HYDROMECHANIK

Vorlesungen

Prof. Gerhard H. Jirka, Ph.D.

Institut fr Hydromechanik

Universitt Karlsruhe

1. Auflage 1998

2. berarbeitete Auflage 2001

ii

Vorwort

Dieses Skriptum wurde fr die Studierenden des Bauingenieurwesens an der Universitt

Karlsruhe bereitgestellt. Es soll die Vorlesungen zur Hydromechanik im 2. Studienjahr des

Bauingenieurstudiums begleiten. Als solches ist es kein eigenstndiges Lehrbuch. Vielmehr

findet es seine Bedeutung erst im Zusammenhang mit den Anwendungsbeispielen, dem Film-

und Multimediamaterial in den Vorlesungen, sowie den bungsvorlesungen und den Tuto-

rien, welche allesamt den Studierenden zum Stoffverstndnis angeboten werden.

Die Herausgabe der 1. Auflage dieses Skriptums im Jahre 1998 wurde von Herrn Dr.-Ing. W.

Brmann koordiniert. Frau E. Staschewski war fr die graphischen Darstellungen und Frau

H. Meyer fr die Textverarbeitung verantwortlich. Mein Kollege, Prof. Dr. habil. W. Rodi,

hat eine erste Version des Skriptums grndlich durchgesehen und wichtige Verbesserungs-

vorschlge gemacht. Bei der berarbeitung zur 2. Auflage hat Herr Dipl.-Ing. T. Bleninger

tatkrftig mitgewirkt. Ihnen allen sei an dieser Stelle herzlichst gedankt.

Gerhard H. Jirka

September 2001

iii

Inhaltsverzeichnis

Literaturhinweise .......................................................................................................................vi

Verzeichnis der Symbole..........................................................................................................vii

1 Einleitung und Definitionen ...........................................................................................1

1.1 Definition eines Fluides.................................................................................................. 1 1.2 Unterschiede zwischen Flssigkeiten und Gasen ........................................................... 2 1.3 Fluid als Massensystem .................................................................................................. 2 1.4 Intensive Fluideigenschaften .......................................................................................... 3 1.5 Fluideigenschaften an Phasengrenzen.......................................................................... 12

2 Hydrostatik.....................................................................................................................15

2.1 Druckverteilung in einem statischen Fluid................................................................... 15 2.2 Statische Druckverteilung im Schwerefeld .................................................................. 17

2.2.1 Die Druckskala ..................................................................................................... 18 2.2.2 Anwendungen der hydrostatischen Gleichung..................................................... 19 2.2.3 Druckmessung ...................................................................................................... 24

2.3 Hydrostatische Krfte auf ebene Flchen..................................................................... 25 2.4 Hydrostatische Krfte auf gekrmmte Flchen ............................................................ 27 2.5 Auftrieb eingetauchter Krper...................................................................................... 31

2.5.1 Auftriebskrfte...................................................................................................... 31 2.5.2 Schwimmstabilitt ................................................................................................ 32

3 Kinematik ........................................................................................................................ 34

3.1 Geschwindigkeitsfeld ................................................................................................... 34 3.1.1 Strmungsbilder.................................................................................................... 35 3.1.2 Gleichfrmige Strmung ...................................................................................... 37 3.1.3 Stationre Strmung ............................................................................................. 37 3.1.4 Absolut- und Relativbewegung ............................................................................ 38

3.2 Interner Strmungszustand: laminare und turbulente Strmungen .............................. 39 3.3 Durchflurate................................................................................................................ 42 3.4 Beschleunigung ............................................................................................................ 42

3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem.......................................................................... 42 3.4.2 Natrliches Koordinatensystem............................................................................ 43

3.5 Allgemeine Transportgleichung ................................................................................... 44 3.6 Massenerhaltung: Kontinuittsgleichung ..................................................................... 48

3.6.1 Finite Kontrollvolumen ........................................................................................ 48 3.6.2 Elementares (infinitesimal kleines) Kontrollvolumen.......................................... 50

3.7 Rotation der Fluidelemente .......................................................................................... 51 3.7.1 Rotationsbehaftete Strmungen............................................................................ 53

iv

4 Impulsgleichung..............................................................................................................55

4.1 Reibungsfreie Strmungen ........................................................................................... 55 4.1.1 Euler-Gleichung.................................................................................................... 55 4.1.2 Elementare Anwendungen: Fluid bewegt sich als Festkrper ............................. 56 4.1.3 Eulersche Bewegungsgleichungen ....................................................................... 59 4.1.4 Bernoulli-Gleichung ............................................................................................. 60 4.1.5 Anwendungen: stationre reibungsfreie Strmungen .......................................... 62 4.1.6 Einschrnkungen der Annahme von reibungsfreien Strmungen ........................ 68 4.1.7 Kavitation in Flssigkeitsstrmungen .................................................................. 72

4.2 Allgemeine Strmungen mit Reibungswirkung ........................................................... 73 4.2.1 Finites Kontrollvolumen....................................................................................... 73 4.2.2 Elementares Kontrollvolumen: Navier-Stokes-Gleichungen ............................... 86

4.3 Impulsmomentengleichung .......................................................................................... 91

5 Energiegleichung ............................................................................................................93

5.1 Thermodynamische Grundlagen................................................................................... 93 5.2 Stationre inkompressible Strmungen in hydraulischen Systemen............................ 95 5.3 Energielinie und Drucklinie ......................................................................................... 98 5.4 Anwendung von Impuls-, Energie- und Kontinuittsgleichung................................. 100

6 Experimentelle Hydromechanik .................................................................................103

6.1 Ziele der experimentellen Hydromechanik ................................................................ 103 6.2 Dimensionsanalyse ..................................................................................................... 106

6.2.1 Beispiel: Strmungswiderstand einer Kugel ...................................................... 106 6.2.2 Dimensionslose Parameter in generellen Strmungsproblemen ........................ 108

6.3 hnlichkeitsgesetze (Modelltheorie)......................................................................... 112 6.3.1 Geometrische hnlichkeit .................................................................................. 112 6.3.2 Dynamische hnlichkeit (Krftehnlichkeit).................................................... 113

6.4 Anwendung: Dynamische hnlichkeit fr inkompressible Strmungen .................... 115 6.4.1 Geschlossene Systeme: Reynolds-hnlichkeit .................................................. 115 6.4.2 Offene Systeme: Froude- und Reynolds-hnlichkeit ........................................ 116

7 Fluidreibungswiderstand an Oberflchen .................................................................119

7.1 Gleichfrmige laminare Strmungen ......................................................................... 119 7.1.1 Couette-Strmung: Strmung durch relative Bewegung

zweier Platten ohne Druckgradient .................................................................... 119 7.1.2 Ebene Poiseuille-Strmung zwischen zwei Platten mit Druckgradient ............. 121 7.1.3 Gerinnestrmung ................................................................................................ 123

7.2 Grenzschichtstrmungen ............................................................................................ 124 7.2.1 Laminare Grenzschicht....................................................................................... 125 7.2.2 Turbulente Grenzschicht .................................................................................... 127

v

8 Strmungen in Rohrleitungen .....................................................................................138

8.1 Schubspannungsverteilung ......................................................................................... 138 8.2 Laminare Rohrstrmung (Poiseuille-Strmung) ....................................................... 140 8.3 Transition von laminarer zu turbulenter Strmung .................................................... 141 8.4 Turbulente Rohrstrmung........................................................................................... 143

8.4.1 Geschwindigkeitsverteilung ............................................................................... 143 8.4.2 Reibungswiderstand............................................................................................ 146

8.5 Ungleichfrmige Strmungen in Rohrleitungen ........................................................ 152 8.5.1 Strmungsentwicklung am Rohreinlauf ............................................................. 152 8.5.2 rtliche Energieverluste ..................................................................................... 152

8.6 Rohrleitungssysteme................................................................................................... 153

9 Strmungskrfte auf Krper.......................................................................................156

9.1 Widerstand und Auftrieb ............................................................................................ 156 9.2 Strmungsverhalten bei groen Reynoldszahlen ....................................................... 157 9.3 Widerstandsbeiwerte .................................................................................................. 159

9.3.1 Widerstnde von zweidimensionalen Krpern................................................... 161 9.3.2 Widerstnde von dreidimensionalen Krpern .................................................... 167

9.4 Auftriebsbeiwerte ....................................................................................................... 168 9.5 Anwendungen............................................................................................................. 171

9.5.1 Fahrzeugaerodynamik ........................................................................................ 171 9.5.2 Gebudeaerodynamik ......................................................................................... 171 9.5.2 Bauwerkseinbauten in Gerinnen......................................................................... 172

10 Gerinnestrmungen......................................................................................................174

10.1 Gerinnequerschnitte................................................................................................ 174 10.2 Klassifizierung der Gerinnestrmungen................................................................. 176

10.2.1 Rumliche Variation........................................................................................... 177 10.2.2 Zeitliche Variation.............................................................................................. 177 10.2.3 Interner Fliezustand und Geschwindigkeitsverteilung ..................................... 178 10.2.4 Randeinwirkungen.............................................................................................. 178

10.3 Fliewiderstand ...................................................................................................... 179 10.3.1 Energiebetrachtungen ......................................................................................... 179 10.3.2 Flieformeln ....................................................................................................... 181 10.3.3 Gleichfrmige Gerinnestrmung: Normalabflu .............................................. 184

10.4 Lokales Abfluverhalten: Spezifische Energie ...................................................... 184 10.5 Anwendungen: Reibungsfreie Strmungsbergnge ............................................ 188

10.5.1 Schtz ................................................................................................................. 188 10.5.2 Sohlschwelle....................................................................................................... 190 10.5.3 Wehr ................................................................................................................... 191

10.6 Wechselsprung........................................................................................................ 192

vi

Literaturhinweise

Folgende Bcher knnen zum zustzlichen Vertiefungsstudium empfohlen werden. Darber hinaus enthlt das Skriptum einige weitere Literaturzitate, die in den hier angefhrten B-chern (bes. in Truckenbrodt, 1989, 1992) aufgelistet sind. Dracos, T., Hydraulik, Verlag der Fachvereine, Zrich, 1990 Naudascher, E., Hydraulik der Gerinne und Gerinnebauwerke, Springer Verlag, Wien, New York, 1992 Nezu, I. und Nakagawa, H., Turbulence in Open-Channel Flow, A.A. Balkema, Rotterdam, Brookfield, 1993 Preiler, G. und Bollrich, G., Technische Hydromechanik, Band 1, Verlag fr Bauwesen, Berlin, 3. Auflage, 1992 Roberson, J.A. and Crowe, C.T., Engineering Fluid Mechanics, Houghton-Mifflin, Boston, Fifth Edition, 1993 Schlichting, H., Grenzschichttheorie, Verlag C. Braun, Karlsruhe, 1982 Truckenbrodt, E., Fluidmechanik, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Band 1, 3. Auflage, 1989; Band 2, 3. Auflage, 1992

vii

Verzeichnis der Symbole

Dimensionen und Einheiten

Beruhend auf dem Internationalen Einheitensystem, SI = Systme International dUnits.

Gre Dimension Einheit Umrechnungen, alternative Einheiten

Basisgren:

Lnge L m (Meter) 1 m = 102 cm = 103 mm, 1 km = 103 m

Masse M kg (Kilogramm) 1 kg = 103 g, 1 t = 103 kg

Zeit T s (Sekunde) 1 min = 60 s, 1 h = 3600 s, 1d = 86400 s

Temperatur K (Kelvin) oder [C] = [K] 273,15

C (Grad Celsius)

Abgeleitete Gren:

Kraft F = ML/T2 N (Newton) 1 N = 1 kg m/s2

Druck, Spannung F/L2 Pa (Pascal) 1 Pa = 1 N/m, 1 bar = 105 Pa

Arbeit, Wrme, FL J (Joule) 1 J = 1 Nm = 1 kg m2/s2

Energie

Leistung FL/T W (Watt) 1 W = 1 J/s

Formelzeichen

Nur mehrfach verwendete Zeichen sind hier aufgefhrt.

Symbol Einheit Bedeutung

A m2 Flche, Strmungsquerschnitt

AP m Querschnittsflche normal zur Strmung (Kap. 9)

a m/s2 Beschleunigung, ( )ra a a ax y z= , , oder ( )ra a at n= , at m2/s Wrmeleitfhigkeit, Konduktivitt (Kap. 1)

B m Breite

b m Breite

C variabel Integrationskonstante

CA - Auftriebsbeiwert von umstrmten Krpern (Kap. 9)

viii

Cf - Reibungskoeffizient (Kap. 7)

Cp - Druckkoeffizient

CW - Widerstandsbeiwert von umstrmten Krpern (Kap. 9)

c m/s Schallgeschwindigkeit im kompressiblen Fluid bzw. Fortpflanzungs-geschwindigkeit einer Oberflchenstrwelle im Gerinne

cM kg/m3 Massenkonzentration

cp J/m3K spezifische Wrme

D m Durchmesser

Dm m2/s Massendiffusivitt (Kap. 1)

d m Durchmesser

E N/m2 Elastizittsmodul (Kap. 1, Kap. 4)

E J Energie

E m spezifische Energiehhe in Gerinnestrmung (Kap. 10)

e J/kg spezifische Energie rF N Kraft, ( )rF F F Fx y z= , , FA N hydrodynamische Auftriebskraft (Kap. 9)

FB N hydrostatische Auftriebskraft (Abschn. 2.5) rFB N Massenkraft

Fp N Druckkraft rFS N Oberflchenkraft

Fs N Oberflchenreibungskraft

FW N Widerstandskraft, Strmungswiderstand

Fr - Froudezahl

g m/s2 Erdbeschleunigung

G N Gewichtskraft

Gp N/m Gradient des piezometrischen Druckes (Gl. 7.7)

H m Hhe, Energiehhe

h m Hhe, piezometrische Hhe

hp m Pumpenenergiehhe

ht m Turbinenenergiehhe

hv m Energieverlusthhe rI kg m/s linearer Impuls, ( )rI I I Ix y z= , , I - Geflle

ix

Ie - Energiegeflle

Ip - Druckgeflle

Io - Sohlgeflle

K m/s Durchlssigkeitskoeffizient des porsen Mediums (Gl. 4.63)

ks m Rauheit

kSt m1/3/s Strickler-Beiwert (Gl. 10.16)

L m Lnge

Lj m Wechselsprunglnge (Abschn. 10.6)

l m Lnge l m viskose Lnge (Gl. 7.28) M kg Masse rM Nm Kraftmoment (Abschn. 4.3)

Mc kg Tracermasse

Ma - Machzahl

&m kg/s Massenflu n m Koordinate normal zur Stromlinie

P W Leistung

P N Normalkraft, Druckkraft

P m benetzter Umfang (Perimeter) (Gl. 8.29)

Pr - Prandtl-Zahl, Pr = /at

p Pa Druck

pabs Pa absoluter Druck

pd Pa Dampfdruck

pvak Pa Unterdruck (Vakuum)

Q m3/s Durchflu

q m2/s Durchflu pro Breiteneinheit, spezifischer Durchflu &QH J/s Wrmezuflu R J/kgK Gaskonstante rR N resultierende Kraft, ( )rR R R Rx y z= , , Rh m hydraulischer Radius

r m Radius, Radialkoordinate rr m Positionsvektor, ( )rr x y z= , ,

x

Re - Reynoldszahl (Gl. 3.6)

s m Lnge, natrliche Koordinate (Distanz) entlang der Stromlinie

Sc - Schmidt-Zahl, Sc = /Dm

T K, C Temperatur

t s Zeit

t m Tiefe (Kap. 2)

Uo m/s Anstrm- (Auen-)geschwindigkeit

u m/s Geschwindigkeit (in x-Richtung)

ut J/kg spezifische innere Energie

u m/s Schubspannungs- (Reibungs-)geschwindigkeit (Gl. 7.27)

V m/s Geschwindigkeit rV m/s Geschwindigkeitsvektor, ( )rV u v w= , , oder ( )rV V Vs n= , V m/s mittlere Geschwindigkeit

V m3 Volumen

v m/s Geschwindigkeit in y-Richtung &W W geleistete Arbeit &WN W geleistete Druckarbeit &WS W geleistete Scherarbeit

We - Weberzahl

w m/s Geschwindigkeit in z-Richtung

x, y, z m kartesische Koordinaten

y m Wandkoordinate (-abstand) bei G.S. (Kap. 7, 8)

y m Wassertiefe (Kap. 10)

- Winkel

- Energieungleichfrmigkeitsfaktor (Gl. 5.13)

variabel extensive Gre

variabel intensive Gre - Impulsungleichfrmigkeitsfaktor (Gl. 4.34) N/m3 spezifisches Gewicht

m N/m3 spezifisches Gewicht des Mefluides (Kap. 2)

m Grenzschichtdicke

xi

- Winkel, Winkelkoordinate

- Reibungsbeiwert nach Darcy-Weisbach (Gl. 8.21) - von-Karman-Kappa, = 0,4

Ns/m2 dynamische Viskositt (Zhigkeit)

m2/s kinematische Viskositt (Zhigkeit)

- Nachlauffunktion (Gl. 7.35c)

- 3,14159

kg/m3 Dichte

N/m2 Normalspannung (Abschn. 4.2.2)

N/m Oberflchenspannung (Kap. 1)

N/m2 Schubspannung

m2/s Geschwindigkeitspotential 1/s Winkelgeschwindigkeit r 1/s Rotationsvektor, ( )r = x y z, , - Verlustbeiwert fr rtliche Verluste (Gl. 8.35)

Indizes

0 Referenzwert

atm atmosphrisch

c kritisch

D Druckkraft (Kap. 2)

f Fluid

f Reibung

H horizontal

krit kritisch

m Modell

max maximal

min minimal

n normal

o Referenzwert

opt optimal

xii

p Prototyp (Natur)

r radial

r Verhltnis (Kap. 6)

S Schwerpunkt (Kap. 2)

s entlang der Stromlinie

s senkrecht

sys System

t tangential

V vertikal

w Wasser

x, y, z bezogen auf die Richtung

Grenzschicht

Abkrzungen

A Ablsungspunkt der Grenzschicht

C.B. Schwerpunkt des verdrngten Wasservolumens

D Druckmittelpunkt

D.L. Drucklinie

E.L. Energielinie

G.S. Grenzschicht

K.O. Kontrolloberflche

K.V. Kontrollvolumen

NN Nullniveau, Datum

OW Oberwasser

S Schwerpunkt

S Staupunkt

UW Unterwasser

1

1 Einleitung und Definitionen

Die Hydromechanik ist ein Teilgebiet der Mechanik. Die Mechanik beschreibt im allgemei-nen das Verhalten von Krpern unter Einflu von Krften, whrend sich die Hydromechanik speziell mit dem Verhalten von Fluiden, also deformierbaren Massensystemen, befat. Die Fluidmechanik hat wichtige Anwendungen in vielen Wissenschaftsbereichen und Ingeni-eurgebieten. Im Bau- und Umweltingenieurwesen sind zwei Fluide von besonderer Bedeu-tung: Wasser und Luft. Als Beispiele fr typische Anwendungsgebiete und Problemkreise, in denen diese Fluide eine Rolle spielen, seien erwhnt: Wasser: Wasserversorgung mit Rohrleitungen, Speicher und Verteilereinrichtungen, sowie Wasser-

entsorgung durch Kanle und Klranlagen Energienutzung durch Wasserkraftanlagen Flubau, Hochwasserschutz und Ausgleich von Niedrigwasser durch Dmme, Wehre und

Reguliereinrichtungen Gewsser als Vorfluter, Trger von Nhr- oder Schadstoffen Grundwassernutzung, Sanierung von Kontaminationen

Luft: Belastung von Bauwerken durch Wind Luftqualittsprobleme durch Industrieemissionen oder durch Kfz-Abgase Belftung und Klimatisierung von Innenrumen

1.1 Definition eines Fluides

Alle physikalischen Stoffe knnen in drei Phasenzustnden auftreten, als feste Krper, als Flssigkeiten und als Gase. Flssigkeiten und Gase werden Fluide genannt, da sie unter Ein-wirkung von Schubspannungen (Tangentialspannungen) im Gegensatz zu Festkrpern die Eigenschaft haben, sich kontinuierlich zu verformen. Diese Eigenschaft wird Fluiditt oder Fliebarkeit genannt. Es gelten die folgenden Definitionen: Ein Fluid verformt sich kontinuierlich unter dem Einflu von Schub- (Tangential-)

spannungen, unabhngig davon, wie klein diese Spannungen sind. Die Verformungsra-te (d.h. die zeitliche nderung) hngt von der Gre der Schubspannungen ab.

Ein Festkrper dagegen verformt sich um einen bestimmten Betrag unmittelbar nach

Aufbringen der Schubspannung. Danach tritt ein statisches Gleichgewicht ein. Die Verformungsgre hngt von der Gre der Schubspannung ab. Es kommt zu keiner kontinuierlichen Verformung.

Bei Fluiden ist die Verformungsrate also proportional zur Gre der Schubspannung. Die Proportionalitt ist eine Stoffeigenschaft, die sich Viskositt (oder Zhigkeit) nennt.

2

1.2 Unterschiede zwischen Flssigkeiten und Gasen

Fluide unterteilen sich in Flssigkeiten und Gase nach ihrem unterschiedlichen Verhalten unter Druck- (Normal-) spannungen. Flssigkeiten verndern ihr Volumen unter Druck kaum. In der praktischen Anwendung werden Flssigkeiten demnach als wenig kompressibel bzw. inkompressibel betrachtet. Gase sind dagegen stark kompressibel. Sie zeigen schon bei kleinen Druckdifferenzen groe Volumennderungen. Um diese Eigenschaft der Gase beschreiben zu knnen, ist es notwen-dig, thermodynamische Beziehungen zwischen Dichte, Druck und Temperatur zu bercksich-tigen (z.B. ideales Gasgesetz). In vielen praktischen Anwendungen sind aber die Drucknde-rungen klein, so da dann auch die Gasstrmung als inkompressibel betrachtet werden kann. Das gesamte Verhalten von Fluiden unter Einflu von Krften wird durch die Fluidmechanik oder auch Strmungsmechanik beschrieben. Diese lt sich in zwei Untergruppen, die Hyd-romechanik und die Gasdynamik unterteilen:

Hydromechanik

Strmung von Fluiden ohne Dichtende-rung, d.h. von Flssigkeiten oder von Gasen bei kleinen Geschwindigkeiten

Gasdynamik

Strmung von Gasen mit starken Dichte-nderungen

Anwendungen: Strmungen um eingetauchte Krper

(Schiffe, Flugzeuge im Unterschallbe-reich, Bauwerke)

Strmungen in Pumpen und Turbinen Strmungen in Rohren, offenen Gerin-

nen und Gewssern Strmungen in porsen Medien (Grund-

wasser, Erdlfrderung)

Anwendungen: Strmungen in Verbrennungsmotoren, Kompressoren und Dsen Hochgeschwindigkeitsstrmungen um

Flugkrper (berschallflugzeuge, Ra-keten)

1.3 Fluid als Massensystem

Ein Fluid als Massensystem betrachtet ist ein System von einzelnen Partikeln, das sich durch den Raum bewegt. Dabei kann es Gestalt und Volumen ndern: Abb. 1.1 zeigt den Umri eines solchen Massensystems, das sich in einem Geschwindigkeitsfeld bewegt, und sich dabei verformt, zu den Zeiten t und t+dt.

Abb. 1.1: Fluid als bewegtes und verformbares Massensystem

3

Ein solches System besitzt: extensive (globale) Eigenschaften: Sie beziehen sich auf das gesamte Massensystem, z.B.

Volumen V, Gewicht W, Masse M, Energie E. intensive (lokale) Eigenschaften: Sie sind unabhngig von der Gesamtmasse und knnen

lokal definiert werden, z.B. Temperatur T, Dichte , Druck p. Das System wird als Kontinuum betrachtet, d.h. die Eigenschaften der einzelnen Molekle, aus denen das System besteht, werden ignoriert. Dies bedeutet, da alle intensiven Fluidei-genschaften kontinuierlich ber das System und im Raum definierbar sind.

1.4 Intensive Fluideigenschaften

Dichte:

= =

MasseVolumen

MV

kgmV

lim

0 3

(1.1)

Da Fluide oft im Schwerefeld der Erde betrachtet werden, ergibt sich das spezifische Gewicht als das Produkt aus der Dichte und der Erdbeschleunigung g

= g

Nm3

(1.2)

Temperatur:

T K oder C[ ] [ ]

Druck:

pFA

Nm

PaA

= =

=

NormalkraftFlche

lim

0 2

(1.3)

Die Normalkraft F wirkt am freigeschnittenen Krper normal auf die Schnittflche A (vgl. Abschnitt 2.1). Im allgemeinen besteht bei Fluiden eine Beziehung zwischen Dichte, Temperatur und Druck. Da Flssigkeiten aber wenig kompressibel sind, kann die Druckabhngigkeit meist vernach-lssigt werden, und die Dichte ist in erster Linie eine Funktion der Temperatur, wie in Tabelle 1.1 und Abb. 1.2 fr Wasser dargestellt ist. Die Dichte kann dabei auch vom Gehalt gelster Stoffe, z.B. Salze im Falle von Meerwasser, abhngen (Abb. 1.2). (Swasser zeigt ein Dich-temaximum von 1000 kg/m3 bei einer Temperatur von 4 C. Der Wert = 1000 kg/m3 ist ein wichtiger Richtwert fr viele praktische Anwendungen, in denen Temperaturunterschiede vernachlssigbar sind.

4

Gase dagegen sind stark kompressibel, und ihre Dichte mu immer im Zusammenhang mit Temperatur und Druck bercksichtigt werden. Die Werte fr Luft in Tabelle 1.1 bzw. Abb. 1.2 beziehen sich deshalb auf den Standardatmosphrendruck von 1013 hPa (sh. Abschnitt 2.2). Ein Richtwert fr die Luftdichte ist dabei = 1,25 kg/m3, also etwa 1/800 der Wasser-dichte.

a) Wasser: Reines Wasser ohne gelste Stoffe

Temperatur T [C]

0 4 10 20 30 50 100

Dichte [kg/m3]

999,8 1000 999,7 998,3 995,7 988 958,1

kinematische Viskositt [10-6 m2/s]

1,780 1,584 1,300 1,006 0,805 0,556 0,294

Wrmekapazitt cp [J/kg K]

4217 4205 4192 4182 4178 4180 4216

Wrmeleitfhigkeit at [10-6m2/s]

0,135 - - 0,143 - - 0,168

Elastizittsmodul E [109 Pa]

1,964 - 2,092 2,197 2,233 2,264 2,041

Dampfdruck pd [hPa]

6,11 8,13 12,27 23,37 42,41 123,35 1013,3

Oberflchenspannung [N/m]

0,0756 0,0749 0,0742 0,0728 0,0712 0,0679 0,0589

b) Luft: Werte bei Standardatmosphrendruck 1013 hPa Elastizittsmodul E = 1,42 105 Pa bei adiabatischen Verhltnisssen.

Temperatur T [C]

0 4 10 20 30 50 100

Dichte [kg/m3]

1,293 1,274 1,247 1,205 1,165 1,092 0,946

kinematische Viskositt [10-6m2/s]

13,28 13,64 14,18 15,10 16,03 17,86 23,15

Wrmekapazitt cp [J/kg K]

1006 - - 1005 - - -

Wrmeleitfhigkeit at [10-6m2/s]

18,49 - - 21,19 - - -

Tabelle 1.1: Verschiedene Eigenschaften von Wasser und Luft in Abhngigkeit von der Temperatur

5

Abb. 1.2: Dichte von Wasser und Luft in Abhngigkeit von der Temperatur

Wrmekapazitt:

pWrme Jc

Masse,Temperatureinheit kg K

=

Die Wrmekapazitt ist ein Ma fr die Fhigkeit eines Fluides, thermische Energie zu spei-chern. Sie entspricht der Wrmemenge, die einer Masseneinheit des Fluides zugefhrt wer-den mu, um dessen Temperatur um ein Grad Temperatureinheit zu erhhen. Die Wrmeka-pazitt von Gasen hngt dabei von der Art des Prozesses ab, wie Wrme zugefhrt wird. Wird der Druck konstant gehalten, so wird die Wrmekapazitt mit dem Symbol cp identifi-ziert. Wird dagegen das Volumen konstant gehalten, so beschreibt das Symbol cv die Wr-mekapazitt.

a) Wasser

b) Luft

985

995

1005

1015

1025

0 10 20 30 40 50

Dic

hte

[kg/

m3 ]

1000kg/m bei 4C

3% Salzgehalt [kg/kg]

1%

2%

Reines Wasser

1.0

1.1

1.2

1.3

0 10 20 30 40 50

Temperatur [C]

Dic

hte

[kg/

m3 ]

Luft bei Atmosphrendruck

6

Spezifische innere Energie:

uEnergie aufgrund der molekularen Bewegung

MasseJ

kgt=

(1.4)

Die spezifische innere Energie ist der kalorische Energieinhalt, der der gesteigerten molekula-ren Aktivitt mit zunehmender Temperatur entspricht.

Viskositt (Zhigkeit): Die Viskositt ist eine Fluideigenschaft, die sich erst bemerkbar macht, wenn das Fluid in Bewegung ist. Durch die Bewegung knnen Geschwindigkeitsunterschiede zwischen be-nachbarten Fluidschichten entstehen. Als Beispiel dazu zeigt Abb. 1.3 eine zweidimensionale (x-y), parallele Scherstrmung (z.B. eine Wasserschicht an einer Berandung). Die Geschwin-digkeit des Fluides an der Berandung ist gleich null, d.h. das Fluid haftet am Festkrper. Die-se Eigenschaft wird Haftbedingung genannt. Je nach Abstand y des Fluides vom Rand ndert sich die Fluidgeschwindigkeit V, es ergibt sich also ein Geschwindigkeitsprofil V(y). Die Strmung kann aus Schichten bestehend angesehen werden, die sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit fortbewegen. Solche Schichtstrmungen heien laminare Strmungen.

Abb. 1.3: Parallele Scherstrmung Zwischen zwei Schichten einer laminaren Strmung besteht ein Geschwindigkeitsgradient dV/dy [1/s], der einer Winkeldeformationsrate, d.h. der zeitlichen Verformung eines Fluide-lementes, entspricht, wie anhand von Abb. 1.4 gezeigt wird.

Abb. 1.4: Deformation eines vertikalen Fluidelementes in einer Schichtstrmung Die Ober- und die Unterkante eines Fluidelementes, das zwischen zwei Schichten liegt, be-wegen sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Punkt d an der oberen Begrenzung zur Schicht wandert schneller als Punkt c. Das Fluidelement hat sich nach der Zeit t dt+ de-formiert. Der Punkt c ist um die Distanz V dt , der Punkt d um ( )V dV dt+ gewandert. Fr den Verformungswinkel d ergibt sich

d

7

ddV dt

dy =

und fr die Winkeldeformationsrate

ddt

dVdy

=

Zwischen den Schichten wirkt eine Schubspannung . Fr viele Fluide (sog. Newtonsche Fluide) ist diese direkt proportional zur Winkeldeformationsrate, wie empirisch durch Mes-sungen feststellbar ist. Fr solche Fluide gilt

= =

dVdy

Nm

N sm s2 2

1 Newtonscher Ansatz (1.5)

Die Proportionalittskonstante in diesem Ansatz wird dynamische Viskositt oder Zhigkeit genannt

= dynamische Viskositt N sm

2

Die Zhigkeit kommt durch molekularen Impulsaustausch zustande. Molekle, die sich in einer Schicht mit kleinerer Geschwindigkeit befinden (c), tauschen ihren Impuls mit Mole-klen der schnelleren Schicht (d) aus, und umgekehrt. Man kann diesen Impulsaustausch mit zwei Transportbndern vergleichen, auf denen Men-schen stehen, wie in Abb. 1.5 skizziert ist. Die Transportbnder bewegen sich mit unter-schiedlichen Geschwindigkeiten. Menschen steigen von einem Band auf das andere ber. Sie bertragen ihren Impulsunterschied auf das jeweils andere Band. Personen, die vom schnelleren Band d auf das langsamere Band c umsteigen, transferieren einen Geschwin-digkeitsberschu, d.h. einen Impulsberflu (Impuls = Masse mal Geschwindigkeits-berflu). Vom langsameren zum schnelleren Band bertragen sie ein Impulsdefizit. Impul-sberschu und -defizit ergeben eine beschleunigende bzw. verzgernde Kraft. Im Modell wird dabei ein zuflliger Austausch betrachtet, wie er im molekularen Zustand vorkommt, d.h. Molekle bewegen sich oder kollidieren zufallsbedingt zwischen den Schichten: Durch diesen Impulsaustausch entsteht die Scherspannung zwischen den Schichten.

Abb. 1.5: Transportbandanalogie zum molekularen Impulsaustausch Da die dynamische Viskositt oft in Kombination mit der Fluiddichte auftritt, wird auch die kinematische Viskositt definiert

=

ms

2

(1.6)

8

Die Schubspannungen knnen dann als proportional zum Impulsgradienten angesehen wer-den, wobei V der Massenimpuls pro Volumeneinheit ist

( ) = = =dV

dydVdy

d Vdy

(1.7)

Die kinematische Zhigkeit von Fluiden ist eine Funktion der Temperatur, da diese die mole-kularen Eigenschaften beeinflut: Bei Flssigkeiten nimmt die Zhigkeit mit zunehmender Temperatur ab (weniger Kohsion), bei Gasen nimmt sie durch die zunehmende molekulare Aktivitt zu (sh. Abb. 1.6) fr Wasser und Luft).

Abb. 1.6: Kinematische Viskositt von Wasser und Luft in Abhngigkeit von der Tem-

peratur Typische Richtwerte fr die kinematische Zhigkeit sind fr Wasser 10-6m2/s und fr Luft 10-5m2/s. Luft verhlt sich also relativ zher als Wasser! Der Newtonsche Ansatz gilt aber nicht fr alle Fluide. Das generelle Fluidverhalten wird in einem rheologischen Diagramm (Abb. 1.7) dargestellt, das die Beziehung zwischen Schub-spannungen und Verformungsraten angibt.

Abb. 1.7: Rheologisches Diagramm fr diverse Fluide

0.1

1.0

10.0

100.0

0 10 20 30 40 50

Temperatur [C]

Visk

osit

t [10

-6 m

2 /s]

Luft bei Atmosphrendruck

Wasser

9

Drei Untergruppen von fluidem Verhalten sind aus Abb. 1.7 ersichtlich: 1. Newtonsche Fluide: Sie stellen im rheologischen Diagramm eine Gerade dar, gengen so-

mit dem Newtonschen Ansatz. Die Steigung der Geraden ist die dynamische Viskositt . Ein leichtviskoses Fluid zeigt eine flache, ein hochviskoses Fluid eine steile Gerade. Hauptbeispiele fr Newtonsche Fluide sind Wasser, le, Luft, und andere Gase.

2. Nicht-Newtonsche Fluide: Sie zeigen ein nicht-lineares Verhalten. Bei kleinen Verfor-

mungsraten sind die Schubspannungen, die aufzubringen sind, um das Fluid in Bewegung zu halten, grer als bei hohen Verformungsraten. Wenn das Fluid einmal in Bewegung ist, reichen kleinere Schubspannungen aus, um die Bewegung aufrecht zu erhalten. Bei-spiele hierfr sind Suspensionen (z.B. Lacke, Blut, Flssigbeton).

3. Binghamsche Fluide: Sie zeigen plastisches Verhalten. Bis zu einer kritischen Schubspan-

nung c verhalten sich diese Fluide wie feste Krper. Dann tritt Flieen ein und sie reagie-ren wie ein Fluid. Alle Festkrper verhalten sich so beim bergang in den plastischen Be-reich (z.B. auch Stahl). Ein typisches Beispiel ist Zahnpasta: Erst beim berschreiten ei-nes Mindestdrucks auf die Tube wird Zahnpasta beweglich.

Bei den weiteren berlegungen werden nur noch Newtonsche Fluide betrachtet.

Wrmeleitfhigkeit: Wenn in einem Fluid Temperaturunterschiede oder Massenkonzentrationsunterschiede beste-hen (sh. Abb. 1.8), so treten zustzliche Transportprozesse auf, die sich analog zum molekula-ren Impulsaustausch verhalten.

Abb. 1.8: Temperatur- und Konzentrationsverteilung in einem Fluid Abb. 1.8 zeigt ein Temperaturprofil T(y), wie es sich an einer gekhlten Berandung in einem Fluid einstellen kann. Der molekulare Wrmeflu qw ist proportional zum Temperaturgra-dienten. Er ist negativ definiert fr einen Flu von einer hohen zu einer niedrigeren Tempera-tur.

Feste Berandung (z.B. gekhlt)

Temperaturprofil Konzentrationprofil

10

q a cdTdy

Jm sw t p

=

2 Fouriersches Gesetz (1.8)

wobei at ms

2

die Wrmeleitfhigkeit (Konduktivitt) und cp die Wrmekapazitt sind. Die

Wrmeleitfhigkeit at ist auch temperaturabhngig, z.B. at = 0,135 10-6 m2/s fr Wasser bei 0 C (sh. Tabelle 1.1).

Massenkonzentration: Fluide knnen verschiedene Fremdstoffe enthalten, z.B. gelste Stoffe (Salze) in Wasser oder Abgase in der Luft. Das Vorhandensein solcher Stoffe wird durch die Massenkonzentration cM gemessen.

cFremdstoffmasse

Volumenkg

mM =

3

Massendiffusivitt: Im Falle, da ein Konzentrationsprofil cM(y) in einem Fluid existiert (z.B. Abb. 1.8), ergibt sich fr den Massentransport qc in der y-Richtung

q Ddcdy

kgm sc m

M=

2 Ficksches Gesetz (1.9)

wobei Dm ms

2

die Massendiffusivitt ist.

Das negative Vorzeichen zeigt wiederum an, da der Massentransport von einem Gebiet ho-her Konzentration in ein Gebiet niederer Konzentration erfolgt. Die Massendiffusivitt Dm ist abhngig von der Temperatur und der Stoffeigenschaft, z.B. bei gelstem Salz in Wasser Dm = 0,78 10 -9 m2/s bei 0 C. Insgesamt zeigt sich, da Analogien zwischen dem Newtonschen, dem Fourierschen und dem Fickschen Gesetz bestehen, die alle Transportprozesse beschreiben, welche durch die Gra-dienten bedingt sind. Alle drei Transportprozesse (Impuls, Wrme, Masse) werden durch molekulare Austauschvorgnge hervorgerufen. Um darzustellen, wie effizient diese Aus-tauschvorgnge zueinander ablaufen, werden die Koeffizienten , at, und Dm ins Verhltnis gesetzt:

a t= Pr Prandtl-Zahl (1.10)

11

DSc

m= Schmidt-Zahl (1.11)

Die Prandtl-Zahl gibt an, wie schnell der Impulsaustausch im Verhltnis zum Wrmeaus-tausch stattfindet, whrend die Schmidt-Zahl den Impuls- mit dem Massenaustausch ver-gleicht. Fr Luft ist Pr 1 und Sc 1, d.h. in Gasen werden Impuls, Wrme und Massenkonzentration etwa gleich schnell ausgetauscht. Fr Wasser dagegen ist Pr 10 und Sc 1000, d.h. in Fls-sigkeiten finden Wrme- und besonders Massenaustausch weniger effizient statt. Dieses un-terschiedliche Verhalten begrndet sich in der Molekularstruktur von Gasen bzw. Flssigkei-ten.

Kompressibilitt und Schallgeschwindigkeit: Kompressibilitt ist die relative Volumennderung pro Drucknderung

Kompressibilitt =

dVV

dp (1.12)

Das negative Vorzeichen zeigt an, da eine Druckzunahme eine negative Volumennderung bewirkt. Gase haben eine hohe Kompressibilitt, Flssigkeiten eine kleine. Der Reziprok-wert der Kompressibilitt ist der Elastizittsmodul E:

EdpdVV

dpd= = +

(1.13)

Wie in Tabelle 1.1 ersichtlich, sind typische Werte des E-Moduls fr Wasser E = 2 109 Pa, und fr Luft E = 1,5 105 Pa. Die Luft verhlt sich also etwa 10000-fach kompressibler als Wasser. Wird Gl. (1.12) umgeformt zu

dpd

= E m

s

2

2

(1.14)

und davon die Wurzel gezogen, erhlt man eine Geschwindigkeit c

cE m

s=

(1.15)

c stellt die Geschwindigkeit dar, mit der sich Drucknderungen (wie auch akustische Wellen) in einem Fluid durch Dichtenderungen fortpflanzen und entspricht demnach der Schallge-schwindigkeit. Typische Werte fr die Schallgeschwindigkeit sind:

12

Wasser: c ms

=

=

2 101000

14009

Luft: cms

=

=

1 5 101 25

3505,

,

1.5 Fluideigenschaften an Phasengrenzen

Dampfdruck von Flssigkeiten: Alle Stoffe knnen in verschiedenen Phasen auftreten. Beim bergang von der flssigen zur gasfrmigen Phase nennt man den Druck, den die Molekle in der Dampf- (Gas-) phase auf die Flssigkeit ausben, Dampfdruck pd. Er ist stark temperaturabhngig (sh. Tabelle 1.1 fr Wasser). Als bekannter Grenzwert ist der Dampfdruck fr Wasser bei 100 C gleich dem Standardat-mosphrendruck (sh. Abschnitt 2.2.1). Die Verdampfung des Wassers tritt dabei in Form von Dampfblasenbildung auf. Solche Dampfblasenbildung (Kavitation) kann aber auch bei niedrigen Temperaturen auftre-ten, wenn in einem strmenden Fluid der lokale Druck unter den Dampfdruck absinkt. Bei 20 C ist z.B. der Dampfdruck pd = 23,37 hPa, also etwa 2 % des Standardatmosphrendruckes. Solche Druckabsenkungen knnen oft in Hochgeschwindigkeitsstrmungen (z.B. in Turbinen, Pumpen oder an Schiffspropellern) auftreten. Die Kavitationseffekte knnen dabei Material-schden hervorrufen.

Oberflchenspannung: Die Oberflchenspannung tritt bei bergngen zwischen zwei verschiedenen flssigen oder zwischen flssigen und gasfrmigen Phasen (sh. Abb. 1.9) auf.

Abb. 1.9: Oberflchenspannung bei bergang zwischen Flssigkeit und Gas Die beiden Flssigkeitsmolekle c und d in Abb. 1.9 erfahren unterschiedliche Krfte. Je-des Flssigkeitsmolekl steht in Interaktion mit seinen Nachbarmoleklen. Zwischen den Moleklen wirken Anziehungskrfte. Molekl c ist ganz in die Flssigkeit eingetaucht. Die resultierende Kraft durch Interaktion mit allen Nachbarmoleklen ist gleich Null. Dagegen ist die resultierende Kraft, die auf ein Molekl an der Oberflche d wirkt, ungleich Null. Zwischen diesem Molekl und den um-

Flssigkeit

Grenzflche

13

gebenden Flssigkeitsmoleklen wirken Anziehungskrfte. Die Gasmolekle dagegen ben insgesamt eine vernachlssigbar kleine Kraft auf das Molekl aus, da Gas eine kleinere Dich-te hat als Flssigkeit und weniger Molekle vorhanden sind. Auf alle Oberflchenmolekle, die sich in der Grenzflche der Flssigkeit befinden, wirkt demnach eine Kraft R, die zur Flssigkeit hin gerichtet ist. Ein Schnitt durch die Oberflche (Abb. 1.9) legt diese Kraft pro Lngeneinheit frei. Sie ist die Oberflchenspannung und wirkt auf alle benachbarten Elemente, einschlielich Fest-krper. Fr die Oberflchenspannung gilt

=

KraftLnge

Nm

(1.16)

Um die Oberflche einer Flssigkeit zu vergrern, mu der Oberflchenspannung entgegen-gewirkt werden. Diese Tatsache kann z.B. zur Messung der Oberflchenspannung genutzt werden (sh. Abb. 1.10). Hierfr wird ein kleiner Drahtrahmen verwendet, dessen eine Seite verschieblich ist. Im Drahtrahmen ist ein Flssigkeitsfilm aufgespannt (vgl. Seifenblasen). Um die Oberflche des Films um den Betrag 2ls zu vergrern, mu Arbeit geleistet werden, die gleich F s ist. Diese Arbeit vergrert die Oberflchenenergie um den Betrag 2ls. Aus der Messung der Kraft F ergibt sich demnach die Oberflchenspannung

=F2l (1.17)

Ein typischer Wert fr Wasser mit Luft ist = 0,073 N/m bei 20C (sh. Tabelle 1.1).

Abb. 1.10: Einrichtung zur Messung der Oberflchenspannung

Durch Zugabe verschiedener Stoffe kann die Oberflchenspannung verndert werden. Seife, die dem Wasser zugegeben wird, verringert dessen Oberflchenspannung. Typische Werte sind hier fr Wasser mit Tensiden / Detergentien mit Luft, = 0,02 ... 0,03 N/m. Oberflchenspannungen knnen aber auch an Phasenbergngen zwischen nicht mischbaren Flssigkeiten auftreten, z.B. Wasser mit l, = 0,02 N/m.

14

Die kapillare Saughhe ist eine Folgeerscheinung der Oberflchenspannung (sh. Abb. 1.11). Eine Kapillare, ein dnnes Haarrhrchen, wird in Wasser getaucht. An der Kontaktstelle von Festkrper, Flssigkeit und Gas bildet sich ein Meniskus, gegeben durch den Benetzungswin-kel . Der Anstieg in der Kapillare hngt vom Durchmesser d ab. Da eine Komponente der Oberflchenspannung in vertikale Richtung wirkt, wird die Flssigkeitssule angehoben oder abgesenkt. Die Steighhe h kann durch ein Krftegleichgewicht in vertikaler Richtung be-rechnet werden, wobei die gesamte Oberflchenkraft gleich dem Gewicht G der Flssigkeits-sule ist

Abb. 1.11: Kapillare Saughhe fr das Beispiel einer benetzenden Flssigkeit

cos d gd

h=2

4 (1.18)

so da die kapillare Saughhe

hg d

=

4

cos (1.19)

Bei gut benetzenden Flssigkeiten (z. B. Wasser/Luft/Glas) geht gegen 0; also cos 1. Bei nicht benetzenden Flssigkeiten (z.B. Hg/Luft/Glas) ist > 90. Dies fhrt zu einer Ka-pillardepression, einem Absinken der Flssigkeitsspiegelhhe im Rhrchen. Die Kapillaritt spielt im Zusammenhang mit Grundwasser im Boden eine wichtige Rolle. Der Boden kann dabei als System von kleinen Porenrumen, also Kapillaren, angesehen wer-den. Das Ansteigen des Wassers in dieser Zone ist fr den Wasserhaushalt der Pflanzen von grter Bedeutung.

15

2 Hydrostatik

In der Hydrostatik wird das Verhalten von Fluiden ohne Relativbewegung zwischen Fluide-lementen betrachtet. Dies ergibt sich, wenn sich das Fluid in einem Ruhezustand befindet (die Schwerkraft wirkt als einzige Kraft),

oder sich das Fluid als starrer Krper bewegt (bei konstanten Beschleunigungen, auch Zentri-

fugalbeschleunigungen). In beiden Fllen gibt es dann im Fluid keine Geschwindigkeitsgradienten und somit keine Schubspannungen. Demnach sind die Spannungen, die von dem umgebenden Fluid (oder von festen Berandungen) auf die Oberflche eines Flssigkeitsvolumen ausgebt werden, an jeder Stelle normal zur Oberflche gerichtet. Diese Normalspannungen knnen nur Druckspan-nungen sein, da Zugspannungen von einem Fluid nicht aufgenommen werden knnen.

2.1 Druckverteilung in einem statischen Fluid

Der Druck ist als Normalkraft pro Flcheneinheit definiert (Abb. 2.1). Im Grenzfall eines differentiellen Flchenelementes ergibt sich der Druck p in einem Punkt

[ ]p FA

Nm

PaA 2

=

=lim

0 (2.1)

Abb. 2.1: Kraft auf ein Flchenelement in einem Fluid wirkend

Der Druck ist eine skalare Gre, d.h. er ist richtungsunabhngig, wie im folgenden anhand von Abb. 2.2 gezeigt wird. Das differentielle prismatische Fluidelement besitzt die Masse m und unterliegt der Erdbeschleunigung g. Daraus folgt die Gewichtskraft

G = mg x y z g=12

Die aus den Druckkomponenten px, py, pz und pn resultierenden Krfte wirken normal zur jeweiligen Oberflche.

16

Abb. 2.2: Fluidelement im Schwerefeld Das Gesamtsystem mu sich im Gleichgewicht befinden, rF = 0. Fr die Kraftkomponenten in der x-Richtung ( Fx = 0 ) gilt

n xp y - p y = 0 l lsin sin

und demnach

n xp = p

Fr die z-Richtung ( Fz = 0 ) gilt

- p y + p y - 12

g y = 0 n z l l l lcos cos cos sin .

Im Grenzfall eines sehr kleinen Elementes, l 0 , ergibt sich

n zp = p

Da das Element beliebig orientiert werden kann, gelten fr die y-Richtung analoge Verhlt-nisse. Das allgemeine Ergebnis lautet also

n x z yp = p = p = p = p (2.2)

d.h. die Druckkomponenten sind in allen Richtungen gleich gro. Der Druck ist richtungsu-nabhngig und somit eine skalare Gre. Der Druck ist zwar eine skalare Gre, er ist aber generell eine Funktion des Ortes

p = f ( x y z) = p(x,y z), , ,

Zwischen zwei Punkten im Raum kann sich der Druck ndern, d.h. der Druck ist eine Funkti-on von mehreren Variablen. Die nderung des Drucks wird in x-Richtung durch den Gra-

dienten px

ausgedrckt, analog durch py

und pz

fr die anderen Richtungen.

17

Um die Gesamtnderung des Drucks zwischen zwei Punkten zu beschreiben, die dx, dy und dz weit auseinander liegen, verwendet man das totale Differential

dp = px

dx + py

dy + pz

dz

(2.3)

2.2 Statische Druckverteilung im Schwerefeld

Um das Verhalten von Fluiden im Schwerefeld zu beschreiben, wird im folgenden ein drei-dimensionales, kartesisches Koordinatensystem (x, y, z) verwendet, wobei die z-Achse verti-kal gegen die Richtung der Erdbeschleunigung g definiert ist. (sh. Abb. 2.3).

Abb. 2.3: Zylindrisches Element im Schwerefeld

Ein zylindrisches Fluidelement liegt willkrlich im Raum, in Richtung l orientiert, die um den Winkel gegen die Horizontale geneigt ist. Es hat die Lnge l und den Querschnitt A. Im Schwerpunkt wirkt das Gewicht G A= l . Senkrecht auf eine Basisflche wirkt die Druckkraft pA. Die Druckkraft auf die gegenber-liegende Basisflche ist differentiell verschieden.(p + p)A. Da sich das Element in Ruhe befindet, ist das Krftegleichgewicht in l -Richtung

( )p A p p A A + = l sin 0 Nach Division durch das Volumen A l ergibt sich

psinl =

Da l eine beliebige Richtung im xyz-Koordinatensystem ist, verwendet man fr die Grenz-wertbildung die partielle Ableitung

lim sin

l

p =

p

= 0 l l

18

Jetzt knnen spezielle Orientierungen des Elementes untersucht werden: Fr eine Orientierung l in z-Richtung, = 90 , sin = 1, resultiert

pz

=

Liegt die Achse l in der xy-Ebene, = 0, sin = 0, so ergibt sich

px

py

= =0 0,

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt, da der Druck p im gewhlten Koordinatensystem fr den Fall des Schwerefeldes nur eine Funktion der Hhenlage, gegeben durch die Koordi-nate z, ist, p = p (z). Damit ist auch die partielle Schreibweise nicht mehr notwendig und die Zustandsgleichung fr ein hydrostatisches Fluid im Schwerefeld wird

dpdz

= Hydrostatische Gleichung (2.4)

Da die Ableitungen in x- bzw. y-Richtung verschwinden, ist der Druck in einer horizontalen Flche berall gleich gro, d.h. alle horizontalen Flchen sind Flchen gleichen Druckes. Zwischen Punkt A und B in Abb. 2.4 besteht keine Druckdifferenz, denn sie befinden sich auf demselben Niveau. Punkt C dagegen liegt auf einem hheren Niveau und hat entsprechend Gl. (2.4) einen geringeren Druck als A oder B.

Abb. 2.4: Horizontale Niveauflchen gleichen Druckes

2.2.1 Die Druckskala Der Druck ist, hnlich wie die Temperatur, eine relative Gre. Die Temperatur kann durch verschiedene Skalen definiert werden. Relativ zum absoluten Nullpunkt ergibt sich die Kel-vinskala oder relativ zu einem praktischen Bezugspunkt (wie Gefrierpunkt des Wassers) die Celsiusskala. hnlich verhlt es sich mit dem Druck. Wie in Abb. 2.5 angezeigt, gibt es hier verschiedene Definitionen:

19

1. Absoluter Druck pabs: Der Druck kann relativ zum absoluten Nullpunkt betrachtet werden Der lokale atmosphrische Druck liegt dann in der Grenordnung von 100 kPa (100 kPa = 1 bar = 10 N/cm2), variiert aber je nach der Ortshhe, der Temperatur und den meteoro-logischen Bedingungen. In der Meteorologie wird der Standardatmosphrendruck bei 15 C und am Meeresniveau als 101,3 kPa (=1013 hPa = 1013 mbar) als durchschnittlicher Richtwert definiert.

2. Relativer Druck prel: Fr die meisten Anwendungen der Hydromechanik ist es vorteilhaft, den Druck (oder eigentlich den Druckunterschied) relativ zum lokalen atmosphrischen Druck zu betrachten.

Beispiel A (Abb. 2.5): Wie gro ist prel, wenn pabs = 240,0 kPa ist und Standardatmo-

sphrendruck herrscht? prel = pabs - patm = 240,0 - 101,3 = 138,7 kPa

Beispiel B: pabs = 25,0 kPa prel = 25,0 101,3 = -76,3 kPa

Meist wird fr den relativen Druck prel einfach das Drucksymbol p verwendet, also p = prel.

3. Unterdruck (Vakuum) pvak: In gewissen Anwendungen (z.B. Kavitationsproblemen) kann der Fluiddruck systematisch unter dem lokalen atmosphrischen Druck liegen, so da prel negativ ist, wie in obigem Beispiel B. Dann ist es vorteilhaft, eine Vakuumdruckskala zu definieren, so da pvak eine positive Gre ist, pvak = prel.

Beispiel B: pabs = 25,0 kPa

pvak = patm pabs = 101,3 25,0 = 76,3 kPa

Abb. 2.5: Druckskala mit Definition des relativen, absoluten bzw. Unter-Druckes

2.2.2 Anwendungen der hydrostatischen Gleichung 1. Inkompressibles Fluid:

Bei inkompressiblen Fluiden ist die Dichte , und demnach , keine Funktion des Druckes, kann aber eine Funktion der Hhenlage z sein, = (z). Fr solche dichtegeschichtete Fluide kann Gl. (2.4) integriert werden und es ergibt sich

( )dp z dzp

p

z

z

o o

=

20

( )p p z dzoz

z

o

= (2.5) zo ist dabei ein Niveau (Hhenlage), bei dem der Druck po gegeben ist. Wenn (z) eine vor-gegebene analytische Funktion ist, kann Gl. (2.5) entsprechend evaluiert werden. Dichtege-schichtete Fluide haben wichtige Anwendungen in Umweltproblemen (z.B. temperaturge-schichtete Seen oder salzgeschichtete stuarien). Der wichtigste Spezialfall der hydrostatischen Gleichung ist aber ein Fluid mit konstanter Dichte, = konstant, so da = konstant,

p - po = (z - zo ) (2.6)

Es ergibt sich also eine lineare Druckverteilung, d.h. der Druck p ist eine lineare Funktion der Hhenlage z (sh. Abb. 2.6).

Abb. 2.6: Lineare Druckverteilung bei Fluid mit konstantem spezifischen Gewicht

Durch weiteres Umformen ergibt sich

p z p zo o+ = +

und nach Dividieren mit

p + z =

p + z const.o o = (2.7)

Die Einheiten von Gl. (2.7) sind Lngeneinheiten, d.h. auch der Druck p kann als Lngenein-heit dargestellt werden, als sogenannte Druckhhe p/. Die Summe von Druckhhe und geodtischer Hhe wird als piezometrische Hhe h bezeich-net

h p

z= + (2.8)

21

Gl. (2.7) besagt, da die piezometrische Hhe in einem statischen Fluid mit konstanter Dichte eine Konstante ist. Egal welches Niveau betrachtet wird, die piezometrische Hhe ist gleich gro. Beispiel: Wasserbehlter (Abb. 2.7)

Abb. 2.7: Wasserbehlter mit seitlichen Standrohren (Manometern)

Der Behlter mit willkrlichem Querschnitt ist bis zum Niveau 0 mit Wasser gefllt. Das Bezugsniveau (Datum) liegt an der Behltersohle. Niveau 1 und Niveau 2 sind willkrliche Flchen mit den Drcken p1 und p2. Niveau 0 liegt auf der Wasseroberflche und der dortige Druck po ist der atmosphrische Druck. Alle Drcke sind relative Drcke, demnach po = 0. Anwendung von Gl. (2.8) auf die jeweiligen Niveauflchen ergibt

Niveau 1 Niveau 2 Niveau 0

1 2 oo

p+ =

p +

p z h z z1 2 = + = ,

d.h. die piezometrische Hhe h an jeder Bezugsflche ist gleich der Wassertiefe zo. Dieses Prinzip kann nun einfach verwendet werden, um den tatschlichen Druck an diesen Niveau-flchen zu messen. Hierzu werden seitlich Rohre angebracht, in denen der Anstieg des Was-sers (Wasserspiegel) beobachtet wird. Man nennt solche Rohre Manometer oder Piezometer. Durch Ablesen der Wasserhhe im Rohr kann der jeweilige Druck mit p = (h - z) berechnet werden, wobei (h z) die Hhe der Wassersule im Manometer ist. Wird die Koordinate z kontinuierlich variiert, so ergibt sich die Druckverteilung p(z) an der Behlterberandung

p (z z)= o

Wird die Wassertiefe t = zo - z als neue Koordinate, ausgehend von der Wasseroberflche, nach unten gerichtet definiert (Abb. 2.8), ergibt sich folgender Zusammenhang:

p t=

22

Der Druck nimmt linear mit der Wassertiefe t zu (sh. Abb. 2.8) und ist normal auf die vertika-le Berandung gerichtet. Der Druck am horizontalen Behlterboden ist konstant p = zo, eben-falls normal zum Boden.

Abb. 2.8: Druckverteilung an Behlterberandung

Beispiel: Diskret geschichtete Fluide Ein Sonderfall von Gl.(2.5), in der das spezifische Gewicht eine Funktion der Lage z ist, (z), sind diskret geschichtete Fluide (sh. Abb. 2.9). Hier ist zwar innerhalb einer Schicht kon-stant, ndert sich aber sprunghaft von Schicht zu Schicht. Abb. 2.9 zeigt das Beispiel einer Wand eines Behlters, in dem eine Schicht l (l) ber einer Schicht Wasser (W) liegt, wo-bei l < W.

Abb. 2.9: Druckverteilung an Behlterwand bei diskret geschichteten Fluiden

Zur Evaluierung des hydrostatischen Druckes entlang der Behlterwand kann dabei Gl. (2.5) schichtweise angewendet werden. Es ergibt sich dabei eine lineare Druckverteilung in beiden Schichten, die aber einen Knick am Schichtbergang aufweist. Der Gradient der Druckvertei-lung (proportional zu ) ist kleiner in der lschicht und grer in der Wasserschicht.

23

2. Kompressibles Fluid:

Die wichtigste Anwendung eines kompressiblen Fluides im Schwerefeld ist die Atmosphre. Die Dichte ist eine Funktion des Druckes p und kann mit Hilfe des idealen Gasgesetzes be-rechnet werden

p = R T (2.9)

wobei R die spezielle Gaskonstante ist (R = 288J

kg K fr Luft). Demnach gilt

= pRT

Wird dies in die hydrostatische Gleichung (2.4) eingesetzt, ergibt sich:

dpdz

gp

RTg= =

dpp

gRT

dz= (2.10)

Die Temperatur in der Atmosphre ist eine Funktion des Ortes. In der Troposphre (d.h. in der untersten Schicht der Atmosphre, 0 bis etwa 10 km ber der Erdoberflche) lautet diese empirische Funktion als Mittelwert ber viele Messungen

T = To - ( z - zo )

wobei die adiabatische Abnahmerate der Atmosphre ist, = 0,0065 K/m d.h. die Temperatur nimmt etwa 6,5 C pro 1000 m ab. Eingesetzt in Gl. (2.10)

[ ]dpp

gR T z z

dzP

p

o oz

z

O

=

( )0

ergibt sich nach Integration die Druckverteilung in der Atmosphre

p pT

z zoo

o

gR

=

1

( ) (2.11)

wobei po und To die Bezugswerte auf zo (z.B. Meeresniveau) sind. Gl. (2.11) entspricht einem Potenzgesetz, wobei der Exponent g/(R) 5,24 fr Luft ist, und beschreibt den abnehmen-den Druck p mit zunehmender Hhe z.

24

2.2.3 Druckmessung Wie schon anhand von Abb. 2.7 erwhnt, kann der lokale Druck in einem Fluid durch ein sogenanntes Manometer (oder auch Steigrohr, Piezometer) bestimmt werden. Ein Manometerrohr kann dabei direkt an der Berandung eines Fluides angebracht sein Abb. 2.10a) oder aber ins Innere des Fluides reichen (Abb. 2.10b). In beiden Fllen entspricht die Lage des Fluidspiegels h dem Druck p am Ursprung z des Manometers

p = (h - z)

Oft sind Manometer aber in Form eines U-Rohres installiert (Abb. 2.10c), in dem ein dichte-res Mefluid (spezifisches Gewicht m > ) verwendet wird. Dies wird notwendig, wenn hohe Fluiddrcke einen groen Anstieg h im Steigrohr (z.B. Abb. 2.10b) verursachen wrden. Ein hufig verwendetes Mefluid ist z.B. Quecksilber, mit einer Dichte, die 13,5 mal hher ist, als die von Wasser. Beim U-Manometer sind zwei Ablesungen notwendig, um den Druck p zu ermitteln, die Fluidspiegelhhe hf und die Mefluidspiegelhhe hm. Die Anwendung der hydrostatischen Gleichung fr die Fluidsule (Abb. 2.10c)

p + z = pf + hf

und fr die Mefluidsule

pf + m hf = po + m hm

ergibt den zu messenden Druck, da der atmosphrische Druck po = 0, als

p = m (hm - hf) (z - hf)

Im Falle, da m >> , kann der zweite Term manchmal vernachlssigt werden.

Abb. 2.10: Manometeranordnungen zur Druckmessung (z und h sind relativ zu einem Be-zugsniveau definiert)

25

Manometeranordnungen in Form von Steigrohren bentzen das hydrostatische Prinzip zur Druckmessung. Daneben gibt es noch andere Meprinzipien, die meist auf einer mechani-schen Kraftbertragung beruhen. Beim Bourdon-Barometer (sh. Abb. 2.11) als Beispiel be-wirkt der Fluiddruck eine Deformation einer Membran, die auf einer Medose aufgespannt ist. Diese Deformation wird durch einen Auslenkungsmechanismus gemessen und ist propor-tional zum Druck auf die Membran.

Abb. 2.11: Bourdon-Barometer

2.3 Hydrostatische Krfte auf ebene Flchen

Abb. 2.12 zeigt die willkrliche Flche A, die in einer x-y-Ebene liegt. Sie ist unter einem Winkel zur Wasseroberflche geneigt. Die Flche A ist sowohl in der Seitenansicht (als eine Linie), als auch um die y-Achse geklappt, in der Draufsicht sichtbar. Es gilt, sowohl die Gre der resultierenden Kraft F als auch die Lage ihres Wirkungspunktes D zu ermitteln. Die lineare Druckverteilung p = t, die auf die Flche wirkt, ist in Abb. 2.12 eingezeichnet.

Abb. 2.12: Druckverteilung und resultierende Kraft F auf eine geneigte Flche

pS

S

S

26

1. Gre der Kraft F: Die differentielle Kraft dF, die auf ein Flchenelement dA in der Tiefe t wirkt, ist

dF = p dA = t dA = y sin dA

Durch Integration ergibt sich

F p dA y dAA A

= = sin (2.12)

Da SA

y dA y A= das 1. Flchenmoment um die x-Achse ist, wobei yS die y-Koordinate des Flchenschwerpunktes S darstellt, kann Gl. (2.12) umgeformt werden

F = yS sin A = pS A (2.13)

pS ist demnach der Druck im Niveau des Flchenschwerpunktes. 2. Koordinaten des Wirkungspunktes D: Die Kraft F wirkt normal auf die Flche A. Der Wirkungspunkt kann ber die Momen-tengleichungen berechnet werden. Die Summe der Einzelmomente um die x-Achse ist gleich der Gesamtkraft F mal dem Hebelarm yD

y dF y FA

D =

so da

y F sin y dAD2

A

=

wobei y dAA

2 das 2. Flchenmoment um die x-Achse ist. Analog verhlt es sich mit der Koordinate des Angriffspunktes in der x-Richtung

x dF x FA

D=

x F xy dADA

= sin

Insgesamt ergeben sich die Koordinaten des Kraftwirkungspunktes D als

xF

xy dADA

= sin (2.14)

yF

y dADA

= sin 2 (2.15)

27

2.4 Hydrostatische Krfte auf gekrmmte Flchen

Der Druck auf ein Flchenelement greift immer normal zu diesem an. Durch die Krmmung einer Flche ndert sich die Richtung der Druckkraft (Abb. 2.13).

Abb. 2.13: Druckverteilung auf gekrmmte Flchen

Um die Gesamtkraft F auf eine gekrmmte Flche, d.h. deren Gre, Richtung und Wir-kungspunkt zu ermitteln, ist es ntzlich, die Kraftkomponenten in den jeweiligen Koordina-tenrichtungen separat zu betrachten, wie in Abb. 2.14 angedeutet.

Abb. 2.14: Differentielle Krfte auf gekrmmtes zweidimensionales Flchenelement dA (nach oben geneigt)

Die zweidimensional gekrmmte Flche liegt in der Seitenansicht zwischen den Punkten c und d. Das lokale Flchenelement dA hat eine Ausdehnung ds und eine Breite b (in der y-Richtung), demnach dA = bds, und liegt in der Tiefe t relativ zur Wasseroberflche. Das Ele-ment ist mit dem Winkel relativ zur Horizontalen geneigt. Der Winkel ist auch als der Winkel zwischen der lokalen Normalkraft dF und der nach oben gerichteten z-Achse defi-niert. Die differentielle Kraft dF ist also

dF = t dA = t b ds

Diese Kraft, eine Vektorgre, kann in ihren zwei Komponenten betrachtet werden:

V

28

1. Horizontalkraft:

dFx = t b ds sin = t b dz = t dAV

wobei dAV die Flche der Projektion des Flchenelementes auf die Vertikalebene ist. Durch Integration ergibt sich

V

x VA

F t dA= (2.16)

Das bedeutet, da die Horizontalkraft Fx auf eine gekrmmte Flche gleich der Druckkraft auf die Vertikalprojektion der Flche ist. Der Angriffspunkt dieser horizontalen Kraft liegt dem-nach auch im Druckmittelpunkt der projizierten Flche. 2. Vertikalkraft:

dFz = t b ds cos = t b dx = t dAH

wobei dAH die Flche der Projektion des Flchenelementes auf die Horizontalebene (z.B. die Wasseroberflche) ist. Da fr den Fall von Abb. 2.14 ( < 90, cos > 0) die z-Richtung gegen die Richtung von dFz luft, ergibt sich fr dFz hier ein negatives Vorzeichen. Integrati-on ergibt

F t dA dV VHA

zVH

= = = (2.17)

wobei d V das ber dem Flchenelement liegende Volumenelement und V das gesamte ber der Flche liegende Volumen ist. Gl. (2.17) besagt, die vertikale Druckkraftkomponente auf eine gekrmmte Flche entspricht dem gesamten Fluidgewicht oberhalb der gekrmmten Fl-che. Die Kraft ist nach unten gerichtet und der Angriffspunkt liegt im Schwerpunkt des Vo-lumens V . Das Vorzeichen von Gl. (2.16) ndert sich je nach der Orientierung des Flchenelementes dA, gegeben durch den Winkel . Abb. 2.15a zeigt eine im wesentlichen nach unten gerichtete Flche mit > 90 (cos < 0), so da die dFz-Komponente positiv ist. Hier ergibt sich also

Fz = + V (2.18)

d.h. die vertikale Druckkraftkomponente ist hier nach oben gerichtet. Zusammengesetzte Flchen, die teilweise nach oben und teilweise nach unten geneigt sind (Abb. 2.15b), werden am einfachsten in Abschnitte zerlegt. Die Vertikaldruckkomponente im oberen Teil (von bis ) entspricht V A und im unteren Teil (von bis ) + ( V A+ V B). Die gesamte vertikale Druckkraftkomponente ist demnach Fz = + V B, und wirkt im Schwer-punkt S des Volumens V B. Die gesamte horizontale Druckkraftkomponente entspricht natr-lich der Kraft auf die Vertikalprojektion der Gesamtflchen, also von bis , entsprechend Gl. (2.16).

29

Dreidimensional gekrmmte Flchen knnen als Verallgemeinerung der hier aufgezeigten Methodik behandelt werden. Dabei ergeben sich natrlich zwei horizontale Kraftkomponen-ten Fx und Fy. Krfte auf ebene Flchen (sh. Abschnitt 2.3), die ja einen Spezialfall von gekrmmten Fl-chen darstellen, knnen ebenfalls in ihren jeweiligen Komponenten berechnet werden.

Abb. 2.15: Willkrliche Anordnung von gekrmmten Flchen im hydrostatischen Druck-feld

Beispiel 1: Radialwehr

Ein Radialwehr mit Breite B hlt Wasser mit einer Hhe h ber einer Dammkrone zurck (Abb. 2.16). Das Wehr ist so angeordnet, da > 90. Welche Kraft wirkt auf die Lagerung?

Horizontalkomponente Fx:

Fx = 12

B h (2.19)

Fx greift im Druckmittelpunkt der Vertikalprojektion an. Aus Gl. (2.15), t hD =23

.

Vertikalkomponente Fz:

Fz = + V R

wobei V R das in Abb. 2.16 eingezeichnete (gepunktete) Volumen ist. Diese Komponente wirkt nach oben, da fr die nach unten geneigte Wehrplatte cos < 0 ist. Fz wirkt im Schwer-punkt S des Volumens V R. Aus der Vektoraddition (Abb. 2.16) ergibt sich die resultierende Gesamtkraft F

F = F Fx z +2

a) Nach unten geneigte Flche b) Zusammengesetzte Flche

30

Abb. 2.16: Radialwehr mit Druckverteilung und Kraftkomponenten

und der Angriffswinkel

= arctan FF

z

x

Fr ein Radialwehr mit idealer Kreisgeometrie luft die Resultierende durch den Lagerpunkt. Beispiel 2: Kreisrunder Behlter

Ein kreisrunder Behlter ist mit einer Flssigkeit gefllt (sh. Abb. 2.17). Wie gro ist die Zugkraft T in der Behlterwand?

Abb. 2.17: Kreisrunder Behlter

Die Horizontalkraft, die pro Tiefeneinheit auf die Innenflche des freigeschnittenen Krpers wirkt, ist

F p dA p dA p rx VA

VA

= = = 2

31

Das Krftegleichgewicht in der x-Richtung

2 T = Fx

ergibt die Zugkraft in der Behlterwand pro Tiefeneinheit

T = p r

T nimmt linear mit der Tiefe t zu, dem linearen Druckanstieg entsprechend.

2.5 Auftrieb eingetauchter Krper

2.5.1 Auftriebskrfte Die vertikale Druckkraft, die auf in Fluide eingetauchte Krper wirkt, wird als Auftriebskraft FB (engl. buoyant force) bezeichnet. 1. Schwimmender Krper:

Abb. 2.18: Schwimmender Krper

Die gesamte horizontale Druckkomponente an der eingetauchten Krperflche ist Null, denn die Druckkrfte bis zum tiefsten Eintauchpunkt in horizontaler Richtung wirken mit gleichem Betrag in entgegengesetzte Richtungen. Die Druckkomponente in z-Richtung, gleich der Auftriebskraft, ergibt sich aus Gl. (2.18), da cos < 0,

Fz = FB = V (2.19)

Die Auftriebskraft greift im Schwerpunkt des verdrngten Wasservolumens (C.B., engl. cen-ter of buoyancy) an und wirkt nach oben. Ein Krper schwimmt, wenn zwischen der Auftriebskraft und dem Gewicht G des Krpers Gleichgewicht herrscht

FB = G

Das Gewicht wirkt im Massenschwerpunkt SK des Krpers. Soll ein Krper schwimmen, mu daher sein durchschnittliches spezifisches Gewicht kleiner als das der Flssigkeit sein.

32

2. Voll eingetauchter Krper:

Abb. 2.19: Voll eingetauchter Krper

Auch hier ist die resultierende Horizontalkomponente gleich Null. Die Auftriebskraft ist durch separate Integration ber das obere (A1) und untere (A2) Flchenelement

FB = V

also gleich dem Gewicht des vom Krper verdrngten Wasservolumens. Die Auftriebskraft ist unabhngig von der Wassertiefe. Der Auendruck aber, der auf den Krper wirkt, nimmt mit zunehmender Tiefe zu!

2.5.2 Schwimmstabilitt Befindet sich der schwimmende Krper in der Gleichgewichtslage, sind die Wirkungslinien des Gewichts und der Auftriebskraft dieselben (sh. Abb. 2.20).

Abb. 2.20: Gleichgewichtslage

Um eine Aussage ber die Schwimmstabilitt machen zu knnen, mu der Krper in ausge-lenkter Lage betrachtet werden. Durch die Auslenkung verschiebt sich der Verdrngungs-schwerpunkt C.B., whrend der Massenschwerpunkt SK gleich bleibt. Je nach Formgebung und interner Gewichtsverteilung des Krpers (z.B. Bauart des Schiffes) gibt es hier zwei Mglichkeiten (Abb. 2.21).

33

Bei einem breiten Krper und wenn der Krperschwerpunkt SK tief liegt (z.B. Ballast im Schiffsrumpf), ergibt sich ein aufrichtendes (wiederherstellendes) Moment, also ein stabiler Schwimmzustand (Abb. 2.21a). Bei einem schmalen Krper und hochliegendem SK ergibt sich ein vergrerndes Moment, und der Krper kippt um, also ein instabiler Schwimm-zustand (Abb. 2.21b).

a) Stabiles Schwimmen b) Instabiles Schwimmen

Abb. 2.21: Verhalten schwimmender Krper nach Auslenkung aus dem Gleichgewichts-zustand

34

3 Kinematik

Die Kinematik einer Strmung betrifft deren Beschreibung in Raum und Zeit. Im Gegensatz zur Dynamik werden dabei keine Krfte bercksichtigt.

3.1 Geschwindigkeitsfeld

Es gibt zwei Konventionen zur Beschreibung der Geschwindigkeitsverhltnisse in einem strmenden Fluid: 1. Lagrangesche Geschwindigkeit:

Durch den Positionsvektor rr wird die momentane Lage eines Partikels (Massenpunkt) in ei-nem Fluid beschrieben (Abb. 3.1)

r r r rr t x y z x i y j z k( ) ( , , )= = + + (3.1)

Die kartesischen Koordinaten x, y, z kennzeichnen den Ort relativ zum Ursprung O, ri ,

rj und r

k sind Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen und t ist der betrachtete Zeit-punkt.

Abb. 3.1: Lagrangesche Geschwindigkeitsbeschreibung

Die Geschwindigkeit

rV t( ) des Teilchens ist durch die nderung der Lage pro Zeit, also der

nderung des Positionsvektors, gegeben

r r r rV t

dxdt

idydt

jdzdt

k( ) = + + (3.2)

( ) ( )r r r rV t u i v j w k u v w= + + = , , (3.3) u(t), v(t) und w(t) sind also die Geschwindigkeitskomponenten des Teilchens in den drei Ko-ordinatenrichtungen. Ist der Geschwindigkeitsverlauf eines Partikels als Funktion der Zeit bekannt, kann der zurckgelegte Weg beschrieben werden. Das Lagrangesche Geschwindig-keitsfeld gibt die Bewegung aller Partikel auf ihrem Weg im Raum an.

35

2. Eulersche Geschwindigkeit: Bei der Eulerschen Geschwindigkeitsbeschreibung wird die Geschwindigkeit des strmenden Fluides an einem festen Punkt P(x,y,z) im Raum erfat (Abb. 3.2).

Abb. 3.2: Eulersche Geschwindigkeitsbeschreibung

In einem gewissen Zeitraum werden sich verschiedene Fluidpartikel durch den betrachteten Punkt bewegen, so da sich die folgenden Geschwindigkeitskomponenten ergeben

u u x y z tv v x y z tw w x y z t

=

=

=

( , , , )( , , , )( , , , )

(3.4)

Die Geschwindigkeit wird mit Hilfe des VektorsrV , der sich auf den Punkt im Raum bezieht,

beschrieben r r r rV x y z t u i v j w k( , , , ) = + + (3.5)

rV x y z t u v w( , , , ) ( , , )=

Ist der Geschwindigkeitsvektor rV fr alle Punkte im gesamten Raum x, y, z bekannt, so ist

das Eulersche Geschwindigkeitsfeld bestimmt. Wenn auch die Definitionen nach Gl. (3.3) und (3.5) hnlich aussehen, so ist doch der funda-mentale Unterschied in diesen Konventionen im Auge zu behalten. Mit Gl. (3.3) folgt man der Geschwindigkeitshistorie eines bestimmten Partikels, whrend Gl. (3.5) die Geschwin-digkeitshistorie an einem bestimmten Punkt, der fortwhrend von verschiedenen Partikeln durchstrmt wird, beschreibt. In der Fluidmechanik hat i.a. die Eulersche Geschwindigkeits-beschreibung viele praktische Vorteile. Im folgenden wird diese auch verwendet; Abwei-chungen davon werden ausdrcklich betont.

3.1.1 Strmungsbilder Die Geschwindigkeitsverteilung in einem Fluid, also das Geschwindigkeitsfeld, lt sich mit Hilfe von Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien graphisch darstellen. Die Stromlinie ist eine kontinuierliche Linie im Fluid, die in einem bestimmten Zeitpunkt t an jeder Stelle vom Geschwindigkeitsvektor

rV tangiert wird. Zu einem anderen Zeitpunkt t + dt

kann sich diese Stromlinie ndern. Mehrere benachbarte Stromlinien ergeben ein Strmungs-bild (sh. Abb. 3.3).

36

Abb. 3.3: Strmungsbild mit Hilfe von Stromlinien zur Zeit t

Die Eulersche Geschwindigkeit lt sich auch auf Stromlinien anwenden

r rV V s t= ( , )

wobei s die Distanz entlang einer Stromlinie ist, d.h. die lokale Koordinate s kann alternativ zu den kartesischen Koordinaten in Gl. (3.5) verwendet werden (sog. "natrliches Koordina-tensystem"). Beispiel: Ausflu aus einem Gef (zweidimensional) Das in Abb. 3.4 skizzierte Stromlinienbild beim Ausflieen einer Flssigkeit aus einem Gef kann z.B. durch eine Momentaufnahme von mitbewegten Schwebeteilchen sichtbar gemacht werden. Die Gefrnder in Abb. 3.4 stellen eine Stromlinie dar, da senkrecht zum Rand kei-ne Bewegung stattfindet.1 In den Ecken ndern die Stromlinien ihre Richtung bergangslos.

Abb. 3.4: Strmungsbild beim Ausflieen einer Flssigkeit aus einem Gef

1 Przise sind fr ein reales Fluid die Berandungsstromlinien durch die Geschwindigkeit

rV = 0 (Haftbedingun-

gen) gekennzeichnet. Oft aber werden bei solchen Ausfluproblemen die dnnen Zonen (Grenzschichten) ent-lang der Berandung, in denen die Schereffekte wesentlich sind, vernachlssigt. Solch eine ideale Fluidstr-mung wurde in der Diskussion des obigen Beispiels angenommen (sh. auch Abschnitt 4.1.5).

37

Die Geschwindigkeit in diesen Punkten mu Null sein. Diese Punkte werden Stagnations-punkte (oder Staupunkte) genannt. Am Ausflu verluft der Geschwindigkeitsvektor tangen-tial zur Kante und geht dann in einen Freistrahl (engl. jet) ber. Hier sind die Stromlinien enger gebndelt, d.h. die Geschwindigkeit ist grer. Auer der Stromlinie gibt es zwei weitere Mglichkeiten eine Strmung zu beschreiben: Die Bahnlinie beschreibt den zurckgelegten Weg eines Fluidteilchens als Funktion der Zeit. Sie kann z.B. photographisch durch eine Zeitaufnahme eines mitschwimmenden Partikels in einer Strmung dargestellt werden. Die Streichlinie verbindet alle Fluidteilchen, die einen bestimmten Punkt durchlaufen haben. Eine Streichlinie entsteht z.B., wenn an einem Punkt stetig Farbe bzw. Rauch der Strmung zugegeben wird.

3.1.2 Gleichfrmige Strmung Eine gleichfrmige Strmung ist definiert durch

rVs

= 0

Die Geschwindigkeit ndert sich entlang einer Stromlinie nicht, sie kann jedoch von Stromli-nie zu Stromlinie variieren. Dies liegt zum Beispiel bei einer Parallelstrmung wie in Abb. 3.5 vor.

Abb. 3.5: Gleichfrmige parallele Strmung: Beispiel einer Gerinnestrmung mit freier Oberflche

3.1.3 Stationre Strmung Bei einer stationren Strmung ist das Geschwindigkeitsfeld zeitunabhngig.

rVt

= 0

In einer stationren Strmung sind Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien identisch.

38

3.1.4 Absolut- und Relativbewegung Je nach dem Bezugspunkt (fixes oder bewegtes Koordinatensystem) knnen Strmungen un-terschiedlich beschrieben werden. Dies wird im folgenden anhand der von einem bewegten Boot verursachten Strmung in einem sonst ruhenden Gewsser illustriert. Der fixe (absolute) Beobachter in Abb. 3.6 betrachtet das Boot vom Ufer aus. Das Boot be-wegt sich mit konstanter Geschwindigkeit

rVo von rechts nach links. Die Abbildung zeigt ein

momentanes Stromlinienbild, das sich aber zeitlich verndert. rV ist demnach die Eulersche

Absolutgeschwindigkeit (sh. Abb. 3.6) als Funktion von Raum und Zeit.

Abb. 3.6: Instationres Stromlinienbild fr Absolutbewegung: Beispiel eines Bootes in einem Kanal

Ein mitfahrender Beobachter (also ein Koordinatensystem relativ zum Boot) nimmt nun ein relatives Eulersches Geschwindigkeitsfeld

rVR wahr, das sich aus der berlagerung der indu-

zierten Strmung rV und der Geschwindigkeit des Beobachters (d.h. des bewegten Koordina-

tensystems) ergibt. r r rV V VR o= +

So wie in Abb. 3.7 dargestellt, ergibt dies ein verndertes Stromlinienbild, das jetzt (fr rVo =

konstant) zeitlich unabhngig, also stationr, ist.

Abb. 3.7: Stationres Stromlinienbild fr Relativbewegung: Beispiel eines Bootes in einem Kanal

39

3.2 Interner Strmungszustand: laminare und turbulente Strmungen

Je nach dem internen Fliezustand gibt es laminare Strmungen oder turbulente Strmungen. Zur Diskussion des Phnomens betrachten wir den Fall einer Rohrstrmung, die in einem groen Behlter mit ruhendem Fluid beginnt und durch ein Ventil beim Ausflu kontrolliert wird (Abb. 3.8).

Abb. 3.8: Versuchsanordnung zur Rohrstrmung nach O. Reynolds (1883)

Sobald die Ventilffnung eingestellt ist, strmt Fluid aus dem Behlter mit konstantem Durchflu durch die Rohrleitung. Systematische Untersuchungen, beginnend mit O. Rey-nolds (1883), haben gezeigt, da der interne Strmungszustand im wesentlichen von drei Pa-rametern bestimmt ist: der mittleren Geschwindigkeit V, dem Rohrdurchmesser D, und der kinematischen Zhigkeit des Fluides . Darber hinaus hat sich gezeigt, da das Zusammen-wirken dieser Parameter durch eine dimensionslose Kennzahl2, die sich aus den Dimensionen der drei Parameter V [m/s], D [m] und [m2/s] ergibt, die sogenannte Reynoldszahl

Re = VD

(3.6)

bestimmt ist. Je nachdem, ob die Reynoldszahl einer Rohrstrmung kleiner oder grer als ein gewisser kritischer Wert Rekrit ist, so verhlt sich die Strmung als laminar bzw. als turbu-lent. a) Laminare Strmung, Re < Rekrit: Bei einer Kombination von kleinen Geschwindigkeiten, kleinen Durchmessern bzw. gro-

er Zhigkeit, verluft die Strmung als geordnet laminare Schichtstrmung, wobei die Schichten konzentrisch um die Rohrachse geordnet sind. Folgende Symptome knnen beobachtet werden, wie in Abb. 3.9 gezeigt: Ein Farbfaden, der die Strmung visualisiert, zeigt die stabile geordnete Strmung.

Der Farbfadendurchmesser wchst allein durch molekulare Diffusion. Ein an einem Querschnitt gemessenes Strmungsprofil zeigt eine zeitunabhngige Ge-

schwindigkeitsverteilung.

2 Die dimensionsanalytische Ableitung solcher Kennzahlen wird in Kap. 6 im Detail erlutert.

40

Geschwindigkeitsmessungen an einem Punkt zeigen wiederum eine konstante Ge-schwindigkeit.

Insgesamt ist der Impulsaustausch in einer laminaren Strmung durch den Newtonschen Ansatz, Gl. (1.5), bestimmt.

Abb. 3.9: Beobachtungen in einer laminaren Rohrstrmung

b) Turbulente Strmung, Re > Rekrit: Bei groen Geschwindigkeiten und Durchmessern, bzw. bei wenig viskosen Fluiden,

stellt sich ein turbulenter Strmungszustand ein, der durch folgende Symptome charakte-risiert ist: Ein Farbfaden erfhrt mehr oder weniger bald nach der Zugabe instabile Schwankun-

gen, die durch Wirbelbewegungen in der Strmung erzeugt werden. Die Farbe kann sich aufgrund dieser grorumigen Wirbel schnell im ganzen Querschnitt durchmi-schen.

Die Geschwindigkeitsprofile ndern sich mit der Zeit. Nur durch Mittelung ber viele Beobachtungen kann eine durchschnittliche Geschwindigkeitsverteilung gefunden werden.

Geschwindigkeitsmessungen an einem Punkt zeigen wiederum zeitliche Fluktuationen in Abweichung vom zeitlichen Mittel.

Abb. 3.10: Beobachtungen in einer turbulenten Rohrstrmung

Die turbulente Strmung ist also durch irregulre Wirbelbewegungen typisiert, die in

erster Linie fr den Impulsaustausch zwischen der wandnahen Zone und dem Rohrinne-ren verantwortlich sind. Der Newtonsche Ansatz gengt nicht mehr, um solche Strmun- gen in ihrem mittleren Verhalten zu analysieren. Empirische Anstze mssen dazu ein-gesetzt werden (Kap. 7 und 8).

41

Das Verhalten eines zugegebenen Farbfadens beim Reynolds-Experiment (sh. Abb. 3.8) ist in Abb. 3.11 fr a) laminare Verhltnisse, b) im Transitionsbereich und c) turbulente Verhlt-nisse fotografisch dargestellt. Im letzten Fall ist die rapide Mischung des Farbfadens ber den Rohrquerschnitt klar ersichtlich.

Abb. 3.11: Verhalten eines Farbfadens (Streichlinie) beim Reynolds-Eperiment (sh. Van

Dyke, 1982) Fr Rohrstrmungen gilt eine kritische Reynoldszahl

Rekrit 2000

aufgrund von vielen Versuchen mit unterschiedlichen Fluiden (z.B. Wasser, le, Luft, Gase) und verschiedenen Kombinationen von Geschwindigkeiten und Durchmessern.

Fr andere Strmungstypen (z.B. offenes Gerinne, Umstrmungen von Krpern) gelten ande-re Definitionen und andere kritische Werte fr die Reynoldszahlen. In allen Fllen aber ist der interne Strmungszustand entweder laminar oder turbulent mit irregulren Wirbelbewe-gungen, die dann auf die Grundstrmung berlagert sind.

42

3.3 Durchflurate

Abb. 3.12a zeigt die Geschwindigkeitsverteilung in einem Rohrleitungsquerschnitt.

a) Querschnittsflche normal zur Ge- b) Geneigte Querschnittsflche schwindigkeitsrichtung

Abb. 3.12: Durchflu durch eine Rohrleitung

Der Volumenflu durch eine Elementarflche dA, die normal zur Geschwindigkeitsrichtung liegt, ist gegeben durch

V dAms

mms

=

23

(3.7)

Der Volumenflu ber den gesamten Querschnitt ergibt sich folglich zu

Q =A V dA (3.8)

Die durchschnittliche (mittlere) Geschwindigkeit im Querschnitt ist dann

V QA

= (3.9)

Liegt die durchflossene Flche nicht normal zum Geschwindigkeitsvektor, so ist der Elemen-tardurchflu durch das Vektorprodukt

r rV dA gegeben. Der Flchenvektor dA

r ist dabei nor-

mal zur Flche gerichtet (Abb. 3.11b). Der Durchflu ergibt sich aus dem Integral

Q =A r rV dA =

A V dAcos (3.10)

3.4 Beschleunigung

3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem In der Lagrangeschen Betrachtung (sh. Abschnitt 3.1) gilt fr die Beschleunigung eines Parti-kels in x-Richtung

43

a dudtx

= (3.11)

Die Partikelgeschwindigkeit ist aber abhngig von Partikelposition und Zeit, somit gilt

( ) ( ) ( )( )a

du x t y t z t tdtx

=

, , , (3.12)

Nach den Regeln der partiellen Differentiation

a ux

dxdt

uy

dydt

uz

dzdt

utx

= + + +

(3.13)

Mit dxdt

u= , dydt

v= und dzdt

w= , ergibt sich

a u ux

v uy

w uz

utx

= + + +

(3.14)

und analog

a u vx

v vy

w vz

vty

= + + +

(3.15)

a u wx

v wy

w wz

wtz

= + + +

(3.16)

Hierbei stehen jeweils die ersten drei Terme auf der rechten Seite fr den konvektiven Anteil und der letzte Term fr den lokalen Anteil der Beschleunigung. Gl. (3.14) bis (3.16) definie-ren den Beschleunigungsvektor ( )ra a a ax y z= , , . Die konvektive Beschleunigung ist der Anteil der Beschleunigung, der durch die Ortsnde-rung entsteht, whrend die lokale Beschleunigung durch die zeitliche nderung der Ge-schwindigkeit charakterisiert ist.

3.4.2 Natrliches Koordinatensystem Wird statt dem kartesischen Koordinatensystem ein natrliches Koordinatensystem entlang einer Bahnlinie verwendet (sh. Abschnitt 3.1.1), so sind die Geschwindigkeitskomponenten entlang der Bahnlinie gegeben durch

rV V Vs n= ( , )

wobei Vs die Geschwindigkeit entlang der momentanen Stromlinie und Vn die Geschwindig-keit normal zur Stromlinie ist. Im stationren Fall ist dabei die Normalgeschwindigkeit iden-tisch Null, Vn = 0. Im instationren Fall aber ndert sich die Form der Stromlinie als Funkti-on der Zeit, so da auch Vn zeitlich variiert.

44

Abb. 3.13 Beschleunigung eines Fluidpartikels im natrlichen Koordinatensystem

Da Vs (s(t),t) und Vn (s(t),t), gilt fr die Tangentialbeschleunigung

aVs

dsdt

Vt

VVs

Vtt

s ss

s s= + = +

(3.17a)

und fr die Normalbeschleunigung

aVr

Vtn

s n= +

(3.17b)

wobei der erste Term auf der rechten Seite die Zentripetalbeschleunigung entlang der ge-krmmten Stromlinie darstellt. Im stationren Fall, /t = 0, ergeben sich

a VVs

Vst s

s s= =

12

2

(3.18a)

aV

rns

=

2

(3.18b)

3.5 Allgemeine Transportgleichung

Zur Beschreibung der Eigenschaften des strmenden Fluides als bewegtes Massensystem wird der Begriff des Kontrollvolumens eingefhrt. Das Kontrollvolumen (K.V.) ist ein rum-lich definierter Bereich (sh. Abb. 3.14), der durchstrmt wird. Es wird durch die Kontroll-oberflche (K.O.) begrenzt.

s = Distanz (Koordinate ent-lang der Stromlinie

n = Koordinate normal zur Stromlinline

r = Radius der Schmiegebenean = Normalbeschleunigung at = Tangentialbeschleunigung

45

Abb. 3.14: Kontrollvolumen und Kontrolloberflche im Geschwindigkeitsfeld rV

Zur Zeit t wird das Kontrollvolumen von einem Massensystem eingenommen, das verschie-dene Systemeigenschaften beinhalten kann, so wie in Tabelle 3.1 aufgezeigt ist.

Generelle Fluideigenschaft

Extensive Gre

Intensive Gre

= FluideigenschaftVolumeneinheit

Masse

M

Impuls

rI

rV

Energie

E

e

Tracermasse

Mc

c

Tabelle 3.1: Beispiele extensiver und intensiver Gren

Bei praktischen Anwendungen wird das K.V. oft so gewhlt da es einer Stromrhre ent-spricht (sh. Abb. 3.15). In dem Falle ist die K.O. durch zwei Typen von Berandungen be-grenzt: Berandungen, die nicht durchstrmt werden, also den Stromlinien entsprechen. Meist

sind solche Rnder tatschliche physische Begrenzungen (z.B. die Rohrwnde in Abb. 3.15), und

Berandungen, die normal durchstrmt werden (z.B. die Durchfluflchen A1 und A2 in

den Querschnitten c und d in Abb. 3.15).

46

Abb. 3.15: Stromrhre als Kontrollvolumen im Falle einer Rohrstrmung

Im folgenden wird das Verhalten des sich verformenden Massensystems bei Durchstrmen des K.V. (im vereinfachten Fall d