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H¨ohere Numerische Mathematik - uni-muenster.de€¦ · H¨ohere Numerische Mathematik Ubungsblatt...

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ohere Numerische Mathematik Aufgabe 1: Aufgabe 2: →∞ Aufgabe 3:
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Page 1: H¨ohere Numerische Mathematik - uni-muenster.de€¦ · H¨ohere Numerische Mathematik Ubungsblatt 1, Abgab e: 13.4.2006 13.00 Uhr Aufgabe 1: (6 Punkte) R Q ′ (t) + Q (t) C = E

Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2006Hohere Numerische Mathematik�Ubungsblatt 1 , Abgabe: 13.4.2006 , 13.00 UhrAufgabe 1: (6 Punkte) R Q′(t) + Q(t)C = E0 sin(pt) (1)Q(0) = 0 (2)wo R, C, p und E0 positive Konstanten sind, modelliert die Au adung eines Kondensa-tors mit Hilfe eines We hselstroms. Q(t) bezei hnet die Ladung des Kondensators zumZeitpunkt t.Bestimmen Sie Q(t). (Zur Kontrolle: Q(t) hat die FormQ(t) = a sin(pt) + b os(pt) + e− tRC (3)mit Konstanten a, b und .)Aufgabe 2: (4 Punkte)Q(t) ∈ C1(t0;∞) erf�ulle die Di�erenzialglei hung (1) und die AnfangsbedingungQ(t0) = Q0 (4)wo Q0 eine Konstante ist. Es sei E0 6= 0.Zeigen Sie, da� es eine periodis he Funktion �(t) gibt, so da�Q(t) → �(t) f�ur t → ∞ (5)Aufgabe 3: (3+3 Punkte)Bestimmen Sie die allgemeine L�osung der Di�erenzialglei hungy′(x)− y2x = 5x2y5; x > 0 (6)indem Sie1. Eine lineare inhomogene Di�erenzialglei hung f�urv(x) := (y(x))−4 (7)herleiten.2. Diese Di�erenzialglei hung f�ur v l�osen.

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Aufgabe 4: (4 Punkte)y(t) ∈ C1(a; b) sei eine L�osung der Di�erenzialglei hungy′(t) = f(t; y(t)); (t; y) ∈ D (8)wobei1. D := (a; b)×R (9)2. f ∈ C(D) ist bes hr�ankt:|f(t; u)| ≤ M; f�ur (t; u) ∈ D (10)Zeigen Sie, da� der Limes limt→b y(t) (11)existiert.(N.B. Bedenken Sie, da� z.B. die Funktionf(t; y) = sin( 1b− t) (12)die Voraussetzungen erf�ullt).

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Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2006Hohere Numerische Mathematik�Ubungsblatt 2 , Abgabe: 20.4.2006 , 13.00 UhrAufgabe 5: (4 Punkte)Es sei das Anfangswertproblemy′(x) = x2 + y(x); x ≥ 0y(0) = 1gegeben. Veri�zieren Sie, dass es von y(x) = 3ex − x2 − 2x − 2; x ≥ 0 gel�ost wird undbestimmen Sie mit Hilfe des Eulers hen Polygonzugverfahrens (Verfahren von Euler)mit der S hrittweite 0:2 einen N�ahrungswert f�ur y(1).Wie gro� ist der prozentuale Fehler?Aufgabe 6: (4 Punkte)Bere hnen Sie mit dem klassis hen Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung N�ahrungs-werte yk, k = 1; 2 f�ur die L�osung des Anfangswertproblemsy′ = y2 − x2; y(0) = 1:W�ahlen Sie die S hrittweite h = 0:1 und x0 = 0 und runden Sie auf vier Stellen.Aufgabe 7: (4 Punkte)Bestimmen Sie alle Runge-Kutta-Verfahren der Gestalt012 a2123 a31 a32b1 b2 b3die die Ordnung 3 haben.Aufgabe 8: (Programmieraufgabe, 8 Punkte)Die Bahnkurve eines Satelliten, der si h im Gravitationsfeld von Erde und Mond bewegt,wird f�ur den Fall, dass die drei Himmelsk�orper si h in einer Ebene bewegen, dur h dieGlei hungen y ′′1 = y1 + 2y′2 − �′

y1 + �D1 − �y1 − �′D2 (1)y ′′2 = y2 − 2y′1 − �′y2D1 − � y2D2 (2)

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mit D1 = ((y1 + �)2 + y22)3=2 ;D2 = ((y1 − �′)2 + y22)3=2 ;� = 0:012277471;�′ = 1− �bes hrieben. Dabei ist (y1; y2) ein um den Ursprung rotierendes Koordinatensystem, indem si h Mond und Erde an den festen Punkten (1 − �; 0) bzw. (−�; 0) be�nden. F�urdie Anfangswerte y1(0) = 0:994;y′1(0) = 0;y2(0) = 0;y′2(0) = −2:00158510637908252240537862224;xend = 17:0652165601579625588917206249ergibt si h ein ges hlossener sogenannter Arenstorf-Orbit, eine periodis he L�osung mitder Periode xend. Man bere hne den Orbit mit dem klassis hen Runge-Kutta-Verfahrenvierter Ordnung f�ur S hrittweiten h = xend=6000 bzw. h = xend=17000 (6000 bzw. 17000S hritte). F�uhren Sie die glei he Re hnung mit dem Euler-Verfahren mit einer S hritt-weite h = xend=24000 dur h, plotten und verglei hen Sie die Ergebnisse!Hinweis:�Uberf�uhren Sie (1) und (2) zun�a hst in ein System 1. Ordnung.Die Programmieraufgabe darf eine Wo he sp�ater abgegeben werden! Geben Sie dazu bit-te einen Ausdru k des (Matlab-) Codes ab und senden Sie zudem das Programm peremail an Ihren �Ubungsgruppenleiter.

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Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2006Hohere Numerische Mathematik�Ubungsblatt 3 , Abgabe: 27.4.2006 , 13.00 UhrAufgabe 9: (4 Punkte)Es sei f(x; y) = g(x)Zeigen Sie, dass das klassis he Runge-Kutta Verfahren f�ur y′(x) = f(x; y) in diesem Fallmit einer bekannten Integrationsformel �ubereinstimmt.Aufgabe 10: (4 Punkte)Die skalare Glei hung y′ = �ywerde du h das klassis he Runge-Kutta Verfahren numeris h gel�ost. Zeigen Sie, dassy1 = ( 4

∑j=0 (h�)jj! ) y0gilt.Aufgabe 11: (4 Punkte)Bestimmen Sie alle Runge-Kutta-Verfahren der Gestalt012 a2123 a31 a32b1 b2 b3die die Ordnung 3 haben.Aufgabe 12: (4 Punkte)Ein s-stu�ges Runge-Kutta Verfahren f�ur die autonome Glei hung y′ = f(y) hat genaudann die Ordnung p, wenn s

∑j=1 bj�j(t) = 1 (t) (1)f�ur alle But her-B�aume t der Ordnung ≤ p gilt.

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a) Bestimmen Sie alle But her-B�aume der Ordnung ≤ 3.b) Benutzen Sie (1), um die Glei hungen herzuleiten, die von den KoeÆzienten aijund bi erf�ullt werden m�ussen, damit das Runge-Kutta Verfahren0a21a31 a32b1 b2 b3die Ordnung 3 hat.Aufgabe 13: (4 Punkte)Die skalare Glei hung y′′ = f(y) wird als Systemy′ = z;z′ = f(y)ges hrieben und approximiert dur hyk+1 = yk + h(zk + 14h(k1 + k2)) ;zk+1 = zk + h4 (k1 + 3k2)mit k1 = f(y);k2 = f (y + 23hz + 13h2k1) :Zeigen Sie, das der lokale Diskretisierungsfehler f�ur y O(h3) ist.Aufgabe 14: (Bonusaufgabe 4 Punkte)Sei aq die Anzahl der gewurzelten B�aume der Ordnung q. Beweisen Sie die Glei hunga1 + a2x+ a3x2 + a4x3 + · · · = (1− x)−a1(1− x2)−a2(1− x3)−a3 : : :und bestimmen Sie die KoeÆzienten aq f�ur q = 1; : : : ; 5.

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Hohere Numerische Mathematik

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Aufgabe 17: C -o�E"$#�F8+��>G�8��K<��O$���#$KN���'+!O$"���p�B� UTV Y UWV��2�

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Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2006Hohere Numerische Mathematik�Ubungsblatt 5 , Abgabe: 11.5.2006 , 13.00 UhrAufgabe 20: (2+2+2 Punkte)F�ur x ∈ R; x > 0 wird die Gamma-Funktion �(x) wie folgt de�niniert:�(x) := ∞

∫0 e−ttx−1dt:Beweisen Sie:a) �(x+ 1) = x�(x) f�ur x > 0.b) �(n+ 1) = n! f�ur n = 0; 1; 2; : : : . ) �(1=2) = √�:Aufgabe 21: (2+4 Punkte)Es seien Ef(x) := f(x+ h)Df(x) := f ′(x):a) Zeigen Sie mit Hilfe der Taylor-Reihef(x+ h) = f(x) + h1!f ′(x) + h22! f ′′(x) + : : : ;dass die symbolis he Glei hheit E = ehDgilt.b) Die KoeÆzienten �;r f�ur die R�u kw�artsdi�erentiationsformel seien wie im SkriptS. 132 gegeben. Zeigen Sie mit Hilfe von a), dass f�ur � ≥ 1 �;r = min(r;�−1)

∑k=0 ( rk )(−1)k 1� − kgilt.Aufgabe 22: (2+2+4 Punkte)Sei Lu := u(n) + �n−1u(n−1) + · · ·+ �1 _u+ �0umit �k ∈ R; n− 1 ≤ k ≤ 0. Seip(�) := �n + �n−1�n−1 + · · ·+ �1�+ �0:

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a) Sei � eine k-fa he reelle Nullstelle des Polynoms p(�). Zeigen Sie, dass die k Funk-tionen e�t; te�t; : : : ; tk−1e�t L�osungen der homogenen Di�erentialglei hungLu = 0sind.b) Sei �+ i� mit � 6= 0 (und damit au h �− i�) eine m-fa he komplexe Nullstelle desPolynoms p(�). Zeigen Sie, dass die 2m Funktionene�t os(�t); te�t os(�t); : : : ; tm−1e�t os(�t);e�t sin(�t); te�t sin(�t); : : : ; tm−1e�t sin(�t)L�osungen der homogenen Glei hung Lu = 0sind. ) Bestimmen Sie die L�osung des Anfangswertproblemsy′′′ + 6y′ + 20y = 0;y(0) = 3;y′(0) = 9;y′′(0) = 6:

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Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2006Hohere Numerische Mathematik�Ubungsblatt 6 , Abgabe: Freitag 18.5.2006 , 11.00 Uhr!Aufgabe 23: (2+2+2+2 Punkte)Es sei �m = 1 und das Polynom p(�) gegeben dur hp(�) = m

∑�=0���� :Die m×m Matrix A sei de�niert dur hA :=

0 : : : 0 −�01 0 : : 0 −�1: : : :: : : :0 : 0 1 0 −�m−20 : : 0 1 −�m−1

p(�) habe die unters hiedli hen Nullstellen �1; : : : ; �n der Vielfa hheiten r1; : : : ; rn mitn∑j=1 rj = m:Zeigen Sie, dass das Jordan-K�ast hen Jj zu �j von A die Dimension rj hat, indem Sie folgendesbeweisen und anwenden:a) Es gilt Ie1 = e1 = A0e1;Aek = ek+1 = Ake1; 1 ≤ k ≤ m− 1Aem = −

m−1∑�=0 ��e�+1;wobei e1; : : : ; em Basisvektoren sind.b) Es gilt p(A)ek = 0 f�ur 1 ≤ k ≤ m und p(A) = 0. ) W�are q(A) = 0 mit q(�) = �s + s−1

∑j=0 bj�jund s < m, dann gilt es+1 + s−1∑j=0 bjej+1 = 0:

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d) Die Jordan K�ast hen Jj haben die Dimension rj × rj und die GestaltJj =

�j 1 0: :: :: 10 �j

Aufgabe 24: (2 Punkte)z(t) sei die L�osung der Anfangswertaufgabez(m)(t) + m−1∑�=0 ��z(�)(t) = 0;z(�)(0) = z� ; 0 ≤ � < m; (1)wobei die Anfangswerte z� bekannt seien und z(�)(t) = d�dt� z(t) bezei hne. Zeigen Sie, dassVektoren Z(t), Z0 und eine Matrix A de�niert werden k�onnen, so dass die Anfangswertaufgabe(1) wie folgt ges hrieben werden kann:Z ′(t) = AZ(t);Z(0) = Z0:

Aufgabe 25: (2 Punkte)Beweisen Sie die f�ur den Beweis von Satz 7.5.4 n�otige Unglei hung1 + x1− x ≤ 1 + 4x; 0 ≤ x ≤12 :

Aufgabe 26: (2+2+4 Punkte)Sei zk+n + �n−1zk+n−1 + · · ·+ �0zk = 0; k = 0; 1; 2; : : : (2)mit �j ∈ R; 0 ≤ j ≤ n− 1 und weiterhinp(�) := �n + �n−1�n−1 + · · ·+ �1�+ �0:a) Sei �j eine reelle Nullstelle der Vielfa hheit rj des Polynoms p(�). Zeigen Sie, dasszk = �kj k(k − 1) · · · (k − s+ 1)f�ur s = 0; 1; : : : ; rj − 1 eine L�osung von (2) ist, indem Sie das Polynom �kp(�) s-malna h � di�erenzieren.b) Sei �j = xj + iyj = |�j |ei�j mit yj 6= 0 (und damit au h ��j = xj − iyj) eine e htkomplexe Nullstelle der Vielfa hheit rj des Polynoms p(�). Zeigen Sie, dasszk = |�j |kk(k − 1) · · · (k − s+ 1) os(k�j);zk = |�j |kk(k − 1) · · · (k − s+ 1) sin(k�j);f�ur 0 ≤ s < rj L�osungen der Glei hung (2) sind.

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) Bestimmen Sie die L�osung des Anfangswertproblemszk+3 − 5zk+2 + 10zk+1 − 12zk = 0; k = 0; 1; 2; : : :z0 = 2;z1 = 4;z2 = 7:

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Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2006Hohere Numerische Mathematik�Ubungsblatt 7 , Abgabe: Freitag 26.5.2006 , 11.00 Uhr!Aufgabe 27: (6 Punkte)Beweisen Sie den folgenden Satz:Satz: y ∈ C1(a; b) sei eine L�osung der AWAy′(x) = f(x; y(x)); a ≤ x ≤ b; (1)y(a) = y0:� > 0 sei eine Konstante und D := {(x; z) : a ≤ x ≤ b; y(x) − � ≤ z ≤ y(x) + �}. Es geltef ∈ C(D) und f erf�ulle eine Lips hitz Bedingung in D. Die AWA (1) werde dur h einkonsistentes stabiles LMV approximiert. Dann gibt es eine Konstante h0 > 0, so dass(xk; yk) ∈ D; a ≤ xk ≤ b;f�ur h < h0.Hinweis: Betra hten Sie die Hilfs-AWAY ′(x) = F (x; Y (x)); a ≤ x ≤ b; (2)Y (a) = y0mit F (x; Y ) :=

f(x; y(x) − �) f�ur Y ≤ y(x) − �;f(x; Y ) f�ur y(x) − � ≤ Y ≤ y(x) + �;f(x; y(x) + �) f�ur Y ≥ y(x) + �:Aufgabe 28: (2+1+1 Punkte)Die AWA y′(x) = �y(x); x ≥ 0; � ∈ R (3)y(0) = 1werde dur h die Methode yk+2 − yk = 2hfk+1 (4)gel�ost.a) Zeigen Sie, dass die L�osung yk von (4) die Formyk = A(�1(h))k +B(�2(h))khat, wobei �1(h) = e�h +O(h3)�2(h) = −e−�h +O(h3)gilt.

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b) Wel hes �r(h) entspri ht der L�osung von (3) und wel hes ist parasitis h? ) Wie verh�alt si h die Approximation yk, falls � eine gro�e negative Zahl ist?Aufgabe 29: (2+2+2 Punkte)a) Zeigen Sie: dkdzk�(z)∣∣∣z=0 = dkd�k'(�)∣∣∣�=1 (5)b) Bere hnen Sie die Konstanten C0; : : : ; Cp+1 f�ur das LMV (�; �) mit�(z) = z2 − 1;�(z) = 2z: ) Die AWA y′(x) = y(x); x ≥ 0;y(0) = 1hat die L�osung y(x) = ex: Zeigen Sie f�ur dieses Problem, dassTh(xk+m) = [�(eh)h − �(eh)]exkgilt.Die Notationen in dieser Aufgabe entspre hen denen aus Satz 7.6.1.Aufgabe 30: (4 Punkte)Bestimmen Sie �; � in dem Mehrs hrittverfahrenyk+3 − yk + �(yk+2 − yk+1) = h�(fk+2 + fk+1)so, dass die Konsistenzordnung 4 errei ht wird. Ist das entspre hende Verfahren stabil?

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Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2006Hohere Numerische Mathematik�Ubungsblatt 8 , Abgabe: 1.6.2006 , 13.00 UhrAufgabe 31: (2 Punkte)Zeigen Sie, dass die Methodeyk+3 + 2711yk+2 − 2711yk+1 − yk = hfk+3instabil ist, indem Sie das Polynomr(w) = (1− w2 )3�(1 +w1− w)mit Hilfe des Routh-Hurwitz Satzes untersu hen.Aufgabe 32: (1+1+2+4 Punkte)Sei (�; �) ein stabiles m-S hritt LMV der Ordnung p. Zeigen Sie (mit den Notationen ausSatz 7.6.2):a) s(1) = �m und r(1) = �mb) 0 = 12 ) ∑

∞�=1 2� = −12d) p ≤ m, falls �m�m ≤ 0Aufgabe 33: (Programmieraufgabe, 10 Punkte)Das Hodgkin-Huxley-Modell ist das ber�uhmteste Modell zur Simulation von Nervenzellen(Neuronen). Es wurde 1952 von Alan Lloyd Hodgkin und Andrew Fielding Huxley, urspr�ung-li h zur Bes hreibung der Entstehung von Aktionspotenzialen V (kurzzeitigen, in ganz harak-teristis hen Formen ablaufende Abwei hungen des Membranpotenzials einer Zelle von ihremRuhemembranpotenzial) in den Nervenzellen des Tinten�s hes, entwi kelt. Das Modell wirddur h die Di�erentialglei hungd2Vdt2 = K [dVdt + 1CM {�gKn4(V − VK) + �gNam3h(V − VNa) + �gl(V − Vl)}] (1)bes hrieben. �gK und �gNa sind die maximalen Leitf�ahigkeiten des Kalium- und Natrium-kanals, VK und VNa sind ihre festen Potenziale. Gl und Vl sind die Leitf�ahigkeit und dasRuhepotential der Membran. Die dimensionslosen KoeÆzienten n, m und h werden dur hdie Di�erentialglei hungen dndt = �n(V )(1− n)− �n(V )n; (2)dmdt = �m(V )(1 −m)− �m(V )m; (3)dhdt = �h(V )(1− h)− �h(V )h (4)

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bes hrieben. Dabei wurden die �i und �i von Hodgkin und Huxley dur h ihre Experimenteals N�aherung bestimmt. Sie lauten�n(V ) = 0:01 · V + 10eV+1010 − 1 ;�n(V ) = 0:125 · e V80 ;�m(V ) = 0:1 · V + 25eV+2510 − 1 ;�m(V ) = 4 · e V18 ;�h(V ) = 0:07 · e V20 ;�h(V ) = 1eV+3010 + 1 ;die Konstanten in der Di�erentialglei hung (1) sind dur h CM = 1, VNa = −115, VK = 12,Vl = −10:613, �gNa = 120, �gK = 36 und �gl = 0:3 gegeben.L�osen Sie die Glei hungen (1) - (4) numeris h mit einem Verfahren Ihrer Wahl. Als Startwertseien V0 = 0:1 und n0 = �n(0)�n(0) + �n(0)m0 = �m(0)�m(0) + �m(0)h0 = �h(0)�h(0) + �h(0)Die Konstante K muss experimentell bestimmt werden, so dass die L�osung V (t) f�ur t → ∞bes hr�ankt bleibt.Die Programmieraufgabe darf eine Wo he sp�ater abgegeben werden!

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Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2006Hohere Numerische Mathematik�Ubungsblatt 9 , Abgabe: Freitag 16.6.2006 , 11.00 Uhr!Aufgabe 34: (5 Punkte)Sei f : R × R → R

2, (x; y) 7→ (u; v) die Abbildung , wel he dur hu = ex os yv = ex sin ygegeben ist.a) Bestimmen Sie das Bild von f .b) Zeigen Sie, dass die Determinante der Ja obi-Matrix von f in jedem Punkt aus R2 von0 vers hieden ist. ) Zeigen Sie, dass jeder Punkt aus R

2 eine Umgebung hat, in der f injektiv ist, f istjedo h ni ht injektiv auf ganz R2 ist.d) Wie sind die Bilder der Geraden x = � und y = � mit �; � ∈ R unter f?

Aufgabe 35: (5 Punkte)Zeigen Sie, dass die Funktion u = y �(xy)die Glei hung x�u�x + y�u�y = ul�ost. Dabei sei � eine beliebige di�erenzierbare Funktion.Aufgabe 36: (5 Punkte)a) Eine Funktion u ∈ C∞(Rn\ {0}) hei�t homogen von Grade �, wennu(tx) = t�u(x); ∀ x ∈ R

n; x 6= 0; t ∈ R+gilt. Zeigen Sie: u ∈ C∞(Rn\ {0}) ist genau dann homogen vom Grade �, wennn

∑i=1 xi �u�xi = �ub) L�osen Sie die Anfangswertaufgabex1 �u�x1 + x2 �u�x2 = 0 in R2\ {0} ;u = f(x) auf dem Kreis um den Ursprung vom Radius 1. Setzen Sie hinrei hendeRegularit�at von u und f voraus.

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Aufgabe 37: (5 Punkte)Zeigen Sie, dass die L�osung der ni ht linearen Glei hungux + uy = u2mit den Anfangsdaten x = sy = −su = sentlang der Hyperbel x2 − y2 = 4unendli h wird.

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Prof. Dr. C. W. Cryer SS 2006Hohere Numerische Mathematik�Ubungsblatt 10 , Abgabe: 22.6.2006 , 13.00 UhrAufgabe 38: (10 Punkte)Gegeben sei die W�armeleitungsglei hung��tu(x; t) = �2�x2u(x; t) (1)f�ur 0 ≤ x ≤ �, t ≥ 0 mit den Rand- und Anfangsdatenu(x; 0) = '(x) f�ur 0 ≤ x ≤ �; (2)u(0; t) = 0 f�ur t > 0; (3)u(�; t) = 0 f�ur t > 0: (4)Dabei ist die Funktion ' dur h'(x) = { x f�ur 0 ≤ x ≤ �2 ;� − x f�ur �2 ≤ x ≤ � (5)gegeben. Zeigen Sie, dass die Fourier-Reiheu(x; t) = ∞

∑m=−∞

Ameimx−m2tmit den KoeÆzienten Am := { 0 f�ur m gerade;2i�m2 (−1)(m+1)=2 f�ur m ungeradedie Glei hung (1) mit den angegebenen Rand- und Anfangsdaten (2) { (5) l�ost.Aufgabe 39: (Programmieraufgabe, 10 Punkte)Gegeben sei wiederum die W�armeleitungsglei hung (1) f�ur 0 ≤ x ≤ �, t ≥ 0 mit den Rand-und Anfangsdaten (2) { (5). Die S hrittweite �x wird dur h�x = �Jf�ur J ∈ N de�niert, so dass ein Gitter xj = j�x f�ur j = 0; 1; : : : ; J entsteht. F�ur eine gegebeneZeits hrittweite �t sei tn = n�tmit n = 0; 1; : : : . Die Approximation von u(xj ; tn) wird dannmit unj bezei hnet.Bere hnen Sie f�ur J = 20 eine approximierte L�osung unj der W�armeleitungsglei hung mitdem expliziten Verfahren un+1j − unj�t = unj+1 − 2unj + unj−1�x2 (6)

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f�ur j = 1; 2; : : : ; J − 1, n = 0; 1; : : : , wobei die diskreten Randbedingungenun0 = 0;unJ = 0; n = 0; 1; : : :lauten und die Anfangsbedingung dur hu0j = '(xj); j = 0; 1; : : : ; Jmit ' aus Glei hung (5) gegeben ist. Bere hnen Sie die L�osung unj f�ur die Parameterwahl�t = 59�x2 und �t = 511�x2. Plotten Sie die Ergebnisse jeweils f�ur t = 0; t = 5�x2; t =10�x2; t = 15�x2 und begr�unden Sie Ihre Ergebnisse!Hinweis: Die Programmieraufgabe darf eine Wo he sp�ater per E-mail an den �Ubungsgrup-penleiter abgegeben werden.

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Probeklausur������������� ������� �������� �����������Hohere Numerische Mathematik

Aufgabe 1: !�#"%$%&(')'*�#+,�-&(�/.0&(�21435356��#')��&(+0�87:9��"�;0+�6=<*>?<[email protected]�����&GFH�����#+I$%&J1K356�3(��&MLON-;0+�6<′ P ��B0<Q>R��S-BT�<�T�U BWVX�-U�S

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Aufgabe 2:x��#.0�\ y;0$�L�N0���/z�����'*��3{N�14$g.�&(�2|/�#"%$�1435$}

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Aufgabe 6:

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Aufgabe 9:�r+I$�����"�;�L�N0�#+u�-&(�Z.�&(���-$�1 � &535&5$�914$/.0��� ��$�N��I.0�d� � @/� ��� �c� � − � ��� � D:> d

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