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Le Modèle ARMAX
21 Mars 2013
Guillaume Beaurain – Vincent Gallmann
Intérêts du modèle
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 2
Double but du modèle à
fonction de transfert
Sert à la modélisation
Sert à la prévision
Plan
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 3
Panorama historique
En théorie:
Présentation du modèle (sous forme générale)
Dans un but de modélisation
i. Description des différentes étapes
ii. Exemple illustratif:
iii. Application
Dans un but prédictif
i. Description des différentes étapes
ii. Exemple illustratif:
iii. Application
Généralisation au cas de plusieurs input
Pour aller plus loin:
Les modèles d’intervention
Discussion
Repères bibliographiques
Historiquement
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 4
Dans les années 1970,
Remise en question des modèles structurels
Besoin de leur trouver une alternative
Kendal, 1960
Sims, 1980
L’analyse des séries temporelles
multi-variée prend son essor
1975 – 1980
Granger, 1969
Forme générale du modèle
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 5
Soit Yt la série endogène et Xt la variable explicative ˜ ˜
! Il est NECESSAIRE de stationnariser les séries !
En stationnarisant,on obtient:
Yt la série endogène stationnarisée
Xt la série exogène stationnarisée
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 6
Y t= a0+ A (L)Y t− 1+ B(L)X t+ C (L)εt
Forme générale du modèle
Le modèle à fonction de transfert:
où A(L), B(L), C(L) sont des polynômes retards
a0 constante d’ajustement
A(L) correspond à la composante AR de Yt
C(L) correspond à la composante MA de Yt
B(L) est appelée FONCTION DE TRANSFERT
Dans un but de modélisation
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 7
Y t= a0+ A (L)Y t− 1+ B(L)X t+ C (L)εt
5 étapes sont à respecter:
Etape 1: Déterminer le processus ARMA de Xt
Etape 2: Filtrer la série Yt
Etape 3: Déterminer l’ordre (le retard) de la fonction de transfert
Etape 4: Déterminer C(L) (s’il reste de la dynamique)
Etape 5: Estimation finale
Exemple illustratif:
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 8
Modélisation de l’impact d’une augmentation du prix du carburant à la
pompe sur le nombre de nouvelles immatriculations de voitures
VOITURESCVS: Nombre d’immatriculations de voitures neuves
Source INSEE, de septembre 2002 à décembre 2011
SCD: Prix du litre de super carburant en euros
Source INSEE, de septembre 2002 à décembre 2011
Les motivations: Pourquoi utiliser un modèle à fonction de transfert?
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 9
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 10
Pré-blanchiment de Xt
Filtrage de Yt par D(L)/E(L)
Estimation des polynômes
A(L) et B(L)
Eventuellement s’il reste de la dynamique, on estime CL)
Estimation finale
Calcul des corrélations pour déterminer
l’ordre de la fonction de transfert
Y t= a0+ A (L)Y t− 1+ B(L)X t+ C (L)εt
Etape 1
Exemple illustratif: Adaptation du modèle général à notre exemple
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 11
Pré-blanchiment de Xt Etape 1
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 12
Exemple illustratif: Etape 1: Pré-blanchiment de Xt
On détermine le processus ARMA de la série Xt (SCDt) :
On utilise la Méthodologie de Box & Jenkins
But de la méthode: Modéliser les séries univariées au moyen de
processus ARMA
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 13
Méthodologie de Box & Jenkins
Etape 1: Identification Etude des fonctions d’autocorrélation et d’autocorrélation partielle
Etape 2: Estimation Estimation des modèles candidats de l’étape 1
Etape 3: Validation On vérifie que les résidus des estimations faites à l’étape 2 suivent un
processus bruit blanc
Etape 4: Prévision On effectue les prévisions de la série en partant de sa modélisation ARMA
retenue
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 14
Pré-blanchiment de Xt Etape 1
On retient le processus suivant pour
représenter la dynamique de la série exogène:
SCDt ~ AR (2)
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 15
Pré-blanchiment de Xt
Filtrage de Yt par D(L)/E(L)
Estimation des polynômes A(L) et B(L)
Eventuellement s’il reste de la dynamique, on estime CL)
Estimation finale
Calcul des corrélations pour déterminer
l’ordre de la fonction de transfert
Y t= a0+ A (L)Y t− 1+ B(L)X t+ C (L)εt
Etape 2
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 16
Dans un but de modélisation
Il faut partir du système suivant:
(1)
(2)
Avec:
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 17
Dans un but de modélisation Etape 2: Filtrage de Yt par D(L)/E(L)
notant
et on obtient:
On note:
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 18
Exemple illustratif: Etape 2: Filtrage de Yt par D(L)/E(L)
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 19
Pré-blanchiment de Xt
Filtrage de Yt par D(L)/E(L)
Estimation des polynômes A(L) et B(L)
Eventuellement s’il reste de la dynamique, on estime C(L)
Estimation finale
Calcul des corrélations pour déterminer
l’ordre de la fonction de transfert
Y t= a0+ A (L)Y t− 1+ B(L)X t+ C (L)εt
Etape 3
Sur la série filtrée
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 20
Estimation des polynômes A(L) et B(L)
Calcul des corrélations pour déterminer
l’ordre de la fonction de transfert
Etape 3
Exemple illustratif: Etape 3: Estimation des polynômes A(L) et B(L)
On s’intéresse au corrélogramme croisé de la série filtrée
fVOITURESCVS
Zoom sur la Cross Correlation Function
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 21
.
.
.
Sous sa forme général:
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 22
Exemple illustratif: Etape 3: Estimation des polynômes A(L) et B(L)
Le polynôme B(L) sera d’ordre 2
Estimation de B(L):
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 23
Exemple illustratif: Etape 3: Estimation des polynômes A(L) et B(L)
Estimation de A(L):
Quel est l’ordre du processus autorégressif de la série filtrée?
Via la méthode de Box & Jenkins, on obtient:
Le polynôme A(L) sera d’ordre 2
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 24
Pré-blanchiment de Xt
Filtrage de Yt par D(L)/E(L)
Estimation des polynômes A(L) et B(L)
Eventuellement s’il reste de la dynamique, on estime C(L)
Estimation finale
Calcul des corrélations pour déterminer
l’ordre de la fonction de transfert
Etape 4
Y t= a0+ A (L)Y t− 1+ B(L)X t+ C (L)εt
Sur la série filtrée
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 25
Exemple illustratif: Etape 4: Estimation éventuelle de C(L)
Test de Ljung Box:
On teste H0 l’hypothèse d’absence d’autocorrélations,
Q suit une loi du Khi 2 à (T/4 – p – q)
Q(27-2) = 23,64
p-value = 0,54
Dans notre exemple,
Pas besoin d’estimer C(L)
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 26
Estimation finale Etape 5
Exemple illustratif: Etape 5: Estimation finale
Variable Coefficient Ecart-type p-value
a0 52,23 478,56 0,91
a1 -0,98 0,08 0
a2 -0,59 0,08 0
b2 -45707,3 26052,93 0,082
Le coefficient de la fonction de transfert est significatif à 10%
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 27
VOITCVSt = 52,23 – 0,98 VOITCVSt-1 – 0,59 VOITCVSt-2 – 45707 SCDt-2 + εt
Exemple illustratif: Etape 5: Estimation finale
On accepte que les résidus sont normalement distribués
(Test de Jarque-Bera, p-value>0,5)
Une hausse de 0,01€ du prix du super-carburant engendre
après 2 mois une diminutionde 457 nouvelles immatriculations.
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 28
Exemple illustratif: Conclusion
Effet de long-terme:
Fonction de réponse:
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 29
Pré-blanchiment de Xt
Filtrage de Yt par D(L)/E(L)
Estimation des polynômes A(L) et B(L)
Eventuellement s’il reste de la dynamique, on estime CL)
Estimation finale
Calcul des corrélations pour déterminer
l’ordre de la fonction de transfert
Y t= a0+ A (L)Y t− 1+ B(L)X t+ C (L)εt
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 30
Le modèle ARMAX
Dans un but prédictif
Dans un but prédictif
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 31
Le modèle devient:
Où H(L) est la fonction de transfert
Yt la série endogène stationnarisée
Xt la série exogène stationnarisée
Y t= a0+ A (L)Y t− 1+ B(L)X t+ C (L)εt
NB: µt n’est pas nécessairement un bruit blanc
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 32
Zoom sur la fonction de transfert
Forme générale:
Rapport de deux polynômes d’ordre fini:
Poids de la fonction de
transfert
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 33
Construction d’un modèle ARMA pour l’input Xt
Filtrage de l’output Yt par les résidus
estimés du modèle ARMA de Xt
Calcul des corrélations pour déterminer la forme de la
fonction de transfert
Test de diagnostic
Estimation des poids de la fonction de transfert et construction du modèle
Dans un but prédictif: 6 étapes à suivre
Prévision
OUI
NON
Exemple illustratif: Un exemple classique
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 34
La relation entre la concentration en CO2 et le taux d’alimentation en air
et en méthane
(Travaux de Box et Jenkins)
Yt : Concentration de CO2 (l’endogène)
Xt : Taux d’alimentation en air et méthane (l’exogène)
Dans un but prédictif
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 35
Les deux premières étapes sont similaires au modèle de la première
partie (Dans un but de modélisation )
Calcul des corrélations pour déterminer la forme de la
fonction de transfert
Etape 3
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 36
Exemple illustratif:
Estimation des poids de la fonction de transfert et construction du modèle
Etape 4
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 37
Test de diagnostic
Prévision
OUI
Etape 5
Exemple illustratif:
Test de diagnostic:
On vérifie si les résidus estimés contiennent encore de
l’informartion
Si les résidus sont non corrélés, l’estimation (la spécification) est
bonne (O.K pour la prévision)
On peut aussi utiliser la « statistique porte-manteau »:
Les modèles d’intervention
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 38
Y t= a0+ A (L)Y t− 1+ B(L)X t+ C (L)εt
Effet ponctuel Effet palier
Pour résumer
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 39
Construction d’un modèle ARMA pour l’input Xt
Filtrage de l’output Yt par les résidus estimés
du modèle ARMA de Xt
Calcul des corrélations pour
déterminer la forme de la fonction
de transfert
Test de diagnostic
Estimation des poids de la fonction de
transfert et construction du modèle
Prévision
OUI
NON
Pré-blanchiment de Xt
Filtrage de Yt par D(L)/E(L)
Estimation des polynômes A(L) et B(L)
Eventuellement s’il reste de la dynamique, on estime CL)
Estimation finale
Prévision Modélisation
Discussion
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 40
Nécessité de travailler avec des séries
stationnaires
Difficilement généralisable pour plusieurs
inputs
Problème potentiel de spurious correlation
Repères Bibliographiques
Beaurain Guillaume - Gallmann Vincent 41
Time series techniques for economists
Terence C. Mills
Econométrie des séries temporelles
G. Bresson / A. Pirotte
Applied econometric time series
W. Enders