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Zum Schluss noch eine geometrische Anregung1
1 http://www.cip.ifi.lmu.de/~zimmermc/sfc/zula/node3.html
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Wir wollen die natürlichen Zahlen nicht auf einem Zahlenstrahl, sonder
in im ganzen 1. Quadranten eines Koordinatensystems darstellen. Dazu
schreiben wir die natürlichen Zahlen zunächst dual, also im
Zweiersystem (siehe selbiges Kapitel), und gruppieren die Ziffern von
hinten angefangen bei den Einern angefangen in Paare (wir hätten sie
eigentlich auch gleich im Vierersystem schreiben können, was diesem
vorgehen entspricht). Für das Paar 00 nehmen wie das erste Quadrat
der Einheiten von x und y, für 0I = 1 das gleich große Quadrat
daneben, für I0 = 2 dasjenige darüber und schließlich für II = 4 das
alle zum großen Quadrat der doppelten Seitenlänge ergänzende.
II
← I0
00→
↑ 0I
Dualzahlenpaare „quadratisiert“ dargestellt
Start →
So sieht es aus, wenn man die Zentren der vier Quadrate der Reihe nach verbindet
Für die nächsten zwei Ziffernpaare verdoppeln wir das ganze Quadrat
um nun für die 16 möglichen Zahlen auch 16 Teilquadrate zum dort
Einquartieren der Zahlen zu haben.
↓ Ziel 15 ______
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II II
II I0
II I0
I0 I0
II I0
II 0I
I0 00
I0 0I
00 0I
00 I0
0I II
0I I0
00 00
00 II
0I 00
0I 0I
↑ Start bei 0
↓ Ziel 15
Start Überschneidungsfrei angeordneter Dualzahlenweg der 4² = 16 Zahlen
Für jedes weitere Paar verdoppelt sich das Quadrat wiederum, denn
jede Zahl ist ein neues Quadrat. Beispielsweise käme für die Zahl 20 =
I0I00 wegen 0I I0 00 das neuerliche Zahlenquadrat in die zweite
untere Hälfte des wiederum verdoppelten Quadrats mit insgesamt 64
Einheitsquadraten.
Durch weitere Verdoppelungen kommen wie auf 128, dann auf 256, schließlich nach dem fünften Mal auf 1024, dann 4096 Zahlen. Und nach zehn Schritten haben wir die erste Million, nach zwanzig die Milliarde und nach fünfzig Schritten haben wir über eine Trillion Zahlen erfasst. 63 255
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0 →
Verbundene Zentren der 43= 64 und 4
4= 256 Zahlen
Beim fünften Mal sind es 45 = 2
10= 1024 Zahlen.
↓ Ziel 4095
Start bei 0 ↑ ↑1000
Nach dem sechsten Mal sind 212
= 4096 Zahlen dargestellt (von 0 unten bis 4095 oben)
Interessant ist der Weg von der Zahl 1000 quer übers ganze Quadrat bis nach 3000
Wollen wir alle natürlichen Zahlen darstellen, füllen wir den ganzen
ersten Quadranten auf. Nun können wir unser natürlichen Zahle auch
noch auf alle positiven reellen (im Dualsystem dargestellten) Zahlen
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ausdehnen. Und diese im Dualsystem geschriebenen Kommastellen
analog dann innerhalb des jeweiligen Einheitsquadrates ihres größten
Ganzen durch Quadratviertelungen einbauen, denn nun werden gemäß
der Kommadualpaare auch umgekehrt die Quadrate einfach verkleinert
und die Seiten statt zu verdoppeln eben stetig halbieren. Ordnen wir
die Zahlen nun einfach den Quadratzentren zu und ändern die
Zahlengruppierung etwas ab (damit keine Überkreuzung stattfindet),
dann beschreiben unsere durch die Quadratmitten dargestellten Zahlen
eine Zackenlinie, die (durch das ewige Wiederholen) im Grenzfall
eine Kurve ist, welche die ganze Fläche ausfüllt.
Die Peano2-Kurve
2 Guiseppe Peano wurde am 27. August 1858 in Cuneo, Italien geboren und starb am 20. April 1932 in Turin. Als Sohn armer Bauern musste Guiseppe täglich 5 km zur Schule nach Spinetta und zurück laufen. Sein Onkel nahm ihn dann 1870 mit nach Turin, wo er eine weiterführende Schule besuchte, 1876 an die Universität ging und schließlich 1880 in Mathematik promovierte. Manche reden auch von Hilbert-Kurven, da Peano seine Konstruktionen nicht illustrierte, während Hilbert sie ein Jahr später als erster visualisierte! http://www.jasondavies.com/hilbert-curve/
David Hilbert wurde am 23. Januar 1862 in Königsberg, heute Kaliningrad, geboren und starb am 14. Februar 1943 in Göttingen. Er besuchte in Königsberg das Gymnasium und die Universität, wo er unter Lindemann
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füllt bei ständiger Fortsetzung in alle Ewigkeit das ganze Quadrat aus
II II 15
↓ II 0I 12
← II I0 11
← I0 I0
10 ↑
II I0
14
← II I0
13
→ I0 00 8
↑ I0 0I
9 →
00 0I
1
↓00 I0 2
↑ 0I II 7
← 0I I0
6 ↑
00 00 0
→00 II 3
→ 0I 00 4
↑ 0I 0I 5
Weg der natürlichen
Dezimalzahlen von Null bis 15
11,1875 11,00 ←←←← nach ↑ ↓ 11,125 ←11,0625
←←←← 10,9375
10,75
↓
←←←←
10,6875
10,625
↑ 10,875
10,8125
→ 10,5
↑
10,5625
→ 10,0625
10,125
↓
↑
10,49875
10,43625
←
↑ 10,00
↑
→ 10,1875
→ 10,25
↑ 10,375
von 10 -0.0625 = 9,9375
Mögliche Unterteilung des Quadrats für 10 (vergrößert dargestellt)
1884 seinen Doktortitel erwarb. Hurwitz und Lindemann, deren Lehrstühle Hilbert später innehatte, beeinflussten seine Arbeit.
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Indem wir nun die Kehrwerte nehmen3, lassen sich alle unendlich
vielen positiven Zahlen größer 1 auch im Einheitsquadrat darstellen.
Und es hat den Anschein als wollten wir damit alle Punkte des Quadrats
abzählen4, wobei die Punkte eine etwas quadratische Form
angenommen haben könnten.
Damit ist ein Viertel der Ebene (1. Quadrant ohne Einheitsquadrat) mit
den reziproken Zahlenwerten (der unendlich vielen Zahlen) größer Eins
auf ein Quadrat der Seitenlänge 1 abgebildet worden. Scheinbar hat
das Quadrat auch nicht mehr Punkte als die Ebene, nämlich beide
haben eben unendlich viele.
Eine schlichte Unmöglichkeit also, denn mit Funktionen, kann man eine
Zahlenmenge von R (eine Linie, d.h. etwas eindimensionalen wie der
Zahlenstrahl) nicht auf den R²-Menge, eine zweidimensionale Fläche
(ein komplettes Quadrat) abbilden!
Eine weitere Möglichkeit ist einfach anstatt diesem x des Zahlenstrahl
aller positiven Zahlen, die größer-gleich 1 sind, dessen Kehrwerte 1/x
zu nehmen, wobei die ganze unendliche Länge des Zahlenstrahls auf
das Einheitsintervall [0 ,1] schrumpft, also auf eine Strecke der Länge
3 Diese inverse Abbildung ist die sog. Wehrlesche Quadratinversion (oder Spiegelung am Einheitsquadrat). Aber stattdessen kann man auch einfach genau das wiederholen (mit den Ziffern der dual verwandelten Dezimalkommazahlen von 0 bis 1 hinter dem Komma), was man zuvor mit den Ziffern vor dem Komma (bzw. ohne Komma) machte; die Paarbildung, ab dem Komma nämlich. 4 Ob die unendliche Anzahl der Punkt einer Ebene wohl eine `noch größere´ Unendlichkeit als diejenige der unendlich vielen Geradenpunkte ist? Während man die Anzahl der natürlichen Zahlen als abzählbar unendlich bezeichnet, sei ihre Potenzmenge, das ist die Menge aller Teilmengen (oder die Menge aller bildbaren natürlichen unendlichen Zahlenfolgen), aber noch unendlicher, also nicht
mehr abzählbar, etwa als ob 2∞ > ∞ wäre. Es wird ja von einigen Mathematiker standhaft die Behauptung vertreten (und diese auch noch unseren `höheren´ Schülern unter gejubelt), dass es nicht nur (abzählbar) unendlich viele reellen Zahlen gibt, sondern sogar überabzählbar unendlich viele. Diese sog. Mächtigkeiten werden als 0א und
bezeichnet, wobei sich die Frage stellt, ob es noch eine dazwischen liegende 1א
Unendlichkeit א½ gibt, was die Kontinuumshypothese verneint. Der Streit darüber wird
aber noch in alle Ewigkeit fortbestehen!
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1 abgebildet wird, sozusagen kompaktifiziert ist, wenn wir die Null
hinzunehmen, die das Bild vom offenen Unendlichen abdeckelt:
Die gesamte Unendlichkeit verschwindet einfach im Nullpunkt!
Diese Reziproken der Zahlen >1 bilden wir wiederum auf unser
Einheitsquadrat ab: Wir haben dann eine Abbildung, die alle zwischen
0 und 1 liegenden Zahlen auf die Fläche eines Quadrats der
Seitenlänge 1 abgebildet hat.
Zudem ist unsere Funktion auch noch stetig, wie man mit der Delta-
Epsilontik, - für ein jedes ach noch so kleine ε>0 gibt es ein δ>o, so
das alle Zahlen der Delta-Umgebung um den Wert x° (für die man die
Stetigkeit der Funktion beweisen möchte) vollständig innerhalb der
Epsilon-Umgebung von f(x°) liegen -, unschwer nachweisen kann, denn
das Einschachtelungssystem garantiert eine maximale Distanz zweier
benachbarter Zahlenwerte, die höchstens die Diagonalenlänge eines
Unter-Unterquadrats ist, was aber natürlich beliebig klein gemacht
werden kann5.
Dies aber dürfte eigentlich gar nicht möglich sein, denn Kompakta6
werden durch stetige Funktionen stets auf Kompakta abgebildet, lehrt
und die Topologie. Und die Dimension ist für Abbildungen eine
Erhaltungsgröße; bei uns hier wird aber etwas Eindimensionales, die
5 Hier zeigt sich, dass eine Art mathematischer Hypnose existiert, die verhindert, dass man sofort erkennt, dass diese Funktion an jeder Stelle Sprünge macht und also überall Lücken haben muss (die man allerdings immer kleiner und „beliebig klein“ macht) und diese Funktion daher niemals und nirgendwo stetig ist, es sei denn man glaubt, dass Punkte kleine Quadrate sind! Diese Verblendetheit stammt von einer Art mathematischer Autoritätsgläubigkeit, weil nämlich, wenn Mathematiker sagen, >>stetig ist, wenn das und das erfüllt ist
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Einheitsstrecke oder der kompakte Zahlen-Intervall [0 ,1] auf die
ganze Fläche des Einheitsquadrats oder auf die Zahlenpaare von [0
,1]x[0 ,1] abgebildet!
(Gerade) R → RxR = R² (Ebene)
Punkt der Einheitsstrecke [0 ,1] → [0 ,1]² Punkt im Einheitsquadrat.
Ganz entsprechend, wie bei der Ziffernpaarbildung des Binärcodes,
kann man diese Dualziffernfolge von Nullen und Einsen an Stelle der
Paarbildung auch in Dreiergruppen aufspalten und damit den
Einheitswürfel bzw. den ganzen ersten Oktanden aufbauen. Teilt man
den Binärcode der Zahlen in Vierergruppen auf, ist entsprechend der
Hyperwürfel als Einheit bzw. der 16-te Teil des vierdimensionalen
Raumes erzeugbar. Die Einteilung in n-Tupel liefert somit ein n-
dimensionales Gebilde, eine Abbildung
R → Rn
[0 ,1] → [0 ,1]n,
die als Bild des Einheitsintervalls einen Einheitswürfel mit n
Dimensionen erzeugt; d.h. also die eine Linie (ein Gebilde, das nur zwei
Richtungen kennt; nämlich vorwärts oder rückwärts), in einen n-
dimensionales Gebilde verwandelt, bei dem man sich stets in unendlich
viele Richtungen bewegen kann, und das auch noch n-fach unendlich
„verschiedenartig“ (in n zueinander senkrechte Richtungen nämlich).
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-���� http://www.donrelyea.com/hilbert_algorithmic_art_menu.htm
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Dreiecks- und Quadratfüllende Sierpinski-Kurve 7
7 Raumfüllende Kurven gibt´s u.a. von Peano, Sierpinski Lebesgue Sierpinski-Knopp, Hilbert und Moore und Schönberg http://caicedoteaching.files.wordpress.com/2012/01/schoenberg_functions_ryder.pdf http://tocs.ulb.tu-darmstadt.de/30028167.pdf aber auch von Polya Pólya's Space-Filling Curve Hilbert and Moore 3D Fractal Curves (Robert Dickau) Lebesgue 3D Curves vgl. auch Square Koch Fractal Curves http://demonstrations.wolfram.com/SchoenbergPlaneFillingCurve/ Visualizing Space-Filling Curves with Fractals (As Limits of Curves of Continuously
Varying Dimension), http://demonstrations.wolfram.com/PolyasSpaceFillingCurve/ http://demonstrations.wolfram.com/Lebesgue3DCurves/ http://demonstrations.wolfram.com/SchoenbergPlaneFillingCurve/ http://mathworld.wolfram.com/Plane-FillingFunction.html http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Peano.shtml
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/hilbert.shtml Hilbert-Kurve http://www.josleys.com http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/sagan2.pdf Some Reflections 0n the Emergence of Space filling Curves : The I ... Space-Filling Curves www.ulb.tu-darmstadt.de/tocs/30028167.pdf http://www.math.vt.edu/people/wheeler/class_home/4226s08/schoenfill.pdf http://benvitale-funwithnum3ers.blogspot.de/2011/02/space-filling-curves.html http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve http://www.cip.ifi.lmu.de/~zimmermc/sfc/zula/node7.html
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l
http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/HSFC
http://people.csail.mit.edu/jaffer/Color/CSDR
http://www.cip.ifi.lmu.de/~zimmermc/sfc/zula/node5.html http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PlaneFillingCurves.shtml
Hilbert-Kurve --http://www.josleys.com Recurrence for Multidimensional Self-Similar Functions
www.Udo-Rehle.de 13/
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Der Hilbert-Würfel von Carlo H Sequin (California at Berkeley)
als 3-dim. Analogon zur zweidim. Peanokurve
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www.spektrum.de/mathekalender � David Hilbert (1862 – 1943)
"Wir müssen wissen. Wir werden wissen":
. Er vollendete Euklids axiomatische Grundlegung der Geometrie ." » weiter
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Kann man die komplexen Zahlen auch eindimensional angeben?
Umgekehrt, wie man die linearen Zahlen im Zweiersystem auf die
komplexe Zahlen-Ebene abbilden könnte, müsste man auch die Gauß-
Ebene auf die eindimensionalen Dualzahlen umrechnen können.
Imaginäre Achse ↓↓↓↓ ↓ 1+2i ↓ 2+2i
2i = I0 II
1+2i = I0 I0
II II 2+2i
I0 00
II 00
II 0I
Imaginäre
Einheit i = 00 II
1+i 00 I0
I0 II 2+ i
00 00
00 0I
0I 00
0I 0I
↑ ↑
Reelle Einheiten 1 2
Man könnte in x-Richtung eine reelle und als y-Achse die imaginäre Einheiten einführen
und damit die eindimensionalen reellen Zahlen auf die zweidimensionalen komplexen abbilden.
(0I 00 sowie 0I I0 und viele andere sind zu streichen) Vermutlich aber müsste man es anders machen
und II II als 1+i definieren (allerdings müsste man in der Quadrupel-Ziffernfolge
dann 00 0I und 00 I0 und noch viel mehr andere streichen; könnte sie vielleicht als Prüfziffern verwenden)?
Wie man sieht, ist die Menge aller reellen Zahlenpaare R² und C also nicht wirklich gleichwertig oder gleichgestaltig zueinander: Reelle Zahlenpaare und komplexe Zahlen sind nicht isomorph.