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Kleine Formelsammlung zu Digitale Signalverarbeitungsiflfran/uni/IuK/Semester4/DSV/... · 4...

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27
Kleine Formelsammlung zu Digitale Signalverarbeitung Florian Franzmann 28. August 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Elementare Grundlagen 3 1.1 osungsformel f¨ ur quadratische Gleichungen ................. 3 1.2 Definition einiger Funktionen ......................... 3 1.2.1 rect-Funktion .............................. 3 1.2.2 sinc-Funktion .............................. 3 1.3 Additionstheoreme ............................... 3 1.4 Integrationsregeln ................................ 5 1.4.1 Partielle Integration .......................... 5 1.4.2 Substitutionsregel ........................... 5 2 Abtasttheorem 5 2.1 Basisband-Signale ............................... 5 2.2 Bandpass-Signale ................................ 5 3 Interpolationsfilter 6 3.1 Bandpaßsignale ................................. 6 4 Eigenschaften von LTI-Systemen 6 4.1 Konvergenzbereich der z-Transformierten .................. 6 4.2 Linearit¨ at .................................... 6 4.3 Zeitinvarianz .................................. 6 4.4 BIBO-Stabilit¨ at ................................. 6 4.4.1 Stabilit¨ at ................................ 8 4.4.2 Bedingte (schwache) Stabilit¨ at .................... 8 [email protected] 1
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Kleine Formelsammlung zu DigitaleSignalverarbeitung

Florian Franzmann∗

28. August 2005

Inhaltsverzeichnis

1 Elementare Grundlagen 3

1.1 Losungsformel fur quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Definition einiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 rect-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 sinc-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Abtasttheorem 5

2.1 Basisband-Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Bandpass-Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Interpolationsfilter 6

3.1 Bandpaßsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Eigenschaften von LTI-Systemen 6

4.1 Konvergenzbereich der z-Transformierten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.3 Zeitinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.4 BIBO-Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.4.1 Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.4.2 Bedingte (schwache) Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

[email protected]

1

Inhaltsverzeichnis

4.5 Kausalitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.6 FIR-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.7 Reellwertige LTI-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.8 Minimalphasigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.9 Maximalphasigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.10 Linearphasige Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.11 Allpaßfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.11.1 Zerlegung in stabilen Allpaß und minimalphasiges System . . . . . 9

4.11.2 Gruppenlaufzeit von Allpaßfiltern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.12 Betrag, Phase und Gruppenlaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.12.1 Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.12.2 Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.12.3 Gruppenlaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Transformationen 10

5.1 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.1.2 Inverse Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.1.3 Hinreichende Bedingung fur die Existenz der Fourier-Transformierten 10

5.2 z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.2.2 Inverse z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3 Zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.1 DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3.2 IDTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4.1 DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4.2 IDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4.3 Zyklische Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.5 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.5.2 Inverse Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.6 Symmetrien im Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Idealisierte LTI-Systeme 19

6.1 Hilbert-Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7 Zustandsraumbeschreibung 22

7.1 Im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.2 Im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3 Frobenius-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.4 Signalflußgraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.4.1 Berechenbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.4.2 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

Tabellenverzeichnis

8 Filterentwurf 24

Tabellenverzeichnis

1 Korrespondenzen der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Satze der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Korrespondenzen der zweiseitigen z-Transformation . . . . . . . . . . . . 13

4 Satze der zweiseitigen z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Satze der zweiseitigen z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Korrespondenzen der DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Satze der DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8 Korrespondenzen der zweiseitigen Laplace-Transformation . . . . . . . . . 20

9 Satze der zweiseitigen Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Elementare Grundlagen

1.1 Losungsformel fur quadratische Gleichungen

ax2 + bx+ c = 0

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2afalls b2 − 4ac ≥ 0

x1,2 =−b± j

−(b2 − 4ac)

2afalls b2 − 4ac < 0

1.2 Definition einiger Funktionen

1.2.1 rect-Funktion

rect(at) =

1 fur |t| ≤ 12a

0 sonst

1.2.2 sinc-Funktion

sinc(ν) =

sin ν

ν fur ν 6= 0

1 fur ν = 0

1.3 Additionstheoreme

sinα · sin β =1

2(cos(α− β) − cos(α+ β))

cosα · cos β =1

2(cos(α− β) + cos(α+ β))

3

1 Elementare Grundlagen

1

− 12a

12a

(a) rect(at)

−2πa 2πa

1a

(b) 1|a|

sinc( ω

2a)

Abbildung 1: Rechteck- und sinc-Funktion

4

1.4 Integrationsregeln

sin2 α =1

2(1 − cos 2α)

cos2 α =1

2(1 + cos 2α)

sin 2α = 2 sinα cosα = 1 − cos2 α

cos 2α = cos2 α− sin2 α = 1 − sin2 α

sinα =ejα − e−jα

2j

cosα =ejα + e−jα

2j

ejα = cosα+ j sinα

e−jα = cosα− j sinα

1.4 Integrationsregeln

1.4.1 Partielle Integration∫

u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) −∫

u′(x)v(x)dx

1.4.2 Substitutionsregel

x = u(t) bzw. t = v(x). u und v seien zueinander Umkehrfunktionen.∫

f(x)dx =

f(u(t))u′(t)dt bzw.

f(x)dx =

∫f(u(t))

v′(u(t))dt

2 Abtasttheorem

2.1 Basisband-Signale

ωB ≤ ωS

2=π

T

2.2 Bandpass-Signale

ωS = 2ωB mit ωB = ω2 − ω1

falls die obere Bandgrenze ω2 ganzzahliges Vielfach der Bandbreite ωB ist.Sonst wahle maximales ganzzahliges n, so daß

ωS = 2ω2

n> 2ωB

5

4 Eigenschaften von LTI-Systemen

3 Interpolationsfilter

3.1 Bandpaßsignale

H(jω) = T rect

(ωT

π

)

∗(

δ

(

ω − ω0 −∆ω

2

)

+ δ

(

ω + ω0 +∆ω

2

))

h(t) = sinc

(πt

2T

)

· cos((

ω0 +∆ω

2

)

· t)

4 Eigenschaften von LTI-Systemen

4.1 Konvergenzbereich der z-Transformierten

1. Der Konvergenzbereich ist ein Ring um den Ursprung der z-Ebene.

2. Der Konvergenzbereich enthalt keine Pole.

3. Ist x[k] von endlicher Dauer, so besteht der Konvergenzbereich aus der gesamtenz-Ebene außer evt. z = 0 und/oder z = ∞.

4. Bei kausalen Folgen: Liegt der Kreis |z| = r0 im Konvergenzbereich, dann auchalle endlichen Werte von z, fur die |z| > r0 gilt.

5. Bei antikausalen Folgen: Liegt der Kreis |z| = r0 im Konvergenzbereich, dann auchalle Werte von z, fur die 0 < |z| < r0 gilt.

6. Bei zweiseitigen Folgen: Liegt |z| = r0 im Konvergenzbereich, so ist der Konver-genzbereich ein Ring in der z-Ebene, der |z| = r0 enthalt.

4.2 Linearitat

Sc1x1[k] + c2x2[k] = c1Sx1[k] + c2Sx2[k] = c1x1[k] + c2x2[k]

4.3 Zeitinvarianz

y[k −N ] = Sx[k −N ]

4.4 BIBO-Stabilitat

|x[k]| ≤M1 <∞ ∀k ⇒ |y[k]| ≤M2 <∞ ∀k

6

4.4 BIBO-Stabilitat

σ

Abbildung 2: Konvergenzbereich kausaler kontinuierlicher LTI-Systeme

Imz

Rez

(a) kausal

Imz

Rez

(b) antikausal

Abbildung 3: Konvergenzbereich diskreter LTI-Systeme

7

4 Eigenschaften von LTI-Systemen

4.4.1 Stabilitat

Bei stabilen LTI-Systemen mit

• rechtsseitiger Impulsantwort liegen alle Singularitaten der Systemfunktion H(z)im Einheitskreis:

|z∞| < 1

• linksseitiger Impulsantwort liegen alle Singularitaten der Systemfunktion H(z) au-ßerhalb des Einheitskreises:

|z∞| > 1

• zweiseitiger Impulsantwort durfen keine Singularitaten der Systemfunktion H(z)auf dem Einheitskreis liegen:

|z∞| 6= 1

4.4.2 Bedingte (schwache) Stabilitat

H(ejΩ) kann auch dann existieren, wenn BIBO-Stabilitat nicht gegeben ist. Dann hatdie Impulsantwort endliche Energie oder die Singularitaten erster Ordnung liegen aufdem Einheitskreis, wenn dieser die Grenze des Kb von H(z) darstellt.

|h[k]| ≤M∀k ∈ Z

4.5 Kausalitat

Das Ausgangssignal hangt nur von verganenen und dem aktuellen Eingangswert ab undfalls x[k] = 0 ⇒ y[k] = 0.

4.6 FIR-Systeme

FIR-Systeme haben alle m Polstellen im Ursprung.

4.7 Reellwertige LTI-Systeme

Ein System heißt reellwertig, wenn bei Erregung mit einem reellwertigen Signal auch dasAusgangssignal reellwertig ist. Bei reellwertigen Systemen sind alle Pole und Nullstellenkonjugiert komplex.

4.8 Minimalphasigkeit

Alle Nullstellen befinden sich innerhalb des Einheitskreises.

4.9 Maximalphasigkeit

Alle Nullstellen befinden sich außerhalb des Einheitskreises.Die Uberfuhrung eines minimalphasigen in ein maximalphasiges System (und umge-

kehrt) entspricht der Umkehr der Zeitachse.

8

4.10 Linearphasige Systeme

4.10 Linearphasige Systeme

Bei linearphasigen Systemen liegen alle Pole im Ursprung und die Nullstellen als amEinheitskreis gespiegelte Paare bzw. auf dem Einheitskreis. Ist ein System linear undBIBO-stabil, so hat es endliche Impulsantwort.

4.11 Allpaßfilter

Fur Allpaßfilter gilt

|A(ejΩ)| = 1∀Ω ∧A(z) = znN(z−1)

N(z)

Pole und Nullstellen befinden sich spiegelbildlich zum Einheitskreis, d. h.

z0ν =1

z∗∞ν

Ein stabiler Allpaß ist minimalphasig, d. h. alle Nullstellen sind innerhalb des Einheits-kreises, alle Polstellen außerhalb.

4.11.1 Zerlegung in stabilen Allpaß und minimalphasiges System

H(z) =Zi(z) · Zo,∗(z)

N(z)︸ ︷︷ ︸

minimalphasig

· Zo(z)

Zo,∗(z)︸ ︷︷ ︸

stabiler Allpaß

mit Zi(z) Nullstellen im Einheitskreis, Zo(z) Nullstellen außerhalb des Einheitskreisesund Zo,∗(z) = zn · Zo(z

−1), N(z) Polstellen.

4.11.2 Gruppenlaufzeit von Allpaßfiltern

τA(Ω) =

n∑

ν=1

1 − ρ2ν

1 + ρ2ν − 2ρν cos(Ω − ψν)

4.12 Betrag, Phase und Gruppenlaufzeit

4.12.1 Betrag

H(ejΩ) = H(ejΩ) · e−jb(Ω) =

∑mµ=0 bmue

jµΩ

∑nν=0 aνejνΩ

= bm ·∏m

µ=1

(ejΩ − z0µ

)

∏nν=1 (ejΩ − z∞ν)

Zusammenhang zwischen Differenzengleichung und Systemfunktion:

N∑

n=0

any[k − n] =

N∑

n=0

bnx[k − n] ⇔ H(z) =Y (z)

X(z)=

∑Nm=0 bmz

−m

∑Nn=0 anz−n

9

5 Transformationen

4.12.2 Phase

b(Ω) = − argH(ejΩ)

= − arctan

ImH(ejΩ)ReH(ejΩ) = arg

N(ejΩ)

− arg

Z(ejΩ)

4.12.3 Gruppenlaufzeit

Die Gruppenlaufzeit wird bei zeitkontinulierlichen Systemen definiert als Ableitung derPhase nach der Frequenz:

τg(Ω) = τg(−Ω) = −d argH(ejΩ)dΩ

= −1

2

[

zH ′(z)H(z)

+ z−1H′(z−1)

H(z−1)

]∣∣∣∣z=ejΩ

5 Transformationen

5.1 Fourier-Transformation

5.1.1 Definition

X(jω) = Fx(t) =

∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt = Lx(t)

∣∣∣s=jω

X(jω) = |X(jω)| · ejϕ(jω)

5.1.2 Inverse Fourier-Transformation

x(t) =1

∫ ∞

−∞X(jω)ejωtdω

5.1.3 Hinreichende Bedingung fur die Existenz der Fourier-Transformierten∫ ∞

−∞|x(t)|dt <∞

5.2 z-Transformation

5.2.1 Definition

Z x[k] = X(z) =∞∑

k=−∞x[k]z−k

5.2.2 Inverse z-Transformation

x[k] =1

X(z)zk−1dz

10

5.2 z-Transformation

Tabelle 1: Korrespondenzen der Fourier-Transformation

x(t) X(jω) = Fx(t)

δ(t) 1

1 2πδ(ω)

δ(t) jω

∑∞k=−∞ δ(t − kT ) = 1

T ⊥⊥⊥(

1T

)⊥⊥⊥

(ωT2π

)=

∑∞k=−∞ δ

(ω − 2π

T · k)

ε(t) πδ(ω) + 1jω

rect(at) 1|a|sinc

(ω2a

)

sinc(at) π|a|rect

(ω2a

)

1t −jπsign(ω)

sign(t) 2jω

ejω0t 2πδ(ω − ω0)

cos(ω0t) π[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)]

sin(ω0t) jπ[δ(ω + ω0) − δ(ω − ω0)]

e−α|t|;α > 0 2αα2+ω2

e−a2t2√

πa e

− ω2

4a2

11

5 Transformationen

Tabelle 2: Satze der Fourier-Transformation

x(t) X(jω) = Fx(t)

Lineariat Ax1(t) +Bx2(t) AX1(jω) +BX2(jω)

Verschiebung x(t− τ) e−jωτX(jω)

Modulation ejω0tx(t) X(j(ω − ω0))

Differentiation im Frequenzbereich tx(t) −dX(jω)d(jω)

Differentiation im Zeitbereich dx(t)dt jωX(jω)

Integration∫ t−∞ x(τ)dτ 1

jωX(jω) + πX(0)δ(ω)

Ahnlichkeit x(at) 1|a|X

(jωa

)

; a ∈ R \ 0

Faltung x1(t) ∗ x2(t) X1(jω) ·X2(jω)

Multiplikation x1(t) · x2(t)12πX1(jω) ∗X2(jω)

Dualitatx1(t)x2(jt)

x2(jω)2πx1(−ω)

Symmetrienx(−t)x∗(t)

x∗(−t)

X(−jω)X∗(−jω)X∗(jω)

Parsevalsches Theorem∫ ∞−∞ |x(t)|2dt 1

∫ ∞−∞ |X(jω)|2dω

12

5.2 z-Transformation

Tabelle 3: Korrespondenzen der zweiseitigen z-Transformation

x[k] X(z) = Zx[k] Kb

δ[k] 1 z ∈ C

ε[k] zz−1 |z| > 1

akε[k] zz−a |z| > |a| (kausal)

−akε[−k − 1] zz−a |z| < |a| (antikausal)

kε[k] z(z−1)2 |z| > 1

kakε[k] az(z−a)2 |z| > |a|

ε[k − 1] · 1k · ak−1 1

a ln(

zz−a

)

|z| > |a|

sin(Ω0k)ε[k]z sinΩ0

z2−2z cos Ω0+1|z| > 1

cos(Ω0k)ε[k]z(z−cos Ω0)

z2−2z cos Ω0+1|z| > 1

13

5 Transformationen

Tabelle 4: Satze der zweiseitigen z-Transformation

Eigenschaft x[k] X(z) Kb

Lineariat ax1[k] + bx2[k] aX1(z) + bX2(z) Kb ⊇ KbX1 ∩KbX2

Verschiebung x[k − κ] z−κX(z) Kbx; z = 0 und z →∞ gesondert betrachten

Modulation akx[k] X(

za

)Kb =

z∣∣ za ∈ Kbx

Multiplikation mit k kx[k] −z dX(z)dz Kbx; z = 0 gesondert

betrachten

Zeitumkehr x[−k] X(z−1) Kb = z∣∣z−1 ∈ Kbx

Faltung x1[k] ∗ x2[k] X1(z) ·X2(z) Kb ⊇ Kbx1 ∩Kbx2

Multiplikation x1[k] · x2[k]1

2πj

∮X1(ζ)X2

(zζ

)1ζ dζ Grenzen der Konver-

genzbereiche multipli-zieren

14

5.3 Zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT)

5.3 Zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT)

5.3.1 DTFT

Die Zeitdiskrete Fouriertransformation ist gegeben durch

X(ejΩ) = F∗ x[k] =

∞∑

k=−∞x[k]e−jΩk

Sie entspricht der zweiseitigen z-Transformation fur den Fall z = ejΩ, falls z = 1 ∈ Kb.

5.3.2 IDTFT

Die inverse DTFT braucht keinen Kb.

x[k] = F−1∗

X(ejΩ)

=

1

∫ 2π

0X(ejΩ)ejΩkdΩ

5.4 Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

5.4.1 DFT

Die DFT einer Folge x[k] der Lange M ist gegeben durch

X[µ] =

M−1∑

k=0

x[k] · wµkM = DFTM x[k] mit µ = 0(1)M − 1

mit dem DrehfaktorwM = e−j 2π

M

5.4.2 IDFT

Die Inverse DFT einer Folge X[µ] der Lange M ist definiert

x[k] =1

M

M−1∑

µ=0

X[µ]w−µkM = DFT−1

M X[µ] mit k = 0(1)M − 1

5.4.3 Zyklische Faltung

Eine zyklische Faltung der Lange M ist definiert als

x1[k] ©M x2[k] = x2[k] ©M x1[k]

⇔M−1∑

κ=0

x1[k − κ] · x2[κ] =

M−1∑

κ=0

x2[k − κ] · x1[κ]

mit x[k] = x[k] fur k = 0(1)M − 1.

15

5 Transformationen

Tabelle 5: Satze der zweiseitigen z-Transformation

x[k] X[µ]

Linearitat∑

i aixi[k] ai ∈ C∑

i aiXi[µ]

Zyklische Verschiebungim Zeitbereich

x[k + κ] X[µ] · w−µκM

Zyklische Verschiebungim Frequenzbereich

x[k] · wkλM X[µ+ λ]

Zeitumkehrung x[−k] = x[M − k] X[−µ]

Komplexe Konjugation x∗[k] X∗[−µ]

DFT der zyklischen Fal-tung im Zeitbereich

x1[k] ©M x2[k] X1[µ] ·X2[µ]

DFT der Multiplikationim Zeitbereich

x1[k] · x2[k]1M

∑M−1κ=0 X1[µ− κ] ·X2[κ]

16

5.4 Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

Tabelle 6: Korrespondenzen der DTFT

x[k] X(ejΩ) = F∗x[k]

δ[k] 1

ε[k] π∑∞

n=−∞ δ(Ω − 2πn) + 11−e−jΩ

ε[k]ejΩ0k π∑∞

n=∞ δ(Ω − Ω0 − 2πn) + 11−e−j(Ω−Ω0)

1∑∞

µ=−∞ δ(

Ω2π − µ

)

ejΩ0k 2π∑∞

n=−∞ δ(Ω − Ω0 − 2πn)

cos Ω0k π∑∞

n=−∞ δ(Ω − Ω0 − 2πn) + δ(Ω + Ω0 − 2πn)

ε[k] · cos Ω0kπ2

∑∞n=−∞ δ(Ω − Ω0 − 2πn) + δ(Ω + Ω0 − 2πn)

+ ejΩ−cos Ω02 cos Ω−2 cos Ω0

ε[k] · sinΩ0kπ2j

∑∞n=−∞ δ(Ω − Ω0 − 2πn) − δ(Ω + Ω0 − 2πn)

+ sinΩ02 cos Ω−2 cos Ω0

sinΩ0k −jπ∑∞

n=−∞ δ(Ω − Ω0 − 2πn) − δ(Ω + Ω0 − 2πn)

rect[k] =

1 fur 0 ≤ k ≤ N

0 sonste−jΩ N−1

2 · sin(NΩ2 )

sin(Ω2 )

sign[k] =

1 fur k > 0

0 fur k = 0

−1 fur k < 0

1+e−jΩ

1−e−jΩ = −j 1tan(Ω/2)

akε[k] 11−ae−jΩ

17

5 Transformationen

Tabelle 7: Satze der DTFT

Eigenschaft x[k] X(ejΩ) = F∗x[k]

Linearitat ax1[k] + bx2[k] aX1(ejΩ) + bX2(e

jΩ)

Verschiebungssatz x[k − κ] e−jΩκX(ejΩ); κ ∈ Z

Zeitumkehr x[−k] X(e−jΩ)

Modulationssatz ejΩ0kx[k] X(ej(Ω−Ω0)); Ω0 ∈ R

Differentiation kx[k] jdX(ejΩ)dΩ

Konjugation x∗[k] X∗(e−jΩ)

Realteil Rex[k] Xg(ejΩ)

xg[k] ReX(ejΩ)

Imaginarteil Imx[k] Xu(ejΩ)

xu[k] jImX(ejΩ)

Faltungssatz x1[k] ∗ x2[k] X1(ejΩ)X2(e

jΩ)

Multiplikationssatz x1[k] · x2[k]12π

∫ 2π0 Y (ejΩ)X(ej(Ω−η))dη

= 12πX1(e

jΩ) ⊛X2(ejΩ)

Parsevalsches Theorem∑∞

k=−∞ |x[k]|2 12π

∫ π−π |X(ejΩ)|dΩ

18

5.5 Laplace-Transformation

5.5 Laplace-Transformation

5.5.1 Definition

Lx(t) = X(s) =

∫ ∞

−∞x(t)e−stdt

5.5.2 Inverse Laplace-Transformation

x(t) = L−1X(s) =1

∫ σ+j∞

σ−j∞X(s)estds

5.6 Symmetrien im Spektrum

x(t)reell

⇐⇒

X(jω) = X∗(−jω)

Re X(jω) = Re X(−jω)Im X(jω) = −Im X(−jω)

|X(jω)| = |X(−jω)|arg X(jω) = − arg X(−jω)

x(t) = Re xg(t) + Re xu(t) + jIm xg(t) + jIm xu(t)

X(jω) = Re Xg(jω) + jIm Xu(jω) + jIm Xg(jω) + Re Xu(jω)

6 Idealisierte LTI-Systeme

Idealisierte LTI-Systeme

• sind nicht kausal

• sind nicht BIBO-stabil

• besitzung keine z-Transformierte

• haben lineare Phase

• haben bei geeigneter Zeitverschiebung gerade oder ungerade Symmetrie

19

6 Idealisierte LTI-Systeme

Tabelle 8: Korrespondenzen der zweiseitigen Laplace-Transformation

x(t) X(s) = Lx(t) Kb

δ(t) 1 s ∈ C

ε(t) 1s Res > 0

e−atε(t) 1s+a Res > Re−a

−e−atε(−t) 1s+a Res < Re−a

tε(t) 1s2 Res > 0

tnε(t) n!sn+1 Res > 0

te−atε(t) 1(s+a)2

Res > Re−a

tne−atε(t) n!(s+a)n+1 Res > Re−a

sin(ω0t)ε(t)ω0

s2+ω20

Res > 0

cos(ω0t)ε(t)s

s2+ω20

Res > 0

e−at cos(ω0t)ε(t)s+a

(s+a)2+ω20

Res > Re−a

e−at sin(ω0t)ε(t)ω0

(s+a)2+ω20

Res > Re−a

t cos(ω0t)ε(t)s2−ω2

0

(s2+ω20)2

Res > 0

t sin(ω0t)ε(t)2ω0s

(s2+ω20)2

Res > 0

20

Tabelle 9: Satze der zweiseitigen Laplace-Transformation

x(t) X(s) = Lx(t) Kb

Linearitat Ax1(t) +Bx2(t) AX1(s) +BX2(s) Kb ⊇ KbX1 ∩KbX2

Verschiebung x(t− τ) e−sτX(s) unverandert

Modulation e−atx(t) X(s − a) um Rea nachrechts verschoben

”Multiplikation mit t“,

Differentiation im Fre-quenzbereich

tx(t) − ddsX(s) unverandert

Differentiation im Zeit-bereich

ddtx(t) sX(s) Kb ⊇ KbX

Integration∫ t−∞ x(τ)dτ 1

sX(s) Kb ⊇ KbX∩s :Res > 0

Achsenskalierung x(at) 1|a|X

(sa

)Kb mit Faktor askalieren

21

7 Zustandsraumbeschreibung

D

C∑ ∑

z−1EB

x[k] y[k]

A

z[k + 1] z[k]

Abbildung 4: Zustandsraumbeschreibung fur diskrete Systeme

6.1 Hilbert-Transformator

HH(ejΩ) = −jsign(Ω)

hh[k] =1

π

∫ π

0sin(Ωk)dΩ =

2

πk fur k gerade

0 fur k ungerade

7 Zustandsraumbeschreibung

7.1 Im Zeitbereich

z[k + 1] = Az[k] +Bx[k]

y[k] = Cz[k] +Dx[k]

7.2 Im Frequenzbereich

zZ(z) = AZ(z) +BX(z)

Y (z) = CZ(z) +DX(z)

22

7.2 Im Frequenzbereich

b0

1/a0

x(t) y(t)

−a1

−aN−1

−aN

b1

bN−1

bN

z−1

z−1 z−1

z−1

z[k + 1]

z[k]

Abbildung 5: Direktform I fur zeitdiskrete Systeme

∑ ∑

b0

b1

bN−1

bN

1/a0

−aN−1

−a1

−aN

x(t) y(t)

−− −

++

z−1

z−1

Abbildung 6: Direktform II fur zeitdiskrete Systeme

23

8 Filterentwurf

7.3 Frobenius-Matrix

z1

z2

...

zN−1

zN

[k + 1] =

−a1a0

−a1a0

· · · −a1a0

−a1a0

1 0 · · · 0 0

0 1 · · · 0 0

......

. . ....

...

0 0 · · · 1 0

z1

z2

...

zN−1

zN

[k] +

1a0

0

0

...

0

x[k]

y[k] =

(

b1 − a1b0a0

· · · bN − aNb0a0

)

z1

z2

...

zN

[k] +b0a0x[k]

7.4 Signalflußgraphen

7.4.1 Berechenbarkeit

Ein Signalflußgraph heißt nicht berechenbar, wenn er verzogerungsfreie Schleifen enthalt.

7.4.2 Transposition

Umkehr aller Zweigrichtungen und Vertauschen von Ein- und Ausgangen fuhrt auf einbezuglich der Differenzengleichung aquivalentes Netzwerk. Fur digitale Schaltungen istdie Graphform, die erst verzogert und dann multipliziert und addiert zu bevorzugen.

8 Filterentwurf

Gegeben: fD, fS, δP , δS , fA.

1.

fA ≥ fmax + fS

2. Periodisches Toleranzschema (siehe Abbildung 8(a)) des digitalen Tiefpasses.

Ω = 2π · ffA

24

b0

bN

1/a0

−aN

x(t) y(t)

b1

bN−1 −aN−1

−a1

z−1

z−1

z−1

Abbildung 7: Direktform III fur zeitdiskrete Systeme

25

8 Filterentwurf

π 2π

1 − δP

1

˛

˛HLP (ejΩ)˛

˛

Ω

ΩDΩS

δS

(a) Periodische Toleranzschema

1 − δP

1

vP vS

δS

|G(jv′)|

v

(b) Toleranzschema nach der bilinearen Trans-formation

∆2

vD vS

∆1

C · |K(jv′)|

v

(c) Toleranzschema fur C · |K(jv′)|

Abbildung 8: Filterentwurf

26

ΩD = 2π · fD

fA

ΩS = 2π · fS

fA

3. Bilineare Transformation (siehe Abbildung 8(b)).

w =z − 1

z + 1z =

1 + w

1 − w

w = u+ jv v = tanΩ

2

vD = tanΩD

2vS = tan

ΩS

2

4.

|C(jv)2| =1

1 + C2|K(jv)|2

∆1 =

2δD − δ2D

1 − δD∆2 =

1 − δ2S

δS

5. Berechnung der Filterordnung

a) Butterworth-Filter Filterordnung:

n ≥log ∆2

∆1

log v′Smit n ∈ N

C · |K(jv)| = C(v′)n

∆2

(v′)n≤ C ≤ ∆1

C bestimmt den Radius der Pole.

b) Tschebyscheff-Polynom Typ 1 Filterordnung:

n ≥arccosh∆2

∆1

arccoshvS=

ln

(

∆2∆1

+

∆22

∆21− 1

)

ln

(

vS

vD+

v2S

v2D

− 1

)

27


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