HSG_Mathe2_Ordner

UNISEMINAR

Sem

inar

Theorie

Aufgaben

Übu

ngen

Prüfung

enExtras

Einleitung

Mathematik II

Assessment

St.Gallen, Februar 2013

Einleitung uniseminar.ch

Herzlich Willkommen bei Uniseminar

Vorwort

Ziel von Uniseminar ist es, Dich optimal auf Deine Prüfungen vorzubereiten und Deine Prü-

fungsvorbereitung an der HSG so e�zient wie möglich zu gestalten. Um dieses Ziel zu erreichen,

haben wir ein dreiteiliges Konzept entwickelt, das sich nun mehrere Jahre als grosse Hilfe für

die Studenten bewährt hat. Dieses besteht zum einen aus sehr umfangreichen Lernunterla-

gen in Form eines Ordners, perfekt darauf abgestimmten Karteikarten und dazu passenden

Prüfungsvorbereitungsseminaren am Ende des Semesters. Damit werden sämtliche Inhalte aus

den Vorlesungen und Übungen in einfacher und anschaulicher Form kompakt zusammengefasst.

Gleich zu Beginn des Semesters bieten wir Dir deshalb unsere umfangreichen Lernunterlagen

in Form eines Ordners und perfekt darauf abgestimmten Karteikarten an. Diese beiden Lehr-

mittel solltest Du im Selbststudium bereits während des Semesters begleitend zur Vorlesung

verwenden.

Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir zur gezielten Prüfungsvorbereitung unsere Seminare

zu besuchen, wo wir Dir in acht Stunden nochmals die essentiellsten Aufgaben und Konzepte

näherbringen und Dich so optimal auf Deine Prüfungen vorbereiten. Dieser dreiteilige Ansatz

ermöglicht Dir mit einer ausgewogenen Mischung verschiedener auf einander abgestimmter Me-

dien Deinen Lernerfolg nachhaltig zu verbessern.

-1-


Über uns

Uniseminar ist vor 6 Jahren von zwei HSG Studenten und zwei Doktoranden der ETH gegrün-

det worden, um die Prüfungsvorbereitung einfacher, e�zienter und verständlicher zu gestalten.

Seit 2005 sind wir nun an der Universität St.Gallen aktiv und wissen aus eigener Erfahrung wie

anspruchsvoll das Assessmentjahr sein kann.

Das Team von Uniseminar ist über die Jahre stark gewachsen und besteht mittlerweile unter

anderem aus zahlreichen Mathematikern der ETH, Statistikern der University of Cambridge,

Betriebsökonomen der HSG, Volkswirtschaftern der Universität Zürich als auch der London

School of Economics (LSE), die allesamt grosse didaktische und fachspezi�sche Erfahrung mit

sich bringen. Alle Dozenten von Uniseminar haben an diversen europäischen, als auch amerika-

nischen Universitäten langjährige Unterrichtserfahrung in ihrem Fach gesammelt und können

Dich deshalb in den Seminaren optimal bei Deiner Prüfungsvorbereitung unterstützen.

Die Macher von Uniseminar haben alle vor kurzem selbst noch studiert und wissen deshalb

über das Studentenleben und die Prüfungsvorbereitung bestens Bescheid. Zudem haben wir

alle grosse Freude am unterrichten und wollen Dir auf angenehme Weise die teilweise etwas

komplizierte und trockene Materie so näher bringen, dass Lernen auf einmal Spass macht!

Unterlagen

Sämtliche Unterlagen von Uniseminar werden ausschliesslich von quali�zierten Doktoranden

erstellt, die selbst im jeweiligen Fachgebiet doktorieren und damit über grosse Erfahrung und

Expertise verfügen. Dadurch kann eine hohe didaktische Qualität der Skripte garantiert werden.

Alle unsere Unterlagen werden zudem jedes Semester in enger Zusammenarbeit mit Studie-

renden überarbeitet, die zur Zeit die Vorlesung an der HSG vor Ort besuchen. Damit können

wir Dir garantieren, dass Dir stets der aktuellste Sto� in unseren Unterlagen und Seminaren

vorgelegt wird! Es wird dabei genau auf diejenigen Schwerpunkte eingegangen, welche den Prio-

ritäten der Professoren entsprechen. Das vorliegende Mathematik II Skript ist deshalb optimal

auf die Vorlesungen und Übungen abgestimmt und enthält alle prüfungsrelevanten Materialien

für Deine Prüfung an der HSG.

Ebenfalls ist es seit jeher unser hartnäckig verfolgtes Ziel alle unsere Unterlagen laufend zu

verbessern und perfekt an den relevanten Prüfungssto� anzupassen. Damit ist Dir eine optimale

Klausurvorbereitung garantiert! Die Aktualität der Unterlagen ist uns ein grosses Anliegen: Wir

wollen, dass Du genau das lernst, und wirklich nur das, was an den Prüfungen schliesslich auch

dran kommt. Weder zu viel noch zu wenig!

-2-


Karteikarten

Die Karteikarten von Uniseminar decken in Kombination mit unserem Ordner den gesamten

prüfungsrelevanten Sto� ab und helfen Dir Dein theoretisches wie auch praktisches Wissen der

wichtigsten Themen, Begri�e und Zusammenhänge in Mathematik II prüfungsorientiert zu un-

terstützen. Um dies zu gewährleisten, haben wir eine Vielfalt von Fragentypen entwickelt, die

Dein inhaltliches Verständnis umfassend abrunden und verbessern.

Die Karteikarten enthalten zum einen die wichtigsten De�nitionen, Vorgehensweisen und For-

meln. Zum anderen haben wir Dir aber auch relevante Verständnisfragen und kurze Rechen-

aufgaben erstellt um Dein erlerntes Wissen selbstständig und umfassend abzufragen. Denn an

der Prüfung musst Du nicht nur wichtige Formeln auswendig können, sondern die Thematik

umfassend verstehen. Formeln, die an der Prüfung ausgeteilt werden, sind deshalb in den Kar-

teikarten konsequenterweise nicht enthalten.

Ziel ist es folglich, den kompletten `prüfungsrelevanten' Lehrsto� in Mathematik II auf möglichst

kompakte Art und Weise auf Karteikarten zusammenzufassen, sodass Du Dich in kurzer Zeit

e�zient auf die Prüfungen vorbereiten kannst. Lerne also gleichzeitig mit dem Ordner und den

Karteikarten von Uniseminar um optimal auf die Prüfungen vorbereitet zu sein.

Seminare

Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Alle

Dozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen Universitäten und wissen

deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten können.

Oberstes Ziel unserer Seminare ist es den prüfungsrelevanten Sto� anschaulich und verständlich

in zwei vierstündigen Seminarblöcken zu vermitteln. Zuerst werden die wichtigsten mathema-

tischen Grundlagen und Themen der Vorlesung besprochen, um danach auf die häu�gst auftre-

tenden Aufgabentypen einzugehen und geeignete Vorgehensweisen an der Prüfung zu erklären.

Während den Seminaren werden zu 30% theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und Grund-

kenntnisse erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu bearbeiten

und e�ziente Prüfungsstrategien zu besprechen. Es wird somit in den Seminaren zuerst ein

theoretisches Fundament gelegt, da grundlegende theoretische Kenntnisse beim Lösen von Prü-

fungsaufgaben von grosser Bedeutung sind.

Es ist also unser Ziel nicht nur den prüfungsrelevanten Sto� anschaulich zu erklären, sondern

auch theoretische Kenntnisse zu vermitteln, die nötig sind, um fachliche Zusammenhänge auch

wirklich zu verstehen. Theoretische Zusammenhänge erscheinen auf den ersten Blick komplex,

-3-


dennoch sind sie bis zu einem gewissen Grade nötig um Prüfungsaufgaben selbstständig zu

lösen. Wir sehen es als unsere Aufgabe Dir den nötigen Grad an theoretischem Wissen auf

möglichst einfache und kompakte Weise aufzuzeigen und Dir anzueignen. Mit dem richtigen

Mass an Theorie wird Dir das Lösen der Prüfungsaufgaben viel leichter fallen!

In unseren Seminaren erlernst du somit einfache theoretische Grundkenntnisse, um spezi�sche

Aufgabentypen zu lösen, die an der Prüfung mit grosser Wahrscheinlichkeit erscheinen werden.

-4-


Aufbau

Dieser Ordner soll Dir als Lernhilfe zur e�zienten Prüfungsvorbereitung der Mathematikprü-

fungen dienen und umfasst 5 Teile. Wir möchten Dir im Folgenden einen Überblick über den

Aufbau des Ordners geben.

1. Theorie: Das Theorieskript fasst in einfacher und übersichtlicher Form den gesamten

Sto� des 1. Semesters 2010/2011 zusammen und erklärt diesen anhand anschaulicher

Beispiele. Am Ende �ndest Du ein Stichwortverzeichnis, welches Dir bei allfälligen Fra-

gen schnellstmöglichst Zugri� auf das erforderliche Wissen verscha�t. Das Theorieskript

umfasst 5 Kapitel, die im Seminar der Reihe nach bearbeitet werden.

2. Aufgaben: Zu allen Kapiteln in unserem Theorieskript haben wir abgestimmte Übungs-

aufgaben erstellt. Wir empfehlen Dir diese Aufgaben gleich nach den erfolgten Seminar-

blöcken zu lösen, um anschliessend Fragen an unsere Dozenten stellen zu können. Diese

sind gerne während den Pausen und auch nach den o�ziellen Seminarstunden für Dich

da, um Dir bei Deinen persönlichen Problembereichen weiterzuhelfen.

3. Übungen: In den vergangenen Jahren hat es sich gezeigt, dass die Übungsserien der Uni-

versität St.Gallen (HSG) zunehmend wichtiger für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung

geworden sind. Die Mathematik Professoren haben die aktuellsten Prüfungsaufgaben ver-

mehrt unter Berücksichtigung der Serien konzipiert. Der Grund dafür liegt darin, dass die

Anwesenheit der Studenten während der Übungen sich lohnen und auszahlen soll. Aus

diesem Grund haben wir Dir sämtliche Aufgaben, alle Zusatzaufgaben und alle Ergän-

zungsaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt.

4. Prüfungen: Beginne früh damit bisherige Prüfungen zu lösen, denn nur so gewinnst Du

das nötige Verständnis für deren Aufbau. Du wirst erkennen, was für die Prüfung relevant

ist und kannst Dich gezielt darauf vorbereiten. Dazu haben wir Dir alle verfügbaren

Assessment-Prüfungen mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt.

5. Extras: Hier �ndest du die aktuellste Formelsammlung. Schau Dir die Formelsammlung

gut an und merke Dir die wichtigsten Formeln! Gewisse Formeln werden an der Prüfung

nämlich �als bekannt vorausgesetzt� und andere werden Dir an der Prüfung ausgeteilt.

Keine Angst, Du musst nicht viel auswendig lernen.

-5-


Vorgehensweise

Wir empfehlen Dir mit dem Ordner und den Karteikarten wie folgt schrittweise vorzugehen um

einen perfekten Lernerfolg zu erzielen:

1. Theorie: Lies als erstes ein Theoriekapitel aufmerksam durch und versuche die theoreti-

schen Inhalte zu verstehen.

2. Prüfungen: Mit Deinem aktuellen theoretischen Wissensstand kannst Du nun ideal aus-

gewählte Prüfungsaufgaben lösen. So siehst Du gleich was Dich an der Prüfung erwartet

und kannst Dich bereits jetzt perfekt darauf einstellen. Dazu haben wir Dir am Ende von

jedem Theoriekapitel einige ausgewählte Prüfungsaufgaben zusammengestellt, die sich auf

das soeben behandelte Thema beziehen.

3. Karteikarten: Schaue Dir anschliessend die passenden Karteikarten an, welche wir Dir

am Ende des Theoriekapitels empfehlen und versuche die wichtigsten Punkte zu memo-

rieren. Die Karteikarten runden Dein bereits erlerntes Wissen perfekt ab und zeigen Dir

auf, wo du allenfalls noch Schwächen hast.

4. Aufgaben: Löse nun einige oder am besten alle unsere eigens erstellten Aufgaben passend

zum soeben gelesenen Theoriekapitel komplett durch. Diese umfassen exakt den in diesem

Theoriekapitel erlernten Sto�. So siehst Du gleich, an welchen Stellen Du allenfalls ein

Theoriekapitel nochmals gründlicher durchlesen solltest.

5. Mache eine Pause und beginne danach wieder mit einem weiteren Theoriekapitel.

-6-

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Seminar

Mathematik II

Assessment


Seminar uniseminar.ch

Ziel und Inhalt

Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir unsere gezielten Prüfungsvorbereitungsseminare zu

besuchen. In zwei vierstündigen Seminarblöcken zeigen wir Dir dabei welche Themen für das

erfolgreiche Bestehen Deiner Prüfung essentiell sind und erarbeiten mit Dir gemeinsam e�zi-

ente Strategien um die spezi�schen Aufgabentypen gezielt anzugehen. Dabei wird Dir nur das

Allerwichtigste an Theorie kurz und prägnant erklärt und repetiert. Der Fokus des Seminars

liegt im Lösen alter Prüfungsaufgaben wobei wir Dir mit strukturierten Vorgehensweisen einen

zielgerichteten Ansatz aufzeigen, wie Du die Prüfung optimal lösen kannst.

Während dem Seminar werden deshalb zu 30% Grundkenntnisse und theoretische Vorlesungs-

inhalte behandelt und erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu

bearbeiten und e�ziente Prüfungsstrategien zu besprechen.

Unsere erfahrenen Dozenten zeigen Dir auch wichtige Tipps und Tricks um Deine Prüfungs-

chancen zu optimieren. In den Pausen und nach Seminarende hast Du zudem die Möglichkeit,

den Dozenten individuelle Fragen zu stellen, um letzte Unklarheiten zu klären.

Unterlagen

Die Seminarunterlagen werden entweder auf unserer Homepage www.uniseminar.ch unter �Mein

Account� online bereitgestellt oder im Seminar vor Ort ausgeteilt. Sobald Du Dich für das

Seminar angemeldet hast, wirst Du rechtzeitig informiert, wenn die Unterlagen für Dich zur

Verfügung stehen.

Seminarleitung

Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Al-

le Dozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen schweizerischen und

europäischen Universitäten und wissen deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studie-

renden auftreten können. Weitere Infos zu Deinem persönlichen Seminarleiter und zu unseren

Dozenten im Allgemeinen �ndest Du auf unserer Webseite www.uniseminar.ch in der Rubrik

�Über uns�.

Anmeldung

Unter www.uniseminar.ch kannst Du Dich jederzeit für die Seminare anmelden.

Notizen uniseminar.ch

Theorie

Aufgaben

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Theorie

Mathematik II

Assessment


Inhaltsverzeichnis

1 Di�erentialrechnung 11.1 Extrema von Funktionen zweier Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Extrema von Funktionen mehrerer Variablen mit Nebenbedingungen . . . . . . . 41.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Homogene Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Di�erenzengleichungen 162.1 De�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Lösungsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Lösungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Integralrechnung 253.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Dichtefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Matrizen-Algebra 374.1 Matrizen, Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Operationen mit Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Lineare Gleichungssysteme 555.1 Spezialfall: reguläre, quadratische Matrix (Cramer'sche Regel) . . . . . . . . . . 565.2 Allgemeiner Fall (Gauss'scher Algorithmus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4 Bestimmung der Inversen A−1 einer Matrix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.5 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.6 Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.7 Eigenwerte, Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Stichwortverzeichnis 89

Theorie: Di�erentialrechnung uniseminar.ch

1 Di�erentialrechnung

1.1 Extrema von Funktionen zweier Variablen

Im letzten Semester wurden die partiellen Ableitungen von Funktionen in mehreren Variablen

eingeführt. Ein Beispiel zur Erinnerung.

Beispiel.

Gegeben sei die Funktion f(x, y) = x2 + y2 + xy + x− y. Die ersten Ableitungen von f nach x

und y sind:

fx = 2x+ y + 1 (y als konstant betrachten)

fy = 2y + x− 1 (x als konstant betrachten)

Die zweiten Ableitungen sind:

fxx = 2, fyy = 2, fxy = fyx = 1

Wir haben im letzten Semester gesehen, dass man mit Hilfe der Ableitung die Extrema einer

Funktion berechnen kann.

f ′(x0) = 0 ⇒ x0 ist Maximum, Minimum oder Wendestelle der Funktion f(x).

Ganz ähnlich funktioniert dies bei Funktionen in mehreren Variablen.

Wir betrachten folgende Abbildungen:

−5.0−2.5

−50

5.0

x

−40

−30

2.5

−20

−10

0.00.0

0

−2.5

y

−5.0 2.55.0

−5.0

5.0

−2.5

2.5

x

0.0

00.0

10

−2.5

20

30

−5.0

2.5

40

50

5.0

3

−3 2

−7.5

x

−2 1

−5.0

−1

−2.500

0.0

2.5

1−1

5.0

y

2

7.5

−2 3−3

Man sieht, dass sowohl in einem Maximum als auch in einem Minimum die Tangentialebene

horizontal verläuft. Das heisst aber, dass die Steigung sowohl in Richtung x als auch in Richtung

y Null ist. Das liefert die für ein Extremum

Notwendigen Bedingungen:fx = 0

fy = 0

-1-


Eine Stelle, an der das erfüllt ist, nennt man kritische Stelle, da es ein Kandidat für ein Extre-

mum (Maximum oder Minimum) ist. Die Bedingung reicht alleine nicht aus, da sie auch von

einem Sattelpunkt erfüllt wird. Man betrachtet zusätzlich die

Hinreichenden Bedingungen:

für Maximum : fxx < 0, fyy < 0, fxx · fyy − f 2xy > 0

für Minimum : fxx > 0, fyy > 0, fxx · fyy − f 2xy > 0

für Sattelpunkt : fxx · fyy − f 2xy < 0

Diese wird im Folgenden an Beispielen illustriert.

Beispiel.

• Gegeben sei die Funktion f(x, y) = x2 + y2 + xy + x− y vom letzten Beispiel.

Notwendige Bedingungen: fx = 2x+ y + 1 = 0 und fy = 2y + x− 1 = 0

⇒ x = 1− 2y

⇒ 0 = 2(1− 2y) + y + 1 = 2− 4y + y + 1

⇒ y = 1 ⇒ x = −1

Kritische Stelle bei (−1, 1). Hinreichende Bedingung an dieser Stelle:

fxx = 2 ⇒ fxx(−1, 1) > 0,

fyy = 2 ⇒ fyy(−1, 1) > 0,(fxx · fyy − f 2

xy

)= 4− 12 = 3 ⇒

(fxx · fyy − f 2

xy

)(−1, 1) > 0

Es handelt sich hier also um ein Minimum bei (−1, 1):

−5.0−5.0

x

−2.5

y

−2.50

0.00.0

20

40

60

2.52.5 5.05.0

-2-


1.5 Zusammenfassung

• Bei der Untersuchung von Funktionen zweier Variblen interessiert in der Ökonomie häu-

�g die Lage der Extremstellen, also des Minimums bzw. des Maximums der Funktion.

Damit eine Extremstelle in einem Punkt (a, b) vorliegt, müssen stets die partiellen Ab-

leitungen der Funktion in diesem Punkt verschwinden. Man hat also die notwendigen

Bedingungen:

fx(x0, y0) = 0

fy(x0, y0) = 0.

Um festzustellen, ob in (a, b) ein Minimum, ein Maximum oder ein Sattelpunkt vorliegt,

müssen zusätzlich zu den notwendigen Bedingungen noch die hinreichenden Bedin-

gungen überprüft werden:

für Maximum : fxx(x0, y0) < 0, fyy(x0, y0) < 0, fxx(x0, y0) · fyy(x0, y0)− fxy(x0, y0)2 > 0

für Minimum : fxx(x0, y0) > 0, fyy(x0, y0) > 0, fxx(x0, y0) · fyy(x0, y0)− fxy(x0, y0)2 > 0

für Sattelpunkt : fxx(x0, y0) · fyy(x0, y0)− fxy(x0, y0)2 < 0

• Soll eine Funktion f(x, y), welche von mehreren Variablen abhängt unter einer Nebenbe-

dingung φ(x, y) = 0 optimiert werden, so kommen prinzipiell zwei Methoden in Frage:

1. Lässt sich φ(x, y) nach einer der beiden Variablen x oder y au�ösen, so kann das

Problem mittels der Reduktionsmethode gelöst werden:

Schritt 1: φ(x, y) = 0 nach x (bzw. y) au�ösen

Schritt 2: x (bzw. y) in f(x, y) einsetzen

neue Funktion F (y) (bzw. F (x)) in einer Variablen

Schritt 3: Extrema von F (y) (bzw. F (x)) bestimmen (wie gewohnt)

2. Allgemein lässt sich das Problem immer mit Hilfe der Methode der Lagrange-

Multiplikatoren lösen. Man führt einen weiteren Parameter λ (den Lagrange-

Multiplikator) ein und bestimmt das Extremum der Lagrange-Funktion

F (x, y, λ) = f(x, y) + λ · φ(x, y)

-13-


Die notwendige Bedingung hierbei ist erneut, dass alle ersten partiellen Ablei-

tungen Null sind:

Fx = 0, Fy = 0, Fλ = 0

Um zu entscheiden, ob ein Minimum oder ein Maximum der Funktion unter der Ne-

benbedingung gefunden wurde, muss zudem die hinreichende Bedingung über-

prüft werden:

2φxφyFxy − Fxxφ2y − Fyyφ

2x

> 0 für Maximum

< 0 für Minimum

• Ist f eine Funktion in zwei Variablen x und y, so ist der Gradient von f de�niert als

der Vektor der ersten partiellen Ableitungen von f:

gradf(x, y) =

(fx(x, y)

fy(x, y)

)=

(∂f∂x∂f∂y

).

In jedem Punkt gibt der Gradient die Richtung an, in welcher die Funktion am steilsten

ansteigt. Der Gradient von f steht ausserdem stets senkrecht zu den Niveaulinien der

Funktion f .

• Eine Funktion f(x, y) heisst homogen vom Grad k, wenn für alle t ∈ R gilt:

f(t · x, t · y) = tk · f(x, y) .

-14-


Arbeitsanweisungen:

1. Mit Deinem aktuellen Wissensstand kannst Du nun ideal die folgenden Prüfungsaufga-

ben lösen. So siehst Du gleich was Dich an der Prüfung erwartet und kannst Dich bereits

jetzt perfekt darauf einstellen. Dazu haben wir Dir einige ausgewählte Prüfungsaufga-

ben zusammengestellt, die sich auf das soeben behandelte Thema beziehen. Die neusten

Prüfungen haben wir dabei bewusst ausgelassen, da Du diese optimalerweise als ganze

Prüfungen am Stück zur Vorbereitung nutzen sollst.

a) Prüfung 2002, Aufgabe 1a), b) und d), Seite 1

b) Prüfung 2003, Aufgabe 1a) � d) und 2c), Seiten 15-16

c) Prüfung 2004, Aufgabe 1 und 4b), Seiten 32-33

d) Prüfung 2005, Aufgabe 1 und 2c), Seiten 44-45

e) Prüfung 2006, Aufgabe 1a), b) und 2c), Seiten 55-56

2. Schaue Dir nun die Karteikarten 14 - 32 an und versuche die wichtigsten Punkte zu

memorieren. Die Karteikarten runden Dein bereits erlerntes Wissen perfekt ab und zeigen

Dir auf, wo du allenfalls noch Schwächen hast.

3. Löse die Aufgaben aus dem Aufgabenskript zum Kapitel 1 - Di�erentialrechnung kom-

plett.

-15-

Theorie: Matrizen-Algebra uniseminar.ch

4 Matrizen-Algebra

4.1 Matrizen, Vektoren

Nehmen wir an, eine Bäckerei bietet 3 verschiedene Kuchen an: Zitronencake, Schoggikuchen

und Rüeblitorte. Für jeden Kuchen wird eine gewisse Menge Eier, Mehl und Zucker benötigt.

Zitronencake Schoggikuchen Rüeblitorte

Eier 4 2 5

Mehl 200 250 70

Zucker 160 180 200

Solche Tabellen können kompakter geschrieben werden als

B =

4 2 5

200 250 70

160 180 200

.

Ein solches Gebilde nennen wir eine Matrix.

Allgemein: Eine Matrix A (MehrzahlMatrizen) ist eine Anordnung von Zahlen in Tabellenform.

Seien aij beliebige Zahlen, dann ist die folgende Matrix A eine allgemeine Matrix:

A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1m

a21 a22 · · · a2j · · · a2m...

......

...

ai1 ai2 · · · aij · · · aim...

......

...

an1 an2 · · · anj · · · anm

n Zeilen und dim(A) = n×m

︸︷︷︸m Spalten

Mit aij bezeichnet man den Eintrag in der i�ten Zeile und der j�ten Spalte. In unserem kon-

kreten Beispiel gilt also

b11 = 4, b13 = 5, b32 = 180.

-37-

Theorie: Matrizen-Algebra uniseminar.ch

Gleichheit:

Zwei Matrizen A und B sind gleich, das heisst A = B, falls die Einträge gleich sind. Also

A = B falls aij = bij für alle i und j.

Beispiel.

Ist A =

(a11 a12

a21 a22

)und B =

(2 4

3 8

), dann gilt A = B falls

a11 = 2, a12 = 4, a21 = 3 und a22 = 8.

Vektoren:

Ein Spaltenvektor ist eine n× 1 Matrix (das heisst nur eine Spalte)

v =

v1

v2...

vn

respektive w =

4

6

5

und ein Zeilenvektor eine 1× n Matrix (das heisst nur eine Zeile)

vT =(

v1 v2 . . . vn

)respektive wT =

(4 6 5

).

Das �hoch T � steht für Transponiert (siehe auch Kapitel 4.5).

Ein Vektor auf zwei verschiedene Arten aufgefasst.

-38-

Theorie: Lineare Gleichungssysteme uniseminar.ch

5.2 Allgemeiner Fall (Gauss'scher Algorithmus)

Im allgemeinen Fall wenden wir den Gauss'schen Algorithmus an, um das Gleichungssystem

A · x = b zu lösen.

Sei A eine m× n�Matrix sowie x und b zwei n�dimensionale Spaltenvektoren. Wir betrachten

folgendes allgemeines Gleichungssystem in Matrizenform:

A · x = b respektive

a11 · · · a1n...

...

am1 · · · amn

·x1

...

xn

=

b1...

bn

Wir müssen uns zuerst überlegen, dass ein solches System entweder

• keine Lösung

• genau eine Lösung oder

• unendlich viele Lösungen

haben kann, und wann welcher Fall eintritt.

Wir betrachten die Gleichung 2 · x1 + 6 · x2 + 6 · x3 = 4. Sie beschreibt eine Ebene im R3.

0.00

0.0

1

0.50.5

2

y

3

1.01.0

4

x

1.51.52.0

2.5

Wenn wir nun mehrere Gleichungen haben, sind das mehrere Ebenen im R3, welche sich schnei-

den können, oder auch nicht. Angenommen, wir haben 3 Ebenen, dann gibt es 3 Fälle:

-59-

Theorie: Lineare Gleichungssysteme uniseminar.ch

Ebene 1

Ebene 2

Ebene 3

Die 3 Ebenen scheiden sich in einem Punkt.

Ebene 3

Ebene 2Ebene 1

Ebene 3

Ebene 1

Ebene 2

Die 3 Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt.

Ebene 2

Ebene 3

Ebene 1

Die Ebenen scheiden sich in einer Gerade.

Entsprechend gibt es 3 Möglichkeiten, wie viele Lösungen das Gleichungssystem haben kann:

• keine Lösungen (die Ebenen schneiden sich nicht)

• genau eine Lösung (sie schneiden sich in genau einem Punkt)

• unendlich viele Lösungen (sie schneiden sich entlang einer Gerade)

Der Gauss'sche Algorithmus gibt uns an, welcher Fall eintritt (siehe Gauss'scher Algorithmus,

Schritt 2).

-60-

Aufgaben

Übu

ngen

Prüfung

enExtras

A

Aufgaben

Mathematik II

Assessment


Inhaltsverzeichnis

1 Di�erentialrechnung 1Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Di�erenzengleichungen 9Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Integration 13Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Matrizen-Algebra 20Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Lineare Gleichungssysteme 27Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Aufgaben: Aufgabenstellung uniseminar.ch

1. Di�erentialrechnung

1. Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der folgenden Funktion:

f(x, y) = 3x cos(y) + ln(x)√y − 3x+

5x

y

2. Finden Sie alle kritischen Punkte folgender Funktionen (ohne Untersuchung auf Extre-malstellen):

(a) f(x, y) = 2ex + ey

(b) f(x, y) = (x2 + 2y2)e−(x2+y2)

3. Der De�nitionsbereich von f ist durch x, y > 0 gegeben. Finden Sie alle kritischen Punkteund untersuchen Sie diese im Bezug auf Extrema.

f(x, y) = x2 + y2 +1

x2y2

4. Geben sei die Funktionf(x, y) := exy + x2 + cy2

mit c > 0.a) Zeigen Sie, dass f bei (0, 0) einen kritischen Punkt besitzt.b) Untersuchen Sie die Fälle c = 1/4 und 0 < c < 1/4 getrennt auf Extrema in (0,0).

5. Optimieren Sie die Funktion f(x, y) = x2 + y2 + 3 unter der Nebenbedingung x + y =5, indem Sie Kandidaten für Extremalstellen �nden. Diskutieren Sie, ob wirklich eineExtremalstelle vorliegt.

6. Finden Sie sämtliche Kandidaten für Extremalstellen der Funktion f(x, y) = 2xy unterder Nebenbedingung x2 + y2 = 2. Eine Diskussion, ob eine Extremalstelle vorliegt, istnicht verlangt.

7. Finden Sie sämtliche Kandidaten für Extremalstellen der Funktion f(x, y) = ln(x) +ln(y), x, y > 0 unter der Nebenbedingung 4x2 + y2 − 32 = 0. Eine Diskussion, ob eineExtremalstelle vorliegt, ist nicht verlangt.

8. Sei f(x, y) = ln(x)y − xy2 + cx.

(a) In welche Richtung steigt im Punkt P = (1, 2) die Funktion f(x, y) am stärkstenan? Wie sieht es allgemein in einem Punkt P = (x, y) aus?

(b) Wie muss der Parameter c gewählt werden, damit die Funktion f(x, y) an der Stelle

P = (1, 2) am stärksten in der Richtung u =

(1−1

)zunimmt?

-1-

Aufgaben: Musterlösung uniseminar.ch

1. Di�erentialrechnung

1. Die partiellen Ableitungen sind:

fx = 3 cos(y) +

√y

x− 3 +

5

y

fy = −3x sin(y) + ln(x)

2√y− 5xy−2

fxx = −x−2√y

fyy = −3x cos(y)− 1

4ln(x)y−

32 + 10xy−3

fxy = fyx = −3 sin(y) + 1

2x√y− 5y−2

2. a) Finde alle Punkte mit fx(x, y) = fy(x, y) = 0:

fx(x, y) = 2ex

fy(x, y) = ey

Beide Funktionen erreichen nie den Wert 0. Es gibt also keine kritischen Punkte.

b) Um die kritischen Punkte ablesen zu können, muss der abgeleitete Term möglichst aus

Faktoren bestehen und nicht ausmultipliziert sein.

fx(x, y) = (−2x)(x2 + 2y2 − 1)e−x2−y2

fy(x, y) = (−2y)(x2 + 2y2 − 2)e−x2−y2

Die obere Gleichung ist gleich Null, wenn entweder x = 0 oder x2 = −2y2 + 1.

Die untere Gleichung ist gleich Null, wenn entweder y = 0 oder y2 = (1/2)(−x2 + 2).

Falls oben x = 0, muss unten y = 0, y = 1 oder y = −1 sein.

Falls unten y = 0, muss oben x = 0, x = 1 oder x = −1 sein.

Es gibt keinen Punkt (x, y), in dem die beiden Gleichungen x2 = −2y2 + 1 und

y2 = (1/2)(−x2 + 2) erfüllt sind. Durch Einsetzen der zweiten in die erste Gleichung wird

dies o�ensichtlich:

x2 = −2 · (1/2)(−x2 + 2) + 1 = x2 − 2 ⇒ 0 = −2.

Die kritischen Punkte sind

(0, 0), (0, 1), (0,−1), (1, 0), (−1, 0).

-9-

Aufgaben: Musterlösung uniseminar.ch

3. a) Partielle Ableitungen berechnen:

fx = 2x− 2

x3y2

fy = 2y − 2

x2y3

fxx = 2 +6

x4y2

fxy = fyx =4

x3y3

fyy = 2 +6

x2y4

Notwendige Bedingungen:

fx = 2x− 2

x3y2= 0

fy = 2y − 2

x2y3= 0

Obere Gleichung nach x au�ösen bringt

x2 = ±1

y

Das setzt man in die untere Gleichung ein und �ndet als notwendige Bedingung:

y ± 1

y2= 0

Wegen dem De�nitionsbereich von f muss y = 1 sein. Weil auch x positiv sein muss, ist

x = 1 die einzige Möglichkeit. Also ist (1, 1) der einzige (zugelassene) kritische Punkt von

f .

Hinreichende Bedingung:

fxx(1, 1) = 8 > 0

fyy(1, 1) = 8 > 0

fxy(1, 1) = 4

fxx(1, 1) · fyy(1, 1)− f 2xy(1, 1) = 48 > 0.

Damit besitzt f in (1, 1) ein Minimum.

-10-

Übu

ngen

Prüfung

enExtras

Ü

Übungen

Mathematik II

Assessment


Inhaltsverzeichnis

Serie 1 1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lösungen: Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Lösungen: Zusatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Serie 2 18

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18



Serie 3 33

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33



Serie 4 50

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50



Serie 5 71

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71



Serie 6 93

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93



Multiple Choice 109

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Aufgabenstellungen zur Serie 1: Aufgaben uniseminar.ch

Aufgabenstellungen

Serie 1

Aufgaben

A1) Untersuchen Sie f(x, y) = x3 + y3 − 3xy auf Sattelpunkte und Extrema.

A2) Zeigen Sie, dass die Gewinnfunktion G(K,L) = K0.25L0.5 − 0.25K − 0.5L in (K0, L0) =

(1, 1) ein relatives Maximum annimmt.

A3) Untersuchen Sie die Funktion f(x, y) = x3 + 4x2 − 3x − 8xy + 4y2 auf lokale Extrema

und Sattelpunkte.

A4) Gegeben sei eine Produktionsfunktion P vom Typ Cobb-Douglas:

P (x, y) = 10x0.25y0.75 wobei x: Kapital, y: Arbeit.

a) Die Preise pro Einheit Kapital und Arbeit sind px = 2 und py = 6. Für welche Faktor-

kombinationen (x, y) werden die Kosten K(x, y) minimal, falls 80 Einheiten produziert werden

sollen?

b) Es soll eine möglichst grosse Menge P produziert werden, wobei für die Gesamtkosten

K(x, y) Fr. 1'000.- zur Verfügung stehen.

-1-


A5) Ein Konsument mit der Nutzenfunktion u(c1, c2) = c0.41 c0.62 muss die Budgetrestriktion

p1c1 + p2c2 − 10 = 0, p1 > 0 p2 > 0 einhalten.

Zeigen Sie, dass für den optimalen Konsumplan (c∗1, c∗2) gilt:

p1c∗1 = 4, p2c

∗2 = 6

A6) Gegeben sei das Optimierungsproblem:

Maximieren Sie f(x, y) = xy2 − 3ey, wobei x > 0 unter den Nebenbedingungen g(x, y) =

y − lnx = 0.

a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode die mögliche(n) Extremalstelle(n) (x∗, y∗)

des Optimierungsproblems.

b) Klären Sie mit Hilfe der Variablensubstitution (Au�ösen der Nebenbedingung nach ei-

ner der beiden Variablen) ab, ob in (x∗, y∗) ein lokales Maximum des Optimierungsproblems

vorliegt.

-2-

Aufgabenstellungen zur Serie 1: Zusatzaufgaben uniseminar.ch

Zusatzaufgaben

B1) Gegeben ist die Funktion f(x, y) = 3x2 − 6xy + y3 − 60x+ 60y − 700.

Untersuchen Sie diese Funktion auf lokale Extrema und Sattelpunkte.

B2) Gegeben sei das Optimierungsproblem:

Maximieren Sie: f(x, y) = ax+ by wobei a 6= 0, b 6= 0

unter der Nebenbedingung g(x, y) = x2 + y2 − 1 = 0

Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode die mögliche(n) Extremalstelle(n) (x∗, y∗) des

Optimierungsproblems.

-3-


Serie 6

Aufgaben

A1) Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix:

A =

(3 −10 1

)

A2)

a) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

A =

(1 0.2

0.4 0.8

)

b) Weisen Sie nach, dass

yt =

(yt1

yt2

)= 1.2t

(1′000

1′000

)t = 0, 1, 2 . . .

eine Lösung des dynamischen Systems yt+1 = Ayt, t = 0, 1, 2, . . . darstellt.

A3) Zeigen Sie, dass die Matrix

A =

(1 −12 3

)

keine reellen Eigenwerte besitzt.

-23-


A4) Gesucht ist die allgemeine Lösung der Di�erenzengleichung

a) yk+1 + 2yk = 2

b) 3yk = yk−1 + 6

A5) Welche Lösung der Di�erenzengleichung

2yk+1 + 3yk = 5

erfüllt die Anfangsbedingung y0 = 2

A6) Man diskutiere das Lösungsverhalten der folgenden Di�erenzengleichung in Abhängig-

keit von a.

ayt+1 = (1− a)yt + 1, a 6= 0, a 6= 1, a 6= 12

A7) Ein Preisanpassungsmodell postuliert die folgenden Zusammenhänge zwischen nachge-

fragter Menge Qdt, Angebot Qst und Preis Pt.

(i) Qdt = α− βPt (α, β > 0)

(ii) Qst = −γ + δPt (γ, δ > 0)

(ii) Pt+1 = Pt − σ(Qst −Qdt) (σ > 0)

Man leite eine Di�erenzengleichung für Pt her und löse sie

a) allgemein.

b) für α = 21, β = 2, γ = 3, δ = 6, σ = 0.3.

Im Fall b) untersuche man das asymptotische Verhalten von Pt.

-24-

Lösungen zur Serie 1: Aufgaben uniseminar.ch

Lösungen zur Serie 1

Aufgaben

A1) Untersuchen Sie f(x, y) = x3 + y3 − 3xy auf Sattelpunkte und Extrema.

Lösung:

Partielle Ableitungen berechnen:

fx(x, y) = 3x2 − 3y fy(x, y) = 3y2 − 3x

fxx(x, y) = 6x fyy(x, y) = 6y fxy(x, y) = −3

Notwendige Bedingungen:

fx(x, y) = 3x2 − 3y = 0

fy(x, y) = 3y2 − 3x = 0 ⇒ y2 = x

Zweite Gleichung in die Erste einsetzen: 3(y2)2 − 3y = 3y4 − 3y = 3y(y3 − 1) = 0 ⇒ y1 = 0,

y2 = 1 ⇒ x1 = y21 = 0, x2 = y22 = 1. Somit sind P1 = (0, 0), P2 = (1, 1) Kandidaten für

Extremalstellen resp. Sattelpunkte.

Hinreichende Bedingungen:

• Für P1:

fxx(0, 0) = 0 ; fyy(0, 0) = 0 ; fxy(0, 0) = −3

fxx(0, 0) = 0 ; fxx(0, 0) · fyy(0, 0)− (fxy(0, 0))2 = −9 < 0

⇒ P1 = (0, 0) Sattelpunkt.

-27-


• Für P2:

fxx(1, 1) = 6 ; fyy(1, 1) = 6 ; fxy(1, 1) = −3

fxx(1, 1) > 0 ; fyy(1, 1) > 0 ; fxx(1, 1) · fyy(1, 1)− (fxy(1, 1))2 = 27 > 0

⇒ P2 = (1, 1) relatives Minimum.

A2) Zeigen Sie, dass die Gewinnfunktion G(K,L) = K0.25L0.5 − 0.25K − 0.5L in (K0, L0) =

(1, 1) ein relatives Maximum annimmt.

Lösung:

Partielle Ableitungen berechnen:

GK(K,L) = 0.25K−0.75L0.5 − 0.25 ; GL(K,L) = 0.5K0.25L−0.5 − 0.5

GKK(K,L) = −0.1875K−1.75L0.5 ; GLL(K,L) = −0.25K0.25L−1.5

GKL(K,L) = 0.125K−0.75L−0.5

GK(1, 1) = 0.25 · 1−0.75 · 10.5 − 0.25 = 0

GL(1, 1) = 0.5 · 10.25 · 1−0.5 − 0.5 = 0

⇒ Notwendige Bedingungen für relatives Maximum in (K0, L0) = (1, 1) sind erfüllt.

GKK(1, 1) = −0.1875 · 1−1.75 · 10.5 = −0.1875 < 0

GLL(1, 1) = −0.25 · 10.25 · 1−1.5 = −0.25 < 0

GKL(1, 1) = 0.125 · 1−0.75 · 1−0.5 = 0.125

GKK(1, 1) ·GLL(1, 1)− (GKL(1, 1))2 = 0.03125 > 0

⇒ Hinreichende Bedingungen für relatives Maximum in (K0, L0) = (1, 1) sind erfüllt.

-28-


Lösungen zur Serie 6

Aufgaben

A1) Ermitteln Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix:

A =

(3 −10 1

)

Lösung:

Eigenwerte berechnen sich durch das Lösen der Gleichung det(A− λ I) = 0:

∣∣∣∣∣3− λ −10 1− λ

∣∣∣∣∣ = (3− λ) · (1− λ) = 0 ⇔ λ1 = 3, λ2 = 1.

• Eigenvektoren zum Eigenwert λ1 = 3:(0 −10 −2

)(x1

x2

)=

(0

0

)

⇒ x2 = 0 und x1 = t ∈ R frei wählbar ⇒ Eigenvektor t ·

(1

0

)

• Eigenvektoren zum Eigenwert λ2 = 1:(2 −10 0

)(x1

x2

)=

(0

0

)

⇒ x2 = t ∈ R frei wählbar und x1 = 12t ⇒ Eigenvektor t ·

(12

1

)resp. t ·

(1

2

)

-98-


A2)

a) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

A =

(1 0.2

0.4 0.8

)

Lösung:

∣∣∣∣∣1− λ 0.2

0.4 0.8− λ

∣∣∣∣∣ = (1− λ) · (0.8− λ)− 0.08 = λ2 − 1.8λ+ 0.72 = 0 ⇒ λ1 = 0.6, λ2 = 1.2.

• Eigenvektoren zum Eigenwert λ1 = 0.6:(0.4 0.2

0.4 0.2

)(x1

x2

)=

(0

0

).

⇒ x2 = t ∈ R freiwählbar und x1 = −0.5t ⇒ Eigenvektor ist t ·

(1

−2

).

• Eigenvektoren zum Eigenwert λ2 = 1.2:(−0.2 0.2

0.4 −0.4

)(x1

x2

)=

(0

0

).

⇒ x2 = t ∈ R frei wählbar und x1 = t ⇒ Eigenvektor ist t ·

(1

1

).

-99-

Prüfung

enExtras

P

Prüfungen

Mathematik II

Assessment


Inhaltsverzeichnis

Prüfung 2006 1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Prüfung 2007 14

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Prüfung 2008 38

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Prüfung 2009 60

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Prüfung 2010 86

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Nachholprüfung 2010 105

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Prüfung 2011 125

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Nachholprüfung 2011 149

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Prüfung 2012 172

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Test-Klausur 195

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Prüfung 2007: Lösungen uniseminar.ch

Lösungen

Aufgabe 1

a) Untersuchen Sie die Funktion f(x, y) = x2 − 2xy+ 2(y− 1)ey−2 auf Maxima, Minima und

Sattelpunkte.

Lösung: Notwendige Bedingungen für ein lokales Extremum bzw. für einen Sattelpunkt in

(x∗, y∗) sind die Folgenden:

fx(x∗, y∗) = 0 fy(x

∗, y∗) = 0.

Hinreichende Bedingungen für ein lokales Extremum bzw. für einen Sattelpunkt in (x∗, y∗) sind

die folgenden:

Maximum: fxx(x∗, y∗) < 0, fyy(x

∗, y∗) < 0, fxx(x∗, y∗) · fyy(x∗, y∗)− fxy(x∗, y∗)2 > 0

Minimum: fxx(x∗, y∗) > 0, fyy(x

∗, y∗) > 0, fxx(x∗, y∗) · fyy(x∗, y∗)− fxy(x∗, y∗)2 > 0

Sattelpunkt: fxx(x∗, y∗) · fyy(x∗, y∗)− fxy(x∗, y∗)2 < 0.

Somit werden zur Lösung dieser Aufgabe die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung

der Funktion f(x, y) benötigt.

fx(x, y) = 2x− 2y

fy(x, y) = −2x+ 2 · ey−2 + 2(y − 1) · ey−2 = −2x+ (2 + 2y − 2) · ey−2 = −2x+ 2y · ey−2

fxx(x, y) = 2

fyy(x, y) = 2 · ey−2 + 2y · ey−2 = 2 · (1 + y) · ey−2

fxy(x, y) = −2

-72-


Damit die notwendigen Bedingungen erfüllt sind, müssen folgende Gleichungen erfüllt sein:

fx(x∗, y∗) = 2x∗ − 2y∗ = 0 |+ 2y∗

2x∗ = 2y∗ | ÷ 2

x∗ = y∗ (41)

fy = −2x∗ + 2y∗ · ey∗−2 = 0 |+ 2x∗

2y∗ · ey∗−2 = 2x∗ | ÷ 2

y∗ · ey∗−2 = x∗. (42)

(41) wird in (42) eingesetzt:

y∗ · ey∗−2 = y∗.

Die erste Lösung lautet y∗1 = 0. Für y∗ 6= 0 kann weiter gerechnet werden:

y∗ · ey∗−2 = y∗ | ÷ y∗

ey∗−2 = 1 | ln(.)

y∗ − 2 = ln(1) = 0 |+ 2

y∗2 = 2.

Nun wird x∗ berechnet, so dass (x∗, y∗) die notwendigen Bedinungen erfüllt. Dazu wird (x∗, y∗)

in (41) eingesetzt:

x∗1 = y∗1 = 0 ⇒ (x∗1, y∗1) = (0, 0)

x∗2 = y∗2 = 2 ⇒ (x∗2, y∗2) = (2, 2).

Die hinreichenden Bedingungen geben Auskunft, ob die Punkte (x∗i , y∗i ), i = 1, 2, Minima,

Maxima oder Sattelpunkte sind.

fxx(x, y) = 2 für alle (x, y) ∈ R2. Somit sind (x∗i , y∗i ), i = 1, 2, sicherlich keine Maxima.

Zuerst wird (x∗1, y∗1) = (0, 0) untersucht:

fyy(0, 0) = 2 · (1 + 0) · e0−2 = 2 · 1 · e−2 = 2e−2 > 0

fxx(0, 0) · fyy(0, 0)− fxy(0, 0)2 = 2 · 2e−2 − (−2)2 = 4e−2 − 4 = 4(e−2 − 1) < 0,

-73-


denn ea ist für jedes a < 0 kleiner als 1. Somit ist (x∗1, y∗1) = (0, 0) ein Sattelpunkt.

Jetzt wird (x∗2, y∗2) = (2, 2) betrachtet.

fyy(2, 2) = 2 · (1 + 2) · e2−2 = 2 · 3 · e0 = 2 · 3 · 1 = 6 > 0

fxx(2, 2) · fyy(2, 2)− fxy(2, 2) = 2 · 6− (−2)2 = 12− 4 = 8 > 0

Folglich ist (x∗2, y∗2) = (2, 2) ein lokales Minimum.

Lösung: (x∗1, y∗1) = (0, 0) ist ein Sattelpunkt und (x∗2, y

∗2) = (2, 2) ein lokales Minimum der

Funktion f(x, y).

Abbildung 1: Die Funktion f(x, y)

-74-


b) Die Funktion f(x, y) = xayb, x > 0, y > 0, a > 0, b > 0 ist unter der Nebenbedingung

ϕ(x, y) = x2+y2−1 = 0 zu optimieren. Untersuchen Sie das Optimierungsproblem auf mögliche

Extremalstellen.

Bemerkung: Eine Abklärung, ob es sich um Maxima oder Minima handelt, wird nicht verlangt.

Lösungsweg 1: Methode der Lagrange-Multiplikatoren Eine notwendige Bedingung für

ein lokales Extremum (x∗, y∗) einer Funktion f(x, y) unter der Nebenbedingung ϕ(x, y) = 0 ist

die Korrektheit folgender Gleichungen:

Fx(x∗, y∗, λ) = 0 Fy(x∗, y∗, λ) = 0 Fλ(x∗, y∗, λ) = 0,

wobei F (x, y, λ) = f(x, y)+λ·ϕ(x, y) die Lagrange-Funktion mit einer unbestimmten Konstante

λ ist (deren Grösse jedoch keine Rolle spielt). In diesem Fall ist also

F (x, y, λ) = f(x, y) + λ · ϕ(x, y) = xayb + λ · (x2 + y2 − 1).

Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind

F (x, y, λ)x = a · xa−1 · yb + λ · 2x (43)

F (x, y, λ)y = xa · b · yb−1 + λ · 2y (44)

F (x, y, λ)λ = ϕ(x, y) = x2 + y2 − 1. (45)

Damit die notwendigen Bedingungen erfüllt sind, werden diese Ableitungen mit Null gleichge-

setzt und sogleich umgeformt.

(43) F (x∗, y∗, λ)x = a · xa−1∗ · yb∗ + λ · 2x∗ = 0

a · xa−1∗ · yb∗ = −λ · 2x∗ (46)

(44) F (x∗, y∗, λ)y = xa∗ · b · yb−1∗ + λ · 2y∗ = 0

xa∗ · b · yb−1∗ = −λ · 2y∗ (47)

(45) F (x∗, y∗, λ)λ = x2∗ + y2∗ − 1 = 0

x2∗ = 1− y2∗ (48)

-75-


Da nach Voraussetzung x > 0, y > 0 und b > 0 gilt, kann Gleichung (46) durch Gleichung (47)

dividiert werden.

a · xa−1∗ · yb∗xa∗ · b · yb−1∗

=−2λx∗−2λy∗

ay∗bx∗

=x∗y∗

| · bx∗ · y∗

ay2∗ = bx2∗

Nun wird Gleichung (48) verwendet:

ay2∗ = b(1− y2∗) = b− by2∗ |+ by2∗

(a+ b)y2∗ = b | ÷ (a+ b)

y2∗ =b

a+ b|√(.)

y∗ =

√b

a+ b.

Diese Lösung wird wiederum in (48) eingesetzt:

x2∗ = 1− y2∗ = 1−√

b

a+ b

.2

= 1− b

a+ b=a+ b

a+ b− b

a+ b=a+ b− ba+ b

=a

a+ b|√(.)

x∗ =

√a

a+ b.

Als Extremalstelle kommt somit nur (x, y) = (√

aa+b

,√

ba+b

) in Frage.

Lösungsweg 2: Reduktionsmethode Bei dieser Methode muss ϕ(x, y) = 0 auf die Form

y = h(x) gebracht werden.

ϕ(x, y) = x2 + y2 − 1 = 0 | − y2 + 1

x2 = 1− y2 |√

(.)

x =√

1− y2 = (1− y2)12 (x, y > 0)

Nun wird diese letzte Gleichung in f(x, y) eingesetzt.

f((1− y2)12 , y) =

((1− y2)

12

)ayb = (1− y2)

12·ayb = (1− y2)

a2 yb = g(y)

-76-

EExtras

Formeln

Mathematik II

Assessment


Inhaltsverzeichnis

1 An der Prüfung zugelassene Formelsammlung 1

1.1 Quadratische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Zusammenstellung wichtiger Formeln von uniseminar.ch 3

2.1 Extrema ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Extremwerte mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Reduktionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.2 Methode der Lagrange-Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.1 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.2 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.3 Wichtige Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.2 Inverse und Transponierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Reguläre Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6.2 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . 9

2.7 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.7.1 Cramer'sche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.7.2 Gauss'scher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7.3 Lösungskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7.4 Eindeutigkeitskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.8 Di�erenzengleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Formelsammlung uniseminar.ch

2 Zusammenstellung wichtiger Formeln von uniseminar.ch

2.1 Extrema ohne Nebenbedingungen

Notation: ∂f∂x

= fx,∂2f∂x2

= fxx und∂2f∂x∂y

= fxy.

notwendige Bedingung: für Maximum für Minimum für Sattelpunkt

fx = fy = 0 fx = fy = 0 fx = fy = 0

hinreichende Bedingungen: fxx < 0, fyy < 0 fxx > 0, fyy > 0

fxxfyy − (fxy)2 > 0 fxxfyy − (fxy)

2 > 0 fxxfyy − (fxy)2 < 0

2.2 Extremwerte mit Nebenbedingungen

Zielfunktion: f(x, y)

Nebenbedingung: g(x, y) = 0

2.2.1 Reduktionsmethode

1. Schritt: g(x, y) nach y au�ösen

2. Schritt: y in f(x, y) einsetzen ; neue Funktion F (x) in einer Variablen

3. Schritt: Extrema von F (x) bestimmen (wie gewohnt, Ableitungen berechnen)

-3-


2.2.2 Methode der Lagrange-Multiplikatoren

Lagrange-Funktion: F (x, y, λ) = f(x, y) + λ · g(x, y)

Lagrange-Bedingungen (Optimalitätsbedingungen):

Fx = 0 Fy = 0 Fλ = 0

Maximum: 2gxgyFxy − Fxxg2y − Fyyg2x > 0

Minimum: 2gxgyFxy − Fxxg2y − Fyyg2x < 0

2.3 Integralrechnung

Eigenschaften:

-∫c · f(x) dx = c ·

∫f(x) dx für c ∈ R

-∫(f(x) + g(x)) dx =

∫f(x) dx+

∫g(x) dx

-b∫a

f(x)dx gibt die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse

zwischen den Integrationsgrenzen a und b an.

-b∫a

f(x) dx =c∫a

f(x) dx+b∫c

f(x) dx

-b∫a

f(x) dx = −a∫b

f(x) dx

-b∫a

f(x) dx = F (b)− F (a) wobei ddxF (x) = f(x)

2.3.1 Partielle Integration ∫u′v dx = uv −

∫uv′ dx

-4-


2.4.3 Determinanten

Dimension von A det(A) =

2× 2 Matrix

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11

!!

a12

a21

==

a22

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ��−

??

= a11a22 − a21a12

3× 3 Matrix

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11

!!

a12

!!

a13

!!

a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31

==

a32

==

a33

==

a31 a32

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

��+

��+

��−

??

−??

−??

n× n Matrix a11 |A11| − a12 |A12| + a13 |A13| − . . . ± a1n |A1n|

wobei Aij = �A mit i-ter Zeile und j-ter Spalte gestrichen�.

Es gelten folgende Rechenregeln:

det(AB) = det(A) · det(B)

det(A−1) = 1det(A)

det(AT ) = det(A)

Beachte folgende wichtige Eigenschaft der Determinante:

Theorem 2.1. Die Inverse A−1 einer Matrix A exisitiert, genau dann wenn det(A) 6= 0.

-7-

Notizen

Mathematik II

Assessment


Notizen uniseminar.ch

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Date post:	13-Mar-2016
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