Der Grundgedanke der analytischen Geometrie besteht darin, dass geometri-sche Untersuchungen mit rechnerischen Methoden durchgeführt werden. Dieswird durch das Einführen eines Koordinatensystems, wodurch den Punkteneineindeutig ihre Koordinaten zugeordnet werden, ermöglicht. Im Folgendenwerden wir uns wie im Kapitel 6 immer auf kartesische Koordinatensystemebeschränken.
7.1 Punkte und Geraden in der EbeneWir betrachten ein kartesisches rechtsorien-tiertes (x; y)-Koordinatensystem (d.h., die y-Achse geht durch Drehung der x-Achse um90◦ entgegen dem Uhrzeigersinn um den Ko-ordinatenursprung O hervor). Wir ordnen ei-nem Punkt P0 seine Koordinaten (x0; y0) zu,welche wir durch Orthogonalprojektion vonP0 auf die Koordinatenachsen erhalten. Wirschreiben dafür P0(x0; y0).
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�
�
�
�
� ···········
···········
x
y
P0y0
x0O
Der Punkt P0(x0; y0)
Aufg. 7.1 Berechnen Sie den Abstand d zwischen den Punkten P (1; 2) undQ(2; 4).
Aufg. 7.2 Welche Punkte Q der x-Achse haben vom Punkt P (6;−4) denAbstand d =
√65 LE (Längeneinheiten)?
Aufg. 7.3 Berechnen Sie die Mittelpunkte der folgenden durch die Punkte Aund B begrenzten Strecken:a) A(1; 2), B(3; 4), b) A(−4; 5), B(4; 7), c) A(5; 9), B(−3; 7).
Wir betrachten eine Gerade g, welche durch die beiden Punkte P1(x1; y1) undP2(x2; y2) verläuft und mit der x-Achse den Winkel α bildet,wobei 0 ≤ α < 180◦ gilt. Mit
m = tan α
bezeichnen wir den Anstieg der Ge-raden g. Weiterhin bezeichne a die x-Koordinate des Schnittpunktes vong mit der x-Achse und b die y-Koordinate des Schnittpunktes vong mit der y-Achse. Den Abstand desKoordinatenursprungs O von g be-zeichnen wir mit p.
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��
��
��
��
��
� �
�···········
·······
··········
P2
p
x
y
P1y1
x1O
g
a
b
x2
y2
�� ........
...... α
Die Gerade g
Name Formel zur Berechnung
Zweipunkteformy − y1
x− x1
=y2 − y1
x2 − x1
für P1 �= P2
Punktrichtungsform y − y1 = m(x− x1) m = tanα =y2 − y1
x2 − x1
kartesische Normalform y = mx + b b = y1 −mx1
Achsenabschnittsformx
a+
y
b= 1 für a, b �= 0, a = − b
m
Hessesche Normalform x cos α + y sin α + p = 0|p| ist der Abstand
von g zu O
Skalarform A = −�m,B = �,(allgemeine Form) Ax + By + C = 0 C = −�b mit beliebi-
gem 0 �= � ∈ R
Bemerkungen: a) Wir wollen anmerken, dass die obigen Formen der Geraden-gleichungen zueinander äquivalent sind, d.h., sie besitzen dieselbe Lösungs-menge (nämlich die Koordinaten der Punkte von g) und gehen auseinanderdurch äquivalente Umformungen hervor.b) Um die allgemeine Form Ax + By + C = 0 der Geradengleichung in dieHessesche Normalform überzuführen, dividieren wir diese Gleichung durch
7.1 Punkte und Geraden in der Ebene 161
√A2 + B2 und erhalten dann die Hessesche Normalform
A√A2 + B2
x +B√
A2 + B2y +
C√A2 + B2
= 0 , (7.1)
wobei cos α =A√
A2 + B2, sin α =
B√A2 + B2
und p =C√
A2 + B2gelten.
c) Wir wollen noch anmerken, dass das Vorzeichen von p abhängig ist von:1.) der Orientierung der Geraden g und2.) von der Seite, in welcher der Koordinatenursprung O liegt (links oder rechtsvon g), wenn g in positiver Richtung durchlaufen wird.Hierauf wollen wir aber im weiteren nicht eingehen und nur den vorzeichenlosenAbstand |p| betrachten.
Aufg. 7.4 Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, welchea) die y-Achse im Punkt P (0; b) schneidet und parallel zur x-Achse ist,b) die x-Achse im Punkt Q(a; 0) schneidet und parallel zur y-Achse ist,c) die x-Achse im Punkt Q(a; 0) und die y-Achse im Punkt P (0; b) schneidet.
Aufg. 7.5 Welchen Abstand hat die Gerade g, die durch den Punkt P (1; 2)läuft und den Anstieg m = −3 hat, vom Koordinatenursprung O. BestimmenSie die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenachsen und geben Sie dieAchsenabschnittsform von g an.
Inzidenz von Punkt und Gerade
Wir untersuchen jetzt, ob ein Punkt P1 auf einer gegebenen Geraden g liegt.Dazu bemerken wir, dass in den obigen Geradengleichungen y eine lineareFunktion von x ist. Wenn wir somit einen beliebigen Wert x1 für x in eine derGeradengleichungen einsetzen, so gilt für den sich ergebenden y-Wert y1, dassder Punkt P1(x1; y1) auf der Geraden g liegt.Für einen beliebigen Punkt P1(x1; y1) und eine Gerade g gilt:
Der Punkt P1(x1; y1) liegt genau dann auf der Geraden g, wenn seineKoordinaten die Gleichung der Geraden erfüllen.
Abstand von Punkt und Gerade
Um den Abstand d eines Punktes P1(x1; y1) von einer Geraden g zu bestimmen,setzen wir die Koordinaten in die linke Seite der Hesseschen Normalform (7.1)ein. Wir erhalten dann:
d =A√
A2 + B2x1 +
B√A2 + B2
y1 +C√
A2 + B2.
162 7 Analytische Geometrie
Bezüglich des Vorzeichens von d gilt analog zu Bemerkung 3) nach (7.1), dassdieses von der Orientierung von g und von der Halbebene, in welcher P1 bezüg-lich g liegt, abhängt. Im weiteren berechnen wir aber nur den vorzeichenlosenAbstand |d|.Aufg. 7.6 a) Gesucht sind alle Geraden, welche durch den Punkt P (2; 3) ge-hen und vom Punkt Q(−1; 2) den Abstand |d| = 1 haben.b) Lösen Sie a) für P (6; 4), Q(3;−5) und |d| = 3.
Aufg. 7.7 Welche der folgenden Punkte Rj (j = 1, 2, 3, 4) liegen auf der Ge-raden g, die durch die Punkte P (1; 2) und Q(0; 4
3) läuft?
a) R1(1; 1), b) R2(2; 83), c) R3(3; 0), d) R4(−1; 1).
Aufg. 7.8 Bestimmen Sie den Abstand |d| der Punkte Rj (j = 1, . . . , 4) vonder Geraden g, wobei Rj und g in Aufg. 7.7 gegeben sind.
Parameterform der Geradengleichung
Mit Hilfe der Vektorrechnung können wir ebenfalls eine Gerade g beschreiben.Wir betrachten dazu Einheitsvektoren e1, e2 in Richtung der positiven x- bzw.y-Achse. Die Parameterform der Geradengleichung wird dann durch
x =−→OP + λa, λ ∈ R
gegeben, wobei P ∈ g einen fest gewähl-ten Punkt auf der Geraden g, −→OP denOrtsvektor von P bezüglich des Koordina-tenursprungs O und a einen (freien) Vek-tor mit der Richtung der Geraden g be-zeichnen. Für jeden Parameter λ ∈ R er-halten wir dann den Ortsvektor x einesPunktes Q der Geraden g bezüglich desKoordinatenursprungs O.
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�
�
������������
���
��
��
��
����
��������������
O �e1
�e2
g
P �a
�x
−−→OP
Q
Parameterform der Geradengleichung
Aufg. 7.9 Wandeln Sie die folgenden Geradengleichungen in eine Parameter-form um: a) 2x− 3y = −4, b) x + y = 7, c) x + 3y = 2.
Aufg. 7.10 Wandeln Sie die Parameterform
x =
(xy
)=
(71
)+λ
( −11
)mit λ ∈ R in eine Skalarform der Geraden-
gleichung um.
7.1 Punkte und Geraden in der Ebene 163
Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden
Wir betrachten zwei Geraden gj : Ajx+Bjy+Cj = 0, j = 1, 2, deren Geraden-gleichungen in Skalarform gegeben sind. Um die Koordinaten des Schnittpunk-tes S(x; y) = g1 ∩ g2 zu bestimmen, lösen wir das lineare Gleichungssystem:
A1x + B1y = −C1
A2x + B2y = −C2(7.2)
Gemäß den im Abschn. 5.1 durchgeführten Betrachtungen gibt es die folgendendrei Fälle:
Das Gleichungssystem (7.2): geometrische Bedeutung: Formel:
ist eindeutig lösbarg1 und g2 schneiden sich
S = g1 ∩ g2in genau einem Punkt S
besitzt eine einparametrige g1 und g2 falleng1 = g2
Lösungsschar zusammen
besitzt keine Lösungg1 und g2 sind parallel g1||g2 undund verschieden g1 �= g2
Der Schnittwinkel ψ von zwei sich schnei-denden Geraden gj : y = mjx + nj,j = 1, 2, deren Geradengleichungen in derkartesischen Normalform gegeben sind,berechnet sich nach der Formel:
tan ψ =m1 −m2
1 + m1m2
(7.3)
Die Formel (7.3) folgt sofort aus dem Ad-ditionstherorem der Tangensfunktion (s.Abschn. 2.3) und tan αj = mj:
� �
�
�����������������
��
��
��
��
��
��
��
�
...............................
........
...........................
..
........
...........................
..............................
x
yg2
g1
α1α2
ψ
Schnittwinkel ψ = α1 − α2
tan ψ = tan(α1 − α2) =tan α1 − tan α2
1 + tanα1 tan α2
=m1 −m2
1 + m1m2
.
Für ψ = 90◦ erhalten wir, dass die beiden Geraden g1, g2 senkrecht aufeinanderstehen. Da | tan 90◦| = ∞, muss für den Nenner 1 + m1m2 = 0 in der Formel(7.3) gelten. Hieraus folgt unmittelbar die
Bedingung für Orthogonalität m1 ·m2 = −1
Aufg. 7.11 Für die folgenden Geradenpaare ist der Schnittpunkt S zu be-stimmen. Falls die Geraden parallel sind, so ist ihr Abstand zu berechnen.
164 7 Analytische Geometrie
a) −3x + 3y − 6 = 0, 2x + 3y + 9 = 0, b) y = −3x + 14, y = −x− 1,c) 2x− 3y + 5 = 0, −x + 3
2y + 1 = 0, d) x + 2y + 8 = 0, −2x− 4y− 16 = 0.
Aufg. 7.12 Gesucht ist die Gleichung der Geraden g1, die durch P (1; 2) läuftund zur Geraden g2 : y = 3x + 5 parallel ist.
Aufg. 7.13 Gesucht ist der Schnittwinkel ψ zwischen den beiden Geradeng1 : 2x− y = 3 und g2 : x− 2y = 2.
Aufg. 7.14 Gesucht sind die Gleichungen der beiden Geraden h1 und h2,welche die Gerade g mit der Gleichung y = 4x − 1 im Punkt P (1; 3) untereinem Winkel von 45◦ schneiden.
Aufg. 7.15 Welche Geraden haben von der Geraden g : 4y = 3x + 5 denAbstand 2?
Aufg. 7.16 Bestimmen Sie die Gerade g2, welche durch den Punkt P (1; 1)geht und auf der Geraden g1 : y = −2
3x + 3 senkrecht steht.
Aufg. 7.17 Gegeben sei das Dreieck, welches von den Geradeng1 : 6x− y = 26, g2 : 5x + 6y = 8 und g3 : x− 7y = −23
gebildet wird. Berechnen Sie: a) die Koordinaten der Eckpunkte, b) die Längeder Dreiecksseiten, c) die Innenwinkel, d) den Höhenschnittpunkt H, e) denSchwerpunkt S und f) den Mittelpunkt U des Umkreises. g) Zeigen Sie, dassdie Punkte H, S und U auf einer Geraden g liegen und h) berechnen Sie dasVerhältnis |HS| : |SU |. (g heißt Eulersche Gerade.)
Aufg. 7.18 Wir betrachten die gleiche Aufgabenstellung wie in Aufgabe 6.20und setzen diese mit den beiden Fragen fort: c) Wie groß ist der Betrag derZugkraft im Halteseil, wenn dieses unter einem Winkel von 90◦ an der Fah-nenstange befestigt wird? d) An welchem Punkt müsste das Halteseil an derFahnenstange befestigt werden, damit der Betrag der Zugkraft minimal ist?
7.2 KegelschnitteWir beschränken vorerst unsere Betrachtungen auf solche Kegelschnitte, derenAchsen parallel zu den Koordinatenachsen liegen1. Die zugehörigen Kurven-gleichungen lassen sich auf die allgemeine Form:
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 (7.4)1Der allgemeine Fall wird im Abschn. 8.8 betrachtet.
7.2 Kegelschnitte 165
bringen, wobei A,B,C,D,E reelle Koeffizienten sind. Wegen der getroffenenBeschränkung auf solche Kegelschnitte, deren Achsen parallel zu den Koordi-natenachsen sind, tritt in der Gleichung (7.4) kein Summand auf, welcher dasProdukt xy der Variablen enthält.
Kreis-, Tangenten- und Polarengleichung
Unter einem Kreis K verstehen wir den geometrischen Ort aller Punkte einerEbene, die von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt M , den gleichen Abstandr haben. Dabei wird r als Radius des Kreises bezeichnet.
Gleichung des Kreisesmit Mittelpunkt M(0; 0)
x2 + y2 = r2
und Radius rmit Mittelpunkt M(c; d)
(x− c)2 + (y − d)2 = r2
und Radius r
Wir betrachten jetzt die Tangente t unddie Normale n in einem Punkt P (x1; y1)des Kreises K mit der Gleichung
(x− c)2 + (y − d)2 = r2 .
Die Normale durch den Punkt P (x1; y1)ist die Gerade, auf welcher die StreckeMP (der Berührungsradius zum PunktP ) liegt. Aus der Elementargeometrieist bekannt, dass der Berührungsradiusund damit auch die Normale senkrechtauf der Tangenten stehen.
Die Tangente t und die Normale n im Punkt P (x1; y1) des Kreises K mit derGleichung (x − c)2 + (y − d)2 = r2 werden durch die folgenden Gleichungenbeschrieben:
Polarengleichung Punktrichtungsform
t : (x− c)(x1 − c) + (y − d)(y1 − d) = r2 y − y1 = −x1 − c
y1 − d(x− x1)
n : y − y1 =y1 − d
x1 − c(x− x1)
166 7 Analytische Geometrie
Wir betrachten jetzt die beiden Tangentent1, t2 von einem Punkt Q(ξ; η) außerhalbdes Kreises K mit der Gleichung
K : (x− c)2 + (y − d)2 = r2
an diesen Kreis, wobei wir die beiden Be-rührungspunkte mit P1, P2 bezeichnen. DerPunkt Q(ξ; η) wird Pol genannt. Die Ge-rade p durch die beiden Berührungspunk-te P1, P2 wird als Polare p bezeichnet. Dieobige Polarengleichung gilt auch für die Po-lare p eines beliebigen Punktes Q(ξ; η) au-ßerhalb des Kreises K, d.h., es wird (x1; y1)durch (ξ; η) ersetzt, und wir erhalten dieGleichung der Polaren p:
Aufg. 7.19 Bestimmen Sie die kartesische Normalform der Gleichung derTangenten und der Normalen an den Kreis (x− 2)2 + (y − 1)2 = 25 im PunktP (5;−3).
Aufg. 7.20 Was wird durch die Gleichung x2 − 4x + y2 − 2y − 20 = 0 in derxy-Ebene beschrieben?
Aufg. 7.21 Vom Punkt Q(5; 6) werden die Tangenten t1, t2 an den Kreis mitdem Mittelpunkt M(1; 2) und dem Radius r = 2 gelegt.a) Stellen Sie die Gleichung der Polaren p zum Pol Q auf.b) Berechnen Sie die Berührungspunkte P1, P2 der beiden Tangenten t1, t2 mitdem Kreis K. (Hinweis: Es gilt Pj = p∩K, j = 1, 2, d.h., die BerührungspunkteP1, P2 sind die Schnittpunkte der Polaren p mit der Kreislinie K.)c) Ermitteln Sie die Gleichungen der beiden Tangenten t1, t2.
Aufg. 7.22 An den Kreis mit dem Mittelpunkt M = (−2; 0) und dem Radiusr =
√5 werden die Tangenten vom Punkt Q(3; 5) gelegt. Bestimmen Sie die
kartesischen Normalformen der Geradengleichungen dieser Tangenten.
Ellipsen
Unter einer Ellipse E verstehen wir den geometrischen Ort aller Punkte einerEbene, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten dieser Ebene,den Brennpunkten F1, F2 der Ellipse, konstant ist.
7.2 Kegelschnitte 167
Wir betrachten zunächst eine Ellipse Emit den Brennpunkten F1, F2 in Mit-telpunktslage, d.h., der Mittelpunkt Mvon E liegt im Koordinatenursprung Ound die beiden Achsen S1S2, T1T2 lie-gen auf den Koordinatenachsen. Es gilt,dass die beiden Brennpunkte F1, F2 aufder längeren der beiden Achsen liegen.Mit a = |MS1 | und b = |MT1 | wer-den die Längen der beiden Halbachsenbezeichnet.Für jeden Punkt P (x; y) der Ellipse Egilt dann, dass die Summe der Abstän-de
von P zu den beiden Brennpunkten F1, F2 gleich der vorgegebenen Konstanten2a (die Länge der größeren Achse) ist, d.h., es gilt:
|F1P |+ |F2P | = 2a (7.5)
Wir betrachten jetzt die Gleichung einer Ellipse E mit den Längen der Halb-achsen a in x-Richtung und b in y-Richtung, wobei diese Ellipse in Mittel-punktslage ist oder durch Parallelverschiebung einer Ellipse in Mittelpunkts-lage entstanden ist:
Gleichung der Ellipse Emit Mittelpunkt M(0; 0) x2
a2+
y2
b2= 1und Längen a, b der Halbachsen
mit Mittelpunkt M(c; d) (x− c)2
a2+
(y − d)2
b2= 1und Längen a, b der Halbachsen
Aufg. 7.23 Berechnen Sie die Koordinaten der Brennpunkte F1, F2 der El-
lipse mit der Gleichungx2
a2+
y2
b2= 1, wobei a > b gilt. (Hinweis: Wenden Sie
den Satz des Pythagoras im Dreieck ΔMF1T1, welches aus der obigen Abbil-dung (Ellipse E in Mittelpunktslage) zu entnehmen ist, an und beachten Siedie Gleichung (7.5).)
Aufg. 7.24 Berechnen Sie die Koordinaten der Brennpunkte F1, F2 der El-
lipsen mit den Gleichungen: a)x2
16+
y2
9= 1, b)
x2
9+
y2
16= 1,
c)(x− 2)2
16+
(y − 3)2
25= 1, d)
(x− 2)2
25+
(y − 3)2
16= 1.
168 7 Analytische Geometrie
Aufg. 7.25 Von einer Ellipse in Mittelpunktslage sind die große Halbachsea = 5 sowie ein Punkt P (3; 2, 4) gegeben. Wie lautet ihre Gleichung?
Aufg. 7.26 Eine Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsensind, berührt die x-Achse in P1(4; 0) und schneidet die y-Achse in P2(0; 4, 8)und P3(0; 1, 2). Wie heißt die Ellipsengleichung?
Aufg. 7.27 In die Ellipsex2
a2+
y2
b2= 1 wird ein Quadrat eingezeichnet, dessen
Eckpunkte auf der Ellipse liegen und dessen Seiten parallel zu den Ellipsen-achsen sind. Wie groß ist die Fläche des Quadrates?
Aufg. 7.28 Beweisen Sie, dass für Konstanten a, b > 0 die Punkte P (x; y)mit x = a cos t, y = b sin t, wobei t ein reeller Parameter mit 0 ≤ t < 2π ist,
die Ellipsex2
a2+
y2
b2= 1 beschreiben.
Hyperbeln
Unter einer HyperbelH verstehen wir den geometrischen Ort aller Punkte einerEbene, für die der Betrag der Differenz der Abstände von zwei festen Punktendieser Ebene, den Brennpunkten F1 und F2, konstant ist.
Wir betrachten jetzt eine Hyperbel Hmit den beiden Brennpunkten
F1(e; 0) und F2(−e; 0)
in Mittelpunktslage (d.h., ihr Mittel-punkt M befindet sich im Koordina-tenursprung O und die BrennpunkteF1, F2 liegen auf der x-Achse). Die x-Koordinate e des Brennpunktes F1 wirdals lineare Exzentrizität bezeichnet. Diebeiden Scheitel, das sind die Schnitt-punkte der Hyperbel mit der x-Achse,haben die Koordinaten:
Es gilt immer e > a > 0. Für die Punkte P dieser Hyperbel H gilt somit:
|F2P | − |F1P | = ±2a
7.2 Kegelschnitte 169
Für betragsmäßig große x-Werte (d.h., für sehr große bzw. sehr kleine x-Werte)schmiegt sich die Hyperbel an ihre Asymptoten an, wobei die Asymptoten einsich im Mittelpunkt der Hyperbel schneidendes Geradenpaar sind. Es gilt,dass die beiden Hyperbeläste den Asymptoten beliebig nahe kommen, ohnesie jedoch zu berühren.
Wir setzen b =√
e2 − a2, d.h., es gilt
e2 = a2 + b2
und erhalten damit die Gleichungen einer Hyperbel und ihrer Asymptoten inMittelpunktslage bzw. die einer Hyperbel, welche durch Parallelverschiebungeiner Hyperbel in Mittelpunktslage entstanden ist:
Wir wollen jetzt Hyperbeln betrachten, welche durch Drehung um 90◦ umden Mittelpunkt M(0; 0) bzw. M(c; d) aus den oben behandelten Hyperbelnentstanden sind. Die Scheitel- und Brennpunkte dieser gedrehten Hyperbelnliegen dann auf der y-Achse bzw. auf einer zur y-Achse parallelen Geraden.
Aufg. 7.31 Eine Hyperbel in Mittelpunktslage geht durch die beiden PunkteP1(15; 4, 5) und P2(13;−2, 5). Wie lautet die Hyperbelgleichung?
Aufg. 7.32 Bestimmen Sie die Abstände des Punktes P (3; 2) von den Asymp-toten der Hyperbel 9x2 − 16y2 − 36x− 128y = 364.
Parabeln
Unter einer Parabel P verstehen wir den geometrischen Ort für alle Punkteeiner Ebene, für die der Abstand von einem festen Punkt dieser Ebene, demBrennpunkt F der Parabel P , jeweis gleich dem Abstand von einer festenGeraden l dieser Ebene ist. Diese Gerade l heißt Leitlinie der Parabel P .Wir betrachten zunächst eine Parabel P , derenScheitel S im Koordinatenursprung O liegt, de-ren Parabelachse mit der x-Achse und deren Schei-teltangente mit der y-Achse zusammenfällt. DerBrennpunkt F (p
2; 0) liegt auf der x-Achse mit dem
Abszissenwert p2
> 0. Die Leitlinie l ist parallel zury-Achse und schneidet die x-Achse bei x = −p
2. Wir
betrachten jetzt einen beliebigen Punkt P (x; y),welcher auf der Parabel P liegt und berechnen denAbstand von P (x; y) zum Brennpunkt F (p
Für den Abstand d von P (x; y) zur Leitlinie l erhalten wir sofort: d = p2
+ x.
Da der Punkt P (x; y) genau dann auf der Parabel P liegt, wenn d = |PF | gilt,erhalten wir die Gleichung:
p
2+ x =
√(p
2− x
)2
+ y2.
Durch Quadrieren der letzten Gleichung folgt:(p
2+ x
)2
=(p
2− x
)2
+ y2 und
dann nach einer einfachen Rechnung die Parabelgleichung:
y2 = 2px
7.2 Kegelschnitte 171
Wir betrachten jetzt allgemeiner solche Parabeln, welche durch Parallelver-schiebung des Scheitels nach S(c; d) und dann durch Drehung der Parabel um0◦, 90◦, 180◦ oder 270◦ um den Scheitel S(c; d) aus der oben betrachtetenParabel y2 = 2px hervorgegangen sind:
Aufg. 7.33 Gesucht ist die Gleichung der Parabel in Scheitellage mit der x-Achse als Parabelachse, wobei der Punkt P0(1; 2) auf der Parabel liegt. Be-stimmen sie ferner den Brennpunkt F und die Gleichung der Leitlinie l.
Aufg. 7.34 Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel, die ihren Scheitel inS(2; 3) hat, nach unten offen ist und deren Achse parallel zur y-Achse verläuft.Außerdem liege der Punkt P0(1; 2) auf der Parabel. Bestimmen Sie auch denBrennpunkt und die Leitlinie.
Aufg. 7.35 Klassifizieren Sie die durch die folgenden Gleichungen gegebenenKegelschnitte und bestimmen Sie die charakterisierenden geometrischen Ob-
In diesem Abschnitt betrachten wir immer ein kartesisches (rechtwinkliges)x, y, z-Koordinatensystem, d.h., die Koordinatenachsen stehen paarweise senk-recht aufeinander, sie schneiden sich im Koordinatenursprung O und auf ihnenwurde die gleiche Längeneinheit gewählt. Weiterhin sind die Koordinatenach-sen rechtshändig orientiert (s. Rechte-Hand-Regel im Abschn. 6.2).
Punkte im Raum
Wenn ein (kartesisches) Koordinatensystem im Raum eingeführt worden ist, sokann jedem Punkt P1 des Raumes eindeutig ein Tripel reeller Zahlen (x1, y1, z1),welche wir als (kartesische) Koordinaten von P1 bezeichnen, zugeordnet wer-den. Umgekehrt kann auch jedem Tripel reeller Zahlen eindeutig ein Punkt desRaumes zugeordnet werden.Wenn ein Punkt P1 des Raumes ge-geben ist, so erhalten wir seine karte-sischen Koordinaten, indem wir vonP1 je ein Lot lx, ly und lz auf dieKoordinatenachsen fällen. Die zu-gehörigen Fußpunkte Qx, Qy, Qz er-geben dann die kartesischen Koor-dinaten (x1, y1, z1) von P1. So istz.B. x1 die Koordinate des Fußpunk-tes Qx auf der x-Achse, oder an-ders ausgedrückt: x1 ist der orien-tierte Abstand des Fußpunktes Qx
vom Koordinatenursprung O gemes-sen in Vielfachen des auf der x-Achse liegenden Einheitsvektors ex.Wir schreiben dann kurz:
Eine zweite Möglichkeit die Koordinaten (x1, y1, z1) des Punktes P1 zu erhalten,besteht darin, den Quader mit der rechteckigen Grundfläche OQxP
′1Qy, welche
7.3 Punkte, Ebenen und Geraden im Raum 173
in der (x, y)-Ebene liegt, und der Deckfläche QzP′′′1 P1P
′′1 zu betrachten. Hierbei
sind P ′1 (bzw. P′′1 oder P
′′1 ) die orthogonalen Projektionen von P1 in die (x, y)-
Ebene (bzw. in die (y, z)-Ebene oder (x, z)-Ebene).
Aufg. 7.36 Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes P1(3; 2; 1) vom Koor-dinatenursprung O. (Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Länge der StreckeOP ′1 nach dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck ΔOQxP
′1. Be-
rechnen Sie dann die Länge der Strecke OP1, welche mit dem gesuchten Ab-stand von P1 zu O übereinstimmt, nach dem Satz des Pythagoras im recht-winkligen Dreieck ΔOP ′1P1, s. Abbildung: Koordinaten eines Punktes.)
Abstand zweier Punkte
Die geradlinige Verbindung zweier Punkte P1(x1; y1; z1) und P2(x2; y2; z2) wirdals Strecke P1P2 bezeichnet. Die Länge der Strecke P1P2, die gleich dem Ab-stand der Punkte P1 und P2 ist, berechnet sich nach der Formel:
|P1P2| =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Diese Formel folgt sofort aus dem Satz des Pythagoras.
Aufg. 7.37 Berechnen Sie den Abstand der Punkte P1(1; 2; 3) und P2(6; 5; 4).
Parameter- und Koordinatenform der Geradengleichung
Eine Gerade g wird durch eine
Parameterform x = x1 + λa, λ ∈ R (7.6)
der Geradengleichung beschrieben, wobeix1 =
−−→OP1 den Ortsvektor eines Punktes
P1 der Geraden g bezüglich des Koordi-natenursprungs O und a einen Richtungs-vektor der Geraden g bezeichnet. Es giltdann, dass für jeden Parameter λ ∈ R
durch (7.6) der Ortsvektor x =−→OP ei-
nes Punktes P , welcher auf der Geraden gliegt, gegeben wird. Weiterhin gilt umge-kehrt, dass für jeden Punkt P0 der Gera-den g ein Parameter λ0 ∈ R existiert, sodass x0 =
(Die Parameterform der Geradengleichung wird auch als Vektorform bezeich-net.)
Wenn zwei Punkte P1(x1; y1; z1) und P2(x1; y2; z2) der Geraden g gegebensind, so wird g durch die
Zweipunkteform x = x1 + λ (x2 − x1), λ ∈ R (7.7)
der Geradengleichung gegeben, wobei x1 =−−→OP1 und x2 =
−−→OP2 die Ortsvekto-
ren von P1 und P2 bezüglich des Koordinatenursprungs O bezeichnen.
Wenn ein Punkt P1(x1; y1; z1) und ein Richtungsvektor a =
⎛⎝ ax
ay
az
⎞⎠ der Ge-
raden g gegeben sind, so erhalten wir die Koordinaten (x; y; z) für jeden PunktP der Geraden g als Lösung der
Koordinatenformx− x1
ax
=y − y1
ay
=z − z1
az
der Geradengleichung. Für den Fall, dass ein Nenner in der obigen Koordi-natenform der Geradengleichung gleich 0 ist, vereinbaren wir, anstelle diesesBruches die Gleichung „Zähler = 0“ zu betrachten.(Wenn z.B. ax = 0 und ay �= 0, az �= 0 gelten, so lautet die Koordinatenform
der Geradengleichung: x− x1 = 0,y − y1
ay
=z − z1
az
.)
Wir wollen weiterhin anmerken, dass die obige Koordinatenform der Gera-dengleichung ein aus drei Gleichungen bestehendes lineares Gleichungssystemmit den Unbekannten x, y, z ist und sich äquivalent umformen läßt in:
ayx − axy = ayx1 − axy1
azx − axz = azx1 − axz1
azy − ayz = azy1 − ayz1
(7.8)
Aufg. 7.38 Bestimmen Sie die Koordinatenform der Geradengleichung für dieGerade g, welche durch den Punkt P1 geht und den Richtungsvektor a besitzt,
wobei gilt: a) P1(0; 1; 2), a =
⎛⎝ 423
⎞⎠ , b) P1(2; 1; 3), a =
⎛⎝ 120
⎞⎠ ,
c) P1(0; 0; 0), a =
⎛⎝ 100
⎞⎠ .
7.3 Punkte, Ebenen und Geraden im Raum 175
Aufg. 7.39 Eine Gerade g geht durch die Punkte P1(−1; 8; 6), P2(11;−1;−9).Untersuchen Sie, welcher der Punkte P3(1; 2; 3), P4(5;−1; 10), P5(23;−10;−24)auf g liegt.
Aufg. 7.40 In welchem Punkt durchstößt die Gerade
g : x =
⎛⎝ 123
⎞⎠ + λ
⎛⎝ 466
⎞⎠, λ ∈ R, a) die (x, y)-Ebene und b) die (y, z)-
Ebene?
Abstand zwischen Punkt und Gerade
Wenn die Gerade g : x = x1 + λa, λ ∈ R, in Vektorschreibweise gegeben ist,so berechnet sich der Abstand d eines Punktes P3 nach der Formel:
d =|(x3 − x1)× a|
|a| (7.9)
(Hierbei bezeichnet x3 =−−→OP3 den Ortsvektor von P3 bezüglich des Koordina-
tenursprungs O.)Beweis für Formel (7.9): Wir fällen das Lot von P3 auf g und bezeichnen denFußpunkt des Lotes mit Q. Der zu berechnende Abstand von P3 zu g ist dieLänge des Lotes, d.h., es gilt d = |QP3|. Im rechtwinkligen Dreieck ΔP1QP3
gilt für den Winkel ϕ = ∠QP1P3 die Beziehung sin ϕ =d
|x3 − x1| und damit
d = |x3 − x1| · sin ϕ . (7.10)
Andererseits gilt
|(x3 − x1)× a| = |x3 − x1| · |a| · sin ϕ
nach Formel (6.9), woraus
|x3 − x1| · sin ϕ =|(x3 − x1)× a|
|a|folgt. Wenn wir die letzte Gleichung in (7.10)einsetzen, erhalten wir die zu beweisendeFormel (7.9). q.e.d.
Aufg. 7.41 Berechnen Sie den Abstand d des Punktes P3(3; 1; 5) von der Ge-raden g, die durch den Punkt P1(2;−3; 4) läuft und den Richtungsvektor
176 7 Analytische Geometrie
a =
⎛⎝ 3−412
⎞⎠ hat.
Aufg. 7.42 Gegeben sei eine Gerade g, welche durch die Punkte P1(1; 2;−1)und P2(3;−1; 2) läuft. Berechnen Sie die Koordinaten des Fußpunktes des Lo-tes vom Punkt P3 auf die Gerade g. Welchen Abstand hat P3 von g?Es sei a) P3 = O = (0; 0; 0), b) P3 = (1; 2; 3).
Zwei Geraden g1, g2 im Raum
Es seien jetzt zwei Geraden g1 : x = x1 +λaund g2 : x = x2 + μb, λ, μ ∈ R gegeben,wobei xj =
−−→OPj mit j = 1, 2 den Ortsvek-
tor eines Punktes Pj der Geraden gj bezüglichdes Koordinatenursprungs O bezeichnet, unda ein Richtungsvektor von g1 und b ein sol-
Es gilt dann, dass die Geraden g1 und g2 genau dann einen gemeinsamen PunktS(sx; sy; sz) besitzen, wenn es Parameter λ0, μ0 ∈ R gibt, so dass
x1 + λ0a = x2 + μ0b (7.11)
gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass das lineare Gleichungssystemin den Unbekannten λ, μ
ax λ − bx μ = x2 − x1
ay λ − by μ = y2 − y1 (7.12)az λ − bz μ = z2 − z1
lösbar ist (d.h., es enthält keinen Widerspruch).Wenn das lineare Gleichungssystem (7.12) eindeutig lösbar ist, so schneiden
sich die Geraden g1 und g2 in genau einem Punkt S. Wir erhalten dann denOrtsvektor −→OS von S = g1 ∩ g2 bezüglich des Koordinatenursprungs O, indemwir die Lösung λ0 (oder μ0) von (7.12) in (7.11) einsetzen.
7.3 Punkte, Ebenen und Geraden im Raum 177
Für den Fall, wenn das lineare Gleichungssystem (7.12) nicht eindeutiglösbar ist und somit eine einparametrige Lösungsschar besitzt, gilt, dass diebeiden Geraden g1 und g2 zusammenfallen (d.h. g1 = g2).
Es gilt weiterhin, dass die beiden Geraden g1 und g2 genau dann zueinanderparallel sind, wenn ihre Richtungsvektoren a und b Vielfache voneinander sind.Diese Bedingung ist äquivalent zu:
ax
bx
=ay
by
=az
bz
(7.13)
Für zwei gegebene Geraden g1, g2 des Raumes tritt genau eine der folgendenvier Möglichkeiten ein:
verbale Beschreibung Formel äquivalente Bedingung
1) g1 und g2 fallen zu-sammen g1 = g2
(7.12) ist lösbar und(7.13) gilt
2)g1 und g2 sind parallelzueinander und fallennicht zusammen
g1||g2 undg1 ∩ g2 = ∅
(7.12) ist nicht lösbarund (7.13) gilt
3)g1 und g2 schneidensich in genau einemPunkt S
g1 ∩ g2 = Sund g1 �= g2
(7.12) ist lösbar und(7.13) gilt nicht
4) g1 und g2 sind wind-schief
g1 ∩ g2 = ∅und g1 � ||g2
(7.12) ist nicht lösbarund (7.13) gilt nicht
Zur Erläuterung der 4. Möglichkeit merken wir an, dass zwei Geraden g1 undg2 genau dann windschief zueinander sind, wenn sie weder parallel zueinanderliegen noch einen gemeinsamen Punkt besitzen.
Abstand windschiefer Geraden
Der (vorzeichenlose) Abstand |d| (d.h. die kleinste Entfernung) von zwei inParameterform gegebenen windschiefen Geraden g1 : x = x1 + λa, λ ∈ R,und g2 : x = x2 + μb, μ ∈ R, wird durch
|d| =
∣∣∣⟨x2 − x1 | a×b⟩∣∣∣
|a×b| =
∣∣∣[x2 − x1,a,b]∣∣∣
|a×b| (7.14)
berechnet, wobei die in Abschn. 6.3 definierten Produkte zwischen Vektorenverwendet worden sind. Aus der Gleichung (7.14) erhalten wir sofort die inter-essante Folgerung:
178 7 Analytische Geometrie
Die Geraden g1 und g2 schneiden sich dann und nur dann in ge-nau einem Punkt S, wenn die beiden Bedingungen a ×b �= o und⟨x2 − x1 | a×b
⟩= 0 erfüllt sind.
Bemerkung: Die erste Bedingung a × b �= o ist genau dann erfüllt, wenn g1
und g2 weder parallel noch antiparallel zueinander sind. Somit können g1 undg2 weder zusammenfallen noch parallel zueinander liegen. Aus der zweitenBedingung
⟨x2 − x1 | a×b
⟩= 0 folgt nun wegen Formel (7.14), dass g1 und
g2 den Abstand 0 haben und sich somit schneiden müssen.Beweis für Formel (7.14): Für zwei PunkteR1 auf g1 und R2 auf g2 gilt, dass die Län-ge der Strecke |R1R2|, welche die Entfernungdieser beiden Punkte beschreibt, genau dannminimal ist, wenn die Strecke R1R2 sowohlorthogonal auf der Geraden g1 als auch aufder Geraden g2 steht. Die Endpunkte dieserStrecke bezeichnen wir mit Q1 und Q2, d.h.,es gilt Q1Q2 ⊥ g1 und Q1Q2 ⊥ g2, was gleich-bedeutend mit Q1Q2 ⊥ a und Q1Q2 ⊥ bist. Aus diesen Orthogonalitätsbeziehungenerhalten wir
|a×b| hat die Länge 1 und steht orthogonal sowohl auf a als
auch auf b, und d bezeichnet den noch zu berechnenden Abstand der PunkteQ1 und Q2. Da die Punkte Qj auf gj liegen (j = 1, 2), existieren Parameterλ1, μ1 ∈ R, so dass −−→OQ1 = x1 +λ1a und −−→OQ2 = x2 +μ1
b gilt. Hieraus erhaltenwir
−−−→Q1Q2 =
−−→OQ2 −−−→OQ1 = x2 − x1 + μ1
b− λ1a.
Mit (7.15) folgt somit
x2 − x1 + μ1b− λ1a = d
a×b
|a×b| . (7.16)
7.3 Punkte, Ebenen und Geraden im Raum 179
Auf beiden Seiten der Gleichung (7.16) bilden wir nun das Skalarprodukt mitdem Vektor a×b und erhalten dann⟨
x2 − x1 |a×b⟩
= d|a×b|2|a×b| = d |a×b| , (7.17)
wobei wir auf der linken Seite der obigen Gleichung⟨μ1
b |a×b⟩
= 0 und⟨λ1a |a×b
⟩= 0 verwendet haben (denn es gilt λ1a ⊥ a ×b, μ1
b ⊥ a ×b),
und auf der rechten Seite haben wir⟨a×b |a×b
⟩= |a×b|2 eingesetzt. Wenn
wir die Gleichung (7.17) nach d auflösen, so erhalten wir die zu beweisendeFormel (7.14). q.e.d.
Aufg. 7.43 Untersuchen Sie, ob sich die beiden Geraden
g1 : x =
⎛⎝ 3−2
8
⎞⎠ + λ
⎛⎝ −29
−9
⎞⎠ und g2 : x =
⎛⎝ 331
⎞⎠ + μ
⎛⎝ −5−2, 512, 5
⎞⎠ mit
λ, μ ∈ R einander schneiden.
Aufg. 7.44 Gegeben seien die folgenden Geradenpaare g1, g2. Wie liegen dieseGeraden zueinander? Wenn die Geraden weder parallel zueinander sind nochzusammenfallen, dann ist der Schnittpunkt bzw. der Abstand zu bestimmen.
a) g1 : x =
⎛⎝ 2−1
3
⎞⎠ + λ
⎛⎝ 42
−1
⎞⎠, g2 : x =
⎛⎝ 122
⎞⎠ + μ
⎛⎝ 2−1
3
⎞⎠, λ, μ ∈ R,
b) g1 : x =
⎛⎝ 3−1
2
⎞⎠ + λ
⎛⎝ 243
⎞⎠, g2 : x =
⎛⎝ −15
10
⎞⎠ + μ
⎛⎝ −446
⎞⎠, λ, μ ∈ R,
c) g1 : x =
⎛⎝ 2 + 2√
3−3
7
⎞⎠+λ
⎛⎝ 2√
3−2
4
⎞⎠, g2 : x =
⎛⎝ 2−√301
⎞⎠+μ
⎛⎝ −√31
−2
⎞⎠,
λ, μ ∈ R.
Ebenengleichungen
Jede Ebene E im (dreidimensionalen) Raum kann durch eine lineare Gleichungder Koordinaten in der Form
E : Ax + By + Cz + D = 0 (7.18)
180 7 Analytische Geometrie
beschrieben werden, wobei die reellen Konstanten A,B,C,D nicht alle gleich0 sind. Das bedeutet, dass ein Punkt P1(x1; y1; z1) des Raumes genau dannauf der Ebene E liegt, wenn seine Koordinaten (x1; y1; z1) die Gleichung (7.18)erfüllen.
Die Gleichung (7.18) kann auch in Vektorschreibweise gegeben werden:
〈a|x〉+ D = 0 (7.19)
wobei für die Vektoren a =
⎛⎝ ABC
⎞⎠ und x =
⎛⎝ xyz
⎞⎠ gilt. Die Gleichung
(7.19) folgt sofort aus (7.18), wenn wir die Definition für das Skalarproduktbeachten, siehe Abschn. 6.3, Formel (6.7).Es gilt weiterhin, dass der Vektor a senkrechtauf der Ebene E steht. Wir normieren denVektor a auf die Länge 1, indem wir
Der Vektor n wird als Normalenvektor der Ebene E bezeichnet.Wenn wir die Gleichung (7.18) bzw. (7.19) durch |a| = √A2 + B2 + C2 divi-
dieren, so erhalten wir die Hessesche Normalform der Ebenengleichung, wobei
p =D√
A2 + B2 + C2den Abstand der Ebene E vom Koordinatenursprung O
angibt:
Schreibweise in: Hessesche Normalform
Koordinaten nxx + nyy + nzz + p = 0
Vektoren 〈n|x〉+ p = 0
7.3 Punkte, Ebenen und Geraden im Raum 181
Den Abstand d eines Punktes P1(x1; y1; z1) von der Ebene E berechnen wir,indem wir die Koordinaten (x1; y1; z1) von P1 für (x; y; z) in die HessescheNormalform von E einsetzen. Im Folgenden wollen wir immer den vorzeichen-losen Abstand |d| betrachten.Wenn die Schnittpunkte Sx = (a; 0; 0), Sy = (0; b; 0), Sz = (0; 0; c) einer EbeneE mit den Koordinatenachsen gegeben sind, so kann E sofort durch die
Achsenabschnittsformx
a+
y
b+
z
c= 1
der Ebenengleichung beschrieben werden.Es seien jetzt ein Punkt P1(x1; y1; z1) einerEbene E und zwei linear unabhängige (d.h.nicht parallele) Vektoren
b =
⎛⎝ bx
by
bz
⎞⎠ und c =
⎛⎝ cx
cy
cz
⎞⎠ dieser
Ebene E gegeben (d.h., wenn die Anfangs-punkte der Vektoren b, c in der Ebene Eliegen, so liegen auch die Endpunkte dieserVektoren in E). Dann wird E beschriebendurch die
der Ebenengleichung, wobei x1 =−−→OP1 den Ortsvektor von P1 bezüglich des
Koordinatenursprungs O bezeichnet. Die Gleichung (7.20) besagt, dass wir fürjedes Paar reeller Zahlen λ, μ den Ortsvektor x eines Punktes P der EbeneE bezüglich O erhalten. Umgekehrt existieren zu jedem Punkt Q der EbeneE eindeutig bestimmte reelle Parameter λ0, μ0, so dass dann durch (7.20) derOrtsvektor von Q bezüglich O gegeben wird.
Aufg. 7.45 Berechnen Sie die Abstände:a) des Punktes P (1; 2; 3) von der Ebene E1 : 2x + y + 3z − 4 = 0,b) des Punktes Q(2;−1;−4) von der Ebene E2 : 2x− 2y − z = 1.
Aufg. 7.46 Gegeben sind die Punkte P1(2; 5;−3), P2(7; 2; 1) und P3(1; 1; 1).Bestimmen Sie:a) die Gleichung der Ebene E, auf welcher die Punkte P1, P2 und P3 liegen,in Parameterform, Skalarform und Hessescher Normalform,b) den Abstand des Punktes P4(3; 2; 1) von der Ebene E.
182 7 Analytische Geometrie
Aufg. 7.47 Bestimmen Sie eine Skalarform der Ebenengleichung für die Ebe-ne E, deren Schnittgeraden mit der (x, y)-Ebene 2x + 3y = 6 und mit der(x, z)-Ebene x + 2z = 3 sind.
Aufg. 7.48 Gegeben sind die beiden parallelen Geraden:
g1 : x =
⎛⎝ −252
⎞⎠+λ
⎛⎝ 10
−1
⎞⎠ und g2 : x =
⎛⎝ 2−4
2
⎞⎠+μ
⎛⎝ 10
−1
⎞⎠, λ, μ ∈ R.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E, welche die Geraden g1 und g2
enthält, in Skalarform.b) Welchen Abstand hat der Punkt Q(3;−2; 6) von E?c) Wie lautet die Gleichung der Geraden g3, die in E liegt, und die die Geradeg1 im Punkt P2(x2; y2; z2) mit x2 = −1 orthogonal schneidet?d) In welchem Punkt schneiden sich g2 und g3?
Aufg. 7.49 Gegeben sind eine Gerade g : x =
⎛⎝ 13
−2
⎞⎠+λ
⎛⎝ 22
−1
⎞⎠, λ ∈ R,
und eine Ebene E : 2x− 3y − z = −1.a) Berechnen Sie den Durchstoßpunkt S = g ∩ E der Geraden g durch dieEbene E.b) Unter welchem Winkel α schneidet die Gerade g die Ebene E? (Hinweis:Betrachten Sie eine auf E senkrecht stehende Gerade h und berechnen Sieden Schnittwinkel β = ∠(g, h) zwischen den Geraden g und h. Es gilt dannα = 90◦ − β. Beachten Sie, dass 0◦ ≤ α ≤ 90◦ gilt.)
Aufg. 7.50 Unter welchem Winkel wird die Ebene E : 2x + 3y + 4z = 6 von
der Geraden g : x =
⎛⎝ 20
−3
⎞⎠ + λ
⎛⎝ −251
⎞⎠, λ ∈ R, geschnitten?
Aufg. 7.51 Bestimmen Sie den Spiegelpunkt P2 zum Punkt P1(2; 3; 4) in Be-zug auf die Ebene E : x− 3y + 5z = −22.
Schnitt zweier Ebenen
Zwei Ebenen E1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 und E2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0,die weder zusammenfallen noch zueinander parallel sind, schneiden einanderstets in einer Geraden g, d.h. g = E1∩E2. g wird als Schnittgerade von E1 undE2 bezeichnet. Die Schnittgerade g wird durch das lineare Gleichungssystem
beschrieben, d.h., die Koordinaten der Punkte von g erfüllen das obige lineareGleichungssystem; und umgekehrt, jede Lösung (x1; y1; z1) dieses Gleichungs-systems beschreibt die Koordinaten eines Punktes von g. Wenn wir das Glei-chungssystem (7.21) lösen, so erhalten wir eine Parameterdarstellung von g.
Wir wollen jetzt den Schnittwinkel α von zwei sich schneidenden EbenenE1 : A1x + B1y + C1z = −D1 und E2 : A2x + B2y + C2z = −D2 berechnen.
Da der Vektor a1 =
⎛⎝ A1
B1
C1
⎞⎠ senkrecht auf E1 und der Vektor a2 =
⎛⎝ A2
B2
C2
⎞⎠senkrecht auf E2 steht (siehe Gleichung (7.19)), gilt Schnittwinkel α = ∠(a1,a2).Aus den Formeln (6.2) und (6.8) erhalten wir:
cos α =〈a1 |a2〉|a1 | |a2| =
A1A2 + B1B2 + C1C2√A2
1 + B21 + C2
1
√A2
2 + B22 + C2
2
(7.22)
Aufg. 7.52 Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen den beiden EbenenE1 : 2x + y − 2z = 4 und E2 : 3x + 6y − 2z = 12.
Aufg. 7.53 Berechnen Sie die Schnittgerade g der beiden EbenenE1 : 2x− y + 3z = 1 und E2 : x + y − z = 2.
7.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 7
7.1 Nach dem Satz des Pythagoras gilt: d =√
(2− 1)2 + (4− 2)2 =√
5.
7.2 Der Punkt Q(x; 0) der x-Achse hat von P den Abstandd =
√(x− 6)2 + (0 + 4)2 =
√x2 − 12x + 52, welcher d =
√65 erfüllen soll.
Aus√
x2 − 12x + 52 =√
65 erhalten wir die quadratische Gleichungx2 − 12x− 13 = 0
mit den Lösungen x1,2 = 6 ±√49, d.h. x1 = 13 und x2 = −1. Somit sind diegesuchten Punkte Q1 = (13; 0) und Q2 = (−1; 0).
7.3 a) Für die Abszisse des Mittelpunktes M gilt xM =1 + 3
2= 2 und für die
Ordinate yM =2 + 4
2= 3. Somit folgt M = (2; 3).
b) M(0; 6). c) M = (1; 8).
7.4 a) y = b. b) x = a. c)x
a+
y
b= 1.
184 7 Analytische Geometrie
7.5 Die Punktrichtungsform der Geradengleichung für g lautet:y − 2 = −3(x − 1). Um den Abstand von g zum Koordinatenursprung O zubestimmen, wandeln wir die Punktrichtungsform in die Hessesche Normalformum. Dazu betrachten wir zunächst die zu g gehörige allgemeine Geradenglei-chung 3x+y−5 = 0 und dividieren diese durch
√12 + 32 =
√10. Somit lautet
die Hessesche Normalform von g:3√10
x +1√10
y − 5√10
= 0,
und der Abstand von g zu O beträgt: |p| = 5√10
=
√5√2
=1
2
√10.
Um den Schnittpunkt von g mit der x-Achse zu bestimmen, setzen wir y = 0 in
eine der obigen Geradengleichungen von g ein und erhalten x =5
3. Wenn wir
x = 0 einsetzen, so erhalten wir y = 5 als Ordinate (d.h. y-Wert) des Schnitt-punktes von g mit der y-Achse. Somit folgt die Achsenabschnittsgleichung für
g:3x
5+
y
5= 1.
7.6 a) 1. Schritt: Hessesche Normalform der gesuchten Geradengleichungen.Wir schreiben die Punktrichtungsform für die gesuchten Geraden:y − 3 = m(x− 2), wobei der Anstieg m noch zu bestimmen ist. Als HessescheNormalform (7.1) erhalten wir
− m√1 + m2
x +1√
1 + m2y +
−3 + 2m√1 + m2
= 0 .
2. Schritt: Lösen der Hesseschen Normalform für Q(−1; 2) und |d| = 1.Wir setzen die Koordinaten von Q(−1; 2)in die linke Seite der Hesseschen Normal-form ein. Aus |d| = 1 folgen dann die bei-den Gleichungen
g2 : x = 6 (Parallele zur y-Achse, die die x-Achse in x = 6 schneidet).
7.7 Geradengleichung g : −2x + 3y − 4 = 0.a) nein. b) ja. c) nein. d) nein.
7.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 7 185
7.8 Die Hessesche Normalform (siehe (7.1)) von g ist−2√13
x+3√13
y− 4√13
= 0.
Es folgt nun: Abstand von R1: |d1| =∣∣∣∣ −2√
13+
3√13− 4√
13
∣∣∣∣ =3√13
.
Abstand von R2: |d2| = 0, da R2 auf g liegt.
Abstand von R3: |d3| =∣∣∣∣ −2√
13· 3 +
3√13· 0− 4√
13
∣∣∣∣ =10√13
.
Abstand von R4: |d4| =∣∣∣∣ −2√
13· (−1) +
3√13· 1− 4√
13
∣∣∣∣ =1√13
.
7.9 a) Wir setzen y = λ und lösen die gegebene Geradengleichung nach x auf:x = 1, 5y − 2 = 1, 5λ− 2. Somit erhalten wir:
x =
(xy
)=
( −20
)+ λ
(1, 5
1
)mit λ ∈ R.
b) x =
(xy
)=
(70
)+ λ
( −11
)mit λ ∈ R.
c) x =
(xy
)=
(20
)+ λ
( −31
)mit λ ∈ R.
7.10 Wir eliminieren den Parameter λ aus den beiden Gleichungen:x = 7−λ, y = 1+λ, indem wir beide Gleichungen addieren, und erhalten eineSkalarform der Geradengleichung: x + y = 8.
7.11 a) Wir betrachten das lineare Gleichungssystem −3x + 3y = 62x + 3y = −9
},
welches die eindeutig bestimmte Lösung x = −3, y = −1 hat. Somit erhaltenwir den Schnittpunkt S(−3;−1). b) S(7, 5;−8, 5).
c) 1. Schritt: Die Geraden sind parallel zuein-ander, denn das nebenstehende zugehörige li-neare Gleichungssystem beinhaltet einen Wi-derspruch, da der nebenstehende Gaußalgo-rithmus einen Widerspruch ergibt (die letzteZeile 0x + 0y = −7 beinhaltet einen Wider-spruch!).
x y bi
2 −3 −5 | ↑| − 1| 3
2−1 | · 2
0 0 −7
2. Schritt: Abstand von zwei parallelen Geraden.Wir berechnen den Abstand zweier paralleler Geraden, indem wir für eine derbeiden Geraden die Hessesche Normalform der Geradengleichung bestimmenund in diese einen beliebigen Punkt, der auf der anderen Geraden liegt, ein-setzen. Als Hessesche Normalform für die erste Gerade erhalten wir:
186 7 Analytische Geometrie
2√13
x +−3√13
y +5√13
= 0. Um einen Punkt P auf der zweiten Geraden zu
bestimmen, setzen wir z.B. x = 0 in die Gleichung der zweiten Geraden einund erhalten −1 · 0 + 3
2y = −1 mit der Lösung y = −2
3und damit P (0; 2
3).
Somit erhalten wir für den Abstand der beiden Geraden:
|d| =∣∣∣∣ 2√
13· 0 +
−3√13· (−2
3) +
5√13
∣∣∣∣ =7√13
.
d) Die beiden Geraden fallen zusammen, denn die zweite Gleichung geht durchMultiplikation mit dem Faktor −2 aus der ersten hervor.
(Wir bemerken das wie folgt: Wenn wir die zweite Gleichung nach x auflösenund das Ergebnis x = −2y + 8 in die erste Gleichung einsetzen, so erhaltenwir eine Identität, d.h., die linke Seite wird ebenfalls gleich 0, denn es giltx− 2y − 8 = −2y + 8 + 2y − 8 = 0.)
7.12 Als Punktrichtungsform für g1 erhalten wir y − 2 = 3(x− 1).
7.13 Es gilt tan ψ =0, 5− 2
1 + 0, 5 · 2 = −0, 75 und dann ψ ≈ 143, 1◦.
7.14 In der Formel (7.3) setzen wir m1 = 4 als Anstieg der Geraden g und alsSchnittwinkel ψ1 = 45◦ bzw. ψ2 = −45◦. Für ψ1 folgt tan 45◦ = 1 und dann
aus (7.3): 1 =m2 − 4
1 + 4m2
. Wir lösen nach m2 auf und erhalten für den Anstieg
der gesuchten Geraden h1: m2 = −5
3.
Aus der Punktrichtungsform der Geradengleichung folgt nun y−3 = −5
3(x−1)
und dann h1 : 5x + 3y − 14 = 0. Für ψ2 folgt tan(−45◦) = −1.
Wie oben erhalten wir jetzt m2 =3
5und dann h2 : −3x + 5y − 12 = 0.
7.15 3x− 4y = 5 und 3x− 4y = −15.
7.16 Für den Anstieg von g2 erhalten wir aus der Bedingung für Orthogonalität
m2 = − 1
m1
= − 1
−23
=3
2. Aus der Punktrichtungsform der Geradengleichung
folgt nun y − 1 = 32(x− 1) und dann y = 3
2x− 1
2.
7.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 7 187
7.17 a) Wir berechnen dieKoordinaten des Eckpunk-tes A = g1 ∩ g2, indemwir das lineare Gleichungs-system{
6x −y = 265x +6y = 8
lösen. Als Lösung findenwir: x = 4, y = −2. So-mit folgt A(4;−2). Analogerhalten wir für B = g1∩g3:B(5; 4) und für C = g2∩g3:C(−2; 3).
c) Für die Anstiege der Geraden gj (j=1,2,3) gilt: m1 = 6, m2 = −5
6und
m3 =1
7. Für α = ∠(g1, g2) folgt tan α =
m2 −m1
1 + m1m2
=41
24und dann
α = arctan
(41
24
)≈ 59, 66◦. Für β = ∠(g3, g1) und γ = ∠(g2, g3) erhalten wir:
tan β =m1 −m3
1 + m1m3
=41
13, tan γ =
m3 −m2
1 + m2m3
=41
37, woraus dann β ≈ 72, 41◦
und γ ≈ 47, 94◦ folgen.
d) Es gilt H = ha ∩ hb, wobei ha die Höhe auf der Seite a = BC durch denPunkt A und hb die Höhe auf der Seite b = AC durch den Punkt B bezeichnen.Aus der Bedingung für Orthogonalität erhalten wir für den Anstieg der Höhe
ha: ma = − 1
m3
= −7, denn ha muss ja orthogonal auf g3 stehen. Aus der
Punktrichtungsform der Geradengleichung erhalten wir die Gleichung für dieHöhe ha : y − (−2) = −7 (x − 4), woraus 7x + y = 26 folgt. Analog erhalten
wir die Gleichung für die Höhe hb : y−4 =6
5(x−5) und dann −6
5x+y = −2.
Die Koordinaten des HöhenschnittpunktesH = ha ∩ hb erhalten wir als Lösung des ne-benstehenden linearen Gleichungssystems.
{7x + y = 26
−6
5x + y = −2
188 7 Analytische Geometrie
Es folgt x =140
41≈ 3, 41 und y =
86
41≈ 2, 10 und damit H(3, 41; 2, 10).
e) Es gilt S = sb ∩ sc, wobei sb die Seitenhalbierende der Seite b = AC durchden Punkt B und sc die Seitenhalbierende der Seite c = AB durch den PunktC bezeichnen. Wir berechnen die Koordinaten des Mittelpunktes Mb der Seite bund finden Mb(1; 0, 5). Für den Mittelpunkt Mc der Seite c folgt Mc(4, 5; 1). Aus
der Zweipunkteform der Geradengleichung erhalten wir sb :y − 4
x− 5=
0, 5− 4
1− 5
und dann −7x+8y = −3. Analog folgt sc :y − 3
x− (−2)=
1− 3
4, 5− (−2)und dann
4x + 13y = 31.
Indem wir das nebenstehende lineare Glei-chungssystem lösen, erhalten wir:
{ −7x + 8y = −34x + 13y = 31
x =7
3≈ 2, 33, y =
5
3≈ 1, 67 und dann S(2, 33; 1, 67).
f) Da U der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des gegebenen Dreiecks ist,betrachten wir die Mittelsenkrechten kb und kc, wobei kb senkrecht auf derSeite b steht und durch den Punkt Mb läuft (kc ist analog erklärt). Wie in d)erhalten wir kb : y − 0, 5 = 6
5(x − 1) und kc : y − 1 = −1
6(x − 4, 5). Für den
Schnittpunkt U = kb ∩ kc erhalten wir dann U(14782
; 11982
).
g) Wir betrachten die Vektoren −→HS =
(73− 140
4153− 86
41
)= − 1
123
(13353
)und
−−→HU =
(14782− 140
4111982− 86
41
)= − 1
82
(13353
), woraus −−→HU =
123
82
−→HS folgt. Somit
gilt, dass die Punkte H,S, U auf einer Geraden g liegen.
h) Wir berechnen −→SU =−−→HU − −→HS = (123
82− 1)
−→HS = 1
2
−→HS. Hiermit gilt
|−→HS| : |−→SU | = |−→HS| : (12|−→HS|) = 2.
Bemerkung: Die Eigenschaft |−→HS| : |−→SU | = 2 gilt immer für die EulerscheGerade.
7.18 c) 1. Schritt: Berechnung des Befestigungspunktes Q des Halteseils ander Fahnenstange.Die kartesische Form der Geradengleichung der Geraden g1 durch die Punkte Ound A(4; 3) (Fahnenstange) ist gegeben durch: y = 3
4x. Die Geradengleichung
für die Gerade g2, die senkrecht auf g1 und durch den Punkt C(0; 2, 5) geht(Halteseil), ist somit y = −4
3x + 2, 5.
7.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 7 189
Wir berechnen nun den Schnittpunkt Q = g1 ∩ g2
der beiden Geraden, indem wir das nebenstehen-de lineare Gleichungssystem lösen und die eindeutigbestimmte Lösung Q(1, 2; 0, 9) finden.
⎧⎪⎨⎪⎩y − 3
4x = 0
y +4
3x = 2, 5
2. Schritt: Berechnen der Zugkraft im Halteseil.
Für die Zugkraft erhalten wir F = λ
⎛⎝ 0− 1, 22, 5− 0, 9
0
⎞⎠ = λ
⎛⎝ −1, 21, 6
0
⎞⎠ mit noch
zu bestimmendem λ ∈ R. Hierzu berechnen wir das Drehmoment
−→OQ× F = λ
⎛⎝ 1, 20, 9
0
⎞⎠×⎛⎝ −1, 2
1, 60
⎞⎠ =
⎛⎝ 00
3λ
⎞⎠. Da die Summe aller Drehmo-
mente gleich 0 sein muss, folgt (siehe 2. Schritt der Lösung von Aufgabe 6.20a)) −24 − 40 + 3λ = 0 mit der Lösung λ = 21, 3. Für den gesuchten Betragder Zugkraft folgt somit |F | = 21, 3 ·√(−1, 2)2 + 1, 62 = 42, 6 kp.
d) Wir betrachten den Befestigungspunkt Qs(s,3
4s) des Halteseils an der Fah-
nenstange mit einem Parameter s (die x-Koordinate des Befestigungspunktes),der die Bedingung 0 ≤ s ≤ 4 erfüllt. Für den Vektor der Zugkraft und das
Drehmoment erhalten wir: F = λ
⎛⎝ −s2, 5− 0, 75 s
0
⎞⎠ und
−−→OQs × F = λ
⎛⎝ s0, 75 s
0
⎞⎠×⎛⎝ −s
2, 5− 0, 75 s0
⎞⎠ =
⎛⎝ 00
2, 5 λs
⎞⎠.
Da die Summe aller Drehmomente gleich 0 sein muss, erhalten wir wie oben
−24− 40 + 2, 5 λs = 0 mit der Lösung λ =64
2, 5 s. Wir sehen anhand der letz-
ten Gleichung, dass λ dann den kleinsten Wert hat, wenn s den größten Wertannimmt, d.h. s = 4. Somit ist der Betrag der Zugkraft minimal, wenn dasHalteseil im Punkt A befestigt wird.
7.19 Mit c = 2, d = 1, r = 5, x1 = 5 und y1 = −3 erhalten wir für dieTangente die Gleichung (x− 2) (5− 2) + (y − 1) (−3− 1) = 25 oder3(x− 2)− 4(y − 1) = 25, aus welcher sich die kartesische Normalform
y =3
4x− 27
4ergibt.
Für die Normale erhalten wir die Gleichung y − (−3) =−3− 1
5− 2(x − 5) und
damit y = −4
3x +
11
3.
190 7 Analytische Geometrie
7.20 Mit Hilfe der Methode der quadratischen Ergänzung formen wir die gege-bene Gleichung um: (x2− 4x+4)− 4+(y2− 2y +1)− 1− 20 = 0 und erhaltendann (x − 2)2 + (y − 1)2 = 25. Somit wird durch die gegebene Gleichung einKreis mit dem Mittelpunkt M(2; 1) und dem Radius r =
√25 = 5 beschrieben.
7.21 a) Als Kreisgleichung erhalten wir: K : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4. Fürc = 1, d = 2, ξ = 5 und η = 6 erhalten wir die Gleichung der Polarenp : (x − 1)(5− 1) + (y − 2)(6− 2) = 22 und damit 4(x − 1) + 4(y − 2) = 4oder x + y = 4.
b) Um Pj = p ∩ K zu berechnen, lösen wir dasnebenstehende nichtlineare Gleichungssystem:
{x + y = 4
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 4
Aus der ersten Gleichung erhalten wir x = 4−y, was wir in die zweite Gleichungeinsetzen: ((4− y)− 1)2 + (y − 2)2 = 4. Aus dieser Gleichung erhalten wir diequadratische Gleichung y2 − 5y + 4, 5 = 0 mit den beiden Lösungen:
y1 =5 +
√7
2und y2 =
5−√7
2. Damit erhalten wir die Berührungspunkte
P1
(3−√7
2;5 +
√7
2
)und P2
(3 +
√7
2;5−√7
2
).
c) Aus der Zweipunkteform für die Geradengleichung erhalten wir:
t1 :y − 5 +
√7
2
x− 3−√7
2
=6− 5 +
√7
2
5− 3−√7
2
t2 :y − 5−√7
2
x− 3 +√
7
2
=6− 5−√7
2
5− 3 +√
7
2
Um die Gleichung für t1 in die kartesische Normalform überzuführen, verein-
fachen wir zunächst die rechte Seite:6− 5 +
√7
2
5− 3−√7
2
=4−√7
3. Es folgt dann
2y − (5 +√
7)
2x− (3−√7)=
4−√7
3, woraus wir t1 : y =
4−√7
3x +
5√
7− 2
3erhalten.
Analog formen wir die obige Zweipunkteform von t2 um:2y − (5−√7)
2x− (3 +√
7)=
4 +√
7
3, woraus dann t2 : y =
4 +√
7
3x − 2 + 5
√7
3folgt.
7.22 t1 : y = 2x− 1 und t2 : y =1
2x +
7
2.
7.23 Da a > b gilt und die Ellipse in Mittelpunktslage ist, liegen die beiden
7.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 7 191
Brennpunkte auf der x-Achse und wir setzen deshalb F1(x; 0), F2(−x; 0) mitnoch zu bestimmendem x. Wir wenden jetzt den Satz des Pythagoras auf dasDreieck ΔMF1T1 an und erhalten |MF1 |2 + |MT1 |2 = |F1T1 |2, woraus dannx2 + b2 = a2 folgt. Aus der letzten Gleichung erhalten wir x = ±√a2 − b2.Somit gilt F1(
√a2 − b2; 0) und F2(−
√a2 − b2; 0).
7.24 a) F1(√
7; 0), F2(−√
7; 0). b) F1(0;√
7), F2(0;−√7).
c) F1(2; 6), F2(2; 0). d) F1(5; 3), F2(−1; 3).
7.25x2
25+
y2
9= 1. 7.26
(x− 4)2
25+
(y − 3)2
9= 1.
7.27 Wir betrachten die Gerade y = c mit c > 0, welche parallel zur x-Achse ist, und berechnen die Schnittpunkte P1, P2 mit der gegebenen Ellipse,
indem wir y = c in die Ellipsengleichungx2
a2+
y2
b2= 1 einsetzen. Es folgt
x1,2 = ±√
1− c2
b2· a. Da ja P1, P2 Ecken eines Quadrates sind, muss x1,2 = ±c
gelten, woraus
√1− c2
b2· a = c folgt. Die letzte Gleichung lösen wir nach c
auf und erhalten: c =ab√
a2 + b2. Für die gesuchte Fläche des einbeschriebenen
Quadrates folgt somit: A = 4c2 =4a2b2
a2 + b2.
7.28 Ausx2
a2+
y2
b2=
a2 cos2 t
a2+
b2 sin2 t
b2= cos2 t+sin2 t = 1 für alle 0 ≤ t < 2π
folgt, dass die Punkte P (x; y) der betrachteten Ellipsengleichung genügen undsomit auf dieser Ellipse liegen.
7.29 a) S1,2(±5; 0), F1,2(±√
25 + 9; 0) = F1,2(±√
34; 0),
Asymptoten: y = ±3
5x .
b) S1,2(0;±5), F1,2(0;±√34), Asymptoten: y = ±5
3x .
c) S1,2(±3; 0), F1,2(±√
34; 0), Asymptoten: y = ±5
3x .
d) S1,2(0;±3), F1,2(0;±√34), Asymptoten: y = ±3
5x .
7.30 a) 1. Schritt: Bestimmen der Gleichungen der Asymptoten.
Die gegebene Gleichung formen wir um in:x2
36− y2
16= 1, woraus wir a = 6 und
192 7 Analytische Geometrie
b = 4 erhalten. Somit lauten die Asymptotengleichungen y = ±2
3x.
2. Schritt: Schnittwinkel ψ zwischen den Asymptoten bestimmen.
Wenn α den Schnittwinkel zwischen der Asymptoten y =2
3x und der x-Achse
bezeichnet, so folgt tan α =2
3und dann ψ = 2α = 2 arctan
2
3≈ 2 · 67, 38◦.
Wenn wir 1◦ = 60′ (1 Grad sind 60 Sekunden) verwenden, so folgt
0, 38◦ =38 · 60
100= 22, 8′ und damit ψ ≈ 67◦23′.
b) 1. Schritt: Aus der gegebenen Gleichung erhalten wiry2
225− x2
64= 1. Die
betrachtete Hyperbel schneidet die y-Achse in y1,2 = ±15, (was sofort aus derHyperbelgleichung folgt, wenn x = 0 eingesetzt wird). Die Hyperbel ist somitentlang der y-Achse nach oben und unten geöffnet.
2. Schritt: Wir setzen m1 = −15
8und m2 =
15
8in Formel (7.3) und erhalten
tan ψ =240
161, woraus ψ ≈ 56, 14◦ folgt.
c) 1. Schritt: Durch Bilden der quadratischen Ergänzung erhalten wir aus derAusgangsgleichung: (2x + 8)2 − 64− (2y − 5)2 + 25 = 25 und dann:
(x + 4)2
16− (y − 2, 5)2
16= 1. Der Mittelpunkt der Hyperbel ist somit M(−4; 2, 5)
und die Gleichungen der Asymptoten sind y − 2, 5 = ±(x + 4).2. Schritt: Es folgt ψ = 90◦.
d) 1. Schritt: Aus der Ausgangsgleichung erhalten wir:(x− 2)2
16− (y + 3)2
9= 1.
Der Mittelpunkt der Hyperbel ist somit M(2;−3) und die Gleichungen der
7.32 1. Schritt: Bestimmen der Gleichungen für die Asymptoten h1 und h2.Wir formen die Ausgangsgleichung mittels der Methode der quadratischen Er-gänzung äquivalent um in: (3x − 6)2 − 36 − (4y + 16)2 + 162 = 364. Ausder letzten Gleichung erhalten wir 9(x − 2)2 − 16(y + 4)2 = 144 und dann
(x− 2)2
16− (y + 4)2
9= 1, woraus wir den Mittelpunkt der Hyperbel M(2;−4)
7.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 7 193
und die Asymptotengleichungen y + 4 = ±3
4(x− 2) erhalten. Aus der letzten
Beziehung erhalten wir für die beiden Asymptoten: h1 : −3x + 4y + 22 = 0und h2 : −3x− 4y − 10 = 0
2. Schritt: Abstandsberechnung.Wir formen die Gleichungen für h1 und h2 in die Hesseschen Normalformen um,indem wir diese Gleichungen durch
√32 + 42 = 5 dividieren. Um den Abstand
des Punktes P (3; 2) von h1 und h2 zu berechnen, setzen wir die Koordinatenvon P in die Hesseschen Normalformen ein und erhalten:
|d1| = |15
(−3 · 3 + 4 · 2 + 22)| = 21
5= 4, 2
|d2| = |15
(−3 · 3− 4 · 2− 10)| = | − 27
5| = 5, 4.
7.33 Die gesuchte Gleichung ist von der Gestalt y2 = 2px. Da die Koordina-ten des Punktes P0 diese Gleichung erfüllen müssen, setzen wir diese in dieParabelgleichung ein: 22 = 2p · 1 und berechnen daraus den Parameter p = 2.Somit lautet die gesuchte Parabelgleichung y2 = 4x. Es folgt weiterhin F (1; 0)und l : x = −1.
7.34 Die gesuchte Parabelgleichung ist von der Gestalt (x− 2)2 = −2p(y− 3)mit einem noch zu berechnenden Parameter p > 0. Wir setzen die Koordinatenvon P0(1; 2) in die Parabelgleichung ein: (1−2)2 = −2p(2−3), erhalten daraus1 = 2p und dann p = 1
2. Somit lautet die gesuchte Parabelgleichung:
(x − 2)2 = −y + 3. Für den Brennpunkt gilt F (2; 2, 75) und für die Leitliniel : y = 3, 25.
7.35 Um die Kegelschnitte zu klassifizieren, formen wir zunächst die gege-benen Gleichungen mit Hilfe der Methode der quadratischen Ergänzung umund können dann aus den oben gegebenen Übersichten die Koordinaten bzw.Gleichungen der charakteristischen geometrischen Objekte ablesen.a) x2 − y2 + 2(x− y)− 2 = 0
In Gleichung (7.23) haben wir zweimal 1 addiert und gleich wieder subtrahiert(wodurch wir keinen Fehler verursacht haben), um dann mit Hilfe der binomi-
194 7 Analytische Geometrie
schen Formeln in Gleichung (7.24) die linearen Glieder in x und y (das sind 2xund −2y) zu beseitigen. Aus der letzten Gleichung folgt, dass es sich um eineHyperbel mit dem Mittelpunkt M(−1;−1) und a =
√2, b =
√2 handelt. Für
die Scheitel- und Brennpunkte ergibt sich: S1,2(−1±√2,−1), F1,2(−1±2;−1),d.h. F1(1;−1), F2(−3;−1), denn es gilt e =
√a2 + b2 =
√2 + 2 = 2. Die
Asymptoten werden durch y − 1 = ±(x− 1) gegeben.
b) 0 = 6x− y2 − 4y − 16
6x = y2 + 4y + 4− 4 + 16
6x = (y + 2)2 − 4 + 16
6x− 12 = (y + 2)2
6(x− 2) = (y + 2)2
Aus der letzten Gleichung ersehen wir, dass es sich um eine nach rechts ge-öffnete Parabel mit dem Parameter p = 3 handelt. Für den Scheitel- undBrennpunkt folgt somit S(2;−2) und F (3, 5;−2). Die Leitlinie wird durchl : x = 0, 5 gegeben.
c) x2 + y2 − 8x + 2y = −13
x2 − 8x + 16− 16 + y2 + 2y + 1− 1 = −13
(x− 4)2 − 16 + (y + 1)2 − 1 = −13
(x− 4)2 + (y + 1)2 = 4
Aus der letzten Gleichung ersehen wir, dass es sich um einen Kreis mit demMittelpunkt M(4;−1) und dem Radius r =
√4 = 2 handelt.
7.36 Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir: d =√
32 + 22 + 12 =√
14.
7.37 d =√
(1− 6)2 + (2− 5)2 + (3− 4)2 =√
35.
7.38 a)x
4=
y − 1
2=
z − 2
3. b) z − 3 = 0,
x− 2
1=
y − 1
2.
c) y = 0, z = 0 (das ist die x-Achse).
7.39 1. Lösung. 1. Schritt: Aus der Formel (7.7) erhalten wir die Gleichungder Geraden
g : x =−−→OP1 + λ
−−→P1P2 =
⎛⎝ −186
⎞⎠ + λ
⎛⎝ 12−9−15
⎞⎠, λ ∈ R.
2. Schritt: Wir überprüfen nun, ob es einen Parameter λ gibt, so dass die obige
7.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 7 195
Geradengleichung die Ortsvektoren −−→OP3,−−→OP4 bzw. −−→OP5 beschreiben. Aus
−−→OP3 =
⎛⎝ 123
⎞⎠ =
⎛⎝ −186
⎞⎠ + λ
⎛⎝ 12−9−15
⎞⎠erhalten wir das nebenstehende lineare Gleichungssy-stem mit der Unbekannten λ, welches keine Lösung be-sitzt, da es einen Widerspruch enthält, denn aus der er-
sten Gleichung folgt λ =1
6und aus der zweiten λ =
2
3.
−1 + 12λ = 18− 9λ = 2
6− 15λ = 3
Somit liegt P3 nicht auf g. Analog folgt, dass P4 ebenfalls nicht auf g liegt.
Für P5 erhalten wir das nebenstehende lineare Glei-chungssystem mit der Lösung λ = 2, woraus folgt, dassP5 auf g liegt.
−1 + 12λ = 238− 9λ = −10
6− 15λ = −24
2. Lösung. Wir betrachten die Vektoren −−→P1P2,−−→P1P5 und berechnen
−−→P1P2 × −−→P1P5 = o, woraus folgt, dass die Vektoren −−→P1P2,
−−→P1P5 parallel oder
antiparallel sind. Somit liegt P5 auf der Geraden g. Analog folgt aus−−→P1P2 ×−−→P1P3 �= o und −−→P1P2 ×−−→P1P4 �= o, dass P3 und P4 nicht auf g liegen.
7.40 a) Für die (x, y)-Ebene gilt z = 0. Somit erhalten wir aus der gegebenenGeradengleichung für die z-Komponente die Gleichung: 0 = 3 + 6λ, woraus
λ = −1
2folgt. Für λ = −1
2erhalten wir aus der Geradengleichung den Orts-
vektor
⎛⎝ −1−1
0
⎞⎠ des Schnittpunktes von g mit der (x, y)-Ebene.
b) Analog zu a) folgt
⎛⎝ 00, 51, 5
⎞⎠ als Ortsvektor des Schnittpunktes von g mit
der y, z-Ebene.
7.41 Es gilt x3 − x1 =
⎛⎝ 3− 21− (−3)
5− 4
⎞⎠ =
⎛⎝ 141
⎞⎠ und dann
(x3 − x1)× a =
⎛⎝ 52−9−16
⎞⎠ . Nach Formel (7.9) folgt nun das Ergebnis:
d =|(x3 − x1)× a|
|a| =
√522 + (−9)2 + (−16)2√
32 + (−2)2 + 122=
√3041
13≈ 4, 24 LE.
196 7 Analytische Geometrie
7.42 a) 1. Lösung. 1. Schritt: Parameterform der Geradengleichung für g.Es gilt:
x =−−→OP1 + λ
(−−→OP2 −−−→OP1
)=
⎛⎝ 12
−1
⎞⎠ + λ
⎡⎣⎛⎝ 3−1
2
⎞⎠−⎛⎝ 1
2−1
⎞⎠⎤⎦=
⎛⎝ 12
−1
⎞⎠ + λ
⎛⎝ 2−3
3
⎞⎠2. Schritt: Koordinaten des Lotfußpunktes Q.Wir bestimmen den Parameter λ in der Vektorform der Geradengleichung vong so, dass der Vektor x senkrecht auf dem Richtungsvektor a der Geraden gsteht, d.h., es muss 〈x |a〉 = 0 gelten. Es folgt also
b) Die Geraden g1, g2 schneiden sich in genau ei-nem Punkt S, dessen Koordinaten sich aus dem ne-benstehenden linearen Gleichungssystem mit der
Lösung λ =1
3, μ = −7
6ergeben, woraus
3 + 2λ = −1− 4μ−1 + 4λ = 5 + 4μ
2 + 3λ = 10 + 6μ
⎛⎝ 3−1
2
⎞⎠ +1
3
⎛⎝ 243
⎞⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝11
31
33
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ und damit S
(11
3;1
3; 3
)folgen.
c) Die Geraden fallen zusammen.
7.45 a) 1. Schritt: Aufstellen der Hesseschen Normalform für E1.Hierfür wird die gegebene Ebenengleichung durch
√22 + 12 + 32 =
√14 divi-
diert, so dass wir
1√14
(2x + y + 3z − 4) = 0 (7.25)
erhalten.2. Schritt: Berechnen des Abstandes. Wir setzen die Koordinaten (1; 2; 3) vonP in die linke Seite von (7.25) ein und erhalten das Ergebnis
|d| =∣∣∣∣ 1√
14(2 · 1 + 2 + 3 · 3− 4)
∣∣∣∣ =9√14
. b) d = 3.
7.46 a) 1. Schritt: Parameterform.Wir bestimmen zunächst zwei Vektoren, die in der Ebene E liegen:
b =−−→OP1 −−−→OP3 =
⎛⎝ 2− 15− 1
−3− 1
⎞⎠ =
⎛⎝ 14
−4
⎞⎠,
c =−−→OP2 −−−→OP3 =
⎛⎝ 7− 12− 11− 1
⎞⎠ =
⎛⎝ 610
⎞⎠.
7.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 7 199
Hieraus erhalten wir die Parameterform der Ebenengleichung:
E : x =
⎛⎝ 111
⎞⎠ + λ
⎛⎝ 14
−4
⎞⎠ + μ
⎛⎝ 610
⎞⎠ , λ, μ ∈ R.
2. Schritt: Skalarform der Ebenengleichung.Mit Hilfe des Vektorproduktes (siehe Abschn. 6.3) bestimmen wir einen Vektor
a, der senkrecht auf der Ebene E steht: a = b× c =
⎛⎝ 4−24−23
⎞⎠ . Somit gilt
die Skalarform E : 4x − 24y − 23z + D = 0, wobei wir das Absolutglied Dberechnen, indem wir die Koordinaten eines Punktes der Ebene E (wir nehmenP3) in die letzte Gleichung einsetzen: 4 ·1−24 ·1−23 ·1+D = 0, woraus dannD = 43 folgt. Somit erhalten wir die Skalarform E : 4x− 24y− 23z + 43 = 0.
3. Schritt: Hessesche Normalform.Wir berechnen die Länge |a| = √
42 + 242 + 232 =√
1121 und erhalten damit
die Hessesche Normalform: E :1√1121
(4x− 24y − 23z + 43) = 0.
b) Wir setzen die Koordinaten von P4 in die linke Seite der Hesseschen Nor-malform ein und erhalten damit für den Abstand von P4 zur Ebene E:
|d| =∣∣∣∣4 · 3− 24 · 2− 23 · 1 + 43√
1121
∣∣∣∣ =16√1121
≈ 0, 4749 LE.
7.47 1. Schritt: Schnittpunkte der Ebenen E mit den Koordinatenachsen.Wir betrachten zunächst die Schnittgerade mit der (x, y)-Ebene, für welchez = 0 gilt. In die Gleichung der Schnittgerade 2x + 3y = 6 setzen wir x = 0und erhalten y = 2 als Lösung. Somit ergibt sich der Schnittpunkt Sy(0; 2; 0)der Ebene E mit der y-Achse. Wenn wir y = 0 in die obige Geradengleichungeinsetzen, erhalten wir x = 3 als Lösung und damit den Schnittpunkt Sx(3; 0; 0)von E mit der x-Achse.Um den fehlenden Schnittpunkt mit der z-Achse zu bestimmen, betrachtenwir die Schnittgerade x + 2z = 3 mit der (x, z)-Ebene und setzen x = 0 indiese ein. Hieraus folgt z = 1, 5 und damit der Schnittpunkt Sz(0; 0; 1, 5) vonE mit der z-Achse.2. Schritt: Aufstellen der Skalarform der Ebenengleichung.Als Achsenabschnittsform der Ebenengleichung für E erhalten wir:x
3+
y
2+
z
1, 5= 1, woraus sich die Skalarform 2x + 3y + 4z = 6 ergibt.
7.48 a) 1. Schritt: Zwei linear unabhängige Vektoren c, b in der Ebenene E.
200 7 Analytische Geometrie
Aus den gegebenen Geradengleichungen folgt, dass der Vektor c =
⎛⎝ 10
−1
⎞⎠in der Ebene E liegt. Wenn wir λ = 0 bzw. μ = 0 in die Geradengleichungenfür g1 bzw. g2 einsetzen, so erhalten wir die Punkte P1(−2; 5; 2) ∈ g1 bzw.
P2(2;−4; 2) ∈ g2. Es folgt nun, dass der Vektor b =−−→P1P2 =
⎛⎝ 4−9
0
⎞⎠ ebenfalls
in E liegt.2. Schritt: Skalarform der Ebenengleichung für E.
Wir betrachten den Vektor a = c×b =
⎛⎝ −9−4−9
⎞⎠, welcher orthogonal sowohl
auf c als auch auf b steht. Hieraus folgt die EbenengleichungE : −9x − 4y − 9z − D = 0, wobei wir die Konstante D bestimmen, indemwir einen Punkt P ∈ E der Ebene E in die Gleichung einsetzen. Wir wählenP1(−2; 5; 2) und erhalten −9 ·(−2)−4 ·5−9 ·2−D = 0, woraus D = −20 folgt.Damit folgt eine Skalarform der Ebenengleichung E : −9x− 4y− 9z + 20 = 0.
b) Wir bestimmen die Hessesche Normalform der Ebenengleichung, indem wirdie in a) erhaltene Ebenengleichung durch
√(−9)2 + (−4)2 + (−9)2 =
√178
dividieren. Um den Abstand des Punktes Q von E zu bestimmen, setzen wirdie Koordinaten von Q in die Hessesche Normalform ein und erhalten:
d =
∣∣∣∣ 1√178
(−9 · 3− 4 · (−2)− 9 · 6 + 20)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ −53√178
∣∣∣∣ ≈ 3, 97 LE.
c) 1. Schritt: Koordinaten von P2 bestimmen. Aus der gegebenen Geraden-gleichung für g1 erhalten wir für die x-Koordinate: −1 = −2 + λ · 1. Hierausfolgt λ = 1. Wir setzen λ = 1 in die Geradengleichung von g1 ein und erhaltendaraus die restlichen Koordinaten von P2(−1; 5; 1).2. Schritt: Parameterform der Geradengleichung für g3.Ein Richtungsvektor d der Geraden g3 muss sowohl senkrecht auf dem Rich-
tungsvektor e =
⎛⎝ 10
−1
⎞⎠ von g1 als auch senkrecht auf a (siehe 2. Schritt
von a)) stehen, denn g3 soll ja in der Ebene E liegen. Damit erhalten wir:
d = e×a =
⎛⎝ −418−4
⎞⎠. Hieraus erhalten wir zusammen mit dem 1. Schritt die
Parameterform
7.4 Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 7 201
g3 : x =−→0P2 + ν d =
⎛⎝ −151
⎞⎠ + ν
⎛⎝ −418−4
⎞⎠ , ν ∈ R.
d) Die Koordinaten des Schnittpunktes S = g2 ∩ g3
berechnen wir, indem wir die Parameterdarstellun-gen von g2 und g3 gleichsetzen. Daraus erhalten wirfür die einzelnen Komponenten das nebenstehendelineare Gleichungssystem mit den Unbekannten μ, ν.
2 + μ = −1− 4ν−4 = 5 + 18ν
2− μ = 1− 4ν
Als Lösung erhalten wir ν = −0, 5 und μ = −1. Wenn wir μ = −1 in die Ge-radengleichung von g2 einsetzen, so erhalten wir die Koordinaten des Schnitt-punktes S(1;−4; 3). (Wenn wir ν = −0, 5 in die Geradengleichung von g3
einsetzen, so erhalten wir wir das gleiche Ergebnis, nämlich S(1;−4; 3).)
7.49 a) Aus der Geradengleichung erhalten wir für die Koordinaten x = 1+2λ,y = 3 + 2λ, z = −2 − λ, was wir in die Ebenengleichung von E einsetzen:2(1 + 2λ) − 3(3 + 2λ) − (−2 − λ) = −1. Aus der letzten Gleichung erhaltenwir als Lösung λ = −4. Wir setzen λ = −4 in die Geradengleichung ein underhalten die Koordinaten des Durchstoßpunktes S(−7;−5; 2).
b) Eine auf E senkrecht stehende Gerade h wird gegeben durch
wobei wir auf der rechten Seite von cos β in der obigen Gleichung den Betraggebildet haben, damit 0◦ ≤ β ≤ 90◦ gilt. Es folgt dann β ≈ 84, 89◦ undα = 90◦ − β ≈ 5, 11◦.
7.50 In den Bezeichnungen der vorangegangenen Aufg. 7.49 gilt:
cos β =
∣∣∣∣∣ 2 · (−2) + 3 · 5 + 4 · 1√22 + 32 + 42
√(−2)2 + 52 + 12
∣∣∣∣∣ =15√870
, woraus β ≈ 59, 43◦ folgt.
Für den gesuchten Schnittwinkel α gilt α = 90◦ − β = 30, 57◦.
7.51 1. Schritt: Bestimmen der Parameterform der Geradengleichung für dieGerade g, die durch P1 geht und senkrecht auf E steht.Aus der Skalarform der Ebenengleichung lesen wir den auf E senkrecht ste-
henden Vektor a =
⎛⎝ 1−3
5
⎞⎠ ab. Somit gilt g : x =
⎛⎝ 234
⎞⎠ + λ
⎛⎝ 1−3
5
⎞⎠,
202 7 Analytische Geometrie
λ ∈ R.2. Schritt: Berechnen des Parameters λ in der Geradengleichung von g für denDurchstoßpunkt P0 = g ∩ E.Aus der Geradengleichung für g folgt: x = 2 + λ, y = 3− 3λ, z = 4 + 5λ, waswir in die Skalarform der gegebenen Ebenengleichung einsetzen:(2+λ)−3(3−3λ)+5(4+5λ) = −22. Aus der letzten Gleichung folgt λ = −1.3. Schritt: Berechnen der Koordinaten des gesuchten Spiegelpunktes P2.Wenn wir in die im 1. Schritt berechnete Parameterform der Geradengleichungfür g den Parameter λ = 0 einsetzen, so erhalten wir den Punkt P1. Wenn wirλ = −1 einsetzen, so folgt aus dem 2. Schritt, dass wir den DurchstoßpunktP0 = g∩E erhalten. Somit erhalten wir den Spiegelpunkt P2, wenn wir λ = −2
in die Geradengleichung von g einsetzen:
⎛⎝ 234
⎞⎠ − 2
⎛⎝ 1−3
5
⎞⎠ =
⎛⎝ 09
−6
⎞⎠.
Damit folgt P2(0; 9;−6).
7.52 Aus Formel (7.22) erhalten wir
cos α =A1A2 + B1B2 + C1C2√
A21 + B2
1 + C21
√A2
2 + B22 + C2
2
=2 · 3 + 1 · 6 + (−2) · (−2)√
22 + 12 + (−2)2 ·√32 + 62 + (−2)2
=16
21,
woraus α = arccos16
21≈ 40, 37◦ folgt.
7.53 Wir lösen das nebenstehende lineareGleichungssystem und finden als Lösung:
