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*** 2.2. Variation mit Nebenbedingung (Ergänzung: wird nicht geprüft)

In manchen Problemen sind nicht alle möglichen Funktionen als Lösung erlaubt, sondern nur Funktionen, die zusätzliche Bedingungen erfüllen.

Beispiel: Ein Seil sei an zwei Punkten im Schwerefeld aufgehängt. Durch welche Kurve wird die Gleichgewichtslage beschrieben?

x1

x2

x

y(x)y

1

y2

2

Das Seil stellt sich so ein, dass die potenzielle Energie minimal wird. Wenn y(x) die gesuchte Kurve ist, dm ein Massenelement mit homogener Massendichte ρ (Masse pro Länge l), so dass

mit dem Wegelement ds, dann lautet die Gleichgewichtsbedingung

Mathematisch haben wir wieder ein Variationsproblem mit festen Randwerten

Die mögliche Kurve y(x) unterliegt aber der zusätzlichen Einschränkung, dass die Länge L des Seils fest vorgegeben ist. Wir haben damit die Nebenbedingung

dm=ds=1 y ' 2dx

J =U pot =∫P1

P2

dmgy = g∫x1

x2

y1 y ' 2dx= minimal

y x1= y1 , y x2= y2.

K [ y ] =∫x1

x2

dx1 y ' 2= L= const.

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Diese Art von Nebenbedingung K[y] = const. nennt man isoperimetrisch (= von gleichem Umfang).

Zuerst lösen wir das einfachere Problem, das Extremum einer Funktion mehrerer Variabler unter einer Nebenbedingung zu finden.

Lagrange-Multiplikatoren

gegebene Funktion f(x,y)Höhenlinien f(x,y) = const.Nebenbedingung:Punkt auf Linie g(x,y) = 0

y

x1

x

y1

g(x,y)=0

Wir suchen die Werte x1 und y

1 , für die f(x,y) unter der Nebenbedingung g(x,y)=0

minimal wird. Die Nebenbedingung g(x,y)=0 sei in der Form y=yg(x) darstellbar, so

dass g(,yg(x)) = 0.

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Wir suchen dann das Minimum von f auf der Kurve yg(x). Damit können wir f als

Funktion der Variablen x schreiben f(x, yg(x)).

Das ist eine Gleichung zur Bestimmung von x1 , der Wert für y

1 = y

g(x

1) .

Mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren können wir die explizite Auflösung von g(x,y)=0 nach y

g(x) umgehen.

Die folgenden Gleichungen sind äquivalent zur obigen Bestimmungsgleichung von x1.

Um zu zeigen, dass diese 3 Gleichungen die obige Bestimmungsgleichung für x1 gibt,

stellen wir uns vor, wir kennen yg(x) . Die letzte Gleichung lautet dann

Wir setzen dies für g(x,y) in die ersten beiden Gleichungen ein und eliminieren λ.

∂ f x , y ∂ x

−∂ g x , y∂ x

= 0

∂ f x , y ∂ y

−∂ g x , y∂ y

= 0

g x , y = 0

g x , y = y− yg x = 0

ddx

f x , yg x=∂ f x , yg

∂ x∂ f x , yg

∂ ydyg

dx= 0

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∂ f∂ x

y ' g x= 0

∂ f∂ y

−= 0

∂ f∂ x

∂ f∂ y

y ' g = 0

Damit können wir unser Problem in der folgenden Art lösen:

● Man sucht ohne Rücksicht auf die Nebenbedingung die Lösung vonh(x,y) = f(x,y) – λg(x,y) = minimal

● Die gefundene Lösung y = y(x, λ) enthält einen Parameter λ. Dieser Parameter wird so angepasst, dass die Nebenbedingung erfüllt wird.

Natürlich erscheint es sehr umständlich, mehrere Gleichungen statt einer Gleichung zu lösen. Der Vorteil ist aber, dass die Nebenbedingung g(x,y)=0 nicht nach y aufgelöst werden muss, vor allem, da solch eine Auflösung nicht immer einfach möglich ist (g(x,y)=sin(x2+y2)).

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Verallgemeinerung auf N Variablen:

f(x1 , ..., x

N) = minimal mit g

α(x

1, ..., x

N) = 0

(α = 1, ..., R) Nebenbedingungen.Man erhält N + R Gleichungen

∂∂ xi

f x1 , ... , xN −∑=1

R

g x1 , ... , xN = 0 i= 1, ... , N

g x1 , ... , xN = 0 =1, ... , R

für N+R Unbekannte xi und λ

α.

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Wir kommen nun zu unserem ursprünglichen Problem in allgemeiner Form zurück:Minimierung eines Funktionals mit isoperimetrischen Randbedingungen

mit der Nebenbedingung

mit festen Rändern y(x1)=y

1 und y(x

2)=y

2 .

J [ y ]=∫x1

x2

dx F y , y ' , x= minimal

K [ y ] =∫x1

x2

dxG y , y ' , x=C = const.

x

y(x)y

1

y2

Variation mit Nebenbedingung:

Erinnerung: Beispiel Kettenlinie

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K 1,2 = K [ y1122]=C

J 1 ,2= J [ y1122] = minimal

mit K 1 ,2=C

Das Minimum muss bei є1 = є

2 = 0 liegen. Dieses Problem haben wir bereits mit

den Lagrange-Multiplikatoren gelöst.

Die Bedingung K(є1,є

2) = C ist eine Kurve in der є

1-

є

2-Ebene. Eine Variation der

Form y+є1η

1+є

2η

2 ist genau dann mit der Nebenbedingung verträglich, wenn є

1

und є2 auf der Kurve K(є

1,є

2) = C liegen. Für die gesuchte Funktion y gilt

Die Funktion y(x) sei die gesuchte Funktion. Um die Nebenbedingung K[y] zu erfüllen, benötigen wir zwei linear unabhängige Funktionen η

1(x) und η

2(x) , die auf

den Rändern verschwinden

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∂ J −K∂1

= 0

K 1,2=C∂ J −K∂2

= 0

∫x1

x2

dx H y , y ' , x =∫x1

x2

dx F−G = minimal .

ddx

∂ H y , y ' , x∂ y '

=∂H y , y ' , x ∂ y

ddx ∂F

∂ y '−

∂G∂ y ' =∂F

∂ y−

∂G∂ y

Die Nebenbedingung ist g = K(є1,є

2) - C und f = J(є

1,є

2) . Da die Konstante C

keinen Einfluss auf die Lage des Minimums hat, kann sie bei den Ableitungen weggelassen werden.

Die resultierende Bedingung lautet:

Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind Lösung

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Die Lösung dieser Differenzialgleichung 2. Ordnung enthält zwei Integrationskonstanten c

1, c

2 und den Parameter λ , y = y(x,c

1,c

2,λ).

c1 und c

2 werden durch die Randbedingung gegeben, λ durch die

Nebenbedingung.

Beispiel Seil (Kettenlinie)

H = F −G= y1 y ' 2−1 y ' 2= 1 y ' 2 y−

∂H /∂ x= 0.

ddx

H y , y ' =∂ H∂ y

y ' ∂ H∂ y '

y ' '

ddx ∂H

∂ y 'y ' = dd x

∂ H∂ y ' y '

∂H∂ y '

y ' '

H hängt nicht explizit von x ab

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ddx

H −ddx

∂H∂ y '

y ' = ∂H∂ y

−ddx

∂H∂ y '

Euler−Lagrange−Gleichung

y '

ddx H −

∂H∂ y '

y ' = 0

H −∂H∂ y '

y ' = const.= a

∂H∂ y '

=∂

∂ y '[ y−1 y ' 2 ] = y−

y '

1 y ' 2

H −∂H∂ y '

y ' =y−

1 y ' 2= a

ddx

∂H∂ y '

=∂ H∂ y

Damit brauchen wir die Lösung für

Subtraktion beider Gleichungen liefert

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Umformen nach y'2 gibt

y−2= a21 y ' 2

y ' 2=1

a2 y−2−1

y x = a cosh xab

y x1= y1, y x2= y 2 und ∫x1

x 2

dx 1 y ' 2=L

cosh x=e x e−x

2

sinh x=e x− e−x

2

x1, y1 = -1,0 und x2, y2= 1,0

Wir wählen für die Aufhängepunkte

Die Parameter a, b und λ werden durch Anfangs- und Nebenbedingung bestimmt.

Durch Einsetzen kann man überprüfen, dass

eine Lösung ist.

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Dann folgt

mit den Werten b = 0

0= a cosh −1a b 0= a cosh 1a b

= −a cosh 1a

L=∫x1

x2

dx 1 y '2=∫−1

1

dx 1sinh xa 2

= ∫−1

1

dx coshxa= a sinh

xa∣-1

1

= 2a sinh1a

Der minimale Abstand der Aufhängepunkte beträgt 2.

Für L < 2 existiert keine Lösung.

Für L > 2 existieren zwei Lösungen a = a

0 und a =-a

0

Der verbliebene Parameter a wird durch die Länge L bestimmt.

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a = a0 > 0)

Diese Lösung entspricht dem durch hängenden Seil.

a = -a0 < 0)

Für diese Lösung ist die potenzielle Energie maximal. Diese Lösung entspricht der optimalen Linie für einen Torbogen aus druckfestem Material (Beton). Das Gewicht wird durch Druckkräfte kompensiert, die Seitenkräfte verschwinden.

L = 3, a0 = 0,616473

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http://www.nps.gov/jeff/files/st.louisskyline.jpg

Die Kettenlinienform wurde annähernd für den 192 m hohen Gateway Arch in St. Louis (Missouri) gewählt.

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Als Konstruktionsprinzip bei der Kathedrale Sagrada Família von Antoni Gaudí genutzt.

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