Bauhaus-Universitt Weimar a Institut fr Mathematik/Physik u

Material zur Vorlesung

Grundlagen der Analysis und Gewhnliche Dierentialgleichungen o Teil 1 - Analysisfr die Studiengnge u a Bauingenieurwesen (B.Sc.) Management fr Bau, Immobilien, Infrastruktur (B.Sc.) u Lehramt Bautechnik (B. Sc.) Baustongenieurwissenschaft

von

Klaus Markwardt

Institut fr Mathematik/Bauphysik u Bauhaus-Universitt Weimar a Coudraystr. 13 B, Zi. 103 99421 Weimar Homepage: http://webuser.uni-weimar.de/~markward/

1

InhaltsverzeichnisHinweise Notationen 1 Funktionen und Abbildungen 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 7 7 7 14 14 14 15 15 16 18 19 23 23 27 28 29 29 32 32 32 33 33 33 35 36 38 39

Reellwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionale und Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektor- und matrixwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uberblick zu stetigen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Topologische Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzwerte reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10 Stetigkeit reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Dierentialrechnung einer reellen Vernderlichen a 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Grundbegrie und ihre Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Dierentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dierentiation einiger elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dierentiation der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung von Grenzwerten mit der Regel von de lHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Dierentiation komplexwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dierentiation vektorwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktions- und Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 2.9.2 2.9.3 2.9.4 Monotonieverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvexitt und Konkavitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakteristika zum Funktionsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Newtonsches Nherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.11 Lokale Existenz einer stetig dierenzierbaren Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.12 Mittelwertstze der Dierentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.13 Taylorformel mit Lagrangeschem Restglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Funktionen mehrerer reeller Vernderlicher a 3.1 3.2 3.3 Uberblick und Grasche Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakterisierung von Denitionsbereichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 42 44 48 48 48 50 50 50 52 61 62 66 66 67 70 71 74 76 76 77 77 77 79 80 80 80 80 80 81

4 Dierentialrechnung mehrerer reeller Vernderlicher a 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Partielle Ableitungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graken zu Stetigkeit und Dierenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partielle Ableitungen hherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Gradient, Richtungsableitung , totales Dierential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jacobi-Matrix und Verallgemeinerte Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 4.5.2 4.6 4.7 4.8 4.9 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele fr die Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix) u . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taylor-Formel mehrere unabhngige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Lokale Existenz und Dierenzierbarkeit der impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . Freie Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.10 Anwendungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Integralrechnung einer reellen Vernderlichen a 5.1 Unbestimmte Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.2 Einige Grundintegrale und Beispiele fr unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . u Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung - Orthogonalitt von Funktionensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . a

3

5.3

Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 5.3.2 5.3.3 Denition und Approximationseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere Eigenschaften des Riemann-Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 84 85 86 89 89 90 97 101

5.4

Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Reelle und komplexe Fourier-Entwicklungen 6.1 6.2 Trigonometrische Polynome und Frequenzspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Integralrechnung mehrerer reeller Vernderlicher a 8 Parameterintegrale 8.1 8.2

Stetigkeit und Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Dierentiation von Parameterintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

HinweiseAbschlieende Pr fung schriftlich = Pr ngsklausur von 180 Minuten u u Verwendbare Hilfsmittel: Dieses Skript (Teil 1 - Analysis), die Fortsetzung Teil 2 : Dierentialgleichungen und ein Taschenrechner. Beide Skripte knnen auf den Rckseiten der ausgedruckten Seiten handschriftlich ergnzt werden, mehr nicht! o u a Unabhngig davon drfen gerechnete Ubungs- und Belegaufgaben nicht benutzt werden. Keine Benutzung a u von Bchern und Formelsammlungen. u Voraussetzung f r die Zulassung zur Pr fung: u u Erfolgreiche Bearbeitung des zur Vorlesung gehrigen Beleges o Aufgabenstellungen und Abgabetermine der Belegteile sowie die Regeln zur Anerkennung des Beleges werden auf der Homepage von Frau DM Schmidt (siehe unten) bekannt gegeben. Ubungen wchentlich einmal, durchgef hrt von o u Dipl.-Math. Gudrun Schmidt, Coudraystrae 13B, Zimmer 204 Homepage : http://webuser.uni-weimar.de/~schmidt3/ Dr. rer. nat. Klaus Markwardt, Coudraystrae 13B, Zimmer 204 Homepage: http://webuser.uni-weimar.de/~markward/ Homepage des Instituts fr Mathematik und Physik : u http://www.uni-weimar.de/Bauing/mathe/mathe.html Sekretariat der Professur Angewandte Mathematik Tina Liesigk, Coudraystrae 13B Zimmer 103 E-mail : tina.liesigk@uni-weimar.de Tel.: 0-3643-584277 Weitere Hinweise und Informationen zur Vorlesung auf meiner Homepage: http://www.uni-weimar.de/~markward/

4

Bei dem in das Netz gestellte Material handelt es sich in der Regel lediglich um ein grobes Gerst, das in u den Lehrveranstaltungen wesentlich ergnzt und verfeinert wird. Dies betrit insbesondere auch eine Reihe a grundlegender Formeln und Beispiele. An anderer Stelle wurden jedoch im Hinblick auf eine Abrundung des Stoes (Erleichterung weiterfhrender u Studien) sowie die bessere Einbindung in weiterfhrende Theorien und Anwendungen auch Fakten angedeuu tet, die nicht Gegenstand der schriftlichen Prfung sind. u Achten Sie hier bitte auf die entsprechenden Informationen in den Lehrveranstaltungen. Auswahl von an der Universittsbibliothek vorhandenen Lehrb chern und Formelsammlungen a u (Lehrbuchsammlung) Siehe Literaturverzeichnis: [5], [6], [11], [2], [3], [14], [9], [17], [8], [12], [13], [15], [7], [1] und [4]. Internetskripte: Mathematik-Online : Vergleiche [10] In http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/ nden Sie Broschre zur Analysis einer Vernderlicher, u a Broschre zur Analysis mehrerer Vernderlicher u a (bezglich der Integration gibt es dort einige irritierende Formulierungen, die Graken sind jedoch u recht anschaulich) und den Link Dierentialgleichungen Formelsammlung als Broschre u Link zur Fourier-Analysis Lineare Algebra als Broschre u Mathematische Grundlagen als Broschre u Numerik als Broschre (Abschnitt Dierentialgleichungen) u Vektorrechnung als Broschre u Vorkurs Mathematik (Analysis sowie Lineare Algebra und Geometrie) Quelle zur Schulmathematik: [16] Man beachte, dass fr die Vorlesung nur Teile der obigen Manuskripte und Internetquellen relevant sind. u Weitere Hinweise innerhalb des Manuskripts.

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Notationen

C N R Z C k (R)

Menge der komplexen Zahlen Menge der natrlichen Zahlen, N = {1, 2, } u Menge der reellen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Raum der in R k-mal stetig dierenzierbaren Funktionen Raum der auf einem Intervall I k-mal stetig dierenzierbaren Funktionen

C k (I)

Lp (R)

f Lp (R), wenn

|f (t)|p dt existiert

Mn (f )

tn f (t) dt, stetiges Moment n-ter Ordnung Trger der Funktion f a Delta-Distribution (Diracsto) Kroneckersymbol F(f )() = f () =

supp(f ) (t) lk F(f ) , f f (n) L(f ) A Re(f ) , Im(f ) f, g

f (t) eit dt, Fourier-Transformation

Kreisfrequenz : = 2 Frequenz n-te Ableitung einer reellen Funktion

L(f )(z) =0

f (t) ezt dt,

z C, Laplace-Transformation

charakteristische Funktion der Menge A Real- bzw. Imaginrteil von f a

f, g =

f (t) g (t) dt

Skalarprodukt in L2 (R)

f = f

2

f =

f, f , Norm in L2 (R)

c

grtes Ganzes einer reellen Zahl c (engl. : oor), o grte ganze Zahl, die kleiner oder gleich c ist (Gauklammer) o ganzzahliges Aufrunden einer reellen Zahl c (engl. : ceil), kleinste ganze Zahl, die grer oder gleich c ist o

c

6 Vector Sets Rn Cn Zn u, v, w

set of n-dimensional vectors with real components set of n-dimensional vectors with complex components set of n-dimensional vectors with whole-numbered components vectors

Set of Matrices (n, m)-matrix R(n,m) C(n,m) Z(n,m) A, B, C aij det(A)

a matrix with n rows and m columns set of (n, m)-matrices with real entries set of (n, m)-matrices with complex entries set of (n, m)-matrices with whole-numbered entries matrices entry from row i and column j regarding matrix A determinant of the matrix A

other Notions u Cn A R(n,m)

for all n-dimensional vectors with complex entries A is a real (n, m)-matrix Lower case Greek alphabet

name alpha beta gamma delta epsilon zeta eta theta

character

name iota kappa lambda mu nu xi omicron pi

character o

name rho sigma tau upsilon phi chi psi omega

character

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11.1

Funktionen und Abbildungen Uberblick

Denition 1.1. Ausgehend von zwei gegebenen Mengen D und Y wird eine Vorschrift f , die jedem x D genau ein Element y Y zuordnet, eine Funktion (oder Abbildung) von D nach Y genannt. Schreibweise: y = f (x), f : D Y oder x f (x), f: D Y (1.1)

Formal kann eine Funktion f als Teilmenge der Produktmenge f D Y = {(x, y) | x D , y Y } charakterisiert werden, wobei jedes x D in genau einem Paar als erste Komponente vorkommt. Es muss also immer (x, y) f und (x, y ) f = y = y gelten. Nur dann ist die Schreibweise (1.1) gestattet. Insbesondere wird D stets ausgeschpft. o Die Menge Y in (1.1) muss nicht unbedingt ausgeschpft werden. Der Wertebereich o W = f (D) (die Menge aller Bilder von D) ist also eine echte oder eine unechte Teilmenge von Y . WY Grundlegende Eigenschaften von Funktionen (Abbildungen): injektiv, surjektiv, bijektiv Komposition (Verknpfung) von Funktionen, inverse Funktionen (Umkehrfunktionen) u Vergleiche:http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs9/kurs9_broschuere.pdf und http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion Beispiele: 1. f (x) = 2 x 1 Wegen y = 2x 1 folgt f 1 (x) = 2. f (x) = Wegenx 1 , 2x2

x=

y+1 2

x+1 2

.

f : (0, ) R x2 1 2x f 1 : R (0, ) . y= x=y+ y2 + 1

folgt f 1 (x) = x + x2 + 1 ,

1.2

Reelle Funktionen

Identische Abbildung : ID : D D Reelle Funktionen : f: D Y oder in krzerer Form ausgedrckt u u f: D R mit DR Oft sind die Denitionsbereiche reeller Funktionen Intervalle. In den Anwendungen sind sie meist zumindest als Vereinigungsmenge von endlich oder abzhlbar unendlich vielen Intervallen darstellbar. a Mit a < b wird [ a, b ] [ a, b ) ( a, b ] ( a, b ) = = = = {x R | a x b} {x R | a x < b} {x R | a < x b} {x R | a < x < b} ein abgeschlossenes, ein halboenes, ein halboenes und ein oenes mit DR und Y R bedeutet x x fr alle u xD

8

Intervall endlicher Lnge. Intervalle unendlicher Lnge kennzeichnet man analog wie folgt. a a [ a, ) ( a, ) ( , a ] ( , a ) Ublich sind auch die folgenden Schreibweisen [ a, b [ ] a, b ] ] a, b [ = = = {x R | a x < b} {x R | a < x b} {x R | a < x < b} = = = = {x R | a x} {x R | a < x} {x R | x a} {x R | x < a}, = = = = {x R | a x} {x R | a < x} {x R | x a} {x R | x < a}

[ a, [ ] a, [ ] , a ] ] , a [ die wir in der Regel nicht verwenden.

Inverse Funktionen (Umkehrfunktionen) Auch fr eine reelle Funktion f : D Y gilt : u f besitzt genau dann eine inverse Funktion f 1 , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfllt sind. u 1. Y = W ist der Wertebereich von f (Surjektivitt geht aus der Nutzung des Symbols W hervor) a 2. Aus f (x1 ) = f (x2 ) folgt stets x1 = x2 (Injektivitt) . a Fr die inverse Funktion f 1 : D W gilt stets D = W und W = D . u Dies ist mfr beliebige inverse Abbildungen, also nicht nur fr reelle Funktionen gltig. u u u Monotonieeigenschaften Gegeben : Reelle Funktion f : D W und beliebige x1 , x2 D Dann heit f monoton wachsend, wenn x1 x2 = f (x1 ) f (x2 ) streng monoton wachsend, wenn x1 < x2 monoton fallend, wenn x1 x2 streng monoton fallend, wenn x1 < x2 = f (x1 ) > f (x2 ) = f (x1 ) f (x2 ) = f (x1 ) < f (x2 )

Eine reelle Funktion f : D W heit monoton, wenn sie auf ganz D entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist. Eine reelle Funktion f : D W heit streng monoton, wenn sie auf ganz D entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist. Satz 1.2. Eine reelle Funktion, die sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend ist, nimmt auf ihrem ihrem Denitionsbereich uberall denselben konstanten Wert an. Nur die konstanten Funktionen erfllen also diese beiden Monotonieeigenschaften. u Satz 1.3. Jede streng monotone Funktion f : D W besitzt eine Umkehrfunktion f 1 . Ist f streng monoton wachsend, dann trit dies auch fr die Umkehrfunktion f 1 zu. u Ist f streng monoton fallend, dann auch die Umkehrfunktion f 1 . Satz 1.4. Fr reelle Funktionen f : D R , g : D R und reelle Zahlen gilt stets : u f und g monoton wachsend = f + g monoton wachsend 0 und f monoton wachsend 0 und f monoton wachsend = = f f monoton wachsend monoton fallend

f streng monoton wachsend und g monoton wachsend = f + g streng monoton wachsend

9

> 0 und f streng monoton wachsend < 0 und f streng monoton wachsend f (x) 0 f f (x) > 0 f und g g(x) 0

= =

f f

streng monoton wachsend streng monoton fallend

fr alle x D u

=

fg

monoton wachsend

und und

monoton wachsend

fr alle x D u streng monoton wachsend g monoton wachsend g(x) > 0 f (x) > 0 fr alle x D u

=

fg

streng monoton wachsend

=

f Im Gegensatz dazu : f

streng monoton wachsend

1 f

streng monoton fallend

streng monoton wachsend1 f

=

f 1

streng monoton wachsend

f Symbol fr reelle Funktion : Interpretation von u

und f 1 !

Wie ndern sich die obigen Aussagen, wenn in den Prmissen (linken Seiten) jeweils wachsend durch fallend a a ersetzt wird. Komposition von Funktionen, auch Verkettung oder Hintereinanderausfhrung genannt u Komposition zweier Funktionen h und g : g h (g h)(x) = g(h(x)) h wird dabei als innere und g als uere Funktion bezeichnet. a Beachte : Wenn f = g h existiert, dann gilt fr die Wertebereiche i.a. nur Wf Wg . u Satz 1.5. Fr reelle Funktionen h : Dh Wh , g : Dg Wg mit Wh Dg und der Komposition g h : Dh Wg u gilt g und h monoton wachsend = g h monoton wachsend g und h streng monoton wachsend g und h monoton fallend g und h streng monoton fallend = = = g h streng monoton wachsend g h monoton wachsend g h streng monoton wachsend = g h monoton fallend

g monoton wachsend und h monoton fallend

g streng monoton wachsend und h streng monoton fallend = g h streng monoton fallend Man gewinne weitere Aussagen durch Vertauschen von wachsend und fallend in den obigen Prmissen. a Siehe Monotoniekriterien in Abschnitt 2.9 Denition 1.6. Eine reelle Funktion f heit konvex auf einem Intervall I, wenn fr alle u x1 , x2 I und alle t (0, 1) (1.2)

f (t x1 + (1 t) x2 ) t f (x1 ) + (1 t) f (x2 ) gilt. Sie heit streng konvex auf I, wenn an Stelle von (1.2) sogar f (t x1 + (1 t) x2 ) < t f (x1 ) + (1 t) f (x2 ) gilt.

10file:///C:/Dokumente und Einstellungen/markward/Eigene Dateien/Convex_Function.svg

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11.02.2011 09:58

Hinweis: In der Abbildung x durch x1 und y durch x2 ersetzen. Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Funktion Satz 1.7. Eine reelle Funktion f wird genau dann konvex auf einem Intervall I, wenn aus x1 , x, x2 I und x1 < x < x2 stets x x1 x2 x f (x1 ) + f (x2 ) f (x) x2 x1 x2 x1 folgt. Strenge Konvexitt liegt genau dann vor, wenn stattdessen sogar a f (x) < gilt. Man interpretiere den auf den rechten Seite der Ungleichungen stehenden Ausdruck (Geradengleichung in Zweipunkteform). Ersetzt man in Denition 1.6 die Relation durch bzw. die Relation < durch > , dann erhlt die Denitionen a zur Konkavitt bzw. strengen Konkavitt. a a Entsprechend sind die beiden Ungleichungen in Satz 1.7 zu ndern, um Kriterien zur Konkavitt zu erhalten. a a Bemerkungen zur Notation: An Stelle von konvex nutzen einige den Begri konvex von unten. An Stelle von konkav nutzen einige den Begri konvex von oben. f (x) konvex f (x) konkav. f (x) streng konkav x2 x x x1 f (x1 ) + f (x2 ) x2 x1 x2 x1

f (x) streng konvex

Jede streng konvexe Funktion ist auch konvex, aber nicht jede konvexe Funktion ist streng konvex. Satz 1.8. Eine auf einem Intervall I denierte Funktion f : I R , die sowohl konvex als auch konkav ist, nimmt die Gestalt f (x) = a x + b an. Satz 1.9. Fr auf einem Intervall I denierte Funktionen f : I R , g : I R und reelle Zahlen , gilt : u f und g konvex = f + g konvex = = = = f f konvex f + g konvex konkav

0 und f konvex 0, 0 und f , g konvex 0 und f konvex f streng konvex und g konvex

f + g streng konvex

11

> 0 und f streng konvex

=

f = f

streng konvex f + g streng konvex streng konkav

> 0, 0 , f streng konvex und g konvex < 0 und f streng konvex f : If Ig , u = f (x) g(u) g(u) g : Ig R konvex konvex =

=

g(f (x))

konvex

monoton wachsend g : Ig R

f : If Ig , u = f (x) g(u) g(u)

streng konvex streng konvex

=

g(f (x))

streng konvex

streng monoton wachsend

Kriterien fr Konvexitt bzw. Konkavitt mit Hilfe der Dierentialrechnung im Abschnitt 2.9. u a a Spezielle Beispiele f r reelle Funktionen: u 1. Potenzfunktionen, vgl. Abb. 1 Vgl. Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion und www.stem.de/index.html?/html/schule/mathematik/potenzfunktionen.htm 2. Absolutbetrag f : R R, Er ist bekanntlich deniert durch |x| = und besitzt fr beliebige , x, y R mit u |x| |x| = 0 | y| |x + y| = 0 x=0 || |y| |x| + |y| (Dreiecksungleichung) x x fr u fr u x0 x0 mit x 0 1 falls falls x0 x>0 mit x 1 0 falls falls xA xA = | x| | |x| |y| |

12

Abbildung 1: Potenzfunktionen

13

y

1x

05. Gauklammern: auch Ganzzahl-Funktion, Abrundungsfunktion (engl. f loor(x) ) x := max{k Z}kx

fr reelles x u

1

-2

-1

0

1

2

Entsprechend: Aufrundungsfunktion (engl. ceiling function, ceil(x) x := min{k Z}kx

6. Signumsfunktion 1 0 sgn(x) = 1 fr u fr u fr u x>0 x=0 , x 0 mindestens ein zu X gehriger und ein nicht zu X gehriger Punkt liegen. Die Menge aller Randpunkte von X wird o o der Rand von X genannt. Obige Denition sagt nichts darber aus, ob der Randpunkt a selbst zur Menge X gehrt oder nicht. Ein Hufungsu o a punkt a von X, der nicht zu X gehrt, ist immer ein Randpunkt von X. o Denition 1.18. Ein Punkt a X der kein Randpunkt von X ist, wird als innerer Punkt von X bezeichnet. Ist a innerer Punkt von X, dann gibt es eine -Umgebung U (a, ), die in X enthalten ist. Oene Mengen enthalten nur innere Punkte. Nach oben beschrnkte Mengen, nach unten beschrnkte Mengen, beschrnkte Mengen a a a Maximum, Supremum (obere Grenze), Minimum, Inmum (untere Grenze), Eine abgeschlossene beschrnkte Menge wird kompakt genannt. a Zusammenhngende Menge a Konvexe Menge Die Verallgemeinerung der obigen Begrie auf den Rn (speziell fr n = 2 und n = 3) erfolgt in der Vorlesung. u Insbesondere betrachten wir dort folgende Denitionen und Aussagen. Denition 1.19 ( Konvexe Menge). Eine Menge X Rn wird konvex genannt, wenn mit je zwei Punkten P, Q X immer auch deren Verbindungsstrecke ganz in X liegt. P Q := {P + (1 )Q | 0 1} X

Weitere Begrie Eine Teilmenge X des Rn heit zusammenhngend, wenn sich zwei beliebige Punkte P und Q aus X durch a eine Kurve verbinden lassen, die ganz in X liegt . (Korrekter wren die Bezeichnungen: wegzusammenhngend, pfadzusammenhngend oder kurvenweise zusama a a menhngend) a Weg von P nach Q im Rn ist als stetige Abbildung x : [0, 1] Rn denierbar. Nicht zusammenhngende Mengen a Eine zusammenhngende Menge kann mehrfach zusammenhngend sein. a a Einfach zusammenhngende Menge X : a X ist zusammenhngend und jeder geschlossene (doppelpunktsfreie) Weg in X lsst sich innerhalb von X stetig a a zu einem Punkt zusammenziehen. Beispiele, Denitionsbereiche reellwertiger Funktionen f : Rn R mit x(0) = P und x(1) = Q

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1.9

Grenzwerte reeller Funktionen

Denition 1.20. (Grenzwert einer reellen Funktion) Es sei f : D R eine reelle Funktion, a ein Hufungspunkt des Denitionsbereiches D und a Wenn dann aus (xn )nN mit xn D \ {a} und lim xn = an

c R {+, }. (1.3)

stets

n

lim f (xn ) = cxa

folgt , (1.4)

schreibt man kurz

lim f (x) = c

und nennt c im Falle c R den Grenzwert der Funktion f an der Stelle a. In den Fllen c = und c = wird von uneigentlichen Grenzwerten oder auch von bestimmter Divergenz a gesprochen. Lsst man in der Voraussetzung ( 1.3) auch die uneigentlichen Hufungspunkte a = + bzw. a = zu, dann a a kann man fr Funktionen mit nicht beschrnkten Denitionsbereichen analog zu (1.4) die Grenzwerte u ax

lim f (x) = c

bzw.

x

lim f (x) = c

(1.5)

denieren. 1. Ob die Grenzwerte (1.4) oder (1.5) existieren, hngt natrlich nicht nur vom Denitionsbereich D sondern auch a u von der Funktion f ab. 2. Die mit den uneigentlichen Hufungspunkten a = + bzw. a = verbundenen Grenzwerte (1.5) sind a einseitige Grenzwerte. lim f (x) ist ein linksseitiger undx x

lim f (x)

ein rechtsseitiger Grenzwert.

3. Auch bei reellem (eigentlichem) a in ( 1.3) muss a nicht unbedingt zum Denitionsbereich D gehren. o 4. Ist a in Denition 1.20 ein linker Randpunkt des Denitionsbereiches D, dann kann man (1.4) als rechtsseitigen Grenzwert interpretieren und schreibt lim f (x) = c .xa+

Ist a ein rechter Randpunkt des Denitionsbereiches D , dann wird (1.4) ein linksseitiger Grenzwert und es kann lim f (x) = cxa

geschrieben werden. Einseitige Grenzwerte sind jedoch auch von Interesse, wenn der Grenzpunkt a des Argumentes ein innerer Punkt des Denitionsbereiches ist. Denition 1.21. (Einseitige Grenzwerte reeller Funktionen) Es sei f : D R eine reelle Funktion, a ein Hufungspunkt von a D (a, ) und c R {+, }. Wenn dann aus xn D (a, ) stetsn

und

n

lim xn = a folgt,

(1.6)

lim f (xn ) = cxa+

schreibt man kurz

lim f (x) = c

(1.7)

und nennt c den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion f an der Stelle a. Ist a dagegen ein Hufungspunkt von D (, a) und folgt aus a xn D (, a) stetsn

und

n

lim xn = a

(1.8)

lim f (xn ) = c ,xa

dann schreibt man kurz

lim f (x) = c

(1.9)

und nennt c den linksseitigen Grenzwert der Funktion f an der Stelle a. In den Fllen c = und c = wird von uneigentlichen Grenzwerten oder auch von bestimmter Divergenz bezglich a u dieser Grenzbergnge gesprochen. u a Satz 1.22. Falls a sowohl ein Hufungspunkt von D (a, ) als auch von D (, a) ist, dann gilt: a Der (zweiseitige) Grenzwert (1.4) existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen (1.7), (1.9) existieren und uber einstimmen. In diesem Falle gilt lim f (x) = lim f (x) = lim f (x)xa+ xa xa

19

Elementare Beispiele : Vergleiche Grenzwert(Funktion) in http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion) Funktion sin(x) x x+1 x2 1 sgn(x) 1 x 1 |x| rechtsseitiger Grenzwert lim sin(x) =1 x x+1 1 = x2 1 2 linksseitiger Grenzwert lim sin(x) =1 x x+1 1 = x2 1 2 beidseitiger Grenzwert lim sin(x) =1 x x+1 1 = x2 1 2

x0+

x0

x0

x1+

lim

x1

lim

x1

lim

x0+

lim sgn(x) = +1 lim lim 1 = + x 1 = + |x|

x0

lim sgn(x) = 1 lim lim 1 = x 1 = + |x|

existiert nicht unbestimmt divergent lim 1 = + |x|

x0+

x0

x0+

x0

x0

Grenzwerte von dierenzierbaren reellen Funktionen knnen oft mit der Regel von lHospital berechnet werden. o Darauf gehen wir im Abschnitt 2.5 genauer ein. Man vergleiche auch http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital Sehr grundlegend ist die Vertrglichkeit der Grenzwertbildung mit den arithmetischen Operationen. a Satz 1.23. Die reellen Funktionen f : D R und g : D R mgen die Grenzwerte oxa

lim f (x) = p

und

xa

lim g(x) = q

besitzen. Dann gelten die Aussagenxa

lim (f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x) = p qxa xa xa xa

lim f (x) = p

fr beliebiges uxa xa

R

lim (f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x) = p q lim f (x) p xa = = , g(x) lim g(x) qxa

lim f (x)

xa

falls q = 0

Satz 1.24. Gilt |f (x)| |g(x)|xa

in einer Umgebung von a, stetsxa

dann folgt aus

lim g(x) = 0

lim f (x) = 0.

Bemerkung 1.25. Fr linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte reeller Funktionen gelten analog zu Satz 1.23 und u Satz 1.24 formulierte Grenzwertstze. a Bemerkung 1.26. Die Aussagen der Stze 1.23 und 1.24 bleiben fr reellwertige Funktionen f : D R und a u g : D R gltig (Zur Erinnerung : Jetzt wird D Rn vorausgesetzt). u

1.10

Stetigkeit reeller Funktionen

Bei den folgenden Betrachtungen wird vorausgesetzt, dass der Denitionsbereich D R keine isolierten Punkte enthlt. Praktisch kann man dies immer so einrichten. a Denition 1.27. Eine reelle Funktion f: D Y (D R und Y R)

heit stetig in a D, wenn fr jede Folge xn mit dem Grenzwert a die Funktionswerte f (xn ) gegen f (a) konvergieren. u Kurz: Andere Schreibweisen:n

xn a =

=

f (xn ) f (a)

lim xn = a

n xa

lim f (xn ) = f (a)

oder krzer : u

lim f (x) = f (a)

20

Stetigkeit in a bedeutet also, dass dort Grenzbergang und Funktionswertbildung vertauscht werden knnen. u o Stetigkeit an der Stelle a liegt vor, wenn der Grenzwert (1.4) existiert und mit dem Funktionswert f (a) uber einstimmt. (-)-Denition der Stetigkeit einer Funktion f an einer festen Stelle a: Zu jedem (beliebig kleinen) > 0 existiert ein > 0 mit |x a| < = |f (x) f (a)| < (1.10)

Die Auswahl eines derartigen hngt im Regelfall von ab, d.h. = (). Je kleiner ist, um so kleiner muss i.a. a gewhlt werden. a Abschwchung dieses Stetigkeitsbegries: Einseitige Stetigkeit a Linksseitige Stetigkeit an der Stelle a:xa

lim f (x) = f (a)

vergleiche linksseitigen Grenzwert (1.9)

(1.11)

Rechtsseitige Stetigkeit an der Stelle a:xa+

lim f (x) = f (a)

vergleiche rechtsseitigen Grenzwert ( 1.7)

In einem inneren Punkt a von D ist f : D Y genau dann stetig, wenn f dort linksseitig und rechtsseitig stetig ist. Eine Funktion ist stetig auf ihrem Denitionsbereich D, wenn sie in jedem Punkt a von D stetig ist. f : D Y wird dann kurz eine stetige Funktion genannt. Schreibweise: f C(D) Jetzt gilt (1.10) fr alle a D, wobei bei der Auswahl von i.a. aber = (, a) bercksichtigt werden muss. u u Kann jedoch fr eine stetige Funktion f die Gre = () unabhngig fr alle a D gewhlt werden, dann u o a u a nennt man f gleichmig stetig auf D. a (Satz von Cantor) Jede stetige Funktion f : [, ] R ist gleichmig stetig. a Eine Funktion f ist stetig auf einem Intervall I D, wenn sie in jedem Punkt von I stetig ist. Der Graph von f ist dann uber diesem Intervall zusammenhngend. a Die Funktion f besitzt dann keine Sprung- oder Polstellen in I. Anschauliche Bilder: http://www.mathematik-online.org/ Genauer: Abschnitt Stetigkeit in http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs1/kurs1_broschuere.pdf Bemerkungen zu einseitiger Stetigkeit, einseitigen Grenzwerten und stckweise (abschnittsweise) denierten Funku tionen Fr in einem Punkt x0 oder in einem Intervall I stetige Funktionen f undg gilt : u Addition, Subtraktion und Multiplikation, Division bei nicht verschwindendem Nenner sowie Komposition (Verkettung) f (g(x)) fhren auf in x0 oder I stetige Funktionen u Stetigkeit der sinc-Funktion : sinc (x) =1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 3 2 0 2 3

APITEL 2.

KONVERGENZ UND GRENZWERTE

sin x x

x = 0

ist stetig fortsetzbar mit

sinc (0) := 0

r Beweis beruht auf Abschtzungen der trigonometrischen Funktionen. aQ Satz 1.28 (Zwischenwertsatz von Bolzano). Eine auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige reelle Funktion f nimmt jeden zwischen f (a) und f (b) liegenden Wert an.

21

Algorithmus 1.29 (Bisektionsverfahren, Intervallhalbierungsverfahren oder Halbierungsmethode). Es handelt sich um ein numerisches Verfahren zur Nullstellenbestimmung. Dabei wird eine Folge von Intervallschachtelungen, die sich auf eine Lsung von f (x) = 0 zusammenzieht, erzeugt. o Ausgangspunkt : Stetige Funktion f : [a, b] R mit f (a) f (b) 0 .y

b c d =b+c 2

x

Vgl. Grak in http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs1/kurs1_broschuere.pdf Algorithmus 1.30 (Sekantenverfahren). Bei dem Sekantenverfahren handelt es sich um ein numerisches Verfahren zur nherungsweisen Lsung einer reellen Gleichung des Typs f (x) = 0. a o Das Verfahren verwendet folgende Iterationsvorschrift: xn+1 = xn xn xn1 f (xn ) f (xn ) f (xn1 )

Dabei wird mit zwei Nherungswerten x0 , x1 begonnen. a Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Sekantenverfahren Satz 1.31 (Fixpunktsatz). Bildet eine stetige reelle Funktion f das Intervall [a, b] in [a, b] ab, so existiert ein x mit f (x ) = x Satz 1.32 (Extrema stetiger Funktionen). Eine auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige Funktion hat dort mindestens ein Minimum und mindestens ein Maximum. Denition 1.33 (Lipschitz-Stetigkeit). Eine Funktion f : I R heit Lipschitz-stetig auf einem Intervall I, wenn |f (x1 ) f (x2 )| K |x1 x2 | x1 , x2 I mit einer Konstanten K gilt. Beispiele prfen : u 1 x Jede auf einem Intervall I Lipschitz-stetige Funktion ist dort gleichmig stetig. a I = (0, 1); f (x) : x2 , Satz 1.34 (Banachscher Fixpunktsatz). Bildet eine Funktion f |f (x1 ) f (x2 )| K |x1 x2 | mit einer Konstanten K < 1 Iterationsfolge das Intervall [a, b] in sich ab und gilt x1 , x2 [a, b] x,

(von x1 , x2 unabhngig), so existiert ein eindeutig bestimmter Fixpunkt x . Jede a xi+1 = f (xi ), i = 0, 1, 2, , x0 [a, b]

konvergiert dann gegen diesen Fixpunkt. Fehlerabschtzungen: a |xn x | |xn x | Kn |x1 x0 | apriori 1K 1 |xn+1 xn | aposteriori 1K

Denition 1.35 (Gleichmige Stetigkeit). Eine Funktion f heit gleichmig stetig auf einem Intervall I , a a wenn fr jedes u so dass fr alle u die Ungleichung >0 ein () > 0 mit existiert,

x, a I

|x a| () gilt.

|f (x) f (a)|

22

Bemerkung 1.36. Wenn f stetig, aber nicht gleichmig stetig auf I ist, dann gilt a = (, a) Satz 1.37. Wenn I ein abgeschlossenes Intervall ist, dann gilt : Gleichmige Stetigkeit Stetigkeit a Satz 1.38. Jede auf einem oenen Intervall I konvexe Funktion f : I ist dort stetig.

23

22.1

Dierentialrechnung einer reellen Vernderlichen aGrundbegrie und ihre Interpretationf : D R an der Stelle xo D :

Ableitung einer reellen Funktion y = f (x), Der Grenzwert des Dierenzenquotienteny x

=

f (xo + x) f (xo ) (xo + x) xo

fr u

x

0

(2.1)

wird im Falle seiner Existenz die Ableitung von f an der Stelle xo genannt. Schreibweise : f (xo + x) f (xo ) df (xo ) = f (xo ) = lim x0 dx (xo + x) xox

(2.2)

in (2.1) heit Zuwachs der unabhngigen Vernderlichen x. a a

Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung Andere Darstellungsweise fr (2.2): uy x

dy dx

bzw.

f x

df dx

fr u

x

0

(2.3)

dy y df f = lim bzw. = lim x0 x x0 x dx dx Die Ausdrcke df , dy und dx nennt man Dierentiale. Sie werden oft als innitesimal kleine Gren interu o pretiert. Die Ableitung an einer Stelle xo ist dann (nach Leibniz) der Proportionalittsfaktor zwischen innitesimalen a Anderungen dx des Eingabewertes und den daraus resultierenden innitesimalen Anderungen df des Funkti onswertes. df entspricht dabei der innitesimalen Anderung dy der abhngigen Variablen. a Einer verschwindend kleinen Anderung dx der unabhngigen Variablen x wird damit eine verschwindend kleine a Anderung df des Funktionswertes f zugeordnet. (2.4) Zwischen dem Dierential dx und dem Dierential dy besteht also eine lineare Beziehung. Ublich ist anstelle von (2.4) natrlich auch die Schreibweise df = f (xo ) dx. u Die lineare Beziehung (2.4) zwischen den Dierentialen ist abhngig von der Auswahl des Argumentes xo , in a dessen Umgebung die Funktion betrachtet wird. Veranschaulichen lsst sich der Grenzbergang zur Ableitung an einer Stelle xo als Nherung der Tangentena u a steigung durch eine Folge von Sekantensteigungen, siehe Formel (2.1) und die zugehrige Abbildung. Dort ist o eine positive Ableitung an einer Stelle xo veranschaulicht. Anwendungen : In mathematischen Anwendungen (z.B. Kettenregel, Integration von Dierentialgleichungen, unbestimmte und bestimmte Integration durch Substitution) rechnet man mit Dierentialen fast wie mit normalen Variablen. Bei dy = f (xo ) dx, dx dy bei festgehaltenem xo

oder

24

der Modellierung in Mechanik, Physik und anderen angewandten Gebieten geht man hnlich vor. Die Ableitung a von physikalischen Gren ist ihre momentanen Anderungsrate. In den Wirtschaftswissenschaften spricht man o auch hug von Grenzraten (z. B. Grenzkosten, Grenzproduktivitt eines Produktionsfaktors etc.). a a Wie z.B. in der Fehlerrechnung ist es oft sinnvoll, df bzw. dy und dx als kleine (nicht unbedingt innitesimal kleine) Gren zu interpretieren. o Bei der mathematischen Denition der Dierentiale geht man sogar davon aus. dass dy und dx beliebige Gren o sind, die lediglich durch die lineare Abbildung (2.4) aneinander gebunden sind. Jedem f (xo ) wird also eine lineare Abbildung zugeordnet. Fr den Neigungswinkel der in xo angelegten Tangente gilt: u tan = f (xo ). (2.5)

Wird er von der positiven x-Achse aus zur Tangente im entgegengesetzten Uhrzeigersinn (positive Orientierung) gemessen, dann ordnet man ein 0 zu. Bei negativer Messorientierung entsteht demzufolge ein 0. Hier reicht es sich auf < < 0 zu beschrnken. a 2 2 Die Ableitung der Funktion f an der Stelle xo beschreibt das Verhalten dieser Funktion in einer kleinen Umgebung von xo . f = f (xo + x) f (xo ) f f (xo ) x oder f (xo + x) f (xo ) + f (xo ) x Mit x = xo + x entsteht f (x) f (xo ) + f (xo ) (x xo ) (2.6) Die Approximation der Funktion f durch diese Tangentenfunktion liefert eine lokale Charakterisierung von f in einer hinreichend kleinen Umgebung U (xo , ). Genauer : Uber die Ableitung in einem Punkt xo wird eine lineare Funktion deniert: T (x) = f (xo ) + f (xo ) (x xo ) Unter allen mglichen linearen Funktionen g(x) = ax + b approximiert T (x) die Funktion f (x) lokal am o besten. Bezeichnet man eine Funktion als dierenzierbar, ohne sich auf eine bestimmte Stelle xo zu beziehen, dann bedeutet dies die Dierenzierbarkeit an jeder Stelle x des Denitionsbereiches D. In jedem Punkt des Graphen kann dann eine eindeutig bestimmte Tangente angelegt werden. Entsprechend ist die Formulierung dierenzierbar auf einer Menge A D zu interpretieren. In den Formeln (2.1) bis (2.5) wird dann oft x0 durch x ersetzt, um die Abhngigkeit der denierten Gren und a o Beziehungen von der unabhngigen Variablen x deutlich zu machen. (Schreiben Sie diese Formeln auf!) a Fr die Beziehung zwischen den Dierentialen einer dierenzierbaren Funktion f : D R gilt dann allgemein u dy = f (x) dx, dx dy fr jedes feste x D u

25

Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Differential_(Mathematik) In der oberen Abbildung steht zwischen y und dy.y

fr die Dierenz der Funktionswerte. Sie veranschaulicht den Zusammenhang u

Beispiel 2.1. (Elementare Berechnung einer Ableitungsfunktion) Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung Gesucht sei die Ableitung von f (x) = x2 3x + 2 . Dann berechnet man den Dierenzenquotienten alsy x

= = = = =

f (x0 + x) f (x0 ) x (x0 + x)2 3(x0 + x) + 2 (x2 3x0 + 2) 0 x x2 + 2x0 x + x2 3x0 3x + 2 x2 + 3x0 2 0 0 x 2x0 x + x2 3x x 2x0 + x 3.

und erhlt im Grenzbergang a u

x

0 die Ableitung f (x0 ) = lim (2x0 + x 3) = 2x0 3.x0

Also gilt : f (x) = 2x 3. Elementare Funktionen sind in der Regel auf Intervallen I oder allgemeiner auf Mengen der Gestalt Ikk

(alle

Ik

sind Intervalle)

dierenzierbar. Bemerkung 2.2. Eine dierenzierbare Funktion f : D R, D R ist immer stetig. Die Umkehrung gilt jedoch nicht, d.h. es gibt stetige Funktionen, die an einer oder an mehreren Stellen nicht dierenzierbar sind. Bemerkung 2.3. Es sei D ein Intervall I der Gestalt [a, b], (a, b] oder [a, b). Wenn man eine Funktion f : I R in diesen Fllen dierenzierbar nennt, dann muss die Ableitung in den zu I a gehrigen Randpunkten natrlich als einseitige Ableitung interpretiert werden. o u Im Falle I = (a, b] geht es somit um die linksseitige Ableitung von f im Randpunkt b f (x) f (b) df (b) = lim . xb dx xb Alle anderen Punkte sind hier innere Punkte, in denen Dierenzierbarkeit als zweiseitige Dierenzierbarkeit zu interpretieren ist. Im Falle I = [a, b) geht es entsprechend um die rechtsseitige Ableitung von f im Randpunkt a f (x) f (a) df (a) = lim . xa+ dx xa Im Falle I = [a, b] gibt es dagegen zwei Randpunkte, in denen die Ableitungen als einseitige Ableitungen zu ermitteln sind. Wenn Randpunkte zum Denitionsbereich gehren und in ihnen Dierenzierbarkeit vorliegt, dann knnen die ublichen o o Bezeichnungen f (a) bzw. f (b) fr die obigen einseitigen Ableitungen benutzt werden. u Im Falle eines inneren Punktes muss jedoch zwischen einseitiger Dierenzierbarkeit und Dierenzierbarkeit unterschieden werden, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 2.4. (Eine stetige aber nicht uberall dierenzierbare Funktion) f (x) = |x| ist an der Stelle 0 nicht dierenzierbar: Fr alle x > 0 gilt nmlich f (x) = x und damit u a f (x) f (0) df x0 (0) = lim = lim = 1. x0+ x0+ x 0 dx x0 Fr alle x < 0 gilt dagegen f (x) = x und folglich u f (x) f (0) df x 0 (0) = lim = lim = 1. x0 x0 x 0 dx x0 + +

26

Rechts- und linksseitige Ableitung existieren. Sie stimmen aber nicht uberein. Die Funktion ist an der Stelle 0 also nicht dierenzierbar. Die Dierenzierbarkeit der Funktion an allen anderen Stellen liegt dagegen vor. Insbesondere gilt + df f (0+) = lim f (x) = lim 1 = 1 = (0) = f (0+) (2.7) x0+ x0+ dx Die rechtsseitige Ableitung an der Stelle 0 stimmt hier mit dem rechtsseitigen Grenzwert f (0+) der Ableitungen f (x) uberein. Damit wird Analog giltd f dx+

an der Stelle 0 rechtsseitig stetig.

df (0) = f (0) . (2.8) x0 x0 dx Die linksseitige Ableitung an der Stelle 0 ist hier also gleich dem linksseitigen Grenzwert f (0) der Ableitungen f (0) = lim f (0) = lim {1} = 1 = f (x). Damit wirdd f dx

an der Stelle 0 linksseitig stetig.

Aus der Existenz einseitiger Ableitungen folgt jedoch nicht immer ihre einseitige Stetigkeit. Ebenso ergibt sich aus der Existenz der Ableitung f (x) nicht zwingend ihre Stetigkeit oder einseitige Stetigkeit in jedem Punkt xo ihres Denitionsbereiches. Bemerkung 2.5. Es gibt also insbesondere Funktionen, die dierenzierbar aber nicht stetig dierenzierbar sind. Es kann also die Ableitung f (x) in einem Intervall existieren, ohne dass sie in jedem Punkt stetig ist. Das folgende Beispiel mge dies etwas illustrieren. o Beispiel 2.6. Die Funktion f : R R f (x) = x2 cos 01 x

x=0 x=0

ist in jedem Punkt, den Nullpunkt x = 0 eingeschlossen, dierenzierbar. Deshalb ist f (x) auch uberall stetig. Die Ableitung ergibt sich zu 1 1 2x cos x + sin x x=0 f (x) = 0 x=0 Diese Ableitung ist an der Stelle x = 0 nicht stetig. Sie ist dort nicht einmal einseitig stetig (weder linksseitig noch rechtsseitig), denn+

keine der beiden Gleichungen

df (0) = f (0+) dx

und

df (0) = f (0) dx

ist erfllt. Die einseitigen Grenzwerte der Ableitungen f (0+) und f (0) existieren nmlich beide nicht. Fr die u a u einseitigen Ableitungen gilt natrlich u + df df (0) = (0) = f (0) = 0 dx dx Trotz der angedeuteten Probleme wird manchmal davon abgesehen, Bezeichnungen wie in (2.7) und (2.8) zu nutzen, um einseitige Ableitungen mathematisch korrekt von den entsprechenden einseitigen Grenzwerten der Ableitungen zu unterscheiden. In theoretisch anspruchsvolleren Ingenieurmodellen wird dies unter Umstnden problematisch. a Fr uns wird bezglich der Anwendungen die folgende Denition grundlegende Bedeutung haben. u u Denition 2.7. (Stetige Dierenzierbarkeit) Eine reelle Funktion f : D R heit stetig dierenzierbar, wenn ihre Ableitung f uberall auf D existiert und stetig ist. Mit C 1 (D) als dem linearen Raum der in D (mindestens) einmal stetig dierenzierbaren Funktionen kennzeichnet man dies mit f C 1 (D). Ist I ein halboenes oder ein abgeschlossenes Intervall, dann folgt aus f C 1 (I) die einseitige stetige Dierenzierbarkeit in den zum Denitionsbereich gehrigen Randpunkten. o Das letzte Beispiel 2.6 zeigt : Selbst wenn eine Funktion uberall dierenzierbar ist (f also auf dem Denitionsbereich D existiert), muss die Ab leitung nicht stetig sein. Es gilt dort insbesondere f C 1 (D) f C 1 (D) wenn wenn D=R D = R \ {0}

Dierenzierbarkeit einer auf einem Intervall denierten reellen Funktion bedeutet anschaulich : Der Graph der Funktion ist zusammenhngend und verluft knickfrei. Auerdem gibt es keine vertikale Tangente. a a Bei der Betrachtung praktischer Beispiele liegen Stetigkeit und Dierenzierbarkeit von f (x) sowie die Stetigkeit von f (x) abgesehen von isolierten Punkten des Denitionsbereiches vor.

27

2.2

Elementare Dierentiationsregeln

Mit den folgenden Regeln kann man u.a. die Dierentiation zusammengesetzter Funktionen uber die Dierentiation einfacherer Funktionen realisieren. f , g und h seien in ihrem Denitionsbereich dierenzierbare Funktionen. Konstante Funktion f (x) a = const (a) = 0 Potenzregel (xn ) = nxn1 (x ) = x (x ) = x Faktorregel (konstanter Faktor) (a f ) = a f Summenregel (g h) = g h Produktregel (g h) = g h + g h Quotientenregel g h Kettenregel (g h) (x) = g(h(x)) = g (h(x)) h (x) oder dg dh dg = dx dh dx = g hgh h2 (2.16) (2.15) (2.14) (2.13) 1

(2.9) nZ und R 1 und reelle (2.10) (2.11) (2.12)

fr u x>0

fr u

1

fr u

x0

00 ist i.a. nicht deniert, soll hier jedoch ausnahmsweise als 1 interpretiert werden.

Logarithmische Ableitung Aus der Kettenregel folgt fr die Ableitung des natrlichen Logarithmus einer Funktion u u (ln(f )) = Ein Bruch der Formf f

f f

wird logarithmische Ableitung genannt.

Ableitung einer verallgemeinerten Exponentialfunktion (Basis g(x) > 0 nicht konstant) Um f (x) = g(x)h(x) zu dierenzieren, nutzt man, dass Potenzen mit positiver Basis und reellen Exponenten uber die Exponentialfunktion eu = exp(u) dargestellt werden knnen o f (x) = exp ([ ln g(x) ] h(x)) wegen e = (e ) und = eln mit = ln .

Die Anwendung der Kettenregel und der Produktregel ergibt f (x) = h (x) ln(g(x)) + h(x) g (x) g(x) g(x)h(x)

28Hhere Mathematik II o Prof. Dr. Peter Benner Sommersemester 2005 1

2.3

Dierentiation einiger elementarer Funktionen Ableitungen einiger elementarer FunktionenFunktion f (x) = c f (x) = ax + b f (x) = xn f (x) = x Ableitung f (x) = 0 f (x) = a f (x) = nxn1 1 f (x) = 2 x f (x) = ex f (x) = ax ln a f (x) = (a > 0, a = 1)

f (x) = ex f (x) = ax f (x) = ln x f (x) = loga x f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = tan x f (x) = cot xHhere Mathematik II o

1 (x > 0) x 1 1 f (x) = loga e = x x ln a

(a > 0, a = 1, x > 0)

f (x) = cos x f (x) = sin x 1 = 1 + tan2 x (x = (2k + 1) ) 2 cos2 x 1 f (x) = 2 = (1 + cot2 x) (x = k) sin x f (x) =Prof. Dr. Peter Benner Sommersemester 2005 2

Funktion f (x) = sinh x f (x) = cosh x f (x) = tanh x f (x) = coth x f (x) = arcsin x f (x) = arccos x f (x) = arctan x f (x) = arccot x f (x) = arsinh x f (x) = arcosh x f (x) = artanh x f (x) = arcoth x

Ableitung f (x) = cosh x f (x) = sinh x f (x) = f f f f f f f f f 1 = 1 tanh2 x cosh2 x 1 = 1 coth2 x (x = 0) (x) = sinh2 x 1 (x) = (|x| < 1) 1 x2 1 (x) = (|x| < 1) 1 x2 1 (x) = 1 + x2 1 (x) = 1 + x2 1 (x) = x2 + 1 1 (x > 1) (x) = 21 x 1 (x) = (|x| < 1) 1 x2 1 (x) = (|x| > 1) 1 x2

29

2.4

Dierentiation der Umkehrfunktion

Existiert zu f : Dx Wx die Umkehrfunktion f 1 : Dy Wy , so ist diese bekanntlich durch y = f (x) charakterisiert. Satz 2.8. (Dierentiation der inversen Funktion) Zur reellen Funktion f : Dx Wx existiere die Umkehrfunktion f 1 : Dy Wy , Dann gilt fr jeden inneren Punkt xo von Dx : u Ist f in xo dierenzierbar mit f (xo ) = 0, dann wird auch die Umkehrfunktion f 1 an der Stelle yo = f (xo ) dierenzierbar mit 1 (f 1 ) (yo )) = (2.17) f (xo ) Eine andere Schreibweise fr (2.17) wre u a dx (yo ) = dy 1dy (xo ) dx

x = f 1 (y)

und

f 1 : Wx Dx

mit

yo = f (xo )dy dx

Betrachtet man in Satz 2.8 alle Dierenzierbarkeitspunkte x mit dx 1 = dy , dy dx dy 1 = dx dx dy

= f (x) = 0 , so gilt fr diese stets u dy dx =1 dx dy

beziehungsweise

Bemerkung 2.9. Werden die Voraussetzungen in Satz 2.8 dahingehend abgeschwcht, das nur die rechtsseitige a Ableitung f (xo +) mit f (xo +) = 0 existiert, dann gilt an Stelle von (2.17) noch (f 1 ) (yo +) = (f 1 ) (yo ) = 1 f (xo +) falls f (xo +) > 0

1 falls f (xo +) < 0 f (xo +) fr die fallweise existierende einseitige Ableitung der Umkehrfunktion. u Existiert die linksseitige Ableitung f (xo ) mit f (xo ) = 0 , dann gilt entsprechend (f 1 ) (yo ) = (f 1 ) (yo +) = 1 f (xo ) 1 f (xo ) falls falls f (xo ) > 0 f (xo ) < 0

Damit kann die Formel (2.17) insbesondere auf Randpunkte der Denitionsbereiche von f und f 1 ubertragen werden.

2.5

Berechnung von Grenzwerten mit der Regel von de lHospital

Mit der Regel von de lHospital knnen unbestimmte Ausdrcke der Form o u 0 , 0 [0 ()] , + , + [ ] , + , [ + ] , , + 00 , , 0 , [1 ] (2.18)

berechnet werden (nicht in allen Spezialfllen mglich, nicht immer vorteilhaft). Diese unbestimmten Ausdrcke a o u charakterisieren das asymptotische Verhalten von Teilausdrcken bei Grenzbergngen in zusammengesetzten Funku u a tionen. Beispiele: 3 3 (x ) 2 ( x) 2 0 sin x lim , lim , lim sind von der Form , x0 x + x x sin x tan x 0x0+

lim

ln x , x1

x0

lim

ln(|x|) , x1

x +

lim

(x )1 , cot(x)

x

lim

(x )1 , cot x

x

lim

(x )1 cot x

30 x

sind von der Formx0+

lim x ln x,

x0

lim x ln |x|,

x +

lim (x ) cot x,

lim (x ) cot x,

x

lim (x ) cot x

sind von der Formx0+

[0 ()]x

lim

1 + ln x , x

x0

lim

1 + ln(|x|) , x2

x +

lim

(x )1 cot x , bzw.

lim

(x )1 cot x

sind von der Form

[ ]

[ + ]

Die eckigen Klammern in (2.18) wurden benutzt, um zu unterstreichen, dass diese Ausdrcke an sich nicht existieren. u Sie reprsentieren lediglich bestimmte Formen von Grenzbergngen. a u a Verhalten von Zhler und Nenner und der entsprechenden Tangenten beim Grenzbergang fr a u u lim (x ) + 2 104 sin(x)x 5 6

x2

sind in der unteren Abbildung veranschaulicht.

Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital Der folgende Satz kann in seiner allgemeinen Form mit dem Satz 2.37 (kommt spter, verallgemeinerter Mittelwertsatz a der Dierentialrechnung) bewiesen werden. Setzt man zustzlich die Dierenzierbarkeit in den Randpunkten voraus, a dann ergibt sich die dortige Behauptung unmittelbar aus der Denition des Dierentialquotienten 2.2. Satz 2.10. (Regeln von de lHospital) Die Funktionen f und g seien dierenzierbar auf einem oenen Intervall I = (a, b), wobei g (x) = 0 fr alle u x I erfllt sei. u Dann gelten die folgenden Aussagen: 1. In den Fllen axb

lim f (x) = lim g(x) = 0xb

oderxb

lim f (x) = ,f (x) g(x)

xb

lim g(x) = ,

folgt fr den linksseitigen Grenzwert von u

an der Stelle b f (x) f (x) = lim , xb g (x) g(x) (2.19)

xb

lim

falls der entsprechende Grenzwert von

f (x) g (x)

existiert.

31

2. In den Fllen axa+

lim f (x) = lim g(x) = 0xa+

oderxa+

lim f (x) = ,f (x) g(x)

xa+

lim g(x) =

folgt fr den rechtsseitigen Grenzwert von u

an der Stelle a f (x) f (x) = lim , xa+ g (x) g(x) (2.20)

xa+

lim

falls der entsprechende Grenzwert von

f (x) g (x)

existiert.

Bemerkung 2.11. (Folgerungen aus der Regel von de lHospital) Die Aussagen von (2.19) bleiben gltig, wenn im Falle 1 b durch + ersetzt wird: u lim f (x) f (x) = lim , x+ g (x) g(x) (2.21)

x+

Die Aussagen von (2.20) bleiben gltig, wenn im Falle 2 a durch ersetzt wird: u lim f (x) f (x) = lim , x g (x) g(x) (2.22)

x

Folgerung 2.12. Die Funktionen f und g seien dierenzierbar auf (a, c) (c, b) mit a < c < b , wobei dort g (x) = 0 erfllt sei. u Dann folgt aus lim f (x) = lim g(x) = 0xc xc

oder ausxc

lim f (x) = ,

xc

lim g(x) =

fr den Grenzwert von u

f (x) g(x)

an der Stelle c lim f (x) f (x) = lim , xc g (x) g(x) (2.23)

xc

falls der entsprechende Grenzwert von

f (x) g (x)

existiert.

Bemerkung 2.13. Die Regeln knnen unter Umstnden mehrfach angewendet werden. Es ist jedoch stets (natrlich o a u auch schon bei der erstmaligen Anwendung) darauf zu achten, dass ein unbestimmter Ausdruck der Form (2.18) vorliegt. Bemerkung 2.14. Unbestimmte Ausdrcke deren Grenzwerte formal die Gestalt u [0 ] , [ ] , 00 , 0 , [1 ]

haben, knnen eventuell nach Uberfhrung in Quotientenform auf obige Weise berechnet werden. Bei den letzten drei o u Formen erfolgt dies so: 1. Anwendung der Logarithmusfunktion 2. Grenzwertbestimmung des entstandenen Ausdrucks 3.Grenzwertbestimmung des ursprnglich gegebenen Ausdrucks u = lim {f (x)}g(x)xc

= ln() = lim {g(x) ln f (x)}xc

berechnen, dann folgt = e Beispiele 2.15.1 G1 = lim x( 2 ln x )

x0+

ist von der Form ln x = 1 2 =

00 G1 = e 2 =1

=

ln G1 = lim

x0+

1 2 ln x

e

Warum existiert Auch G2 = lim x2x01 ln |x|

x0

1 lim x( 2 ln x )

nicht? 00 = G2 = e2

ist von der Form 1 2 ln |x| ln |x|

1 ln x2 = lim x0 ln |x| Entsprechend zeigt man ohne Nutzung des letzten Resultates = ln G2 = limx0 x0

lim x2

1 ln |x|

= e2 .

32

2.6

Hohere Ableitungen

Ist die Ableitung einer Funktion f : D R wiederum dierenzierbar, so lsst sich die zweite Ableitung von f als a Ableitung von f : D R denieren. Auf dieselbe Weise knnen dann auch dritte, vierte und hhere Ableitungen o o deniert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einfach dierenzierbar, zweifach dierenzierbar, sein. Ist die n-te Ableitung f (n) : D R stetig, so schreiben wir f C n (D). Die zweite Ableitung hngt z. B. mit der Krmmung des Graphen von f : D R zusammen. Sie besitzt auch a u weitreichende physikalische Anwendungen. Zum Beispiel ist die erste Ableitung des Weges x(t) nach der Zeit t die Momentangeschwindigkeit v(t) = x(t) und die zweite Ableitung die (momentane) Beschleunigung a(t) = x(t). Die Schreibweise x(t) fr Ableitungen einer beliebigen Funktion nach der Zeit ist in der Physik ublich. u Hhere Ableitungen knnen auf verschiedene Weisen geschrieben werden: o o f = f (2) = f Im Falle der Beschleunigung : d2 x dt2 Bemerkung 2.16. Produktregel und Hhere Ableitungen - Leibnizregel o Die Ableitung n-ter Ordnung fr ein Produkt aus zwei n-fach dierenzierbaren Funktionen f und g ergibt sich aus u x(t) = n

d2 f , dx2 usw.

= f (3) =

d3 f , dx3

(f g)(n) =k=0

n (k) (nk) f g k

Die hier auftretenden Ausdrcke der Form u

n k

sind wie ublich die Binomialkoezienten.

2.7

Dierentiation komplexwertiger Funktionen

Mit konstanten Parametern A, , , R werden folgende Beispiele dierenziert. f (t) = A ei ( t+) = A cos( t + ) + i A sin( t + ) f (t) = i A ei ( t+) = i A cos( t + ) + i i A sin( t + ) f (t) = i A ei ( t+) = i A cos( t + ) A sin( t + ) und g(t) = A exp( t + i ( t + )) = A e t ei ( t+) = A e t cos( t + ) + i A e t sin( t + ) g (t) = ( + i ) A exp( t + i ( t + )) = ( + i ) A e t ei ( t+)

2.8Mit

Dierentiation vektorwertiger Funktionen

x(t) = (x1 (t), x2 (t))T bzw. x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t))T werden zusammenhngende ebene bzw. rumliche Kurven beschrieben, wenn alle Komponenten xk (t) stetige reelle a a Funktionen sind. In technischer Mechanik und Physik werden diese Kurven meist in Abhngigkeit von der Zeit t a durchlaufen. Existieren die Zeitableitungen x(t) = ( x1 (t), x2 (t) )T bzw. x(t) = ( x1 (t), x2 (t), x3 (t) )T

x(t) = ( x1 (t), x2 (t) )T bzw. x(t) = ( x1 (t), x2 (t), x3 (t) )T dann sind v(t) = x(t) bzw. a(t) = x(t) als (momentaner) Geschwindigkeits- bzw. Beschleunigungsvektor zu interpre tieren. Es muss zwischen Geschwindigkeitsvektor = Geschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit Beschleunigungsvektor = Beschleunigung und Bahnbeschleunigung unterschieden werden. Bahngeschwindigkeit im R3 : |v(t)| = [x1 (t)]2 + [x2 (t)]2 + [x3 (t)]2 3 Bahnbeschleunigung im R : d |v(t)| aT = dt Die Bahnbeschleunigung ist die Komponente des Beschleunigungsvektors, die in Richtung der Tangenten zeigt. Das ist die Projektion des Beschleunigungsvektors auf die Tangentenrichtung, die mit der Durchlaufrichtung des Massenpunktes ubereinstimmt.

33

2.92.9.1

Funktions- und KurvendiskussionMonotonieverhalten

Das oene Intervall I im folgenden Satz kann auch nicht beschrnkt sein. a Beschrnktes oenes Intervall : a I = (a, b) mit < a < b < Nicht beschrnkte oene Intervalle : a I = (, ) , I = (, b) , I = (a, ) Satz 2.17. Fr jede auf einem oenen Intervall I dierenzierbare Funktion f gilt : u 1. f wird genau dann monoton wachsend auf I , wenn f (x) 0 auf (a, b) ist. 2. f wird genau dann monoton fallend auf I , wenn f (x) 0 auf (a, b) ist. Satz 2.18. Fr jede auf einem Intervall [a, b] stetige und auf (a, b) dierenzierbare Funktion f gilt : u 1. f wird genau dann monoton wachsend auf [a, b] , wenn f (x) 0 auf (a, b) ist. 2. f wird genau dann monoton fallend auf [a, b] , wenn f (x) 0 auf (a, b) ist. Die Folgerungen fr Intervalle vom Typ I = [a, ) und I = (, b] liegen auf der Hand. u Oensichtlich gilt : Ist f auf (a, b) monoton wachsend und auf [a, b] stetig, dann wird f auch auf [a, b] monoton wachsend. Ist f auf (a, b) streng monoton wachsend und auf [a, b] stetig, dann wird f auch auf [a, b] streng monoton wachsend. Analoge Aussagen hierzu erhlt man bei durchgehendem Ersetzen von wachsend durch fallend. a Satz 2.19. Fr jede auf einem Intervall I dierenzierbare Funktion f gilt : u 1. f wird genau dann streng monoton wachsend auf I , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfllt sind. u f (x) 0 fr alle x I u und auf keinem Teilintervall (, ) I gilt f (x) = 0 fr alle x (, ). u 2. f wird genau dann streng monoton fallend auf I , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfllt sind. u f (x) 0 fr alle x I u und auf keinem Teilintervall (, ) I gilt f (x) = 0 fr alle x (, ). u Strenge Monotonie liegt also genau dann vor, wenn die strengen Ungleichungen f (x) > 0 oder f (x) < 0 hchstens o in isolierten Punkten verletzt werden. Folgerungen : f (x) > 0 fr alle x I = u f streng monoton wachsend auf I f (x) < 0 fr alle x I = u f streng monoton fallend auf I

2.9.2

Konvexitt und Konkavitt a a

Satz 2.20. Fr jede auf einem Intervall I dierenzierbare Funktion f gilt : u 1. f wird genau dann konvex auf I , wenn die Ableitung f 3. f wird genau dann konkav auf I , wenn die Ableitung f dort monoton wachsend ist. dort streng monoton wachsend ist.

2. f wird genau dann streng konvex auf I , wenn die Ableitung f 4. f wird genau dann streng konkav auf I , wenn die Ableitung f

dort monoton fallend ist. dort streng monoton fallend ist.

Satz 2.21. Fr eine auf einem Intervall I dierenzierbare Funktion f gilt : u 1. f wird genau dann konvex auf I , wenn fr jede in einem beliebigen Punkt xo I angelegte u Tangente To (x) = f (xo ) + f (xo )(x xo ) fr alle u xI die Ungleichung

To (x) f (x)

erfllt ist. u

2. f wird genau dann streng konvex auf I , wenn fr jede dieser Tangenten u To (x) < f (x) fr alle u x I \ {xo } erfllt ist. u

Die Umkehrung der obigen Ungleichungen liefert entsprechende Aussagen fr die Konkavitt bzw. strenge Konkavitt. u a a

34

Satz 2.22. Die reelle Funktion f sei zweimal dierenzierbar auf dem Intervall I. Dann gilt 1. f ist genau dann konvex auf I, wenn f (x) 0 x I gilt.

2. f ist genau dann streng konvex auf I, wenn wenn die beiden folgenden Bedingungen erfllt sind. u f (x) 0 fr alle x I und u auf keinem Teilintervall (, ) I gilt f (x) = 0 fr alle x (, ) u Interpretation der Bedingung zur 2. Aussage : Die Ungleichung f (x) > 0 darf nur in isolierten Punkten verletzt werden. Auch hier gilt: Die Umkehrung der Ungleichungen liefert entsprechende Kriterien fr Konvexitt bzw. strenge Konu a vexitt. a Strenge Konvexitt (strenge Konkavitt) auf I liegt also genau dann vor, wenn dort die strengen Ungleichungen a a f (x) > 0 ( f (x) < 0 ) hchstens in isolierten Punkten verletzt werden. o Folgerungen : f (x) > 0 fr alle x I = f streng monoton wachsend auf I u f (x) < 0 fr alle x mathcalI = f streng monoton fallend auf I u Nachweis von Konvexitt und Konkavitt unter abgeschwchten Voraussetzungen : a a a (von Ingenieurstudenten selten benutzt ) Eine uberall links- und rechtsseitig dierenzierbare Funktion f : I R ist genau dann konvex, wenn ihre Ablei tung monoton wachsend ist. Diese Monotonieeigenschaft ist folgendermaen zu interpretieren : df df df df (x1 ) (x1 ) (x2 ) (x2 ) dx dx dx dx Bei rechtsseitigem Fortschreiten eines Kurvenpunktes dreht sich die (einseitige) Tangente nur nach links (Anstieg kann sich hchstens vergrern). Sie kann natrlich stckweise ihre Richtung beibehalten (nur Konvexitt). o o u u a Die Konkavittsbedingung ergibt sich wie ublich. a Aus x1 x2 folgt stets Bemerkung 2.23. (Krmmung fr ebene Kurven) u u 1. Ebene Kurve sei in der Gestalt y = f (x), f : D R gegeben f (x) existiere auf D: (x) = f (x) [ 1 + [f (x)]2 ] 2 2. Kurve sei in Parameterdarstellung r(t) = (x(t), y(t))T (t) = t I gegeben, x (t) existiere auf I3 3 + +

(2.24)

x(t) y (t) x(t) y(t) ( [x(t)]2 + [y(t)]2 ) 2

(2.25)

Der Parameter t muss hier nicht unbedingt die Zeit sein. Oft wird als Parameter die Bogenlnge s verwendet. a Dann ist in (2.25) der Parameter t durch s zu ersetzen. Elastostatik des schlanken Balkens : Durchbiegung w mit y = w(x), w : [0, L] R |w (x)| 0 positive Krmmung, Kurve links gekrmmt, strenge Konvexitt u u a |f (x)| < 0 negative Krmmung, Kurve rechts gekrmmt, strenge Konkavitt u u a

35

2.9.3

Extremwerte

Abbildung aus http://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima Extrema von f (x) = cos(3x) , x f : [ 0, 1 ; 1, 1 ] R

Begrie klren: a Extremum : Minimum oder Maximum, inneres Extremum, Randextremum, inneres Minimum, Randminimum, inneres Maximum, Randmaximum, lokales Extremum und globales Extremum, lokales Minimum und globales Minimum=Minimum, lokales Maximum und globales Maximum=Maximum.

Echte Extremwerte (auch eigentliche genannt) : echtes lokales Minimum und echtes (globales) Minimum, echtes lokales Maximum und echtes (globales) Maximum

Abbildung aus http://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima y = f (x) = x x mit maximalem Denitionsbereich An der inneren Stelle xo = e wird ein echtes globales Maximum angenommen. Existenz globaler Extremwerte: Satz 2.24. Jede stetige Funktion f : [ a, b ] R ist beschrnkt. Sie nimmt fr mindestens ein Argument x1 ihr a u Minimum und fr mindestens ein Argument x2 ihr Maximum an. u Unter den Voraussetzungen des obigen Satzes existieren also Punkte x1 , x2 [ a, b ] mit f (x1 ) f (x) f (x2 ) = = f (x1 ) f (x2 ) fr alle u x [ a, b ].

Minimum der Funktion Maximum der Funktion

36

Dabei gibt es Funktionen, fr die das Minimum an mehreren Stellen angenommen wird oder u fr die das Maximum an mehreren Stellen angenommen wird. u Ob der jeweilige Extremwert in einem Randpunkt oder in einem inneren Punkt angenommen wird, hngt ebenfalls a vom ausgewhlten Beispiel ab. a Satz 2.25. (Extrema von konvexen und konkaven Funktionen) 1. Ein lokales Minimum einer konvexen Funktion ist auch ein globales Minimum. 2. Besitzt eine streng konvexe Funktion ein Minimum, so wird dieses an nur einer Stelle angenommen. 3. Eine streng konvexe Funktion f : [ a, b ] R besitzt ein Minimum, das an genau einer Stelle angenommen wird. 4. Ein lokales Maximum einer konvexen Funktion ist auch ein globales Maximum. 5. Besitzt eine streng konvexe Funktion ein Maximum, so wird dieses an nur einer Stelle angenommen. 6. Eine streng konvexe Funktion f : [ a, b ] R besitzt ein Maximum, das an genau einer Stelle angenommen wird. Anwendung der Dierentialrechnung zur Berechnung von Extremwerten : (Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert und Literatur) Satz 2.26. Fr eine dierenzierbare Funktion f : D R erhlt man die folgenden Aussagen, falls x0 ein innerer u a Punkt von D ist. 1. Nimmt f einen lokalen Extremwert an, dann folgt f (x0 ) = 0 . (Notwendiges Kriterium) 2. Es sei f zweimal dierenzierbar. Dann gilt f (x0 ) = 0, f (x0 ) = 0, f (x0 ) > 0 f (x0 ) < 0 = = in x0 wird ein echtes lokales Minimum angenommen, in x0 wird ein echtes lokales Maximum angenommen.

3. Andert f (x) beim Durchgang durch x0 sein Vorzeichen, so wird in x0 ein echter lokaler Extremwert angenommen. f besitzt dort im Falle x , xr U (x0 , ), ein echtes lokales Minimum und im Falle x , xr U (x0 , ), x < x0 < xr = f (x ) < 0 < f (xr ) (2.26)

x < x0 < xr

=

f (x ) > 0 > f (xr )

(2.27)

ein echtes lokales Maximum. Die -Umgebung U (C, ) kann dabei entsprechend klein gewhlt werden. a 4. Ist der Denitionsbereich der Funktion f ein Intervall ( D = I ) und gelten die Vorzeichenbedingungen (2.26) bzw. 2.27 ohne die Einschrnkungen x , xr U (x0 , ) , dann besitzt f an der Stelle x0 das einzige echte a Minimum bzw. das einzige echte Maximum. Im ersten Fall ist die Funktion streng konvex , im zweiten Fall streng konkav.

2.9.4

Charakteristika zum Funktionsverlauf

(Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion und Literatur) Maximaler Denitionsbereich, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Symmetrieeigenschaften, gerade und ungerade Funktionen, Periodizitt, a Flachpunkt, Wendepunkt, Sattelpunkte (Wendepunkt mit horizontaler Tangente), Nullstelle, Polstelle, Lcke(hebbare u Unstetigkeit),

Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt

37

Beispiel 2.27. Verhalten im Unendlichen (asymptotisches Verhalten): f (x) = x3 x2 + 5 x3 x2 1 1 1 = + = x2 + 5x 5 5x 5 x1 5 x1

hat eine Polstelle bei x0 = 1. Die Parabel p(x) = 1 x2 charakterisiert als Asymptote das Verhalten von f im Unend5 lichen (hier sowohl fr x + als auch fr x ). u ux

lim [ f (x) p(x) ] = 0

und

x

lim [ f (x) p(x) ] = 0,

Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Asymptote

Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung

38

f (x) = 3 x3 5 x2 + 8

Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Abbildung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Hochpunkt echtes lokales Maximum Tiefpunkt echtes lokales Minimum Die Begrie Hochpunkt und Tiefpunkt benutzen wir nicht.

2.10

Newtonsches Nherungsverfahren a

Vergleiche Animation in http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren xn+1 = xn Newtonsches Verfahren - ziellos und endlos: f (xn ) f (xn ) mit Startwert xo

39

Aber die folgende Anwendung des Newtonverfahrens wird sinnvoll: Gesucht ist fr a > 0 die Nullstelle von u f (x) = 1 Newton-Iteration: xn+1 = xn Mit dem Startwert xo := 1a x2 n 2a 3 xn

a x2

f (x) =

2a x3 x2 n a

= xn

xn xn x3 n + = 2a 2 2

3

1+a 2

konvergiert das Verfahren gegen die Nullstelle.

Satz 2.28. Es existiere eine Nullstelle x von f (x) und in einem Intervall [ a, b ] mit a < x < b seien die folgenden Bedingungen erfllt : u f C 2 ([a, b]) , f (x) = 0 auf [ a, b ]. Liegt dann der no -te Nherungswert xno hinreichend nahe bei der Nullstelle x, dann gilt mit einer Konstanten C > 0 a | xn+1 | C | xn |2 x x fr alle u n no

Anschauliche Interpretation ab no -tem Schritt : Bei jedem weiteren Schritt der Newton-Iteration verdoppelt sich etwa die Anzahl der gltigen Dezimalstellen. u Das Newton-Verfahren ist unter obigen Voraussetzungen ein lokal konvergentes Verfahren. Konvergenz der in der Newton-Iteration erzeugten Folge zu einer Nullstelle ist also nur garantiert, wenn der Startwert xo schon ausreichend nahe an der Nullstelle liegt. Ist der Startwert zu weit weg, kann alles mgliche passieren. o

2.11

Lokale Existenz einer stetig dierenzierbaren Umkehrfunktion

Jetzt geht es um eine Modikation von Satz 2.8 mit grerer Bedeutung fr die Anwendungen. Im Kapitel 3 werden o u die folgenden Aussagen dann auf Abbildungen f : D Rn mit D Rn verallgemeinert (Satz zur Existenz der stetig dierenzierbaren Umkehrabbildung). Vorerst jedoch der Fall n = 1. Die Existenz der Umkehrfunktion f 1 wird im Gegensatz zu Satz 2.8 nicht mehr vorausgesetzt. Es werden stattdessen Bedingungen formuliert, unter denen eine auf einem oenen Intervall I denierte Funktion f : I R in einer oenen Umgebung U0 I eines Punktes x0 invertierbar und stetig dierenzierbar ist. Beispiel 2.29. y = f (x) = sin x, also x=f1

x0 = 0,

f : U0 W0 , oder f

, , W0 = f (U0 ) = ( 1, 1 ) , 2 2 1 f C (U0 ) wobei f (x0 ) = 1 = 0 gilt. U0 = (x) = arcsin x, f 1 : W0 U0 , f 1 C 1 (W0 )

(y) = arcsin y

1

Mit dem zugehrigen abgeschlossenen Intervall U 0 = , bleibt die Fortsetzung o 2 2 f : U 0 W 0 invertierbar mit f 1 (x) = arcsin x. Diese auf dem abgeschlossenen Intervall W 0 denierte Funktion ist aber in den Randpunkten von W 0 nicht mehr dierenzierbar.

40

Nachzuweisende Aussage oberhalb des Beispiels also folgendermaen konkretisieren: Zu einer geeigneten Einschrnkung f : U0 f (U0 ) existiert die inverse Funktion a f 1 : f (U0 ) U0 . Der Wertebereich W0 = f (U0 ) der Einschrnkung von f , also der Denitionsbereich von f 1 , ist dabei ebenfalls ein a oenes Intervall. Die Voraussetzungen des folgenden Satzes werden so gewhlt, dass f 1 stetig dierenzierbar wird, a vgl. Beispiel 2.29. Satz 2.30. (Existenz einer stetig dierenzierbaren Umkehrfunktion) Es sei x0 ein festgehaltener innerer Punkt eines oenen Intervalls I R . Dann gilt : Ist eine Funktion f : I R stetig dierenzierbar mit yo = f (xo ) und yo = f (xo ) = 0 , (2.28)

so existiert ein oenes Intervall U0 I mit x0 U0 . Die Einschrnkung a f : U0 W0 mit W0 = f (U0 ) (2.29)

wird dabei streng monoton und invertierbar mit einem oenen Intervall W0 als Wertebereich. Fr die zu (2.29) u gehrige Umkehrfunktion gilt o f 1 : W0 U0 ist stetig dierenzierbar. (2.30) Mit beliebigen x U0 und mit y = f (x) folgt x = f 1 (y), Aus den speziellen Vorgaben (2.28) erhlt man a xo = f 1 (yo ) und dx 1 (yo ) = (f 1 ) (yo ) = = dy f (xo ) 1dy (xo ) dx

dx 1 1 = (f 1 ) (y) = = dy . dy f (x) dx

(2.31)

=

1 . yo

(2.32)

Ist f (xo ) > 0 in (2.28), dann werden die in (2.29) und (2.30) denierten Funktionen streng monoton wachsend. Ist f (xo ) < 0 in (2.28), dann werden diese beiden Funktionen streng monoton fallend. Folgerung 2.31. Unter den Bedingungen des letzten Satzes folgen aus (2.28) und (2.32) die linearen Approximationen f (x) T (x) = f (xo ) + f (xo )(x xo ) = yo + yo (x xo ) in der Nhe von xo a und f 1 (y) T 1 (y) = f 1 (yo ) + (f 1 ) (yo )(y yo ) = xo + 1 (y yo ), yo (2.33)

Letztere kann in einer hinreichend kleinen Umgebung von yo genutzt werden. Auch fr diese linearen Approximationen gilt : u T 1 ist die zu T inverse Funktion (nicht der Kehrwert). Die Gleichung y = yo + yo (x xo ) ist nmlich eindeutig nach x ausbar mit x = xo + y1 (y yo ) . a oo

Hier wurde bisher davon abgesehen beim Ubergang zur Umkehrfunktion die Variablen x und y zu vertauschen. In spteren Verallgemeinerungen wird dies auch nicht geschehen (z. B. Koordinatentransformationen im R2 und R3 ). a Damit kann man dort direkt an diese Betrachtungen anknpfen. u Die grasche Darstellung reeller Funktionen wird jedoch anschaulicher, wenn man x als unabhngige Variable und y a als abhngige Variable betrachtet. a Bemerkung 2.32. Das Festhalten von x als unabhngiger Variabler und y als abhngiger Variabler, also die Nutzung a a von y = f 1 (x) kann in Satz 2.30 durch gewisse Modikationen ab Formel (2.31) plausibel gemacht werden. Die vor (2.31) stehenden Formulierungen bleiben gltig. u Ausgehend von y = f (x) entsteht nach Vertauschen von x und y in (2.31) y U0 und x = f (y) = y = f 1 (x), dy 1 1 = (f 1 ) (x) = = dx dx f (y) dy

Aus den speziellen Werten in (2.28) folgt mit xo = yo , yo = f 1 (o ) x und yo = xo 1dx (o ) y dy

dy 1 (o ) = (f 1 ) (o ) = x x = dx f (xo )

=

1 . yo

Die Approximation (2.33) bekommt fr f 1 (x) die Form u f 1 (x) T 1 (x) = f 1 (o ) + (f 1 ) (o )(x xo ) = yo + x x 1 (x xo ) yo

41Bei der in Beispiel 2.29 realisierten lokalen Invertierung von f (x) = sin x konnte die Umkehrfunktion f 1 durch den einfachen analytischen Ausdruck f 1 (x) = arcsin x angegeben werden. Oft ist man jedoch nicht in der Lage f 1 in analytisch geschlossener Form darzustellen. Wenn es eine derartige Darstellung gibt, die zu kompliziert ist, hilft dies in der Regel auch wenig. In solchen Fllen ist der obige Satz 2.30 hilfreich : a Nach Berechnung von f und f an einer einzigen Stelle xo kann die Existenz einer lokalen Inversen f 1 von f schnell gezeigt werden, kann die Art der strengen Monotonie dabei veriziert werden, knnen lineare Approximationen von f und f 1 aufgestellt werden. o Das obige Prinzip der lokalen Invertierbarkeit verbunden mit der Berechnung der Ableitung (f 1 ) (yo ) wird in Kapitel 3 verallgemeinert. Angewandt wird es z.B. in der technischen Mechanik (nichtlineare Materialgesetze, Koordinatentransformationen) und Physik. Die lokalen linearen Approximationen von f und f 1 sind dabei vielseitig nutzbar.

2.12

Mittelwertstze der Dierentialrechnung a

Die folgenden Mittelwertstze knnen benutzt werden, um viele der obigen Stze exakt zu beweisen. Sie besitzen a o a jedoch auch vielfltige praktische Anwendungen (z. B. Fehlerabschtzung von Approximationspolynomen). a a Satz 2.33. (Satz von Rolle) Ist eine reelle Funktion f im oenen Intervall (a, b) dierenzierbar, im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und gilt f (a) = f (b), dann muss die Ableitung im Intervall (a, b) mindestens eine Nullstelle haben.

Abbildung 2: Satz von RolleAbb. aus http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rolle

Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion f gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit ubereinstim menden Funktionswerten mindestens einen Kurvenpunkt mit waagrechter Tangente. Folgerung 2.34. Zwischen zwei Nullstellen einer dierenzierbaren Funktion liegt eine Nullstelle der Ableitung. Der Satz von Rolle ist ein Spezialfall des folgenden Mittelwertsatzes. Satz 2.35. (Mittelwertsatz der Dierentialrechnung) Ist eine reelle Funktion f im oenen Intervall (a, b) dierenzierbar und im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig, dann gibt es mindestens ein f (b) f (a) xo (a, b) mit f (xo ) = (2.34) ba Folgerung 2.36. Stetig dierenzierbare Funktionen sind lokal Lipschitz-stetig. Satz 2.37. (Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Dierentialrechnung) Die reellen Funktionen f und g seien im oenen Intervall (a, b) dierenzierbar und im abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig. Auerdem gelte fr x (a, b) stets g (x) = 0. u Dann existiert mindestens ein xo (a, b) mit f (xo ) f (b) f (a) = g (xo ) g(b) g(a) (2.35)

42

Abbildung 3: Mittelwertsatz der DierentialrechnungVgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung

Bemerkung 2.38. Wegen g (x) = 0 folgt strenge Monotonie und damit g(b) g(a) = 0. Der Beweis des verallgemeinerten Mittelwertsatzes ergibt sich unter Anwendung des Satzes von Rolle auf die Funktion F (x) = f (x) f (a) f (b) f (a) ( g(x) g(a) ) . g(b) g(a)

2.13

Taylorformel mit Lagrangeschem Restglied

Vorerst folgende Voraussetzungen : 1. Es sei I R ein Intervall mit a I . 2. f : I R sei eine stetig dierenzierbare Funktion. 3. In allen inneren Punkten von I sei f zweimal dierenzierbar. Falls I ein oenes Intervall ist, folgt die 2. Voraussetzung aus der Existenz von f (x) auf I. Nur in dem Fall, das der obige Punkt a ein Randpunkt ist, muss in den Anwendungen von einem halboenen Intervall ausgegangen werden. Dann ist die stetige Dierenzierbarkeit von f im Randpunkte a zustzlich zu fordern. a Satz 2.39. Unter den obigen Voraussetzungen gilt fr die Taylor-Entwicklung 1. Ordnung von f an der Stelle a u T1 (x) := f (a) + f (a)(x a) . mit f (x) = T1 (x) + R1 (x) := f (a) + f (a)(x a) + R1 (x) die die Restgliedabschtzung a R1 (x) = f (2) () (x a)2 (2)! (Lagrangesche Form des Restgliedes), (2.36)

wobei = (a, x) im Falle x = a eine echte Zwischenstelle von a und x ist. a < x = a < < x oder x < a = x < < a Das Taylorpolynom 1. Ordnung von f liefert eine Linearisierung von f , die in einer Umgebung von a genutzt werden kann. Dabei ist eine Abschtzung des Fehlers R1 (x) hilfreich. a Jetzt zu Taylorpolynomen beliebiger Ordnung Satz 2.40. (mit Denition) 1. Es sei I R ein Intervall mit a I . 2. f : I R sei eine n mal stetig dierenzierbare Funktion. 3. In allen inneren Punkten von I sei f eine (n + 1) mal dierenzierbare Funktion.

43

Abbildung 4: Taylorpolynome der SinusfunktionAbb. aus http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel

Dann gilt fr die Taylor-Entwicklung n-ter Ordnung von f an der Stelle a un

Tn (x)

=k=0

f (k) (a) (x a)k k! f (a) f (a) f (n) (a) (x a) + (x a)2 + . . . + (x a)n . 1! 2! n! f (x) = Tn (x) + Rn (x)

(2.37)

= mit

f (a) +

(2.38)

die Restgliedabschtzung a Rn (x) = f (n+1) () (x a)n+1 (n + 1)! (Lagrangesche Form des Restgliedes), (2.39)

wobei = (a, x) im Falle x = a eine echte Zwischenstelle von a und x ist. Der Fehler, der beim Ersetzen von f (x) durch Tn (x) in einer Umgebung von a entsteht, kann uber (2.39) durch Ungleichungen der Gestalt |Rn (x)| abgeschtzt werden. a Beispiel 2.41. Einige Taylorpolynome der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle a = 0 sind in Abb. 4 dargestellt. Folgerung 2.42. Gilt mit einem s > 0 |f (n+1) (x)| M dann kann das Restglied durch |Rn (x)| M sn+1 (n + 1)! fr alle u x [ a s, a + s ] I (2.40) fr alle u x mit |x a| s

abgeschtzt werden. Dies ist eine Abschtzung durch eine Konstante. Whlt man speziell s = |xa| fr alle mglichen a a a u o s, so folgt M |Rn (x)| |x a|n+1 fr alle x I u (2.41) (n + 1)! Dies ist eine Abschtzung mit einer variablen rechten Seite. Sie liefert im Regelfall kleinere relative Fehler in gewissen a Umgebungen von a. Hinweis zur allgemeinen Bestimmung von M : Obige Schranke M mglichst klein whlen. Der kleinste mgliche Wert fr M in (2.40) und (2.41) ist o a o u M = max |f (n+1) (x)|x

mit

x [ a s, a + s ] I

Korrekter wre die Verwendung von sup statt die von max. a Beispiel 2.43. Das Taylorpolynom 3. Ordnung T3 (x) der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle a = 0 hat die Gestalt x3 sin(x) T3 (x) = x 6

44 4

Liegt x = 0 zwischen

und

, 4

dann gilt fr die relative Abweichung der Approximation u T3 (x) sin(x) 5 103 sin(x)

Weitere Taylorpolynome von y = sin x an der Entwicklungsstelle a = 0 sind T4 (x) = x x3 , 6 T5 (x) = x x3 x5 + , 3! 5! T6 (x) = x x3 x5 + , 3! 5! T7 (x) = x x3 x5 x7 + 3! 5! 7!

Da hier fr alle Ableitungen |f (n+1) (x)| 1 gilt, folgt u |R5 (x)| = |sin(x) T5 (x)| T5 (x) und T6 (x) stimmen hier uberein, so dass auch |R5 (x)| = |sin(x) T5 (x)| gilt. Diese Abschtzung ist fr |x| a u 2

1 |x|6 6!

1 |x|7 7!

deutlich besser. Vgl. Abb. 4.

Folgende Nherungsformeln werden hug verwendet: a a 1+x 1 1x 1 1+x ln(1 + x)

1+

x 2

f ur x 0 besitzen, die aber innerhalb des Konvergenzradius nicht gegen die gegebene Funktion f (x) sondern gegen eine andere Funktion konvergieren. Derartige Taylorentwicklungen sind jedoch nicht mit Standardanwendungen des Ingenieurs verbunden, so dass dieses Problem hier nicht nher untersucht werden muss. Wenn die Funktion f (x) als analytische Funktion a fortsetzbar ist (vgl. Komplexe Funktionentheorie, nicht Gegenstand der Vorlesungen), dann kann dieser pathologische Fall ohnehin nicht eintreten. Dann konvergiert die Taylorreihe zu f (x) innerhalb ihres Konvergenzradius absolut und gleichmig gegen f (x). Dies soll hier stets vorausgesetzt werden. Durch eine geeignete Restgliedabschtzung ist dies a a gegebenenfalls nachweisbar. Bei den von uns untersuchten Beispielen ist diese Voraussetzung stets erfllt. u Unter obiger Voraussetzung gilt folgende Aussage. Bemerkung 2.52. Taylorreihen knnen innerhalb ihres Konvergenzradius gliedweise dierenziert und integriert o werden. Man vollziehe dies an den folgenden Beispielen.

46

Beispiel 2.53. Hug verwendete Taylorreihen sind a

ex sin(x) cos(x) ln(1 + x) ln 1+x 1x

=n=0

xn n! (1)n

fr alle u x2n+1 (2n + 1)! x2n (2n)! xn n

xR fr alle u fr alle u fr alle u xR

=n=0

=n=0

(1)n

xR x (1, 1)

= = 2

(1)n+1n=1

k=0

x2k+1 2k + 1

fr alle u

x (1, 1)

Whlt man x := y1 fr ein y > 0, dann erhlt man mit der letzten Formel ln(y). Die letzte Reihe konvergiert a u a y+1 schneller als die darber stehende und ist somit fr praktische Rechnungen besser geeignet. Man beachte : u u logb (x) = ln(x) ln(b) fr u b>0

Weitere Taylorreihen siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe und [10], vgl. auch http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe Bemerkung 2.54. Taylorreihen sind spezielle Potenzreihen

cn (x x0 )n .n=0

(2.47)

Hinsichtlich der Konvergenz sind drei Flle zu unterscheiden: a Die Reihe konvergiert 1. nur fr x = x0 , Konvergenzradius u = 0, praktisch uninteressant 2. auf einem endlichen Intervall (x0 , x0 + ) mit dem Mittelpunkt x0 , d. h. endlicher Konvergenzradius 3. auf ganz R, also unendlicher Konvergenzradius Der Konvergenzradius lsst sich allgemein mit mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen (Oben sind nur a Spezialflle fr die Ermittlung von angegeben.) a u = 1 lim sup( n |cn |)n

Limes superior ist dabei der grte Hufungspunkt einer Folge, hier der Folge n |cn |. Derart allgemeine Berechnungen o a werden wir nicht durchfhren. Die Konvergenzradien der oberen Beispiele sind angegeben. Bei konkreten Anwendungen u entnehme man sie der Literatur. Grundstzlich gilt a |x x0 | < |x x0 | > |x x0 | = = = = (2.47) ist absolut konvergent (2.47) ist divergent Konvergenz von (2.47) allgemein nicht entscheidbar

Auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von (x0 , x0 + ) liegt gleichmige Konvergenz vor. Bei unendlichem a Konvergenzradius ist dies als gleichmige Konvergenz auf jedem abgeschlossenen Intervall zu interpretieren. a Satz 2.55. Sind die Potenzreihen

ak (x x0 )kk=0

undk=0

bk (x x0 )k

absolut konvergent in (x0 , x0 + ) (kleineres

von beiden Konvergenzradien whlen), dann gilt a

aj (x x0 )jj=0 k=0

bk (x x0 )k

=n=0

cn (x x0 )n

mit cn =

n

ai bnii=0

(2.48)

47

Die Reihe

cn (x x0 )nn=0

ist dabei ebenfalls absolut konvergent in (x0 , x0 + ) . Die Berechnung der Koezienten cn gem (2.48), d. h. unter Anwendung der diskreten Faltung (auch Cauchya Faltung genannt), ist verbunden mit einer speziellen Anordnung der zu summierenden Produkte a0 b0 a0 b1 a0 b2 a0 b3 a1 b0 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b0 a2 b1 a2 b2 a2 b3

Mit Hilfe des letzten Satzes knnen Quotienten von Potenzreihen zumindest nherungsweise berechnet werden. o a Beispiel 2.56. Vgl. http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series Man berechne an der Stelle xo = 0 das Taylorpolynom 4. Ordnung von g(x) = Wegen

ex cos x

ex =n=0

xn x2 x3 x4 =1+x+ + + + O(x5 ) n! 2! 3! 4! x2 x4 + + O(x6 ) 2! 4!

und cos x = 1 folgt mit dem Ansatz

ex = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + cos x

nach Multiplikation mit dem Nenner ex = (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ) cos x = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + = a0 + a1 x + a2 a0 a1 x2 + a3 2 2 x4 x2 + 2! 4! a0 a2 x3 + a4 + x4 + O(x5 ). 4! 2 1

Der Koezientenvergleich bis zur 4. Ordnung liefert schlielich ex 2x3 x4 = 1 + x + x2 + + + O(x5 ). cos x 3 2

48

33.1

Funktionen mehrerer reeller Vernderlicher a Uberblick und Grasche Darstellungen

Vergleiche http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs15/kurs15_broschuere.pdf http://statmath.wu.ac.at/~leydold/MOK/HTML/, andere Quellen (siehe Einleitung) und Abschnitt 4.2

3.2

Grundbegrie

Norm : In einem Vektorraum V uber dem Krper der reellen Zahlen R hat eine Norm o und beliebige R die folgenden Eigenschaften x x x x+y = = 0 0 x=0 (Denitheit) || x x + y

: V R fr beliebige x, y V u (3.1) (3.2) (3.3) (3.4)

(Dreiecksungleichung)

Wir werden vorerst nur den Vektorraum V = Rn also den n-dimensionalen Vektorraum betrachten. Ein Vektorraum mit einer Norm heit normierter Vektorraum oder normierter Raum. Der Rn mit der Euklidischen Norm ist also ein (spezieller) normierter Vektorraum.n

Euklidische Norm :

|x| = x

2

=

x2 + + x2 = n 1i=1

x2 i

Abstand : Im zwei- und dreidimensionalen Raum stimmt der Euklidische Abstand mit dem anschaulichen Abstand uberein. Im allgemeineren Fall des n-dimensionalen Euklidischen Raumes ist er fr zwei Punkte oder zwei Vektoren deniert u durch die Euklidische Norm des Dierenzvektors zwischen den beiden Punkten. Sind die Punkte x und y gegeben durch die kartesischen Koordinaten x = (x1 , , xn ) dann giltn

und

y = (y1 , , yn ),

d(x, y) = |x y| = x y

2

=

(x1 y1 )2 + + (xn yn )2 =i=1

(xi yi )2

Da der Euklidische Abstand uber eine Norm deniert wird, ist er translationsinvariant. Neben dem Euklidischen Abstand gibt es eine Reihe weiterer Abstandsmae, die fr uns hier jedoch nicht von Interesse u sind. Ein Abstand besitzt folgende Eigenschaften : d (x, y) d (x, y) d (x, y) d (x, y) = = 0 0 x, y Rn x=y (Denitheit) (Dreiecksungleichung) (Symmetrie) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) Als -Umgebung eines Punktes x Rn , kurz U (x, ) , wird jede oene Kugelumgebung von x bezeichnet (x ist Mittelpunkt, siehe Skizze). Im R2 ist dies speziell eine oene Kreisumgebung. Nimmt man die Randpunkte hinzu, so entsteht eine abgeschlossene Kugelumgebung (abgeschlossene Kreisumgebung) von x, die mit U (x, ) gekennzeichnet wird. . Konvergenz von Vektorfolgen (Punktfolgen) bzw. Grenzwerte im Rn uber den Euklidischen Abstand denieren xn y beziehungsweise fr Punkte u Pn Q genau dann, wenn d(Pn , Q) 0 genau dann, wenn d(xn , y) 0

d (y, x)

d(x, z) + d(z, y)

49

Abbildung 5: -Umgebung

Diese Konvergenz liegt genau dann vor, wenn jede Komponente der Vektorfolge (Punktfolge) konvergiert. Im R2 bedeutet dies mit Pn = (xn , yn ) und Q = (x, y) Pn Q genau dann, wenn xn x, yn y

Im R3 gilt mit Pn = (xn , yn , zn ) und Q = (x, y, z) entsprechend Pn Q genau dann, wenn xn x, yn y, zn z

Denitionsbereiche fr Funktionen mehrerer reeller Vernderlicher : u a f : D R, D Rn

Der Denitionsbereich ist hier also eine echte oder unechte Teilmenge des Rn . Man geht wiederum davon aus, dass D keine isolierten Punkte enthlt. a Ein Hufungspunkt des Denitionsbereiches D ist ein innerer Punkt von D oder ein Randpunkt von D. Ein a innerer Punkt gehrt stets zu D. o Ein Randpunkt von D kann zu D gehren oder auch nicht. Dies hngt vom gegebenen Denitionsbereich ab. o a Enthlt D alle seine Randpunkte, dann heit D abgeschlossen. a Ist jeder Punkt von D ein innerer Punkt, dann nennt man D eine oene Menge. Denition 3.1. (Grenzwert einer reellen Funktion) Es seien f : D R,

D Rn

eine reellwertige Funktion und Q ein Hufungspunkt des Denitionsbereiches D. Wenn dann aus a Pn mit Pn D \ {Q} stetsn

und

n

lim Pn = Q

(3.10)

lim f (Pn ) = gP Q

folgt , (3.11)

schreibt man kurz

lim f (P ) = g

und nennt g den Grenzwert der Funktion f an der Stelle Q. In den Fllen g = und g = wird von uneigentlichen Grenzwerten oder auch von bestimmter Divergenz a gesprochen. Denition 3.2. Eine reellwertige Funktion f: D R (D Rn )

heit stetig in Q D, wenn fr jede Folge Pn mit dem Grenzwert Q die Funktionswerte f (Pn ) gegen f (Q) konveru gieren. Kurz: Pn Q = f (Pn ) f (Q) Andere Schreibweisen:n

lim Pn = P oder krzer : u

=

n P Q

lim f (Pn ) = f (P )

lim f (P ) = f (Q)

Stetigkeit in Q bedeutet also, dass dort Grenzbergang und Funktionswertbildung vertauscht werden knnen. u o Stetigkeit im Punkte Q D liegt vor, wenn der Grenzwert (3.11) existiert und mit dem Funktionswert f (Q) ubereinstimmt.

50