Grundlagen der skalenbezogenen Analyse von Zeitreihen · t G ut a c h Pf o r zh ei m Hop f a u...

Das BMBFDas BMBF--VorhabenVorhabenSkalenanalyse hydrologischer und Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihenhydrometeorologischer Zeitreihen

Grundlagen der skalenbezogenen Analyse von Zeitreihen

Holger LangeSkogforsk, Ås, Norwegen

Bayerisches Landesamtfür Wasserwirtschaft

Norwegisches Waldforschungsinstitut

21. 10. 2004 München Grundlagen der Skalenanalyse...

Präludium:

Physiker und Zeitreihen (I)

Der Physiker– hat ein breites Methodenrepertoire aus

statistischer Physik und nichtlinearer Dynamik

– ist sehr an dynamischen Systemen interessiert

– betrachtet Zeitreihen als Realisationen eines dynamischen Prozesses

– kann etliche Theoreme für unendlich lange, stationäre, äquidistante, lückenlose, rauschfreie Zeitreihen beweisen


Physiker und Zeitreihen (II)

(Hydrologische) Zeitreihen– Sind endlich lang (oder sehr kurz)– Sind nicht äquidistant, haben Lücken– Sind verrauscht, enthalten Mess- und

andere Fehler– Sind nur einmal vorhanden (keine

Wiederholung möglich)– Sind instationär– Die meisten Theoreme greifen nicht


Das Skalenanalyse-Projekt:Physiker kollidieren mit der Realität

• Welche dynamischen Eigenschaften besitzen Abflüsse auf unterschiedlichen Zeitskalen?

• Wo greifen die neuen Methoden?• Werden konventionelle Methoden durch

Langzeitkorrelationen entwertet?• Wie interpretiert man mit den neuen

Methoden – Hochwasser und Niedrigwasser– Trends in Quantilen– Auswirkung von Klimaveränderungen– Verbindungen zu anderen Variablen

(meteorologische, klimatische, kosmische, …)?


Merkmale hydrologischer Zeitreihen

(5 Gründe, Physiker damit zu beschäftigen)

• Die meisten Zeitreihen (besonders Abflüsse) sind langzeitkorreliert

• Trends werden durch Langzeitkorrelationen „maskiert“, einfache Trendanalyse liefert falsche Ergebnisse (oft falsch positiv)

• Auch Extremereignisse sind langzeitkorreliert, Wiederkehrintervalle sind neu zu interpretieren

• Instationarität ist die Regel, (deterministischer) Trend die Ausnahme

• Zeitreihen weisen synchrones Verhalten im Langzeitbereich auf


Gliederung

Welche Eigenschaften von Zeitreihen sind für uns interessant?• Korrelationen auf verschiedenen Zeitskalen,

Skalierungsverhalten

• Stationarität / Instationarität, Trendverhalten

• Periodizitäten, synchrones Verhalten

• Extremwerte


Grundlegende Definitionen

Eine Datenreihe Nitx i ,...,1),( = liegt vor.

• Mittelwert: ∑=

=N

iitx

N 1

)(1µ

• Varianz ( )( )∑=

−−

=N

iitx

N 1

22

11 µσ

• q-tes zentrales Moment: ( )( )∑=

−=N

i

qiq tx

NM

1

1 µ


Die Autokorrelation• quantifiziert die Abhängigkeiten innerhalb einer Zeitreihe

( )( ) ( )( ) ( )( )∑∑=

−

=+ −−−=

N

ii

kN

ikii txtxtxkC

1

2

1/)( µµµ

Faustregeln: • Mindestens 30 Datenpunkte

• Nur Lags k < N/4 (Puristen) bzw. k < N/2 (Pragmatiker)vertrauen

• Daten müssen „im Prinzip“ äquidistant vorliegen;Lücken sind ein Problem!

• Zeitreihe muss ”im Prinzip” stationär sein

• Enger Zusammenhang mit der Spektraldichte ( )fPFouriertransformation

:


5 Beispiele:

1. unkorreliert und stationär


5 Beispiele:

2. korreliert und stationär


5 Beispiele:

3. korreliert und instationär: der Random Walk


5 Beispiele:

4. korreliert: ja sicher, stationär: nein? (Trend!)Wechselkurs Norwegische Kronen zu Euro

1.10.200 2 1.1.2003 1.4.2003 1.7.2003 1.10.2003 1.1.2004 1.4.2004 1.7.2004 1.10.20047,0

7,2

7,4

7,6

7,8

8,0

8,2

8,4

8,6

8,8

9,0N

OK/

Euro

NOK/Euro


5 Beispiele:

5. korreliert: ja sicher, stationär: ??Donau-Abfluss bei Hofkirchen (2002-2003)

1.1.2002 1.4.2002 1.7.2002 1.10.2002 1.1.2003 1.4.2003 1.7.2003 1.10.2003 1.1.20040

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

Abf

luss

Hof

kirc

hen


Beispiel 4: AutokorrelationAutocorrelation NOK zu Euro (enttrendet, desaisonalisiert)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Aut

okor

rela

tion

(linear-linear)


Beispiel 5: AutokorrelationAutokorrelation Donau Hofkirchen (enttrendet, desaisonalisiert)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Aut

okor

rela

tion

(linear-linear)


Beispiel 4: AutokorrelationAutocorrelation NOK zu Euro (enttrendet, desaisonalisiert)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,80,91,0

Auto

korre

latio

n

Autokorrelation Euro-NOK mit Exponentialfit

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,80,91,0

Hier linearerFit?

( )97.0

3.12

00447.0

=

= −

RekC k

(linear-logarithmisch)


Beispiel 4: Autokorrelation

(logarithmisch-logarithmisch)

Autokorrelation NOK zu Euro (enttrendet, desaisonalisiert)

0 1 2 4 6 9 13 19 27 38 53 730,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,80,91,0

Aut

okor

rela

tion

kein linearerFit!


Beispiel 5: Autokorrelation

(linear-logarithmisch)

Autokorrelation Donau Hofkirchen (enttrendet, desaisonalisiert)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,80,91,0

Aut

okor

rela

tion

kein linearerFit!


Beispiel 5: AutokorrelationAutokorrelation Donau Hofkirchen (enttrendet, desaisonalisiert)

0 1 2 4 6 9 13 19 27 38 53 730,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,80,91,0

Aut

okor

rela

tion

(logarithmisch-logarithmisch)

Hier linearerFit?

Autokorrelation Donau Hofkirchen (enttrendet, desaisonalisiert) mit Potenzfit

1 2 3 4 6 8 11 14 18 230,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

( )95.0

19.12

44.0

=

= −

RkkC


Lang- und Kurzzeitgedächtnis

Definition: Gedächtnis einer Zeitreihe

∑∞

=

=0

)(k

kCM

Eine Zeitreihe hat kurzes Gedächtnis

∞<⇔ M(anderenfalls ist sie langzeitkorreliert)Typi

sche P

hysike

rdefini

tion


Was ist eine skalierende Größe?

Falls für eine Eigenschaft S gilt:heisst S skalierend (λ: Skala oder Skalenfaktor)

)()()( rSfrS λλ =

αcrrS =)(Spezialfall: Potenzgesetz

αλλ )()( rcrS =Potenzgesetze haben keine Skala:

wieder dasselbe Potenzgesetz! (Selbstähnlichkeit oder Skaleninvarianz)

( )( )αλλ =f


Beispiel: Energieverbrauch von Warmblütern

4/3cMW =

Schroeder (1990)


Das Hurst-Phänomen

Beobachtung (Hurst 1951):

Der Wertebereich q oder die Höhe von Extremereignissen hängt vonder gewählten Zeitauflösung oder Aggregation kwie eine Potenzfunktion ab:

Hkq∝ H: Hurst-Koeffizient (-Exponent)

Theoretische Rechnung: Bei Random Walk(einfachstes autoregressives Modell) gilt 5.0=HBeobachtung an Nil-Hochwässern (2000 Jahre):

04.079.0 ±=H

D.h. die Extremereignisse wachsen sehr viel schneller an:Persistenz

Vorsicht: Trends können Persistenz vortäuschen!


Hurst-Koeffizienten Nil (Hurst 1951)

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

641-740 741-840 841-940 941-1041 1042-1142 1143-1242 1243-1344 1345-1445 1446-1741 1741-1866 1867-1946


Hurst-Exponenten Baden-Württemberg

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

Hammere

isenb

ach

Beuron

Hunde

rsing

en

Kirche

n-Hau

sen

Ebnet

Gutach

Pforzh

eimHop

fauUnte

rgries

heim

Schen

kenz

ellSch

waibac

h

Koche

rstett

enStei

nRieg

elRote

nfels

HorbPloc

hinge

nBerg

haus

enNeu

stadt

Schorn

dorf

Hinterl

ehen

geric

ht

Gerbert

shau

sSen

nfeld

Bad M

ergen

theim Zell

Oberla

uchri

ngen

Stationen

Hu

rst-

Expo

nen

ten Donau

Jagst

Kinzig

Kocher

Neckar Rems


Autokorrelation und Potenzgesetze

Falls für die Autokorrelation bei großen Lags gilt

und , ist die Zeitreihe langzeitkorreliert.

heisst Korrelationsexponent.

( ) γ−= kckC 10 << γ

γ

Für stationäre trendfreie Zeitreihen gelten die Zusammenhänge

21 γ−=H ( ) 1−= γfcfP P (bei kleinen Frequenzen)und


Eine Klasse von langreichweitigen Modellen: FARIMA(p,d,q) (Vortrag Rust)

”Fractional AutoRegressive Integrated Moving Average”

d heisst Persistenz-Parameter (d=0 keine, d=0.5 maximale Persistenz)

• Theoretischer Zusammenhang mit dem Hurstexponenten:d=H-0.5

• Verhalten der Autokorrelation für große ( ) d21kkC:k +−∝


Stationarität

Def.: Eine Zeitreihe heisst stark stationär, wenn alle Momentenicht von der Zeit abhängen.

(Man bestimme Mittelwert, Varianz, Schiefe, Wölbung, 5. Moment usw. in Fenstern. Die Werte dürfen sich nicht signifikant unterscheiden.)

Beispiele:• weisses Rauschen• bestimmte ARMA-Modelle

Umweltzeitreihen sind nie stark stationär (= nicht langweilig).

Def.: Eine Zeitreihe heisst schwach stationär, wenn Mittelwert und Varianznicht von der Zeit abhängen.

→ Keine monotonen Trends→ keine Heteroskedastizität (wechselnde Varianz)


Stationaritätstests

Prinzip "Fenstertechnik":• Aufteilung des Datensatzes in gleichlange Stücke (Fenster)• Bestimmung statistischer Merkmale in jedem Fenster• Berechnung der Variabilität des Merkmals von Fenster zu Fenster• Ermittlung der Signifikanz

Typen von Stationaritätstests• auf der Werteverteilung basierend• auf der Fourierzerlegung basierend• direkte Trenderkennung

Man kann nur Instationarität nachweisen


Beispiel für einen Stationaritätstest(Vortrag Kallache)

• Aufteilung der Zeitreihe in Fenster der gleichen Länge l

• Bestimmung der empirischen kumulativen Verteilungsfunktionen ( )xecdf

• Teststatistik für je 2 Fenster

( ) ( )xecdfxecdfKS 21max −= (Kolmogorow-Smirnow)

berücksichtigt die gesamte Verteilung

KS

Varianten: • integrierter KS-Test• KS-Test für normierte Daten(Instationarität von höheren Momenten?)

Problem: Signifikanzniveaus für korrelierte Daten


TrendanalyseZugrundeliegendes Modell (additives Komponentenmodell):

)()()()())(),(()( ttTtTtStYtXftX SD η++++=

)(tY externe Faktoren

)(tS saisonale Komponente

)(tTDdeterministischer Trend

)(tTSstochastischer Trend

)(tη stationäres Rauschen

Globaler monotoner Trend: „im Mittel wächst X(t) an / fällt ab“

Fundamentalproblem: Langzeitkorrelationen können wie Trends aussehen


Klassische Trendanalyse: Mann-Kendall Test

• Rangbasierter, parameterfreier Summentest• Erweiterung auf saisonalen Test usw. möglich• Signifikanzgrenzen setzen unkorrelierte Daten voraus• Reagiert empfindlich auf Korrelationen:Gefahr von falsch positiven Ergebnissen


Alternative Trendanalyse: Skalenseparation(Vortrag Kallache)

• Annahme: Deterministische Trends wirken (vor allem)

auf langen Zeitskalen

• Zerlegung in kurze und lange Zeitskalen mit Wavelets• Wähle (einfaches) stochastisches Modell für kurze Zeitskalen

• Trendsignifikanz à la F-Test (Vergleich der Varianzen)


Alternative Trendanalyse: Skalenseparation- Beispiel: quadratischer Trend -

Craigmile et al. (2004)


Plötzliche (Trend-)änderungen:Bruchpunktanalyse(Vortrag Neumann)

• Bestimmung des Zeitpunkts, zu dem die Rangverteilungenvorher und nachher maximal unähnlich sind (U-Test)

• Signifikanzabschätzung nimmt unkorrelierte Daten an• sehr empfindlich auf Langzeitkorrelationen

Zusammenfassung: Trends und Langzeitkorrelationensind i.a. schwer zu trennen


Wie trennt man Trend und Langzeitkorrelation?Trendbereinigte Fluktuationsanalyse (DFA)(Vortrag Rybski)

• Evtl. Vorbereitung der Daten (z.B. Desaisonalisierung)• Teilsummen ergeben das Profil der Zeitreihe:

∑=

=n

iin xz

1

• In Segmenten der Länge s wird das Profil an Polynomefester Ordnung n angepasst (DFA(n)) und über alle Segmentegemittelt:

( ) ( ) ( )[ ]∑=

+− −=s

ivis iyz

ssF

1

21

2 1, νν und ( ) ( )2/12

1

22 ,

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

=

sN

s

sFN

sFν

ν

Langzeitkorrelation vorhanden ( ) HcssF =⇒ 2


Beispiel zur DFA

Koscielny-Bunde et al. (2004) hier H=0.75


Singuläre System Analyse (SSA)„Hauptkomponentenanalyse für

einen einzigen Datensatz“(Vortrag Thies)

• Effiziente Darstellung langer Zeitreihen durch wenige

Komponenten

• Exaktes Rekonstruktionsverfahren (nur Basiswechsel)

• Spektren der einzelnen Komponenten i.d.R. einfach

• Datenadaptives Verfahren

• Signal-/Rauschtrennung


Singuläre System Analyse (SSA)Beispiel: Southern Oscillation Index

Die ersten 5 KomponentenZeitreihe

Ghil et al. (2002)


Ausflug in die Extremwertstatistik

• Welcher Verteilungsfunktion gehorchen Maxima einer Zeitreihe?

→ Fisher-Tippett-Theorem: nur drei Typen(Gumbel, Fréchet, Weibull)

• Welche Wiederkehrzeiten gibt es? (Vortrag Vogelbacher?)

• Was geschieht im Fall immer extremerer Ereignisse?→ AIM-Theorem: Gruppen von Extremereignissen werden voneinanderunabhängig für beliebig große Ereignisse und beliebigem Abstand

• Folgerung: Korrelationen in der Zeitreihe immeruninteressanter je extremer das Ereignis

…und wann sind Ereignisse extrem genug?

Nie in der hydrologischen Praxis! (Vortrag Eichner)


Zusammenfassung:Analysen hydrologischer Zeitreihen

(5 Gründe, Physiker damit beschäftigt zu haben)

Die angewendeten Verfahren (und Physiker) sind in der Lage,

• mit Trends und Langzeitkorrelationen umzugehen• Langzeitkorrelationen zu quantifizieren• Verbesserungen für Standardverfahren zu liefern

(oder sie zu ersetzen)• Hinweise auf langfristige externe Einflüsse zu geben• Korrelierte Extreme zu behandeln

Date post:	27-Aug-2019
Category:	Documents
Upload:	hatu
View:	212 times
Download:	0 times

Grundlagen der skalenbezogenen Analyse von Zeitreihen · t G ut a c h Pf o r zh ei m Hop f a u...

Documents