Konzentrationsmaße(Gini-Koeffizient, Lorenz-Kurve)

Konzentrationsmaße

Kennwert für die wirtschaftliche

Konzentration

Typische Beispiele:

Verteilung des Geldvermögensunter den einzelnen Bevölkerungsgruppen

Verteilung von Marktanteilen

Aufteilung der landwirtschaftlichen Nutzflächen in einer Region

Ein Markt wird von 5 Unternehmen beliefert. Die folgende Tabelle beschreibt die Aufteilung der Marktanteile:

Daraus ergeben sich die folgenden Wertefür die Punkte auf der Lorenz-Kurve:

Dazu die Lorenz-Kurve:

Berechnung des Gini-Koeffizienten

Landwirtschaftlich genutzteFläche einer Region

Dazu die Lorenz-Kurve:

Datenmatrix

Kontingenztafelder absoluten Häufigkeiten

Kontingenztafelder relativen Häufigkeiten

X: Art des Betriebes1 = Handelsbetriebe2 = Freie Berufe (Leistungsbetriebe)3 = Fertigungsbetriebe

Y: Art der hinterzogenen Steuer1 = Lohnsteuer2 = Einkommenssteuer3 = Umsatzsteuer4 = Sonstige

Betriebe und hinterzogene SteuerKontingenztabelle

Korrelationskoeffizientnach Bravais-Pearson

Eigenschaften

X und Y unabhängig

X größer Y größer

X größer Y kleiner

Positiver strikter Zusammenhang

Negativer strikter Zusammenhang

Korrelationskoeffizientbei verschiedenen Konstellationen

von Ausprägungen

Korrelationskoeffizient: 0.905Korrelationskoeffizient: 1.00

Korrelationskoeffizient: 0.0.19Korrelationskoeffizient: 0.52

Korrelationskoeffizient: 0.0.19Korrelationskoeffizient: 0.52

Korrelationskoeffizient: -1.00Korrelationskoeffizient: -0.62

Korrelationskoeffizientbei verschiedenen Konstellationen

von Ausprägungen

Mögliche Funktionenklassenfür die

Regressionsrechnung

Lineare FunktionenLineare Funktionen

Polynome

Exponentialfunktionen(Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit)

Gompertz-Kurven

Logistische Funktionen

Prinzip der kleinsten Quadrate(Kleinst-Quadrat-Schätzung)

Man sucht in der betrachteten Klassediejenige Funktion f, so dass die Summeder Abweichungsquadrate minimiert wird:

Bestimme f, so dass

minimal !!

Aufgaben der Regressionsrechnung

Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die „Zukunft“extrapolieren. Man erstellt eine „Prognose“.Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine „Zeit“ x der „Zukunft“ den Wert y = f(x)zu schätzen.

1. Extrapolation

2. Interpolation

Man interessiert sich für den Wert von y = f(x)für Zwischenwerte von x, d. h. fürWerte x, die zwischen 2 beobachtetenWerten liegen:

Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Wertedurchzuführen.

Lineare RegressionFinde reelle Zahlen a und b,so dass der Wert von

minimal wird!

Mit anderen Worten: Finde den „Punkt“(a ,b), an dem die Funktion

ihr Minimum annimmt!

Steigung der Regressionsgeraden

Schnitt der Regressionsgeradenmit der y-Achse bei

BestimmtheitsmaßMaß für die Güte der Anpassung derDaten an die Regressionsfunktion

Dabei ist

In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden.Die Daten sind:

X: Werbeausgaben in 1000 EuroY: Umsatzsteigerung in 10 000 Euro

Demonstrationsbeispiel Lineare Regression

Mittelwerte Varianzen

Kovarianz

Steigung der Regressionsgeraden

Schnitt der Regressionsgeradenmit der y-Achse bei