Date post: | 06-Apr-2015 |
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Kapitel 11
Heteroskedastizität
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
2
Der Sachverhalt
Modell y = X + u, Ordnung von X: nxk
Annahme A6: Var{u} = 2I
Annahme 6 impliziert konstante Varianz der Störgrößen (Homoskedastizität):Var{ut} = 2, t = 1,…,n
In der Realität trifft diese Annahme nicht immer zu; man spricht dann von Heteroskedastizität; Var{u} = diag(1
2, …, n2) = 2 = 2 diag(1, …, n)
Fragestellungen: Konsequenzen von Heteroskedastizität Möglichkeiten zum Identifizieren von Heteroskedastizität Alternative Verfahren, die bei Heteroskedastizität verwendet
werden können
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
3
Ein Beispiel
70 Haushalte (HH): Monatliches HH-Einkommen und Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums
0
400
800
1200
1600
2000
2400
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Einkommen des HH
Ausg
aben fü
r D
K
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
4
Ein Beispiel, Forts.
Residuen e = y- ŷ aus
Ŷ = 44.18 + 0.17 X
X: Monatliches HH-Einkommen Y: Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums
Je größer das Einkommen, umso mehr streuen die Residuen!
-600
-400
-200
0
200
400
600
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Einkommen des HH
Resi
duen e
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Typische Situationen für Heteroskedastizität Heteroskedastizität tritt typischerweise auf bei Querschnittserhebungen, etwa von Haushaltsdaten (siehe
obiges Beispiel) oder in verschiedenen Regionen Modell mit stochastischen Regressionskoeffizienten Daten sind mit einem Messfehler behaftet, wobei der
Messfehler einen Trend aufweist Daten aus dem Bereich der Finanzmärkte wie Wechselkurse
oder Renditen von Wertpapieren
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Beispiel: Stochastische RegressionskoeffizientenIm Modell Yt = + t Xt + ut gelte
t = + t
t ist eine für alle t identisch und unabhängig verteilte Variable mit Varianz e
2
Das Modell kann geschrieben werden als
Yt = + Xt + vt
mit Störgrößen vt = ut + Xt t
Achtung! Die Varianz der vt ergibt sich zu
Var{vt} = u2 + Xt
2 e2
und ist nicht konstant
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Beispiel: Modetrend im Konsum
Bereitschaft, einen Modetrend mitzumachen, hängt vom Einkommen ab: Konsum folgt Modetrends eher in Haushalten mit hohen Einkommen
Konsumfunktion enthält keinen Regressor, der diese Bereitschaft repräsentiert: Daher steckt diese Information in der Störgröße
Da die Bereitschaft zum Mitmachen mit dem Regressor Einkommen hoch korreliert, müssen wir mit Heteroskedastizität rechnen: Bei kleinen Einkommen allgemein geringe Bereitschaft; bei hohen Einkommen streut Bereitschaft stärker
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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OLS-Schätzer b
Für
b = (X‘X)-1 X‘y = + (X‘X)-1 X‘u
ergibt sich mit E{u} = 0, dass b erwartungstreu ist Mit Var{u} = 2 = 2 diag(1, … , n) findet man
Var{b} = 2 (X'X)-1 X'X (X'X)-1
b ist nicht effizient (nach Gauss-Markov ist Var{b} = 2(X'X)-1 die minimale Varianz von b)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsequenzen von Heteroskedastizität Die OLS-Schätzer b für
sind erwartungstreu sind konsistent haben die Kovarianzmatrix
Var{b} = 2 (X'X)-1 X'X (X'X)-1
sind keine effizienten Schätzer sind unter allgemein erfüllten Bedingungen asymptotisch
normalverteilt Der Schätzer s2 = e'e/(n-k) der Varianz der Störgrößen 2 ist
verzerrt (e: Vektor der OLS-Residuen)
Aus 2(X'X)-1 bestimmte Standardfehler sind verzerrt Achtung! Richtung der Verzerrung kann nicht angegeben
werden! Achtung! t- und F-Test liefern irreführende Ergebnisse
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Tests auf Heteroskedastizität
Residuen sollten wegen Unverzerrtheit von b die Heteroskedastizität anzeigen
Tests auf Basis der Residuen Goldfeld-Quandt-Test Glejser-Test Breusch-Pagan-Test White-Test
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Goldfeld-Quandt-Test
Nullhypothese: HomoskedastizitätAlternative: Zwei Regime mit 1
2 und 22 als Varianz der
Störgrößen; Zugehörigkeit zu Regimen wird durch Variable Z angezeigt
Beispiel: y1 = X11 + u1, Var{u1} = 1
2In1 (Regime 1)y2 = X22 + u2, Var{u2} = 2
2In2 (Regime 2)
Nullhypothese: 12 = 2
2
F-Test:
Si: Summe der quadrierten Residuen für i-tes Regime
1 1
2 2
S n kF
S n k
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Goldfeld-Quandt-Test, Forts.
Das Testverfahren läuft in folgenden Schritten ab:1. Sortieren der Beobachtungen nach steigenden Werten von Z 2. Entfernen von 2c Beobachtungen in der Mitte der sortierten
Beobachtungen
3. Getrennte OLS-Anpassung an die ersten n1 und die letzten n2 Beobachtungen [typischerweise n1 = n2 = (n-c)/2] und Bestimmung der OLS-Schätzer bi und der Summen der quadrierten Residuen Si (i = 1,2)
4. Berechnen der Teststatistik F; sie ist unter H0 exakt oder näherungsweise F-verteilt mit n2-c-k und n1-c-k Freiheitsgraden
1 1
2 2
S n c kF
S n c k
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
Test, ob zwei Regime: (1) X<4000 und (2) X>4000; Modelle:
A: gemeinsam (n = 70): Ŷ = 44.18 + 0.17 X, S = 2,094.511, s = 175.5
B(1): X < 4000 (n1 = 48): Ŷ = 119.71 + 0.13 X, S1 = 627.648, s1 = 117
B(2): X > 4000 (n2 = 22): Ŷ = -155.34 + 0.20 X, S2 = 1,331.777, s2 = 258
F-Teststatistik:
p-Wert: 0.000004; Nullhypothese kann nicht gehalten werden
Achtung! Ursache für Ablehnung kann sein: 12 ≠ 1
2; aber auch 1 ≠ 2
1331777 48 24.88
627648 22 2F
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Glejser-Test
Modell für Heteroskedastizität
mit p-Vektoren zt und , Interzept 1, p-1 Variablen Z2, …, Zp
zu prüfende Nullhypothese:
H0: 2 = … = p = 0
also t2 = f(1) für alle t, d.h. Homoskedastizität
2 2 ( )t tf z
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
Glejser-Test, ob t2 = 1 + Xt2
1. Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X
2. Anpassen der Residuen: e2 = -6385 + 10.9 X
t-Test: t = 4.3, p-Wert: 0.0001
Nullhypothese kann nicht gehalten werden
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Glejser-Test, Forts.
Der Test läuft in den folgenden Schritten ab:
1. Ermitteln der OLS-Residuen et durch OLS-Anpassung des zu prüfenden Modells
2. Regression einer dem funktionalen Zusammenhang f entsprechenden Funktion der Residuen auf die Variablen Z2, …, Zp
3. Test der Nullhypothese: 2 = … = p = 0 mittels Wald-Test bzw. t-Test (wenn p = 2)
Funktionaler Zusammenhang f und Residuen-Modell Regression von et
2 auf (zt' ) zum Test von t2 = 2 (zt' )
Regression von log et2 auf (zt' ) für t
2 = 2 exp{zt' }
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Breusch-Pagan-Test
Modell für Heteroskedastizität
mit p-Vektoren zt und , Interzept 1, p-1 Variablen Z2, …, Zp
zu prüfende Nullhypothese:
H0: 2 = … = p = 0
also t2 = f(1) für alle t, d.h. Homoskedastizität
2 2 ( )t tf z
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Breusch-Pagan-Test, Forts.
Der Test läuft in den folgenden Schritten ab:
1. Ermitteln der OLS-Residuen et durch Anpassen des zu prüfenden Modells
2. Berechnung des Schätzers se2 = e'e/n und Transformation der
quadrierten Residuen et2 in die Größen
gt = et2/ se
2
3. Regression der gt auf die Variablen Z2, …, Zp 4. Berechnen der Lagrange-Multiplier Teststatistik LM(H) = 1/2
[g'Z(Z'Z)-1Z'g], die unter H0 asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung mit p-1 Freiheitsgraden folgt
Berechnung von LM(H) = nRg2 mit dem Bestimmtheitsmaß Rg
2 der Regression der transformierten Residuen gt auf die Variablen Z2, …, Zp
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
Breusch-Pagan-Test, ob t2 = 1 + Xt2
1. Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X
2. Berechnen von gt = et2/ se
2
3. Anpassen der transf. Residuen: g = -0.213 + 0.0004 X
Rg2 = 0.2143, LM(H) = 70 (0.2143) = 15.0, p-Wert: 0.0001
Die Nullhypothese kann nicht gehalten werden
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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White-Test
Test der Nullhypothese: H0: t
2 = 2 für alle tgegen die unspezifizierte Alternative, H0 sei unrichtig
Test vergleicht die Kovarianzmatrix (X'X)-1 X'X (X'X)-1 und ihr Pendant bei Homoskedastizität, (X'X)-1
Teststatistik: n-faches Bestimmtheitsmaß Re2 der
Hilfsregression der quadrierten Residuen et2 auf die
Regressoren des Modells, ihre Quadrate und gegebenenfalls auch auf ihre Produkte
W = n Re2
W folgt asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung; Zahl der Freiheitsgrade ist gleich der Anzahl der geschätzten Koeffizienten weniger Eins
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
White-Test, ob t2 = 2 für alle t
1. Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X
2. Anpassen der Residuen: e2 = -18185 + 18.4 X – 0.0008 X2
Re2 = 0.226, W = 70 (0.226) = 15.82, p-Wert: 0.0004
Die Nullhypothese kann nicht gehalten werden
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Inferenz bei Heteroskedastizität
Kovarianzmatrix von b:Var{b} = 2 (X'X)-1 X'X (X'X)-1
Verwendung von (X'X)-1 führt zu verfälschten Ergebnissen
Vermeidung von Fehlern durch
1. Verwendung der korrekten Varianzen
2. Transformation des Modells so, dass die Störgrößen homoskedast sind
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Schätzen von Var{b}
Nach White: heteroskedasticity consistent Kovarianzmatrix
statt Var{b} = 2 (X'X)-1 X'X (X'X)-1
Daraus erhält man die „White-Standardfehler“ für die bi
Achtung: Simulationen zeigen, dass die White-Standardfehler die tatsächlichen Standardfehler unterschätzen!
EViews verwendet White-Standardfehler als Option der OLS-Schätzung
1 2 1( ) ( )t t tt
nX X e x x X X
n k
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = 44.18 + 0.17 X
• Der Standardfehler des Koeffizienten von X beträgt 0.0091
• Der White-Standardfehler beträgt 0.0120
Der nicht korrigierte Standardfehler unterschätzt um mehr als 30%
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Variablen-Transformation
Bei bekannter funktionaler Form der Abhängigkeit der t2:
Transformation so, dass die Störgrößen des transformierten Modells homoskedast sind
Beispiel: Modell Yt = + Xt + ut hat heteroskedaste Störgrößen: t
2 = Zt2
für t = 1, …, n; oder Var{u} = 2 = 2 diag(Z12, …, Zn
2)
Mit vt = ut/Zt ergibt sich Var{vt} = Var{ut}/Zt2 = 2
Transformiertes Modell
erfüllt Annahme 6
1t tt
t t t
Y Xv
Z Z Z
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Gewichtete LS-Schätzer
Minimieren der Summe der Abweichungsquadrate für transformiertes und nicht-transformiertes sind verschieden!
Beispiel: Modell Yt = + Xt + ut mit Var{ut} = t2 = Zt
2 Beim nicht-transformierten Modell wird minimiert:
t (Yt – – Xt)2
Beim transformierten Modell wird minimiert:
t wt (Yt – – Xt)2
mit Gewichten wt = Zt-2
Achtung! wt = t-1/2 mit t aus Var{u} = 2 = 2 diag(Z1
2, …, Zn2)
Diese Gewichtete LS-Schätzung ist ein Fall der GLS-Schätzung (generalized LS-Schätzung)
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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Konsumfunktion, Forts.
Transformation von Yt = a + b Xt + ut durch Division durch √Xt
Entspricht den Gewichten wt = Xt-1/2
Die angepasste Funktion ist
Achtung! R2 der Schätzungen mit und ohne Gewichtung sind nicht vergleichbar!
EViews erlaubt gewichtete LS-Schätzung als Option der Modellanpassung
t
tt
t XXX
Y153.0
42.90ˆ
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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GLS-Schätzer
Transformation von Yt = xt‘ + ut mit Var{ut} = t2 durch Dividieren
durch t ergibt das Modell
Yt/t = Yt* = xt/t + ut/t = xt/t + vt
mit Var{vt} = 1
Die Annahme 6 der Homoskedastizität ist für das Modell in transformierten Variablen erfüllt, die OLS-Schätzer sind beste Schätzer.
Das Schätzen der Parameter des Modells in transformierten Variablen entspricht der gewichteten OLS- oder GLS-Schätzung.
Achtung! In den meisten Fällen sind die t2 nicht bekannt!
Hackl, Einführung in die Ökonometrie
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FGLS-Schätzer
Bei unbekannten Parametern in den Gewichten t: 2-stufiges Verfahren
1. Anpassen des Modells ohne Gewichtung und Schätzen der Varianzen t
(Regression von et2)
2. Transformation der Variablen: Division durch geschätzte t
3. Anpassen des Modells in transformierten Variablen
Man spricht von einem FGLS-Schätzer (feasible GLS-Schätzer), auch vom „anwendbaren“ oder „geschätzten GLS-Schätzer“