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Halbleiter Modellierung

Tino Gehlert

Seminar: Partielle Differentialgleichungen

Fakultät für Mathematik

Technische Universität Chemnitz

03.06.2008

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Übersicht

1. Einleitung

• Beispiele für VLSI - Schaltkreise

• Ebenen und Hierarchie der Modellierung

2. Das Drift – Diffusion – Poisson (DDP) System

• Flussdichten

• Fortsetzungsgleichungen und Poisson-Gleichung

• DDP – System

• Gleichgewicht

• Anfangs- und Randbedingungen

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1. Einleitung - Beispiele für VLSI - SchaltkreiseIntel Celeron Processor: Dual Processor Mainboard:

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Ebenen und Hierarchie der Modellierung

1. Modellierung des Dotierungsprozesses2. Modellierung der elektrischen Funktionen in einem

individuellen (in der Regel bereits dotierten) Halbleiter-Produktes

3. Modellierung des VLSI (Very Large Scale Integration) Schaltkreises

1. Quanten-Mechanische Modellierung2. Semiklassische Modellierung3. Makroskopische Modellierung

Ebenen der Modellierung:

Hierarchie der Modellierung:

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2. DDP-System

Das Drift – Diffusion - Poisson System

n(x,t) – Dichte der Leiter-Elektronen

p(x,t) – Dichte der Löcher

V(x,t) – elektrisches Potential

Jn/Jp – Elektronen- (Loch-) Flussdichte-Vektorfeld

Dn/Dp – Diffusionskoeffizienten

µn/µp - Beweglichkeiten

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Flussdichten

Elektronen- und Loch-Flussdichten im DD-Modell:

VgradnngradDJ nnn

)( VgradppgradDJ ppp

totale Flussdichte:

pn JJJ

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Fortsetzungsgleichungen und Poisson-Gleichung

Die Fortsetzungsgleichungen für beide Trägertypen müssen einhalten:

RJdivn nt

RJdivp pt

Für ein geschlossenes System gilt:

)(2 xCpnV

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DDP-System

),())(( pnRVgradnngradDdivn nt

),())(( pnRVgradppgradDdivp pt

)(2 xCpnV

Kombination von Fluss-Beziehungen (DD) und Poisson-Gleichung (P) ergibt das DDP-System:

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Gleichgewicht

)exp(,)exp( 22llll VpVn

)()exp()exp( 222 xCVVV lll

Gleichgewichtszustände sind Maxwell-verteilt:

Resultierende Poisson-Gleichung:

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Anfangs- und Randwertbedingungen

Für das DDP-System gelten:

• Anfangsbedingungen für n und p

• Randbedingungen für n, p und V mit Rand aus 2 Teilen

• Kontakt-Rand mit Dirichlet-Bedingungen

• Isolations-Rand mit homogenen Neumann-Bedingungen

Weitere Eigenschaften:

• Gleichgewicht in t=0

• n und p unstetig an np-Verbindung

• n, p und V im Inneren stetig