Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II · Wirbelströme verursachte Magnetfeld im Leiter...

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Experimentalphysik II (Kip SS 2009)

Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II

Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik

1. Elektrische Ladung und elektrische Felder2. Kapazität3. Elektrischer Strom4. Magnetostatik5. Elektrodynamik6. Schwingkreise und Wechselstrom

Teil 2: Optik

7. Elektromagnetische Wellen8. Optik

251


5 Elektrodynamik

5.1 Maxwell-Gleichungen im statischen Fall (Wdh.)

Integralform ⇔ Differentialform

0 0( )

0

1 (1)

(2) 0 0

(3) 0 0

(4)

A V A

A

A

A A

E dA dV E

B dA B

E dr E

B dr j dA

ρρε ε

μ∂

∂

⋅ = ⇔ ∇ ⋅ =

⋅ = ⇔ ∇ ⋅ =

⋅ = ⇔ ∇ × =

⋅ = ⋅ ⇔

∫∫ ∫∫∫

∫∫

∫

∫ ∫∫

rr r r

rr r r

rr r rr

rr rrr0B jμ∇ × =

r r

Hier fehlt noch etwas

252


Es sollen noch einmal einige Begriffe wiederholt werden:

Weiterhin sind Ladungen q die Quellen des elektrischen Feldes. Das magne-tische Feld hat keine Quellen. Es wird durch Ströme erzeugt.

Im statischen Fall gelten folgende Abhän-gigkeiten:

el.

mag.

, ,

,

q U E

I B

Φ

Φ

r

r

Bei zeitabhängigen Feldern kommen wei-tere Abhängigkeiten hinzu:

el.

mag.

, ,

,

q U E

I B

Φ

Φ

r

r

2

1

el.

0

mag.

Elektrische Spannung:

Elektrischer Fluß:

1Elektrischer Strom:

Magnetischer Fluß:

r

r

A

A

U E dr

E dA

I B dr

B dA

μ

= − ⋅

Φ = ⋅

= ⋅

Φ = ⋅

∫

∫∫

∫

∫∫

r

r

r r

rr

r r

rr∫ ⋅= rdBI rr

0

1μ

253


5.2 Induktionsgesetz

Stabmagnet

Leiterschleife

Versuch: Magnet in Leiterschleife

Wenn der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife zeitlich veränderlich ist, dann wird eine Spannung und somit ein elektrisches Feld erzeugt.

Versuch: Spule im Erdmagnetfeld

Wieder ist der magnetische Fluss durch die Leiterschleife (Spule) zeit-lich veränderlich. Es wird ebenfalls eine Spannung und somit ein elektrisches Feld erzeugt. Rotiert die Spule (mit ω = const.), so wird eine sinusförmige Spannung erzeugt.

254


Im statischen Fall wird keine Spannung induziert; es ist U = 0. Experimentell fin-det man U ~ dB/dt, d.h. die induzierte Spannung ist proportional zur zeitlichen Änderung des Magnetfeldes. Mit

gilt

Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld.

Permanent-magnet

Spannungs-messer

bewegterLeiter

Versuch: Änderung des magnetischen Flusses durch Änderung der Fläche

∫ ⋅=Schleife

rdtEtU rr)()(

)()( tBdtdrdtE

rrr∝⋅∫

Schleife

Br

U(t) Magnet

Leiter-schleife

Faraday entdeckte 1831, dass eine elektrische Spannung durch einen zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss erzeugt werden kann. Dieses wird Induktion genannt.

255


Durch Verschieben des Leiters wird die Fläche einer in einem Magnetfeld angeordneten Leiterschleife verändert.

Anstatt einer Änderung der Magnetfeldstärke wird also auch durch Veränderung der Fläche der Leiterschleife, die vom Magnetfeld durchsetzt wird, eine Spannung erzeugt. Das Experiment liefert den Zusammenhang:

dtdxvtU =∝)(

Die Fläche der Leiterschleife ist:

bxA =Daher kann man schreiben:

dtdAtU ∝)(

Dann ergibt sich das Induktionsgesetz:

( ) mag.( ) ( ) ( )ddU t B t A t

dt dtΦ

= − = −

mag. ( ) ( ) ( )t A t B tΦ =

Der magnetische Fluss für ein Feld B(t), welches senkrecht durch eine Fläche A(t) tritt, ist gegeben durch:

vb

ABr

x

U(t)

Das negative Vorzeichen wird im nächs-ten Abschnitt erklärt.

256


Die induzierte Spannung ist proportional zur Änderung des elektrischen Flusses durch die Leiterschleife.

257


Br

induziertBr

vr

5.3 Lenzsche Regel

Heinrich Friedrich EmilLenz

(1804-1865)

Wenn durch Induktion in einer Leiterschleife eine Spannung entsteht, dann fließt wegen dieser Potentialdifferenz ein Strom. Dieser Strom ist wieder von einem Magnetfeld, dem induzierten Feld, umgeben. Es soll nun die Richtung des Stromflusses und des induzierten Feldes genauer betrachtet werden.

258


Versuch: Wirbelstrombremse

Adalbert vonWaltenhofen(1828 - 1914)

Ein Pendel, an dem ein Leiter schwingt, wird in einem Magnetfeld stark abge-bremst. Der Grund dafür ist das durch Wirbelströme verursachte Magnetfeld im Leiter ("Wirbelstrombremse").

259


Versuch: Thomsonscher Ring

Nach Einschalten des Stromes und damit des Magnetfeldes wird der Aluminiumring nach oben geschleudert. Wenn der Ring unterbrochen ist passiert nichts.

260


vr

(ii) Wenn hingegen die Leiterschleife vom Magneten weg bewegt wird, dann entsteht ein anziehendes induziertes Magnetfeld.

vr

Dies lässt sich allgemein zusammenfassen zur Lenzschen Regel (1834):„Der Induktionsstrom wirkt immer seiner Ursache entgegen.“

Experimentell findet man Folgendes:

(i) Wenn ein Magnet auf eine Leiterschleife zu bewegt wird, dann wird die Leiterschleife durch das indu-zierte Magnetfeld abgestoßen.

261


Anwendung: Diebstahlsicherung im Kaufhaus (älteres System)

Wegen der Lenzschen Regel schwächt das Feld des in der Diebstahlsicherung induzierten Stromes das Magnetfeld des Senderkreises.

262


5.4 Faradaysches Induktionsgesetz

Wir hatten das Induktionsgesetz

( ) mag.( ) ( ) ( )ddU t B t A t

dt dtΦ

= − = −

experimentell begründet, wobei das negative Vorzeichen der Lenzschen Regel entspricht. Bisher waren wir von einem Magnetfeld ausgegangen, dass eine rechteckige Fläche senkrecht durchsetzt. Dies soll jetzt stark verall-gemeinert werden.

U(t))(tE

r

rdrdAr

)(tBr

Wir betrachten eine beliebige Leiter-schleife, die von einem Magnetfeld durchsetzt wird. Dann ist der magne-tische Fluss durch die Leiterschleife:

mag.A

B dAΦ = ⋅∫∫rr

Die elektrische Spannung an den Enden der Leiterschleife ergibt sich durch Inte-gration über das elektrische Feld:

∫ ⋅=Schleife

rdtEtU rr)()(

263


Bemerkungen:• Dies ist das sog. Faradaysche Induktionsgesetz. Hierbei handelt es um die

3. Maxwell-Gleichung in integraler Form.

• Die obige Gleichung bedeutet anschaulich, dass zeitlich veränderliche magnetische Felder elektrische Wirbelfelder hervorrufen.

• Neben Ladungen können elektrische Felder also von veränderlichen Magnetfeldern (genauer: magnetischen Flüssen) erzeugt werden.

• Das Wegintegral auf der linken Seite ist entlang der Randkurve ∂A der Fläche A, durch die das Magnetfeld tritt, zu berechnen.

• Auf dem Induktionsgesetz basiert die Stromerzeugung mittels Turbinen.

Das Induktionsgesetz lässt sich also folgendermaßen verallgemeinern (∂A ist hier der Rand der Fläche A):

Michael Faraday(1791-1867)

∫∫ ⋅∂∂

−=⋅∂ A

AdBt

rdErrrr

A

264


Jetzt soll die 3. Maxwell-Gleichung wieder in die differentielle Form über-führt werden. Mit dem StokesschenIntegralsatz lässt sich die linke Seite umformen zu

( )A A

E dr E dA∂

⋅ = ∇× ⋅∫ ∫∫rr r rr

wobei die Randkurve der Fläche A den Integrationsweg auf der linken Seite darstellt.

Einsetzen ergibt:

( )A A

E dA B dAt

∂∇× ⋅ = − ⋅

∂∫∫ ∫∫r rr r r

( )A A

BE dA dAt

⎛ ⎞∂∇× ⋅ = − ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫∫ ∫∫r

r rr r

Umformen liefert schließlich:

Diese Gleichung soll für jede beliebige Fläche A gelten. Dies ist nur möglich, wenn beide Integranden übereinstimmen, also:

BEt

∂∇× = −

∂

rr r

Dies ist die 3. Maxwell-Gleichung, also das Induktionsgesetz, in differentieller Form.

265


0( ) ( )NB t I tl

μ=

Das Feld im Inneren der Spule ist:

I(t)

)(tBr

U(t)

l A

Da das Feld zeitlich veränderlich ist, ent-steht eine Induktionsspannung

mag. ( )( )

d dB tU t NAdt dtΦ

= − = −

wobei A die Querschnittsfläche der Spule ist.

5.5 Selbstinduktion

Wir betrachten das Feld einer Spule der Länge l mit N Windungen, die von einem zeitabhängigen Strom I(t) durch-flossen wird.

0 ( )NdB dI tdt l dt

μ=

Differenzieren der Gleichung ergibt:

266


Einsetzen in das Induktionsgesetz ergibt:

wobei2

0 ANLl

μ=

die Selbstinduktion oder Induktivität der Spule ist. Sie hängt nur von geome-trischen Eigenschaften wie der Quer-schnittsfläche, der Länge und der Win-dungszahl ab.

2Vs m Vs[ ] 1 1 1H (Henry)Am m A

L = = =

Die Einheit der Selbstinduktion ist:

Beispiel:

Eine Spule habe die Länge l = 10 cm und den Durchmesser D = 5 cm. Sie hat N = 50 Windungen. Wie groß ist die Induktivität L ?

Die Querschnittsfläche A ist:2

3 31.963 10 m2DA π −⎛ ⎞= = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

250 6.17 10 H 61.7μHANL

lμ −= = ⋅ =

Mit µ0 = 4π⋅10−7 Vs/Am ergibt sich dann:

1 Henry ist also eine recht große Einheit.

Joseph Henry(1766-1844)

)()()(2

0 tILdt

tdIlANtU &−=−=

μ

267


I(t)

U(t) t

t

Ein zeitlich variabler Strom I(t) durch die Spule bewirkt zwischen den Spulenanschlüssen eine Spannung:

dtdILtU −=)(

268


Der Begriff der Selbstinduktion lässt sich auch auf eine beliebige Leiter-schleife verallgemeinern.

)(tBr

)(tU

Adr

)(tI

mag. ( )

( )

B t dA

L I t

Φ = ⋅

=∫∫

rr

Durch jeden Stromkreis greift ein Mag-netfluss, welcher von seinem eigenen Stromfluss herrührt. Da das Magnetfeld proportional zum Strom I(t) ist gilt:

Hierbei ist L die Selbstinduktion der Leiterschleife, die nur von ihrer geome-trischen Beschaffenheit abhängt.

( )( ) dI tU t Ldt

= −

Es ergibt sich also wieder:

269


U0

I

R

L

UR

UL

5.6 RL-Kreise

Wir betrachten einen Stromkreis be-stehend aus einer Gleichspannungs-quelle U0, einem Widerstand R und einer Induktivität L.

(i) Einschaltverhalten:

Die „Maschenregel“ liefert:

R 0 L

R L

0

0( ) ( )

U U UdIU R I U Ldt

dIR I U Ldt

UdI t R I tdt L L

= +

= = −

⇒ = −

⇒ + =

Dies ist eine lineare, inhomogene DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizien-ten. Als Anfangsbedingung soll speziellI (t=0) = 0 gewählt werden.

270


Die Lösung der homogenen Gleichung lautet:

h ( ) exp RI t A tL

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Eine partikuläre Lösung Ip(t) ergibt sich leicht aus der Bedingung:

0Plim ( ) const.

t

UI tR→∞

= =

p h

0

( ) ( ) ( )

( ) exp

I t I t I t

U RI t A tR L

= +

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Damit gilt für die Gesamtlösung:

Die Konstante A ist mit der Anfangs-bedingung I(t) = 0 für t = 0 festgelegt:

0

0

(0) 0UI AR

UAR

= + =

⇒ = −

Damit ergibt sich das gesuchte Ein-schaltverhalten des Stromes in einem Stromkreis mit einer Induktivität:

0( ) 1 expU RI t tR L

⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Der Strom baut sich erst nach einer Zeitτ = L/R auf.

Beispiel: L = 1 mH und R = 1 kΩ3

610 H Vs10 1μs1000 A V/A

τ−

−= = =Ω

271


t

0( ) 1 expU RI t tR L

⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

I(t)Einschaltkurve des Stromes bei einer Induktivität

0UR

272


U0

I

RL

URUL

(ii) Ausschaltverhalten:

Jetzt ergibt die „Maschenregel“:

R L

R L

0

( ) ( ) 0

U UdIU R I U Ldt

dIR I Ldt

dI t R I tdt L

= +

= = −

⇒ = −

⇒ + =

Dies ist eine lineare, homogene DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Als Anfangsbedingung soll jetzt spe-ziell I(0) = I0 gewählt werden.

0( ) exp RI t I tL

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Als Lösung ergibt sich sofort:

Der Strom klingt mit der Zeitkonstanten τ = L/R ab.

273


t

I0

0Ie

I(t)

LR

τ =

0( ) exp RI t I tL

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ausschaltkurve des Stromes bei einer Induktivität

274


5.7 Energie des Magnetfeldes Die Leistung P ist:

dW dIP U I L Idt dtdW LI dI

= = =

⇒ =

Magnetfeld im Innern der Spule:

Wenn sich der Strom zeitlich ändert, dann wird eine Spannung U induziert:

l

UN WindungenI

A

Wir betrachten die folgende Spule:

Hieraus folgt durch Integration die in der Spule gespeicherte Energie:

212

W LI=

lNIB 0μμ=

dtdIL

dtdI

lAN

dtdBNAU

L

−=−=−=

=43421

ätInduktivit :

2

0μμ

Drückt man die Energie durch das Magnetfeld B aus, so ist:

2

02BAlW

μμ=

Mit V = Al und Β = μμ0Η folgt für die Energiedichte ρw= W/V

BHw 21

=ρ

275


5.8 Maxwellsches Induktionsgesetz

In 5.4 wurde mit dem Faradayschen In-duktionsgesetz gezeigt, dass zeitlich veränderliche B-Felder ein E-Feld erzeugen. Symmetrieüberlegungen füh-ren nun zur Induktion eines B-Feldes durch zeitlich veränderliche E-Felder:

∫∫ ⋅=Φ=⋅AdA

el AdEdtdrdB

rr&rr

00.00 εμεμ

Betrachtet wird hierzu das Aufladen eines Plattenkondensators: Der konstan-te Strom I bewirkt eine Zunahme der Ladung und damit dE/dt > 0:

EI I

dE/dt>0

Die Richtung des induzierten Magnet-feldes wird deutlich beim Blick auf die rechte Platte (von innen):

Br

Br

Br

Br

Er

0/ >dtEdr

Wichtig sind die unterschiedlichen Vorzeichen in beiden Induktionsgeset-zen. Sie ermöglichen u.a. die Existenz von elektromagnetischen Wellen.

276


Bereits bekannt ist das Ampèresche Gesetz mit dem vom Weg ds einge-schlossenen Strom I

IrdB∫ =⋅ 0μrr

Die Kombination beider Gesetze liefert das Ampère-Maxwellsche Gesetz

IrdB el∫ +Φ=⋅ 0.00 )( μεμ &rr

mit dem (fiktiven) Verschiebungsstrom

.0 elVI Φ= &ε

IVI I

5.9 Zeitabhängige Maxwell-Gleich-ungen: Überblick

∫ Φ−=⋅ .magdtdrdE rr

IdtdrdB el 0.00 μεμ∫ +Φ=⋅

rr

∫ =⋅0εinqAdE

rr

∫ =⋅ 0AdBrr

(1) Faradaysches Induktionsgesetz

(2) Ampère-Maxwellsches Induktions-gesetz

(3) Gaußscher Satz für elektrischeFelder

(4) Gaußscher Satz für magnetischeFelder

Date post:	17-Sep-2018
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