Proyecto
� Tópicos:� Numerical Optimization
� Mínimos Cuadrados
� Numerical Linear Algebra:
� SVD
� QR
� NMF
� Dimensionality Reduction
� PCA
� ICA
� Partial and Ordinary Differentiation Equations
� Numerical Simulation
� Montecarlo
� Aplicaciones
� Function Decomposition (Wavelet or Fourier)
� CUDA
ICI3140 – Dr. Héctor Allende 2
Repaso
ICI3140 – Dr. Héctor Allende 3
0)(
2
4
2
2
=++=
−±−=
cbxaxxf
a
acbbx
Los valores de x, se les denomina las
raíces de la función. Son los valores que
hacen que la función sea igual a 0.
Motivación
ICI3140 – Dr. Héctor Allende 4
2v
m
cg
dt
dv d−=
v: velocidad vertical [m/s]
t: tiempo [s]
g: aceleración de gravedad
c_d: coeficiente de arrastre
agrupado
m: masa del saltador
= t
m
gc
c
gmtv d
d
tanh)( Solución analítica m=68.1 [kg]
g=9.81[m/s^2]
c_d=0.25[kg/m]
Motivación
� Diversos estudios médicos indican que el riesgo de que
un saltador tenga problemas en sus vertebras aumenta
demasiado si después de 4 [s] de caída excede los 36
[m/s].
� De estudios previos Ud. sabe que la solución analítica
puede ser usada para predecir la velocidad:
ICI3140 – Dr. Héctor Allende 5
= t
m
gc
c
gmtv d
d
tanh)(
Motivación
� No se puede manipular la ecuación para resolver de
manera explícita.
� Por lo tanto si sustraemos v(t) de ambos lados de la
ecuación, da como resultado:
� La solución al problema es encontrar los valores de m
que hacen que la función sea igual a 0.
ICI3140 – Dr. Héctor Allende 6
)(tanh)( tvtm
gc
c
gmmf d
d
−
=
Objetivos
� Entender que son problemas de raíces y cuando ocurren
en ingeniería y ciencia.
� Saber como determinar raíces de manera gráfica.
� Resolver problemas de raíces con el método de la
bisección (y sus variantes)
� Resolver problemas de raices con el método de Newton
(y variantes)
� Entender la diferencia entre las 2 familias de métodos y
cuando aplicarlos en los distintos problemas.
Resolución gráfica
Resolución gráfica
Método de la Búsqueda Incremental
� Es un método para estimar en que intervalo se
encuentran las raíces.
� Se aprovecha de la situacion que si f(a)f(b)<0, siendo a y
b puntos sucesivos, entre a y b existe una raíz.
� ¿Qué pasa si la diferencia entre a y b es muy grande?
Método de la Bisección
� El método consiste en lo siguiente:� Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el
intervalo [a,b]
� A continuación se verifica que:
� Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es
igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
� En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o
con f(b)
� Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado
en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
� Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución
en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
Método Regula Falsi
� ¿Cómo se podría mejorar la estimación de la raíz y hacer
que la convergencia sea más rápida?
)()(
))((
ul
uluur
xfxf
xxxfxx
−
−−=
Tipos de Métodos
� Métodos basados en Intervalos
� Métodos Abiertos
Método del Punto Fijo
� Tenemos la función:
� Se aplica la tranformación:
� Se elige un valor inicial de x_i:
0)( =xf
xxfxgx +== )()(
)(1 ii xgx =+
Método del Punto Fijo
� Gráficamente:
Método del Punto Fijo
� Use el método de punto fijo para encontrar la raíz de:
� Para del punto inicial (3 iteraciones):
xexfx
−=−
)(
5005.00 =x
Método del Punto Fijo
� Use el método de punto fijo para encontrar la raíz de:
� Para del punto inicial (3 iteraciones):
xexfx
−=−
)(
5005.00 =x
ix
i ex−
+=1
Método de Newton-Raphson
� Es el método más usado.
� Se basa en la interpretación geométrica de la derivada.
� Con un arreglo conveniente:
1
0)()('
+−
−=
ii
i
xx
xfxf
)('
)(1
i
iii
xf
xfxx −=
+
Método de Newton-Raphson
� Volviendo al ejemplo anterior
� Para del punto inicial (3 iteraciones):
xexfx
−=−
)(
5.00 =x
Método de Newton-Raphson
� Volviendo al ejemplo anterior
� Para del punto inicial (3 iteraciones):
xexfx
−=−
)(
5.00 =x
1)(' −−=− x
exf
11
−−
−−=
−
−
+i
i
x
i
x
iie
xexx
Método de la Secante
� ¿Qué pasa cuando la derivada de una función es muy
“difícil”?
� ¿Puedo aproximar la derivada de alguna manera?
Método de la Secante
� ¿Qué pasa cuando la derivada de una función es muy
“difícil”?
� ¿Puedo aproximar la derivada de alguna manera?
� Reemplazando la ecuación anterior en:
ii
iii
xx
xfxfxf
−
−≅
−
−
1
1 )()()('
)('
)(1
i
iii
xf
xfxx −=
+
Método de la Secante
� Nos queda:
� Tenemos que elegir 2 estimaciones iniciales de x
)()(
))((
1
1
1
ii
iiiii
xfxf
xxxfxx
−
−−=
−
−
+
mixfxf
xxxfxx
nx
nx
ii
iiiii ,...,2,
)()(
))((
1
1
1
21
10
=−
−−=
=
=
−
−
+
Relación entre encontrar raíces y optimización� Viendo el gráfico comente con su compañero como se
relacionan ambos tópicos.
Sistemas de Ecuaciones No lineales
� Más adelante, después de ver Sistemas de Ecuaciones
lineales.
� Problemas reales miles de variables y de ecuaciones.
4)2(22
2
=−+
=
yx
xy