Ingo Rechenberg

PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Evolutionsstrategie I“

Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie

Objektiver, subjektiver und algorithmischer Zufall

Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

Treibstoff für den

Optimierungsmotor

Evolutionsstrategie

Zufalls-

Maschinen

Normalverteilung

Die normale Verteilung des Zufalls

Francis Galton

und sein Nagelbrett

Sir Francis Galton (1822 - 1911)

Senkrecht aus der Wand ragende Nägel

34

52

1

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5+++++

Chips, die auf der einen Seite ein Minus- und auf der anderen Seite ein Plus-Zeichen tragen.

Wir erhalten das Ergebnis +2 auch, indem wir alle Vorzeichen addieren und das Ergebnis durch 2 dividieren

Mechanischer Zufallszahlengenerator

„Turbulenzklappe“

1968 für die Evolutionsstrategie entwickelt

Text

Physikalischer Zufallszahlengenerator als USB-Stecker

Das Zufallssignal wird von der thermischen Rauschquelle, generiert, die eine Z-Diode liefert.

Firma: Westphal Electronic

Preis: 340 Euro

PRG310

Der Zufall im täglichen Leben und auch der Zufall in der klassischen Physik ist ein scheinbarer Zufall. Der deutsche Physiker Werner Heisenberg hat dies auch als subjektiven Zufall bezeichnet, womit gemeint ist: Es ist ausschließlich unser momentanes Unwissen, das Unwissen des Subjekts, das es uns so erscheinen lässt, als wäre ein bestimmtes Ereignis rein zufällig gewesen. In Wirklichkeit gibt es dafür jedoch einen wohl definierten Grund.

Nur in Quantenphysik existiert der objektive Zufall. Kommt ein System in einen Quantenzustand, sind mehrere Zustände gleichzeitig in einer Raum-Zeit-Wahr-scheinlichkeitswelle vorhanden. Bricht diese Welle z. B. durch eine Messung zu-sammen, ist nur noch ein Zustand vorhanden. Dabei ist es objektiv zufällig, wel-chen der gleichberechtigten Zustände das physikalische Objekt dabei annimmt.

Subjektiver und objektiver Zufall

Die genaue Ortsfestlegung des Elektrons in y-Richtung bedingt eine hohe Unschärfe der Geschwindigkeit in y-Richtung

Heisenbergsche Unschärferelation

4ΔΔ hpy y

Für m = konst.

4ΔΔ hvy y

y

Plancksches Wirkungsquantum

h = 6,63·10-34 Js

Prinzip eines Quanten-Zufallszahlengenerators

Elektronenquelle

Elektron

?

klick = “1”

klick = “0”

Detektoren

mvp

Photonenquelle

Halbdurchlässiger S piegel

Photon

Photonen-Detektor

50%

50%? “1”

“0”

Quanten-Zufallszahlen-Generator

Schneller Quanten-Zufallszahlen-Generator Der Quanten-Zufallszahlen-Generator (QRNG), den ein Aussteller auf der CeBIT 2004 zeigt, ist noch ein-mal kleiner, leistungsfähiger und preisgünstiger als sein Vorgängermodell. Im Vergleich zu anderen Gene-ratoren, die auf so genannten chaotischen Prozessen basieren, nutzt das vorgestellte Modell mit der zufäl-ligen Reflexion oder Transmission eines einzelnen Photons an einem halbtransparenten Spiegel einen fundamentalen quantenphysikalischen Prozess aus.

Text

9 0 1 7 7 4 7 0 9 4 7 8 6 9 1 7 9 7 8 4 6 3 1 4 6 1 1 3 7 6 1 3 5 6 0 2 2 3 1 9 5 1 2 2 5 5 1 8 4 1 2 6 0 7 8 7 2 2 2 9 9 8 1 9 7 4 6 7 1 6 3 1 5 6 1 3 4 2 7 9 4 8 2 2 1 0 3 7 0 3 1 9 0 2 6 8 9 3 2 1 1 9 8 9 6 2 4 6 7 0 7 1 9 8 7 2 2 9 8 1 9 4 5 6 4 0 9 4 1 0 1 3 1 4 2 2 5 7 1 1 8 7 1 1 6 4 2 1 8 7 8 1 4 4 4 4 6 4 4 7 2 6 1 0 6 7 6 7 7 8 1 2 0 2 6 2 9 0 0 3 1 2 6 9 0 8 0 3 3 8 6 8 4 4 7 4 4 4 3 4 3 8 1 0 3 9 1 6 0 7 9 1 2 4 4 5 3 1 3 8 8 4 0 5 6 2 6 9 6 5 6 7 4 9 7 6 1 2 0 1 9 6 4 0 3 2 2 5 1 5 1 2 2 9 7 8 0 1 7 2 0 1 0 6 1 0 0 1 3 0 6 7 6 6 5 0 1 8 9 6 4 0 2 8 6 8 6 1 5 5 0 1 8 1 7 5 7 6 8 1 1 5 9 7 0 4 5 0 6 1 4 0 1 0 0 7 8 3 6 5 1 1 1 1 3 0 0 0 1 3 7 8 6 7 6 3 4 7 4 8 4 6 6 2 8 0 9 8 9 4 1 7 5 6 8 5 0 8 0 9 9 0 4 5 7 1 9 2 7 2 9 1 0 7 4 4 2 5 6 3 6 2 4 7 6 4 8 2 1 0 4 5 9 1 9 0 8 7 2 7 2 0 1 7 9 7 0 2 0 6 5 0 5 0 7 6 1 2 9 5 2 3 8 7 4 9 4 5 9 0 8 7 3 6 4 2 1 0 3 2 5 1 8 0 2 0 7 7 1 4 3 3 1 1 0 7 5 9 9 1 6 3 6 5 9 2 3 4 8 4 4 3 1 4 0 5 1 1 7 2 9 4 5 8 3 6 4 2 6 1 1 0 1 6 7 0 5 1 4 7 0 0 0 4 7 0 8 7 0 9 6 3 1 3 0 2 4 4 4 7 0 6 3 5 6 5 9 8 6 7 5 1 7 1 8 6 3 4 2 1 2 0 4 0 3 1 9 2 6 0 4 6 2 7 8 7 1 4 9 9 0 1 0 2 0 9 2 6 6 4 3 2 3 6 8 5 2 7 5 7 5 3 2 5 7 2 4 5 6 0 6 7 5 1 2 6 6 9 0 5 1 6 3 6 3 5 8 6 8 1 5 7 3 1 0 5 3 9 4 9 4 3 2 9 2 1 1 7 2 4 2 0 1 9 9 6 0 2 6 6 2 1 5 3 3 6 1 4 4 3 8 2 6 8 0 0 0 4 8 4 0 3 0 4 2 5 6 9 8 7 7 7 3 9 8 8 4 7 5 0 6 9 4 6 7 3 1 1 1 1 3 2 9 3 5 2 7 2 0 4 1 0 0 3 1 6 7 0 6 7 0 4 7 3 5 2 4 3 4 3 9 5 1 0 2 5 8 2 1 4 8 5 0 9 5 3 3 1 1 1 1 6 6 7 1 8 7 6 8 2 9 9 3 0 7 7 1 3 2 2 2 7 3 6 8 9 3 9 5 7 4 4 6 7 0 7 7 5 3 3 5 8 3 5 6 4 7 5 4 9 4 1 6 4 1 8 6 2 7 5 0 5 3 6 2 3 2 4 4 8 8 4 0 6 7 2 3 2 9 5 4 5 2 7 7 4 6 6 1 3 0 1 3 5 8 4 1 5 0 4 2 0 1 3 3 3 1 5 3 4 4 2 1 8 7 4 7 1 0 7 9 7 2 7 3 7 1 8 2 3 0 1 2 6 1 6 1 2 5 7 4 3 6 0 6 2 8 2 3 3 9 0 7 5 0 8 0 9 8 2 8 4 5 7 2 7 6 2 9 0 3 5 8 1 4 6 1 2 8 0 1 9 7 1 3 7 9 0 4 3 8 4 5 9 2 3 4 8 9 6 1 1 3 3 0 7 9 4 1 2 1 3 1 6 1 8 4 0 4 4 0 5 3 3 9 9 7 8 9 5 5 4 1 7 1 8 8 2 6 4 2 9 0 5 9 9 4 4 6 3 3 0 4 5 0 3 5 4 1 7

1000 wirklich echte Zufallszahlen, erzeugt mit einem Quanten-Generator

21 40 40 08 30 15 02 39 31 15 19 13 10 05 19 19 42 27 04 15 04 35 08 06 20 09 15 29 39 20 11 37 09 39 14 11 42 28 23 34 41 34 26 29 04 43 38 28 21 10 41 19 45 03 38 18 02 08 31 44 05 26 05 40 40 35 36 26 14 22 15 04 12 38 30 03 17 02 18 33 48 23 18 46 25 10 44 17 17 09 05 48 16 20 31 26 08 27 41 30 36 25 36 12 23 18 21 33 05 19 39 35 27 22 03 42 18 31 42 18 24 37 49 21 40 35 20 19 01 07 13 24 42 27 11 37 41 19 16 08 28 23 21 07 29 17 19 24 41 35 26 10 14 48 21 47 46 04 24 19 49 30 48 46 41 30 08 29 34 30 11 19 28 23 05 31 22 24 27 29 19 31 43 25 16 06 24 16 45 20 17 49 06 22 14 19 01 42 39 44 27 13 39 47 34 24 38 24 18 02 33 19 31 04 13 01 38 19 09 35 12 35 33 32 45 04 25 18 09 11 37 41 06 38 44 06 16 49 25 10 13 35 18 19 44 24 46 20 46 26 37 46 11 19 10 41 26 41 02 44 07 45 14 11 41 10 21 06 22 34 44 40 32 14 18 36 35 18 21 44 21 25 22 07 15 26 37 31 23 42 37 46 19 49 18 42 13 03 30 49 37 27 10 39 44 12 04 27 10 06 46 37 32 39 38 44 03 40 45 17 17 14 09 16 03 29 48 14 20 29 24 26 29 32 08 04 30 15 13 46 29 18 39 12 05 13 49 17 23 24 13 09 27 20 28 31 03 08 34 26 07 47 40 04 39 14 38 03 35 28 35 33 07 43 04 36 40 38 13 43 47 03 16 17 21 06 27 40 20 18 15 09 30 07 16 03 35 25 15 08 23 17 22 19 18 30 27 16 44 17 26 38 25 30 29 25 45 48 24 38 42 17 23 34 35 08 29 45 36 20 31 38 46 03 45 14 16 04 39 01 43 09 44 02 08 37 45 36 12 07 03 49 06 23 24 37 31 22 31 15 33 02 03 07 02 20 26 05 16 29 42 34 09 48 48 34 26 44 34 32 03 19 42 14 04 40 02 29 47 09 33 49 02 05 07 17 42 39 48 20 22 17 05 25 38 20 27 21 49 01 06 12 03 36 20 29 45 12 26 38 28 44 22 43 25 20 28 12 08 33 06 09 49 15 31 18 14 21 26 33 01 31 15 20 32 49 08 08 30 02 47 03 39 37 19 35 37 01 29 33 32 33 17 21 20 08 13 03 03 08 01 05 45 34 32 49 41 08 28 02 32 16 34 16 28 20 04 11 29 32 32 33 40 11 49 27 45 46 24 42 48 15 08 30 14 06 42 46 45 08 41 24 30 33 31 11 45 39 32 49 02 44 31 24 14 01 43 46 01 02 28 44 08 44 47 24 34 48 12 22 32 20 08 09 07 04 44 38 14 19 28 16 12 14 36 39 11 19 11 35 43 49 49 14 31 24 37 19 24 37 16 44 39 38 33 08 30 13 27 16 33 12 40 49 13 42 22 28 08 09 28 42 26 05 21 43 05 03 47 37 35 12 41 22 47 12 33 15 17 12 37 46 13 03 27 04 27 39 23 09 20 42 05 08 40 30 27 33 44 45 40 42 19 44 23 31 37 26 03 31 39 16 09 16 12 43 14 20 34 49 03 45 10 34 46 11 40 32 47 04 20 35 08 18 03 36 40 29 18 49 01 05 44 49 12 02 26 41 23 18 16 41 45 07 20 21 09 47 37 34 11 26 07 08 16 36 47 08 44 44 18 21 26 49 28 23 26 16 12 27 22 05 04 03 41 17 37 40 42 36 04 39 38 22 39 26 49 43 20 04 29 05 13 29 47 30 46 37 12 27 49 44 09 09 30 14 36 02 39 14 17 01 21 42 36 10 27 24 41 40 06 46 11 29 18 21 42 08 38 40 20 05 42 38 30 40 12 44 14 07 12 42 43 47 16 45 41 28 25 49 48 41 40 43 45 12 15 21 14 26 15 07 24 49 21 07 39 07 10 22 25 16 18 31 03 11 11 17 46 36 23 45 13 28 36 23 32 34 06 28 42 06 40 43 40 15 26 24 22 17 31 08 20 19 16 38 08 25 14 03 37 35 23 15 32 07 47 17 16 36 26 49 27 19 27 17 33 24 15 40 25 37 30 04 44 33 11 37 19 21 01 31 41 23 27 14 25 47 11 01 16 15 22 43 36 07 20 17 15 34

1000 Quanten-Lottozahlen

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
5000 ??? - Zufallszahlen

Text

Pseudozufallszahlengenerator, der nach einer mathematischen Formel in Form einer Rekursionsvorschrift arbeitet

),,( 11 kiiii zzzz f

)(1 ii zz f

)(e 1

iziz FRAC

oder einfacher

Beispiel:

)()( ee ii zz INT

81 )( izzi FRAC 88 )()( ii zz INT

Liefert [0, 1) - gleichverteilte Pseudozufallszahlen

Das Quadrat-Mittenverfahren von John von Neumann

z0 = 66 662 = 4356

z1 35 352 = 1225

z2 22 222 = 0484

z3 48 482 = 2304

z4 30 302 = 0900

z5 90 902 = 8100

z6 10 102 = 0100

z7 10

Text

J. v. Neumann (1903 – 1957)

)]([ aia

iz

z 3

22

1 0110 FRACINT

Rekursionsformel

1949

Start mit einer 2a-stelligen Zahl (a = 1, 2, 3, …)

Bedeutung der Operation a = b mod c

Es ist a der Divisionsrest, der sich ergibt, wenn b durch c geteilt wird.

Beispiele:

a = 23 mod 9 a = 5

a = 100 mod 3 a = 1

a = 100 mod 90 a = 10

a = 33 mod 37 a = 33

Der Kongruenzgenerator A. Rothenberg (1960)

mbzaz ii mod)(1 Liefert ( 0, 1, 2, … m-1) gleichverteilte Zufallszahlen

Der Kongruenzgenerator

mbzaz ii mod)(1

Beispiel:

10mod)37(1 ii zz

z1 = 4 z2 = 1 z4 = 3z3 = 0 z5 = 4

)]([ mbzamz i

i FRAC1

Alternative Schreibweise:

Regeln für einen Kongruenz-Zufallszahlengenerator mit maximaler Periodenlänge m

mbzaz ii mod)(1

Regel 1: b und m dürfen keinen gemeinsamen Teiler besitzen

Regel 2. a –1 muss durch die Primfaktoren von m teilbar sein

Regel 3. a –1 muss durch 4 teilbar sein, wenn m Vielfaches von 4

Beispiel: a = 11, b = 3, m = 10

z0 = 4 z1 = 7 z3 = 3z2 = 0 z4 = 6

z5 = 9 z6 = 2 z8 = 8z7 = 5 z9 = 1 z9 = 4

10mod)311(1 ii zz

Regeln für einen Kongruenz-Zufallszahlengenerator mit maximaler Periodenlänge m

mbzaz ii mod)(1

Regel 1: b und m dürfen keinen gemeinsamen Teiler besitzen

Regel 2. a –1 muss durch die Primfaktoren von m teilbar sein

Regel 3. a –1 muss durch 4 teilbar sein, wenn m Vielfaches von 4

Beispiel: a = 901, b = 17, m = 30000

30000mod)17901(1 ii zz

Erzeugung rotationssymmetrisch normalverteilter Zufallszahlen

z1

z2

Erzeugung von 2 normalverteilter Zufallszahlen y1 und y2 aus 2 gleichverteilten

Zufallszahlen x1 und x2 durch die Box-Muller Transfomation:

)2sin()ln(2 211 xxy )2cos()ln(2 212 xxy

Beweis: Durch Bildung von y1 + y2 und y1 / y2 können wir das Gleichungssystem

leicht nach x1 und x2 auflösen: )(2

1

1

22

21

eyy

x

)(2

12 arctan

21

yy

x

Berechnung der Jacobi-Determinante

2/2/

2

2

1

2

2

1

1

1

21

21 22

21 ee

2

1

2

1),(),( yy

yx

yx

yx

yx

yyxx

Box, G. E. P. and Muller, M. E."A Note on the Generation ofRandom Normal Deviates.„Ann. Math. Stat. 29, 610-611, 1958

),(),(

),(),(21

212121 yy

xxxxwyyw

1

Für die Transformation der Dichte w(x1,x2) in die Dichte w( y1,y2) gilt:

Erweiterung der einsichtigen eindimensionalen Transformationsregel:

xxwyyw d)(d)(

Professor:

„… und nun will ich ihnen diesen Lehrsatz jetzt auch beweisen“

Schüler:

„Wozu beweisen, Herr Professor? Ich glaub‘ es Ihnen so.“

Fester Glauben

Wilhelm Busch

Erzeugung von normalverteilten Zufallzahlen

Box-Muller-Formel für den Computer:

)2sin()1log(2 gleich2gleich1normal zzz

Aus zwei [ 0, 1 ) - gleichverteilten Zufallszahlen wird eine normalverteilte Zufallszahl produziert

rnd rndin Basic

Gleichverteilte,

normalverteilte und

kugelrandverteilte Zufallzahlen

im Computerbild

Gleichverteilte Zufallsmutationen in die z1- z2- und z3-Richtung

erzeugen im Mittel in den Diagonalenrichtungen - fach

größere Mutationsvektoren als in den Variablenrichtungen !

n

z1

)5,0(2 gleichkubus zz

z3

z2

-1 +1

Text

Zusammengefasste Logik

der Evolutionsstrategie

Der Dumme, der einfach losgeht, kommt weiter als der Schlaue, der sitzen bleibt und sich vor lauter Nachdenken nicht entscheiden kann.

Stichproben-Generator

Einfach losgehen (irgendetwas machen) erfordert einen

0,3694 0,9284 0,2079 0,9989 0,1260 0,6529 0,9316 0,7965 0,3705 0,8985 0,2226 0,5342 0,4488 0,1678 0,1628 0,7918 0,7372 0,8404 0,4038 0,9501 0,6603 0,4121 0,3412 0,4439 0,2659 0,7437 0,7771 0,7157 0,0781 0,5667 0,6077 0,8724 0,0601 0,6445 0,2855 0,9989 0,9308 0,1323 0,0898 0,0321 0,4309 0,7503 0,4484 0,8258 0,0438 0,1965 0,6839 0,7762 0,2457 0,5428 0,8982 0,2496 0,9110 0,9204 0,9541 0,3418 0,0863 0,6957 0,7688 0,5117 0,6829 0,9253 0,6371 0,2503 0,4469 0,1715 0,2330 0,2525 0,6164 0,5399 0,7083 0,8156 0,0602 0,9943 0,8288 0,3440 0,2245 0,0655 0,2725 0,7460 0,8282 0,1834 0,1076 0,2949 0,5979 0,7363 0,8807 0,8428 0,3533 0,5511 0,0648 0,3631 0,0960 0,4324 0,4509 0,1695 0,9996 0,8175 0,7368 0,4984

0,7055 0,5334 0,5759 0,2896 0,3019 0,7747 0,0140 0,7607 0,8145 0,7090 0,0454 0,4140 0,8626 0,7905 0,3735 0,9620 0,8714 0,0562 0,9496 0,3640 0,5249 0,7671 0,0535 0,5925 0,4687 0,2982 0,6227 0,6478 0,2638 0,2793 0,8298 0,8246 0,5892 0,9861 0,9110 0,2269 0,6951 0,9800 0,2439 0,5339 0,1064 0,9994 0,6762 0,0157 0,5752 0,1001 0,1030 0,7989 0,2845 0,0456 0,2958 0,3820 0,3010 0,9486 0,9798 0,4014 0,2783 0,1604 0,1628 0,6466 0,4101 0,4128 0,7127 0,3262 0,6332 0,2076 0,1860 0,5834 0,0807 0,4580 0,9057 0,2614 0,7852 0,3789 0,2897 0,9194 0,6317 0,6276 0,4285 0,0980 0,5610 0,6945 0,9137 0,8348 0,0226 0,5434 0,9162 0,4303 0,6779 0,5025 0,5137 0,4630 0,3535 0,4048 0,2697 0,0556 0,2438 0,9791 0,0609 0,3903

100 [0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen

Quanten-Zufallsgenerator BASIC rnd-Zufallsgenerator

Quanten-Zufallsgenerator contra Pseudozufallsgenerator

Zur „Philosophie“ der richtigen Schrittsetzfolge

1

2

3

4

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

1

2

1

2

3

4

1

2

4 4 4

164/

124/

1

1

Nur rechts herum

Mal rechts, mal links

0,3694 0,9284 0,2079 0,9989 0,1260 0,6529 0,9316 0,7965 0,3705 0,8985 0,2226 0,5342 0,4488 0,1678 0,1628 0,7918 0,7372 0,8404 0,4038 0,9501 0,6603 0,4121 0,3412 0,4439 0,2659 0,7437 0,7771 0,7157 0,0781 0,5667 0,6077 0,8724 0,0601 0,6445 0,2855 0,9989 0,9308 0,1323 0,0898 0,0321 0,4309 0,7503 0,4484 0,8258 0,0438 0,1965 0,6839 0,7762 0,2457 0,5428 0,8982 0,2496 0,9110 0,9204 0,9541 0,3418 0,0863 0,6957 0,7688 0,5117 0,6829 0,9253 0,6371 0,2503 0,4469 0,1715 0,2330 0,2525 0,6164 0,5399 0,7083 0,8156 0,0602 0,9943 0,8288 0,3440 0,2245 0,0655 0,2725 0,7460 0,8282 0,1834 0,1076 0,2949 0,5979 0,7363 0,8807 0,8428 0,3533 0,5511 0,0648 0,3631 0,0960 0,4324 0,4509 0,1695 0,9996 0,8175 0,7368 0,4984

0,7055 0,5334 0,5759 0,2896 0,3019 0,7747 0,0140 0,7607 0,8145 0,7090 0,0454 0,4140 0,8626 0,7905 0,3735 0,9620 0,8714 0,0562 0,9496 0,3640 0,5249 0,7671 0,0535 0,5925 0,4687 0,2982 0,6227 0,6478 0,2638 0,2793 0,8298 0,8246 0,5892 0,9861 0,9110 0,2269 0,6951 0,9800 0,2439 0,5339 0,1064 0,9994 0,6762 0,0157 0,5752 0,1001 0,1030 0,7989 0,2845 0,0456 0,2958 0,3820 0,3010 0,9486 0,9798 0,4014 0,2783 0,1604 0,1628 0,6466 0,4101 0,4128 0,7127 0,3262 0,6332 0,2076 0,1860 0,5834 0,0807 0,4580 0,9057 0,2614 0,7852 0,3789 0,2897 0,9194 0,6317 0,6276 0,4285 0,0980 0,5610 0,6945 0,9137 0,8348 0,0226 0,5434 0,9162 0,4303 0,6779 0,5025 0,5137 0,4630 0,3535 0,4048 0,2697 0,0556 0,2438 0,9791 0,0609 0,3903

100 [0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen

Quanten-Zufallsgenerator BASIC rnd-Zufallsgenerator

Quanten-Zufallsgenerator contra Pseudozufallsgenerator

Text

Ende

Aus den Anfängen der Evolutionsstrategie stammt ein bemerkenswert einfacher strömungstechnischer Apparat, der normalverteilte Zufallszahlen erzeugt: Die Turbulenzklappe. In einem turbulenten Freistrahl befindet sich eine leicht drehbar gelagerte Balsaholzfahne. Die turbulenten Strömungswirbel, die sich unvorhersag-bar chaotisch bewegen, schleppen die Fahne schwingend hin und her. Die Fahne stößt dabei unregelmäßig an einen elektrischen Kontakt. An die Stelle der Lampe in der Skizze ist ein elektronische Zähler eingefügt. Die von der Klappe erzeugten Impulse werden für T Sekunden aufwärts und für ebenfalls genau T Sekunden ab-wärts gezählt. Was übrig bleibt ist eine Zufallszahl, die einer Normalverteilung ge-nügt. Denn große Zähldifferenzen werden wesentlich seltener auftreten als kleine.

Eine schwache Lichtquelle, z. B. ein Laser oder eine Leuchtdiode, sendet einen Strom von Lichtteilchen (Photonen) aus. Der Lichtstrahl wird an einem halbdurch-lässigen Spiegel geteilt. Die Hälfte der Lichtteilchen dringt hindurch und trifft dahinter auf ein Messgerät. Die andere Hälfte wird reflektiert und dann in einem zweiten Messgerät aufgefangen. Ähnlich wie beim Münzwurf hat das einzelne Photon eine Wahrscheinlichkeit von ½ in einen der beiden Detektoren zu treffen. Es gibt jedoch keinen inneren Mechanismus, der das Photon in die eine oder andere Richtung stößt. Und genau das ist der Unterschied zu allen anderen Zufallsgeneratoren. Der Zufall ist in den Formeln der Quantenphysik enthalten. Seit etlichen Jahrzehnten ersinnen die Forscher immer neue Experimente, um das zu beweisen oder vielleicht doch einen verborgenen Mechanismus zu finden. Albert Einstein war einer der prominentesten Kritiker des "eingebauten Zufalls". Sein abschätziger Kommentar: "Gott würfelt nicht!" Nach unserem heutigen Wissensstand ist es sehr wahrscheinlich, dass er doch gewürfelt hat...

Die Ziffernfolge Pi hat bisher alle Test bezüglich ihres zufälligen Verhaltens bestanden.

Von Pi sind heute über 1,24 Billionen Kommastellen bekannt, das ist der momentane Weltrekord.

Ein weiterer Weltrekord:

Mathematikfreunde aus Gießen haben im Mathematikum der Stadt einen Welt-rekord aufgestellt, indem sie 108 000 Kommastellen der Wunderzahl vorlasen:

Rund vierzig Kinder und Erwachsene schieben sich vor die Bühne im Hinterhof des Gießener Mathematikums, als Albrecht Beutelspacher am Freitag um Punkt achtzehn Uhr den Vorleseweltrekord der Zahl Pi eröffnet, die als 3,14 bekannt ist. Fünf Minuten hat der Mathematikprofessor Zeit, um die ersten 300 Zahlen nach dem Komma inklusive der Drei vor dem Komma vorzulesen. Eine Minute länger als vorgesehen braucht er dafür, doch Albrecht Beutelspacher, Leiter des Mathe-matikums und Organisator des Wettbewerbs, ist mit seiner Leistung zufrieden …

Samstagnacht um vierundzwanzig Uhr ist es dann geschafft: Die Organisatorinnen Svenja Häuser und Lisa Grieb lesen die letzten sechshundert Ziffern vor. Ein neuer Weltrekord ist erreicht.

Man beginnt mit einer 2a-stelligen Zahl (a = 1, 2, 3, …). Die Zahl wird quadriert. Es entsteht eine 4a-stellige Zahl. Ist bei der Quadratbildung die Stellenzahl kleiner als 4a, so werden dem Ergebnis entsprechend viele Nullen vorgesetzt. Daraufhin werden die mittleren 2a Stellen herausgeschnitten und als neue Pseudozufallszahl interpretiert. Nach der abermaligen Quadrierung dieser Zahl ergibt sich durch Herausblenden der Mitte die nächste Pseudozufallszahl usw.

Anmerkung zur Rekursionsformel für das Quadratmittenverfahren:

Mit der Operation FRAC wird der Nachkommateil und mit der Operation INT der Vorkommateil einer Zahl herausgeblendet.

Bemerkung zum Programm: Der Computerversuch zeigt, dass in der Praxis die Anisotropie der Zufallsvektoren, die mit n gleichverteilten Zufallszahlen zwischen -1 und +1 erzeugt werden, die Konvergenz der Evolutionsstrategie nicht stört. Das ist durch die sehr schnelle Anpassung der Mutationsschrittweite mit der 1/5-Erfolgsregel zu erklären.

In der Theorie würde dagegen die Verwendung von gleichverteilten Zufallszahlen in der Form 2*(Rnd - 0.5) zu den größten Schwierigkeiten führen, da sich dann für jede Raumrichtung eine andere Lösung ergeben würde. Aus diesem Grund arbeiten Evolutionsstrategen nicht nur in der Theorie, sondern auch in der Praxis mit normalverteilten Zufallsmutationen.

Feststellung: Evolutionsbefürworter und Evolutionsgegner streiten über die Rolle des Zufalls in der Entwicklung des Lebens. Evolutionsbiologen sehen im Zufall den großen „Macher“, Kreationisten ziehen die Kraft des Zufalls ins Lächerliche. Tatsa-che ist: Der Zufall spielt bei weitem nicht die Rolle, wie es die Kontroverse erwarten lässt. Der Zufall ist in der Evolutionsstrategie nur eine besonders einfacher Stich-probengenerator. Es muss etwas Neues probiert werden und dabei jegliches „Vorurteil“ (Bevorzugung einer bestimmten Richtung) vermieden werden. Auch ein deterministischer Stichprobengenerator könnte diese Bedingungen erfüllen. Der Pseudozufallszahlengenerator ist ein solcher deterministischer Stichprobengene-rator, der sich besonders einfach programmieren lässt. Nur wer an eine mystische Kraft des Zufalls glaubt wird seine Mutationen mit einem Quantengenerator erzeugen.

Was in der Evolution schon nicht mehr dem Zufall überlassen werden darf, das ist die Mutationsgröße (in der Evolutionsstrategie die Schrittweite ). Das zeigt die Theorie des Evolutionsfensters.