K.Gerald van den Boogaart · Kolmogorov-Smirnov-Test Situation: Test auf spezielle Verteilung...

StatistikVorlesung 6 (Tests II)

K.Gerald van den Boogaart

http://www.stat.boogaart.de

Statistik – p. 1/57

Sümpfe des multiplen Testens

Rangviertel

Die unwegsamen Ausreißerberge

Die Datenminen

Todeswüste, der nicht erfüllten Voraussetzungen

Steig der

Nich

tparametrik

Gle

tsch

ersp

alt

e der

glei

chen

Mes

swer

te

Nacht der angenommen Hypothesen

Klippe

der

unüber

prü

fbare

n

Vor

auss

etzu

nge

n Klippe der unüberprüfbaren

Voraussetzungen

robuster Weg

Momentenmethoden u.Lineare Modelle

ML-CityBayes-Land

t-DorfModell-Platz

Statistika

Vertrauensbereich

Normalviertel

Vorhersagebereich

Steppe der unwesentlich verletzten Voraussetzungen

Schätzervorstadt

Schlaraffia oder das Land des gelungen statistischen Nachweis Land des offenen Betrugs

BonferroniPassage

BenjaminiPassage

Sequenzielle Passage

Posthoc

Mathe

Schätzung

Daten

Test

Aussichtsturm

Grafingen

Riesige Halde mit nichtrepräsentativen

Daten


Konstruktion eines Tests

Je größer der Messwert, deso eher wurde der Grenzwertüberschritten:

T (X) =

{

0, falls X < k

1, falls X ≥ k

k heißt kritischer Wert.

Wähle k so, dass (wenn die Hypothese stimmt)

P (X > k) = α = 0.05

Falls X normalverteilt mit Mittelwert 7,5 undStandardabweichung 1 so ist

k = FN(7.5,1)(1 − α) = 9.14485362695147Statistik – p. 3/57

Ein Test hat

Namen(hier: einfacher einseitiger Gauss-Test)


Ein Test hat

Namen

AnwendungssituationÜberprüfen ob der wahre Erwartungswert einen festenWert (hier 7,5) übersteigt, wenn eine normalverteilteMessung mit bekannter Varianz σ2 (hier 1) vorliegt.


Ein Test hat

Namen

Anwendungssituation

Hypothese und AlternativeH0 : µ = 7, 5 vs. H1 : µ > 7, 5


Ein Test hat

Namen

Anwendungssituation

Hypothese und Alternative

VoraussetzungenX ∼ N(µ, σ2

0)


Ein Test hat

Namen

Anwendungssituation


Voraussetzungen

Ein EntscheidungsverfahrenMeist im Computer implementiert. Hier:

T (X) =

{

0, falls X < FN(µ0,σ2

0)(1 − α)

1, falls X ≥ FN(µ0,σ2

0)(1 − α)


Ein Test hat

Namen

Anwendungssituation


Voraussetzungen

Ein Entscheidungsverfahren


Das Entscheidungsverfahren

Das Test (also das Entscheidungsverfahren)

T (X) =

{

0, falls S(X) < FP S0

(1 − α)

1, falls S(X) ≥ FP S0

(1 − α)

besteht normalerweise aus:

Einer Funktion S(X), genannt die Teststatistik(hier S(X) = X)




T (X) =

{


(1 − α)


(1 − α)



und der Verteilung PS0 der Teststatistik unter der

Nullhypothese:(hier PS

0 = N(µ0, σ20))




T (X) =

{


(1 − α)


(1 − α)



und der Verteilung PS0 der Teststatistik unter der

Nullhypothese:(hier PS

0 = N(µ0, σ20))


Die Berechnung des p-Wertes

Das Entscheidungsverfahren besteht normalerweise aus:

. . . und der resultierenden Entscheidungsregel

T (X) =

{


(1 − α)


(1 − α)

der p-Wert (kleinstes α-Niveau zu dem abgeleht wird) wirddann wie folgt berechnet:

p = 1 − F−1(S(X))

da dann S(X) = F (1 − p) genau auf der Grenze liegt.





T (X) =

{


(1 − α)


(1 − α)


p = 1 − F−1(S(X))






T (X) =

{


(1 − α)


(1 − α)


p = 1 − F−1(S(X))



Kritischer Wert

Histogram of rnorm(1000, 7.5, 1)

rnorm(1000, 7.5, 1)

Fre

quen

cy

5 6 7 8 9 10 11

050

100

150

200

kX

p =Fläche oberhalb S(X)Statistik – p. 7/57

Der Test ist im Computer implementiert

EinfacherGauss.test <- function(x,mean=0,var=1) {

parameter <-c(mean=mean,sd=sqrt(var))

statistic <- c(T=x)

structure(list(

data.name=deparse(substitute(x)),

method="Ein Stichproben Gauss-Test",

alternative="greater",

parameter=parameter,

statistic=statistic,

p.value=1-pnorm(statistic,

mean=parameter["mean"],

sd=parameter["sd"])

),

class="htest")

}


Der Test wird im Computer durchgeführt

...

> EinfacherGauss.test(9.46, mean = 7.5, var = 1)

Ein Stichproben Gauss-Test

data: 9.46

T = 9.46, mean = 7.5, sd = 1.0, p-value = 0.025

alternative hypothesis: greater

Jeder im Computer implementierte Test gibt irgendwo einen p-Wert aus. Diesen gilt es zufinden.


Es gibt viele Tests.Wie finde ich den richtigen?


Die Testsituationen

Die Testsituationen werden nach mehrere Kriterienunterteilt:

Anzahl der beteiligten Stichproben

Zu testende Große

Art der Alternative

Art der Voraussetzungen

Anzahl der beteiligten Merkmale


Beteiligte Stichproben

Einzelbeobachtungz.B. ein einzelner Messwert, wie im Beispiel



Einzelbeobachtung

Ein-Stichproben-TestsEs werden Eigenschaften einer Grundgesamtheituntersucht, z.B. wenn das Labor mehrere Messungengemacht hat.



Einzelbeobachtung

Ein-Stichproben-Tests

Zwei-Stichproben-Testswenn zwei Grundgesamtheiten verglichen werdensollen (z.B. behandelte und unbehandelte Flächen).



Einzelbeobachtung


Zwei-Stichproben-Tests

Gepaarte Testswenn zwei Messungen am gleichen statistischenIndividuum verglichen werden sollen (z.B. vorher –nachher Vergleiche).Eigentlich: Ein-Stichprobentests mit zwei Merkmalen.



Einzelbeobachtung


Zwei-Stichproben-Tests

Gepaarte Tests

Mehr-Stichproben-Tests

Überprüfen, ob mehrere Grundgesamtheiten gleichsind (z.B. nachweisen, dass sich verschiedeneethnische Gruppen in ihrem Sozialverhaltenunterscheiden.)


Zu testende Größe

Mittelwert/Lagez.B. verdienen Männer und Frauen im Schnitt gleichviel, wenn sie als Geologen/Maschinenbauer arbeiten?


Zu testende Größe

Mittelwert/Lage

Varianz/Streuungz.B. Welches von zwei Verfahren mißt genauer?


Zu testende Größe

Mittelwert/Lage

Varianz/Streuung

Verteilungz.B. sind die Daten wirklich normalverteilt?


Zu testende Größe

Mittelwert/Lage

Varianz/Streuung

Verteilung

Unabhangigkeitz.B. bekommen Raucher öfter Krebs? d.h. ist Krebsvom Rauchen abhängig.


Art der Alternative

“Großer”: H0 : µ ≤ 7, 5 vs. H1 : µ > 7, 5

“Kleiner”: H0 : µ ≥ 7, 5 vs. H1 : µ < 7, 5

“Ungleich”: H0 : µ = 7, 5 vs. H1 : µ 6= 7, 5

Die Tests auf größer und kleiner heißen auch einseitigeTests, da von der Hypothese aus die Alternative nur ineiner Richtung liegt. Tests bei denen die Alternative inbeiden Richtungen von der Hypothese liegt heißen auchzweiseitige Tests.


Art der Voraussetzung

Generalvoraussetzung: Unabhängigkeit /repräsentative Stichprobe(n)




Normalverteilungsbasierte TestsVoraussetzung: Die Zufallsvariablen sindnormalverteilt.Problem: Falsche Ergebnisse, wenn Ausreißer oderbimodale Verteilungen vorliegen.Betrachtet: Mittelwerte, Varianzen




Normalverteilungsbasierte Tests

Nichtparametrische Test/RangtestsVoraussetzung: Die Zufallsvariablen sind stetigverteilt.Problem: Falsche Ergebnisse, wenn zu vieleMesswerte gleich sind.Betrachtet: Ränge, relative Verschiebung, < .Info: Weniger effizient als normalerverteilungsbasierteTests




Normalverteilungsbasierte Tests

Nichtparametrische Test/Rangtests

Robuste TestsVoraussetzung: Die Zufallsvariablen sindNormalverteilung, aber es dürfen falscheWerte/Ausreißer vorhanden seinProblem: Verfügbarkeit, Maximaler Anteil der falschenWerte muß angegeben werden.Betrachtet: Mittelwert, Varianz des “Hauptanteils derDaten”Info: Liegen von der Effizienz her zwischen denbeiden anderen.



Rangviertel


Die Datenminen


Steig der

Nich

tparametrik

Gle

tsch

ersp

alt

e der

glei

chen

Mes

swer

te


Klippe

der

unüber

prü

fbare

n

Vor

auss

etzu

nge


Voraussetzungen

robuster Weg


ML-CityBayes-Land

t-DorfModell-Platz

Statistika

Vertrauensbereich

Normalviertel

Vorhersagebereich


Schätzervorstadt


BonferroniPassage

BenjaminiPassage


Posthoc

Mathe

Schätzung

Daten

Test

Aussichtsturm

Grafingen


Daten


Voraussetzungen an die Varianz

Bei Zwei– und Mehrstichproben-Problemen mitNormalverteilungsvoraussetzung ist oft noch dieUnterscheidung nach der Gleichheit der Varianz wichtig.

homoskedastisch: Streuung in allenTeilgrundgesamtheiten gleich.

heteroskedastisch: Streuungen nicht unbedingtgleich.


Anzahl der beteiligten Merkmale

univariat: Es wird nur ein Merkmal betrachtet.

bivariat: Es werden zwei Merkmale betrachet.

multivariat: Es werden mehrere Merkmale betrachtet.


Ein-Stichproben-TestsVerteilungirgendeine Normalverteilung ⇒ Shapiro-Wilk-Testeine bestimmte stetige Verteilung ⇒

(Ein-Stichproben)-KS-Test


Shapiro-Wilk-Test

Shapiro-Wilk-TestSituation:

Test auf Normalverteilung

H0 : X normalverteilt (X ∼ N(µ, σ2))H1 : X nicht normalverteiltVoraussetzungen:

repräsentative Stichprobenicht zu stark gerundet

Bemerkung:d.h. es darf keine “falschen Bindungen” geben

Befehl: shapiro.test(X)


Beispiel

> x <- rexp(20)

> shapiro.test(x)

Shapiro-Wilk normality test

data: x

W = 0.9069, p-value = 0.05563


Kolmogorov-Smirnov-Test

Kolmogorov-Smirnov-TestSituation:

Test auf spezielle Verteilung (stetig)H0 : X hat die Verteilungsfunktion F0: FX ≡ F0

H1 : Die Verteilungsfunktion FX ist ungleich F0

Voraussetzungen:repräsentative Stichprobenicht zu stark gerundet

Bemerkung:d.h. es darf keine “falschen Bindungen” gebenDer Test nimmt zu oft an, wenn die Parameter aus den Daten geschätztwurden.Der Test lehnt zu oft ab, wenn die Parameter aus anderen Datengeschätzt wurden.Eine kleinere Verteilungsfunktion gehört zu größeren Werten.

Befehl: ks.test(X,F0)Statistik – p. 22/57

Ein-Stichproben-TestsLagenormalverteilt, Varianz bekannt ⇒ Gauss-Testnormalverteilt, Varianz unbekannt ⇒ spezieller t-Testnicht normal ⇒ Vorzeichentestdichotom ⇒ Binomial Testdiskret ⇒ . . . spezieller χ2-Test (später)


Gausstest

GausstestSituation:

Test auf Mittelwert bei bekannter VarianzH0 : Erwartungswert µ von X ist µ0: µ = µ0

H1 : Erwartungswert µ von X ist ungleich µ0: µ 6= µ0

Voraussetzungen:repräsentative StichprobeX ist normalverteilt: Xi ∼ N(µ, σ2

0)

σ20 bekannt

Bemerkung:Der Gauss-Test wird sehr selten auf reale Datensätze angewendet, dadie Varianz fast nie bekannt ist. Er ist jedoch der wohl am leichtestentheoretisch zu verstehende Test und daher immer noch überall zufinden.

Befehl: --Statistik – p. 24/57

Einstichproben t-Test

Einstichproben t-TestSituation:

Test auf Mittelwert bei unbekannter VarianzH0 : Erwartungswert µ von X ist µ0: µ = µ0

H1 : Erwartungswert µ von X ist ungleich µ0: µ 6= µ0

Voraussetzungen:repräsentative StichprobeX ist normalverteilt: Xi ∼ N(µ, σ2)

σ2 ist unbekanntBemerkung:

Befehl: t.test(X)


Einstichproben t-Test (einseitig)

Einstichproben t-Test (einseitig)Situation:

Test auf Mittelwert bei unbekannter VarianzH0 : µ ≤ µ0

H1 : µ > µ0

Voraussetzungen:repräsentative StichprobeX ist normalverteilt: Xi ∼ N(µ, σ2)

σ2 ist unbekannt

Bemerkung:Entsprechende einseitige Test gibt es auch fürkleiner und auch für viele andere Tests, wo wirdas nicht im Einzelnen aufführen werden.

Befehl: t.test(X,alternative="greater")


Binomial Test

Binomial TestSituation:

Test auf ErfolgswahrscheinlichkeitH0 : Die Wahrscheinlichkeit p für einen Erfolg ist p0: p = p0

H1 : Die Wahrscheinlichkeit p für einen Erfolg ist nicht p0: p 6= p0

Voraussetzungen:repräsentative StichprobeX ist Binomialverteilt mitErfolgswahrscheinlichkeit p: X ∼ Bi(p, n0)Die Anzahl der Versuche n0 ist bekannt

Bemerkung:

Befehl: binom.test(sum(X),n0*length(X))


Vorzeichentest

VorzeichentestSituation:

Test auf bestimmten MedianH0 : Der Median der Verteilung von X ist m0: FX(0.5) = m0

H1 : Der Median der Verteilung von X ist nicht m0: FX(0.5) 6= m0

Voraussetzungen:repräsentative StichprobeVerteilungsfunktion FX im Median stetig

Bemerkung:

Befehl: binom.test(table(X<m0))


Ein-Stichproben-TestsStreuungnormalverteilt ⇒ χ2-Test (Chi-Quadrat-Test)nicht normal ⇒ . . . problematisch


χ2-Test auf Varianz

χ2-Test auf VarianzSituation:

Test auf gegebenen Varianz beinormalverteilten Daten.

H0 : σ2 = σ20

H1 : σ2 6= σ20 oder σ2 > σ2

0 oder σ2 < σ20

Voraussetzungen:repräsentative StichprobeXi ∼ N(µ, σ2)

Bemerkung:

Befehl: --


Zwei-Stichproben-TestsVerteilungstetig ⇒ zwei Stichproben KS-Testdiskret ⇒ . . . Tafeltests (später)


Zwei Stichproben Kolmogorov-Smirnov-Test

Zwei StichprobenKolmogorov-Smirnov-Test

Situation:Testet die Gleichheit der stetigen Verteilungender Stichproben

H0 : FX ≡ FY

H1 : FX 6≡ FY

Voraussetzungen:repräsentative StichprobenFür X und Y wurde die gleiche Rundungsregelverwendet

Bemerkung:

Befehl: ks.test(X,Y)


Zwei-Stichproben-TestsLagenormalverteilt ⇒ Zwei Stichproben t-testnicht normal aber stetig ⇒ Wilcoxen-Vorzeichen-Rang Test


Zwei-Stichproben-t-Test

Zwei-Stichproben-t-TestSituation:

Vergleich von Mittelwerten zweier Stichprobenbei Normalverteilung und gleicher Varianz

H0 : µX = µY

H1 : µX 6= µY oder µX > µY oder µX < µY

Voraussetzungen:repräsentative StichprobenXi ∼ N(µX , σ2) und Yi ∼ N(µY , σ2)

Bemerkung:Die Normalverteilungsvoraussetzung ist relativ unkritisch, solange keineAusreißer vorliegen und Verteilung ungefähr normal ist. DieNormalverteilungsvoraussetzung kann mit dem Shapiro-Wilk Test unddie Varianzgleichheit mit dem F-Test überprüft werden.

Befehl: t.test(X,Y,var.equal=TRUE)


Welchs t–Test

Welchs t–TestSituation:

Vergleich von Mittelwerten zweier Stichprobenbei Normalverteilung und verschiedenerVarianz

H0 : µX = µY

H1 : µX 6= µY oder µX > µY oder µX < µY

Voraussetzungen:repräsentative StichprobenXi ∼ N(µX , σ2

X) und Yi ∼ N(µY , σ2Y ), i.i.d.

Bemerkung:Die Normalverteilungsvoraussetzung ist relativ unkritisch, solange keineAusreißer vorliegen und Verteilung ungefähr normal ist.

Befehl: t.test(X,Y)


Wilcoxen–Rang–Summen–Test

Wilcoxen–Rang–Summen–TestSituation:

Vergleich der Lage zweier Stichproben mitstetiger Verteilung

H0 : ∀x : FX(x) = FY (x)

H1 : ∃c 6= 0 : ∀x : FX(x) = FY (x − c)

Voraussetzungen:repräsentative Stichprobendie Verteilungen FX und FY sind stetig.

Bemerkung:Dieser Test arbeitet auch für andere Alternativen gut, bei der eineGruppe größere Werte hat.

Befehl: wilcox.test(X,Y)


Zwei-Stichproben-TestsStreuungnormalverteilt ⇒ F-testnicht normal aber stetig ⇒ Fligner Test


F-Test

F-TestSituation:

Test auf Gleichheit der Varianz beiNormalverteilung

H0 : σ2X = σ2

Y

H1 : σ2X 6= σ2

Y oder σ2X > σ2

Y oder σ2X < σ2

Y

Voraussetzungen:repräsentative StichprobenXi ∼ N(µX , σ2

X), Yi ∼ N(µY , σ2Y )

Bemerkung:

Befehl: var.test(X,Y)


Fligner-Test

Für den nichtparametrischen Streuungsvergleich eignetsich auch der Fligner-Test, der als Mehrstichprobentestbesprochen wird.fligner.test(list(X,Y))


Gepaarte-TestsLagenormalverteilt ⇒ gepaarter t-testnicht normal aber stetig ⇒ Wilcoxen-Vorzeichen-Rang Test


gepaarter t-Test

gepaarter t-TestSituation:

Die Werte jeweils zweier aufeinanderfolgenderMessungen am gleichen statistischenIndividuum sollen verglichen werden.

H0 : E[X − Y ] = 0

H1 : E[X − Y ] 6= 0 oderVoraussetzungen:

repräsentative StichprobeXi − Yi ∼ N(µ, σ2)

Bemerkung:Dieses normalverteilungsbasierte Verfahrenhat Probleme mit Ausreißern in der Differenz.

Befehl: t.test(X,Y,paired=TRUE)


Wilcoxen-Vorzeichen-Rang-Test

Wilcoxen-Vorzeichen-Rang-TestSituation:

Testet auf eine mittlere Änderung von 0zwischen beiden Beobachtungen am gleichenIndividuum.

H0 : Die Verteilung von Xi − Yi ist symmetrisch um 0.

H1 : Die Verteilung von Xi − Yi ist symmetrisch um ein c 6= 0

Voraussetzungen:Die Verteilung ist für alle Paare gleich.

Bemerkung:Dieses rangbasierte Verfahren hat Problememit Bindungen in den Differenzen.

Befehl: wilcox.test(X,Y,paired=TRUE)


Tests auf Abhängigkeitstetige Größen⇒ Korrelationstests


Pearson–Korrelationstest

Pearson–KorrelationstestSituation:

Test auf Pearson-Korrelation gleich 0H0 : cor(X,Y ) = 0

H1 : cor(X,Y ) 6= 0

Voraussetzungen:repräsentative StichprobeX,Y gemeinsam normalverteilt

Bemerkung:

Befehl: cov.test(X,Y)


Spearman–Korrelationstest

Spearman–KorrelationstestSituation:

Test auf Spearman-Rang-KorrelationH0 : cor(X,Y ) = 0

H1 : cor(X,Y ) 6= 0 oder cor(X,Y ) > 0 odercor(X,Y ) < 0

Voraussetzungen:repräsentative Stichprobenstetige Verteilung / wenige Bindungen

Bemerkung:

Befehl: cov.test(X,Y,method="spearman")


Tests auf Abhängigkeitdiskrete Größendichotom ⇒ Fishers exakter Testviele ⇒ (spezieller) χ2-Testsonst ⇒ . . . problematisch


χ2-Test auf Unabhängigkeit in Kontingenztafeln

χ2-Test auf Unabhangigkeit in Kontingenztafeln

Situation:Test auf Unabhängigkeit von kategoriellenMerkmalen

H0 : X und Y sind stochastisch unabhängigH1 : X und Y sind stochastisch abhängigVoraussetzungen:

repräsentative Stichprobekategorielle Merkmale

Bemerkung:Der p-Wert des Tests wird nur approximativ berechnet. Die

Approximation ist schlecht, wenn in einzelnen Zellen der Datentafel

unter der Unabhängigkeitsannahme weniger als 3-5 Werte zu erwarten

sind.

Befehl: chisq.test(table(X,Y)) Statistik – p. 47/57

Fishers exakter Test

Fishers exakter TestSituation:

Test auf Unabhängigkeit von 2x2Kontingenztafeln und dichtomer Merkmale

H0 : Die Merkmale sind stochastisch UnabhängigH1 : Die Merkmale sind stochastisch abhängigVoraussetzungen:

repräsentative Stichprobedichotome Merkmale

Bemerkung:Im Gegensatz zum χ2-Test auf Unabhängigkeit wird hier keine

Approximation verwendet. Der Test ist also immer dann vorzuziehen,

wenn er in der Situation anwendbar ist.

Befehl: fisher.test(table(X,Y))


Tests auf AbhängigkeitStetige Größe Abhängig von diskreterGrößedichotom ⇒ Zwei-Stichproben-Testmehrere Kategorien ⇒ Mehr-Stichproben-Test


Mehrstichproben TestsLageNormalverteilt, homoskedastisch ⇒ Varianzanalyseimmerhin stetig ⇒ . . . Kruskal-Wallis-Test


Einfache Varianzanalyse

Einfache VarianzanalyseSituation:

Test auf Gleichheit der Erwartungswertemehrerer normalverteilter Stichproben.

H0 : ∀g, g′ : µg = µg′

H1 : ∃g, g′ : µgi6= µj

Voraussetzungen:repräsentative StichprobenXi ∼ N(µgi

, σ2) wobei gi die Gruppenzugehörigkeit des

Individuums i beschreibt.

Bemerkung:Die Varianzanalyse setzt die Gleichheit derVarianz und Normalverteilung voraus.

Befehl: anova(lm(X∼G))


Kruskal–Wallis–Test

Kruskal–Wallis–TestSituation:

Test auf Gleichheit der Lage mehrerer stetigverteilter Stichproben.

H0 : Alle Gruppen haben die gleiche VerteilungH1 : Die Verteilungen der Gruppen sindgegeneinander verschoben.Voraussetzungen:

repräsentative Stichprobeneigentlich: gleiche nur verschobene Verteilung

Bemerkung:Der Kruskal Wallis Test ist ein RangbasiertesVerfahrung und ist damit potentiell anfälliggegegen zu viele gleiche Messwerte.

Befehl: kruskal.test(X,G)Statistik – p. 52/57

Mehrstichproben TestsStreuungnormalverteilt ⇒ Bartlett–Testimmerhin stetig ⇒ Fligner–Test


Bartlett–Test

Bartlett–TestSituation:

Testet auf gleiche Varianz in mehrereStichproben

H0 : Die Varianzen der Stichproben sind gleichH1 : Die Varianzen der Stichproben sind nicht allegleich.Voraussetzungen:

repräsentative StichprobenXi ∼ N(µGi

, σGi)

Bemerkung:Dieser Test wird oft eingesetzt, um eineVoraussetzung der Varianzanalyse zuüberprüfen.

Befehl: bartlett.test(X,G)Statistik – p. 54/57

Fligner–Test

Fligner–TestSituation:

Testet auf gleiche Streuung in mehrerenStichproben

H0 : Die Streuungen der Stichproben sind gleich.H1 : Die Streuungen der Stichproben sindunterschiedlich.Voraussetzungen:

repräsentative Stichprobenstetige Verteilung

Bemerkung:

Befehl: fligner.test(X,G)


Übersicht

StichprobensituationEin- Zwei- Mehr- gepaart/bivariat

Lage

Streuung

Verteilung

Abhängigkeit

inte

ress

iere

nde

Par

amet

er

Voraus-setzung

normal

stetig

homo-skedastisch

hetero-skedastisch

Stetige Skala

Ein-Stichprobent-test

normal

stetig

Vorzeichentest

Zwei-Stichprobent-test

Welchs t-test

Varianzanalyse(ANOVA)

gepaartert-test

???

Wilcoxen Rang-Summen

Test

Wilcoxen Vorzeichen-Rang

Test

Kruskal-Wallis-Test

χ2-Testauf Streuung

???

F-Test

???

Bartlett-Test

Fligner-Test

χ2-Testauf Streuung

auf Differenzen

???

Shapiro-Wilk-Test

E.-S.-K.-S.-Test

Z.-S.-K.-S.-Test

Shapiro-Wilk-Test

E.-S.-K.-S.-Test

auf Differenzen

auf Differenzen

normal?

speziell?

identisch?

Shapiro-Wilk-Testauf jeder Stichp.

auf jeder Stichp.E.-S.-K.-S.-Test

???

normal

speziell/stetig

Pearson-Korrelations-

TestSpearman-

Korrelations-Test

Lineare Modelle

Generalisierte Lineare Modelle

Shapiro-Wilk-Testauf beiden Stichp.

χ2-Test auf Vert.


Zwischenschritte


Rangviertel


Die Datenminen


Steig der

Nich

tparametrik

Gle

tsch

ersp

alt

e der

glei

chen

Mes

swer

te


Klippe

der

unüber

prü

fbare

n

Vor

auss

etzu

nge


Voraussetzungen

robuster Weg


ML-CityBayes-Land

t-Dorf (Gründer: Gosset/Student)Modell-Platz

Statistika

Vertrauensbereich

Normalviertel

Vorhersagebereich


Schätzervorstadt


BonferroniPassage

BenjaminiPassage


Posthoc

Mathe

Schätzung

Daten

Test

Aussichtsturm

Grafingen


Daten

Boxplot findet Ausreißer

Shapiro-Wilk Test prüft Normalverteilung

F- und Barlett prüfenauf gleiche Streuung

QQ-Plot und gestapeltes Punktdiagrammzeigen Bindungen

Denken prüft Repräsentativität

angelegt von Wilcoxen

angelegt von Huber

nur für diskrete Skalen


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