Hm-3 9Ws 19/20 16.12.19

1 Bestimmen Sie die Residuen der folgenden Funktionen.

a. z + 1z

b.1

z4(z2 + 1) c.1

cos zd.

sin zz

e.1 � cos z

z5

f.z

2 � 2zsin(⇡z)

Lösung Ò.Ò a. Res(f , 0) = 1 .

b. Res(f , i) = � i2

, Res(f , �i) = i2

, Res(f , 0) = 0 .c. Res(f , n⇡ + ⇡/2) = (�1)n für n 2 Z .d. Res(f , 0) = 0 . Tatsächlich ist die Funktion bei z = 0 analytisch.

e. Res(f , 0) = 14!

(1 � cos z)(4)���

0= � 1

24cos z

���0

= � 124

f. Res(f , n) = (�1)n n2 � 2n

⇡. /

2 Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale.

a.

Z

|z�2|=1z

2 ln(z2) dz b.Z

|z|=⇡

tan zz

dz c.Z

|z|=3

e↵z

1 + z2 dz .

Lösung Ò.Ò

a. Der Integrand ist analytisch auf |z � 2| < 2 . Also ist das Integral 0 .b. Bei z = 0 liegt keine Polstelle vor, da der Integrand dort analytisch ist. Für

die beiden anderen Polstellen in |z| < ⇡ gilt

Res✓

tan zz

, ±⇡2

◆= sin z

z

1� sin z

����±⇡/2

= ⌥ 2⇡

.

Die Summe der Residuen ist Null. Also ist auch das Integral 0 .c. Es gibt zwei Residuen:

Res✓

e↵z

1 + z2 , ±i◆

= Res✓

e↵z

(z + i)(z � i) , ±i◆

= ± e±↵i

2i.

Das Integral ist somit

2⇡ i

e↵i

2i� e

�↵i

2i

!= ⇡(e↵i � e�↵i) = 2⇡ i sin ↵. /

3 Berechnen Sie:

a.

Z1

�1

eit

4 + t2 dt b.Z1

�1

x + 1x4 + 1 dx c.

Z 2⇡

0

sin z2 + cos z dz .

Lösung Ò.Ò a. Der Nenner hat eine einfache Nullstelle in der oberen Halbebenebei 2i , und

Res(f , 2i) = e�2

4i.

Somit giltZ1

�1

eit

4 + t2 dt = 2⇡ ie�2

4i= ⇡

2e2.

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Hm-3 9.2Ws 19/20 16.12.19

b. Der Nenner hat zwei einfache Nullstellen in der oberen Halbebene,

z0 = ei⇡/4, z1 = e3⇡ i/4.

Wegen z4k

= �1 ist dann

Res(f , zk) =zk + 1

4z3k

= �14

(z2k

+ zk) = �14

((�1)k + zk), k = 0, 1.

Der Beitrag von (�1)k in der Summe der beiden Residuen hebtsich auf, sodass

Z1

�1

x + 1x4 + 1 dx = �2⇡ i

14

(z0 + z1)

= �⇡ i2

2i sin(⇡/4) = ⇡2p

2.

Man kann auch bemerken, dass aus SymmetriegründenZ1

�1

x

x4 + 1 dx = 0.

Die Residuen des verbleidenden Integraden sind dann �zk/4 .c. Der Integrand ist eine ungerade Funktion, das Integral deshalb Null.

Rechnet man von Hand, so erhält man als zugeordnete Funktion

f (z) = 1z

· z � z�1

2i· 1

2 + (z + z�1)/2

= 1i

· z � z�1

4z + z2 + 1

= 1i

· z2 � 1

z(z2 + 4z + 1) Œ1i

r(z).

Es ist

Res(r , 0) = �1.

Der Nenner hat eine weitere Nullstelle innerhalb des Einheitskreises beiw = �2 +

p3 , das Residuum dort ist

Res(r , w) = w2 � 1

2w2 + 4w = 1,

denn w2 = 7 � 4p

3 , also

2w2 + 4w = 14 � 8p

3 � 8 + 4p

3 = 6 � 4p

3 = w2 � 1.

Die Summe der beiden Residuen im einheitskreis ist also Null. /

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