HS12_UK_Mathe_Ordner

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Auf

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Theorie

Theorie

Mathematische Methoden1. Semester

Köln, 2012/2013

InhaltsverzeichnisNachhaltiger Lernerfolg in Mathematik 1

1 Grundlagen 21.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Matrizen und Vektoren 92.1 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Operationen mit Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Addition von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Skalarmultiplikation einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Gauß-Jordan-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Rechengesetze für Matrixoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Funktionen in einer Variablen 233.1 Definitionsbereich, Wertebereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Wichtige Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.7 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.8 Konvexität und Konkavität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Funktionen in mehreren Variablen 364.1 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Partielle Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Partielles Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5 Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.6 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7 Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.8 Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.9 Totales Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.10 Homogene Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.11 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.12 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.13 Konvexität und Konkavität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Extrema 535.1 Extrema bei reellen Funktionen in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Extrema bei reellwertigen Funktionen in mehreren Variablen . . . . . . . . . . . 585.3 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3.1 Reduktionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.2 Methode von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Integralrechnung 646.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.6 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.7 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.8 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Differential- und Differenzengleichungen 767.1 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.2 Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Stichwortverzeichnis 83

Theorie: Grundlagen uniseminar.eu

1 GrundlagenDamit wir so richtig loslegen können, müssen zuerst mal die absoluten Basics sitzen. Hier einekurze Zusammenfassung über das, was du nie vergessen sollst.

1.1 Rechenregeln

Zeichen Bedeutung

{−3, 5} Menge der Zahlen -3 und 5

(−3, 5) offenes Intervall von -3 bis 5, ohne -3 und 5

[−3, 5] geschlossenes Intervall von -3 bis 5, inkl. -3 und 5

(−3, 5] halboffenes Intervall von -3 bis 5, ohne -3 und inkl. 5

N,R Menge der natürlichen Zahlen, Menge der reellen Zahlen

R+,R+0 Menge der positiven reellen Zahlen ohne 0 bzw. inkl. 0

{x ∈ R | x gerade} Menge der x, Element von (∈) R, so dass (|) x gerade

A ∪B Menge A vereinigt mit Menge B

A ∩B Menge A geschnitten mit Menge B

A\B Menge A ohne Menge B

A ∧B Aussage A und Aussage B, wahr genau dann wenn A und B wahr sind

A ∨B Aussage A oder Aussage B, wahr genau dann wenn A oder B wahr sind

¬A nicht A, wahr genau dann wenn A falsch ist

A⇒ B aus A folgt B

A⇔ B A ist äquivalent zu B

.= soll gleich sein

f ◦ g Verknüpfung f(g(x)), im Vergleich zu f · g = f(x) · g(x)

n∑k=1

ak a1 + a2 + a3 + . . .+ an Summe von a1 bis ann∏k=1

ak a1 · a2 · a3 · . . . · an Produkt von a1 bis an

-2-

Theorie: Grundlagen uniseminar.eu

Beispiel.

[−3, 5] ∪ [5, 8] = [−3, 8], {x ∈ R | 0 < x < 6} = (0, 6)

Bruchrechnen

• Erweitern:a

b=a · cb · c

• Addieren:a

b+c

d=a · db · d

+c · bd · b

=a · d+ c · b

b · d

• Multiplizieren:a

b· cd

=a · cb · d

• Doppelbrüche:abcd

=a

b· dc

=a · db · c

• Nicht vergessen zu kürzen!

Potenzieren, Wurzelziehen

Potenzieren

• Definition: an = a · . . . · a︸︷︷︸n−mal

• Spezialfälle: a0 = 1, a1 = a; 0k = 0 für k > 0, 1k = 1

• Multiplikation: ak · al = ak+l

• Division: akal

= ak−l

• Kehrwert: 1ak

= a0

ak= a−k

• Potenzieren von Potenzen: (ak)l = ak·l

• Ausklammern: ak · bk = (a · b)k

Wurzelziehen

• Wurzelziehen: n√a = a

1n , insbesondere

√a = a

12

• Zusammenfassen von Wurzeln: n√a · n√b = n√a · b

• Potenzen und Wurzeln: n√am = a

mn

• Rechnen mit Wurzeln: Wurzeln als Potenzen ausdrücken, dann Potenzregeln anwenden

-3-

Theorie: Funktionen uniseminar.eu

2 Funktionen in einer Variablen

2.1 Definitionsbereich, Wertebereich

Eine Funktion ist eine Abbildung

f : D → Wx 7→ f(x).

Sie ordnet jedem Element aus dem Definitionsbereich D eindeutig ein Element im Werte-bereich W zu. Falls der Wertebereich eine Teilmenge von R ist, sprechen wir von einer reellenFunktion. Wir bezeichnen die Teilmenge f(D) von W, d.h. die Elemente von W auf die fabbildet, als das Bild von f . Für eine Teilmenge V ⊆ W heißt die Menge der Elemente ausD, die nach V abgebildet werden, das Urbild von V und wird mit f−1(V ) bezeichnet.

Beispiel.

1. f : R→ R ist keine Funktion, da für einen x-Wert verschiedene y-Werte existieren.

2. g : R→ R ist keine Funktion, da nicht jeder x-Wert abgebildet wird.

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Theorie: Funktionen uniseminar.eu

2.2 Wichtige Eigenschaften von Funktionen

Im Folgenden betrachten wir eine Funktion f die vom Definitionsbereich D in den WertebereichW abbildet, kurz f : D→W.

Was bedeutet injektiv, surjektiv und bijektiv?

Die Funktion f : D→W heißt

• injektiv , falls für zwei verschiedene Werte des Definitionsbereichs x1, x2 ∈ D mitx1 6= x2 zwei verschiedene Werte des Bildbereichs angenommen werden,d.h. f(x1) 6= f(x2),

• surjektiv , falls jedes Element des Wertebereichs W erreicht wird, also das Bildvon f gleich dem Wertebereich entspricht, kurz: f(D) = W,

• bijektiv , falls sie surjektiv und injektiv ist.

Bemerkung. Um die Injektivität einer Funktion zu untersuchen können wir auch annehmen,dass zwei beliebige Funktionswerte gleich sind, d.h. f(x1) = f(x2) und untersuchen dann, obdamit zwangsläufig Gleichheit der eingesetzten Definitionswerte gilt, also x1 = x2. Ist dies derFall, so ist die Funktion injektiv, andernfalls nicht.

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Theorie: Funktionen in mehreren Variablen uniseminar.eu

3 Funktionen in mehreren VariablenWir betrachten nun Funktionen f : Rn → R, die von n ∈ N Variablen x1, x2, . . . , xn abhängigsind und die in die reellen Zahlen abbilden.Beschränken wir uns zunächst auf den Fall n = 2, so können wir die Funktionen im 3-dimensionalen Raum darstellen. Neben den x1 und x2–Richtungen in der Ebene existiert einez-Richtung, gegeben durch f(x1, x2) = z. Also ordnet die Funktion f jedem Paar (x1, x2) in derEbene einen Wert in der Höhe z zu. Durch die Punkte (x1, x2, f(x1, x2)) entsteht ein ”Gebirge”über der x1x2-Ebene.Oftmals schreiben wir x, y anstatt x1, x2.

Ein Beispiel für so ein ”Gebirge”

Wir erläutern zunächst allgemein den Begriff der reellwertigen Funktion in mehreren Variablen.

Was ist eine reellwertige Funktion in mehreren Variablen?

Sei D eine Teilmenge des Rn, für n ≥ 2 dann heißt

f : D→ R, (x1, ..., x2) 7→ f(x1, ..., x2)

reellwertige Funktion in mehreren (n) Variablen. Die Funktion heißt reellwertig,da der Wertebereich R ist (und nicht Rm, m > 1). Andernfalls spricht man von einervektorwertigen Funktion in mehreren Variablen.

Wie wir in dem einführenden Beispiel sehen, ist es sehr schwierig Funktionen in mehreren Va-riablen zu zeichnen oder sich vorzustellen. Als Hilfsmittel führen wir die Isoquanten oder auchNiveaulinien bzw.Höhenlinien ein. Punkte, die in dem “Gebirge” die gleiche Höhe aufweisen,werden mit einer sogenanten Isoquante (Höhenlinie) verbunden. Hierdurch ist es möglich ein

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3-dimensionales Gebirge im bekannten x, y-Achsensystem darzustellen. Die Niveaulinien vonf(x, y) sind die Kurven in der xy-Ebene, die durch

f(x, y) = z0

fest gegeben sind. Man schneidet also das Gebirge auf der Höhe z0 mit der xy-Ebene.

Die Niveaulinien eines ”Gebirges” auf die xy-Ebene projiziert.

Die Isoquanten, Isobaren und Indifferenzkurven der Ökonomie sind nichts anderes alsNiveaulinien. Man hat eine Funktion in zwei Variablen und nimmt diese als konstant an.

3.1 Grenzwert und Stetigkeit

Um den Grenzwert von Funktionen in mehreren Variablen zu verstehen, benötigen wir zunächsteinen neuen Abstandsbegriff. In R ist der Abstand zweier Punkte x, y durch den Absolutbetragder Differenz, also durch |x− y| gegeben. Nun definieren wir die euklidische Norm zwischenzwei Punkten x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 wie folgt:

||x− y|| =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2

Bevor wir den Begriff des Grenzwertes für Funktionen in mehreren Variablen einführen können,fehlt uns noch der Grenzwertbegriff für mehrdimensionale Folgen.

Wann konvergiert eine Folge in R2

Eine Folge {(xn, yn)}n∈N konvergiert gegen den Grenzwert (x0, y0), falls die reellen Folgen{xn}n∈N und {yn}n∈N gegen x0 bzw. y0 konvergieren.

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Beispiel.

Die Folge {(1 + 1n, 2− 1

n2 )} konvergiert gegen (1, 2), denn limn→∞

1 + 1n

= 1 und

limn→∞

2− 1n2 = 2.

Wann konvergiert eine Funktion in zwei Variablen?

Sei f : R2 → R. f konvergiert gegen a ∈ R für (x, y) → (x0, y0), falls für jede Folge{(xn, yn)}n∈N, die gegen (x0, y0) konvergiert, gilt, dass die Folge der Funktionswerte{f(xn, yn)}n∈N gegen a konvergiert.

Wir schreiben hierfürlim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = a.

Nun können wir den Begriff der Stetigkeit für höherdimensionale Funktionen definieren.

Wann ist eine Funktion in zwei Variablen stetig?

f : R2 → R heißt stetig in (x0, y0), falls der Funktionsgrenzwert für (x, y) gegen (x0, y0)gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist, d.h.

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0).

Wie auch im reellen Fall, sind Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten (Nennerfunk-tion 6= 0) und Zusammensetzungen stetiger Funktionen wieder stetig.

3.2 Partielle Ableitungen

Hängt eine Funktion von mehreren Variablen x und y ab, dann können partielle Ableitungengebildet werden. Dabei werden die Variablen, nach welchen gerade nicht abgeleitet wird, wieKonstanten behandelt.

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Theorie: Differential- und Differenzengleichungen uniseminar.eu

6 Differential- und DifferenzengleichungenDifferential- und Differenzengleichungen dienen zur Analyse dynamischer ökonomischer Modellein

• stetiger Zeit (Differentialgleichungen),

• diskreter Zeit (Differenzengleichungen).

6.1 Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion, die voneiner Variablen und einer oder mehreren ihrer Ableitungen abhängt.

Was ist eine Differentialgleichung?

Sei y : R→ R, x 7→ y(x) =: y und x ∈ R, dann heißt

F (x, y, y′, y′′, . . . , yn) = 0,

mit F : Rn+1 → R Differentialgleichung der Ordnung n.

Bemerkung. Die Ordnung einer Differentialgleichung ist nach der höchsten auftretenden Ab-leitung von y benannt.

Wir werden nun versuchen die unbekannte Funktion y für Differentialgleichungen 1. Ordnungzu bestimmen. Hierbei beschränken wir uns auf den Fall, dass die Differentialgleichung folgen-dermaßen aufgeschrieben werden kann:

y′ = f(x, y) = g(x)h(y),

mit f : R2 → R und g, h : R→ R. Wir untersuchen also lediglich Differentialgleichungen, derenrechte Seite (f(x, y)) nach Variablen getrennt werden kann in g(x)h(y).

Im Allgemeinen sind Differentialgleichungen nicht eindeutig lösbar, es sei denn wir haben einenStartwert für eine Differentialgleichung gegeben, einen sogenannten Anfangswert.

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Wie löse ich eine Differentialgleichung 1. Ordnung mit getrennten Variablen?

Gegeben sei eine Differentialgleichung der Form

y′ = f(x, y).

1. Trennung der Variablen: Im ersten Schritt trennen wir die rechte Seite nach denVariablen x und y und fassen alles was x bzw. y betrifft in den Funktionen g und hzusammen. Dann schreiben wir für y′ = dy

dxund erhalten:

dy

dx= g(x)h(y).

2. Umformen der Gleichung: Im zweiten Schritt formen wir die Gleichung, indemwir beide Seiten mit dx multiplizieren und teilen die Gleichung anschließend durchh(y). Dadurch erhalten wir

1

h(y)dy = g(x)dx.

3. Integrieren:

(a) ohne Anfangsbedingung: Falls kein Anfangswert gegeben ist, bilden wir aufbeiden Seiten das unbestimmte Integral und erhalten die Lösungen:∫

1

h(y)dy =

∫g(x)dx+ C, C ∈ R.

(b) mit Anfangsbedingung: Falls ein Anfanswert y0 = f(x0) gegeben ist, inte-grieren wir die beiden Seiten mit den Grenzen y0, y und x0, x und erhalten dieeindeutige Lösung:

y∫y0

1

h(t)dt =

x∫x0

g(t)dt.

4. Auflösen nach y: Falls wir das Integral berechnen können, lösen wir die Gleichungschließlich nach y auf und sind fertig.

Beispiel.

1. Bestimme die Lösungsmenge für die Differentialgleichung y′ = y.

Lösung

(a) Trennung der Variablen:Wir stellen fest, dass die rechte Seite nur von y abhängt,nicht von x. Daher definieren wir g(x) = 1 und h(y) = y, sodass g(x)h(y) = y. Somit

-63-


erhalten wirdy

dx= 1 · y.

(b) Umformen der Gleichung:Multiplizieren mit dx und dividieren durch h(y) liefert:

1

ydy = 1dx,

wobei y 6= 0.

(c) Integrieren: Da kein Anfangswert gegeben ist, bilden wir das unbestimmte Integralund erhalten: ∫

1

ydy =

∫1dx+ C, C ∈ R.

(d) Auflösen nach y: Die Stammfunktionen von 1yund 1 sind ln(y) und x. Daher

erhalten wir:ln(y) = x+ C.

Wir stecken nun beide Seiten in die e-Funktion und erhalten schließlich:

y = ex+C = ex · eC = γex,

mit γ = eC und daher γ > 0, reell.

2. Bestimme die Lösungsmenge für die Differentialgleichung y′ = λy mit Anfangsbedingungy0 = 1, x0 = 0.

Lösung

(a) Trennung der Variablen:Wir stellen fest, dass die rechte Seite nur von y abhängt,nicht von x. Daher definieren wir g(x) = λ und h(y) = y, sodass g(x)h(y) = λy.Somit erhalten wir

dy

dx= λ · y.

(b) Umformen der Gleichung:Multiplizieren mit dx und dividieren durch h(y) liefert:

1

ydy = λdx,

wobei y 6= 0.

(c) Integrieren: Da ein Anfangswert gegeben ist, bilden wir das bestimmte Integralund erhalten:

y∫1

1

tdt =

∫ x

0

λdt.

(d) Auflösen nach y: Die Stammfunktionen von 1tund 1 sind ln(t) und x. Daher

erhalten wir:

ln(t)|yt=1 = λ · t|xt=0

ln(y)− ln(1) = λx− 0

ln(y) = λx.

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Stichwortverzeichnis uniseminar.eu

StichwortverzeichnisAbhängigkeit, lineare, 81Ableitungsregeln, 18Addition Matrizen, 71Allgemeine Tipps, 1Anfangswert, 62, 67

Bestimmtes Integral, 51bijektiv, 11Bild, 10Bildbereich, 10Bruchrechnen, 3

Definitionsbereich, 10Determinante, 45Diagonalmatrix, 70Differentialgleichung, 62Differentialgleichung, homogen, 65Differentialgleichung, inhomogen, 66Differentialgleichungen, 62Differenzengleichung, homogen, 67Differenzengleichung, inhomogen, 68Differenzengleichung, Stabilität, 68Differenzengleichungen, 67Differenzenquotient, 17Doppeltes Integral, 59

einheitselastischer, 20Einheitsmatrix, 71elastischer, 20Elastizität, 20erweiterte Koeffizientenmatrix, 75euklidische Norm, 24Eulersche Formel, 33Extrema, 39

Funktion in mehreren (n) Variablen, 23Funktion in zwei Variablen, 23

Gauß-Jordan-Verfahren, 75Gauss Algorithmus, Operationen, 77Gleichungen, 5globale Extrema, 39Gradient, 29

Höhenlinien, 23Hauptsatz der Differential- und Integralrech-

nung, 52

Hesse-Matrix, 29homogen vom Grade, 33Homogene Funktion, 32homogene Funktion, 33homogene lineare Differentialgleichung, 65Homogenitätsgrad, 33

implizite Funktionen, 34inhomogene lineare Differentialgleichung, 66injektiv, 11Integral, 50Integral, bestimmtes, 51Integral, doppelt, 59Integral, Eigenschaften, 52Integral, Existenz, 59Integral, uneigentlich, 57Integration, Hauptsatz, 52Integration, partielle, 53Integrationsgrenzen, 51Integrationskonstante, 50integrierbare Funktion, 59Inverse einer regulären Matrix, 79Inverse Matrix, 79Isoquanten, 23

Kettenregel, 18Komposition, 15konkav, 22Konkavität, 21, 37konvex, 22Konvexität, 21, 37kritischer Punkt, 40

Lagrange-Multiplikator, 48Lagrangefunktion, 48linear abhängig, 81linear unabhängig, 81Lineare Abhängigkeit, 81Lineare Unabhängigkeit, 81lokale Extrema, 39

marginale Funktion, 20Matrix, 69Matrix, quadratisch, 69Matrix, Skalarmultiplikation, 72Matrix, symmetrische, 70Matrix, transponiert, 69

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Stichwortverzeichnis uniseminar.eu

Matrixmultiplikation, 73Matrixoperationen, Rechengesetze, 80Matrizen, 69Matrizen, spezielle, 70Maximum, 39Methode von Lagrange, 48Minimum, 39

Nebenbedingung, 47Niveaulinien, 23Nullmatrix, 71

Partielle Ableitung, 25partielle Ableitungen, 25Partielle Differential, 27partielle Differential, 27partielle Elastizität, 27Partielle Elastizitäten, 26Partielle Integration, 53Polynom 2. Grades, 5Potenzen, 3Produkteregel, 18, 33

quadrieren, 5Quotientenregel, 18, 33

Rang, 74Rechengesetze für Matrixoperationen, 80Rechenregeln, 2Reduktionsmethode, 47relative Extrema, 39Restriktion, 47Rezept, partielle Integration, 54Rezept, Substitution, 55

Spaltenvektor, 69Stammfunktion, 50stationärer Punkt, 40stetig, 16Substitution, 54Substitutionsmethode, 47surjektiv, 11

Tangente, 19Tangentialebene, 30Tipp, allgemeine, 1total differenzierbar, 27totale Differential, 31Transponierte Matrix, 69

Umkehrfunktion, 12

Umkehrfunktion, Ableitung, 18Unabhängigkeit, lineare, 81unbestimmtes Integral, 50Uneigentliches Integral, 57unelastischer Bereich, 20Ungleichungen, 6Urbild, 10

Vektor, 69Verkettung, 15

Wertebereich, 10Wurzel, 3

Zeilenvektor, 69Zielfunktion, 47

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Übungen

Übungen

Mathematische Methoden

1. Semester

Köln, 2012/2013

Inhaltsverzeichnis

1 Schulwissen 1

2 Di�erenzierbare Funktionen einer Variablen 17

3 Lineare Algebra 39

4 Di�erenzierbare Funktionen mehrerer Variablen 62

5 Extrema von Funktionen mehrerer Variablen 82

6 Integralrechnung 102

7 Di�erentialgleichungen 116

Differenzierbare Funktionen einer Variablen uniseminar.eu

2 Differenzierbare Funktionen einer Variablen

Aufgabe 2.1

Der Wiederverkaufswert W (in Tsd. Euro) eines IT-Systems sei in Abhängigkeit vom Alter A(in Monaten) des Systems durch folgende Funktion gegeben:

W (A) = 10 · 15− AA+ 2

, A ≥ 0.

a) Nach wie vielen Monaten ist der Wiederverkaufswert auf Null abgesunken?

b) Zu welchem Zeitpunkt beträgt der Wertverlust 60% des Anschaffungswertes des IT-Systems?

Lösung:

a) Wir suchen die Nullstelle der Funktion W :

W (A) = 0 ⇔ 10 · 15− AA+ 2

= 0 ⇔ A = 15.

Also ist der Wiederverkaufswert nach 15 Monaten Null.

b) Gesucht ist A ∈ R, sodass W (A) = 40%W (0). Da W (0) = 10152

= 75 gilt:

W (A) = 0.4W (0) ⇔ 10 · 15− AA+ 2

= 30 ⇔ 15− A = 3(A+ 2) ⇔ A = 2.25.

Nach 2.25 Monaten entspricht der Wertverlust 60% des Anschaffungswertes.

Aufgabe 2.2

Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen umkehrbar sind und geben Sie, wenn möglich, dieUmkehrfunktion an:

a) f1(x) = 12x5 − π, x ∈ R,

b) f2(x) = ln(x+ 1)2, x ∈ R+,

c) f3(x) = x3 − x2 + 4, x ∈ R

Lösung:

a) • Die Funktion ist streng monoton steigend, also bijektiv und somit umkehrbar.

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• Setze f1(x) = y :1

2x5 − π = y ⇔ x = 5

√2y + π

• Vertausche x und y:f−11 : R→ R, x 7→ 5

√2x+ π

b) • Die Funktion ist streng monoton steigend, also bijektiv und somit umkehrbar.

• Setze f2(x) = y :

ln(x+ 1)2 = y ⇔ ln(x+ 1) = ±√y ⇔ x = e±√y − 1

• Da nach Voraussetzung x > 0 gilt, ist in der letzten Gleichung nur die positiveLösung richtig.

• Vertausche x und y:f−11 : R→ R, x 7→ e

√x − 1

c) Die Funktion ist nicht streng monoton und somit nicht bijektiv, also auch nicht umkehr-bar.

Aufgabe 2.3

Für die Produktion einer Menge x eines Gutes gelte die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 34−0.2x.Die Kostenfunktion lautet K(x) = 0.1x2 − 2x + 4. Bestimmen Sie die Gewinnfunktion. Fürwelches x ist der Gewinn maximal?

Lösung: Der Erlös ist E(x) = p(x) · x. Die Gewinnfunktion ergibt sich aus Erlös abzüglichKosten, also:

G(x) = E(x)−K(x) = 34x− 0.2x2 − (0.1x2 − 2x+ 4) = −0.3x2 + 36x− 4.

Die Gewinnfunktion ist konkav, da es sich um eine umgedrehte Parabel handelt. Folglich liefertdie Nullstelle der ersten Ableitung die Extremstelle

G′(x) = −0.6x+ 36!

= 0

x = 60.

Folglich liegt an der Stelle x = 60 ein Gewinnmaximum vor.

-17-


Aufgabe 2.4

Der Verkaufspreis für T-Shirts liegt abhängig von der angebotenen Menge x bei

p(x) = 2 + 5e−0.0005x.

Ein Händler kauft T-Shirts zum Preis von 500 e/1000 Stück, bedruckt sie zum Preis von 0.60e/Stück und verkauft sie zu dem oben genannten Preis. Seine Fixkosten pro Monat sind 3000e. Nennen Sie die Kostenfunktion, die Erlösfunktion und die Gewinnfunktion. Wie hoch ist derGewinn, wenn er in einem Monat 15000 T-Shirts verkauft?

Lösung: Der Erlös ergibt sich aus Preis mal verkaufter Menge, ist also

E(x) = p(x)x = (2 + 5e−0.0005x) · x.

Die Kostenfunktion setzt sich aus den variablen Kosten Kvar(x) = (0.5 + 0.6) · x und denFixkosten Kfix(x) = 3000 zusammen, so dass

K(x) = Kvar(x) +Kfix(x) = 1.1 · x+ 3000.

Daraus können wir die Gewinnfunktion ableiten

G(x) = E(x)−K(x) = 2x+ 5e−0.0005xx− (1.1 · x+ 3000) = 0.9x+ 5e−0.0005xx− 3000.

Bei 15000 verkauften t-Shirts beträgt der Gewinn

G(15000) = 10541, 48.

Aufgabe 2.5

Ermitteln Sie die Internet-Kostenfunktion, die die monatlichen Gesamtkosten K eines Internet-Anschlusses in Abhängigkeit vom Transfervolumen T (in GB) pro Monat angibt. Man berück-sichtige:

• die Grundgebühr betrage 24.60 e pro Monat;

• die ersten 10 GB Transfervolumen sind kostenlos;

• zusätzliches Transfervolumen kostet 0.23 e/GB.

-18-


Lösung: Die monatlichen Fixkosten sind Kfix(T ) = 24, 60 und die variablen Kosten

Kvar(T ) =

0, falls 0 ≤ T ≤ 10

0.23(T − 10) falls T > 10.

Damit ergibt sich die Kostenfunktion

K(T ) = Kvar(T ) +Kfix(T ) =

24.6, falls 0 ≤ T ≤ 10

24.6 + 0.23(T − 10) falls T > 10.

Aufgabe 2.6

Die Gewinnfunktion einer kleinen Sektkellerei in einer Periode hängt von der verkauften Mengex (in hl) ab. Der genaue funktionale Zusammenhang ist allerdings unbekannt. Der Kellermeisterweiß lediglich, dass ab einer abgesetzten Menge von x = 1000 kein Verlust mehr erzielt wird,dass die fixen Kosten 1 Mio. e betragen und dass ab einer verkauften Menge von x = 4000

die Kosten für eine ausreichende Rohstoffbeschaffung so hoch wären, dass kein Gewinn mehrgeschrieben wird. Modellieren Sie die Gewinnfunktion mit Hilfe einer quadratischen Funktionund bestimmen Sie, wann der Gewinn maximal wäre.

Lösung: Gesucht ist eine quadratische Funktion, also ein Polynom vom Grad 2. Wir könnender Aufgabenstellung die beiden Nullstellen der Gewinnfunktion entnehmen, nämlich

G(1000) = 0, G(4000) = 0.

Außerdem wissen wir, dass die Fixkosten 1 Mio. e betragen. Also ist

G(0) = −1000000.

Wir können das Polynom bis auf ein Vielfaches durch die Nullstellen bestimmen, sodass

G(x) = a(x− 1000)(x− 4000), ⇔ G(x) = a(x2 − 5000x+ 4000000),

wobei a ∈ R eine zu bestimmende Unbekannte ist. Diese können wir bestimmen, indem wirG(0) = −1000000 auflösen:

G(0) = a(02 − 5000 · 0 + 4000000) = −1000000, ⇔ a = −1

4.

Also ist die Gewinnfunktion

G(x) = −1

4x2 + 1250x− 1000000.

-19-


Aufgabe 2.7

Die Produktionskapazität K (in Mengeneinheiten des zu produzierenden Gutes) eines Unter-nehmens, welches im Jahre 2004 (t = 0) gegründet wurde, sei im Zeitablauf t (in Jahren) durchfolgende Funktion beschrieben:

K : R+ → R, K(t) =38500

700 + (t− 20)2.

a) Mit welcher Anfangskapazität startet das Unternehmen im Jahr seiner Gründung?

b) In welchem Jahr erreicht das Unternehmen seine maximale Produktionskapazität? Ermit-teln Sie zusätzlich die Höhe der maximalen Produktionskapazität.

Lösung:

a) Die Anfangskapazität K(0) ist

K(0) =38500

700 + (0− 20)2= 35.

b) Die Produktionsfunktion ist eine konkave Funktion. Dies kann durch Bilden der zweitenAbleitung oder Betrachten des Funktionsgraphen festgestellt werden. Also befindet sichdas Maximum an der Nullstelle der Ableitung. Berechnen wir zunächst die Ableitung:

K ′(t) =

(38500

700 + (t− 20)2)′ = (38500(700 + (t− 20)2)−1

)′= −38500

(700 + (t− 20)2

)−2 · 2(t− 20) = − 38500(2(t− 20)

(700 + (t− 20)2)2

= − 77000(t− 20)

(700 + (t− 20)2)2

Nullsetzen liefert:

K ′(t) = 0 ⇔ − 77000(t− 20)

(700 + (t− 20)2)2= 0 ⇔ t = 20.

An der Stelle t = 20 liegt ein Produktionsmaximum vor. Dieses beträgt

K(20) =38500

700 + (20− 20)2=

38500

700= 55.

-20-

Prüf

unge

nEx

trasPrüfungen

Prüfungen

Mathematische Methoden1. Semester

Köln, 2012/2013

Inhaltsverzeichnis

1 Klausur SS 2000 11.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Klausur WS 2000 42.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5













15 Klausur SS 2007 Juli 6415.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6415.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

16 Klausur SS 2007 September 7216.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7216.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74





21 Klausur SS 2010 12321.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Klausur SS 2006 - Lösungen uniseminar.eu

13.2 Lösungen

Aufgabe 1

Bestimmen Sie Lage und Art der relativen Extrema der Funktion

f(x, y) = x3 + 6y2 − 75x− 24y + 100

Lösung: Die partiellen Ableitungen werden gleich Null gesetzt:

fx(x, y) = 3x2 − 75 = 0

fy(x, y) = 12y − 24 = 0

Durch Umformen erhält man aus der ersten Gleichung 3x2 = 75 ⇔ x2 = 25 ⇔ x = ±5. Diezweite Gleichung liefert 12y−24 = 0⇔ y = 2. Die stationären Punkte lauten also (x, y) = (5, 2)

und (x, y) = (−5, 2).Die Hesse-Matrix ist

Hf (x, y) =

[6x 0

0 12

]In (x, y) = (5, 2) liegt ein lokales Minimum, denn es gilt

∆1(5, 2) = 6 · 5 = 30 > 0, ∆2(5, 2) = 30 · 12 = 360 > 0

In (x, y) = (−5, 2) liegt kein Extremum, denn es ist

∆2(3, 1) = 6 · (−5) · 12 = −360 < 0

Aufgabe 2

Es wird ein Produktionsprozess betrachtet, bei dem ein Gut mit den Produktionsfaktoren r unds hergestellt wird. Die Produktionsfunktion lautet: x = 5r2s. Die Kosten sind gegeben durchK(r, s) = 6r + 12s.

a) Bestimmen Sie nach der Lagrange-Methode die Minimalkostenkombination für eine Produk-tion von 80 Einheiten des Gutes.

Lösung: Gesucht ist das Minimum der Kostenfunktion unter der Bedingung, dass x = 80

Einheiten produziert werden.

Eine Lagrangefunktion ist also L(r, s, λ) = 6r + 12s+ λ(5r2s− 80).

-51-


Nullsetzen der ersten partiellen Ableitungen ergibt

Lr(r, s, λ) = 6 + 10λrs

Ls(r, s, λ) = 12 + 5λr2

Lλ(r, s, λ) = 5r2s− 80

Auflösen der ersten Bedingungen nach λ ergibt

λ = − 3

5rsλ = − 12

5r2

Gleichsetzen ergibt

− 3

5rs= − 12

5r2⇔ 15r2 = 60rs⇔ r = 4s

Einsetzen in die dritte Gleichung (die Nebenbedingung) ergibt

5(4s)2s− 80 = 0⇔ 80s3 = 80⇔ s = 1

Daraus ergeben sich die anderen Parameter r = 4s = 4 und λ = − 320. Damit wird das

Minimum der Kosten bei (r, s) = (4, 1) angenommen.

b) Um welchen Betrag ändern sich näherungsweise die Kosten der Minimalkostenkombination,wenn die Produktionsmenge x um 10 Einheiten erhöht wird?

Lösung: Der Lagrangemultiplikator gibt an, wie sich die Kosten verändern, wenn die Kon-stante in der Nebenbedingung variiert wird. Die Kosten steigen also um − 3

20· (10) = −3

2,

sinken also um 1.5 Euro.

Aufgabe 3

Bestimmen Sie folgende Integrale

a) Mittels Substitution ∫ 3

0

4e4x−12 dx

Lösung: Wir substituieren u(x) = 4x− 12, dann ist du = 4dx und für die Grenzen ergibtsich u(0) = −12 und u(3) = 0. Damit lässt sich das Integral einfach berechnen∫ 3

0

4e4x−12 dx =

∫ 0

−12eudu = [eu]0−12 = 1− e−12

b) ∫ 4

1

∫ 7

2

dx dy

-52-


Lösung: ∫ 4

1

∫ 7

2

1 dx dy =

∫ 4

1

[1x]72 dy =

∫ 4

1

5 dy = [5x]41 = 20− 5 = 15

Aufgabe 4

Gegeben ist die Funktionf(x, y) = x3 − xy − y + x2

a) Bestimmen Sie das partielle Differential nach y.

Lösung: Das partielle Differential nach y lautet

fy(x, y)dy = (−x− 1)dy

b) Bestimmen Sie das totale Differential.

Lösung: Das totale Differential ist die Summe der partiellen Differentiale, also

df = fx(x, y)dx+ (−x− 1)dy = (2x2 − y + 2x)dx+ (−x− 1)dy

c) Bestimmen Sie das totale Differential am Punkt (x, y) = (3, 1).

Lösung: Einsetzen von (x, y) = (3, 1) in das totale Differential ergibt

df(3, 1) = (2 · 32 − 1 + 2 · 3)dx+ (−3− 1)dy = 32dx− 4dy

Aufgabe 5

Durch die Gleichungx5 + xy2 = 10

ist implizit y als Funktion von x gegeben.

a) Berechnen Sie dydx

Lösung: Sei G(x, y) = x5 + xy2 − 10. D.h. y(x) ist implizit gegeben durch G(x, y) = 0.Nach dem Satz über implizite Funktionen ist die Ableitung y′(x) = dy

dxgegeben durch

dy

dx= −Gx(x, y)

Gy(x, y)= −5x4 + y2

2xy

b) Prüfen Sie, ob der Punkt P mit den Koordinaten (x, y) = (1, 3) auf der Funktion liegt.

-53-


Lösung: Einsetzen in G ergibt

G(1, 3) = 15 + 1 · 32 − 10 = 0

Also ist f(1) = 3 und P liegt auf der Funktion.

c) Berechnen Sie die Steigung der Tangente an die Funktion im Punkt P = (1, 3).

Lösung: Die Ableitung wurde bereits in a) berechnet. Einsetzen von (x, y) = (1, 3) ergibt

y′(1) = −5 · 14 + 32

2 · 1 · 3= −7

3

d) Um welchen Wert wird sich y schätzungsweise verändern, wenn x von P ausgehend um 3Einheiten verringert wird?

Lösung: Der Funktionswert ändert sich approximativ um

y′(1) · (−3) = 7

Einheiten.

e) Ist es möglich, die Steigung der Funktion im Punkt (1, 0) anzugeben? Falls ja, tun Sie es!Falls nein, warum nicht?

Lösung: Überprüfe zunächst, ob (x, y) = (1, 0) auf der Funktion liegt. Einsetzen in G

ergibtG(1, 0) = 15 + 1 · 02 − 10 = −9 6= 0

Also liegt der Punkt nicht auf der Funktion und man kann die Steigung dort nicht angeben.

Aufgabe 6

Gegeben sind die Vektoren und Matrizen

a =

1

0

1

b =

1

1

0

c =

2

1

4

A =

1 2 −2

4 1 1

−1 3 0

a) Berechnen Sie Ab− c.

-54-


Lösung:

Ab− c =

1 2 −2

4 1 1

−1 3 0

1

1

0

−2

1

4

=

3

5

2

−2

1

4

=

1

4

−2

b) Begründen Sie, ob oder ob nicht die Vektoren a, b und c eine Basis des R3 sein können.

Lösung: Überprüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Dazu darf folgendes Glei-chungssystem nur die Lösung λ = (λ1, λ2, λ3) = (0, 0, 0) haben.1 1 2

0 1 1

1 0 4

λ =

0

0

0

Mit dem Gauß-Verfahren ergibt sich

1 1 2 0

0 1 1 0

1 0 4 0

III−I→1 1 2 0

0 1 1 0

0 −1 2 0

III+II→1 1 2 0

0 1 1 0

0 0 3 0

13·III,II−III,I−2·III

→1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

I−II→1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Die Lösung ist also λ = (0, 0, 0)T , die Vektoren a, b, c sind damit linear unabhängig undbilden eine Basis des R3.

c) Schreiben Sie ein Beispiel einer oberen 4× 4-Dreiecksmatrix auf.

Lösung: Eine obere 4× 4-Dreiecksmatrix ist zum Beispiel4 2 3 9

0 4 1 0

0 0 2 1

0 0 0 8

d) Schreiben Sie alle Einheitsvektoren des R4 auf.

-55-


Lösung: Die Einheitsvektoren des R4 sind1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

-56-

Date post:	03-Mar-2016
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