Date post: | 06-Apr-2015 |
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Knoten- und Maschenregel
Analyse von Schaltungen mit vernetzen Bauteilen
Inhalt
• Die Maschenregel• Anwendung auf die Brückenschaltung im EKG
Versuch – Messung eines unbekannten Widerstands– Messung einer Spannung ohne
Stromentnahme aus dieser Quelle *
* Klingt wie ein Widerspruch: Spannungsmessung ist eine Transportmessung und erfordert daher Stromfluss
Kirchhoffsche „Maschenregel“
In statischen Feldern sind die Potentiale vom Weg unabhängig
• Deshalb ist die Summe über alle Spannungen auf einem beliebigen geschlossenen Weg innerhalb einer Schaltung Null
N
iiU
1
0
N Anzahl der Spannungsquellen in der „Masche“, der Bezeichnung für einen „geschlossenen Weg“
Anleitung zur Kirchhoffschen „Maschenregel“
• Von einem beliebigen Punkt ausgehend bewegt man sich auf einem geschlossenen Weg in gleich bleibendem Umlaufsinn, und summiert die Spannungen über allen Bauteilen auf diesem Weg (Spulen, Kondensatoren, ohmschen Widerständen)– Induzierte Spannungen werden als Spannungsquellen -
wie Batterien- behandelt• Den Weg wählt man z.B. in Richtung des technischen
Stromflusses von Plus nach Minus zwischen zwei Bauteilen, – Spannungen aus Spannungsquellen, die von Minus
nach Plus durchlaufen werden, erhalten ein negatives Vorzeichen
Maschenregel zur Messung eines unbekannten Widerstands (1)
Spannungen in den Maschen der abgeglichenen Brücke
R1 R2
Rx R4
Strom I2
Strom I1
0
1 I2· Rx + I2· R4 = U0 1 V Masche R3, R4, U0
2 I1· R1 + I1· R2 = U0 1 V Masche R1, R2, U0
3 I2· Rx = I1· R1 1 V Masche R1, R3
Spannung U0
Messung eines unbekannten Widerstands (2)
R1 R2
Rx R4
Strom I2
Strom I1
0
1 I2· Rx + I2· R4 = U0 1 V Masche R3, R4, U0
2 I1· R1 + I1· R2 = U0 1 V Masche R1, R2, U0
3 I2 = I1· R1 / Rx 1 A Masche R1, R3
1 I1· R1 + I1· R1 · R4 / Rx = U0 1 V
2 I1· R1 + I1· R2 = U0 1 V
I1· R1 + I1· R1 · R4 / Rx = I1· R1 + I1· R2 1 V I2 eliminiert
Die Analyse liefert drei Gleichungen: Sie erlauben die Bestimmung von drei Unbekannten, z. B. der beiden Ströme und eines unbekannten Widerstands Rx
Messung eines unbekannten Widerstands (3)
R1 R2
Rx R4
Strom I2
Strom I1
0
1 R1 + R1 · R4 / Rx = R1 + R2 1 Ω
R1 · R4 / Rx = R2 1 Ω
R1 · R4 / R2 = Rx 1 ΩUnbekannter Widerstand
Rx
Elimination von I1, , Auflösung nach Rx
Messung einer unbekannten Spannung ohne Strom-Entnahme (1)
Das Instrument zeigt den Potentialunterschied zwischen den Punkten A und B. Stromfluss durch R1, R2, baut über R1 eine Spannung auf. Wird das Instrument stromlos, dann ist die Spannung über R1 gleich Ux : Das Ziel der Messung ist erreicht!
R1 R2
Ux
1 I1· R1 = Ux 1 V Masche Ux, R1
2 I1· R1 + I1· R2 = U0 1 V Masche R1, R2, U0
U0
0
Lx
Fließt kein Strom über das Instrument,
dann wird das Potential Ux ohne Strom-Entnahme aus dieser Quelle
gemessen
„Brücken-“oder
Kompen-sations-
Schaltung
A
B
Messung einer unbekannten Spannung ohne Strom-Entnahme (2)
R1 R2
Ux
Ux + Ux · R2 / R1 = U0 1 V I1 aus (1) in (2) eingesetzt
Ux = U0 · R1 / (R1+ R2) 1 VUnbekannte Spannung bei
abgeglichener Brücke
Ux = U0 · Lx / L 1 VDie Länge der Brücke sei L,
R~L
U0
0
Lx
Fließt kein Strom über das Instrument,
dann wird das Potential Ux ohne Strom-Entnahme aus dieser Quelle
gemessen
„Brücken-“oder
Kompen-sations-
Schaltung
Knotenregel
Die Knotenregel besagt, dass bei Verzweigungen kein Strom verloren geht
R1 R2
Rx R4
Strom I2 Strom I1
0
1 I1+ I2 = I0 1 A Die Summe der Ströme bleibt konstant
Strom I0
Zusammenfassung
• Anwendung von Knoten- und Maschenregel auf die „Wheatsonesche Brückenschaltung“
• Besonders hervorzuheben: Messung einer unbekannten Spannung durch Kompensation, d. h. ohne Strom-Entnahme aus der Spannungsquelle
finis
Potential-Messung (=Messung der Überführungsarbeit) erfordert Ladungstransport, das ist Stromfluss: Deshalb ist eine leitende Umgebung erforderlich
R1 R2
R3 R4
Strom I1
0
Der „elektrolytische Trog“