Würfel I

4 Yarianz vnd Standardabweichung - Sigmaregeln

I gei einem Spiel erhält man jeweils diePunktezahl, die man mit einem Wurf einesWürfels erzielt.Für dieses Spiel stehen ein gleichmäßig ge-arbeiteter Würfel und ein ungleichmäßiggearbeiteter Würfel zur Verfügung. DieWürfel wurden 1800-mal bzw. 2000-mal ge-worfen und die entsprechenden HäufigkeitenderAugenzahlen notiert (Fig. l).a) Mit welcher durchschnittlichen Augenzahlmuss man bei beiden Würfeln rechnen, wennman sehr oft würfelt?b) Worin unterscheiden sich vermutlich dieErgebnisse bezüglich der beiden Würfel?

Die Werte einer Zufallsgröße X streuen mehr oder weniger um den Erwartungswert E (X). AlsMaß für die Streuung werden Varianz und Standardabweichung verwendet.

Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße X: ,,Augensumme" hat den Er-wartungswert p = 7 (siehe Beispiel I auf Seite 416).Man bildet die Varianz von X, indem man die Abweichungen von E(X) quadriert, mit den zu-gehörigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert und dann diese Produkte aufsummiert:v(x ) = (2 -7 ) ' .++ Q -T2.++. . . + (10 -7 ) ' .++ (11 - t ) ' .1 * Q2 -7 )2 . { = 51

Definition: Kann eine Zufallsgröße X die Werte x1, x2, .. ., x, annehmen, so heißt V (X) mitV(X) = (x1 - E(X))2.P(X = x, ) +. . . + (xr -E(X)) 'z .P(X = x, ) Var ianz von X.

VqD heißt Standardabweichung von X.

Statt V (X) schreibt man auch kurz o2 und statt \,V (Xt schreibt man auch o

Bei binomialverteilten Zufallssrößen kann man zeieen:

Satz: Ist X eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n und p, so gilt für dieYaianz a2: o2 = n.p.(l - p).

Die Bedeutung von o2 bzw. o verdeutlichen die folgenden Regeln.

o-Regeln: Für jede binomialverteilte Zufallsgröße X mit der Standardabweichung

s = 1';?. (l - pl gitt:P ( p - o < X < p + o ) = 0 , 6 8 0 ( l o - R e g e l ) ,P(1t" -2o < X < p+ 20) =0,955 (2o-Regel) ,P(p- 3o < X < p + 30) = 0,997 (3o-Regel).Die Näherung wird um so besser, je größer n ist. In der Regel verlangt man o > 3.

Fig.

Beachten Sie:Beschreibt z. B. eine Zu-

fallsgröJJe X bei einemGlücksspiel den Gewinn in€, so istV(X) genau ge-nommen ein Mafi in €2.Deshalb ist es u. a- sinnvolldie StandardaQve lchungvon X, also \V(X) einTu-Jühren.

Ein Nachweis kann wie beiAufgabe 8,5.417, e(ol-8en.

Zur Überprüfung dero-Reg,eln siehe auchAufgabe 9.

418

Varianz und Standardabweichung - Sigmaregeln

0,09

0,08

0,07

0,06

f, o,os

P o,oa0,03

0,02

0,01

0

Fig. I

Bei einer Benxout lI-Kette der Länge n liegensomit ca. I der Ergebnisse in dem Intervall

[p- o; p + o] und fast alle Ergebnisse in demIntervall [p - 3o; p +€o]. Die Länge n derBsRNouI-LI-Kette spielt dabei keine Rolle, so-lange für die Standardabweichung o > 3 gilt.Fig. I zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilungeiner binomialverteilten Zufallsgröße X mitdenParametern n= 100, p=0,5 und o=5sowie das 2o-Intervall (rot) und das 3o-Inter-vall (grün).Bei Anwendungen ist die Situation oft umge-kehrt: Gegeben ist eine binominalverteilte Zu-fallsgröße X mit dem Erwartungswert p. Maninteressiert sich für das Intervall um p, in demdie Werte von X mit einer vorgegebenen Wahr-scheinlichkeit liegen. (vgl. Beispiel).

Berechnung von Erwar-tun9 sw ert und Standardab -weichung

Esgi l f P(p- 1,64o < X = p +1,64o) =0,90, P(p- 1,96o = X < p+ 1,96o)=Q,!5,P (p - 2 ,58o < X < p+ 2 ,58o ) =0 ,99 .In diesem Fall spricht man auch von der 90Vo-, der 95Vo- und der 99%o-Regel.

Beispiel: (Anwendung der 99 7o-Regel)Ein defekter Parkscheinautomat eines Parkhauses codiert ca.20Vo aller Parkkarten so falsch, sodass eine Ausfahrt nicht möglich ist. An einem Samstagvormittag möchten zwischen 9.30 lJhrund 10 Uhr 100 Autofahrer mit ihren Autos das Parkhaus verlassen.Schätzen Sie ab, wie viele dieser Pkw-Fahrer mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 entsprechen-de Probleme bei der Ausfahrt haben werden.Lösung:X gibt die Anzahl der falsch codierten Parkscheine an. Es gilt tJ = np = 20 undo2 = np (l - p) = 16; also o = 4. Nach der 99 7o-Regel gilt:P (p - 2,58 o = X < F + 2,58 o) = 0,99. Mit 20 - 2,58. 4 = 9,68 und 20 + 2,58. 4 = 30,32 ergibtsich P (9,68 = X < 30,32) = 0,99. Mit etwa 99 Voiger Watrscheinlichkeit werden zwischen 10und 30 Pkw-Fahrer Probleme bei der Ausfahrt aus dem Parkhaus haben.

Aufgaben

2 Zweiideale Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße X gibt das Produkt derAugenzahlen an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung, ;,r und o von X.

3 Auf einem Vereinsfest werden zwei Glücksspielvarianten angeboten:Ein Kasten enthält fünf weiße Kugeln und drei Kugeln mit dem Vereinsemblem. Ein Spieler ziehteine Kugel.Bei Variante I gewinnt der Spieler 7€, wenn die Kugel das Vereinsemblem trägt, ansonsten ver-liert er 5 €. Bei Variante II gewinnt der Spieler 2€, wenn die Kugel das Vereinsemblem trägt,ansonsten verliert er 2€.a) Wie groß ist die jeweils zu erwartende Einnahme des Vereins pro Spiel?b) Bestimmen Sie die entsprechenden Standardabweichungen.c) Interpretieren Sie die Ergebnisse.

419

Varianz und Standardabweichung - Sigmaregeln

Ein Skatspiel hat jeweilsKreuz-, Pik-, Herz- undKarokarten. Herz- undKarokarten sind rote Kar-ten, die anderen sindschwarze Karten.

Bei einem fairen Glücks-spiel gibt es langfistigweder Gewinner nochVerlierer

Bei dem Problem aus Auf-gabe t handelt es sich umeine so genannte Irrfahrtin der Ebene. Auch die un-regelmöJ3ige Bewegungkleinster Tbilchen in Flüs-sigkciten oder Gasen, dieso genannte,,Brown'scheMolekularbewegung",kann ntihe rung sw e i s e al seine lrrfahrt im Raum be-schrieben werden. Die seBewegung wurde 1827 vondem e n glische n Botanike rRaBERT BRowN(1773-1858) entdeckt.I83l erknnnte er den Kemals wesentlichen Bestand-teil der Zelle.

4 Ein Würfet wird n-mal seworfen. Bestimmen Sie mit den o-Regeln die zugehörigen o-In-

tervalle füra ) n = 1 0 0 b) n=400 c) n = 1600.

5 Beim Volleyball ist diejenige Mannschaft Sieger, die zuerst drei Sätze gewonnen hat.

a) Wie viele Sätze sind zu erwarten, wenn zwei gleich starke Mannschaften gegeneinander

spielen?b) Bestimmen Sie die entsprechende Standardabweichung.

6 Zwei Spieler A und B vereinbaren ein Glücksspiel. A zieht aus einem Skatspiel eine Karte.

Ist dies eine Kreuzkarte, so erhält er 4€ von B, bei einer roten Karte erhält er 2€ von B.Zieht

erjedoch eine Pikkarte, so muss er 7€ an B zahlen.Welcher der beiden Spieler ist langfristig im Vorteil? Bestimmen Sie die entsprechende Stan-

dardabweichung.

7 Im Jahre 1998 wurden laut Kriminalitätsstatistik etuta 82Vo aller Betrugsdelikte aufgeklärt.

Es wird angenommen, dass für jeden Einzelfall die gleiche Aufklärungswahrscheinlichkeit gilt.

Wenden Sie die 95Vo-Fiegel auf 100 bzw. 200 bzw. 500 Fälle an.

8 Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 100 Fragen. Es werden zu jeder Frage drei Antwor-

ten angeboten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Jemand rät bei allen Antworten.

Geben Sie ein Intervall an, in dem die Anzahl der richtigen Antworten mit einer Wahrschein-

lichkeit von a) 687o b) 95Vo c) 99Vo d) 30Vo e) 60Vo liegt.

9 Ein Käfer beginnt zv Zeit0 im Ursprung eines Koordinatensystems eine Wanderung, bei

der er jede Minute seine Position um eine Einheit nach rechts, links, oben oder unten jeweils mit

der Wahrscheinlichkeit 0,25 ändert.a) Die Wanderung des Käfers dauert 2 Minu-ten; die Figur zeigt zwei mögliche Wege.Geben Sie die Koordinaten aller der Punkte

an, auf denen sich der Käfer befinden kann.b) Die Zufallsgröße X ordnet jedem dieserPunkte den Abstand des Käfers vom Ursprungzu. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsver-teilung, den Erwartungswert und die Stan-dardabweichung von X.c) Die Wanderung dauert 3 Minuten. Ermit-teln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung,den Erwartungswert und die Standardabwei-chung der entsprechenden Zufallsgröße.

10 Betrachtet wird eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p.

a) Best immen SieP(p- o < X = p+ o) , P(p-2o =X < 1t '+ 2o) ,P(p- 3o < X s p+ 30)

fü r n=50 und p=0 ,4 sow ie fü r n=100 P=0 ,8 .b) Erstellen Sie jeweils ein Säulendiagramm zur Wahrscheinlichkeitsverteilung für n = 50 und

p = 0,4 sowie für n = 100 und p = 9,3.Kennzeichnen Sie jeweils den 1o-,2o- und 3o-Bereich.c) Vergleichen Sie die Ergebnisse von a) und b) mit den o-Regeln.

d) Für welche n und welche p haben Sie in a) die genannten Wahrscheinlichkeiten ebenfalls be-

stimmt? Begründen Sie Ihre Antwort.

Fig,

420

Bei vielen BsRNoul-Ll-Versuchen kennt man die Trefferwahrscheinlichkeit ps nicht. Man hataber eine Vermutung (Hypothese) über die Trefferwahrscheinlichkeit. Ob diese Hypothesehaltbar ist, kann man mithilfe von Stichproben oder mehrmaligem Durchführen des Versuchestesten. Wie man dabei vorgeht wird an folgender Situation erläutert.

Würfelt man n-mal mit einem Quader (Fig. l) und betrachtet eine bestimmte Augenzahl alsTreffer, handelt es sich um wiederholte Durchführungen eines BnnNour-r-r-Versuches.

5 Testen der Hypothese p = po

L Überprtifen Sie, ob beim Rollen IhresStiftes mit sechs gleichen Flächen die be-druckte Seite mit der Wahrscheinlichkeit ]oben lieet.

Bei einem hohen Versuchsumfang n liegt dieabsolute Häufigkeit für diese Augenzahl mit9 5%oiger Wahrscheinlichkeit im Intervalllp- 1,96o; p+ 1,96o1(957o-Regel, Seite417). Beobachtet man, dass sie außerhalbdieses Intervalls liegt, wird in der Statistikvereinbart, die Hypothese zu verwerfen (ab-zulehnen), andernfalls nimmt man die Hypo-these an. Man spricht deshalb auch vom Ab-lehnungs- bzw. Annahmebereich einer Hy-pothese (vgl. Fig. 2).

Allgemein ist [p - c.o; p, + c.o] der Annah-mebereich beim Testen der Hypothese p = po.Der Tabelle kann man bei vorgegebenemSignifikanzniveau den zugehörigen Wert für centnehmen (vgl. Seite 419).

Annahmebereich

p - 1 , 9 6 o p p + 1 , 9 6 o

Fig.2

Wert für c Signifikanzniveau

2,58

1,96

1,64

lVo

5Vo

I07o

Fig.

p = n ' p

o = l n . p 1 1 - p 1

Die Ablehnung der Hypo-these bedeutet nicht, dassdie Hypothese falsch ist.Ebenso bedeutet die Bei-behaltun g der Hyp othe s enu4 dass die Ergebnisse esnicht nahelegen, die Hypo-these abzulehnen.

Nimmt man z. B. für das Ergebnis ,,Augenzahl 3" die Wahrscheinlichkeit p = 0,226 an, so ergibtsich mit n = 1000 der Erwartungswert p, =226 und die Standardabweichung o = 13,226.Damit erhält man als Annahmebereich der Hypothese das Intervalllp- 1,96o; p+ 1,96o1= 1200,08; 251,921, d.h. beiTrefferzahlen von 201bis 251behältmandie Hypothese bei.Die Wahrscheinlichkeit die Hypothese abzulehnen, obwohl sie zutrifft, beträgt hierbei dann 5Vo.Die Wahrscheinlichkeit 5Vo nennt man auch das Signifikanzniveau.

Vorgehen beim Testen der Hypothese p = p0:1. Man legt den Stichprobenumfang n und das Signifikanzniveau fest.2. Manbestimmt den Annahmebereich hr - c. o; [r + c' o].3. Die Hypothese wird beibehalten, wenn das Stichprobenergebnis im Annahmebereich liegt,

sonst wird sie verworfen.

421

Testen der Hypothese p = po

Beachten Sie:Wenn Anika überhaupt kei-nen Trefer erzielr, bedeuteldas in diesem Fall nicht.dass sie röt, sondem dasssie genau schmeckt, aller-dings die Zuordnung ver-wechselt.

Beispiel 1: (Durchführung eines Tests)Anika behauptet, dass sie nur am Geschmack erkennt, ob der Tee mit entkalktem oder nicht ent-kalktem Wasser hergestellt wurde. Bei 50 Versuchen stimmt ihre Angabe in 30 Fällen.Testen Sie auf einem Signifikanzniveau von 5Vo die Hypothese:Ihre Trefferwahrscheinlichkeit pe beträgt +, d. h. Anika rät nur.I-,iisung:t. Stichprobenumfang: n = 50;

Siginifikanzniveav 5Vo

a) po = 0,5; n = 5O; 5Vo

c ) p o = \ ; n = 1 0 0 ; 5 V o

e) po=0,05; n =200; 5Vo

Ablehnungs.bereicfl

b) po = 0,5; n = 50 lqod) po = !; n= 100; 5Vof) po = 0,9; n = 200: lVo

Annahmebereich

Ablehnungeb6reicfi

2 . p = n . p = 5 0 . 0 , 5 = 2 5 u n d s = { t L s = 3 . 5 4 | | | j

Annahmebereich: [8,07; 31,93] | ' I

3. Da 30 im Annahmebereich liegt, kann man 18'07 tL=25 31'93

die Hypothese beibehalten. p- 1'96o F+ 1'96oFig. I

Beispiel 2: (Ermittlung eines Annahmebereiches)Der Oberbürgermeister einer Stadt erhielt bei der letzten Wahl 59Vo der Stimmen. Er gibt eineMeinungsumfrage mit einem Stichprobenumfang von 1000 in Auftrag. In welchem Bereichmüsste die Anzahl der Zustimmungen liegen, damit die Hypothese ,,Seine Popularität hat sichnicht geändert" beibehalten werden kann? Rechnen Sie mit dem Signifikanzniveat SVo.Lösung:Die Hypothese lautet: po = 0,59.l. Stichprobenumfang: n = 1000; Signifikanzniveau: 5Vo2. l t=n.p = 590 und s = lAl9 = 15,55.

AlsAnnahmebereich ergibt sich [U,- 1,96o; p+ 1,96o] =1559,52;620,481.3. Liegt die Anzahl der Zustimmungen zwischen 560 und 620, so kann die Hypothese beibehal-

ten werden.

Aufgaben

2 Die Hypothese p = po soll bei einem Stichprobenumfang n auf dem angegebenen Signi-fikanzniveau getestet werden. Bestimmen Sie den Annahmebereich.

3 Von dem Glücksrad in Fig. 2 wird behauptet, das Ereignis ,,eine Fünf oder Sechs" tritt mit

der Wahrscheinlichkeit I auf. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht.

a) Bestimmen Sie den Annahmebereich bei einem Signifikanzniveatyon 5Vo.b) Wie wird man entscheiden, wenn das Ereignis 25-mal eingetreten ist?

4 Jemand behauptet, dass in den Zoohandlungen grüne und blaue Wellensittiche gleich häu-Fig.2 fig zum Verkauf angeboten werden. In mehreren Zoohandlungen wird bei 100 Sittichen die

Farbe bestimmt. Man findet 64 grüne Vögel. Kann man bei einem Signifikanzniveau von l%oschließen, dass die Farben der angebotenen Tiere gleich häufig sind?

5 Bei einer Lotterie wird damit geworben, dass jedes vierte Los gewinnt. Man beobachtet,dass unter 53 gezogenen Losen nur acht Gewinnlose waren.a) Stimmt die Werbeaussage?b) Zu welchem Ergebnis kommt man, wenn unter 530 Losen 80 Gewinnlose waren?

422

Testen der Hypothese p = po

Bei diesem so genannten

Uorzeichentest w i rd inne r-ha lb de r Ve rsuchsfe ltle rnur fest ge stellt, ob dieeine oder die andere Sorteeinen höheren Ertrag Lie-

ferte.Mengenangaben desMehr-Ertrags spielenkeine Rolle.Es handek sich also umeinen vergleichsweisegroben Test.

6 Es soll die Hypothese P = 0,3 bei einem Stichprobenumfang von n = l00 getestet wer-den. Der Annahmebereich ist [7; 43].Welches Signifikanzniveau liegt hierbei zugrunde?

7 In einer Abfüllanlage für Schokolinsen werden rote und weiße Linsen gemischt. Die Mi-schung einer Tüte soll 4O7o rote und 60Vo weiße Linsen enthalten. Zur Kontrolle der Mischungwird zufällig eine Tüte entnommen. In dieser Tüte befinden sich 32 weiße und 5J rote Linsen.Prüfen Sie, ob die Stichprobe bei einem Signifikanzniveau von 5Vo auf eine ungenügendeMischung hinweist.

I Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses vermutet man p = 0,36. Wie oft muss mandas Zufallsexperiment wiederholen, damit die Hypothese p = 0,36 beim 1O-maligen Eintretendes Ereignisses bei einem Siginifikanzniveau von 5 7o verworfen werden kann?

9 Die beiden Glücksräder (Fig. l) werdenunabhängig voneinander gedreht. Bei richtigerEinstellung des Automaten erscheinen im Fen-ster jedes Feldes mit gleichen Wahrscheinlich-keiten Ziffem. Gewonnen wird, wenn diebeiden Ziffem im Fenster gleich sind.a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit füreinen Gewinn, wenn der Automat richtig ein-eestellt ist.b) Ein Spieler behauptet, dass der Automat falsch eingestellt sei. Bei den folgenden 50 Spielengewinnt er nur einmal. Kann er hieraus auf ein Signifikanzniveau von 5 7o schließen, dass derAutomat nicht richtig eingestellt ist?

10 Um zwei Kartoffelsorten A und B hinsichtlich ihrer Erträge zu vergleichen, werden 50 Ver-suchsfelder inje zwei gleich große Parzellen aufgeteilt; aufder einen Parzelle wirdjeweils dieSorte A, auf der anderen die Sorte B angebaut.Nach der Emte wird für jedes Versuchsfeldfestgestellt, ob die Sorte A oder die Sorte Bden höheren Ertrag gebracht hat. Man gehtdavon aus, dass beide Sorten den gleichenErtrag haben. Ein höherer Ertrag der einenoder der anderen Sorte auf einem Feld kämesomit zuftillig (wie durch einen Münzwurfgesteuert) zustande. Für welchen Bereich lässtsich bei einem Signifikanzniveau von 5Voschließen. dass die beiden Sorten unterschied-lich ertragsreich sind?

11 Die Tabelle zeigt die Verteilung der Ge-burtstage von 502 Schülern auf die siebenWochentage.a) Überprüfen Sie mithilfe der Daten, ob Fig. 3

die Wahrscheinlichkeit für einen Sonntag als Geburtstag p = ] ist, für ein Signifikanzniveau

von lVo.b) Erheben Sie eine Stichprobe an Ihrer Schule und entscheiden Sie aufgrund dieser Stichprobeüber die Hypothese.

Fig.2

M o l D i l M i l D o l F r l S a l S o

7 s | 8 4 | 6 8 1 7 7 1 8 2 | s 8 | 5 8

C . , c v

o

\ @

o

t o ( 9

Fig. I

423

Testen der Hypothese p = pn

12 Um zu untersuchen, ob Tiere gewisseSubstanzen orten können, werden sie durcheinen Gang geschickt, der sich am Ende ver-zweigt (Fig. I ). An einem Ende wird die Sub-stanz angebracht. In einem Vorversuch ohneSubstanz soll untersucht werden, ob das je-weilige Tier einen der beiden Gänge bevor-zugt oder nicht.a) Das Tier wird 50-mal durch den Gang ge-schickt. 3l -mal wählte es das rechte Gang-ende. Kann man hieraus mit dem Sienifikanz-niveau von 5 7o schließen, dass das Tier die beiden Gangenden nicht gleich häufig wählt?b) Welcher Annahmebereich ergibt sich bei 100 Versuchen und dem Sienifikanzniveau 7 7o?

13 Ein Pilzsammler findet einen Pilz, dergiftig sein könnte. Welchen Fehler kann derPilzsammler bei der Überprüfung der Hypo-these ,,Der Pilz ist giftig" begehen; welchenwird er versuchen möglichst zu vermeiden?

14 Einer Arztin werden zwei MedikamenteA und B angeboten mit der Versicherung, dassA und B gleich gut sind (dass A besser ist alsB). Wann begeht die Arztin einen Fehlerl. Art, wann begeht sie einen Fehler 2. Art?

15 Eine häufig wiederkehrende Anzeige ineinerTageszeitung wurde bislang von40Vo derLeser beachtet. Nach einer Neugestaltung derAufmachung soll durch eine Befragung von100 Lesem überprüft werden, ob sich der Anteilder Leser dieser Anzeige verändert hat. Dabeisoll die Hypothese ,,Der Anteil hat sich nichtverändert" mit einer Wahrscheinlichkeit vonhöchstens l0% irrtümlich verworfen werden.a) Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich.b) Berechnen Sie das Risiko 2. Art, wenn sichderAnteil tatsächlich auf 507o erhöht hat.(Ist der Ablehnungsbereich [a; b] und [c; d],so erhält man das Risiko 2. Art ausP (b < X < c), wobei rur p = 0,5 zu verwen-den ist.)

16 Es wird die Hypothese vertreten, dass ein mit Butter bestrichener Toast immer auf die..Butterseite" fällt.a) Ein Toast wird 50-mal geworfen. Dabei fällt er 20-mal auf die Butterseite (B). Testen Sie dieHypothese Po = 0,5 aufeinem Signifikanzniveau von I 7o.b) Es wird vereinbart die Hypothese beizubehalten, wenn bei 50 Würfen mindestens 17-mal undhöchstens 33-mal B eintritt. Welche Intumswahrscheinlichkeit liegt diesem Test zu Grunde?c) Berechnen Sie für den Test in a) das Risiko 2. Art, wenn in Wirklichkeit P(B) = 0,4 gilt.

Fig. I

Mögliche Fehler beim Testen

Die Entscheidung, ob eine Hypothese abgelehnt wird oder nicht, er-folgt lediglich anhand einer Stichprobe. Folglich können bei dieserEntscheidung Fehler begangen werden. Man sagt, man begeht einen- Fehler l. Art, wenn man die Hypothese ablehnt, obwohl sie rich-tig ist.- Fehler 2. Art, wenn man die Hypothese beibehält, obwohl siefalsch ist.Damit ergibt sich die folgende Übersicht.

Man bezeichnet als- Risiko 1. Art oder Irrtumswahrscheinlichkeit die Wahrscheinlich-keit für einen Fehler l. Art- Risiko 2. Art die Wahrscheinlichkeit frir einen Fehler 2. Art.

Bei den Fehlern 1. Art kennt man die Wahrscheinlichkeiten undkann die Irrtumswahrscheinlichkeiten somit bestimmen.Das Risiko 2. Art kann man nicht bestimmen, da man p nicht kennt.Man kann aber vorsorglich für ein in Frage kommendes p ein dazugehörendes Risiko 2. Art ausrechnen.

Hvoothese ist wahr Hvoothese ist falsch

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