35
Turbulenzmodellierung Hans Burchard [email protected]. Institut f ¨ ur Ostseeforschung Warnem ¨ unde Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.1/35
TurbulenzmodellierungHans Burchard
Institut fur Ostseeforschung Warnemunde
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.1/35
Motivation / Übersicht
Entwicklung von Turbulenzmodellen zur Simulationstatistischer Parameter mariner Turbulenz, wie etwaVermischung, turbulenter kinetischer Energie,Dissipationsrate.
Ableitung von Turbulenzmodellen aus denNavier-Stokes-Gleichungen
Schließungen zweiter Ordnung
Verschiedene Zweigeichungsmodelle
Numerische Verfahren
General Ocean Turbulence Model (GOTM)
Anwendungsbeispiele
SchlußfolgerungenSektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.2/35
Navier-Stokes-Gleichungen
Kontinuitätsgleichung:
��� � � � �
(1)
Impulsgleichung:
��� �� � � � � �� � ��� � �� �� � � � � � � � � �� �
��� ��
� ���� (2)
Wärmegleichung:
��� � � � ��� � � � ��� � � ���� �
� � � � ! (3)
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.3/35
Mittelungsregeln
1. Linearität:
� � �� � � � � � � � � � � (4)
2. Vertauschung von Ableitung und Mittelung:
� ��� � � � � � � � �(5)
3. Doppelmittelung:
� � � � � � � � �
(6)
4. Produkt von Mitteln:� � � � � � � � � � � � �
(7)
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.4/35
Ensemble-Mittel
� � � � � ! � � ! � � ! � � � � � �� � ��
��� ��� � � � ! � � ! � � ! � � � � (8)
Das Ensemble-Mittel ist das einzige, welches alleerforderlichen Mittelungsregeln erfüllt.
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.5/35
Reynolds-gemittelte Gleichungen
Kontinuitätsgleichung:
��� �� � � �
(9)
Reynoldsgleichung:
� � ��� �� � � � ��� ��� � � ��� ��� � � � � � �� � � � � � � � � �� � � �� ��
� � ��� �
� � (10)
Wärmegleichung:
��� � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � �� � �
� � �� ! (11)
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.6/35
Reynoldsstreßgleichung
��� � � �� � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � �
� � � ��� � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� �
� �� �
����
� � � � � � �� � � � � � �� � � �� � �� � � �� �
� � � �
��
�
� � �� � � � � � �� � � � � �� � ���
� �� �
� ��
�
� �� � � �� ��� �� � � � �� �� � �
� � � �
��
� � � � � � � � � � � � � � �� � �
� �� �
� ��
�
(12)
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.7/35
Wärmeflußgleichung
��� � � �� � � � ��� �� � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �
� � � � � � � � � �� � � � � �� ��� � � � �
� � � �� � � � � ��� � � � � � � � � � ��� ���
� �� �
� � �
� � � � � � � � � � � � �
� � � �
� �
��
� �� � � � ��
� � � �
� � �
�
� �� � � �� �� �
� �� �
� �
� � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � �
� �� �
� � �
(13)
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.8/35
Algebraische Spannungsmodelle
Folgende Schritte führen zu verschiedenen Typen vonalgebraischen Spannungsmodellen:
Empirische Schließungen der Druck-Korrelatoren.
Vernachlässigung oder Vereinfachung advektiver unddiffusiver Flüsse von Korrelatoren zweiter Ordnung.
Vernachlässigung der Rotationsterme in denGleichungen für die zweiten Momente.
Vernachlässigung von Tracer-Tracer-Korrelationen.
Annahme lokalen Gleichgewichts für Tracer-Varianzen.
Grenzschichtannahme unter Vernachlässigunghorizontaler Gradienten und nichthydrostatitischerEffekte.
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.9/35
Algebraische Spannungsmodelle
Turbulente Fl usse:
� ��� ��� � � � � � � �� ! � ��� � � � � � �� ��� � �(14)
Wirbelviskositat / Wirbeldiffusivitat:
� � � ��� ��� � ! � � � ! � �� � � �� ��� � ! � � � � (15)
Scherungszahl, Auftriebszahl:
� � �
! � � �
� � (16)
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.10/35
Stabilitätsfunktionen
Kantha & Clayson [1994]:
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
cµ
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
αN
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
α M
0
5
10
15
20
0 5 10 15 200
5
10
15
20
0 5 10 15 20
0.02
0.04
0.04
0.06 0.06
0.08
0.08
0.1
0.1
0.120.14
0.160.18
0
5
10
15
20
0 5 10 15 200
5
10
15
20
0 5 10 15 200
5
10
15
20
0 5 10 15 20
c’µ
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
αN
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
α M
0
5
10
15
20
0 5 10 15 200
5
10
15
20
0 5 10 15 20
0.02
0.02
0.04
0.04
0.06
0.06
0.08
0.080.1
0.1
0.12
0.12
0.14
0.14
0.16
0.16
0.180.20.22
0.240.26
0
5
10
15
20
0 5 10 15 200
5
10
15
20
0 5 10 15 20
Canuto [2001]:
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
cµ
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
αN
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
α M
0
5
10
15
20
0 5 10 15 200
5
10
15
20
0 5 10 15 20
0.02
0.04
0.06
0.06
0.08 0.08
0.1
0.1
0.12
0
5
10
15
20
0 5 10 15 200
5
10
15
20
0 5 10 15 200
5
10
15
20
0 5 10 15 20
c’µ
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
αN
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
α M
0
5
10
15
20
0 5 10 15 200
5
10
15
20
0 5 10 15 20
0.02
0.02
0.04
0.040.06
0.060.08
0.080.1 0.1
0.12
0.120.14
0.140.16
0.160.18
0.18 0.20.2
0.22
0.220.24
0.260
5
10
15
20
0 5 10 15 200
5
10
15
20
0 5 10 15 20
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.11/35
Stabilitätsfunktionen (qe)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-1 -0.5 0 0.5 1
stab
ility
fun
ctio
n
gradient Richardson number
Kantha & Clayson [1994]
a) qe, momentumqe, heat
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-1 -0.5 0 0.5 1
stab
ility
fun
ctio
n
gradient Richardson number
Canuto et al. [2000], model A
c) qe, momentumqe, heat
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-1 -0.5 0 0.5 1
Pran
dtl n
umbe
r
gradient Richardson number
KCRHCACB
Lab dataLES data
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.12/35
Monin-Obukhov-Ähnlichkeit
� � � ����
� � �� �
� �� � ! � � � �
�� � � ���
��� � �� � (17)
� � � � � � � � �(18)
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
KCRHCACB
Empirical0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
KCRHCACB
Empirical
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-0.1 -0.05 0 0.05 0.10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1
PSfrag replacements� � ���
��� ����� ��
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.13/35
Exakte TKE-Gleichung
� � ��� �� � � � � � � � � � � � ��� �
��
� � � � �� �
� � � � � � �� � �� �� �
� � � �
�
���
� � � � ��
� � � �
�
� � � ��� � �� � �
� �� �
�
!
(19)
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.14/35
Exakte Dissipationsratengleichung
��� ��� �� � � � � � � � ��� � �� � � � � � � ���
� �� � � � �� �� �
� � � ��� ��� � �� � ��� � � � ��� � � �� � �� �� � � � � � � ��� � ��� � � �� ��� � �� �
� �� �
���
� � ���
��� � � � ��� � ��
� � � �
� �
� � � � � � � �� �� � �� � � � ��� � � � � �� � � ��� � � �
� � � �
� �
(20)
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.15/35
Das - �-Modell
Turbulente kinetische Energie (TKE)
:
� � � �
� ���
� � � � � ! (21)
Dissipationsrate der TKE :
��� ���
� �� �
� � �
� � � � � � � � � � � � (22)
Produktionsterme:
� � � � �� � � � �� �
(23)
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.16/35
Stationäre Richardson-Zahl ( - �)
Notwendige Bedingung für totales Gleichgewicht beim
- -Modell:
�� � � � �� ���
� ���
� � � � �
� � � � � (24)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
KCRHCACB
PSfrag replacements
����
���
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.17/35
Stationäre Richardson-Zahl (MY)
Längenskala nach Mellor & Yamada [1982]:
��� � �� � � � � �� ��
� ��� � ��� � � ���
���
� �
(25)
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8PSfrag replacements �
� ������ �������
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.18/35
Probleme mit MY-82 Stabilitätsfunktionen
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
d)
Eddy ViscosityEddy Diffusivity
PSfrag replacements
/ h/ m
�/m
�� , � �� in m
�
/s
in m /sMixed layer depth
Mellor & Yamada [1982]
Profile of TKE-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
d)
Eddy ViscosityEddy Diffusivity
PSfrag replacements
/ h/ m
�/m
�� , � �� in m
�
/s
in m /sMixed layer depth
Mellor & Yamada [1982]Profile of TKE
Canuto et al. [2001]
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.19/35
Generisches Zwei-Gleichungsmodell
Generische Längenskalengleichung nach Umlauf &Burchard [2002]:
� � � � � �� � � �� �
� � � � � �
�� � � � � �� � �� � � � �
(26)
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.20/35
Generisches Zwei-Gleichungsmodell
Kalibrierung der empirischen Parameter:
Bei scherungsdominierter Turbulenz muß daslogarithmische Wandgesetz mit � � � � �
und � � � � � ��
wiedergegeben werden.
Die zeitliche Abklingrate homogener Turbulenz wird als
� � � � � angenommen, ein Wert, der im Rahmen vonLaborergebnissen liegt.
Das Argument von Tennekes 1989 zurMakro-Längenskala wird zur Bestimmung von � � �
herangezogen.
Bei scherungsfreier Turbulenz wird als räumlicheAbklingrate � � � � � � und als Steigung derMakro-Längenskala
� � � � � � angenommen.Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.21/35
Seegangsbeeinflußte Zone
Modellierung mit dem generischen Zwei-Gleichungsmodellvon Umlauf und Burchard [2002]:
1
10
1000.0001 0.001 0.01 0.1 1 10
PSfrag replacements
���
�� �
�� �
�� �� � �� � ��� �
Terray et al. [1996]Drennan et al. [1996]
Anis and Moum [1995]Numerical, �� �� � ��� �
Numerical, � � � � � � � �
Numerical, �� � � � �� �
Log-LawNo shear production
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.22/35
Numerik: globale Energieerhaltung
Modellproblem:
��� �� � � � � � � � �� � � � � (27)
� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � �� � � �
(28)
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
PSfrag replacements
�� � � � � s,
��� � 3s, 0
s, 0
�/m
� � / (m�
s � �)
NewOld
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 0.01 0.02
PSfrag replacementss, 3
�� � � � � s,
�� � 0
s, 0
�/m
� � / (m
�
s � �)
NewOld
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 0.01 0.02
PSfrag replacementss, 3s, 0
�� � � � s,
��� � 0
�/m
� � / (m
�
s � �)
NewOld
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.23/35
Numerik: adaptive Gitter
Allgemeine vertikale Koordinaten, Steuerung der lokalenSchichtdicke durch lokale Schichtung, Abstand vonOberfläche/Boden und Hintergrundwert. Beispiel unten:Kato-Phillips-Experiment.
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
-0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
-0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.24/35
GOTM, http://www.gotm.net
Challenge
Aim
The Idea
Key features
Software
Fortran code
Test cases
Forcing
How to run?
Information
What's
Publications
E-mail list
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Who's Who?
Guestbook
PPM:
10/26/00 20:48:54
New
GOTM is a one-dimensional numerical modeldeveloped and supported by a core team ofocean modellers. GOTM aims at simulatingaccurately vertical exchange processes in themarine environment where mixing is known toplay a key role. GOTM is freely available underthe GPL (Gnu Public License).
The interested user can download the sourcecode, a set of test cases (Papa, November, Flex,...) and a comprehensive report.
You are warmly invited to join the GOTM mailinglist and send any comments/questions to theGOTM team or become a GOTM contributor. TheGOTM developers are grateful to their sponsors.
Page "www.gotm.net" maintained by webmaster. Last update: 10/28/00 18:10:02
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.25/35
Nördliche Nordsee
Bathymetrie und Stationskarte
356˚
356˚
358˚
358˚
0˚
0˚
2˚
2˚
4˚
4˚
6˚
6˚
8˚
8˚
56˚ 56˚
57˚ 57˚
58˚ 58˚
59˚ 59˚
60˚ 60˚
61˚ 61˚
62˚ 62˚
0
100
100
100
200300
356˚
356˚
358˚
358˚
0˚
0˚
2˚
2˚
4˚
4˚
6˚
6˚
8˚
8˚
56˚ 56˚
57˚ 57˚
58˚ 58˚
59˚ 59˚
60˚ 60˚
61˚ 61˚
62˚ 62˚
Norw
ay
Scotland
0˚ 30'
0˚ 30'
0˚ 45'
0˚ 45'
1˚ 00'
1˚ 00'
1˚ 15'
1˚ 15'
1˚ 30'
1˚ 30'
1˚ 45'
1˚ 45'
2˚ 00'
2˚ 00'
59˚ 00' 59˚ 00'
59˚ 15' 59˚ 15'
59˚ 30' 59˚ 30'
59˚ 45' 59˚ 45'
100
100
110
120
120
120
130
150
150
160
0˚ 30'
0˚ 30'
0˚ 45'
0˚ 45'
1˚ 00'
1˚ 00'
1˚ 15'
1˚ 15'
1˚ 30'
1˚ 30'
1˚ 45'
1˚ 45'
2˚ 00'
2˚ 00'
59˚ 00' 59˚ 00'
59˚ 15' 59˚ 15'
59˚ 30' 59˚ 30'
59˚ 45' 59˚ 45'
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.26/35
Nördliche Nordsee
Wind und Gezeiten
0.00.10.20.30.40.5
Surface stress at station NNSPSfrag replacements
Q / (W m )
�
/(N
m
�� )
0.00.10.20.30.40.5
21/1012:00
22/1000:00
22/1012:00
23/1000:00
23/1012:00
Date in 1998
Bed stress at station NNS
ADCPModel
PSfrag replacementsQ / (W m ) �
/(N
m
�� )
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.27/35
Nördliche Nordsee
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.28/35
Liverpool Bay
Sektionen von Temperatur und Salzgehalt
1 1
1 1 .5
1 2
1 2 .5
1 3
1 3 .5
1 4
1 4 .5
1 5
1 5 .5
1 6
3 2 .2
3 2 .4
3 2 .6
3 2 .8
3 3
3 3 .2
3 3 .4
3 3 .6
3 3 .8
3 4
3 4 .2
3 4 .4
2 3 .6
2 3 .8
2 4
2 4 .2
2 4 .4
2 4 .6
2 4 .8
2 5
2 5 .2
2 5 .4
2 5 .6
2 5 .8
2 6
2 6 .2
2 6 .4
2 6 .6
0
-20
-40
-60
0
-20
-40
-60
0
-20
-40
-60
0
-20
-40
-60
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Fig 2.a Temperature (Degrees C)
Fig 2.b Salinity (PSU)
Fig 2.c Sigma T (kg/m3)
Distance Along Transect (km)
De
pth
(m
)D
ep
th (
m)
De
pth
(m
)
LB2
Rippeth, Fisher, Simpson [2001]
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.29/35
Liverpool Bay
Beobachtete und simulierte Dissipationsraten
186.7 186.8 186.9 187 187.1 187.2 187.3 187.4 187.5 187.6 187.7
Decimal Days
Epsilon (Log10 W/m3) with Density contours (kg/m3)
0
5
10
15
20
25
30
35
Hei
ghtab
ove
Bed
(m)
-5.50
-5.00
-4.50
-4.00
-3.50
-3.00
-2.50
-2.00
-1.50
Observations
186.7 186.8 186.9 187 187.1 187.2 187.3 187.4 187.5 187.6 187.7
Decimal Days
Epsilon (Log10 W/m3) with Density contours (kg/m3)
5
10
15
20
25
30
35
0
5
10
15
20
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30
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Hei
ghtab
ove
Bed
(m)
-5.50
-5.00
-4.50
-4.00
-3.50
-3.00
-2.50
-2.00
-1.50
CANUTO k-e (Nudge)
Simpson, Burchard, Fisher, Rippeth [2002]
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.30/35
Lago Maggiore
Oberflächenwärmeflüsse und Temperatur
8.65 8.70 8.75 8.80 8.85 8.90 8.95 9.00
18/1212:00
19/1200:00
19/1212:00
20/1200:00
20/1212:00
21/1200:00
21/1212:00
PSfrag replacements
Observed sea surface temperature
Calculated surface stressCalculated surface heat flux
Date in 1995
SS
T/
� C/ N m/ W m
-300 -200 -100
0 100 200 300 400
18/1212:00
19/1200:00
19/1212:00
20/1200:00
20/1212:00
21/1200:00
21/1212:00
PSfrag replacementsObserved sea surface temperature
Calculated surface stress
Calculated surface heat flux
Date in 1995
SST / C/ N m
�/W
m
� �
�������
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.31/35
Lago Maggiore
Beobachtungen und Simulationen von
�
und (Stips et al.[2002])
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.32/35
Freie Konvektion
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
-10 -8 -6 -4 -2 0
PSfrag replacements
� �� �
KCRHCACB
LES
� ���� �� � � ���
Temperature
Temperature FluxVariance ofVariance ofVariance of
Dissipation Rate-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
PSfrag replacements
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KCRHCACB
LES
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TemperatureTemperature Flux
Variance ofVariance ofVariance of
Dissipation Rate-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
PSfrag replacements
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KCRHCACB
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TemperatureTemperature Flux
Variance of �
Variance ofVariance of
Dissipation Rate
-1.2
-1
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-0.6
-0.4
-0.2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
PSfrag replacements
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KCRHCACB
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TemperatureTemperature Flux
Variance of
Variance of �
Variance ofDissipation Rate
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.0001 0.01 1 100
PSfrag replacements
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KCRHCACB
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TemperatureTemperature Flux
Variance ofVariance of
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Dissipation Rate-1.2
-1
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-0.6
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-0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
PSfrag replacements
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KCRHCACB
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TemperatureTemperature Flux
Variance ofVariance ofVariance of
Dissipation Rate
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.33/35
Trübungszonen in Ästuaren
Studie von Ruiz Villarreal und Burchard:
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.34/35
Schlußfolgerungen
Statistische Turbulenzschließungen zweiter Ordnungund Zweigleichungsmodelle haben sich als guterKompromiss zwischen Genauigkeit und Aufwandherausgestellt.
Probleme bereiten allerdings nichtlokale Prozesse wieKonvektion, interne Wellen und Langmuir-Zirkulation.
Die hier beschriebenen Modelle sind als Quellkode imInternet veröffentlicht und eignen sich zurImplemetierung in verschiedene Typen vondrei-dimensionalen Strömungsmodellen.
Sektionsseminar, 21. Mai 2002 – p.35/35
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