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Klett Wahrscheinlichkeitsrechnung im Griff - Mathematik 5.-10.Klasse
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INHALTSVERZEICHNIS
So übst du mit diesem Buch 6
So funktioniert der Abschlusstest online 7
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung1.1 Zufallsexperimente und Ergebnisse 8
1.2 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten I 10
1.3 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten II –
Laplace-Experimente 12
1.4 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten III –
von der Erfahrung zur Erwartung 14
1.5 Darstellung von Zufallsexperimenten in Baumdiagrammen 16
1.6 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 18
1.7 Ereignis und Gegenereignis 20
1.8 Verknüpfung von Ereignissen 22
1.9 Vermischte Aufgaben 26
Online-Abschlusstest 29
Mehrstufige Zufallsexperimente2.1 Mehrstufige Zufallsexperimente darstellen 30
2.2 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen
Zufallsexperimenten – die Pfadregeln 34
2.3 Vereinfachte Baumdiagramme 38
2.4 Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung 42
2.5 Erwartungswert einer Zufallsgröße 44
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2.6 Wann sind Glücksspiele fair ? –
Modellieren mit dem Erwartungswert 46
2.7 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 50
2.8 Vermischte Aufgaben 52
Online-Abschlusstest 55
Abzählverfahren aus der Kombinatorik3.1 Das Zählprinzip der Kombinatorik 56
3.2 Das Zählprinzip in der Wahrscheinlichkeitsrechnung 58
3.3 Anzahlen beim Ziehen mit einem Griff –
der Binomialkoeffizient 62
3.4 Wahrscheinlichkeit beim Ziehen mithilfe der Kombinatorik
berechnen – Modellieren 64
3.5 Vermischte Aufgaben 68
Online-Abschlusstest 71
Statistik – Daten erheben, auswerten und analysieren4.1 Grundwissen Statistik 72
4.2 Statistische Erhebung von Daten 73
4.3 Statistische Erhebungen mit relativen Häufigkeiten vergleichen 76
4.4 Auswertung von Statistiken 78
4.5 Daten darstellen und beurteilen – Boxplots 82
4.6 Voraussagen – empirische Wahrscheinlichkeiten 88
4.7 Simulation von Zufallsexperimenten 86
4.8 Simulation mithilfe von Urnenmodellen 90
4.9 Vermischte Aufgaben 92
Online-Abschlusstest 95
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So übst du mit diesem Buch 7
Wortarten: Artikel und Substantiv
1.1 Definition1
1.2 Genus
1.3 Numerus
1.4 Kasus
Lernplaner /Online Abschluss-Test
Wortarten: Pronomen
2.1 Personalpronomen
2.2 Reflexivpronomen
2.3 Possessivpronomen
2.4 Demonstrativ- und Indefinitpronomen
2.5 Relativ- und Interrogativpronomen
Lernplaner /Online Abschluss-Test
Wortarten: Adjektiv
3.1 Definition
3.2 Attributive Verwendung
3.3 Adverbiale und prädikative Verwendung
3.4 Steigerung des Adjektivs
Lernplaner /Online Abschluss-Test
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Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung5.1 Bernoulli-Experimente 96
5.2 Bernoulli-Ketten 98
5.3 Der Binomialkoeffizient –
Anzahl der Pfade mit k Treffern 100
5.4 Bernoulli-Formel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 102
5.5 Mindestens oder höchstens ? –
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten 104
5.6 Darstellen von Bernoulli-Experimenten –
Binomialverteilung und Histogramme 108
5.7 Modellieren mit der Binomialverteilung
5.8 Vermischte Aufgaben 112
Online-Abschlusstest 119
Lösungen 122
Stichwortregister 174
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So übst du mit diesem Buch
Liebe Schülerin, lieber Schüler,
endlich Wahrscheinlichkeitsrechnung kapieren ‒ hast du dir das auch schon
mal gewünscht ? Dann ist dies genau das richtige Übungsbuch für dich.
Dieses Buch hilft dir dabei, alle wichtigen Themen aus dem Bereich der
Wahrscheinlichkeitsrechnung zu wiederholen und zu üben.
So gehst du am besten vor:
• Suche aus dem Inhaltsverzeichnis das Themengebiet heraus, das du wiederholen möchtest.
• Beginne jedes Kapitel, indem du das Merkwissen im grünen Kasten durchliest. Dort steht, wie du vorgehen und was du besonders beachten musst.
• Danach kannst du die Bereiche in immer wechselnden Aufgaben- stellungen einzeln üben. Lege dir dazu ein Trainingsheft an.
• Vergleiche anschließend deine Ergebnisse mit den Lösungen.
Hast du ein komplettes Kapitel durchgearbeitet ? Dann kannst du deinen
Lernerfolg mit den Online-Tests überprüfen.
Am Ende jedes Kapitels findest du eine Seite, auf der die vorhandenen Tests
angezeigt werden.
Dort hast du auch die Möglichkeit dein Testergebnis zu notieren. So siehst du
immer, wie fit du in den einzelnen Bereichen schon bist.
Wie du zu den Abschlusstests online kommst, erfährst du auf der nächsten
Seite.
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1.1
1Grundlagen der Wahrscheinlichkeits-rechnung
Zufallsexperimente und Ergebnisse
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist das Teilgebiet der Mathematik, das von
der Beschreibung zufälliger Ereignisse handelt und zur Vorhersage künftiger Entwicklungen angewandt wird. Erste Anwendungen der Wahrscheinlich-
keitsrechnung stammen aus dem Bereich des Glücksspiels. Heute wird die
Wahrscheinlichkeitsrechnung hauptsächlich dazu genutzt, um Umfrageergeb-
nisse zu analysieren und zu beurteilen und um Prognosen zu erstellen.
Was ist ein Zufallsexperiment ?Mit einem Zufallsexperiment oder auch Zufallsversuch ist ein Vorgang mit
zufälligem Ausgang bezeichnet. Jeder mögliche Ausgang heißt Ergebnis.
Bei jedem Zufallsexperiment gilt:
1. Der Vorgang ist (zumindest theoretisch) beliebig oft durchführbar und
zwar immer nach den gleichen Regeln.
2. Es gibt mindestens zwei (verschiedene) Ergebnisse. Alle möglichen Ergeb-
nisse können schon vor der Durchführung angegeben werden. Sie bilden
die so genannte Ergebnismenge S.
3. Jedes Ergebnis ist zufällig, d. h. es kann nicht vorhergesagt werden.
Es gibt im Alltag auch Situationen, bei denen mit einem zufälligen Ergebnis
eine Entscheidung getroffen werden soll. Dann führt man ein Zufallsexperi-
ment mit einem geeigneten Zufallsgerät durch.
Beispiele: a) Jonas fährt jeden Morgen mit dem Bus in die Schule. Er weiß vorher nie,
wie der Bus kommt. Der Bus kann zu spät (Ergebnis s), zu früh (Ergebnis f)
oder pünktlich kommen (Ergebnis p).
Die zugehörige Ergebnismenge ist S = {s; f; p}
b) Beim Würfeln können die Augenzahlen von 1 bis 6 geworfen werden.
Die zugehörige Ergebnismenge ist S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Der Würfel ist das Zufallsgerät.
In der Regel werden
die Elemente der
Ergebnismenge mit
einem Strichpunkt
getrennt, damit es
keine Verwechslungen
mit Kommazahlen
gibt.
WISSEN ÜBEN TESTEN
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9WISSEN ÜBEN TESTEN
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Aufgabe 1
Handelt es sich bei den Situationen um Zufallsexperimente ? Kreuze „ja“ oder „nein“ an und begründe deine Entscheidung.
Situation ja nein Begründung
a)
Eine Karte wird verdeckt aus einem Kartenstapel gezogen.
b) Ein Mikadostäbchen wird gezogen.
c) Ein Würfel wird geworfen.
d) Ein Verschlussdeckel einer Flasche wird geworfen.
e) Das abgebildete Glücksrad wird gedreht.
f) Wette über den Ausgang eines Fußballspiels
Aufgabe 2
Gib für jedes Zufallsexperiment die Ergebnismenge an.
a) Werfen eines (idealen) Würfels.
b) Werfen eines Tetraederwürfels.
c) Drehen des abgebildeten Glücksrades.
d) Ein Fußgänger läuft auf eine Fußgängerampel zu.
e) Ziehen einer Kugel aus der abgebildeten Urne.
Aufgabe 3
Zufallsexperimente einmal umgedreht.
a) Zeichne die zugehörigen Zufallsgeräte.
● Ein Glücksrad soll die Ergebnismenge S = {1; 2; 3; 4} haben.
● Eine Urne soll die Ergebnismenge S = {weiß; schwarz} haben.
b) Gib ein passendes Zufallsexperiment für diese Ergebnismenge an.
● S = {rot; blau; gelb}
● S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Tetraeder heißt Vierflächner (griech. tetra = vier). Ein Tetraeder besteht aus vier gleich großen Dreiecksflächen.
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10 WISSEN ÜBEN TESTEN
1.2 Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten I
Was ist die Wahrscheinlichkeit ?
Die Wahrscheinlichkeit ist eine Einstufung nach dem Grad der Gewissheit und
gibt den Wert an, mit dem ein Ergebnis eines Zufallsexperiments erwartet
wird.
Wahrscheinlichkeiten sind Anteile und können deshalb als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozent geschrieben werden.
Ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses schon im Vorfeld bekannt, spricht
man auch von der theoretischen Wahrscheinlichkeit.
Beachte: Bei manchen Zufallsexperimenten haben alle möglichen Ergebnisse
die gleiche Chance aufzutreten, das nennt man auch Chancengleichheit. Bei
anderen Zufallsexperimenten herrscht keine Chancengleichheit. Das Eintreten
von Ergebnissen ist nicht gleich wahrscheinlich.
So bestimmst du die Wahrscheinlichkeiten bei einem (beliebigen) Zufalls- experiment:
Da Wahrscheinlichkeiten Anteile sind, können sie als Bruch dargestellt werden.
Bei einem Bruch steht im Zähler der Anteil am Ganzen und im Nenner, aus
wie vielen (gleich großen) Teilen das Ganze besteht.
Musst du die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines Zufallsexperiments
bestimmen, bestimmst du sozusagen den Anteil des Ergebnisses am Zufalls-experiment.
Beachte:● Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis ist größer oder gleich Null.● Da alle möglichen Ergebnisse das ganze Zufallsexperiment bilden, ist die
Summe der Wahrscheinlichkeit aller Ergebnisse 1 oder 100 %.
Beispiele: a) Drehen des Glücksrades
Ergebnismenge S = {1; 2}
P („1“) = 1
_ 4 ; P („2“) = 3
_ 4
Bei diesem Glücksrad herrscht also keine Chancengleichheit.
b) Herausnehmen eines Bonbons aus einem Glas
Ergebnismenge S = {Kirsche; Apfel; Orange}
Es gibt insgesamt 10 Bonbons.
P („Kirsche“) = 3
_ 10
; P („Apfel“) = 2
_ 10
; P („Orange“) = 5
_ 10
Wahrscheinlichkeit
in der Mathematik
wird mit P von
probability
(engl. = Wahr-
scheinlichkeit)
bezeichnet.
Nach dem P
steht in Klammern
das zugehörige
Ergebnis.
Dieser Sachverhalt ist die wichtigste Grundlage der Wahrscheinlich-keitsrechnung!
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Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form
Auszug aus:
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Klett Wahrscheinlichkeitsrechnung im Griff - Mathematik 5.-10.Klasse
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