Langfristige Kompetenzentwicklung im Mathematikunterricht Regina Bruder, Technische Universität Darmstadt 1. In welchen Bereichen sollen die Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht langfristig kompetent werden? Wenn man seinen Mathematikunterricht vorbereitet, stehen immer wieder folgende grundsätzlichen Fragen im Zentrum: a) Was sollen die Lernenden von der Mathematik erfahren und verstanden haben, b) was sollen sie behalten und c) was soll möglichst flexibel angewendet werden können? Versucht man mit den von Heinrich Winter (1995) viel zitierten Grunderfahrungen in einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht Antworten auf diese Fragen zu finden, könnte man folgendermaßen argumentieren: Zu a) Die Lernenden sollen erfahren und auch an instruktiven Beispielen verstanden haben, dass die Mathematik deduktiv geordnet ist, eine eigene Sprache besitzt und dass es bestimmte Regeln und Werkzeuge gibt für das Gewinnen neuer Erkenntnisse und deren Begründung, die sich von anderen Disziplinen durchaus unterscheiden. Wenn man die Ecken eines Papierdreiecks abreißt und aneinander legt, kann man (mit physikali- schen Mitteln) eine Vermutung für die Innenwinkelsumme von Dreiecken finden, hat diese aber so noch nicht mit den in der Mathematik zugelassenen Mitteln bewiesen. Zu b). Die Lernenden sollen Denkstrategien der Mathematik beherrschen, also Problemlösefähigkeiten besitzen, die jedoch weit über die Mathematik hinausgehen. Es geht tatsächlich weniger darum, ausgeprägte formale Rechenfertigkeiten zu erwerben oder viele verschiedene Formeln einzuprägen, die ohne ständige Übung keine Chance haben verfügbar zu bleiben. Vielmehr ist das Unterscheiden von Zusammenhängen wichtig – ist es ein linearer oder nichtlinearer, ist es ein periodischer Zusammenhang? Welche Strukturen oder Gesetzmäßigkeiten lassen sich in Gleichungen und geometri- schen Mustern entdecken und wie findet man diese? Dazu bedarf es natürlich eines gewissen unverzichtbaren Repertoires an intelligentem mathematischen Wissen, das auch tatsächlich intelligent geübt und immer wieder aufgefrischt werden muss. Und explizit erlernte heuristische Prinzipien, Strategien und Hilfsmittel können darüber
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Langfristige Kompetenzentwicklung im Mathematikunterricht
Regina Bruder, Technische Universität Darmstadt
1. In welchen Bereichen sollen die Schülerinnen und Schüler im
Wenn man seinen Mathematikunterricht vorbereitet, stehen immer wieder folgende
grundsätzlichen Fragen im Zentrum:
a) Was sollen die Lernenden von der Mathematik erfahren und verstanden haben,
b) was sollen sie behalten und
c) was soll möglichst flexibel angewendet werden können?
Versucht man mit den von Heinrich Winter (1995) viel zitierten Grunderfahrungen in
einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht Antworten auf diese Fragen zu finden,
könnte man folgendermaßen argumentieren:
Zu a) Die Lernenden sollen erfahren und auch an instruktiven Beispielen verstanden
haben, dass die Mathematik deduktiv geordnet ist, eine eigene Sprache besitzt und dass
es bestimmte Regeln und Werkzeuge gibt für das Gewinnen neuer Erkenntnisse und
deren Begründung, die sich von anderen Disziplinen durchaus unterscheiden. Wenn man
die Ecken eines Papierdreiecks abreißt und aneinander legt, kann man (mit physikali-
schen Mitteln) eine Vermutung für die Innenwinkelsumme von Dreiecken finden, hat
diese aber so noch nicht mit den in der Mathematik zugelassenen Mitteln bewiesen.
Zu b). Die Lernenden sollen Denkstrategien der Mathematik beherrschen, also
Problemlösefähigkeiten besitzen, die jedoch weit über die Mathematik hinausgehen. Es
geht tatsächlich weniger darum, ausgeprägte formale Rechenfertigkeiten zu erwerben
oder viele verschiedene Formeln einzuprägen, die ohne ständige Übung keine Chance
haben verfügbar zu bleiben. Vielmehr ist das Unterscheiden von Zusammenhängen
wichtig – ist es ein linearer oder nichtlinearer, ist es ein periodischer Zusammenhang?
Welche Strukturen oder Gesetzmäßigkeiten lassen sich in Gleichungen und geometri-
schen Mustern entdecken und wie findet man diese? Dazu bedarf es natürlich eines
gewissen unverzichtbaren Repertoires an intelligentem mathematischen Wissen, das
auch tatsächlich intelligent geübt und immer wieder aufgefrischt werden muss. Und
explizit erlernte heuristische Prinzipien, Strategien und Hilfsmittel können darüber
hinaus Orientierung bieten, sich in der Welt der Mathematik und ihrer Anwendungs-
vielfalt zurecht zu finden und weit darüber hinaus. Was macht man, wenn man seinen
Schlüssel verlegt hat und ihn gezielt suchen will? Rückwärtschließen: „Wo hatte ich ihn
noch?“ Diese Strategie kann man gerade im Mathematikunterricht systematisch
erlernen. Hier ein prototypisches Rätsel1 für das Rückwärtsarbeiten:
Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An
jedem Tor steht ein Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen
Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie viele Äpfel hatte er
am Anfang?2
Zu c) Die Lernenden sind in der Lage, die Welt mit der „Mathebrille“ anzuschauen und
erkennen typische mathematische Fragestellungen innerhalb und außerhalb der Mathe-
matik. Sie sind mündige Bürger, die z.B. mathematische Darstellungen bzw. Interpreta-
tionen von Zusammenhängen in den Medien nachvollziehen bzw. nachfragen können,
z.B. auch Fehler in grafischen Darstellungen finden. Sie können Größenordnungen
abschätzen (was ist 5kg schwer, was ist 80cm breit, wie viel Liter Wasser passen etwa in
einen abgebildeten Tank, erfüllt eine Konfektverpackung die Kriterien einer Mogel-
packung usw.) und haben sachgerechte Vorstellungen über Wachstum und Veränderung,
über das Vergleichen von Anteilen (Prozentrechnung) usw. Mit dem Literacy-Konzept
in der internationalen PISA-Studie (Neubrand 2001) werden durchaus konsensfähige
1Rätsel sind aufgrund des leicht verständlichen und vorstellbaren Kontextes besonders geeignet, Problemlösestrategien zu erkennen und zu erlernen. Es geht im Mathematikunterricht letztlich aber nicht darum, Strategien für das Lösen von Rätseln zu lernen, sondern das ist nur ein Weg, um solche Strategien zunächst ohne größeren Ballast zu verstehen, die dann in komplexeren Zusammenhängen hilfreich sein können.
2Musteraufgaben zum Erlernen heuristischer Strategien findet man in der Aufgabendatenbank für Mathematiklehrkräfte www.madaba.de
Antworten geben auf die Frage nach dem, was man mit mittlerem Schulabschluss von
der Mathematik anwenden können sollte.
In den Bildungsstandards der KMK (2004) wurde normativ verankert, welche
Kompetenzen im Mathematikunterricht im Laufe der obligatorischen Schulzeit
erworben werden sollen. Hier sollen diese Ziele auf der Grundlage des Weinertschen
Kompetenzbegriffs3 folgendermaßen zusammen gefasst werden und dienen als Antwort
auf die in der Kapitelüberschrift gestellte Frage:
Die Lernenden
- erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und
können solche Fragestellungen formulieren und erläutern.
- kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische
Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer
Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden,
interpretieren und begründen.
- entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes
Handeln.
Die erstgenannte Zielstellung wird aus mathematischer Sicht gerne als trivial abgetan. In
der Unterrichtspraxis zeigt sich jedoch, dass es gerade im Umgang mit offeneren
Aufgabenstellungen auch deshalb Probleme bei leistungsschwächeren Schülerinnen und
Schülern gibt, weil ihnen intuitive Orientierungen und explizierte Leitbilder für
mathematische Fragestellungen fehlen. Sinnvolle und weiterführende Fragen stellen zu
können, ist eine besondere kognitive Leistung und erfordert ein gewisses Abstraktions-
vermögen mit einer Analyse- und einer Synthesekomponente. Damit wird das
Fragenstellen selbst zu einem Instrument und gleichzeitig zu einem wichtigen Ziel für
Reflexionen im Mathematikunterricht, vgl. Bruder 2007.
Bei der dritten Zielstellung vermisst man vielleicht den fachspezifischen Aspekt, denn
Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit würden andere Unterrichtsfächer
sicherlich auch gerne für sich beanspruchen. Aus unseren Untersuchungen zum selbst
3In Übereinstimmung mit Weinert (2001, S. 27f.) verstehen wir unter Kompetenzen die bei Individuen verfügbaren oder von ihnen erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten, die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können.
regulierten Lernen in Verbindung mit mathematischem Problemlösen wurde deutlich,
welches große Potenzial zur Verbesserung von Lernergebnissen allein darin steckt,
Aspekten selbst regulierten Lernens im Mathematikunterricht mehr Aufmerksamkeit zu
schenken und diese in den unterrichtlichen Lernumgebungen gezielt zu verankern, vgl.
KOMOREK et al 2006. Deshalb erscheint es legitim, nach fachspezifischen Ausprägungen
altersangemessener Anstrengungsbereitschaft und Reflexion auch im Mathematikunter-
richt zu suchen.
2. Wie kann langfristiger Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht angelegt
werden?
Langfristiger Kompetenzaufbau im Sinne der Bildungsstandards meint folgendes:
Ausgehend vom aktuellen Kompetenzniveau einer Schülerin oder eines Schülers in den
verschiedenen mathematischen Kontexten (Leitideen) in einer Lerngruppe einer
bestimmten Klassenstufe sind solche entwicklungsgemäßen und entwicklungsfördern-
den Aufgaben zu stellen, die für den Lernenden schrittweise einen Kompetenzzuwachs
im Sinne der Ziele des Mathematikunterrichts ermöglichen.
Damit ist einerseits ein hoher Anspruch an die diagnostische Kompetenz der Lehrkräfte
verbunden und andererseits wird erwartet, in heterogenen Lerngruppen individuell
fordernde und fördernde (binnendifferenzierende) Lernumgebungen über geeignete
Aufgaben bereit zu stellen, damit entsprechende Lernprozesse anzuregen und diese
angemessen zu begleiten, vgl. Bruder 2006 und Kap.3. Im Folgenden werden mögliche
Etappen eines langfristigen Kompetenzaufbaus anhand der erstgenannten Zielstellung
vorgestellt.
Damit die Lernenden mathematische Fragestellungen auch in Alltagssituationen
erkennen lernen, eignet sich die Metapher der „Mathebrille“: Wir stellen uns vor bzw.
machen das auch wirklich, nämlich einen Stadtrundgang mit der „Mathebrille“. Wir
notieren alles, worin Mathematik versteckt sein könnte – von der Treppe im Hausflur bis
zur Ampelkreuzung, vorbei an den Antennen auf den Dächern und bis zum Bäcker
nebenan. Welche Fragen musste man früher stellen, damit die Dinge um uns herum
genau so funktionieren, wie wir das kennen und schätzen? Welche mathematischen
Kenntnisse hat man dafür benötigt?
Der nächste Schritt lautet dann: Wobei wird Mathematik benötigt? Bleiben wir beim
Bäcker: Er will eine neue Leckerei kreieren. Wofür könnte er hierbei Mathematik
gebrauchen? Oder es soll ein neues Zelt für eine bestimmte Zielgruppe entwickelt
werden. Wo benötigt man hier Mathematik? Was sind das jeweils für Fragestellungen?
Gibt es Gemeinsamkeiten aus Sicht der Mathematik, wenn Bäcker und Zeltentwickler
etwas Neues gestalten wollen? Wir suchen weiter nach typischen Situationen, in denen
Mathematik angewendet wird, wenn also Realsituationen mathematisch beschrieben
werden sollen, um damit einen „Mehrwert“ zu generieren. Codes spielen heutzutage
eine große Rolle und es kann auch Missbrauch damit betrieben werden. Kann hier
Mathematik helfen? Oder denken wir an den Bau einer Autobahnabfahrt. Wie angenehm
ist es, wenn das Lenkrad nicht mehrfach eingeschlagen werden muss, weil die Kurve so
eng ist. Das lässt sich sehr gut mit dem mathematischen Begriff der Krümmung
beschreiben und entsprechend modellieren. Wenn man einen Überblick über die
verschiedenen Arten zu fragen in der Mathematik gewinnt, schließt sich immer wieder
die Frage an: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch
beschreiben? Welche Vorteile, welchen Erkenntnisgewinn kann diese mathematische
Beschreibung bieten? Dieses Vorgehen eignet sich mit entsprechenden Variationen für
alle Jahrgänge in den Sekundarstufen.
Jedes Kompetenzziel hat i.w. drei Komponenten: Intelligentes Wissen, Handlungs-
kompetenz und Metakompetenz, vgl. Weinert 1996. Bezogen auf das erst genannte
Ziel, mathematische Fragestellungen erkennen und formulieren zu können, lassen sich
diese Zielformate folgendermaßen konkretisieren:
Intelligentes Wissen wurde entwickelt, wenn die Lernenden in der Lage sind, die Frage
zu beantworten: In welche Richtungen kann man fragen? (Wo ist Mathematik
versteckt, wo hilfreich…). Dafür sollten sie „typische“ Mathematikerfragen kennen, die
u.a. auch in Verbindung mit den fundamentalen Ideen der Mathematik stehen.
Mathematiker versuchen etwas zu optimieren, etwas schrittweise zu verfeinern,
anzunähern, einen Algorithmus zu finden (eine „Formel“) für einen Zusammenhang
oder sie suchen nach mathematischen Modellen für Realsituationen und machen
Simulationen. Und wenn Mathematiker eine Lösung für ein Problem gefunden haben,
dann fragen sie: Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen?
- Kann man die spezielle Lösung auch verallgemeinern?
Handlungskompetenz wird benötigt und gefördert, wenn die Lernenden konkrete Fragen
in einem Kontext finden und darstellen, was auf verschiedenen Orientierungsleveln4
möglich ist.
Von Metakompetenz sprechen wir, wenn die Lernenden Beurteilungskriterien für
mathematikhaltige Fragestellungen entwickeln bzw. bekannte Kriterien selbständig
anwenden und reflektieren: Wie kann vorgehen, um gegebene Situationen oder
Zusammenhänge mathematisch zu beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert
kann eine mathematische Beschreibung bieten?
Kompetenzförderung kann schließlich untersucht und gefördert werden innerhalb eines
Schuljahres über verschiedene Unterrichtsthemen bzw. Leitideen hinweg in horizontaler
Verknüpfung (z.B. Abschätzaufgaben in verschiedenen Kontexten) oder innerhalb einer
Leitidee, aber vertikal mit fachlicher Anreicherung angelegt über mehrere Klassen-
stufen. (z.B. Entfernungs- bzw. Abstandsbestimmungen, vgl. Beispiele in Bruder 2006).
Die sogenannte Curriculumspirale bietet hierfür eine geeignete Visualisierung, vgl.
Bruder 1998.
Man kann sich vorstellen, dass Figur und Zahl die zentralen Objekte im mathematischen
Lernprozess darstellen, symbolisiert durch das Eisenbahngleis, auf dem der Lernzug
hinauffährt, abgestützt durch vertikale Kompetenzlinien, siehe Abb.1. In jeder
Klassenstufe kommt man wieder an den einzelnen Leitideen vorbei und dort gibt es
dann Knotenpunkte für einen Erkenntnis- und Kompetenzzuwachs.
Langfristiger Kompetenzaufbau umfasst also sowohl die Anreicherung der
mathematischen Begriffe und Werkzeuge zur Problembearbeitung als auch Steigerungen
im Orientierungslevel, auf dem mit den bisherigen und neu kennengelernten
mathematischen Werkzeugen gearbeitet wird.
4Vor dem Hintergrund des Tätigkeitskonzeptes (Lompscher 1988) unterscheiden wir drei Level für das Orientiertsein in einem Lern- und Anwendungsbereich:
I Orientierung nach Versuch-Irrtum (Probierorientierung) II Orientierung am Beispiel (Muster) III Feldorientierung.
Abb. 1 Curriculumspirale mit Figur und Zahl als Schienenstrang und vertikalen
Kompetenzlinien, die in jeder Klassenstufe inhaltlich angereichert werden
3. Wie kann langfristiger Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht methodisch
unterstützt werden?
Einen entscheidenden Einfluss auf das Angebot und Potenzial zur Kompetenzentwick-
lung haben die Aufgaben. Wird innerhalb einer Unterrichtseinheit ein vielseitiges
Aufgabenangebot bereit gestellt, steigen die Chancen für ein verständiges, nachhaltiges
Lernen. Ein gut überschaubares und handhabbares Kriterium ist die Typisierung von
Aufgaben nach dem Handlungsziel. Mit den in der folgenden Übersicht beschriebenen 8
Zieltypen von Aufgaben wird ein Lerninhalt von verschiedenen Blickwinkeln aus
betrachtet und mit anderen Wissenselementen vernetzt.
Wenn in einer Unterrichtseinheit Aufgaben aller 8 Zieltypen in sinnvollen Anteilen
vorkommen, hat das beachtliche Auswirkungen auf die Qualität der kognitiven
Anforderungen an die Lernenden und auf die Art des Unterrichts. Details zu diesem
