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Prof. Dr.-Ing. Rolf Katzenbach Direktor des Institutes und der Versuchsanstalt für Geotechnik der TU Darmstadt Studienunterlagen Geotechnik Seite IV-1

IV Spannungen im Boden 18.12.2006

IV Spannungen im Boden

1 Einführung

Um die Spannungsverteilung im Boden infolge von Eigenlast, Wasser und Auflasten sowie

die daraus resultierenden Verformungen zu beschreiben, ist es erforderlich, das

Dreiphasensystem des Bodens mit Hilfe des Prinzips der wirksamen Spannungen zu

erfassen. Zur Berechnung der Verformung des Bodens durch zusätzliche Auflasten, z.B.

die Belastung durch ein Fundament, muss die Änderung des Spannungszustandes im

Boden, die durch diese Zusatzbelastung hervorgerufen wird, gegenüber dem Ausgangs-

zustand bestimmt werden.

2 Spannungsvektor und Spannungstensor

Ein von außen mit den Kräften Fi belasteter Körper wird geschnitten (Abb. IV-1). In dem

Schnitt wirken über die Schnittfläche verteilte, innere Kräfte. Auf das Flächenelement A

wirkt eine Schnittkraft F.

P�A

�F

Fi+1

Fi+2

Fi

�

�

t

Abb. IV-1 Geschnittener Körper

Die mittlere Spannung in dem Flächenelement ist gleich dem Quotienten F/A. Der

Spannungsvektor t im Punkt P des betrachteten Schnittes ergibt sich aus folgender

Grenzwertbetrachtung:

A 0

F dFt lim

A dA

(Gl. IV-1)

Der Spannungsvektor t lässt sich in eine normal zur Schnittfläche wirkende Komponente

und eine tangential in der Schnittfläche wirkende Komponente zerlegen. Diese

Komponenten werden Normalspannung und Schubspannung genannt.



Zur Beschreibung des Spannungszustandes in einem Punkt eines Körpers ist der

Spannungsvektor nicht ausreichend, da die Spannungen von der Schnittrichtung abhängig

sind. Zur Festlegung des Spannungszustandes in einem Punkt wird der Spannungstensor

definiert. Gleiche Indizes kennzeichnen Normalspannungen, ungleiche Indizes

Schubspannungen.

z

yx

�zz

�yy

�xx

�zx �zy

�xy

�xz �yz

�yx

bzw.

x3

x1x2

�33�31

�22

�11

�32

�21

�23

�13

�12

Abb. IV-2 Spannungen am Einheitselement

Unter Berücksichtigung der Spannungen in drei senkrecht aufeinander stehenden Schnitt-

flächen lautet der Spannungstensor:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

bzw. 11 12 13

21 22 23

31 32 33

(Gl. IV-2)



3 Hauptspannungen und Invarianten

Die Schnittrichtungen, in denen die Normalspannungen maximal sind, heißen

Hauptrichtungen. Die zugehörigen Normalspannungen 1, 2 und 3 werden Haupt-

spannungen genannt und so nummeriert, dass 1 > 2 > 3 gilt. Die Schubspannungen sind

in diesem Fall gleich Null. Der Spannungstensor im Hauptachsensystem ist dann:

1

2

3

0 0

0 0

0 0

(Gl. IV-3)

Die maximalen Schubspannungen werden Hauptschubspannungen genannt. Sie wirken in

den Schnittflächen, deren Normale jeweils senkrecht auf einer Hauptachse und zu den

beiden anderen in einem Winkel von 45° steht.

2 31 2

3 12 2

1 23 2

(Gl. IV-4)

Grafisch kann ein dreidimensionaler Spannungszustand mit drei MOHRschen

Spannungskreisen dargestellt werden. Die Kreise beschreiben hier Schnitte, deren Normale

jeweils senkrecht zu einer der drei Hauptachsen steht.

��

�

�

1

3

2

�2

�3

�1

�max

�

Abb. IV-3 MOHRsche Spannungskreise



Die im Folgenden angegeben Größen werden Invarianten genannt. Die drei Invarianten

beschreiben den Spannungszustand in einem Punkt und sind unabhängig von der Wahl des

Koordinatensystems bzw. der Schnittrichtung:

1 ii 11 22 33I (Gl. IV-5)

12 ij ij ii jj2

2 2 212 23 31 11 22 22 33 33 11

I ( )

(Gl. IV-6)

11 12 13

3 ij 21 22 23

31 32 33

11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12

I det

(Gl. IV-7)

Die Invarianten können auch durch die Hauptspannungen ausgedrückt werden:

1 1 2 3I (Gl. IV-8)

2 1 2 2 3 3 1I ( ) (Gl. IV-9)

3 1 2 3I (Gl. IV-10)



4 Hydrostatischer Spannungszustand und Deviator

Sind die drei Normalspannungen gleich und außerdem Hauptspannungen

(1 = 2 = 3 = 0), handelt es sich um einen hydrostatischen Spannungszustand. Der

Spannungstensor ist dann:

0

0

0

0 0

0 0

0 0

(Gl. IV-11)

Die Normalspannungen haben in diesem Fall für jeden Schnitt die gleiche Größe, die

Schubspannungen sind grundsätzlich gleich Null (12 = 13 = 23 = 0).

Ein Spannungstensor lässt sich in einen hydrostatischen Teilspannungszustand infolge

einer mittleren Spannung m, den Kugeltensor, und einen Restzustand, den Deviator,

zerlegen:

11 22 33

3m

(Gl. IV-12)

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

m m

m m

m m

m

m

m

s s s

s s s

s s s

(Gl. IV-13)

Kugeltensor Deviator



Deviator

Kugeltensor

�1

�3

� � �1

23= =

�2

�

Abb. IV-4 Kugeltensor und Deviator



5 Das Prinzip der wirksamen Spannungen

Das Prinzip der wirksamen Spannungen nach TERZAGHI (1883-1963) besagt, dass für

die Festigkeit und die Formänderungen des Bodens nur die um den Porenwasserdruck

(neutrale Spannung) verminderten totalen Spannungen von Bedeutung sind. Diese

Spannungen werden wirksame oder effektive Spannungen genannt.

u (Gl. IV-14)

mit: ′ effektive Spannung [kN/m²]

totale Spannung [kN/m²]

u neutrale Spannung [kN/m²]

Der wassergesättigte Boden ist gemäß Mischungstheorie eine Materialmischung bestehend

aus fester und flüssiger Mischungskonstituente. Der Spannung in einer derartigen

Mischung ist gleich der Summe der Partialspannungen der Konstituenten. Die

Partialspannung der flüssigen Konstituente ist nach TERZAGHI gleich dem

Porenwasserdruck.

A¢

h = u/gw

(horizontale Projektionder Schnittfläche A)

gewellte Schnittfläche A

punktförmige Kornkontakte

Ki

Ki+1

Ki+2

Ki+3u

dA

F

GW

yx

z

Abb. IV-5 TERZAGHIsches Prinzip der wirksamen Spannungen



In einem Baugrund mit horizontal verlaufender Schichtung und horizontaler Oberfläche

wird durch die Kornkontakte und den Porenraum eine gewellte Schnittfläche gelegt, die

einer horizontalen Ebene möglichst nahe kommt (Abb. IV-5). Die in der Schnittfläche A

übertragene senkrechte Kraft F setzt sich aus den Kräften Ki, die durch die punktförmigen

Kornkontakte übertragen werden, und aus der Kraft U, die vom Porenwasser übertragen

wird, zusammen:

F K U (Gl. IV-15)

n

i z x yi 1

K K K K , K K 0

(Gl. IV-16)

z x y

A

U u dA U u A ', U 0, U 0 (Gl. IV-17)

z z z x yF K U K u A', F F 0

Die Summe aus dem mittleren Porenwasserdruck u in der gewellten Schnittfläche A und

der auf die Projektion der gewellten Schnittfläche A′ bezogenen Kontaktkräfte K ist:

Ku ' u

A ' (Gl. IV-18)

Die totale Spannung resultiert aus dem Eigengewicht des Bodens und dem Gewicht des

Wassers über dem betrachteten Horizont sowie aus äußeren Lasten. Die wirksame

Spannung ′ herrscht im Korngerüst in dem betrachteten Horizont.



6 Spannungen infolge Eigengewicht

Der Baugrund wird oft als horizontal geschichteter, weit ausgedehnter Körper idealisiert.

Die Spannungen infolge des Eigengewichts hängen somit nur von der senkrechten

Koordinate z ab. In dem in Abb. IV-6 dargestellten Fall besteht der ganze Erdkörper aus

einer homogenen Schicht, der Grundwasserspiegel liegt an der horizontalen

Geländeoberfläche des Erdkörpers. Es handelt sich um einen wassergesättigten Boden mit

Sr = 1. Die freigeschnittene Säule mit der Grundfläche a² besteht aus einer

Materialmischung aus fester und flüssiger Mischungskonstituente.

GOF

z

a²

=

Mischung feste Phase flüssige Phase

gr

GW

(1-n)gs n gw

(1-n)�w

(1-n)�w

sz s¢z u

+

Abb. IV-6 Senkrechte Normalspannungen infolge Eigengewicht

Die Partialwichte der festen Phase beträgt (1 - n) · s und die der flüssigen Phase (Wasser)

n · w. Für die Wichte der Materialmischung gilt:

r s w(1 n) n (Gl. IV-19)

mit: r Wichte des wassergesättigten Bodens [kN/m³]

n Porenanteil [-]

s Kornwichte [kN/m³]

w Wichte des Wassers [kN/m³]

Die totale Spannung ergibt sich aus der Forderung nach Gleichgewicht aller senkrecht am

freigeschnittenen Körper angreifenden Kräfte. Sie ist die auf die Flächeneinheit a²

bezogene Eigenlast der Materialmischung:

(Gl. IV-20)

r Wichte des wassergesättigten Bodens [kN/m³]



n Porenanteil [-]

2 2z r

z r

a z a 0

z



mit: z Totale Spannung [kN/m²]


Nach TERZAGHI ergibt sich die wirksame Spannung aus der totalen Spannung abzüglich

des Porenwasserdrucks zu:

(Gl. IV-21)

mit: ′z Wirksame Spannung [kN/m²]


u Porenwasserdruck [kN/m²]

n Porenanteil [-]



′ Wichte unter Auftrieb [kN/m³]

Der Porenwasserdruck setzt sich aus der Eigenlast des Wassers und dem Abtrieb der

Körner zusammen:

w w

w

u n z (1 n) z

z

(Gl. IV-22)

mit: u Porenwasserdruck [kN/m²]

n Porenanteil [-]


z r

s w w

s w

s w

r w

' z u

(1 n) z n z z

(1 n) z (1 n) z

(1 n) ( ) z

( ) z

' z



7 Kapillarität

Kapillarität nennt man die Gesamtheit der Effekte, die aus dem Zusammenspiel der

Grenzflächenspannungen nichtmischbarer Fluide und mindestens einer festen Phase

entstehen. Die Grenzfläche zwischen flüssiger und gasförmiger Phase stellt eine Membran

dar, die in der Lage ist, eine Oberflächenspannung TS zu übertragen. Diese

Oberflächenspannung TS ist eine Materialeigenschaft der Flüssigkeit und kann als die

Zugfestigkeit des Materials des membranartigen Flüssigkeitsspiegels aufgefasst werden.

hk

d

u = - gw hk

u = gw zw

zw

+

-g p/4)w k( d h

2

TS TS

d

a a

Abb. IV-7 Kapillare Steighöhe

Die mittlere Höhe des Spiegels im engen Kapillarrohr heißt kapillare Steighöhe hk. Sie ist

abhängig vom oberflächenspezifischen Benetzungswinkel und vom Rohrdurchmesser. Sie

ergibt sich aus der Gleichgewichtsbetrachtung der an der angehobenen Wassersäule

angreifenden Kräfte. Die senkrechte Komponente der resultierenden Kraft der

Membranspannung am Rand ist gleich der Eigenlast der angehobenen Wassersäule.

2w k S

Sk

w

d h ( d)T cos4

4Th cos

d

(Gl. IV-23)

mit: w Wichte des Wassers [kN/m³]

d Rohrdurchmesser [m]

hk kapillare Steighöhe [m]

TS Oberflächenspannung [kN/m]

a Benetzungswinkel [°]



In der Höhe des ursprünglichen, nicht kapillar gehobenen Spiegels ist der Wasserdruck

u = 0. Folglich ist der Wasserdruck unmittelbar unter dem in der Höhe hk gehobenen

Spiegels:

k w ku(h ) h (Gl. IV-24)

mit: w Wichte des Wassers [kN/m³]

hk kapillare Steighöhe [m]

In einem Kapillarrohr mit ungleichförmigem Längsschnitt (Jaminrohr) stellt sich die

passive kapillare Steighöhe hkp ein, wenn das Rohr gefüllt ist und der Wasserspiegel im

Behälter abgesenkt wird. Ist das Kapillarrohr zunächst leer, stellt sich die aktive kapillare

Steighöhe hka ein.

d1

d2

hka

hkp

Abb. IV-8 Aktive und passive kapillare Steighöhe

Im Boden wird ein ähnliches Verhalten des Wassers wie im Jaminrohr beobachtet.



8 Spannungsverteilung im Baugrund infolge Auflast

Zur Berechnung von Baugrundverformungen infolge einer zusätzlichen Auflast ist es

erforderlich, die Änderung des Spannungszustandes im Boden zu bestimmen. Im

Folgenden werden, ausgehend von der Lösung für eine Einzellast, Vorgehensweisen zur

Bestimmung der Spannungsverteilung infolge von begrenzten Flächenlasten dargestellt.

8.1 Vertikale Einzelkraft

Der Spannungsberechnung im Bodenkontinuum liegt die Annahme eines unendlichen

Halbraums zugrunde. Unter einem Halbraum wird der Raum verstanden, der durch die

Teilung des dreidimensionalen Raumes durch eine waagerechte Ebene entsteht. Die untere

Hälfte ist mit dem Bodenmaterial gefüllt.

Die Lösung nach BOUSSINESQ beruht auf der Annahme eines linear-elastischen

Materials. Das HOOKEsche Gesetz gilt ohne Einschränkungen. Dementsprechend ist eine

Superposition von Spannungsanteilen aus mehreren einwirkenden Lasten möglich.

Es wird angenommen, dass der Halbraum homogen und isotrop ist. Der Elastizitätsmodul

E und die Poissonzahl sind an jeder Stelle gleichgroß und nicht richtungsabhängig. Das

Material kann Druck- und Zugspannungen aufnehmen.

Das Eigengewicht des Bodens bleibt unberücksichtigt. Der Boden ist vor dem Aufbringen

der Belastung spannungslos.

Die Spannungsermittlung von BOUSSINESQ für die Belastung des Halbraums durch eine

vertikale Einzellast wird in Abb. IV-9 veranschaulicht. Die Lage des Punktes Q wird durch

die Polarkoordinaten R bzw. z und bestimmt.



P

r

z

Q

R

O

�

�

�

�� r

z

zr

rz

t

�

Abb. IV-9 Spannungen im Punkt Q im elastisch-isotropen Halbraum

infolge der Einzellast P

Am Bodenelement (Abb. IV-9) werden die Gleichgewichtsbedingungen in radialer und

axialer Richtung aufgestellt. In der Meridianebene werden aufgrund der Axialsymmetrie

keine Schubspannungen übertragen.

dr

dz

�z

�zr

�r

�rz

r

z

�z+

�zr+

d�

�t

�t

�rr

dr

r

�r+

(r+dr)d�

rd�

�rz+ dr��rz

�r

dr��r

�r

dz��z

�z

dz��zr

�z

�r+ dr��r

�r

Abb. IV-10 Gleichgewichtsbedingungen am Bodenelement

Aus den Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich für die Schubspannungen:

P Last r Radius (waagerechter Abstand von

der Lastachse) Winkel zwischen Radiusvektor OQ

und Lastachse z lotrechter Abstand von der

Oberfläche des Halbraumes z lotrechte Normalspannung r waagrechte radiale Normalspannung t waagrechte tangentiale

Normalspannung

rz Schubspannung in Richtung von r und z



rz zr (Gl. IV-25)

In axialer Richtung z gilt:

rzrz rz

zz z

z

r d dz dr (r dr)d dzr

r d dr dz r d dr 0z

r r 0z r

(Gl. IV-26)

In radialer Richtung r gilt:

rr r zr

zrzr t

r d dz dr (r dr)d dz r d drr

ddz r d dr 2 sin dr dz 0

z 2

(Gl. IV-27)

mit: d d

sin2 2

rr tr r 0

r z

Die Bedingungen für die geometrische Verträglichkeit der Formänderungen des

Bodenelements werden gemäß Abb. IV-11 aufgestellt.



dr

dz

d�

d�

r( )

r

d�

rd�

r()

z( )

z

r

dr�

�r

dz�

�z

�2

�1

rd�

Abb. IV-11 Deformation des Bodenelements

Die radialen, axialen und tangentialen Dehnungen sowie die Winkelverzerrung ergeben

sich zu:

r r

z z

t

(r d d ) r d

r d r

rz 1 2 r z

(Gl. IV-28)

Das HOOKEsche Gesetz verknüpft die Verzerrungen mit den Spannungen:

r r t z

1

E

t t z r

1

E

(Gl. IV-29)



z z r t

1

E

rz G

mit: Querkontraktionszahl od. POISSONsche Zahl [-]

G Schubmodul [kN/m²]

Für die Volumendehnung gilt:

v r t z (Gl. IV-30)

Der Zusammenhang zwischen Schubmodul und Elastizitätsmodul ist gegeben durch:

EG

2(1 )

(Gl. IV-31)

Die Spannungen lassen sich nun durch die Verzerrungen ausdrücken:

vr r2G

1 2

vt t2G

1 2

vz z2G

1 2

G

(Gl. IV-32)

Aus den Spannungs-Verzerrungsgleichungen ergeben sich unter Berücksichtigung der

Verträglichkeitsbedingungen die Spannungs-Verformungs-Gleichungen:

vr 2G

1r 2

vt 2G

1r 2

(Gl. IV-33)



vz 2G

1z 2

Gz r

Durch das Einsetzen der Spannungs-Verformungs-Gleichungen in die Gleichgewichts-

bedingungen ergeben sich mit dem dreidimensionalen LAPLACEschen Operator Δ für

rotationssymmetrische Probleme in Zylinderkoordinaten folgende Gleichungen:

v10

1 2 z

(Gl. IV-34)

v2

10

1 2 r r

(Gl. IV-35)

Diese Gleichungen stellen die von den Verschiebungen und innerhalb des Halbraums

zu erfüllenden Bedingungen dar. Die sich aus den Spannungs-Verzerrungsgleichungen

ergebenden Spannungen müssen die folgenden Randbedingungen erfüllen:

In der Grenzfläche des mit einer Einzellast belasteten Halbraumes (z = 0)

können mit Ausnahme des Lastangriffspunktes der Last P weder

Schubspannungen rz noch lotrechte Normalspannungen z auftreten. Der

Lastangriffspunkt ist ein singulärer Punkt. Wegen der Definition der

Einzellast muss dort z = sein.

In jedem horizontalen Schnitt (z = const) muss zur Einhaltung des

Gleichgewichtes die äußere Last P übertragen werden. Für R = müssen alle

Spannungen und Verschiebungen verschwinden.

Für die unbekannten Verschiebungen (r,z) und (r,z) infolge der Einzellast P erhält

BOUSSINESQ unter Einhaltung der Randbedingungen die nachstehenden Beziehungen:

2

3

P 1 z(1 ) 2 (1 )

2 E R R

(Gl. IV-36)

3

P r r z(1 ) (1 2 )

2 E (z R)R R

(Gl. IV-37)



2 2R r z

Die vier unbekannten Spannungen können aus den Spannungs-Verzerrungs-Gleichungen

berechnet werden:

2

r 2 3

P r z R3 (1 2 )

2 R R z R

t 2

P R z(1 2 )

2 R z R R

3

z 2 3

P z3

2 R R

2

rz 2 3

P rz3

2 R R

(Gl. IV-38)

Mit dem Winkel des Radiusvektors R gegen die Lastachse können die Gleichungen für

die Verschiebungen und Spannungen wie folgt geschrieben werden:

2P 1(1 ) cos 2(1 )

2 E R

(Gl. IV-39)

P 1 sin(1 ) sin cos (1 2 )

2 E R 1 cos

(Gl. IV-40)

2r 2

P 13 sin cos (1 2 )

2 R 1 cos

t 2

P 1(1 2 ) cos

2 R 1 cos

3z 2

3Pcos

2 R

2rz 2

3Psin cos

2 R

(Gl. IV-41)



mit: r

sinR

z

cosR

2 2 2R r z

Abb. IV-12 zeigt den Verlauf der vertikalen Spannungen z infolge einer vertikalen

Einzellast P an der Geländeoberfläche in verschiedenen Horizontalschnitten. Über die

Tiefe ändert sich lediglich der Verlauf der Spannungen im jeweils betrachteten

Horizontalschnitt, das Flächenintegral über die Spannungen in der horizontalen Ebene

bleibt jedoch wegen des Gleichgewichtes der Vertikalkräfte unverändert.



Abstand r [m] von der Lastachse

-2 -1 0 1 2

0

-0.5

-1

-1.5

-2

Tiefe z [m]

z = 2.0 m

z = 1.5 m

z = 1.0 m

z = 0.5 m

Lastachse

P

Abb. IV-12 Verlauf der vertikalen Normalspannungen z in verschiedenen

Horizontalschnitten

Die von BOUSSINESQ aufgestellten Formeln sind für die Berechnung von Spannungen

und Verformungen nicht direkt anwendbar, da die gesuchten Größen an der

Lastangriffsstelle wegen der singulären Krafteinleitung unbestimmte Werte annehmen.

Die Tatsache, dass ein Lastkörper den Boden nicht punktförmig, sondern flächenförmig

belastet, wird durch Integration berücksichtigt. Diese Form der Superposition ist zulässig,

da der Halbraum nach der Theorie von BOUSSINESQ als linear-elastisch angenommen

wird.

8.2 Kreisförmige Lastflächen

Ein mit der Spannung 0 belastetes Flächenelement dF ruft in der Tiefe z unter dem

Mittelpunkt einer kreisförmigen Lastfläche mit dem Radius a die Spannung dz hervor:

30z 2

3d (z, r 0) cos dF

2 R

(Gl. IV-42)



dF

d�dr

a

r�

r( )�

a

R

r dr

z

�

�z

�0

Abb. IV-13 Vertikalspannungen unter dem Mittelpunkt einer kreisförmigen Flächenlast

Durch Integration über die Kreisfläche ergibt sich für die Gesamtspannung z:

52

32

2 a30

z 2 20 0

02a

z

3 r(z, r 0) z dr d

2 (r z )

11

1 ( )

(Gl. IV-43)

Für die Halbraumoberfläche erhält man durch Grenzwertbildung:

z zz 0

0

(z r 0) lim (z, r 0)

(Gl. IV-44)



Die Berechnung der Spannungen und Verschiebungen für beliebige Punkte, die außerhalb

der Plattenmitte liegen (r 0), ist grundsätzlich auf dieselbe Weise möglich. Diagramme

für die Spannungsermittlung unter einigen ausgewählten Punkten innerhalb und außerhalb

kreisförmiger Lastflächen in der Tiefe z sind von LORENZ und NEUMEUER aufgestellt

worden (Abb. IV-14). Die Lage des kennzeichnenden Punktes ermittelte GRASSHOFF im

Abstand 0,845r vom Kreismittelpunkt (siehe Kapitel „Setzungen“). Die Einflusswerte ir

können dem Diagramm in Abb. IV-15 entnommen werden.

z r 0i (Gl. IV-45)

1,0 r

1,0 r

0,25 r

0,5 r

3,0 r

2,0 r

1,5 r

2,5 r

0,75 r

0,845 r

�0

12345678910

z

Kurve Nr.

Abb. IV-14 Ausgewählte Punkte innerhalb und außerhalb einer kreisförmigen Lastfläche



i =r

sz

zr

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,000,10 0,30 0,50 0,70 0,90

0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,200,02 0,06 0,10 0,14 0,18

Maßstab für die Kurven 1 bis 6

Maßstab für die Kurven 7 bis 10

123

45

6

78910

s0

i =r

sz

s0

Abb. IV-15 Einflusswerte ir zur Ermittlung der vertikalen Normalspannungen ´z unter

ausgewählten Punkten innerhalb und außerhalb kreisförmiger Lastflächen



8.3 Rechteckige Lastflächen

STEINBRENNER erhält die Spannung z in der Tiefe z unter dem Eckpunkt A einer

rechteckigen Lastfläche mit den Seiten a und b für a > b durch Integration der Gleichungen

von BOUSSINESQ für die Spannungen infolge einer Einzellast.

A

b

D

B CE F

a

r

dr�

d�

2 2 2R r z

Abb. IV-16 Rechteckige Lastfläche

2 2 2 20

z 2 2 2 2 2 2 2

b a(a b ) 2az(R z) bz a(R z )arctan

2 z (a b )(R z) z(R z) b z (a z )R

(Gl. IV-46)

z kann unter Verwendung eines Einflusswertes i berechnet werden. Der Einflusswert i

kann in Abhängigkeit von der Fundamentgeometrie und der betrachteten Tiefenlage z ab

Belastungsniveau aus Abb. IV-18 abgelesen werden.

a

b

N

�0

Abb. IV-17 Lage des Eckpunktes einer rechteckigen Lastfläche



i =sz

s0

z

b

z

b

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,250,0

2,01,5

1,5

2

2

a/b=1

a/b=1

3

3

5

5

10

10, 20, ¥

20

¥

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

22,0

24,0

26,0

28,0

30,0

32,0

34,0

36,0

38,0

40,00,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

4,0

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

i =sz

s0

Abb. IV-18 Einflusswerte i zur Ermittlung der vertikalen Normalspannungen ´z unter

dem Eckpunkt einer rechteckigen Flächenlast 0



Für die Berechnung von Vertikalspannungen an beliebigen Punkten innerhalb einer

rechteckigen Flächenlast wird diese Fläche in vier Rechtecke unterteilt, so dass der

entsprechende Punkt Eckpunkt dieser vier Rechtecke ist. Die gesuchte Spannung ergibt

sich dann aus der Addition der für die vier Rechtecke berechneten Spannungsanteile:

I II III IVz z z z z

I II III IV0 0 0 0

I II III IV0

(N)

i i i i

(i i i i )

(Gl. IV-47)

N

z

Ds’z

s0

mit: a > b

a1 a2

a3

a4

b1 b2

b3

b4

II

IV

I

III

N

Abb. IV-19 Ermittlung der vertikalen Normalspannung ´z unter dem Punkt N innerhalb

einer rechteckigen Lastfläche

Die Berechnung der Vertikalspannung in einem Punkt außerhalb der rechteckigen

Flächenlast erfolgt analog:

(ABN'D) (FBN'E) (GHN'D) (JHN'E)z 0' (N ') (i i i i ) (Gl. IV-48)



A B

D E N¢

HJ

G

b

a F

mit: a > b

Flächenlast

Abb. IV-20 Ermittlung der Vertikalspannung unter dem Punkt N´ ausserhalb einer

rechteckigen Lastfläche

In Abb. IV-21 ist die Lage des kennzeichnenden Punktes einer rechteckigen Lastfläche

nach GRASSHOFF/KANY dargestellt:

0,74 a/2

0,74 b/2C

a

b

�0

Abb. IV-21 Lage des kennzeichnenden Punktes einer rechteckigen Lastfläche

Die Berechnung der vertikalen Normalspannung unter dem kennzeichnenden Punkt kann

mit Hilfe der Einflusswerte ic nach Abb. IV-22 erfolgen.



z

b

z

b

0,0 0,0

0,9

1,8

1,0 0,1

1,0

1,9

2,0 0,2

1,1

2,0

3,0 0,3

1,2

4,0 0,4

1,3

5,0 0,5

1,4

6,0 0,6

1,5

7,0 0,7

1,6

8,0 0,8

1,7

9,0

10,0

11,0

12,0

13,0

14,0

15,0

16,0

17,0

18,0

19,0

20,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,1 0,3 0,5 0,7 0,9

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,1 0,3 0,5 0,7 0,9

1a / b=

235

10¥

11,5

a/b=11,5

23

510

¥

i =c

sz

s0

i =c

sz

s0

Abb. IV-22 Einflusswerte ic zur Ermittlung der vertikalen Normalspannungen ´z unter

dem kennzeichnenden Punkt einer rechteckigen Flächenlast 0



8.4 Horizontale Einzellast

CERUTTI erhält unter Verwendung kartesischer Koordinaten eine Lösung zur

Bestimmung der Spannungen infolge einer horizontalen Einzellast T:

Tx

y

z

R

�

�z

�xy

�x

�xz�yz�y

�

Abb. IV-23 Spannungen infolge einer waagrechten Einzellast auf der Oberfläche des

Halbraums

2

z 2 3

3T x z

2 R R

(Gl. IV-49)

3 2 2

x 2 3 2 3

T x x R x (z 3R)3 1 2 1 3

2 R R R (z R) (z R)

(Gl. IV-50)

2 2 2

y 2 3 3 3

T x y x R y (z 3R)3 1 2 1

2 R R R (z R) (z R)

(Gl. IV-51)

yz 2 3

T x y z3

2 R R

(Gl. IV-52)

2

xz 2 3

T x z3

2 R R

(Gl. IV-53)

2 2

xz 2 3 2 3

T x y y R x (z 3R)3 1 2 1

2 R R (z R) (z R)R

(Gl. IV-54)



Literatur:

[1] Boussinesq, J. (1885)

Application des Potentiels à l’Etude de l’Equilibre et du Mouvement des

Solides Elastiques, Gauthier-Villard, Paris

[2] Caquot, A., Kérisel, J. (1967)

Grundlagen der Geotechnik

[3] EVB (1993)

Empfehlungen „Verformungen des Baugrunds bei baulichen Anlagen“,

Arbeitskreis Berechnungsverfahren der Deutschen Gesellschaft für Erd- und

Grundbau e.V. · Ernst & Sohn, Berlin

[4] Kany, M. (1974)

Berechnung von Flächengründungen , Teil 1 und 2, 2. Aufl., Berlin

[5] Kollbrunner, C.F. (1946)

Fundation und Konsolidation, Band 1, Zürich

[6] Lorenz, H., Neumeuer, H. (1953)

Spannungsberechnung infolge Kreislasten unter beliebigen Punkten innerhalb

und ausserhalb der Kreisfläche, Bautechnik 30

[7] Steinbrenner, W. (1934)

Tafeln zur Setzungsberechnung, Die Strasse, Heft 1

[8] Szabó, I. (1964).

Höhere technische Mechanik, 4. Auflage, Berlin

[9] Széchy, K. (1963)

Der Grundbau, Untersuchung und Festigkeitslehre des Baugrundes, 1. Band,

2. Auflage, Wien

[10] Terzaghi, K., Jelinek, R. (1954)

Theoretische Bodenmechanik, München

Date post:	11-Sep-2019
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