Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.1Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Grundlagen der Algebra und elem. ZahlentheorieModul 4b: Grundlagen der Mathematik C
Jรผrgen Roth
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.2Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie
0 Was ist Algebra bzw. Zahlentheorie?
1 Muster und Strukturen
2 Strukturen geometrischer Symmetrien
3 Arithmetische Strukturen in kleinen Welten
4 Permutationen (Vertauschungen)
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.3Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Kapitel 2: Strukturen geometrischer SymmetrienGrundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie
Jรผrgen Roth
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.4Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Kapitel 2: Strukturen geom. Symmetrien
2.1 Deckabbildungen von Figuren โ Gruppen
2.2 Symmetrien sortieren โ Untergruppen
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.5Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien
2.1 Deckabbildungen von Figuren โGruppen
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6)Abbildungen aus Leuders, T. (2016). Erlebnis Algebra โ zum aktiven Entdecken und selbstรคndigen Erarbeiten. Berlin: Springer Spektrum, S. 18.
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.6Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Symmetrische Figuren und ihre Deckabbildungen
https://www.geogebra.org/m/hfnvvn7z
Drehwinkel360ยฐ โถ 6 = 60ยฐbzw. ๐๐ โ 60ยฐmit 0 โค ๐๐ < 6
Drehwinkel360ยฐ โถ 16 = 22,5ยฐbzw. ๐๐ โ 22,5ยฐmit 0 โค ๐๐ < 16
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.7Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen und Symmetrie
Definition 2.1.1Eine geometrische Figur ๐น๐น ist eine Menge von Punkten der Ebene โ2 = ๐ฅ๐ฅ,๐ฆ๐ฆ ๐ฅ๐ฅ,๐ฆ๐ฆ โ โ}. Eine Figur ๐น๐น ist demnach eine Teilmenge der Ebene: ๐น๐น โ โ2
Kongruenzabbildungen (Isometrien) der Ebene โ2 auf sich, sind die Abbildungen ๐๐, die die Abstรคnde zwischen Punkten der Ebene und damit die Form aller Figuren nicht verรคndern.๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ โ2 โ |๐๐:โ2 โ โ2 โ๐ด๐ด,๐ต๐ตโโ2 ๐๐ ๐ต๐ต โ ๐๐ ๐ด๐ด = ๐ต๐ต โ ๐ด๐ด
Eine Kongruenzabbildung ๐๐, die eine Figur ๐น๐น mit sich selbst zur Deckung bringt, fรผr die also gilt ๐๐ ๐น๐น = ๐น๐น, heiรt Deckabbildung oder Symmetrieabbildung von ๐น๐น.
Eine Figur heiรt genau dann symmetrisch, wenn sie mindestens eine von der Identitรคt verschiedene Deckabbildung besitzt.
Die Menge ๐ฎ๐ฎ๐ญ๐ญ = |๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ๐ผ โ2 ๐๐ ๐น๐น = ๐น๐น aller Deckabbildungeneiner Figur ๐น๐น wird als Symmetrie der Figur ๐ญ๐ญ bezeichnet.
๐ด๐ด = ๐ฅ๐ฅ๐ด๐ด,๐ฆ๐ฆ๐ด๐ด
๐ต๐ต = ๐ฅ๐ฅ๐ต๐ต,๐ฆ๐ฆ๐ต๐ต
๐ต๐ต โ ๐ด๐ด =๐ฅ๐ฅ๐ต๐ต โ ๐ฅ๐ฅ๐ด๐ด 2 + ๐ฆ๐ฆ๐ต๐ต โ ๐ฆ๐ฆ๐ด๐ด 2
๐ฉ๐ฉ โ ๐จ๐จAbstand ๐ต๐ต โ ๐ด๐ด
der Punkte ๐ด๐ด und ๐ต๐ต:
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.8Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen und Symmetrie
BemerkungenDie Identitรคt ๐๐๐๐ ist eine Deckabbildung, dies reicht aber nicht, um von Symmetrie sprechen zu kรถnnen, weil sonst jedeFigur symmetrisch wรคre.Verschiedene Arten von Symmetrien kรถnnen bei einer Figur mehrfach und in Kombination miteinander auftreten. Ein Rechteck besitzt z. B. immer zwei Sym-metrieachsen. Man nennt es deshalb zweifachachsensymmetrisch. Es ist zusรคtzlich noch punktsymmetrisch.
Bei Dreh- und Verschiebungssymmetrie ist jeweils die Besonderheit zu beachten, dass die Identitรคt eine
spezielle Drehung, die Nulldrehung, spezielle Verschiebung, die Nullverschiebung, ist.
Ist eine Figur drehsymmetrisch, gibt es also auรer der Identitรคt noch mindestens eine weitere Drehung als Deckabbildung, dann wird die Identitรคt bei der Zahl der Deckabbildungen der Figur mitgezรคhlt.
Ein Rechteck ist z. B. zweifach drehsymmetrisch, auch wenn eine der als Deckabbildungen vorkommen-den Drehungen die Identitรคt ist.
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.9Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen des Quadrats
Spiegelung an ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ด๐ด
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
Drehung um ๐ด๐ด um ๐๐๐๐๐
๐ ๐ โ ๐๐๐๐,90๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด
Drehung um ๐ด๐ด um ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐,180๐ = ๐๐๐๐,90๐ โ ๐๐๐๐,90๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐ ๐ ๐๐
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ท๐ท
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ต๐ต = ๐๐๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.10Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen des Quadrats
Drehung um ๐ด๐ด um ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐,270๐ = ๐๐๐๐,90๐ โ ๐๐๐๐,90๐ โ ๐๐๐๐,90๐ = ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ = ๐ ๐ ๐๐
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด
โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด
Drehung um ๐ด๐ด um ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐,360๐ = ๐๐๐๐,90๐ โ ๐๐๐๐,90๐ โ ๐๐๐๐,90๐ โ ๐๐๐๐,90๐
= ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ = ๐ ๐ ๐๐
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด
โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ท๐ท = ๐๐๐ ๐ = ๐๐๐๐,0๐
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ท๐ท ๐ด๐ด
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ถ๐ถ
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.11Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen des Quadrats
Spiegelung an ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ด๐ด
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
Spiegelung an ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ท๐ท
Spiegelung an ๐๐ und ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ท๐ท โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ด๐ด๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด
Spiegelung an ๐๐ und ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ด๐ด๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ด๐ด๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ท๐ท
Spiegelung an ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ด๐ด
Spiegelung an ๐ ๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ด๐ด ๐ท๐ท
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ต๐ต
= ๐๐๐๐,90๐ = ๐ ๐
= ๐๐๐ ๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.12Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen des Quadrats
Spiegelung an ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ด๐ด
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
Spiegelung an ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ท๐ท
Spiegelung an ๐๐ und ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ท๐ท ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ด๐ด โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ด๐ด๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ท๐ท
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ต๐ต
Spiegelung an ๐๐ und ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ด๐ด๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ท๐ท ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ด๐ด
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ท๐ท
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ต๐ต
Spiegelung an ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ด๐ด
Spiegelung an ๐ ๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ด๐ด ๐ท๐ท
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ต๐ต
= ๐๐๐๐,180๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐ ๐ ๐๐
= ๐๐๐๐,180๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐ ๐ ๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.13Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen des Quadrats
Spiegelung an ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ด๐ด
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
Spiegelung an ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ท๐ท
Spiegelung an ๐๐ und ๐ ๐ ๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ด๐ด ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ต๐ต โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ด๐ด๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ท๐ท ๐ด๐ด
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ถ๐ถ
Spiegelung an ๐ ๐ und ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ต๐ต ๐ด๐ด๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ถ๐ถ โ ๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ด๐ด ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ต๐ต
= ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ต๐ต ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ท๐ท ๐ด๐ด
Spiegelung an ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ด๐ด
Spiegelung an ๐ ๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ด๐ด ๐ท๐ท
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ต๐ต
= ๐๐๐๐,270๐ = ๐ ๐ ๐๐
= ๐๐๐๐,90๐ = ๐ ๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.14Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen des Quadrats
Analog ergibt sich๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐2
๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐3
๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐3
๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐2
VerknรผpfungstabelleOffensichtlich fรผhrt dieVerknรผpfung zweierSpiegelungen immer zu einer Drehung.
๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐2
๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐3
๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐2
๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐3
๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐๐โ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3
๐๐๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2
๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.15Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen des QuadratsVerknรผpfungstabelle
Lesen: Spaltenkopf nach Zeilenkopf, also z. B. ๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐
๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3
๐ฌ๐ฌ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2
๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐
๐๐๐ ๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.16Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen des QuadratsVerknรผpfungstabelle
Lesen: Spaltenkopf nach Zeilenkopf, also z. B. ๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐
๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3
๐ฌ๐ฌ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2
๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐
๐๐๐ ๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐ผ๐ผ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐๐๐
๐ ๐ ๐๐
๐๐
๐ ๐
โ
๐ ๐
๐ ๐
๐๐
๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.17Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Definition Gruppe
Definition 2.1.2: GruppeEine Menge ๐บ๐บ zusammen mit einer binรคren Operation โ heiรt Gruppe ๐ฎ๐ฎ,โ , wenn die binรคre Operation folgende Eigenschaften aufweist:(G0) โ๐๐,๐๐โ๐บ๐บ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐บ๐บ (Abgeschlossenheit)
(G1) โ๐๐,๐๐,๐๐โ๐บ๐บ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ (Assoziativitรคt)
(G2) โ๐๐โ๐บ๐บ โ๐๐โ๐บ๐บ ๐๐ โ ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐๐ (Existenz eines neutralen Elements)
(G3) โ๐๐โ๐บ๐บ โ๐๐โ1โ๐บ๐บ ๐๐ โ ๐๐โ1 = ๐๐โ1 โ ๐๐ = ๐๐ (Existenz inverser Elemente)
BezeichnungIn der Menge ๐บ๐บ๐น๐น aller Deckabbildungen einer Figur ๐น๐น ist die Verknรผpfung von Abbildungen โeine binรคre Operation: Zu den Deckabbildungen ๐๐,๐๐ โ ๐บ๐บ๐น๐น wird die Abbildung ๐๐ โ ๐๐ โ ๐บ๐บ๐น๐นdefiniert durch ๐๐ โ ๐๐ ๐ด๐ด โถ= ๐๐ ๐๐ ๐ด๐ด .Die Menge ๐บ๐บ๐น๐น heiรt zusammen mit der Operation โ die Symmetriegruppe ๐ฎ๐ฎ๐ญ๐ญ,โ der Figur ๐น๐น.
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.18Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen regulรคrer ๐๐-Ecke
Bemerkung: Bei regulรคren ๐๐-Ecken mit geradzahligem ๐๐ treten zwei Arten von Symmetrieachsen auf:
๐๐2
Symmetrieachsen durch gegenรผberliegende Eckpunkte,๐๐2
Symmetrieachsen durch gegenรผberliegende Seitenmitten.
ungeradzahligem ๐๐ gibt es nur eine Art von Symmetrieachsen:Alle ๐๐ Symmetrieachsen verlaufen durch einen Eckpunkt und die gegenรผberliegende Seitenmitte.
Satz 2.1.1: Deckabbildungen des regulรคren ๐๐-Ecks mit Mittelpunkt ๐๐Jedes regulรคre ๐๐-Eck ist ๐๐-fach drehsymmetrisch und ๐๐-fach achsensymmetrisch. Es gibt genau ๐๐ Deckdrehungen um ๐๐ mit den Drehwinkeln ๐๐ โ ๐ผ๐ผ = ๐๐
๐๐โ 360ยฐ, wobei 0 โค ๐๐ < ๐๐ ist und
genau ๐๐ Deckspiegelungen, wobei der Schnittwinkel zwischen zwei Symmetrieachsen ein Vielfaches von 1
๐๐โ 180ยฐ ist.
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.19Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Verkettung von speziellen Abbildungen
Satz 2.1.2: Verkettung von Drehungen um dasselbe ZentrumDie Verkettung zweier Drehungen ๐๐๐๐,๐ผ๐ผ und ๐๐๐๐,๐ฝ๐ฝ um dasselbe Zentrum ๐๐ ist eine Drehung um ๐๐ mit dem Drehwinkel ๐ผ๐ผ + ๐ฝ๐ฝ.Kurz: ๐๐๐๐,๐ฝ๐ฝ โ ๐๐๐๐,๐ผ๐ผ = ๐๐๐๐,๐ผ๐ผ+๐ฝ๐ฝ
Satz 2.1.3: Gruppe der Drehungen um ein festes ZentrumDie Menge der Drehungen um ein festes Zentrum ๐๐ bildet bezรผglich der Verkettung eine kommutative Gruppe.
Satz 2.1.4: Gruppe der Drehungen und SpiegelungenDie Menge der Drehungen um ein festes Zentrum ๐๐ und aller Spiegelungen an Geraden durch ๐๐ bildet bezรผglich der Verkettung eine nicht-kommutative Gruppe.
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.20Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Bierdeckelgruppen
Abbildungen aus Leuders, T. (2016). Erlebnis Algebra โ zum aktiven Entdecken und selbstรคndigen Erarbeiten. Berlin: Springer Spektrum, S. 31.
Orthogonale Gruppe ๐๐ โ2
๐บ๐บ๐น๐น = ๐๐๐๐๐ท๐ท3 = ๐๐๐๐,๐๐๐๐,120๐,๐๐๐๐,240๐, ๐ผ๐ผ๐๐ , ๐ผ๐ผ๐๐, ๐ผ๐ผ๐๐
๐บ๐บEllipse = ๐๐๐๐,๐๐๐๐,180๐, ๐ผ๐ผ๐๐ , ๐ผ๐ผ๐๐
๐บ๐บRechteck = ๐๐๐๐,๐๐๐๐,180๐, ๐ผ๐ผ๐๐ , ๐ผ๐ผ๐๐
๐บ๐บEi = ๐๐๐๐, ๐ผ๐ผ ๐บ๐บ๐น๐น = ๐๐๐๐, ๐ผ๐ผ ๐บ๐บgleichschenkliges Dreieck = ๐๐๐๐, ๐ผ๐ผ
๐ท๐ท4 = ๐๐๐๐,๐๐๐๐,90๐,๐๐๐๐,180๐,๐๐๐๐,270๐, ๐ผ๐ผ๐๐ ,๐ผ๐ผ๐๐ , ๐ผ๐ผ๐๐ , ๐ผ๐ผ๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.21Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Definition 2.1.3Die Gruppe der Deckabbildungen eines regulรคren ๐๐-Ecks heiรt Diedergruppe ๐ซ๐ซ๐๐.Die zyklische Gruppe der Deckdrehungen eines regulรคren ๐๐-Ecks heiรt zyklische Drehgruppe ๐๐๐๐.
Diedergruppe ๐ซ๐ซ๐๐ und zyklische Gruppe ๐๐๐๐Bierdeckelgruppen
Abbildungen aus Leuders, T. (2016). Erlebnis Algebra โ zum aktiven Entdecken und selbstรคndigen Erarbeiten. Berlin: Springer Spektrum, S. 33
1 โ ๐๐๐๐๐๐180 โ ๐๐๐๐,180๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.22Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Diedergruppe ๐ซ๐ซ๐๐ und zyklische Gruppe ๐๐๐๐
Satz 2.1.5Die Diedergruppe ๐ท๐ท๐๐ enthรคlt 2๐๐ Elemente:
๐๐ Drehungen um Vielfache von 360๐๐๐
um den Mittelpunkt ๐๐ des regulรคren ๐๐-Ecks, die man als ๐๐๐๐,๐๐,๐๐2, โฆ ,๐๐๐๐โ1 schreiben kann.๐๐ Spiegelungen ๐ผ๐ผ1, โฆ , ๐ผ๐ผ๐๐.
Fรผr Drehungen gilt: ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐+๐๐ (bzw. ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐+๐๐โ๐๐, falls ๐๐ + ๐๐ โฅ ๐๐)Fรผr Spiegelungen gilt: ๐ผ๐ผ๐๐ 2 = ๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐๐Die Diedergruppe ๐ท๐ท๐๐ ist fรผr ๐๐ โฅ 3 nicht kommutativ, denn ๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐ผ๐ผ๐๐.
Satz 2.1.6: Symmetrische FigurenJede Figur mit endlichen vielen Symmetrien hat als Symmetriegruppe entweder eine zyklische Drehgruppe ๐๐๐๐ oder eine Diedergruppe ๐ท๐ท๐๐.
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.23Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Verknรผpfungstafel Diedergruppe ๐ซ๐ซ๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ
๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐๐๐
๐๐๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ท๐ท = ๐๐๐๐,0๐
๐ ๐ = ๐จ๐จ ๐ฉ๐ฉ๐ฉ๐ฉ ๐ช๐ช
๐ช๐ช ๐ซ๐ซ๐ซ๐ซ ๐จ๐จ = ๐ ๐ ๐ด๐ด,๐๐๐๐๐
๐๐2 = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ท๐ท
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ต๐ต = ๐๐๐๐,180๐
๐๐3 = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ท๐ท ๐ด๐ด
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ถ๐ถ = ๐๐๐๐,270๐
๐๐ = ๐จ๐จ ๐ฉ๐ฉ๐ฉ๐ฉ ๐จ๐จ
๐ช๐ช ๐ซ๐ซ๐ซ๐ซ ๐ช๐ช = ๐๐๐๐
๐๐๐ผ๐ผ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ท๐ท = ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐2๐ผ๐ผ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ด๐ด = ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐3๐ผ๐ผ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ด๐ด ๐ท๐ท
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ต๐ต = ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐๐๐
๐๐๐๐
๐๐
๐๐ ๐จ๐จ ๐ฉ๐ฉ
๐ช๐ช๐ซ๐ซ
๐ ๐
๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.24Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Deckabbildungen des regulรคren Sechsecks ๐ญ๐ญ๐๐
Deckdrehungen des regulรคren Sechsecks:๐๐๐๐ ,๐๐๐๐,60๐,๐๐๐๐,120๐,๐๐๐๐,180๐,๐๐๐๐,240๐,๐๐๐๐,300๐
Mit ๐๐ โ ๐๐๐๐,60๐
und ๐๐2 โ ๐๐ โ ๐๐ = ๐๐๐๐,60๐ โ ๐๐๐๐,60๐ = ๐๐๐๐,120๐
ergibt sich: ๐๐ = ๐๐๐๐,60๐,๐๐2 = ๐๐๐๐,120๐,๐๐3 = ๐๐๐๐,180๐,๐๐4 = ๐๐๐๐,240๐,๐๐5 = ๐๐๐๐,300๐,๐๐6 = ๐๐๐๐,0๐ = ๐๐๐๐
Deckspiegelungen des regulรคren SechsecksAus ๐ผ๐ผ โ ๐ผ๐ผ๐๐ mit ๐ผ๐ผ๐๐ ๐น๐น6 = ๐น๐น6 und ๐๐ โ ๐ผ๐ผ โ ๐๐๐ผ๐ผ folgt:
๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ,๐๐3๐ผ๐ผ,๐๐4๐ผ๐ผ,๐๐5๐ผ๐ผ
Alle Deckabbildungen des regulรคren Sechsecks ๐น๐น6:๐๐๐๐,๐๐,๐๐ 2,๐๐ 3,๐๐ 4,๐๐ 5, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐ 2๐ผ๐ผ,๐๐ 3๐ผ๐ผ,๐๐ 4๐ผ๐ผ,๐๐ 5๐ผ๐ผ Diedergruppe ๐ซ๐ซ๐๐
Zyklische Drehgruppe ๐๐๐๐
๐๐๐๐ = ,โ
๐ซ๐ซ๐๐ = ,โ
๐๐
๐ ๐
๐จ๐จ ๐ฉ๐ฉ
๐ช๐ช
๐ซ๐ซ๐ฌ๐ฌ
๐ญ๐ญ
๐ ๐ ๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.25Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Verknรผpfungstafel Diedergruppe ๐ซ๐ซ๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐4 ๐๐5 ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐5๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐4 ๐๐5 ๐๐๐๐ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐4 ๐๐5 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐3 ๐๐4 ๐๐5 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐4 ๐๐5 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐5 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐4 ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ
๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐4 ๐๐5
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐5 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐4
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐4 ๐๐5 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3 ๐๐4 ๐๐5 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐4 ๐๐5 ๐๐๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐5๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐4 ๐๐5 ๐๐๐๐
BemerkungEs gilt:
๐๐๐๐๐ผ๐ผ = ๐ผ๐ผ๐๐๐๐โ๐๐
Beweis๐๐๐๐๐ผ๐ผ ist eine Achsenspie-gelung (ungleichsinnig):๐๐๐๐๐ผ๐ผ โ1 = ๐๐๐๐๐ผ๐ผ
Mit ๐๐๐๐ โ1 = ๐๐๐๐โ๐๐ gilt aber auch:๐๐๐๐๐ผ๐ผ โ1
= ๐ผ๐ผโ1 ๐๐๐๐ โ1
= ๐ผ๐ผ ๐๐๐๐ โ1
= ๐ผ๐ผ๐๐๐๐โ๐๐#
๐๐๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.26Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Verknรผpfungstafel Diedergruppe ๐ซ๐ซ๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐4 ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐4 ๐๐๐๐ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐4 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐3 ๐๐4 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐4 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ
๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐4
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐4 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐3 ๐๐4 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐4 ๐๐๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐4๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐4 ๐๐๐๐
๐๐ โ ๐๐๐๐,72๐
๐ผ๐ผ โ ๐ผ๐ผ๐๐ mit ๐ผ๐ผ๐๐ ๐น๐น5 = ๐น๐น5
Deckabbildungen von ๐ญ๐ญ๐๐:๐๐๐๐,๐๐,๐๐2,๐๐3,๐๐4, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ,๐๐3๐ผ๐ผ,๐๐4๐ผ๐ผ
๐๐๐๐
๐ซ๐ซ๐๐ = ๐๐๐๐,๐๐,๐๐2, ๐๐3, ๐๐4, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ,๐๐3๐ผ๐ผ,๐๐4๐ผ๐ผ ,โ Diedergruppe ๐ซ๐ซ๐๐
๐จ๐จ ๐ฉ๐ฉ
๐ช๐ช
๐ซ๐ซ
๐ฌ๐ฌ
๐ ๐
๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.27Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien
2.2 Symmetrien sortieren โUntergruppen
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.28Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต ๐ถ๐ถ๐ต๐ต ๐ถ๐ถ ๐ด๐ด = ๐๐๐๐,120๐
๐๐2 = ๐ด๐ด ๐ต๐ต ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ ๐ด๐ด ๐ต๐ต = ๐๐๐๐,240๐
๐๐3 = ๐ด๐ด ๐ต๐ต ๐ถ๐ถ๐ด๐ด ๐ต๐ต ๐ถ๐ถ = ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต ๐ถ๐ถ๐ด๐ด ๐ถ๐ถ ๐ต๐ต = ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐๐ผ๐ผ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต ๐ถ๐ถ๐ต๐ต ๐ด๐ด ๐ถ๐ถ = ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐2๐ผ๐ผ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต ๐ถ๐ถ๐ถ๐ถ ๐ต๐ต ๐ด๐ด = ๐ผ๐ผ๐๐
Symmetrie von ist ๐ซ๐ซ๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ
๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐
๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ
๐ผ๐ผ๐๐๐ผ๐ผ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.29Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Die Schneeflocke im Schild โSchneeglรคtteโ hat eine๐ซ๐ซ๐๐-Symmetrie, also die eines regelmรครigen Sechs-ecks mit 6 Drehsymmetrien und 6 Spiegelachsen.
Die Deckabbildungen des Dreiecks (gelbe Spiegel-achsen und grรผne Drehungen) sind alle in denen des Sechsecks enthalten.
๐ซ๐ซ๐๐ ist damit eine Teilmenge von ๐ซ๐ซ๐๐.๐ซ๐ซ๐๐ = ๐๐๐๐,๐๐,๐๐2, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผโ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐2,๐๐3, ๐๐4, ๐๐5, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ,๐๐3๐ผ๐ผ,๐๐4๐ผ๐ผ, ๐๐5๐ผ๐ผ = ๐ซ๐ซ๐๐
๐ซ๐ซ๐๐ ist zusammen mit der Verkettung โ von Abbil-dungen gleichzeitig auch eine Gruppe.
Man bezeichnet ๐ซ๐ซ๐๐,โ deshalb auch als Unter-gruppe von ๐ซ๐ซ๐๐,โ .
Symmetrie von ist ๐ซ๐ซ๐๐
๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ
๐ผ๐ผ๐๐๐ผ๐ผ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.30Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
im Schild โKreisver-kehrโ hat eine ๐๐๐๐-Symmetrie.
Die Deckabbildungen dieser drei Pfeile (grรผne Drehungen) sind alle in denen des gleich-seitigen Dreiecks enthalten.
๐๐๐๐ ist also eine Teilmenge von ๐ซ๐ซ๐๐ und zusammen mit derVerkettung โ von Abbildungen gleichzeitig auch eine Gruppe.
๐๐๐๐,โ ist also eine Untergruppe von (๐ซ๐ซ๐๐,โ).๐๐๐๐ = ๐๐๐๐,๐๐,๐๐2 โ ๐๐๐๐, ๐๐,๐๐2, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ = ๐ซ๐ซ๐๐
Symmetrie von ist ๐๐๐๐
๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ
๐ผ๐ผ๐๐๐ผ๐ผ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ
๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.31Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
im Schild โFahrbahnver-engungโ hat eine {๐๐๐ ๐ ,๐ ๐ ๐๐}-Symmetrie.
Die Deckabbildungen von sind alle in denen des gleich-seitigen Dreiecks enthalten.
๐๐๐ ๐ ,๐ ๐ ๐๐ โ ๐ซ๐ซ๐๐ und zusammen mit der Verkettung โ von Abbil-dungen gleichzeitig auch eine Gruppe.
๐ข๐ข๐ข๐ข,๐ข๐ข๐ฌ๐ฌ ,โ ist also eine Untergruppevon ๐ซ๐ซ๐๐,โ .๐๐๐๐,๐๐๐ผ๐ผ โ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐2, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ = ๐ซ๐ซ๐๐
Symmetrie von ist {๐๐๐ ๐ ,๐ ๐ ๐๐}
๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ
๐ผ๐ผ๐๐๐ผ๐ผ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ
๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.32Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Das im Schild โGefรคhrliche Kreuzungโ hat eine ๐๐ -Sym-metrie (๐ท๐ท4-Symmetrie).
Vergleicht man diese mit ๐ซ๐ซ๐๐ = {๐๐๐๐,๐๐,๐๐2, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ, ๐๐2๐ผ๐ผ}, der Symmetrie von , so stellt man fest, dass die beiden Symmetrien genau zwei Deckabbildungen gemeinsam haben, nรคmlich:
๐๐๐ ๐ ,๐ ๐ ๐๐ = ๐๐๐๐,๐๐๐๐,90๐,๐๐๐๐,180๐,๐๐๐๐,270๐,๐๐๐ผ๐ผ, ๐ผ๐ผ1, ๐ผ๐ผ2, ๐ผ๐ผ3โฉ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐2, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ = ๐บ๐บ โฉ ๐ซ๐ซ๐๐
( ๐๐๐ ๐ ,๐ ๐ ๐๐ ,โ} ist eine Untergruppe von ๐ซ๐ซ๐๐,โ und von ๐บ๐บ ,โ .
Symmetrie von ist ๐บ๐บ โถ= ๐๐๐ ๐ ,๐ ๐ ๐ด๐ด,๐๐๐๐๐,๐ ๐ ๐ด๐ด,๐๐๐๐๐๐๐,๐ ๐ ๐ด๐ด,๐๐๐๐๐๐๐,๐ ๐ ๐๐, ๐๐๐๐, ๐๐๐๐, ๐๐๐๐ = ๐ซ๐ซ๐๐
๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ
๐ผ๐ผ๐๐๐ผ๐ผ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐ผ๐ผ
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ
๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐๐๐
๐ผ๐ผ1
๐ผ๐ผ2
๐ผ๐ผ3
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.33Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Die im Schild โVorsicht Gegenverkehrโ hat eine๐๐ โถ= {๐๐๐๐,๐๐๐๐,180๐}-Symmetrie.
Vergleicht man diese mit ๐ซ๐ซ๐๐ = {๐๐๐๐,๐๐,๐๐2, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ, ๐๐2๐ผ๐ผ}, der Symmetrie von , so stellt man fest, dass die beiden Symmetrien nur dieIdentitรคt als gemeinsameDeckabbildungen haben:
๐บ๐บ โฉ ๐ซ๐ซ๐๐ = ๐๐๐๐,๐๐๐๐,180๐ โฉ ๐๐๐๐,๐๐,๐๐2, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ = ๐๐๐๐ =โถ ๐ฌ๐ฌ
๐ฌ๐ฌ,โ ist eine Untergruppe von ๐ซ๐ซ๐๐,โ und von ๐บ๐บ ,โ .
Symmetrie von ist ๐บ๐บ โถ= {๐๐๐ ๐ ,๐ ๐ ๐ด๐ด,๐๐๐๐๐๐๐}
๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ
๐ผ๐ผ๐๐๐ผ๐ผ๐๐
๐ผ๐ผ๐๐ = ๐๐๐ผ๐ผ
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ
๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.34Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Definition Untergruppe
BemerkungDie folgende Untergruppendefinition ist so formuliert, dass sie fรผr beliebige, auch nicht-geometrische Gruppen genutzt werden kann.
Definition 2.2.1: UntergruppeSei (๐บ๐บ,โ) eine Gruppe. Wenn eine Teilmenge ๐๐ der Menge ๐บ๐บ ๐๐ โ ๐บ๐บ zusammen mit der Verknรผpfung โ der Gruppe (๐บ๐บ,โ) wieder eine Gruppe ๐๐,โ bildet, dann nennt man ๐๐ eine Untergruppe von ๐บ๐บ und schreibt: ๐๐ โค ๐บ๐บDas โโคโ-Zeichen statt des โโโ bedeutet, dass nicht nur die Mengen ineinander liegen, son-dern mit derselben Verknรผpfung โ auch die Gruppenkriterien Abgeschlossenheit, Assoziati-vitรคt, Existenz eines neutralen Elements und Existenz von inversen Elementen erfรผllt sind.Die triviale Gruppe ๐ธ๐ธ = {๐๐๐๐} und die Gruppe ๐บ๐บ selbst, sind immer Untergruppen von ๐บ๐บ.Die Schnittmenge von zwei Untergruppe ๐ป๐ป und ๐ผ๐ผ einer Gruppe ๐บ๐บ ist Untergruppe beider Gruppen: ๐ป๐ป โค ๐บ๐บ โง ๐ผ๐ผ โค ๐บ๐บ โ ๐ป๐ป โฉ ๐ผ๐ผ โค ๐ป๐ป โง ๐ป๐ป โฉ ๐ผ๐ผ โค ๐ผ๐ผ
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.35Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Verknรผpfungstafel Diedergruppe ๐ซ๐ซ๐๐
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ
๐ ๐ ๐๐ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ
๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3
๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐๐๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐3๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ ๐๐2๐ผ๐ผ ๐๐ ๐๐2 ๐๐3 ๐๐๐๐
๐๐๐๐ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ด๐ด ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ท๐ท = ๐๐๐๐,0๐
๐ ๐ = ๐จ๐จ ๐ฉ๐ฉ๐ฉ๐ฉ ๐ช๐ช
๐ช๐ช ๐ซ๐ซ๐ซ๐ซ ๐จ๐จ = ๐ ๐ ๐ด๐ด,๐๐๐๐๐
๐๐2 = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ท๐ท
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ต๐ต = ๐๐๐๐,180๐
๐๐3 = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ท๐ท ๐ด๐ด
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ถ๐ถ = ๐๐๐๐,270๐
๐๐ = ๐จ๐จ ๐ฉ๐ฉ๐ฉ๐ฉ ๐จ๐จ
๐ช๐ช ๐ซ๐ซ๐ซ๐ซ ๐ช๐ช = ๐๐๐๐
๐๐๐ผ๐ผ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ถ๐ถ ๐ต๐ต
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ด๐ด ๐ท๐ท = ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐2๐ผ๐ผ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ท๐ท ๐ถ๐ถ
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ต๐ต ๐ด๐ด = ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐3๐ผ๐ผ = ๐ด๐ด ๐ต๐ต๐ด๐ด ๐ท๐ท
๐ถ๐ถ ๐ท๐ท๐ถ๐ถ ๐ต๐ต = ๐ผ๐ผ๐๐
๐๐๐๐
๐๐๐๐
๐๐
๐๐ ๐จ๐จ ๐ฉ๐ฉ
๐ช๐ช๐ซ๐ซ
๐ ๐
๐๐
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.36Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Diedergruppe ๐ซ๐ซ๐๐ und ihre Untergruppen
๐ท๐ท4 = ๐๐๐๐,๐๐,๐๐2,๐๐3, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ,๐๐3๐ผ๐ผ = ๐๐, ๐ผ๐ผ
๐๐๐๐,๐๐2 = ๐๐2
๐๐๐๐, ๐ผ๐ผ = ๐ผ๐ผ๐๐๐๐,๐๐2๐ผ๐ผ = ๐๐2๐ผ๐ผ
๐๐๐๐,๐๐๐ผ๐ผ = ๐๐๐ผ๐ผ๐๐๐๐,๐๐3๐ผ๐ผ = ๐๐3๐ผ๐ผ
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
๐๐๐๐,๐๐,๐๐2,๐๐3= ๐๐ = ๐๐4
๐๐๐๐,๐๐2,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐3๐ผ๐ผ= ๐๐๐ผ๐ผ,๐๐3๐ผ๐ผ
๐๐๐๐,๐๐2, ๐ผ๐ผ, ๐๐2๐ผ๐ผ= ๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ
AllgemeinesViereck
Symm.Trapez
Symm. Drachen
Parallelogramm
Rechteck Raute
Quadrat 8 Elemente
4 Elemente
2 Elemente
1 Element
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.37Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Untergruppekriterium und Erzeugendensystem
Satz 2.2.1: UntergruppenkriteriumIst ๐๐ eine nichtleere Teilmenge der Gruppe (๐บ๐บ,โ), gilt also ๐๐ โ ๐บ๐บ und ๐๐ โ {}, dann ist ๐๐ genau dann eine Untergruppe von ๐บ๐บ ๐๐ โค ๐บ๐บ , wenn gilt:
(UG1) โ๐๐,๐๐โ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ (Abgeschlossenheit)
(UG2) โ๐๐โ๐๐ ๐๐โ1 โ ๐๐ (Inverse in ๐๐ enthalten)
BemerkungEs gibt Erzeugendensysteme von Gruppen. Zum Beispiel erzeugen die beiden Achsen-spiegelungen ๐ผ๐ผ und ๐๐๐ผ๐ผ durch sukzessive Ver-knรผpfung und Bildung von Inversen zusam-men bereits die Diedergruppe ๐ท๐ท4 = ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ .Im Allgemeinen entsteht so jeweils eine Untergruppe der Ausgangsgruppe.
Definition 2.2.2: Erzeugendensystem und erzeugte Untergruppe
Zu einer Teilmenge ๐ด๐ด โ ๐บ๐บ einer endlichen Gruppe (๐บ๐บ,โ) entstehen durch Bildung von Inversen und Verknรผpfung von Elementen neue Mengen.๐ด๐ด0 = ๐ด๐ด, man geht also von der ursprรผnglichen Teilmenge ๐ด๐ด โ ๐บ๐บ aus.Im ๐๐-ten Schritt bildet man alle Inversen und Ver-knรผpfungen der Elemente aus ๐ด๐ด๐๐โ1 und erhรคlt ๐ด๐ด๐๐ = ๐ด๐ด๐๐โ1 โช ๐ด๐ด๐๐โ1 โ1 โช ๐ด๐ด๐๐โ1 โ ๐ด๐ด๐๐โ1
= ๐ด๐ด๐๐โ1 โช ๐๐โ1|๐๐ โ ๐ด๐ด๐๐โ1 โช ๐๐ โ ๐๐|๐๐, ๐๐ โ ๐ด๐ด๐๐โ1 .Der Prozess endet, wenn in einem Schritt ๐ผ๐ผkeine neuen Elemente hinzukommen, also gilt ๐ด๐ด๐๐ = ๐ด๐ด๐๐โ1.Die Menge ๐ด๐ด = ๐ด๐ด๐๐ heiรt die vom Erzeugenden-system ๐ด๐ด erzeugte Untergruppe ๐ด๐ด ,โ .
Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien โข 2.38Jรผrgen Roth โข Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)
Bildung einer Untergruppe von ๐ซ๐ซ๐๐aus der Teilmenge ๐จ๐จ = {๐๐,๐ ๐ ๐๐}
0. Schritt: ๐ด๐ด0 = ๐ด๐ด = ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ
1. SchrittAlle Inverse zu den Elementen von ๐ด๐ด0 bilden:
๐ผ๐ผโ1 = ๐ผ๐ผ und ๐๐๐ผ๐ผ โ1 = ๐๐๐ผ๐ผ, weil Achsen-spiegelungen invers zu sich selbst sind.Die Menge aller Inverser zu Elementen aus ๐ด๐ด0 ist: ๐ด๐ด0 โ1 = ๐ผ๐ผโ1, ๐๐๐ผ๐ผ โ1 = {๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ}
Verknรผpfungen der Elemente von ๐ด๐ด0 bilden:๐๐๐ผ๐ผ โ ๐ผ๐ผ = ๐๐ โ ๐ผ๐ผ โ ๐ผ๐ผ = ๐๐ โ ๐ผ๐ผ โ ๐ผ๐ผ = ๐๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐
๐ผ๐ผ โ ๐๐๐ผ๐ผ โ=๐๐๐๐๐ ๐ = ๐ ๐ ๐๐๐๐โ๐๐
๐ผ๐ผ โ ๐ผ๐ผ โ ๐๐4โ1 = ๐๐๐๐ โ ๐๐3 = ๐๐3
๐ผ๐ผ โ ๐ผ๐ผ = ๐๐๐๐๐๐๐ผ๐ผ โ ๐๐๐ผ๐ผ = ๐๐ โ ๐ผ๐ผ โ ๐ผ๐ผ โ ๐๐3 = ๐๐ โ ๐๐3 = ๐๐4 = ๐๐๐๐๐ด๐ด0 โ ๐ด๐ด0 = {๐๐๐๐,๐๐,๐๐3}
๐ด๐ด1 = ๐ด๐ด0 โช ๐ด๐ด0 โ1 โช ๐ด๐ด0 โ ๐ด๐ด0= ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ โช ๐ผ๐ผ, ๐๐๐ผ๐ผ โช ๐๐๐๐,๐๐,๐๐3 = {๐๐๐๐,๐๐,๐๐3, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ}
2. SchrittAlle Inverse zu den Elementen von ๐ด๐ด1 bilden:
๐๐๐๐โ1 = ๐๐๐๐, weil ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐โ1 = ๐๐3, weil ๐๐ โ ๐๐3 = ๐๐4 = ๐๐๐๐๐๐3 โ1 = ๐๐, weil ๐๐3 โ ๐๐ = ๐๐4 = ๐๐๐๐๐ผ๐ผโ1 = ๐ผ๐ผ, weil Achsenspiegelung๐๐๐ผ๐ผ โ1 = ๐๐๐ผ๐ผ, weil Achsenspiegelung
Die Menge aller Inverser zu Elementen aus ๐ด๐ด1 ist: ๐ด๐ด1 โ1 = {๐๐๐๐,๐๐,๐๐3, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ}
Alle Verknรผpfungen der Elemente von ๐ด๐ด1 bilden:๐๐๐๐ โ ๐ด๐ด1 = ๐๐๐๐,๐๐,๐๐3, ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ๐๐ โ ๐ด๐ด1 = {๐๐,๐๐2,๐๐4,๐๐๐ผ๐ผ,๐๐2๐ผ๐ผ} = {๐๐, ๐๐2, ๐๐๐๐,๐๐๐ผ๐ผ, ๐๐2๐ผ๐ผ}โฆ
๐ด๐ด2 = ๐ด๐ด1 โช ๐ด๐ด1 โ1 โช ๐ด๐ด1 โ ๐ด๐ด1โฆ๐ด๐ด = ๐ผ๐ผ,๐๐๐ผ๐ผ = ๐ด๐ด๐๐ โค ๐ท๐ท4