= mgs

D.h., die anfangs gemachte Aussage (14.7) war nur qualitativ richtig. Sieunterschlug das Massentragheitsmoment um die Querachse. Das konnte

allerdings vernachlassigbar klein sein.

274


14.4.2. Der momentenfreie Kreisel

Ein Kreisel, an dem keine außeren Momente angreifen, also auch keine Krafte,

die ein Moment um seinen Schwerpunkt hervorrufen, ist ein Sonderfall. So einKreisel ist z.B. ein Satellit auf seiner Umlaufbahn.

Wenn sich ein solcher Kreisel nur mit ω1 um seine Hauptachse 1 dreht, folgt aus

den Eulerschen Kreiselgleichungen (14.9)

Θ1ω1 = (Θ2 −Θ3) ω2ω3︸︷︷︸0

+ M1︸︷︷︸0

= 0

d.h. die Drehgeschwindigkeit ω1 ist konstant, d.h. die Drehung ist stationar. So

nennt man einen Zustand, der sich nicht andert.

In einem erweiterten Sinne ist das eine Art ’Gleichgewichtszustand’, der gemaß

Kap. 13.3.1 auf seine Stabilitat untersucht werden kann. Dazu bringt man ge-danklich auf den Drehvektor ω = (ω1, 0, 0), als zu untersuchende Große, eine

kleine Storung 4ω = (4ω1,4ω2,4ω3) auf und untersucht die Konsequenzen,die sich aus den Kreiselgleichungen ergeben. Bleiben die Storungen begrenzt,

ist der stationare Zustand stabil.

Θ14ω1 = (Θ2 −Θ3)4ω24ω3

Θ24ω2 = (Θ3 −Θ1)(ω1 +4ω1)4ω3

Θ34ω3 = (Θ1 −Θ2)(ω1 +4ω1)4ω2

Diese nichtlinearen Differenzialgleichungen werden linearisiert, indem die Ter-

me, die von hoherer Ordnung klein sind, vernachlassigt werden. Das sind dieProdukte der Storgroßen. Was bleibt, sind drei lineare Differenzialgleichungen.

Θ14ω1 = 0

Θ24ω2 − (Θ3 −Θ1)ω14ω3 = 0 (G1)

Θ34ω3 − (Θ1 −Θ2)ω14ω2 = 0 (G2)

Die erste sagt aus, dass 4ω1 konstant, also begrenzt bleibt. Die beiden anderensind gekoppelt, lassen sich aber trickreich entkoppeln. Das Θ3fache der Ablei-

tung von (G1) addiert mit dem (Θ3−Θ1)ω1fachen von (G2) gibt eine Differen-zialgleichung 2. Ordnung fur 4ω2.

Θ3(G1)· + (Θ3 −Θ1)ω1(G2) :

Θ3Θ24ω2 − (Θ1 −Θ2)(Θ3 −Θ1)ω214ω2 = 0

275


Die umgekehrte Aktion fuhrt zu einer identischen Differenzialgleichung fur4ω3:

Θ2(G2)·+ (Θ1 −Θ2)ω1(G1) :

Θ3Θ24ω3 − (Θ1 −Θ2)(Θ3 −Θ1)ω214ω3 = 0

Wenn der Vorfaktor vor 4ω2/3 negativ ist, ist das jeweils eine Schwingungsdif-

ferenzialgleichung, deren Losung eine von den Anfangswerten bestimmte Am-

plitude hat, also begrenzt bleibt. Damit ist die Stabilitatsbedingung gefunden:

(Θ1 −Θ2)(Θ3 −Θ1) < 0 stabil

(Θ1 −Θ2)(Θ3 −Θ1) ≥ 0 instabil

Die erste Zeile ist erfullt, wenn Θ1 > sup(Θ2, Θ3) oder Θ1 < inf(Θ2, Θ3). In

Worten: Die Drehung eines Kreisels ist dann stabil, wenn sie um die Achse desgroßten oder des kleinsten Hauptmassentragheitsmoments erfolgt.

14.4.3. Starrkorperdrehung um raumfeste Achse, Unwucht

Einen Starrkorper, der sich um eine feste Achse drehen soll, lagert man mog-lichst so, dass sein Schwerpunkt genau auf der Drehachse liegt. Im Allgmeinen

schafft man das nicht und der Schwerpunkt (s = sξeξ + sηeη + sζeζ) bleibt im

Abstand e, der sogenannten ’Exzentrizitat’, von der Drehachse, e =√

s2η + s2

ζ .

ΩA B

1

Bζ ζ

η

sηsζ

sξ

Aζ

ζ

ξ

l

Aξ

Aζ , Bζ

Aη , Bη

Außerdem mochte man, um Kreiselwirkungen auszuschließen, dass die Dreh-

achse Hauptachse ist. Das klappt in der Regel auch nicht, das Hauptachsensy-stem stehen immer etwas schief zur Drehachse.

Beide ’Fehler’ verursachen Storungen des Rundlaufs, sogenannte Unwuchten.

Die Exzentrizitat verursacht die ’statische’ Unwucht, weil man sie schon in der

276


statischen Ruhelage bemerkt. Der Schwerpunkt dreht immer nach unten, wenne nicht Null ist. Schief stehende Hauptachsen dagegen bemerkt man erst bei

Drehbewegungen, deshalb verursachen sie die ’dynamische’ Unwucht.

Die Folgen der Exzentrizitat kann man aus dem Impulssatz ausrechnen, indem

man ein mitbewegtes Koordinatensystem einfuhrt und die Beschleunigung des

Schwerpunktes errechnet. Mit

r0 = 0 , r∗ = sξeξ + sηeη + szeζ ,

Ω = Ω(t)eξ, Ω = Ωeξ, v∗ = a∗ = 0

folgt:

a =

Ω× r∗︷︸︸︷Ω eξ × (sξeξ + sηeη + sζeζ︸︷︷︸

sηeζ − sζeη

+

Ω× (Ω× r∗)︷︸︸︷Ω2 eξ ×

(eξ × (sξeξ + sηeη + sζeζ)︸︷︷︸

sηeζ − sζeη

)

︸︷︷︸−sηeη − sζeζ

= (−sζΩ− sηΩ2)eη + (sηΩ− sζΩ2)eζ

Eingesetzt in den Impulssatz (14.2) folgt fur die Resultierenden der Lagerkrafte

A = Aξeξ + Aηeη + Aζeζ (Festlager) und B = Bηeη + Bζeζ (Loslager):

Aξ = 0

F = ma → Aη + Bη = −msζΩ−msηΩ2 (14.10)

Aζ + Bζ = msηΩ−msζΩ2 (14.11)

(Manchmal wird die Gewichtskraft mgez berucksichtigt, manchmal nicht, z.B.hier. Fur die konstruktive Auslegung der Lager ist sie wichtig, denn die mussen

das Gewicht tragen. Fur die dynamische Bewegung des Systems ist sie nicht

wichtig. Da definiert sie nur die Gleichgewichtslage, wenn sich das System ver-formen kann. Hier ist es starr.)

Wie man sieht, sind die dynamischen Krafte, bezogen auf das mitbewegte Koor-

dinatensystem, konstant. Fur das raumfeste sind sie demnach umlaufend. (Um-

gekehrt ware eine berucksichtigte Gewichtskraft im korperfesten Koordinaten-system umlaufend.)

Die Folgen des Hauptachsenschiefstands sind Deviationstragheitsmomente. Die

außern sich im Drallsatz (14.8), angegeben in Bezug auf den Koordinatenur-

277


sprung Auflager A.

drD

dt+ Ω×D = M , mit D = ΘΩ =

Θξξ Θξη Θξζ

Θξη Θηη Θηζ

Θξζ Θηζ Θζζ

Ω00

D.h. D = Ω

Θξξ

Θξη

Θξζ

,

drD

dt= Ω

Θξξ

Θξη

Θξζ

und Ω×D = Ω2

0−Θξζ

Θξη

.

Das Moment muss ebenfalls bezuglich A angegeben werden. Es resultiert aus

den Auflagerkraften und einem eventuellen Antriebsmoment Mξ, das die Dreh-

zahl verandert. Die Auswertung ergibt:

Mξ = ΘξξΩ (Antriebsmoment)

Mη = −Bζl = ΘξηΩ−ΘξζΩ2 (14.12)

Mζ = Bηl = ΘξζΩ + ΘξηΩ2 (14.13)

Die Komponenten Mη und Mζ sind die oben erwahnten Kreiselwirkungen bzw.

stellen die dynamische Unwucht dar, Momente, die von den Lagerkraften auf-gebracht werden mussen, wenn sich der Korper dreht. Sie waren nicht existent,

wenn es keine Deviationstragheitsmomente gabe.

Aus den Gleichungen (14.10) - (14.13) konnen die Auflagerkrafte bestimmt

werden,

Aη = −(Θξζ

l+ msζ

)Ω−

(Θξη

l+ msη

)Ω2

Aζ =(Θξη

l+ msη

)Ω−

(Θξζ

l+ msζ

)Ω2

Bη =Θξζ

lΩ +

Θξη

lΩ2

Bζ = −Θξη

lΩ +

Θξζ

lΩ2

die teils von der Winkelgeschwindigkeit Ω, teils von der WinkelbeschleunigungΩ abhangen. Diese Großen kann man zur Kenntnis nehmen und entscheiden,

ob man damit leben kann oder nicht (s. VDI-Richtlinie 2060 und ISO 1940).

Dabei interessiert der Rundlauf bei konstanter Drehgeschwindigkeit mehr alsbei Winkelbeschleunigung, besonders, weil in aller Regel Ω Ω2. Das erlaubt,

die Gleichungen zu vereinfachen.

Aη = −(Θξη

l+ msη

)Ω2 (14.14)

278


Aζ = −(Θξζ

l+ msζ

)Ω2 (14.15)

Bη =Θξη

lΩ2 (14.16)

Bζ =Θξζ

lΩ2 (14.17)

Auswuchten Die oben beschriebene Rechnung ist der erste Schritt eines Aus-

wuchtvorgangs. Die Norm schreibt fur verschiedene Anwendungen vom Schiffs-diesel bis zu Uhrwerken und Hochgeschwindigkeitswerkzeugmaschinen ver-

schiedene Guteklassen vor. Es kann sein, dass sie erfullt sind. Vorasusetzungfur die Beurteilung ist die Kenntnis der Auflagerreaktion. Also muss man sie

messen. Dazu sind Auswuchtmaschinen in der Lage.

Wenn die Unwuchten zu groß sind, muss man die Massenverteilung des Korpers

durch Hinzufugen oder Wegnehmen von Material korrigieren. Die Frage ist,

wieviel Material an welchen Stellen?

Wenn es nur darum geht, die statische Unwucht zu beseitigen, wurde eineKorrekturmasse in der Ebene des Schwerpunktes genau gegenuber ausreichen,

oder eine Bohrung auf derselben Seite ausreichen. (Man musste alledings die

Lage der Schwerpunktsebene genau kennen.)

ζ

ξη

Zusatzmasse

Bohrung

ξ

Eine dynamische Unwucht kann man so nicht beseitigen. Dazu braucht man

zwei Zusatzmassen (oder Korrekturbohrungen) in unterschiedlichen Ebenen.

Diese konnen sogar eine dynamische Unwucht produzieren, ohne an der sta-tischen Unwucht etwas zu andern, namlich dann, wenn sie sich gleich groß,

im gleichen Abstand von der Drehachse genau gegenuber stehen (vgl. oben

rechts).

Durch die Zusatzmassen m1 und m2, die an den Punkten k1 = (k1ξ , k1η, k1ζ)und k2 = (k2ξ , k2η, k2ζ) angebracht werden, andern sich die Tragheitseigen-

schaften des rotierenden Korpers.

279


Masse: m = m + m1 + m2 ≈ m, m1, m2 m

Schwerpunkt: msξ = msξ + m1k1ξ + m2k2ξ (uninteressant)

m sη = msη + m1k1η + m2k2η!= 0

m sζ = msζ + m1k1ζ + m2k2ζ!= 0

Deviationsmomente: Θξη = Θξη + Θeigk1ξη + ΘSt

k1ξη + Θeigk2ξη + ΘSt

k2ξη!= 0

Θξζ = Θξζ + Θeigk1ξζ + ΘSt

k1ξζ + Θeigk2ξζ + ΘSt

k2ξζ!= 0

Wenn die Korrekturmassen klein genug sind, kann ihr Eigen-Massendeviations-moment vernachlassigt werden. Ubrig bleiben nur die Steineranteile:

ΘStk1ξη = −m1k1ξk1η , ΘSt

k2ξη = −m2k2ξk2η

und

ΘStk1ξζ = −m1k1ξk1ζ , ΘSt

k2ξζ = −m2k2ξk2ζ

Damit entstehen aus den letzten beiden Forderungen die Gleichungen:

Θξη = m1k1ξk1η + m2k2ξk2η und Θξζ = m1k1ξk1ζ + m2k2ξk2ζ

Die beiden vorangegangenen Forderungen nach dem Verschwinden der Schwer-

punktabstande sη und sζ kann man entsprechend umschreiben.

msη = −m1k1η −m2k2η und msζ = −m1k1ζ −m2k2ζ

Jetzt eroffnet sich die Moglichkeit, die Gleichungen (14.14 – (14.17) umzu-schreiben.

(1− k1ξ

l) m1k1η︸︷︷︸

Y1

+(1− k2ξ

l) m2k2η︸︷︷︸

Y2

=Aη

Ω2

(1− k1ξ

l) m1k1ζ︸︷︷︸

Z1

+(1− k2ξ

l) m2k2ζ︸︷︷︸

Z2

=Aζ

Ω2

k1ξ

lm1k1η︸︷︷︸

Y1

+k2ξ

lm2k2η︸︷︷︸

Y2

=Bη

Ω2

k1ξ

lm1k1ζ︸︷︷︸

Z1

+k2ξ

lm2k2ζ︸︷︷︸

Z2

=Bζ

Ω2

280


Mit den Substitutionen Y1 bis Z2 und der Tatsache, dass die Ebenen, in denendie Korrekturmassen angebracht werden konnen, konstruktiv vorgegeben sind

(d.h. k1ξ und k2ξ sind genauso bekannt wie der Lagerabstand l), entsteht ein

lineares Gleichungssytem mit den gemessenen Auflagerkraften als rechte Seite.

(l − k1ξ)Y1 + (l − k2ξ)Y2 =lAη

Ω2 (14.18)

k1ξY1 + k2ξY2 =lBη

Ω2 (14.19)

(l − k1ξ)Z1 + (l − k2ξ)Z2 =lAζ

Ω2 (14.20)

k1ξZ1 + k2ξZ2 =lBζ

Ω2 (14.21)

Die Auflosung ergibt:

k1ξ(14.18)− (l − k1ξ)(14.19) : Y2 =k1ξAη − (l − k1ξ)Bη

Ω2(k1ξ − k2ξ)

k2ξ(14.18)− (l − k2ξ)(14.19) : Y1 =k2ξAη − (l − k2ξ)Bη

(k2ξ − k1ξ)Ω2

k1ξ(14.20)− (l − k1ξ)(14.19) : Z2 =k1ξAζ − (l − k1ξ)Bζ

Ω2(k1ξ − k2ξ)

k2ξ(14.20)− (l − k2ξ)(14.19) : Z1 =k2ξAζ − (l − k2ξ)Bζ

(k2ξ − k1ξ)Ω2

Wenn jetzt noch in jeder Ebene der Radius vorge-

schrieben wird, auf dem die Korrekturmassen an-

gebracht werden sollen, dann lassen sich die zuvoreingefuhrten Substitutionen noch einmal anders aus-

drucken.

Y1 = m1R1 cosφ1, Y2 = m2R2 cosφ2

Z1 = m1R1 sinφ1, Z2 = m2R2 sin φ2

φ

η

ζ

R

Der Sinn dieser Umformung erschließt sich, wenn die Quadrate addiert, bzw.die Quotienten gebildet werden.

Y 21 + Z2

1 = m21R

21(cosφ2

1 + sin2 φ1) → m1 =

√Y 2

1 + Z21

R1

281


Z1

Y1=

m1R1 sin φ1

m1R1 cosφ1= tan φ1 → φ1 = arctan

Z1

Y1

Fur die Großen zur zweiten Korrekturmasse gilt Entsprechendes.

Damit sind die Große und Position der Korrekturmassen festgelegt. Vorausset-

zung ist, neben der Kenntnis der Drehzahl (Ω), die Messung der AuflagerkrafteAη, Aζ , Bη und Bζ . Das geht allerdings nur indirekt, weil in Lagern eingebaute

Messzellen naturgegeben raumfest sind: Gemessen wird Ay, Az, By und Bz1

Die gesuchten Krafte werden uber die Kinematikbeziehungen ermittelt. Dazu

braucht man allerdings den Winkel zwischen mitbewegtem und raumfestem

Koordinatensystem. Der muss auch gemessen werden.

Das bis hierher skizzierte Verfahren beschreibt das dynamische Auswuchten, das

alle Unwuchparameter gleichzeitig zu korrigieren versucht. Dem kann man einstatisches Auswuchten vorschalten, das mit einer Momentenwaage geschieht.

Im einfachsten Fall ist das ein auf Federn gelagertert Balken mit Libelle. Mit demstatischen Auswuchten kann man nur die Exzentrizitat korrigieren. Welchen

Einfluss man mit der Korrektur auf die Lage der Hauptachsen nimmt, weiß man

nicht.

Beispiel Eulergleichungen - Wetterfahne

Wie groß sind die Auflagerreaktionen einer sich mit konstanter Winkelge-

schwindigkeit drehenden Wetterfahne?

a

a

a a

ω

a

Das Blech hat die Starke t und die Dichte ρ.

Luftkrafte sind zu vernachlassigen.

Tragheitsparamter

Masse:

m = 3mq = 3a2ρt

Schwerpunkt:

s =2a2 · a

2 − a2 a2

3a3=

a

6

s

12

y

x

1Tatsachlich braucht man pro Auflager nur eine Komponente zu messen (am besten die horizonta-le, weil in dieser Richtung das Gewicht nicht mitgemessen werden muss). Die fehlende vertikaleKomponente wird durch eine zeitliche Verschiebung des horizontalen Signals erzeugt, die einerVierteldrehung entspricht.

282

Beispiel Eulergleichungen - Wetterfahne

Massentragheitsmomente:

Teilflache: Θqxx = Θq

yy =mqa2

12, Θq

zz =mq(a2 + a2)

12Transformation (45 um z = 3) :

Θ1 =

1

2(Θq

xx + Θqyy︸︷︷︸

mqa2

6

) +1

2(Θq

xx −Θqyy︸︷︷︸

0

) cos 90 + Θqxx︸︷︷︸0

sin 90

=mqa2

12= Θ

2 (gilt entsprechend), Θ3 = Θq

zz =mqa2

6

Teilschwerpunktsabstande:

2a3

a3

a√

23

a√

26

1

2

a√

22

a√

22

Gesamtmassentragheitsmomente:

Θ1 = 3Θ1 + mq(

2a2

9+ 2

2a2

36) =

7

12mqa2

Θ2 = 2Θ2 + mq2

2a2

4=

5

4mqa2

Θ3 = 3Θ3 + mq

(2a2

9+ 2(

2a2

36+

2a2

4))

=49

36mqa2

Drallsatz (Euler-Gleichungen) (ω =

√2

2ωe1 +

√2

2ωe2, ω = 0 )

(Θ3 −Θ2)ω2 ω3︸︷︷︸0

= M1

(Θ1 −Θ3)ω1 ω3︸︷︷︸0

= M2

(Θ2 −Θ1︸︷︷︸23mqa2

) ω1ω2︸︷︷︸12ω2

= M3 →M3 =1

3mqa2ω2

Muss durch die Auflagerreaktionen aufgebracht werden:

A = Axex + Ayey + Azez ,

MA = Mxex + Myey + Mzez

283


Impulssatz bezuglich (x, y, z):

ma = m7

6aω2ex = A → Ax =

7

2amqω2ex, Ay = Az = 0

Ortsvektor bezuglich (x, y, z): rA =7

6aex −

13

6aey

Resultierendes Moment: M = r ×A + MA

7

12a2mqω2 det

∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

7 −13 01 0 0

∣∣∣∣∣∣+

Mx

My

Mz

=

00

M3

→Mz = M3 −91

12a2mqω2

︸︷︷︸≈ 23×M3

= −87

12mqa2ω2

14.5. Leistung und Energie

Die Leistung einer Kraft F ist definiert als das Produkt der Kraft mit der Ge-

schwindigkeit des Kraftangriffspunktes in Richtung der Kraft. Genau dieser De-finition entspricht das Skalarprodukt: L = F · r.

ri

F i

F

r

Folglich ist die Leistung aller an einem Korper angreifenden Krafte die Summe

uber alle entsprechenden Skalarprodukte.

L =∑

i

F i · ri (14.22)

Bei einem Starrkorper wird daraus, dank des einfachen Geschwindigkeitsfeldes,mit Schwerpunktgeschwindigkeit s und Starrkorperdrehung ω

L =∑

i

F i ·(s + ω × (ri − s)

)=∑

i

(F i · s + F i ·

[ω × (ri − s)

])

284

14.5. Leistung und Energie

=∑

i

(F i · s +

[ω × (ri − s)

]· F i︸︷︷︸

Spatprodukt

)

=∑

i

(F i · s +

[(ri − s)× F i

]· ω)

=∑

i

(F i · s + M i · ω)

→ L = F · s + M · ω mit F =∑

i

F i und M =∑

i

M i

Die resultierende Kraft F und das resultierende Moment M kann man dank

Impuls- und Drallsatz (14.2 und 14.8, 14.5) ersetzen.

F · s = ms · sM · ω = (Θω) · ω + [ω × (Θω)] · ω︸︷︷︸

0

= (Θω) · ω

→ L = ms · s + (Θω) · ω (14.23)

Der erste Term entsteht, wenn man die Definition der Translationsenergie

Etrans =1

2I · s =

1

2ms · s

nach der Zeit ableitet,

Etrans =(1

2ms · s

)·=

1

2m(s · s + s · s

)= ms · s

Ganz entsprechend entsteht der zweite Term in (14.23) aus der Zeitableitungder Rotationsenergie, die ganz analog zur Translationsenergie aus Drehimpuls

D und Drehgeschwindigkeitsvektor ω gebildet wird.

Erot =(1

2D · ω

)·=

1

2

((Θω) · ω

)·

=1

2

((Θω) · ω︸︷︷︸∑i

∑k

Θikωkωi

+ (Θω) · ω︸︷︷︸∑i

∑k

Θikωkωi

)

Es gilt : ΘikωkωiUmbenennung i↔k

= Θkiωiωk = ΘTikωiωk = Θikωiωk

= (Θω) · ω, weil Θ symmetrisch ist

D.h., die Leistung der außeren Krafte entspricht der zeitlichen Anderung der

kinetischen Energie, die sich aus Translations.- und Rotationsenergie zusam-mensetzt.

L = E = Etrans + Erot (14.24)

285


Das Integral der Leistung uber der Zeit ist die Arbeit, die in das mechanischeSystem, in diesem Fall in den bewegten Starrkorper hinein gesteckt wird.

A12 =

t2∫

t1

L dt = E(t2)−E(t1) = E2 −E1 (14.25)

D.h., der Zuwachs der kinetischen Energie zwischen zwei Zeitpunkten ent-

spricht der Arbeit, die wahrend des Zeitintervalls [t1, t2] zugefuhrt wurde.

14.5.1. Konservative Systeme

Konservative Systeme (ausch aus mehreren Korpern) sind solche, in denen die

Krafte F i und Momente M j , die zusammen die Leistung L aufbringen, nur

vom Ort ri bzw. Drehwinkel φj der jeweiligen Angriffspunkte abhangen, also

nicht von Geschwindigkeiten ri, φj und auch nicht explizit von der Zeit t.

Die Einzelmomente M j , die hier etwas uberraschend auftauchen, passen durch-

aus in den bisherigen Rahmen, denn sie sind nichts anderes als KraftepaareF +

j , F−j , deren Anteil an der Leistung Lj = F +

j · r+j +F−

j · [r+j + φj× (r−

j −r+j )]

ist. Weil aber F−j = −F +

j ist, bleibt davon nur

Lj = F−j · [φj × (r−

j − r+j )]

︸︷︷︸Spatprodukt

= φj · [(r−j − r+

j )× F−j ] = φj ·M j

ubrig.

Fur ein solches System ergibt sich die Leistung nach (14.22) als

L =∑

i

F i(ri) · ri +∑

j

M j(φj) · φj

wobei man immer eine skalare Funktion U(ri, φi) finden kann, mit der Eigen-schaft, dass

F i = − ∂U

∂riund M j = − ∂U

∂φj

Eine Funktion mit diesen Eigenschaften nennt man ein Potenzial. Die nur orts-abhangigen Krafte und Momente darin sind Gewichtskrafte und Federkrafte

bzw. -momente.

286

Beispiel Rollschwinger

Das Zeitintegral der Leistung ergibt in diesem Fall

t2∫

t1

L dt =

t2∫

t1

∑

i

F i(ri) · ri dt +

t2∫

t1

∑

j

M j(φj) · φj dt

=

t2∫

t1

∑

i

(− ∂U

∂ri) · ri dt +

t2∫

t1

(− ∂U

∂φj

) · φj dt

= −∑

i

t2∫

t1

∂U

∂ri· dri

dtdt−

∑

j

t2∫

t1

∂U

∂φj

·dφj

dtdt

= −∑

i

ri(t2)∫

ri(t1)

∂U

∂ri· dri −

∑

j

φj(t2)∫

φj(t1)

∂U

∂φj

· dφj = −(U(t2)− U(t1)

)

Damit vereinfacht sich der Arbeitssatz (14.25) zum Energieerhaltungssatz

A12 = −U2 + U1 = E2 −E1 → E2 + U2 = E1 + U1

was nichts anderes heißt, als dass zu jedem Zeitpunkt die Summe aus kineti-

scher Energie E und der Potenzialfunktion U konstant bleibt. Aus diesem Grund

nennt man U die potenzielle Energie, also die Energie, die im System steckt undnoch sichtbare kinetische Energie werden konnte. Die Gesamtmenge aus kineti-

scher und potenzieller Energie ist konstant, sie wird konserviert. Deshalb nenntman solche Systeme konservative Systeme, und die oben erwahnten nur orts-

abhangigen Krafte und Momente heißen ebenfalls konservativ.

Beispiel Rollschwinger

l 0

x

m

g

45

c

φ

Eine Zylinderwalze rollt auf einer 45

Schrage. Bei x = 0 hat sie die Geschwin-digkeit v0.

Welche Geschwindigkeit hat sie an derStelle x?

Kinematik: rφ = x

Zustand 1: (x = 0, x = v0, φ =v0

r)

287


E1trans + E1rot + U1︸︷︷︸def : = 0

=1

2mv2

0 +1

2

1

2mr2(

v0

r)2 =

3

4mv2

0

Zustand 2: (x, x, φ =φ

r)

E2trans + E2rot + U2 =1

2mx2 +

1

2

1

2mr2(

x

r)2 −mg

√2

2x +

1

2cx2

→ x =

√v20 +

2

3

√2gx− 2

3

c

mx2

Bewegungsgleichung: E + U = konst → E + U = 0

→ 1

2m2xx +

1

2

1

2mr22

x

r2x−mg

√2

2x +

1

22cxx = 0

(mx +

1

2mx−mg

√2

2+ cx

)x = 0

nur erfullt, wenn3

2mx + cx = mg

√2

2bzw. x +

2

3

c

mx =

g

3

√2

288

15. Stoß

Als Stoß bezeichnet man den kurzfristigen Kontakt zwischen zwei Starrkorpern

in Bewegung. Dabei beschrankt man sich alledings auf ’handliche’ Korper undmoderaten Geschwindigkeiten, weil beim realen Stoß eigentlich Schockwellen

durch die Korper laufen, die reflektiert werden und wieder an der Stoßstelleeintreffen, bevor der Stoßkontakt vorbei ist. Außerdem stoßt man bei hoheren

Geschwindigkeiten an die Grenzen der Haltbarkeit des Materials.

Wahrend des Kontaktes kommt es an der Stoßstelle R(Ortsvektor r) zu einer flachenhaft verteilten Kraftwir-

kung, deren Resultierende F (t), genannt die Stoßkraft,

den Geschwindigkeitszustand der Korper verandert.

D.h., beide haben vor und nach dem Stoßvorgang je-

weils eine andere Schwerpunktsgeschwindigkeitx2

x1 r

R

1

2

xvor1 = v1s, xvor

2 = v2s → xnach1 = c1s, xnach

2 = c2s

und einen anderen Drehvektor

φvor

1 = ω1, φvor

2 = ω2 → φnach

1 = ω1, φnach

2 = ω2

und deshalb einen anderen Impuls und Drall. (Die Symbole v und c bzw. ω und

ω dienen zur besseren Unterscheidung der Zustande vor und nach dem Stoß.)

Ivor1 , Ivor

2 → Inach1 , Inach

2 Dvor1 , Dvor

2 → Dnach1 , Dnach

2

vorher

Ivor1

Dvor2

Dvor1

m1

Θ1

Ivor2

m2

nachher

Inach1

Inach2

Dnach2Dnach

11

2Θ2

289

15. Stoß

Gemaß dem Impulssatz andert sich der Impuls der Korper entsprechend derGroße der angreifenden Krafte. In diesem Falle reduziert sich das auf die Stoß-

kraft, gegenuber der alle anderen denkbaren Krafte (Gewicht, Federn) ver-

nachlassigbar klein sind.

Man zerlegt die Stoßkraft F (t), den Uberlegungen zur Reibung folgend, in

einen Anteil F n senkrecht zur Kontaktflache und einen zweiten Anteil F t, tan-gential in der Kontaktflache, aufteilt. Wenn die Stoßstelle ideal glatt ist, gibt

es keine tangentiale Komponente. Ansonsten ergibt sie sich entweder aus demGleitreibungsgesetz als

F t = −µ|F n|et (15.1)

mit et =4rt

|4rt|, 4rt =

v1rt − v2rt

c1rt − c2rt

,vrit = vri − (vri · en)en

crit = cri − (cri · en)en

oder aus Impuls- und Drallsatz und muss dem Haftreibungsgesetz Genuge tun.

|F t| < µH |F n|

r1t und r2t sind die Tangentialgeschwindigkeiten in der Stoßstelle, die sich ausder Starrkorperkinematik der beiden Korper ergeben.

ri = xi + ωi × (r − xi)

Im Fall von Haften gibt es in der Stoßstelle in tangentialer Richtung keine Rela-

tivgeschwindigkeit zwischen beiden Korpern.

r1t = r2t

Mit den Begriffen Normalenrichtung und Tangen-tialrichtung ist implizit vorausgesetzt, dass es ei-

ne Kontaktflache mit zugehoriger Flachennormaleen uberhaupt gibt. In anderen Worten: Die

Korperoberflache in der Umgebung der Stoßstelle ist

mindestens bei einem der beteiligten Korper stetigdifferenzierbar.

F nF n

1 2

F t

F t

F

F

en

Einer der beiden Korper jedenfalls (hier m1) definiert den Normalenvektor en.

Er zeigt nach mathematischer Konvention fur diesen Korper nach außen, fur

den anderen also nach innen.

Bei den Uberlegungen zur Impulsanderung fangt man am besten bei dem zwei-ten Korper m2 an, weil man sich die Stoßkraft sinnvollerweise als Druckkraft

vorstellt, und dazu liefert en fur Korper m2 die richtige Richtung. Aus dem

290

Schwerpunktsatz fur diesen Korper folgt (wenn man ihn uber die Stoßdauer τintegriert):

∫

τ

I2 dt =

∫

τ

m2x2 dt =

∫

τ

F (t) dt =

∫

τ

(F n(t)+F t(t)

)dt =: Sn+St (15.2)

Die so integrierte Stoßkraft (S = Sn + St) erhalt den Namen ’Stoß’. Der Stoßhat die Dimension eines Impulses. Sein Tangentialanteil St folgt aus der Inte-

gration der Reib- oder Haftkraft F t uber die Stoßdauer.

St = µ|Sn|s. (15.1)︷︸︸︷

et oder |St| < µH |Sn| (15.3)

Dabei wird vorausgesetzt, dass wahrend der gesamten Stoßzeit entweder Haf-

ten oder Gleiten vorliegt, aber keine Mischformen, bei denen Gleiten in Haften

ubergeht. Außerdem wird der Tangenteneinheitsvektor et wahrend der Stoß-dauer als konstant angesehen.

Wenn keine Reibung oder andere energieverzehrenden Mechanismen vorliegen,

ist S der Impuls, der zwischen beiden Korpern ausgetauscht Die.

wird Ausfuhrung der Integration auf der linken Seite von (15.2) ergibt:

t1∫

t0

m2x2 dt = m2

c2s∫

v2s

dx2 = m2(v2s − c2s) = S = Sn + St︸︷︷︸zur Erinnerung

(15.4)

Die Drallanderung fur diesen Korper m2 folgt aus dem Drallsatz.

∫

τ

D2 dt =

∫

τ

Θ2φ2 dt =

∫

τ

(r − x2)× F dt

Darin ist r der Ortsvektor der Stoßstelle und x2 beschreibt, wie schon oben,den Schwerpunkt des Korpers m2. Beide Vektoren werden als unveranderlich

wahrend der kurzen Stoßdauer angesehen. D.h., sie konnen aus dem Integral

herausgezogen werden. Θ2 ist die Massentragheitsmatrix gemessen in einemkorperfesten Koordinatensystem, das uber die Stoßdauer hinweg ebenfalls als

raumfest angesehen werden kann.

→∫

τ

D2 dt = (r − x2)×∫

τ

F dt(15.2)= (r − x2)× S

291

15. Stoß

Hier folgt aus der Integration der linken Seite:

∫

τ

Θ2φ2 dt = Θ2

ω2∫

ω2

dφ2 = Θ2(ω2 − ω2) = (r − x2)× S (15.5)

Das gilt fur den einen der am Stoß beteiligten Korper (m2).

Auf den anderen (m1) wirkt die Stoßkraft F (t) und damit der Stoß S in umge-kehrter Richtung.

(15.4)→ m2(c2s − v2s) = Sn + St (15.6)

m1(c1s − v1s) = −Sn − St (15.7)

(15.5)→ Θ2(ω2 − ω2) = (r − x2)× (Sn + St) (15.8)

Θ1(ω1 − ω1) = (r − x1)× (−Sn − St) (15.9)

Angenommen, der Bewegungszustand beider Korper vor dem Stoß ist bekannt,ebenso der Ort r der Stoßstelle, dann bleiben 15 Unbekannte, namlich al-

le Komponenten der Geschwindigkeiten (6) und der Drehvektoren (6) beiderKorper nach dem Stoß, sowie die Komponenten des Stoßes Sn + St (3). De-

nen stehen 5 Vektorgleichungen entgegen, vgl. (15.7) - (15.8) und (15.3). Das

reicht.

Offensichtlich wirken auf das Gesamtsystem keine außeren Krafte. D.h., es wird

keine Energie zugefuhrt. Es wird aber auch, abgesehen von den Reibverlusten,keine Energie verzehrt, denn bei Starrkorpern gibt es keinen physikalischen

Mechanismus, der das leisten konnte.

Das kann allerdings nur als idealisierender Grenzfall fur reale Stoßvorgange

gelten, denn tatsachlich geht bei jedem Stoß Energie verloren, und das liegt anden Materialeigenschaften der beteiligten Korper, die eben nicht starr sind.

15.1. Der teilelastische Stoß

Um dem Problem des Starrkorpers aus dem Weg zu gehen, wird gedanklich zu-gelassen, dass sich der Nahbereich der Stoßstelle doch deformieren kann. Da-

bei unterscheidet man zwei Phasen, die man sich an zwei Federn klarmachen

292


kann, die aufeinander treffen (t = 0), sich gegenseitig bis zu einem Maximal-betrag verformen (t = t∗) und sich anschließend wieder entspannen, bis sie

den Kontakt verlieren (t = τ). Die erste Phase nennt man Deformationsphase,

die zweite bekommt den Namen Restitutionsphase. Da hier nicht zwei Proble-me miteinander vermischt werden sollen, wird fur die folgenden Uberlegungen

von ideal glatten Kontaktflachen ausgegangen. Es exisitiert keine Reibung.

Die Auswertung von Impuls- und Drallsatz nimmt man in beiden Phasen ge-

trennt vor.

Deformationsphase Z.B. fur Korper 2 ergibt sich:

t∗∫

0

m2x2 dt = m2(v∗2s − v2s) =

t∗∫

0

F n(t) dt = SDn

Dank der Starrkorperkinematik kann man die Schwerpunktsgeschwindigkeitenauch mit Hilfe der Drehgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit der Stoßstelle

ausdrucken:

v2s = v2r − ω2 × h2, h2 = r − x2

Das gilt sowohl fur den Zeitpunkt t = 0, als auch fur t = t∗. Der Differenzvektor

h2 bleibt unverandert. Aus dem Impulssatz wird damit:

m2

(v∗

2r − ω∗2 × h2 − (v2r − ω2 × h2)

)=

m2

(v∗

2r − v2r − (ω∗2 − ω2)× h2

)= SD

n (15.10)

Der Drallsatz liefert fur denselben Korper (vgl. 15.8):

Θ2(ω∗2 − ω2) = h2 × SD

n

woraus man durch Matrizeninversion und Kreuzproduktbildung mit h2 den

Ausdruck bilden kann, der in (15.10) noch stort.

(ω∗2 − ω2)× h2 = Θ

−12 (h2 × SD

n )× h2

→ m2(v∗2r − v2r) = m2Θ

−12 (h2 × SD

n )× h2 + SDn (15.11)

Fur den anderen Korper ergibt sich nach gleichem Vorgehen:

m1

(v∗

1r − v1r − (ω∗1 − ω1)× h1

)= −SD

n

Θ1(ω∗1 − ω1) = −h1 × SD

n

293

15. Stoß

→ m1(v∗1r − v1r) = −m1Θ

−11 (h1 × SD

n )× h1 − SDn (15.12)

Das, was beide Gleichungen gemeinsam haben, ist die Normalkomponente von

v∗1r und v∗

2r. Da beide Korper an dieser Stelle in Kontakt sind und sich nicht

durchdringen, mussen beide Komponenten gleich groß sein:

v∗1rn = v∗2rn!= v∗

Deshalb empfiehlt es sich, die berechnete Impulsanderung in Normalenrichtung

und senkrecht dazu getrennt zu betrachten. Genauer gesagt, nur den Normal-anteil.

(15.11) :

m2(v∗ − v2rn) =

(m2Θ

−12 (h2 × SD

n )× h2

)· en + SD (15.13)

(15.12) :

m1(v∗ − v1rn) =

(m1Θ

−11 (h1 × SD

n )× h1

)· en − SD (15.14)

SD = SDn · en

In einem lokalen Koordinatensystem in der Stoßstelle mit den Einheitsvektoren

en, et und eb, binormal zu beiden anderen, stellt sich ein Differenzvektor h als(hn, ht, hb) dar und der Vektor SD

n als (SD, 0, 0). Damit werden die Kreuzpro-

dukte zu:

h× S = det

∣∣∣∣∣∣

en et eb

hn ht hb

SD 0 0

∣∣∣∣∣∣= SD(0, hb,−ht)

(h× S)× h = SD det

∣∣∣∣∣∣

en et eb

0 hb −ht

hn ht hb

∣∣∣∣∣∣= SD(h2

b + h2t ,−hnht,−hnhb)

Multipliziert mit der Masse kann man die Komponenten dieses Vektors mit Stei-neranteilen identifizieren.

mSD(h2b + h2

t ,−hnht,−hnhb) = SD(ΘStnn, ΘSt

nt , ΘStnb)

Das Matrizenprodukt mit der Inversen der Massentragheitsmatrix liefert mit

dem anschließenden Skalarprodukt (mit Hilfe von (Mv) · e = mikvkei undi = n) :

(mΘ

−1(h× SDn )× h

)· en = (Θ−1

nnΘStnn + Θ−1

nt ΘStnt + Θ−1

nb ΘStnb)︸︷︷︸

θ

SD

294


Diese Uberlegungen haben nur den Sinn, eine Abschatzung der Terme in (15.13)und (15.14) zu geben, wenn sie uberhaupt vorhanden sind. Beim zentralen

Stoß (Massenmittelpunkte und Stoßstelle liegen auf einer Geraden in Richtung

en) sind h und SDn koaxial und schon das erste Kreuzprodukt verschwindet.

Wenn man jetzt den Begriff ’handlich’, der anfangs genannt wurde, so interpre-

tiert, dass die Faktoren θ fur beide Korper annahernd gleich groß sind (θ1 ≈θ2 ≈ θ), dann vereinfachen sich die Gleichungen (15.13) und (15.14) um eine

weitere Stufe.

m2(v∗ − v2rn) = (1 + θ2)S

D ≈ (1 + θ)SD = SD

(15.15)

m1(v∗ − v1rn) = −(1 + θ1)S

D ≈ −(1 + θ)SD = −SD

(15.16)

Jetzt kann man durch Gleichsetzen v∗ ausrechnen

v∗ =m2v2rn + m1v1rn

m2 + m1

und, durch Wiedereinsetzen in z.B. (15.15), den Impulsaustausch der Deforma-

tionsphase.

SD

=m1m2

m1 + m2(v1rn − v2rn) (15.17)

Restitutionsphase Im Intervall [t∗, τ ] sieht es ahnlich aus. Wieder zuerst furm2:

τ∫

t∗

m2x2 dt = m2(c2s − v∗2s) =

τ∫

t∗

F n(t) dt = SRn

→ m2(v∗2s − c2s) = −SR

n

Die Kinematik ist dieselbe wie wahrend der Deformationsphase, nur mit ande-ren Buchstaben.

c2s = c2r − ω2 × h2

und der Drallsatz ergibt:

Θ2(ω2 − ω∗2) = h2 × SR

n → Θ2(ω∗2 − ω2) = −h2 × SR

n

So ginge das weiter: Die Gleichungen sind dieselben wie zuvor. Man muss nur

alle Geschwindigkeiten vr durch cr, ω durch ω und SD durch −SR ersetzen.

Damit ergibt sich fur den Impuls der Restitutionsphase

SR

=m1m2

m1 + m2(c2rn − c1rn) (15.18)

295

15. Stoß

Newtonsche Stoßhypothese Die Uberlegungen, wie die Materialeigenschaf-ten berucksichtigt werden konnten, beziehen sich auf die Impulse SD und SR

der beiden Phasen. Wenn sie gleich groß sind, muss der Kraftverlauf in beiden

Phasen gleich gewesen sein. Sonst kame die Integration uber beide Zeitinter-valle nicht zu denselben Ergebnissen. In diesem Fall lage ideale Elastizitat vor,

bei der keine Energie verloren geht.

Der andere Extremfall ist, wenn in der Restitutionsphase uberhaupt keine Kraft

mehr wirken wurde. Das ist der Fall, wenn die Deformation bleibt. Keine Ruck-federung, d.h. ideale Plastizitat.

Diesen Zusammenhang kann man mit

SR = εSD

beschreiben. Darin ist die Zahl ε die sogenannte Stoßziffer oder Stoßzahl1, dieman experimentell bestimmen kann. Sie liegt im Intervall [0, 1] und ist abhangig

von der Materialpaarung. Beispielswerte sind:

Materialpaarung Stoßzahl Golfball2auf . . . Stoßzahl

Glas - Glas 0.94 Rasen, kurz, trocken 0.6Elfenbein - Elfenbein 0.89 Rasen, kurz, nass 0.4

Stahl - Stahl 0.8 Sand, trocken 0.05

Holz - Holz 0.5 Sand, nass 0Kfz - Kfz 0.8 (?) Fels 0.8

Die oben genannte Stoßhypothese ist in dieser Form relativ unbrauchbar, wird

aber schlagkraftig, wenn man sie mit den Gleichungen (15.17) und (15.18)

verknupft. Das Ergebnis ist:

ε = − c1rn − c2rn

v1rn − v2rn(15.19)

Dazu kommen noch die Gleichungen (15.6), (15.7), (15.8), (15.9) und (15.3a)

bzw. die Kinematikbedingung r1t = r2t zusammen mit der Haftbedingung

(15.3b).

1Das Wort Stoßzahl ist in der Chemie/Physik durch eine andere Bedeutung besetzt.2Aus einem Golfsimulator

296

Beispiel Kugel trifft Kugel

Beispiel Kugel trifft Kugel

m1 m2

v1 v2

Das ist der sogenannte gerade zentrale

Stoß, der so heißt, weil die Verbindungsli-nie der Schwerpunkte durch die Stoßstelle

geht, und zwar in Richtung der Stoßnor-malen. Außerdem gehen die Geschwindig-

keiten genau in diese Richtung.

S S

x

Impulssatz m1; m1(c1 − v1) = −S (G1)

Impulssatz m2; m2(c2 − v2) = S (G2)

Stoßhypothese: ε = − c2 − c1

v2 − v1(G3)

−(G1) = (G2) → m1c1 + m2c2 = m2v2 + m1v1 (G4)

(G3) → c1 − c2 = ε(v2 − v1) (G5)

m2(G5) + (G4) : c1 =m2(1 + ε)v2 + (m1 +

0︷︸︸︷m2 −m2−εm2)v1

m1 + m2

→ c1 = v1 +m2

m1 + m2(1 + ε)(v2 − v1)

(G4)−m1(G5) : c2 =(m2 +

0︷︸︸︷m1 −m1−m1ε)v2 + (1 + ε)m1v1

m1 + m2

→ c2 = v2 +m1

m1 + m2(1 + ε)(v1 − v2)

Die gefundenen Losungen beinhalten auch alle moglichen Sonderfalle, von de-

nen nur zwei genauer betrachtet werden.

• limm2→∞

dann: c1 = (1 + ε)v2 − εv1 mit v2 = 0 → c1 = −εv1

D.h., wenn eine Kugel aus der Hohe h auf den Boden fallt und kurz vor

dem Aufprall die Geschwindigkeit v1 =√

2gh hat, springt sie nach dem

297

15. Stoß

Stoß mit der Geschwindigkeit c1 = −εv1 = −ε√

2gh zuruck und erreichtund deshalb wieder die Hohe h = 1

2g c21 = ε2h.

Das ist eine Moglichkeit, Stoßzahlen zu bestimmen.

Wenn die Rucksprunghohe nicht genau genug gemessen werden kann,hilft eine Zeitmessung. Im Schwerefeld der der Erde dauert der Fall aus

dem Stillstand in der Hohe h die Zeit Tf (h) =√

2h/g. Das gilt auch fur

den Rucksprung auf die Hohe h: Ts =√

2h/g, womit sich die Zeit ergibt

fur eine Ab-/Aufbewegung ergibt:

Ti = Tf (hi) + Ts(hi) =

√2hi

g+

√2ε2hi

g=

√2hi

g(1 + ε)

Die Gesamtzeit fur unendliche viele Sprunge nacheinander ist

T =

∞∑

1

Ti =

∞∑

1

√2hi

g(1 + ε) = (1 + ε)

√2

g

∞∑

1

√hi

Mit hi = ε2hi−1 (s.o.) folgt daraus:

T = (1 + ε)

√2

g

√h1

∞∑

1

εi−1 = (1 + ε)

√2h1

g

∞∑

0

εi =1 + ε

1− ε

√2h1

g

Auch wenn man sich kaum vorstellen kann, dass unendlich viele Vorgange

in endlicher Zeit ablaufen konnen, genugt es aus ingenieurmaßiger Sicht,

die Zeit zu messen, bis man nichts mehr hort. Dann folgt die Stoßzahl mit

ε =K − 1

K + 1, K =

√gT 2

2h1

• m1 = m2 = m, ε = 1.0, v1 = v, v2 = 0

→ c2 =m

m + m(1+1)(v−0) = v, c1 = v +

m

m + m(1+1)(0− v) = 0

D.h. die erste Kugel gibt ihren Impuls I = mv vollstandig an die zweiteKugel weiter, was auch bei einer fur eine Reihe von Kugeln der Masse mso gilt.

III I I I I I

v vsteht steht

298

Beispiel Turstopper

Beispiel Turstopper

Bei einer aufschlagenden Tur, die von einem Turstopper gebremst wird,

ist Die Auflagerreaktion im Scharnier von gleicher Großenordnung wie

der Stoß, muss also auf jeden Fall berucksichtigt werden.

m

ω

b

a

Kinematik:

vs = ωb

2, vr = ωa

Impulssatz:

m(ω − ω)b

2= −S + A (1)

S

A

Drallsatz: Θ(ω − ω) = −S(a− b

2)−A

b

2(2)

Stoßhypothese: ε = − ωa

ωa→ ω = −εω (3)

(1), (3)→ (2) : (1 + ε)(Θ−m

b

2(a− b

2))ω = Aa

Massentragheitsmoment: Θ =1

12mb2

A = 0, wenn1

12mb2 −m

b

2(a− b

2) = 0 → a =

2

3b

Das hat zwar seinen Einzug in die Norm gefunden, ist aber nur richtig,

wenn oben und unten Turstopper angebracht sind. Das ist meistens nicht

so.

Au

S

Ao

u

oh

Schwerpunkt bei h/2 Ao = Au

Drallsatz um die Horizontale:

Θh( ωh︸︷︷︸0

− ωh︸︷︷︸0

) = Ao(o−h

2) + Au(

h

2− u)− S

h

2

→ Ao = Au =h

o− u

S

2

299

15. Stoß

Beispiel Versetzer Frontalzusammenstoß

Zwei Fahrzeuge stoßen mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 versetzt zu-

sammen. Der Stoß erfolgt teilplastisch. In der Stoßstelle gilt die Haftbe-dingung.

m1, Θ1

a1

b1

a2

m2, Θ2b2

v2

v1

nt

S ST

T

Impulssatz m1, m2, normal, tangential:

m1(c1sn − v1sn︸︷︷︸v1

) = −S (1) m1(c1st − v1st︸︷︷︸0

) = T (2)

m2(c2sn − v2sn︸︷︷︸−v2

) = S (3) m2(c2st − v2st︸︷︷︸0

) = −T (4)

Drallsatz Θ1, Θ2:

Θ1(ω1 − ω1︸︷︷︸0

) = b1S + a1T (5) Θ2(ω2 − ω2︸︷︷︸0

) = b2S + a2T (6)

Kinematik:

v1rn = v1sn − b1 ω1︸︷︷︸0

= v1, v1rt = v1st︸︷︷︸0

−a1 ω1︸︷︷︸0

= 0

c1rn = c1sn − b1ω1, c1rt = c1st − a1ω1

v2rn = v2sn + b2 ω2︸︷︷︸0

= −v2, v2rt = v2st︸︷︷︸0

+a2 ω2︸︷︷︸0

= 0

c2rn = c2sn + b2ω2, c2rt = c2st + a2ω2

Haftbedingung: c1rt = c2rt → c1st − a1ω1 − c2st − a2ω2 = 0 (7)

Stoßhypothese: ε = − c1rn − c2rn

v1rn − v2rn

→ c1sn − b1ω1 − c2sn − b2ω2 = ε(v1 + v2) (8)

8 Gleichungen fur 8 Unbekannten S, T , c1sn, c1st, c2sn, c2sr, ω1, ω2.

300

Beispiel Billard mit Drall und Gleitreibung

Beispiel Billard mit Drall und Gleitreibung

ωt = vr

r

Tt

STb

v

nt

ωb

Wie groß ist der Ruck-

prallwinkel?

notwendig , der Rest der

Vollstandigkeit halber.

Schwerpunktsgeschwindigkeiten:

v1s =

v00

, c1s =

c1sn

c1st

c1sb

, ω =

0ωt

ωb

, ω =

0ωt

ωb

Kinematik: v1rn = v , v1rt = rωb , v1rb = −rωb

c1rn = c1sn, c1rt = c1st + rωb > 0 ? , c1rb = c1sb − rωb

v2rn = v2rt = v2rb = c2rn = c2rt = c2rb = 0

Reibgesetz: Tt = µS sgn(v1rt − v2rt) = µS sgn(ωb) = µS

Tb = µS sgn(v1rb − v2rb) = µS sgn(−rωb) = −µS

Impulssatz: m(c1sn − v) = −S (1)

mc1st = −Tt = −µS (2)

mc1sb = −Tb = µS

Drallsatz: Θ(ωb − ωb) = −Ttr = −µSr, (Θ =2

5mr2)

Θ(ωt − ωt) = Tbr = −µSr

Θ(ωn) = 0

Stoßhypothese: ε = − c1rn − c2rn

v1rn − v2rn= − c

v→ c1sn = −εv

(1)→ S = m(1 + ε)v

(2)→ c1st = −µ(1 + ε)v

Rucksprungwinkel: tan α =c1st

c1sn=

µ(1 + ε)

ε

301

15. Stoß

302

16. Elastostatik des geradenStabes

Der gerade Stab oder Balken ist ein Tragwerk, das in der Technischen Mechanik

auf seine Balkenachse reduziert wird. Die Balkenachse ist die Menge aller Quer-

schnittsflachenmittelpunkte. Der Konvention entsprechend liegt die x-Achse desbeschreibenden Koordinatensystems in der Balkenachse.

Der Stab ist schlank, d.h. seine Abmessungen in y- und z-Richtung sind min-

destens zehn- bis zwolfmal kleiner als seine Langsausdehnung, was Berech-

tigung zu der Annahme gibt, dass in den Querrichtungen die Spannungen,wenn sie uberhaupt auf einer Seite durch außere Lasten eingeleitet werden,

so schnell abklingen, dass man sie ignorieren kann. An einem beliebigen Punkt

x = (x, y, z) im Inneren eines Balkens herrscht der Spannungszustand:

σ =

σxx τxy τxz

τxy 0τxz 0

Diese Spannungen konnen unterschiedlich uber den Querschnitt A(x) verteilt

sein. Deshalb betrachtet man zunachst ihre resultierenden Krafte und ihre resul-tierenden Momente bezuglich des Querschnittsmittelpunktes, also der x-Achse.

Das sind Normalkraft und Querkrafte in y- und z-Richtung

N(x) =

∫

A

σxx dA, Qy(x) =

∫

A

τxy dA, Qz(x) =

∫

A

τxz dA

das Torsionsmoment um die x-Achse

Mx(x) =

∫

A

(yτxz − zτxy) dAy

dA

z

τxz

τxy

und die Biegemomente, jeweils um y und z

303

16. Elastostatik des geraden Stabes

My(x) =

∫

A

zσxx dAx

z

dA

σxx

σxx

dA

x

y

Mz(x) = −∫

A

yσxx dA

Diese Schnittgroßen werden entweder von Einzelkraften und -momenten her-vorgerufen, die an Punkten des Balkens angreifen, oder von linienhaft verteilt

angreifenden Kraft- und Momentengroßen, die man als Streckenlasten oder

Streckenmomente bezeichnet.

q(x) = n(x)ex + qy(x)ey + qz(x)ez

m(x) = mx(x)ex + my(x)ey + mz(x)ez

wobei die gebrauchlicheren unterstrichen sind. Beispiele sind das Eigengewicht(n, q) oder die Reibung eines Bolzens an der Bohrlochwandung (mx).

Die Umsetzung realer Kraftwirkungen an einer Balkenkonstruktion in Linien-

lasten bezuglich der Balkenachse x ist ein Teil der Modellbildung, die in der

Technischen Mechanik immer wieder notwendig ist.

Zwischen den Schnittgroßen bestehen Differenzialbezie-

hungen, die man an einem Balkenelement ablesen kann -

hier exemplarisch gezeigt fur eine Querkraftbeziehung.

q dx + dQ = 0 → Q′ = −q

Analog kann man herleiten:

N ′ = −n, Q′y = −qy, Q′

z = −qz, M ′x = −mx

Q Q + dQ

q

dx

q

dx

Q

M

Q + dQ

M + dM

mBei den Biegemomenten ist mehr zu berucksichti-gen, z.B. ein Streckenmoment, was auch immer man

sich darunter vorstellen mag. Dafur fallt aber ein

Term ( dQ dx) als von hoherer Ordnung klein her-aus.

dM + m dx− (Q + dQ) dx = 0 →M ′ = Q−m

Das ist so richtig fur My: M ′y = Qz −my. Bei Mz ist

der Drehsinn anders, denn (x, y, z) ist ein Rechtssy-

stem. Fur Mz kommt M ′z = −Qy −mz heraus.

304

16.1. Geometrie und Stoffgesetz

Alle Differenzialbeziehungen zusammengestellt sind:

Krafte N ′ = −n Q′y = −qy Q′

z = −qz

Momente M ′x = −mx M ′

y = Qz −my M ′z = −Qy −mz

(16.1)

16.1. Geometrie und Stoffgesetz

Die gangige Annahme uber die Verformung von

Staben oder Balken ist das Eben- und Senk-

rechtbleiben der Querschnitte. Dazu kommt dieVernachlassigung der Querdehnung, d.h. ein

Punkt im Abstand y oder z bleibt immer indiesem Abstand von der Balkenachse, auch

wenn diese sich gegen ihre Ausgangslage ver-

schiebt und neigt. Das nennt man die Bernoulli-Hypothese.

Die Verschiebung u des Punktes P in Richtung xist die Verschiebung u0 des Punktes P0 korrigiertum die Neigung des Abstandes z.

u = u0 − z sin β

x

u

zu0

P0

Pw0

w′0

β

z

Balken

Solange die Neigung klein ist, was im Folgenden immer gelten soll, ist β kleinund der Sinus kann mit dem Tangens gleichgesetzt werden. Der Tangens wie-

derum ist nicht anders als die Ableitung w′0.

Eine zusatzliche Verschiebung v0 in Richtung y mit der Neigung v′0 = tan α in

Richtung y ergibt eine entsprechende Korrektur1 und fuhrt zur Gesamtlangs-

dehnung der sogenannten ’Schiefen Biegung’:

u = u0 − yv′0 − zw′0 → εxx =

∂u

∂x= u′

0 − yv′′0 − zw′′0

Das Hook’sche Gesetz ergibt die Normalspannung

σxx = Eεxx = E(u′0 − yv′′0 − zw′′

0 ) (16.2)

1Es gilt dieselbe Skizze, wenn z durch y, w durch v und β durch α ersetzt wird.

305


und die Integration uber die Querschnittsflache stellt die Verbindung zu denSchnittgroßen her.

N =

∫

A

σxx dA = E

(u′

0

∫

A

dA

︸︷︷︸A

−v′′0

∫

A

y dA

︸︷︷︸Sz=0

−w′′0

∫

A

z dA

︸︷︷︸Sy=0

)

My =

∫

A

zσxx dA = E

(u′

0

∫

A

z dA

︸︷︷︸Sy=0

−v′′0

∫

A

yz dA

︸︷︷︸−Iyz

−w′′0

∫

A

z2 dA

︸︷︷︸Iyy

)

Mz = −∫

A

yσxx dA = E

(− u′

0

∫

A

y dA

︸︷︷︸Sz=0

+v′′0

∫

A

y2 dA

︸︷︷︸Izz

+w′′0

∫

A

yz dA

︸︷︷︸−Iyz

)

Die sogenannten ’statischen Momente’ Sy und Sz einer Flache sind Null, wenn

der Koordinatenurprung im Schwerpunkt der Flache liegt. Damit ist nachtrag-

lich die Konvention erklart, nach der die Balkenachse x durch die Flachen-schwerpunkte der Querschnitte definiert wird.

Alle anderen Integrale werden zur Definition der sogenannten Flachentragheits-momente (Iyy, Izz) bzw. des Deviationsmomentes Iyz.

Die Differenzialgleichungen, die die Langenanderung und ’schiefe’ Biegung der

Balkenachse beschreiben, sind:

EAu′(x) = N(x) (16.3)

EIyzv′′(x) −EIyyw′′(x) = My(x)

EIzzv′′(x)−EIyzw

′′(x) = Mz(x)

(Der Index 0, der bisher die Großen der Balkenachse kennzeichnete, wird jetztnicht mehr benotigt.)

16.2. Schiefe Biegung mit Normalkraft

Die beiden letzten Gleichungen sind in der Form noch unbrauchbar, weil sie

nicht entkoppelt sind. Durch Umformung entsteht:

Ew′′(x) =IzzMy(x)− IyzMz(x)

I2yz − IyyIzz

(16.4)

306

16.2. Schiefe Biegung mit Normalkraft

Ev′′(x) =IyzMy(x) − IyyMz(x)

I2yz − IzzIyy

(16.5)

Mit den Schnittgroßen My und Mz und den aus der Geometrie des Balkens fol-

genden Flachentragkeitsmomenten ist die rechte Seite des Gleichungssystemsbekannt, und die Losung kann durch zweifache Integration und Bestimmung

der Integrationskonstanten aus Randbedingungen gefunden werden. Es gehtaber noch einfacher.

Wenn eine der Koordinatenachsen y oder z Symmetrielinie der Querschnitts-flache ist, ist das Deviationsmoment 0 und die Gleichungen entkoppeln sich

noch weiter. Die Koordinatenachsen sind dann die Hauptachsen der Querschnitts-

flache.

EIyyw′′(x) = −My(x) (16.6)

EIzzv′′(x) = Mz(x) (16.7)

Der Zusammenhang zwischen Normalkraft und Verformung der Balkenachsewar ohnehin eine eigenstandige Gleichung (s. 16.3). Jetzt sind zwei weitere

entstanden, die man unabhangig voneinander losen kann. Man erhalt jeweilsTeile der Losung, namlich u, v und w getrennt, die Komponenten des Verschie-

bungsvektors der Punkte der Balkenachse, die den eigentlichen Balkens vertritt.

Das Zusammensetzen der Losung aus den Einzellosungen nennt man ’Superpo-

nieren’. Diese praktische Moglichkeit wurde in Abschnitt 16.1 eroffnet, als der

Sinus durch den Tangens ersetzt wurde. Dadurch blieben in den Gleichungennur noch lineare mathematische Operationen ubrig.

Hier eroffnet sich ein Losungsweg neben dem in (16.4) und (16.5) beschriebe-

nen. Die Zerlegung in Einzelaufgaben ist namlich nicht nur bei Symmetrie der

Querschnitte moglich, sondern in jedem Koordinatensystem (y, z), das Haupt-achsensystem ist (→ Iyz = 0). Das findet man unter dem Winkel

φ =1

2arctan

2Iyz

Iyy − Izz

Die zugehorigen Hauptflachentragheitsmomente sind

Iyy =1

2(Iyy + Izz) +

1

2

√(Iyy − Izz)2 + 4I2

yz

Izz =1

2(Iyy + Izz)−

1

2

√(Iyy − Izz)2 + 4I2

yz

Jetzt konnen die Schnittgroßen My und Mz bezuglich des Hauptachsensystems

(y, z) bestimmt werden, die Losungen v und w aus (16.7) und (16.6) berechnet

307


werden, und durch Rucktransformation entstehen v und w, die ursprunglichgesuchten Losungen.

Der Normalspannungszustand im Balken folgt aus (16.2)

σxx = Eu′ −Ev′′y −Ew′′z

=N

A− IyzMy − IyyMz

I2yz − IzzIyy

y − IzzMy − IyzMz

I2yz − IyyIzz

z (16.8)

indem man die Ergebnisse (16.5) und (16.4) einsetzt.

Auch dieses Ergebnis wird wesentlich einfacher in einem Hauptachsensystem(Iyz = 0)

σxx =N

A− Mz

Izzy +

My

Iyyz (16.9)

Beispiel L-Profil-Kragarm

Ein L-Profil-Kragarm a×d der Lange l (E-Modul E) ist am freien Endedurch die Einzelkraft F belastet.

Wie weit und in welche Richtung

weicht der Lastangriffspunkt aus?Wo ist die Spannung gleich Null?

Wo liegen die Extremwerte der Span-

nung? z

ad

y

F

zx

Schwerpunkt: 14 (a,−a)

Flachentragheitsmomente: Iyy = Izz = 112da3 + 2(a

4 )2ad = 524da3

Deviationsmoment: Iyz = −(

a4

a4ad + −a

4−a4 ad

)= −1

8 a3d

Momentenverlaufe: My = −F (l− x), Mz = 0 maximal in x = 0

Biegelinien (16.4, 16.5):

w′′ = 15F2Ea3d

(l − x) v′′ = − 9F2Ea3d

(l − x)

w′ = 15F2Ea3d

(lx− 12x2) v′ = − 9F

2Ea3d(lx− 1

2x2)

w = 15F2Ea3d

(12 lx2 − 1

6x3) v = − 9F2Ea3d

(12 lx2 − 1

6x3)

(Die Integrationskonstanten verschwinden alle wegen der Randbedingun-gen bei x = 0.)

Verschiebung Lastangriffspunkt: w(l) = 5F l3

2Ea3d, v(l) = − 3F l3

2Ea3d308

Beispiel L-Profil-Kragarm

Normalspannungsverteilung (16.8): σxx = 3F l2a3d

(3y − 5z)

Die Normalspannung verschwindet, wenn 3y − 5z = 0. Das ist eine Ge-

radengleichung (z = 35y) in der (y, z)-Ebene. Die Gerade schneidet den

Querschnitt in (−a4 ,− 3a

20 ) und ( 5a12 , a

4 ). Die Punkte des Querschnitts ent-

lang dieser Geraden bezeichnet man als ’Neutrale Faser’.

Die großten Spannungen sind in den Punkten, die am weitesten von derneutralen Faser entfernt sind.

σ(3a

4,a

4) =

3F l

2a2d, σ(

−a

4,−3a

4) =

9F l

2a2d︸︷︷︸max

, σ(−a

4,a

4) = −3F l

a2d︸︷︷︸min

16.2.1. Biegelinie aus Differenzialgleichungen

Die Differenzialbeziehungen (16.1) erlauben einen systematischen Losungsweg

der Verformungsberechnung, bei dem die Auflager und Schnittgroßen nicht zu-vor ermittelt werden mussen, sondern im Verlauf der Rechnung abfallen:

Die formale Ableitung z.B. der Differenzialgleichung (16.6) nach der Balkenko-

ordinate x ergibt:

(EIyyw′′)′ = −M ′y mit (16.1) = −Qz (16.10)

Die im Folgenden vorgenommene Beschrankung auf ebene Probleme in der(x, z)-Ebene nimmt nichts von der Allgemeingultigkeit, vereinfacht aber die

Schreibarbeit, z.B. Iyy → I , My →M , Qz → Q, qz → q.

Eine weitere Einschrankung schließt alle Balken mit kontinuierlich veranderli-

chen Querschnitten aus, wird aber getroffen, um losbare Gleichungen zu behal-

ten: EI = konst.

Eine weitere formale Ableitung fuhrt zu;

EIw′′′′ = −Q′ mit (16.1) = q (16.11)

Diese inhomoge Differenzialgleichung 4. Ordnung ist einfach durch vierfacheIntegration zu losen. Die dabei entstehenden 4 Integrationskonstanten mussen

aus Randbedingungen bestimmt werden.

309


Beispiel Kragbalken unter Endlast

Ein Kragbalken der Festigkeit EI und Lange l unter Last F .

EIw′′′′ = q(x) = 0

EIw′′′ = C1s. (16.10)

= −Q(x)

EIw′′ = C1x + C2s. (16.11)

= −M(x)

EIw′ =1

2C1x

2 + C2x + C3

EIw =1

6C1x

3 +1

2C2x

2 + C3x + C4

Q(l)

M(l)

w = 0w′ = 0

F

F

zx

Die geometrischen Randbedingungen bei x = 0 sind durch das Lager ge-

geben.

EIw(0) = C4!= 0, EIw′(0) = C3

!= 0

Am freien Ende liegen Krafterandbedingungen vor, die man uber das

Gleichgewicht an einem beliebig kurzen Balkenelement an der Stelle x = lgewinnt (s. Skizze):

Q(l)(16.10)

= −EIw′′′(l) = −C1 = F,

M(l)(16.11)

= −EIw′′(l) = −C1l − C2 = 0 → C2 = −lC1 = lF

Damit liegt die Biegelinie fest: EIw(x) = F l3

6x2

l2

(3− x

l

)

Die Schnittgoßen sind bestimmt (2. und 3. Glei-

chung). Die Auflagerreaktionen folgen aus demGleichgewicht fur ein infinitesimal kurzes Balkenele-

ment bei x = 0:

MA = M(0) = −EIw′′(0) = −C2 = −FL

A = Q(0) = −EIw′′′(0) = −C1 = F

Q(0)MA

AM(0)

16.2.2. Unstetigkeitsstellen

Der Losungsweg uber die Differenzialgleichungen findet seine Grenzen an Un-

stetigkeitsstellen. Solche Stellen teilen das Losungsgebiet in einzelne Bereiche,

310


in denen die Differenzialgleichungen wie gehabt gelost werden konnen. DieEinzellosungen mussen anschließend mit Hilfe von Ubergangsbedingungen an-

einander angepasst werden. Unstetigkeitsstellen sind:

• Knicke in der Streckenlast q

• Sprunge in der Streckenlast q (→ Knick in Querkraft Q)

• Einzelkrafte (→ Sprung in Q und Knick in Moment M)

• Einzelmomente (→ Sprung in M und Knick in Neigung w′)

• Gelenke (→M = 0 und Sprung in w′, Knick in Auslenkung w)

• Querkraftgelenke (→ Q = 0 und Sprung in w)

• Sprunge in der Festigkeit EI (Knick in w′)

• Sprunge in der Balkenachse

• Knicke in der Balkenachse

Die beiden letzten Punkte haben die nachhaltigsten Folgen. Sie betreffen das

Koordinatensystem vor ()+ und hinter ()− der Unstetigkeitsstelle und damit die

Definition der Schnittgroßen selbst.

Die Folgen kann man an einem infinitesi-

mal schmalen Balkenelement ablesen, das

die Unstetigkeitsstelle einschließt.

N+ = N−, Q+ = Q−,

M+ = M− + eN−

N−

Q−M− M+

N+

Q+e

Bei einem Knick in der Balkenachse bleibt nur das Moment unbeeinflusst (M+ =M−), dafur vermitteln zwischen den Schnittkraften und Verschiebungen Win-kelfunktionen des Knickwinkels.

N+ = N− cosα−Q− sin α

Q+ = N− sin α + Q− cosα

u+ = u− cosα− w− sin α

w+ = u− sinα + w− cosαN−

Q−N+

M+

Q+

α

M−

Alle anderen Unstetigkeitsstellen betreffen nur den Verlauf der außeren Bela-stung bzw. den der Losung fur Kraft- und Weggroßen im Rahmen eines gemein-

samen Koordinatensystems.

311


F

Q+Q−

Bei Kraftgoßen liefert eine Gleichgewichtsbetrachtung den Zu-sammenhang der Losung vor und hinter der Sprungstelle

(links z.B. fur Einzelkrafte).

Sprunge in Weggroßen bleiben vorerst unbekannt, haben aberimmer eine Bestimmungsgleichung dadurch, dass die jeweils

zugeordnete Kraftgroße (M↔w′, Q↔w) verschwinden muss.

16.2.3. Foppl-Systematik f ur Durchlauftrager

Durchlauftrager sind (statisch durch-

aus auch uberbestimmte) Systeme aus

fortlaufenden Balken auf mehrerenAuflagern, teilweise gelenkig mitein-

ander verbunden und durch Strecken-lasten, Einzelkrafte und -momente

belastet.

a b c d e

x

f

zw = 0 w = 0

FMA q(x)

w = 0

w′ = 0

Die Notwendigkeit, z.B. das skizzierte System wegen der 5 Unstetigkeitsstellen

(a bis e) in 6 Losungsbereiche aufteilen zu mussen, fuhrt zu 6×4 Integrati-onskonstanten, fur die entsprechend viele Ubergangs- und Randbedingungen

ausgewertet werden mussen. Das ist eine umfangreiche Aufgabe.

Das eigentliche Problem sind stuckweise definierte Funktionen, wie z.B. in die-

sem Fall die Streckenlast q, die allein fur die 3 Unstetigkeitsstellen bei a, b undd sorgt. Aus diesem Dilemma hilft das Foppl-Symbol2

〈x− a〉n =

(x− a)n fur x > a

0 sonstmit

∫〈x− a〉n dx =

1

n + 1〈x− a〉n+1

Mit diesem Hilfsmittel lasst sich die Funktion q(x) in einem Stuck angeben:

q(x) =qmax

b− a︸︷︷︸=:q1

〈x− a〉1 − q1〈x− b〉1 − qmax

d− b︸︷︷︸=:q2

〈x− b〉1 + q2〈x− d〉1

2August Foppl, 1854-1924

312


Der etwas unubersichtliche Ausdruck ist nichtsanderes als die Addition und Subtraktion von

Dreiecken mit unterschiedlichen Steigungen, bei

denen als Rest die gewunschte Kontur ubrigbleibt (weiß unterlegt in der rechten Skizze).

Lohn der Muhe: Eine einzige Differenzialglei-

chung fur den Gesamtbereich des Durchlauf-tragers.

a b d

EIw′′′′ = q1〈x − a〉1 − (q1 + q2)〈x− b〉1 + q2〈x− d〉1

→ EIw′′′ =1

2

[q1〈x− a〉2 − (q1 + q2)〈x− b〉2 + q2〈x − d〉2

]+ C1 = −Q

Vorsicht! Die untere Gleichung ist durch Integration aus der oberen hervorge-

gangen und zur Befriedigung von Randwerten mit einer Integrationskonstanten

versehen und trotzdem falsch. Sie ignoriert, dass an der Stelle c ein Auflager istund bei e eine Einzelkraft angreift. D.h., an diesen Stellen macht die Querkraft

jeweils einen Sprung (vgl. Skizze S. 312).

Auch hier kann das Foppl-Symbol bei der Korrektur helfen. Der Ausdruck 〈〉0 ist

ein Schalter zwischen 0 und 1. (Die Auflagerkrafte A und B werden so ange-nommen, dass sie aufwarts positiv zahlen.)

EIw′′′ =1

2

[q1〈x− a〉2 − (q1 + q2)〈x − b〉2 + q2〈x− d〉2

]+ B〈x − c〉0

− F 〈x− e〉0 + C1 = −Q

Eine Gleichgewichtsbetrachtung an dem Balkenelement bei x = 0 identifiziertdie Querkraft Q(0) mit der Auflagerkraft A und damit auch die Integrations-

konstante, denn EIw′′′(0) = C1 = −Q(0) = −A

Nachster Integrationsschritt:

EIw′′ =1

6

[q1〈x− a〉3 − (q1 + q2)〈x − b〉3 + q2〈x− d〉3

]+ B〈x − c〉1

− F 〈x− e〉1 −Ax + C2 = −M

Der Momentenverlauf ist an 2 Stellen bekannt. Bei x = 0 : M(0) = MA und

x = e : M(e) = 0. (Ein Gelenk kann kein Moment ubertragen.) D.h.:

EIw′′(0) = C2 = −MA

EIw′′(e) =1

6

[q1(e− a)3 − (q1 + q2)(e− b)3 + q2(e− d)3

]+ B(e− c)

−Ae−MA = 0

313


Die untere Gleichung liefert einen Zusammenhang zwischen A und B, derspater ausgewertet werden kann.

Zwei weitere Integrationen bringen:

EIw′ =1

24

[q1〈x− a〉4 − (q1 + q2)〈x− b〉4 + q2〈x− d〉4

]+

1

2B〈x− c〉2

− 1

2F 〈x− e〉2 −A

1

2x2 −MAx + EI4φ〈x − e〉0 + C3

und

EIw =1

120

[q1〈x − a〉5 − (q1 + q2)〈x− b〉5 + q2〈x− d〉5

]+ B

1

6〈x − c〉3

− F1

6〈x− e〉3 −A

1

6x3 − 1

2MAx2 + EI4φ〈x− e〉1 + C3x + C4

Hier wurde in der oberen Gleichung die Tatsache, dass am Gelenk ein Sprungin der Neigung φ = w′ auftreten kann, mit Hilfe der spater zu bestimmenden

Unbekannten4φ und einer Foppl-Klammer berucksichtigt.

Insgesamt sind damit noch 5 Unbekannte in den Losungen enthalten (A, B,

4φ, C3 und C4), denen bisher erst eine Bestimmungsgleichung gegenubersteht(s.o.). Die restlichen 4 Gleichungen folgen aus den geometrischen Bedingungen

(s. Skizze S. 312), z.B. EIw(0) = 0 = C4.

16.3. Biegung mit Querkraft

Die Bernoulli-Kinematik unterschlagt den Einfluss der Querkraft Q bzw. derSchubspannung τ , deren Resultierende Q ist.

Eine z.B. von z abhangige Schubspannung

τ(z) schert eine Balkenelement um γ(z) mitder Folge, dass sich die Balkenachse schrag

stellt, ohne dass sich die Querschnittsflache

verdreht.

τ−(z) τ+(z)

γ(0)

Dabei folgt die Scherung dem Hook’schen Gesetz.

γ(z) =τ(z)

G, G =

E

2(1 + ν)Gleitmodul, γ = 2εxz Scherung

314

16.3. Biegung mit Querkraft

16.3.1. Schubspannungsverteilung

Um den Einfluss der Schubspannung auf die Verformung eines Balkens beurtei-

len zu konnen, muss man sie zuerst berechnen. Dabei ist die Gleichgewichtsbe-

dingung am materiellen Punkt hilfreich. Fur einen ebenen Spannungszustandgemaß S. 303 (τxy = 0) gilt ohne Berucksichtigung volumenhaft verteilter

Krafte:

∂σxx

∂x+

∂τxy

∂y︸︷︷︸0

+∂τxz

∂z+ ρkx︸︷︷︸

0

= 0 → ∂τxz

∂z= −∂σxx

∂x

∂τxy

∂x︸︷︷︸0

+∂σyy

∂y︸︷︷︸0

+∂τyz

∂z︸︷︷︸0

+ ρky︸︷︷︸0

= 0

∂τxz

∂x+

∂τyz

∂y︸︷︷︸0

+∂σzz

∂z︸︷︷︸0

+ ρkz︸︷︷︸0

= 0Heißt: Q′(x) = 0, also Q = konst.

Keine Streckenlasten!

Es bleibt nicht viel ubrig: Die erste Gleichgewichtsbedingung ist eine Differen-

zialbeziehung zwischen der gesuchten Schubspannung τxz und der bekann-ten Normalspannung σxx, deren partielle Ableitung nach x ausgefuhrt werden

kann.

σxx =My

Iyyz → ∂σxx

∂x=

M ′y

Iyyz =

Q

Iyyz

Um die so entstehende partielle Differenzialgleichung (s. Kasten)

∂

∂zτxz(y, z) = − Q

Iyyz (16.12)

uber dem Gebiet der Querschnittsflache losen zu konnen, werden zwei verein-

fachende Annahmen getroffen.

• Die Qerschnittsflache ist symmetrisch zu z. Damit kann der Rand derQuerschnittsflache allein schon durch die Angabe der Breite b(z) beschrie-

ben werden.

• Die Schubspannung τxz soll konstant in y sein. Das erlaubt, τxz entlang ei-

ner Linie z = konst zu integrieren. Das Ergebnis ist der sogenannte ’Schub-

fluss’.T (z) = b(z)τxz(z) (16.13)

315


Der Sinn wird in Stufen klar, wenn man den Schubfluss T nach z ableitet:

∂T

∂z= τxz

∂b

∂z+ b

∂τxz

∂z

Mit der weiteren Annahme, dass sich die Kontur b(z), abgesehen von Sprungen,

nur schwach verandere, d.h. ∂b∂z 1, bleibt von dieser Gleichung nur der un-

terstrichene Term ubrig. Mit dem aber verwandelt sich die partielle Differen-

zialgleichung (16.12) in eine gewohnliche Differenzialgleichung fur T . Die ist

integrierbar.

b(z)∂τxz

∂z=

∂T (z)

∂z= − Q

Iyyb(z)z → T (z) = T (zmin)−

Q

Iyy

z∫

zmin

b(z′)z′ dz′

Mit einer weiteren Definition

S(z) = −z∫

zmin

b(z′)z′ dz′ (16.14)

manchmal das ’Statische Moment der Restflache’ genannt, und der Umkehrung

von (16.13) liegt die Schubspannungsverteilung fest:

τxz = τxz(zmin)︸︷︷︸0

+QS(z)

Iyyb(z)(16.15)

Am oberen Rand (z = zmin) ist T = 0, weil dort keine Schubspannung, etwadurch Reibung, eingeleitet wird. Am unteren Rand (z = zmax) kommt ebenfalls

0 heraus (und entspricht der dortigen Spannungsrandbedingung), weil S(zmax)das statische Moment der gesamten Querschnittsflache ist. Das verschwindet,wenn der Koordinatenursprung im Schwerpunkt der Flache liegt, was bei Bal-

ken Voraussetzung ist. Hilfreiche Schlussfolgerung:

S(zmax) = −z∫

zmin

b(z′)z′ dz′

︸︷︷︸S(z)

−zmax∫

z

b(z′)z′ dz′ = 0

→ S(z) = −z∫

zmin

b(z′)z′ dz′ =

zmax∫

z

b(z′)z′ dz′ (16.16)

316

Beispiel Rechteckquerschnitt b×h

Beispiel Rechteckquerschnitt b×h

Iyy =1

12bh3, S(z) = −b

z∫

−h/2

z′ dz′ =bh2

8

(1− (

2z

h)2)

τxz =QS(z)

Iyyb=

3Q

2bh︸︷︷︸τmax

(1− (

2z

h)2)

x

zτ(z)

16.3.2. Schubspannungen in d unnwandigen Querschnitten

Dunnwandige Querschnitte bestehen aus mehreren zu-

sammenhangenden Bereichen dunner Wandstarke b. Dieeinzelnen Bereiche, die auch krummlinig sein konnen,

werden durch ihre Mittellinien definiert, an denen ent-

lang Bogenlangenkoordinaten ζ laufen.

Die Koordinaten beginnen an den entlegensten Ecken des

Querschnitts (gesehen vom Schwerpunkt aus) und laufen

im Sinne von z zu den weitest entfernten auf der auf derjenseitigen Seite. Verzweigungen sind moglich.

Mit den Koordinaten lassen sich Ort z(ζ) und Wandstarke(b(ζ)) beschreiben.

b(ζ)

ζ1

ζ2

ζ3y

z

Die einzig moglichen Schubspannungen τ wirken in Richtung von ζ. Anderskann man die Spannungsfreiheit auf dem Rand nicht garantieren: τ = τxζ(ζ).

Aus den Gleichgewichtsbedingungen S. 315, die am materiellen Punkt fur Ko-

ordinatenrichtungen x, η, ζ genauso gelten wie fur x, y, z, bleibt die partielle

Differenzialgleichung

∂τxζ

∂ζ=

Q

Iyyz(ζ)

die man mit der Definition des Schubflusses Tζ(ζ) = b(ζ)τxζ(ζ) ganz analog zu

317


den Vollquerschnitten lost. Das Ergebnis ist:

τxζ(ζ) =QS(ζ)

Iyyb(ζ), mit S(ζ) = −

ζ∫

0

b(ζ ′)z(ζ ′) dζ ′ (16.17)

Bei der Auswertung von S(ζ) addieren sich an einer Stelle ζzus die Werte aus

den dort zusammenlaufenden zuruckliegenden Abschnitten, wogegen sich derWert S(ζteil) an einer Stelle ζteil so auf die dort auseinanderlaufenden Abschnit-

te aufteilt, dass in jedem Abschnitt am Ende der Wert 0 erreicht wird. Bei dieserFragestellung kann die Variante (16.16) fur S(ζ) helfen.

16.3.3. Schubmittelpunkt

Bei symmetrischen Vollquerschnitten geht die Wirkungslinie der Resultieren-den der Schubspannungsverteilung immer durch den Flachenschwerpunkt, also

durch die Balkenachse. Bei zusammengesetzten dunnwandigen Querschnitten,

bei denen die Symmetrie nur bezuglich der Mittellinien, aber nicht fur den ge-samten Querschnitt gefordert ist, muss das nicht so sein.

Der Punkt, in dem die verursachende Last angreifen muss, um bezuglich eines

beliebigen Bezugspunktes dasselbe resultierende Moment zu haben wie die her-

vorgerufene Schubspannungsverteilung, ist der sogenannte ’Schubmittelpunkt’.

Greift die außere Last nicht in diesem Punkt an, sondern im Schwerpunkt, wie

man allgemein annimmt, stimmt das Gleichgewicht nicht. Es fehlt das Versatz-moment, das haufig ubersehen wird. Das Versatzmoment verursacht Torsions-

schubspannungen und damit eine zusatzliche Torsion des Querschnitts.

Beispiel Dunnwandiger Halbkreisquerschnitt

Q = F, ζ = Rφ, z(ζ) = −R cosφ

Iyy =

∫

A

z2 dA, dA = b dζ = bR dφ

=

π∫

0

bR3 cos2 φ dφ =π

2bR3 ys =

π

2R

F

y

R

zysym

b

φ

ζ

318


S(φ) = −ζ∫

0

b(ζ)z(ζ) dζ = bR2

φ∫

0

cosφ dφ = bR2 sin φ

→ τxζ =FbR2 sin φ

π2 bR3b

=2F

πRbsinφ

Moment um Kreismittelpunkt → ym Schubmittelpunkt:

M =

∫

A

τR dA =2

πFR

π∫

0

sinφ dφ =4

πFR = ymF → ym =

4

πR

Die Kraft F musste im Schubmittelpunkt angreifen, um ein aquivalentes

Kraftsystem zur Schubspannungsverteilung zu sein. Wenn nicht, entstehtein Torsionmoment MT = F (yF − ym).

16.3.4. Vereinfachte Schergeometrie

Ein Querschnitt schert unter Einfluss einer Schub-

spannungsverteilung, wie z.B. im Beispiel Rechteck-

querschnitt auf S. 317, nicht gleichmaßig, sondernan jeder Stelle z anders. Das ist fur eine Balkentheo-

rie ungeeignet, denn man mochte sie in Großen der

Balkenachse anschreiben. Aus diesem Grund wirddie ortsveranderliche Scherung γ(z) durch eine mitt-

lere Scherung γ ersetzt.

τ+τ−

γ

γ

Scherflache Bei solchen Mittelungen ist es notwendig, ein Kriterium anzu-geben, das vom Verlauf γ(z) und vom Mittelwert γ gemeinsam erfullt wird.

In diesem Fall soll in einem infinitesimal kurzen Balkenelement dx von Q(γ)dieselbe außere Arbeit dWa geleistet werden, wie als innere Verformungsar-beit dWi durch γ(z) im entsprechenden Volumen dV = A(x) dx zusammen

kommt.

Dabei gilt bei linear elastischen Werkstoffen, dass Q(γ) = kγ linear in γ ist.

319


dx

dγ dx

Q(γ)

γ

dγ

dWa =

∫ γ

0

Q(γ) dγ dx =

∫ γ

0

kγ dγ dx

=1

2kγ2 dx =

1

2Qγ dx

Zur Berechnung der inneren Arbeit braucht man die spezifische Verformungs-arbeit w, die von Spannungen und Dehnungen an einem materiellen Punkt

(x, y, z) geleistet wird.

dWi =

∫

A(x)

w(x, y, z) dA dx

mit

w(x, y, z) =

∫ ε

0

σ · dεhier=

∫ ε

0

0 τ0

τ 0

·

0 dεxz

0dεxz 0

=

∫ εxz

0

2τ dεxz =

∫ γ

0

τ dγ

Zusammen mit dem Stoffgesetz (τ = Gγ) ergibt die Integration uber den De-formationsprozess fur den betrachteten Punkt:

w(x, y, z) =

∫ γ

0

τ dγ =

∫ γ

0

Gγ dγ =G

2γ2 =

1

2τγ =

1

2Gτ2

︸︷︷︸gleichwertig

Damit sind die zu vergleichende Arbeiten dWa und dWi bekannt.

1

2Qγ dx

!=

1

2G

∫

A

τ2(z) dA dx(16.17)

=1

2G

∫ zmax

zmin

Q2S2(z)

I2yyb2(z)

b(z) dz dx

Davon bleibt ubrig:

Gγ︸︷︷︸τ

=Q

I2yy

∫ zmax

zmin

S2(z)

b(z)dz =

Q

AS(16.18)

Die mittlere Scherung γ ruft eine mittlere Schubspannung τ hervor, die auch

herauskommt, wenn man die Querkraft Q auf eine nominelle Flache AS , die

320


sogenannte Scherflache, bezieht. Deren Definition folgt aus der obigen Glei-chung.

AS =I2yy∫ zmax

zmin

S2(z)

b(z)dz

Fur einen Rechteckquerschnitt b× h: A = bh, Iyy = 112bh3, S(z) = bh2

8 (1− 4 z2

h2 )kommt heraus:

AS =

1

144b2h6

∫ h/2

−h/2

b2h4

64 (1− 4 z2

h2 )2

bdz

=128

144bh

1[ζ − 2

3ζ3 +

1

5ζ5

]1

−1

=5

6bh

Die Scherfache AS lasst sich, wenn auch mit Aufwand, immer bestimmen. Sie

soll im Folgenden als bekannt vorausgesetzt werden. D.h., die mittlere Scherung

γ lasst sich in Umkehrung von (16.18) immer angeben als.

γ =Qz

GAS

Timoshenko-Balken Die mittlere Scherung γ ist der Winkel, um den sichdie Querflache gegenuber der Balkenachse in positiver Richtung verdreht. Die

Balkenachse selbst verdreht sich um den Winkel w′ in negativer Richtung. D.h.,der Winkel, um den sich die Querschnittsflache zu ihrer Ausgangslage verdreht,

ist

φ = γ − w′ =Qz

GAS− w′ (16.19)

Aus der Verschiebung u des Punktes P (vgl. Kap. 16.1) in Richtung x folgt die

Dehnung, daraus die Spannung.

u = u0 + z sin φ ≈ u0 + zφ → εxx = u′0 + zφ′ → σxx = E(u′

0 + zφ′)

Durch Integration folgt wiederum das Moment, das uber die Differenzialbezie-hungen (16.1) eine Differentialgleichung 3. Ordnung fur den Verdrehwinkel φergibt.

My =

∫

A

zσxx dA = E

∫

A

(zu0 + z2φ′

)dA = EIyyφ′

M ′y = Qz = EIyyφ′′, Q′

z = −q = EIyyφ′′′ (16.20)

321


Den Zusammenhang mit der Biegelinie liefert (16.19):

w′ =Qz

GAS− φ =

EIyyφ′′

GAS− φ (16.21)

Das ist eine zusatzliche Differenzialgleichung fur die andere unabhangige Große

w im Modell der Querkraftbiegung. Die Integration der beiden Differenzial-

großen (16.20,16.21) ergibt die Losung, nachdem die Integrationskonstantenan die Randbedingungen fur Q, M , φ(!) und w angepasst wurden. (Bei einer fe-

sten Einspannung wird die Verdrehung der Querschnittsflache verhindert, nichtdie Neigung der Biegelinie. Diese Interpretation gilt nur beim Bernoulli-Balken,

bei dem die Großen φ und w′ nicht unabhangig voneinander sind.)

Fur G → ∞ geht das Modell der Querkraftbiegung wieder in das Bernoulli-

Modell uber.

Beispiel Timoshenko-Kragbalken unterStreckenlast

Ein Kragbalken mit Rechteckquerschnitt b×h (Lange l) wird durch die

konstante Streckenlast q0 belastet.

EIyyφ′′′ = −q0, EIyyφ′′ = −q0x + C1 = Q, Q(l) = 0→ C1 = q0l

EIyyφ′ = q0(lx−1

2x2) + C2 = M, M(l) = 0→ C2 = −1

2q0l

2

EIyyφ = q0(−1

2l2x +

1

2lx2 − 1

6x3) + C3 φ(0) = 0→ C3 = 0

(16.21)→ w′ =q0

GAS(l − x) +

q0

EIyy(1

2l2x− 1

2lx2 +

1

6x3)

w =q0

GAS(lx− 1

2x2) +

q0

EIyy(1

4l2x2 − 1

6lx3 +

1

24x4)

w(l) =q0l

4

8EIyy︸︷︷︸wBernoulli

l

(1 +4EIyy

GASl2), AS =

5

6bh, Iyy =

1

12bh3

322

Beispiel Timoshenko-Kragbalken unter Streckenlast

16.3.5. Einfluss der Querkraft

Das obige Beispiel veranschaulicht den Einfluss der Querkraft. Er ist so groß wie

der zweite Term in der Klammer gegenuber 1. In diesem Fall also

2

5

E

G

h2

l2=

4

5(1 + ν)(

h

l)2 ≈ 1% mit h =

l

10

Bei den Schlankheitsgraden, die bei Balken vorausgesetzt sind (s.o.), ist das ver-

nachlassigbar. Wenn aber gedrungenere Strukturen als Balken modelliert wer-den sollen, ist die Berucksichtigung der Querkraft angeraten.

Wo der Einfluss der Querkraft eigentlich nie vernachlassigt werden darf, istbeim Spannungsnachweis.

323


324

17. Arbeit und Energie in derElastostatik

17.1. Das Prinzip der virtuellen Verschiebung

Die Leistung einer Kraft F an einem Punkt r ist definiert als das Skalarprodukt

L = F · r(t)

Das Integral der Leistung uber die Zeit wiederum ist die Arbeit.

A12 =

t2∫

t1

L dt =

t2∫

t1

F · r(t) dt =

t2∫

t1

F · dr

F = konst︸︷︷︸= F · 4r

F i

rs

ri

Im Rahmen der Statik machen diese Defi-

nitionen zunachst keinen Sinn, weil ein Sy-stem, das sich im Gleichgewicht befindet,

keine Bewegungen von Punkten kennt. Es

gilt nur, dass die Summe aller Krafte unddie Summe aller Momente verschwinden

mussen. Z.B. fur einen Starrkorper, an demverschiedene Krafte angreifen, gilt

F =∑

i

F i = 0 , Ms =∑

i

(ri − rs)× F i = 0 (17.1)

(Als Bezugspunkt fur das resultierende Moment wurde der Schwerpunkt des

Korpers gewahlt.) Mit den beiden Gleichungen kann man offensichtlich eineGleichung anschreiben, die nicht falsch ist.

δA := F · δrs + Ms · δφ = 0 (17.2)

Darin ist δrs eine beliebige Verschiebung des Schwerpunktes und δφ ist ein

ebenso beliebiger Drehvektor, der eine Verdrehung des Korpers um eine Achse

325

17. Arbeit und Energie in der Elastostatik

durch den Schwerpunkt S beschreibt. Da diese Verschiebung und diese Verdre-hung tatsachlich nicht statt finden, sondern nur ’gedacht’ sind, nennt man sie

’virtuell’ und kennzeichnet das mit dem Symbol δ. Das Ergebnis δA, das formal

eine Arbeit ist, nennt man dem entsprechend die virtuelle Arbeit.

Eine Voraussetzung mussen δrs und δφ doch erfullen: Sie durfen die wirkenden

Krafte nicht verandern, denn sonst stimmt ja die ursprungliche Annahme (17.1)nicht mehr, die die Definition der virtuellen Arbeit (17.2) erst moglich gemacht

hat. D.h. die virtuelle Verschiebung der einzelnen Kraftangriffspunkte

δri = δrs + δφ× (ri − rs) Starrkorper-Kinematik (17.3)

mussen bei Lagern senkrecht zur Reaktionskraft sein oder sogar verschwinden,weil jede noch so kleine Verschiebung in Richtung der Reaktionskraft diese uber

alle Maße anwachsen lassen wurde.

Eine virtuelle Verschiebung ist eine gedachte Verschiebung, die mit

den geometrischen Bindungen des Korpers vertraglich ist.

Wenn sich ein Auflagerpunkt eines Korpers uberhaupt bewegen kann, dann ent-lang einer eventuell gekrummten Bahn oder Flache. Obwohl sich der Punkt bei

virtuellen Verschiebungen tatsachlich nicht bewegt, ist die mogliche Richtungdurch die Tangente/Tangentialebene festgelegt, die in dem betrachteten Punkt

gilt. Deshalb nennt man eine virtuelle Verschiebung auch differenziell.

δu = vδt ,v = u = du

dtmogliche Geschwindigkeit

t : festgehaltene Zeit

δt : gedachtes Zeitintervall

Der Unterschied zwischen einer tatsachlichen Ver-

schiebung (nach einer Zeit 4t) und einer virtuellenwird bei einer Kreisbahn am deutlichsten.

δu = uδt = rωδt, δφ = ωδt → δu = rδφ

ω

δφ

r

δu

u(4t)

Rechenregeln: u = u(x, t)

(δu)′ = (uδt)′ = (u)′δt = ˙(u′)δt = εδt = δε = δ(u′) → d(δu) = δu′ dx

δ

(1

2u2

)=

(1

2u2

)·δt =

(1

22uu

)δt = uδu

326

Beispiel Auflagerberechnung∫

δu dx =

∫uδt dx =

∫u dx δt =

(∫u dx

)·δt = δ

( ∫u dx

)

Fur ein gegebenes Kraftsystem (F 1, F 1, . . . ; r1, r1, . . .) ergibt sich die virtuelleArbeit des Gesamtsystems (17.2) als Summe der virtuellen Arbeiten der einzel-

nen Krafte an ihren jeweiligen virtuellen Verschiebungen

δA =∑

i

F i · δri =∑

i

F i ·[δrs + δφ× (ri − rs)

]

=∑

i

F i · δrs +∑

i

F i · [δφ× (ri − rs)]

= F · δrs + M · δφ s. (17.2)= 0

Diese Aussage ist das Prinzip der virtuellen Verschiebungen, das besagt:

Bei einer virtuellen Verschiebung eines starren Korpers aus einer

Gleichgewichtslage heraus ist die virtuelle Arbeit des angreifenden

Kraftsystem gleich Null. Verschwindet umgekehrt die virtuelle Ar-beit eines Kraftsystems bei jeder erdenklichen virtuellen Verschie-

bung, dann liegt mechanisches Gleichgewicht vor.

Beispiel Auflagerberechnung

a

B

F

b

aδφ bδφ

δφ

Wie groß muss B sein, damit das System im

Gleichgewicht ist?

δA = Faδφ−Bbδφ = 0

→ B =a

bF

327


Beispiel Stabkraft

a

a a a a

F

Wie groß ist die Stabkraft im

Obergurt des Fachwerks?

δφ 2aδφaδφ

aδφ

der LastangriffspunkteVirtuelle Verschiebungen

S SF

Ersatzsystem

Indem man den Stab herausnimmt und durch die gesuchte Stabkraft er-setzt, entsteht ein verschiebliches System mit einem Freiheitgrad (z.B.

δφ), durch den alle anderen virtuellen Verschiebungen ausgedruckt wer-

den konnen.

δA = Faδφ + Saδφ + Saδφ = 0 → S = −1

2F

Beipiel Schnittgroßen

Wie groß sind die Schnittgroßen N ,Q und M an der Stelle x?

b a

x F

Wenn man den Balken der Stelle x zerschneidet, wird das System mehr-fach verschieblich, sodass die Schnittgroßen an beiden Schnittufern virtu-

elle Arbeiten leisten, die in der Summe verschwinden mussen.

328

17.2. Virtuelle Verschiebung eines geraden Stabes

b a

x F

F

Virtuelle Verschiebungen

Ersatzsystem

N

N

Q

Q

M

Mδβ

δβ δα

aδα

b− x

δf

(b− x)δα

δA = F aδα + Mδα + Mδβ −Qxδβ + Q(b− x)δα−Nδf = 0

Sortiert nach virtuellen Großen:

δA = (Fa + M + Q(b− x)︸︷︷︸0

)δα + (M −Qx︸︷︷︸0

)δβ − N︸︷︷︸0

δf = 0

→ Fa + Qx + Q(b− x) = 0 → Q = −a

bF, →M = −a

bFx, N = 0

17.2. Virtuelle Verschiebung eines geradenStabes

In einem Stab entstehen unter den Streckenlasten n, q, m und mT , sowie ausentsprechenden Einzelkraften und -momenten an seinen beiden Enden die

Schnittgroßen Normalkraft N , Querkraft Q, Biegemoment M und Torsionsmo-

ment MT , woraus sich wiederum die Verschiebungen u und w, die Scherung γund der Verdrehwinkel θ ergeben; alle Großen sind Funktion des Ortes x.

Die Betrachtung kann hier aus Grunden der besseren Ubersichtlichkeit auf diexz-Ebene beschrankt bleiben. (Q = Qz, M = My, I = Iyy. Die fehlenden

Großen der dritten Richtung, Qy, Mz, etc. konnen anschließend analog erganztwerden.) Voraussetzung ist auf jeden Fall, dass y und z Hauptachsen des Stab-

querschnittes sind, denn nur so sind die Verformungen von einander entkoppelt.

329


Bei einem kontinuierliche Gebilde wie einem Stab gibt es nicht einzelne Punktexi, die eine virtuelle Verschiebung, z.B. in Langsrichtung, also δui, erfahren,

sondern jeder Ort x hat seine virtuelle Verschiebung δu(x). D.h., es gibt zu

jedem Verschiebungsfeld ein entsprechendes virtuelles Verschiebungsfeld. Anden Stellen, wo eine geometrische Bedingung vorliegt, z.B. u(0) = u0 ist die

virtuelle Verschiebung Null (δu(0) = 0).

Ausgangspunkt der Herleitung sind, wie bei starren Korpern, die Gleichgewichts-

bedingungen, hier angegeben fur ein Balkenelement.

Gleichgewichts- Verschiebungs- Stoffgesetzbedingung Verzerrungsgroße

N ′(x) + n(x) = 0 u, δu, ε0 = u′ N = EAε0

M ′T (x) + mT (x) = 0 θ, δθ D = θ′ MT = GIT D

Q′(x) + q(x) = 0 γ, δγ Q = GASγ

M ′(x) + m(x)−Q(x) = 0 φ, δφ, κ = φ′ M = EIκ

(17.4)

Darin sind D die Drillung, ε0 die Gleichmaßdehnung und κ = φ′ die Krummung

der Balkenachse. Aus den beiden letzten setzt sich die ’Biege’-Dehnung des Bal-kens zusammen, sodass sich fur die Gesamtdehnung ε = ε0 + κz ergibt.

Einige der Verschiebungsgroßen sind von einander unabhangig; γ, φ und wallerdings hangen voneinander ab. Es gilt:

γ = φ + w′ (17.5)

φ Verdrehung der Querschnittsflache zur Aus-

gangslage

γ Verdrehung der Querschnittsflache zur Balken-

achse durch Scherung

w′ Verdrehung der Balkenachse zur Ausgangslage

Beim Bernoulli-Balken ist γ!= 0 (keine Scherung). Also ist hier φ = −w′ und

φ′ = −w′′, womit die Dehnung wieder das bekannte Aussehen

ε = ε0 − w′′z

erhalt.

Mathematische Umformungen Wenn man die Gleichgewichtsbedingungen

mit den zugehorigen virtuellen Verschiebungsfeldern multipliziert, entstehen

330


Gleichungen der Art

−nδu = N ′δu = [Nδu]′ −Nδu′

Die Umformung der rechten Seite ist nichts anderes als eine trickreiche Ausnut-

zung der Produktregel. Ziel des Ganzen ist, vom Balkenelement weg zu einerAussage fur den ganzen Balken zu kommen, und das geschieht per Integration

uber die Gesamtlange l, allerdings aus Grunden, die spater erklart werden, in

wieder etwas anderer Anordnung:

∫

l

Nδu′ dx =

∫

l

nδu dx +

∫

l

[Nδu]′ dx

=

∫

l

nδu dx +[Nδu

]l0

(17.6)

Fur den Fall der Torsion geht genau dasselbe, man braucht nur die Symboleentsprechend zu tauschen.

∫

l

MT δθ′ dx =

∫

l

mT δθ dx +[MT δθ

]l0

(17.7)

Bei den Großen, die durch Biegemoment und Querkraft hervorgerufen werden,ist es etwas komplizierter. Wiederum ist der Anfang bei den Gleichgewichtsbe-

dingungen, die mit den virtuellen Verschiebungsgroßen multipliziert werden,und zwar in der Form, dass die Streckenlasten q und m gerade mit den virtuel-

len Verschiebungen malgenommen werden, mit denen sie jeweils eine virtuelle

Arbeit leisten, also:

(Q′ + q)δw = 0, (M ′ + m−Q)δφ = 0

Beide Gleichungen werden addiert

Q′δw + qδw + M ′δφ + mδφ−Qδφ = 0

und etwas umsortiert:

Qδφ−mδφ− qδw = Q′δw + M ′δφ

Produktregel : = [Qδw]′ −Qδw′ + [Mδφ]′ −Mδφ′

→ −mδφ− qδw = [Qδw]′ + [Mδφ]′ −Q (δφ + δw′)︸︷︷︸δγ, s. (17.5)

−Mδφ′

331


Wieder etwas umsortiert und uber die Balkenlange integriert, entsteht daraus:∫

l

(Qδγ + Mδφ′) dx =

∫

l

[Qδw]′ dx +

∫

l

[Mδφ]′ dx +

∫ (mδφ + qδw

)dx

=[Qδw + Mδφ

]l0+

∫

l

(qδw + mδφ

)dx

Diese letzte Aussage kann man mit den zuvor gefundenen (17.6, 17.7) durchAddition kombinieren.∫

l

(Nδu′ + MT δθ′ + Qδγ + Mδφ′) dx

=[Nδu + MT δθ + Qδw + Mδφ

]l0

+

∫

l

(nδu + mT δθ + qδw + mδφ

)dx

Interpretation In der rechten Seite der letzten Gleichung treten zusammen

mit den virtuellen Verschiebungen nur außere Krafte und Momente auf. Das

ist fur die Streckenlasten n(x), q(x), mT (x) und m(x) offensichtlich, bei denSchnittgroßen z.B. N(l) oder N(0) muss man sich erst daruber klar werden,

dass sie mit den an den Balken-Enden angreifenden Kraften bzw. Momenten

austauschbar sind.

Was rechts steht, nennt man folglich die virtuelle Arbeit der außeren Krafte δAa.Sie entspricht genau dem, was bei Starrkorpersystemem ’die virtuelle Arbeit’

war.

Auf der linken Seite treten nur innere Schnittgroßen zusammen mit zugehorigen

virtuellen Verschiebungsgroßen auf. Dabei gilt am Balkenelement mit den Re-

chenregeln auf S. 326(Nδu′ + MT δθ′ + Qδγ + Mδφ′) dx = N dδu + MT dδθ + Qδγ dx + M dδφ

Die Großen, die rechts stehen, kann man am freigeschnittenen Balkenelementder Lange dx wiedererkennen (in der Skizze beispielhaft fur N und Q dar-

gestellt) und so das anfangs betrachtete Integral als virtuelle Arbeit δAi der

inneren Krafte identifizieren.

N N

δu

δu + dδu

δγ

Q Qδγ dx

dx

332


Diese Arbeit hangt offensichtlich mit der Deformierbarkeit des Stabes zusam-men, weil die virtuellen Verschiebungsgroßen δu′, δθ′, δγ und δφ′ nichts ande-

res sind als virtuelle Verzerrungen, vgl. (17.4).

Nδu′ + MT δθ′ + Qδγ + Mδφ′ = Nδε0 + MT δD + Qδγ + Mδκ (17.8)

D.h., beim deformierbaren Stab ist virtuelle Arbeit der außeren Krafte nichtgleich Null, sondern gleich der virtuellen Arbeit der inneren Krafte.

δAa = δAi (17.9)

17.2.1. Formanderungsenergie

Mit Hilfe des Stoffgesetzes (in der jeweils angemessenen Form: N = EAε0,

MT = GIT D, Q = GASγ, M = EIκ, vgl. (17.4)) nimmt der gerade betrachtete

Integrand der virtuellen Arbeit der inneren Krafte (17.8) ein anderes Aussehenan.

Nδε0 + MT δD + Qδγ + Mδκ = EAε0δε0 + GIT DδD + GASγδγ + EIκδκ

was mit den Rechenregeln auf S. 326 in

EAδ

(1

2ε20

)+ GIT δ

(1

2D2

)+ GASδ

(1

2γ2

)+ EIδ

(1

2κ2

)

= δ

(1

2EAε20 +

1

2GIT D2 +

1

2GASγ2 +

1

2EIκ2

)

ubergeht. Das erlaubt, bei der Berechnung von δAi den Operator δ aus demIntegral herauszuziehen.

δAi = δ(∫

l

(

Def. : e︷︸︸︷EAε20

2+

GIT D2

2+

GASγ2

2+

EIκ2

2) dx

︸︷︷︸Def. : W

)= δW = δ

∫

l

e dx

Die so definierten Großen W und e nennt man die Formanderungsenergie bzw.

die spezifische Formanderungsenergie.

Dank des Stoffgesetzes gibt es noch zwei weitere Darstellungsformen fur die

Formanderungsenergien.

e =1

2

(EAε20 + GIT D2 + GASγ2 + EIκ2

)(s.o.)

333


=1

2

(Nε0 + MT D + Qγ + Mκ

)

=1

2

(N2

EA+

M2T

GIT+

Q2

GAS+

M2

EI

)(17.10)

Davon ist die letzte besonders interessant, denn sie beinhaltet nur noch die

Schnittgroßen, die sehr einfach zu ermitteln sind.

17.2.2. Verallgemeinerung

Von den einzelnen Staben, bei denen die Einzellasten nur an den Stabenden,also bei den Integrationsgrenzen auftraten, kann ohne Weiteres auf ganze Stab-

/Balkensysteme geschlossen werden, wenn man an jeder Angriffsstelle einer

Einzellast einen Schnitt fuhrt und die zugehorigen Schnittgroßen fur die vielenEinzelstabe als außere Lasten versteht.

δw1δw′

1

Q Q

δw1δw′

1

F1

δw1δw′

1

F1 M MN N

Als virtuelle Arbeit des Gesamtsystems wird die Summe aller virtuellen Arbeiten

der Einzelstabe verstanden. Dabei fallen die Schnittgroßen aus der Rechnungheraus, weil sie auf beiden Schnittufern mit umgekehrtem Vorzeichen gleich

groß sind, beide Schnittufer aber die gleiche virtuelle Verschiebung erleben, siegehoren ja zum selben Punkt.

W =∑

i

1

2

∫

li

(N2

EA+

M2T

GIT+

Q2

GAS+

M2

EI

)dx (17.11)

An dieser Stelle bleibt unbewiesen, dass das Prinzip der virtuellen Verschiebung

δAa = δAi

fur jedes beliebige Systeme von linear elastischen materiellen Korpern hergelei-

tet werden kann. Nur werden an die Stelle der Schnittgroßen und Balkenver-formungen Spannungs- und Verzerrungsgroßen treten, die dann entsprechend

anders zusammengefasst werden, z.B. fur eine Membran oder eine Schale.

334

Beispiel Balkensystem

Arbeitssatz Die zweite Aussage, die im vorangegangenen Abschnitt uber denZusammenhang zwischen der virtuellen Arbeit der außeren Krafte und der

Formanderungsenergie gemacht wurde,

δAa = δAi = δW

basierte auf linear elastischen Materialeigenschaften. Sofern diese vorausge-setzt werden konnen, gilt auch diese Gleichung fur beliebige Systeme mate-

rieller Korper. Da die virtuelle Anderung einer Große auf Grund von virtuellen

Verschiebungen eine lineare Rechenvorschrift ist, die eine Differenziation bein-haltet (s. Rechenregeln S. 326), kann man die Reihenfolge mit anderen linearen

mathematischen Operationen vertauschen.

0 = δAa − δW = δ(Aa −W + W0) W0 : beliebige Konstante

Die virtuelle Anderung einer Große ist dann Null, wenn sie konstant ist. Imallgemeinsten Fall, Elastizitat vorausgesetzt, folgt als Arbeitssatz der Statik

Aa =4W = W −W0 (17.12)

Er besagt, dass sich die Formanderungsenergie in dem Maße von einem An-

fangswert W0 andert, wie von den außeren Kraften Arbeit geleistet wird. Wiegroß W0 ist, hangt davon ab, wieviel Energie in dem System zu Anfang des

Belastungsprozesses schon gespeichert ist; wenn das System spannungs- und

verzerrungsfrei ist, ist W0 = 0.

Beispiel Balkensystem

Wie weit bewegt sich der Kraftangriffspunkt nach rechts?

F

l

l

f

x1

x2

Aa =

f∫

0

F (x) dx = c

f∫

0

x dx = c1

2f2 =

1

2Ff

2W =

l∫

0

N21

EAdx1 +

l∫

0

M21

EIdx1 +

l∫

0

M22

EIdx2

N1 = F, M1 = F l, M2 = Fx2

→ 2W =F 2l

EA+

F 2l3

EI+

F 2l3

3EId.h.Aa = W → f =

F l

EA

(1 +

4

3

Al2

I︸︷︷︸ 1

)

335


336

18. Formanderungsenergie

Auf einen beliebig geformten elastischen Korper, der geometrischen Randbedin-gungen unterliegt, wirken die Einzelkrafte F k (Betrag Fk), die zusammen mit

ihren Angriffspunkten rk ein Kraftsystem bilden.

(F 1, F 2, . . . ; r1, r2, . . .),

Unter der Belastung verformt sich der Korper,

und es verlagern sich die Kraftangriffspunkte

rk um die Verschiebungen uk.

Eine weitere virtuelle Verschiebung der Last-

angriffspunkte δuk, die mit den geometri-

schen Bedingungen vertraglich ist, erzeugt dievirtuelle Arbeit der außeren Krafte F k

F k

uk

δuk

Pk

rk

δAa =

n∑

k=1

F n · δuk =

n∑

k=1

Fk

(Def.: δuk︷︸︸︷F n

Fk︸︷︷︸ek

·δuk

)=

n∑

k=1

Fkδuk

Darin ist δuk der Anteil der virtuellen Verschiebung δuk in Richtung von F k,den man durch Projektion (ae = a · e s.o.) gewinnt.

Die virtuelle Arbeit der außeren Kraft muss der virtuellen Anderung der Form-

anderungsenergie gleich sein.

n∑

k=1

Fkδuk = δW (18.1)

Einschub: Vollstandiges Differential Das vollstandige Differenzial einerFunktion mehrerer unabhangiger Variablen

z = f(x1, x2, . . . , xn)

337


ist definiert als

dz =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + . . . +

∂f

∂xndxn =

n∑

k=1

∂f

∂xkdxk

worin die Symbole ∂∂xk

die sogenannte partielle Ableitung bezeichnen, die be-

zuglich einer Variablen xk wie eine normale Ableitung durchgefuhrt wird, nurunter der Maßgabe, dass alle Variablen xj , (j 6= k) als konstant angesehen wer-

den. Das vollstandige oder auch totale Differenzial ist die Taylor-Entwicklung ei-

ner Funktion mehrerer Variablen, abgebrochen jeweils nach dem linearen Term.

Wenn in der obigen Funktion alle Variablen wiederum Funktionen der Zeit tsind, tritt das totale Differenzial in der Zeitableitung z auf.

z =dz

dt=

∂f

∂x1x1 +

∂f

∂x2x2 + . . . +

∂f

∂xnxn =

n∑

k=1

∂f

∂xkxk

Damit kann entsprechend den Rechenregeln auf S. 326 auch die virtuelle An-

derung von z angegeben werden:

δz = zδt =

n∑

k=1

∂f

∂xkxkδt =

n∑

k=1

∂f

∂xkδxk

D.h. die virtuelle Anderung der Funktion z ist eine Linearkombination der virtu-

ellen Anderungen ihrer unabhangigen Variablen. Im Umkehrschluss ubertragenauf die Formanderungsenergie (18.1) heißt das, dass W Funktion der Verschie-

bungen der Lastangriffspunkte uk ist.

W = W (u1, u2, . . . , un) (18.2)

18.1. Formanderungsenergie undErganzungsenergie

Alle Krafte, die an einem Korper angreifen, tragen einen Anteil an der Verschie-

bung uk eines beliebigen Lastangriffspunktes Pk bei, bzw. an ihrem Anteil uk inRichtung der angreifenden Kraft F k.

uk = uk(F1, F2, . . . , Fn), k ∈ 1 . . . n (18.3)

D.h.

W(18.2)= W (uk(Fj)) = W (F1, F2, . . . , Fn)

338

Beispiel zum Einsatz von Integraltafeln

Beispiel zum Einsatz von Integraltafeln

F

l l

K

0Kl

F l + 2KlM1

M2

2EI W =

∫

l

M2y1 dx +

∫

l

My2 dx

=

∫

l

(

)2

+

∫

l

(

)2

=l

3p2 +

l

6[p0(2p0 + ps) + p2(p0 + 2ps)]

→ 2EI W =l

3K2l2 +

l

6[Kl(4Kl + F l) + (2Kl + F l)(5Kl + 2F l)]

W =l3

6EI[8K2 + 5KF + F 2] = W (F, K)

Unter der Annahme, dass es bei gleich bleibenden Wirkungsrichtungen keinzweites Kraftsystem gibt, dass exakt dieselben Verschiebungen uk an dem Korper

hervor ruft, in anderen Worten, dass der Zusammenhang zwischen den Ver-schiebungen und Kraften eindeutig ist, lassen sich die obigen n Gleichungen

(18.3) nach den Kraften auflosen.

Fk = Fk(u1, u2, . . . , un)

Mit den Kraften und Verschiebungen und der Formanderungsenergie wird wirddie Komplementar- oder Erganzungsenergie definiert:

W ∗ =

n∑

k=1

Fkuk −W (18.4)

F ′

W

W ∗F

u

u′

Das lasst sich bildlich interpretieren fur den Fall, dass nur

eine Kraft F = F (u′)⇔ u = u(F ′) beteiligt ist.

W =

u∫

0

F (u′) du′, W ∗ =

F∫

0

u(F ′) dF ′, W +W ∗ = Fu

Bei linear elastischen Materialien ist die Kennlinie F (u) eine Gerade: In diesem

Fall sind Formanderungsenergie und Erganzungsenergie immer gleich groß,

339


namlich

W = W ∗ =1

2Fu (18.5)

18.2. Das Prinzip der virtuellen KrafteDie Satze von Castigliano

Die Rechenregeln (s. S. 326) basierten auf der Interpretation der virtuellen Ver-

schiebung als die mogliche Bewegung eines Punktes auf der Tangente an dieBahn, auf der er sich bewegen konnte, an der Stelle, wo er sich gerade befin-

det. Diese Interpretation kann man auf jede andere skalare Große ubertragen,wenn man die geometrischen Bedingungen der ’Bahn’ durch entsprechende Be-

dingungen im ’Raum’ der betrachteten Große ersetzt.

In diesem Sinne kann man auch die virtuelle Anderung der Erganzungsarbeit

(18.4) berechnen.

δW ∗ = W ∗δt

W ∗ =

n∑

k=1

(Fkuk

)·− W =

n∑

k=1

(Fkuk + Fkuk)− W

→ δW ∗ =

n∑

k=1

(uk Fkδt︸︷︷︸

δFk

+Fk ukδt︸︷︷︸δuk

)−

δW︷︸︸︷W δt︸︷︷︸

s. (18.1)

=

n∑

k=1

ukδFk (18.6)

δW ∗ : virtuelle Formanderungsenergie,n∑

k=1

ukδFk : virtuelle Erganzungsarbeit

Das ist das Prinzip der virtuellen Krafte. Es besagt:

Wenn ein Korper im Gleichgewicht ist, dann leistet eine virtuelle

Anderung des Belastungszustandes (δF1, δF2, . . . , δFn) eine virtu-

elle Erganzungsarbeit, die bei linear elastischen Systemen der virtu-ellen Formanderungsenergie gleich ist.

Die virtuellen Krafte δFk mussen die Gleichgewichtsbedingungen erfullen, da

sich sonst der Bewegungszustand des Korpers andert und damit auch die Ver-

340

Beispiel zum Einsatz von Integraltafeln ff

schiebungen uk der Kraftangriffspunkte. Die mussen aber gleich bleiben, sonstgilt die obige Aussage nicht.

Aus dem Aussehen der Gleichung (18.6) folgt mit der gleichen Argumentationwie zuvor (S. 337), dass die Erganzungsenergie W ∗ Funktion der beteiligten

Krafte ist.

W ∗ = W ∗(F1, F2, . . . Fn)

D.h. man kann ihre virtuelle Anderung auch direkt ausrechnen:

δW ∗ = W ∗δt =

(n∑

k=1

∂W ∗

∂FkFk

)δt =

n∑

k=1

∂W ∗

∂FkδFk

Setzt man dieses Ergebnis mit dem aus Gleichung (18.6) zusammen,

n∑

k=1

∂W ∗

∂FkδFk =

n∑

k=1

ukδFk ⇔n∑

k=1

(∂W ∗

∂Fk− uk

)δFk = 0

und bedenkt, dass die δFk im Rahmen des zu wahrenden Gleichgewichts voll-kommen beliebig sind, dann kann die Summe nur verschwinden, wenn die

Klammer bei jedem einzelnen Summanden Null ist.

→ uk =∂

∂FkW ∗(F1, F2, . . . , Fn) (18.7)

Das ist der 1. Satz von Castigliano. Er besagt:

Wenn die Erganzungsenergie W ∗ (dargestellt als Funktion der auße-

ren Krafte Fj) nach der Kraft Fk abgeleitet wird, dann ist das Ergeb-nis die Verschiebung uk ihres Lastangriffspunktes in Richtung der

Kraft.

Das gilt fur jedes elastische Material. Besonders einfach wird es, wenn das Ma-

terial linear elastisch ist. Dann ist W ∗ = W , wie es in Gleichung (18.5) fur eine

Einzelkraft schon deutlich wurde.

Beispiel zum Einsatz von Integraltafeln ff

(Fortsetzung von S. 339) Um welche Strecke k bewegt sich der Angriffs-

punkt der Kraft K nach oben?

W ∗ = W =l3

6EI[8K2 + 5KF + F 2]

341


k =∂W ∗

∂K=

l3

6EI

∂

∂K[8K2 + 5KF + F 2] =

l3

6EI(16K + 5F )

Es geht auch anders herum. Wenn die Formanderungsenergie, wie Gleichung

(18.2) sagt, Funktion der Verschiebungen uk ist, dann lasst sich die virtuelle

Formanderungsenergie direkt berechnen.

δW = W δt =n∑

k=1

∂W

∂ukukδt =

n∑

k=1

∂W

∂ukδuk

Andererseits gilt auch das Ergebnis (18.1). Gleichgesetzt, folgt:

n∑

k=1

∂W

∂ukδuk =

n∑

k=1

Fkδuk ⇔n∑

k=1

(∂W

∂uk− Fk

)δuk = 0

Mit der gleichen Argumentation wie zuvor, namlich dass die virtuellen Verschie-

bungen im Rahmen der geometrischen Bedingungen beliebig sind, kann dasVerschwinden der Summe wiederum nur gewahrleistet werden wenn jeweils

die Klammer bei allen Summanden verschwindet. Das ergibt den 2. Satz von

Castigliano:

Fk =∂

∂ukW (u1, u2, . . . , un) (18.8)

in Worten:

Wenn die Formanderungsenergie W (dargestellt als Funktion der Ver-schiebungen der Kraftangriffspunkte uj in Richtung der angreifen-

den Krafte) nach der Verschiebung uk abgeleitet wird, dann ist das

Ergebnis die Große der Komponente der an dem Punkt angreifendenaußeren Kraft Fk , die in Richtung uk wirkt.

Anmerkungen zu den Satzen von Castigliano

• Man kann auch Verschiebungen von Orten berechnen, an denen keine

Kraft angreift, indem man ungefragt eine Kraft Kneu in der gefragten

Richtung hinzu nimmt, die gesuchte Verschiebung in diesem veranderteSystem berechnet (was jetzt moglich ist), bemerkt, dass im Ergebnis die

zusatzlich eingefuhrte Kraft Kneu auftaucht, und sich daran erinnert, dassdas ursprungliche System wieder entsteht, wenn die zusatzlich Kraft den

Wert Null hat.

342

Beispiel Verschiebung/Verdrehung unbelasteter Punkte

• Das Konzept lasst sich auch auf Momente und Winkel erweitern, weiljedes Moment als Kraftepaar von zwei gegenlaufigen Kraften (F1, F2 =−F1) im Abstand a aufgefasst werden kann (F1 = M/a, a ist so klein wie

der Angriffspunkt von M). Um die Verschiebung der beiden Lastangriffs-punkte u1, u2 auszurechnen, kann man das Verfahren von Castigliano an-

wenden. Also kennt man auch die Differenz 4u = u1 − u2. Aus der folgt

wiederum der Winkel φ, um den sich die Distanz a verdreht. Damit ist φnichts anderes als die Verdrehung des Angriffspunktes des Momentes M .

In der Summe∑

Fkuk (vgl. (18.4) entsteht dadurch:

F1u1 + F2u2 =M

a(u1 − u2) =

M

a4u = Mφ

• Beide Uberlegungen betreffen den 1. Satz von Castigliano. Sie gelten bei

entsprechender Vertauschung der Großen (F ↔ u, M ↔ φ) fur den 2.Satz entsprechend.

Beispiel Verschiebung/Verdrehungunbelasteter Punkte

Um welchen Winkel β verdreht sich das freie Ende des linear elastischen

Balkens, der durch die Einzellast F belastet ist?

Losung: Zusatzliches Moment Z eingefuhren und hinterher auf 0 setzen.

F

l

Z

Z

Z + F l

My

β =∂

∂MW ∗(F, Z), W ∗ = W =

1

2

∫

l

M2y

EIdx

→ 2EI W ∗ =

∫

l

M2y dx =

∫

l

(

)2

s. Anh. =s

6

(p0(2p0 + ps) + ps(p0 + 2ps)

)

2EI W ∗ = Z2l + F l2Z +1

3F 2l3

2EI∂W ∗

∂Z= 2Zl + F l2 → 2EI

∂W ∗

∂Z

∣∣∣∣Z=0

= F l2

→ β =F l2

2EI

Mit ein paar mathematischen Uberlegungen geht es einfacher:

343


EI∂W ∗

∂Z

∣∣∣∣Z=0

=

∫

l

1

2

∂M2y

∂Zdx

∣∣∣∣∣Z=0

=

∫

l

My∂My

∂Zdx

∣∣∣∣Z=0

=

∫

l

MyF∂My

∂Zdx

=

∫

l

=1

2spk =

1

2F l2

18.3. Lineare Elastizitat: Nachgiebigkeits- undSteifigkeitsmatrix, Einflusszahlen

Wenn ein Korper oder eine Struktur sich linear elastisch verhalten, dann heißt

das, dass zwischen jeder angreifenden Kraft und der Verschiebung eines jedenPunktes ein linearer Zusammenhang besteht. Es reicht fur diese Betrachtung

aus, sich auf die Kraftangriffspunkte Pk und hier wiederum auf deren Verschie-

bungen uk in Richtung der angreifenden Kraft Fk zu beschranken.

uk = αk1F1 + αk2F2 + · · ·αknFn =

n∑

j=1

αkjFj (18.9)

Anmerkung: Auch hier haben uk und Fj eine verallgemeinerte Bedeutung imSinne von Verschiebungsgroße und Kraftgroße: Sie vertreten gleichfalls Verdre-

hungen und zugehorige Momente.

Die Konstanten αkj nennt man Nachgiebigkeiten oder auch Einflusszahlen, weil

sie den Einfluss der Kraft Fj auf die Verschiebung uk bestimmen. Genauer ge-

sagt, ist αkj die Verschiebung/Verdrehung, die an der Stelle und Richtung kauftritt, wenn an der Stelle j eine Kraftgroße vom Betrag 1 wirkt.

Wenn man alle Verschiebungen uk in einen Spaltenvektor zusammenfasst, ent-steht eine Matrizengleichung.

u =

u1

...

un

=

α11 · · · α1n

.... . .

...

αn1 · · · αnn

︸︷︷︸A

F1

...

Fn

= A F

344

18.3. Lineare Elastizitat: Nachgiebigkeits- und Steifigkeitsmatrix, Einflusszahlen

Die Inverse der so entstandenen Nachgiebigkeitsmatrix A ist, sofern man siebilden kann, die sogenannte Steifigkeitsmatrix C.

C = A−1 → C u = A−1u = A−1A F = F

Das heißt ausgeschrieben:

F =

F1

...

Fn

=

c11 · · · c1n

.... . .

...

cn1 · · · cnn

u1

...

un

= C u

18.3.1. Symmetrieeigenschaften

Die Nachgiebigkeitsmatrix und die Steifigkeitsmatrix sind symmetrisch. Das

sagt der Satz von Maxwell und Betty, der wie folgt bewiesen wird: Die Eigen-

schaft der linearen Elastiziztat, wie oben beschrieben, kombiniert mit der des1. Satzes von Castigliano ergibt:

αk1F1 + · · ·+ αkjFj + · · ·αknFn(18.9)= uk

(18.7)=

∂W ∗

∂Fk

∣∣∣ ∂

∂Fj

Leitet man diese Aussage, wie oben angedeutet, formal nach einer beliebigen

Kraft Fj ab, fallen auf der linken Seite alle Terme bis auf einen weg, denn die

einzelnen Krafte sind unabhangig von einander.

αkj =∂2W ∗

∂FkFj

s.u.←→ αjk =∂2W ∗

∂FjFk

Da die bisherige Herleitung aber unabhangig von den gewahlten Indizes j und kist, gilt das Ergebnis auch fur vertauschte Benennungen (oben rechts). Die nach

einander ausgefuhrte partielle Differenziation ∂2

∂FjFk(erst nach Fj , danach das

Ergebnis nach Fk) fuhrt bei stetigen Funktionen zum selben Ergebnis, auch

wenn man die Reihenfolge vertauscht.

αkj =∂2W ∗

∂FkFj=

∂2W ∗

∂FjFk= αjk

D.h. die Nachgiebigkeitsmatrix A ist symmetrisch, was dann auch fur ihre Inver-se, Steifigkeitsmatrix C, gilt. Die vollstandig analoge Herleitung, startend beim

2. Satz vom Castigliano, ist hier weggelassen. Das Ergebnis ist

ckj =∂2W

∂ukuj=

∂2W

∂ujuk= cjk

345


18.3.2. Gleichheit von Formanderungs- undErganzungsenergie

Eine Funktion vom mehreren Variablen, die nach der zweifachen Ableitung aufKonstanten fuhrt, kann allenfalls aus einer Linearkombination von Produkten

ihrer Variablen bestehen. Der Ansatz

W ∗ =1

2

n∑

j=1

n∑

k=1

αjkFjFk (18.10)

entspricht dem und erfullt auch alle anderen Aussagen, die bisher gefunden

wurden, z.B.

ur =∂W ∗

∂Fr=

1

2

∂

∂Fr

n∑

j=1

n∑

k=1

αjkFjFk

=1

2

n∑

j=1

n∑

k=1

αjk

(∂Fj

∂FrFk + Fj

∂Fk

∂Fr

)

=1

2

n∑

j=1

n∑

k=1

αjk∂Fj

∂FrFk +

n∑

j=1

n∑

k=1

αjkFj∂Fk

∂Fr

∂Fj

∂Fr=

1 wenn j = r0 wenn j 6= r

,∂Fk

∂Fr=

1 wenn k = r0 wenn k 6= r

=1

2

n∑

k=1

αrkFk +

n∑

j=1

αjrFj

=

n∑

k=1

αrkFk s. (18.9)

Die letzte Umformung beruht auf der Umbenennung des Laufindexes j in k und

der herausgefundenen Symmetrie αrk = αkr

Auch hier ist die Argumentation auf die Formanderungsenergie ubertragbar, weil

man nur die Großen zu vertauschen braucht ( α ↔ c, F ↔ u, W ∗ ↔ W ) . DerAusdruck, den man fur die Formanderungsenergie findet, ist

W =1

2

n∑

j=1

n∑

k=1

cjkujuk

Wenn man die Symmetrie cjk = ckj ausnutzt und die Reihenfolge der Summa-

346

18.3. Lineare Elastizitat: Nachgiebigkeits- und Steifigkeitsmatrix, Einflusszahlen

tion vertauscht, kommt man auf einen einfacheren Ausdruck:

W =1

2

n∑

k=1

n∑

j=1

ckjuj

︸︷︷︸Fk

uk =1

2

n∑

k=1

ukFk

Denselben Ausdruck findet man fur die Erganzungsenergie (18.10).

W ∗ =1

2

n∑

k=1

n∑

j=1

αkjFj︸︷︷︸uk

Fk =1

2

n∑

k=1

ukFk

womit letztendlich bewiesen ist, dass bei linearer Elastizitat die Formande-

rungsenergie gleich der Erganzungsenergie ist.

18.3.3. Methode der Einflusszahlen

Wenn es bei einer Struktur darum geht, einzelne Verschiebungen auszurechnen,konnte die Gleichung (18.9)

uk =

n∑

j=1

αkjFj

interessant sein, wenn man nur die Einflusszahlen wusste. Die entstehen laut(18.9) durch die zweifache partielle Ableitung der Erganzungsarbeit nach den

verursachenden Kraften Fj und Fk , und die ist nicht einfach zu berechnen. Es

sei denn, lineare Elastizitat liegt vor.

Deren Vorteil, die Gleichheit von Formanderungsenergie und Erganzugsenergie,

kommt besonders bei Balkenstrukturen voll zum Tragen:

W ∗ = W =1

2

∫

l

N2

EAdx +

1

2

∫

l

M2T

GITdx +

1

2

∫

l

M2y

EIydx + . . .

Die darin auftretenden Schnittgroßen N , MT und My sind jeweils lineare Funk-

tionen der außeren Krafte und Momente Fk. Das heißt, die zuvor angesproche-nen Ableitungen konnen ausgefuhrt werden, wie hier am Beispiel des Terms mit

den Biegemomenten gezeigt.

αjk =∂

∂Fk

(∂

∂Fj

1

2

∫

l

M2(Fr)

EIdx

)=

∂

∂Fk

1

2

∫

l

(∂

∂Fj

M2(Fr)

EI

)dx

347


=∂

∂Fk

1

2

∫

l

2M(Fr)

EI

∂M(Fr)

∂Fj︸︷︷︸Def.: M j

dx, Mj = M j(x)

=

∫

l

1

EI

∂M(Fr)

∂Fk︸︷︷︸Def.: Mk

Mj dx =

∫

l

Mk(x)M j(x)

EIdx (18.11)

Die im Verlauf der Umformung definierten Großen M j und Mk enstehen durch

Ableitung der tatsachlichen Momentenverlaufs M(x, F1 . . . Fn) nach jeweils ei-ner der außeren Kraftgroßen. Der tatsachliche Verlauf setzt sich nach dem Su-

perpositionsprinzip aus den Momentenverlaufen Mr(x, Fr) zusammen, den dieKraftgroßen einzeln verursachen. Darin tritt Fr als linearer Faktor einer orts-

abhangigen Funktion auf, die bei der Ableitung nach Fr ubrig bleibt.

Mr(x, Fr) = Mr(x)Fr ,∂

∂FrM(x, F1 . . . Fn) =

∂

∂FrMz(x, Fr) = Mr(x)

D.h. der Einfluss aller anderen Kraftgroßen fallt weg, und es bleibt eine Funkti-on allein des Ortes x zuruck, die der Momentenverlauf gewesen ware, hatte die

Kraftgroße, nach der abgeleitet wurde, den Wert 1 gehabt.

Genauso werden diese Schnittgroßenverlaufe bei der Methode der Einflusszahlen

bestimmt:

1. Fuhre an jeder Stelle und Richtung i ∈ 1 . . . n, an denen eine außere

Kraftgroße angreift, eine 1-Kraft bzw. ein 1-Moment ein.

2. Bestimme alle dazu gehorenden Momentenverlaufe M i.

3. Berechne durch Integration der Terme

αjk =

∫

l

M jMk

EIdx

(mit Hilfe von Integraltafeln) alle notwendigen Einflusszahlen. Nutze dieSymmetrie αjk = αkj aus.

4. Bestimme die gesuchte(n) Verschiebungsgroße(n) aus der Gleichung

uk =

n∑

j=1

αkjFj

uk und Fj sind verallgemeinerte Verschiebungs- und Kraftgroßen, also

auch Verdrehungen und Momente.

348

Beispiel zu Einflusszahlen

Beispiel zu Einflusszahlen

Wie groß sind die Verdrehung β und die Verschiebung f?

2

1

F

l l

β f

M

2 1

f = α11F + α12M, β = α12F + α22M

αjk =1

EI

∫

2l

MjMk ds

’1’−2l

-1 M2

−lM1

’1’

α11 =1

EI

∫

2l

(

)2

α12 =1

EI

∫

l

α22 =1

EI

∫

l

( )2

EI α11 =s

3p2 =

2l

3(−2l)2 =

8

3l3

EI α21 = EI α12 =s

2k(p0 + ps) =

l

2(−1)(−l− 2l) =

3

2l2

EI α22 = sp2 = l(−1)2 = l

→ f =l2

6EI(16lF + 9M) und β =

l

2EI(3lF + 2M)

Beispiel Einflusszahlen bei Balkensystemen

Wie weit verschiebt sich der Kraftangriffspunkt?

1F

l

l

f

f = α11F

EI α11 =

∫

2l

M2

1 ds

349


’1’

ll

M1

EI α11 =

∫

l

(

)2

+

∫

l

( )2

=s

3p2 + sp2 =

l

3l2 + l3 =

4

3l3

→ f =4F l3

3EI

18.4. Einflusszahlen bei Streckenlasten

Die Methode der Einflusszahlen, wie sie bisher beschrieben wurde, kennt nur

die Wirkungen von Einzelkraften (und -momenten). Wenn diese Beschrankung

nicht reparierbar ware, konnte ein großer Teil der tatsachlich vorkommendenLastfalle nicht bearbeitet werden. Das schon oft angewendete Superpositions-

prinzip lasst vermutenn, dass die Einschrankung gar nicht existiert: eine zusatz-

lich zu einem System von Einzellasten aufgebrachte Streckenlast q(x)1 schlagtsich additiv auf alle zuvor berechneten Lastangriffspunktverschiebungen/-ver-

drehungen nieder. Der Anteil auf die jeweilige Verschiebung uk wird αkq ge-nannt, um den Verursacher anzudeuten.

s. (18.9) uk = αkq +

n∑

j=1

αkjFj(18.7)=

∂W ∗

∂Fk

Das steht nicht im Widerspruch zum dem bisher Hergeleiteten, wie die Ablei-

tung der Erganzungsenergie zeigt2:

∂W ∗

∂Fk=

1

2

∫

l

∂

∂Fk

M2(q, Fr)

EIdx =

∫

l

M

EI

∂M

∂Fkdx

=

∫

l

1

EI(Mq + MF1

+ · · ·+ MFn)Mk dx

=

∫

l

1

EI(Mq + M1F1 + · · ·+ MnFn)Mk dx

=

∫

l

MqMk

EIdx +

∫

l

M1Mk

EIdx F1 + · · ·+

∫

l

MnMk

EIdx Fn

1stellvertretend fur alle anderen: n(x), mT (x) etc.2Alles bis auf die Schnittgoße M weggelassen und beschrankt auf einen Integrationsbereich l

350

Beispiel Einflusszahlen bei Streckenlast

Die links stehenden Terme kann man mit den bisherigen Definitionen der Ein-flusszahlen (18.11) identifizieren. D.h. der erste Term liefert die Berechnungs-

vorschrift fur den anfangs formal eingefuhrten Einflussfaktor αkq .

αkq =∑

i

∫

li

MqMk

EIidx

Beispiel Einflusszahlen bei Streckenlast

n0

u1

Wie groß ist die Verlangerung u1 eines Zugstabes,

der durch eine konstante Streckenlast n0 belastetist.

n0l

N(n)

’1’N1

1

u1 = α1q =

∫

l

N(n)N1

EAdx

=1

EA

∫

l

dx =1

EA

l

2(n0l)1 =

n0l2

2EA

351


352

19. Knickung

Gerade Stabe, die in ihrer Langsrichtung belastet werden, bilden so lange kein

Problem, wie sie unter Zug stehen, es sei denn, sie reißen. Unter Druckbela-stung stellt sich dagegen ein Effekt ein, der bei der Auslegung von Konstruk-

tionen eigens betrachtet werden muss: Ein Druckstab kann quer zur Belastung

ausknicken.

19.1. Verzweigung des Gleichgewichts

Das Problem und die Methode, es zu behandeln, lasst sich an einem einfachen

Modell aus zwei starren Staben und einer Feder veranschaulichen.

PM

P P

Gx

φ

c

l l

Das Gleichgewicht wird nicht, wie bisher ublich (Theorie 1. Ordnung), am un-deformierten Zustand angeschrieben, weil es hier außer der Aussage, dass die

Normalkraft immer so groß wie die außen angreifende Kraft P ist, nichts bringt.

Das Momentengleichgewicht am verformten Zustand (Theorie 2. Ordnung)

fuhrt dagegen zu der Aussage:

M = c2φ = P l sin φ, Verdrehung der Feder: 2φ

2c

P lφ = sin φ (19.1)

Das Ergebnis ist eine nicht lineare, sognannte transzendente Gleichung, die man

entweder numerisch mit einem Iterationsverfahren, oder grafisch mit der Dar-

353

19. Knickung

stellung der Funktionsgraphen der linken und rechten Seite lost. Jeder zu fin-dende Schnittpunkt ist eine Losung.

sin φ

g = mφ

m > 1m = 1

m < 1−π

π

Ein Losungspunkt bei diesem Problem

ist immer φ = 0, die unausgelenkte An-fangslage. Weitere Schnittpunkte gibt

es nur, wenn die Gerade g(φ) = 2cP lφ ei-

ne Steigung kleiner als 1 hat. Bis dahingibt es nur eine Losung, namlich φ = 0,

d.h. die Struktur ist stabil. Der Grenz-

fall

2c

Pkritl= 1 → Pkrit = 2

c

l

liefert die sogenannte kritische Last oder ’Knicklast’, bis zu der Stabilitatherrscht. Ab dieser Last findet die Gleichung mehrere Losungen. Man sagt, die

Losung verzweigt, und nennt den Punkt, bei dem das passiert, Verzweigungs-

punkt.

Normalerweise ist das Knicken nicht der Zweck einer Struktur, sonder bedeutet

ihr Versagen, so dass in den meisten Fallen nur die kritische Last interessiertund damit nur die engste Nachbarschaft der stabilen Losung φ = 0. Fur klei-

ne Winkel φ kann man die schwierig zu losende Momentengleichung (19.1)linearisieren.

2c

P lφ = sinφ ≈ φ →

(2c

P l− 1

)φ = 0

Diese Gleichung kann fur φ 6= 0 nur erfullt werden, wenn die Klammer 0 ist,

was wiederum zu der Aussage

Pkrit = 2c

l

fuhrt. Kann das Uberschreiten der kritischen Last aber nicht ausgeschlossenwerden, wird das Nachbeulverhalten interessant:

Kann die Struktur im Notfall hohere Krafte

vertragen, oder bricht das Tragverhalten zu-

sammen? Bei diesem Beispiel gilt:

P

Pkrit=

φ

sinφ

wobei das sinvolle Intervall fur φ [−90, 90]ist.

0

1

PPkrit

−90 90

φ

354

Beispiel Starre Struktur auf Federn

Beispiel Starre Struktur auf Federn

Bei welcher vertikalen Last knickt die Struktur aus?

F

a

b b

φ

x

BA

A = c(x− b sinφ)

B = c(x + b sinφ)∑Mi = 0

= Fa sinφ + (A−B)b cosφ

= Fa sinφ− 2cb2 sin φ cosφ

= (Fa− 2cb2 cosφ) sin φ

Eine Losung ist φ = 0. Eine andere Losung kann die Gleichung nur fin-

den, wenn die Klammer verschwindet, wobei die Verzweigung bei φ = 0geschieht

Fkrit = 2cb2

acos(φ = 0) = 2c

b2

a

Hier liegt der Fall vor, dass das Tragverhalten nach dem Verlust der Stabi-

litat schlechter wird:F (φ)

Fkrit= cosφ

19.2. Biegung unter Druck

Wenn der anfangs erwahnte geradeDruckstab seitwarts weg knickt, ver-

biegt er sich, und seine Schnittgroßensind mit einem Mal mehr als nur die

Normalkraft.

Wenn man jetzt im Sinne einer Theorie2. Ordnung das Gleichgewicht am ver-

formten Balkenelement anschreibt

q(x)

PP

Q

dx

Q + dQM

dw

w(x)

M + dM

x

355

19. Knickung

(allerding unter der Voraussetzung, dass die außeren Krafte ihre Wirkungsrich-tung beibehalten) erhalt man folgende Beziehungen:

dQ + q dx = 0 und dM −Q dx− P dw︸︷︷︸=w′ dx

+1

2q dx2

︸︷︷︸=0

= 0

Hier wurde, weil es praktischer ist, die sonst ubliche Normalkraft N durch −P ,

die außere Druckkraft, ersetzt. Die obigen Aussagen sind gleichbedeutend mit

Q′ = −q und M ′ = Q + Pw′ →M ′′ = Q′ + Pw′′ = −q + Pw′′ (19.2)

Unterstellt man nach wie vor, dass der Bernoulli-Ansatz (ε = w′′z) die ver-

formte Balkengeometrie gut beschreibt, dann gilt fur linear elastische Materi-al M = −EIw′′ → M ′′ = −(EIw′′)′′. Unter der Voraussetzung konstanter

Querschnitte folgt aus dem Bisherigen eine Differenzialgleichung 4. Ordnung.

EIw′′′′(x) + Pw′′(x) = q(x) (19.3)

Bis auf den Term mit der Druckkraft P ist sie mit der bisher bekannten Biege-differenzialgleichung identisch. Wenn man die allgemeine Losung gefunden hat,

muss sie an die Randbedingungen angepasst werden. D.h. an bestimmten Stel-

len x sind Werte, entweder von w, w′, Q oder M = −EIw′′ vorgegeben. DerZusammenhang der Losung w mit der Querkraft Q kommt uber (19.2).

M ′ = Q + Pw′ → Q = −Pw′ + M ′ = −Pw′ −EIw′′′ (19.4)

19.3. Knicklasten

Der klassische Knickstab der Lange l steht nur unter der Druckbelastung P in

axialer Richtung, die Streckenlast q(x) ist nicht vorhanden. D.h. es gilt die ho-mogene Differenzialgleichung

w′′′′ +P

EI︸︷︷︸Def.: k2

w′′ = 0 (19.5)

Die Losung einer homogenen Differenzialgleichung 4. Ordnung ist eine Line-arkombination von vier linear unabhangigen Funktionen, die jede fur sich die

Differenzialgleichung erfullen. Das gilt z.B. fur alle Funktionen, deren 2. und

356

19.3. Knicklasten

hohere Ableitungen Null sind, also w1 = 1 und w2 = x. Außerdem erfullensolche Funktionen die Differenzialgleichung, deren 4. Ableitung mit dem k2-

fachen der 2. verschwindet. Das gilt fur w3 = sin kx und w4 = cos kx.

(sin kx)′′ = (k cos kx)′ = −k2 sin kx, (cos kx)′′ = (−k sin kx)′ = −k2 cos kx

D.h. die allgemeine Losung ist

w = C1 + C2x + C3 sin kx + C4 cos kx

w′ = C2 + kC3 cos kx− kC4 sin kx

w′′ = −k2C3 sin kx− k2C4 cos kx

w′′′ = −k3C3 cos kx + k3C4 sin kx

bzw. mit (19.4)

M = −EIw′′ = EIk2C3 sin kx + EIk2C4 cos kx

Q = −Pw′ −EIw′′′

= −PC2 + (k2 − P

EI︸︷︷︸0

)EIkC3 cos kx + (P

EI− k2

︸︷︷︸0

)EIkC4 sin kx

= −PC2 = −EIk2C2

An beiden Enden sind jeweils 2 Randbedingungen zu erfullen, die entweder

geometrische Großen betreffen (w, w′) oder Kraftgroßen (Q, M). Man unter-

scheidet 4 technisch relevante Falle:

w = 0, w′ = 0 w = 0, w′ = 0w = 0, w′ = 0Q = 0, M = 0

w = 0, M = 0 w = 0, w′ = 0w = 0, M = 0 w = 0, M = 0

Pa) Pb)

Pc) Pd)

a) gelenkig – gelenkig

w(0) = 0 = C1 + C4 → C1 = 0

M(0) = 0 = EIk2C4 → C4 = 0 ↑w(l) = 0 = C1 + C2l + C3 sin kl + C4 cos kl

= C2l + C3 sin kl → C2 = 0

M(l) = 0 = EIk2C3 sin kl + EIk2C4 cos kl

= EIk2C3 sin kl

357

19. Knickung

Die Begrundung fur das Nullwerden von C2 liegt darin, dass eine Linearkom-bination aus einer Konstanten (l) und einer Funktion dieser Konstanten und

einer weiteren unabhangigen nicht Null (sin kl) werden kann, wenn nicht jeder

beteiligte Term fur sich Null wird. Bei dem Term C2l kann dafur nur C2 sorgen,bei dem anderen ist das Verschwinden gewahrleistet, wenn sin kl = 0 ist. Das

erfullt gleichzeitig die letzte Bedingung.

Daraus folgt kl = π, 2π, . . . (k muss 6= 0 sein, sonst andert sich die Differenzial-

gleichung (19.5)).

Die ebenfalls mogliche Losung C1 = C2 = C3 = C4 = 0 gilt, solange das System

stabil ist. Kritsch wird es, wenn die Last so groß wird, dass weitere Losungenhinzu kommen. Das passiert zum ersten Mal bei kl = π, was mit der Definition

von k (vgl. (19.5))

Pkrit =(π

l

)2

EI

bedeutet. Die zugehorige Knickform ist

w(x) = C3 sin kx = w sin(π

x

l

)

Der Vorfaktor w bleibt unbestimmt.

b) fest – gelenkig

w(0) = 0 = C1 + C4 → C1 = −C4 (19.6)

w′(0) = 0 = C2 + kC3 C2 = −kC3 (19.7)

w(l) = 0 = C1 + C2l + C3 sin kl + C4 cos kl

= C3(sin kl − kl) + C4(cos kl− 1)


= C3 sin kl + C4 cos kl (19.8)

Ubrig bleibt eine lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten C3 und C4,das, in Matrizenform geschrieben, so aussieht:

[sin kl − kl cos kl − 1

sin kl cos kl

][C3

C4

]=

[00

]

Es kann nur eine Losung finden, wenn die Determinante der Koeffizientenma-

tirx verschwindet.

0 = (sin kl− kl) cos kl− (cos kl− 1) sin kl = sin kl − kl cos kl bzw. tan kl = kl

358

19.3. Knicklasten

Die Losung dieser transzendenten Gleichung findet man iterativ, oder liest sieaus Tabellen oder Funktionsgraphen ab.

y

y = tanx

y = tan x

y = x

x

4.49

Aus dem abgelesenen Wert kl ≈ 4.49 ergibt sich die kritische Last als

Pkrit =

(4.49

l

)2

EI

Mit Hilfe der Gleichungen (19.6), (19.7) undd (19.8) lassen sich die ubrigen

Konstanten durch C3 ausdrucken.

C2 = −kC3, C4 = −C3 tan kl︸︷︷︸=kl s.o.

, C1 = −C4 = klC3

Damit wird die ausgeknickte Losung zu:

w(x) = C3kl︸︷︷︸w

[(1− x

l) +

1

klsin(kl

x

l)− cos(kl

x

l)

], mit kl = 4.49

Darin bleibt der Vorfaktor w wieder unbestimmt.

c) fest – frei

w(0) = 0 = C1 + C4 → C1 = −C4 (19.9)

w′(0) = 0 = C2 + kC3 C2 = −kC3


= C3 sin kl + C4 cos kl

Q(l) = 0 = −EIk2C2 → C2 = 0, → C3 = 0

Um die Momentenbedinung zu erfullen, muss die Funktion cos kl verschwinden.

Das ist der Fall fur

kl =π

2,3

2π, . . .

359

19. Knickung

Die zugehorige kritische Last ist: Pkrit =( π

2l

)2

EI

Dank der Beziehung (19.9) ergibt sich als Knickform

w(x) = C4(cos kx− 1) = w(cosπ

2

x

l− 1)

d) fest – fest

w(0) = 0 = C1 + C4 → C1 = −C4 (19.10)

w′(0) = 0 = C2 + kC3 C2 = −kC3 (19.11)

w(l) = 0 = C1 + C2l + C3 sin kl + C4 cos kl

w′(l) = 0 = C2 + kC3 cos kl − kC4 sin kl

Die Gleichungen (19.10) und (19.11) machen aus den unteren Gleichungen dashomogene Gleichungssystem

[sin kl − kl cos kl − 1cos kl − 1 − sin kl

][C3

C4

]=

[00

](19.12)

das nur dann eine Losung hat, wenn die Koeffizienten-Determinante verschwin-

det.

0 = −(sin kl − kl) sin kl − (cos kl − 1)2

= − sin2 kl + kl sin kl− cos2 kl + 2 cos kl− 1

→ −1

2kl sin kl = cos kl − 1

Ein Vergleich der Funktionsgraphen der linken und rechten Seite deutet die

kleinste Losung kl > 0 bei 2π an, was eine Uberprufung bestatigt.

yy = −x sin x

π

y = cosx− 1

x

2π

360

Beispiel Gestutzter Knickstab

Dazu gehort die kritische Last Pkrit =

(2π

l

)2

EI

Die Knickform ergibt sich mit Hilfe von (19.10) und (19.11) vorerst als:

w(x) = C3(sin kx− x) + C4(cos kx− 1)

Die erste Gleichung von (19.12) wird fur kl = 2π zu

(

=0︷︸︸︷sin 2π−2π)C3 + (

=1︷︸︸︷cos 2π−1)C4 = 0

was nur zu erfullen ist, wenn C3 = 0 ist, womit die Knickform festliegt.

w(x) = C4(cos kx− 1) = w(cos 2πx

l− 1)

Zusammenfassung

Fall Knicklast Knickform

a)(

πl

)2EI w sin

(π x

l

)

b)(

4.49l

)2EI w

[1− x

l + 14.49 sin(4.49x

l )− cos(4.49xl )]

c)(

π2l

)2EI w(cos π

2xl − 1)

d)(

2πl

)2EI w(cos 2π x

l − 1)

Beispiel Gestutzter Knickstab

Ein knickgefahrdeter Stab der Lange l soll durch eine Fuhrungsbuchse an

der Stelle a gestutzt werden. Wo ist die optimale Position a?

P

a l − a

links: Fall d) (Pkrit = Pkrit(a))

rechts: Fall b) (Pkrit = Pkrit(l − a))

Optimum: P linkskrit = P rechts

krit

P linkskrit =

(2π

a

)2

EI =

(4.49

l− a

)2

EI = P rechtskrit

361

19. Knickung

→ 2π

a=

4.49

l − abzw. a =

2π

4.49 + 2πl = 0.583l

Das ist nur ungefahr am Ort der maximalen Auslenkung der ungestutzten

Knickform (Fall b, Lange l), wie man vielleicht erwarten wurde.

w(x) = w

[(1− x

l) +

1

4.49sin(4.49

x

l)− cos(4.49

x

l)

]

w′(a) = w

[−1

l+

1

lcos(4.49

a

l) +

4.49

lsin(4.49

a

l)

]

=w

l(cos 2.618 + 4.49 sin 2.618− 1) ≈ 0.38

w

l6= 0

Das Maximum der ungestutzten Knickform liegt bei 0.602l. Aus Ingenieurs-

sicht ist es allerdings dasselbe (knapp 3 % daneben).

362

A. Mathematische Grundlagen

A.1. Funktionen

Funktionen sind eindeutige Zusammenhange abhangiger Großen von unabhangi-

gen Großen. Man bezeichnet die unabhangigen Großen als die Variablen derFunktion. Von ihnen hangen die Funktionswerte eindeutig ab. Die beteiligten

Großen konnen unterschiedliche Wertigkeit haben. Man spricht, je nach Gege-

benheit von skalarwertigen und vektorwertigen Funktionen.

Jeder beliebige arithmetische Ausdruck (z.B. x2) kann eine Funktion definieren,es gibt aber auch spezielle Funktionen. Zu denen gehoren z.B. die Kreisfunktio-

nen und andere, die im Folgenden beschrieben werden.

Umkehrfunktionen: Bei skalarwertigen Funktionen von einer skalaren Varia-

blen kann man die Umkehrfunktion bilden, indem man die ursprungliche Funk-

tion y = f(x) nach x auflost

z.B. y = x2 → x1/2 = ±√y

und anschließend die Bezeichner austauscht.

y1 =√

x bzw. y2 = −√

x

Die Graphen von Umkehrfunktionen sehen im xy-Koordinatensystem aus wiedie Graphen der ursprunglichen Funktionen, an 45-Linie (y = x) gespiegelt.

Der wichtigste Effekt einer Umkehrfunktion ist, dass, wenn man sie auf ihreUrsprungsfunktion anwendet, nur die unabhangige Variable ubrig bleibt. Z.B.:

y = x2, Umkehrfunktion y =√

x →√

x2 = x oder (√

x)2 = x

y = ex, Umkehrfunktion (s.u.) y = ln x → ln(ex) = x oder elnx = x

A.1.1. Die Kreisfunktionen

Kreisfunktionen sind periodische Funktionen im Definitionsbereich von [−∞, +∞].Periodisch heißt, die Funktionswerte wiederholen sich in gleichmaßigen Abstanden.

363


Der Abstand heißt Periode T . Bei Kreisfunktionen ist die Periode T = 2π|360

Der Sinus ist definiert durch das Verhaltnis von Gegenkathete zu Hypotenuseim rechtwinkligen Dreieck. Der Sinus ist stetig und beliebig oft stetig differen-

zierbar. Er hat den Wertebereich [-1,+1]. Die Ableitung des Sinus nach seinem

Argument ist der Kosinus: sin′ x = cosx.Spezielle Werte:

0 π6 |30 π

4 |45 π3 |60 π

2 |90

0 12

12

√2 1

2

√3 1

sin(−x) = − sin x, sin(x + π) = − sin x

30 6045

sin x1

-1

x

[deg]

0.5

090 180

270

360

Der Kosinus ist definiert durch das Verhaltnis von Ankathete zu Hypotenuseim rechtwinkligen Dreieck. Der Kosinus ist stetig und beliebig oft stetig diffe-

renzierbar. Er hat den Wertebereich [-1,+1]. Die Ableitung des Kosinus nach

seinem Argument ist der negative Sinus: cos′ x = − sinx.Spezielle Werte:

0 π6 |30 π

4 |45 π3 |60 π

2 |90

1 12

√3 1

2

√2 1

2 0cos(−x) = cosx, cos(x + π) = − cosx

30 6045

18090

270 360

cosx1

0.50

-1

x

[deg]

Der Tangens ist das Verhaltnis von Gegenkathete zu Ankathete im recht-

winkligen Dreieck. Der Tangens hat Pole (Unstetigkeitsstellen) an den Stellen

364

A.1. Funktionen

( 12 ± n)π, n ∈ IN. Die Ableitung des Tangens nach seinem Argument ist außer-

halb der Polstellen tan′ x = 1/ cos2 xSpezielle Werte:

0 π6 |30 π

4 |45 π3 |60 π

2 |90

0 13

√3 1

√3 ±∞ tan(−x) = − tanx, tan(x + π) = tanx

tanx1

6045

x

30 90180

270 360[deg]

0

Auf Grund der Definition gilt tan x =sin x

cosx.

Der Kotangens ist das Verhaltnis von Ankathete zu Gegenkathete im recht-

winkligen Dreieick, also der Kehrwert des Tangens. Der Kotangens hat Pole (Un-stetigkeitsstellen) an den Stellen ±nπ, n ∈ IN. Die Ableitung des Kotangens

nach seinem Argument ist außerhalb der Polstellen cot′ x = −1/ sin2 xSpezielle Werte:

0 π6 |30 π

4 |45 π3 |60 π

2 |90

±∞√

3 1 13

√3 0

cot(−x) = − cotx, cot(x + π) = cot x

365


1

0

cot x

6045

9030

180 270

360[deg]

x

Auf Grund der Definition gilt cotx =cosx

sinx.

A.1.2. Additionstheoreme der Kreisfunktionen

sin(x± y) = sin x cos y ± cosx sin y

cos(x± y) = cosx cos y ∓ sin x sin y

tan(x± y) =tanx± tan y

1∓ tan x tan y

A.1.3. e-Funktion und Logarithmus naturalis

Die e-Funktion ist in ihrem ganzen Definitionsbereich [−∞, +∞] positiv. Sie

folgt einer standigen Linkskurve und hat bei Null den Wert 1. Die e-Funktionist die einzige Funktion, die bei Ableitung nach ihrem Argument in sich selbst

ubergeht.

366

A.1. Funktionen

1

-1 0 1

x

exe−x

Die Spiegelung an der Hochachse liefert die ’abklingende’ e-Funktion, die ent-steht, wenn der Exponent x ein negatives Vorzeichen hat: y = e−x.

Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist der Logarithmus naturalis (ln), des-sen Definitionsbereich folglich auf die positiven Zahlen (ohne Null) beschrankt

ist. Der Wertebereich geht dafur von −∞ bis +∞. Der Logarithmus naturalis

durchfahrt eine standige Rechtskurve, hat einen negativen Pol bei 0 und schnei-det die x-Achse bei 1. Die Ableitung des ln x ist 1

x .

1.0

1.0

ln x

ex

x

367


A.1.4. Die Hyperbelfunktionen

Grundlage aller Hyperbelfunktionen ist die e-Funktion.

Sinus hyperbolicus Definition: sinh =1

2(ex − e−x)

D.h. der Sinus hyperbolicus ist die halbe Differenz zwischen einer aufklingen-

den und einer abklingenden e-Funktion. Deshalb ist sein Funktionsgraph punkt-symmetrisch zum Koordinatenursprung.

sinh x

1

x

1

-1

Kosinus hyperbolicus Definition: cosh =1

2(ex + e−x)

D.h. der Kosinus hyperbolicus ist das arithmetische Mittel aus einer aufklingen-

den und einer abklingenden e-Funktion. Sein Funktionsgraph ist klappsymme-

trisch zur Hochachse und hat der Wert 1 bei x = 0.

-1 0 1

x

1

coshx

368

A.2. Vektorrechnung

Der Tangens hyperbolicus ist analog zum Tangens der Kreisfunktionen de-finiert:

tanh =sinh x

cosh x=

ex − e−x

ex + e−x

Weil fur große positive und negative x jeweils die abklingende bzw. aufklingen-

de e-Funktion keine Rolle mehr spielt, nahert sich der Funktionsgraph asympto-tisch an 1 bzw. an -1 an.

1

-1

1

-1

tanh x

A.2. Vektorrechnung

Das geeignete mathematische Hilfsmittel zum Umgang vonz.B. Kraften und Momenten und Orten und anderen gerich-

teten Großen im Raum ist die Vektorrechnung im dreidi-

mensionalen euklidischen Raum, denn ein Vektor, genauerein Pfeilvektor oder geometrischer Vektor ist eine gerichtete

Große mit bestimmten Betrag und Orientierung.

z

y

x

a

Ubliche Bezeichnungen fur Vektoren in der Literatur sind

• Fettdruck: v, a, b, c . . . (hier verwendet)

• ubergesetzter Pfeil: ~v,~a,~b,~c . . .

• Unterstreichung: v, a, b, c . . . (im Tafelbild)

Die Lange eines Vektors bezeichnet man als Betrag und symbolisiert ihn mit

”Betragstrichen“ | v |.

369


Ein Vektor mit dem Betrag 0 ist ein Sonderfall, da er keine Orientierung hat.Er heißt Nullvektor und wird durch das Symbol 0 bezeichnet. Einen Vektor der

Lange 1 nennt man Einheitsvektor und bezeichnet ihn durch e.

Vektoraddition, Vektorsubtraktion Die Vektoraddition

a

b

c

c = a + b (A.1) ist

kommutativ

a + b = b + a

und assoziativ

(a + b) + c = a + (b + c)

Es gibt das neutrale Element der Addition 0 , so dass gilt:

a + 0 = a

und zu jedem Vektor a gibt es das inverse Element der Addition (−a) (das ist

ein Vektor mit demselben Betrag und derselben Richtung, nur mit umgekehrterOrientierung), mit dem gilt:

a + (−a) = 0

womit die Subtraktion eingefuhrt ist.

a + (−b) = a− b (A.2)

Multiplikation mit einem Skalar Die Multiplikation eines Vektors mit einem

Skalarc = λa (A.3)

ist kommutativλa = aλ

Der Betrag von λa ist das |λ|-fache des Betrages von a

| λa |=| λ || a |

Die Multiplikation mit einem Skalar ist assoziativ

λ(µa) = (λµ)a

370

A.2. Vektorrechnung

Es gibt das neutrale Element 1, fur das gilt:

1a = a

und die Multiplikation ist distributiv bezuglich jedes ihrer Elemente

λ(a + b) = λa + λb

(λ + µ)a = λa + µa

Komponentendarstellung, Basissystem Jeder Vektor v lasst sich aus n Kom-

ponenten der Form αivi zusammensetzen.

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn

Er ist damit eine Linearkombination der Vektoren v1 . . . vn. Die n Vektoren vi

sind linear unabhangig, wenn die Summe v nur dann zum Nullvektor wird,wenn alle αi verschwinden. Anderenfalls sind die Vektoren linear abhangig.

α1v1

α2v2

α3v3

α4v4

α5v5

α2v2α1v1

0

= 0 ?

Die maximale Zahl linear unabhangiger Vektoren in einem Vektorraum ist dieDimension des Vektorraums, d.h. im 3-dimensionalen Raum gibt es drei linear

unabhangige Vektoren, die nicht in einer Ebene liegen und nicht den Betrag 0haben, und alle anderen Vektoren lassen sich als Linearkombination dieser drei

darstellen.

v = α1b1 + α2b2 + α3b3

w = β1b1 + β2b2 + β3b3

v ±w = (α1 ± β1)b1 + (α2 ± β2)b2 + (α3 ± β3)b3 (A.4)

λv = (λα1)b1 + (λα2)b2 + (λα3)b3 (A.5)

(A.4) und (A.5) sind die Rechenregeln zur Ausfuhrung der bisher erst geome-trisch eingefuhrten Vektoraddition (-subtraktion) (A.1,A.2) und der Multiplika-

tion mit einem Skalar (A.3).

371


Solche drei Vektoren b1, b2, b3 nennt man Basisvektoren. Sie bilden zusammendie Basis des 3-dimensionalen Vektorraums. In der Technischen Mechanik ist es

ublich, nicht drei beliebige linear unabhangige Vektoren als Basis zu wahlen,

sondern drei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren e1, e2, e3, unddiese auch nicht beliebig einander zugeordnet, sondern als Rechts-System (im

Gegensatz zu einem Linkssystem). D.h. die drei Vektoren stehen so zueinander,

dass eine Drehung von e1 auf dem kurzesten Weg gegen e2 eine Rechtsschraubein Richtung e3 bewegt (1 → 2 → 3). Dasselbe gilt fur (2 → 3 → 1) und

(3→ 1→ 2). Man nennt das ein orthonormales Basissystem.

Die Darstellung von Vektoren mit Hilfe eines Basissystems nennt man Kompo-

nentendarstellung. Ublich sind die Schreibweisen:

v = v1e1 + v2e2 + v3e3 = (v1, v2, v3) =

v1

v2

v3

= vxex + vyey + vzez = (vx, vy, vz) =

vx

vy

vz

Die Faktoren, die vor den Basisvektoren stehen, sind man die Koordinaten bezuglich

des Koordinatensystems, das aus dem Ursprung O und den Basisvektoren be-steht. Ist die Basis orthonormal, handelt es sich um ein ’kartesisches’ Koordina-

tensystem.

Skalarprodukt (Inneres Produkt) Das Skalarprodukt zweier Vektoren a undb ergibt eine Zahl (Skalar). Ihr Wert ist das Produkt der beiden Vektorlangen

mit dem Kosinus (s. Kap. A.1.1) des eingeschlossenen Winkels.

c = a · b = |a||b| cosα ; α : Winkel zwischen a und b (A.6)

Das Skalarprodukt ist kommutativ

a · b = b · a

und distributiv(a + b) · c = a · c + b · c

Ein Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst fuhrt zu einer Berechnungsvor-

schrift fur den Betrag des Vektors

a · a = |a||a|=1︷︸︸︷

cos 0 → |a| =√

a · a (A.7)

372

A.2. Vektorrechnung

Das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander stehender Vektoren ist 0.

In einem orthonormalen Basissystem gilt die Rechenvorschrift:

a · b = (a1e1 + a2e2 + a3e3) · (b1e1 + b2e2 + b3e3)

= a1b1e1 · e1 + a1b2e1 · e2 + a1b3e1 · e3 +

a2b1e2 · e1 + a2b2e2 · e2 + a2b3e2 · e3 +

a3b1e3 · e1 + a3b2e3 · e2 + a3b3e3 · e3 +

= a1b1 + a2b2 + a3b3 (A.8)

weil die Skalarprodukte der Einheitsvektoren ei · ek entweder 0 (i 6= k) oder 1sind (i = k).

Wendet man das letzte Ergebnis auf die Berechnungsvorschrift des Betrages(A.7) an, gelangt man zu der bekannten pythagoraischen Formel fur die Lange

der Raumdiagonalen eines Quaders.

a1a2

a3

a

|a| =√

a21 + a2

2 + a23 (A.9)

Das Skalarprodukt (A.6) eignet sich, die Lange der Projektion eines Vektors auf

eine im Winkel α abweichende Richtung zu berechnen, wenn man den Einheits-vektor in dieser Richtung kennt.

vproj = v · e = |v| 1 cosα (A.10)

vproj

e

|v|

vα

vproj

αv

Der projizierte Vektor ist wiederum: vproj = vproje

Das bedeutet angewandt fur die drei Richtungen eines orthonormalen Basissy-

373


stems, aber auch nur da:

v1 = v · e1

v2 = v · e2

v3 = v · e3

v = (v · e1) e1 + (v · e2) e2 + (v · e3) e3

D.h. die projizierten Vektoren sind gleichzeitig die Komponenten des Vektors,

eben weil die Basisvektoren senkrecht aufeinander stehen, und die Zahlenwer-te der Projektionen sind gleichzeitig die Koordinaten, weil die Basisvektoren

Einheitsvektoren sind. Bei allen anderen Basissystemen ist das nicht so einfach,

sondern man muss die Koordinaten als drei Unbekannte aus ebenso vielen Glei-chungen berechnen.

Vektorprodukt (Außeres oder Kreuzprodukt) Das Ergebnis des

Kreuzproduktes zweier Vektoren ist ein Vektor

c = a× b (A.11)

der senkrecht auf beiden beteiligten Vektoren steht und dessen Betrag der Flachen-inhalt des Parallelogramms ist, das von den beiden Vektoren a und b aufge-

spannt wird.

|c| = | sinα||a||b| α : Winkel zwischen a und b (A.12)

(Zum Sinus vgl. Kap. A.1.1.)

a, b und c bilden ein Rechts-System. Das Kreuzprodukt ist antikommutativ

a× b = −b× a

distributiv

(a + b)× c = a× c + b× c

und assoziativ bei der Multiplikation mit einem Skalar

λ(a× b) = (λa)× b = a× (λb)

Das Kreuzprodukt zwischen zwei parallelen Vektoren ist 0 , und das Kreuz-produkt zwischen zwei senkrecht aufeinander stehenden Einheitsvektoren ei-

nes orthonormalen Basissystems je nach Reihenfolge des Produktes der positive

374

A.2. Vektorrechnung

oder negative dritte Einheitsvektor. Damit lasst sich eine Rechenvorschrift furdas Kreuzprodukt in einem orthonormalen Basissystem ableiten:

a× b = (a1e1 + a2e2 + a3e3)× (b1e1 + b2e2 + b3e3)

= a1b1 e1 × e1︸︷︷︸0

+a1b2 e1 × e2︸︷︷︸e3

+a1b3 e1 × e3︸︷︷︸−e2

+

a2b1 e2 × e1︸︷︷︸−e3

+a2b2 e2 × e2︸︷︷︸0

+a2b3 e2 × e3︸︷︷︸e1

+

a3b1 e3 × e1︸︷︷︸e2

+a3b2 e3 × e2︸︷︷︸−e1

+a3b3 e3 × e3︸︷︷︸0

= (a2b3 − a3b2)e1 − (a1b3 − a3b1)e2 + (a1b2 − a2b1)e3

Die Form des letzten Ergebnisses bietet eine Merkregel fur die Rechenvorschrift

des Kreuzproduktes in einem orthonormalen Basissystem an, weil sie formal mitder Determinante einer (3×3)-Matrix ubereinstimmt (s. A.3).

a× b =

∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣(A.13)

Spatprodukt Das Spatprodukt dreier Vektoren u, v und w ist die Verknupfung

der beiden zuvor erklarten Multiplikationen. Sein Ergebnis ist ein Skalar,

c = [u, v, w] = u · (v ×w) (A.14)

dessen Betrag das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallel-epipeds (Spat) angibt, das sich bekannterweise aus dem Produkt von Grund-

flache mal Hohe ergibt, also z.B. aus:

Grundflache G︷︸︸︷|v ×w|

(Hohe h︷︸︸︷

u · v ×w

|v ×w|︸︷︷︸n

)= u · (v ×w) (s.o.), n : Einheitsvektor ⊥ G

Das Spatprodukt ist positiv, wenn u, v und w ein Rechts-System bilden. Bei zy-klischer Vertauschung der beteiligten Vektoren bleibt der Wert erhalten, bei an-

tizyklischer Vertauschung dreht sich das Vorzeichen um.

[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]

375


[u, v, w] = −[v, u, w]

Bei einer orthonormalen Basis gilt als Rechenvorschrift

[u, v, w] = det

∣∣∣∣∣∣

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣(A.15)

Ein Teilvolumen des Spats ist das Tetraeder (Pyramide aus Dreiecksflachen),

das von u, v und w aufgespannt wird. Seine Grundflache ist halb so groß wiedie des Spats, und das Volumen einer Pyramide ist 1/3 von Grundflache mal

Hohe, so dass gilt:

VTetra =1

6|[u, v, w]|

Punkte, Geraden, Ebenen und Abstande Bisher zeichnet sich ein Vektor

nur durch seine Lange und durch seine Richtung aus. Damit ist jeder VektorStellvertreter einer unendlichen Menge gleich langer und gleichgerichteter Vek-

toren, weil es unendlich viele Punkte gibt, an denen der Vektor anfangen kann.

• Punkt im Raum: Indem man den Anfangspunkt O vorschreibt, definiertman den sogenannten Ortsvektor, der eindeutig einen bestimmten Punkt

im Raum beschreibt, denn von O zu einem beliebigen Punkt P im Raum

zeigt nur ein bestimmter Vektor p.

• Gerade: Die Summe von zwei Vektoren, einem Ortsvektor (Aufpunkt) und

dem Vielfachen eines Richtungsvektors,

g(λ) = p + λr

ist wieder ein Ortsvektor, der alle Punkte einer Geraden beschreibt, wenn

λ ∈ [−∞, +∞].

• Abstand Punkt - Gerade: Der senkrechte Abstand d eines Punktes K (gege-ben durch den Ortsvektor k) von der Geraden g ist der Betrag des Vektors,

der ubrig bleibt, wenn man vom Differenzvektor (q = k − p) seine Pro-jektion auf g abzieht. (Fur die Projektion (s. (A.10)) braucht man den

Einheitsvektor in Richtung r. Das ist r/|r|).

376

A.2. Vektorrechnung

p

r

qproj

k

q K

O

dd =

∣∣∣∣q −(

q · r

|r|

)r

|r|

∣∣∣∣ (A.16)

Das ist zwar etwas umstandlich, aber anschaulich. Ein kurzerer Weg zu

einem einfacheren Ergebnis fuhrt uber den Flacheninhalt des Parallelo-gramms, das q und r aufspannen.

|q × r| = F = d|r| → d =|q × r||r|

Zwei Geraden g1 und g2 konnen miteinander identisch sein, parallel sein, sichschneiden (in diesen Fallen liegen sie in einer gemeinsamen Ebene) oder sie

sind zueindander ’windschief’. In diesem Fall ist der kurzesten Abstand zwi-

schen ihnen großer als 0.

• Abstand zwischen windschiefen Geraden: (Paralle Geraden s. Abstand Punkt- Gerade) Der kurzeste Abstand misst sich entlang der Strecke, die auf

beiden Geraden senkrecht steht. Gleichzeitig ist diese Strecke der Ab-

stand zwischen zwei parallelen Ebenen, in denen jeweils eine der Geradenverlauft. Also liegt auch jeweils ein Aufpunkt in jeder Ebene.

O

r2

r1

p1

p2

Blickrichtung

p2

p1

q

r1

r2

Der gesuchte Abstand ist damit die Lange der Projektion des Differenzvek-

tors zwischen den Aufpunkten (q = p2−p1) auf die Senkrechte zwischenden Geraden (Ebenen).

Ein Vektor, der gerade diese Richtung hat, ist das Kreuzprodukt aus beiden

Richtungsvektoren n = r1 × r2.

d = q · n

|n| = (p2 − p1) ·r1 × r2

|r1 × r2|(A.17)

377


• Ebene: Ein Ortsvektor p und zwei voneinander linear unabhangige Rich-tungsvektoren r und s spannen eine Ebene auf.

f(λ, µ) = p + λr + µs

• Abstand Punkt - Ebene: Der Abstand eines Punktes K (Ortsvektor k) von

der Ebene ist mit ahnlicher Argumentation wie gerade zuvor

d = (p− k) · r × s

|r × s| (A.18)

A.3. Matrizenrechnung

Matrizen sind Strukturen, in denen Skalare in Zeilen und Spalten verwaltet

werden. Ihre Große gibt man uber die Anzahl der Zeilen und Spalten an. Z.B.

ist eine (2×3)-Matrix eine Matrix mit 2 Zeilen und 3 Spalten. Matrizen mitgleich viel Spalten und Zeilen nennt man quadratisch.

Matrizen mit nur einer Zeile und n Spalten nennt man einen Zeilenvektor der

Lange n, ebenso ist eine Matrix mit nur einer Spalte und m Zeilen ein Spalten-

vektor der Lange m.

Die einzelnen Elemente der Matrix M bezeichnet man i.Allg. mit mij , wobei

i die Zeilennummer und j die Spaltennummer bedeuten. i und j nennt manIndex (Plural: Indizes). Sie sind Stellvertreter fur die Zahlen von 1 bis n, bzw.

m. (Bei Spalten- und Zeilenvektoren verzichtet man auf die Angabe der Spaltej ≡ 1 bzw. Zeile i ≡ 1.)

Die Reihe der Matrixelemente, bei denen Zeilen- und Spaltenindex ubereinstim-men, nennt man die Hauptdiagonale der Matrix.

Transponierte Die Transponierte MT einer Matrix M ist wieder einem Ma-trix mit so viel Zeilen und Spalten wie die Ursprungsmatrix Spalten und Zeilen

hatte. Die Elemente der Transponierten sind die Elemente der Ausgangsmatrixmit vertauschten Indizes.

mTij = mji

Man kann auch sagen, die Transponierte entsteht durch Spiegelung an der

Hauptdiagnonalen.

378

A.3. Matrizenrechnung

Matrizenmultiplikation Zwei Matrizen A und B konnen miteinander multi-pliziert werden,

C = AB

wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B ubereinstimmt. Es ent-

steht eine Matrix mit so vielen Zeilen wie A und so vielen Spalten wie B. Das

Element cij dieser Ergebnismatrix entsteht aus dem sogenannten Skalarproduktder i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.

cij =

n∑

k=1

aikbkj , n : ubereinstimmende Spalten- und Zeilenzahl

Fur den Fall, dass B nur ein Spaltenvektor b ist, wird daraus:

ci =

n∑

k=1

aikbk

was sich hervorragend dazu eignet, lineare Gleichungssysteme in kompakterForm anzugeben:

a11x1 + · · · + a1mxm = r1

.... . .

... =...

an1x1 + · · · + anmxm = rn

→ A x = r

Darin nennt man A die Koeffizientenmatrix, x den Vektor der Unbekannten und

r die ’rechte Seite’.

Ein lineares Gleichungssystem ist losbar, wenn es ebenso viele Gleichungen wie

Unbekannte hat. D.h. die Koeffizientenmatrix muss quadratisch sein. Daruber-hinaus darf aber keine Gleichung als Linearkombination der anderen darstellbar

sein. Wenn doch, dann reicht die Information nicht mehr aus, alle Unbekanntenzu bestimmen.

Determinante Die Determinante einer quadratischen Matrix entscheidet da-ruber, ob einzelne Zeilen oder Spalten eine Linearkombination der anderen

sind. Ist das der Fall, wird die Determinante 0.

Die Determinante einer (2× 2)-Matrix berechnet sich aus dem Produkt der

Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonalelemente.

det

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc

379


Determinanten großerer (n×n)-Matrizen A werden rekursiv berechnet, indemman nach einer beliebigen Zeile oder Spalte ’entwickelt’. Wahlt man zur Ent-

wicklung z.B. die Zeile i der Matrix A aus, dann ist die gesuchte Determinan-

te die vorzeichenalternierende Summe von Produkten der Elemente aik dieserZeile mit den zugehorigen Unterdeterminaten. Das sind die Determinanten der

Matrizen, die von A ubrig bleiben, wenn man die Zeile i und die Spalte k her-ausstreicht.

det A =

n∑

k=1

(−1)i+kaik det Asubik

Die Unterdeterminanten bestimmt man nach dem gleichen Verfahren, bis manbei (2×2)-Untermatrizen anlangt.

Z.B. eine (3×3)-Matrix, entwickelt nach der ersten Zeile, ergibt:

det

∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣=

= (−1)2a det

∣∣∣∣e fh i

∣∣∣∣+ (−1)3b det

∣∣∣∣d fg i

∣∣∣∣+ (−1)4c det

∣∣∣∣d eg h

∣∣∣∣= a(ei− fh)− b(di− fg) + c(dh− eg)

= aei + bfg + cdh− ceg − afh− bdi

Das letzte Ergebnis kommt auch heraus, wenn man die gegebene (3×3)-Matrix

nach rechts um die beiden ersten Spalten erweitert.

∣∣∣∣∣∣

a b c a bd e f d eg h i g h

∣∣∣∣∣∣

Dann findet man die positiv zahlenden Dreier-Produkte auf den drei neben-

einander liegenden ’Hauptdiagonalen’ wieder und die negativen auf den dreiGegendiagonalen. Diese Berechnungsvorschrift heißt Sarrus-Regel und gilt nur

bei (3×3)-Matrizen.

380

A.4. Differenzialrechnung


Eine stetige Funktion f(x) (das ist eine, die manzeichnen kann, ohne den Stift absetzen zu mussen)

hat in aller Regel an der Stelle x+4x einen anderen

Wert f(x + 4x), als an der Stelle x. Wie groß derUnterschied 4f = f(x +4x) − f(x) allerdings ist,

hangt von der Große von 4x ab.

4xb

x

4xa

f(x) 4fa 4fb

φb

Entsprechend unterschiedlich ist die Lage der Hypotenuse des Dreiecks, das aus4x und4f gebildet wird. Je nachdem wie groß4x gewahlt wird und sich4fergibt, berechnet die Steigung der Hypotenuse aus dem Differenzenquotienten

s =4f

4x= tan φ

d.h. die Steigung ist der Tangens des Steigungswinkels φ.

Geometrisch ist die Hypotenuse des Steigungsdreiecks eine Sekante. Sie schnei-

det die Kurve f(x) in mindestens zwei Stellen. Damit ist sie ein ungeeignetesInstrument, um die Eigenschaften der Kurve f(x) an der Stelle x zu beschrei-

ben, denn durch einen Punkt einer Kurve gehen unendlich viele Sekanten.

Etwas anderes erhalt man, wenn man den Abstand 4x zum zweiten Sekanten-

schnittpunkt immer kleiner werden lasst. Dann wird im Grenzubergang (4x→0) aus der Sekante eine Tangente, die nur noch einen einzigen Beruhrungspunkt

an der Stelle x hat. Die Steigung der Tangente im Punkt x ist gleichzeitig die

Steigung der Kurve f(x), an die sich die Tangente anschmiegt.

sT = lim4x→0

4f

4x=

df

dx= f ′(x)

Aus dem Differenzenquotienten wird dabei der Differenzialquotient, der dieSymbole d statt 4 benutzt, um anzudeuten, dass sich der Quotient nicht mehr

aus endlichen Großen bestimmt, sondern aus ’infinitesimal’ (d.h. unendlich)

kleinen. Das Ergebnis f ′ nennt man Ableitung von f . Dabei ist das Hochkommaeine abkurzende symbolische Schreibweise fur die Anweisung: Bilde den Dif-

ferenzialquotienten von f , d.h. leite die Funktion f nach ihrem Argument ab.

Wenn das Argument allerdings die Zeit t ist, findet man statt des Hochkommasoft auch einen ubergesetzten Punkt.

Zur Berechnung einer Ableitung ist die obige Gleichung eine gradlinige Re-

chenanweisung, wenn die abzuleitende Funktion explizit angegeben ist, z.B.

381


fur f(x) = xn kommt heraus:

f ′ = lim4x→0

(x +4x)n − xn

4x

= lim4x→0

(xn +

(n1

)xn−14x +

(n2

)xn−24x2 + · · ·

)− xn

4x

= lim4x→0

nxn−14x +(

n2

)xn−24x2 + · · ·

4x

= lim4x→0

[nxn−1 +

(n

2

)xn−24x + · · ·

]= nxn−1

Dieses Ergebnis und andere von haufig verwendeten Funktionen sind in Tabel-lenwerken gesammelt, z.B. Bronstein/Semendjajew: Taschenbuch der Mathema-

tik.

Auf die gleiche Art und Weise erhalt man auch die sogenannte Produktregel,die ein Hilfsmittel sein kann, wenn sich die abzuleitende Funktion als Produktzweier Funktionen darstellt: f(x) = u(x)v(x):

f ′ = lim4x→0

u(x +4x)v(x +4x)− u(x)v(x)

4x

= lim4x→0

(u(x) +4u)(v(x) +4v)− u(x)v(x)

4x

= lim4x→0

u(x)v(x) + v(x)4u + u(x)4v +4u4v − u(x)v(x)

4x

= lim4x→0

v(x)4u + u(x)4v +4u4v

4x

= lim4x→0

[v(x)4u

4x+ u(x)

4v

4x+4u

4x

4v

4x4x

]

= v(x)u′(x) + u(x)v′(x) + u′(x)v′(x) dx︸︷︷︸0

Quotientenregel: f(x) =u(x)

v(x)→ f ′ =

u′v − v′u

v2

Kettenregel: f(x) = g(t(x)) → f ′(x) =dg

dt

dt

dx

Leitet man eine abgeleitete Funktion (f ′) ein zweites Mal ab, entsteht die zweite

Ableitung f ′′, gekennzeicht durch ein weiteres Hochkomma (oder einen weite-

382


ren ubergesetzten Punkt. Das ist die abkurzende Schreibweise fur:

f ′′(x) =d

dx

(df

dx

)=

d2f

dx2

Das ist beliebig fortsetzbar, solange die abzuleitenden Funktionen differenzier-bar bleiben.

Funktionen von mehreren Variablen kann man selbstverstandlich auch ableiten.Was dabei heraus kommt, ist allerdings keine globale Eigenschaft der Funktion

an der Stelle, wo man sie betrachtet. Das gilt nur im eindimensionalen Fall.

Hier ist die Ableitung nach einer der beteiligten Variablen nur eine Teilaussage.Deswegen nennt man sie ’partielle’ Ableitung und kennzeichnet den Differen-

zialquotienten mit speziellen Symbolen (∂).

f = f(x, y, z) : f,x =∂f

∂x, f,y =

∂f

∂y, f,z =

∂f

∂z

Will man sich eine Vorstellung davon machen, so geht das am besten mit einerFunktion von zwei unabhangigen Variablen (f(x, y)). Fasst man die Variablen

als rechtwinklig zueinander stehende Koordinaten der xy-Ebene auf, dann bil-det die Funktion f(x, y) uber dieser Ebene ein Gebirge, und das Zahlentripel

(x, y, f(x, y)) ist ein Punkt darauf.

Die partielle Ableitung ∂f/∂x gibt nur die Neigung einer Tangente an, die im

Punkt (x, y, f(x, y)) in x-Richtung an die Gebirgsflache angeschmiegt ist. (Des-

wegen nennt man die partielle Ableitung auch Richtungsableitung.) Sie gibtkeine Aussage daruber, ob es in y-Richtung steiler oder flacher ist.

Manchmal ersetzt man die Funktion f(x) in der Nachbarschaft der Stelle x0

durch ihren Funktionswert, ihre Tangente und Terme mit hoheren Ableitungen.

Das nennt man eine Taylorreihe.

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

∣∣∣∣+f ′′(x0)

2!(x− x0)

2 +f ′′′(x0)

3!(x− x0)

3 + · · ·

Ublicherweise bricht man diese unendliche Summe nach dem zweiten Glied ab

und beschrankt sich auf infinitesimal kleine Nachbarschaften (x − x0) → dx.

Als Naherung fur die eigenliche Funktion f(x) ist das bei x0 exakt richtig, undum so falscher, je weiter man sich von x0 entfernt.

Bei Funktionen von mehreren Variablen sieht die Talorreihe sehr viel kompli-

zierter aus. Schon der zweite Term (fur infinitesimale Nachbarschaft bei einer

383


Funktion von nur zwei Vaiablen) wird zu

df =∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy

Das nennt man ein totales Differenzial (hier fur zwei Variablen angegeben).

Um in dem obigen Beispiel zu bleiben, entspricht das einem Bierdeckel, der im

Punkt (x0, y0, f(x0, y0)) an die Gebirgsflache genagelt wird. Im Sinne der derDifferenzialgeometrie ist das eine Tangentialebene. (Das Bild funktioniert nur,

wenn die Gebirgsoberflache immer glatter wird, je naher man hinschaut. Hierweichen reale Welt und Mathematik voneinander ab.)

A.5. Integralrechnung

Die Flache unter einer Kurve f(x) lasst sich naherungsweise als Summe von

Teilrechtecken Fi angeben, die4x breit sind und so hoch wie der Funktionswertz.B. an ihrer linken Kante.

4x

f(xi)

xi

xa xb

x

y4Fi

Fi

F ≈b∑

i=a

Fi =

b∑

i=a

f(xi)4x

xa = a4x, xb = b4x, xi = i4x

Dabei macht man bei jedem Streifen Fi einen Fehler 4Fi, der relativ zumFlacheninhalt des Streifens um so kleiner wird, je schmaler man ihn wahlt.

Im Grenzubergang, in dem die Streifen unendlich schmal und ihre Anzahl un-

endlich hoch werden, geht der Fehler gegen Null. Um diesen Grenzubergang zukennzeichnen, wird das Summenzeichen (ein griechische ’S’) durch ein anderes

Symbol, ein lang gezogenes lateinische ’s’ (∫) ersetzt und das endlich breite4x

verwandelt sich in ein ’infinitesimal’ schmales dξ. Den dabei entstehenden Aus-

druck nennt man nicht mehr Summe, sondern Integral. Das, was hinter dem

Integralzeichen (∫

) steht, heißt Integrand.

F = lim4x→0

b∑

i=a

f(xi)4x =

xb∫

xa

f(ξ) dξ =

∫

F

dF

384

A.5. Integralrechnung

Der Ort xi, der die Lage des Streifens Fi im Intervall [xa, xb] beschrieb, wird er-setzt durch die ’Integrationsvariable’ ξ. Das ist eine Koordinate in der Richtung

von x. Sie ist eine Hilfsgroße, genauso wie zuvor der Zahlindex i eine Hilfs-

große war. Diesen Aufwand betreibt man allerding nur, wenn Verwechslungenmoglich sind, ansonsten benutzt man x statt ξ. Man weiß ja, was man macht.

dF ist der Flacheninhalt eines solchen infinitesimal schmalen Streifens.

Der Zusammenhang dF = f(x) dx lasst sich umstellen:

f(x) =dF

dx= F ′(x)

D.h. das Ergebnis der Integration ist die Funktion F , die man ableiten muss (s.

Kap. A.4), um den Integranden zu erhalten. Man nennt F auch die Stammfunk-tion von f .

Im Gegensatz zu einem Integral uber ein festgelegtes Intervall nennt man ein In-tegral ohne Angaben von Integrationsgrenzen ein ’unbestimmtes’ Integral. Sei-

ne Losung ist die Stammfunktion, erweitert um eine beliebige Konstante.

Wenn die Intervallgrenzen bekannt sind (bestimmte Integrale), ist die Losung

die Differenz der Werte der Stammfunktion an den Intervallgrenzen.

xb∫

xa

f(x) dx =[F (x)

]xb

xa

= F (xb)− F (xa)

Z.B.π∫

0

cos(x) dx =[sin x

]π0

= sin π − sin 0 = 0

Die eckigen Klammern im zweiten Term deuten an, dass die Integration schon

durchgefuhrt ist (die Funktion, die man ableiten muss, um den Kosinus (Inte-

grand) zu bekommen, ist der Sinus (gesuchte Stammfunktion)). Die tief- undhochgestellten Integrationsgrenzen werden im Weiteren eingesetzt und die Er-

gebnisse voneinander abgezogen.

Die Flache unter der Kurve f(x) kommt bei der oben beschriebenen Integration

entlang der einen Koordinate x (eindimensionaler Raum) nur deshalb heraus,weil jedes dx mit dem Funktionswert f(x) gewichtet wurde. Die Integration

von ungewichteten dx ergibt nur die Lange des Intervalls [xa, xb].

385


dx

f(x)

dy

xa xb

y

x

Zum selben Ergebnis (Flache) kommt

man, wenn man die Funktion f(x) als

als eine der Grenzen eines Gebietes inder (x, y)-Ebene auffasst und alle in-

finitesimal kleinen Teilfflachen dA =dx dy, die innerhalb des Gebietes lie-gen, ohne jede Wichtung summiert.

Eine solche Integration uber zwei Koordinatenrichtungen kennzeichnet man miteinem doppelten Integralzeichen, in diesem Fall mit:

A =

∫∫

A

dA =

xb∫

xa

f(x)∫

0

dy

dx

Eine Integration uber ein Volumen wird mit einem Dreifach-Integralzeichen ge-kennzeichnet, z.B. V =

∫∫∫V

dV .

Selbstverstandlich konnen solch infinitesmal kleinen Teilflachen oder Teilvolu-

mina, die immer einem Ort zugeordnet sind, auch mit einer Zahl gewichtet

werden, die von Ort zu Ort andere Werte annimmt: g(x, y, z). Ebenso selbst-verstandlich konnen solche Wichtungsfunktionen auch vektoriellen Charakter

haben. Das heißt nicht anderes, als dass die Integration komponentenweise

durchgefuhrt wird und das Ergebnis ein Vektor ist.

Integrale von Funktionen mehrerer unabhangiger Variablen werden uber ge-schlossene Gebieten entsprechender Dimension ausgefuhrt, indem man die oben

beschriebene Integration nacheinander fur jede Variable durchfuhrt. Wahrend

der Integration uber eine Variable sind alle ubrigen als konstant anzusehen, weilsie als ’unabhangige’ Variablen eben keine Funktion der anderen sind, d.h. aus

deren Sicht konstant.

Welche Integration uber welche Integrationsvariable man zuerst durchfuhrt,

hangt nur davon ab, wie sich die Gebietsgrenzen als Funktion der einzelnen un-abhangigen Variablen am einfachsten darstellen lassen. Bei dem Beispiel oben

sind die Grenzen: x = xa, y = 0, x = xb und y = f(x)

A.6. Differenzialgleichungen

Gleichungen, in denen Ableitungen vorkommen, heißen Differenzialgleichun-

gen. Die hochste Ableitung bestimmt die Ordnung der Differenzialgleichung.

386


Wenn die Ableitungen nur in linearer Form auftreten, also nicht als Argumentvon Funktionen oder als Potenzen, dann spricht man von linearen Differenzial-

gleichungen.

Wenn die Ableitungen nur nach einer Variablen gebildet werden, hat man es mit

gewohnlichen Differenzialgleichungen zu tun. Im anderen Fall treten partielle

Ableitungen auf, weil die abgeleitete Große von Funktion mehrerer Variablenist. Dann handelt es sich auch um partielle Differenzialgleichungen, die hier

nur erwahnt, aber nicht weiter behandelt werden.

y′′ + a1y′ + a0y = f(x)

ist also eine gewohnliche lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung. (Ublicher-

weise bringt man eine Differenzialgleichung auf eine Form, in der die hochste

Ableitung den Vorfaktor 1 hat und alle Terme, die weder die Funktion, nochderen Ableitungen enthalten, auf die rechte Seite gebracht werden.)

Es gibt keinen Konigsweg zur Losung von Differenzialgleichungen, nur verschie-

dene Angange fur verschiedene Kategorien von Differenzialgleichungen.

A.6.1. Gewohnliche lineare Dgl 1. Ordnung

y′ + a0y = f(x) (G1)

An diesem fast ’einfachsten’ Fall kann man eine oft erfolgreiche Strategie klar

machen, doch das spater. Zuerst zum wirklich einfachsten Fall: a0 = 0 bzw.

y′ = f(x)

Die Losung ist die Beantwortung der Frage:”Welche Funktion y muss ich ab-

leiten, um f(x) heraus zu bekommen?“ Antwort: Die Stammfunktion, erweitert

um eine beliebige Konstante.

Zuruck zum allgemeineren Fall. Angenommen, man wusste eine Funktion yp,

die die Diffenzialgleichung (G1) erfullt.

y′p + a0yp = f(x) (G2)

Dann kann man rein formal die beiden Gleichungen (G1) und (G2) voneinander

abziehen und erhalt:

y′ − y′p︸︷︷︸

y′

h

+ a0(y − yp︸︷︷︸yh

) = f(x)− f(x) = 0 → y′h + a0yh = 0 (G3)

387


Das geht nur bei linearen Differenzialgleichungen, fuhrt aber hier zu einerneuen Differenzialgleichung fur die Funktion yh. Die rechte Seite dieser Dgl

ist verschwunden. Solche Differenzialgleichungen nennt man homogene Diffe-

renzialgleichungen. Sie machen das Problem etwas ubersichtlicher, weil mandie eigentlich gesuchte Losung y zusammensetzt aus der Losung yh der ho-

mogenen Differenzialgleichung und einer einzigen weiteren Funktion yp, die

die ursprungliche Dgl erfullt. Diese einsame Losung nennt man die partikulareLosung.

Die Uberlegungen zur homogenen und partikularen Losung bei linearen Diffe-

renzialgleichungen ist nicht auf Differenzialgleichungen 1. Ordnung beschrankt,

sondern sie gelten fur jede Ordnung.

Homogene Losung Die Losung der homogenen Differenzialgleichung (G3)

ist mit der Beantwortung der Frage gefunden:”Welche Funktion gibt es, die bei

der Ableitung ein Vielfaches ihrer selbst ergibt?“ Diese Eigenschaft hat nur die

e-Funktion (vgl. Kap. A.1.3).

deλx

dx= λeλx

Also macht man (wie es heißt) den Ansatz: yh = eλx, → y′h = λeλx und setzt

diesen Ansatz in die homogenen Dgl (G3) ein.

λeλx︸︷︷︸

y′

h

+a0 eλx︸︷︷︸

yh

= (λ + a0)eλx = 0

Die entstandene Gleichung kann nur erfullt werden, wenn die Klammer ver-

schwindet, weil die Funktion eλx an keiner Stelle x Null wird. Damit wird der

Klammerinhalt zu einer Bestimmungsgleichung fur λ:

λ = −a0 → yh = Ce−a0x

Die zugefugte Konstante C dient zur Erweiterung des Losungsvorrats: Die obige

Argumentation hatte fur yh = Ceλx genauso funktioniert.

Partikulare Losung Ein Tipp zur partikularen Losung ist immer der ’Ansatz

vom Typ der rechten Seite’. Das ist mit der allgemeinen Funktion f(x) nichtzu beschreiben, sondern braucht das explizite Aussehen der rechten Seite einer

Dgl, um sich daran zu orientieren.

Wenn z.B. die rechte Seite ein Polynon ist, z.B.

388


y′ + a0y = k0 + k1x + k2x2

dann ware ein Ansatz vom Typ der rechten Seite ein ahnliches Polynom

yp = b0 + b1x + b2x2 → y′

p = b1 + 2b2x

und eingesetzt in die Differenzialgleichung ergabe sich:

b1 + 2b2x︸︷︷︸y′

p

+a0(b0 + b1x + b2x2

︸︷︷︸yp

) = k0 + k1x + k2x2

Das wird etwas sortiert, und zwar nach den Potenzen von x.

b1 + a0b0︸︷︷︸k0

+(2b2 + a0b1︸︷︷︸k1

)x + a0b2︸︷︷︸k2

x2 = k0 + k1x + k2x2

Der anschließende Koeffizientenvergleich fuhrt zu Bestimmungsgleichungen furdie Faktoren b0 bis b2 mit den Ergebnissen.

b2 =k2

a0, b1 =

k1

a0− 2

k2

a20

, b0 =k0

a0− k1

a20

+ 2k2

a30

An diesem Beispiel ist zu sehen, dass der Begriff ’Typ der rechten Seite’ mit

etwas Vorsicht zu genießen ist. Selbst wenn auf der rechten Seite zwei Koeffizi-enten (k0 = k1 = 0) nicht vorhanden sind, bleiben alle Faktoren (b0, b1, b2) des

Ansatz-Polynoms erhalten. Ein einfacherer Ansatz, z.B. in der Form yp = b2x2

hatte nicht ausgereicht. In mathematischen Worten: Man muss den Funktionen-

raum des Ansatzes soweit aufspannen, dass auch alle aus dem Ansatz entste-

henden Ableitungen enthalten sind.

Ist z.B. in der rechten Seite einer Dgl eine Kreisfunktion enthalten

y′ + a0y = A sin αx

dann muss in diesem Fall ein Ansatz fur yp vom ’Typ der rechten Seite’ auch den

Kosinus enthalten.

yp = Ks sin αx + Kc cosαx → y′p = αKs cosαx− αKc sinαx

Dgl:→ αKs cosαx− αKc sin αx + a0(Ks sin αx + Kc cosαx) = A sin αx

Koeffizientenvergleich:

(a0Ks − αKc︸︷︷︸A

) sin αx + (a0Kc + αKs︸︷︷︸0

) cosαx = A sin αx

Ergebnis: Ks =a0

a20 + α2

A, Kc =−α

a20 + α2

A

389


A.6.2. Gewohnliche nicht lineare Dgl 1. Ordnung

Eine Differenzialgleichung der Form y′ = f(y) lasst sich immer auf die Form

dy

dx= f(y) → dy = f(y) dx → dy

f(y)= dx

bringen. Diese Umformung nennt man Trennung der Variablen (alles, was yheißt, nach links, alles was x heißt, nach rechts!) Der Weg zur Losung fuhrt

uber die Suche nach den Stammfunktionen auf beiden Seiten, erganzt durcheine Konstante.∫

dy

f(y)=

∫dx + C = x + C

Wenn allerdings die Form der Differenzialgleichung etwas komplizierter ist,namlich

y′ = f(y, x)

dann hangt es sehr von der speziellen Form der Funktion f ab, ob sich dieTrennung der Variablen durchfuhren lasst.

A.6.3. Gewohnliche lineare Dgl 2. Ordnung

Bei technischen Schwingungsproblemen entstehen Differenzialgleichungen derForm

y′′ + a1y′ + a0y = f(x)

fur die sich die gesuchte Losung y aus der homogenen Losung yh und der par-tikularen Losung yp zusammensetzt (vgl. Kap. A.6.1).

Homogene Losung Die homogene Losung kann nur eine Funktion sein, de-

ren verschiedene Ableitungen in Linearkombination eine Null produzieren konnen.Das leistet wiederum nur die e-Funktion.

yh = eλx, y′h = λeλx, y′′

h = λ2eλx

→ (λ2 + a1λ + a0)eλx = 0

Die Gleichung kann nur erfullt werden, wenn die Klammer verschwindet, denneλx ist > 0. Aus dieser Bedingung entsteht die charakteristische Gleichung, die

so heißt, weil sie uber den Charakter der Losung entscheidet.

390

A.7. Komplexe Zahlen

λ2 + a1λ + a0 = 0

ist eine quadratische Gleichung, deren Losungen

λ1/2 = −a1

2±√

a1

4− a0

sind. Der Inhalt der Wurzel entscheidet daruber, ob die Losungen λ1/2 reell,komplex oder doppelt sind. Letzteres ist der Fall, wenn der Wurzelinhalt 0 ist.

Bei doppelter Nullstelle muss ein weitere Ansatz (yh = xeλt) hinzu genommen

werden, da die Losung einer Dgl 2. Ordnung zwei unabhangige Funktionen

braucht.

Bei komplexen Zahlen λ1/2 kommt die EULER-Formel (s. Abschnitt A.7) zum

Tragen und fuhrt zu harmonischen Funktionen in der Losung.


Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert -1 ergibt, gibt es nicht unter

den reellen Zahlen. (Das sind die, fur die man sich den Zahlenstrahl vorstellt,

der von −∞ bis +∞ reicht.)

Man kann sich aber vorstellen, dass es eine solche Zahl auf einem zweiten Zah-

lenstrahl gibt, der mit dem reellen Zahlenstrahl nichts zu tun hat, d.h. senkrechtauf dem ersten steht. Man nennt diese Zahl j und sagt, dass sie eine imaginare

Zahl sei.

j2 = −1 bzw. j =√−1

Es bleibt nicht bei dieser einzigen imaginaren Zahl: Jede reelle Zahl, malge-

nommen mit j ist eine imaginare Zahl. Und eine Zahl, die sich additiv aus einer

reellen und eine imaginaren Zahl zusammensetzt, nennt man eine komplexeZahl.

z(A, B) = A + jB, A, B ∈ IR

In dem Koordinatensystem, das aus den beiden erwahnten Zahlenstrahlen ge-bildet wird (das ist die Gaußsche Zahlenebene), ist eine komplexe Zahl ein Punkt.

D.h. man kann die komplexe Zahl z als Ortsvektor in der Zahlenebene inter-pretieren. Die Komponenten dieses Vektors in reeller und imaginarer Richtung

nennt man den Realteil (<) und Imaginarteil (=) von z.

391


0

φ

z

<

=

A

B

Die ’Lange’, nicht der Betrag (!) der komplexen Zahl z berechnet sich nach den

Regeln der Vektorrechnung als

|z| =√

A2 + B2

Andersherum kann man den Realteil und Imaginarteil von z aus der Lange als

<z = |z| cosφ bzw. =z = |z| sinφ

ausrechnen. Damit ist eine weitere Darstellungsform fur komplexe Zahlen ge-

geben, der noch eine dritte zur Seite gestellt wird.

z(A, B) = A + jB = |z| (cosφ + j sinφ) = |z|ejφ

Der letzte Zusammenhang (genannt die Euler-Formel) ist nicht gleich ersicht-

lich. Man braucht zu seiner Herleitung die Taylorreihe der e-Funktion.

f(x) = f(x0) +

∞∑

k=1

f (k)(x)

k!

∣∣∣∣x0

(x− x0)k , f (k) =

dk

dxkf(x)

Das gibt fur ex entwickelt bei x0 = 0

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+

x6

6!+ · · ·

und fur ejx

ej x = 1 +j x

1!− x2

2!− j x3

3!+

x4

4!+

j x5

5!− x6

6!± · · ·

= 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!± · · ·

︸︷︷︸cos x

+j( x

1!− x3

3!+

x5

5!± · · ·

︸︷︷︸sin x

)

(Die letzte Gleichung ist leicht zu verifizieren, wenn man die Taylor-Entwicklungauf f = sin x und f = cosx anwendet.)

Zu jeder komplexen Zahl z gehort eine konjugiert komplexe Zahl z mit der

gleichen Lange |z|, dem gleichen Realteil (<z = <z) und dem negativen Ima-

392


ginarteil (=z = −=z).

z(A, B) = A− jB = |z|(cosφ− j sin φ)

Durch formale Umformungen, die auf dem Tatbestand

cosφ = cos(−φ) und − sin(φ) = sin(−φ)

basieren, gelangt man zu der Aussage

cosφ− j sin φ = cos(−φ) + j sin(−φ) = ej(−φ) = e−jφ

was heißt, dass e−jφ die konjugiert komplexe Zahl zu ejφ ist. Dasselbe kann

man auch in der Gaußschen Zahlenebene ablesen, in der die Zahlen ejφ einen

Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius 1 darstellen.

=

ejφ

<

1

10φ−φ

e−jφ

Komplexe Zahlen in der Form z = |z|ejφ nennt man auch Zeiger.

Rechenregeln Da komplexe Zahlen als Ortsvektoren in der Ebene interpre-tiert werden konnen, sind Addition und Subtraktion selbsterklarend: Sie wer-

den komponentenweise ausgefuhrt.

x = y ± z = <y ±<z + j(=y ±=z)

Bei der Multiplikation horen die Gemeinsamkeiten dann auf: Es gibt kein Ska-

larprodukt und kein Kreuzprodukt, sondern nur das Produkt von Summen.

x = yz = (<y + j=y)(<z + j=z) = <y<z + j(<z=y + <y=z) + j2=y=z

x = <y<z −=y=z + j(<z=y + <y=z)

Ein angenehmes Ergebnis kommt heraus, wenn y = z die konjugiert komplexe

Zahl zu z ist, d.h. <y = <z und =y = −=z.

x = z z = <z<z + =z=z + j 0 = |z|2

Das hilft bei der Division von komplexen Zahlen

393


x =y

z=

y

z

z

z=

yz

|z|2

Division und Multiplikation produzieren in der Darstellung mit Real- und Ima-

ginarteil umfangreiche Ausdrucke. In der Zeiger-Darstellung werden die Ergeb-nisse wesentlich eleganter.

x = yz = |y|ejφy |z|ejφz = |y||z|ej(φy+φz)

x =y

z=|y|ejφy

|z|ejφz=|y||z|e

j(φy−φz)

394

B. Formelsammlung TM1

Vektorrechnung

Definitionen

Skalarprodukt c = a · b = |a||b| cos( 6 a, b)

Kreuzprodukt c = a× b

mit c ⊥ a, b, |c| = |a||b| sin( 6 a, b)

Spatprodukt d = [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b] s.u.

kartesische KoordinatenSkalarprodukt Betrag

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 |a| = √a · a =√

a21 + a2

2 + a23

Kreuzprodukt

a× b = det

∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣=

a2b3 − a3b2

−a1b3 + a3b1

a1b2 − a2b1

Spatprodukt

[a, b, c] = a · (b× c) = det

∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

395


Kraftesysteme

Resultierende Kraft Resultierendes Moment bzgl. C

F =n∑

k=1

F k M c =n∑

k=1

(rk − c)× F k

Fx =n∑

k=1

Fxk Mcx =n∑

i=1

(riy − cy)Fiz − (riz − cz)Fiy

Fy =n∑

k=1

Fyk Mcy =n∑

i=1

(riz − cz)Fix − (rix − cx)Fiz

Fz =n∑

k=1

Fzk Mcz =n∑

i=1

(rix − cx)Fiy − (riy − cy)Fix

Gleichgewicht

F = 0 M c = 0

396

Korper mit Masse

Gewicht Masse

G =∫∫∫

V g dm m =∫∫∫

V ρ(r) dV

Volumen Flache Lange

V =∫∫∫

VdV A =

∫∫a

dA S =∫

Sds

Schwerpunkt Massenmittelpunkt

s = 1G

∫∫∫V r dG s = 1

m∫∫∫

V r dm

Volumen- Flachen- Linien-

schwerpunkt schwerpunkt schwerpunkt

s = 1V

∫∫∫V

r dV s = 1A

∫∫ar dA s = 1

S

∫S

r ds

Gesamtschwerpunkt

s =

∑

i

rsiGi

∑

i

Gi

s =

∑

i

rsimi

∑

i

mi

s =

∑

i

rsiVi

∑

i

Vi

s =

∑

i

rsiAi

∑

i

Ai

s =

∑

i

rsiSi

∑

i

Si

397


Statik von Stabwerken

Schnittkrafte

Nx Qy Qz

Schnittmomente

Mt = Mx My Mz

Dgln bei Streckenlasten

(keine Streckenmomente) : ebener Fall

N ′ = −n(x) Q′y = −qy(x) Q′

z = −qz(x)

M ′t = 0 M ′

y = Qz(x) M ′z = −Qy(x)

M ′′y = −qz(x) M ′′

z = qy(x)

Reibung

Haftreibung Gleitreibung

|H | ≤ µ0N R = −µN sgn(v) sgn(x) =

1 ; x > 00 ; x = 0−1 ; x < 0

Seilreibung, φum : Umschlingungswinkel, immer positiv

Saktiv ≤ Spassiveµ0φum Saktiv = Spassiveµφum

398

KinematikG

egeb

ent

xv

a

t−

v(t

)=

x(t

)a(t

)=

v(t

)x(t

)=∫

v(t

)dt+

Ca(t

)=

v(t

)

v(t

)=∫

a(t

)dt+

C1

x(t

)=∫

v(t

)dt

+C

1t+

C2

x

t(x)

? →x(t

)da

wei

ter

oder

dt

dx

=1 v→

v(x

)

da

wei

ter

−

dx dt

=v→

dx v

=dt

→t+

C1

=∫

dx

v(x

)→

t(x)

da

wei

ter

Dgl:x−

a(x

)=

0→

x(t

)→

v=

x

v

t(v)

? →v(t

)da

wei

ter

oder

dt

dv

=1 a→

a(v

)

da

wei

ter

x(v

)? →

v(x

)da

wei

ter

oder

v=

x(v

)=

dx

dv

dv dt

→a

=v dx

dv

=a(v

)

da

wei

ter

−

dv dt

=a→

dt=

dv

a(v

)

→t+

C1

=∫

dv

a(v

)→

t(v)da

wei

ter

a

t(a)

? →a(t

)da

wei

ter

oder

?

x(a

)? →

a(x

)da

wei

ter

oder

?

v(a

)? →

a(v

)da

wei

ter

oder

?

−

399


Dynamik

Weg Geschwindigkeit Beschleunigung

x v = x a = v = x

Impuls Impulssatz

mx =∑

k Fkx

I = mv = mx mx =∑k

F k my =∑

k Fky

mz =∑

k Fkz

geradlinige Bewegung

Schmierreibung Luftreibung turb. Luftreibung

W = r |v| sgn(v) W = kwv2 sgn(v) W = ζ |v|3 sgn(v)

Leistung kin. Energie Bilanz d. mech. Leistung

L = F (t)x E = 12mx2 E = L

Arbeit Arbeitssatz potenzielle Energie

A12 =t2∫t1

L dt E2 −E1 = A12 U = −(∫

F (x) dx + C)

oder E2 + U2 = E1 + U1 + AR12 ⇔ F (x) = − dUdx

= −U ′

Energieerhaltungssatz

E + U = 0 → E1 + U1 = E2 + U2

400

Ein-Massen-Schwinger (Ein-Freiheitsgrad-Schwinger)

Differenzialgleichung

unged., homogen. gedampft, homogen gedampft, inhomogen

x + cm x = 0 x + d

m x + cm x = 0 x + d

m x + cm x =

F (t)m

Definitionen

Eigenkreisfrequenzω0 Lehrsches KreisfrequenzωEigenfrequenzf0 Dampfungsmaß FrequenzfPeriodendauerT0 PeriodendauerT

ω0 = 2πf0 =√

cm D = d

2m

√c

m

= d2√

mcω = 2πf = ω0

√|1−D2|

T0 = 1f0

T = 1f

homogene Losung Einmassenschwinger

D = 0x(t) = A cosω0t + B sin ω0t = C cos(ω0t− φ)

x(t) = −Aω0 sin ω0t + Bω0 cosω0t = −Cω sin(ω0t− φ)

C =√

A2 + B2, φ = arctan BA

D < 1x(t) = e−Dω0t(A cosωt + B sin ωt) = e−Dω0tC cos(ωt− φ)

x = e−Dω0t((Bω −Dω0A) cosωt− (Aω + Dω0B) sin ωt

)

= −e−Dω0tC(Dω0 cos(ωt− φ) + ω sin(ωt− φ)

)

C =√

A2 + B2, φ = arctan BA

D = 1x(t) = (A + Bt)e−ω0t

x(t) = [−Aω0 + B(1− ω0t]e−ω0t

D > 1x(t) = e−Dω0t (Aeωt + Be−ωt)

x(t) = −e−Dω0t [A(Dω0 − ω)eωt + B(Dω0 + ω)e−ωt]

Logarithmisches Dekrement (bei schwacher Dampfung)

Λ = lnxn+1xn

= 2πD√1−D2

→ D = −Λ2π

1√1 + Λ2/(4π2)

xn, xn+1 : 2 im Periodenabstand aufeinander folgende Maximalausschlage

401


Periodisch angeregter Ein-Massen-Schwinger

Erregerkraft Erregeramplitude Erregerkreisfrequenz

F (t) = F cosΩt F Ω

Eingeschwungene Schwingungsantwort

x(t) = x cos(Ωt− φ) x = x0 V (ζ) x0 = Fc

statische Auslenkung

Vergroßerungsfunktion/Phasengang (ζ = Ωω0

)

D = 0 D > 0V = 1

|1−ζ2| V = 1√(1−ζ2)2+(2Dζ)2

φ = 180〈ζ − 1〉0 φ = arctan 2Dζ1−ζ2

402

Bewegung einer Punktmasse

Beschreibung der Bahnkurve

Ort Geschwindigkeit

r = xex + yey + zez v = r, v = |v|

Tangenteneinheitsvektor Bogenlange

et = v|v| s(t) =

t∫0

√x2(τ) + y2(τ) + z2(τ) dτ

Normaleneinheitsvektor Bi-Normalenvektor

en =(et)

′

|(et)′| = et

|et| eb = et × en

Krummung Krummungsradius

κ = |(et)′| ρ = 1

κ

Beschleunigung

a = v = vet + vet = vet + v|et|en

Kreisbahn (Zentripetalbeschleunigung, Richtung Mitte)

az = rφ2 = rω2 = v2

r

403


404

C. Formelsammlung TM2

Starrkorperbewegung

Geschwindigkeitsfeld Impuls

v(r) = r = r0 + ω × (r − r0) I =∫∫∫

V v(r) ρ(r) dV = ms

Drall

bzgl. S (s), Starrkorper bzgl. C (rc), allgemein

Ds = Θω Dc =∫∫∫

V (r − rc)× v(r) ρ(r) dVΘ : Massentragheitsmatrix, s.diese

Impulssatz Drallsatz

I = ms = F Ds = Θω + ω × (Θω) = M s

F : resultierende Kraft M s : resultierendes Moment

ω : Drehgeschwindigkeitsvektor

Drallsatz in korperfesten Hauptachsen - Eulergleichungen

Θ1ω1 = (Θ2 −Θ3)ω2ω3 + M1

Θ2ω2 = (Θ3 −Θ1)ω1ω3 + M2

Θ3ω3 = (Θ1 −Θ2)ω1ω2 + M3

405


Massentragheitsmomente

Θ =

Θxx Θxy Θxz

Θyx Θyy Θyz

Θzx Θzy Θzz

Θxx =∫∫∫

V (y2 + z2)ρ dVΘyy =

∫∫∫V

(x2 + z2)ρ dVΘzz =

∫∫∫V (x2 + y2)ρ dV

Θxy = Θyx = −∫∫∫

V xyρ dVΘxz = Θzx = −

∫∫∫V

xzρ dVΘyz = Θzy = −

∫∫∫V yzρ dV

Steineranteil

Dc = (Θ + ΘSt)ω = M c Θ

St = m

a2y + a2

z −axay −axaz

a2x + a2

z −ayaz

sym. a2x + a2

y

x =

xyz

= r − s a =

ax

ay

az

= rc − s

s : Schwerpunkt rc : Bezugspunkt

Spezielle KorperVollzylinder (Radius R) Quader (Breite b, Hohe h)

Θ = 12mR2 Θ = 1

12m(b2 + h2)

Hohlzylinder (Radien Ra, Ri) Stab (Lange l)

Θ = 12m(R2

a + R2i ) Θ = 1

12ml2

Dunnwandiger Zylinder (Radius R) Stab bzgl. Stabende

Θ = mR2 Θ = 112ml2 + m(

l

2)2

︸︷︷︸Steiner, s.o.

= 13ml2

Kegel (Radius R, Hohe H) Kugel (Radius R)

Θ = 310mR2 Θ = 2

5mR2

406

Koordinatentransformation

Drehung um eine Koordinatenachse um den Winkel α in positiver Richtung

Anm.: Wenn die Drehung nicht um die z-Achse erfolgt, wie im Folgenden

vorausgesetzt, mussen die Indizes sinngemaß getauscht werden.

z.B. Drehung um x: Tausche xx→ yy, yy → zz, xy → yzz.B. Drehung um y: Tausche xx→ zz, yy → xx, xy → xz

Transformationsgleichungen (γ = σ oder ε oder θ oder I)

γxx = 12 (γxx + γyy) + 1

2 (γxx − γyy) cos 2α + γxy sin 2α

γyy = 12 (γxx + γyy)− 1

2 (γxx − γyy) cos 2α− γxy sin 2α

γxy = − 12 (γxx − γyy) sin 2α + γxy cos 2α

Hauptwerte Hauptachsenrichtung

γ1,2 = 12 (γxx + γyy)±

√14 (γxx − γyy)2 + γ2

xy α = 12 arctan

2γxyγxx − γyy

Maximalwert von γxy (nur interessant bei Spannungen)

wird erreicht, wenn man die Hauptachsen 45 weiterdreht

Maximale Schubspannung Zugehorige Normalspannung

aus Hauptspannungen:

τmax = σxy max = ± 12 (σ1 − σ2) σm = 1

2 (σ1 + σ2)

aus allgemeinen Spannungen:

τmax = ± 12

√(σxx − σyy)2 + 4σ2

xy σm = 12 (σxx + σyy)

407


Festigkeitslehre

Symmetrie (Boltzmann-Axiom)

σxy = σyx σxz = σzx σyz = σzy

Gleichgewichtsbedingung

∂σxx∂x

+∂σxy

∂y+ ∂σxz

∂z+ kx = 0

∂σyx

∂x+

∂σyy

∂y+

∂σyz

∂z+ ky = 0

∂σzx∂x

+∂σzy

∂y+ ∂σzz

∂z+ kz = 0

Schnittgroßen bei Balken und Staben

N =∫

A σxx dA Mx =∫

A(y σxz − z σxy) dAQy =

∫A

σxy dA My =∫

Az σxx dA

Qz =∫

A σxz dA Mz = −∫

A y σxx dA

Verschiebungsfeld u =

u(x, y, z)v(x, y, z)w(x, y, z)

Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen

ε =

εxx εxy εxz

εyy εyz

sym. εzz

=

∂u∂x

12 (∂u

∂y+ ∂v

∂x) 1

2 (∂u∂z

+ ∂w∂x

)

∂v∂y

12 (∂v

∂z+ ∂w

∂y)

sym. ∂w∂z

408

Vergleichsspannungen

Sprode Werkstoffe

max. Zugspannung σv = 〈max(σ1, σ2, σ3)〉1 〈x〉n =

xn ; x > 0

0 ; x ≤ 0

Duktile Werkstoffe

max. Schubspannung σv = 2|τmax|

Gestaltanderungs-

arbeitshypotheseσv =

√12

[(σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2

]

(fur Balken) → σv =√

σ2xx + 3(σ2

xy + σ2xz)

409


Hook’sches Stoffgesetz (isotherm)

εxx = 1E [σxx − ν(σyy + σzz)] εxy = 1

2Gσxy

εyy = 1E [σyy − ν(σzz + σxx)] εxz = 1

2Gσxz

εzz = 1E [σzz − ν(σxx + σyy)] εyz = 1

2Gσyz

Matrizenform: ε = 12G [σ − ν

1 + ν s1], s = σxx + σyy + σzz , 1 =[

11

1

]

σxx = 2Gεxx + λ(εxx + εyy + εzz) σxy = 2Gεxy

σyy = 2Gεyy + λ(εxx + εyy + εzz) σxz = 2Gεxz

σzz = 2Gεzz + λ(εxx + εyy + εzz) σzy = 2Gεzy

Matrizenform: σ = 2G[ε + ν1− 2ν e1], e = εxx + εyy + εzz, 1 =

[1

11

]

Materialkonstanten

2G = E1 + ν λ = 2Gν

1− 2ν 3K = E1− 2ν

410

Flachentragheitsmomente

(Ursprung des KOS im Flachenschwerpunkt)

Iyy =∫

A z2 dA Izz =∫

A y2 dA

Deviationsmoment

Iyz = Izy = −∫

A yz dA 0, wenn y oder z Symmetrielinie

Einfache Geometrien

Rechteck (B ×H) :

Iyy = 112BH3 Izz = 1

12HB3 Iyz = 0

Rechtwinkliges Dreieck (B ×H) :

Iyy = 136BH3 Izz = 1

36HB3 Iyz = 172B2H2

Kreis (R = D/2) :Iyy = π

4 R4 = π64D4 Izz = Iyy Iyz = 0

Zusammengesetzte Querschnitte: I∗∗ =∑

i(Ieigen∗∗i

+ ISteiner∗∗i

)

Ai : Teilflache

Ieigen∗∗ii

: Eigenanteil, bezogen auf Teilschwerpunkt Si

Si = (ayi, azi) : Teilschwerpunkt, gemessen vom Gesamtschwerpunkt

ISteineryyi

= Aia2zi

ISteinerzzi

= Aia2yi

ISteineryzi

= −Aiayiazi

411


Balkenbiegung (Bernoulli-Kinematik, kleine Verdrehungen)

Verschiebungsvektor

u(x, y, z) =

u0(x)− v′0(x)y − w′0(x)z

v0(x)w0(x)

Normalverformung

u′(x) =N(x)EA(x)

u′′ +A′(x)A(x)

u′ = − n(x)EA(x)

Schiefe BiegungDifferenzialgleichungen

w′′0 = − IzzMy − IzyMz

E(IyyIzz − I2zy)

v′′0 =IyyMz − IzyMy

E(IyyIzz − I2zy)

Normalspannungsverteilung

σxx = E(u′ − v′′y − w′′z) = NA −

IyyMz − IzyMy

IyyIzz − I2zy

y +IzzMy − IzyMz

IyyIzz − I2zy

z

bei HauptachsenEntkopplung der Differenzialgleichungen

EIyyw′′ = −My EIzzv′′ = Mz


σxx = NA −

MzIzz

y +My

Iyyz

412

Ebene Balkensysteme

Ebene Biegung (Iyz = 0)Mz = Qy = qy = 0 My = Qz = qz = 0


konstante Biegefestigkeit EIyy bzw. EIzz = EI = konst

EIw′′′′ = qz EIv′′′′ = −qy

EIw′′′ = −Qz EIv′′′ = Qy


σxx = NA +

My

Iyyz σxx = N

A −MzIzz

y

413


Auflager

feste Einspannung gelenkige Lagerung

N =?Q =?M =?

u = 0w = 0w′ = 0

N =?Q =?M = 0

u = 0w = 0w′ =?

Gleitlager langs Gleitlager quer

N = 0Q =?M = 0

u =?w = 0w′ =?

N =?Q = 0M = 0

u = 0w =?w′ =?

Gleitlager schrag Buchse

αN =−Q tanα

M = 0

w =u tanα

w′ =?

N = 0Q =?M =?

u =?w = 0w′ = 0

Parallellager schrag Parallellager quer

α

N =−Q tanα

M =?

w =u tanα

w′ = 0

N =?Q = 0M =?

u = 0w =?w′ = 0

Parallellager 2fach schrag Parallellager 2fach

α

N = 0

Q =?

M =?

w =u tanα

w′ = 0

N = 0Q = 0M =?

u =?w =?w′ = 0

freies Ende belastetes freies Ende

N = 0Q = 0M = 0

u =?w =?w′ =? K

Z

Ma

N = ZQ = K

M = Ma

u =?w =?w′ =?

414

Elastische Kopplung / Verbindungselemente(Fopplsystematik)

Transversalfeder Drehfeder

xF

c

erganze Q um :− Fc〈x− xc〉0

Fc = c w(xF ) xc∗

c∗ erganze M um :Mc〈x − xc∗〉0

Mc = c∗ w′(xc∗)

Gelenk Querkraftgelenk

xQ

erganze w um :4w〈x − xQ〉0

Q(xQ) = 0xG

erganze w′ um :4φ〈x− xG〉0

M(xG) = 0

Einzelkraft Einzelmoment

xF

Ferganze Q um :

F 〈x− xF 〉0xM

Ma

erganze M um :Ma〈x− xM 〉0

415


Tabelle 5a, Fall 1/2, Dubbel, Taschenbuch des Maschinenbaus

Belastungsfall Durchbiegung

Biegelinie Neigungswinkel

αA

fm

A B

F

αBf

a b

l

f = F l3

3EIa2b2

l4

a > b :

xm =√

13(l2 − b2)

fm = F l3

9EIbl

√13

(1− b2

l2

)3

a < b :

xm = l −√

13(l2 − a2)

fm = F l3

9EIal

√13

(1− a2

l2

)3

2 beinhaltet Fall 1 fur a = b = l2

w = F l3

6EI

(bl

(1− (b

l)2)

xl

+⟨

xl− a

l

⟩3

− bl(xl)3

)αA = Fab

6EI

(1 + b

l

)

αB = Fab6EI

(1 + a

l

)

Def: 〈x〉n =

xn fur x > 0

0 sonst

416

Tabelle 5a, Fall 3, Dubbel, Taschenbuch des Maschinenbaus



a b

A

αB

fm f

M

αA B

l

f = w(a)

= M6EI

al(a2 + 3b2 − l2)

a > l2

xm = l√

13 − (b

l)2

fm = −Ml2

3EI

(13 − (b

l)2

) 32

a < l2

xm = l√

13 − (a

l )2

fm = −Ml2

3EI

(13 − (a

l )2

) 32

3

w = Ml2

6EI

((xl)3 − 3

⟨xl− a

l

⟩2

−(1− 3(b

l)2)

xl

)αA = −Ml

6EI

(1− 3(b

l)2)

αB = Ml6EI (1− 3(a

l2)

417


Tabelle 5a, Fall 4-6, Dubbel, Taschenbuch des Maschinenbaus



αA

fm

A B

αB

qa

qb

xm = (12 + 7

120qb − qa

3qb + 2qa)l

fm =(qa + qb)l

4

153EI

5 beinhaltet auf Fall 4 fur qa = qb

w = l4

360EI

(3(qb − qa)(x

l)5

+ 15qa(xl)4 − 10(qb + 2qa)(x

l)3

+ (8qa + 7qb)xl

)

αA =(8qa + 7qb)l

3

360EI

αB =(7qa + 8qb)l

3

360EI

F

l

fα f = F l3

3EI

6

w = F l3

6EI

(− (x

l)3 + 3(x

l)2)

α = F l2

2EI

418




l

Mb

αf

f = w(l) = Mbl2

2EI

7

w = Mb2EI x2 α = Mbl

EI

fα

qb

qa

A B

f = l4

120EI (11qb + 4qa)

8beinhaltet Falle 9 und 10

fur qa = 0 bzw. qb = 0

w = l4

120EI

((qb − qa)(x

l)5

+ 5qa(xl)4 − 10(qb + qa)(x

l)3

+ 10(2qb + qa)(xl)2)

α = l3

24EI (3qb + qa)

419


Torsion von Kreisquerschnitten

Reine Torsion (konstanter Querschnitt A)

Drillung Schubspannung

θ′ = D = konst τ =√

σ2xy + σ2

xz = GDr

Technische Torsion(A = A(x), θ = θ(x)

)

Torsionmoment Differenzialgleichungen

MT =∫

A τr dA = GDIT GIT (x) θ′(x) = MT (x)

Schubspannung maximale Schubspannung

τ = G θ′(x)r =MT (x)IT (x)

r τmax =MT (x)IT (x)

R(x)

Torsionstragheitsmoment

Vollkreis dickwandiges Rohr dunnwandiges Rohr

IT = 12πR4 IT = 1

2π(R4a −R4

i ) IT = 2πR3δ

420

Torsion dunnwandiger Querschnitte

Geschlossene Querschnitte

Drillung Torsionstragheitsmoment

2. Bredtsche Formel

IT =4A2

m∮ds

h(s)

θ′ = D = MTGIT

= konst

Am : eingeschlossene Flache

s : Konturkoordinate

h(s) : Wandstarke

Schubspannung Wolbfunktion

1. Bredtsche Formel

τxs = MT

2Amh(s)ux(s) = ux0 + MT

G

(1

2Am

s∫0

dsh(s)

− 2IT

A(s))

A(s) : bis s uberstrichene Flache

Offene Querschnitte, n Teilrechtecke

Schubfluss Randschubspannung

t = τxs h(s) τ0i = MTIT

hi, τmax0 = MT

IThmax

Torsionstragheitsmoment Wolbfunktion

IT = 13∑n

i=1 Lih3i ux(s) = ux0 − 2 MT

GITA(s) = ux0 − 2θ′A(s)

421


422

D. Formelsammlung TM3

Bewegung einer Punktmasse

Beschreibung der Bahnkurve

Ort Geschwindigkeit

r = xex + yey + zez v = r, v = |v|

Tangenteneinheitsvektor Bogenlange

et = v|v| s(t) =

t∫0

√x2(τ) + y2(τ) + z2(τ) dτ

Normaleneinheitsvektor Bi-Normalenvektor

en =(et)

′

|(et)′| = et

|et| eb = et × en

Krummung Krummungsradius

κ = |(et)′| ρ = 1

κ

Beschleunigung

a = v = vet + vet = vet + v|et|en

Kreisbahn (Zentripetalbeschleunigung, Richtung Mitte)

az = rφ2 = rω2 = v2

r

423


Mitbewegte Bezugssysteme

Bezeichnungen

P betrachteter Punkt

(x, y, z) raumfestes Koordinatensystem

(ξ, η, ζ) mitbewegtes Koordinatensystem

r0 Ortsvektor des mitbewegten Koordinatenursprungs

v0 = r0 Geschwindigkeit und

a0 = v0 = r0 Beschleunigung davon

Ω Drehvektor von (ξ, η, ζ) gegenuber (x, y, z)

Ω Drehbeschleunigungsvektor

r∗ Ortsvektor von P in (ξ, η, ζ) (Relativvektor)

v∗ = drr∗

dtRelativgeschwindigkeit

a∗ = drv∗

dt=

d2

rr∗

dt2Relativbeschleunigung

dr( )

dtrelative Zeitableitung, so als ware (ξ, η, ζ) raumfest

Geschwindigkeit

v = vf + v∗ Absolutgeschwindigkeit

vf = v0 + Ω× r∗ Fuhrungsgeschwindigkeit

alles zusammen: v = r0 + Ω× r∗ + drr∗

dt

Beschleunigung

a = af + ac + a∗ Absolutbeschleunigung

af = a0 + Ω× r∗ + Ω× (Ω× r∗)Fuhrungsbeschleunigung

ac = 2Ω× v∗ Coriolis-Beschleunigung

alles zusammen: a = r0 + Ω× r∗ + Ω× (Ω× r∗) + 2Ω× drr∗

dt+

d2

rr∗

dt2

Nutzliche Kreuzprodukte bei kartesischen Systemen

y z

x eξ × eη = eζ , eη × eζ = eξ, eζ × eξ = eη

eη × eξ = −eζ , eζ × eη = −eξ, eξ × eζ = −eη η ζ

ξ

424

Stabilitat von Gleichgewichtslagen

Bewegungsgleichung

Θφ =∑

Mi mx =∑

Fi

Verallgemeinerte Bewegungsgleichung

q = Q(q) q : generalisierte Koordinate x oder φ

Q : Rechte Seite (generalisierte Kraft)

Gleichgewichtslage q

Q(q) = 0

Stabilitatsbedingung

Q′(q) =dQdq

∣∣∣q=q

< 0

Sonderfall konservatives System

U =∑

i mig4hi(q) +∑

k12ck4l2k +

∑r

12 c∗r4φ2

r

ck

c∗k

4l

4φ

U : potenzielle Energie

4h = h(q)− h0 : Hohengewinn

h0z.B.= h(q = 0) : Bezugshohe

ck, c∗r : Federsteifigkeiten

4l = l(q)− l0 : Langenanderung

l0 : kraftfreie Federlange

4φ = φ(q) − φ0 : Verdrehung

φ0 : kraftfreie Federposition

Gleichgewichtslage q

U ′(q) =dU(q)

dq

∣∣∣∣q=q

= 0

Stabilitatsbedingung

U ′′(q) =d2U(q)

dq2

∣∣∣∣q=q

> 0

Linearisierte Bewegungsgleichung

4q = Q′(q)4q →4q +(−Q′(q)︸︷︷︸

ω20

)4q = 0

4q = q − q : kleine Abweichnung von der Gleichgewichtslage

ω0 : Eigenkreisfrequenz der linearisierten Bewegung

425


Massentragheitsmomente

Θ =

Θxx Θxy Θxz

Θyx Θyy Θyz

Θzx Θzy Θzz

Θxx =∫∫∫

V (y2 + z2)ρ dVΘyy =

∫∫∫V

(x2 + z2)ρ dVΘzz =

∫∫∫V (x2 + y2)ρ dV

Θxy = Θyx = −∫∫∫

V xyρ dVΘxz = Θzx = −

∫∫∫V

xzρ dVΘyz = Θzy = −

∫∫∫V yzρ dV

Steineranteil

Dc = (Θ + ΘSt)ω = M c Θ

St = m

a2y + a2

z −axay −axaz

a2x + a2

z −ayaz

sym. a2x + a2

y

x =

xyz

= r − s a =

ax

ay

az

= rc − s

s : Schwerpunkt rc : Bezugspunkt

Spezielle KorperVollzylinder (Radius R) Quader (Breite b, Hohe h)

Θ = 12mR2 Θ = 1

12m(b2 + h2)

Hohlzylinder (Radien Ra, Ri) Stab (Lange l)

Θ = 12m(R2

a + R2i ) Θ = 1

12ml2

Dunnwandiger Zylinder (Radius R) Stab bzgl. Stabende

Θ = mR2 Θ = 112ml2 + m(

l

2)2

︸︷︷︸Steiner, s.o.

= 13ml2

Kegel (Radius R, Hohe H) Kugel (Radius R)

Θ = 310mR2 Θ = 2

5mR2

426

Koordinatentransformation

Drehung um eine Koordinatenachse um den Winkel α in positiver Richtung

Anm.: Wenn die Drehung nicht um die z-Achse erfolgt, wie im Folgenden

vorausgesetzt, mussen die Indizes sinngemaß getauscht werden.

z.B. Drehung um x: Tausche xx→ yy, yy → zz, xy → yzz.B. Drehung um y: Tausche xx→ zz, yy → xx, xy → xz

Transformationsgleichungen (γ = σ oder ε oder θ oder I)

γxx = 12 (γxx + γyy) + 1

2 (γxx − γyy) cos 2α + γxy sin 2α

γyy = 12 (γxx + γyy)− 1

2 (γxx − γyy) cos 2α− γxy sin 2α

γxy = − 12 (γxx − γyy) sin 2α + γxy cos 2α

Hauptwerte Hauptachsenrichtung

γ1,2 = 12 (γxx + γyy)±

√14 (γxx − γyy)2 + γ2

xy α = 12 arctan

2γxyγxx − γyy

Maximalwert von γxy (nur interessant bei Spannungen)

wird erreicht, wenn man die Hauptachsen 45 weiterdreht

Maximale Schubspannung Zugehorige Normalspannung

aus Hauptspannungen:

τmax = σxy max = ± 12 (σ1 − σ2) σm = 1

2 (σ1 + σ2)

aus allgemeinen Spannungen:

τmax = ± 12

√(σxx − σyy)2 + 4σ2

xy σm = 12 (σxx + σyy)

427


Starrkorperbewegung

Geschwindigkeitsfeld Impuls

v(r) = r = r0 + ω × (r − r0) I =∫∫∫

V v(r) ρ(r) dV = ms

Drall

bzgl. S (s), Starrkorper bzgl. C (rc), allgemein

Ds = Θω Dc =∫∫∫

V (r − rc)× v(r) ρ(r) dVΘ : Massentragheitsmatrix, s.diese


I = ms = F Ds = Θω + ω × (Θω) = M s

F : resultierende Kraft M s : resultierendes Moment

ω : Drehgeschwindigkeitsvektor

Drallsatz in korperfesten Hauptachsen - Eulergleichungen

Θ1ω1 = (Θ2 −Θ3)ω2ω3 + M1

Θ2ω2 = (Θ3 −Θ1)ω1ω3 + M2

Θ3ω3 = (Θ1 −Θ2)ω1ω2 + M3

428

Energiesatz bei Starrkorpern

Kinetische Energie E = Etr + Erot

Translationsenergie Rotationsenergie

Etr =∑

i12mivi · vi =

∑i12miv

2i Erot =

∑i12ωi · (Θiωi)

mi : Masse Teilkorper i Θi : Massentragheitsmatrix ivi : Geschwindigkeit Schwerpunkt i ωi : Drehvektor i

bei ebenen Problemen

Etr =∑

i12miv

2i Erot =

∑i12Θiω

2i

Potenzielle Energie U = Ugrav + Ufeder

pot. Energie aus Hohenunterschieden Federenergie

Ugrav =∑

i mig4hi Ufeder =∑

k12ck4l2k +

∑r

12c∗r4φ2

r

4h = h− h0 : Hohengewinn 4l = l − l0 : Langenanderung

l0 : kraftfreie Lange

4φ = φ− φ0 : Verdrehung

φ0 : kraftfreie Winkellage

c, c∗ : Federsteifigkeiten

Energiesatz (konservative Systeme)

E + U = konst → E0 + U0 = E1 + U1

0, 1 : bestimmte Systemzustande

429


Stoß

Stoß & Auflagerstoß Stoßhypothese

S = limτ→0

∫τ F Stoß(t) dt ε = − cr1n − cr2n

vr1n − vr2n

A = limτ→0

∫τF Auflager(t) dt ε ∈ [0, 1] : Stoßziffer

τ : Stoßdauer crn, vrn : Stoßstellennormalgeschwindigkeit

S = Sen + Tet nach und vor Stoß

1, 2 : Index Korper

Gleiten : T = −µS sgn(c1t − c2t) en : Stoßflachennormale bzgl. m1

Haften : |T | < µ0S, c1t = c2t et : Tangenteneinheitsvektor


m1(cs1 − vs1) = −S −A1 Θ1(ω1 − ω1) = −(r − x1)× S

−(a1 − x1)×A1

m2(cs2 − vs2) = S + A2 Θ2(ω2 − ω2) = (r − x2)× S

+(a2 − x2)×A2

cs, vs : Schwerpunktsgeschwindigkeit Θ : Massentragheitsmatrix

ω, ω : Drehgeschwindigkeitsvektor x : Schwerpunkt, r : Stoßstelle

nach und vor dem Stoß a : Auflager

Sonderfall feste Wand : cr2n = vr2n = 0 → c1n = −εv1n

430

Hook’sches Stoffgesetz (isotherm)

εxx = 1E [σxx − ν(σyy + σzz)] εxy = 1

2Gσxy

εyy = 1E [σyy − ν(σzz + σxx)] εxz = 1

2Gσxz

εzz = 1E [σzz − ν(σxx + σyy)] εyz = 1

2Gσyz

Matrizenform: ε = 12G [σ − ν

1 + ν s1], s = σxx + σyy + σzz , 1 =[

11

1

]

σxx = 2Gεxx + λ(εxx + εyy + εzz) σxy = 2Gεxy

σyy = 2Gεyy + λ(εxx + εyy + εzz) σxz = 2Gεxz

σzz = 2Gεzz + λ(εxx + εyy + εzz) σzy = 2Gεzy

Matrizenform: σ = 2G[ε + ν1− 2ν e1], e = εxx + εyy + εzz, 1 =

[1

11

]

Materialkonstanten

2G = E1 + ν λ = 2Gν

1− 2ν 3K = E1− 2ν

431


Balkenbiegung (Bernoulli-Kinematik, kleine Verdrehungen)

Verschiebungsvektor

u(x, y, z) =

u0(x)− v′0(x)y − w′0(x)z

v0(x)w0(x)

Normalverformung

u′(x) =N(x)EA(x)

u′′ +A′(x)A(x)

u′ = − n(x)EA(x)

Schiefe BiegungDifferenzialgleichungen

w′′0 = − IzzMy − IzyMz

E(IyyIzz − I2zy)

v′′0 =IyyMz − IzyMy

E(IyyIzz − I2zy)


σxx = E(u′ − v′′y − w′′z) = NA −

IyyMz − IzyMy

IyyIzz − I2zy

y +IzzMy − IzyMz

IyyIzz − I2zy

z

bei HauptachsenEntkopplung der Differenzialgleichungen



σxx = NA −

MzIzz

y +My

Iyyz

432

Fopplsystematik bei Durchlauftragern

Fopplklammer

〈x− a〉n =

(x− a)n ; x > a

0 ; sonst

∫〈x− a〉n =

〈x− a〉n+1

n + 1

Einzelheit Sprung

F

xF

EIw′′′ = . . . + F 〈x− xF 〉0 + . . .

xM

Ma

EIw′′ = . . . + Ma〈x− xM 〉0 + . . .

xG

4φ

EIw′ = . . . + EI4φ〈x − xG〉0 + . . .

xw

4w

EIw = . . . + EI4w〈x − xw〉0 + . . .

433


Tabelle 5a, Fall 1/2, Dubbel, Taschenbuch des Maschinenbaus



αA

fm

A B

F

αBf

a b

l

f = F l3

3EIa2b2

l4

a > b :

xm =√

13(l2 − b2)

fm = F l3

9EIbl

√13

(1− b2

l2

)3

a < b :

xm = l −√

13(l2 − a2)

fm = F l3

9EIal

√13

(1− a2

l2

)3

2 beinhaltet Fall 1 fur a = b = l2

w = F l3

6EI

(bl

(1− (b

l)2)

xl

+⟨

xl− a

l

⟩3

− bl(xl)3

)αA = Fab

6EI

(1 + b

l

)

αB = Fab6EI

(1 + a

l

)

Def: 〈x〉n =

xn fur x > 0

0 sonst

434

Tabelle 5a, Fall 3, Dubbel, Taschenbuch des Maschinenbaus



a b

A

αB

fm f

M

αA B

l

f = w(a)

= M6EI

al(a2 + 3b2 − l2)

a > l2

xm = l√

13 − (b

l)2

fm = −Ml2

3EI

(13 − (b

l)2

) 32

a < l2

xm = l√

13 − (a

l )2

fm = −Ml2

3EI

(13 − (a

l )2

) 32

3

w = Ml2

6EI

((xl)3 − 3

⟨xl− a

l

⟩2

−(1− 3(b

l)2)

xl

)αA = −Ml

6EI

(1− 3(b

l)2)

αB = Ml6EI (1− 3(a

l2)

435





αA

fm

A B

αB

qa

qb

xm = (12 + 7

120qb − qa

3qb + 2qa)l

fm =(qa + qb)l

4

153EI

5 beinhaltet auf Fall 4 fur qa = qb

w = l4

360EI

(3(qb − qa)(x

l)5

+ 15qa(xl)4 − 10(qb + 2qa)(x

l)3

+ (8qa + 7qb)xl

)

αA =(8qa + 7qb)l

3

360EI

αB =(7qa + 8qb)l

3

360EI

F

l

fα f = F l3

3EI

6

w = F l3

6EI

(− (x

l)3 + 3(x

l)2)

α = F l2

2EI

436




l

Mb

αf

f = w(l) = Mbl2

2EI

7

w = Mb2EI x2 α = Mbl

EI

fα

qb

qa

A B

f = l4

120EI (11qb + 4qa)

8beinhaltet Falle 9 und 10

fur qa = 0 bzw. qb = 0

w = l4

120EI

((qb − qa)(x

l)5

+ 5qa(xl)4 − 10(qb + qa)(x

l)3

+ 10(2qb + qa)(xl)2)

α = l3

24EI (3qb + qa)

437


Schubspannung aus Querkraft

Voraussetzungen:

keine Streckenlasten q(x)Querschnitt symmetrisch zu z

geringe Konturanderungen : dbdx 1, aber Sprunge in b erlaubt

Schubspannung Statisches Moment der Restflache

τ =QS(z)

Iyyb(z)S(z) = −

z∫

zmin

b(ζ)ζ dζ =

zmax∫

z

b(ζ)ζ dζ

Q : Querkraft

Iyy : Flachentragheitsmoment

b : ortsabhangige Breite

S : Schwerpunkt, Balkenachse

y

z, ζ

b(ζ)

S

zmax

zmin

Schubfluss : T = b(z)τxz(z)

d unnwandige Querschnitte

τxξ(ξi) =QS(ξi)

Iyyb(ξi)

S(ξi) = S0i −ξi∫

0

b(ξ)z(ξ) dξ

A : S03 = S1(A) + S2(A)

B : S05 + S05 = S3(B) b(ξ5)

y

z

ξ1

ξ2

ξ3

ξ5

ξ5

A

B

S = 0

S = 0

S = 0 S = 0

438

Prinzip der virtuellen Verschiebung

StarrkorpersystemeDas Starrkorpersystem ist kinematisch verschieblich,

z.B. durch Wegnahme einer Auflagerbedingung

F i : eingepragte Einzelkraft

δAa =∑

i F i · δri +∑

k Mk · δφk!= 0 ri : Kraftangriffspunkt

Mk : eingepragtes Einzelmoment

virtuelle Arbeit der außeren Krafte δri : virtuelle Verschiebung

δφk : virtuelle Verdrehung

Virtuelle Verschiebungen mussen mit den Auflagerbedingungen vertraglich sein.

Virtuelle Verschiebungen aufgrund von

virtuellen Verdrehungen sind tangential.

l

δφ

δu = lδφ

Deformierbare Balkensysteme

δAa = δAi = δW δAi : virtuelle Arbeitder

inneren Krafte

δAi = δW W : Formanderungsenergie

W =∑

i

∫li

e(x) dx e : spez. Formanderungsenergie

e = 12

(EAε20 + GIT D2 + GASγ2 + EIκ2

)

= 12

(Nε0 + MT D + Qγ + Mκ

)

= 12

(N2

EA +M2

TGIT

+Q2

GAS+ M2

EI

)←

Arbeitssatz der StatikAa : Arbeit der außeren Krafte

Aa = W −W0 W : Formanderungsenergie (s.o.)

W0 : im System enthaltene Form-

i.d.R. W0 = 0 anderungsenergie auf Grund

von Vorspannungen

439


Prinzip der virtuellen Krafte

1. Satz von Castigliano

uk = ∂∂Fk

W ∗(F1, F2, . . . , Fk , . . . , Fn)

Fi : Einzelkrafte, i = 1, nuk : Verschiebung Kraftangriffs-

punkt von Fk in Richtung

in Richtung von Fk

W ∗ : Erganzungsenergie

2. Satz von Castigliano

Fk = ∂∂uk

W (u1, u2, . . . , uk, . . . , un)

ui : Verschiebung der Kraft-

angriffspunkte von Fi

in Kraftrichtung, i = 1, nFk : Einzelkraft

W : Formanderungsenergie

Die beiden Satze gelten auch fur generalisierte Kraft- und Verschie-

bungsgroßen, d.h., wenn Fk eine Moment ist, ist uk Drehwinkel.

Lineare Elastizitat: W ∗ = WStabwerke aus n Staben der Lange li

W ∗ = W = 12

∑i

∫li

(N2

iEAi

+Q2

ziGAsi

+Q2

yi

GAsi+

M2yi

EIyy i+

M2zi

EIzz i+

M2Ti

GIT i

)dx

Methode der Einflusszahlen Erganze sinngemaß fur andere Schnitt-

großen, wenn notig (N , Qy, Qz, . . . s.o.)

ui = αqi +∑

αikFk αqi =∑

j

∫ll

MqM i

EIjdx

Fk : generalisierte Kraft αik = αki =∑

j

∫lj

MkM iEIj

dx

ui : generalisierte Verschiebung Mk =∂Mk(Fk)

∂Fk(theoretisch)

q : Streckenlast →Mq praktisch: Momentenverlauf zur

Kraftgroße ′1′

440

Euler Knickfalle

Fall Knicklast Pkrit Knickform w(x)

Pa) (πl

)2

EI w sin(π x

l

)

Pb) (

4.49l

)2

EI w[1− x

l + 14.49 sin(4.49x

l )− cos(4.49xl )]

Pc) (

π2l

)2

EI w cos(

πx2l − 1

)

Pd) (

2πl

)2

EI w cos(

2πxl − 1

)

w : Maximalamplitude, unbestimmt

441

Literaturverzeichnis

Werte der Integrales∫

0

P (x)K(x) dx

K(x)→

P (x) ↓k k

s s

k

s

k0 ks

1 p p

s

skp 12skp 1

2s(k0 + ks)p

2

s

p 12skp 1

3skp 16s(k0 + 2ks)p

3 p

s

12skp 1

6skp 16s(2k0 + ks)p

4

s

p0 ps12s(p0 + ps)k

16s(p0 + 2ps)k

16s[p0(2k0 + ks)+

+ps(k0 + 2ks)]

5

pm

s 23spmk 1

3spmk 13spm(k0 + ks)

6 p

s

23spk 1

4spk 112sp(5k0 + 3ks)

7 p

s

23spk 5

12spk 112sp(3k0 + 5ks)

8 p

s

13spk 1

12spk 112s1p(3k0 + ks)

9

s

p 13spk 1

4spk 112sp(k0 + 3ks)

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442


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449


450

Index

aquivalent, 25

Ubergangsbedingung, 311

1. Satz von Castigliano, 341

2. Satz von Castigliano, 342

Ableitung

partielle, 383

Additionstheorem, 220

Additionstheoreme, 366

Amplitudengang, 108

aperiodischer Grenzfall, 102

Arbeit, 89, 286, 325

dissipierte, 95

Arbeitssatz, 90, 94, 95, 287

der Statik, 335

Auswuchten, 279

Balken, 39, 49, 56, 166, 167

-achse, 49, 51, 167, 189, 207,209, 303

Knick in der –, 66, 210

-element, 63

-strukturen, 347

Bernoulli-, 187

Biege-, 187

ebene Verformung, 205

gerader, 59

krummliniger, 50

Basis, 372

-system

orthonormales, 372, 373, 375,376

-vektoren, 372

Bernoulli

-Hypothese, 305-Kinematik, 314

-balken, 187

-kinematik, 187Hypothese, 187

Beschleunigung, 80

BewegungTranslations-, 119

Biegedifferenzialgleichung, 309, 356

Biegelinie, 195, 207, 308, 309, 322

Biegungschiefe, 306

Bilanz

der mechanischen Arbeit, 90der mechanischen Energie, 91

der mechanischen Leistung, 89

Drehimpuls-, 126, 130, 135

Impuls-, 38, 126Bogen, 49

-lange, 18, 112, 113

-maß, 18Bogenlange, 245

Coriolis-Beschleunigung, 249

Coulomb, 95

Dampfung, 110

451

Index

geschwindigkeitsproportionale,96

kritische, 101, 102

Lehrsches -maß, 101schwache, 101, 102

starke, 101

viskose, 86d’Alembert

-sche Tragheitsmomente, 138Dehnung

Normal-, 172, 175

mittlere, 177Scher-, 175

Determinante, 379

Deviationsmoment, 190Differenzialgleichung, 386

charakteristische Gleichung, 390gewohnliche, 387

homogene, 388

homogene Losung, 390partikulare Losung, 388

Trennung der Variablen, 390

Differenzialrechnung, 381Kettenregel, 382

Produktregel, 382Quotientenregel, 382

Dimension, 371

Drall, 125, 128, 129-satz, 125, 130, 131, 134

Drallsatz, 269, 273

Dreh-impuls, 25, 125, 128, 129

-bilanz, 126, 130, 135-vektor, 134

-moment, 23

-tragheit, 130, 131Drehvektor, 120

Drillung, 219

e-Funktion, 366, 390, 392

Eigen-

-frequenz, 99, 111-kreisfrequenz, 99

-schwingung, 96, 100

ungedampft, 103Ein-Massen-Schwinger, 93, 96, 97

Einflusszahlen, 344, 347

EinheitsvektorTangenten-, 112

Einzelkraft, 22Elastizitat

-sgesetz, 176

-smodul, 169Elastizitat

lineare, 335, 339, 347

Energie-erhaltungssatz, 91

-satz, 91kinetische, 89, 143–145, 285,

287

mechanische, 91potenzielle, 90, 94, 147, 287

Rotations-, 285

Translations-, 89Energieerhaltungssatz, 287

Erdbeschleunigung, 29Erganzungsenergie, 339, 341, 347

Erreger

-frequenz, 108, 111-kraft

konstante, 106

lineare, 106periodische, 106

Euler Knickfalle, 357Euler-Formel, 391, 392

Exzentrizitat, 276

Foppl, 312Fuhrungs-

beschleunigung, 249geschwindigkeit, 249

Flache

452

Index

-nnormale, 157Flachentragheitsmoment, 190, 193

Haupt-, 190

Flachen-deviationsmoment, 306

-tragheitsmoment, 306

Haupt-, 307Formanderungsenergie, 333, 335, 342,

346spezifische -, 333

Fourier

Zerlegung, 106Freischneiden, 37

Frequenz, 99, 107

Eigen-, 99, 111Eigenkreis-, 99, 103

Erreger-, 108, 111Kreis-, 103

Gangpolbahn, 123

generalisierteKoordinate, 259

Kraft, 259Geschwindigkeit, 18, 79, 81, 112,

125

-sfeld, 119, 121, 128-sprofil, 121

-sproportional, 86, 96

-sunabhangig, 85-szustand, 26

Bahn-, 120Dreh-

-svektor, 120, 129, 130

Relativ-, 71Tangential-, 120, 121

Winkel-, 114, 121

Gestaltsanderungsarbeitshypothese,165

Gewichtspezifisches, 29

Gleichgewicht, 258, 325, 327, 340

-sbedingung, 26, 221-sbedingungen, 40

-slage, 258, 327

-ssystem, 26Krafte-, 28, 160

Momenten-, 28

Gleichgewichtsbedingung, 160, 330Gleichung

charakteristische, 97, 100, 109,

390Gleit

-ebene, 69

-lager, 39-modul, 175

-reibung, 84

-skoeffizient, 70-skraft, 71

Gravitation

-skonstante, 29Newtonsches -sgesetz, 28

Haftbedingung, 74Hauptachse, 190

homogen, 29, 158

-e Massenbelegung, 30-er Spannungszustand, 181

Hook’sches Gesetz, 171, 172, 175

imaginar

-e Zahl, 97

Impuls, 25, 81, 126-bilanz, 38, 126

-satz, 81, 90, 96, 115, 125, 131Inertialsystem, 247

inhomogen, 105

Integralbestimmtes, 34

unbestimmtes, 385

Integralrechnung, 384Volumenintegral, 386

Integralrechung

453

Index

Flachenintegral, 386Integraltafel, 341, 348

isotrop, 172

kinematischunbestimmt, 40

Knicken, 43, 354Knicklast, 354, 359, 360

Knoten, 42

komplex-e Nullstelle, 101, 102

-e Zahl, 97

Kompressionsmodul, 176konservativ, 91, 147

-e Kraft, 287-es Moment, 287

-es System, 287

nicht, 94Kontakt

-flache, 69

-stelle, 71-verlust, 70

Kontinuum, 156Koordinaten, 372

Koordinatensystem

kartesisches, 112, 129, 130, 157,167

orthonormales, 49, 50

Kosinus, 364hyperbolicus, 368

Kotangens, 365Krafte

-gruppe, 23

-paar, 28eingepragte, 37

flachenhafte, 55, 56, 69, 155,

158volumenhafte, 29, 30, 55, 56

zentrales -system, 28Krummung

-skreis, 50, 114

-sradius, 114Kraftepaar, 343

Krummung, 246

-skreis, 246-sradius, 246

Kraft, 22

außere, 37-system, 23

aquivalentes, 25-vektor, 23

Druck-, 43, 70

Einzel-, 23, 37, 55, 63Gewichts, 254

Gewichts-, 29

Haft-, 69innere, 37

Normal-, 51, 67, 69, 85, 167,181, 182, 303

Quer-, 51, 67, 303

Reaktions-, 37, 40, 71resultierende, 24, 25, 50, 258,

260

Schnitt-, 37, 50, 157, 158Stab-, 42, 43

Zug-, 43Zwangs-, 37

Kreisbahn, 246

Kreisel, 271-gleichungen, 273

Eulersche, 274

-wirkung, 276Kreisfunktion, 363

Kreuzprodukt, 23, 120, 374, 375Krummung, 114

Losung

homogene, 109, 110partikulare, 109

partikulare, 110periodische, 102, 103

Losungsverzweigung, 354

454

Index

Lager, 38, 69dreiwertiges, 39

einwertiges, 39Fest-, 69

Gelenk, 38, 42

Gleit-horizontales, 39

vertikales, 39

zweiwertiges, 39Last

kritische, 354, 359, 360Lehrsches Dampfungsmaß, 101

Leistung, 89, 284, 285, 287, 325

linear-kombination, 371

abhangig, 371

unabhangig, 371Linienlast, 22

Logarithmus naturalis, 367

Masse, 81, 126-nbelegung, 30

-ndichte, 29-nmittelpunkt, 29, 30, 81, 126,

130

-npunkt, 144-nschwerpunkt, 126

spezifische, 29, 30

Massen-deviationsmoment, 270

-tragheitsmatrix, 269-tragheitsmoment, 270

Haupt-, 276

Massentragheitsmoment, 130, 131,135–137

Matrix

Determinante, 379quadratische, 378

Transponierte, 378Matrizen

-multiplikation, 379

-rechnung, 378

Membran, 49

Methode der Einflusszahlen, 348Mittellinie, 49, 50

Modell, 49

Modul

Elastizitats-, 169

Gleit-, 175

Kompressions-, 177Mohr

-scher Kreis, 152

Mohrscher Kreis, 151

Moment, 22, 23

Biege-, 51, 303

Einzel-, 55, 63resultierendes, 24, 25, 258, 260

Schnitt-, 50

statisches, 128

Torsions-, 51, 303

Momentanpol, 121

Nachbeulverhalten, 354

Nachgiebigkeiten, 344

Nachgiebigkeitsmatrix, 345

Newton

Isaac, 37

Maßeinheit, 21Normaleneinheitsvektor, 246

Normalkraft, 69

Nullstab, 46

Ordnung, 386

Ortsvektor, 376

Periode, 364

-ndauer, 18, 99

Phase

-ngang, 108-nverschiebung, 99

Platte, 49

Poissonzahl, 170

455

Index

Potenzial, 286Prazession, 272

Prinzip der virtuellen Krafte, 340

Prinzip der virtuellen Verschiebung,327

Projektion

eines Vektors, 373Punktmasse, 79, 88, 93, 95, 96, 115,

125, 126, 131, 136, 143,

147

Querkontraktionszahl, 170

Querschnitt, 31, 168, 169, 189, 190-sflache, 49, 56, 181, 187, 219

variable, 221

dunnwandiger, 192konstanter, 356

zusammengesetzter, 190

Rastpolbahn, 123

Reaktionsprinzip, 37

Rechts-System, 372, 374, 375Reib

-kraft, 84

Reib--arbeit, 95

-gesetz, 70, 84

-kraft, 91, 94, 95-weg, 95

Reibung, 69-skegel, 74

-swinkel, 74

Coulombsche, 95Gleit-, 84

-skoeffizient, 70, 84

-skraft, 71Haft-

-skoeffizient, 70, 84

Schmiermittel-, 86trockene, 85

viskose, 86

Relativbeschleunigung, 249Relativgeschwindigkeit, 248

Resonanz, 108, 109

-uberhohung, 112Ruhelage

statische, 106

Sarrus-Regel, 380

Satz von Maxwell und Betty, 345

Schale, 49Scheibe, 49

Schnitt

-großen, 51-kraft, 50

-moment, 50-prinzip, 37

-stelle, 50

-ufer, 50negatives, 50

positives, 50

Schub-modul, 175

Schwerpunkt, 30, 273-geschwindigkeit, 284

Flachen-, 31, 49

Linien-, 31Volumen-, 30

Schwerpunktsatz, 126

SchwingungEigen-, 96

ungedampft, 103fremderregte, 105

ungedampfte, 106

gedampfte, 100, 110harmonische, 107

periodische, 109

samplitude, 99, 109Seil, 49

Sinus, 364hyperbolicus, 368

Skalarprodukt, 372

456

Index

Spannung, 157, 161, 175-sfreiheit, 220

-srandbedingung, 221-sverteilung

homogene, 168

-szustand, 157, 160, 166, 175,220

homogener, 167, 181

Haupt--srichtung, 163

Normal-, 157, 163, 166, 168,172, 175, 196, 205

mittlere, 177

Schub-, 157, 162, 175Spatprodukt, 375

Stab, 42, 49, 166, 167, 187, 353

-achse, 167, 181, 187, 219Pendelstutze, 42

Torsions-, 219

Zug-, 169Stabilitat, 354

Stammfunktion, 385Starrkorper, 267, 269, 270, 273, 276,

284, 286

-drehung, 284statisch

uberbestimmt, 40, 72, 214

-e Ruhelage, 106bestimmt, 40

unbestimmt, 40unterbestimmt, 40

Steifigkeitsmatrix, 345

Steigungsdreieck, 381Steineranteil, 135, 190

Streckenlast, 56, 59, 61, 62, 166,

182Superponieren, 307

Symmetrie, 175

Tangens, 364

hyperbolicus, 368

Tangente, 381

Tangenteneinheitsvektor, 245, 246

Taylor-Reihe, 392Taylorreihe, 383

Theorie

1. Ordnung, 353

2. Ordnung, 353, 355Torsionstragheitsmoment, 221

totales Differenzial, 384

Tragheitshauptachsen, 273Tragwerk

Flachen-, 49

Linien-, 49, 56, 62, 65

Transponierte, 378

Umkehrfunktion, 363

Unwucht, 276

dynamische, 277statische, 276

Variable, 363Vektor, 369

-raum, 371

-rechnung, 43, 369

Basis-, 372Drehimpuls-, 134

Einheits-, 370

Komponentendarstellung, 27, 31,38, 40, 371, 372

Kraft-, 23

Null-, 370

Orts-, 23Pfeil-, 369

Projektion, 373

Spatprodukt, 375Vektorprodukt, 374

Verbindungselemente, 38

Vergleichsspannung, 165

Vergroßerungsfunktion, 108Verschiebungsfeld, 167, 178, 188

Verzerrung, 169, 170, 172, 188, 220

457

Index

-szustand, 175, 178Scher-, 175

Verzerrungsfunktion, 108

virtuell-e Arbeit, 326, 327, 333, 334,

337

-e Erganzungsarbeit, 340-e Formanderungsenergie, 340

-e Kraft, 340-e Verschiebung, 326, 327, 330,

337

viskose Dampfung, 86

Warmeausdehnungskoeffizient, 171

Zahl

imaginare, 391imaginare, 97

komplex, 97

komplexe, 391reelle, 391

ZahlenebeneGaußsche, 391

Zeitableitung

relative -, 248Zentrifugalkraft, 115

Zentripetalbeschleunigung, 115, 246

Zustandstationarer, 110

Zwang-skraft, 37

geometrische -sbedingung, 37

458

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Lothar Schreiber : Technische Mechanik 123

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