In diesem Abschnitt werden die Grundrechenoperationen mit konkret gegebe-nen Zahlen (z.B. 2 oder 3,7) und auch das Rechnen mit allgemeinen Zahlsym-bolen („Buchstabenrechnung“, z.B. mit den Buchstaben a , x) wiederholt undgeübt. Die Grundrechenoperationen werden in die folgenden Stufen (Klassen)eingeteilt:
die Zahlbereiche schrittweise erweitert, um die einzelnen Grundrechenarten freiausführen zu können, d.h., ohne den entsprechenden Zahlbereich zu verlassen.So ist das Ergebnis der Addition zweier natürlicher Zahlen wieder eine na-türliche Zahl. Wenn aber eine natürliche Zahl von einer anderen natürlichenZahl subtrahiert wird, so kann das Ergebnis negativ werden (z.B. 5−7 = −2).Wenn wir zu den natürlichen Zahlen die 0 (Null) und die negativen Zahlen−1, −2, −3, . . . hinzufügen, so erhalten wir den Zahlbereich der
subtrahierenden Zahlen ausführbar ist.Die Gesamtheit aller
rationalen Zahlen, das sind alle möglichen Brüchep
qmit den ganzen
Zahlen p, q als Zähler und Nenner, wobei der Nenner q = 0 ausge-schlossen wird (Bezeichnung: Q),
bildet den Zahlbereich der rationalen Zahlen, in welchem die Division ohneEinschränkungen, außer Division durch Null (ist verboten), ausführbar ist.
Jede rationale Zahl lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln, indem dieDivision Zähler durch Nenner ausgeführt wird. Die hierbei entstehenden Dezi-malzahlen sind abbrechende oder nichtabbrechende periodische Dezimalzahlen(z.B. 7
4= 1, 75 oder 1
3= 0, 3 = 0, 333 . . .).
Um umgekehrt die periodische Dezimalzahl Z = 0, z1z2 . . . zp mit den Zif-fern z1, z2, . . . , zp und der Periodenlänge p in einen Bruch umzuwandeln, be-trachten wir die Gleichung
lösen diese nach Z auf und erhalten: Z =z1 z2 . . . zp
10p − 1.
(Beim Auflösen der Gleichung (1.1) nach Z haben wir die linke Seite dieserGleichung umgeformt in 10pZ−Z = (10p−1)Z und dann die Gleichung durch10p − 1 dividiert.)
Es ist nun aber bekannt, dass die bei der Kreisberechnung U = π ·d (Kreis-umfang ist gleich π mal Kreisdurchmesser) verwendete Zahl π = 3, 14159 . . .eine nichtabbrechende, nichtperiodische Dezimalzahl ist. Somit ist π keine ra-tionale Zahl.
Die nichtabbrechenden und nichtperiodischen Dezimalzahlen werdenals irrationale Zahlen bezeichnet.
In Aufgabe 3.29 a), b) werden wir beweisen, dass√
2 und lg 3 ebenfalls irra-tionale Zahlen sind.
Die rationalen und irrationalen Zahlen zusammengenommen bildenden Bereich der reellen Zahlen (Bezeichnung: R).
Eine anschauliche Vorstellung von den reel-len Zahlen können wir durch die Zahlengera-de gewinnen. Die Zahlengerade ist eine Ge-rade, auf der der Nullpunkt 0 und die Zahl 1festgelegt sind.
� R0 1
1.2 Die vier Grundrechenarten 11
Es gilt nun, dass jedem Punkt auf der Zahlengeraden eine reelle Zahl entsprichtund umgekehrt wird jeder reellen Zahl ein Punkt auf der Zahlengeraden zuge-ordnet.
Aufg. 1.1 Wandeln Sie in Dezimalzahlen um:
a)5
7, b)
1
5, c)
1
8, d)
2
13, e)
13
7.
Aufg. 1.2 Warum kann die Periodenlänge der rationalen Zahl r = pq
niemalslänger als q − 1 sein?
Aufg. 1.3 Wandeln Sie die periodischen Dezimalzahlen in Brüche um:a) 0, 13, b) 2, 171, c) 0, 1.
Wir wollen noch anmerken, dass der Zahlbereich der reellen Zahlen R zumZahlbereich der komplexen Zahlen C erweitert werden kann, was im vorliegen-den Buch aber nicht behandelt wird.
1.2 Die vier Grundrechenartenvon 1. und 2. Stufe
Es ist zu beachten, dass zuerst die Grundrechenarten von 2. Stufe und danndie von 1. Stufe ausgeführt werden, d.h. als Merkregel:
Punktrechnung (·, :) geht vor Strichrechnung (+, -).
(So gilt z.B.: 2 · 3, 4 + 3 · 2, 3 = 6, 8 + 6, 9 = 13, 7.)Die Grundlage für das Rechnen bilden die folgenden Gesetze, wobei a, b, c, d
im weiteren reelle Zahlen bezeichnen:
Addition Multiplikation
Kommutativgesetze a + b = b + a a · b = b · aAssoziativgesetze a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · cDistributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c
Das Rechnen mit Klammerausdrücken
Aus den obigen Gesetzen ergeben sich die folgenden Regeln für das Rechnenmit Klammerausdrücken, wobei das Multiplikationszeichen „· “ im Folgendenoft weggelassen wird:
12 1 Rechnen mit reellen Zahlen
a− (b + c) = a− b− c a− (b− c) = a− b + c
a(b + c) = ab + ac
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)(c− d) = ac− ad + bc− bd
(a− b)(c + d) = ac + ad− bc− bd (a− b)(c− d) = ac− ad− bc + bd
Wichtige Spezialfälle der obigen Rechenregeln sind die drei binomischen For-meln:
1. binomische Formel: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Aufg. 1.5 Berechnen Sie: a) (3x− 4)2, b) (4x + y)2, c) (2x− y)2.
Aufg. 1.6 Lösen Sie die Klammern auf (d.h., beseitigen Sie alle Klammern):a) (5a− 7b) · 4a− (3a− 8b) · 5b− (7b− 2a) · 6a + (5a− b) · 3bb) 3x [5y − (7x− 4y)]− 8y [3x− (7y − 5x) + (6x− 11y)(2x + y)]
Aufg. 1.7 Zerlegen Sie folgende Ausdrücke in Faktoren: a) x2 − 1
z6,
b) 2ax + ay − 2bx− by c) 1− x + x2 − x3 + x4 − x5.
Bruchrechnung
Für das Rechnen mit Brüchen gelten die folgenden Regeln, wobei k, �,m, nganze Zahlen mit der Voraussetzung �, n �= 0 bezeichnen:
Additionk
�+
m
n=
kn + �m
�nSubtraktion
k
�− m
n=
kn− �m
�n
Multiplikationk
�· m
n=
km
�nDivision
k�nm
=k
�:
n
m=
km
�n
Betrag einer reellen Zahl
Als Betrag |r| einer reellen Zahl r wird der Abstand dieser Zahl r vom Null-punkt 0 erklärt und durch:
1.2 Die vier Grundrechenarten 13
|r| ={
r für r ≥ 0 (d.h., r ist positiv oder gleich 0)−r für r < 0 (d.h., r ist negativ)
gegeben. (So gilt z.B. |2| = 2, denn 2 ist positiv und damit muss die obere Zeileder obigen Definition verwendet werden. Andererseits gilt | − 2| = −(−2) =2 nach der unteren Zeile der obigen Definition, denn −2 ist negativ.) DasRechnen mit Beträgen werden wir im Abschn. 4.2 üben.
Das Rechnen mit reellen Zahlen und allgemeinen Zahlsymbolen
Das Rechnen mit Klammern, Doppel- und Kettenbrüchen und die vier Grund-rechenarten in der Bruchrechnung werden in den folgenden Aufgaben geübt.Bemerkung: Wenn in einem Bruch mehrere Bruchstriche auftreten,so mussdurch unterschiedliche Längen der Bruchstriche festgelegt werden, wie dieseBrüche zu berechnen sind. Das einfache
Beispiel:34
2= 3
4: 2 = 3
8, und 3
42
= 3 : 42
= 32
zeigt, dass bei unterschiedlichen Längen der Bruchstriche wir i.a. verschiedeneErgebnisse erhalten.
Aufg. 1.8 Berechnen Sie ohne Taschenrechner: a) 2, 1 +7
12− 3
8,
b)
34
3− 91
12(7
16− 17
48
)· 15
, c) den Kettenbruch: 1
1 +1
2 +1
3 +1
4
.
Aufg. 1.9 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
a)
xy2
3zx2
, b)xy2
3z
x2
, c)8a2 + 8b2 + 16ab
a + b
a− b
, d)
a
b− b
a
a
b+
b
a
.
Aufg. 1.10 Es ist zu addieren bzw. zu subtrahieren: a)1
m + n+
1
m− n,
b)3m + 5n
2m + 3n− 2m− 3n
3m− 5n, c)
8x− 9y
3x− 5y− 2x− 9y
x + 5y,
d)3x2 − 3xy
x + y− 6y2 + 6xy
x− y.
14 1 Rechnen mit reellen Zahlen
Aufg. 1.11 Es ist zu addieren bzw. zu subtrahieren:
a)1− c
3ab+
2c− 5b
6ab− 10b2− 5 (2c− 3a)
18a2 − 30ab, b)
2x
x2 − 6x + 9− 2x + 6
x2 − 9,
c)−b
9a2 − b2+
7a + 2b
6ab− 2b2− 6a2 − 4b2
27a3 − 3ab2− 8b2
54a3 − 6ab2.
Aufg. 1.12 Es ist zu vereinfachen:6− 10x
4x +15
5 +30x
2− 6x
.
Aufg. 1.13 Vereinfachen Sie und geben Sie die Existenzbedingungen für dieauftretenden Terme an:
a)a + 1
a2 − a− a− 1
a2 + a+
1
a− 4
a2 − 1, b)
a + 1
a− 1− 1
1 +a + 1
a− 1
,
c)[(
3
x− y+
3x
x3 − y3· x2 + xy + y2
x + y
):
2x + y
x2 + 2xy + y2
]· 3
x + y,
d)a3 + b3
a2 − ab + b2, e)
1
a− a
1 +a
x− a
, f)a + (1− ax)−1
1 + (1− ax)−1mit x =
1
a− 1,
g)
3
xy− 5
y3
y− 5
x
, h)1
x + 1+
1
x− 1− 2x
1 + x2, i)
2u + v
u− v· u2 − v2
4u + 2v,
j)a
a2 − 2ab + b2− a
a2 − b2+
1
a + b.
Die Partialdivision
Wenn mehrgliedrige Ausdrücke zu dividieren sind, so wenden wir das Verfah-ren der Partialdivision an, welches uns bereits von der schriftlichen Divisionnatürlicher Zahlen (z.B. 3741 : 271) bekannt ist. Die Partialdivision wird inden folgenden zwei Schritten ausgeführt.1. Schritt: Ordnen von Dividend und Divisor.Es werden die einzelnen Glieder von Dividend und Divisor nach gleichen Ge-sichtspunkten geordnet. Wir vereinbaren, die einzelnen Glieder zuerst in al-phabetischer Reihenfolge und dann nach fallenden Potenzen zu ordnen.
1.2 Die vier Grundrechenarten 15
2. Schritt: Ausführen der Partialdivision.Es wird der erste Summand des Dividenden durch den ersten Summandendes Divisors dividiert. Der entstehende Quotient wird rechts vom Gleichheits-zeichen notiert. Dann wird er mit dem ganzen Divisor multipliziert und dasentstehende Produkt wird vom Dividenden subtrahiert. Hier kann es sich erfor-derlich machen, dass der durch diese Subtraktion entstehende Ausdruck erneutnach den im 1. Schritt verwendeten Gesichtspunkten zu ordnen ist. Mit demdabei entstehenden Rest wird in derselben Weise weiter gerechnet bis entwederdie Division aufgeht (d.h., wir erhalten den Rest 0) oder aber ein nicht mehrteilbarer Rest übrig bleibt. Es ist wichtig zu beachten, dass wir immer durchein und dasselbe Glied (meist das erste Glied) des Divisors dividieren.Beispiel: Führen Sie die Partialdivision für (y3 + x2y + x3 − 3xy2) : (x − y)aus.1. Schritt: Wir ordnen den Dividenden: x3 + x2y − 3xy2 + y3
Erläuterung: Wir dividieren den ersten Term des Dividenden x3 durch denersten Term des Divisors x und notieren das Ergebnis x2 rechts vom Gleich-heitszeichen. Es wird nun x2 mit dem ganzen Divisor (x− y) multipliziert, dasErgebnis (x3 − x2y) unter den Dividenden geschrieben und von ihm subtra-hiert. Wir erhalten 2x2y, was abermals durch den ersten Term des Divisors xdividiert wird. Das Ergebnis 2xy wird rechts vom Gleichheitszeichen notiert.Nun wird 2xy mit dem gesamten Divisor (x − y) multipliziert, das Ergebnis(2x2y − 2xy2) unter den neu berechneten Dividenden geschrieben und dannvon ihm subtrahiert. Nach nochmaliger Anwendung des obigen Verfahrens er-halten wir den Rest 0.Probe: (x2 + 2xy − y2)(x− y) = x3 + x2y − 3xy2 + y3.
Wenn die zu dividierenden Ausdrücke Polynome sind (d.h., es tritt in Divi-dend und Divisor nur ein und derselbe Buchstabe auf), dann erhalten wir alsSpezialfall der Partialdivision die Polynomdivision.
Aufg. 1.14 Führen Sie die Polynomdivision aus:a) (x3−6x2 +9x−4) : (x−1) , b) (24x4−26x3−76x2−32x) : (4x2−7x−8) ,
Das Auflösen bzw. Umformen von Gleichungen, in welchen nur die Grundre-chenarten von 1. und 2. Stufe auftreten, basiert auf folgenden Regeln:
Eine Gleichung bleibt erhalten, wenn:
1. Auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl bzw. das gleicheSymbol addiert oder subtrahiert wird.
2.Beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl, die aber ver-schieden von 0 sein muss, bzw. dem gleichen Symbol b, für wel-ches aber b �= 0 vorauszusetzen ist, multipliziert werden.
3.
Beide Seiten der Gleichung durch die gleiche Zahl, die aber ver-schieden von 0 sein muss, bzw. durch das gleiche Symbol a, fürwelches aber a �= 0 vorauszusetzen ist, dividiert werden.Es gilt auch hier: Division durch Null ist verboten!
Aufg. 1.17 Lösen Sie nach x auf: a) (x + 3)2 = (x + 9)(x + 1) ,
b)a− b
a + x+
a + b
a− x= 0 , c) 3 (a + x) = 7 (bx + 3) .
Aufg. 1.18 a) Lösen Sie die Gleichung1
R=
1
R1
+1
R2
nach R auf. b) Lösen
Sie das Ohmsche Gesetz R =U
Isowohl nach U als auch nach I auf.
Aufg. 1.19 Der Zähler eines Bruches ist um 3 kleiner als der Nenner. Wennwir zum Zähler und Nenner die Zahl 5 addieren, so erhalten wir 3
4. Wie lautet
der ursprüngliche Bruch?
1.2 Die vier Grundrechenarten 17
Direkte und indirekte Proportionalität
Gegeben seien zwei veränderliche Größen x und y, die in einem festen Verhält-nis μ
y
x= μ (bzw. y = μx)
zueinander stehen. Es wird dann gesagt, dass y direkt proportional zu x ist.Das Verhältnis μ der beiden Größen x und y wird als Proportionalitätsfaktorbezeichnet.
Aufg. 1.20 a) Berechnen Sie die Höhe eines Telefonmastes, der einen Schattenvon 4, 50 m wirft, wenn gleichzeitig ein 90 cm langer, senkrecht stehenderWanderstock einen Schatten von 135 cm hat.
b) Ein Sparbetrag von 350 € bringt in einem Jahr 10 € Zinsen. Wie viel Zinsenerbringen dann 100 €.
Aufg. 1.21 Beweisen Sie, dass ausy1
x1
=y2
x2
die Gleichungy1 + y2
x1 + x2
=y1
x1
folgt.
Wenn zwei veränderliche Größen x und y in der Beziehung
y =c
x(bzw. x · y = c)
stehen, wobei c eine Konstante ist, so sagen wir, dass y umgekehrt oder indirektproportional zu x ist.
Aufg. 1.22 a) Wie viele Arbeiter müssen eingestellt werden, wenn ein Kabel,dessen Verlegung durch 9 Arbeiter in 40 Tagen geplant ist, schon in 25 Tagenbetriebsbereit sein soll?
b) Ein Fahrzeug benötigt bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 70 km/hfür eine bestimmte Strecke 2 Stunden. In welcher Zeit wird diese Strecke beieiner Durchschnittsgeschwindigkeit von 90 km/h geschafft.
c) Die Umfänge zweier ineinander fassender Zahnräder betragen 60 cm und 75cm. Wie viele Umdrehungen des kleinen Rades kommen auf 1000 Umdrehungendes großen Rades? Wie viele Umdrehungen des großen Rades entsprechen 1000Umdrehungen des kleinen Rades?
18 1 Rechnen mit reellen Zahlen
Prozentrechnung
Um anschauliche Vergleiche zwischen gegebenen Größen zu geben, wird eineBezugszahl, die als Grundwert K bezeichnet wird, ausgezeichnet und gleich100 gesetzt. Die zu vergleichende Größe wird Prozentwert Z genannt. Es giltdann
p
100=
Z
K
wobei p den Prozentsatz (auch Prozentfuß genannt) bezeichnet.
Aufg. 1.23 a) Wie viel kg Titan sind in 280 kg einer Stahllegierung enthalten,wenn der Titangehalt 5% beträgt?b) Die durchschnittliche Milchleistung von 2800 kg je Kuh wird im Laufe einesJahres um 8% gesteigert. Wie groß ist jetzt die durchschnittliche Milchleistung?c) Es stehen zwei Behälter mit einem Fassungsvermögen von 5 m3 bzw. 10m3 zur Verfügung. Im kleineren Behälter sind 3 m3 und im größeren 5 m3
Flüssigkeit enthalten. Gesucht ist die prozentuale Auslastung beider Behälter.
Aufg. 1.24 Aus einer rechteckigen Metallplatte von 3,70 m Länge und 2,50 mBreite sollen kreisförmige Platten von 20 cm Durchmesser ausgestanzt werden,wobei der Abstand zwischen zwei Ausstanzungen 2 mm betragen soll. Wie vielProzent der Metallplatte werden ausgenutzt?
Aufg. 1.25 Von den im Jahre 2004 in Deutschland zugelassenen Kfz waren70% PKW, 25% LKW und 5% sonstige Kfz. Außerdem stieg der Bestandgegenüber 2003 bei PKW um 10%, bei LKW um 6% und bei den sonstigen Kfzum 3%. a) Um wie viel % stieg der gesamte Fahrzeugbestand 2004 gegenüber2003? b) Wie war die prozentuale Zusammensetzung des Kfz-Bestandes imJahre 2003?
1.3 Potenz- und Wurzelrechnung
In diesem Abschnitt werden die Potenzrechnung und ihre erste Umkehrung,die Wurzelrechnung, geübt. Die zweite Umkehrung, das Logarithmieren, wirdim Abschn. 1.4 betrachtet. Bei den folgenden formal ähnlich aussehenden Re-chengesetzen müssen wir sehr genau auf die Voraussetzungen, die den Anwen-dungsbereich dieser Gesetze festlegen, achten.
1.3 Potenz- und Wurzelrechnung 19
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Es sollen zunächst Potenzen mit ganzzahligen Exponenten erklärt werden. Umden Begriff der Potenz einer reellen Zahl zu erklären, wollen wir uns zunächstan Folgendes erinnern. Für die Summe von gleichen Summanden wurde dasProdukt eingeführt (z.B. gilt 2, 3+2, 3+2, 3 = 3 · 2, 3). Wenn nun das Produktmit gleichen Faktoren zu bilden ist, so wurde dafür das Potenzieren eingeführt(z.B. gilt 2, 3 · 2, 3 · 2, 3 = 2, 33). Allgemein erklären wir:
an = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸n Faktoren a
wobei a eine reelle Zahl undn eine natürliche Zahl bezeichnet
b0 = 1 für reelle Zahlen b �= 0
b−n =1
bn
für reelle Zahlen b �= 0 undnatürliche Zahlen n
Bei an (gelesen a hoch n) wird a als Basis und n als Exponent bezeichnet.Aus den obigen Erklärungen ergeben sich sofort die folgenden grundlegen-
den Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten:
Voraussetzungen: x, y seien reelle Zahlen mit x �= 0, y �= 0
und k, � ganze Zahlen
gleicher Exponent xk · yk = (xy)k xk : yk =xk
yk=
(x
y
)k
gleiche Basis xk · x� = xk+� xk : x� =xk
x�= xk−�
(xk
)�= xk�
Aufg. 1.26 Vereinfachen Sie: a)(122)
4 · (84)3
(44)6
b)(
4a−2x
3a5x−3
)2
:(3a4x2)
−3
(2ax−3)−2 c)3− a
am−4+
a6 − a5 + 2a3 − 1
am+1− 2a2 + 1
am−2
für reelle Zahlen a, x �= 0 und m ganzzahlig.
Die wissenschaftliche Notation
Betragsmäßig sehr große oder auch sehr kleine reelle Zahlen Z lassen sichanschaulich in der Schreibweise mit abgetrennten Zehnerpotenzen, die auch als
20 1 Rechnen mit reellen Zahlen
wissenschaftliche Notation bezeichnet wird, darstellen. Hierbei wird die Zahl Zals Produkt aus einer Dezimalzahl, welche genau eine Stelle vor dem Kommahat, und einer Zehnerpotenz 10n mit einer ganzen Zahl n ∈ Z geschrieben. Sogilt z.B. 301, 2 = 3, 012 · 102 und 0, 00023 = 2, 3 · 10−4.
Aufg. 1.27 Gegeben seien die reellen Zahlen Z1 = 102, 2; Z2 = 0, 02 undZ3 = 5003. a) Stellen Sie Zj für j = 1, 2, 3 in der wissenschaftlichen Nota-tion dar. b) Berechnen Sie das Produkt Z1Z2Z3, wobei die wissenschaftlicheNotation zu verwenden ist.
Aufg. 1.28 Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt 3 · 105 kms−1. Wieviel km sind ein Lichtjahr, d.h., welche Entfernung legt das Licht innerhalbeines Jahres im Vakuum zurück?
Wurzeln und Potenzen mit reellen Exponenten
Wir betrachten jetzt die erste Umkehrung des Potenzierens, d.h. das Radizierenoder Wurzelziehen. In der Gleichung
xn = u (1.2)
wird bei gegebener natürlicher Zahl n und gegebener positiver reeller Zahl udie zugehörige positive reelle Zahl x gesucht, so dass die obige Gleichung (1.2)gilt. Wir definieren deshalb:
Die n-te Wurzel für n = 2, 3, . . . aus einer nichtnegativen reellen Zahlu ist diejenige nichtnegative reelle Zahl x, für die xn = u gilt; und siewird mit x = n
√u bezeichnet.
In der obigen Definition heißt u der Radikand, n der Wurzelexponent und xder Wurzelwert oder die n-te Wurzel aus u. Für n = 2 schreiben wir
√u.
Um die oben gegebenen Potenzgesetze auf weitere Zahlbereiche auszudeh-nen, setzen wir:
u1n = n
√u (1.3)
Da ( n√
u)m = n√
um für positive reelle Zahlen u und natürliche Zahlen n,m gilt,setzen wir
umn = ( n
√u)m = n
√um , (1.4)
womit wir Potenzen mit rationalen Exponenten erklärt haben. Im nächstenSchritt können dann mit Hilfe von (1.4) und der Methode der Intervallschach-telung auch Potenzen mit reellen Exponenten und positiver reeller Basis erklärtwerden.
1.3 Potenz- und Wurzelrechnung 21
Es gelten nun in Analogie zu oben die folgenden Potenzgesetze für reelleExponenten, wobei jetzt aber auf die unterschiedlichen Voraussetzungen zuachten ist:
Voraussetzungen: u, v seien positive reelle Zahlenund r, s reelle Zahlen
gleicher Exponent ur · vr = (uv)r ur : vr =ur
vr=
(u
v
)r
gleiche Basis ur · us = ur+s ur : us =ur
us= ur−s
(ur)s = urs
Wenn wir in die obigen Potenzgesetze mit reellen Exponenten speziell r =1
m
und s =1
nmit natürlichen Zahlen n,m einsetzen, so folgen unter Verwendung
der Beziehung (1.3) sofort die Gesetze für das Rechnen mit Wurzeln:
Voraussetzungen: u, v seien positive reelle Zahlenund m,n natürliche Zahlen
gleicher Exponent m√
u · m√
v = m√
uv m√
u : m√
v =m√
um√
v= m
√u
v
gleicher Radikand m√
u · n√
u = mn√
um+n m√
u : n√
u =m√
un√
u= mn
√un−m
n√
m√
u = mn√
u
Aufg. 1.29 Vereinfachen Sie, wobei x, y positive reelle Zahlen sind:
a)
√√√√x
y·√
x
y· 3
√y3
x, b)
4
√x · 3
√x2 · √x :
√x · 8
√x5 · 3
√x ,
c)6√
x5 · 3√
x2
3√
x2 · 6√
x4:
√x3 · 9
√x7
9√
x7 · √x.
Ungeradzahlige Wurzeln aus negativen Zahlen und Bemerkungen zuWurzeln mit geradzahligem Wurzelexponenten
Ausgehend von der Gleichung (1.2) hatten wir oben die n-te Wurzel n√
u fürnichtnegative reelle Radikanden u erklärt und gefordert, dass der Wurzelwert
22 1 Rechnen mit reellen Zahlen
ebenfalls nichtnegativ ist. Für ungeradzahlige Wurzelexponenten n = 2ν − 1(ν bezeichnet hier eine beliebige natürliche Zahl) können wir auch Wurzeln ausnegativen reellen Zahlen −u ziehen, denn es gilt
2ν−1√−u = − 2ν−1
√u , (1.5)
wobei u eine positive reelle Zahl bezeichnet. Die Gleichung (1.5) können wir unsdurch folgendes Beispiel verdeutlichen: Nach (1.5) gilt 3
√−8 = − 3√
8 = −2, waswegen (−2)3 = −8 und Gleichung (1.2) sinnvoll ist. Es muss aber ausdrücklichdarauf hingewiesen werden, dass die obigen Potenzgesetze für diesen Fall nichtmehr gelten (siehe Aufgabe 1.32).
Für geradzahlige Wurzelexponenten n = 2ν existiert die Wurzel für nega-tive Radikanden nicht im Zahlbereich der reellen Zahlen. Weiterhin gilt diefolgende Beziehung:
2ν√
y2ν = |y| , (1.6)
wobei y eine beliebige reelle Zahl (positiv, 0 oder negativ) bezeichnet. DieGleichung (1.6) können wir durch folgendes Beispiel veranschaulichen:
Beispiel: Für y1 = 2 und y2 = −2 gilt√
y21 =
√22 = 2 =
√(−2)2 =
√y2
2.Im Zahlbereich der reellen Zahlen hat somit die Gleichung y2ν = u für
positives u zwei Lösungen y1 und y2 = −y1. Damit das Wurzelziehen auch fürgeradzahlige Wurzelexponenten eine eindeutig bestimmte Lösung hat, hattenwir im Zusammenhang mit der Gleichung (1.2) gefordert, dass das Ergebnispositiv oder 0 ist.
Aufg. 1.30 Vereinfachen Sie und geben Sie die Existenzbedingungen für dieauftretenden Terme an:
a)√
x3y2 · 4√
x9 · 3√
y2 , b)(
10√
x2 − 2xy + y2)5
, c)√
x
2y,
d) n√
an+3 3√
a3n+1 3√
a−1 , e)[4−
14 +
(1
2−32
)− 43
] [4−0,25 − (
2√
2)− 4
3
],
f)√
(a− b)2 , g)√
a6 , h) a +√
1− 2a + a2 ,
i) x ·√
1 +1
x2, k) 6
√(1−√3
)2, l)
√a2b−2 3
√27ab3
√(a + 1)2 .
Aufg. 1.31 Die Nenner der folgenden Brüche sind rational zu machen, d.h.,durch geeignete Umformungen sollen die Wurzeln im Nenner beseitigt werden.
a)1√2
, b)1 + 2
√3
1 +√
3, c)
√2−√3√2 +
√3
, d)1
3√
1−√2.
1.4 Logarithmen 23
Aufg. 1.32 Berechnen Sie3√
x3
4√
x2für x = −2. Veranschaulichen Sie sich an die-
sem Beispiel, dass die Potenzgesetze mit reellen Exponenten nicht für negativeBasen gelten.
1.4 Logarithmen
In diesem Unterabschnitt beschäftigen wir uns mit der zweiten Umkehrung desPotenzierens, dem Logarithmieren. Hierfür betrachten wir die Gleichung
br = v , (1.7)
wobei b und v positive reelle Zahlen mit b �= 1 sind und r eine beliebige reelleZahl bezeichnet. Wenn b und v mit den obigen Voraussetzungen vorgegebensind, so existiert eine eindeutig bestimmte reelle Zahl r, so dass die Gleichung(1.7) erfüllt ist. Wir definieren deshalb:
Unter dem Logarithmus einer positiven reellen Zahl v zu einer posi-tiven, von eins verschiedenen reellen Basis b verstehen wir diejenigereelle Zahl r, mit der die Basis b zu potenzieren ist, um v zu erhalten.Bezeichnung: r = logb v , wobei v > 0, b > 0, b �= 1 gilt.
Hiermit folgt: Unter der Voraussetzung v > 0, b > 0, b �= 1 gilt
r = logb v ist äquivalent zu (d.h., gleichbedeutend mit) br = v.
Bei Anwendung dieser Äquivalenz auf die im Unterabschnitt 1.3 gegebenenPotenzgesetze mit reellen Exponenten folgen die drei Logarithmengesetze:
Voraussetzungen: u, v, b, d seien positive reelle Zahlen mit b �= 1, d �= 1
α sei eine beliebige reelle Zahl
1) logb(u · v) = logb u + logb v 3) logb (uα) = α logb u
2) logb
(u
v
)= logb u− logb v
und weitere wichtige Eigenschaften der Logarithmen:
logb 1 = 0 , logb b = 1 Umrechnung der Logarithmen zwischen
blogb u = u , logb (bα) = αden Basen b und d:
logb u = logd u · (logb d)
24 1 Rechnen mit reellen Zahlen
Für die für die Anwendungen wichtigen speziellen Basen b = 10 und b = e(e = 2, 71828 . . . heißt die Eulersche Zahl1, welche irrational und von zentralerBedeutung in der höheren Mathematik ist) setzen wir:
lg v = log10 v (dekadischer Logarithmus)ln v = loge v (natürlicher Logarithmus)
Aufg. 1.33 Zerlegen Sie unter Anwendung der Logarithmengesetze! Überle-gen Sie, für welche Werte der Variablen die gegebenen Terme (als reelle Zahlen)definiert sind!
a) log
√1 + x
1− x, b) log5
a2b
a + b, c) ln
√a b−2
3√
c d−3,
d) lg(
n+1√
an m√
b−1)
für a > 0, b > 0 .
Aufg. 1.34 Bestimmen Sie x ohne Hilfsmittel (Taschenrechner, Zahlentafel)aus: a) x = log2
18, b) log 1
2x = −3 , c) logx
√8 = 3
4, d) x = 810,5·log3 7 ,
e) logb x = logb u− 12
logb v + 43
logb w mit b > 0, b �= 1 und u, v, w > 0 ,
f) lg x = 13
lg (u2 − v2)− 12
lg (u− v) − 12
lg (u + v) , mit u > v ≥ 0,
g) ln x = 12
ln
(x
a+
√x2
a2− 1
)− 0, 5 ln
(1
x − √x2 − a2
)+ ln
√a . Welche
Bedingung muss a erfüllen?
Aufg. 1.35 Berechnen Sie x ohne Taschenrechner oder Zahlentafel:
a) x = 2 · 102 lg 2 , b) x =3√
1012
(lg 2+lg 32) , c) x =
√√10
lg 16,
d) x = lg 5 · lg 20 + (lg 2)2 .
1.5 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 1
1.1 a) 0, 714285. b) 0, 2. c) 0, 125. d) 0, 153846. e) 1, 857142.
1.2 Wir setzen voraus, dass der ganze Anteil unseres Bruches bereits abge-spalten worden ist, und somit beginnt unser Dezimalbruch mit 0, . . .. Bei derschriftlichen Division p : q tritt in jedem Divisionsschritt als Rest eine der na-türlichen Zahlen 0, 1, . . . , q − 1 auf. Im Fall Rest gleich 0, ist der entstehendeDezimalbruch abbrechend. Anderenfalls wird an den Rest eine 0 angehangen
1benannt nach Leonhard Euler, Schweizer Mathematiker, 1707 - 1783
1.5 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 1 25
und der nächste Divisionsschritt wird ausgeführt. Nach spätestens q − 1 Divi-sionschritten erhalten wir einen Rest, welcher bereits schon einmal bei einemder vorangegangenen Divisionschritte vorlag. Nun wiederholt sich unsere Rech-nung, was zur Periodizität des Dezimalbruches führt. Da maximal q − 1 un-terschiedliche Reste, die verschieden von 0 sind, auftreten können, kann somitdie Periodenlänge niemals größer als q − 1 sein.
1.3 a) Für Z = 0, 13 gilt: 100Z − Z = 100 · 0, 13− 0, 13 = 13, 13− 0, 13 = 13.
Somit folgt 99Z = 13 und damit Z =13
99.
b) Für Z = 0, 171 folgt 1000Z − Z = 171, 171− 0, 171 = 171.
Damit erhalten wir Z =171
999und dann 2, 171 = 2 +
171
999. c) Z =
1
9.
1.4 113. 1.5 a) 9x2 − 24x + 16, b) 16x2 + 8xy + y2, c) 4x2 − 4xy + y2.
1.6 a) 32a2−70ab+37b2, b) −21x2−37xy−96x2y +128xy2 +56y2 +88y3.
1.7 a) Nach der 3. binomischen Formel gilt: x2 − 1
z6=
(x +
1
z3
) (x− 1
z3
).
b) 2ax + ay − 2bx− by = a(2x + y)− b(2x + y) = (a− b) (2x + y).
c) 1−x+x2−x3+x4−x5 = (1−x)+x2(1−x)+x4(1−x) = (1−x) (1+x2+x4).
1.8 a) Es gilt: 2, 1 +7
12− 3
8=
21
10+
7
12− 3
8.
Um einen Hauptnenner von 10, 12 und 8 zu bestimmen, berechnen wir daskleinste gemeinsame Vielfache von 10, 12, 8. Hierzu werden die Primzahlzerle-gungen betrachtet (d.h., die gegebenen natürlichen Zahlen werden in ein Pro-dukt von Primfaktoren zerlegt, was nach dem Satz über die Eindeutigkeit derZerlegung in Primfaktoren, siehe Hinweis zu Aufgabe 3.29, immer möglich ist):
10 = 2 512 = 22 · 38 = 23
23 · 3 · 5
Für den Hauptnenner ergibt sichnun: 23 · 3 · 5 = 120.
Damit gilt:
21
10+
7
12− 3
8=
21 · 22 · 310 · 22 · 3 +
7 · 2 · 512 · 2 · 5 −
3 · 3 · 58 · 3 · 5
=252
120+
70
120− 45
120=
252 + 70− 45
120=
277
120= 2 +
37
120.
26 1 Rechnen mit reellen Zahlen
Erläuterungen: Als ersten Schritt bei der Addition und Subtraktion von un-gleichnamigen Brüchen, d.h., ihre Nenner sind voneinander verschieden, müs-sen diese gleichnamig gemacht werden, oder anders ausgedrückt: sie werdendurch geeignetes Erweitern von Zähler und Nenner der einzelnen Brüche aufeinen Hauptnenner gebracht. Als Hauptnenner kann immer das Produkt vonallen Nennern der zu addierenden bzw. zu subtrahierenden Brüche verwendetwerden (in unserem Fall: 10 · 12 · 8 = 960). Häufig gibt es aber einfachere Aus-drücke (d.h. solche mit weniger Faktoren), die bereits ein Hauptnenner sind.Dazu haben wir oben das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Zahlen10, 12, 8 berechnet. Die einzelnen Brüche wurden dann auf den Hauptnennergebracht, indem die einzelnen Zähler und Nenner jedes Bruches mit dem zu-gehörigen Erweiterungsfaktor multipliziert wurden. Die Erweiterungsfaktorensind die Quotienten aus dem Hauptnenner und dem Nenner des entsprechen-den Bruches.
b)
34
3− 91
12(7
16− 17
48
)· 15
=
45
12
1
12· 15
=45 · 12
12 · 15= 3.
c) Es gilt1
1 +1
2 +1
3 +1
4
=1
1 +1
2 +113
4
=1
1 +1
2 +4
13
=1
1 +130
13
=1
1 +13
30
=143
30
=30
43.
1.9 a) Aus den Rechenregeln der Bruchrechnung und geeignetem Kürzen vongleichen in Zähler und Nenner auftretenden Faktoren erhalten wir:
xy2
3z
x2=� xy2
3zx �2=
y2
3zx. b)
xy2
3zx2
=xy2 · x2
3z=
x3y2
3z.
c) 8a2 + 8b2 + 16aba + b
a− b
=8(a + b)2(a− b)
a + b= 8(a + b)(a− b) = 8a2 − 8b2 .
d)(
a
b− b
a
):
(a
b+
b
a
)=
a2 − b2
ab· ab
a2 + b2=
a2 − b2
a2 + b2.
1.5 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 1 27
1.10 a)2m
m2 − n2. b)
5m2 − 16n2
6m2 −mn− 15n2. c)
2x2 + 68xy − 90y2
3x2 + 10xy − 25y2.
d)3x3 − 12x2y − 9xy2 − 6y3
x2 − y2.
1.11 a) 1. Schritt: Bestimmen des Hauptnenners (HN) und der Erweiterungs-faktoren (EF).
| EF3ab = 3 a b | 2 (3a− 5b)
6ab− 10b2 = 2 b (3a− 5b) | 3a18a2 − 30ab = 2 · 3 a (3a− 5b) | b
HN = 2 · 3 a b (3a− 5b)
(Hinweis: Nachdem der Hauptnenner bestimmt worden ist, werden die einzel-nen Erweiterungsfaktoren (EF) berechnet.)2. Schritt: Addition und Subtraktion der einzelnen Brüche.
1− c
3ab+
2c− 5b
6ab− 10b2− 5 (2c− 3a)
18a2 − 30ab
=(1− c) · 2(3a− 5b) + (2c− 5b) · 3a− 5(2c− 3a)b
6ab(3a− 5b)
=6a− 10b− 6ac + 10bc + 6ac− 15ab− 10bc + 15ab
6ab(3a− 5b)
=6a− 10b
6ab(3a− 5b)=
2(3a− 5b)
6ab(3a− 5b)=
1
3ab.
Hinweis: Es ist ratsam, die Faktoren im Nenner erst dann auszumultiplizieren,wenn feststeht, dass nicht mehr gekürzt werden kann.
Es muss a �= 0, a �= −1, a �= 1 vorausgesetzt werden, da anderenfalls Sum-manden in der Aufgabenstellung nicht erklärt sind; denn Division durch 0 istverboten!
b)1
afür a �= 0, a �= 1 . c)
9
x− yfür x �= y, x �= −y, x �= −y
2.
d) a + b für a �= 0 oder b �= 0. e)x
a2für x �= 0, a �= 0. f)
1
2− afür a �= 1,
a �= 2.
g) Für x, y �= 0 gilt:
3
xy− 5
y3
y− 5
x
=
3− 5x
xy3x− 5y
xy
=(3− 5x)xy
xy(3x− 5y)=
3− 5x
3x− 5y.
h)4x
x4 − 1für x �= ±1. i)
u + v
2. j)
a2 + b2
(a− b)2(a + b)für a �= ±b.
1.14 a) x2 − 5x + 4. b) 6x2 + 4x. c) 7x.
d) (x3 +x +1) : (x +1) = x2 − x + 2−(x3 +x2)
−x2 +x−(−x2 −x)
2x +1−(2x +2)
−1
und somit giltx3 + x + 1
x + 1= x2 − x + 2− 1
x + 1.
1.15 a)ac + ad + bc + bd
a + b=
a(c + d) + b(c + d)
a + b=
(a + b)(c + d)
a + b= c + d .
b)( x3 − y3 ) : ( x − y ) = x2 + xy + y2
− ( x3 − x2y )x2y −y3
− ( x2y − xy2 )xy2 − y3
− ( xy2 − y3 )0
c) 1213
x .
d) 1. Schritt: Wir ordnen den Dividenden und den Divisor.Dividend: 49a2 − 9b2 − 30bx− 25x2, Divisor: 7a + 3b + 5x.
1.16 1. Schritt: Dividend und Divisor werden als je ein Bruch geschrieben.
a2
16b2− b2
a2=
a4 − 16b4
16a2b2,
1
4b− 1
2a=
2a− 4b
8ab=
a− 2b
4ab.
Somit ist zu berechnen:(a2
16b2− b2
a2
):
(1
4b− 1
2a
)=
(a4 − 16b4)(4ab)
(16a2b2)(a− 2b)=
a4 − 16b4
4ab(a− 2b)=
a4 − 16b4
4a2b− 8ab2.
2. Schritt: Ausführen der Partialdivision.
(a4 − 16b4) : (4a2b− 8ab2) =1
4
a2
b+
1
2a + b + 2
b2
a(Nachrechnen!)
Es gilt somit(
a2
16b2− b2
a2
):
(1
4b− 1
2a
)=
1
4
a2
b+
1
2a + b + 2
b2
a.
1.17 a) x = 0. b) Lösung: x = −a2
b, wobei b �= 0 vorauszusetzen ist. Damit
die beiden Brüche in der Aufgabenstellung erklärt sind, muss weiterhin x �= a
und x �= −a vorausgesetzt werden, was wegen der Lösung x = −a2
bbedeutet,
dass auch b �= a und b �= −a vorausgesetzt werden muss.
c) Lösung: x =3a− 21
7b− 3, wobei b �= 3
7vorauszusetzen ist.
1.18 a) R =R1R2
R1 + R2
, b) U = RI, I =U
R.
1.19 Für den gesuchten Bruch xx+3
gilt x+5(x+3)+5
= 34, woraus x = 4 folgt. Somit
war der Bruch 47
gesucht.
1.20 a) Die gesuchte Höhe des Telefonmastes wird mit x bezeichnet. Aus denbeiden direkten Proportionen 4,5
x= μ und 135
90= μ erhalten wir durch
1.5 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 1 31
Gleichsetzen4, 5
x=
135
90, woraus dann x =
4, 5 · 90
135= 3 m folgt. b) ≈ 2, 86 €.
1.21 Ausy1
x1
=y2
x2
folgt y1 = μx1 und y2 = μx2 mit einem Proportionalitäts-
faktor μ ∈ R. Wenn wir die beiden letzten Gleichungen addieren, so erhaltenwir y1 + y2 = μx1 + μx2 = μ(x1 + x2) , woraus die Behauptung y1+y2
x1+x2= μ = y1
x1
folgt.
1.22 a) Wenn n die Anzahl der benötigten Arbeiter bezeichnet, so folgt aus der
indirekten Proportionalität 9 ·40 = n ·25 das Ergebnis n =9 · 40
25= 14, 4, d.h.,
es müssen 15 Arbeiter eingestellt werden. b) Es werden x =70 · 290
= 1, 5
Stunden benötigt, das sind genau 1 Stunde, 33 Minuten und 20 Sekunden.c) Wenn Ui den Umfang des Rades i und ni die Anzahl der Umdrehungen desRades i (i = 1, 2) bezeichnen, so gilt U1n1 = U2n2. Somit kommen auf 1000
Umdrehungen des großen Rades kommen n1 =U2
U1
· n2 =75
60· 1000 = 1250
Umdrehungen des kleinen Rades. Analog folgt, dass auf 1000 Umdrehungendes kleinen Rades 800 Umdrehungen des großen kommen.
1.23 a) Aus5
100=
Z
280folgt Z =
5 · 280
100= 14 kg Titan.
b) Die durchschnittliche Milchleistung wird um Z =8 · 2800
100= 224 kg gestei-
gert, d.h., die jetzige Milchleistung beträgt 2800 + 224 = 3024 kg.
c) Das Fassungsvermögen des 5 m3-Behälters ist zu 60% und das des 10 m3-Behälters zu 50% ausgelastet.
1.24 1. Schritt: Berechnen der Anzahl n der ausgestanzten Kreisplatten. Aus370 : 20, 2 = 18 und 250 : 20, 2 = 12 erhalten wir n = 18 · 12 = 216.2. Schritt: Berechnen der prozentualen Ausnutzung p. Für die Fläche der recht-eckigen Metallplatte gilt F1 = 370 cm · 250 cm = 92500 cm2. Für die Flächeeiner Kreisplatte erhalten wir F2 = πr2 ≈ 3, 14 · 102 cm2 = 314 cm2. Somit
wird die Metallplatte zu p =n · F2
F1
· 100 =216 · 314
92500≈ 73, 3% ausgelastet.
1.25 a) Wenn a die Stückzahl des gesamten Kfz-Bestandes im Jahre 2004bezeichnet, so folgt: PKW-Bestand 2004 ist 0, 7a, LKW-Bestand in 2004 ist0, 25a und sonstiger Kfz-Bestand in 2004 ist 0, 05a. Hieraus erhalten wir dieStückzahlen der Kfz-Bestände im Jahre 2003: PKW-Bestand 2003 ist0, 7a
1, 1≈ 0, 636364a, LKW-Bestand 2003 ist
0, 25a
1, 06≈ 0, 235849a und sonstiger
32 1 Rechnen mit reellen Zahlen
Kfz-Bestand-2003 ist0, 05a
1, 03≈ 0, 048544a. Damit folgt für den gesamten Kfz-
Bestand in 2003:0, 7a
1, 1+
0, 25a
1, 06+
0, 05a
1, 03≈ 0, 92075a. Aus K = 0, 92075a
und Z = a folgt p =Z · 100
K=
100 · a0, 92075a
≈ 108, 61%. Somit stieg der gesamte
Fahrzeugbestand im Jahre 2004 gegenüber 2003 um 8,61%.b) Für die prozentuale Zusammensetzung des Kfz-Bestandes in 2003 gilt:
PKW-Bestand:0,7a1,1
0, 920756a= 69, 11%, LKW-Bestand:
0,25a1,06
0, 920756a= 25, 61%,
sonstiger Kfz-Bestand:0,05a1,03
0, 920756a= 5, 27%.
1.26 Aus den Potenzgesetzen mit ganzzahligen Exponenten ergeben sich diefolgenden Lösungen: a) 3824 = 104976.
1.28 Ein Jahr sind 365 ·24 ·3600 = 3, 65 ·102 ·2, 4 ·10 ·3, 6 ·103 = 31, 536 ·106 =3, 1536 · 107 Sekunden. Somit sind ein Lichtjahr gleich3, 1536 · 107 s · 3 · 105kms−1 ≈ 9, 46 · 1012 km.
1.29 Für die Lösung dieser Aufgabe werden zuerst die Wurzeln gemäß Glei-chung (1.3) umgeschrieben und dann die Potenzgesetze mit reellen Exponentenangewendet.
a)
√√√√x
y·√
x
y· 3
√y3
x=
⎛⎜⎝x
y·(
x
y·(
y3
x
)13)1
2
⎞⎟⎠12
=
(x
y
)12(
x
y
)14(
y3
x
) 112
=x
34 y
312
y34 x
112
= x34−
112 y
14−
34 = x
23 y−
12 =
3√
x2
√y
.
1.5 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 1 33
b)4
√x · 3
√x2 · √x :
√x · 8
√x5 · 3
√x = x
14 x
212 x
124 :
(x
12 x
516 x
148
)= x
14+ 2
12+ 124−
12−
516−
148 = x−
38 =
(8√
x3)−1
=8√
x5
x. c)
1
x.
1.30) a) x3|y| 12√
x9y8 . b) |x− y|.
c) Für y �= 0, xy ≥ 0 gilt:√
x
2y=
√2xy
4y2=
√2xy
2|y| .
d) an+1 n√
a3 . e) 716
. f) |a− b| . g) a3 für a ≥ 0 und −a3 für a < 0.
h) a +√
1− 2a + a2 = a +√
(1− a)2 = a + |1− a|=
{a + (1− a) für a ≤ 1a− (1− a) für a > 1
=
{1 für a ≤ 1
2a− 1 für a > 1
i)√
x2 + 1 für x > 0 und −√x2 + 1 für x < 0. k) 3√√
3− 1 .
l) 3|a(a + 1)| 3√|a| .
1.31 a)1√2
=1 · √2√2 · √2
=
√2
2. b) Lösungstrick: Zähler und Nenner wer-
den so erweitert, dass wir die 3. binomische Formel im Nenner anwenden kön-nen, um dadurch Wurzelterme zu beseitigen:
1 + 2√
3
1 +√
3=
(1 + 2√
3)(1−√3)
(1 +√
3)(1−√3)=
1 + 2√
3−√3− 2(√
3)2
1− (√
3)2= −−5 +
√3
2.
c)√
2−√3√2 +
√3
=
√2−√3 ·
√2−√3√
2 +√
3 ·√
2−√3=
2−√3√(2 +
√3)(2−√3)
=2−√3√22 −√3
2
=2−√3√
4− 3= 2−
√3 .
d) Da der Radikand 1−√2 negativ ist, wenden wir zuerst die Gleichung (1.5)an, um dann die Potenzgesetze mit reellen Exponenten zu verwenden (dennder neue Radikand
√2− 1 ist positiv).
13√
1−√2= − 1
3√√
2− 1= − 1 · ( 3
√√2− 1)2
3√√
2− 1 · ( 3√√
2− 1)2= −(
3√√
2− 1)2
√2− 1
= −(3√√
2− 1)2 · (√2 + 1)
(√
2− 1) · (√2 + 1)= −
3√
(√
2− 1)2(√
2 + 1)3
1
= − 3√
(2− 1)2(√
2 + 1) = − 3√√
2 + 1 .
34 1 Rechnen mit reellen Zahlen
1.32 Aus (−2)3 = −8, (−2)2 = 4 und Gleichung (1.5) folgt3√−8
4√
4=−2√
2=−2 · √2√
2 · √2=−2√
2
2= −
√2.
Für positive reelle x gilt nach den Potenzgesetzen für reelle Exponenten:3√
x3
4√
x2= x1−2
4 = x12 =
√x .
Da aber√−2 nicht im Bereich der reellen Zahlen existiert, kann die Gültig-
keit der oben verwendeten Potenzgesetze nicht auf den Fall negativer Basenausgedehnt werden.
1.33) a) Für −1 < x < 1 gilt: 12
log(1 + x) − 12
log(1− x).
b) Für (a �= 0, b > 0 , a > −b) oder (a �= 0, b < 0, a < −b) gilt:2 log5 |a|+ log5 |b| − log5 |a + b|.
c) Für a > 0, b �= 0, c > 0, d > 0 gilt:1
2ln a− 2 ln |b| − 1
3ln c + 3 ln d.
d)n lg a
n + 1− lg b
m(n + 1).
1.34) a) x = −3, denn 2−3 = 18. b) 8. c) 4. d) x = 34·0,5·log3 7 = 3log3(72) = 49 .
e) Es gilt logb x = logbu√v
+ logb3√
w4 = logbuw 3√w√
v
und damit x =uw 3√
w√v
.
f) Aus lg x = lg 3√
u2 − v2 − lg√
u− v − lg√
u + v = lg3√
(u+v)(u−v)√(u+v)(u−v)
=
= lg 16√
(u+v)(u−v)folgt x =
16√
u2 − v2.
g) Für a > 0 folgt
ln x = ln
⎛⎝√x
a+
√x2
a2− 1 · √a ·
√x−
√x2 − a2
⎞⎠= ln
(√x +
√x2 − a2 ·
√x−
√x2 − a2
)= ln
√x2 − (x2 − a2) = ln a
und damit x = a.1.35) a) x = 2 · 10lg(22) = 2 · 22 = 8 , b) x =
3√
10lg√
2·32 = 6√
64 = 2 ,
c) x =
√√10
2 lg 4=√
4 = 2 .
d) x = lg 5 (lg 2 + lg 10) + (lg 2)2 = lg 5 (lg 2 + 1) + (lg 2)2 == lg 2 (lg 5 + lg 2) + lg 5 = lg 2 lg 10 + lg 5 = lg 2 + lg 5 = lg 10 = 1.
