36
Def .: 1st y eine ours y ;
E C^
( [ a; its ;]
,E) zusammengesetze Kurve
,
dann definieren
:" it
g) fc e) dz ÷ § f.↳
f ( y ;H ) jilt ) dt = : ¥
,
fhtdz.
;
Lemma : ( Standard abschaitzung )
Far jede kurve ye C ( [ on ), UEE) und jede integrivbwe Funktion f :U→ ¢ gilt :
/ffHdz / ⇐
{.gg/fGI/ ↳ljH÷" Lange
"
dvkwreg
Beweis : |ffHdz/ ± I Iflrlt 'll . litttldt ±
says. ,
lflritill . f ljtttldtEl
Satz von Cauchy - fours at ' Sci Ue ¢ often und f :U→ 6 hulomorph .
( i ) Sind y , , y ,homotope kurven
,dann ist
f. fhtdz = )y,
fktdz
( ii ) 1st y eine null - homotope geschlosseue kurve in U,
dann gilt :
§ flz ) di . = 0
( iii ) 1st U einfachzusammenhangend ,
daun ist for bel. z.EU
F ( z ) := µ fly d| line holomorpk Stammfunkkon,
d. h.
F'
( z ) : flt ) V. zeu,
37
Bem .: . Dies ist anch als " Cauchy lntegracsatz
"
bekaunt.
• Der weseuthihe Uuterschied zum korollw ours dem Salz von Stokes ist,
class hier uur Differenzierbwkeit und nicht C'
gefordwt wird .
( Satz for C^
ist von Cauchy , ohne Stetigkeit von f'
von Goursat .)
• If Lz ) : : f. flzsdz eutlaugeiwer bel. kurve y :[ 0
," ] → Unit
ylo ) = to , yH=Z . Weyn C i ) ist dies wohldefiuiert .
Beweis run liii ) : Wegen ¥ "
dg = !JH dt = to ¥ [ L n - Hzttlztn ) ] at = } hat =L
Z th
und Flzth ) : Flt ) + ) f 4) d } gilt :
Z
F ( zth ) - F ( z )/n
. fit ! : / If "hf4|d| . flat µ "
dg /
= F,/ I ( flrutl - fat ) JLH at /
^
± Fu,
sup Iflw ) - fail . ) ljltlldt-
owe Bµ|lH -
h . so Large dvkwve = Ihl fir= sup / flw ) - f HI → 0 grade Vvbinduug
-
°
WEB, hilt )
D
Z
l .
Bsp .:
" Hanptzweig des Logarithms : Lu : 6'
→ �1�
,Lutz ) := ) } d } istholomorph auf 6
7
unit ( n' L z ) . 1z.
Dawit gilt Lutz ) :[¥,
dg'
:[I,
of + f HT : lnr + f lirreiifpn d¢ = lnr + if
g. , g,
,
-
-f.Fogg,
Don't gilt wieawartet e
" ' "= e
( until )= re
:p, z
.
Eben falls Inverse der Exp .funkkonsinddie, , Nebenzweige' '
s
des komplexen Log .
: ZH Ztikt lulz ),
KEZ .
38
Lemma : sci g:[ 0,1 ] → 6
, ylt ) : - re
"" it
,
r > 0.
Dann gilt :
^
§ I dz = Ziti.
ii.
*r
>
rJ T
Beweis :
§y tz dz = )o^fd-tit r2ti ehit
It = Ziti. a
Satz : ( Cauchy 'sche Integral formel )
Sci Use often , fill → 6 holomorph ,5
.lt. ) ÷ tl / 11 -
toler} EU und
yr:[ on ] → U
, yrlt ) : '
Zotre" it
. Dann gilt V. 2. c. B. ( to )
flyflz ) : ¥ . § dl
} - z
rr
^
Beweis : In Ultz ] ist } + ,f " ) r .
( g. z ) holomorph and fir E Klein geuug ist
re .
'
r' -
ye
ye homotopzu ys + yr-
ys in U.
Also ist •z
.
i.• . >Zo
f. t,
'
!!dl= fat!!d1 .
= f. ftp.t.lt'
al + §.
tY!÷f unit E → 0
.
,
0Ziti flz ) nach dem Lemma
{ → 0
Denn l§.
" Yi!"
dll fates:p ;µ ,
I" Yi!
' "I → odafhdomorph .
II
Standardabschatzung
Ben .:
•
yr und re heipen " frei homotop"
.
• In Satz Kann Br Go ) dnruh ein bit. einfach zusammenh
.
Gebiet G and yr durch JG
ersetzt wvden. ( Ciebiet := offene
,uichtleere
,zusammenh
. Menge )
39
orollar :(Miltelwerteigeuschaft )
1st f : Brk ) → Q holomorph
,
dann gilt :
µf( z + remit ) at = fat
Beweis : titles) at = ⇐÷ffYaYYY jrutat= : yrlt )
= ÷ §.
t!'
! dl = flt ). D
Satz : ( Poteuzreiheneutwicklung )
Sci f : UEE → 6 holomorph ,
B.Go ) eine kreisscheibe in U um zo unit
Radius r > 0 und YLH : ' zot remit.
Dann gilt FZEB,
lzo ) :
f- ( z ) = ⇐g cu ( z - zo )"
,
f ( z )
Cn: = IF; § ( z
- z.
)nindt
r
Beweis : 0.
B. d. A. 2-0=0
.
fa . )= ÷ ; )gf¥dI = ÷ .§t¥ - n÷±,
dl
w
=p÷ EE etftf!! as: IEIFI
"
for Heisler
D
gleichm . kouuergenz
Ben .: Durch koe # tientenvergl . hit der Taylerentwioklnng bekommen wir :
f' "
G.) = z¥i § HY! .tn dl knew.
korollar : Fine holomorphe Funktion ist bet. oft komplex diff .
bar.
Bewu 's : Wo f kompbx di # bar ist,
kouuen wir f ( und damit anih f'
if"
,
etc. )
oils Potenzreihe schreiber .
D