grundkursdg05

Institut fr Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle GeometrieProf. Dr. H. PottmannGEOMETRIE

LehrveranstaltungsinhalteGEOMETRIE

Grundkurs Architektur & Darstellung: Darstellende Geometrie

1

Koordinatensysteme Projektionen und Risse Parametrische Grundkrper Boolesche Operationen Raumtransformationen Schattenkonstruktion Perspektive Splines Flchen im Bauwesenwww.geometrie.tuwien.ac.at 2

http://www.geometrie.tuwien.ac.at/student/arch/www.geometrie.tuwien.ac.at


Ebene kartesische KoordinatenGEOMETRIE

Kartesische Normalkoordinaten Kugel/Zylinderkoordinaten Ebene, Raum

y xP Ey Ex ex x

P yP

x-Achse, y-Achse: zwei (zueinander) orthogonale, im Gegenuhrzeigersinn orientierte Geraden (Strahlen) einer Ebene

KoordinatensystemeWelt/Benutzer Rechts/Links Polarkoordinaten

ey

Ebenes kartesisches Rechtskoordinatensystem

ex, ey ... Einheitsstrecken Ex, Ey ... Einheitspunktewww.geometrie.tuwien.ac.at 3

Damit knnen Punkte der Ebene durch Zahlenpaare (Koordinaten) festgelegt werden. Bsp: P(xP = 3, yP = 2.3)www.geometrie.tuwien.ac.at 4

Rumliche kartesische KoordinatenGEOMETRIE

KoordinatensystemeGEOMETRIE

z z P U x yx-Achse, y-Achse, z-Achse: drei (zueinander) orthogonale, orientierte Geraden durch einen gemeinsamen Punkt U (Koordinatenursprung) Rumliches kartesisches RechtskoordinatensystemRechte Hand Regel

y

z

y

x Linkskoordinatensystem

+x Rechtskoordinatensystem

Rechte Hand Regel: x-Achse, y-Achse und z-Achse eines Rechtskoordinatensystems sind orientiert wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Handwww.geometrie.tuwien.ac.at 5

www.geometrie.tuwien.ac.at

6

Rumliche kartesische KoordinatenGEOMETRIE

Ebene PolarkoordinatenGEOMETRIE

z P P U x PP, P, P ... Grundriss, Aufriss, Kreuzriss des Punktes P

Q (r; )

Ein Punkt der Ebene kann auch in Polarkoordinaten festgelegt werden: Q(r; ) r ... Abstand des Punktes zum Pol ... Winkel zwischen der Nullrichtung und dem Vektor Pol - Punkt

PPol

r

positiver Drehsinn Nullrichtung

y

yKoordinatenquader: Die Kantenlngen am Quader zeigen die Absolutbetrge der Koordinaten des Punktes P(xP, yP, zP)

Bsp: Q(7,5; 39)

xQZusammenhang kartesische/Polarkoordinaten: yQ = r sin() xQ = r cos() tan() = yQ / xQ r 2 = xQ2 + yQ2

Q yQ x

r

Koordinatenweg: Ein in U beginnender und in P endender Streckenzug aus drei Kanten eines Koordinatenquaders, welcher alle drei Koordinaten von P zeigt


7


8

ZylinderkoordinatenGEOMETRIE

KugelkoordinatenzGEOMETRIE

z P

rU P

P y

U

zP rP y x

Kugelkoordinaten entsprechen der geographischen Lnge und Breite auf der Erdkugel

x

P(r; ; )Bsp: Tragen Sie den Punkt Q(r; 100; 30) ein

P(r; ; zP)

Bsp: Tragen Sie den Punkt Q(r; 90; zp/2) ein!www.geometrie.tuwien.ac.at 9


10

Welt / BenutzerKoordinatensysteme

formZ KoordinatensystemGEOMETRIE GEOMETRIE

BKS x y

zz

WKS BKSz

A absolute/relative Koordinaten W Weltkoordinaten-/ Benutzerkoordinatensystem C Kartesische/Polarkoordinaten

x

y

Frank O. Gehry DESIGN MUSEUM Weil am Rhein, Germany

x

ywww.geometrie.tuwien.ac.at 11 www.geometrie.tuwien.ac.at 12

Tipp fr CAD KonstruktionenGEOMETRIE


Vereinfachung der CAD Konstruktion durchVerwendung geeigneter Koordinatensysteme Mglichkeit der Koordinateneingabe ber Tastatur und Maus passende Wahl von Benutzerkoordinatensystemen (in formZ ber die Wahl der Referenzebene)www.geometrie.tuwien.ac.at 13

Projektionen und Risse

Parallelprojektion

Zentralprojektionwww.geometrie.tuwien.ac.at 14

ZentralprojektionGEOMETRIE

ZentralprojektionGrundlegende Begriffe: O Projektionszentrum Bildebene s = OP Sehstrahlen (Geraden durch O, werden projizierend abgebildet) Eigenschaften: geradentreu fr allgemeine Geraden speziell: nicht mittelpunktstreu allgemein: nicht teilverhltnisstreu nicht parallelentreu

OGEOMETRIE

Zentralprojektion ist die Projektion aus einem Punkt (Zentrum) O auf eine zur Blickachse (optischen Achse) normale Bildebene (vgl. Filmebene in Fotografie) ist dem einugigen Sehen nachgebildet (Netzhaut ist jedoch gekrmmt; Projektion auf gekrmmte Flchen tritt bei Panoramabildern auf) Bsp: Schattenwurf einer punktfrmigen Lichtquelle

P

s

Pc=sc


15


16

F2

ZentralprojektionGEOMETRIE

ParallelprojektionGEOMETRIE

Parallelprojektion ist die Projektion mittels paralleler Geraden auf eine (Bild-)ebene Fi Fluchtpunkt (Zentralriss des Fernpunktes einer Geraden g) Parallele Geraden haben denselben Fluchtpunkt

F1

Bsp: Schattenwurf bei Sonnenschein Q P Qs Ps

Mario Botta EINFAMILIENHAUS RIVA SAN VITALE Tessin, Schweiz Nicholas Grimshaw SPORTHALLE FUER IBM Hampshire, England


17


18



geradentreu teilverhltnistreu mittelpunktstreu

parallelentreu


19


20

TeilverhltnisGEOMETRIE

Motivation fr Normalrissez Um welches Objekt handelt es sich hier?GEOMETRIE

Sind A, B, C drei verschiedene Punkte auf einer Geraden g, so bezeichnet man mit TV(A,B,C) das Teilverhltnis der Punkte A,B,C. |TV(A,B,C)| := AC / BC > 0 TV(A,B,C) < 0 C liegt zwischen A und B

A

M

B

C x

Beispiel: TV(A,B,C) = 5:2 = 2,5 Ist speziell M der Mittelpunkt der Strecke AB, so ist TV(A,B,M) = -1

Aus einem Bild kann die Raumsituation nicht eindeutig rekonstruiert werden!21

ywww.geometrie.tuwien.ac.at 22


Normalrissez 3 2 P P PGEOMETRIE

formZ -- ViewsGEOMETRIE

Kreuzriss Axonometrie

Aufriss Grundriss

x

y 1 Pwww.geometrie.tuwien.ac.at 23 www.geometrie.tuwien.ac.at 24

Projektionen in formZGEOMETRIE


Verwendung geeigneter Normalrisse als Konstruktionsprinzip im CAD z.B.: Wrfel auf eine Raumdiagonale stellen


25


26


AxonometrieGEOMETRIE

Verwendung geeigneter Snapfunktionen als Konstruktionsprinzip im CAD

Normale Axonometrie: Parallelprojektion mit zur Bildebene normalen Projektionsstrahlen Schiefe Axonometrie: Parallelprojektion mit zur Bildebene nicht parallelen Projektionsstrahlen

Wrfel minus Kugel (welche die Kanten berhrt)

Wrfel- und Kugelmittelpunkt identisch whlen, den Kugelradius ber Snap-Midpoint interaktiv eingeben 27 www.geometrie.tuwien.ac.at


28

AbbildungsvorschriftGEOMETRIE

HorizontalrissGEOMETRIE

Axonometrische Methode: 1. Das abzubildende Objekt wird mit einem kartesischen Koordinatensystem {U; Ex, Ey, Ez} verbunden. 2. Der Parallelriss des Koordinatensystems wird entweder durch Angabe von Up, Exp, Eyp, Ezp oder durch Angabe der orientierten Achsenbilder xP, yP, zP samt Verzerrungen vx, vy, vz so festgelegt, dass keine der Koordinatenebenen projizierend ist (d.h. die Geraden xP, yP, zP mssen paarweise verschieden sein.) 3. Die Risse von Objektpunkten werden ber die Risse von Koordinatenwegen eingemessen ( axonometrisches Aufbauverfahren).www.geometrie.tuwien.ac.at 29

zP zP EzP ExP EyP xPGustav Peichl ORF-Studio, Graz

spezielle schiefe Axonometrie

PP P(2/5/3) yP xP

yP

xP yP v x = vy


30

FrontalrissGEOMETRIE

IsometrieGEOMETRIE

spezielle schiefe Axonometrie

zn

spezielle normale Axonometrie

xn zP yPGustav Peichl Behrdenzentrum, Frankfurt am Main

yn

yP zP vy = vzChristian de Portzamparc Cite de la Musique, Paris

xP

zn,xn = xn,yn = yn,znwww.geometrie.tuwien.ac.at 31

vx = v y = v zwww.geometrie.tuwien.ac.at 32

Schlagschatten einer Kugel bei Parallelbeleuchtung

Umriss einer KugelGEOMETRIE GEOMETRIE

Lichtstrahlen, welche die Kugel berhren, bilden einen Drehzylinder (berhrt lngs eines Grokreises). Der Schlagschatten auf eine Ebene (ebener Schnitt des Lichtzylinders) wird von einer Ellipse berandet (Kreis, falls die Lichtstrahlen normal zur Schirmebene)www.geometrie.tuwien.ac.at

axonometric

oblique

Normale Axonometrie Umriss der Kugel = Kreis33

Schiefe Axonometrie Umriss der Kugel = Ellipsewww.geometrie.tuwien.ac.at 34

AufbauverfahrenGEOMETRIE


z zp zp

z

y

y

y yp yp x vx = 1, vy = vz = 3/2www.geometrie.tuwien.ac.at 35

y

Angabe

xp

Konstruktion

xp

x vx = 1, vy = vz = 3/2www.geometrie.tuwien.ac.at 36


EinschneideverfahrenGEOMETRIE

z zp

P

Q Pny

Designertisch

Qny yp

P Qwww.geometrie.tuwien.ac.at 38

Ergebnis

xp

x vx = 1, vy = vz = 3/2www.geometrie.tuwien.ac.at 37


Was sind parametrische Grundkrper?GEOMETRIE

Parametrische Grundkrper

Parametrische Grundkrper sind als Grundelemente in CAD-Paketen enthalten werden ber die Festlegung der sie bestimmenden Parameter konstruiert knnen nachtrglich durch Vernderung der Parameter manipuliert werden

Parametrische Grundkrper in formZ Quader (cube), Kegel (cone), Zylinder (cylinder), Kugel (sphere), Torus (torus),... Geodtische Kuppel (spheric geodesic sphere), Platonische Krper (spheric )


39


40

Parametrische GrundkrperGEOMETRIE

Quader (Cube)Drei verschiedene AngabemglichkeitenGEOMETRIE

Quader

Hhe

h h 2 3 2 1 1

1 Lnge

Breite

FlchenmodellSears Tower, Chicago, US www.geometrie.tuwien.ac.at 41

Volumsmodell(Solid)www.geometrie.tuwien.ac.at 42

(Surface)

Flchen- und VolumsmodelleGEOMETRIE


Fr die CAD Modellierung Flchenmodell (surface) stellt die Oberflche (Haut) eines Objektes dar

Volumsmodell (solid) Objekt als Vollkrper

Kegel

Vor allem fr Darstellungszwecke Kantenmodell (wireframe) reprsentiert Kanten und ausgewhlte Kurven auf der Oberflche eines ObjektesNorman Foster Millenium Tower Tokyo, Japanwww.geometrie.tuwien.ac.at 43 www.geometrie.tuwien.ac.at 44

Kegel (Cone)Drei verschiedene AngabemglichkeitenGEOMETRIE

Geometrie der KegelflchenGEOMETRIE

Angabe durch Spitze S und Leitkurve l:Hhe Radius Mittelpunkt des Basiskreisesh 1 1 2 2 h

S

Die Kegelflche besteht aus allen Geraden (Erzeugenden), welche durch die Spitze S gehen und die Leitkurve l treffen.

l

Tangentialebenen In allen Punkten einer Erzeugenden berhrt dieselbe Tangentialebene Flchenmodell Volumsmodellwww.geometrie.tuwien.ac.at 45 www.geometrie.tuwien.ac.at 46


Zylinder (Cylinder)Drei verschiedene Angabemglichkeiten3GEOMETRIE

ZylinderHhe1 h 1 2 2

3

h

Mittelpunkt des Basiskreises

Radius

Hans Hollein HAAS-HAUS Wien, Oesterreich


47

Flchenmodell

Volumsmodell


48

Geometrie der ZylinderflchenGEOMETRIE

Parametrisches Konstruieren im CADGEOMETRIE

Angabe durch Erzeugendenrichtung und Leitkurve: Die Zylinderflche besteht aus allen Geraden (Erzeugenden), welche die Leitkurve l treffen und die gegebene Richtung besitzen

Moderne CAD-Pakete speichern auch den Konstruktionsgang Dadurch wird die nachtrgliche Manipulation eines fertigen Objektes durch die Variation der verwendeten Parameter einfach mglich Beispiel:

Tangentialebenen In allen Punkten einer Erzeugenden berhrt dieselbe Tangentialebenewww.geometrie.tuwien.ac.at 49

Radius vergrern


50

ExtrusionGEOMETRIE

ExtrusionGEOMETRIE

paralleles Extrudieren Eine Punktmenge der Ebene (Polygon, Kurve, Bereich, ) wird in Extrusionsrichtung stetig parallelverschoben und berstreicht dabei ein Extrusionsobjekt

zentrales Extrudieren alle Punkte einer Punktmenge der Ebene (Polygon, Kurve, Bereich, ) werden durch geradlinige Strecken mit dem Extrusionszentrum verbunden, diese bilden das Extrusionsobjekt


51


52

Extrusion als KonstruktionsprinzipGEOMETRIE


Erkennen von Extrusionskrpern im Objektaufbau vereinfacht die Modellierung Bsp: Die Profile p1 und p2 werden parallel extrudiert, die beiden Extrusionskrper zum fertigen Objekt vereinigt

Kugel

p1

p2

Adrian Fainsilber CITE DES SCIENCES ET DE'L INDUSTRIE, Paris, Frankreichwww.geometrie.tuwien.ac.at 53 www.geometrie.tuwien.ac.at 54

Kugel (Sphere)Drei verschiedene AngabemglichkeitenGEOMETRIE


Mittelpunkt4 1 2 1 2 3

Santiago Calatrava Funk - Fernsehturm Montjuic Spanien

Torus

Radius

Flchenmodell

Volumsmodellwww.geometrie.tuwien.ac.at 55

Takasaki Masaharu ASTRONOMICAL MUSEUM Kihoku-cho, Japanwww.geometrie.tuwien.ac.at 56

Torus - ErzeugungGEOMETRIE

Torus - BezeichnungenGEOMETRIE

Rotiert ein Kreis k um eine Achse a, die in der Kreisebene liegt, aber kein Kreisdurchmesser ist, so entsteht ein Torus. a...Achse Mittelpunkt

Je nachdem ob die Anzahl der Schnittpunkte von k und a gleich 0,1, oder 2 ist, sprechen wir von einem Ringtorus, Dorntorus, oder Spindeltorus

k...Meridiankreis m Mittenkreis Ringtorus Dorntorus Spindeltorus


57


58

Torus (Torus)Drei verschiedene AngabemglichkeitenGEOMETRIE

Flchen/VolumsmodelleGEOMETRIE

1 3 2

Mittenkreisradius

Meridiankreisradius

Ringtorus

Dorntorus

Spindeltorus

3 1 2


59


60

Ebene Schnitte des TorusVillarceau-Kreise:GEOMETRIE

KonvexittGEOMETRIE

Jeder Schnitt eines Ringtorus mit einer Doppeltangentialebene zerfllt in zwei kongruente Kreise, welche von Y. Villarceau (1848) entdeckt wurden. Ein Ringtorus enthlt mithin neben den Parallelund Meridiankreisen noch unendlich viele weitere Kreise.

Konvexer Bereich: Punktmenge welche die Verbindungsstrecke von je zwei beliebig in ihr gewhlten Punkten zur Gnze enthlt (in 2D, 3D, )

konvex Polyeder:

nicht konvex

ebenflchig begrenztes Objekt in 3D

Konvexes Polyeder: Polyeder, dessen Volumsmodell ein konvexer Bereich in 3D istwww.geometrie.tuwien.ac.at 61 www.geometrie.tuwien.ac.at 62

Konvexe und nichtkonvexe Polyeder Topologisch quivalente Krper sind durch stetige Deformation ineinander berfhrbar

Platonische KrperGEOMETRIE GEOMETRIE

Tetraeder

Oktaeder

Ikosaeder

konvex (stets topologisch quivalent zu Kugel, Quader, )

nicht konvex (topologisch verschieden)www.geometrie.tuwien.ac.at 63

Wrfel

Pentagondodekaederwww.geometrie.tuwien.ac.at 64

Platonische KrperGEOMETRIE

Dualitt der Platonischen Krper

GEOMETRIE

Die konvexen Polyeder, deren smtliche Seitenflchen von kongruenten regelmigen Polygonen berandet werden und bei denen von jeder Ecke gleich viele Kanten ausgehen sind genau die 5 Platonischen Polyeder (Platonische Krper). Tetraeder: 4 gleichseitige Dreiecke, 4 Ecken, 6 Kanten Hexaeder (Wrfel): 6 Quadrate, 8 Ecken, 12 Kanten Oktaeder: 8 gleichseitige Dreiecke, 6 Ecken, 12 Kanten Pentagondodekaeder: 12 regelmige Fnfecke, 20 Ecken, 30 Kanten Ikosaeder: 20 gleichseitige Dreiecke, 12 Ecken, 30 Kanten

Die Mittelpunkte der Seitenflchen eines Platonischen Krpers (Polyeders) sind ebenfalls die Ecken eines Platonischen Krpers (Polyeders). Tetraeder Wrfel Tetraeder Oktaeder

Sie besitzen eine Umkugel, Inkugel und Kantenkugel.www.geometrie.tuwien.ac.at 65

Dodekaeder

Ikosaederwww.geometrie.tuwien.ac.at 66

Platonische Krper im BauwesenTetraeder im Kunstturm Mito Architekt Arata Isozaki

Eulersche PolyederformelGEOMETRIE GEOMETRIE

Unter der Voraussetzung, dass das Polyeder topologisch quivalent zur Kugel ist (kein Loch hat ) gilt: ek+f=2e ............. Anzahl der Ecken k ............. Anzahl der Kanten f .............. Anzahl der Flchen

Pentagondodekaeder in einer Wohnsiedlung Architekt Zvi Hecker


67


68


Geodesic SpheresGEOMETRIE

Geodesic Sphere

Geodesic Spheres entstehen aus den platonischen Grundkrpern durch Teilung der Flchen in kleinere Dreiecke und Verlagern der eingefgten Punkte auf die den Grundkrper einhllende Kugel

Verallgemeinerung dieses Prinzips fhrt uns spter zu den Unterteilungsflchen (subdivision surfaces)www.geometrie.tuwien.ac.at 69 www.geometrie.tuwien.ac.at 70

Geodesic Spheres im CADGEOMETRIE

2 UnterteilungsvariantenGEOMETRIE

In vielen CAD Paketen werden Geodesic Spheres aus dem Grundkrper Ikosaeder erzeugt Seitenflchen einer Geodesic Sphere keine gleichseitigen Dreiecke!

1

2

3 2

3

3

Variante 1: Seitenflchen des Ausgangspolyeders werden immer feiner unterteilt (z.B. 3DSMax) 2 32 3 1 3 2 3

1

1 2

Variante 2: Seitenflchen aus dem vorigen Unterteilungsschritt werden nach demselben Schema weitergeteilt (z.B. formZ)www.geometrie.tuwien.ac.at 71 www.geometrie.tuwien.ac.at 72

Geodesic Sphere Level Unterteilungsvariante 1

GEOMETRIE

Geodesic Sphere Level Unterteilungsvariante 2

GEOMETRIE

Geodesic Spheres mit Basisobjekt Ikosaeder Anzahl der Dreiecke im Level k 20*(k+1)^2

Geodesic Spheres mit Basisobjekt Ikosaeder Anzahl der Dreiecke im Level k 20*4^k (oder rekursiv 4 mal die Anzahl der Dreiecke aus dem vorigen Schritt)

Level 1 (20*4 = 80 triangles)



Level 1 (20*4 = 80 triangles)73

Level 2 (20*16 = 4*80 = 320 triangles)

Level 3 (20*64 = 4*320 = 1280 triangles)

Level 4 (20*256 = 4*1280 = 5120 triangles)74



Geodesic Spheres in formZGEOMETRIE

Geodesic Spheres weitere Ausgangskrper

GEOMETRIE

Befehl Spherical Object

Als Basisobjekte auch Tetraeder oder Oktaeder Unterteilungsvarianten wie Ikosaeder

Tetraeder

Oktaeder

Anzahl der Level definierenwww.geometrie.tuwien.ac.at 75

Grundkrper

Level 1

Level 2

Level 376


Geodesic-Spheres in der ArchitekturGEOMETRIE


Boolesche Operationen

Durchschnitt Kugel Wrfelwww.geometrie.tuwien.ac.at 77

Differenz Kugel \ Wrfel

Differenz Wrfel \ Kugelwww.geometrie.tuwien.ac.at 78

Boolesche OperationenGEOMETRIE

Boolesche Operation Vereinigung (Union)Ausgangsobjekte Vereinigung AB

GEOMETRIE

Die Mengenoperationen Vereinigung, Durchschnitt und Differenz treten im computergesttzten Konstruieren im Zusammenhang mit geometrischen Objekten auf. Ebene: z.B. bei Vielecken Raum: Volumenkrper

2D

A B

A B

3DVereinigung AB Durchschnitt AB Differenz A\B Differenz B\A79 www.geometrie.tuwien.ac.at 80


Boolesche Operation Durchschnitt (Intersection)Ausgangsobjekte Durchschnitt AB

GEOMETRIE

Boolesche Operation Differenz (Difference)Ausgangsobjekte Differenz A\B

GEOMETRIE

2D

A B

A B

2D

A B

A B

3D

3D


81


82

Boolesche Operation Differenz (Difference)Ausgangsobjekte Differenz B\A

Boolean SplitGEOMETRIE GEOMETRIE

2D

A B

A B

CAD Pakete stellen oft auch noch eine Zerlegung in die einzelnen Schnittelemente zur Verfgung

3D

One-way B-Split B / A Two-way B-Splitwww.geometrie.tuwien.ac.at 83

One-way B-Split A / B


84

Boolean Operations in formZGEOMETRIE

Boolesche Operationen in der Architektur

GEOMETRIE

Union Intersection

Difference

Boolean splitOssarium im Friedhof von San Cataldo Modena, Italienwww.geometrie.tuwien.ac.at 85 www.geometrie.tuwien.ac.at 86

Trim, Split fr FlchenmodelleGEOMETRIE

bungsbeispiele zu den Booleschen Operationen Kennzeichnen Sie (durch Anmalen) das Ergebnis nach Anwendung der angefhrten Booleschen Operationen auf die Ausgangsobjekte (= Bereiche mit den gegebenen Linien als Rand)

GEOMETRIE

Ausgangsobjekte

1

Split both objects (Explosionsdarstellung)

Trim first objectwww.geometrie.tuwien.ac.at 87

Differenz: Ellipse minus Polygon

Durchschnitt der drei Bereichewww.geometrie.tuwien.ac.at 88


KongruenztransformationGEOMETRIE

Drehung Schiebung Vektor Punkt / Gerade Spiegelung Punkt / Gerade / Ebene

Raumtransformationengleichsinnig / ungleichsinnig Schraubung Achse Skalierung Faktor

Wird ein Objekt aus einer Position des Raumes in eine andere Position so bergefhrt, dass Lngen erhalten bleiben, dann spricht man von einer Kongruenztransformation Als Folge der Lngentreue ergibt sich die Winkeltreue Man unterscheidet zwischen gleichsinnigen und ungleichsinnigen Kongruenzen: eine gleichsinnige Kongruenztransformation bildet ein Rechtssystem auf ein Rechtssystem ab eine ungleichsinnige Kongruenztransformation bildet ein Rechtssystem auf ein Linkssystem ab89 www.geometrie.tuwien.ac.at 90


KongruenztransformationenGEOMETRIE

RaumtransformationenGEOMETRIE

Gleichsinnige Kongruenztransformationen: Schiebung Drehung um eine Gerade Spiegelung an einer Geraden Schraubung Schiebung (Translation)Eine Schiebung wird durch einen Schiebvektor festgelegt.

Ungleichsinnige Kongruenztransformationen: Spiegelung an einer Ebene Punktspiegelung Gleitspiegelungwww.geometrie.tuwien.ac.at 91


92

Schiebung (Translation)GEOMETRIE


Drehung (Rotation)Eine Drehung wird durch eine Drehachse und den Drehwinkel bestimmt.

Fa. Herold, Mdling, Austriawww.geometrie.tuwien.ac.at 93 www.geometrie.tuwien.ac.at 94

Drehung (Rotation)GEOMETRIE


Spiegelung an einer Geraden

Eine Spiegelung an einer Geraden kann durch eine Drehung ersetzt werden (Drehwinkel 180; Drehachse = Spiegelachse). Bemerkung: Die Spiegelung an einer Geraden im Raum ist gleichsinnig!Tower Dallas, USwww.geometrie.tuwien.ac.at 95 www.geometrie.tuwien.ac.at 96

Diskrete SchraubungGEOMETRIE

Stetige Schraubung (Screw)GEOMETRIE

Je zwei gleichsinnig kongruente Lagen eines starren Krpers lassen sich im allgemeinen durch eine diskrete Schraubung ineinander berfhren Diese setzt sich zusammen aus einer Drehung um eine Achse a und einer Schiebung lngs dieser Achse In Sonderfllen hngen zwei gleichsinnig kongruente Lagen durch eine reine Schiebung oder eine reine Drehung zusammen

a

Ein rumlicher Bewegungsvorgang, der aus einer gleichfrmigen Drehung um eine Achse a und einer gleichfrmigen Schiebung parallel zu a zusammengesetzt ist, heit Schraubung. Der Drehwinkel (gemessen im Bogenma) und die zugehrige Lnge s der Schiebstrecke sind direkt proportional: wird um den Winkel gedreht, so wird um die Strecke s = p verschoben. Der konstante Quotient p = s / heit Schraubparameter. Zu einer vollen Umdrehung (Drehwinkel 2) gehrt als Lnge der Schiebstrecke die Ganghhe h.www.geometrie.tuwien.ac.at 97

a ... Schraubachseh ... Ganghhe


98


Spiegelung (Reflection)GEOMETRIE

Spiegelung (an einer Ebene) z

z

xEine Spiegelung an einer Ebene wird durch die Spiegelebene angegeben.

y yCesar Pelli PETRONAS TOWERS Kuala Lumpur, Malaysiawww.geometrie.tuwien.ac.at 99 www.geometrie.tuwien.ac.at 100

xDie Spiegelung an einer Ebene ist gegensinnig!



z PunktspiegelungDie Punktspiegelung im Raum kann auch durch drei Spiegelungen (an zueinander normalen Spiegelebenen) erzeugt werden und ist daher ungleichsinnig.

Gleitspiegelung

y x x* y*Eine Gleitspiegelung setzt sich aus einer Spiegelung an einer Ebene und einer Schiebung parallel zu dieser Ebene zusammen.

P* P P

Bemerkung: Die Punktspiegelung in der Ebene ist zugleich eine Drehung um 180 Grad und daher gleichsinnig.

z*www.geometrie.tuwien.ac.at 101


102

Gleitspiegelung in der EbeneGEOMETRIE

Skalierung (Scale)GEOMETRIE

C1

B1

M 1= M 2

Gegeben sind drei Skalierungsfaktoren sx, sy, sz

B2

z

A2 A1a

C2

Die zugehrige Skalierung bildet dann einen Punkt P(x/y/z) auf den Punkt P(sxx/syy/szz) ab Bei gleichen Faktoren, s=sx=sy=sz, ergibt sich eine zentrische hnlichkeit mit dem Koordinatenursprung als Zentrum, diese Abbildung ist winkeltreu

y

a

Spiegelung an a + Schiebung lngs a Die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken entsprechender Punkte X1,X2 liegen auf awww.geometrie.tuwien.ac.at 103

x


104

Zusammensetzung von Raumtransformationen Durch Zusammensetzen (Hintereinanderausfhren) von Kongruenztransformationen entsteht wieder eine Kongruenztransformation: 1) gleichsinnig gleichsinnig gleichsinnig 2) ungleichsinnig ungleichsinnig gleichsinnig 3) gleichsinnig ungleichsinnig ungleichsinnig Beispiel: Gleitspiegelung = Spiegelung an Ebene Schiebung (ungleichsinnig = ungleichsinnig gleichsinnig)

GEOMETRIE

Zusammensetzung von Raumtransformationen

GEOMETRIE

Zusammensetzung ist i.a. nicht kommutativ (auf die Reihenfolge kommt es an)Drehachse Drehachse

Schiebvektor Schiebvektor

zuerst Schiebung, dann Drehungwww.geometrie.tuwien.ac.at 105

zuerst Drehung, dann Schiebungwww.geometrie.tuwien.ac.at 106


Grundbegriffe der Schattenkonstruktion Eigenschatten Dem Licht abgewandte Teile eines Objektes (lokal zu entscheiden) liegen im Eigenschatten; die Eigenschattengrenze trennt Eigenschattenbereiche von den dem Licht zugewandten Bereichen

GEOMETRIE

Schatten bei Parallelbeleuchtung

Schlagschatten Zur Konstruktion der Schlagschattengrenze brauchen nur die Schlagschatten fr die Punkte der Eigenschattengrenze konstruiert zu werdenwww.geometrie.tuwien.ac.at 107 www.geometrie.tuwien.ac.at 108

Grundbegriffe der Schattenkonstruktion

Wichtige SchattenregelnGEOMETRIE GEOMETRIE

Bei Parallelbeleuchtung sind alle Lichtstrahlen zu einer orientierten Geraden parallel Lichtstrahl s durch einen Punkt P schneidet eine Schirmebene im Schlagschattenpunkt Ps Die Lichtstrahlen, welche eine Gerade treffen sind Teil einer Ebene (Lichtebene) Ps

Der Schlagschatten einer Geraden geht durch den Spurpunkt G der Geraden auf der Schirmebene. G

Ps

Bei Parallelbeleuchtung haben parallele Geraden parallele Schatten.


109


110

z

Schatten bei ParallelbeleuchtungP l

zGEOMETRIE

EigenschattenGEOMETRIE

l

l

l

l Q x y Angabe: Objekt & Lichtrichtungwww.geometrie.tuwien.ac.at

l

x y

111


112

z

Schlagschatten 1.TeilGEOMETRIE

z


l

l

l

l

l

l

x y

x y


113


114

z


z

Ergebnis (mit Lichtstrahlen)

GEOMETRIE

l

l

l

l

lDoppelschattenpunkt

l

x y

x y


115


116

z

Ergebnis (ohne Lichtstrahlen)

GEOMETRIE

bungsbeispiel Schatten bei Parallelbeleuchtung

GEOMETRIE

l

l l

l

l

Konstruieren Sie fr die Parallelbeleuchtung mit Lichtrichtung l alle am Objekt auftretenden Schlagund Eigenschatten, sowie den Schlagschatten des Objektes in die xy-Ebene z

l

x yxwww.geometrie.tuwien.ac.at 117

y


118


ZentralprojektionGrundlegende Begriffe: O Projektionszentrum Bildebene s = OP Sehstrahlen(Geraden durch O, werden projizierend abgebildet)

OGEOMETRIE

Perspektive

P s

Eigenschaften: geradentreu fr Geraden allgemeiner Lage gilt: nicht teilverhltnistreu (speziell: nicht mittelpunktstreu) nicht parallelentreu

Pc=scwww.geometrie.tuwien.ac.at 120


119

Fluchtpunkt einer GeradenGEOMETRIE

Fluchtpunkt einer Geraden F2GEOMETRIE

Fluchtpunkt Fg der Geraden g: Verschiebe g durch O und schneide mit der Bildebene g

O

F1 Parallele Geraden haben denselben Fluchtpunkt Fi

Fg gc

www.geometrie.tuwien.ac.at 121 www.geometrie.tuwien.ac.at 122

HauptgeradenGEOMETRIE

Perspektive bei lotrechter Bildebene

GEOMETRIE

Hauptgerade = Gerade h parallel zur Bildebene In der Aufnahmesituation ist das Bild hc einer Hauptgeraden zur Raumlage h parallel. O Horizont Wir beziehen das Objekt im folgenden auf ein kartesisches x,y,zKoordinatensystem, dessen z-Achse lotrecht und nach oben orientiert ist. Die Koordinatenebene 1 ist dabei horizontal. Der Horizont enthlt die Fluchtpunkte aller horizontalen Geraden.

h

Parallele Hauptgeraden

haben parallele Zentralrisse

O

1

hc


123


124

Perspektive bei horizontaler Blickachsea

DurchschnittverfahrenGEOMETRIE GEOMETRIE

d

1 Der Abstand zwischen Augpunkt O und der Koordinatenebene 1 heit Aughhe a Der Abstand zwischen Augpunkt O und der Bildebene heit Distanz dwww.geometrie.tuwien.ac.at 125 www.geometrie.tuwien.ac.at 126

DurchschnittverfahrenGEOMETRIE1.

DurchschnittverfahrenGEOMETRIE

1. Wahl des Augpunktes O der horizontalen Blickachse (Hauptsehstrahl) und der lotrechten Bildebene O

2. In Grund- und Aufriss: Ermittlung der Schnittpunkte der Sehgeraden durch den Augpunkt O mit der erstprojizierenden Bildebene www.geometrie.tuwien.ac.at 127

P O

Pc

Pc P Owww.geometrie.tuwien.ac.at 128

O

DurchschnittverfahrenGEOMETRIE1. 2. 3. 1. 2.

DurchschnittverfahrenGEOMETRIE

H

4.

3. Wir legen in die Bildebene ein kartesisches Rechtskoordinatensystem , Hauptpunkt H als Ursprung Horizont als -Achse

Die - bzw. -Koordinate des Zentralrisses Pc eines Objektpunkts P oder eines Fluchtpunkts Yuc kann im Grundriss bzw. im Aufriss unverzerrt abgelesen werden

Pc

5. Im Zeichenfeld knnen die unverzerrte - bzw. -Koordinate des Zentralrisses Pc ins (,)Koordinatensystem eingetragen werden

H =

Pc H

Pc


129


130

DurchschnittverfahrenBeispiel aus den bungenC z L=P J I 1 AGEOMETRIE

Vervollstndigen einer vorliegenden PerspektiveVervollstndigen Sie von dem im axonometrischen Riss gegebenen Objekt die vorliegende Perspektive!zcxp zp

GEOMETRIE

yp

K=N y F D=M M P=N F J C=I A=B=1 K=L B=E=G G yc

C

A

c

H

Xu

c

H

Yu Jc

c

L

c

P

c

K xD E

c

N

c

xcGc

yc

,

a=2,5

D

c c

B E

c

a a 2a


131


132

bungsbeispiel: Vervollstndigen einer vorliegenden PerspektiveVervollstndigen Sie von dem im axonometrischen Riss gegebenen Objekt die vorliegende Perspektive!zc

Institut fr Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle GeometrieGEOMETRIE

Prof. Dr. H. Pottmann

GEOMETRIE

zp

Splinesyp xp

xc

yc

Schiffbauwww.geometrie.tuwien.ac.at 133

Automobilbau

Architekturwww.geometrie.tuwien.ac.at 134

Interpolation & ApproximationGEOMETRIE

Beispiel zur ApproximationGEOMETRIE

Geg: Menge von Punkten Ges: Kurve, welche die Punkte interpoliert (d.h. die Kurve enthlt die gegebenen Punkte) oder approximiert (d.h. der Verlauf der Punkte wird durch die Kurve nur angenhert) Es gibt unendlich viele interpolierende oder approximierende Kurven. CAD-Pakete bieten verschiedene Lsungen an, die Auswahl hngt vom Designzweck ab

Geg: Datenpunkte Ges: Linearer Ausgleich, sodass die Punkte von der Ausgleichsgerade mglichst wenig abweichen

f(x)

f(x) = 1.37 + 0.70*xMethode (Gau): Minimierung der Summe der Fehlerquadrate

xInterpolierende Kurve Approximierende Kurvewww.geometrie.tuwien.ac.at 135

Fehler eines Punktes: Abstand zur Ausgleichsgeraden in Richtung parallel zur y-Achsewww.geometrie.tuwien.ac.at 136

Bzier-KurvenGEOMETRIE

Grad einer Bzier-KurveGEOMETRIE

Bzier-Kurven wurden aus dem Bedarf fr Freiformkurven in der CAD/CAM/CAE-Technik entwickelt: P. de Casteljau (1959) bei Citron, P. Bzier (1962) bei Renault Standardmig sind Bzier-Kurven in vielen CAD-Paketen enthalten Bzier-Kurven werden durch Angabe eines Polygons gesteuert. Dieses Polygon heisst Kontrollpolygon, seine Ecken werden Kontrollpunkte genannt

Eine Bzier-Kurve mit n+1 Kontrollpunkten besitzt den Grad n (= Grad der in der mathematischen Beschreibung auftretenden Polynome) 2 Kontrollpunkte Grad 1 BezierKurve ist Verbindungsstrecke der beiden Kontrollpunkte

b1 T0 b0www.geometrie.tuwien.ac.at

3 Kontrollpunkte Grad 2 BezierKurve ist Parabelbogen; Kontrollpunkte: Endpunkte b0 b2 und Schnittpunkt b1 der Tangenten T0, T2 in den Endpunktenwww.geometrie.tuwien.ac.at 137

T2 b2138

Grad einer Bzier-KurveGEOMETRIE

Geometrischer Algorithmus zur Konstruktion von Bezier-Kurven

GEOMETRIE

Grad 1 lineare Bzier-Kurve

Grad 2 quadratische BzierKurve

Fr eine quadratische Bezier-Kurve (Parabelbogen) ist der verwendetet Algorithmus die Fadenkonstruktion einer Parabel Dieser wird spter auf hhere Grade verallgemeinert (Algorithmus von de Casteljau)

Grad 3 kubische Bzier-Kurvewww.geometrie.tuwien.ac.at 139


140

Fadenkonstruktion einer ParabelGEOMETRIE


b1

Geg: 2 Linienelemente (b0, T0), (b2, T2) einer Parabel Ges: weitere Linienelemente (d.h. Punkte mit Tangenten)

b1

Methode: bertragen von Teilverhltnissen

b11(0.25) b01(0.25) b0

T0

T2

Konstruktion fr t = 0.25, 0.5, 0.75

b02 (0.25) Kurvenpunkt

b0 b2 0 t 1www.geometrie.tuwien.ac.at 141

b2TV(b0, b1, b01) = TV(b1, b2, b11) = TV(b01, b11, b02)www.geometrie.tuwien.ac.at 142


Algorithmus von de CasteljauIst eine Verallgemeinerung der Fadenkonstruktion der Parabel.GEOMETRIE

b1 b01(0.75) b01(0.5) b01(0.25) b0 b02... Kurven punkt b11(0.5)

1) Teilverhltnis TV(0,1,t) auf die Strecken des Polygons bertragen 2) Verbinden der erhaltenen Teilungspunkte zu einem neuen Polygon Wiederholtes Anwenden von 1 und 2 liefert schrittweise (oberer Index) Polygone mit absteigender Eckenzahl bis schlielich nur noch der Kurvenpunkt brigbleibt. b1

b11(0.25)

Geg: Kontrollpunkte b0,...,bn Ges: Punkte der Bezier-Kurve n-ten Grades Jeder Punkt ist genau einem Parameter t aus dem Intervall [0,1] zugeordnet: t=0 entspricht b0 t=1 entspricht bnwww.geometrie.tuwien.ac.at 143

b1

1

b2

b02 b03

b12 b21 b3

b1

1(0.75)

b01

b2

b0

0

t 1144


Algorithmus von de CasteljauGEOMETRIE

Beispiele von Bzier-KurvenGEOMETRIE

Kurven vom Grad 3

de Casteljau-Schema: b0 b1 b2 b3 b21 b11 b12 b01

b1 b02 b03 b01

b11 b02 b03 b12

b2

Kurven vom Grad 4

b2 b3

1

0 b0

t 1www.geometrie.tuwien.ac.at 145 www.geometrie.tuwien.ac.at 146

Bzier-Kurven EigenschaftenGEOMETRIE

Konvexe HlleGEOMETRIE

Endpunktinterpolation + Tangenteneigenschaft (endpoint interpolation): b0 Eine Bzier-Kurve interpoliert den ersten und den letzten Punkt des Kontrollpolygons und besitzt dort die erste bzw. letzte Strecke des Kontrollpolygons als Tangente.Kontrollpolygon

Wiederholung: konvexer Bereich ist eine Punktmenge, welche die Verbindungsstrecken aller ihrer Punktepaare enthlt

bn

konvexe Hlle ist der kleinste konvexe Bereich, welcher eine gegebene (Punkt-) Menge enthlt

Linienelement

Bzier-Kurve

Linienelementwww.geometrie.tuwien.ac.at 147 www.geometrie.tuwien.ac.at 148



Konvexe Hlle Eigenschaft (convex hull property): Eine Bzier-Kurve liegt in der konvexen Hlle ihres Kontrollpolygons.

Variationsreduzierende Eigenschaft in der Ebene [im Raum] (variation diminishing property): Geg: Bzier-Kurve, beliebige Gerade [Ebene] Eine Bzier-Kurve wechselt die Seite jeder beliebigen Gerade [Ebene] nicht fter als das Kontrollpolygon.2 1 3 3

Testgeraden1 2 1 1www.geometrie.tuwien.ac.at 149 www.geometrie.tuwien.ac.at 150

3

2



Lineare Przision (linear precision): Liegen die Kontrollpunkte b0,...,bn einer BzierKurve kollinear (= auf einer Geraden), dann liegt die Bzier-Kurve auf der Strecke b0bn

Unterteilung (subdivision): Gegeben sei eine BzierKurve mit Kontrollpolygon (b0,...,bn) bzgl. [0,1]. Manchmal ist es notwendig, eine einzelne Bzier-Kurve so in zwei Teilstcke zu zerlegen, dass sie gemeinsam identisch sind zur Ausgangskurve. 1. Unterteilungsalgorithmus von de Casteljau liefert auch die Kontrollpolygone (c0,...,cn) und (d0,...,dn) der Bzier-Kurve bzgl. der Intervalle [0,t] bzw. [t,1].

b1 c2 c1 c3 d0 d1

b2

d2 b3 d3

Kontrollpolygon

bn

Bzier-Kurve

c0

b0www.geometrie.tuwien.ac.at 151

b0

Beispiel: n=3www.geometrie.tuwien.ac.at 152



Unterteilung (subdivision): Gegeben sei eine BzierKurve mit Kontrollpolygon (b0,...,bn) 2. Wiederholte Unterteilung mit de Casteljau liefert eine rasch gegen die Kurve konvergierende Polygonfolge.

Unterteilung (subdivision):

b1

b2

Gegeben sei eine BzierKurve mit Kontrollpolygon (b0,...,bn) 3. Durch Eckenabschneiden entstehen keine zustzlichen Seitenwechsel Variationsreduzierende Eigenschaft gilt

b1

b2

b3

b3



bungsbeispiele zu FreiformkurvenGEOMETRIE

bungsbeispiel zu Bzier-KurvenGEOMETRIE

Begrnden Sie, warum es sich bei den folgenden Kurven jeweils nicht um eine Bzier Kurve mit zugehrigem Kontrollpolygon handelt:

Gegeben ist das Kontrollpolygon einer Bzier-Kurve Konstruieren Sie mit dem Algorithmus von de Casteljau zum Parameterwert t=1/3 einen Punkt der Bzier-Kurve Skizzieren Sie die zugehrige Bzier-Kurve


155


156

3D-Bzier-KurvenGEOMETRIE

Spline-KurvenGEOMETRIE

Geg: Kontrollpunkte im 3-Raum Ges: Bzier-Kurve

b3 b2BzierKurve

Bzier-Kurven sind durch das Kontrollpolygon bestimmt. Damit bewirkt die nderung eines Kontrollpunktes eine Vernderung des gesamten Kurvenverlaufes (global). ungnstig fr Designzwecke

b0 b1Die Bzier-Kurve liegt in der konvexen Hlle ihres Kontrollpolygons (hier: Tetraeder) Kontrollpolygonwww.geometrie.tuwien.ac.at 157

Eine mgliche Abhilfe: Kurven niedrigen Grades zu einer Kurve zusammensetzen Spline-Kurve, lokale Kontrolle, an den Segmenttrennstellen geeignete bergangsbedingung (z.B. gemeinsame Tangente).www.geometrie.tuwien.ac.at 158

Grad und Kontrollpunkte von SplinesGEOMETRIE

Grad und Kontrollpunkte von B-Spline Kurven kubische B-Spline Kurve mit B-Spline Kontrollpolygon

GEOMETRIE

Viele Splinetypen (B-Spline, NURBS, continuous Bezier in FormZ, interpolierende kubische Splines) sind aus Bezierkurven zusammengesetzt Der Grad der BezierSegmente heit Grad der Splinekurve Die Kontrollpunkte des Splines sind oft von den Kontrollpunkten der Beziersegmente verschiedenwww.geometrie.tuwien.ac.at 159

kubische B-Spline Kurve mit Kontrollpolygonen der kubischen Beziersegmentewww.geometrie.tuwien.ac.at 160

Spline-KurvenGEOMETRIE

B-Spline Kurven, NURBSGEOMETRIE

Beispiel: 2 mgliche Kurven zum selben Kontrollpolygon

B-Spline-Kurven wurden ins Computer Aided Design von J. Ferguson (1964) bei Boeing eingefhrt. In CAD-Systemen taucht auch oft der Name NURBS (= Non-Uniform Rational B-Splines) auf.B-Spline-Kurve Grad 2

Bzier-Kurve (Grad 13)

B-Spline-Kurve Grad 3

B-Spline (Grad 2)Kurve ist aus Parabelsegmenten mit tangentenstetigem bergang zusammengesetzt.www.geometrie.tuwien.ac.at

B-Spline-Kurve Grad 7 (= Bzier)161 www.geometrie.tuwien.ac.at 162

B-Spline KurvenGEOMETRIE

B-Spline KurvenGEOMETRIE

Eine B-Spline-Kurve vom Grad n besteht aus Bezier-Kurven vom Grad n, welche mit optimaler Glattheit zusammengesetzt sind: Grad 2: stetige Tangente Grad 3: stetige Krmmung...

B-Spline-Kurven knnen offen oder geschlossen sein: Bei einer geschlossenen B-Spline-Kurve wird ein geschlossenes Kontrollpolygon zur Gnze geglttet Im offenen Modus hat ein geschlossenes Polygon einen Anfangspunkt und einen damit identischen Endpunkt; dort wird nicht geglttet

Angabe: Kontrollpolygon, Grad, Knoten (hngt mit mathematischer Beschreibung zusammen, fr Design kaum verwendbar)

geschlossenwww.geometrie.tuwien.ac.at 163

offen

offenwww.geometrie.tuwien.ac.at 164

B-Spline-Kurven Eigenschaften

NURBS Gewichte (weights)GEOMETRIE GEOMETRIE

Bei offenen B-Spline Kurven: Endpunkte mit Tangenten werden durch das Kontrollpolygon angegeben

Kurve liegt in der konvexen Hlle des Kontrollpolygons

Es gilt die variationsreduzierende Eigenschaft

B-Spline-Kurven und somit auch die Bzier-Kurven sind Spezialflle von NURBS (= Non-Uniform Rational BSplines) NURBS haben einen zustzlichen Designparameter Gewichte. Standardmig sind alle Gewichte gleich 1, dann stimmt die NURBSKurve mit der gewhnlichen B-SplineKurve berein Das Erhhen des Gewichtes eines Kontrollpunktes bewirkt, dass die Kurve zu diesem Kontrollpunkt hingezogen wird Multipliziert man die Gewichte aller Punkte mit demselben Faktor, so erhlt man die ursprngliche Kurve165 www.geometrie.tuwien.ac.at 166


Kegelschnitte als NURBSGEOMETRIE

Tipps zum CAD Konstruieren mit Splinekurven

GEOMETRIE

b1

w1 > 1

Von den Kegelschnitten (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) kann nur die Parabel als Bzier-Kurve (vom Grad 2) reprsentiert werden. Durch das Verwenden von Gewichten knnen alle Kegelschnittstypen als NURBS vom Grad 2 erhalten werden.

w1 = 1 0 < w1 < 1

Komplexe Kurvenformen mittels NURBS modellieren, und Feinabstimmungen durch Vernderung der Kontrollpunkte und der Gewichte vornehmen.

b0

w1 > 1 Hyperbelbogen Parabelbogen w1 = 1 0 < w1 < 1 Ellipsenbogen

b2www.geometrie.tuwien.ac.at 167 www.geometrie.tuwien.ac.at 168

Splines in der ArchitekturGEOMETRIE

Unterteilungskurven (Subdivision curves)

GEOMETRIE

Grundideen der Unterteilung gehen zurck in die 40er Jahre als G. Rahm corner cutting dazu verwendete glatte Kurven zu beschreiben Anwendungen im CAD, geometrischen Modellieren und in der Computergraphik

Grand Arbour, Brisbane, Australia


169


170

Chaikins AlgorithmusGEOMETRIE


stationres Unterteilungsschema, d.h. in jedem Iterationsschritt k=1,2, wird dieselbe Methode (corner cutting) angewendet fr k erhlt man so eine quadratische B-Spline Kurve

P4 P1Q1 R0 Q0 R1 Q2 R2 Q3

P2

R3

P0

P3

In jedem Iterationsschritt werden die einzelnen Strecken bei bzw. geteilt und die neuen Punkte verbunden.www.geometrie.tuwien.ac.at 172


171


UnterteilungskurvenGEOMETRIE

Weitere Unterteilungsalgorithmen fr Kurven (und auch Flchen) werden im Wahlpflichtfach CAAD und Geometrie vorgestellt Bsp: Interpolierender Unterteilungsalgorithmus

0 k=0 k=1 k=2

1

2

3 k=3 k=4 k=5www.geometrie.tuwien.ac.at 173

4

55


174

bungsbeispiel UnterteilungskurvenGEOMETRIE


Konstruieren Sie fr das gegebene Polygon den ersten Verfeinerungsschritt im Chaikin Algorithmus In welchem Verhltnis werden die Seiten jeweils unterteilt? Welche Art von Freiformkurve erhlt man so bei fortgesetzter Unterteilung?

Flchen im Bauwesen

SECC Conference Center, Glasgow, Scotland Office Building, Prague, Czech Republicwww.geometrie.tuwien.ac.at 175

Reorganized Church of Jesus Christ of Latter Day Saints Temple, Independance, Missouri, USAwww.geometrie.tuwien.ac.at 176

Drehflchen (Rotational Surfaces)

DrehflchenGEOMETRIE GEOMETRIE

Eine Drehflche entsteht durch stetige Drehung einer erzeugenden Kurve e um eine feste Achse a.

a

Die einzelnen Punkte der Erzeugenden e beschreiben dabei der Flche angehrende Kreise, die ihre Parallelkreise heien, weil sie in parallelen, zu a normalen Ebenen liegen. Jede durch die Achse gelegte Ebene schneidet die Drehflche nach einem Meridian. Alle Meridiane einer Drehflche sind untereinander kongruent, weil sie durch Drehung auseinander hervorgehen. Spezielle Parallelkreise: quatorkreis, Kehlkreis, Flachkreis Meridian

aFlachkreis

e

Kehlkreis

quatorkreis


177


178

Spezielle DrehflchenGEOMETRIE

Gebaute DrehflchenGEOMETRIE

Drehzylinder

Kugel

Drehkegel Torus

Bonaventure Hotel, Los Angeles, USA Melbourne Central, Melbourne, Australiawww.geometrie.tuwien.ac.at 179

Oriental Pearl Tower, Shanghai, Chinawww.geometrie.tuwien.ac.at 180

DrehquadrikenGEOMETRIE

DrehparaboloidGEOMETRIE

Eine Drehflche, die bei stetiger Drehung eines Kegelschnittes um eine seiner Achsen entsteht, heit Drehquadrik. Ebene Schnitte dieser Flchen sind Kegelschnitte. Auer den Kugeln gibt es folgende Typen:

Ein Drehparaboloid entsteht bei Drehung einer Parabel um ihre Achse. Eigenschaft: Strahlen parallel zur Achse werden in den Brennpunkt reflektiert (Anwendung: Satelliten-Parabolspiegel)

Drehellipsoid

Drehparaboloid

Drehhyperboloide Drehparaboloidwww.geometrie.tuwien.ac.at 181 www.geometrie.tuwien.ac.at 182

Drehparaboloide im BauwesenGEOMETRIE

DrehellipsoidGEOMETRIE

Ein eifrmiges bzw. abgeplattetes Drehellipsoid entsteht durch Drehung einer Ellipse um ihre Hauptachse bzw. Nebenachse.

Very Large Array Plains of San Augustin, New Mexico Erdefunkstelle Aflenz (Steiermark) Gustav Peichl, 1980 (Antennen 32m) Kirche, Oklahoma City, USA

eifrmiges DrehellipsoidQuelle: Telekom Austria

abgeplattetes Drehellipsoidwww.geometrie.tuwien.ac.at 184

Planetarium, Bochum, Deutschlandwww.geometrie.tuwien.ac.at 183

Drehellipsoide im BauwesenGEOMETRIE

DrehhyperboloidGEOMETRIE

Ein zweischaliges bzw. einschaliges Drehhyperboloid entsteht bei Drehung einer Hyperbel um ihre Hauptachse bzw. Nebenachse.

Rockhalle im Gasometer B (Durchschnitt von 2 Drehellipsoiden) Fukui Prefectural Museum of Dinosaurs, Katsuyama, Fukui, Japan

Museum of Ftuit, Yamanashi, Itsuko Hasegawa

Atomei (Forschungsreaktor) Garching, Deutschlandwww.geometrie.tuwien.ac.at 185

zweischaliges Drehhyperboloid

einschaliges Drehhyperboloidwww.geometrie.tuwien.ac.at 186

RegeldrehflchenGEOMETRIE

Drehhyperboloide im BauwesenGEOMETRIE

Eine Drehflche, deren erzeugende Kurve e eine Gerade ist, heit Regeldrehflche. Die einzelnen Lagen von e heien Erzeugenden der Flche. Ist die Gerade e zur Drehachse parallel bzw. schneidet e die Drehachse in einem Punkt S, so ist die Regeldrehflche ein Drehzylinder bzw. ein Drehkegel mit der Spitze S. Ist die Erzeugende e zur Achse windschief (aber nicht normal), dann erhalten wir ein einschaliges Drehhyperboloid. In einer solchen Flche liegen zwei Drehscharen von Erzeugenden.Khltrme Atomkraftwerk Temelin, Tschechien

Kathedrale Sacre-Coeur, Algier, Algerien

e-Schar

f-Schar

e- und f-Schar187 www.geometrie.tuwien.ac.at 188


Rohrflchen (Pipe Surfaces)GEOMETRIE

Rohrflchen (Pipe Surfaces)GEOMETRIE

m

Eine Rohrflche ist bestimmt durch die Ortslinie m der Kugelzentren (Mittellinie der Rohrflche) und den Kugelradius r. Eine Rohrflche kann auf zwei Arten erzeugt werden: 1. als das Hllgebilde einer Schar kongruenter Kugeln 2. indem ein Kreis in einer Ebene normal zur Mittellinie bewegt wird Beispiele: Drehzylinder, Torus, ...


189


190

RohrflchenGEOMETRIE

KanalflchenGEOMETRIE

Als Verallgemeinerung der Rohrflchen sind jene Flchen anzusehen, die das Hllgebilde einer Schar von Kugeln sind, deren Radius von der Lage des Kugelmittelpunktes abhngt. Sie werden Kanalflchen genannt. Sonderflle der Kanalflchen sind die Rohr-, und Drehflchen. Eine Drehflche ist eine Kanalflche mit gerader Mittellinie.

Wasserrutsche

Spielgert: Teil einer Rohrflchewww.geometrie.tuwien.ac.at 191 www.geometrie.tuwien.ac.at 192

Wiederholung SchraubungGEOMETRIE

Schraublinie/SchraubzylinderGEOMETRIE

Schraubung = rumlicher Bewegungsvorgang, der durch Zusammensetzen einer gleichfrmigen Drehung um eine Achse a mit einer gleichfrmigen Schiebung parallel zu a entsteht Begriffe: Drehwinkel Schraubparameter p Ganghhe h

Jede Schraublinie liegt auf einem sogenannten Schraubzylinder mit der Schraubachse als Achse.In diesem Beispiel ist die Sule der Schraubzylinder.

Schraublinie = Bahnkurve eines Punktes, der einer Schraubung unterworfen wirdPestsule, Karlskirche in Wien, 1716-1733www.geometrie.tuwien.ac.at 193 www.geometrie.tuwien.ac.at 194

Rechts-/LinksschraubungGEOMETRIE

Rechts-/LinksschraubungGEOMETRIE

Rechtsschraubung

Linkssschraubung

Besitzen Drehung und Schiebung in Bezug auf ein Rechtskoordinatensystem, dessen z-Achse die Schraubachse a ist, gleiches Vorzeichen, dann spricht man von einer Rechtsschraubung, andernfalls von einer Linksschraubungwww.geometrie.tuwien.ac.at 195

Betrachtet man die Sulen der Karlskirche, so sieht man, dass die rechte Sule eine Rechtsschraublinie, die linke eine Linksschraublinie trgt. Durch eine Bewegung kann eine Rechtsschraublinie nicht in eine Linksschraublinie bergefhrt werden!


196

Abwicklung einer SchraublinieGEOMETRIE

Schraubflchen (Helical Surfaces)

GEOMETRIE

Die Tangenten lngs einer Schraublinie schlieen mit einer zur Achse normalen Ebene einen konstanten Winkel ein Schneidet man den Schraubzylinder lngs einer Erzeugenden auf und wickelt man diesen Mantel in eine Ebene ab, dann ist die Abwicklung der Schraublinie eine Gerade

Unterwirft man eine Kurve e einer stetigen Schraubung, wobei e keine Bahnkurve dieser stetigen Schraubung ist, so heit die Menge der Punkte der dabei entstehenden, zu e kongruenten Kurven eine Schraubflche.

Die Schnittkurven mit Ebenen normal zur Schraubachse bzw. durch die Schraubachse heien Querschnitte bzw. Meridiane der Schraubflche. Beispiele: Regelschraubflchen (z.B. Wendelflche)

Kreisschraubflchen SchraubtorsenDNADoppelwendeltreppe, Grazer Burg, 1499www.geometrie.tuwien.ac.at 197 www.geometrie.tuwien.ac.at 198

WendelflchenGEOMETRIE

Gebaute WendelflchenGEOMETRIE

Die Geraden durch die Punkte einer Schraublinie, welche die Schraubachse orthogonal schneiden, bilden eine Wendelflche.Solomon R. Guggenheim Museum von Frank Lloyd Wright (1867-1959), N.Y. City. Eine langlufig gewendelte Rampe zieht sich ber sechs Geschosse durch den gesamten Innenraum des Museums und stellt nicht nur die Erschlieung der daran angrenzenden Ausstellungsrume bzw. Nebenrume dar, sondern ist zugleich Ausstellungsbereich fr Bilder und/oder Skulpturen. Das Museum wurde 1959 fertiggestellt und beinhaltet seither Wechselausstellungen Moderner Kunst.www.geometrie.tuwien.ac.at 200

Wendelflchen treten als Unterseiten von Wendeltreppen, als Wendelrampen und als flachgngige Schrauben auf.www.geometrie.tuwien.ac.at 199

DoppelwendeltreppeGEOMETRIE

Anwendungen der SchraubungGEOMETRIE

Der Stiegenaufgang im Vatikanischen Museum in Rom ist als Doppelwendeltreppe ausgefhrt. So werden die Besucherstrme beim Betreten bzw. Verlassen des Gebudes auf getrennten Treppen gefhrt. Weitere Anwendungen finden sich bei den Auf-/Abfahrtsrampen in Parkhusern.

Bei Treppen gehen Stufen oft durch Schraubung auseinander hervor.

Stiegenaufgang des Vatikanischen Museums Rom, Italienwww.geometrie.tuwien.ac.at 201 www.geometrie.tuwien.ac.at 202

Auftreten von Schraubflchen im Bauwesen

KreisschraubflchenGEOMETRIE GEOMETRIE

Parkhaus ...

Grundriss Parkhaus...www.geometrie.tuwien.ac.at 203

Meridiankreisschraubflche: Entsteht durch Verschraubung eines Kreises in einer durch die Schraubachse gehenden Ebene

Schichtenkreisschraubflche: Entsteht durch Verschraubung eines Kreises in einer zur Schraubachse normalen Ebenewww.geometrie.tuwien.ac.at 204

KreisschraubflchenGEOMETRIE

RohrschraubflchenGEOMETRIE

Schneidet der erzeugende Kreis die Schraubachse, dann entstehen die fr den Barock typischen Sulen

1. Art der Erzeugung: Man bewegt einen Kreis, welcher in einer zur Bahnschraublinie m seines Mittelpunktes M normalen Ebene liegt, entlang m 2. Art der Erzeugung: Rohrschraubflche ist eine Einhllende einer Kugel, die lngs einer Schraublinie bewegt wird

Innenansicht der Jesuitenkirche (ehemalige Universittskirche, Wien I, zwischen 1623 und 1631) mit gewundenen Barocksulenwww.geometrie.tuwien.ac.at 205

Rutsche Ravenna von Grnzig Spielgerte


206

RegelflchenGEOMETRIE

Tangentialebenen von RegelflchenGEOMETRIE

Wird eine Gerade im Raum bewegt so berstreift sie im Laufe dieser Bewegung eine Regelflche (auer die Gerade wird nur in sich verschoben) Durch jeden Punkt einer Regelflche geht mindestens eine Flchengerade, die Erzeugende genannt wird

Berhrt in allen Punkten einer Erzeugenden dieselbe Tangentialebene, so spricht man von einer torsalen Erzeugenden (z.B. Kegel, Zylinder)

Sind alle Erzeugenden einer Regelflche torsal, spricht man von einer torsalen Regelflche (einfach gekrmmte Regelflche)City Link Melbourne, Australiawww.geometrie.tuwien.ac.at

207


208

Tangentialebenen von RegelflchenGEOMETRIE

Erzeugung von RegelflchenGEOMETRIE

Sind die Tangentialebenen in den einzelnen Punkten einer Erzeugenden verschieden, so spricht man von einer nichttorsalen Erzeugenden. Jede Ebene durch eine solche Erzeugende ist in genau einem Punkt der Erzeugenden Tangentialebene. Regelflchen, deren Erzeugende nichttorsal sind, heien windschiefe Regelflchen (zweifach gekrmmte Regelflchen)www.geometrie.tuwien.ac.at 209

Die Bewegung einer Geraden im Raum kann durch zwei Leitkurven samt einer Punktkorrespondenz zwischen den Kurven angegeben werden: Die Gerade muss stets beide Leitkurven treffen Die Punktkorrespondenz gibt an, welche Punkte der zwei Kurven gleichzeitig von der Geraden durchlaufen werden (z.B. Durchlaufgeschwindigkeit auf jeder Kurve). X A l1 Beispiel: B sowie die Gerade g in ihrerGegeben sind zwei Leitkurven l1,l2 Startlage AA* und Endlage BB*. Korrespondierende Punkte werden durch Abtragen von Bogenlngen mit einem fixem hnlichkeitsfaktor gefunden:

g B* X* l2

A*X* = AX(hier: = )www.geometrie.tuwien.ac.at 210

A*

Beispiele zur Erzeugung von Regelflchen durch LeitkurvenZylinder: Drehkegel:

Die HP-FlcheGEOMETRIE GEOMETRIE

Leitkurven:Zwei kongruente Kreise in parallelen Ebenen

Leitkurven:Punkt und Kreis in geeigneter Lage

Betrachten wir nun zwei Geraden als Leitkurven: Parallele Leitgeraden ebenes Flchenstck(trivialer Fall)

Die Zuordnungerfolgt durch Bogenlngenhnlichkeit

Treffgeradenmengeaus der Spitze an den Basiskreis

Drehhyperboloid:

Wendelflche:

Windschiefe Leitgeradenwindschiefe Leitgeraden

Leitkurven:Zwei kongruente Kreise in geeigneter Lage

Leitkurven:Schraublinie und deren Achse



hyperbolisches Paraboloid oder kurz HP-Flche

Bemerkung: Zu jeder Regelflche kann eine Schar von geeigneten Leitkurven gefunden werden.www.geometrie.tuwien.ac.at 211

Erzeugendenwww.geometrie.tuwien.ac.at 212

Teilverhltnisregel fr HP-FlchenGEOMETRIE

HP-Flchen als zweifache RegelflchenGEOMETRIE

z

Die Zuordnung zwischen den Leitgeraden erfolgt nun durch Abtragen von Teilstrecken (analog zur Bogenlnge bei Leitkurven): Die Leitgeraden werden durch die Erzeugenden teilverhltnisgleich aufeinander bezogeny

z

Es gibt eine Schar von Leitgeraden welche auf der Flche liegen. Bezglich je zwei dieser Leitgeraden gilt die Teilverhltnisregel. Auf der Flche gibt es zwei gleichberechtigte Scharen von Erzeugenden je zwei Geraden derselben Schar sind windschief je zwei Geraden verschiedener Scharen schneiden in einem Flchenpunkt Durch jeden Flchenpunkt gehen zwei Erzeugende, welche die Tangentialebene in diesem Punkt aufspannen

y

B* B X* Xy

TV(A,B,X) = TV(A*,B*,X*)Es gibt einen Parallelriss, in dem die Erzeugenden als untereinander parallele Geraden erscheinen. D.h. die Erzeugenden sind alle parallel zu einer Ebene, der sogenannten Richtebene (hier: erstprojizierend).

y

A* Ax


213

x


214

HP-Flche durch windschiefes VierseitGEOMETRIE

Optimale Aufstellung von HP-FlchenGEOMETRIE

Eine HP-Flche ist durch ein windschiefes Erzeugendenvierseit eindeutig festgelegt. Das windschiefe Vierseit ist durch 4 nicht in einer Ebene liegende Punkte A, B, C, D festgelegtA

Jede der beiden Erzeugendenscharen besitzt eine Richtebenez

Werden die Richtebenen beide lotrecht gewhlt, so hat die HP-Flche besonders gnstige statische Eigenschaften (groe Spannweite bei geringer Schalendicke)y

x

C

D

B

Eine Schar von Erzeugenden besitzt AB und DC als Leitgeraden. Konstruktion mittels Teilverhltnisregel Die andere Schar von Erzeugenden besitzt AD und BC als Leitgeraden. Konstruktion von Erzeugenden mittels Teilverhltnisregelwww.geometrie.tuwien.ac.at 215

In dieser besonderen Aufstellung gibt es genau einen Punkt S mit horizontaler Tangentialebene. Dieser heit Scheitel S der HP-Flche. Die Flchennormale im Scheitel (lotrecht in der besonderen Aufstellung) heit Achse a der HP-Flche

a

S


216

Ebene Schnitte von HP-FlchenGEOMETRIE

Gebaute HP-FlchenGEOMETRIE

Der Schnitt einer HP-Flche mit einer Ebene parallel zur Achse ist eine Parabel (oder eine Erzeugende falls die Ebene eine Richtebene ist) schrg zur Achse ist eine Hyperbel (Ausnahme: Ist die Ebene eine Tangentialebene so schneidet sie die Flche nach 2 Erzeugenden)

Philips-Pavillon (Le Corbusier) Aufbahrungshalle, Wien 21 Weltausstellung 1958 Brssel Dachkonstruktion: HP-Schale aus Holz

Restaurant Los Manantiales (Felix Candela) 1958, Xochimilco, Mexico

Entertainment Center (Felix Candela)www.geometrie.tuwien.ac.at 217 www.geometrie.tuwien.ac.at 218

Konoidale RegelflchenGEOMETRIE Richtebene

WendelflchenGEOMETRIE

z

Regelflchen, deren Erzeugende zu einer Ebene parallel sind, heien konoidale Regelflchen. Beispiel: HP-Flche

Die Geraden durch die Punkte einer Schraublinie, welche die Schraubachse orthogonal schneiden, bilden eine Wendelflche. Die Wendelflche ist eine konoidale Regelflche, die eine Schraublinie und deren Achse als Leitkurven besitzt. Die Richtebenen sind zur Schraubachse normale Ebenen.

xLeitgerade 1

y

Die Ebene und jede zu ihr parallele Ebene heit Richtebene der Flche. Durch Angabe der Richtebene und zweier Leitkurven ist eine konoidale Regelflche bestimmt.

Richtebene

Leitkurve 2


219


220

SheddcherGEOMETRIE

SchiebflchenGEOMETRIE

Erzeugende parallel zur Richtebene

e

Sheddcher sind hufig Ausschnitte von konoidalen Regelflchen mit lotrechten Richtebenen Meist ist eine Richtebene gemeinsame Symmetrieebene der Leitkurven und somit auch Symmetrieebene der Flche.lotrechte Richtebene

Wird eine Kurve k (Profilkurve) entlang einer Kurve l (Leitkurve) zu sich parallel verschoben, so heit die Menge der Punkte der dabei entstehenden zu k kongruenten Kurven eine Schiebflche.

Dulles Airport von Eero Saarinen, Chantilly, Virginia, 1958-1962

Leitkurven

Olympic Train Station, Homebush, Sydney, Australiawww.geometrie.tuwien.ac.at 221

Halle 26, Deutsche Messe Hanover, Germany

Wird speziell eine Gerade k lngs einer Leitkurve l verschoben, so ist diese Schiebflche eine allgemeine Zylinderflche.www.geometrie.tuwien.ac.at 222

SchiebflchenGEOMETRIE

Zweifache Erzeugung von Schiebflchen

GEOMETRIE

Gegeben sind eine Leitkurve l und eine Profilkurve k, die einen Punkt O gemeinsam haben: Wir wenden auf k Schiebungen an, welche O in Punkte der Leitkurve l berfhren. Dadurch entstehen neue Lagen der Profilkurve, welche eine Schiebflche bilden.

Die Rollen von Profil- und Leitkurve knnen vertauscht werden: Bei Verschiebung von k lngs l entsteht dieselbe Flche wie bei Verschiebung von l lngs k. Die Flche trgt demnach zwei Scharen von Kurven, welche zu k bzw. l schiebungsgleich sind

P L Leitkurve l 0 K Profilkurve k

P Leitlinie l K223

L

Profilkurve k O



224

HP-Flchen als SchiebflchenGEOMETRIE

HP-Flche als SchiebflcheGEOMETRIE

p2

p1

Bei Verschiebung einer Parabel p1 lngs einer Parabel p2 entsteht eine HP-Flche, sofern die beiden Parabeln parallele Achsen besitzen.www.geometrie.tuwien.ac.at 225 www.geometrie.tuwien.ac.at 226

HP-Flchen im CADGEOMETRIE

Abwickelbare FlchenGEOMETRIE

als SchiebflcheSchiebparabeln als Bezierkurven 2. Grades modellieren HP-Flche durch sweepen (verschieben) einer Parabel lngs der anderen erzeugen

Unter der Abwicklung oder Verebnung einer krummen Flche versteht man, anschaulich gesprochen, ihre lngentreue (und somit auch winkeltreue) Ausbreitung in eine Ebene.Raumkurve

P

als Regelflche durch Einspannen einer Bezierflche vom Grad (1,1) in ein windschiefes Vierseitwww.geometrie.tuwien.ac.at 227

Abwickelbare krumme Flchen:

Zylinderflchen, Kegelflchen,Tangentenflchen von Raumkurven Kennzeichnende Eigenschaft: Regelflchen die nur torsale Erzeugenden besitzen (Tangentialebene berhrt jeweils lngs der gesamten Erzeugenden)www.geometrie.tuwien.ac.at 228

Abwickelbare FlchenGEOMETRIE

Abwickelbare Flchen Tangentenflche einer Raumkurve entsteht durch Verfeinerung eines Torsenpolyeders:GEOMETRIE

Zylinderflche entsteht durch Verfeinerung einer Prismenflche

Kegelflche entsteht durch Verfeinerung einer Pyramidenflche

Die Kanten des Torsenpolyeders sind die Seitengeraden eines rumlichen Polygons. Die Seitenflchen werden von jeweils zwei aufeinanderfolgenden Polygonseiten aufgespannt. Durch Verfeinerung entsteht aus einem rumlichen Polygon eine Raumkurve. Die Polygonseiten gehen dabei in Kurventangenten ber. Aus dem Torsenpolyeder des Polygons entsteht die Tangentenflche der Raumkurve. Das erzeugende Polygon bildet eine Rckkehrkante auf dem Torsenpolyeder Die erzeugende Raumkurve ist eine scharfe Kante (Gratlinie) der Tangentenflche


229


230

Abwickelbare Flchen im BauwesenGEOMETRIE

AbwicklungenGEOMETRIE

Abwickelbare Flchen sind fr das Bauwesen interessant, weil sie ...eine Schar von Geraden tragen und daher leichter zu bauen sind als ganz freie Formen (z.B. Verschalungen, Stahlbeton, Holzbau, ) mit Blech leicht zu verkleiden sind

Die Animation zeigt die Abwicklung eines Drehzylinders bzw. eines Drehkegels in eine Ebene

Weisman Art Museum http://hudson.acad.umn.edu/www.geometrie.tuwien.ac.at 231 www.geometrie.tuwien.ac.at 232

Abwicklung eines KegelsGEOMETRIE

Netz eines PolyedersGEOMETRIE

Ein Polyeder, also ein aus lauter ebenen Flchenstcken begrenzter Krper, lsst sich mit verhltnismig geringem Aufwand nachbilden, indem man die einzelnen Oberflchenteile aus Karton oder Blech ausschneidet und aneinanderheftet. Die in einer Ebene mglichst zusammenhngend aneinandergereihten Flchenstcke bilden das Netz des Polyeders

Fuball = Ikosaederstumpf


233

In FormZ kann fr die Abwicklung von Flchen der Befehl Unfold verwendet werden.www.geometrie.tuwien.ac.at

234

bungsbeispiele Netze von PolyedernGEOMETRIE

Abwicklung - NetzGEOMETRIE

Skizzieren Siedie 11 verschiedenen Netze eines Wrfels Netze von Tetraeder, Oktaeder, Pentagondodekaeder und Ikosaeder ein Netz des untenstehenden Objektes

Von jeder Flche kann man ein Nherungspolyeder bilden und fr dieses ein Netz konstruieren Dabei entstehen zwischen den verebneten Seitenflchen Lcken, welche auch bei noch so feiner Approximation auftreten Dieser Vorgang kann also nicht als Beweis fr die Abwickelbarkeit beliebiger Flchen dienen

Beispiel: Eine Kugel ist nicht in die Ebene abwickelbar, daher gibt es keine verzerrungsfreien Landkartenwww.geometrie.tuwien.ac.at 235 www.geometrie.tuwien.ac.at 236

FreiformflchenGEOMETRIE

Bzier-FlchenGEOMETRIE

Preston Scott Cohen; Torus House; Old Chatham

Frank O. Gehry; Experience Music Project

Bezier-Kurven werden von einem Kontrollpolygon ausgehend konstruiert. Es liegt also nahe fr Bezier-Flchen ein Kontrollnetz zu verwenden. Allgemein wird eine Bzier-Flche vom Grad (m,n) durch ein Vierecksnetz mit Eckpunkten Pi,j (i = 0,...,m; j = 0,...,n) angegeben. Das Bzier-Flchenstck besitzt i.a. 4 Randkurven. Diese sind Bzier-Kurven mit den Randpolygonen des Netzes als Kontrollpolygonen

Karin Zeitlhuber, Reinhard Bernsteiner; Die Welle: Berufsschule Villach

Freiformflchen sind wegen ihrer groen Bedeutung im industriellen Design entwickelt worden (z.B. Automobilindustrie, Schiffbau). Sie finden inzwischen auch groes Interesse bei reprsentativer Architektur Freiformmodule findet man in allen CAD-Systemenwww.geometrie.tuwien.ac.at 237 www.geometrie.tuwien.ac.at 238



Zur Konstruktion eines Flchenpunktes kann man jede der m+1 Zeilen (verbinden jeweils n+1 Punkte mit festem Index i) als Kontrollpolygone auffassen und zum selben Teilverhltnis Kurvenpunkte konstruieren. Dies liefert m+1 Punkte, welche die Kontrollpunkte einer Bzier-Kurve m-ten Grades sind, die ganz auf der Flche liegt. Damit sieht man, dass auf einer Bzier-Flche vom Grad (m,n) eine Schar von Bzier-Kurven vom Grad m liegt. Analog erhlt man ber die Spalten des Kontrollnetzes eine Schar von Bzier-Kurven vom Grad n, die ganz auf der Flche liegen.www.geometrie.tuwien.ac.at 239

Randkurven eines Bzier-Flchenstcks sind Bzier-Kurven Eckpunkte des Kontrollnetzes sind Punkte des zugehrigen Bzier-Flchenstcks


240

Bzier-RegelflchenGEOMETRIE

HP-Flche als Bezier-FlcheGEOMETRIE

Eine Bzierflche vom Grad (1,1) ist eine HP-FlcheEine Bzier-Kurve ersten Grades ist eine geradlinige Strecke. Daher ist eine Bzier-Flche vom Grad (1,n) oder (m,1) ein Regelflchenstck. B1,0 B0,1

Eine Bzier-Flche vom Grad (1,1) ist durch vier Kontrollpunkte B0,0, B0,1, B1,0, B1,1 gegeben, welche zu einem Kontrollvierseit verbunden werden. Falls dieses Vierseit nicht in einer Ebene liegt, ist die Bzier-Flche das HP-Flchenstck mit dem B1,1 Kontrollvierseit als Erzeugendenvierseitwww.geometrie.tuwien.ac.at 242

Sind bei einer Bzier-Flche vom Grad (1,n) die n+1 Spaltenstrecken parallel, so erhlt man ein Stck einer Zylinderflche. Die Randkurven sind die Bzier-Kurven zu den Randpolygonen des Netzes.

B0,0


241

B-Spline-FlchenGEOMETRIE

B-Spline-FlchenGEOMETRIE

Die Bzier-Methode ist zum Design komplizierterer Formen kaum geeignet, weil bei hherem Grad die Bezier-Flche die Form der Eingabefigur nicht gut wiedergibt. Oft ist auch der globale Einfluss der Kontrollpunkte unerwnscht: nderung eines einzigen Punktes beeinflusst das gesamte Flchenstck. In der Praxis verwendet man daher oft B-Spline-Flchen. Auf dieselbe Art wie man von Bezier-Kurven auf BezierFlchen erweitert gelangt man von B-Spline-Kurven auf B-Spline-Flchen.www.geometrie.tuwien.ac.at 243

Die mathematische Beschreibung einer B-Spline-Flche basiert auf einem Vierecksnetz. Dieses besitzt im allgemeinen vier Randpolygone und beschreibt demnach ein Flchenstck, dass von vier Randkurven begrenzt wird. Fallen ein oder zwei Paare gegenberliegender Randpolygone des Vierecksnetzes zusammen, so entstehen schlauchfrmige bzw. torusfrmige Flchen.


244

NURBS-FlchenGEOMETRIE

Gebaute FreiformflchenGEOMETRIE

So wie bei den NURBS-Kurven kann man die Form einer NURBS-Flche durch Gewichte, die den Kontrollpunkten zugeordneten sind, steuern. Effekt der Gewichte wie bei NURBS-Kurven Das Bild zeigt eine NURBS-Flche mit einem Kontrollnetz bestehend aus 5*7 = 35 Kontrollpunkten


245


246

Ausblick: Geometrie & CAADVorlesung Vertiefung Freiformflchen Subdivision Surfaces Sweep- und Skinflchen Spiralung Netze und Modellbau Animation bung Modellierung gebauter Objekte Durchfhrung eines umfangreicheren CAD-Projektes

GEOMETRIE

Unterteilungsflchen (Subdivision Surfaces) Knnen im Gegensatz zu klassischen Freiformflchen (NURBS-Flchen, ) Flchen beliebiger Topologie darstellen

GEOMETRIE

Methode: Ausgehend von einem Mesh wird dieses nach gegebenen Unterteilungsregeln verfeinert bis man eine hinreichend glatte Flche erhlt


247


248

SweepflchenGEOMETRIE

SkinningGEOMETRIE

Sweepflchen entstehen, indem eine erzeugende Kurve lngs einer oder mehrerer beliebiger Kurven bewegt wird. Lage und Form der erzeugenden Kurve kann sich whrend der Bewegung ndern

Skinning eignet sich besonders zur Erstellung von organischen und komplexen 3D-Formen Skin ist gegenber Sweep die mchtigere Operation

City Link, Melbourne, Australiawww.geometrie.tuwien.ac.at 249

Guggenheimmuseum (Bilbao)www.geometrie.tuwien.ac.at 250

Ausblick: Erschlieung neuer Geometrien 3D-Photographie & 3D-Druck Visualisierung und Analyse von geometrischen Objekten Geometrische Topologie Minimalflchen Fraktale Mathematische Morphologie

GEOMETRIE

3D Photographie Wiener Trio3D-Scannen

GEOMETRIE

Kunstwerk am Schottenring

CAD-Modell Rekonstruktion

3D-Drucken


251


252

Einseitige FlchenGEOMETRIE

Fraktale GeometrieGEOMETRIE

MbiusbandEuklidische Geometrie2000 Jahre alt

Fraktale Geometrie~ 30 Jahre alt verwendbar fr natrliche Objekte rauhe Oberflchen Algorithmenwww.geometrie.tuwien.ac.at 254

Kleinsche Flaschewww.geometrie.tuwien.ac.at 253

verwendbar fr knstliche Objekte glatte Oberflchen analytische Gesetzmigkeiten

Date post:	07-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	aleksa-joksimovic
View:	286 times
Download:	3 times

grundkursdg05

Documents