Verbraucher-Verhalten
Teil 3
Kapitel 3Grundzüge der Mikroökonomie(Mikro I)
1
MATHEMATISCHE REPRÄSENTATIONVON PRÄFERENZEN
2
Rang eines G‘Bündels lässt sich durch Höhe der Säule abbilden
10
20
30
40
10 20 30 40
50
G
A
EH
B
D
C (Bekleidung)
F (Lebensmittel)
3
Präferenzen lassen sich durch Indifferenzkurven repräsentieren
I2
I3
I1
AB
D
F (Lebensmittel)
C (Bekleidung)
F=60
C=501
C = 40
F=104
Mathematische Repräsentation von Präferenzen: Nutzenfunktionen
U2
U3
U1
AB
D
Jeder Indifferenz-Kurve wird ein Nutzenwert zuge-ordnet
= 100
= 149
= 155
F (Lebensmittel)
C (Bekleidung)
F=60
C=501
C = 40
F=105
Nutzenfunktion
• Eine Nutzenfunktion U(C,F) ordnet jedem C,F-Güterbündel einen „Nutzenwert“ zu
• Höherrangige Güterbündel erhalten höheren Nutzenwert
6
• z.B. Güterbündel
(C=40, F=60)≻(C=50, F=10)
⇔ U(C=40, F=60) > U(C=50, F=10)
7
Nutzenfunktion und Indiffernzkurven
x1
x2
8
Nutzenfunktion und Indiffernzkurven
x19
Mathematische Repräsentation von Präferenzordnungen
F (Lebensmittel)10 155
5
10
15
0
C (Bekleidung)
U1 = 25
U2 = 50 (U1vorgezogen)
U3 = 100 (U2 vorgezogen)A
B
C
Güterbündel C 25 = 2,5 * 10A 25 = 5 * 5B 25 = 10 * 2,5
2,5
2,5
U = F * C
10
Die konkreten Nutzenzahlen sind arbiträr
F (Lebensmittel)10 155
5
10
15
0
C (Bekleidung)
A
B
C
Güterbündel
C AB
2,5
2,5
5251 ========U
101003
========U
7502 ≈≈≈≈====U
5*55 ====5,2*105 ====
10*5,25 ====
FCU *ˆ ====
11
Die konkreten Nutzenzahlen sind arbiträr
F (Lebensmittel)10 155
5
10
15
0
C (Bekleidung)
A
B
C
Güterbündel
C AB
2,5
2,5
61,1)25ln(1
========U
6,4)100ln(3 ========U
91,3)50ln(2 ========U
)5*5ln(61,1 ====
)5,2*10ln(61,1 ====
10*5,261,1 ====
)*ln(* FCU ====
12
Nutzenfunktionen
• Wenn eine Nutzenfunktion
eine Präferenzordnung repräsentiert, dann repräsentiert jede Nutzenfunktion
dieselbe Präferenzordnung wenn f eine monotone Transformation von U ist.
),( FCUU =
)),(( FCUfV =
13
monotone Tranformation
V
U
V ist (strikt) monoton ansteigende Funktion von U
V = f(U)
14
Nutzenkonzept ist ordinal
• Größe der Abstände ist arbiträr:
– Dass im Beispiel U = F * C
• U2 - U1 = 50 - 25 = 25
• U3 - U2 = 100 - 50 = 50
• ist ohne Belang und ändert sich für
Û = √F * √C oder U*=ln(F*C)
– Nutzenwert "0" hat nie eine Interpretation
• Nutzen interpersonell nicht vergleichbarSkript: Folie 12
15
GRENZNUTZEN
16
F
CFUCFFU
F
UMU F
∆
−∆+=
∆
∆=
),(),(
U
F
Nutzen für variablesF, konstantes C
∆F
∆U
FMUU F ∆=∆
17
Grenznutzen und GRS
• für zwei Variablen C und F:
• Auf einer Indifferenzkurve gilt:
• Umstellen ergibt:
CMUFMUUCF
∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆
C
F
MU
MU
F
C−−−−====
∆∆∆∆
∆∆∆∆
0====∆∆∆∆U
GRS====18
Bedingung für optimale Budgetallokation
• Wie wir wissen ist im Optimum:
• Weil GRS dem Verhältnis der Grenznutzen entspricht:
C
F
P
PGRS ====
C
F
C
F
P
P
MU
MU====
19
Bedingung für optimale Budgetallokation
• Durch Umstellen ergibt sich folgende Regel für optimale Budgetallokation:
• Der Grenznutzen pro ausgegebenem Euro ist für jedes Gut gleich
C
C
F
F
P
MU
P
MU====
C
F
C
F
P
P
MU
MU====
20
GRENZNUTZEN
21
Zufriedenheitswert
Durchschnittliche Zufriedenheit für unterschiedliche Einkommensklassen. Angegebene “Happiness” wächst mit Einkommen, aber mit abnehmender Zuwachsrate.
Nutzen, Grenznutzen und Happiness
?
22
Nutzen und Grenznutzen eines Gutes
F
UMU F
∆
∆=
U
F
Nutzen für variablesF, konstantes C
∆F
∆U
FMUU F ∆=∆Steigung der Nutzenfunktion
23
Grenznutzen und GRS
• für zwei Variablen C und F:
• Auf einer Indifferenzkurve gilt:
• Umstellen ergibt:
CMUFMUUCF
∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆
C
F
MU
MU
F
C=
∆
∆−
0====∆∆∆∆U
GRS====24
Bedingung für optimale Budgetallokation
• Wie wir wissen ist im Optimum:
• Weil GRS dem Verhältnis der Grenznutzen entspricht:
C
F
P
PGRS ====
C
F
C
F
P
P
MU
MU====
25
Optimalitätsbedingung aus Grafik
C
F
A
Bedingung der Steigungsgleichheit in A:
C
F
C
F
P
P
MU
MU=
Budgetgleichung im Punkt A:
FPCPI FC +=
Wegen Konvexität der Indifferenzkurven gibt es auf Budgetgeraden höchstens einen Punkt für den Steigungsgleichheit erfüllt ist
B
26
Rechnerische Lösung: Direkter Weg
� �
�
� �
CPFPINbduCFUMax CF +=...),(
CFC PFPPIC // −=CPFPPI CFC += //
CFC PFPPIFCmitFCFUMax //)())(,( −=
0=∂
∂
∂
∂+
∂
∂
F
C
C
U
F
U0]/[ =−
∂
∂+
∂
∂CF PP
C
U
F
U
]/[ CF PPC
U
F
U
∂
∂=
∂
∂
C
F
C
F
P
P
MU
MU=
27
Optimalitätsbedingungen
C
F
C
F
P
P
MU
MU=
CFC PFPPIC // −=
(Steigungsgleichheit)
(Budgetgleichung)
28
Indirekter Weg mit Lagrange
CPFPINbduCFUMax CF +=...),(
)(),(L CPFPICFU CF −−+= λ
0L
0L
0L
=−−=∂
∂
=−∂
∂=
∂
∂
=−∂
∂=
∂
∂
CPFPI
PC
U
C
PF
U
F
CF
C
F
λ
λ
λ
C
F
C
F
P
P
MU
MU=⇒
CC
FF
PMU
PMU
λ
λ
=
=
0=−− CPFPI CF�
�BudgetgleichungSteigungsgleichheit
29
Bedingung für optimale Budgetallokation
• Durch Umstellen ergibt sich folgende Regel für optimale Budgetallokation:
• Der Grenznutzen pro ausgegebenem Euro ist für jedes Gut gleich
C
C
F
F
P
MU
P
MU====
C
F
C
F
P
P
MU
MU====
30
Hinweise
• Mathematische Behandlung von Optimierungsproblemen (Lagrange Methode)
– Appendix zu Kapital 3
• Übungsblatt für die kommende Woche
31