1:0 für Portugal? - Gruppenarbeit zur Modellierung mit quadratischen Funktionen
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1. Längerfristige Unterrichtszusammenhänge
1.1 Curriculare Legitimation der längerfristigen Unterrichtszusammenhänge
Die vorliegende Unterrichtssequenz Modellieren und Problemlösen mit Funktionen und Gleichun-
gen wird durch die Vorgaben im Kernlehrplan1 legitimiert. In diesem sind im Bereich Problemlösen
das Kennenlernen verschiedener Problemlösestrategien und „Bewerten von Lösungswegen“2, im
Bereich Modellieren das Übersetzen mathematischer Modelle in Realsituationen und umgekehrt
sowie der Vergleich und die Bewertung von Modellen postuliert.3 Diese Kompetenzen können an
den Inhalten „einfache quadratische Gleichungen“ und „quadratische Funktionen“4 entwickelt wer-
den. Auch der „Darstellungswechsel“5 bei quadratischen Funktionen ist ein vorgeschriebener Inhalt.
Das schulinterne Curriculum ist an den Inhalten des eingesetzten Buches Lambacher Schweizer 96
orientiert und fordert für das erste Quartal der Jgst. 9 die Behandlung quadratischer Funktionen und
Gleichungen mit Schwerpunkten in den Bereichen Modellierung und „Lösen inner- und außerma-
thematischer Probleme“7.
1.2 Lernausgangslage
In der Klasse mit 16 Schülerinnen und 12 Schülern, die ich im Rahmen meines Ausbildungsunter-
richts seit den Sommerferien unterrichte, herrscht ein sehr angenehmes Lernklima. Die Atmosphä-
re ist freundlich und von Humor geprägt, aber jederzeit respektvoll. Allein hierdurch ist die sonstige
Beteiligung sehr gut, wobei auch die schwachen SuS durch den vorherrschenden konstruktiven
Umgang mit Fehlern8 sich immer mehr an den Unterrichtsgesprächen beteiligen.
Hinsichtlich der fachlichen Fähigkeiten weist die Klasse eine gewisse Heterogenität auf. Ein gro-
ßer Teil der SuS ist sehr interessiert und leistungsstark, besonders im Bereich Argumentie-
ren/Kommunizieren. Andere SuS weisen weniger ausgeprägte Kompetenzen auf. Jedoch werden
diese Unterschiede durch das sehr gute soziale Gefüge der Klasse zum Teil ausgeglichen, indem
sich die SuS wie selbstverständlich gegenseitig bei Lernprozessen unterstützen.
Diese Synergieeffekte werden innerhalb des Mathematikunterrichts zur individuellen Förderung
ausgenutzt. Hierzu werden häufig kooperative Lernformen (z.B. Think-Pair-Share, Lerntempodu-
ett) angewandt, in denen starke SuS durch das Lehren lernen und zu einem tieferen Verständnis
gelangen können, während die Leistungsschwächeren von der Unterstützung ihrer Mitschüler profi-
1 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Hrsg.) (2007). Im Folgenden zitiert als KLP. 2 ebd., S.33. 3 vgl. ebd. 4 ebd., S.34. 5 ebd. 6 Lambacher Schweizer (2012). 7 Portfolio der Fachschaft Mathematik. Homburgisches Gymnasium Nümbrecht (2012), S.20. 8 vgl. Barzel/Holzäpfel/Leuders/Streit (2012), S.144f.
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tieren. Gruppenarbeit in verteilten Rollen kennen die SuS bereits aus der vorherigen Unterrichtsse-
quenz. Darüber hinaus sind sie mit Mitteln zur Binnendifferenzierung vertraut. Auch in der vor-
liegenden Sequenz werden häufig weiterführende Aufgaben für die starken SuS zur Verfügung ge-
stellt, während den Schwachen individuelle Hilfen (z.B. Hilfekarten) angeboten werden.
Darüber hinaus wurden die SuS im Laufe des Schuljahres daran gewöhnt, mit Advance Organizern,
Kann-Listen und Diagnosebögen Lernprozesse selbst zu organisieren, was immer besser gelingt
und bei einigen SuS zur Vernetzung von Wissen und Leistungsverbesserungen beiträgt.
Der Umgang mit digitalen Medien wird im Laufe der Unterrichtssequenz geschult. Bei Internetre-
cherchen greifen die SuS auf Alltagswissen zurück. Der Einsatz von GeoGebra zur Visualisierung
und Kontrolle von Ergebnissen ist neu und wird daher zunächst vereinzelt durch die LP angeleitet.
Inhaltlich verfügen die SuS über Kenntnisse zu den Eigenschaften linearer und quadratischer Funk-
tionen. Die SuS wechseln relativ sicher zwischen numerischer, grafischer und algebraischer Dar-
stellungsweise und können Funktionsgleichungen aus gegebenen Punkten mithilfe linearer Glei-
chungssysteme mit zwei Unbekannten aufstellen. Anhand von linearen Funktionen haben die SuS
auch schon einfache Modellierungen durchgeführt. Darüber hinaus können die SuS quadratische
Gleichungen mit der quadratischen Ergänzung und der pq-Formel lösen.
1.3 Übersicht über die längerfristigen Unterrichtszusammenhänge
Thema: Modellieren und Problemlösen mit Funktionen und Gleichungen
Stunde Thema Hauptintention (Zentrale Kompetenz) 1. Stunde Wie viele Punkte brauchen wir? - Wieder-
holende Übungen zum Aufstellen linearer und quadratischer Funktionsgleichungen
Die SuS stellen aus vorgegebenen Punkten Funktionsglei-chungen linearer und quadratischer Funktionen auf. (Funk-tionen, Algebra)
2. Stunde 1:0 für Portugal? - Eine arbeitsteilige Grup-penarbeit zur Modellierung mit quadrati-schen Funktionen
Die SuS stellen ausgehend von der außermathematischen Situation eine quadratische Funktionsgleichung auf, beant-worten in der Gruppenarbeit die Frage, ob der Ball ins Tor geht, und bewerten die Lösungen vor dem Hintergrund der Realität. (Modellierungskompetenz)
3./4. Stunde
Modellierungsaufgaben aus dem Alltag der Schülerinnen und Schüler - mit GeoGebra untersucht
Die SuS lösen selbst formulierte Modellierungsaufgaben mithilfe von Schiebereglern in GeoGebra und machen Aus-sagen zur Bedeutung der Parameter quadratischer Funktio-nen. (Modellierungskompetenz, Werkzeugkompetenz)
5. Stunde Alles nach Plan - Lerntempoduett zur Erar-beitung einer allgemeinen Problemlösestra-tegie anhand einer Optimierungsaufgabe
Die SuS lösen die Optimierungsaufgabe und entwickeln hieraus gemeinsam eine allgemeine Vorgehensweise zum Lösen (außer)mathematischer Probleme. (Problemlösekom-petenz)
6. Stunde Schalke 04 vor der Pleite? - Eine arbeitstei-lige Gruppenarbeit zum Problemlösen mit linearen und quadratischen Gleichungen
Die SuS stellen ausgehend von (fiktiven) Verträgen und Zeitungsartikeln lineare und quadratische Gleichungen auf und berechnen hiermit den Zeitpunkt, an dem Schalke 04 schuldenfrei sein wird. (Problemlösekompetenz, Algebra)
7. Stunde Ökologische Milchkuhhaltung - Niveaudif-ferenzierte Übungen zum Lösen von Opti-mierungsproblemen
Die SuS schätzen ihre Lernbedürfnisse richtig ein und lösen jeweils angepasste Optimierungsaufgaben mithilfe quadra-tischer Funktionen. (Problemlösekompetenz, Funktionen)
8. Stunde Auswertung der Kann-Liste und Diagnose-test
Die SuS ermitteln anhand der Kann-Liste ihren eigenen Übungsbedarf und lösen eigenständig gewählte Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klassenarbeit. (Selbstkompetenz)
9. Stunde Klassenarbeit ---
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1.4 Didaktischer Kommentar zu den längerfristigen Unterrichtszusammenhängen
Die vorliegende Unterrichtssequenz stellt den Abschluss der übergeordneten Unterrichtsreihe zum
Thema „Lineare und Quadratische Funktionen und Gleichungen“ dar. Sie baut dabei die zuvor
hauptsächlich in innermathematischen Zusammenhängen erworbenen Kompetenzen in den Berei-
chen Funktionen und Algebra in komplexen Sachzusammenhängen aus. Zuvor dienten Anwen-
dungskontexte in erster Linie der isolierten Einübung bestimmter algebraischer Verfahren. Eine
zentrale Leitidee der vorliegenden Sequenz ist daher die Anwendungsorientierung. Die SuS wer-
den befähigt „die Rolle zu erkennen, die Mathematik in der Welt spielt“ und „mathematisches Wis-
sen (…) zur Bearbeitung vielfältiger kontextbezogener Probleme einzusetzen“9. Das Erkunden der
Sachkontexte gewinnt seine Gegenwarts- und Zukunftsbedeutung aus der Universalität der
zugrundeliegenden Idee des funktionalen Zusammenhangs: Die Beschreibung des Zusammen-
hangs verschiedener Größen ist Grundlage vieler Methoden der Natur-, Sozial- und Humanwissen-
schaften. Somit kann einerseits im Sinne der Wissenschaftspropädeutik an diesen Inhalten ein
Grundstein für die Arbeitsweisen in der gymnasialen Oberstufe und im späteren Berufsleben gelegt
werden.10 Andererseits wird die Sinnstiftung in Anwendungskontexten durch Anknüpfung an die
Lebenswelt der SuS verstärkt.11 Das mehrfach verwendete Thema „Fußball“ spiegelt die Alltagsin-
teressen der SuS wider und erhöht die Motivation durch emotionale Beteiligung.12 Diese wird wei-
ter erhöht, indem die SuS Sachkontexte in ihrem Alltag suchen und Aufgaben hierzu erfinden. Das
Thema „Ökologische Landwirtschaft“ am Ende der Sequenz ist aktuell von hohem medialen Inte-
resse und seine Behandlung dient der Aufklärung und Förderung der Mündigkeit der SuS.
Die meisten Aufgaben sind nicht dem Lehrbuch entnommen. Es kann aber von den SuS innerhalb
der vorliegenden Sequenz als Nachschlagewerk für bestimmte Verfahren benutzt werden und dient
vor der Klassenarbeit als eine mögliche Quelle für individuelle Übungsaufgaben.
Damit die beschriebenen Effekte auftreten, ist bei der Erarbeitung der zentralen prozessbezogenen
Kompetenzen die Authentizität der Aufgaben ein entscheidender Faktor. „Authentisches Model-
lieren“ 13 bildet den Schwerpunkt der ersten Stunden der Sequenz. Der Modellierungskreislauf
verläuft ausgehend von einer problemhaltigen Realsituation - in der vorliegenden Unterrichtsreihe
sind das authentische Steckbrief- und Extremwertaufgaben - über die vereinfachende Mathematisie-
rung und die Lösung des Problems bis zur kritischen Hinterfragung der Lösung und eventuellen
Anpassung des Modells, womit der Prozess wieder von vorne beginnt.14 Die einzelnen Schritte des
9 KLP (2007), S.11. 10 vgl. ebd., S.13. 11 vgl. Leuders/Hußmann/Barzel/Prediger, in: PM 37 (2011), S.3f. 12 vgl. Helmke (2012), S.223f. Das Thema Fußball spricht in dieser Klasse auch die sportbegeisterten Mädchen an. 13 Büchter/Leuders (2011), S.76f. 14 vgl. ebd.
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Kreislaufs sollen von den SuS anhand von realen Forschungsmaterialien nachvollzogen werden: Sie
stellen Messungen an und schätzen Größen, um Funktionen zur Beschreibung aufstellen zu können.
Damit wird dem operativen Prinzip entsprochen.15 Zur Vertiefung soll den SuS durch Meta-
Reflexion nachhaltig vor Augen geführt werden, dass sie die Modelle „kritisch (…) hinterfragen
und (…) bewerten“16 müssen. Hierdurch wird ein weiterer Beitrag zur Erziehung der SuS geleistet.
Direkt hieran knüpft der zweite Schwerpunkt an: „Authentisches Problemlösen“ 17. Hierbei gilt es,
die zuvor erworbenen Kompetenzen an komplexen und auf den ersten Blick nicht mit „Standardver-
fahren“ lösbaren außermathematischen Aufgaben zu festigen und auszubauen. Die Fragestellungen
sollen nach dem Prinzip des aktiven Lernens18 die SuS zur konstruktiven Erarbeitung der Lö-
sung anregen. Es geht dabei vor allem um das Auffinden durch Variablen beschreibbarer Größen in
bestimmten Sachkontexten und die zielgerichtete Bearbeitung der Probleme mithilfe von linearen
und quadratischen Funktionen und Gleichungen. Die so vertieften Einsichten in Problemlösestrate-
gien werden Grundlagen für komplexe Aufgaben in folgenden Unterrichtsreihen sein.19
Neben der ständigen spiralcurricularen Verzahnung von Algebra (LGS, quadratische Gleichun-
gen) und Funktionen (lineare und quadratische Funktionen) wird in der vorliegenden Sequenz be-
sonders durch die Bearbeitung von Optimierungsaufgaben ein Beziehungsnetz aus Inhalten der
Bereiche Geometrie, Algebra und Analysis hergestellt.20
Den methodischen Schwerpunkt der Sequenz bilden Elemente des Selbstorganisierten Lernens.
Mit einem Advance Organizer wird eine „Zielorientierung“21 hergestellt. Dieser wird sowohl für
einen Gesamtüberblick am Anfang und am Ende der Sequenz als auch für die Einordnung der je-
weiligen Inhalte in einzelnen Unterrichtseinheiten benutzt. So wird auf Seiten der SuS früh eine Art
„Experten-Struktur“22 geschaffen, welche die Verankerung von Lerninhalten vereinfacht. Die zu
erreichenden Kompetenzen sind zudem auf einer Kann-Liste festgehalten.23 Die Werkzeuge des
selbstorganisierten Lernens dienen neben der Steuerung von Lernprozessen durch die Eigenverant-
wortung der SuS der individuellen Förderung. Am Ende der Unterrichtsreihe gibt es auf die indi-
viduellen Lernfortschritte abgestimmte niveaudifferenzierte Übungen.24 Vor der Klassenarbeit er-
folgt zudem ein Diagnosetest25 zur Feststellung weiteren Übungsbedarfs.
15 vgl. Wittmann (1981), S.79. 16 Henn, in: mathematiklehren 113 (2002), S.4. 17 Büchter/Leuders (2011), S.78ff. 18 vgl. Wittmann (1981), S.77. 19 Im Anschluss an die aktuelle Sequenz wird „Ähnlichkeit“ und hiernach die Satzgruppe des Pythagoras behandelt. 20 vgl. Wagner/Wörn, in: mathematiklehren 173 (2012), S.17ff. 21 Herold/Herold (2011), S.105. 22 Wahl (2006), S.139ff. 23 vgl. Herold/Herold (2011), S.112ff. 24 vgl. Bruder/Leuders/Büchter (2008), S.37ff. 25 Der Test prüft zugleich die Kompetenzen der Kann-Liste der vorhergehenden Unterrichtssequenz ab.
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Innerhalb der anderen Stunden geschieht individuelle Förderung und Forderung durch kooperative
Lernformen . In arbeitsteiligen Gruppenarbeiten werden Synergieeffekte genutzt, in einem Lern-
tempoduett können sich v.a. die stärkeren SuS in leistungshomogenen Paaren zudem besonders aus-
zeichnen. Die Einheiten mit kooperativen Lernformen bieten zudem selbstdifferenzierende Auf-
gaben, bei denen jedes Klassenmitglied die Möglichkeit hat, Lösungen zu produzieren und so Er-
folge zu erleben.26
Der Kompetenzaufbau innerhalb der Sequenz erfolgt stufenweise. Zunächst vertiefen die SuS
ihre Kompetenzen im Bereich Funktionen und Algebra in individuellen Übungen zum Aufstellen
von linearen und quadratischen Funktionsgleichungen. Diese werden im Folgenden „werkzeughaft“
eingesetzt. Anschließend wird der Modellierungskreislauf in einer Gruppenarbeit in verteilten
Rollen durchlaufen. Dies geschieht in der vorliegenden Stunde. Hierfür wird eine relativ komplexe
Problemaufgabe gewählt. Ein Schwerpunkt liegt auf den zentralen Schritten des mathematischen
Modellierens: Der Modellbildung mithilfe idealisierender Annahmen, der abschließenden Überprü-
fung des Modells und dem Vergleich verschiedener Lösungen im Anwendungskontext. Anschlie-
ßend werden die Modellierungen anhand eigens formulierter Aufgaben weiter vertieft und zugleich
die Werkzeugkompetenz erweitert, indem die Funktionen mit GeoGebra modelliert werden. Dabei
wird die sinnvolle Wahl des Koordinatensystems thematisiert und die Auswirkungen der Änderung
der einzelnen Parameter quadratischer Funktionen werden durch die Verwendung von Schiebereg-
lern systematisch untersucht. Die Problemlösekompetenz, welche hierbei zunächst implizit erwei-
tert wird, steht in der zweiten Hälfte der Sequenz im Zentrum. Auch hier werden durch kooperative
Lernformen neben den eigentlichen Problemlösungen auch Meta-Reflexionen angestoßen. Ab-
schließend wird das Problemlösen durch niveaudifferenzierte Übungen weiter ausgebaut.
Die Überprüfung des Kompetenzzuwachses findet einerseits mittels einer Klassenarbeit am Ende
der Unterrichtssequenz statt. In dieser werden die prozessbezogenen Kompetenzen der vorliegenden
Sequenz und darüber hinaus sämtliche grundlegenden Kenntnisse zu linearen und quadratischen
Funktionen und Gleichungen der übergeordneten Unterrichtsreihe überprüft. Während des Verlaufs
der Unterrichtssequenz ist dabei zusätzlich eine mehrmalige Selbstevaluation durch die SuS anhand
der Kann-Liste vorgesehen. Die Ergebnisse dieser Reflexion werden am Ende der Sequenz für die
individuelle Vorbereitung der Klassenarbeit genutzt.27
26 vgl. Bruder/Leuders/Büchter (2008), S.42ff. 27 Zu beiden Sequenzen der übergeordneten Unterrichtsreihe gibt es jeweils eine Kann-Liste, die am Ende der Reihe beide zur Bestimmung des individuellen Übungsbedarfs dienen, da auch das Übungsmaterial beide Sequenzen abdeckt.
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2. Planung der Stunde
2.1 Hauptintention
Die SuS erweitern ihre Modellierungskompetenz, indem sie ausgehend von der außermathemati-
schen Situation eine quadratische Funktionsgleichung aufstellen, in der Gruppenarbeit die Frage, ob
der Ball ins Tor geht, beantworten und die Lösungen vor dem Hintergrund der Realität bewerten.
2.2 Teilziele als Erweiterung der Kernkompetenzen
Die SuS erweitern ihre Argumentations- und Kommunikationskompetenz, indem sie…
…ausgehend vom Zeitungsartikel außermathematische Zusammenhänge mit mathematischen Fach-
begriffen korrekt beschreiben.
…ihre Ergebnisse präsentieren und Unterschiede sowie Gemeinsamkeiten bewerten.
Die SuS erweitern ihre Problemlösekompetenz, indem sie…
…ausgehend von der außermathematischen Situation ein sukzessives Vorgehen zur Lösungsfin-
dung formulieren.
Die SuS erweitern ihre Modellierungskompetenz, indem sie…
…die Flugkurve des Balls als Graph einer quadratischen Funktion darstellen.
…einzelne Positionen des Balls mit Punkten eines Koordinatensystems identifizieren und deren
Werte mithilfe des Bildes und des Zeitungsartikels ermitteln.
…bestimmte (vereinfachende) Annahmen für das gewählte Modell machen.
…ihre Ergebnisse vergleichen und deren Genauigkeit kritisch beurteilen.
Die SuS erweitern ihre Werkzeugkompetenz, indem sie…
…wesentliche Informationen für die Modellierung im Internet recherchieren.
…Plakate und GeoGebra benutzen, um ihre Lösung zu präsentieren.
Die SuS erweitern ihre Sozialkompetenz, indem sie…
…in der Gruppe ihre jeweiligen Rollen einnehmen und so konstruktiv zusammenarbeiten.
Die SuS erweitern ihre Kompetenz im Bereich Funktionen, indem sie…
…die Gleichung einer quadratischen Funktion zu einer außermathematischen Situation aufstellen
und durch Einsetzen in die quadratische Funktionsgleichung die Problemfrage beantworten.
Die SuS vertiefen ihre Kompetenz im Bereich Algebra, indem sie…
…ein lineares Gleichungssystem zum Aufstellen der Funktionsgleichung benutzen.
2.3 Begründung didaktischer Entscheidungen
Zentraler Gegenstand der vorliegenden Stunde ist das Aufstellen einer quadratischen Modellfunk-
tion zur Beantwortung der Problemfrage, ob ein geschossener Fußball im Tor landet. Es steht die
prozessbezogene Kompetenz des Modellierens im Vordergrund. Der Forderung nach mathemati-
1:0 für Portugal? - Gruppenarbeit zur Modellierung mit quadratischen Funktionen
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scher Grundbildung28 wird hier also mit dem Schwerpunkt auf „die Kompetenz des problemlö-
senden Arbeitens in (…) außermathematischen Kontexten“29 entsprochen. Dies ist für die SuS die
erste echte Modellierung im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen. So werden sie auf spä-
tere Aufgaben zu Wurf- und Sprungbewegungen, Flächeninhalten usw. vorbereitet.
Die Aufgabenstellung dient der Motivation und der Hinführung zur Arbeit in Kontexten. Die realis-
tische offene Fragestellung30 wird dem Sachzusammenhang gerecht und vernetzt wichtige Inhalte
der Bereiche Algebra und Funktionen. Die Arbeitsweisen sind typisch für das Modellieren.31
Den SuS wird zu Beginn der Stunde ein Zeitungsartikel vorgestellt, der zerrissen ist. Es gilt nun den
Inhalt zu rekonstruieren. Hierzu dient das beigefügte (gezeichnete) Bild. Auf ihm ist eine Moment-
aufnahme eines geschossenen Balls zu sehen. Die Notwendigkeit der Modellierung der Flugkurve
des Balls soll so deutlich gemacht werden. Die Beschäftigung mit dem gegebenen Problem aus dem
Fußball ist thematisch an den Interessen der SuS orientiert.32
Zuerst müssen vereinfachende Modellannahmen gemacht werden, welche die Realsituation zu-
nächst in ein Realmodell und anschließend in ein mathematisches Modell überführen.33 Dies dürfte
einigen SuS schwerfallen. Deshalb werden anhand zweier Erschließungsfragen in Einzelarbeit zu-
nächst irrelevante Umwelteinflüsse (z.B. Wind, Reibung) identifiziert und ein passendes mathema-
tisches Modell (quadratische Funktion zur Beschreibung der Flugkurve, Betrachtung des Balls als
Punkt in einem festzulegenden Koordinatensystem34) formuliert und anschließend verglichen.
Die eigentliche Mathematisierung wird in der Gruppenarbeit vollzogen: Im Text werden einige Ent-
fernungsangaben gemacht. Weitere Größen ergeben sich aus der Größe eines abgebildeten Spielers,
die im Internet recherchiert werden muss, und dem Radius eines Fußballs, der an echten Fußbällen
nachgemessen werden kann. Die Position des Balls auf dem Bild muss zudem von den SuS ge-
schätzt werden. Die SuS müssen zur Modellierung nun ein Koordinatensystem unter das Bild legen
und von der allgemeinen Form einer quadratischen Funktionsgleichung ausgehen. Die so erfolgende
Einbeziehung aller drei Darstellungsebenen35 (wohl besonders der operative Umgang mit den kon-
kreten Gegenständen) bietet schwächeren SuS viele mögliche Zugangsweisen zur Problematik.
Dann werden der y-Achsenabschnitt und zwei weitere Punkte aus den ermittelten Entfernungen und
Größen bestimmt. Aus diesen ergibt sich ein lineares Gleichungssystem (LGS), dessen Lösung die
Parameter der Funktionsgleichung liefert. Anhand der fertigen Funktionsgleichung kann dann durch 28 vgl. KLP (2007), S.11. Zu den drei Grunderfahrungen nach Winter vgl. auch Henn, in mathematiklehren 113, S.4. 29 KLP (2007), S.11. 30 Dies entspricht der Forderung nach einer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur. vgl. Büchter/Leuders (2011), S.88. 31 vgl. Siller, in: mathematiklehren 173 (2012), S.47f. 32 vgl. Barzel/Holzäpfel/Leuders/Streit (2012), S.82f.: Der motivierende Einstieg. 33 vgl. Henn, in: mathematiklehren 113 (2002), S.5. 34 Es wird der Mittelpunkt des Balls betrachtet und hierauf basierend ein Koordinatensystem gemeinsam festgelegt, um den Lösungsvergleich zu vereinfachen. 35 Nach Bruner: enaktiv - ikonisch - symbolisch.
1:0 für Portugal? - Gruppenarbeit zur Modellierung mit quadratischen Funktionen
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Einsetzen der angegebenen Torentfernung ermittelt werden, ob der Ball unterhalb, oberhalb oder
genau in Höhe der Querlatte am Tor ankommt. Nachdem die Koordinaten der wichtigen Punkte
ermittelt wurden, sollte das eigentliche Aufstellen der Funktionsgleichung und die Problemlösung
aufgrund der Vorstunde kein größeres Problem darstellen. Rechenfehler beim Lösen des LGS kön-
nen durch die Vorgabe der jeweils korrekten Funktion durch die LP innerhalb der Gruppen im Sin-
ne des selbstregulierten Lernens verbessert werden. Eine Verbesserung im Plenum stellt wegen der
eventuell verschiedenen gewählten Punkte keinen didaktischen Mehrwert für die anderen SuS dar.
Die Erarbeitungsphase folgt dem Ansatz des forschend-entdeckenden Lernens, welches hier „ver-
bunden mit der Lösung eines realen Problems“36 auftritt. Die Verfahren des Messens, Schätzens
und der Recherche genauer Werte verweisen auf den didaktischen Schwerpunkt der Stunde: Ei-
genständige Problemlösung auf der Grundlage der Modellierung. Aus der speziellen Lösung ergibt
sich induktiv ausgehend von der Realsituation „ein allgemein anwendbares Lösungsverfahren“.37
Die Validierung der Ergebnisse besitzt Transfercharakter und stellt die letzte Schwierigkeit dar.
Ihre Erarbeitung ist von größerer Wichtigkeit als die Nennung der Ergebnisse selbst. Daher kann
bei Verständnisproblemen die Präsentation verkürzt und der vertiefenden Sicherung im Unterrichts-
gespräch mehr Raum gegeben werden. Hierzu können die einzelnen Ergebnisse vor dem Hinter-
grund der Vorgehensweisen der Gruppen verglichen werden. So wird der selbstdifferenzierende
Charakter der Aufgabe weiter genutzt: Bereits kleine Abweichungen bei den Modellannahmen
oder bei der Bestimmung der Größen können zu sehr verschiedenen Ergebnissen führen. Die Ana-
lyse dieser Unterschiede anhand einzelner Beispiele führt zu einem kognitiven Konflikt , durch
dessen Lösung die Abhängigkeit der Modellfunktion von der Genauigkeit der einzelnen Parameter
erkennbar wird. Wenn sich derartige Abweichungen nicht innerhalb der Lösungen der SuS finden,
kann die LP zwei alternative Lösungswege, welche unterschiedliche Ergebnisse liefern, als Gedan-
kenanstoß verwenden. Hieran anschließend kann und muss die Genauigkeit der Modellierung vor
dem Hintergrund der anfänglichen Modellannahmen hinterfragt werden. So erkennen die SuS, dass
der Kreislauf hier nicht abgeschlossen ist, ein Vergleich der Ergebnisse notwendig ist und mathe-
matische Modelle unter Umständen verbessert werden müssen.38
Eine mögliche sachliche Alternative wäre ein deduktives Vorgehen bei der Modellierung. Alle
Schritte des Kreislaufs könnten vorgegeben und dann anhand der Aufgabe durchlaufen und vertieft
werden. Dies würde die Zieltransparenz erhöhen und auch schwächere SuS sicher zu guten Ergeb-
nissen führen, allerdings würde die Nachhaltigkeit des Lernzuwachses durch die Abweichung vom
36 Barzel/Holzäpfel/Leuders/Streit (2011), S.41. 37 ebd., S.40. Die erweiterten Kompetenzen dienen als Grundlage der weiteren Übungen im Verlauf der Sequenz. 38 vgl. Büchter/Leuders (2011), S.76f.
1:0 für Portugal? - Gruppenarbeit zur Modellierung mit quadratischen Funktionen
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induktiven Vorgehen gefährdet. Außerdem wirken sich gerade die für die SuS unerwarteten Abwei-
chungen innerhalb der Ergebnisse positiv auf das Lernen aus.
Damit das Schätzen und Messen der Werte sowie das Aufstellen der Funktionsgleichung mittels
LGS nicht entfallen, wird zudem von einer Modellierung mithilfe von Schiebereglern in GeoGebra
abgesehen. Auch die bislang geringen Erfahrungen der SuS mit der Software sprechen gegen dieses
Vorgehen. Diese Möglichkeit den Modellierungsvorgang schnell abzuschließen und die Bedeutung
der einzelnen Koeffizienten zu entdecken wird dann in den Folgestunden zur Vertiefung genutzt.
2.4 Begründung methodischer Entscheidungen
Die Stunde ist nach dem Sandwich-Prinzip aufgebaut. So erhalten die SuS Gelegenheit, sich aktiv
mit dem Lernstoff auseinanderzusetzen, wobei ihnen gleichzeitig „thematische und lernstrategische
Orientierungen angeboten werden“.39 Der Stundeneinstieg mit der Agenda schafft Transparenz.40
Die Hinführung mit dem zerrissenen Zeitungsartikel und dem Bild dient der Schüleraktivierung,
indem die LP die SuS als Helfer zur Problemlösung heranzieht und diesen somit „im mathemati-
schen Kontext Beratungs- und Entscheidungskompetenz zugetraut wird.“41
Die Erarbeitungsphase erfolgt nach dem „Ich-Du-Wir-Prinzip “ 42, wobei die hierin intendierte
Partnerarbeit durch eine Gruppenarbeit ersetzt wird. Es ergibt sich die Methode Think-Square-
Share: Zunächst wird eine individuelle Aktivierung jedes Schülers mittels der Erschließungsfragen
gefördert.43 So haben alle die Aufgabenstellung durchdacht. Die Ergebnisse werden in der Zwi-
schensicherung an der Tafel festgehalten. So können die Ansätze systematisiert werden. Die LP
erhält im Sinne „eines gemäßigten Konstruktivismus“ 44 die Möglichkeit, letzte steuernde Impulse
für die folgende Bearbeitung der komplexen Aufgabe zu geben.
Beim Problemlöseprozess innerhalb der Gruppenarbeit wird bei der Verständigung über das Vorge-
hen das Argumentieren/Kommunizieren gefördert. Innerhalb der Kleingruppen werden Rollenkar-
ten eingesetzt, um jedem Mitglied eine aktive Partizipation am Arbeitsprozess zu ermöglichen.45
Die Gefahr, dass sich jeder nur auf seine Aufgabe beschränkt46, besteht nicht, da die Rollen keine
inhaltliche Differenzierung bedeuten und die SuS sich gegenseitig bei ihren Aufgaben unterstützen.
Die SuS können an sämtlichen Materialien und den Laptops während der Erarbeitungsphase zur
Lösung des Problems forschen. Zudem wird die Visualisierung auf ikonischer Ebene durch das
Bild und durch den Einsatz von GeoGebra ermöglicht und somit vielfältige Zugänge geschaffen. 39 Wahl (2006), S.103. 40 vgl. ebd., S.121ff. 41 Bruder/Leuders/Büchter (2008), S.34. 42 Barzel/Büchter/Leuders (2011), S.118. 43 vgl. Brüning/Saum (2006), S.16. 44 Helmke (2012), S.49. Hervorhebung durch den Verfasser. 45 vgl. Mattes (2011), S.75. 46 vgl. Brüning/Saum (2009), S.148.
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Es gibt feste Arbeitsgruppen, was die Effizienz erhöht, wobei die Rollenvergabe in dieser Stunde
unter dem Gesichtspunkt der individuellen Förderung durch die LP erfolgt. Starke SuS werden als
„Spielführer“ eingesetzt, während schwächere SuS sich gezielt mit einzelnen Aspekten der Erarbei-
tung auseinandersetzen.47 Zur weiteren Binnendifferenzierung können schnelle Gruppen durch
Zusatzaufgaben bereits dazu angeleitet werden, anhand von Leitfragen die Validierung der Ergeb-
nisse nachzuvollziehen und zu reflektieren, während auch langsameren Gruppen durch die Hilfe-
karten eine Lösungsfindung in der vorgegebenen Zeit ermöglicht wird.
Die Präsentation wird mit Plakaten vorgenommen. So wird die Sicherung der Rechenergebnisse in
Form konkreter Arbeitsprodukte in die Hände der SuS gelegt.48 Gegebenenfalls wird in einem Mu-
seumsgang die Würdigung aller Ergebnisse ohne unnötige Dopplungen ermöglicht. Mindestens
zwei Gruppen (mit möglichst unterschiedlichen Ergebnissen) stellen ihre Lösungen im Detail vor.
Die einzelnen Funktionen werden zur Übersicht in einem GeoGebra-Applet angezeigt.
Die hieran anknüpfende Vertiefung dient dem Vergleich und der Interpretation der Ergebnisse vor
dem Hintergrund der Realität und rundet so den Modellierungskreislauf ab,49 was durch die Fertig-
stellung des Tafelbilds verdeutlicht wird. Die Unterschiede innerhalb der Schülerlösungen (oder
ggf. die von der LP vorgestellten alternativen Lösungswege) können durch eine Gruppierung der
Plakate verdeutlicht werden und liefern so gute Impulse für das Unterrichtsgespräch. Alle SuS kön-
nen sich in diesem einbringen, da auch die Schwächeren die anfänglichen Modellannahmen aus
dem Sachkontext heraus zu hinterfragen in der Lage sind. Alternativ kann auch zunächst eine Mur-
melphase innerhalb der Gruppen stattfinden. Dies würde die Konstruktion der Inhalte stärken, erüb-
rigt aber nicht den anschließenden Austausch im Plenum und ist daher vermutlich zu zeitintensiv.
Als didaktische Reserve ist eine Reflexion geplant. In dieser können die SuS die erlernten Inhalte
anhand des Advance Organizers innerhalb der Sequenz verorten und die erworbenen Kompetenzen
in der Kann-Liste festhalten, wodurch die Vernetzung der Inhalte wesentlich gefördert wird.50 Bei
Zeitknappheit kann diese Phase zum Einstieg in die Folgestunde gesetzt werden.
Die zweite Reserve, in der die SuS wieder in Gruppen den möglichen Standort eines anderen Spie-
lers, der das Tor verhindern will, ermitteln, fördert die weitere Vertiefung der Modellierung.
Die Hausaufgabe verlangt die Erstellung einer eigenen Modellierungsaufgabe in einem selbst ge-
wählten alltäglichen Anwendungskontext und hat somit individuellen Transfercharakter.
47 SuS mit Schwächen im Bereich Kommunizieren werden z.B. als Talentscouts eingesetzt. 48 vgl. Barzel/Büchter/Leuders (2011), S.160. 49 vgl. Henn, in: mathematiklehren 113, S.5f. 50 vgl. Wahl (2006), S.196 und Herold/Herold (2011), S.111.
1:0 für Portugal? - Gruppenarbeit zur Modellierung mit quadratischen Funktionen
Einstieg Die LP stellt die Agenda der Stunde vor. Agenda Lehrervortrag
Hinführung Die LP stellt den zerrissenen Zeitungsartikel vor. Ein(e) Schüler(in) liest den Artikel vor, alle schauen sich das Bild an und formulieren hiervon ausgehend die Problemstellung der Stunde. Die LP hält diese an der Tafel fest.
Zeitung,
AB (Artikel), Tafel
UG
Erarbeitung I Die SuS erarbeiten einzeln eine vorläufige Strategie für die Problemlösung. Sie machen anhand von Erschließungsfragen vereinfachende Annahmen für die Modellierung.
AB (Artikel) EA
Zwischen-
sicherung
Die SuS tragen ihre Ideen für die Modellierung vor und ver-deutlichten diese ggf. an der Tafel. Die ersten Schritte des Modellierungskreislaufs werden gemeinsam an der Tafel erarbeitet. Im UG werden zu ermittelnden Größen benannt.
Tafel
Schülervortrag
� UG
(Plenum)
Erarbeitung II Die SuS erarbeiten in 4er- bzw. 5er-Gruppen in verteilten Rollen die Lösung. Sie recherchieren hierfür Werte im Inter-net, stellen Messungen und Schätzungen an. Sie erstellen ein Plakat mit den Lösungen. Sie können ihre Lösungen in Geo-Gebra schon einmal kontrollieren. Schnelle Gruppen schrei-ben den Zeitungsartikel zu Ende und können dann bereits die Genauigkeit der Modellierung hinterfragen. Bei Bedarf erhal-ten sie hierzu eine „alternative Lösung“ von der LP.
ABs, Rollenkar-
ten, Laptops,
Plakate, Fußbälle,
Messwerkzeuge,
Hilfekarten, (ggf.
ABs „Für fixe
Denker“)
GA in verteil-
ten Rollen
Präsentation/
Sicherung I
Die SuS hängen ihre Plakate an der Tafel auf und geben ihre Funktionen in ein GeoGebra-Applet ein. Die Plakate zweier ausgeloster Gruppen werden im Detail vorgestellt. Die schnellen Gruppen können ihre Artikel vorlesen. Alle Funk-tionen werden angezeigt und die Lösungen so überprüft.
Laptop
(Beamer),
Plakate
Schülervortrag
Vertiefung/
Sicherung II
Fehler und Unklarheiten aus der Präsentationsphase werden gemeinsam verbessert, Unterschiede der Lösungen diskutiert, die Plakate ggf. gruppiert. Das Modell wird gemeinsam auf seine Anwendbarkeit in der Realität hin bewertet. Der Ein-fluss der Modellannahmen und Schätzwerte wird kritisch hinterfragt, die Rolle der Parameter der Funktion ggf. unter-sucht. Hier können schnelle Gruppen aus der Erarbeitungs-phase als Experten fungieren. Der Modellierungskreislauf wird an der Tafel vervollständigt.
ggf. AB („Für fixe
Denker“),
Plakate,
Tafel
UG
(Plenum),
ggf. Schüler-
vortrag
Didaktische
Reserve I/
Reflexion
Die Inhalte der Stunde werden mit denen des Advance Orga-nizers verglichen. Die SuS halten ihren Lernfortschritt auf der Kann-Liste fest und bewerten die GA in Rollen.
Advance
Organizer,
Kann-Liste
UG (Plenum)
� EA
Didaktische
Reserve II
Die SuS ermitteln gemeinsam einen möglichen Standort eines weiteren Spielers, der das Tor verhindern will. Sie reflektieren ihre Ergebnisse anschließend.
Laptops,
ABs (Reserve)
GA
Hausaufgabe Die SuS suchen einen Zusammenhang aus ihrem Alltag, der sich mithilfe von quadratischen Funktionen modellieren lässt und formulieren hieraus eine Aufgabe, die sie ihren Mitschü-lern in der Folgestunde stellen.
- EA
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3. Literatur- und Quellenverzeichnis
Pädagogische Sekundärliteratur:
L. Brüning/T. Saum, Erfolgreich unterrichten durch Kooperatives Lernen 1. Strategien zur Schüler-
aktivierung. Essen 52009.
A. Helmke, Unterrichtsqualität und Lehrerprofessionalität. Diagnose, Evaluation und Verbesserung
des Unterrichts. Seelze-Velber 42012.
C. Herold/M. Herold, Selbstorganisiertes Lernen in Schule und Beruf. Gestaltung wirksamer und
nachhaltiger Lernumgebungen. Weinheim/Basel 2011.
W. Mattes, Methoden für den Unterricht. Kompakte Übersichten für Lehrende und Lernende. Pa-
derborn 2011.
D. Wahl, Lernumgebungen erfolgreich gestalten. Vom trägen Wissen zum kompetenten Handeln.
Bad Heilbrunn 22006.
Fachdidaktische Sekundärliteratur:
B. Barzel/A. Büchter /T. Leuders, Mathematik Methodik. Handbuch für die Sekundarstufe I und II.
Berlin 62011.
B. Barzel/L. Holzäpfel/T. Leuders/Ch. Streit, Mathematik unterrichten: Planen, durchführen, reflek-
tieren. Berlin 22012.
R. Bruder/T. Leuders/A. Büchter, Mathematikunterricht entwickeln. Bausteine für kompetenzorien-
tiertes Unterrichten. Berlin 2008.
A. Büchter/T. Leuders, Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Lernen fördern - Leistung überprü-
fen. Berlin 52011.
H.-W. Henn, Mathematik und der Rest der Welt. In: mathematiklehren 113, 2002.
T. Leuders/S. Hußmann/B. Barzel/S. Prediger, „Das macht Sinn!“ Sinnstiftung mit Kontexten und
Kernideen. In: PM - Praxis der Mathematik in der Schule. Sekundarstufen I und II 37, 2011.
H.-S. Siller, Mathe und der Rest der Welt. Modellieren als Vernetzungsmöglichkeit. In: mathema-
tiklehren 173, 2012.
A. Wagner/C. Wörn, Geht’s noch besser? Optimieren als vernetzende Unterrichtsidee. In: mathe-
matiklehren 173, 2012.
E.Ch. Wittmann, Grundfragen des Mathematikunterrichts. Braunschweig/Wiesbaden 61981.
13
Lehrbuch:
Lambacher Schweizer 9. Mathematik für Gymnasien. Nordrhein-Westfalen. Stuttgart/Leipzig 22012.
Lehrpläne und Curricula:
Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Hrsg.), Kernlehrplan
für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen. Mathematik. Frechen 2007.
Portfolio der Fachschaft Mathematik, Homburgisches Gymnasium Nümbrecht. Nümbrecht 2012.
� Erschließungsfragen für die erste Erarbeitungsphase
� Antizipierte Ergebnisse der ersten Erarbeitungsphase
� Arbeitsblatt für die Gruppenarbeit
� Erläuterung der Rollenkarten
� Hilfekarten für die Gruppenarbeit
� Antizipierte Ergebnisse der Gruppenarbeit
� GeoGebra-Applet für die Darstellung der Modellfunktionen
� Arbeitsblatt „Für fixe Denker“
� Arbeitsblatt „Für fixe Denker“ 2
� Arbeitsblatt „Für fixe Denker“ 3
� Antizipierte Ergebnisse zur den Arbeitsblättern „Für fixe Denker“
� Antizipierte Ergebnisse der Vertiefung
� Antizipiertes Tafelbild
� Advance Organizer zur Unterrichtssequenz
� Kann-Liste zur Unterrichtssequenz
� Arbeitsblatt für die zweite didaktische Reserve
� Antizipierte Ergebnisse der zweiten didaktischen Reserve
� Screenshot aus Video und Bild zum Abschluss der Stunde
� Aufgabenstellung der Hausaufgabe
� Eidesstattliche Erklärung
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Abkürzungsverzeichnis:
AB: Arbeitsblatt
EA: Einzelarbeit
LP: Lehrperson
GA: Gruppenarbeit
SuS: Schülerinnen und Schüler
UG: Unterrichtsgespräch
Agenda der vorliegenden Stunde:
Zeitungsartikel „Deutschland-Portugal“
� Erarbeitung I: Ideen zur mathematischen Umsetzung (EA)
Besprechung: Annahmen machen
� Erarbeitung II: Lösung des Problems (GA in Rollen, ca. 20 Min)
(+Für fixe Denker…: Expertenbildung für die Vertiefung)
Präsentation (und Vergleich) der Ergebnisse
Vertiefung: „Den Kreis rund machen“
Zeitungsartikel mit Bild:
Berlin Das Freundschaftsspiel zwischen der deutschen Nationalmannschaft und Portugal galt im Vorfeld als richtungsweisend im Hinblick auf die WM 2014 in Brasilien. Vielleicht waren beide Mannschaften daher so darauf bedacht, hinten sicher zu stehen. Die Abwehrketten und die Defensivabteilungen im Mittelfeld standen dicht gestaffelt und zeigten kaum Unaufmerksamkeiten. So plätscherte das Spiel über weite Strecken ohne nennenswerte Torchancen vor sich hin.
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Doch dann die letzte Szene der Partie: Als alle sich schon mit dem müden 0:0 abgefunden hatten, war es Cristiano Ronaldo - wer sonst? -, der in der 3. Minute der Nachspielzeit dem ansonsten ge-wohnt aufmerksamen Kapitän Philipp Lahm enteilte und nach einem fantastischen Pass von Nani allein aufs deutsche Gehäuse zulief. Aus frontaler Position 13,5 Meter vor dem Tor schloss er mit einem sehenswerten Lupfer über den herauseilenden Manuel Neuer ab. Der deutsche Torhüter sagte hierzu: „Ich stehe noch 3 Meter von ihm entfernt. Da zeigt er all seine Klasse und Kaltschnäuzigkeit - dafür haben sie ihn ja. Er hebt das Ding einfach über mich. Ich krieg die Arme nicht mehr schnell genug hoch, merke sogar noch wie der Ball mir über die Haare streicht.“ Als Neuer sich umdrehte, konnte er gerade noch sehen, wie der Ball…
Erschließungsfragen für die erste Erarbeitungsphase:
1. Welche Einflüsse sollte man vernachlässigen, um die Situation mathematisch sinnvoll beschrei-ben zu können? 2. Wie kann man die Situation mathematisch beschreiben, um die Frage zu beantworten?
Antizipierte Ergebnisse der ersten Erarbeitungsphase:
Die SuS formulieren in dieser Phase erste vereinfachende Annahmen, die zur späteren Erarbeitung
der Lösung dienen; vorläufige Beobachtungen anhand der Zeichnung und des Artikels können zu-
nächst zur Vereinfachung der realen Situation und zu ersten Schritten der Umsetzung in ein mathe-
matisches Modell führen. (Der Trennstrich markiert die Unterscheidung zwischen dem „Realmo-
dell“ und dem „mathematischen Modell“)
Beispiele:
- Die Flugkurve des Balles und die Flughöhe in 13,50m Entfernung vom Abschusspunkt müssen
bestimmt werden.
- Einflüsse sonstiger physikalischer Kräfte (Wind, Reibung etc.) sind zu vernachlässigen.
- Der Ball fliegt „geradeaus“ auf einer Parabel entlang und nicht nach rechts und links.
- Das Bild wurde „genau“ von vorne, d.h. in einem Winkel von 90° zur Flugkurve des Balls ge-
macht.
- Ansatz: cbxaxxf ++= 2)( (Normalform, da Scheitelpunkt unbekannt), drei Punkt müssen be-
stimmt werden � Gesucht: )5,13(f
- Der Ball muss für die Modellierung als Punkt interpretiert werden. (Die Einigung auf den Ball-
Mittelpunkt ist hierbei zunächst nicht zu erwarten. Diese wird im sich anschließenden UG im Zwei-
felsfall durch die LP vorgegeben.)
- Das Höhenniveau des Bodens wird mit der x-Achse gleichgesetzt.
- Der Standpunkt von Cristiano Ronaldo wird als Ursprung eines Koordinatensystems interpretiert.
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Donnerstag, 10.10.2013 2. Stunde
9c Mathematik Modellieren und Problemlösen mit Funktionen und Gleichungen
1:0 für Portugal?
Arbeitsteilige Gruppenarbeit ca. 20 Min
Wichtig: Arbeitet in euren jeweiligen Rollen!
Aufgabe
Helft Herrn , das Ergebnis des Spiels herauszufinden!
Modelliert eine Funktion, die euch dabei hilft, zu entscheiden, ob der Ball von Cristiano
Ronaldo im Tor landet oder nicht.
Ihr könnt hierzu sämtliche Hilfsmittel und Materialien benutzen. Einige Daten müsst ihr
im Internet recherchieren. Schätzt und rundet sinnvoll, aber möglichst genau!
Am Ende müsst ihr ein Plakat mit folgenden Angaben präsentieren können:
- Punkte, die ihr für die Modellierung benutzt
- Funktionsgleichung der Modellfunktion
- Antwort auf die Frage, ob der Ball ins Tor geht
Wenn ihr fertig seid, gebt ihr eure Funktion in den Laptop am Pult ein. In der Sicherungs-
phase könnt ihr so allen zeigen, ob es ein Tor ist oder nicht.
Sollte euch zu irgendeinem Zeitpunkt auch euer Talentscout nicht weiterhelfen
können, dann könnt ihr die Hilfekärtchen benutzen. Hierfür ist euer Zeugwart
zuständig. Der Spielführer bestimmt, wann hier nachgeschaut wird.
Für fixe Denker…
bleibt natürlich die Aufgabe den Artikel gemäß eurer Ergebnisse zu
Ende zu verfassen!
� Habt ihr auch dies erledigt, dann könnt ihr euch vertiefende (und
vielleicht verblüffende) Gedanken zu eurer Modellierung machen.
Hierfür gibt es ein Arbeitsblatt mit Fragen vorn am Lehrerpult.
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Erläuterung der Rollenkarten:
Spielführer Du bist verantwortlich für die Organisation des Arbeitsprozesses und sagst den anderen, was sie wann tun sollen, und unterstützt sie bei ihren Auf-gaben. Zudem hast du ein Auge auf die Arbeitszeit.
Sportjournalist Du bist verantwortlich für das schriftliche Fest-halten der Ergebnisse. Die Erstellung von Präsen-tationsmedien liegt in deiner Verantwortung, du kannst dir aber Hilfe hierfür holen.
Zeugwart Du verwaltest die Arbeitsblätter und bist verant-wortlich für sämtliche Materialien - diese nimmst du bei Bedarf auch mit nach Hause oder lagerst sie sicher in der Schule. Außerdem führst du Vermes-sungen und Experimente durch.
Technischer Analytiker Du bist verantwortlich für die Bedienung aller technischen Hilfsmittel. Du arbeitest am Laptop, führst Internet-Recherchen durch und wertest mit Taschenrechner und Computerprogrammen Rechnungen aus.
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Talentscout Du darfst herumgehen und dich in anderen Gruppen nach Ideen umsehen, wenn euch nichts mehr ein-fällt. Du darfst auch die Mitglieder der anderen Gruppen befragen. Allerdings musst du deiner Gruppe alles erklären können, was du „abguckst“.
Hilfekarten für die Gruppenarbeit:
Wegen der Flugkurve muss es eine quadratische Funktion sein. Den Scheitelpunkt kriegt ihr nicht her-aus. � Normalform!
Für den y-Achsenabschnitt könnt ihr den Mittelpunkt des Balls nehmen. Diesen müsst ihr messen.
Zweiter Punkt: Position über dem Kopf von Manuel Neuer (Wie hoch?) Dritter Punkt: Da, wo der Ball jetzt ist! (Versucht den Maßstab des „Fotos“ herauszubekommen!) Vergleicht einmal den Abstand von Ronaldo zu Neuer und die weitere hori-zontale Entfernung bis zum Ball!
Höhen und Entfernungen solltet ihr auf cm runden, a sollte, wenn nötig, mit mindestens vier Nachkommastellen angegeben werden, b mit mindestens drei. Denkt aber schon beim Runden darüber nach, inwieweit das Ergebnis beein-flusst wird!
Erinnert euch, wie weit Ronaldo vor dem Tor steht. Was muss bei diesem x-Wert gelten, damit der Ball ins Tor geht? Was, damit er nicht hinein geht?
Wenn es mit der Querlatte (Wie hoch?) knapp wird, dann könnt ihr die Situati-on doch einmal mit dem Ball nachstel-len. Was könnte man als Latte nehmen? Geht der Ball nun rein oder nicht?
Normalform: f(x)=ax2+bx+c a liegt zwischen -0,04 und -0,05 b liegt zwischen 0,7 und 0,8 c≈0,11 Euer technischer Analytiker kann eure Funktion in GeoGebra prüfen.
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Antizipierte Ergebnisse der Gruppenarbeit:
Ansatz: Eine quadratische Funktion mit Funktionsgleichung in der Normalform cbxaxxf ++= 2)(
Lösungsweg:
Der Ball wird als punktförmig angenommen. Sein Mittelpunkt wird betrachtet. Für den Radius des
Balles können ca. 11cm gemessen werden. Der Punkt des Abschusses liegt daher bei P(0|0,11).
Hieraus folgt direkt c=0,11.
Manuel Neuer ist 1,93m groß. Der Ball streift über seinen Kopf hinweg. Daher hat der Mittelpunkt
des Balls an dieser Stelle die Höhe 2,04m. Er steht außerdem 3m entfernt. Damit sind die Koordina-
ten des zweiten Punkts Q(3|2,04).
Die Entfernung des Balls kann dann anhand des Fotos geschätzt und im Idealfall gemessen werden.
Sie beträgt in der Horizontalen 1m von Manuel Neuer aus gesehen. Der Ballmittelpunkt befindet
sich dabei in einer Höhe von 2,50m. Damit sind die Koordinaten des dritten Punkts R(4|2,5).
Lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Parameter a und b:
ba
ba
II
I
ba
ba
II
I
ba
ba
II
I
b
b
a
a
124817,7
123672,7
3
4
41639,2
3993,1
11,0
11,0
11,0445,2
11,03304,22
2
+=+=
⇔⋅⋅
+=+=
⇔−−
+⋅+⋅=+⋅+⋅=
aaIII bb =−⇔−−=−24011
)12(|:1255,0:
Einsetzen von 24011−=a in bII b 12
24011
4817,7: +
−⋅=
bbb =⇔=⇔++−=⇔1200937
12|:1237,92,2|122,217,7
Damit ergibt sich die Funktionsgleichung: 11,01200937
24011
)( 2 ++−= xxxf
Bei den Schülerlösungen genügen für a Werte, die auf vier Nachkommastellen gerundet werden, für
die Angabe von b genügen drei Nachkommastellen: 11,0781,00458,0)( 2 ++−= xxxf
Einsetzen von 13,5 für x, um die Höhe des Balls unterhalb der Querlatte des Tores zu bestimmen:
3,2)5,13( ≈f bei der Rechnung mit exakten Werten und 31,2)5,13( ≈f bei der Rechnung mit den
gerundeten Werten für die Parameter.
In beiden Fällen liegt der Ballmittelpunkt mehr als 11cm unterhalb des tiefsten Punkts der Querlat-
te, welcher eine Höhe von 2,44m besitzt. Damit geht der Ball ins Tor.
21
Bei der Gestaltung der Plakate ist den SuS überlassen, ob sie dort eine grafische Lösung andeuten
oder lediglich die gemessenen und/oder geschätzten Punkte, den Ansatz des LGS und die endgülti-
ge Funktion aufschreiben.
Die Lösungen werden sich bei nur minimalen Abweichungen bei der Bestimmung der einzelnen
Ballpositionen stark von der oben dargestellten unterscheiden. Vor dem Hintergrund des Hauptlern-
ziels ist dies gewollt, um das spätere Unterrichtsgespräch zur Modellierung und zu Einflüssen der
einzelnen Parameter quadratischer Funktionen anzustoßen. (vgl. Zusatzaufgaben „Für fixe Denker“)
Die Gestaltung des Zeitungsartikels (durch die schnellen Gruppen) ist ebenfalls eine nicht zu antizi-
pierende kreative Leistung. Allerdings wird erwartet, dass die SuS hier ausgehend von den Ergeb-
nissen ihrer Rechnung den Artikel sachlich korrekt zu Ende schreiben.
GeoGebra-Applet für die Darstellung der Modellfunktionen:
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Donnerstag, 2013 2. Stunde
9c Mathematik Modellieren und Problemlösen mit Funktionen und Gleichungen
1:0 für Portugal? - Für fixe Denker…
Überdenkt noch einmal euer Modell und die Modellfunktion, die ihr berechnet habt.
� An welchen Punkten war es unmöglich, mathematisch genau zu arbeiten?
� Kann auch ein anderes Ergebnis bei der Lösung der Problemfrage herauskommen,
als ihr es erarbeitet habt?
� Was passiert, wenn ihr die Parameter der Funktion auch nur ein kleines Bisschen
verändert?
� Welche Annahmen müsst ihr dafür verändern und wie stark?
Nehmt begründet Stellung!
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Donnerstag, .2013 2. Stunde
9c Mathematik Modellieren und Problemlösen mit Funktionen und Gleichungen
Doch nicht das 1:0 für Portugal?
Ihr habt herausbekommen, dass der Ball ins Tor geht?
Dann schaut euch einmal folgenden Lösungsweg an:
Der y-Achsenabschnitt ist c=0,11 - also die Höhe des Ballmittelpunkts.
Manuel Neuer steht in 3 Meter Entfernung und ist 1,93m groß. Der Ball fliegt direkt
über seinen Kopf hinweg. Da der Ball die Haare noch berührt, dürfte der Mittelpunkt un-
gefähr die Höhe 2,03m haben.
���� P(3|2,03)
Der Ball ist auf dem Foto ca. einen Meter in x-Richtung weiter geflogen. Dabei ist seine
Höhe geschätzt ca. 2,50m. � Q(4|2,5)
Aus diesen Punkten ergibt sich nach sinnvollem Runden folgende Funktion:
11,0768,00425,0)( 2 ++−= xxxf
Somit gilt: 73,2)5,13( ≈f
Der Ballmittelpunkt ist also in einer Höhe von ca. 2,73m und damit deutlich über dem
Tor!
Erläutert Gemeinsamkeiten und Unterschiede, die sich im Vergleich mit eurer Lösung
zeigen.
Bewertet die Qualität der Lösung im Vergleich zu eurer eigenen.
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Donnerstag, 2013 2. Stunde
9c Mathematik Modellieren und Problemlösen mit Funktionen und Gleichungen
Doch das 1:0 für Portugal?
Ihr habt herausbekommen, dass der Ball nicht ins Tor geht?
Dann schaut euch einmal folgenden Lösungsweg an:
Der y-Achsenabschnitt ist c=0,11 - also die Höhe des Ballmittelpunkts.
Manuel Neuer steht in 3 Meter Entfernung und ist 1,93m groß. Der Ball fliegt direkt
über seinen Kopf hinweg. Damit müsste der Mittelpunkt eine Höhe von ca. 2,04m haben.
���� P(3|2,04)
Der Ball ist auf dem Foto ca. einen Meter in x-Richtung weiter geflogen. Dabei ist seine
Höhe geschätzt ca. 2,45m. � Q(4|2,45)
Aus diesen Punkten ergibt sich nach sinnvollem Runden folgende Funktion:
11,0818,00583,0)( 2 ++−= xxxf
Somit gilt: 53,0)5,13( ≈f
Der Ballmittelpunkt ist also in einer Höhe von ca. 0,53m und damit deutlich im Tor!
Erläutert Gemeinsamkeiten und Unterschiede, die sich im Vergleich mit eurer Lösung
zeigen.
Bewertet die Qualität der Lösung im Vergleich zu eurer eigenen.
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Antizipierte Ergebnisse zu den Arbeitsblättern „Für fixe Denker“:
Die SuS versuchen zunächst die Validität ihrer eigenen Modellierung durch Beantwortung der Leit-
fragen zu bestimmen, wenn ihnen nichts einfällt, werden sie durch Vorgabe einer jeweils der ihren
widersprechenden Lösung zu Äußerungen über die Unterschiede herausgefordert:
- Messung des Radius des Balls ungenau
- nicht genau zu sehen, von wo der Ball geschossen wurde � Entfernungsangaben fragwürdig
- Größe von Manuel Neuer (u.A. durch seine Haare) ungenau (vielleicht gebückt)
- Punkt, an dem der Ball sich auf dem Bild befindet, unmöglich genau zu bestimmen
- leichtes Verschätzen oder Ändern der Werte ändert Ergebnis erheblich (vgl. alternative Lösungen)
- kleine Veränderung von a und b ändert Ergebnisse erheblich � a wegen Quadrat noch stärker
Antizipierte Ergebnisse der Vertiefung:
- vgl. Ergebnisse zu den Arbeitsblättern „Für fixe Denker“
- zusätzlich können die Einflüsse der tatsächlich vorhandenen physikalischen Kräfte und der Winkel
der Bildaufnahme diskutiert werden
- (vereinfachende) Modellannahmen sind insgesamt für die Realität problematisch, für die Mathe-
matik aber notwendig
- Interpretation bzw. Validierung ist wichtig(st)er Schritt der Modellierungskreislaufs und kann zur
Verbesserung der Modelle führen kann
Antizipiertes Tafelbild:
Skizze:
1:0 für Portugal? - Modellierungskreislauf
Ronaldo schießt: Vereinfachen/ Flugkurve des Balls Ball im Tor? Strukturieren kein Wind, keine Reibung... Realität Mathe- Interpretieren mati- Validieren sieren
Strategien: - Schritt für Schritt Vorwärtsarbeiten - von der Lösung aus Rückwärtsarbeiten - Zeichnung des Problems - Ähnliche Aufgaben � Regeln oder Lösungswege, die helfen?
…in außermathematischen Sachverhalten ein Koordinatensys-tem sinnvoll wählen. ☼☼
…lineare und quadratische Funktionsgleichungen aus gegebe-nen Informationen aufstellen. ☼☼
…Funktionen in verschiedenen Formen (Wertetabelle, Graph, Funktionsvorschrift) darstellen und zwischen den verschiede-nen Formen sinnvoll hin- und herwechseln. ☼☼
…mathematische Ergebnisse in außermathematischen Sach-zusammenhängen interpretieren und sinnvoll runden. ☼☼☼
…mathematische Modelle anhand der Umsetzung der Ergeb-nisse in die Realität bewerten und gegebenenfalls sinnvoll verbessern. ☼☼☼☼
…mithilfe von GeoGebra und Schiebereglern für die Parameter eine quadratische Funktion zu einem außermathematischen Sachverhalt bestimmen. ☼☼
…die Bedeutung der einzelnen Parameter in der Gleichung cbxaxxf ++= 2)( bei der Modellierung erläutern. ☼☼☼
…bei Problemaufgaben mathematisch relevante und irrelevan-te Informationen in der Aufgabenstellung (oder der Realsituati-on) unterscheiden und benennen. ☼
…bei „Extremwertaufgaben“ quadratische Zielfunktionen auf-stellen und zur Lösung des Problems den Scheitelpunkt (oder die Randwerte) ermitteln. ☼☼
…ausgehend von einer Aufgabenstellung planvoll eine (quadra-tische) Funktionsgleichung aufstellen und die gesuchte Größe (z.B. Scheitelpunkt oder Schnittpunkt mit einer Achse) mit alge-braischen Hilfsmitteln (z.B. quadratische Ergänzung oder pq-Formel) bestimmen. ☼☼
…meinen Plan bei der Bearbeitung einer Problemaufgabe in einfachen Worten aufschreiben und erläutern. ☼☼☼
…bei komplexen Aufgaben Problemlösestrategien (z.B. eine Zeichnung anfertigen, Rückwärtsrechnen, Aufgabe leicht ver-ändern und Ergebnisse vergleichen) sinnvoll anwenden. ☼☼☼☼
29
Donnerstag, .2013 2. Stunde
9c Mathematik Modellieren und Problemlösen mit Funktionen und Gleichungen
Macht Per Mertesacker zum Helden!
Nach dem Spiel äußerte sich Per Mertesacker zu der Szene wie folgt:
„Ich seh’ den Ball über Manuels Kopf wegfliegen und denk gar nicht groß nach. Ich ver-
suche alles, um noch irgendwie an den Ball zu kommen.“
Könnte Per Mertesacker noch eingreifen? Wo müsste er sich dann befinden?
Geht dabei von der Modellfunktion 11,0781,00458,0)( 2 ++−= xxxf aus.
Ihr könnt wieder in euren Rollen zusammenarbeiten,
um die Aufgabe zu lösen!
30
Antizipierte Ergebnisse der zweiten didaktischen Reserve:
Die SuS werden zum Teil nur einzelne Überlegungen der aufgeführten Musterlösung erarbeiten:
Per Mertesacker ist 1,98m groß. Da er auf dem Bild nicht zu sehen ist, muss er weiter von Cristiano
Ronaldo entfernt stehen als 4m.
Der Ball befindet sich hier schon in einer Höhe von 2,50m. Bei der Überquerung der Torlinie ist der
Ball mit der vorgegebenen Funktion ca. 2,31m hoch. Dies ist gleichzeitig der niedrigste Punkt, den
der Ball erreicht, bis er ins Tor geht. Per Mertesacker müsste den Ball aber nur an seinem tiefsten
Punkt treffen, um einzugreifen. Dieser befindet sich auf dem Bild in ca. 2,39m und über der Torli-
nie in ca. 2,20m Höhe.
Stehend kann Per Mertesacker den Ball also nicht erreichen. Er muss hochspringen.
Aus seiner Schilderung der Situation geht hervor, dass er mit Anlauf auf den Ball zuläuft. Ein
durchtrainierter Mensch (wie Mertesacker es zweifelsohne ist) kann mit Anlauf ca.50cm in voller
Körperstreckung springen. Den Wert für diesen Sprung können die SuS schätzen und experimentel-
le ermitteln. Werden hier andere Werte geschätzt, dann ergeben sich zwangsläufig andere Ergebnis-
se.
Per Mertesacker kann also eine Höhe von ca. 2,48m erreichen. Er hat damit die Chance, den Ball
sogar noch vor der Torlinie zu erreichen.
Damit ergibt sich zur Lösung des Problems die Gleichung xx 781,00458,048,2 2 +−= , da nur noch
der tiefste Punkt des Balls betrachtet wird. Die Gleichung liefert die beiden Lösungen 22,41 ≈x und
83,122 ≈x . Die erste Stelle ist noch auf dem Foto zu sehen und wird damit nicht betrachtet. Er kann
den Ball aber in ca. 12,83 Entfernung vom Abschusspunkt und damit noch 67cm vor der Torlinie
erreichen und so das Tor verhindern.
Screenshot aus Video und Bild zum Abschluss der Stunde:
31
Aufgabenstellung der Hausaufgabe:
9c Mathematik, Schuljahr 2013/14
Hausaufgabe für Freitag, 11.10.2013:
Schau dich in deinem Alltag und in deinem Zuhause einmal um. Auch dort lassen sich funktionale Zusammenhänge entdecken, die man modellieren kann. Suche einen solchen Zusammenhang und entwirf selbst eine Modellierung hierfür. Wenn du keine quadratischen Zusammenhänge findest, kannst du auch eine lineare Funktion für die Modellierung verwenden. Gehe dabei unbedingt alle(!!!) Schritte im Modellierungskreislauf durch. Bereite dann die Aufgabe (mit Musterlösung) so sorgfältig vor, dass deine Mitschüler sie in der morgigen Stunde lösen können. Mache hierfür genaue Messungen und Fotos oder Videos mit, an-hand derer man Werte schätzen kann. Vielleicht kannst du den Gegenstand der Modellierung selbst mitbringen. Du darfst morgen deine Digicam und ausnahmsweise auch dein Handy benutzen - bringe bitte auch ein Kabel mit, um das jeweilige Gerät an den Laptop anschließen zu können.
32
Eidesstattliche Erklärung:
Ich versichere, dass ich die schriftliche Arbeit eigenständig verfasst, keine anderen Quellen und
Hilfsmittel als die angegebenen benutzt und die Stellen der schriftlichen Arbeit, die anderen Wer-
ken dem Wortlaut oder Sinn nach entnommen sind, in jedem einzelnen Fall unter Angabe der Quel-
le als Entlehnung kenntlich gemacht habe. Das Gleiche gilt auch für beigegebene Zeichnungen,
Kartenskizzen und Darstellungen. Anfang und Ende von wörtlichen Textübernahmen habe ich
durch An- und Abführungszeichen, sinngemäße Übernahmen durch direkten Verweis auf die Ver-
