Innere Beanspruchungen -...

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Fqq

N (x)

x

Q (x)M (x) M (x) Q (x)

N (x)

L - x

Innere Beanspruchungen - SchnittgrößenVorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur

Fachgebiet Bautechnologie

Tragkonstruktionen

2 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und Festigkeitslehre Innere Beanspruchungen - Schnittgrößen

Statisch bestimmte Tragwerke

Schwerpunkt, Schwerachse

Definition der SchnittgrößenNormalkraftQuerkraftBiegemomentTorsionsmoment


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreStatisch Bestimmte Tragwerke

V

Pendelstütze

V

Eingespannte Stütze


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreEingespannte Stütze

VA V=

R

AH

AV

h

w

MAHH 0 A - R = 0= ⇒∑VV 0 A V 0= ⇒ − =∑

2

A A Ah h hM 0 M R 0 M R w2 2 2

= ⇒ + ⋅ = ⇒ = − ⋅ = − ⋅∑

Gegeben:

Konstante Gleichlast w [kN/m]Vertikallast V [kN]

Höhe h [m]

Resultierende Last R = w · h

Berechnung:

Gesucht:

Auflagerkräfte in A [kN], [kNm]

HA w h= ⋅

V


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreStatisch bestimmte Tragwerke


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreStatisch bestimmte Tragwerke

H HH 0 B - C = 0= ⇒∑

H HB = C

H H B = C

BV = q·L/6

A

L

h

BH

CV

CH

BV

A

L

BH

CH = -BH = CV·L/h = q·L²/(2h)

CV = q·L/2

2 2H VA= C C+

g + s = qg + s = q


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreEinfeldträger mit Auskragung

1 Nebenträger

2 Hauptträger

V3 Pendelstütze

1

23

qHT

qNT


Tragkonstruktionen



R

BH

AL

q

LK LK

FF

BV

HH 0 B = 0= ⇒∑ VV 0 A B q L F F 0= ⇒ + − ⋅ − − =∑

B K KLM 0 A L R F (L L ) F L 02

= ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ + + ⋅ =∑

K KV

L LR L A F F F q F B2 L L 2

= + + ⋅ − ⋅ = ⋅ + =

Gegeben:

Konstante Gleichlast q [kN/m]Einzellasten F [kN]Länge L, LK [m]

Resultierende Last R = q · L

Berechnung:

Gesucht:

Auflagerkräfte in A und B [kN]


Tragkonstruktionen



HH 0 B = 0= ⇒∑ VV 0 A B q L F 0= ⇒ + − ⋅ − =∑B K

LM 0 A L R F L 02

= ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ =∑

R

BH

AL

q

LK

F

BV

K KL LR L A= F q F2 L 2 L− ⋅ = ⋅ − ⋅

K KV

L LL LB R F - A = q L F q F q F(1 )2 L 2 L

= + ⋅ + − ⋅ + = ⋅ + +

Gegeben:

Konstante Gleichlast q [kN/m]Einzellasten F [kN]Länge L, LK [m]

Resultierende Last R = q · L

Berechnung:

Gesucht:

Auflagerkräfte in A und B [kN]


Tragkonstruktionen




Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreSchwerpunkt

Lage der Resultierenden Kraft R

Flächenschwerpunkt für beliebige Querschnitte

Lage von G = G1 + G2 + GG

qR

S

G1 G2G3

Kippsicherung

G G


Tragkonstruktionen



F

a

F

a

2F

F

a

F

1,5a

2F

1,5F

a

0,5F

a

2F

Gleichgewicht Ungleichgewicht durch Geometrie (Hebelarm)

Ungleichgewicht durch Kraft


Tragkonstruktionen



x 1,25 a= ⋅

1M 0 2F x F 2,5a 0= ⇒ ⋅ − ⋅ =∑1M 0 2F x 0,5 F 2a 0= ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ =∑

F

x

F

2,5a

2F

1,5F

0,5F

2F

Lage des Auflagers Lage des Auflagers

2a

x1 1

x 0,5 a= ⋅


Tragkonstruktionen



y

z

G1

G2

G

y1y2

yS

G1 = A1 · γ

Resultierendes Drehmoment um Schwerpunkt SM = G1 · y1 + G2 · y2 = G · yS

1 1 2 2S

G y G yyG

⋅ + ⋅= 1 1 2 2 2 1 2 2

S1 2 1 2

A y A y A y A yy(A A ) A A⋅ γ ⋅ + ⋅ γ ⋅ ⋅ + ⋅

= =+ ⋅ γ +

G = G1 + G2 = (A1 + A2) ·γG2 = A2 · γ

GegebenFlächen A1, A2 [m²]Wichte γ [kN/m²]

GesuchtLage des Flächenschwerpunktes in y-Richtung

Berechnung


Tragkonstruktionen



y

z

zS

AllgemeinA1

A2

A3

A4S

yS

n

i ii 1

S n

ii 1

A yy

A

=

=

⋅=∑

∑

n

i ii 1

S n

ii 1

A zz

A

=

=

⋅=∑

∑

Physikalische Bedeutung

G

G

G G


Tragkonstruktionen



2 oder mehrSymmetrieachsen

1 Symmetrieachse

Sonderfall:keine Symmetrieachse

Seitenhalbierenden

a b

b a


Tragkonstruktionen



2 oder mehrSymmetrieachsen

1 Symmetrieachse

Sonderfall:keine Symmetrieachse


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreSchwerachse

Schwerachse

Schwerachse

Schwerpunkt

Schwerpunkt

Schwerachse


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreSchnittgrößen

…werden durch Trennen des Bauteils senkrecht zur Mittelachse freigesetzt ⇒ „Schnittgrößen“

…abstrakte und gedachte Kräfte oder Momente, die im Innern von Bauteilen wirken

AH

AV

q

N (x)

x

Q (x) M (x) N (x) Normalkraft

Q (x) Querkraft

M (x) Biegemoment

…wirken als Zug-, Druck- und Querkraft, Biege- und Torsionsmoment imFlächenschwerpunkt oder in der Schwerachse

…stehen mit den äußeren Lasten und Auflagerreaktionen im Gleichgewicht

Definition der Schnittgrößen


Tragkonstruktionen



AH

AV

L

qF

B

Querschnitt

Schwerachse yy

z

z

x

F

B

q

AH

AV

q

N (x)

x

Q (x)M (x) M (x) Q (x)

N (x)

L - x

Linkes (positives) Schnittufer Rechtes (negatives) Schnittufer


Tragkonstruktionen



AH

AV

q

N (x)

x

AH

AV

q

N (x)

x

Zugkraft (+)

Druckkraft (-)

F

B

q

N (x)

L - x

F

B

q

N (x)

L - x


-- N(xN(x)) -- N(xN(x))


Tragkonstruktionen



AH

AV

q

x

M (x)

AH

AV

q

x

Q (x)

Querkraft (+)

Biegemoment (+)

F

B

qM (x)

L - x

F

B

qQ (x)

L - x



Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreNormalkraft

5 kN 4 kN 8 kN 7 kN

5 kN 5 kN

5 kN 1 kN4 kN

7 kN7 kN

Zug

Zug

Druck


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreNormalkraft

FDach

FDecke

FDecke

FDecke

NStütze

1 1

FDach

FDecke

FDecke

1 1

FDecke

Normalkraft in der Stütze im Schnitt 1 - 1

ΣV = 0 ⇒ 3 · FDecke + FDach – NStütze = 0

NStütze = 3 · FDecke + FDach

Druckkraft, zeigt auf Schnittfläche


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreQuerkraft

P

P

P


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreQuerkraft

Q (li)Q (re)

a

a


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreBiegemoment

My y

yz

z

My

My

My

Unbelastet und unverformt

Belastet mit My, Drehung um y-Achse und verformt


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreBiegemoment

Unbelastet und unverformt

y

y

Vertikale Linien bleiben gerade

horizontale Linien werden gekrümmt

Belastet mit My, Drehung um y-Achse und verformt

My

My

My

My

z

z


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreTorsionsmoment

MT

xUnbelastet und unverformt

Belastet mit MT, Drehung um x-Achse und verformt

x

MT

MTx

x


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreTorsionsmoment

Akademie der Bildenden Künste München

Coop Himmelb(l)au

Foto Florian Weininger

Date post:	06-Aug-2019
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