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Teil VII

Anhang

Anhang M MathematischerAnhang

ÜbersichtM.1 Wichtige Merkregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779M.2 Skalare und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785M.3 Die Ableitung – an der Uni mal anders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790M.4 Das leidige Thema des Integrierens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801M.5 Periodische Funktionen und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804M.6 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811M.7 Die Taylor-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818

Ich bin gekommen, um Sie an etwas zu erinnern. . . Etwas, das Sie früher wussten. . .

Dom Cobb, Inception

Falls ihr manches an mathematischen Grundlagen, die ihr in diesem Buch braucht,seit der Schule schon wieder vergessen haben solltet, wie wichtige Regeln desDifferenzierens und Integrierens oder auch das ein oder andere zu Vektoren oderzur Trigonometrie, wollen wir euch hier eine kleine Auffrischung an die Hand geben.Darüber hinaus findet ihr hier Einführungen zu den Differenzialgleichungen, diesicher den wenigsten von euch vor der Uni schon einmal begegnet sind. Falls ihrnach statistischen Werkzeugen für das physikalische Praktikum sucht, verweisenwir euch allerdings auf Kapitel 26.

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019C. Kommer et al., Tutorium Physik fürs Nebenfach,https://doi.org/10.1007/978-3-662-59396-7

M.1 Wichtige Merkregeln 779

M.1 Wichtige Merkregeln

Gleichungen, Terme

In der Physik benutzen wir Gleichungen, oder Formeln, um Zusammenhänge zubeschreiben. Eine Gleichung ist eine Zuweisung, und diese Zuweisung muss sinnvollsein. Also müssen auf beiden Seiten einer Gleichung immer äquivalente physikalischeGrößen stehen. Das macht sich durch die Einheit bemerkbar. Beispielsweise erhaltenwir bei

s = 5 ms · 2 s ,

eine Strecke, also muss auf beiden Seiten der Gleichung eine Einheit stehen, dieeine Strecke angibt. Auf der rechten Seite kürzt sich die Sekunde, und so kommenwir auf Meter.Eine Folgerung davon ist, dass wir innerhalb einer Gleichung auch immer vor undhinter „+“ und „−“ die gleiche Einheit haben müssen, denn wir können ja wohlschlecht Sekunden von einem Kilogramm abziehen oder so. Zum Beispiel:

s = 5 ms · 2 s + 30 m .

Hier ist jeder Term (ein Term ist das, was durch die „Strichzeichen“ Plus undMinus getrennt wird) in Metern, wie es sein soll. Im ersten Term (5 m/s ·2 s) kürzensich wieder die Sekunden, und der zweite Term (30 m) ist ganz offensichtlich auchin Metern.Ihr habt außerdem öfter Einheitenklammern [...] in diesem Buch gesehen. Sie gebenan, in welcher Einheit eine Größe gemessen wird. Zum Beispiel für die Strecke

[s] = m

oder für Geschwindigkeit[v] = m

s .

Verwechselt das bitte nicht mit einer Gleichung oder Ähnlichem. Es ist einfach nureine praktische und geläufige Art zu schreiben „Die Einheit einer Strecke ist Meter(m)“.Eine weitere Schreibweise, an die man sich an der Uni gewöhnen muss, sind negativePotenzen anstatt Brüche, beispielsweise

ab−2 = a

b2 .

Genauso schreibt man etwa anstatt m/s auch gerne mal m · s−1, beides heißt abergenau das Gleiche, Meter pro Sekunde. Lasst euch davon nicht irritieren.

780 Anhang M Mathematischer Anhang

Das Proportionalitätszeichen

Es gibt ein Zeichen, das „proportional zu“ heißt und benutzt wird, wenn nur einbestimmter Zusammenhang zwischen zwei Größen klargemacht werden soll, zumBeispiel, dass die Strecke größer wird, je mehr Zeit vergangen ist. Man schreibt

s ∝ t

und sagt: „Die Strecke ist proportional zur Zeit“. Hier stimmen die Einheitenüberhaupt nicht! Aber es ist ja auch kein „=“, denn uns hat nur interessiert, wiedie Strecke mit der Zeit wächst. Ein anderes Beispiel wäre die Oberfläche einerKugel in Abhängigkeit von ihrem Radius. Die Kugeloberfläche ist, wie wir ja alleauswendig aus der Schule wissen (ähem):

A = 4πr2 .

Mit dem Proportionalitätszeichen würde man schreiben

A ∝ r2 ,

also: „Die Oberfläche ist proportional zum Quadrat des Radius“.

Rundungen

Wie oben schon erwähnt interessieren uns in der Physik oft nur die sogenanntensignifikanten Stellen. Es ist nämlich ein Unterschied, ob z. B. angegeben wird, obein Fußballplatz 109,73 m, 110 m oder 1 · 102 m lang ist. Im letzten Fall hat uns nurdie ungefähre Größe interessiert, im zweiten ging es um eine genauere Angabe, unddie erste Zahl ist eine ziemlich exakte Beschreibung. Die Anzahl der signifikantenStellen in diesem Beispiel sind:

• 109,73 m: 5 signifikante Stellen,• 110 m: 2 oder 3 signifikante Stellen

(hier könnte z. B. von 106 m aufgerundet worden sein),• 1 · 102 m: 1 signifikante Stelle

(weil nur eine Stelle in der Angabe auftaucht; bei 1,00 · 102 m wären es 3signifikante Stellen).

Es ist eigentlich niemals sinnvoll, ein Ergebnis mit mehr Stellen zu schreiben, alsdie ungenaueste Angabe in einer Gleichung hat. Ein Beispiel wäre die Additionvon Geschwindigkeiten:

10,004 ms + 21 m

s + 1 ms = 32,004 m

s ≈ 32 ms .


Hier haben wir vom zweiten und dritten Term keine Information über die Genau-igkeit. Beispielsweise wissen wir nicht, ob es genau 21,000 m/s sein sollen. Aber esist zu vermuten, dass die 0,004 m/s keine Rolle spielen, also vernachlässigen wirsie. Wenn wir mit dem Ergebnis aber weiterrechnen, sollten wir den „übergenauen“Wert 32,004 m/s mitnehmen.

Klartext: Eine Faustregel, die man oft findet, besagt:

• Bei Addition bzw. Subtraktion legt der Summand mit den wenigsten Nach-kommastellen die Nachkommastellen des Ergebnisses fest.

• Bei Multiplikation bzw. Division legt der Faktor mit den wenigsten signifi-kanten Stellen die signifikanten Stellen des Ergebnisses fest.

Binomische Formeln, Mitternachtsformel

Algebraische Umformungen solltet ihr alle aus der Schule kennen, aber man solltenoch einmal schwarz auf weiß zwei kleine Merkregeln aufschreiben. Die binomischenFormeln sind eigentlich nichts Besonderes, sie kürzen euch nur das Rechnen beimAusmultiplizieren ab:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , (M.1)(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 , (M.2)(a + b)(a − b) = a2 − b2 . (M.3)

Binomische Formeln

Beachtet bitte, dass man die binomischen Formeln auch „rückwärts“ anwendenkann, um Terme zu verkürzen.Um eine quadratische Gleichung,

ax2 + bx + c = 0 ,

nach x aufzulösen, gibt es die sogenannte Mitternachtsformel:

x1,2 = −b ± √b2 − 4ac

2a. (M.4)

Mitternachtsformel

Manche kennen stattdessen vielleicht die pq-Formel, aber im Grunde beschreibenbeide denselben „Trick“. Die Mitternachtsformel ist etwas allgemeiner, weil bei derpq-Formel a = 1 sein muss.Wie ihr vielleicht wisst, gibt euch die Mitternachtsformel gerne mal zwei Ergebnisse,da das Zeichen „±“ für „+“ oder „−“ stehen kann. In der Physik muss man dann


oft selbst entscheiden, welches Ergebnis physikalisch sinnvoll und welches sinnlosist – ein Beispiel wäre etwa eine negative Zeit, bis zum Ende eines Wurfvorgangs.

Logarithmen

Sie Logarithmus!

Käpt’n Haddock, Tim und Struppi

Vor langer Zeit waren Logarithmen aus der Schulmathematik nicht wegzudenken,da sie einem das Multiplizieren unheimlich vereinfachen; wir werden sehen, dassdurch einen Ausflug ins „Logarithmus-Land“ die Multiplikation zweier Zahleneinfach durch eine Summe ausgerechnet werden kann. Für die Ein- und Ausreiseaus Logarithmus-Land gab es früher sogenannte Logarithmentafeln. Seit aber derTaschenrechner seinen verdienten Siegeszug durch die Klassenzimmer der Weltangetreten hat, haben viele Schüler auch weniger Kontakt mit dieser Funktion,obwohl sie immer noch super praktisch ist und an vielen Stellen in der Physikzum Einsatz kommt. Psychologen und Neurologen ist längst klar, dass unsereSinneswahrnehmung auch logarithmisch funktioniert, mehr dazu erfahrt ihr imAbschnitt 7.4. Denkt euch den Logarithmus als Antwortfunktion auf folgende Frage:Bei einer Gleichung der Form

By = a , (M.5)

B hoch welche Zahl y brauchen wir, um a zu bekommen? Die Antwort ist derLogarithmus zur Basis B von a:

logB(a) = y , (M.6)Logarithmus zur Basis B

also können wir die beiden vorigen Gleichungen ineinander einsetzen:

BlogB(a) = a .

Zuerst müssen wir also feststellen, dass ein Logarithmus immer eine Basis braucht!So wie z. B. jede Zahl, die wir in Dezimalen ausdrücken, eben auch eine Basisbraucht. Die Zahl 11 heißt „Elf“, klar, aber nur, weil wir implizit die Basis 10genommen haben – wir rechnen im Dezimalsystem. Computer-Nerds werden eucherzählen, dass in der Basis 2 (mit der alle grundlegenden Rechenoperationen in


einem Computer ausgeführt werden) die 11 der Zahl „Drei“ entspricht1! Die Stelleneiner Zahl sagen uns nur, wie oft wir die jeweilige Potenz der Basis benutzen. DieZahl 567 ist also im Dezimalsystem 5 · 102 + 6 · 101 + 7 · 102.Ein häufiger Fall ist also, weil wir es oft mit der Basis 10 zu tun haben, derLogarithmus zur Basis 10. Diese ist oft auch implizit angenommen, wie bei un-serem Beispiel oben. Das Ganze nennt sich Zehnerlogarithmus oder dekadischerLogarithmus:

log10(x) = lg(x) . (M.7)Dekadischer Logarithmus

Der natürliche Logarithmus (Logarithmus Naturalis) ist der Logarithmus zur Basis e,also der Euler’schen Zahl, die jedem (hoffentlich) als Basis der Exponentialfunktionbekannt ist:

loge(x) = ln(x) . (M.8)Natürlicher Logarithmus

Der Logarithmus ist sozusagen die Umkehrfunktion von einer Potenz. Der Zeh-nerlogarithmus lg(x) ist die Umkehrfunktion von 10x. Deshalb ist der natürlicheLogarithmus genau die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion,

eln(x) = x.

Außerdem ist die Ableitung des natürlichen Logarithmus für x > 0:

ddx

ln(x) = 1x

.

Man sieht diese Beziehung auch oft in ihrer Integralform∫1x

dx = ln(x) + const..

Man kann sich jetzt noch jede Menge anderer Basen überlegen, manchmal siehtman auch den Logarithmus zur Basis 2, aber der dekadische und der natürlicheLogarithmus decken wohl 99 % der Fälle ab, in denen ihr mit dem Logarithmus zutun haben werdet.Falls ihr doch mal die die Basis des Logarithmus wechseln wollt, geht das ganzeinfach:

1 1 · 21 + 1 · 20 = 2 + 1 = 3.


logB(x) = logA(x)logA(B) . (M.9)

Basiswechsel von A nach B

Nun gelten für den Logarithmus etwas ungewohnte Rechenregeln, die man oftals „Logarithmengesetze“ nachlesen kann. Das sind aber keine eigenständigenGesetzmäßigkeiten, sondern folgen ganz simpel aus den Rechenregeln für Potenzen.Wir ersparen euch an dieser Stelle jedoch die Herleitungen.

log(x) + log(y) = log(x · y) , (M.10)

log(x) − log(y) = log(

x

y

)(M.11)

log(xk) = k log (x) . (M.12)

Insbesondere gilt noch log( 1

x

)= − log(x).

Koordinatensysteme

Koordinaten identifizieren Punkte im Raum eindeutig. Erst durch Koordinatenkönnen wir sinnvolle physikalische Aussagen über z. B. eine Bewegung von PunktA nach Punkt B machen. Erst die Koordinaten definieren den Abstand AB. Ausder Schule ist euch ein Koordinatensystem schon zur Genüge bekannt, nämlich daskartesische Koordinatensystem. In diesem wird ein Punkt im dreidimensionalenRaum durch drei Koordinaten (x, y, z) angegeben. Dieses Koordinatensystemeignet sich hervorragend, um geradlinige Bewegungen zu beschreiben; wir benutzenes ständig, ohne groß darüber nachzudenken.Daneben gibt es aber auch die Möglichkeit, Punkte anders zu parametrisierenbzw. zu beschreiben. Ihr kennt sicherlich auch alle ein zweites Koordinatensystem,das genauso gut funktioniert, nämlich „sphärische Koordinaten“. Diese sind vielpraktischer, Punkte auf einer Kugel (z. B. der Erde) zu beschreiben als kartesischeKoordinaten. So gibt euch euer GPS-Gerät euren Standpunkt in Längen- undBreitengraden an, und nicht in x, y und z.In der Physik spricht man von einem der Symmetrie des Raumes angepasstenKoordinatensystem. Klar, man könnte auch seine Position auf der Erde andersangeben, aber Längen- und Breitengrade sind mit Abstand die unkompliziertesteLösung. Eine wichtige Erkenntnis ist aber, dass die Wahl eines Koordinatensystem,also wie wir unseren Raum beschreiben, keine Auswirkung auf die Physik hat!

M.2 Skalare und Vektoren 785

M.2 Skalare und Vektoren

Ich bin hier, um mir ein Schurkendarlehen zu holen, und zwar auf den Namen VECTOR!

Das ist ein mathematischer Ausdruck. Er beschreibt eine Menge, die durch einen Pfeil mit

definierter Länge und Richtung dargestellt wird.

Vector, Ich – einfach unverbesserlich

An dieser Stelle wollen wir einen der wichtigsten Begriffe der gesamten Mathematikbehandeln: den des Vektors. Vektoren finden sich immer dann, wenn die Größeneine Richtung haben. Das wissen wir von einem Weg, von einer Geschwindigkeit,aber auch von einer Kraft, einem Strom und einem elektrischen oder magnetischenFeld. Auch eine Drehachse mit einer Winkelgeschwindigkeit oder der Drehimpulshat eine bestimmte Richtung. Neben den Vektoren gibt es aber zunächst nochandere Größen, nämlich die allseits bekannten. . .

Skalare

Man lernt sie schon als kleines Kind kennen: die Zahlen. Eine (einzelne) Zahlnennen wir, zur Unterscheidung von einem Vektor, einen Skalar. Dieser tolle undexotisch klingende Begriff dient uns nur zur Unterscheidung von anderen Größenwie den Vektoren. Bestimmte physikalische Größen, die Skalare darstellen, sindzum einen Konstanten wie die Naturkonstanten, z. B. die Lichtgeschwindigkeit c

oder das Planck’sche Wirkungsquantum h. Aber auch Größen wie die Ladung, dieTemperatur oder die Wellenlänge sind Skalare. Das liegt daran, dass sie einfacheZahlen ohne Richtungseigenschaft sind. Dies unterscheidet sie, wie gesagt, vonden. . .

Vektoren

Vektoren lernt man recht bald nach der Grundschule zum ersten Mal kennen.Normalerweise behandeln wir in diesem Buch nur Raumvektoren, also Größen,die im dreidimensionalen Raum eine Richtung definieren. Diese bestehen auseinem sogenannten Tupel von Skalaren. Im dreidimensionalen Raum etwa – wenigüberraschend – ein Tupel von 3 Skalaren. Ein Tupel bildet formal eine Listevon mathematischen Objekten. Wir bezeichnen einen Vektor darüber hinaus miteinem Pfeil. Daher schreibt man einen Vektor mit drei Komponenten allgemeinfolgendermaßen


�a =

⎛⎜⎜⎝a1

a2

a3

⎞⎟⎟⎠ . (M.13)

Spaltenvektor

In diesem Fall ist der betreffende Vektor ein Spaltenvektor, man kann ihn aberauch als Zeilenvektor schreiben, was man im Allgemeinen mit einem „T“ für„transponiert“ kennzeichnet:

�aT = (a1, a2, a3) . (M.14)

Für Vektoraddition und -multiplikation2 gelten sowohl das Assoziativ- als auchdas Kommutativgesetz. Außerdem gilt bei einer Multiplikation der Summe zweierVektoren mit einem Skalar ebenso das Distributivgesetz. Im Allgemeinen ist dieMultiplikation eines Vektors mit einem Skalar definiert über

s · �a =

⎛⎜⎜⎝s · a1

s · a2

s · a3

⎞⎟⎟⎠ . (M.15)

Manchmal ist es gar nicht so wichtig, wo ein Vektor hinzeigt, sondern nur, wiegroß er ist; ein Beispiel wäre die Geschwindigkeit. Der Tacho im Auto zeigtnicht an, wo ihr hinfahrt, sondern wie schnell ihr fahrt: Er zeigt nur den Betrageures Geschwindigkeitsvektors. Den Betrag eines Vektors berechnen wir durchquadratische Addition seiner Komponenten. Das klingt komplizierter, als es ist,seht selbst:

a = |�a| =√

a21 + a2

2 + a23 . (M.16)

Betrag eines Vektors

Dies steht in enger Verbindung mit der gleich folgenden Definition des Skalarpro-dukts. Der Betrag wiederum legt die sogenannte Normierung eines Vektors fest.Die Norm ist ein wichtiger Begriff, der bei mathematischen Größen immer wiederfällt. Die Vektornorm stellt so etwas wie einen Referenzwert dar, an dem man sichorientieren kann, wie z. B. an der Länge des Meters. Grundsätzlich versucht mandaher, einen Vektor auf die Länge eins zu normieren. Dies tut man, indem man denVektor durch seinen Betrag teilt. Wie bei jedem Bruch steht beim vollständigenTeilen (also bei der Darstellung als Dezimalzahl) am Ende die Eins im Nenner.Man sagt, der Vektor ist dann auf eins normiert.

2 Nur beim Skalarprodukt! Das Vektorprodukt ist antikommutativ.


�a = �a

|�a| , (M.17)

allgemeine Form eines Einheitsvektors

mit|�a| = 1 . (M.18)

Man bezeichnet dies gern als Einheitsvektor. Im dreidimensionalen Raum ha-ben wir die drei Einheitsvektoren �e1, �e2 und �e3, die in die drei verschiedenenRaumrichtungen zeigen. Sie schreiben sich in ihrer vollen Pracht zum Beispiel so:

�e1 =

⎛⎜⎜⎝100

⎞⎟⎟⎠ , �e2 =

⎛⎜⎜⎝010

⎞⎟⎟⎠ , �e3 =

⎛⎜⎜⎝001

⎞⎟⎟⎠ . (M.19)

Im Allgemeinen sind als Einheitsvektoren alle Kombinationen von Einträgen einesVektors erlaubt, deren Betrag am Ende die Länge eins hat.Die obigen Einheitsvektoren �e1, �e2 und �e3 sind linear unabhängig voneinander. Diessieht man daran, dass jeder von ihnen an einer anderen Stelle im Vektor einen Ein-trag besitzt. Sie bilden daher ein sogenanntes Orthonormalsystem. Dies ist nichtsanderes als das von uns üblicherweise stillschweigend benutzte dreidimensionaleKoordinatensystem. Diese sogenannte Orthonormalität bedeutet, dass jeweils zweiVektoren zueinander orthogonal sind. Das Wort „Normalität“ steht in Beziehungzum geometrischen Begriff der Normalen. Dies ist eine Gerade, die senkrecht aufeinem Objekt, z. B. einer Fläche, steht. Mit dem Begriff der Fläche beim Ortho-normalsystem sind diejenigen Objekte gemeint, die jeweils durch zwei orthogonalaufeinanderstehende Geraden bzw. Einheitsvektoren aufgespannt werden. Obwohldie Achsen unseres Koordinatensystems natürlich unendlich lang sind, gibt unsder Einheitsvektor auf jeder Achse das Maß für unsere „Skalenstrichchen“ an. Ernormiert somit die Längen. Wie wissen wir aber, ob zwei Vektoren senkrechtzueinander stehen? Das erklärt uns das sogenannte. . .

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren habt ihr schon in der Schule gelernt. Es wirdmit dem „normalen“ Multiplikationszeichen wie folgt geschrieben

�a ·�b = c . (M.20)Skalarprodukt


Ganz wichtig dabei ist, dass es eine besondere Definition für eine Multiplikationist. So etwas kann natürlich nur wieder einem Mathematiker einfallen, macht abertotal Sinn: Am Ende kommt (wie schon im Namen erkennbar ist) ein Skalar, alsohier eine Zahl c, ohne eine Richtung heraus.Wie berechnet man so etwas nun konkret? Das Skalarprodukt berechnet sichüber

�a ·�b = |�a| · |�b| · cos ϕ . (M.21)Skalarprodukt in Abhängigkeit des Winkels

Dabei ist ϕ der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Eine andere, etwas nützlichereArt, den resultierenden Skalar zu berechnen, lautet

⎛⎜⎜⎝a1

a2

a3

⎞⎟⎟⎠ ·

⎛⎜⎜⎝b1

b2

b3

⎞⎟⎟⎠ = a1b1 + a2b2 + a3b3 . (M.22)

Berechnung des Skalarprodukts

Was sagt uns das eigentlich anschaulich? Ein Skalarprodukt �a ·�b bildet den Vektor �a

auf den Vektor �b ab. Dies liegt daran, dass man einen Vektor in seine Vektorkompo-nenten aufspalten kann. Arbeiten wir für einen Moment der Einfachheit halber imzweidimensionalen Raum, also mit zwei 2-Vektoren, dann ist ihr Skalarprodukt3:(

ax

ay

)·(

bx

by

)= axbx + ayby . (M.23)

Wir bilden dabei die x-Komponente des Vektors �a auf den Vektor �b ab, proji-zieren also diesen Teil auf die x-Richtung von �b. Dasselbe machen wir mit dery-Komponente.Erhält man schließlich einen Wert ungleich null, so war eine Projektion der beidenVektoren aufeinander möglich. Das Gegenteil ist der Fall, wenn gilt:

�a ·�b = 0 (M.24)Orthogonalitätsbedingung

3 Natürlich kann man mit beliebig vielen Dimensionen ein Skalarprodukt bilden, Hauptsa-che ist, dass die beiden Vektoren die gleiche Anzahl an Einträgen haben.


In diesem Fall stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander, wie sich im Fallevon jeweils zwei der Einheitsvektoren im dreidimensionalen Koordinatensystemschnell nachweisen lässt. Oder man setzt einfach in Gleichung M.21 ein – bei einemWinkel von 90° kommt sofort 0 raus. Als Beispiel nehmen wir das Paar �e1 und �e2;all das funktioniert natürlich aber auch für alle anderen Paarungen.

�e1 · �e2 =

⎛⎜⎜⎝100

⎞⎟⎟⎠ ·

⎛⎜⎜⎝010

⎞⎟⎟⎠ = 1 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 = 0 .

Das Skalarprodukt wird auch inneres Produkt genannt. Es liefert als Endergebniseinen Skalar. Das äußere Produkt zweier Vektoren heißt Vektorprodukt und lieferteinen neuen Vektor.

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt oder auch Kreuzprodukt ist nun eine völlig andere Version derVektormultiplikation. Es ist so definiert, dass zwei Vektoren multipliziert wiedereinen Vektor ergeben. Außerdem soll der resultierende Vektor orthogonal auf denbeiden ursprünglichen Vektoren stehen. Das benötigt natürlich eine andere Artvon Berechnungsregel. Man kennzeichnet diese Multiplikation mit einen Kreuz wiefolgt:

�a ×�b = �c . (M.25)Vektorprodukt

Die tatsächliche Berechnung erfolgt nun über

�a ×�b =

⎛⎜⎜⎝a1

a2

a3

⎞⎟⎟⎠ ×

⎛⎜⎜⎝b1

b2

b3

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝a2b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a1b2 − a2b1

⎞⎟⎟⎠ . (M.26)

Berechnung des Vektorprodukts

Diese etwas umständliche Methode garantiert zum einen, dass wir einen Vektorbekommen, und zum anderen, dass dieser senkrecht auf den beiden anderen steht.Warum tun wir das? Von besonderer Wichtigkeit ist dies im Falle von Rotationen(siehe Kapitel 6), da die Drehachsen dort im Allgemeinen senkrecht auf den dieDrehung konstituierenden Vektoren stehen. Darüber hinaus ist die Drehachse z. B.in Form der Winkelgeschwindigkeit ebenso ein Vektor, da sie eine Richtung besitzt.


Wollen wir nur den Betrag berechnen, was für euch viel häufiger der Fall ist,wie etwa bei der Lorentz-Kraft, so benötigen wir noch eine weitere Beziehung,nämlich

|�a ×�b| = |�a| · |�b| · sin ϕ . (M.27)Betrag des Vektorprodukts

Der Winkel ist wieder einmal der, der von den beiden aufspannenden Vektoreneingeschlossen wird. Hier steht nun ein Sinus, was bedeutet, dass das Kreuzproduktverschwindet, wenn der Winkel 0 ist! Übrigens ist das Kreuzprodukt im Gegensatzzum Skalarprodukt antikommutativ, was bedeutet, dass gilt:

�a ×�b = −(�b × �a) . (M.28)

Ihr dürft also niemals (!) in einer Rechnung mit einem Kreuzprodukt beide Vektoreneinfach vertauschen! Merkt euch solche Gleichungen daher immer (!) in der richtigenReihenfolge der Faktoren!

M.3 Die Ableitung – an der Uni mal anders

Mit Erhalt der allgemeinen Hochschulreife habt ihr ja bewiesen, dass ihr desAbleitens mehr oder weniger mächtig seid. Also warum ein extra Abschnitt? DieBehandlung der Ableitung in der Hochschulphysik stößt häufig auf Verwirrung,was sehr oft an der Schreibweise und dem Zusammenhang mit der jeweiligenAnwendung liegt.

Schreibweise mit Differenzialen

Während die Ableitung in der Oberstufe relativ einfach durch den Strich in f ′(x)erkennbar war, verwenden Physiker häufig andere Darstellungen. Am häufigstensieht man die Schreibweise mit Differenzialen auf der rechten Seite in folgenderGleichung:

f ′(x) = df

dx. (M.29)

Was bedeutet diese Schreibweise eigentlich? Ihr erinnert euch, dass die Ableitungeiner Funktion f(x) in der Oberstufe als momentane Änderungsrate der Funktionbzw. deren Steigung am Punkt x interpretiert wurde. Das entspricht dem linearenZuwachs der Funktion, also gerade der Steigung mT der Tangente an die Funkti-

M.3 Die Ableitung – an der Uni mal anders 791

onskurve an der Stelle x.

Die Steigung und somit die Ableitung kann man aus dem Steigungsdreieck derTangente über

df

dx= ΔyT

ΔxT(M.30)

bestimmen. Das Problem ist, dass wir die Tangentengleichung nicht kennen undsomit kein Steigungsdreieck ansetzen können. Wir können aber einen Punkt beix + Δx in der Nähe unserer Stelle x nutzen, um eine Steigung abzuschätzen, undzwar über den Differenzenquotienten

Δf

Δx= f(x + Δx) − f(x)

Δx. (M.31)

Differenzenquotient

Dieser entspricht der Steigung einer Sekante, also der Geraden, die die Funktionan zwei Punkten schneidet, und entspricht leider noch nicht unserer Steigung beix, sondern nur einer Abschätzung der durchschnittlichen Steigung zwischen x undx + Δx.Machen wir unser Δx jetzt unendlich klein, so wird unsere Sekante immer mehrzu unserer Tangente und somit deren Steigung letztlich auch zur Ableitung an derStelle x.

limΔx→0

Δf

Δx= lim

Δx→0

f(x + Δx) − f(x)Δx

→ ΔyT

ΔxT= df

dx. (M.32)

Differenzialquotient

Dabei geht der Differenzenquotient in den sogenannten Differenzialquotient über.Man kann ein Differenzial also als infinitesimale, d. h. unendlich kleine, Änderungeiner Größe, z. B. Δx, interpretieren. Man kann dem Differenzial daher keineZahl zuordnen, seine Wirkung entfaltet es erst in der Kombination mit anderenDifferenzialen, also beim Ableiten oder Integrieren.

Spezialfall 1: Partielle Ableitung

Mit der Differenzialschreibweise wird vielleicht auch ein Konzept klarer, dass euchhäufig zu verwirren scheint, nämlich die partielle Ableitung. Denn in der Physikhängen Größen von mehreren Variablen ab. Um zu kennzeichnen, dass man nurnach einer Variablen, also nur partiell ableitet, nutzt man statt des vorangestellten„d“ das Zeichen „∂“. Für eine einfache Funktion, wie f(x,y) = x · y2, bedeutet diepartielle Ableitung

∂f

∂y= x · 2y , (M.33)


dass sie nur nach der Variable y abgeleitet wird. Die Variable x wird wie eineZahl (z. B. x = 42) bzw. wie ein beliebiger konstanter Vorfaktor (siehe auch dieFaktorregel in Gleichung M.37) behandelt und daher in der Ableitung nicht alsVariable berücksichtigt.

Spezialfall 2: Ableitung nach der Zeit

Da viele Prozesse in der Physik zeitabhängig sind, benutzt man dabei oft diePunktschreibweise, wenn nach der Zeit abgeleitet wird:

f ′(t) = df

dt=

.f .

Euch wird diese Schreibweise insbesondere bei Translationen, also Bewegungen imRaum, begegnen. Dabei ist beispielsweise der Ort, notiert mit x, eine zeitabhängigeVariable, genauso wie die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a. DerenZusammenhang kann man dann recht übersichtlich per

x = v = a

notieren, anstatt des umständlicheren

x′′(t) = v′(t) = a(t) .

Physiker sind nun mal schreibfaul.

Wiederholen wir ein paar Grundregeln und Standardableitungen

Bei der Ableitung gibt es einige extrem wichtige Grundregeln. Beginnen wir mit et-was Einfachem, dem Ableiten von Potenzen. Ihr erinnert euch, dass sich Funktionender Form f(x) = xn ableiten lassen durch

∀n �= 0 : f(x) = xn ⇒ df

dx= n · xn−1 , (M.34)

Potenzregel

wobei wir gleich die gerade gelernte Uni-Schreibweise f ′(x) = dfdx verwendet haben,

um euch damit vertrauter zu machen. Die Formel gilt für positive sowie negativen. Außerdem muss n keine natürliche Zahl sein, sondern kann z. B. auch einrationaler Bruch sein. Da negative Potenzen nur eine andere Schreibweise fürVariablen im Nenner sind und sich durch rationale Potenzen (also Brüche) Wurzelndarstellen lassen, haben wir somit zusätzlich ein Rezept, um Funktionen der Formf(x) = 1

xn = x−n sowie f(x) = m√

xn = xnm abzuleiten. Eine m-te Wurzel wird


also zum Potenzbruch mit m im Nenner des Exponenten, wobei wir aufpassenmüssen, dass sich der Nenner beim Ableiten nicht ändert. Zwei Beispiele gefällig?

f(x) = x3 ⇒ df

dx= 3 · x2 , (M.35)

g(x) = 13√

x2= x− 2

3 ⇒ dg

dx= −2

3 · x− 53 = −2

3 3√x5

. (M.36)

Kommen wir zur nächsten elementaren Regel beim Ableiten. Was passiert mitVorfaktoren? Im ersten Beispiel war die Ableitung von f(x) gegeben durch df

dx = 3x2,eine neue Funktion x2 mit Vorfaktor 3. Leiten wir noch einmal ab, verbleibtder Vorfaktor in der Ableitung und wird nicht angetastet. Mit anderen Wortenkönnen wir sagen: Lässt sich eine Funktion f(x) aufteilen in eine von x abhängigeTeilfunktion g(x) und einen von x unabhängigen Vorfaktor a, so gilt für dieAbleitung:

f(x) = a · g(x) ⇒ df

dx= a · dg

dx. (M.37)

Faktorregel

Betrachten wir das mal an den Beispielen für die Ableitung in Gleichung (M.35).Für die erste Ableitung von f(x) haben wir dort df

dx = 3x2 erhalten. Um diezweite Ableitung d2f

dx2 zu berechnen, können wir 3x2 gemäß der Faktorregel (M.37)aufteilen, wenn wir a = 3 und g(x) = x2 setzen. Die Ableitung von g(x) ist dg

dx = 2x

und somit erhalten wird2f

dx2 = 3 · 2x = 6x .

Der Vorfaktor kann auch ein Bruch oder ein unbekannter Parameter sein. Oft(insbesondere bei Fehlerrechnungen) tummeln sich andere Variablen bzw. Parameterin der Funktion, nach denen hier gerade nicht abgeleitet wird. Dann wirken sie nurals Vorfaktoren, wie zum Beispiel bei

f(x) = a · y · x4 ⇒ df

dx= 4 · a · y · x3

und überstehen die Ableitung unbeschädigt.

Die dritte elementare Ableitungsregel ist die Summenregel. Sie funktioniert einwenig ähnlich wie die Faktorregel, aber dreht sich – Überraschung – um Summen.Sie besagt, dass ihr einzelne Summanden auch einzeln bzw. getrennt ableiten dürft.Wieder etwas mathematischer formuliert:


Lässt sich eine Funktion f(x) in mehrere von x abhängige Summandenf1(x), f2(x), · · · , fn(x) aufteilen, so dass f(x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x)ist, dann gilt für die Ableitung

df

dx= df1

dx+ df2

dx+ · · · + dfn

dx. (M.38)

Summenregel

Für die Ableitung eines einfachen Polynoms wie f(x) = x3 + 2x2 − 4x können wirf(x) z. B. in f1(x) = x3 und f2(x) = 2x2 sowie f3(x) = −4x zerlegen, wodurchsich einfach die Ableitung

df

dx= 3x2 + 4x + (−4)

ergibt. Wie ihr im Beispiel seht, gilt die Summenregel auch für Differenzen, dasich ein Minuszeichen quasi als Kombination aus „+“ und einem Vorfaktor „−1“darstellen lässt.

Klartext: Ein Fehler, der im Zusammenhang mit der Summenregel immerwieder mal passiert, ist der, dass man sie auch auf Funktionen in einer Funktionanwendet. So könnt ihr den Term

(2x + 4x2)3 zunächst nicht nach der Summen-

regel ableiten, da die Summe von einer Klammer mit eigener Potenz umgeben ist(für die komplette Ableitung siehe die Kettenregel M.40). Ihr könnt diesen Termdaher nicht einfach in einzelne Summanden aufteilen, außer ihr multipliziert dieKlammer erst aus. Achtet darauf, solche Fehler sind ärgerlich!

Kommen wir nun noch zu einigen sehr wichtigen Ableitungen abseits derer, die ihrdurch die Potenzregel (Gleichung M.34) berechnen könnt:

f(x) ln x sin x cos x ex

dfdx

1x cos x − sin x ex

Ihr mögt euch wundern, warum hier Funktionen wie tan (x), Exponentialfunktio-nen wie 2x oder Logarithmen zu anderen Basen wie log2 (x) fehlen. Diese lassensich allerdings aus den oben genannten Funktionen in Zusammenhang mit de-ren Rechengesetzen und der im Folgenden behandelten Ketten-, Produkt- undQuotientenregel erklären.


Kettenregel

Mit der Kettenregel kann man Verkettungen von Funktionen ableiten. Verkettungklingt erst mal ziemlich fancy, ist aber nichts anderes als eine Funktion in einerFunktion, auch wenn das erst mal nichts mit „Inception“ zu tun hat. Mathematischkann man eine Verkettung oder Vereinigung zweier Funktionen u und v durch dasSymbol „◦“ kennzeichnen4, welches nichts anderes bedeutet als

u ◦ v = u(v(x)) . (M.39)Verkettung zweier Funktionen

Dabei hängt die Funktion v von x ab, während die Funktion u von der Funktionv abhängt (und somit indirekt auch von x). Das klingt sehr verwirrend, solltesich aber an einem Beispiel klären. Verkettungen „entstehen“ sehr leicht beiKlammern oder Funktionen wie Sinus oder Kosinus. So könnte man die Funktionf(x) =

(2x + x2)3 aufteilen in eine Verkettung f(x) = u ◦ v der Funktionen

v(x) = 2x + x2 und u(v) = v3. Sinusfunktionen haben z. B. oft eine Form wief(x) = sin(x2 + 3), was einer Verkettung von u(v) = sin(v) mit v(x) = x2 + 3entspricht. Ihr seht, das ist gar nicht so kompliziert.

So, wieder zurück zum Anfang. Solche Verkettungen lassen sich glücklicherweiserecht einfach ableiten, da für sie die Kettenregel existiert, die sich schreiben lässtals

f(x) = u[v(x)] ⇒ df

dx= du

dv· dv

dx. (M.40)

Kettenregel

In der Physikerschreibweise mit den Differenzialen ist das sogar recht anschaulich,da sich durch „Kürzen“ von dv die Ableitung der äußeren Funktion u(v) nach x

ergibt:df

dx= du

��dv· ��dv

dx= du

dx

Der Vollständigkeit halber wollen wir erwähnen, dass das kein richtiges „Kürzen“ immathematischen Sinne ist. Aber das ist eine Sache für Mathematiker und Physiker.

4 In der Schule habt ihr vielleicht das Symbol „∗“ kennengelernt; das wird in der höherenMathe allerdings lieber für Faltungen von Funktionen verwendet.


Klartext: Die Kettenregel lässt sich recht anschaulich über den Merkspruch„äußere Ableitung mal innere Ableitung“ lernen. Denn ihr multipliziert dieAbleitung der „äußeren“ Funktion u nach v mit der Ableitung der „inneren“Funktion v nach x.

Die Kettenregel begegnet euch sehr häufig bei Exponentialfunktionen. So hat z. B.der radioaktive Zerfall das Zeitgesetz N(t) = N0 · e−λt. Für N0 als Vorfaktor gilteinfach die Faktorregel, und e−λt können wir als Verkettung von u(v) = ev undv(t) = −λt mit den Ableitungen du

dv = ev und dvdt = −λ auffassen. Dadurch ergibt

sich die Ableitung sehr einfach zu

N = N0 · (−λ) · e−λt .

Solche Ableitungen von Exponentialfunktionen sollte man draufhaben, da sie euch,wie schon gesagt, wahrscheinlich häufiger begegnen.

Produktregel

Außer der Summenregel gibt es die auch schon aus der Oberstufe bekannte Produkt-regel, wenn sich eine Funktion in zwei Faktoren aufteilen lässt. Der Unterschied zurFaktorregel aus Gleichung (M.37) liegt darin, dass die Produktregel angewendetwird, wenn beide Teilfunktionen von der Ableitungsvariablen abhängen.

Lässt sich eine Funktion f(x) in zwei von x abhängige Faktoren u(x) und v(x)aufteilen, so dass f(x) = u(x) + v(x) ist, dann gilt für die Ableitung

df

dx= du

dx· v(x) + u(x) · dv

dx. (M.41)

Produktregel

Ein Beispiel: Die Funktion f(x) = x · sin(x) teilt man in die Terme u(x) = x undv(x) = sin(x), mit den Ableitungen du

dx = 1 und dvdx = cos(x). Dann ist die gesamte

Ableitung

df

dx= 1︸︷︷︸

dudx

· sin(x)︸︷︷︸v(x)

+ x︸︷︷︸u(x)

· cos(x)︸︷︷︸dvdx

= sin(x) + x · cos(x) .

Leider werden die Funktionen dadurch nicht unbedingt einfacher. Übrigens, alskleiner Fun-Fact: Faktorregel, Potenzregel und auch die Quotientenregel, die wirgleich noch behandeln werden, folgen aus der Produktregel. Die Faktorregel ergibtsich recht einfach, wenn man sich eine Beispielfunktion f(x) = a · x vorstellt. Wirkönnen u(x) = a und v(x) = x setzen. Da u(x) dabei gar nicht von x abhängt,ist die Ableitung in dem Fall du

dx = 0, und es bleibt nur der zweite Term der


Produktregel übrig, so dass die gesamte Ableitung dfdx = a · dv

dx ist, was genau derFaktorregel entspricht.Die Potenzregel können wir auch praktisch demonstrieren. So lässt sich die Funktionf(x) = x3 auch als f(x) = x · x · x schreiben. Wir wenden die Produktregel nun einerstes Mal an, wobei wir u(x) = x · x und v(x) = x wählen. Während die Ableitungvon v einfach dv

dx = 1 ist, müssen wir für u im Grunde noch mal die Produktregelanwenden.Daraus ergibt sich für u(x) die Ableitung

du

dx= 1 · x + x · 1 = x + x = 2x ,

mit der wir sofort die Ableitung von f(x) berechnen können.

df

dx= du

dx· v(x) + u(x) dv

dx= 2x · x + x · x · 1 = 2x2 + x2 = 3x2

Ihr seht, die Produktregel geht zwangsläufig in der Potenzregel auf. Je größer diePotenz ist, desto mehr Produkte sind ineinander verschachtelt.

Quotientenregel

Eigentlich wissen wir ja, dass sich Brüche durch negative Potenzen schreibenlassen. Somit könnten wir mit der Produktregel auch eine Funktion f(x) ableiten,die sich als Bruch f(x) = u(x)

v(x) zweier Funktionen darstellen lässt. Und dieseFunktion könnte man auch schreiben als f(x) = u(x) · v(x)−1, was sich durch eineKombination von Produkt- und Kettenregel lösen ließe. Bestes Beispiel hierfür wäreder oft vorkommende Tangens f(x) = tan(x) = sin(x)

cos(x) . Zum Glück gibt es abereine Formel, die man sich einfach merken kann. Man ist also doppelt abgesichert.Die Ableitung nach der Quotientenregel schreibt sich als

f(x) = u(x)v(x) ⇒ df

dx=

dudx · v(x)−u(x) dv

dx

[v(x)]2. (M.42)

Quotientenregel

Ihr bemerkt schon die Ähnlichkeit mit der Produktregel; die von ihr abweichendenTerme haben wir blau markiert. Diese Unterschiede sind leicht erklärbar, siekommen durch die negative Potenz. Da wir, wie oben schon gesagt, den Bruchauch als Produkt aus dem Zähler und v(x)−1 schreiben können, ergibt sich beiAnwendung der Potenz- und der Kettenregel als dessen Ableitung −1 · v(x)−2, alsogerade die von der Produktregel abweichenden Terme.


Am Beispiel des Tangens wäre u(x) = sin(x) und v(x) = cos(x), mit den Ablei-tungen du

dx = cos(x) und dvdx = − sin(x), und man kann die Ableitung schreiben

als

df

dx= cos(x) · cos(x) − sin(x) · (− sin(x))

cos2(x) = �� 1

cos2(x) + sin2(x)cos2(x) = 1

cos2(x) .

Im letzten Vereinfachungsschritt haben wir die Beziehung

cos2(x) + sin2(x) = 1

genutzt. Darauf werden wir in der Trigonometrie noch zurückkommen.

Klartext: Abschließend möchten wir euch noch eine Hilfestellung auf denWeg mitgeben. Um alle Regeln etwas besser unter einen Hut zu kriegen und aufKommando abrufen zu können, ist es hilfreich, sich die Regeln so zu merken,dass Ketten-, Produkt- und Quotientenregel mit u′(x) beginnen. Dann kannman sich kleine Brücken zu den einzelnen Regeln bauen (siehe Merkspruch beiKettenregel, Vorzeichen bei Produkt- und Quotientenregel). Man kommt soweniger in Versuchung, die Regeln unabsichtlich durcheinanderzubringen undTerme zu vertauschen.

Räumliche Ableitungen

Ach verflucht, Sie sind dreidimensional!

Perry Cox zu Bob Kelso

Wie euch aufgefallen sein sollte, leben wir in einem (mindestens) dreidimensionalenRaum und viele der physikalischen Größen, mit denen ihr rechnen müsst, sinddaher vektorielle Größen.Oft kann man dank des Superpositionsprinzip nur einzelne Komponenten dieserVektoren betrachten und kommt daher mit den bisher wiederholten Ableitungsre-geln gut klar. Allerdings kann es auch mal vorkommen, dass eine Berücksichtigungaller Komponenten unvermeidlich ist. Unseren schon aus Gleichung M.29 bekannteneindimensionalen Ableitungsoperator können wir dafür einfach zu einem Vektorerweitern:


�∇ =

⎛⎜⎜⎝∂

∂x

∂∂y

∂∂z

⎞⎟⎟⎠ . (M.43)

Nabla-Operator

Man nennt �∇ den Nabla-Operator. Das Wort Operator verwenden wir deshalb,weil �∇ für sich alleine stehend noch keinen Wert liefert; erst dessen Anwendungauf einen anderen Vektor führt zu einem quantitativen Ergebnis.Der Operator lässt sich dabei auf alle Funktionen (bzw. Vektoren) anwenden, dievon räumlichen Koordinaten abhängen, und zwar unabhängig davon, ob dieseeinen skalaren Wert zurückgeben (z. B. eine Dichteverteilung ρ(�x) = ρ(x,y,z)) odereinen Vektor (z. B. das elektrische Feld �E(�x) = �E(x,y,z)).

Für den ersten Fall, in dem die Funktion skalare Werte liefert, ist die Anwendungdes �∇-Operators intuitiv eindeutig, wir „multiplizieren“ ihn einfach (von links) mitder betreffenden Funktion f(�x):

�∇f(�x) =

⎛⎜⎜⎝∂f(�x)

∂x∂f(�x)

∂y∂f(�x)

∂z

⎞⎟⎟⎠ . (M.44)

Wir müssen unsere Funktion f(�x) also einmal nach jeder Koordinate partiellableiten und erhalten so aus der skalaren Funktion f(�x) plötzlich eine abgeleitetevektorielle Funktion.Diese Art der räumlichen Ableitung nennt man auch Gradient, daher findet sichhin und wieder auch die Schreibweise

grad f(�x) = �∇f(�x) . (M.45)

Ein Beispiel: Der Gradient der Funktion f(�x) = 2xy + y3 − sin z ist

grad f(�x) =

⎛⎜⎜⎝2y

2x + 3y2

− cos z

⎞⎟⎟⎠ .

Der Gradient kommt zum Beispiel bei der Bestimmung des elektrischen Feldes �E(�x)aus dem elektrischen Potenzial φ(�x) vor. In diesem Fall gilt �E(�x) = −�∇φ. Wirerhalten also ein Feld, dessen Feldlinien der Richtung der (negativen) Änderungbzw. dem (negativen) Gradienten des Potenzials folgen. Daher nennt man Felder,die, wie das elektrische Feld, über den Gradienten aus einem anderen skalaren Feldbestimmt werden können, auch Gradientenfelder.


Wollen wir nun eine vektorielle Funktion �f(�x) räumlich ableiten, ist der Fallnicht mehr so „eindeutig“ wie bei einer skalaren Funktion. Da �f(�x) und �∇ beidesVektoren sind, gibt es zwei Möglichkeiten, diese miteinander zu multiplizieren,nämlich das Skalarprodukt oder das Vektor- bzw. Kreuzprodukt.

Bei der Ableitung mithilfe des Skalarproduktes von �∇ und �f(�x), auch genanntDivergenz, erhält man also:

�∇ · �f(�x) = div �f(�x) = ∂fx(�x)∂x

+ ∂fy(�x)∂y

+ ∂fz(�x)∂z

. (M.46)

Divergenz eines Vektorfeldes

Die Schreibweise mit dem Divergenzoperator „div“ ist dabei üblicher als das ausge-schriebene Skalarprodukt.Als Beispiel könnten wir die Divergenz des im obigen Beispiel abgeleiteten Gradi-entenfeldes berechnen:

�f(�x) =

⎛⎜⎜⎝2y

2x + 3y2

− cos z

⎞⎟⎟⎠ ⇒ div �f(�x) = 0 + 6y + sin(z) .

Die Divergenz ist also wieder eine skalare Funktion, die uns für jeden Punkt desabgeleiteten Feldes einen Wert ausspuckt, der anschaulich gesehen die Quellstärkedes Feldes beschreibt, also ob Feldlinien entstehen (div �f > 0) oder verschwinden(div �f < 0). Eine der Maxwell-Gleichungen lautet z. B.

div �B = 0 , (M.47)

was aussagt, dass das magnetische Feld quellenfrei ist und somit alle Feldliniengeschlossen sein müssen, da sonst an deren Anfang bzw. Ende die Divergenz nichtnull wäre (siehe Kapitel 17).

Die Ableitung mit dem Vektor- bzw. Kreuzprodukt nennt man Rotation. Analogzum Divergenzoperator schreibt man sie oft mit dem Rotationsoperator „rot“:

�∇ × �f(�x) = rot �f(�x) =

⎛⎜⎜⎝∂fz

∂y − ∂fy

∂z

∂fx

∂z − ∂fz

∂x∂fy

∂x − ∂fx

∂y

⎞⎟⎟⎠ . (M.48)

Rotation eines Vektorfeldes

Dieses Mal erhalten wir, wie für das Vektorprodukt üblich, wieder einen Vektor.Die Rotation beschreibt dann anschaulich für jeden Punkt unseres Vektorfeldes, inwelche Richtung das Feld wie stark verwirbelt ist.

M.4 Das leidige Thema des Integrierens. . . 801

Auch hier nutzen wir das oben berechnete Gradientenfeld als Beispiel,

�f(�x) =

⎛⎜⎜⎝2y

2x + 3y2

− cos z

⎞⎟⎟⎠ ⇒ rot �f(�x) =

⎛⎜⎜⎝0 − 00 − 02 − 2

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝000

⎞⎟⎟⎠ ,

und erhalten ein wirbelfreies Feld.Eines der prominentesten Beispiele stammt ebenfalls aus den Maxwell-Gleichungen:

rot �E = −∂ �B

∂t. (M.49)

Eine zeitliche Änderung des Magnetfeldes �B erzeugt also ein verwirbeltes elektri-sches Feld �E – auch genannt magnetische Induktion.

M.4 Das leidige Thema des Integrierens. . .

Die Integration ist sehr eng mit der Ableitung verwandt, da sie praktisch ihreUmkehrung darstellt:

b∫a

f(x)dx = F (b) − F (a) (M.50)

Bestimmtes Integral

F (x) ist dabei die sogenannte Stammfunktion, für die gilt dFdx = f(x). Wir leiten

also quasi auf.Auch hier findet ihr wieder das Differenzial dx: Ihr erinnert euch vielleicht daran,dass das Integral die Fläche unter einer Kurve von a nach b darstellt. Diese Flächekann man aus n kleinen Rechtecken zwischen a und b approximieren, wobei jedesRechteck eine Seitenlänge Δx und eine Seitenlänge f(x) hat. Die Fläche würdedann als Summe aller dieser kleinsten Flächen, also

n∑Δxi

= Δxi · f(xi) ,

berechnet werden. Lässt man die Abschnitte auf der x-Achse unendlich klein, alsozum Differenzial dx, werden, so wird die Berechnung dieser Fläche exakt, manmüsste aber auch unendlich oft summieren. Das Integral kann nun als unendlicheSumme mit unendlich kleinen Rechtecken der Seitenlänge dx und f(x) aufgefasstwerden.

b∫a

f(x)dx „=“b∑

x=a

f(x) · dx


Oft sieht man das Integral jedoch ohne Integrationsgrenzen a und b. In diesem Fallgilt allgemein

F (x) =∫

f(x) dx + C . (M.51)

Unbestimmtes Integral

In diesem Fall ist das Integral unbestimmt, da wir ihm keinen Wert, sondern nureine Stammfunktion F (x) zuordnen können. Genau genommen sogar unendlichviele Stammfunktionen, die sich nur um die Konstante C unterscheiden. Denn daeine Konstante bei einer Ableitung immer verschwindet, wird die StammfunktionF (x), unabhängig von der gewählten Konstante C, bei Ableitung zur ursprünglichintegrierten Funktion f(x).

Stammfunktion

Doch nun zum wahren Problem. Wie ermitteln wir die Stammfunktion? Eigentlichüber das, was wir schon kennen: Die Ableitung. Dabei müssen wir leider ein weniginvers denken und eine Funktion F (x) suchen, die abgeleitet wieder f(x) ergibt.So wäre zum Beispiel für die Funktion f(x) = x2 die Stammfunktion F (x) = 1

3 x3

möglich, da gilt:

F ′(x) = 3 · 13x3−1 = x2 ⇒

∫f(x) dx = F (x) + C .

Diese Stammfunktion könnten wir jetzt auch für das Integrieren mit Grenzenverwenden:

1∫0

f(x) dx = F (1) − F (0) = 1313 − 0 = 1

3

Die Stammfunktion zu finden, ist meistens nicht so schwer, sondern eher verwirrend,da man durch die Ableitung so sehr an die „andere Richtung“ gewöhnt ist.

Betrachten wir noch mal kurz die ominöse Konstante C, die wir eigentlich mitschlei-fen müssten. So könnten wir f+r f(x) = x2 auch die Stammfunktion F (x) = 1

3 x3+4,also C = 4 verwenden, da die 4 bei der Ableitung ja wieder wegfällt.

Klartext: Lasst euch von der Konstante nicht verwirren. Für das Verständnisvon Formeln benötigt man sie eigentlich nie! Sie sagt eigentlich nur aus, dassin der Ableitung die Information über den y-Achsenabschnitt verloren geht, dieman in der Integration nicht wieder herstellen kann.

M.4 Das leidige Thema des Integrierens. . . 803

Integrationsregeln

So, nun kommen wir zu den wichtigsten Integrationsregeln. Wie auch bei derAbleitung gelten beim Integrieren die Faktor- und die Summenregel. Das heißt, ihrkönnt Summen zweier Funktionen getrennt integrieren und auch Vorfaktoren ausden Integralen ziehen:

∫[f(x) + g(x)] dx =

∫f(x) dx +

∫g(x) dx , (M.52)

Summenregel

bzw.

∫[a · f(x)] dx = a ·

∫f(x) dx . (M.53)

Faktorregel

Zwei Beispiele gefällig? Hier ein Beispiel für die Summenregel:∫(cos x + 2x) dx =

∫cos x dx +

∫2x dx = sin x + x2

und eines für die Faktorregel:∫4ex dx = 4

∫ex dx = 4ex .

Viel mehr wird von euch meist nicht verlangt. Es gibt allerdings noch eine Regel, dieeventuell mal zur Sprache kommen könnte, nämlich die der partiellen Integration.Sie ist quasi eine Umkehrung der Produktregel:

∫f(x) · g′(x) dx = [f(x) · g(x)] −

∫f ′(x) · g(x) dx (M.54)

partielle Integration

Die eckigen Klammern bei [f(x) · g(x)] sind insoweit wichtig, da wir, falls wirIntegrationsgrenzen a und b verwenden, um ein bestimmtes Integral herzuleiten,dort an den Grenzen a und b auswerten müssen:

b∫a

f(x) · g′(x) dx = [f(b) · g(b) − f(a) · g(a)] −∫

f ′(x) · g(x) dx . (M.55)

Integrale können manchmal etwas abschreckend wirken. Oft sind jedoch nur einfacheZusammenhänge in Integralen verpackt und sehen dadurch komplexer aus. Sokönnte man schon die Formel s = v · t als Integral schreiben:

s =∫

v dt (M.56)


Lasst euch von Integralen also nicht verwirren. Der Grund dafür, dass Physiker sieso gerne verwenden, ist, dass sie Zusammenhänge allgemeiner darstellen, und nichtnur für Spezialfälle (z. B. konstante Funktionen) gültig sind.

Ein paar wichtige Integrale

Natürlich gibt es auch wieder ein paar spezielle oder besonders häufig vorkommendeIntegrale. Die folgenden entsprechen den wichtigen Ableitungen, die wir euch imvorherigen Kapitel schon gezeigt haben:∫

eax dx = 1a

eax ,∫1x

dx = ln x ,∫cos (ωt) dt = 1

ωsin (ωt) ,∫

sin (ωt) dt = − 1ω

cos (ωt) .

Bei allen Stammfunktionen auf der rechten Seite könntet ihr natürlich noch eineKonstante C dazu addieren.

M.5 Periodische Funktionen und komplexe

Zahlen

Trigonometrie

Diesen Namen habe ich schon seit Ewigkeiten nicht mehr gehört.

Obi-Wan Kenobi

Trigonometrische Funktionen sind vor allem in zwei Fällen wichtig: bei oszilla-torischen Prozessen, also bei allem, was schwingt, und bei der Bestimmung vonVektorkomponenten bzw. deren Projektionen auf bestimmte Achsen. Rufen wir unszuerst die generellen Regeln zu trigonometrischen Funktionen aus der Schule wiederins Bewusstsein: Ihre berühmtesten Vertreter sind der Sinus und der Kosinus. Ausbeiden lässt sich darüber hinaus noch der Tangens bilden:

M.5 Periodische Funktionen und komplexe Zahlen 805

tan α = sin α

cos α. (M.57)

Definition des Tangens

Ihre ursprüngliche Definition geht auf rechtwinklige Dreiecke zurück, wobei Sinusund Kosinus daher nur für Winkel bis 90◦ definiert sind. Die Definition von Sinusund Kosinus im Dreieck lautet dabei

sin α = GegenkatheteHypothenuse , (M.58)

cos α = AnkatheteHypothenuse . (M.59)

Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck

Um den Winkel α zu erhalten, verwendet man dabei die Umkehrfunktionenarcsin, arccos und arctan. Manchmal schreibt man stattdessen auch sin−1, wobeidies nicht (!) 1/ sin bedeutet, sondern ebenfalls für die Definition der Umkehr-funktion steht. Konkret erhält man z. B. den zugehörigen Winkel zu sin α = 0,5mit α = arcsin(0,5). Das Argument des Arkussinus ist nun eine Zahl und keinWinkel in Grad und wird deshalb als Bogenmaß verstanden. Darüber kommenwir auch zum wichtigen Punkt der Darstellung des Winkels α. Dabei gibt es nunzwei Möglichkeiten: in Grad bzw. im Bogenmaß in Radiant, d. h. als Bruchteilebzw. Vielfache von π (oder einfach als Dezimalzahl). Die Umrechnung erfolgt dabeiüber

2π ≡ 360◦ ⇒ 1◦ ≡ 2π

360 , (M.60)

Umrechnungsregel für Grad und Bogenmaß

wobei das Zeichen „≡“ eine Äquivalenz darstellt. Diese Äquivalenz rührt aus ihreralternativen Darstellung durch den sogenannten Einheitskreis her. Im Einheitskreis(der so heißt, weil er aus Gründen rechnerischer Einfachheit einen Radius der Länge1 besitzt) erhält man mittels des Sinus und des Kosinus schnell die erwähntenProjektionen des Radialvektors �r auf die x- bzw. die y-Achse mittels

sin α = Ordinate , (M.61)cos α = Abszisse , (M.62)


α

r = 1sin(α)

cos(α)αα

Abb. M.1: Der Einheitskreis mit dem Radius 1.Der Sinus ist darin als der y-Wert in Abhängig-keit vom Winkel α im rechtwinkligen Dreieck de-finiert, während der Kosinus den x-Wert darstellt.Für den kompletten Kreis ergeben sich auch ne-gative Werte für den Sinus bzw. den Kosinus.

was daran liegt, da die Hypothenuse des Dreiecks gleich dem Radius des Ein-heitskreises, also gleich 1 ist (siehe Abbildung M.1). Obige Darstellung von Sinusund Kosinus in Gleichung M.58 und M.59 ist vor allem von Interesse, wenn manVektorkomponenten (wie in diesem Fall die des Radialvektors) ermitteln muss(siehe zum Beispiel bei Kräfte- oder Geschwindigkeitszerlegungen wie in Abschnitt2.1). Dies geschieht bei einem zweidimensionalen Vektor �v folgendermaßen:

vx = v cos α , (M.63)vy = v sin α . (M.64)

Aufspaltung in Vektorkomponenten

Beim Einheitskreis wird die Länge des Sinus und des Kosinus dabei maximal 1.Allerdings besitzt ein Kreis nicht nur 90◦, sondern volle 360◦, was im Bogenmaß2π entspricht. Dadurch machen Werte der Winkel bis 360◦ Sinn, was entsprechendauch zu negativen Werten des Sinus und des Kosinus führt. Der Radialvektorführt dabei eine Drehung um den Ursprung aus. Am Einheitskreis zeigt sich soam besten die oszillatorische Eigenschaft von Sinus und Kosinus, zum einen inder Radialvektorrotation und zum anderen in der Projektion in den resultierendenbekannten Kurven der beiden Funktionen mit Werten zwischen +1 und −1:


0 1 2 3 4 5 6 7x

−1.0−0.5

0.00.51.0

y

SinusKosinus

Das Tolle bei der Sinus- und der Kosinusfunktion ist nun, dass sie periodischsind, sich also mit einer Periode von 2π bzw. 360◦ mit jeder Umdrehung ständigwiederholen. Außerdem überführen sie sich auch beim zweimaligen Ableiten undIntegrieren immer wieder in sich selbst. Daher sind sie wunderbar für Prozessegeeignet, die durch Differenzialgleichungen beschrieben werden (wie zum BeispielSchwingungen). Durch Ableiten erhalten wir

d sin(x)dx

= cos(x) (M.65)

undd cos(x)

dx= − sin(x) . (M.66)

Darüber hinaus gibt es noch einige interessante Relationen zwischen Sinus undKosinus: Zum Einen ist dies die sogenannte Phasenverschiebung um 90◦, die beideFunktionen ineinander überführt:

cos α = sin(90◦ + α) = sin(π

2 + α)

, (M.67)

sin α = cos(90◦ − α) = sin(π

2 − α)

. (M.68)

Zum Anderen sind dies folgende nette Relationen:

cos(−x) = cos(x) , (M.69)sin(−x) = − sin(x) , (M.70)

sin2(x) + cos2(x) = 1 , (M.71)sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) , (M.72)

cos(2x) = cos2(x) − sin2(x) , (M.73)sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) , (M.74)cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y) . (M.75)


Natürlich gibt es auch noch unglaublich viele mehr, aber das sind eindeutig dieWichtigsten. Solltet ihr über komplizierte trigonometrische Umformungen stolpern,denkt einfach dran: Ausführliche Formelsammlungen sind eure Freunde!Die letzte wichtige Relation, die wir im Kontext der trigonometrischen Funktionennoch erwähnen wollen, ist die Näherung für kleine Winkel. Sie besagt nämlich, dassfür hinreichend kleine Winkel (als Faustformel nimmt man normalerweise nichtsgrößer als 5◦) gilt:

sin α ≈ α ≈ tan α . (M.76)

Kleinwinkelnäherung

Diese Beziehung gilt formal im Bogenmaß.5 Ihre Berechtigung bekommt dieseNäherung durch die sogenannte Taylor-Approximation, die zum Schluss im Mathe-Anhang kurz behandelt wird. Ihr könnt einfach mal den Winkel 1◦ ins Bogenmaßumrechnen, den Sinus davon berechnen und schauen, was dabei rauskommt: fastgenau der Wert von α im Bogenmaß.Wir haben in obigen Beispielen immer das Argument x für allgemeine Ausdrückeverwendet. Den Winkel α haben wir immer dann verwendet, wenn wir explizit dasArgument in Grad oder im Bogenmaß behandeln. Merkt euch zu allerletzt nochFolgendes: Das Argument der trigonometrischen Funktionen im Bogenmaß mussimmer einheitenlos sein! Schaut dazu im Kapitel über Schwingungen, Wellen undPeriodisches nach, wo im Argument immer ωt steht, was einheitenlos ist.

Die e-Funktion

Die Exponentialfunktion ist eine tolle Sache: Sie beschreibt eine Unmenge anProzessen in der Physik und in vielen anderen Wissenschaften. So finden wirsie unter anderem bei Zerfallsprozessen, aber auch Schwingungen lassen sich mitihr beschreiben. Zunächst ist sie die spezielle Form einer Potenzfunktion mit derVariablen im Exponenten (und zwar meist linear). Die Basis ist die reelle Euler’scheZahl e = 2,718 281 828 . . . , und die e-Funktion schreibt sich

f(x) = ex = exp(x) . (M.77)Exponentialfunktion

5 Prinzipiell dürft ihr das natürlich auch für Winkel in Grad verwenden, aber der Sinusvon einem Winkel in Grad ergibt in der obigen Relation natürlich eine dimensionsloseZahl. . .


Je nach Praktikabilität in der Darstellung verwendet man einen der beiden Ausdrü-cke in obiger Gleichung. Das Tolle ist, dass auch ihre Ableitung und ihr Integralwieder e-Funktionen ergeben. In dieser Hinsicht ähnelt sie dem Sinus und demKosinus. Ihr Inverses ist der natürliche Logarithmus ln(x). Somit erhält man auseiner Gleichung wie

ex = 2 (M.78)

ganz schnell durch Logarithmierung auf beiden Seiten den x-Wert

ln(ex) = x = ln(2) . (M.79)

übrigens gilt für die e-Funktion

eln(x) = x . (M.80)

Auch im Fall der e-Funktion muss wie schon beim Sinus und beim Kosinus derExponent insgesamt immer einheitenlos sein! Das ist ganz wichtig!Die e-Funktion hat aber noch eine weitere tolle Eigenschaft: Der Sinus und derKosinus lassen sich aus Exponentialfunktionen zusammengesetzt schreiben als

sin(x) = eix − e−ix

2i, (M.81)

cos(x) = eix + e−ix

2 . (M.82)

Hierbei tritt die komische Größe i auf. Sie besagt, dass wir es mit dem sogenanntenImaginärteil einer komplexen Zahl zu tun haben, und deutet in Verbindung miteiner e-Funktion immer irgendwie auf eine Schwingung hin. Umgekehrt findet manhäufig auch die sogenannte Euler’sche Formel

eix = cos(x) + i sin(x) . (M.83)

Euler’sche Formel

Was hat es mit komplexen Zahlen nun auf sich?

Komplexe Zahlen

Wir wollen hier nur einen sehr kurzen Abriss der komplexen Zahlen geben. Siesind vonnöten, um auch negative Wurzeln mit negativem Argument beschreibenzu können, und treten unter anderem bei Schwingungsvorgängen im Exponentender e-Funktion auf, da man mit ihnen Sinus- und Kosinus-Funktionen beschreibenkann. Die komplexe Zahl i (für „imaginär“) ist definiert als


i =√−1 . (M.84)

Sie hat dadurch die Eigenschaft, dass i2 = −1 ist. Ist ja logisch. Im Allgemeinenschreibt man eine beliebige komplexe Zahl z als

z = a + b · i , (M.85)komplexe Zahl

wobei a den sogenannten Realteil und b den Imaginärteil von z darstellt. EinBeispiel wäre z = 3 + 5i. In Kurzschreibweise sieht man häufig Re(z) = 3 undIm(z) = 5.Die Eigenschaft dieser Zweiteilung und daher linearen Unabhängigkeit der beidenTeile führt zur gängigen Beschreibung einer komplexen Zahl als Vektor in derkomplexen Zahlebene, wobei die x-Achse den realen Anteil und die y-Achse denimaginären Anteil beschreibt.Weiterhin nennt sich z der komplex konjugierte Vektor zu z. Er schreibt sichals

z = a − b · i . (M.86)komplexe konjugierte Zahl

Bei der komplexen Konjugation ist also nur das Vorzeichen des Imaginärteilsumgekehrt. Die vektorähnliche Beschreibung einer komplexen Zahl in der komplexenZahlebene führt auch zur Definition des Betrags einer komplexen Zahl, |z|. Erschreibt sich als

|z| =√

z · z =√

a2 + b2 . (M.87)Betrag einer komplexen Zahl

Das Ergebnis stellt wiederum eine reelle Zahl dar und findet z. B. Verwendungals der Betrag von Scheinwiderständen in Schwingkreisen, die wir am Ende derElektrodynamik eingeführt haben.

M.6 Differenzialgleichungen 811

M.6 Differenzialgleichungen

Klassifizierung

Differenzialgleichungen (kurz einfach DGL genannt) finden sich fast überall: Inder Physik sind sie schon in der Mechanik zum Beispiel bei schwingenden Syste-men, dem sogenannten harmonischen Oszillator, wichtig und ziehen sich sowohldurch die Thermodynamik als auch durch die Elektrodynamik, wie im Falle vonKondensatorschaltungen, und ebenso durch fast alle Gebiete der Physik. Sie sindschlichtweg unverzichtbar. Aber nicht nur in der Physik sind sie überall vorzufinden.Überall, wo mathematisch etwas modelliert werden muss, haben sie auf die eineoder andere Weise ihre Finger im Spiel: In der Biologie beim Räuber-Beute-Schema,bei der Signalverarbeitung in Zellen und in genregulatorischen Netzwerken, in derChemie bei Ratengleichungen, schließlich auch in der Medizin und natürlich imIngenieurswesen, in der Wirtschaft und in der Finanzbranche, im Straßenverkehr,und so weiter und so fort.Was sind nun DGLs? Eine DGL ist eine Gleichung, in der eine Funktion undmindestens eine ihrer Ableitungen nach mindestens einer ihrer Variablen vorkom-men. Häufig ist dies die Zeit (im Fall von dynamischen Prozessen, bei denen dieZeitentwicklung wichtig ist) oder der Ort. Manchmal kann dies der Impuls oder einethermodynamische Phasenvariable sein. Darüber hinaus gibt es zwei Kategorien:die gewöhnlichen Differenzialgleichungen (engl. ODE = ordinary differential equa-tions) und die partiellen Differenzialgleichungen (engl. PDE = partial differentialequations).Zu den wichtigsten zählen die gewöhnlichen Differenzialgleichungen, bei denen dieentsprechende Funktion nur nach einer Variable abgeleitet wird. Bei PDEs tauchenzum Beispiel Ableitungen nach dem Ort und nach der Zeit auf.Zusätzlich muss generell die Ordnung einer Differenzialgleichung angegeben werden:Eine DGL erster Ordnung bedeutet, dass nur eine einmalige Ableitung vorkommt,zum Beispiel die Ableitung des Ortes x nach der Zeit t. Von zweiter Ordnung wärez. B. eine DGL, die eine zweimalige Ableitung des Ortes nach der Zeit beinhaltet,wie beim harmonischen Oszillator.Zudem gibt es noch die Klassifizierung in homogene und inhomogene DGL. Einehomogene DGL enthält keine additive Konstante, während im Fall einer inhomo-genen DGL eine Konstante (die in der Physik als externer Term, der als die dasSystem antreibende Kraft interpretiert wird) auftaucht.Das Wichtige an DGLs sind natürlich ihre Lösungen. Jedes Mal, wenn wir eineDGL sehen, möchten wir sie nach der entsprechen Funktion auflösen. Ein trivialesUmformen hätte immer noch zur Folge, dass die Funktion f von ihrer eigenenAbleitung abhängt. Im Falle schwieriger Einzelexemplare und im Falle von einergroßen Anzahl an gekoppelten Differenzialgleichungen müssen solche Systeme häufig


numerisch, also am Computer gelöst werden.Gekoppelt sind DGLs dann, wenn eine weitere zeitabhängige Variable in einer DGLvorkommt, für die wiederum eine eigene DGL gilt, usw. Dies kann ganz schnelleine sehr verschachtelte Angelegenheit werden.

Lösungsmethoden

Kommen wir aber zu den analytischen Lösungsmethoden, wobei wir uns dreiArten von DGLs anschauen: eine homogene gewöhnliche DGL 1. Ordnung, eineinhomogene gewöhnliche DGL 1. Ordnung und eine homogene gewöhnliche DGL 2.Ordnung. Das sind für uns die wichtigsten Typen, da sie am häufigsten vorkommen.

Homogene gewöhnliche DGL 1. Ordnung

Ein einfaches Beispiel für eine homogene gewöhnliche DGL 1. Ordnung ist folgen-des:

∂f(t)∂t

= f(t) ⇒ ∂f(t)∂t

− f(t) = 0 . (M.88)

Wir gehen dabei davon aus, dass die Funktion f ggf. von mehreren Variablenabhängen kann, weswegen wir die partielle Ableitung ∂ verwenden. Die Gleichungbedeutet nichts anderes, als dass die Ableitung dieser Funktion f(t) wieder dieFunktion selbst ergeben muss. Wir wissen, dass dies zum Beispiel für die Expo-nentialfunktion gilt. Diese Lösung haben wir sozusagen geraten, aber es ist jaschließlich eine Lösung, und mehr wollen wir gar nicht. Dieses Vorgehen bezeich-net man als Lösungsansatz. Eine andere, stringentere Möglichkeit ergibt sich fürgewöhnliche Differenzialgleichungen 1. Ordnung durch die Methode der Separationder Variablen.6 Dabei fassen wir für einen Moment das ∂ als d auf. Der genaueBeweis für die Berechtigung dieses Vorgehens braucht uns an dieser Stelle nichtzu interessieren. Es soll uns ausreichen, dass wir in obiger DGL die Differenzialetrennen dürfen wie folgt:

df(t) = f(t) · dt . (M.89)

Daraufhin bringen wir noch das einsame f(t) auf die Seite seines zugehörigenIntegrals und integrieren auf beiden Seiten

6 Die eine „Variable“ ist hier die Funktion f(t) und die andere die Zeit t.


∫df(t)f(t) =

∫dt . (M.90)

Separation der Variablen

Die Integrale liefernln(f(t)) = t + C , (M.91)

wobei wir durch das erste Integral einen Logarithmus und durch das rechte zu-sätzlich eine Integrationskonstante C erhalten haben. Als nächstes bilden wir, umden Logarithmus zu eliminieren, auf beiden Seiten die Exponentialfunktion underhalten schließlich

eln(f(t)) = et+C , (M.92)f(t) = et · eC . (M.93)

Manchmal schreibt man den Faktor eC , da er als Ganzes eine Konstante darstellt(e ist eine Konstante und der Exponent ebenso), gleich als C oder als f0. DieBedeutung dieser Schreibweise wird schnell deutlich, wenn wir noch einen weiterenbei DGLs wichtigen Faktor berücksichtigen: Wir stellen uns vor, dass wir denAnfangszustand des entsprechenden Systems, welches durch die DGL beschriebenwird, schon kennen. Dies nennt man ein Anfangswertproblem7. Die Anfangsbedin-gung ist eine weitere Prämisse, die für das System gelten muss. Aber keine Angst:Ihre Anwendung ist einfach! Generell hat eine Anfangsbedingung (zur Zeit t = 0)die Form

f(t = 0) = f0 ,

liefert also einen konstanten Wert f0. Dieser kann zum Beispiel je nach Problem-stellung −10, 1, π oder bei einer DGL, die nicht einheitenlos ist, eine Konstantemit der jeweiligen Einheit sein. Wir nehmen einfach mal den allgemeinen Wert f0.Wir setzen nun in Gleichung M.93 in der Lösung der DGL f(t) zum einen die Zeitt = 0 und zum anderen den zugehörigen Funktionswert f0 ein:

f(0) = f0 = e0 · eC = 1 · eC .

Wir erhalten damit

eC = f0 ,

und somit

7 Die ist analog zum Bestimmen der Integrationskonstanten bei Integralen.


f(t) = f0 · et . (M.94)Lösung für eine einfache homogene DGL 1. Ordnung

Setzen wir nun diese Lösung wieder in obige DGL (Gleichung M.88) ein, könnenwir leicht deren Richtigkeit bestätigen:

∂f(t)∂t

= ∂(f0 · et)∂t

= f0 · et = f(t) .

Juhuuu, das sieht korrekt aus! Erste Mission erfolgreich beendet: homogene ge-wöhnliche DGL 1. Ordnung gelöst! Im Falle des radioaktiven Zerfalls hätten wirstattdessen eine Gleichung der Form ∂N(t)/∂t = −λN(t), woraus sich dann analogdie Lösung N(t) = N0 exp(−λt) ergibt. Genaueres dazu findet ihr im Kapitel zurRadioaktivität.

Inhomogene gewöhnliche DGL 1. Ordnung

Was aber, wenn in der DGL noch ein konstanter Term vorkommt, wir also eineinhomogene DGL 1. Ordnung der Form

∂f(t)∂t

= f(t) + b (M.95)

haben? Man unterscheidet dabei nun zwischen einer allgemeinen und einer parti-kulären Lösung der DGL. Die allgemeine Lösung hatten wir für den obigen Falleiner homogenen DGL erhalten. Dazu muss man aber noch die partikuläre Lösungaddieren, die durch die additive Konstante nötig wird. Dies geschieht folgenderma-ßen über die sogenannte Variation der Konstanten: Dabei nimmt man an, dassdie Konstante C der allgemeinen Lösung der homogenen DGL nun von der Va-riablen, in unserem Fall von der Zeit t, abhängt: C(t). Dieser Term wird somitfür das Auffinden der Lösung miteinbezogen – man kann ihn nun variieren, umdem Problem mit mehr „Flexibilität“ zu begegnen und um die Lösung auf die„Störung“ des Systems durch den konstanten8 Term b zu finden. Der Ansatz lautetnun folgendermaßen:

8 Da ihr sicher unglaublich aufmerksam lest, ist euch an der Stelle sicherlich die Parallelezur ehemaligen Konstanten C aufgefallen, die man jetzt dementsprechend anpassen muss.


fp(t) = C(t) · et , (M.96)Ansatz der partikulären Lösung

wobei der Index p für partikulär steht und wir einfach die Lösung der homogenenDGL genommen und f0 durch C(t) ersetzt haben. Nun differenzieren wir dieseGleichung unter Anwendung der Produktregel und erhalten

∂fp(t)∂t

= ∂

∂t

(C(t)et

)= ∂C(t)

∂tet + ∂et

∂tC(t)

= ∂C(t)∂t

et + et · C(t) .

Nun setzen wir fp(t) und ∂fp(t)∂t in die ursprüngliche inhomogene DGL ein und

erhalten

∂C(t)∂t

et + et · C(t) = C(t)et + b .

Schließlich formen wir nach ∂C(t)∂t um und integrieren den Ausdruck über die Zeit:

∂C(t)∂t

= b · e−t ,

C(t) = −b · e−t .

Daraus folgt in unserem Fall für die partikuläre Lösung

fp(t) = −b

und für die gesamte Lösung der inhomogenen DGL

f(t) = fa(t) + fp(t) = C · et − b .

Das Ganze war natürlich für unsere allgemeine Beispiel-DGL ein wenig unspekta-kulär. Aber für andere Fälle sieht die partikuläre Lösung nach obigem Schema Fhäufig viel nicht-trivialer aus.

Homogene DGL 2. Ordnung

Solche Gleichungen sind insbesondere relevant für den Fall oszillierender Systeme,etwa den harmonischen Oszillator. Der allgemeine lineare Fall lautet


∂2f(t)∂t2 + a

∂f(t)∂t

+ bf(t) = 0 . (M.97)

Für a = 0 erhalten wir einen ungedämpften harmonischen Oszillator und für a �= 0einen gedämpften. Zunächst machen wir einen Lösungsansatz, d. h. wir suchen nacheiner Funktion, die sich bei zweimaliger Ableitung möglichst selbst reproduziert.Dies ist natürlich wieder der Fall bei einer Exponentialfunktion. Somit wählen wirals Lösungsansatz

f(t) = C · eλt . (M.98)

Hiervon bilden wir die erste und die zweite Ableitung und setzen beide in die DGLein:

∂f(t)∂t

= λC · eλt ,

∂f(t)2

∂t2 = λ2C · eλt ,

⇒ C · eλt(λ2 + aλ + b) = 0 .

Dies gilt dann, wenn der Term in der Klammer gleich null wird:

λ2 + aλ + b = 0 .

Charakteristische Gleichung

Diese sogenannte charakteristische Gleichung hat dank der Mitternachtsformelfolgende Lösungen

λ1,2 = −a

2 ±√

a2

4 − b

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich null wird, ist das allesnatürlich kein Problem. Wenn der Term allerdings kleiner null wird, erhaltenwir eine komplexe Zahl. Für letzteren Fall erinnern wir uns an die GleichungenM.81 und M.82 zurück, wo beschrieben wird, wie Exponentialfunktionen mitkomplexen Exponenten mit trigonometrischen Funktionen zusammenhängen. AlsGesamtlösung ergibt sich nun aus der Superposition der beiden Lösungen9 allgemein

f(t) = C1 · eλ1t + C2 · eλ2t . (M.99)

9 Das heißt wir summieren einfach beide Lösungen. . .


Sehen wir uns den speziellen Fall eines gedämpften harmonischen Oszillators mita = 1 = b an:

∂2f(t)∂t2 + ∂f(t)

∂t+ f(t) = 0 ,

λ2 + λ + 1 = 0 ,

λ1,2 = −12 ±

√3

2 i .

Wir erhalten somit als Lösung

f(t) = C1 · e− 12 t+

√3

2 it + C2 · e− 12 t−

√3

2 it

= e− 12 t

[C1 · e

√3

2 it + C2 · e−√

32 it

]= e− 1

2 t

[(C1 + C2) cos

(√3

2 t

)+ (C1 − C2)i sin

(√3

2 t

)]= e− 1

2 t

[A cos

(√3

2 t

)+ B · i · sin

(√3

2 t

)],

wobei wir in der letzten Gleichung die Konstanten gemäß A ≡ (C1 + C2) undB ≡ (C1 − C2) umbenannt haben und im vorletzten Schritt die Exponentialfunk-tion über Sinus und Kosinus mit Gleichung M.5 umschrieben haben. Wir sehenhier das oszillatorische Verhalten von Sinus und Kosinus sowie die Dämpfunggemäß der abfallenden Exponentialfunktion. Dabei erhalten Sinus und Kosinus dieabfallende Exponentialfunktion als Einhüllende. Ist a = 0, fällt der Term mit ∂f(t)

∂t

aus der DGL heraus. In den Lösungen für λ fällt dabei der Realteil heraus, und derdämpfende Exponentialterm fehlt in der Lösung von f(t). Dieser Fall gilt dann fürungedämpfte Oszillationen. In realen Problemen stellt sich unter Einbeziehung vonAnfangsbedingungen10 heraus, dass B selbst imaginär ist, wodurch wir aufgrundvon i2 = −1 keinen imaginären Lösungsteil mehr vorliegen haben. Andernfallswäre eine solche Lösung auch sehr schwer anschaulich zu erklären, denn was würdeuns bei einer Pendelschwingung eine imaginäre Strecke sagen?

In obigen Beispielen hatten wir immer lineare DGLs betrachtet, also solche,bei denen nur Terme in erster Potenz von f(t) auftauchen. In der Realität hat manes allerdings, auch in der Chemie und der Biologie, häufig mit nichtlinearen DGLszu tun, die auch Terme höherer Ordnung, wie zum Beispiel (f(t))2 oder (f(t))3,beinhalten. Die Lösung solcher Gleichungen ist ein wenig trickreicher. Zudemkommt es, wie erwähnt, häufig zur Kopplung mehrerer Differenzialgleichungen.Für unsere physikalischen Anwendungen soll uns das an dieser Stelle aber nicht

10 Im Falle von zwei unbestimmten Konstanten A und B brauchen wir zwei Anfangsbedin-gungen.


weiter interessieren. Dennoch kann das für euer Fachgebiet einmal relevant seinund wir verweisen daher auf entsprechende Lehrbücher.

M.7 Die Taylor-Approximation

Hat man es mit nichtlinearen Funktionen zu tun, dann möchte man diese manchmalmit einfacheren Ausdrücken approximieren, d. h. nähern. Eine beliebte Methodedafür ist in der Physik die sogenannte Taylor-Reihe (oder Taylor-Näherung bzw.-Approximation). Man zerlegt eine beliebige Funktion F (x) in eine Summe vonPolynomen. Diese Polynom- oder Potenzreihe beschreibt in ihrer Gesamtheit mitEinbeziehung aller Ordnungen die ganze Funktion. Aus praktischen Gründenbetrachtet man aber die Taylor-Reihe nur bis zu einer bestimmten Ordnung undapproximiert somit lediglich die gesuchte Funktion. Die nötige Genauigkeit hängtnatürlich vom betreffenden Problem ab (mit dem man sich also sehr gut auskennenmuss), aber häufig betrachtet man jedoch nur die Terme bis zur 2. Ordnung in derentsprechenden Variablen oder im Falle der beliebten sogenannten Linearisierungnur bis zur 1. Ordnung in der Variablen.Im Allgemeinen lautet die Taylor-Reihe einer Funktion F (x)

F (x; a) =∞∑

n=0

F (n)(a)n! (x − a)n . (M.100)

Taylor-Reihe

Hierbei bezeichnet F (n) die n-te Ableitung von F nach x, wobei n auch dieOrdnung des Summanden in der Reihe darstellt und a den Punkt, an dem dieFunktion entwickelt wird. Dieser Punkt ist zwar beliebig, liegt in den meistenProblemen allerdings bei x = 0 (diese Reihen nennt man dann in der MathematikMacLaurin’sche Reihen). Die Taylor-Entwicklung muss an einem bestimmtenPunkt erfolgen, da bei einer komplexen zusammengesetzten Funktion, wie beimHerzschlag in einem EKG, an jeder Stelle die Näherung bei niedrigen Ordnungenein wenig anders aussieht. Man denke dabei nur an eine Entwicklung bis zur erstenOrdnung, also das Anlegen einer Gerade in diesem Punkt. Eine Gerade ist füreinen Herzschlag tatsächlich eine recht mittelprächtige Näherung, allerdings ist dieGeradengleichung an jeder Stelle einer Periode des Herzschlags ein wenig anders.Deswegen ist es wichtig, sich einen bestimmten Punkt zur Taylor-Entwicklung zusuchen. Je höher die Ordnung, umso irrelevanter wird die Wahl des Punkts füreine spezifische Fragestellung.Um aus dieser recht abstrakten Formulierung etwas zu lernen, schauen wir uns

M.7 Die Taylor-Approximation 819

als einfaches Beispiel die Sinusfunktion an, und zwar am Punkt x = 0, bis zureinschließlich vierten Ordnung11:

sin(x; 0) = sin(0)0! (x − 0)0 + cos(0)

1! (x − 0)1 + − sin(0)2! (x − 0)2

+ − cos(0)3! (x − 0)3 + sin(0)

4! (x − 0)4 + · · ·

= 0 + x − 0 − x3

6 + · · ·

= x − x3

6 + O5

wobei O5 bedeutet, dass zur exakten Darstellung der Sinusfunktion noch alleOrdnungen ab x5 aufwärts folgen, aber hier nicht ausgeschrieben werden. Hättenwir die Reihe stattdessen abgebrochen und das hübsche O weggelassen, so hättenwir das Ganze mit einem „Ungefähr“-Zeichen schreiben müssen: sin(x; 0) ≈ x−x3/6.Im Falle des Kosinus ergibt sich

cos(x; 0) ≈ 1 − x2

2 + x4

24 . (M.101)

Schließlich schreiben wir noch die Taylor-Reihe für die Exponentialfunktion amPunkt null, da sie bei der Lösung des einen oder anderen Problems aus Vereinfa-chungsgründen verwendet wird:

ex =∞∑

n=0

xn

n! = 1 + x + x2

2 + x3

6 + · · · . (M.102)

Aber keine Angst: Die Taylor-Näherung wird euch nicht sehr häufig begegnen.Dennoch lassen sich mit ihr zum Beispiel die Kleinwinkel-Näherungen für denSinus und den Tangens als Taylor-Reihen bis zur ersten Ordnung beschreiben.

11 Dabei kommt alles von der nullten (also die Funktion selbst) bis zur vierten Ableitungin den Zählern der Summanden der Reihe vor.

Index

Abbe-Limit, 604Abbildung

optische, 519, 521, 528, 531, 600Abbildungsgleichung, 523, 529, 533Abbildungsmaßstab, 537, 602Aberration

chromatische, 539sphärische, 539

Ableitung, 13, 790räumliche, 199

Absoluter Nullpunkt, 237Absorptionsspektrum, 667Adhäsion, 187, 189Adiabatenexponent, 156, 306Äquipartitionstheorem, 334Äquivalenzprinzip, 45Aggregatzustand, 259Akkommodation, 535Akustik, 154Akzeptor, 717Amplitude, 135Amplitudengang, 147Anode, 364Aperiodischer Grenzfall, 144Arbeit, 70

Definition von, 70mechanische, 70

Archimedisches Prinzip, 185Astigmatismus, 540Atmosphärendruck, 182, 273atomare Übergänge, 652atomare Masseneinheit, 255Atomkraftwerk, 690Auflösung, 603

nach Abbe, 604nach Rayleigh, 606

Auftriebdynamischer, 205statischer, 184

Auftriebskraft, 185Auge, 534außerordentlicher Strahl, 565Avogadro

Gesetz von, 275Avogadro-Konstante, 254

Bändermodell, 714Balmer-Serie, 652Bandenspektrum, 676Bar, 182, 273Barometrische Höhenformel, 184Bernoulli, Gesetz von, 203Beugung, 583, 603

Hauptmaximum, 585Maximum, 585, 590, 592Minimum, 585, 589Muster, 583Nebenmaximum, 593

Beugungsscheibe, 605Bewegungsdiagramm, 32Bewegungsgleichung

harmonischer Oszillator, 134Rotationswinkel, 108

Bezugssehweite, 602bikonkav, 532bikonvex, 532Bild

-größe, 524, 534reelles, 527, 602virtuelles, 527-weite, 521, 524, 534, 602

Bindungsenergie, 689Binomische Formeln, 781Biot-Savart’sches Gesetz, 434Blende, 576Blindwiderstand

induktiver, 469kapazitiver, 468

Bogenmaß, 105, 805Bohr’sches Magneton, 659Boltzmann-Konstante, 278Boyle-Mariotte

Gesetz von, 276Bragg

-Bedingung, 572-Reflexion, 571

Braun’sche Röhre, 370Bravais-Gitter, 711Brechkraft, 523, 525Brechung, 574

an sphärischen Grenzflächen, 520Doppel-, 565Licht, 515, 520, 562, 574

Brechungsgesetz, 517Brechungsindex, 496, 515, 524, 550

Polarisationsabhängigkeit, 565Brenn

-ebene, 524-punkt, 524-weite, 524

Brewster-Winkel, 563Brown’sche Bewegung, 326

C14-Methode, 695Carnot-Prozess, 309charakteristische Länge, 197

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019C. Kommer et al., Tutorium Physik fürs Nebenfach,https://doi.org/10.1007/978-3-662-59396-7

Index 821

Compton-Effekt, 634Coulombkraft, 349Cunningham-Korrektur, 760

Dämpfung, 144De-Broglie-Wellenlänge, 638Dezibel-Skala, 167Diamagnetismus, 446Dichte, 111, 154, 155

Massen-, 181Dichteanomalie, 264Dielektrikum, 373dielektrische Verschiebung, 375Differenzenquotient, 791Differenzial, 790Differenzialgleichungen, 811Differenzialquotient, 791Dipolmoment

elektrisches, 374magnetisches, 445

DispersionKurve, 550optische, 539, 549

Divergenz, 199Donator, 717Doppelbrechung, 565Doppelspalt, 584

Interferenzbedingungen, 585Doppler

-Sonographie, 165-Verschiebung, 159

Doppler-Effektakustischer, 158optischer, 503

DosisÄquivalent-, 701Energie-, 700

Dotierung, 717Drehimpuls, 117

-erhaltung, 117Drehmoment, 113Druck, 204, 272

Atmosphären-, 182, 273-gradientenkraft, 208hydrodynamischer, 204hydrostatischer, 182, 204Luft-, 183, 273mikroskopisch, 329Stau-, 205-welle, 154

Dulong-PetitGesetz von, 336

Durchschnittsgeschwindigkeit, 29

EffektivwerteSpannung und Strom, 465

Einfallswinkel, 517

Einhüllende, 586Einheitenpräfixe, 6Einzelspalt, 587Elastizität, 123Elastizitätsmodul, 123elektromagnetisches Spektrum, 501Elektronenleitung, 717Elektronenniveaus, 654Elektronenübergänge, 657Elektronenvolt, 358Elementarladung, 757Elementarwelle, 573Elementarzelle, 710Emissionsspektrum, 668Energie

-erhaltung, 78Definition von, 70elektrische, 357Elektronenschalen, 651Höhen-, 71kinetische, 73magnetische, 457mikroskopisch thermische, 330Photonen-, 620potenzielle, 71Rotations-, 121Ruhe-, 227Spann-, 73

Energiedichte, 497Entartung, 657Enthalpie, 260

freie, 288spezifische, 261

Entropie, 282makroskopische Definition, 286mikroskopische Definition, 284

Exponentialfunktion, 808Umkehrfunktion der, 783

Fallfreier, 46

Fehler-balken, 750des Mittelwerts, 740-fortpflanzung, Gauß’sche, 743-gerade, 750Herstellerangabe, 734mittlerer, 737-rechnung, 742relativer, 744Standardabweichung, 737statistischer, 736systematischer, 733

Fehlsichtigkeit, 540Korrektur der, 535

Feld, 74elektrisches, 351

822 Index

magnetisches, 433Radial-, 75Skalar-, 75Vektor-, 75, 199

Feldlinienelektrische, 348magnetische, 431

Fermat’sches Prinzip, 512, 516Fermi-Dirac-Verteilung, 715Fermi-Energie, 715Ferromagnetismus, 446Flaschenzug, 116Fließgeschwindigkeit, 194, 196, 197, 203Flüssigkeit, 180Fluid, 180, 195

inkompressibles, 199kompressibles, 199Newton’sches, 192nicht-Newton’sches, 192

Fluoreszenz, 669Fluss

elektrischer, 359magnetischer, 449

Fourier-Transformation, 590Franck-Hertz-Versuch, 635freier Fall, 46Freiheitsgrad, 334Frequenz, 138

Eigen-, 136Kreis-, 106Resonanz-, 146, 473

Gangunterschied, 568, 584Gas

ideales, 277reales, 279

Gasgleichungideale, 278

Gaskonstante, universelle, 278Gauß-Verteilung, 737Gauß’sche Fehlerfortpflanzung, 743Gay-Lussac

Expansionsversuch von, 291Gesetz von, 275

Gegenfeldmethode, 636Gegenstandsgröße, 524Gegenstandsweite, 521, 524, 534Geiger-Müller-Zählrohr, 701Generator, 450, 460Geschwindigkeit

Durchschnitts-, 29Fließ-, 194, 196, 197, 203Momentan-, 30Schall-, 156Scher-, 191Sink-, 194Strömungs-, 196, 197, 203

Gibbs-Energie, 288Gitter

-konstante, 592-spektrometer, 593optisches, 591

Glasfaserkabel, 518Gleichgewichtstemperatur, 257Gleichung, 779Gleichverteilungssatz, 334Gravitationskonstante, 44Grenzfläche

konkave, 520konvexe, 520sphärische, 520

Grenzflächenspannung, 189Grotrian-Diagramm, 661gyromagnetisches Verhältnis, 659

Hagen-Poiseuille, Gesetz von, 206Haidinger-Büschel, 564Halbleiter, 717Halbwertszeit, 694Hall-Effekt, 443Harmonischer Oszillator, 133Hauptachse

optische, 521Hauptmaximum, 585, 593Hauptsatz der Thermodynamik

nullter, 238erster, 239zweiter, 285dritter, 289

Hebelgesetz, 115Hertz’scher Dipol, 493Histogramm, 738Hohlspiegel, 528Hooke’sches Gesetz, 73, 133Hund’sche Regel, 663Huygens’sches Prinzip, 573Hydraulik, 209Hydrodynamik, 180, 195Hydrostatik, 180hydrostatischer Druck, 182

ideale Gasgleichung, 278ideales Gas, 277Impuls, 7

relativistischer, 225Impulserhaltung, 92Induktionsspannung, 449Induktivität, 456Inertialsystem, 14Influenz, 360Innenwiderstand, 410Integration, 27, 801Intensitätsverteilung, 585Interferenz, 151, 568, 583

Index 823

an dünnen Schichten, 569destruktive, 151, 569, 585konstruktive, 151, 568, 585Muster, 583

InterferenzbedingungDoppelspalt, 585Einzelspalt, 589, 590Gitter, 592

Kalorie, 252Kapazität, 362Kapillarwirkung, 190Kappilareffekt, 190Kathode, 364Kelvin, 237Kernfusion, 691Kernladungszahl, 687Kernradius, 689Kernspaltung, 690Kettenregel, 795kinetische Gastheorie, 325Kirchhoff’sche Regeln

Knotenregel, 411Maschenregel, 412

Kleinwinkelnäherung, 585, 808Knotenregel, 411Kohärenz, 577Kohäsion, 187komplexe Zahlen, 809Kompressibilität, 157, 199Kondensator, 362

Auf- und Entladung, 416Kugel-, 367Platten-, 364Zylinder-, 369

konkav, 520Konkavspiegel, 528Kontaktwinkel, 191Kontinuitätsgleichung, 199konvex, 520Konvexspiegel, 528Koordinaten, 784Koordinatensysteme, 784Kopenhagener Interpretation, 618kovalente Bindung, 673Kräfteparallelogramm, 48Kraft, 11

Adhäsions-, 189Auftriebs-, 185Coriolis-, 62Druckgradienten-, 208elektrische, 349Gravitations-, 43Kapillar-, 190Kohäsions-, 188Rückstell-, 133Reibungs-, 194

Schein-, 61Scher-, 191Schwer-, 42Zentrifugal-, 61Zentripetal-, 61

Kreisbewegung, 105Kreisfrequenz, 106

eines Federpendels, 136Fadenpendel, 141

KreisprozessCarnot-, 309Otto-, 319Stirling-, 317

Kreuzprodukt, 114, 789Kriechfall, 144Kugelkappe, 520Kugelkondensator, 367Kurzschluss, 410Kurzsichtigkeit, 535

Längenänderungthermische, 243

Längenkontraktion, 223Ladung, 348

Elementar-, 757Ladungsdichte, 361Lambert-Beer’sches Gesetz, 698Laminarität, 196Laser, 671Lautstärke

Pegel, 167Wahrnehmung, 169

Leistung, 81elektrische, 398

Leitfähigkeitelektrische, 399

Lennard-Jones-Potenzial, 280Lenz’sche Regel, 454Licht

Ausbreitung im Medium, 575Brechung, 515, 520, 550Welle, 548, 574, 583

Lichtgeschwindigkeit, 220, 495im Vakuum, 495

Lichtmikroskop, 600Lichtstrahl, 511Lichtwellenleiter, 518Linkssystem, 114Linse, 531

Form, 532Sammel-, 532Zerstreuungs-, 532

Linsenfehler, 539Linsengleichung, 534Löcherleitung, 717logarithmische Achsen, 751Logarithmus, 782

824 Index

Lorentz-Faktor, 222Lorentz-Kraft, 437Lot, 514, 516Luftdruck, 183, 273Lupe, 538, 602Lyman-Serie, 652

Mach-Zahl, 160Magnetfeld, 433Magnetisierung, 445Magnetismus

Dia-, 446Ferro-, 446Para-, 446

Malus, Gesetz von, 558Maschenregel, 412Masse

molare, 255relativistische, 225schwere, 45träge, 45träge, 12

Masse-Energie-Äquivalenz, 227Massendefekt, 689Massenerhaltung, 199Massenspektrometer, 441Massenstrom, 196Massenzahl, 687Materiewellen, 637Maximum

Beugung, 585, 590, 592Hauptmaximum, 585

Maxwell’scher Dämon, 287Maxwell-Boltzmann-Verteilung, 331Maxwell-Gleichungen, 498Meniskus

Flüssigkeit, 190Messfehler, 731Messung

direkte, 731indirekte, 731

Michelson-Morley-Experiment, 220Mikroskop, 600Millikan-Versuch, 757Minimum

Beugung, 585, 589Mittelwert, 737Mitternachtsformel, 781mittlerer Fehler des Mittelwerts, 737Molare Masse, 255Momentangeschwindigkeit, 30Monty Python, 17, 172, 346, 408, 429Multipol, 376Myon, 230

Nabla-Operator, 75, 199Nahpunkt, 602

Navier-Stokes-Gleichungen, 201Nebenmaximum

Beugung, 593Newton’sches Fluid, 192Newton’sches Gesetz

erstes, 12zweites, 11drittes, 12

Normalverteilung, 737Nuklidkarte, 688numerische Apertur, 604Nutation, 121

Oberflächenspannung, 189Objektiv, 600Observablen, 617Öffnungswinkel, 603Okular, 600Optik

geometrische, 511Wellen, 548, 583

optisch kürzester Weg, 512, 516optische Abbildung, 519, 521

mit dem Mikroskop, 600mit Linsen, 531mit sphärischen Grenzflächen, 520mit Spiegeln, 528

optische AchseDoppelbrechung, 565einer Abbildung, 521

optische Hauptachse, 521optisches Gitter, 591optisches System, 519, 525, 530, 600Orbital

Atom-, 656Molekül-, 674

ordentlicher Strahl, 565Ort-Zeit-Diagramm, 32

beim harmonischen Oszillator, 138Orthonormalsystem, 787Otto-Prozess, 319

p -V -Diagramm, 298Parallelschaltung

Kondensatoren, 381Ladungen, 380Spannungen, 379Ströme, 405Strömungswiederstände, 209Widerstände, 406

Paramagnetismus, 446Pascal, 182, 273Pauli-Prinzip, 658Pegel

Schalldruck-, 169Pendel

Faden-, 140

Index 825

Feder-, 133mathematisches, 140

Periodendauer, 136Federpendel, 137Fadenpendel, 142

Perpetuum mobile, 286Phase, 139Phasenübergang, 260Phasendiagramm, 263Phasenraum, 284

-zelle, 284Phasensprung, 571Phasenverschiebung, 139, 149Phon, 169Phononen, 712Photoeffekt, 631plan-konkav, 532plan-konvex, 532Planck’sches Strahlungsgesetz, 627Planck’sches Wirkungsquantum, 620Plattenkondensator, 364p-n-Übergang, 718Polarisation, 375, 556

elliptische, 560lineare, 556Richtung, 558zirkulare, 559

Polarisationsfilter, 557Potenzial, 74

elektrisches, 354Gravitations-, 76

Potenzialkasten, 638Potenzialtopf, 622Präzession, 121Prisma, 549, 550Produktregel, 796Proportionalitätszeichen, 780

quadratische Gleichung, 781Quantenzahl

Bahndrehimpuls-, 656Haupt-, 656Magnet-, 656Rotations-, 677Spin-, 658Vibrations-, 678

Quellstärke, 199Quotientenregel, 797

Radiant, 105radioaktive Zerfallsrate, 694radioaktives Zerfallsgesetz, 693Raman-Spektroskopie, 679Raum-Zeit-Diagramm, 227Rayleigh-Kriterium, 606Rayleigh-Streuung, 555RCL-Kreis, 470

Rechtssystem, 114Reflexion, 514, 528, 569

Bragg-, 571Phasensprung, 571Total-, 517

Reflexionsgesetz, 515Regenbogen, 553Reibung, 50

Gleit-, 51Haft-, 51Roll-, 51Stokes’sche, 194

Reibungselektrizität, 347, 360Reibungskoeffizient, 51Reibungskraft, 194Reihenschaltung

Kondensatoren, 381Ladungen, 380Spannungen, 379Ströme, 405Strömungswiederstände, 209Widerstände, 405

RelativitätstheorieAllgemeine, 228spezielle, 219

Resonanz, 145-katastrophe, 147

Resonanzfrequenz, 473Reynolds-Zahl, 197Röntgenspektrum, 670Ruheenergie, 227

Sammellinse, 532Schall, 154

-ausbreitung, 154-druckpegel, 169-energie, 167-intensität, 166-leistung, 166-quelle, 167-welle, 154-geschwindigkeit, 156

Schalldruckpegel, 169Scheinwiderstand, 471Schergeschwindigkeit, 191, 192Scherkraft, 191Schiefe Ebene, 53Schrödinger-Gleichung, 622Schrödingers Katze, 618Schubspannung, 192Schwarzer Strahler, 626Schwerpunkt, 108Schwingkreis, 474Schwingung

erzwungene, 145gedämpfte, 142

Schwingungen

826 Index

harmonische, 153Sehweite, 602Sehwinkel, 538Selbstinduktivität, 456senkrechter Wurf, 47, 58Separation der Variablen, 813SI-Einheitensystem, 5signifikante Abweichung, 737signifikante Stellen, 734, 780Sinkgeschwindigkeit, 194Skalar, 785Skalarprodukt, 787Snellius’sches Brechungsgesetz, 517, 576Sonographie

Doppler-, 165Spalt

-abstand, 584Doppel-, 584Einzel-, 587

Spannung, 355Induktions-, 449Schub-, 192Wechsel-, 462

spektroskopische Methoden, 680Spektrum

Absorptions-, 667Banden-, 676elektromagnetisches, 501Emissions-, 668Röntgen-, 670

sphärische Grenzfläche, 520Spiegel, 528

Hohl-, 528Wölb-, 528

Spin, 561, 657Spinmultiplizität, 664Spule, 435Stabsichtigkeit, 540Stammfunktion, 801Standardabweichung, 737Standardfehler des Mittelwerts, 740Statik, 111Staudruck, 205Stefan-Boltzmann-Gesetz, 629Steiner’scher Satz, 120Stirling-Prozess, 317Stoß

elastischer, 94inelastischer, 96

Stoffmenge, 254Stokes’sche Reibung, 194Stokes, Gesetz von, 193Strahl

außerordentlicher, 565ordentlicher, 565

StrahlungAlpha-, 695Beta-, 696

Gamma-, 697Strahlungsdruck, 497Streuung, 554

Rayleigh-, 555Strömung, 195, 206

laminare, 196turbulente, 196

Strömungsgeschwindigkeit, 196, 197, 203Strömungswiderstand, 206Strom

Massen-, 196Volumen-, 196, 202Wechsel-, 462

Stromdichte, 397Stromrichtung, 402Stromstärke, 396Summenzeichen, 15Supraleiter, 721Suszeptibilität

elektrische, 375magnetische, 445

T -S-Diagramm, 298Taylor-Approximation, 818Teilchengeschwindigkeit

mittlere, 332wahrscheinlichste, 332

Temperatur, 236Gleichgewichts-, 257

Term, 779Termschema, 661Termsymbol, 665Thermische Längenänderung, 243Thermische Volumenänderung, 244Torr, 182, 273Totalreflexion, 517Trägheitsmoment, 118

einer Kugel, 119eines Quaders, 119eines Zylinders, 119

Transformator, 463Transversalwelle, 556Trigonometrie, 804Tubus, 600

-länge, 602Tunneleffekt, 622Turbulenz, 196

Überschallknall, 160Urknall, 228

Van-der-Waals Gleichung, 280Vektor, 9, 785

-feld, 199Betrag, 786Einheits-, 787

Index 827

Pseudo-, 113Vektorprodukt, 114, 789Venturi-Effekt, 202Vergrößerung

Winkel-, 538Viskosität, 191Volumenänderung

thermische, 244Volumenarbeit, 296Volumenstrom, 196, 202

Wärmelatente, 260

Wärmefluss, 246Wärmekapazität, 249, 302

molare, 253spezifische, 250

Wärmeleitfähigkeit, 246Wölbspiegel, 528waagerechter Wurf, 58Wechselspannung, 462Wechselstrom, 462Weitsichtig, 536Welle, 147

Druck-, 154ebene, 150Elementar-, 573Geschwindigkeit, 150Kugel-, 150Licht-, 548, 574, 583Longitudinal-, 148, 155Schall-, 154stehende, 152Transversal-, 148, 155

Welle-Teilchen-Dualismus, 616Wellen

elektromagnetische, 493

Wellenfunktionquantenmechanisch, 616

Wellenlänge, 149Wellenoptik, 548, 583Widerstand

Innen-, 410Ohm’scher, 399spezifischer, 399Strömungs-, 206

Wien’sches Verschiebungsgesetz, 630Winkelbeschleunigung, 107Winkelgeschwindigkeit, 106Wirkungsgrad, 314

Carnot-, 315Wurf

senkrechter, 47, 58waagerechter, 58

Zähigkeit, 191Zeeman-Effekt, 657Zeitdilatation, 223Zentripetalbeschleunigung, 107Zerfallsgesetz, 693Zerfallsrate, 694Zerstreuungslinse, 532, 536Zustand

quantenmechanischer, 616Zustandsänderung, 295

adiabatisch, 304isentrop, 304isobar, 299isochor, 300isotherm, 297

Zustandsgröße, 272Zyklotron-Frequenz, 443Zylinderkondensator, 369

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