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IE Mitschrift_sicherung Kopie

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Industrielle Elektronik 4AHELI Elias Kickinger 1 3. Leistungshalbleiterbauelemente: In der Leistungselektronik werden die Halbleiter nur im Schalterbetrieb eingesetzt, da ansonsten die Verlustleistungen zu groß würden. Dabei unterscheidet man 2 Arten von Halbleiterschaltern: Solche, die sich nur einschalten lassen und erst wieder ausschalten, wenn die Versorgungsspannung wegfällt (Thyristoren) Solche die durch eine Steuerspannung beliebig ein und ausgeschaltet werden können (bipolar Transistor, MOS-FET, IC, BT,…). 3.1 Thyristor Der Thyristor ist ein Vierschicht Halbleiterelement. A … Anode K … Kathode G … Gate Funktion: Die unteren 3 Halbleiterschichten bilden einen NPN-Transistor, dessen P-Zone so schwach dotiert ist, dass sie durch einen entsprechenden Stromimpuls mit Elektronen überflutet werden kann. Dadurch verschwindet die P-Schicht vorübergehend und es bleibt ein großer P-N-Übergang übrig. Nun verhält sich der Thyristor wie eine Diode. Durch den nun fließenden Hauptstrom bleibt die Überflutung der P-Zone aufrecht und der Thyristor bleibt leitend. Zum Einschalten benötigt man daher nur einen kurzen Stromimpuls (Zündimpuls). Bei umgekehrter Polarität verhält sich der Thyristor wie eine sperrende Diode. Daher wirkt der Thyristor wie eine steuerbare Gleichrichterdiode (engl.: SCR = silicon controlled rectifier).
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3. Leistungshalbleiterbauelemente:

In der Leistungselektronik werden die Halbleiter nur im Schalterbetrieb eingesetzt, da ansonsten die

Verlustleistungen zu groß würden.

Dabei unterscheidet man 2 Arten von Halbleiterschaltern:

Solche, die sich nur einschalten lassen und erst wieder ausschalten, wenn die

Versorgungsspannung wegfällt (Thyristoren)

Solche die durch eine Steuerspannung beliebig ein und ausgeschaltet werden können

(bipolar Transistor, MOS-FET, IC, BT,…).

3.1 Thyristor

Der Thyristor ist ein Vierschicht Halbleiterelement.

A … Anode

K … Kathode

G … Gate

Funktion:

Die unteren 3 Halbleiterschichten bilden einen NPN-Transistor, dessen P-Zone so schwach dotiert ist,

dass sie durch einen entsprechenden Stromimpuls mit Elektronen überflutet werden kann. Dadurch

verschwindet die P-Schicht vorübergehend und es bleibt ein großer P-N-Übergang übrig.

Nun verhält sich der Thyristor wie eine Diode.

Durch den nun fließenden Hauptstrom bleibt die Überflutung der P-Zone aufrecht und der Thyristor

bleibt leitend.

Zum Einschalten benötigt man daher nur einen kurzen Stromimpuls (Zündimpuls).

Bei umgekehrter Polarität verhält sich der Thyristor wie eine sperrende Diode.

Daher wirkt der Thyristor wie eine steuerbare Gleichrichterdiode (engl.: SCR = silicon controlled

rectifier).

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Schaltsymbol: (p-Gate Thyristor)

In seltenen Fällen werden auch Komplementärtypen verwendet, bei diesen ist das steuernde

Element der PNP-Transistor, den die oberen drei Halbleiterschichten bilden.

Dieser wird mit einer negativen Spannung von Anode und Kathode gezündet.

Schaltsymbol: (n-Gate-Thyristor)

Eingangskennlinie:

Um ein sicheres Zünden zu gewährleisten, werden relativ hohe Zündströme benötigt, um dabei den

Halbleiter nicht zu zerstören (Ptot) verwendet man kurze Zündimpulse.

Erzeugung der Zündimpulse:

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Ausgangskennlinie:

UBF … forward breakdown Voltage

UBR … reverse breakdown Voltage

IH … Haltestrom

Das Ausgangskennlinienfeld besteht aus mehreren Kennlinien. Im ausgeschalteten Zustand liegt die

Sperrkennlinie des mittleren PN-Übergangs vor. Bricht dieser durch, so entsteht ein leitender PN-

Übergang und die Kennlinie wechselt zu jeder einer leitenden Diode.

Erst bei unterschreiten des Haltestroms IH wechselt der Ausgang wieder zur Sperrkennlinie.

Die Durchbruchsspannung des PN-Übergangs wird durch die Höhe des Gatestroms IG beeinflusst, d.h.

je geringer die Spannung ist bei der der Thyristor gezündet werden soll, desto mehr Gatestrom ist

erforderlich.

Die max. Spannung bei der der Thyristor auch ohne Gatestrom zündet wird auch als

Überkopfzündspannung verwendet. Sie darf im normalen Betrieb NIE erreicht werden.

einzige Ausnahme: Überspannungsableiter (4-Schicht-Dioden)

Wenn es möglich ist, durch Ableiten des Hauptstromes die Gatezone von Ladungsträgern frei zu

bekommen, so beginnt der Thyristor wieder zu sperren. Dazu ist aber ein entsprechender negativer

Gatestrom zu erzeugen und dies ist nur möglich, bei einer entsprechenden Bauform des Thyristors.

Diese spezielle Art von Thyristoren, die sich auch abschalten lassen, nennt man:

Gate turn off Thyristor = GTO

Schaltzeichen von GTO:

Anwendung von Thyristoren: Phasenanschnittsteuerung, kann zum Dimmen verwendet werden!

Sperrkennlinie

Durchlasskennlinie

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Steigt nach dem Nulldurchgang die Netzspannung an so beginnt über den Widerstand R ein

Gatestrom zu fließen. Sobald dieser groß genug ist um den Thyristor zu zünden, fließt der gesamte

Strom über den Thyristor und der Verbraucher ist eingeschaltet.

Über den Widerstand kann eingestellt werden, ab welcher Spannung der Thyristor zündet.

Der Abstand zwischen Spannungsnulldurchgang und Zündzeitpunkt wird als Zündwinkel α

Bezeichnet.

Der Rest bis zum nächsten Spannungsnulldurchgang wird als Stromflusswinkel λ bezeichnet.

Je höher der Widerstand, desto höher der Zündwinkel.

Mit dieser Schaltung sind aber keine Zündwinkel >90° möglich.

Nachteil: unstabiler Zündzeitpunkt, da die Eingangskennlinie eine sehr hohe Streuung aufweist.

Abhilfe:

Durch den zusätzlichen Kondensator entsteht ein R-C-Spannungsteiler. Dieser verursacht eine

Phasenverschiebung der Zündspannung gegenüber der Netzspannung, wodurch auch Zündwinkel

>90° möglich sind.

Diac = diode for alternating current Triggerdiode Schaltsymbol:

Dient zur Stabilisierung des Zündzeitpunktes, da dieser erst durchbricht wenn die

Spannung groß genug ist für eine sichere Zündung des Thyristors.

Diac Dreischichtdiode

α … Zündwinkel

λ … Stromflusswinkel

α+λ = 180°

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Beim Einschalten des Thyristors ist immer drauf zu achten, dass der Strom nicht zu schnell ansteigt.

Dies ist deshalb nötig, da während des Zündvorganges eine gewisse Zeit vergeht bis der Thyristor bis

über seinen gesamten Querschnitt leitet.

Steigt der Strom zu schnell an, so muss dieser über jenen Teil des Thyristors fließen der bereits leitet,

wodurch die zulässige Stromdichte an diesen Stellen überschritten wird thermische Zerstörung.

Zum begrenzen des Stroms werden Induktivitäten verwendet.

Um den Thyristor vor entstehenden Selbstinduktionsspannungen zu schützen werden zusätzliche RC-

Glieder benötigt.

Das RC-Glied bildet zusammen mit der Induktivität einen Schwingkreis der die Energie in einigen

Schwingungen abbaut.

Nachteil: Gleichrichterwirkung des Thyristors, damit können die negativen Halbwellen des Thyristors

nicht genutzt werden.

25-30V

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3.2 Triac (triode for alternating current)

H … Hauptelektrode

Vorteil: keine Gleichrichterwirkung

Verwendung:

- als Wechselstromsteller sowohl 1-phasig als auf 3-phasig:

Phasenanschnittsteuerung

Schwingungspaketsteuerung

3.2.1 Phasenanschnittsteuerung

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Dimmer:

LC-Tiefpass unterdrückt Störungen, die ans Netz zurückgegeben werden.

Derartige Schaltungen werden auch zur Drehzahleinstellung bei Elektrowerkzeugen und

Haushaltsgeräten verwendet (mit Reihenschlussmotor).

Nachteil der Phasenanschnittsteuerung:

Es entstehen steiler Schalflanken, die zu hochfrequenten Störungen führen.

Bei der Schwingungspaketsteuerung werden deshalb nur ganze Halbwellen durchgelassen, wobei

sich der Mittelwert aus einer Reihe von durchgelassenen bzw. nicht durchgelassenen Halbwellen

ergibt.

3.2.2 Schwingungspaketsteuerung

Hier treten keine steilen Schaltflanken mehr auf, dafür ist der Übermittelungszeitraum deutlich

größer.

Bsp.: fN = 50 Hz

Einstellgenauigkeit von 1%

100 Halbwellen

Aufgrund dieser Trägheit wird die Schwingungspaketsteuerung bei Heizungssystemen verwendet.

Nachteil: ist für schnelle Systeme z.B. Dimmer nicht geeignet (Lampe flackert)

Verwendung: als Wechselstromschalter

u(t)

Tastgrad: 𝑔 𝑇𝑜𝑛

𝑇

230 V AC

Begrenzung des Stromaufbaus Schnell auslösende Sicherung

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3.2.3 Wechselstromschalter

Man kann einen Triac auch dazu verwenden, um Wechselstrom ein- oder auszuschalten, wobei die

Schaltzeitpunkte im Spannungsnulldurchgang liegen. Damit können mechanische Relais ersetzt

werden. Man spricht von einem „Halbleiterrelais“ (engl. SSR = solid state relay).

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3.3 Leistungs-MOS-FET MOS-Fet‘s haben gegenüber bipolaren Transistoren den Vorteil, dass im statischen Betrieb keinen Steuerstrom benötigen. Dies vereinfacht die Ansteuerung. Nur wären der Schaltphasen muss die Gate-Elektrode umgepolt werden und es fließt kurzzeitig Strom. Bei der klassischen Bauform eines MOS-Fet’s (horizontaler Kanal) ist der Drain-Source-Widerstand relativ hochohmig und daher der FET nur für kleine Ströme geeignet. Deshalb verwendet man bei MOS-Fet’s eine vertikale Struktur:

Durch die Vertikale Struktur ist es nun möglich, viele Transistoren (≥100) auf einem Chip parallel zu schalten. Dadurch können entsprechend hohe Ströme geschalten werden. Das parallel schalten des MOS-Fet’s ist deshalb möglich, da er einen positiven Temperaturkoeffizienten aufweist. Dies funktioniert bei bipolaren Transistoren NICHT!! Der bei dieser Struktur entstandene PN-Übergang wirkt als Freilaufdiode. Bei größeren Strömen ersetzt sie aber jedoch NICHT eine externe Diode! Bei der Ansteuerung eines MOS-FET’s ist zu beachten, dass der Transistor eine Kapazitive Last für die Steuerstufe darstellt, die entsprechend niederohmig angesteuert werden muss:

Der Einschaltvorgang wird durch das Aufladen des RC-Gliedes verlangsamt, wodurch die Verlustleistung am MOS-FET steigt. Das Ausschalten erfolgt aber über den Transistor sehr schnell.

CG,S

CG,D RC

Gegentaktendstufe Schlecht!

Zum isolieren wird SiO2 verwendet

++++++

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Normale Logikausgänge besitzen eine Gegentaktendstufe. Vielfach werden bei Leistungs-MOS-FETs heute zusätzlich elektronische Schaltungen integriert, wie Treiberstufen, Strommess- und Begrenzungsschaltungen, Temperatur- und Kurzschlussüberwachungen, usw… Smart power device: Vielfach werden bei Leistungs-MOS-FET’s heutzutage zusätzliche elektronische Schaltungen integriert. Z.B.: Treiberstufen, Strommess- & Begrenzungsschaltungen, Temperatur- und Kurzschlussüberwachungen (siehe iBöhmer S. 426-428)

3.4 IGBT = insulated gate bipolar Transistor Der Hauptnachteil eines MOS-FET’s ist die Verlustleistung, die quadratisch mit dem Strom steigt, da der Drain-Source-Kanal ein ohmsches Verhalten zeigt. Bei bipolaren Transistoren steigt die Verlustleistung jedoch nur linear mit dem Strom. Deshalb funktioniert man dort noch eine zusätzlich P-Schicht oder Drain-Source-Kanal zu einem PNP Transistor um und erhält so einen IGBT.

Durch Anlegen einer UGS werden Ladungsträger in die Basiszone des PNP-Transistors injiziert, wodurch dieser zu leiten beginnt. Der IGBT stellt somit eine Komplementärdarlington-Schaltung(bipolar PNP-Tr. + n-Kanal MOS-Fet) dar. Komplementärdarlington-Schaltung:

Die IGBT‘s lassen sich genauso ansteuern wie MOS-FET’s. Es können dieselben Treiberbausteine verwendet werden. Es lassen sich Ströme bis zu einigen 100 Ampere schalten, bei Spannungen bis zu 1400V. Ein Nachteil des IGBT’s ist die Empfindlichkeit gegenüber Stromspitzen, da dann die parasitäre Thyristorstruktur zündet.

parasitärer Thyristor

(=D)

(=S)

Schaltsymbol:

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4. Stromrichtertechnik Schaltungen, die Strom und Spannung in ihrer Größe verändern. (z.B.: Frequenz, Art AC-DC, Höhe der Spannung) Unter Stromrichter versteht man elektronische Schaltungen, die elektrischen Strom in seiner Art (AC/DC) oder Größe (Effektivwert, Frequenz, Phasenzahl [1-/3-phasig]) ändern. Je nachdem welche dieser Größen geändert wird unterscheidet man zwischen Gleichrichter, Wechselrichter, Gleichstromsteller, Wechselstromsteller (Phasenanschnittsteuerung / Schwingungspaketsteuerung) oder Frequenzumrichter (ändert die Frequenz). Eine andere Art der Einteilung kann nach der Art der Kommutierung durchgeführt werden. Unter Kommutierung versteht man das Umschalten von einem Zweig des Stromkreises auf den nächsten. (vergleiche mechanische Kommutierung beim Gleichstrommotor)

Art der Kommutierung:

Netzgeführte (natürliche) Kommutierung: Gleichstromrichter, netzgeführte Wechselrichter, Direktfrequenzumrichter

Erzwungene Kommutierung: Gleichstromsteller, Wechselrichter ohne Netzanbindung (z.B.: Ausgangsstufe von Zwischenkreis Frequenzumrichter)

ohne Kommutierung: Schaltregler (DC/DC), Wechselstromsteller,…

4.1 Netzgeführte Stromrichter

4.1.1 Ungesteuerte Gleichrichter

Bei diesen erfolgt der Energiefluss nur vom Wechsel- ins Gleichstromnetz. Die Höhe der Ausgangspannung ist nicht einstellbar, sie ist durch die Art der Schaltung vorgegeben. Als Halbleiterbauelemente werden nur Dioden verwendet.

Einpulsgleichrichter M1U (E1U) Art der Steuerung U … Zug

Frequenzvervielfachung = 1 E … Einwegschaltung Art der Schaltung M … Mittelpunktschaltung

UAV

L

t 1/f

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Diese Schaltung besitzt wenige praktische Bedeutung, da der Mittelwert der Ausgangsspannung sehr niedrig ist, die Welligkeit sehr hoch ist und Stromlücken auftreten.

Zweipulsgleichrichter M2U

Bei dieser Schaltung ist der Mittelwert der Spannung doppelt so hoch und es treten nur mehr punktuelle Spannungslücken auf.

Zweipuls Brückenschaltung B2U

Der Nachteil der Mittelpunktschaltung ist, dass immer ein Trafo benötigt wird, um die Mittelanzapfung zu Verfügung zu stellen.

Dieses Problem kann man umgehen, indem man die Last zwischen 2 Mittelpunktschaltungen anschließt. Bei der positiven Halbwelle leiten die Diode D1 und D4, bei der negativen Halbwelle D2 und D3. Die Eigenschaften der Schaltung sind identisch mit denen der M2U.

Dreipulsmittelpunktschaltung M3U:

U

U1

Frequenzverdopplung

UAV

1/f t

D2 D1 D1

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Es leitet immer jene Diode, deren Phase die höchste Spannung aufweist. D.h. es werden abwechselnd die Dioden D1, D2 und D3 leitend. Das Umschalten von einer Phase zur nächsten (kommutieren) erfolgt jetzt alle 6,6ms

(

).

Da die Kommutierung nicht mehr im Spannungsnulldurchgang passiert, treten auch bei ohmscher Last keine Stromlücken mehr auf und der Gleichrichtwert ist höher.

Vorteil: höherer Gleichrichtwert, Welligkeit(=Brummspg.) geringer (UBRSS weniger, bei M2U: UBRSS=US) Der Nachteil der M3U Schaltung ist der Dreileiter, über den der gesamte Strom zurückfließt.

( )

Sechspulsbrückenschaltung B6U: Schaltet wenn die Last zwischen 2 M3U-Brücken, so wird der Neutralleiter überflüssig. B6U

Da nun die Last zwischen 2 Außenleitern hängt kommt es zu einer Verdopplung der Pulszahl. D.h. die Kommutierungszeitpunkte liegen jetzt nur mehr 3.3ms (bei 50Hz) auseinander. Die Welligkeit wird geringer, und der Gleichrichtwert höher. UAV=0.955*Us = (6/π)*sin(30°) US … Außenleiterspannung UAV=1,65*UStrang

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Bsp.: Niederspannungsnetz

UStrang=230Veff => 325V √

M3: UAV=0.827*325V=269V B6: UAV=1.65*325V =537V

4.1.2 Gesteuerte Gleich-, Wechselrichter

Bei gesteuerten Gleichrichtern werden die Dioden teilweise, oder ganz durch Thyristoren ersetzt. Dadurch lässt sich die höher der Ausgangsspannung einstellen, bzw. es ist auch Wechselrichterbetrieb möglich.

M2C- Schaltung(c…controlled)

Bei rein passiven Lasten kann über den Zündwinkel der Thyristoren der Gleichrichtwert eingestellt werden. Bei aktiven Lasten, bei denen UL auch negativ werden kann, bleibt ein Thyristor negativ leitend bis die anderen gezündet werden. In diesem Fall treten negative Leistungen auf, d.h. es wird Energie ans Netz zurück geliefert. Ab einem Zündwinkel von 90° ist nun die zurückgelieferte Energie größer als die aufgenommene Wechselrichtergrenze Bei α > 90° arbeitet die Schaltung nun als Wechselrichter. ohmsch-induktive Last:

Erreicht die Netzspannung ihren Nulldurchgang, so beginnt die Induktivität eine Selbstinduktionsspannung zu erzeugen, um den Strom aufrecht zu erhalten. Der Thyristor bleibt solange leiten, bis durch zünden des anderen Thyristors die Spannung umgepolt wird. Der bis dahin leitende Thyristor wird zum Löschen gezwungen.

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α=90° … Wechselrichtergrenze α<90° … Gleichrichterbetrieb α>90° … Wechselrichterbetrieb Eine Spule besitzt in der Regel nicht genug Energie um dauerhaft Energie ans Netz liefern zu können. Es gibt aber noch andere Gleichspannungserzeuger, die dies können. Zum Beispiel: Gleichstrom Motoren im Bremsbetrieb, Solarzellen, Brennstoffzellen Beachte: Beim Zünden eines Thyristors wird durch eine negative Spannung der andere automatisch gelöscht. Dies funktioniert umso besser, je größer die Spannung ist. Bei kleinen Spannungen funktioniert dies nur schleppend, daher sind Zündwinkel nahe 180° kritisch, da es hier zu einem Kurzschluss kommen kann (Kippen des Wechselrichters). Daher darf ein maximaler Zündwinkel nicht überschritten werden(Kippgrenze ~165°-170°).

Gesteuerte 2Puls-Brückenschaltung (B2C)

Hier werden abwechselnd die Thyristoren V1, V4 bzw. V2, V3 gezündet. Die Eigenschaften sind identisch mit denen der M2C-Schaltung. Und es wird kein Trafo mit Mittelpunktanzapfung benötigt. Prinzipiell können bei dieser Schaltung auch 2 Thyristoren durch Dioden ersetzt werden, da dies am Stromfluss nichts ändert, man spricht dann von einer Halbesteuerten Brücke.

halbgesteuerte 2Puls-Brückenschaltung (B2H)

Bei der Halbgesteuerten Brücke werden 2 Thyristoren durch 2 Dioden ersetzt. Da es genügt pro Schaltungszweig ein steuerbares Element zu haben. Bei rein ohmscher Last verhält sich diese Schaltung genauso wie die B2C. Bei aktiver Last gibt es jedoch einen Unterschied, wenn sich nämlich die Spannung an der Last umkehrt werden die beiden Dioden leitend und schließen die Last kurz. (sie wirken als Freilaufdioden) Somit ist keine Netzrückspeisung, und damit kein Wechselrichterbetrieb möglich.

Daher werden halbgesteuerte Brücken nur bei rein passiven Lasten z.B. Heizung, Beleuchtung, Akkuladegeräte, Elektrolyseanlagen, usw. verwendet. Welche Halbleiterthyristoren und welche Dioden sind ist egal, es müssen pro Strompfad immer 1 Thyristor und 1 Diode vorhanden sein.

L

L

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Kennlinie für B2C und B2H:

Daher gibt es 3 Möglichkeiten:

B2HZ (Z … zweipaarig) Th1, Th2 bzw. Th3, Th4

B2HA (A … anodenseitig) Th2, Th4

B2HK (K … kathodenseitig) Th1, Th3

gesteuerte 3Puls-Schaltung (M3C)

Über den Zündwinkel kann wiederum eingestellt werden, wie viel Energie vom Netz gezogen oder zurückgeschickt wird.

R

L

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Bei 90° wird im Mittel keine Energie transportiert. Ab 90° tritt bei aktiver Last wieder die Wechselrichtergrenze auf. Ebenfalls ist zu beachten, dass bei zu großen Zündwinkeln (180°) der Wechselrichter wieder kippen kann. Werden daher begrenzt! Bezüglich des Steuerverhaltens reagiert die M3C schneller als die M2C, da hier die möglichen Zündzeitpunkte alle 6,6ms liegen. M2C: tZ = 10ms M3C: tZ = 6,6ms T= 20ms (bei 50Hz)

gesteuerte 6-Puls-Brückenschaltung (B6C)

Der Vorteil der B6C gegenüber der M3C ist wieder derselbe wie bei ungesteuerten Schaltungen, d.h. höhere Ausgangsspannung, kleinere Welligkeit, kein Neutralleiter.

R

L

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Dadurch, dass die Kommutierungszeitpunkte 60° auseinander, daher sinkt die Reaktionszeit auf 3,3ms. Die Welligkeit der B6C ist geringer als der M3C. Zündwinkel 0°-60°: reiner Gleichrichterbetrieb Zündwinkel 60°-120°: Übergang Wechselrichterbetrieb (Wechselrichtergrenze 90°) Zündwinkel 120°-150°: reiner Wechselrichterbetrieb aktive Last:

passive Last:

Neben der Vollgesteuerten B6C gibt es auch noch eine halbgesteuerte B6H-Brücke, wobei man zwischen B6HA und B6HK unterscheidet. Bei der B6H ist wiederum keine Netzrückspeisung möglich.

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4.2 Stromrichter mit erzwungener Kommutierung Diese erzeugen die Ausgangsspannung aus einem Gleichstromkreis, dadurch kann die Kommutierungsfrequenz frei gewählt werden und die Reaktionsgeschwindigkeit ist nicht nach oben begrenzt. Grundprinzip der erzwungenen Kommutierung ist die Pulsweitenmodulation (PWM).

Pulsweitenmodulation (PWM):

Der Übermittelungszeitraum ist die Periode T, d.h. je höher die PWM-Frequenz, desto schneller kann die Höher der Ausgangsspannung geändert werden. Die minimale Periodendauer ist nur durch die Halbeiter(Schaltzeiten des Transistors) begrenzt. Typische PWM-Frequenzen liegen heute zwischen 20kHz-40kHz.

Erzeugung des PWM-Signals:

z.B.: 8Bit Auflösung

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Sehr viele Microcontroller haben eine PWM-Unit integriert. Die PWM-Unit stellt so einen seriellen Digital/Analog-Wandler. Prinzip der PWM: Gleichspannung ein und ausschalten, Mittelwert bilden mittlere

Ausgangsspannung

4.3 Drehzahlsteuerung von Motoren Motoren können in 4 Betiebszuständen arbeiten (Motor-/Generator-Betrieb, linksdrehend und rechtsdrehend) Vierquadrandtendiagramm:

Je nach Anwendung unterscheidet man:

o 1-Quadrandten-Betrieb I (III) der Motor wird nur in einer Richtung beschleunigt (z.B.: Lüfterantriebe, Pumpenantriebe,...)

o 2-Quadraten-Betrieb I-II: Rechtslauf beschleungigen, Linkslauf bremesen (z.B.: Kranantriebe, Aufzüge,…) III-IV: Linkslauf beschleunigen, Rechtslauf bremsen (z.B.: Elektrofahrzeuge, Lokomotiven,…)

o 4-Quadrandten-Betrieb alle Arten von Servoantrieben

I ~ M

U ~ n

I II

III IV

I. Rechtslauf, Motorbetrieb

II. Linkslauf, Generatorbetrieb

III. Linkslauf, Motorbetrieb

IV. Rechtslauf, Generatorbetrieb

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4.3.1 Gleichstrommotor:

Ansteuerung über netzgefürhte Stromrichter;: I-III – Betrieb B2H, B2C, M2C, M3C, B6H, B6C I-II – Betrieb B2C, M2C, M3C, B6C I-IV, I-II-III-IV – Betrieb 2xB6C, Umkehrstromrichter

Bei dieser Schaltung ist kein echter 4-Quadrandten-Betrieb möglich, da bei Änderung der Stromrichtung zuerst ein Steuersatz abgeschaltet werden muss, bevor der 2. aktiv wird. Während dieser Phase ist der Motor führungslos. Umkehrstromrichter:

LK … Kommutierungsdrossel Hier sind stets beide Stromrichtersätze aktiv und arbeiten entgegengesetzt. Der Nachteil dieses Stromrichters sind die Kreisströme, die ständig fließen. Diese müssen durch die Kommutierungsdrosseln begrenzt werden.

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Versorgung aus dem Gleischstromnetz:

1-Quadrandten-Betrieb:

Ansteuerung erfolgt über PWM.

2-, 4-Quadrandten-Betrieb:

Im einfachsten Betriebsfall werden alternierend die Transistoren T1, T4 bzw. T2, T3 über ein PWM-Signal gesteuert. Diese Ansteuerung hat aber den Nachteil, dass wärend der Drehrichtungsumschaltung der Antrieb wieder führungslos ist. Deshalb gibt es noch die Möglichkeit der Ansteuerung mit versetzter PWM:

U

t

USteur+

USteur-

𝑇 𝑇

𝑇 𝑇4

T1

T4

t

t

Jedes PWM-Signal steuert somit eine Halbbrücke.

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4.3.2 Drehfeldmotoren

Die Drehzahl von Drehfeldmotoren hängt von der Frequenz ab, deshalb werden hier sogenannte Frquenzumrichter benötigt.

Direktfrequenzumrichter: Erzeugen mittels 3 Umkehrrichter 3 um jeweils 120° versetzte sinusförmige Spannungen, wobei jede Spannung durch periodisches Ändern der Zündwinkel gebildet wird. Da die Verstellung der Zündwinkel nich beliebig schnell erfolgen kann, sonder an die vom Netz vorgegebenen Kommutierungszeitpunkte gebunden ist, können nur Frequenzen bis zur halben Netzfrequenz erzeugt werden.

Aufgrund des hohen Wirkungsgrades und der niedrigen Frequenzen werden Direktfrquenzumrichter nur bei sehr hohen Leistungen eingesetzt. (bis zu 15MW) Verwendung: Bergbaumschinen

Zwischenkreisfrequenzumrichter: Ist die häufigere Art um Frequenzrichten. Sie erzeugen aus einem Gleichstrom-Zwischenkreis mithilfe einer transistorgesteuerten B6-Brücke durch eine Sinusbewertete PWM die 3, um 120° verschobene, Spannungen.

Umkehr-

Stromrichter 1

Umkehr-

Stromrichter 2

Umkehr-

Stromrichter 3

L1

L2

L3 M

3 ~

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Über die Freilaufdioden wird Energie in den Gleichstromzwischenkreis zurückgeschickt, wenn der Motor gebremst wird. (H-Brücke)

Die Engerie, die vom Motor in den Zwischenkreis zurückgeschickt wird, lädt den Zwischenkreiskondensator auf, wodurch die Spannung steigt. Ist zu viel Engergie im Zwischenkreis vorhanden, so muss sie abgebaut werden. Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten: Netzrückspeisung über Umkehrstromrichter:

Diese Methode ist aber aufwendig und teuer selten verwendet!

Bremsenergie in Wärme umsetzen: mit Bremswiderstand engl. Bleeder bzw. Bei größeren Maschinen oder Anlagen wird ein gemeinsamer Gleichstromzwischenkreis für alle Antriebe verwendet. Dadurch verteilt sich die Energie zwischen den Antrieben und es muss weniger in den Bremswiderständen vernichtet werden.

Zwischenkreisfrequenzumrichter werden häufig in der Antriebstechnik für kleine bis mittlere Leistungen (bis zu 100kW) in Kombination mit Asynchronmotoren eingestzt. In letzter Zeit werden sie auch zum Antrieb von Servo-Achsen, als billige Alternative für Gleichstrommotren, oder elektrisch Kommutierte Gleichstrommotren eingesetzt.

4.3.3 Drehzahlsteuerung von elektronisch Kommutierende Gleichstrommotoren

(BLDC = brushless DC-Motor) AC – Servermotoren

Vorteile des Gleichstrommotors:

Hohes Anzugsmoment

Einfache Drehzahlverstellung über die Höhe der Ankerspannung

Kein Kippen

Nachteile des Gleichstrommotors:

Kommutator und Bürsten bilden Verschleißteile: erzeugen Bürstenfeuer

Hochfrequente Störungen

Zusätzliche Laufgeräusche Vorteile der Drehfeldmotoren:

Keine Bürsten, keine Kommutator

Nachteile der Drehfeldmotoren:

Geringes(asynchron) bis kein(synchron) Anzugsmoment

Kippen bei Überlastung

RA BE

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Beim elektronisch kommutierten Gleichstrommotor BLDC versucht man die Eigenschaften beider Motoren zu kombinieren, ohne dass deren Nachteile auftreten. Funktionsprinzip: Das Verhalten eines Gleichstrommotors titt immer dann in Erscheinung, wenn Läufer und Erregerfeld normal aufeinander stehen. Dabei ist es egal, ob die Felder im Raum ruhen oder sich drehen. Dies wird beim BLDC so realisiert, dass der Läufer ein fixes Magnetfeld erzeugt (Permanentmagnet) und das Erregerfeld Drehfeld ist, welches durch einen Stromrichter in seiner Frequenz so geregelt wird, sodas es stets senkrecht auf dem Läufer steht.

Vom Aufbau handelt es sich also um einen Synchronmotor, dieser enthält aber zur Rotorpositionserfassung zusätzlich noch Magnetfeldsensoren.

Das Drehfeld wird hier meist durch eine sogenannte Blockkommutierung erzeugt.

Durch die Induktivität der Motorwicklungen erhält der Strom einen einigermaßen sinusförmigen Verlauf. Der Takt für das Umschalten der Transistoren wird durch die augenblickliche Position des Rotors vorgegeben und diese wird über entsprechende Sensoren erfasst. Die Drehzahl, die sich einstellt hängt von der Spannung UB ab. Über PWM wird nun eingestellt, welche Spannung die Kondensatoren tatsächlich auf die Spulen schalten.

N UB

L3

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Nachteil: sehr teuer Anwendung: Ursprünglich für klein und kleinst Leistungen entwickelt für Kleinmotoren (Antriebe für Tonbandgeräte, CD-Laufweke, Disketten-Laufwerke, Plattenspieler, Lüfter, usw.) Durch die Entwicklung von sehr starken magneten (Samarium-Kobalt, Nickel-Neodyn…) wurde es auch möglich Antriebsmotoren in der Servotechnik und für Elektrofahrzeuge zu realisieren. (heute sind Leistungen von 30-40kW möglich Servomotoren)

5. Regelungstechnik Buch S. 42 Definition: Systeme, die sich selbst kontrollieren

5.1 Grundbegriffe In der Regelungstechnik geht es darum, technische Systeme (technische Prozesse) so zu beeinflussen, dass sich selbsttätig am Ausgang der gewünschte Zustand einstellt. Dabei unterscheidet man:

Steuern eines Prozess

Hier wird die Stellgröße so vorgegeben, dass sich am Ausgang der zu erwartende Wert einstellt. (unter der Voraussetzung eines bestimmten Systemverhaltens) Dabei kann es durch Störgrößen zu einer erheblichen Abweichung vom gewünschten Ausgangswert kommen. Unter Störgröße versteht man von außen einwirkende Größen, die nicht kontrolliert werden können (Wetter bei Heizungssystemen, Last am Motor). Sie verursachen Abweichungen des Ausgangswertes.

technischer

Prozess

y(t) x(t)

y(t) … Eingangsgrößte

(Stellgröße)

x(t) … Ausgangsgröße

(Steuergröße)

z(t) … Störgröße

z(t)

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27

Beispiele:

Sind die Abweichungen der Ausgangsgröße unzulässig hoch, so muss der Prozess geregelt

werden. Regeln eines Prozesses:

Der Regler hat hier die Aufgabe, die Abweichung zwischen Sollwert und Ist-Wert durch Vorgabe einer geeigneten Stellgröße x(t) möglichst gering zu halten. Ein technischer Regelkreis enthält zusätzlich noch einen Sensor (Messglied) zur Umformung des Ist-Wertes in eine für den Regler verarbeitbaren Größe. Enthält außerdem noch ein Stellglied, welches die Ausgangsgröße in die tatsächliche Stellgrößte umwandelt.

Beispiel: Spannungsregler

Regelabweichungen können auftreten durch Störgrößen und durch Führungsgrößenänderungen. Je nach Aufgabenstellung unterscheidet man deshalb zwischen Festwertregelung.

Prozess Stellgröße y(t) Steuergröße x(t) Störgröße z(t) Elektromotor Spannung Drehzahl Lastmoment

Heizung Heizleistung Temperatur Umgebungstemperatur

Netzgerät Potentiometerstellung Spannung Laststrom

technischer

Prozess w(t) x(t)

y(t) … Eingangsgrößte

(Stellgröße)

x(t) … Ausgangsgröße

(Regelungsgrößte,

Istwert)

z(t) … Störgröße

w(t) … Führungsgröße

(Sollwert)

e(t) ..Regelabweichung,

Soll-Ist-Differenz

z(t)

Regler y(t) e(t)

-

e(t) = w(t) - x(t)

Messglied

Stellglied

Sollwertgeber

Regler

technischer Prozess

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28

Festwertregelung

Hier bleibt die Führungsgröße konstant bzw. ändert sich nur sehr selten und der Regler hat die Aufgabe Störgrößen auszuregeln. Beispiele: Spannungsregler, Temperaturregelung, Füllstandsregelung, Druckregelung,…

Festwertregelung

Hier ändert sich die Führungsgröße ständig. Der Regler hat somit die Aufgabe sowohl der Führungsgröße zu folgen als auch auftretende Störgrößen auszuregeln. Beispiel: Lageregelung für Servoachsen z.B. bei Werkzeugmaschinen und Robotern Im günstigsten Fall treten hier keine Störgrößen auf z.B. Laserschneidmaschine (es entstehen hier keine Kräfte!) Bei zerspanender Bearbeitung, z.B. Fräsen, ist die Rückwirkung und damit die Störgröße am höchsten.

5.2 Signalflusspläne Signalflusspläne dienen dazu, die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Komponenten eines Prozesses grafisch darzustellen. Signalflusspläne beinhalten deshalb Kästchen um die einzelnen Komponenten eines Prozesses dazustellen zu können.

Die Wirkungslinien (Pfeile) kennzeichnen einen rückwikungsfreien Fluss physikmalischer Größen (Strom, Spannung, Kraft, Geschwindigkeit) Bsp.: Widerstand ( ) ( ) Widerstand mit Temperaturabhängigkeit:

( ) ( )

( ( ) )

Bsp.: Kondensator: ∫ ( )

technischer Prozess Eingangsgröße Ausgangsgröße

𝑅 i(t) u(t)

𝑅

u(t) i(t)

? u(t)

i(t) ϑ(t)

𝑢(𝑡)

𝐶 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

𝑖(𝑡) 𝐶 𝑑𝑢

𝑑𝑡

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29

In diesen Beispielen sind die drei wichtigsten Grundfunktionen von Übertragungsblöcken enthalten. Diese sind:

Proportionalglied (P-Glied): Unter Sprungantwort versteht man die Reaktion eines Systems auf eine sprungartige Änderung der Eingangsgröße (einschalten).

Integralglied (I-Glied): ( ) ∫ ( )

Differentialglied (D-Glied):

( ) ( )

Anmerkung: Wenn möglich sollten Differenzierer in Signalflussplänen vermieden werden, da ihre Sprungantwort (unendlich schmaler und unendlich hoher Nadelimpuls) Probleme bereitet. Beispiele: RC-Tiefpass: physikalische Zusammenhänge:

( )

∫ ( )

( ) ( ) ( )

𝐶 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 i(t) u(t) 𝐶

𝑑𝑢

𝑑𝑡 u(t) i(t)

y(t) x(t)

Sprungantwort

Kp Parameter

y(t) x(t)

KI

y(t) x(t)

KD

R

C U1(t) U2(t) ? U1(t) U2(t)

i(t)

𝑅

U2(t)

U2(t)

𝐶

UR(t) U1(t)

i(t)

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30

Neben den Übertragungsblöcken werden noch zwei weitere Elemente in den Signalflussplänen benötigt:

Verzweigungspunkte: Diese werden benötigt, um eine Größe auf mehrere Stellen wirken zu lassen. Die Größe wird dabei nicht aufgeteilt!

Summationspunkte: Das Vorzeichen steht rechts vom Pfeil. Plus kann weggelassen werden, wenn subtrahiert werden muss, schreibt man ein Minus davor. In einen Summationspunkt können beliebig viel Signale münden, sie müssen nur alle die gleiche physikalische Eigenschaft haben. Für Summationspunkte gelten Kommutativ- und Assoziativgesetz!

RC-Hochpass

( ) ( )

∫ ( )

( ) ( ) − ( ) Reale Spule:

( )

( )

( )

y(t) x1(t)

+/−

x(t)

x(t)

x(t)

x2(t)

C

U1(t) U2(t) R

i(t)

𝐶

U2(t)

i(t)

𝑅

UC(t)

U1(t)

U(t)

R

L

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31

4. )

∫ ( )

∫ ( )

5.)

− (− )

U2 U1

L R

G

C

𝑈 (𝑡) 𝑈𝐿(𝑡)

𝑈 (𝑡)

𝑈𝑅(𝑡)

− 𝑈 (𝑡) 𝑖𝐿(𝑡) 𝑖𝐶(𝑡)

𝑖𝑔(𝑡)

𝑅

𝐿

𝐶

𝐺 −

RG

R1

UD

+

-

U2

U1

U1

UR1

-

UD U2

URg

-V0

R1

𝑅𝐺

i(t)

-

U2

UD

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32

6.) Feder-Masse-Schwinger

( ) ( ) + ( ) + ( )

( ) + + Löst man alle Integralgleichungen nach der höchsten auf, so lassen sich alle niedrigeren Integralgleichungen durch integrieren ermitteln.

∫ ∫

m

k

��

𝛾 x(t)

? �� x(t)

��

𝑘

𝑚

𝛾

𝑚

�� �� 𝑥

- -

𝑚

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33

5.3 Mathematische Beschreibung von Regelstrecken Die allgemeine mathematische Beschreibung von zeitlichen Vorgängen erfolgt durch Differentialgleichungen. ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) Die Lösung dieser Differentialgleichung ist die Ausgangsgröße x(t), die das Verhalten der Regelstrecke beschreibt. Um die Differentialgleichung zu lösen gibt es verschiedenste Methoden. Eine Methode ist der Lösungsansatz mit komplexen Schwingungen.

Ansatz: ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Durch diesen Ansatz geht jede Zeitableitung in eine Multiplikation mit jω über, wodurch aus der Differentialgleichung eine komplexe Algebraische Gleichung wird. Bsp.: RC – Tiefpass

( ) ( ) − ( ) Ansatz:

( ) ( ) jω*U2(t)

( ) Die für das Verhalten bestimmende Größe ist nun nicht mehr die Zeit (da es sich nurmehr um Sinusschwingungen handelt) sondern als Frequenz (ω). ( ) ( ) − ( ) ( ) ( ) − ( ) ( ) ( + ) ( ) => ( )

( )

… Verstärkung, allgemeine Übertragungsfunktion ( )

( ) ( )

( )

+

Die Übertragungsfunktion beschreibt somit die stationäre Lösung des Differentialgleichungssystems das heißt des Eingeschwungenen Zustands (siehe komplexe Wechselstromrechnung). Eine weitere Einschränkung dieses stationären Ansatzes ist, dass er nur für lineare Systeme verwendet werden kann, da nur bei diesen eine eindeutige Abbildung einer Eingangsfrequenz auf den Ausgang erfolgt. lin. System f1 f1

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34

Das sinusförmige Ausgangssignal unterscheidet sich vom Eingangssinus nur von Amplitude und Phase. Ein nichtlineares System verzerrt hingegen den Eingangssinus, sodass am Ausgang zwar ein periodisches Signal erscheint welches jedoch nicht mehr sinusförmig ist. Nach Fourier besteht jedes nichtsinusförmige periodische Signal aus einer Grundschwingung und einer Reihe von Oberschwingungen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung sind. nichtlin. System f1 f1, f2, f3,… fn Grundschwingung Oberschwingungen Dadurch ist keine eindeutige Zuordnung zwischen Eingangs- und Ausgangsfrequenzen mehr möglich. Glücklicherweise lassen sich die meisten Regelstrecken im Arbeitspunkt sehr gut linearisieren, sodass diese Berechnungsmethode angewendet werden kann. Mit dieser Methode kann nun das Lösen der Differentialgleichung vom Zeit- in den Frequenzbereich verlagert werden.

( ) ( ) ( )

Im Frequenzbereich lässt sich die Berechnung durch eine komplexe Multiplikation sehr einfach ausführen. Der Nachteil ist, dass dazu das Zeitsignal y(t) zuerst in sein zugehöriges Frequenzspektrum umgerechnet werden muss und anschließend das Frequenzspektrum am Ausgang wieder in ein Zeitsignal zurückgewandelt werden muss. Wie kann ein Zeitsignal in ein Frequenzspektrum umgewandelt werden bzw. das Frequenzspektrum zurückgewandelt werden:

1.) Lt. Fourier lässt sich jedes periodische Signal durch eine sogenannte Fourier-Reihe darstellen Fourier-Reihe:

( ) ∑ ( ) + ( )

--> n = 0 => Gleichanteil n = 1 => Grundschwingungen n 2 => Oberschwingungen

Differential-

gleichung

y(t) x(t)

Übertragungs-

funktion

Y(ω) X(ω)

x(t)

t

|X(ω)|

ω ω0 ω1 ω2 ω3 ω4

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35

In komplexer Schreibweise:

( ) ∑ wobei +

Etwas schwieriger ist es aus der Zeitfunktion das Spektrum zu berechnen

( )

In der Praxis kommen jedoch keine periodischen Signale, sondern nichtperiodische vor. Ein nichtperiodisches Signal kann aber als Sonderfall eines periodischen Signals aufgefasst werden mit der Periodendauer unendlich. Dadurch wird die Frequenz der Grundschwingung ω0 unendlich klein und die Oberschwingungen liegen jetzt unendlich nahe beisammen. Das heißt, aus dem diskreten Spektrum wird ein kontinuierliches Spektrum.

∫ ( )

… Fouriertransformation

Rücktransformation

( ) ∫ ( )

Die Fouriertransformation hat für die praktische Anwendung in der Regelungstechnik einige Nachteile:

1. Sie beginnt bei -∞ das heißt in der Vergangenheit was physikalisch nicht beschreibbar ist 2. Die Fouriertransformation kann nur ein statisches Spektrum beschreiben, das heißt ein

Spektrum der Zeitfunktion zwischen –∞ und +∞. Da bei einer realen Messung die Zeit mitläuft hat nur der Signalverlauf im Bereich der Messzeit einen Einfluss auf das Spektrum, das heißt das Spektrum ändert sich mit der Zeit, es ist dynamisch.

x(t)

t

|X(ω)|

ω

t

𝑠 𝜎 + 𝑗𝜔

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36

Um diese Unzulänglichkeit zu beheben verwendet man die komplexe Frequenz s deren Realteil Sigma die zeitliche Abhängigkeit der jeweiligen Frequenz beschreibt.

3. Die Fouriertransformation liefert für einige unstetige Funktionen wie z.B. die Einschaltfunktion (Sprungfunktion) Polstellen im Spektrum.

Deshalb verwendet man in der Regelungstechnik eine modifizierte Art der Modulation, die sogenannte Laplace-Transformation um diese Nachteile zu umgehen.

( ) ∫ ( )

wobei: + Symbol: x(t) X(s) Rücktransformation:

( )

∫ ( )

Die Rücktransformation erweist sich allerdings als schwierig, da hier ein zweidimensionales Integral in der komplexen Ebene zu lösen ist. Um die Transformation zu erleichtern, gibt es Tabellen mit den wichtigsten Grundfunktionen, sogenannte Korrespondenzentafeln (/Teachshare/Hager/Laplace.pdf).

Beispiele:

1. Einschalt-, Sprungfunktion

( ) ( )

( ) ∫ ( )

/ −

Beachte:

( )

| ( )|

| |

√ bei ω = 0 keine Polstelle wegen = 0.

( )

2. Zeitverschobene Einschaltfunktion

t

0 für t < 0 1 für t 0

t

x(t)

a

∞ 0

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37

0 für t < a x(t)= (t-a)= 1 für t a

( ) ∫ ( − )

+ ∫

( )

Die Frequenzfunktion unterscheidet sich jetzt lediglich um den Faktor e-as das heißt, das Spektrum wird dadurch in seiner Form nicht verändert sondern tritt lediglich Zeitverschoben auf. Daraus lässt sich eine sogenannte Regel ableiten: Verschiebungssatz: ( − ) ( ) Praktische Anwendung findet der Verschiebungssatz bei sogenannten Totzeitstrecken PTt – Strecken

y(t)= x(t-Tt)

Beispiele dafür: Rohrleitungssysteme, Förderbänder, Signallaufzeiten,… Siehe Beispiele !!! Der Differenzsatz besagt, dass jede Differentiation einer Funktion im Bildbereich in eine Multiplikation mit s übergeht. (vergleiche Multiplikation mit j*w) Damit kann jede DGL sofort in eine Übertragungsfunktion transformiert werden. Die Anfangsbedingung x(0) ist immer dann wichtig, wenn eine konkrete Zeitfunktion zu transformieren ist. Bsp.: (IE/Beispiele4-1.pdf 2.)

( − )

∞ a

y(t) x(t)

Tt

t1 t2

𝑋(𝑡) 𝜀(𝑡 − 𝑡 ) − 𝜀(𝑡 − 𝑡 )

t

𝑋(𝑠) 𝜀(𝑠) 𝑒 𝑡 𝑠 − 𝜀(𝑠) 𝑒 𝑡 𝑠

#3

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38

Direkte Berechnung:

( ) ∫ ( )

( ) ∫

( − )

Bsp.: ( ) ( )

( ) ∫ ( )

∫ ( ) ( )

( + )

=> Dämpfungssatz: ( ) x(s+a) Bsp.: (IE/Beispiele4-1.pdf 1.a)

( ) −

… Ladekurve

( ) ( ) − ( +

)

( )

( )

( )

Bsp.:

( ) ( )

( )

( ) ∫ ( )

… partielle Integration ∫

− ∫

( ) ( )

( ) ( ) + ∫ ( )

( ) ( ) − ( ) + ( ) ( ) ( ) − ( ) … Differentiationssatz Der Differentiationssatz besagt, dass jede Differentiation einer Funktion im Bildbereich in eine Multiplikation mit s übergeht. Vergleiche: Multiplikation mit jω. Damit kann jede Differentialgleichung sofort in eine Übertragungsfunktion transformiert werden. Die Anfangsbedingung x(0) ist immer dann wichtig, wenn eine konkrete Zeitfunktion zu transformieren ist.

( ) ( )

*−

( )+

( )

(

( ))

t2

t1

0

#38

#39

𝑠

𝑠 𝜔 𝑠

𝑠 𝜔 −

x(0)

#38

(−

𝜔) *𝑠

𝑠

𝑠 𝜔 + +

𝜔

𝑠 𝑠 𝜔

𝑠 𝜔

𝜔

𝑠 𝜔

x(0)

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39

Allgemeine lineare Differentialgleichung:

( ) + ( ) + ( )+ + ( )( ) + ( ) + ( )( ) ( ) + ( ) + ( )+ + ( ) ( ) + ( )+ + ( )

( ) ( + + + + ) ( ) ( + + + + )

Übertragungsfunktion: ( ) ( )

( )

Bsp.: (IE/Beispiele4-1.pdf 5.b) ( ) + + + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( + + + )

( ) ( )

( )

Signalflussplan: − − −

Bsp.: (IE/Beispiele4-1.pdf 3.)

( )

( ) ( )

( ) ( )

u(t) 𝑦 �� �� y

- - -

6

11

6

#42

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40

Zusammenfassung der Rechenregeln:

1. Linearität ( ) + ( ) ( ) + ( )

2. Faltungssatz ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

3. Ähnlichkeitssatz ( )

(

)

4. Verschiebungssatz ( − ) ( )

5. Dämpfungssatz ( ) ( + )

6. Differentiationssatz ( )

( ) − ( )

7. Integrationssatz ∫ ( )

( )

5.4 Vorgangsweise bei der Modellbildung Dafür sind folgende Schritte notwendig:

Aufstellen der Gleichungen für die physikalischen Zusammenhänge Unterteilen in eine geeignete Anzahl der Teilübertragungsfunktionen die durch jeden Punkt

dargestellt werden. Verbinden der Blöcke durch Wirkungslinien der Signalpfade (Zusammenhänge überlegen!) Vereinfachen der Blockstruktur und ermitteln der Gesamtübertragungsfunktionen

Die Rechenregeln der Laplacetransformation ermöglicht es, aus den Teilübertragungsfunktionen eine Gesamtübertragungsfunktion zu bilden. 1. Serienschaltung

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fges(s) ( ) ( ) ( ) …. Fallgesetz

F1 F2 X1(s) X2(s) X3(s)

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41

2. Parallelschaltung

( ) ( ) + ( )

3. Rückkopplung

( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

4. Verlegen von Summations- und Verzweigungspunkten

Um den Signalflussplan auflösen zu können müssen Summations- bzw. Verzweigungspunkte aus den Rückkopplungsschleifen entfernt werden, d.h. verschoben werden.

Verzweigungspunkte:

F1(s)

F2(s)

Y(s) X(s)

F1(s)

F2(s)

Y(s) X(s)

+ … Mitkopplung

- … Gegenkopplung

F(s) F(s)

F(s)

F(s) F(s)

F-1(s)

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42

Summationspunkte: Beispiel:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

F(s) F(s)

F(s)

F(s) F(s)

F(s)

1/R1 1/C1

1/C2 1/R2

U2 U1

- -

-

1/R2 1/R1

F1(Hochpass)

F2(Tiefpass)

Rückwirkung

Strombelastung des

TP durch den HP

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43

Beispiele für das Ermitteln des Systemverhaltens

1. RC-Tiefpass:

Übertragungsfunktion

( )

Sprungantwort: ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

#7:

( ) ( −

)

Proportionalglied 1. Ordnung (PT1):

Anstiegsantwort:

( )

( )

Änderungsgeschwindigkeit der Eingangsspannung 1. Lösen durch Substituieren:

#14:

( )

( )

(

) −

u2(t) u1(t) C

R

u1(t)

u2(t) -

uR(t)

1/R 1/C

i(t) u2(t) Signal-

flussplan

Systemantwort

x(t) y(t)

KP, 𝜏

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44

( )

( − +

)

2. Lösen durch Partialbruchzerlegung:

( )

+

( + ) ( + ) +

+ + + +

+ ( + ) + ( + ) Koeffizientenvergleich:

+ − −

+ −

( )

(

+

)

(

+

)

( ) ( − ( ) +

)

= ( − +

)

3. Lösung durch Integrationssatz

( )

( ) ( )

∫ ( −

)

( +

) /

[ +

− −

]

( − +

)

#4 #3 #15

#7

t

0

u2(t)

t 𝜏

𝑈 𝜏

𝑈 𝜏

t

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45

Die Ausgangsspannung steigt nun ebenfalls linear an, jedoch um die Zeitkonstante Tau

verschoben. Man bezeichnet so ein Verhalten auch als IT1 – Verhalten. Ein IT1 – Glied kann durch hintereinanderschalte eines Integrators und Proportionalglieds 1. Ordnung realisiert werden.

Impulsantwort: Die Funktion wird mit einem Impuls (Dirac’sche Delta-Funktion) beaufschlagt, wobei ( ) unendlich schmal und unendlich hoch ist.

( ) ( )

Für ( ) kann keine analytischer Wert angegeben werden, sie ist nur durch die Fläche unter der Kurve definiert.

∫ ( )

( )

(

)

( ) − (− ) − Impulsantwort des PT1: ( ) 1 Folgt wegen Differentiationssatz am #3

( )

( )

Die Delta-Funktion enthält alle Frequenzen mit gleicher Amplitude, jedoch ist das Spektrum nicht stationär. Daher ist die Delta-Funktion als Testsignal nur bedingt geeignet.

( ) ( )

( )

Die Impulsantwort eines PT1-Gliedes verhält sich so wie die Sprungantwort eines DT1 Gliedes.

#7

#15

=

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46

2. Bsp.: Schaltung

1. Signalflussplan der Schaltung erstellen:

2. Aus Signalflussplan die Übertragungsfunktion berechnen (Rückkopplungspunkte und Summationspunkte entfernen)

( )

( )

( )

( )

Es handelt sich hier um ein System 2. Ordnung (PT2 - Glied).

3. Sprungantwort berechnen

( ) ( ) ( )

( + + )

#47 oder #48 ??

#48 muss verwendet werden, weil es größer als 1 ist.

( ) ( −

)

Sprungfunktion!

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47

( )

( )

e‘ Hospital

( )

( )

+

(− ) (

)

( +

)

( ) −

( +

)

4. Sprungantwort

Ein System 2. Ordnung besitzt in seiner Sprungantwort einen Wendepunkt. Die beiden hintereinander geschalteten RC-Glieder können aber nicht schwingfähig werden, da eine Dämpfung < 1 nicht erreicht werden kann. System 2. Ordnung:

Systeme 2. Ordnung, die schwingfähig sind, lassen sich nicht auf Systeme 1. Ordnung zurückführen, da sie eine neuartige Eigenschaft beschreiben. Schwingungen treten in der Technik sehr häufig auf, sowohl bei elektrischen als auch bei mechanischen Systemen.

𝑔(𝜏 )𝑔(𝜏 )

𝜗 … schwingfähig

𝜗 … aperiodischer Grenzfall

𝜗 … Kriechfall

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48

( )

+

… Eigenfrequenz

… Dämpfung

3. Bsp.: Feder-Masse-Schwinger + + ( ) |

+

+

( )

Transformiert: ( ) +

( ) +

( )

( )

Übertragungsfunktion: ( ) ( )

( )

dimensionslose Ü-Fkt.

Nun kann mit einem Koeffizientenvergleich den physikalischen Größen regelungstechnische Größe zugeordnet werden.

(1)

(2)

Um die Modellparameter zu ermitteln müssen die physikalischen Größen des Systems bekannt sein. (beim Feder-Masse-Schwinger: k, m, ) Dies ist bei gegebenen Regelstrecken häufig nicht der Fall, vor allem Reibungen sind meist unbekannt! In diesem Fall müssen die fehlenden Größen durch Messungen ermittelt werden. Eine einfache Messung, die sehr viele Infos liefert, ist die Ermittlung der Sprungantwort.

Y(s)

𝑇 𝑚

𝑘

𝜗 𝛾

𝑘𝑇

𝛾 √𝑘

√𝑘 √𝑚

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49

Die Überschwingweite liefert eine Aussage über die Systemdämpfung. Aus der Ausgleichszeit kann man schließen, welche Ordnung das System hat. TA = TU + TG … Anregelzeit Diese Zeitkonstanten (TA, TU, TG) liefern eine Aussage über die Ordnung des Systems. Ein PT1-Glied besitzt keinen Wendepunkt, daher ist TU = 0. Bei PT1 TU=0 Je höher die Ordnung des Systems wird, desto größer wird die Verzugszeit im Verhältnis zur Ausgleichszeit. PT1

1

2 6,33

3 …

4 …

5 2,44

20 0,82

0

Je höher die Ordnung des Systems, desto schwieriger ist es zu regeln.

… gut regelbar

… kaum regelbar

TE … Einstellzeit, Ausregelzeit

… nur gleiche PT1

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50

5.5 Stör-, und Führungsverhalten von Regelkreisen Bei der Dimensionierung eines Reglers ist das Gesamtverhalten eines geschlossenen Regelkreises interessant und zwar sowohl für Führungsgrößenänderungen als auch für auftretende Störgrößen

Führungsverhalten

( )

Störungsverhalten

( )

( )

Alle 3 möglichen Frequenzgänge zeigen ein unterschiedliches Verhalten, jedoch besitzen sie alle den gleichen Nenner. Dieser ist für die Stabilität des Regelkreises von Bedeutung, da bei den Nullstellen des Nenners die Übertragungsfunktion unendlich wird und damit der Regelkreis unstabil wird.

Regler Strecke 𝜔(t) e (t)

-

y (t) x (t)

FR(s) FS(s)

-

Z1 x (t)

FR FS

-

x (t) Z2

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51

Bsp.: Gleichstrommotor

n … Drehzahl *s-1] el … elektrische Zeitkonstante

J … Masseträgheitsmoment

ML … Lastmoment cM … Drehmomentenkonstante *

+

RA … Ankerkreiswiderstand Führungsfrequenzgang:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Koeffizientenvergleich:

=>

U IA

𝑅𝐴 𝜏𝑒𝑙

Mel

cM

n

𝐽

CM = Ke

ML

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52

Störungsfrequenzgang:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

ML

𝐽

cM

n

CM = Ke

𝑅𝐴 𝜏𝑒𝑙


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